matemática exercícios de aprendizagem (revisão 1)

Matemática

Exercícios de aprendizagem (revisão 1)

Professor Luiz Amaral

1. (Uerj 2018) A sequência n(a ) é definida do seguinte modo:

1

n 1 n

a 5

a a 3

Determine a média aritmética dos 51 primeiros termos dessa sequência.

2. (G1 - ifal 2018) Determine o 2017º termo da Progressão Aritmética

cujo 1º termo é 4 e cuja razão é 2.

a) 4.032.

b) 4.034.

c) 4.036.

d) 4.038.

e) 4.040.

3. (G1 - ifal 2016) Em uma apresentação circense, forma-se uma pirâmide

humana com uma pessoa no topo sustentada por duas outras que são

sustentadas por mais três e assim sucessivamente. Quantas pessoas são necessárias para formar uma pirâmide com oito filas de pessoas, da base

ao topo? a) 8.

b) 16.

c) 28.

d) 36.

e) 45.

4. (Uece 2016) Atente à seguinte disposição de números inteiros positivos:

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 . . . .

. . . . .

Ao dispormos os números inteiros positivos nessa forma, chamaremos de linha os números dispostos na horizontal. Por exemplo, a terceira linha é

formada pelos números 11, 12, 13, 14 e 15. Nessa condição, a

soma dos números que estão na linha que contém o número 374 é

a) 1.840.

b) 1.865.

c) 1.885.

d) 1.890.

5. (Upe-ssa 2 2016) Brincando de construir sequências numéricas, Marta

descobriu que em uma determinada progressão aritmética, a soma dos cinquenta primeiros termos é 50S 2.550. Se o primeiro termo dessa

progressão é 1a 2, qual o valor que ela irá encontrar fazendo a soma

27 12S S ?

a) 312

b) 356

c) 410

d) 756

e) 912

6. (G1 - ifce 2016) Numa progressão aritmética de razão 3, o sexto termo

vale 54. O septuagésimo sexto termo dessa sequência é o número

a) 284.

b) 264.

c) 318.

d) 162.

e) 228.

7. (G1 - ifal 2016) Considere que o número de países que passaram a

participar dos Jogos Olímpicos em um dado período de tempo obedeça à seguinte sequência 11, a, 29( , b, 47), que é uma progressão

aritmética, então a soma a b é igual a

a) 49.

b) 58.

c) 67.

d) 76.

e) 85.

8. (Ucs 2015) Uma fábrica fornece, a um supermercado, 1.000 unidades

de seu produto por R$ 3.000,00. Para cada mil unidades adicionais,

ela cobra R$ 200,00 a menos do que cobrou do milhar precedente.

Dessa forma, para adquirir 8.000 unidades, o valor que o supermercado

deverá pagar será a) R$ 12.600,00.

b) R$ 19.200,00.

c) R$ 18.400,00.

d) R$ 25.400,00.

e) R$ 26.100,00.

9. (Unisc 2015) A quantidade de números pares existentes entre 18 e

272 é

a) 124. b) 125.

c) 126.

d) 127. e) 128.

10. (Upe 2015) Uma campanha entre microempresas, para ajudar o Hospital do Cāncer, arrecadou R$16.500,00. A primeira

microempresa, a menor entre elas, doou a quantia de R$350,00; a

segunda doou R$50,00 a mais que a primeira, e cada uma das

microempresas seguintes doou R$50,00 a mais que a anterior.

Quantas microempresas participaram dessa campanha? a) 08

b) 11

c) 15

d) 20

e) 35

11. (G1 - ifsul 2016) Um maratonista registrou os seus tempos, em

segundos, para um mesmo percurso, durante 1 semana, que foram: (20,18,16,14,12,10, 8).

Essa sequência numérica representa uma progressão de que tipo?

a) Geométrica crescente. b) Geométrica decrescente.

c) Aritmética crescente. d) Aritmética decrescente.

12. (Eear 2016) Quatro números estão dispostos de forma tal que

constituem uma PG finita. O terceiro termo é igual a 50 e a razão é igual

a 5. Desta maneira, o produto de 1 4a a vale

a) 10

b) 250

c) 500

d) 1.250

13. (Ufjf-pism 2 2015) Considere a igualdade:

a 2a 3a

1 3 5 1798.100.

2 2 2

O valor de a que satisfaz a igualdade pertence ao intervalo:

a) [ 2, 3]

b) [0, 5]

c) [2, 5]

d) [ 5, 3]

e) 1

, 22

14. (Unisc 2015) Há um ano foi iniciada uma criação de coelhos. Durante

este período o número de coelhos dobrou a cada 4 meses. O criador decidiu vender parte dos coelhos e ficar exatamente com a quantidade

inicial da criação. Para que isso ocorra, a porcentagem da população atual dessa criação a ser vendida é

a) 70%

b) 75%

c) 80%

d) 83,33%

e) 87,5%

15. (Pucrs 2015) O resultado da adição indicada

0,001 0,000001 0,000000001 é

a) 1

9

b) 1

10

c) 1

99

d) 1

100

e) 1

999

16. (Insper 2015) Para percorrer 1km, o jovem Zeno adota a estratégia

de dividir seu movimento em várias etapas, percorrendo, em cada etapa,

metade da distância que ainda falta até o ponto de chegada. A tabela mostra a distância percorrida por ele em cada etapa.

Etapa Distância percorrida (km)

1 1

2

2 1

4

3 1

8

n n

1

2

Ao final da etapa n, a distância total percorrida por Zeno será igual a

a) n

n

2 1.

2

b) n

n

2 1.

2

c) n

n.

2

d) n

2n 1.

2

e) n

2n 1.

2

17. (Pucrj 2014) A Copa do Mundo, dividida em cinco fases, é disputada por

32 times. Em cada fase, só metade dos times se mantém na disputa pelo

título final. Com o mesmo critério em vigor, uma competição com 64 times iria necessitar de quantas fases?

a) 5 b) 6

c) 7 d) 8

e) 9

18. (Espm 2013) Para que a sequência ( 9, 5,3) se transforme numa

progressão geométrica, devemos somar a cada um dos seus termos um certo número. Esse número é:

a) par

b) quadrado perfeito c) primo

d) maior que 15

e) não inteiro

19. (Ufrgs 2013) A sequência representada, na figura abaixo, é formada

por infinitos triângulos equiláteros. O lado do primeiro triângulo mede 1, e

a medida do lado de cada um dos outros triângulos é 2

3 da medida do lado

do triângulo imediatamente anterior.

A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é

a) 9.

b) 12.

c) 15.

d) 18.

e) 21.

20. (Ulbra 2012) João percebeu que, ao abrir a torneira ligada ao

reservatório de água, por 5 minutos, o volume diminuía para 1/5 da sua capacidade remanescente. Depois de 20 minutos com a torneira aberta, o

volume do reservatório era de 0,12 m3. Qual é a capacidade total da caixa d’água?

a) 15 000 litros.

b) 50 000 litros. c) 30 000 litros.

d) 75 000 litros. e) 60 000 litros.

21. (Unicamp 2018) A figura abaixo exibe um setor circular dividido em

duas regiões de mesma área. A razão a

b é igual a

a) 3 1.

b) 2 1.

c) 3.

d) 2.

22. (Unesp 2018) A figura indica um trapézio ABCD no plano

cartesiano.

A área desse trapézio, na unidade quadrada definida pelos eixos coordenados, é igual a

a) 160.

b) 175.

c) 180.

d) 170.

e) 155.

23. (Feevale 2017) Supondo que, na praça representada pela figura a

seguir, houve uma manifestação e que, para calcular o número de pessoas presentes, foi utilizado o número de quatro pessoas por metro quadrado

ocupado, determine o número de pessoas presentes no ato, considerando

que no lago não havia ninguém, mas o restante da praça estava ocupado.

a) 640 pessoas.

b) 1.240 pessoas.

c) 4.200 pessoas.

d) 4.800 pessoas.

e) 6.000 pessoas.

24. (Usf 2017) Na figura a seguir, ABCD é um quadrado, BEF é um

triângulo e AF CE. Sabendo que a medida do segmento AF é

12 cm e que AB BE, calcule a medida do segmento EF de modo

que a área do triângulo seja a metade da área do quadrado.

25. (Ufjf-pism 1 2017) Marcos comprou a quantidade mínima de piso para colocar em toda a sua sala que tem o formato abaixo e pagou R$ 48,00

o metro quadrado.

Quanto ele gastou comprando o piso para essa sala? a) R$ 288,00

b) R$ 672,00

c) R$ 1.152,00

d) R$ 1.440,00

e) R$ 2.304,00

26. (G1 - ifsul 2017) O ano de 2016 ficará marcado na história do Brasil

pelo fato de o Rio de Janeiro ter sediado o maior evento esportivo do mundo: as Olimpíadas.

Aproveitando o tema, um grupo de estudantes construiu os 5 anéis

olímpicos, conforme figura, reaproveitando mangueiras usadas. Cada aro construído mede 80 cm de diâmetro.

Considerando os dados acima, a medida, em metros, do total de mangueiras utilizadas nesse trabalho, é

a) 2 .π

b) 4 .π

c) 8 .π

d) 16 .π

27. (Unisinos 2017) Considerando o círculo de raio 4 cm, qual a área, em

2cm , do setor circular determinado pelos pontos A, B e C, sabendo-

se que CÂB 60 ?

a) 4π

b) 2π

c) 8

3

π

d) 4

3

π

e) 2

3

π

28. (Eear 2017)

Na figura, O é o centro do semicírculo de raio r 2 cm. Se A, B e

C são pontos do semicírculo e vértices do triângulo isósceles, a área

hachurada é _____ cm². (Use 3,14)π

a) 2,26

b) 2,28

c) 7,54

d) 7,56

29. (Fgv 2016) O triângulo ABC possui medidas conforme indica a figura

a seguir.

A área desse triângulo, em 2cm , é igual a

a) 8.

b) 6 2.

c) 4 6.

d) 10.

e) 6 6.

30. (Uece 2016) Ao aumentarmos em 20% a medida do raio de um

círculo, sua área sofrerá um aumento de a) 36%.

b) 40%.

c) 44%.

d) 52%.

31. (G1 - ifsul 2016) Segundo historiadores, o c醠culo de 醨eas ? uma pr

醫ica muito antiga. Os primeiros desses c醠culos foram realizados no

Egito, muitos anos atr醩. Naquela 閜oca, os agricultores se deparavam

com o problema de dividir as terras que n鉶 estavam inundadas pelas

cheias do rio Nilo, bem como, com problemas de demarca玢o de divisas,

em virtude das altas taxas de impostos. Os registros desses c醠culos est

鉶 no papiro de Rhind, documento matem醫ico muito antigo, que mostra

os problemas pr醫icos de matem醫ica do Egito antigo.

Na figura abaixo, temos dois quadrados do mesmo tamanho sobrepostos a

um c韗culo de raio 3 cm.

Qual ? a 醨ea da parte sombreada?

a) 28( 1)cmπ

b) 26(2 1)cmπ

c) 29 25cmπ

d) 29( 2)cmπ

32. (Ufjf-pism 1 2016) No retângulo ABCD a seguir, tem-se que E e F

são os pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente.

A razão entre as áreas do triângulo DEF e do retângulo ABCD é

a) 2

5

b) 3

8

c) 1

2

d) 5

8

e) 3

4

33. (Pucrj 2016) Um retângulo de lados 3 cm e 4 cm está inscrito em

um círculo C.

Quanto vale, em 2cm , a área deste círculo?

a) 22

3π

b) 25

4π

c) π

d) 9π

e) 25π

34. (G1 - ifal 2016) Deseja-se determinar a área de um trapézio, cuja base

maior mede 1 metro a mais que a altura, e a base menor 1 metro a

menos que a altura. Sabendo que a altura desse trapézio mede 4 metros, qual é, em metros quadrados, a área desse trapézio?

a) 10.

b) 16.

c) 20.

d) 25.

e) 30.

35. (G1 - cftmg 2016) Uma padaria produz e monta pizzas redondas cada uma com 40 cm de diâmetro e vende-as por R$ 30,00 o quilo. Por

experiências anteriores, sabe-se que a cada 2cm da área da superfície

de cada pizza tem-se, em média, um peso de 1,5 gramas.

Utilizando-se essa relação, o valor pago por cada pizza é, em média,

aproximadamente,

Observação: Considerar 3.π

a) R$ 25,00.

b) R$ 30,00.

c) R$ 46,00.

d) R$ 54,00.

36. (Pucrs 2015) Em um ginásio de esportes, uma quadra retangular está situada no interior de uma pista de corridas circular, como mostra a

figura.

A área interior à pista, excedente à da quadra retangular, em 2m , é

a) 50 48π

b) 25 48π

c) 25 24π

d) 25

242π

e) 10 30π

37. (G1 - ifsul 2016) Os números que expressam o raio de uma

circunferência, seu perímetro e a área do círculo delimitado por tal circunferência estão, nessa ordem, em progressão geométrica.

Qual é o raio da circunferência?

a) 2

b) 4 c) 2π

d) 4π

38. (Enem PPL 2016) Um ciclista A usou uma bicicleta com rodas com diâmetros medindo 60 cm e percorreu, com ela, 10 km. Um ciclista B

usou outra bicicleta com rodas cujos diâmetros mediam 40 cm e

percorreu, com ela, 5 km.

Considere 3,14 como aproximação para .π

A relação entre o número de voltas efetuadas pelas rodas da bicicleta do ciclista A e o número de voltas efetuadas pelas rodas da bicicleta do

ciclista B é dada por

a) 1

2

b) 2

3

c) 3

4

d) 4

3

e) 3

2

39. (Enem PPL 2016) Tradicionalmente uma pizza média de formato circular tem diâmetro de 30 cm e é dividida em 8 fatias iguais (mesma

área). Uma família, ao se reunir para o jantar, fará uma pizza de formato

circular e pretende dividi-la em 10 fatias também iguais. Entretanto, eles

desejam que cada fatia dessa pizza tenha o mesmo tamanho (mesma área)

de cada fatia da pizza média quando dividida em 8 fatias iguais.

Qual o valor mais próximo do raio com que deve ser feita a pizza, em

centímetro, para que eles consigam dividi-Ia da forma pretendida?

Use 2,2 como aproximação para 5.

a) 15,00

b) 16,50

c) 18,75

d) 33,00

e) 37,50

40. (G1 - ifsul 2016) Em um círculo de raio 10 cm, houve um acréscimo

em sua área inicial de 44%. Sendo a nova área do círculo de 2144 cm ,π o acréscimo do raio corresponderá a

a) 10%

b) 20%

c) 22%

d) 44%

41. (Eear 2016) Um carrinho de brinquedo que corre em uma pista circular completa 8 voltas, percorrendo um total de 48 m.

Desprezando a largura da pista e considerando 3,π o seu raio é, em

metros, igual a

a) 0,8

b) 1,0

c) 1,2

d) 2,0

42. (Eear 2017) Ao somar o número de diagonais e o número de lados de

um dodecágono obtém-se

a) 66

b) 56

c) 44 d) 42

43. (G1 - ifal 2016) Na figura a seguir, calcule o ângulo .α

Dica: Use o resultado do ângulo externo de um triângulo. a) 30 .

b) 33 .

c) 37 .

d) 38 .

e) 42 .

44. (G1 - cp2 2016) A figura a seguir mostra um polígono regular de 14

lados e todas as suas diagonais:

O número de diagonais traçadas é de a) 77.

b) 79.

c) 80.

d) 98.

45. (G1 - ifce 2016) Um hexágono convexo possui três ângulos internos retos e outros três que medem y graus cada. O valor de y é

a) 135.

b) 150.

c) 120.

d) 60.

e) 30.

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:

Para responder à(s) questão(ões), leia o seguinte texto:

A palavra polígono tem origem no grego e significa ter muitos lados ou ângulos. Eles foram estudados pelo grande Geômetra Euclides de

Alexandria em sua obra Os elementos.

46. (G1 - ifsul 2016) Quantos lados têm um polígono cujo número total de

diagonais é igual ao quádruplo do seu número de vértices?

a) 10

b) 11 c) 13

d) 9

47. (G1 - ifsul 2016) Quantos lados têm um polígono cuja soma dos ângulos

internos e externos é 1980 ?

a) 8

b) 11

c) 13

d) 17

48. (G1 - cftrj 2013) Manuela desenha os seis vértices de um hexágono

regular (figura abaixo) e une alguns dos seis pontos com segmentos de

reta para obter uma figura geométrica. Essa figura não é seguramente um

a) retângulo

b) trapézio c) quadrado

d) triângulo equilátero

49. (G1 - ifsp 2016) Ana estava participando de uma gincana na escola em

que estuda e uma das questões que ela tinha de responder era “quanto vale a soma das medidas dos ângulos internos do polígono regular da

figura?”

Para responder a essa pergunta, ela lembrou que seu professor ensinou

que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, e que todo polígono pode ser decomposto em um número mínimo de

triângulos. Sendo assim, Ana respondeu corretamente à pergunta dizendo: a) 720

b) 900

c) 540

d) 1.080

e) 630

50. (Uepg 2014) O polígono regular 1P tem n lados e o polígono regular

2P tem n 2 lados. Se o ângulo externo de 1P excede o ângulo externo

de 2P em 15 , assinale o que for correto.

01) O polígono 2P é um octógono.

02) Cada ângulo interno de 2P vale 120 .

04) O número de diagonais de 1P é 12.

08) O número de diagonais de 2P é 20.

16) A soma dos ângulos internos de 1P é 540 .

51. (G1 - ifal 2016) Julgue as afirmativas abaixo e assinale a alternativa

correta.

I. Todo paralelogramo é losango. II. Se um quadrilátero tem todos os lados com a mesma medida, então

esse quadrilátero é um quadrado. III. As diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si.

a) Só I é verdadeira. b) Só II é verdadeira. c) Sσ III ι verdadeira.

d) I e III são verdadeiras. e) II e III são verdadeiras.

52. (Uerj 2018) Segundo historiadores da matemática, a análise de

padrões como os ilustrados a seguir possibilitou a descoberta das triplas

pitagóricas.

Observe que os números inteiros 2 23 , 4 e 25 , representados

respectivamente pelas 2ª, 3ª e 4ª figuras, satisfazem ao Teorema de Pitágoras. Dessa forma (3, 4, 5) é uma tripla pitagórica.

Os quadrados representados pelas 4ª, 11ª e nª figuras determinam outra

tripla pitagórica, sendo o valor de n igual a: a) 10

b) 12 c) 14

d) 16

53. (G1 - ifal 2018) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 13 cm.

Determine o valor da medida do cateto maior sabendo que o cateto menor mede 5 cm.

a) 6 cm.

b) 8 cm.

c) 10 cm.

d) 11cm.

e) 12 cm.

54. (G1 - ifsp 2017) O perímetro de um triângulo é de 36 dm. As

medidas são expressas por três números inteiros e consecutivos. Assinale

a alternativa que apresenta quanto mede o menor lado do triângulo. a) 9 dm.

b) 10 dm.

c) 11dm.

d) 12 dm.

e) 13 dm.

55. (Unisinos 2017) Na figura abaixo, temos que AC 6, BC 8 e os

ângulos ˆACB e ˆCDB são retos.

Com base nessas informações, podemos dizer que as medidas dos segmentos AB e CD são, respectivamente:

a) 10 e 4,8

b) 10 e 4,2

c) 10 e 4

d) 8 e 5

e) 8 e 4

56. (G1 - ifce 2016) Um retângulo cujo comprimento excede a largura em 2 m está inscrito em um círculo de 5 m de raio. A área desse

retângulo, em metros quadrados, vale

a) 56.

b) 35.

c) 48.

d) 50.

e) 64.

57. (G1 - ifce 2016) O triângulo ABC tem lados medindo 8 cm,

10 cm e 16 cm, enquanto o triângulo DEF, semelhante a ABC,

tem perímetro 204 cm. O maior e o menor dos lados de DEF medem,

respectivamente, a) 64 cm e 32 cm.

b) 60 cm e 48 cm.

c) 48 cm e 24 cm.

d) 96 cm e 48 cm.

e) 96 cm e 64 cm.

58. (G1 - ifpe 2016) Um fio foi esticado entre as extremidades de duas torres de transmissão. Sabendo que a torre menor tem 16 m de altura,

a torre maior tem 21m de altura e que a distância entre as duas torres

é de 12 m, qual é o comprimento do fio?

a) 13 m

b) 5 m

c) 37 m

d) 12 m

e) 10 m

59. (G1 - ifal 2016) Um prédio projeta, no chão, uma sombra de 15 metros

de comprimento. Sabendo que, nesse momento, o sol faz um ângulo de

45 com a horizontal, determine a altura desse prédio em metros.

a) 10.

b) 15.

c) 20.

d) 25.

e) 30.

60. (G1 - ifce 2016) Um retângulo inscrito em um círculo de raio 5 cm

tem um dos lados medindo 2 cm a mais que o outro. A área desse

retângulo, em centímetros quadrados, é a) 30.

b) 56.

c) 48.

d) 24. e) 40.

61. (Unesp 2014) Em um plano horizontal encontram-se representadas

uma circunferência e as cordas AC e BD. Nas condições apresentadas na figura, determine o valor de x.

62. (Unicamp 2018) Considere três números inteiros cuja soma é um número ímpar. Entre esses três números, a quantidade de números

ímpares é igual a a) 0 ou 1.

b) 1 ou 2. c) 2 ou 3.

d) 1 ou 3.

63. (G1 - ifal 2018) Sobre a Teoria dos Conjuntos, assinale a alternativa

INCORRETA. Se um número é Natural, ele também é

a) Inteiro. b) Racional.

c) Irracional. d) Real.

e) Complexo.

64. (Uel 2018) Um estudante fez uma pesquisa com um grupo de universitários para obter um panorama a respeito da utilização de três

redes sociais. Ao computar as informações fornecidas pelas pessoas

entrevistadas, constatou que:

- 55 utilizam Snapchat, Instagram e Facebook;

- 70 utilizam Snapchat e Facebook;

- 105 utilizam Snapchat e Instagram;

- 160 utilizam Instagram e Facebook;

- 180 utilizam Snapchat;

- 225 utilizam Instagram;

- 340 utilizam Facebook;

- 85 não utilizam qualquer uma das redes sociais da pesquisa.

A partir dessas informações, quantas pessoas foram entrevistadas?

Justifique sua resposta, apresentando os cálculos realizados na resolução

desta questão.

65. (Uece 2016) Dados os números racionais 3

,7

5

,6

4

9 e

3,

5 a divisão

do menor deles pelo maior é igual a

a) 27

.28

b) 18

.25

c) 18

.35

d) 20

.27

66. (G1 - cftmg 2016) Considere os conjuntos X e Y definidos por

X {x | x é múltiplo de 3} e

Y {y | y é divisor de 84}.

Sobre o conjunto A X Y, é correto afirmar que

a) se n A então ( n) A.

b) o conjunto A possui 4 elementos.

c) o menor elemento do conjunto A é o zero. d) o maior elemento do conjunto A é divisível por 7.

67. (Insper 2015) A fila para entrar em uma balada é encerrada às 21h

e, quem chega exatamente nesse horário, somente consegue entrar às 22 h, tendo que esperar uma hora na fila. No entanto, quem chega mais

cedo espera menos tempo: a cada dois minutos de antecipação em relação às 21h que uma pessoa consegue chegar, ela aguarda um minuto a menos

para conseguir entrar. Se uma pessoa não quiser esperar nem um

segundo na fila, o horário máximo que ela deve chegar é a) 19 h.

b) 19 h15 min.

c) 19 h30 min.

d) 19 h45 min.

e) 20 h.

68. (Pucrs 2015) Em nossos trabalhos com matemática, mantemos um

contato permanente com o conjunto dos números reais, que possui, como subconjuntos, o conjunto dos números naturais, o conjunto

dos números inteiros, o dos números racionais e o dos números

irracionais I . O conjunto dos números reais também pode ser identificado por

a)

b)

c)

d) I

e) I

69. (Uftm 2012) O quadrado mágico multiplicativo indicado na figura é

composto apenas por números inteiros positivos. Nesse quadrado mágico,

o produto dos números de cada linha, de cada coluna e de cada uma das

duas diagonais principais dá sempre o mesmo resultado.

50

2 x

y

10 50

10

z w

Nas condições dadas, x + y + z + w é igual a

a) 56. b) 58.

c) 60. d) 64.

e) 66.

70. (G1 - ifal 2018) Determine o valor da expressão:

y cos ( 3) tg ( 4) sen ( 6).π π π

a) 2. b) 1.

c) 0.

d) 1.

e) 2.

71. (Eear 2017) Seja cossec x sec x

M ,cot gx 1

com

kx , k .

2

π

Utilizando-se as identidades trigonométricas, pode-se considerar M igual

a a) sen x

b) cosx

c) sec x

d) cossec x

72. (Unisinos 2017) As funções seno e cosseno de qualquer ângulo x

satisfazem a seguinte identidade: 2 2sen x cos x 1. Se

cos x 0,5, quais são os possíveis valores do seno deste ângulo x?

Lembre que 2 2sen x (sen x) .

a) 5

2 e

5

2

b) 3

2 e

3

2

c) 1

2 e

1

2

d) 2

2 e

2

2

e) 3

4 e

3

4

73. (Uepg 2016) Um relógio analógico marca duas horas e trinta minutos.

Ao lado deste, um segundo relógio marca um fuso horário diferente: dez horas e trinta minutos. Considerando o menor ângulo formado entre o

ponteiro dos minutos e o ponteiro das horas, em cada um dos relógios, assinale o que for correto.

01) O ângulo no primeiro relógio é menor que 120 .

02) O ângulo no segundo relógio é maior que 140 .

04) No primeiro relógio, o ângulo é maior que no segundo.

08) O módulo da diferença entre os ângulos dos dois relógios é 30 .

74. (Uem-pas 2016) Num experimento, um determinado material de massa

10 g e de calor específico de 0,25 cal g C é colocado em um forno

cuja temperatura é controlada e varia segundo a função

T(t) 120 sen t,2

π em que t é o tempo em minutos e T é a

temperatura em C.

Sobre o experimento, assinale o que for correto.

01) A massa do material e a quantidade de calor que o material troca com o forno são grandezas diretamente proporcionais, mantendo-se fixa a

variação de temperatura. 02) A quantidade de calor que deve ser absorvida por esse material para

que sua temperatura aumente 2 C é de 5 cal.

04) A função T é periódica de período 2 .π

08) A temperatura T ao qual o material está exposto varia de 0 C a

120 C.

16) O gráfico da função T tem amplitude 1

.2

75. (G1 - ifce 2014) Considere um relógio analógico de doze horas. O

ângulo obtuso formado entre os ponteiros que indicam a hora e o minuto,

quando o relógio marca exatamente 5 horas e 20 minutos, é a) 330°.

b) 320°. c) 310°.

d) 300°. e) 290°.

76. (Upf 2014) Dentre as equações abaixo, assinale aquela que tem uma

única solução em , .π π

a) tg 1α

b) sen 0α

c) cos 1α

d) tg 0α

e) cos 2α

77. (Uern 2013) A razão entre o maior e o menor número inteiro que

pertencem ao conjunto imagem da função trigonométrica 2

y 4 2cos x3

π

é

a) 2.

b) 1

.3

c) – 3.

d) 1

.2

78. (Uepb 2013) Sendo f(x) 4cos x 2cosx,2

π

o valor de

7f

4

π

é:

a) 2

b) 2

c) 2

d) – 1

e) 2

2

79. (Ufsm 2013) Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam graves problemas a toda população. Durante o

inverno, a poluição demora mais para se dissipar na atmosfera, favorecendo o surgimento de doenças respiratórias.

Suponha que a função

N x 180 54cos x 16

π

represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado

num Centro de Saúde, com x 1 correspondendo ao mês de janeiro,

x 2, ao mês de fevereiro e assim por diante.

A soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos

meses de janeiro, março, maio e julho é igual a a) 693.

b) 720. c) 747.

d) 774. e) 936.

80. (Pucrs 2013) A figura a seguir representa um esboço do gráfico de

uma função x

y A Bsen ,4

que é muito útil quando se estudam

fenômenos periódicos, como, por exemplo, o movimento de uma mola vibrante. Então, o produto das constantes A e B é

a) 6

b) 10 c) 12

d) 18 e) 50

Gabarito:

Resposta da questão 1:

Como se trata de uma PA de razão 3, então a média de seus termos será

igual a soma do primeiro e do último divididos por 2. Calculando:

1

51

a 5

a 5 51 1 3 155

5 155 160Média 80

2 2


[C]

Calculando:

2017 1

2017

a a 2016 r

a 4 2016 2 4036


[D]

Utilizando os conceitos de progressão aritmética, pode-se escrever:

1

2

8

a 1

a 2

r 1

a 1 (8 1) 1 1 7 8

(1 8) 8S 36 pessoas

2


[B]

É fácil ver que os elementos de cada coluna estão em progressão

aritmética de razão 5. Logo, sendo 374 5 75 1, podemos concluir

que 374 está situado na linha 75, coluna 4.

Portanto, a resposta é 371 372 373 374 375 1.865.


[E]

Tem-se que

1 50 5050

50

a a 2 aS 50 2550 50

2 2

a 100.

Daí, se r é a razão da progressão aritmética, então

1a 49 r 100 r 2.

Portanto, segue que

27 1226 2 11 2

S S 2 27 2 122 2

756 156

912.


[B]

n 1

6 1 1

76

a a n 1 r

a 54 a 6 1 3 a 39

a 39 (76 1) 3 264

Resposta da questão 7: [B]

PA 29 a a 11 a 20

r 29 20 r 9

b 29 9 b 38

a b 58

Resposta da questão 8: [C]

Trata-se de soma de termos de uma PA de razão 200. Assim, pode-se

escrever:

8 8

8 8

a 3000 (8 1) ( 200) a 1600

(3000 1600) 8S S 18400

2


[C]

Seja n a quantidade de números pares entre 18 e 272, considerando a

hipótese exclusive. O resultado pedido corresponde ao número de termos da progressão aritmética (20, 22, , 270).

Logo, segue que

270 20 (n 1) 2 n 126.


[D]

Os valores doados constituem uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 350 e razão 50. Logo, se n é o número de

microempresas que participaram da campanha, então

2(n 1) 5016500 350 n n 13n 660 0

2

n 20.


[D]

Como os termos decrescem de dois em dois temos uma progressão de primeiro termo igual a 20 e razão 2 logo, temos uma progressão

aritmética decrescente.


1 2 4(a , a , 50, a )

Sabemos que 1 4 2a a a 50 e que 250

a 10.5

Logo, 1 4a a 10 50 500.


[A]

Tem-se que

a

a 2a 3a a

a a

a 1 0

1 3 5 179 1 179 28100 90 8100

22 2 2 1 2

1 2 2

2 2

a 1.

Portanto, a [ 2, 3].


[E]

Seja q a quantidade inicial de coelhos. A quantidade de coelhos cresceu

segundo uma progressão geométrica de razão igual a 2. Logo, após 12 meses, a quantidade de coelhos é igual a 8q.

A quantidade a ser vendida corresponde a 8q q 7q coelhos ou

7q100% 87,5%

8q da quantidade atual.


[E]

Lembrando que o limite da soma dos termos de uma progressão geométrica de primeiro termo 1a e razão 1 q 1 é dado por

1a,

1 q temos

3 6 9

3

3

3

0,001 0,000001 0,000000001 10 10 10

10

1 10

1

10 1

1.

999

Resposta da questão 16: [A]

As distâncias percorridas em cada etapa constituem uma progressão

geométrica de primeiro termo igual a 1

2 e razão

1.

2 Portanto, a

distância percorrida após n etapas é dada por

n

n

n n

11

1 1 2 121 .

12 2 212


[B]

O número de times em cada fase corresponde aos termos da progressão geométrica (64, 32, , 2). Logo, sendo n o número de fases pedido,

temos:

n 1

1 n 512 64 2 2 n 6.

2


[C]

Seja x o número procurado.

Temos

2 2 2( 5 x) ( 9 x) (3 x) 25 10x x 27 6x x

x 13,

ou seja, um primo ímpar menor do que 15.


[A]

A soma pedida é igual a

2 4 13 1 3 9.

23 91

3


[D]

Seja V a capacidade da caixa d’água. Supondo que o reservatório encontra-se inicialmente cheio, segue que:

431

V 0,12 V 625 0,12 75 m 75.000 L.5


[B]

Se as áreas são iguais e o ângulo central é , então

2 2 22 2(a b) a a

(a b) 2a 02 2 2

(a b 2a) (a b 2a) 0

a ( 2 1) b

a2 1.

b

θ θ θ


Sendo O a origem e E o ponto 20, 0 , a área do trapézio OBCE

menos a área dos triângulos OAD e DCE será igual a área do trapézio

ABCD. Assim:

OBCE

OAD

DCE

ABCD

(15 9) 20S 240

2

10 3S 15

2

10 9S 45

2

S 240 15 45 180


[C]

Calculando:

ocupada total lago

2total

2lago

2ocupada

S S S

40 60S 30 1500 m

2

30 30S 450 m

2

S 1500 450 1050 m

Nº pessoas 1050 4 4200 pessoas

Resposta da questão 24: Considerando que AB BE x e BF 12 x, temos:

BEF ABCD

2

2 2

2

1S S

2

x (12 x) x

2 2

12x x x

2x 12x 0 x 0 (não convém) ou x 6.

Ou seja, BE 6 e BF 6, considerando o triângulo retângulo BEF,

podemos calcular EF, utilizando o Teorema de Pitágoras. 2 2 2EF 6 6 EF 6 2cm


[D]

Calculando:

2sala AFEB BEDC sala

4 2S S S 4 6 2 S 30 m

2

Custo 30 48 1440 reais


[B]

Sabendo que o comprimento (C) de uma circunferência é dado por

C 2 rπ e que o diâmetro (D) representa o dobro do raio (r) de

cada circunferência, temos: D 2 r

80 2 r r 40 cm.

Logo, o comprimento de cada anel é dado por: C 2 r 2 40

C 80 cm 0,8 m.

π π

π π

Assim, basta multiplicar o comprimento de cada anel pelo número total de

anéis (cinco). Desta maneira: 0,8 5 4 m.π π


[C]

A resposta é dada por

2 260 84 cm .

360 3

ππ


[B]

Desde que ABC está inscrito no semicírculo, temos ABC 90 , ou

seja, o triângulo ABC é retângulo isósceles. Portanto, segue que a

resposta é

2

2

2

1 1 rr AC OB ( 2)

2 2 2

2 1,14

2,28cm .

π π


[A]

Pela fórmula de Heron pode-se calcular:

5 4 65 9 65p

2 2

9 65 9 65 9 65 9 65S 5 4 65

2 2 2 2

9 65 65 1 65 1 9 65S

2 2 2 2

81 65 65 1 16 64S 4 16 64 S 8

4 4 4 4


[C]

Seja r o raio do círculo. Ao aumentarmos a medida de r em 20%,

obtemos um círculo de área 2 2(1,2r) 1,44 r ,π π ou seja, 44%

maior do que a área do círculo de raio r.


[D]

Calculando:

22

cinza círc quadrado cinza

lado quadrado amarelo

r raio círculo 3

2 2r 2 6 3 2

S S S 3 3 2 9 18 S 9 2π π π


[B]

Pondo AB 2x e BC 2y, temos

(DEF) (ABCD) (ADE) (BEF) (CDF)

1 1 12x 2y x 2y x y 2x y

2 2 2

54xy xy

2

3xy.

2

Portanto, a resposta é

3xy

(DEF) 32 .(ABCD) 4xy 8


A diagonal do retângulo corresponde ao diâmetro do círculo. Logo, pelo

Teorema de Pitágoras, concluímos que a diagonal mede 5cm e, portanto,

o resultado é

2

25 25cm .

2 4π π


[B]

Calculando:

h 4

B 1 h 1 4 B 5

b h 1 4 1 b 3

5 3S 4 S 16

2

Resposta da questão 35: [D]

A área da superfície de uma pizza de 40cm é igual a 2

2401.200cm .

2π

Logo, a massa dessa pizza é

1200 1,5 1.800 g 1,8kg. Em consequência, seu preço é dado

por 1,8 30 R$ 54,00.


[B]

O triângulo retângulo definido pelos lados da pista e sua diagonal, é semelhante ao triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5. Logo, o outro lado

da pista mede 8 m.

A área pedida é dada por

2 25 8 6 (25 48) m .π π


[D]

Calculando:

2 21 1 1

22 2

PG a ,a q,a q R,2 R, R

q 2

q 2 R 4 R R 4

π π

π

π π π π π


[D]

Sendo R o raio das rodas da bicicleta, C o comprimento da

circunferência da roda e N o número de voltas dadas na distância

percorrida, pode-se calcular:

A

A A

A

B

B B

B

A

B

60R 30 cm 0,3 m

2

C 2 R 2 3,14 0,3 C 1,884 m

10.000N 5307,86 voltas

1,884

40R 20 cm 0,2 m

2

C 2 R 2 3,14 0,2 C 1,256 m

5.000N 3980,89 voltas

1,256

N 5307,86 41,33333

N 3980,89 3

π

π


[B]

Calculando: 2

pizza 30cm

fatia

10 fatias

2 2

área (15) 225

225área 28,125

8

área 28,125 10 281,25

281,25 R R 281,25 R 16,50 cm

π π

ππ

π π

π π


[B]

Calculando:

1

21

2 22 2 2 2

2 1

1

R 10

S 10 100

S 144 R R 144 R 12

R R 12 10 2Acréscimo do Raio 0,2 20%

R 10 10

π π

π π


[B] 8 2 R 48 16 3 R 48 R 1m.π


[A]

Sabendo que um dodecágono possui doze lados, temos

12 (12 3)

12 66.2


[B]

Calculando:

No triângulo amarelo, tem-se: (180 42) (180 30) (180 x) 360 x 108

No triângulo azul, tem-se: (180 37) (180 38) (180 y) 360 y 105

No triângulo rosa, tem-se: (180 108) (180 105) 180 x 33α


O número d de diagonais de um polígono de 14 lados será dado pela

seguinte relação:

772

31414d


[B]

A soma dos ângulos internos de um hexágono é dada por: S 180 (6 2) 720

Portanto: 3 90 3 y 720 3y 450 y 150


[B]

Calculando:

vértices lados

2lados ladoslados lados lados lados

2lados lados

lados

n n

n (n 3)D 4n n 3n 8n

2

n 11n 0

n 11


[B]

Calculando:

e

i

S 360

S (n 2) 180 1980 360 (n 2) 180

1980 360 180n 360 180n 1980 n 11


[C]

Não será possível construir um quadrado.


[B]

Sendo o polígono da figura um heptágono, a resposta é 180 (7 2) 900 .


01 + 08 = 09.

Sejam 1ea e

2ea , respectivamente, os ângulos externos de 1P e 2P .

Logo, temos

1 2e e

2

360 360a a 15 15

n n 2

n 2n 48 0

n 6.

[01] Correto. Com efeito, já que 2P possui 6 2 8 lados.

[02] Incorreto. Se 2e

360a 45 ,

8

então

2ia 180 45 135 , com

2ia sendo o ângulo interno de

2P .

[04] Incorreto. O número de diagonais de 1P é igual a 6 (6 3)

9.2

[08] Correto. De fato, o número de diagonais de 2P é igual a

8 (8 3)20.

2

[16] Incorreto. A soma dos ângulos internos de 1P é

180 (6 2) 720 .


[C]

[I] Falsa. Um losango é um paralelogramo de lados congruentes. [II] Falsa. Um quadrado deve ter todos os lados com a mesma medida e

todos os ângulos retos. [III] Verdadeira. As diagonais de um quadrado são sempre perpendiculares

entre si.


[B]

Desde que o número representado pela 4ª figura é 25 e o número

representado pela 11ª figura é 212 , podemos concluir, pelo Teorema de

Pitágoras, que 2 2 2 2(n 1) 5 12 (n 1) 169 n 12.


[E]

Considere a situação:

Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

2 2 2

2 2 2

2

2

hip cat cat

13 5 cat

cat 169 25

cat 144

cat 144

cat 12 cm


Sabendo que um triângulo possui três lados temos: 36 11 12 13

Logo, o menor lado é 11dm.


[A]

É fácil ver que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo retângulo

pitagórico de lados 3, 4 e 5. Logo, sua hipotenusa AB mede

5 2 10 e sua altura CD mede 2,4 2 4,8.


[C]

Teremos:

2 22

2 22 2 2 2

2 2

retângulo

2r x x 2

10 x x 2 100 x x 4x 4 2x 4x 96 0

x 8 (não convém)2x 4x 96 0 x 2x 48 0

x 6

S 6 6 2 48

Resposta da questão 57: [D]

Sendo x o maior lado e y o menor lado do triângulo DEF, pode-se

escrever:

ABCp 8 10 16 34

34

204

16 x

x 96

34

204

8 y

y 48


[A]

Considere a ilustração a seguir:

Logo, aplicando teorema de Pitágoras, temos: 2 2 2d (5) (12) d 25 144 d 13m


[B]

Conforme enunciado, tem-se:

Se o ângulo formato é 45 , então o triângulo retângulo terá catetos

iguais e portanto h 15.


[C]

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo assinalado, temos: 2 2 2

2 2

2

2

(x 2) x 10

x 4 x 4 x 100

2x 4 x 96 0

x 2x 48 0

2 196x

2 1

2 14x

2

x 6 ou x 8 (não convém)

x 6 x 2 8

Portanto, a área A do retângulo, em 2cm , será dada por: 2A 6 8 48 cm .


Utilizando a relação entre as cordas, temos:

2 2

2

2x (x 3) x (3x 1)

2x 6x 3x x

x 7x 0

Resolvendo a equação temos: x = 0 (não convém) ou x 7 .


[D]

Sabendo que a soma de dois números inteiros é ímpar se suas paridades

são distintas, a soma de três números inteiros será um número ímpar apenas se tivermos dois pares e um ímpar ou três ímpares.


[C]

Todo número Natural não é apenas Irracional, pois, não pode ser obtida

pela divisão de dois números inteiros.

Resposta da questão 64: Fazendo um diagrama de Venn:

Assim: 60 50 55 15 15 105 165 85 550


Sendo mmc(7, 6, 9, 5) 630, temos 3 270

,7 630

5 525,

6 630

4 280

9 630 e

3 378.

5 630 Portanto, segue que a resposta é igual a

3187 .

5 35

6


[D]

Desde que X {0, 3, 6, 9, } e

Y { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84},

temos A {3, 6,12, 21, 42, 84}. Portanto, se n A, então

( n) A; o conjunto A possui 6 elementos; o menor elemento do

conjunto A é 3 e 84 7 12 é divisível por 7.


[A] Se quem chega às 21h espera 60 minutos, e se a cada dois minutos de

antecipação a pessoa espera um minuto a menos, então, para não esperar nem um segundo, a pessoa deverá chegar 2 60 120min 2 h

antes do horário de fechamento da fila, ou seja, às 21 2 19 h.


[E]

Como os números naturais também podem ser inteiros, e todas as opções

dadas na questão são de união, a única alternativa correta é a que define o conjunto dos números reais como a união dos números racionais e

irracionais ( I ).


[D]

Temos que

x 10

y 2100x 500y 10zw 500w 20z 50xw .

z 50

w 2

Portanto,

x + y + z = 64.


[C]

1 1

y cos ( 3) tg ( 4) sen ( 6) 1 02 2

π π π


ANULADA

Questão anulada no gabarito oficial.

Desde que 1

cossec x ,senx

1

sec xcosx

e cosx

cotgx ,senx

temos

cossec x sec x

Mcotgx 1

1 1

senx cos xcos x

1senx

cos x senx

senxcos xcos x senx

senx

sec x.

Observação: Para 4k 3

x ,4

π com k , a expressão não está

definida.


[B]

Tem-se que

22 21 3

sen x 1 sen x2 4

3senx .

2

Resposta da questão 73: 01 + 08 = 09.

Sejam 1θ e 2,θ respectivamente, os ângulos no primeiro e no segundo

relógios. O deslocamento do ponteiro das horas em 30 minutos é igual a

15 . Desse modo, temos 1 120 15 105θ e

2 120 15 135 .θ

[01] Verdadeira. De fato, pois 1 105 120 .θ

[02] Falsa. Sabemos que 2 135 140 .θ

[04] Falsa. Na verdade, temos 1 2105 135 .θ θ

[08] Verdadeira. Com efeito, já que

1 2| | |105 135 | 30 .θ θ


01 + 02 = 03. [01] Verdadeira. Sejam eQ, m, c e t,Δ respectivamente, a quantidade de

calor trocada, a massa do material, o calor específico do material e a variação de temperatura. Logo, como eQ m c t,Δ segue o

resultado.

[02] Verdadeira. De fato, sendo m 10 g, ec 0,25 cal g C e

t 2 C,Δ vem Q 10 0,25 2 5cal.

[04] Falsa. A função T é periódica de período 2

4.

2

π

π

[08] Falsa. A temperatura T ao qual o material está exposto varia no

intervalo [120 1,120 1] [119,121].

[16] Falsa. O gráfico da função T tem amplitude 121 119

1.2


O ângulo percorrido pelo ponteiro das horas em 20 minutos corresponde

a 20

10 .2

Desse modo, o menor ângulo formado pelos ponteiros dos

minutos e das horas, às 5 horas e 20 minutos, é igual a

30 10 40 . Em consequência, o maior ângulo formado por esses

ponteiros é igual a 360 40 320 .

Observação: Dizemos que um ângulo α é obtuso se 90 180 .α


[C]

É fácil ver que o conjunto solução da equação cos 1α é unitário em

] , ]π π , ou seja, a única solução em ] , ]π π é .α π Todas as

outras equações possuem duas soluções em ] , ],π π exceto

cos 2,α que não possui nenhuma solução em .


[B]

Supondo que a função esteja definida de em , segue-se que a sua

imagem é

Im [ 4 2 ( 1), 4 2 1] [ 6, 2].

Portanto, o resultado é igual a 2 1

.6 3


[C]

Sabendo que cos( x) cosx, temos

7 9 7f 4sen 2cos

4 4 4

4sen 2cos4 4

2sen4

2.

π π π

π π

π


[B]

Sabendo-se que ângulos suplementares têm cossenos simétricos, concluímos que:

2f(1) f(3) f(5) f(7) 4 180 54 cos0 cos cos cos

3 3

720.

π ππ


Lembrando que uma função está bem definida apenas quando são

fornecidos o domínio, o contradomínio e a lei de associação, vamos supor que o domínio seja o conjunto dos números reais, e que o contradomínio seja o intervalo [ 1, 5].

Desse modo, como a imagem da função seno é o intervalo [ 1,1], deve-

se ter

A B[ 1,1] [ 1, 5] [A B, A B] [ 1, 5].

Os únicos valores de A e de B que satisfazem a igualdade são A 2 e

B 3. Por conseguinte, A B 2 3 6.

matemática exercícios de aprendizagem (revisão 1)

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