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Matemática

FUNÇÃO de 1° GRAU

Professor Dudan

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma : onde a e b são números reais dados e a ≠ 0. Seu gráfico é sempre uma reta. a → Coeficiente angular, Parâmetro angular, Inclinação ou Declividade. b → Coeficiente linear, Parâmetro linear ou Termo Independente.

Função de 1° Grau

b ax f(x) +=

ATENÇÃO O coeficiente linear b é o ponto de intersecção do eixo y. O coeficiente angular a não é o ponto de intersecção do eixo x.


Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = -3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = -7 f(x) = -x, onde a = -1 e b = 0


Exemplo Sendo f(x) = -4x + 10, determine: a) f(3) b) f(0) c) f(x) = 2 d) f(x) = 0


COEFICIENTE ANGULAR a > 0 a < 0 Reta CRESCENTE Reta DECRESCENTE


COEFICIENTE LINEAR b > 0 b < 0 b = 0


Exemplo Assinale as leis de formação das funções abaixo: ( ) f(x) = -3/2 x ( ) f(x) = -3x +2 ( ) f(x) = -3/2 x +2 ( ) f(x) = 2x -3 ( ) f(x) = -3x +2 ( ) f(x) = 2x -1 ( ) f(x) = -2x + 3 ( ) f(x) = x - 2 ( ) f(x) = -2/3x ( ) f(x) = 2x -2


Exemplo Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8. Portanto, o valor de f(10) é: a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20


Exemplo Considere a tabela a seguir, que apresenta dados sobre as funções g, h, k, m, f. A função cujo gráfico está sobre uma mesma reta é a) g b) h c) k d) m e) f


Exemplo A tabela a seguir, obtida a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção. Se mantida, nos anos subseqüentes, a tendência linear de crescimento mostrada na tabela, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a: a) 461 b) 498 c) 535 d) 572 e) n.d.a.


Exemplo Em fevereiro, o governo da Cidade do México, metrópole com uma das maiores frotas de automóveis do mundo, passou a oferecer à população bicicletas como opção de transporte. Por uma anuidade de 24 dólares, os usuários têm direito a 30 minutos de uso livre por dia. O ciclista pode retirar em uma estação e devolver em qualquer outra e, se quiser estender a pedalada, paga 3 dólares por hora. A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da bicicleta por um ano, quando se utilizam x horas extras nesse período é a) f(x) = 3x b) f(x) = 24 c) f(x) = 27 d) f(x) = 3x + 24 e) f(x) = 24x + 3


Exemplo Em uma experiência realizada na aula de Biologia, um grupo de alunos mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Plotando os pontos (t,a), em que t corresponde ao tempo em dias, e a corresponde à altura da planta em centímetros, os alunos obtiveram a figura a seguir. Se essa relação entre tempo e altura da planta for mantida, estima-se que, no 34º dia, a planta tenha, aproximadamente, a) 10 cm. b) 6 cm. c) 8 cm. d) 5 cm. e) 7 cm.


Exemplo O valor de um caminhão do tipo A novo é de R$ 90.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$50.000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma função linear, o valor de um caminhão do tipo A, com 2 anos de uso, em reais, é de a) 40.000,00 b) 50.000,00 c) 60.000,00 d) 70.000,00 e) 80.000,00


Matemática

EQUAÇÃO DE 2° GRAU

Professor Dudan

A equação de 2° grau é a equação na forma ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e x é a variável (incógnita). O valor da incógnita x é determinado pela fórmula de Bháskara. Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes. “a” é sempre o coeficiente de x²; “b” é sempre o coeficiente de x, “c” é o coeficiente ou termo independente.

Equação de 2° grau

Assim: x² - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. 6x² - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c =-1 7x² - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0. x² - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.


Equação Coeficientes

a b c

6x² - 3x + 1= 0

-3x² - 5/2+4x = 0

2x² - 8 =0

6x² - 3x =0

Complete o quadro conforme os exemplos:


RESOLUÇÃO 1 – COMPLETAS Para solucionar equações do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bháskara. Onde a, b e c são os coeficientes (números) encontrados na equação.


Exemplo Resolução a equação 7x² + 13x -2 = 0.


Vale ressaltar que de acordo com o discriminante, temos três casos a considerar: 1º Caso: O discriminante é positivo , ∆ > 0, então a equação tem duas raízes reais diferentes. 2º Caso: O discriminante é nulo , ∆=0, então a equação tem duas raízes reais e iguais. 3º Caso: O discriminante é negativo , ∆<0 ,então não há raízes reias.


Atenção! A raiz (ou zero da função) é(são) o(s) valor(es) da incógnita x que zeram a equação. Exemplos I) As raízes de x² - 6x + 8 = 0 são x1 = 2 e x2 = 4 pois (2)² - 6(2) +8 =0 e (4)² - 6(4) +8 =0 II) As raízes de x² + 6x + 9 = 0 são x1 = x2 = -3 pois (-3)² +6(-3) +9 =0


RESOLUÇÃO 2 – INCOMPLETAS Na resolução das incompletas não é necessário resolver por Bháskara, basta usar os métodos específicos que variam de acordo com o tipo de incompleta: incompleta sem o termo com “x” ou a incompleta sem o termo independente.


Encontre as raízes das equações abaixo: a) x² - 4x = 0


b) x² - 36 = 0


SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES

A soma e o produto das raízes da função quadrática são dados pelas fórmulas:


Exemplo Determine a soma e o produto das raízes das equações: a) x² – 7x – 9 = 0 b) -4x² + 6x = 0 c) 3x² - 10 = 0


Exemplo O número -3 é a raíz da equação x2 - 7x - 2c = 0. Nessas condições, o valor do coeficiente c é. a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

Exemplo O produto das raízes reais da equação 4x² - 14x + 6 = 0 é igual a) -3/2 b) -1/2 c) 1/2 d) 3/2 e) 5/2

Exemplo A maior raiz da equação -2x² + 3x + 5 = 0 vale: a) -1 b) 1 c) 2 d) 2,5 e) (3 + )/4

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Exemplo O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha há 20 anos é igual a 2000. Assim minha idade atual é. a) 41 b) 42 c) 43 d) 44 e) 45

Exemplo Considere as seguintes equações: I. x² + 4 = 0 II. x² - 2 = 0 III. 0,3x = 0,1 Sobre as soluções dessas equações é verdade que em a) II são números irracionais. b) III é número irracional. c) I e II são números reais. d) I e III são números não reais. e) II e III são números racionais.

Matemática

FUNÇÃO de 2° GRAU

Professor Dudan

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva chamada parábola.


cbx ax² f(x) ++=

Exemplos de função quadráticas: f(x) = 3x² - 4x + 1, onde a = 3, b = -4 e c = 1 f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 f(x) = - x² + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 f(x) = -4x², onde a = -4, b = 0 e c = 0


Representação gráfica Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que: concavidade voltada para cima concavidade voltada para baixo


Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente “c” na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o corta.


A análise do coeficiente "b" pode ser orientada pela analise de uma reta “imaginária” que passa pelo “c” e pelo vértice. Assim: Nos exemplos acima se a reta “imaginária” for crescente, b > 0 caso contrário b < 0 e no caso em que o vértice e o “c” coincidem, teremos b = 0 e uma simetria em relação ao eixo Y.


Atenção! A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante: Se Δ > 0, Se Δ = 0, Se Δ < 0, há duas raízes há duas raízes reais não há raiz real. reais e distintas; e iguais;


Complete as lacunas:


Exemplo Determine o valor de K para que a função f(x) = x² - kx + 9 tenha raízes reais e iguais.


Zero ou Raiz da Função Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Para determinar as raízes, aplica-se a chamada fórmula de Bhaskara:

4.a.c-b² sendo 2a

4.a.c-b²b-x =∆±

= ,


SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES

A soma e o produto das raízes da função quadrática são dados pelas fórmulas:


VÉRTICE da PARÁBOLA O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos, observe: Para determinar o ponto de máximo (quando a < 0) ou ponto de mínimo (quando a > 0):


COORDENADAS DO VÉRTICE Atenção: Xv é o ponto médio das raízes reais.

) ,( vv yxVa2

bxv −=

a4yv

∆−=


Exemplo Determine o vértice da parábola f(x) = 2x² - 8x + 5.


Exemplo A expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado, é: (A) f(x) = –2x2 – 2x + 4. (B) f(x) = x2 + 2x – 4. (C) f(x) = x2 + x – 2. (D) f(x) = 2x2 + 2x – 4. (E) f(x) = 2x2 + 2x – 2.


Exemplo Baseado no gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, e c , pode-se afirmar que:


Exemplo A função f(x) = Ax2 + Bx + C, A 0 tem como gráfico a figura abaixo. Podemos então concluir que:


Exemplo Na parábola y = 2x² - (m - 3)x + 5, o vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é: (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7


FUNÇÕES

COMO A FUNDATEC

COBRA ISSO?

Uma loja de eletrônicos remunera os seus vendedores, com um salário fixo de R$1200,00mais 2% de comissão sobre suas vendas. O valor Y referente ao salário de cada, em função do valor X vendido durante o mês pode ser expresso por: a) Y = 1200x +0,2 b) Y = 1200X +2 c) Y = 2x + 1200 d) Y = 0,2X +1200 e) Y = 0,02X + 1200

POLICIA MILITAR/RS - 2014

Qual das alternativas apresenta o sistema de equações lineares e a solução que tem a interpretação geométrica na imagem abaixo? A) { y + 2x = 15 3x-y= -4 cuja solução é única x=3.8 e y = − 7.4 B) { y- 2x = 15 3x+y= 4 cuja solução é única x=3.8 e y = 7.4 C) { y + 2x =- 15 3x-y= 4 cuja solução é única x= − 3.8 e y = 7.4 D) { y + 2x = 15 3x-y= 4 cuja solução é única x=3.8 e y = 7.4 E) { y + 2x = 15 3x-y=- 4 cuja solução é única x=3.8 e y = 7

PREF DE TORRES - 2016

A alternativa que representa o gráfico da função y = f(x) = x² + 3x - 2 é:

BRDE - 2015

Um objeto lançado ao ar desenvolve uma trajetória descrita por y = - 3x² - 3x + 9, onde y é a altura em metros. Qual foi a altura máxima, em metros, atingida por esse objeto? a) 6,25. b) 7,50. c) 8,25. d) 9,75. e) 10,00.

PREF DE TORRES - 2016

O gráfico na imagem abaixo representa a função g(x) : R→ R, definida por: a) g(x) = x² +x + 2 b) g(x) = x + 2 c) g(x) = x² + x - 2 d) g(x) = -x² + x + 2 e) g(x) = - x² + x - 2

BRDE - 2015

Analisando a função de segundo grau y=f(x) = -x² + 6x -5 , um indivíduo fez as seguintes afirmações: I. A imagem da função é [4,+∞). II. A função é crescente para todo x<3. III. A função é decrescente para todo x<4. IV. A função é nula quando x=1 e x=5. V. A função é positiva quando 1<x<5. Quais estão corretas? a) Apenas II. b) Apenas II e III. c) Apenas II, IV e V. d) Apenas I, III, IV. e) I, II, III, IV e V.

PREF DE FOZ DO IGUAÇU/PR - 2016

GABARITOS Questões FUNDATECE : E-D-D-D-C-C

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