materi mata kuliah teori graph2(20 feb)

7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)

http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 1/33

1

Graf(bagian 2)

Bahan Kuliah

TEORI GRAPH DAN APLIKASI20 februari 2014



Graf Terhubung

(Connected )Dua buah simpul v 1 dan simpul v 2 disebut

terhubung jika terdapat lintasan dari v 1 kev 2.

G disebut graph terhubung (connectedgraph ) jika untuk setiap pasang simpul v i danv j dalam himpunan V terdapat lintasan dari v i

ke v j

Jika tidak, maka G disebut graph tak-terhubung (disconnected graph ).



Terhubung (Connected )Contoh graph terhubung (1):



Terhubung (Connected )Contoh graph terhubung (2):



Terhubung (Connected )Contoh graph tak-terhubung (1):

1

2

3

4

5

6

78



6

Contoh graph tak-terhubung (2):



6. Jalan (Walk )

Misalkan G adalah sebuah graf. Sebuah jalan (walk) di G adalahsebuah barisan berhingga (tak kosong). W = v0 e1 v1 e2 v2 ... ek

k.Titik v0 dan titik vk berturut-turut disebut titik awal dan titik akhirW.



7. Lintasan (Path )

Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuanvn di dalam graf G ialah barisan berselang-seling simpul-simpul

dan sisi-sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2,... , vn – 1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), ... , en = (vn-1, vn)adalah sisi-sisi dari graf G.

(jika semua titik dalam W berbeda dinamakan lintasan)

Tinjau graf G1: lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan barisan sisi (1,2),(2,4), (4,3).

Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasan tersebut. Lintasan 1, 2,

4, 3 pada G1 memiliki panjang 3.

G1 G2 G3

1

32

4

1

2

3

4

5

1

2

e1

e2

e3

e4

e53



Walk : a f b f c d cPath: a e f c g



7. Sirkuit (Circuit ) dan Siklus (Cycle )

Lintasan yang ber awal dan ber akhir pada simpul yang sama

disebut sirkuit atau siklus.Bedanya: siklus tidak ada v yang diulang, yg sama hanya v awaldan v akhir (lihat contoh)

Tinjau graf G1: 1, 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit.

Panjang sirkuit adalah jumlah sisi dalam sirkuit tersebut. Sirkuit1, 2, 3, 1 pada G1 memiliki panjang 3.

G1 G2 G3

1

32

4

1

2

3

4

5

1

2

e1

e2 e3

e4

e53



Sirkit yang bukan siklus: v1, v2, v3, v5, v2, v6, v1

siklus: v2, v3, v4, v5, v2



8. Upagraf (Subgraph ) dan Komplemen Upagraf

Misalkan G = (V , E ) adalah sebuah graf. G1 = (V 1, E 1) adalah

upagraf ( subgraph) dari G jika V 1 V dan E 1 E .

Komplemen dari upagraf G1 terhadap graf G adalah graf G2 = (V 2,

2) sedemikian sehingga E 2 = E - E 1 dan V 2 adalah himpunan

simpul yang anggota-anggota E 2 bersisian dengannya.

(a) Graf G1 (b) Sebuah upagraf (c) komplemen dari upagraf (b)

1

2

3

4 5

6

1

6

5

31

2

3

52



9. Upagraf Rentang (Spanning Subgraph )Upagraf G1 = (V 1, E 1) dari G = (V , E ) dikatakan upagraf rentang ika V 1 =V (yaitu G1 mengandung semua simpul dari G).

(a) graf G, (b) upagraf rentang dari G, (c) bukan upagraf rentang dari G

1

2 3

4 5

1

2 3

4 5

1

2 3



10. Graf Berbobot (Weighted Graph )

Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga(bobot).

a

b

c d

e

10 12

8

15 911

14



Beberapa Graf Khusus

a. Graf Lengkap (Complete Graph )

Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi

ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan

dengan K n. Jumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari n buah simpuladalah n(n – 1)/2.

K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6



b. Graf Lingkaran

Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua.

Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan C n.



c. Graf Teratur (Regular Graphs ) Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut grateratur. Apabila derajat setiap simpul adalah r , maka graf tersebut disebutsebagai graf teratur derajat r . Jumlah sisi pada graf teratur adalah e = nr /2. (numlah simpul pada graf )



18

d. Graf Bipartite (Biparti te Graph )

Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian V 1 dan V 2, sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan

sebuah simpul di V 1 ke sebuah simpul di V 2 disebut graf bipartit dan

dinyatakan sebagai G(V 1, V 2).

V 1 V 2



19

Contoh graph bipartit lainnya

Graf K(2,3)



20

Graf Isomorfik Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut gra

yang saling isomorfik .

Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat

korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduaya sedemikian sehingga hubungan kebersisian tetap terjaga.

Dengan kata lain, misalkan sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G1,

maka sisi e’ yang berkoresponden di G2 harus bersisian dengan simpul u’

dan v’ yang di G2.

Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan

simpul dan sisinya saja yang berbeda. Ini benar karena sebuah graf dapat

digambarkan dalam banyak cara.



21

Dua buah graf yang sama (hanyapenggambaran secara geometri berbeda)

isomorfik !

1

1

2 3

3

45

5 4

2



22

(a) G1 (b) G2 (c) G3

Gambar 6.35 G1 isomorfik dengan G2, tetapi G1 tidak isomorfik dengan G3

3

4

1 2

d c

a b

v w

x y



23

(a)

(b)

Gambar 6.38 (a) Dua buah graf isomorfik, (b) tiga buah graf isomorfik



24

Dari definisi graf isomorfik dapat dikemukakan bahwa dua buah graf isomorfikmemenuhi ketiga syarat berikut [DEO74]:

1. Mempunyai jumlah simpul yang sama.

2. Mempunyai jumlah sisi yang sama3. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu

Namun, ketiga syarat ini ternyata belum cukup menjamin. Pemeriksaan secara

visual perlu dilakukan.

(a) (b)

x

u

v

w

y



Dalam graf a, satu-satunya titik yang berderajat 3 adalah titik x. Titik x dihubungkan dengan 2 titik lain yang berderajat 1(titik y dan z).

Sebaliknya, dalam Graf b, satu-satunya titik yang berderajat 3adalah y. Satu-satunya titik berderajat 1 yang dihubungkandengan y hanyalah titik w, sehingga G tidak mungkin isomorfisdengan G’ .

25

x

u

v

w

y



26

Latihan Apakah pasangan graf di bawah iniisomorfik?

a b

cd

e f

p q

r s

t u



27

LatihanGambarkan 2 buah graf yang isomorfikdengan graf teratur berderajat 3 yang

mempunyai 8 buah simpul



28

Jawaban:



29

Lintasan dan Sirkuit Euler Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di

dalam graf tepat satu kali.

Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu

kali.

Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler ( Eulerian

graph). Graf yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga grasemi-Euler ( semi-Eulerian graph).

Contoh



30

Contoh.Lintasan Euler pada graf (a) : 3, 1, 2, 3, 4, 1

Lintasan Euler pada graf (b) : 1, 2, 4, 6, 2, 3, 6, 5, 1, 3

Sirkuit Euler pada graf (c) : 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, 1

Sirkuit Euler pada graf (d) : a, c, f , e, c, b, d , e, a, d , f , b, a Graf (e) dan (f) tidak mempunyai lintasan maupun sirkuit Euler

(a) dan (b) graf semi-Euler(c) dan (d) graf Euler

(e) dan (f) bukan graf semi-Euler atau graf Euler

12

3 4

1 2

3

4

5 6

1

2 3

4

5

6 7

a

b

e

d

c

f

ba

c d

1 2

3

4 5 e

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)



31

TEOREMA. Graf tidak berarah memiliki lintasanEuler jika (graf semi-Euler) dan hanya jika terhubungdan memiliki dua buah simpul berderajat ganjil atau

tidak ada simpul berderajat ganjil sama sekali.

TEOREMA. Graf tidak berarah G adalah graf Euler

(memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiapsimpul berderajat genap.



32

TEOREMA. (a) Graf berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika

G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluarsama.

(b) G memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiapsimpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama kecuali dua simpul,

yang pertama memiliki derajat-keluar satu lebih besar derajat-masuk, danyang kedua memiliki derajat-masuk satu lebih besar dari derajat-keluar.

Gambar (a) Graf berarah Euler (a, g , c, b, g , e, d , f , a)

(b) Graf berarah semi-Euler (d , a, b, d , c, b)(c) Graf berarah bukan Euler maupun semi-Euler

a

b

c

d e

f g

a b

c d

a b

c d

(a) (b) (c)



Latihan

Manakah di antara graf di bawah ini yang dapatdilukis tanpa mengangkat pensil sekalipun?

materi mata kuliah teori graph2(20 feb)

Documents