matematykadyskretna - instytut...

of 32 /32
Matematyka dyskretna Mariusz Żynel 27 lutego 2019 Spis treści 1 Relacje 2 1.1 Własności ................................. 2 1.2 Iloczyn kartezjański ........................... 2 1.3 Relacje ................................... 3 1.4 Własności relacji ............................. 3 1.5 Relacje równoważności i klasy abstrakcji ................ 4 2 Funkcje 7 3 Równoliczność zbiorów 8 4 Indukcja matematyczna 8 4.1 Zasada minimum ............................. 8 4.2 Zasada indukcji .............................. 9 4.3 Zasada indukcji zupełnej ......................... 10 4.4 Zasada maksimum ............................ 10 5 Rekurencja 11 5.1 Ciąg arytmetyczny ............................ 11 5.2 Ciąg geometryczny ............................ 11 5.3 Silnia ................................... 12 5.4 Ciąg Fibonacciego ............................ 12 5.5 Wieże Hanoi ............................... 12 6 Metody zliczania zbiorów i funkcji 13 6.1 Zasada mnożenia ............................. 13 6.2 Zasada dodawania ............................ 14 6.3 Metoda włączania-wyłączania ...................... 14 6.4 Zasada szufladkowa Dirichleta ...................... 15 6.5 Zliczanie funkcji ............................. 16 6.6 Zliczanie podzbiorów ........................... 17 7 Permutacje 17 7.1 Cykle ................................... 18 7.2 Transpozycje ............................... 19 1

Author: phungdang

Post on 28-Feb-2019

220 views

Category:

Documents


0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Matematyka dyskretna

Mariusz ynel

27 lutego 2019

Spis treci

1 Relacje 2

1.1 Wasnoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Iloczyn kartezjaski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Relacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Wasnoci relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Relacje rwnowanoci i klasy abstrakcji . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Funkcje 7

3 Rwnoliczno zbiorw 8

4 Indukcja matematyczna 8

4.1 Zasada minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Zasada indukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.3 Zasada indukcji zupenej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.4 Zasada maksimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Rekurencja 11

5.1 Cig arytmetyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2 Cig geometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.3 Silnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.4 Cig Fibonacciego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.5 Wiee Hanoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6 Metody zliczania zbiorw i funkcji 13

6.1 Zasada mnoenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.2 Zasada dodawania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.3 Metoda wczania-wyczania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.4 Zasada szufladkowa Dirichleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.5 Zliczanie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.6 Zliczanie podzbiorw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7 Permutacje 17

7.1 Cykle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.2 Transpozycje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1

1 Relacje 2

8 Wspczynniki dwumianowe 19

8.1 Trjkt Pascala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218.2 Dwumiany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228.3 Przykady zastosowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

9 Elementy teorii liczb 23

9.1 Podzielno, NWD, NWW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.2 Algorytm Euklidesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249.3 Liczby pierwsze i rozkad na czynniki pierwsze . . . . . . . . . . . . 25

10 Arytmetyka 26

10.1 Rozwizywanie rwna modularnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2610.2 Chiskie twierdzenie o resztach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2710.3 Mae twierdzenie Fermata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2710.4 Twierdzenie Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

11 Teoria grafw 28

11.1 cieki, cykle i drzewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2911.2 Cykle Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3011.3 Cykle Hamiltona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1 Relacje

1.1 Wasnoci

Niech A bdzie niepustym zbiorem. Przez W oznaczmy wasno, ktr mog mieelementy ze zbioru A, natomiast

WA = {a A : a ma wasno W}

bdzie podzbiorem A elementw o wasnoci W . Wasnoci W jednoznacznie od-powiada zbir WA i na odwrt, wybierajc dowolny podzbir elementw ze zbioruA moemy powiedzie, e to wanie one maj pewn wasno nale do tegopodzbioru. Widzimy wzjemnie jednoznaczn zaleno pomidzy wasnoci W azbiorem WA.

Przykad 1.1. Niech A = N, a W niech oznacza podzielno przez 3. Wwczas

WA = {0, 3, 6, 9, . . .}.

1.2 Iloczyn kartezjaski

Niech X,Y bd dowolnymi zbiorami. Iloczyn kartezjaski zbiorw X i Y to zbirpar uporzdkowanych

X Y = {(x, y) : x X, y Y }.

Przykad 1.2. Niech X = {1, 2, 3}, Y = {, }. Wwczas

X Y = {(1, ), (2, ), (3, ), (1, ), (2, ), (3, )}.

1 Relacje 3

1.3 Relacje

Relacja binarna (dwuargumentowa) to podzbir iloczynu kartezjaskiego dwchzbiorw.Jeli wemiemy A = XY , toWA, podobnie jak wyej, oznacza pewn wasno,

a zarazem podzbir, iloczynu kartezjaskiego XY . Ten podzbir, czyli zbir par opewnej wasnoci, to wanie relacja relacja pomidzy pierwsz a drug zmiennw iloczynie kartezjaskim.Poza relacjami standardowymi, ktre maj swoje wasne oznaczenia, relacje zwy-

kle bdziemy oznacza greck liter . Take jeli rozpatrujemy relacj pomidzyelementami zbioru X a elementami zbioru Y , czyli relacj w iloczynie kartezjaskimX Y , to formalnie

X Y.Piszemy

(x, y) i mwimy, e para (x, y) naley do relacji , albo piszemy

x y i wtedy mwimy, e element x jest w relacji z elementem y,

dla x X oraz y Y .Przykad 1.3. Niech X = {1, 4, 5}, Y = {2, 3} oraz

= {(x, y) : x+ y jest liczb parzyst}.Wwczas

X Y = {(1, 2), (4, 2), (5, 2), (1, 3), (4, 3), (5, 3)} oraz = {(4, 2), (1, 3), (5, 3)}.

Mwimy, e relacja X Y jest okrelona na zbiorze X Y . Jeli Y = X,to wwczas X2 i mwimy krtko, e relacja jest okrelona na zbiorze X.

1.4 Wasnoci relacji

Rozwaamy relacj X X dla dowolnego zbioru X.

zwrotno Relacja jest zwrotna, wtw., gdy dla kadego x X zachodzi x x.Innymi sowy, zwrotno relacji oznacza, e kady element jest w relacji zesob.

symetria Relacja jest symetryczna, wtw., gdy dla dowolnych x, y X jeli x y,to y x. Intuicyjnie, symetria relacji oznacza, e moemy zamieni x z yw parze (x, y) o ile w ogle (x, y) . Tak wic kolejno wystpowaniaelementw w relacji nie ma tutaj znaczenia.

antysymetria Relacja jest antysymetryczna, wtw., gdy dla dowolnych x, y Xjeli x y oraz y x, to x = y. Tak wic antysymetria relacji oznacza, ekolejno wystpowania rnych elementw w relacji jest istotna. To znaczy,e dla x 6= y albo x y, albo y x, albo nie zachodzi ani jedno, ani drugie.

przechodnio Relacja jest przechodnia, wtw., gdy dla dowolnych x, y, z Xjeli x y oraz y z, to rwnie x z.

1 Relacje 4

1.5 Relacje rwnowanoci i klasy abstrakcji

Relacja binarna jest relacj rwnowanoci, gdy jest zwrotna, symetryczna i prze-chodnia.

Przykad 1.4. Niech X = zbir wszystkich ludzi (o jasno okrelonej pci). Dlax, y X okrelamy relacj w nastpujcy sposb

x y x jest tej samej pci co y.

zwrotnoZawsze czowiek x jest tej samej pci co x, tzn. x x, wic relacja jest zwrotna.

symetriaJeli czowiek x jest tej samej pci co czowiek y, to rwnie na odwrt, y jesttej samej pci co x. Zatem relacja jest symetryczna.

przechodnioZamy, e czowiek x jest tej samej pci co y oraz, e y jest tej samej pci coz. Wwczas wszyscy x, y i z s tej samej pci, w szczeglnoci x jest tej samejpci co z. Zatem relacja jest przechodnia.

Pokazalimy, e relacja jest relacj rwnowanoci.

Przykad 1.5. NiechX = zbir wszystkich ludzi. Dla x, y X okrelamy relacj w nastpujcy sposb

x y x jest tego samego wzrostu co y.

zwrotnoCzowiek x jest tego samego wzrostu co x, tzn. x x.

symetriaJeli czowiek x jest tego samego wzrostu co y, to rwnie na odwrt, y jesttego samego wzrostu co x.

przechodnioZamy, e czowiek x jest tego samego wzrostu co y oraz, e y jest tegosamego wzrostu co z. Wwczas wszyscy x, y i z s tego samego wzrostu, wszczeglnoci x jest tego samego wzrostu co z.

Tutaj rwnie pokazalimy, e relacja jest relacj rwnowanoci.

Przykad 1.6. NiechX = zbir wszystkich ludzi. Dla x, y X okrelamy relacj w nastpujcy sposb

x y x jest niszy od y.

zwrotnoaden czowiek nie jest niszy od samego siebie, wic ta relacja nie jest zwrot-na.

1 Relacje 5

symetriaJeli czowiek x jest niszy od y, to nie na odwrt, y nie jest niszy od x.Zatem relacja nie jest symetryczna.

przechodnioZamy, e czowiek x jest niszy od y oraz, e y jest niszy od z. Wwczasx jest niszy od z i wida, e relacja jest przechodnia.

Ta relacja nie jest relacj rwnowanoci.

Zauwamy, e w przykadzie 1.4 relacja dzieli wszystkich ludzi na kobiety imczyzn. Formalnie zbir X zosta podzielony na dwa podzbiory: podzbir X1kobiet oraz podzbir X2 mczyzn. Podzbiory te maj dwie istotne wasnoci. Popierwsze X1X2 = , czyli s one rozczne. Po drugie X1X2 = X, czyli w sumiedaj cay zbir X.Mwimy, e rodzina X1,X2, . . . (niekoniecznie skoczona) podzbiorw zbioru X

jest podziaem, gdy X = X1 X2 . . . oraz Xi Xj = dla i 6= j, czyli gdy wsumie daje cay zbir X oraz elementy rodziny s parami rozczne.Mona powiedzie, e w zbiorze X wszystkich, rnych od siebie ludzi wyab-

strachowalimy dwie cechy, ktre powoduj, e cay zbir X rozpada si na dwapodzbiory kobiet i mczyzn. Z punktu widzenia relacji wszystkie kobiety s nie-rozrnialne i wszyscy mczyni s nierozrnialni.W przypadku relacji rwnowanoci mwimy czasem, e x przystaje do y, za-

miast mwi, e x jest w relcji z y. Podkrelamy w ten sposb, e x i y s dla tejrelacji nierozrnialne.Kada relacja rwnowanoci na zbiorze X wyznacza jednoznacznie podzia

zbioru X na parami rozczne podzbiory, ktre w sumie daj X. Podzbiory tenazywamy klasami abstrakcji. Elementy w jednej klasie abstrakcji przystaj do siebie s ze soba w relacji . Elementy z rnych klas abstrakcji nie s w relacji .Zauwamy, e klasa abstrakcji jest jednoznacznie wyznaczona przez dowolny

element z tej klasy. Taki element nazywamy reprezentantem klasy. Dla elementux X klasa abstrakcji wyznaczona przez x to zbir

[x] = {y X : x y}.

Przykad 1.7. Niech X = NN. Dla x = (m1, n1), y = (m2, n2) X okrelamyrelacj w nastpujcy sposb

x y (m1, n1) (m2, n2) m1 + n2 = n1 +m2,

czyli, gdy suma skrajnych zmiennych jest taka sama jak suma zmiennych w rodku.

zwrotnoNiech x = (m,n) X. Oczywicie m + n = n + m bo dodawanie dla liczbnaturalnych jest przemienne. To oznacza, e (m,n) (m,n), czyli x x.

symetriaNiech x = (m1, n1), y = (m2, n2) X. Zamy, e x y, to znaczy, e

1 Relacje 6

m1 + n2 = n1 + m2. Przestawmy skadniki w pierwszej sumie i zamiemystrony rwnoci, dostaniemy m2 + n1 = n2 +m1. Z okrelenia mamy

(m2, n2) (m1, n1),

co oznacza, e y x.

przechodnioNiech teraz x = (m1, n1), y = (m2, n2), z = (m3, n3) X. Zakadamy, e x yoraz y z. Z definicji to daje

m1 + n2 = n1 +m2 oraz m2 + n3 = n2 +m3.

Przeniemy wyrazy o tych samych indeksach na jedn stron w kadej z oburwnoci. Dostajemy

m1 n1 = m2 n2 oraz m2 n2 = m3 n3.

Zauwamy, e zamiast sowa oraz moemy wstawi znak =, czyli

m1 n1 = m3 n3,

co po przestawieniu wyrazw daje

m1 + n3 = n1 +m3.

Ta rwno z okrelenia oznacza, e (m1, n1) (m3, n3), czyli x z.

Relacja jest relacj rwnowanoci. Wyznaczmy teraz kilka klas abstrakcji naszejrelacji :

[(1, 3)] = {(0, 2), (1, 3), (2, 4), . . .}[(1, 2)] = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), . . .}[(2, 1)] = {(1, 0), (2, 1), (3, 2), . . .}

Klasie [(1, 3)] moemy przyporzdkowa liczb 2, klasie [(1, 2)] liczb 1, a klasie[(2, 1)] liczb 1. Oglnie klasie [(m,n)] odpowiada wzajemnie jednoznacznie licz-ba n m, ktra jest liczb cakowit, niekoniecznie naturaln. Inaczej mwic, wzbiorze par liczb naturalnych (m,n) wyabstrachowalimy cech przystawania tychpar, a mianowicie sta rnic zmiennych nm bdc liczb cakowit.

Powyszy przykad to konstrukcja liczb cakowitych na zbiorze liczb natural-nych.

Twierdzenie 1.8. Relacja binarna na zbiorze wyznacza jego podzia, wtw., gdyjest ona relacj rwnowanoci.

2 Funkcje 7

2 Funkcje

Niech X,Y bd dowolnymi, niepustymi zbiorami. Mwi si, e relacja binarnaf X Y jest funkcj, gdy

(1) dla kadego x X istnieje taki y Y , e (x, y) f ,

(2) dla dowolnych x X, y1, y2 Y jeli (x, y1) f oraz (x, y2) f , to musi byy1 = y2.

Druga wasno funkcji oznacza, e element x X jednoznacznie wyznacza elementy Y , ktry jest z nim w relacji f . Pozwala to dla funkcji f pisa f(x) zamiast y,czyli f(x) = y, zamiast (x, y) f .

Przykad 2.1. Niech X = {1, 2, 3}, Y = {a, b, c, d}, 1, 2 X Y oraz

1 = {(1, a), (2, b), (1, d)}, 2 = {(1, a), (2, b), (3, d)}.

Relacja 1 nie jest funkcj, bo dla 3 X nie ma y Y takiego, aby (3, y) 1.Poza tym, 1 jest w relacji z a oraz z d. Relacja 2 jest funkcj.

Zamiast pisa, e f X Y dla funkcji piszemy f : X Y i mwimy, e fodwzorowuje zbir X w zbir Y .Funkcja f jest iniekcj (jest rnowartociowa), gdy dla dowolnych x1, x2 X

jeli f(x1) = f(x2), to musi by x1 = x2.

Przykad 2.2. Rozwamy funkcj f : R R, dan wzorem f(x) = x+2. Spraw-dzimy, czy jest ona rnowartociowa. Niech x1, x2 R. Zamy, e f(x1) = f(x2).Po podstawieniu do wzoru mamy x1+2 = x2+2, co jest prawd tylko gdy x1 = x2.To oznacza, e funkcja f jest rnowartociowa.

Przykad 2.3. Funkcja f : R R, dana wzorem f(x) = x2 nie jest rnowarto-ciowa bo dla x1 = 1 i x2 = 1 mamy f(x1) = 1 = f(x2).

Funkcja f jest surjekcj (jest na), gdy dla dowolnego y Y istnieje taki x X,e f(x) = y.

Przykad 2.4. Funkcja f : R R, dana wzorem f(x) = x2 nie jest na (nie jestsurjekcj) bo dla y = 1 nie ma takiego x R aby f(x) = x2 = 1. Funkcja g danatym samym wzorem g(x) = x2, ale okrelona na innym zbiorze g : R (0,) jestsurjekcj bo dla kadej nieujemnej liczby rzeczywistej y moemy wzi pierwiasteki rwnanie y = x2 ma zawsze przynajmniej jedno rozwizanie: x =

y.

W powyszym przykadzie mimo, e obie funkcje maj ten sam wzr i t samdziedzin, to nie s one rwne, bo maj rne przeciwdziedziny. Formalnie to sdwie rne funkcje, f nie jest surjekcj, a g jet surjekcj.Funkcja, ktra jest jednoczenie iniekcj i surjekcj to bijekcja. Przykadem bi-

jekcji jest funkcja z przykadu 2.2. Wystarczy bowiem zauway, e jest ona surjek-cj, gdy dla dowolnego y R bierzemy x = y 2 i sprawdzamy, e

f(x) = x+ 2 = y 2 + 2 = y.

3 Rwnoliczno zbiorw 8

3 Rwnoliczno zbiorw

Niech X i Y bd dowolnymi zbiorami. Gdy moemy policzy ile jest elementw wobu zbiorach to tym samym jestemy w stanie stwierdzi, czy s one rwnoliczne.Ilo elementw w zbiorze X oznaczamy przez |X|. Zatem X i Y s rwnoliczne,gdy |X| = |Y |. Problem pojawia si, gdy w obu zbiorach znajduje si nieskoczeniewiele elementw. Wwczas twierdzimy, e zbiory X i Y s rwnoliczne, gdy istniejebijekcja f : X Y .

Przykad 3.1. Zbir X = N wszystkich liczb naturalnych oraz zbir Y ={n N : n = 2k dla pewnego k N} parzystych liczb naturalnych s rwnolicznebo odwzorowanie dane wzorem f(x) = 2x jest bijekcj z X na Y .

Przykad 3.2. Zbir X = N wszystkich liczb naturalnych oraz zbir Y = Zwszystkich liczb cakowitych s rwnoliczne bo odwzorowanie dane wzorem

f(x) =

{x2 , gdy x jest parzysta,

x+12 , gdy x jest nieparzysta.

jest bijekcj z X na Y .

Zbir skoczony lub rwnoliczny ze zbiorem N nazywamy przeliczalnym. Przy-kadem zbioru przeliczalnego jest zbir wszystkich liczb cakowitych jak to zostaopokazane w 3.1, zbir wszystkich liczb parzystych {2k : k N} lub zbir dzielnikwliczby 24 czyli {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}.

4 Indukcja matematyczna

4.1 Zasada minimum

Twierdzenie 4.1. W kadym niepustym podzbiorze zbioru liczb naturalnych jestelement najmniejszy.

Przykad 4.2. Sprawdzimy, e suma pocztkowych n liczb nieparzystych wynosi

1 + 3 + 5 + + (2n 1) = n2. (1)

Dla kilku pocztkowych wartoci n atwo ten wzr sprawdzi:

n = 1 1 = 12,

n = 2 1 + 3 = 4 = 22,

n = 3 1 + 3 + 5 = 9 = 32,

n = 4 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42.

Nie jest to jednak dowd. Przypumy, e podany wzr nie jest prawdziwy. Roz-wamy zbir

S = {n N : 1 + 3 + 5 + + (2n 1) 6= n2}

4 Indukcja matematyczna 9

wszystkich liczb dla, ktrych wzr (1) nie zachodzi. Jest to podzbir N, a wickorzystajc z zasady minimum musi w nim by element najmniejszy, nazwijmy gok. Nie moe on by rwny 0, 1, 2, 3, 4, bo dla tych wartoci sprawdzilimy, e wzr(1) jest prawdziwy. Tak, czy inaczej dla k 1 wzr (1) jest prawdziwy, bo k 1 6 Sjako, e k jest w S elementem najmniejszym. Zatem

1 + 3 + 5 + + (2(k 1) 1) = 1 + 3 + 5 + + (2k 3) = (k 1)2.

Dodajmy do obu stron kolejn liczb nieparzyst, czyli 2k 1. Dostaniemy

1+3+5+ +(2k3)+(2k1) = (k1)2+(2k1) = k22k+1+2k1 = k2,

ale to oznacza, e dla k nasz wzr (1) jest prawdziwy. Nasze przypuszczenie byowic faszywe i wzr (1) jest prawdziwy dla wszystkich liczb naturalnych rnychod 0.

4.2 Zasada indukcji

Twierdzenie 4.3. Niech S N, n N speniaj dwa warunki:(i) n S oraz

(ii) jeli k S, to rwnie k + 1 S.Wwszas {n, n+ 1, n+ 2, . . .} S.

Przykad 4.4. Wykaemy, e wzr

2n+ 1 < 2n. (2)

jest prawdziwy dla n 3. Niech

S = {k N : 2k + 1 < 2k}

bdzie zbiorem wszystkich takich liczb naturalnych, dla ktrych zachodzi wzr (2).Zauwamy, e n = 3 S bo

2 3 + 1 = 7 < 8 = 23.

Zamy teraz, e k S. Sprawdzimy, czy k + 1 S. Mamy

2(k + 1) + 1 = 2k + 1 + 2 < 2k + 2 2k + 2k = 2 2k = 2k+1.

Zatem k + 1 S. Na mocy zasady indukcji S = {3, 4, 5, . . .}, co koczy dowd.

Przykad 4.5. Zbadamy dla jakich n N zachodzi wzr

n2 < 2n. (3)

Dla maych n mamy

4 Indukcja matematyczna 10

n n2 2n

0 0 = 02 < 20 = 11 1 = 12 < 21 = 22 4 = 22 22 = 43 9 = 32 23 = 84 16 = 42 24 = 165 25 = 52 < 25 = 326 36 = 62 < 26 = 64

Udowodnimy, e wzr (3) jest prawdziwy dla wszystkich n 6. Zakadamy, edla k wzr ten zachodzi. Sprawdzimy, czy zachodzi rwnie dla k + 1. Korzystajcz znaszego zaoenia i z przykadu 4.4 mamy

(k + 1)2 = k2 + 2k + 1 < 2k + 2k = 2 2k = 2k+1,

co oznacza, e wzr (3) jest prawdziwy dla k + 1.

4.3 Zasada indukcji zupenej

Twierdzenie 4.6. Niech S N, n N speniaj warunek:(i) jeli {n, n+ 1, n + 2, . . . , k} S, to k + 1 S.

Wwszas {n, n+ 1, n+ 2, . . .} S.

Przykad 4.7. Mamy prostoktn czekolad zoon z n = ab, gdzie 0 < a, b,kwadratowych kawakw. Przez uamanie rozumiemy rozcicie wzd linii pomi-dzy kawakami, tak aby dosta dwa prostoktne kawaki. Ile razy trzeba uamaczekolad aby rozdzieli jej wszystkie kawaki?Stosujc zasad indukcji zupenej pokaemy, e trzeba wykona n 1 uama.Najmniejsze moliwe a i b to a = b = 1. Zatem najmniejsza czekolada skada si

z n = ab = 1 kawakw i do jej podzielenia wystarczy n 1 = 0 uama.Zgodnie z zasad indukcji zupenej rozwamy zbir

S := {n N : dla prostoktnej czekolady o n kawakach potrzeba n 1 uama}

i zamy, e {0, 1, 2, . . . , k} S. Pokaemy, e k + 1 S. Gdy czekolada mak + 1 kawakw, to pierwsze uamanie podzieli j na dwa prostokty zoone zodpowiednio k1 i k2 kawakw, przy czym k1+k2 = k+1 oraz 1 k1, k2. Zauwamy,e k1, k2 S, to znaczy, e aby poama te mniejsze kawaki potrzeba odpowiedniok1 1 oraz k2 1 uama. W sumie, od pocztku, wykonalimy wic

1 + k1 1 + k2 1 = (k + 1) 1

uama, co koczy dowd.

4.4 Zasada maksimum

Twierdzenie 4.8. W kadym niepustym i ograniczonym z gry podzbiorze zbioruliczb naturalnych jest element najwikszy.

5 Rekurencja 11

5 Rekurencja

Cig liczbowy o wartociach rzeczywistych to funkcja a : N R. Cig liczbowymoemy okreli na kilka sposobw:

poprzez podanie wszystkich jego wyrazw, np. 1, 0, 1, 0, 1, . . . ,

poprzez podanie jawnego wzoru w postaci jawnej, np. an = n2,

poprzez podanie przepisu jak tworzy kolejne wyrazy wykorzystujc wyrazyju znane, czyli rekurencyjnie.

Mwimy, e cig liczbowy an, n N jest zadany rekurencyjnie, gdy

dane s jego pocztkowe wyrazy a0, a1, . . . , ak, gdzie k 0, oraz

dana jest regua pozwalajca wyznaczy wyraz an+1 w zalenoci od wyrazwa0, a1, . . . , an, dla n k.

Typowymi przykadami cigw rekurencyjnych s cigi arytemtyczne i geometrycz-ne.

5.1 Cig arytmetyczny

Niech a0 i r bd dowolnymi, ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Regua rekuren-cyjna

an+1 = an + r

definiuje cig arytmetyczny o pocztkowym wyrazie a0 i rnicy r. Wzr w postacijawnej tego cigu wyglda nastpujco:

an = a0 + nr

dla dowolnego n N.

5.2 Cig geometryczny

Niech a0 i q bd dowolnymi, ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Regua rekuren-cyjna

an+1 = an qdefiniuje cig geometryczny o pocztkowym wyrazie a0 i ilorazie q. Wzr w postacijawnej tego cigu wyglda nastpujco:

an = a0 qn

dla dowolnego n N.

5 Rekurencja 12

5.3 Silnia

Rozwamy nastpujcy cig rekurencyjny:

a0 = 1,

an = n an1, dla n 1.

Warto n-tego wyrazu tego cigu nazywa si silni liczby n i oznaczana jest przezn!. Zatem posta jawna tego cigu wyglda nastpujco:

an = n!.

5.4 Cig Fibonacciego

Spord cigw rekurencyjnych najsynniejszym jest chyba cig Fibonacciego:

a0 = 0,

a1 = 1,

an = an1 + an2, dla n 2.

Kady wyraz tego cigu, poza dwoma pierwszymi, jest sum poprzednich dwchwyrazw. Posta jawna nie jest trywialna, a mianowicie:

an =15

[(1 +5

2

)n

(15

2

)n]

.

5.5 Wiee Hanoi

Na jednej z trzech wie znajduj si 64 krki takie, e krki umieszczone wyejmaj mniejsze promienie. Zadanie polega na przeoeniu wszystkich tych kkw zpierwszej na trzeci wie, ale tak aby:

w jednym ruchu mona przenie tylko jeden krek,

wikszy krek nigdy nie moe lee na mniejszym,

mona posugiwa si trzema wieami.

Ile czasu zajmmie przeoenie tych krkw jeli przyjmiemy, e przeoenie jednegozajmuje sekund?Przez an oznaczmy liczb ruchw potrzebnych do przeniesienia n krkw z

jednej wiey na drug. atwo sprawdzi, e

a0 = 0,

a1 = 1,

a2 = 3,

a3 = 7.

Ju przy n = 3 wida regu rekurencyjn. Oznaczmy kolejne wiee przez A, B, C.Aby przenie n krkw z A na C:

6 Metody zliczania zbiorw i funkcji 13

1. przenosimy n 1 grnych krkw z A na B posugujc si wie C, wymagato an1 ruchw,

2. przenosimy dolny, najwikszy krek z A na C, to jest jeden ruch,

3. przenosimy n 1 krkw z B na C posugujc si wie A, wymaga to an1ruchw.

Ostatecznie mamyan = an1 + 1 + an1 = 2an1 + 1,

i w postaci jawnejan = 2n 1.

Moemy teraz odpowiedzie na zadane na pocztku pytanie. Przeniesienie n krkwzajmie ponad 3 000 000 000 000 lat. Komputer z procesorem 3GHz wykonywa by tozadanie ponad 1000 lat.

6 Metody zliczania zbiorw i funkcji

Liczc samochody na parkingu, komputery w pracowni, albo studentw na wyka-dzie, zliczanym elementom przyczepiamy etykietki z kolejnymi liczbami natural-nymi zaczynajc od 1. Gdy wyczerpiemy liczone elementy to ostatnia z przycze-pionych etykiet mwi ile w zbiorze jest elementw. Ta procedura to nic innego jakkonstrukcja bijekcji f z zadanego zbioru X na podzbir {1, 2, . . . , n} zbioru N.Tak wic podstawy formalne do zagadnienia zliczania zbiorw i funkcji ju ma-

my. Zostay one wprowadzone w podrozdziale 3 jako rwnoliczno zbiorw. Abypoliczy ile dany zbir X zawiera elementw naley wskaza bijekcj f z X na zbir,ktrego ilo elementw znamy.

6.1 Zasada mnoenia

Twierdzenie 6.1 (Zasada mnoenia). Dla dowolnych zbiorw skoczonych A1,A2, . . . , An mamy

|A1 A2 An| = |A1| |A2| |An|.

Przykad 6.2. W turnieju szachowym bior udzia dwie druyny: czerwonych iniebieskich. Druyna czerwonych liczy 5 zawodnikw, natomiast druyna niebieskich7 zawodnikw. Ile rnych indywidualnych pojedynkw moe by stoczonych, jelizawodnicy jednej druyny nigdy ze sob nie walcz?Niech C i N bd zbiorami odpowiednio czerwonych i niebieskich. Kady po-

jedynek moe by interpretowany jako uporzdkowana para (c, n), gdzie c C,n N . Zatem liczba pojedynkw to liczno zbioru C N . Z zasady mnoenia 6.1mamy

|C N | = |C| |N | = 5 7 = 35.

6 Metody zliczania zbiorw i funkcji 14

6.2 Zasada dodawania

Twierdzenie 6.3 (Zasada dodawania). Dla dowolnych parami rozcznych zbio-rw skoczonych A1, A2, . . . , An mamy

|A1 A2 An| = |A1|+ |A2|+ + |An|.

Dowd. Dla n = 1 dowd jest trywialny. Dla n = 2 zamy, e |A1| = p i |A2| = q.Elementy A1 moemy ponumerowa 1, 2, . . . , p, natomiast elementy A2 ponumeru-jemy p+ 1, p + 2, . . . , p+ q. Poniewa A1 A2 = , wic w A1 nie ma elementw zA2 i aden element nie by numerowany dwukrotnie. Tak wic

|A1 A2| = p+ q = |A1|+ |A2|.

Zamy teraz indukcyjnie dla n = k, e

|A1 A2 Ak| = |A1|+ |A2|+ + |Ak|.

Dla n = k + 1 mamy

|A1 A2 Ak Ak+1| = |(A1 A2 Ak) Ak+1| =|A1 A2 Ak|+ |Ak+1| = |A1|+ |A2|+ + |Ak|+ |Ak+1|

poniewa w Ak+1 nie ma adnego elementu ze zbiorw A1, A2, . . . , Ak, to znaczy(A1 A2 Ak) Ak+1 = i postpujemy jak dla dwch zbiorw.

Przykad 6.4. Powiedzmy, e mamy 5 czerwonych guzikw i 7 niebieskich. ZbirA czerwonych guzikw jest rozczny ze zbiorem B niebieskich guzikw. Zatem zzasady dodawania 6.3, aby policzy ile jest w sumie guzikw, czyli w zbiorze AB,dodajemy |A|+ |B| = 5 + 7 = 12.

6.3 Metoda wczania-wyczania

Twierdzenie 6.5 (Metoda wczania-wyczania dla dwch zbiorw). Dla do-wolnych zbiorw skoczonych A,B mamy

|A B| = |A|+ |B| |A B|.

Dowd. Zliczajc elemety zbioru A B dwukrotnie liczymy te elementy, ktrewystpuj jednoczenie w A i w B, czyli w A B. Tak wic od sumy |A| + |B|musimy odj ilo elementw w przekroju A B.

Inny dowd mona przeprowadzi w oparciu o zasad dodawania 6.3, gdy za-uwaymy, e po pierwsze, zbiory A \B, A B oraz B \ A s parami rozczne i wsumie daj AB, po drugie, |(A \B) (A B)| = |A| i |(B \A) (A B)| = |B|.A wic

|A B| = |(A \B) (A B) (B \ A)| = |A \B|+ |A B|+ |B \ A| =(|A \B|+ |A B|)+ (|B \A|+ |A B|) |A B| = |A|+ |B| |A B|.

6 Metody zliczania zbiorw i funkcji 15

Twierdzenie 6.6 (Metoda wczania-wyczania dla trzech zbiorw). Dla do-wolnych zbiorw skoczonych A,B,C mamy

|A B C| = |A|+ |B|+ |C| |A B| |B C| |C A|+ |A B C|.

Dowd. Zliczajc elementy zbioru A B C dwukrotnie liczymy elementy, ktres dokadnie w dwu z trzech zbiorw, czyli w AB, w BC lub w CA. Elementyz przekroju AB C najpierw liczymy trzykrotnie, potem trzy razy je usuwamy zA B, z B C i z C A, tak wic musimy je z powrotem uzupeni dodajc iloelementw w A B C.

Przykad 6.7. W pewnym klubie trenuje 13 osb grajcych w tenisa, 16 osbgrajcych w siatkwk i 14 osb grajcych w koszykwk. Sposrd z nich 4 grajw tenisa i siatkwk, 6 osb gra w tenisa i koszykwk, 3 graj w siatkwk ikoszykwk, a tylko dwie osoby graj we wszystkie trzy gry. Ile osb jest w tymklubie?Niech

T zbir osb grajcych w tenisa,

S zbir osb grajcych w siatkwk,

K zbir osb grajcych w koszykwk.

Zatem |T | = 13, |S| = 16, |K| = 14, |T P | = 4, |T B| = 6, |P B| = 3,|T P B| = 2 i na mocy 6.6 mamy

|T S K| = 13 + 16 + 14 4 6 3 + 2 = 32.

6.4 Zasada szufladkowa Dirichleta

Twierdzenie 6.8 (Zasada szufladkowa Dirichleta). Jeli n obiektw jest roz-mieszczonych w m szufladach i n > m, to istnieje szuflada z przynajmniej dwomaobiektami.

Bardziej formalnie mona powiedzie, e nie istnieje bijekcja ze zbioru o n ele-mentach na zbir m-elementowy, gdy n > m.

Przykad 6.9. W grupie 13 osb musz by co najmniej dwie osoby, ktre uro-dziy si w tym samym miesicu.Wemy bowiem 12 szufladek z nazwami miesicy i wkadajmy do nich osoby,

ktre urodziy si w danym miesicu. Poniewa osb jest 13, a szufladek 12, to wjednej z nich musz by co najmniej dwie osoby.

Przykad 6.10. Pewna grupa osb wita si podajc sobie rce. Nikt nie wita siz samym sob i adna para osb nie wita si podwjnie. Czy musz by dwie osoby,ktre witay tak sam liczb osb?Gdy jest n osb, to kada z nich przywita 0 lub 1 lub 2 lub . . . n 1 osb.

Utwrzmy wic n szuflad z etykietami 0, 1, 2, . . . , n 1. W szufladzie z etykiet kumieszczamy osob, ktra witaa si z dokadnie k innymi osobami. Skoro jest nosb i n szuflad, to z zasadzy szufladkowej niewiele wynika. Przyjrzyjmy si jednak,

6 Metody zliczania zbiorw i funkcji 16

czy moliwe jest, aby we wszystkich szufladach byo po dokadnie jednej osobie.Wwczas zajte byyby szuflady pierwsza z etykiet 0 i ostatnia z etykiet n 1.Nie jest to moliwe, bo nie moe by osoby, ktra przywitaa wszystkie pozostae irwnoczenie takiej, ktra nie przywitaa nikogo. Zatem pierwsza lub ostatnia musiby pusta. W takim razie n osb zajo co najwyej n 1 szuflad, wic w jednej znich s co najmniej dwie osoby takie, ktre przywitay t sam liczb osb.

Powyszy przykad mona sformuowa bardziej formalnie w jzyku teorii gra-fw. Ot w grafie skoczonym o n wierzchokach bez ptli istniej co najmniej dwawierzchoki tego samego stopnia.

Przykad 6.11. Wybierzmy 10 rnych liczb naturalnych a1, a2, . . . , a10 spo-rd 0, 1, 2, . . . , 100. Pokaemy, e w zbiorze {a1, a2, . . . , a10} mona wybra dwarozczne podzbiory, dajce t sam sum.Szuflady poetykietujmy liczbami reprezentujcymi moliwe sumy liczb w co naj-

wyej 10-cio elementowych podzbiorach zbioru {0, 1, 2, . . . , 100}. Poniewa najwik-sza moliwa taka suma to 91+92+93+ +99+100 = 955, wic mamy 955 szuflad zetykietami: 0, 1, 2, . . . , 955. Zrugiej strony 10-cio elementowy zbir {a1, a2, . . . , a10}ma 210 = 1024 podzbiory, wic musz by dwa podzbiory zbioru {a1, a2, . . . , a10} otej samej sumie.Te dwa podzbiory nie musz by rozczne. Jeli jednak z obu z nich usuniemy

wsplne liczby, to pozostae dalej bd dawa takie same sumy, a powstae zbiorybd ju rozczne.

6.5 Zliczanie funkcji

Niech X i Y bd dowolnymi zbiorami takimi, e |X| = n > 0 oraz |Y | = m > 0.Rozwamy dowoln funkcj f : X Y . Ile jest takich funkcji? Aby odpowiedziena to pytanie musimy przypomnie, e funkcja kademu x X przyporzdkowujedokadnie jeden y Y . Dla ustalonego x moliwych przyporzdkowa elementuy jest tyle, na ile sposobw moemy wybra y z Y , czyli dokadnie m. Z zasadymnoenia 6.1 wynika, e wszystkich funkcji jest

m m m

n razy

= mn. (4)

Przykad 6.12. Kod PIN zoony jest z 4 cyfr dziesitnych. Ile jest rnychtakich PIN-kodw?Wybr kadego PIN-kodu to funkcja ze zbioru X = {1, 2, 3, 4} pozycji cyfr w

PIN-kodzie w dziesicioelementowy zbir cyfr dziesitnych Y = {0, 1, . . . , 9}. Z (4)mamy zatem 104 = 10000 rnych czterocyfrowych PIN-kodw.

Zamy teraz dodatkowo, e n m. Pytamy ile jest funkcji rnowartocio-wych f : X Y ? Zliczajc takie funkcje musimy przypomnie, e iniekcja rnymargumentom, czyli elementom z X, przyporzdkowuje rne wartoci, czyli elemen-ty z Y . To znaczy, e jeli jakiemu x1 X przyporzdkowalimy pewien y1 Y , tokolejnemu x2 6= x1 nie moemy ju przyporzdkowa y1. Tak wic ilo moliwociwyboru y Y dla x X zmniejsza si o 1 z kadym przyporzdkowaniem y do x.

7 Permutacje 17

Zgodnie z zasad mnoenia 6.1 funkcji rnowartociowych jest

m(m 1)(m 2) . . . (m n+ 1) = m!(m n)! . (5)

Przykad 6.13. Ile jest czterocyfrowych PIN-kodw, w ktrych cyfry nie powta-rzaj si?Zbiory X i Y s jak w 6.12, zatem z uwagi na (5) mamy 10 9 8 7 = 5040

takich PIN-kodw.

6.6 Zliczanie podzbiorw

Niech X bdzie dowolnym zbiorem o n elementach. Policzmy ile jest wszystkichpodzbiorw w X. W tym celu przez A oznaczmy dowolny podzbir X. Rozwamyfunkcj f : X {0, 1} dan nastpujcym wzorem

f(x) =

{

0, gdy x 6 A,1, gdy x A.

Tak funkcj f nazywamy funkcj charakterystyczn zbioru A.Zauwamy, e ustalony podzbir A wyznacza jednoznacznie funkcj f i na od-

wrt, gdy mamy tak funkcj to A = {x X : f(x) = 1}. Zatem podzbiory X wza-jemnie jednoznacznie odpowiadaj funkcjom charakterystycznym. Aby wic poli-czy podzbiory wystarczy policzy funkcje charakterystyczne zbioru A a to juumiemy patrz podpunkt 6.5. Tak wic wszystkich podzbiorw w zbiorze n ele-mentowym jest dokadnie 2n.Wyznaczeniem iloci k-elementowych podzbiorw w zbiorze n-elementowym zaj-

miemy si pniej.

7 Permutacje

Permutacja zbioru skoczonego X to bijekcja z X na X.Niech Zn oznacza zbir reszt przy dzieleniu przez liczb n, to znaczy

Zn = {0, 1, 2, . . . , n}.

Zbir permutacji zbioru Zn oznaczamy przez Sn. Zbir n-elementowy ma dokadnien! permutacji,

|Sn| = n!.

Przykad 7.1. Rozwamy funkcj : Z7 Z7 zadan ponisz tabel:

n 0 1 2 3 4 5 6(n) 2 3 6 0 4 1 5

Funkcja jest bijekcj z Z7 w Z7, zatem jest permutacj i S7.

7 Permutacje 18

7.1 Cykle

Cykl zbioru n-elementowego X to taka permutacja zbioru X, dla ktrej

{x, (x), 2(x), . . . , n1(x)} = X,

dla dowolnego x X. atwo zauway, e jeli dla pewnego x0 X mamy{x0, (x0), 2(x0), . . . , n1(x0)} = X, to jest tak dla wszystkich x X, czyli jest cyklem na X. Cykl zbioru X zapisujemy jako

(x, (x), . . . , n1(x))

dla dowolnie wybranego x X.

Przykad 7.2. Rozwamy permutacj S6 dan przez tabel:

n 0 1 2 3 4 5(n) 3 5 0 1 2 4

Zauwamy, e dla x0 = 0 mamy

{0, (0) = 3, 2(0) = 1, 3(0) = 5, 4(0) = 4, 5(0) = 2} = Z6

zatem = (0, 3, 1, 5, 4, 2) jest cyklem.

Dowoln permutacj zbioru X mona rozoy na rozczne cykle w sposbnastpujcy:

1. wybieramy dowolny element x X, ktry nie jest jeszcze w adnym cyklu,

2. iterujemy permutacj otrzymujc kolejno: x, (x), 2(x), 3(x), . . . a douzyskania j(x) = x,

3. dodajemy do rozkadu cykl (x, (x), . . . , j1(x)),

4. jeli w zbiorze X pozostay jeszcze elementy niepokryte przez aden cykl, towracamy do pierwszego punktu naszej procedury.

Jeli permutacja zoona jest z k rozcznych cykli, to zapisujemy j =(x0, . . . )(x1, . . . ) . . . (xk1, . . . ), gdzie w kolejnych nawiasach s elementy kolejnychcykli zaczynajcych si od odpowiednio: x0, x1, . . . , xk1.

Przykad 7.3. Rozwamy jeszcze permutacj S9:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8(n) 2 3 6 0 4 1 5 8 7

Rozkad na cykle:

pierwszy cykl: 0, (0) = 2, (2) = 6, (6) = 5, (5) = 1, (1) = 3, (3) = 0,

drugi cykl: 4, (4) = 4,

trzeci cykl: 7, (7) = 8, (8) = 7,

8 Wspczynniki dwumianowe 19

Ostatecznie = (0, 2, 6, 5, 1, 3)(4)(7, 8).

Twierdzenie 7.4. Rozkad permutacji na cykle jest jednoznaczny z dokadnocido kolejnoci.

Typ permutacji Sn to wektor (c1, c2, . . . , cn), gdzie ci jest liczb cykli du-goci i w rozkadzie . Zazwyczaj typ permutacji zapisujemy jako

[1c12c2 . . . ncn ],

przy czym czsto pomijamy te wartoci, dla ktrych ci = 0.Permutacja z przykadu 7.3 ma jeden cykl dugoci 1, jeden cykl dugoci 2 oraz

jeden cykl dugoci 6, a wic jej typ to [11, 21, 61].

7.2 Transpozycje

Transpozycja to permutacja zbioru n-elementowego X (dla n 2) typu [1n221].Innymi sowy, transpozycja dokonuje tylko jednego przestawienia dwch elementwze zbioru X.

Przykad 7.5. Dla permutacji S7 takiej, e:n 0 1 2 3 4 5 6(n) 0 1 5 3 4 2 6

mamy = (0)(1)(2, 5)(3)(4)(6) = (2, 5), a wic ma typ [1521], co oznacza, e jest transpozycj.

Twierdzenie 7.6. Dowolny cykl z Sn jest zoeniem n 1 transpozycji.Poniewa, na mocy 7.4 dowolna permutacja jest rozkadalna na cykle, zatem z

powyszego twierdzenia wynika, e kada permutacja jest zoeniem transpozycji.W szczeglnoci kada permutacja typu [1c12c2 . . . ncn ], ma rozkad na co najwyejc2 + 2c3 + + (n 1)cn transpozycji.Permutacja jest parzysta, gdy jest zoeniem parzystej liczby transpozycji, na-

tomiast permutacja jest nieparzysta, gdy jest zoeniem nieparzystej liczby trans-pozycji. Znak permutacji to

sign() = (1)r,

gdzie r jest liczb transpozycji, na ktre mona rozoy .

8 Wspczynniki dwumianowe

Wiemy ju, e zbir n-elementowy X ma dokadnie 2n podzbiorw, tyle ile jest funk-cji charakterystycznych podzbiorw. Teraz zajmiemy si pytaniem ile taki zbir mapodzbiorw o dokadnie k elementach. Rodzin wszystkich k-elementowych pod-zbiorw zbioru X bdziemy oznacza przez Pk(X).Wspczynnik dwumianowy

(nk

)to ilo k-elementowych podzbiorw zbioru n-

elementowego, czyli(

n

k

)

=Pk(Zn)

.

8 Wspczynniki dwumianowe 20

Twierdzenie 8.1. Dla dowolnych 0 k n(

n

k

)

=n!

(n k)!k! .

Dowd. Ustalmy pewien n-elementowy zbir X, i wybierajmy po kolei k rnychjego elementw, tzn. utwrzmy iniekcj Zk X. Wiemy, e takich iniekcji jest

n(n 1) (n k + 1) = n!(n k)! .

W wyniku takiego wyboru, dostajemy wszake pewien uporzdkowany cig k ele-mentw zbioru X. Wiele takich cigw wyznacza ten sam k-elementowy podzbirzbioru X. Cigi takie rni si jedynie kolejnoci elementw, a zatem jest ich tyleile permutacji zbioru k-elemetowego, czyli k!. Zatem jest dokadnie

n(n 1) . . . (n k + 1)k!

=n!

(n k)!k!

podzbiorw k-elementowych zbioru n-elementowego.

To samo twierdzenie mona dowie indukcyjnie.

Twierdzenie 8.2. Dla n, k N zachodzi:

(i)

(

n

0

)

=

(

n

n

)

= 1,

(ii)

(

n

k

)

= 0, dla k > n,

(iii)

(

n

1

)

= n, dla n > 0,

(iv)

(

n

k

)

=

(

n

n k

)

, dla n k 0.

Dowd. (i) Natychmiastowa konsekwencj faktu, e dowolny zbir n-elementowyX ma tylko jeden 0-elementowy podzbir, a mianowicie podzbir pusty i tylkojeden podzbir n-elementowy, to znaczy cay zbir X.(ii) Zbir n-elementowy nie moe mie podzbiorw o k > n elementach.(iii) Podzbiorw jednoelementowych jest dokadnie tyle ile elementw w zbiorze.(iv) Zamy, e n k 0. Wwczas k-elementowych podzbiorw A w n-

elementowym zbiorze X jest tyle samo co ich (nk)-elementowych dopenieX \A.Innymi sowy funkcja

Pk(X) A X \A Pnk(X)

jest bijekcj, a wicPk(X)

=

Pnk(X)

.

8 Wspczynniki dwumianowe 21

Twierdzenie 8.3. Dla 0 < k n mamy:(

n

k

)

=

(

n 1k 1

)

+

(

n 1k

)

.

Dowd. Zamy, e |X| = n. Po usuniciu ze zbioru X elementu a X dostajemy(n 1)-elementowy zbir X . Niech A Pk(X). Mamy dwie moliwoci

1. a A,

2. a 6 A.

W drugim przypadku zbir A to k-elementowy podzbir (n1)-elementowego zbioruX , czyli A Pk(X ).W pierwszym przypadku podzbir A jest jednoznacznie wyznaczony przez swo-

je pozostae k 1 elementw. To znaczy A = A {a}, gdzie A Pk1(X ) ipodzbiorw A jest tyle samo co podzbiorw A. A zatem

(

n

k

)

=Pk(X)

=

Pk(X )

+

Pk1(X )

=

(

n 1k

)

+

(

n 1k 1

)

.

8.1 Trjkt Pascala

Trjkt Pascala bazuje na wasnoci 8.3 i ustawia liczby w nastpujcy sposb:

wiersze numerowane s kolejnymi liczbami naturalnymi, n = 0, 1, 2, . . . ,

w kadym wierszu wystpuje dokadnie n+ 1 liczb, kolejno:(

n

0

)

,

(

n

1

)

,

(

n

2

)

, . . . ,

(

n

n 1

)

,

(

n

n

)

(00

)

(10

) (11

)

(20

) (21

) (22

)

(30

) (31

) (32

) (33

)

(40

) (41

) (42

) (43

) (44

)

(50

) (51

) (52

) (53

) (54

) (55

)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Przesunicie w wierszach, pozwala wyliczy(nk

)jako sum

(n1k1

)+(n1k

)(por.

8.3) dwu liczb stojcych bezporednio nad(nk

).

8 Wspczynniki dwumianowe 22

8.2 Dwumiany

Ponisze twierdzenie wyjania pochodzenie nazwy wspczynnika dwumianowego.

Twierdzenie 8.4. Dla x, y R i n N

(x+ y)n =n

k=0

(

n

k

)

xkynk.

Rozwimy klika pocztkowych dwumianw zgodnie z tym twierdzeniem:

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2,

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3,

(a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4.

8.3 Przykady zastosowa

Przykad 8.5. Znajdujemy si w miecie zbudowanym na planie prostopadleprzecinajcych si ulic. Ile jest najkrtszych drg z A do B, gdy B znajduje si naszstej przecznicy na wschd i na trzeciej przecznicy na pnoc od A?Zauwamy, e kada najkrtsza droga biegnie przez dokadnie 9 skrzyowa

(liczc skrzyowanie w punkcie A i nie liczc skrzyowania w punkcie B). Na kadymtakim skrzyowaniu musimy podj decyzj, czy pj na wschd czy na pnoc,przy czym musimy i dokadnie 3 razy na pnoc i dokadnie 6 razy na wschd.Zatem liczba najkrtszych drg z A do B to liczba wyborw spord 9 skrzyowa,trzech, na ktrych pjdziemy na pnoc, bd 6 na ktrych pjdziemy na wschd.A zatem liczba ta wynosi

(93

)

=(96

)

= 84.

W oglnoci zamy, e mamy kratk m n i chcemy narysowa najkrtszaman po krawdziach kratki czc lewy dolny wierzchoek z prawym grnym.Na ile sposobw moemy narysowa tak aman?Widzimy, e musimy narysowa m+ n odcinkw jednostkowych, z ktrych do-

kadnie m jest pionowych i dokadnie n jest poziomych. Zatem jest(

m+ nm

)

=

(

m+ nn

)

=(m+ n)!m!n!

sposobw poczenia dwch przeciwlegych wierzchokw.

Przykad 8.6. Ile rozwiza ma rwnanie

x0 + x1 + x2 + x3 + x4 = 7,

gdzie xi s liczbami naturalnymi?Uyjmy kratki rozwaanej w poprzednim przykadzie do poczenia przeciwle-

gych jej rogw. W kratce rozmiaru 4 7 suma poziomych odcinkw daje 7 i jestdokadnie 5 takich odcinkw, po jednym na kadym poziomie. Jeli dugoci tychodcinkw oznaczymy odpowiednio przez x0, x1, x2, x3, x4, to kada taka droga (a-mana) na kratce ustala pewne rozwizanie naszego rwnania, i kade rozwizanierwnania wyznacza dokadnie jedn drog (aman).Zatem istnieje

(7+44

)= 330 rozwiza naszego rwnania.

9 Elementy teorii liczb 23

Przykad 8.7. Rozwamy pokratkowan kartk wielkoci nn i policzmy na ilesposobw mona w jej wntrzu narysowa prostokt tak, aby wszystkie jego bokibyy rwnolege do krawdzi kartki?Zauwamy, e kady taki prostokt jest jednoznacznie wyznaczony przez dwie

spord n+1 poziomych linii oraz przez dwie spord n+1 pionowych linii. Rzeczy-wicie, dowolny prostokt wyznacza dwie linie poziome i dwie pionowe. I na odwrtdowolny wybr linii pozwoli nam nakreli jednoznacznie prostokt na kartce.Poziome linie moemy wybra na

(n+12

)

sposobw i pionowe linie take na(n+12

)

sposobw. Zatem taki prostokt moemy narysowa na dokadnie(

n+ 12

)2

=

(

n(n+ 1)2

)2

.

Ilo Losujemy Powtrzenia Kolejno Nazwa Wzr

n n nie takpermutacje bezpowtrze

Pn = n!

n n tak takpermutacje zpowtrzeniami

Pn1...nkn

=n!

n1! . . . nk!

n k nie takwariacje bezpowtrze

V kn=

n!(n k)!

n k tak takwariacje zpowtrzeniami

W kn = nk

n k nie niekombinacje bezpowtrze

Ckn =(n

k

)

=n!

(n k)!k!

n k tak niekombinacje zpowtrzeniami

Ckn=(n+ k 1)!(n 1)!k!

Tabela 1: Wzory na permutacje, wariacje i kombinacje.

9 Elementy teorii liczb

9.1 Podzielno, NWD, NWW

Niech a, b Z i b > 0, wtedy istniej jednoznacznie wyznaczone: iloraz q Z ireszta r N speniajce:

a = bq + r i 0 r < b.

Reszt z dzielenia a przez b zapisujemy jako

r = a mod b.

Mwimy, e b dzieli a (lub a jest podzielne przez b), i piszemy b | a, jeli istniejeq Z takie, e a = bq. W takim wypadku mwimy te, e b jest dzielnikiem a lub,e a jest wielokrotnoci b. Innymi sowy, jeli b dzieli a to reszta z dzielenia a przezb rwna jest 0, innymi sowy a mod b = 0.

9 Elementy teorii liczb 24

Stwierdzenie 9.1. Dla dowolnych a, b, c zachodzi:

(i) jeli a | b to a | bc,

(ii) jeli a | b i b | c to a | c,

(iii) jeli a | b i a | c to a | (b+ c).

Dowd. (i) Z zaoenia wiemy, e istnieje q Z takie, e aq = b. Mnoc obiestrony rwnoci przez c dostajemy aqc = bc. A wic dla q = qc Z mamy aq = bc,co z kolei oznacza, e a | bc.(ii) Z zaoenia istniej p, q Z takie, e aq = b i bp = c. atwo zauwaamy, e

dla q = pq mamy aq = apq = bp = c, czyli a | c.(iii) Z zaoenia istniej p, q takie, e aq = b i ap = c. Dodajc stronami ostatnie

rwnoci otrzymujemy a(p+ q) = b+ c, czyli a | b+ c.

Najwikszy wsplny dzielnik liczb a i b, zapisywany jako NWD(a, b), gdzie cho-cia jedna z liczb a, b jest rna od 0, to najwiksza liczba d taka, e d | a i d | b.Oczywicie,

1 NWD(a, b) min(a, b).Najmniejsza wsplna wielokrotno liczb a, b > 0, oznaczana przez NWW(a, b),

to najmniejsza liczba dodatnia w taka, e a | w i b | w. Zauwamy, e

max(a, b) NWW(a, b) ab.

9.2 Algorytm Euklidesa

Algorytm Euklidesa to algorytm wyznaczania najwikszego wsplnego dzielnikadwu dodatnich liczb cakowitych.

1. Wczytaj liczby a, b > 0.

2. Oblicz r jako reszt z dzielenia a przez b.

3. Zastp a przez b, za b przez r.

4. Jeeli b = 0, to zwr a w przeciwnym wypadku przejd do punktu 2.

Przykad 9.2. Przebieg obliczenia NWD(1029, 1071).

a = 1029 b = 1071 1029 = 0 1071 + 1029 r = 1029a = 1071 b = 1029 1071 = 1 1029 + 42 r = 42a = 1029 b = 42 1029 = 24 42 + 21 r = 21a = 42 b = 21 42 = 2 21 + 0 r = 0a = 21 b = 0

Algorytm zwraca a = 21.

9 Elementy teorii liczb 25

9.3 Liczby pierwsze i rozkad na czynniki pierwsze

Kada liczba naturalna a > 1 ma przynajmniej dwa dodatnie dzielniki: 1 oraza. Liczba pierwsza to taka liczba naturalna p, ktra posiada dokadnie dwa rnedzielniki: 1 oraz p. Oto lista wszystkich liczb pierwszych mniejszych od 100:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Liczba zoona to liczba naturalna a, ktra nie jest pierwsza, a wic ma jaki dodatnidzielnik rny od 1 i a. Liczby wzgldnie pierwsze to takie liczby a i b, dla ktrychNWD(a, b) = 1.

Twierdzenie 9.3. Liczb pierwszych jest nieskoczenie wiele.

Dowd. Zamy niewprost za Euklidesem, e liczb pierwszych jest skoczeniewiele i s to: p1, . . . , pk. Rozwamy liczb

n = p1p2 . . . pk + 1.

Jest ona oczywicie wiksza od kadej liczby pi. Ponadto adna z liczb pierwszychpi nie dzieli n, bo przy dzieleniu przez pi daje reszt 1. A zatem n, albo jest nowliczb pierwsz, albo w rozkadzie n s nowe liczby pierwsze. Sprzeczno.

Twierdzenie 9.4. Dla dowolnych 0 6= a, b Z istniej takie n,m Z, e:

an+ bm = NWD(a, b).

Lemat 9.5 (Lemat Euklidesa). Jeli n | ab i NWD(n, a) = 1, to n | b.

Dowd. Skoro NWD(a, n) = 1, to z uwagi na 9.4, istniej x, y takie, e ax+ny = 1.Mnoc obie strony rwnoci przez b otrzymujemy:

xab+ ynb = b.

Z zaoenia wiemy, e n dzieli lew stron powyszej rwnoci. Musi zatem dzielite praw.

Twierdzenie 9.6 (Fundamentalne Twierdzenie Arytmetyki). Kada liczba na-turalna n > 1 ma jednoznaczny (z dokadnoci do kolejnoci) rozkad na iloczynliczb pierwszych.

Stwierdzenie 9.7. Jeli 0 < a, b N, a = p11 p22 . . . pkk i b = p11 p22 . . . p

kk ,

gdzie pi s liczbami pierwszymi oraz 0 i, i N, to

NWD(a, b) = pmin(1,1)1 pmin(k ,k)k ,

NWW(a, b) = pmax(1,1)1 pmax(k ,k)k ,

NWD(a, b) NWW(a, b) = ab.

10 Arytmetyka 26

10 Arytmetyka

10.1 Rozwizywanie rwna modularnych

Niech 0 < n N. Mwimy, e dwie liczby a, b Z przystaj do siebie modulo n, cozapisujemy

a n b wtedy i tylko wtedy, gdy a mod n = b mod n,

czyli gdy a, b daj t sam reszt przy dzieleniu przez n.Dla dowolnych a, b, c Z oraz 0 < n N zachodzi:

a n a,

jeli a n b, to b n a,

jeli a n b i b n c, to a n c.

Powysze wasnoci wiadcz o tym, e przystawanie n modulo n jest relacj rw-nowanoci na zbiorze Z. Dlatego czasem relacja ta nazywana jest rwnoci modulon. Okazuje si te, e relacja n jest zgodna z dziaaniami arytmetycznymi: doda-wania, odejmowania i mnoenia, a wic jest kongruencj ze wzgldu na te dziaania.

Stwierdzenie 10.1. Dla dowolnych a, b, c, d Z oraz 0 < n N zachodzi:

jeli a n b i c n d, to a+ c n b+ d,

jeli a n b i c n d, to a c n b d,

jeli a n b i c n d, to ac n bd.

Zbir reszt modulo n wraz z operacjami dodawania i mnoenia tworzy piercieprzemienny z jedynk Zn = {0, 1, . . . , n 1}. Piercie ten nie zawsze jest jednakciaem bo nie zawsze moemy skraca w mnoeniu czynnik zachowujc kongruencj.Na przykad:

2 2 = 4 6 10 = 2 5,ale 2 66 5. W rwnoci modulo n moemy skraca czynniki wzgldnie pierwsze z n.

Stwierdzenie 10.2. Dla a, b, d, n N jeli 0 < n, ad n bd i NWD(d, n) = 1,to a n b.

W takim piercieniu Zn mona rozwizywa tzw. rwnania modularne. Dla a, b Z, a 6= 0 rozwizania rwnania modularnego

ax n b,

z jedn niewiadom x zale od wielkoci NWD(a, n) w nastpujcy sposb:

jeli NWD(a, n) = 1,

to istnieje nieskoczenie wiele rozwiza; wszystkie one s postaci x = x0+kn,gdzie 0 x0 < n jest jakim rozwizaniem, a k Z.

10 Arytmetyka 27

jeli NWD(a, n) =: d > 1,

to rwnanie ma rozwizanie wtedy i tylko wtedy, gdy rwnie d | b. W tymprzypadku rozwizania rwnania ax n b pokrywaj si z rozwizaniami rw-nania

a

dx n

d

b

d.

10.2 Chiskie twierdzenie o resztach

Twierdzenie 10.3 (Chiskie twierdzenie o resztach). Niech 0 < n1, n2, . . . , nk N bd parami wzgldnie pierwsze, tzn. NWD(ni, nj) = 1 dla i 6= j. Wwczas dladowolnych a1, a2, . . . , ak Z istnieje dokadnie jedna liczba cakowita x taka, e0 x < n1n2 nk i

x n1 a1,x n2 a2,...

x nk ak.

W celu znalezienia rozwizania ukadu rowna z twierdzenia 10.3:

1. Sprawdzamy czy wspczynniki ni, i = 1, . . . , k s parami wzldnie pierwsze.Jeli nie, to 10.3 nie gwarantuje istnienia rozwizania ukadu.

2. ObliczamyN = n1n2 . . . nk.

3. Obliczamy

Ni =N

ni, i = 1, . . . , k.

4. Szukamy ti, xi Z (por. 9.4) takich, aby

NWD(ni, Ni) = niti +Nixi, i = 1, . . . , k.

5. Najmniejszym rozwizaniem ukadu jest

x = a1x1N1 + a2x2N2 + + akxkNk(mod N).

10.3 Mae twierdzenie Fermata

Twierdzenie 10.4 (Mae Twierdzenie Fermata). Dla dowolnej liczby pierwszejp i dowolnego a Z zachodzi:

ap p a.

Wniosek 10.5. Dla dowolnej liczby pierwszej p i dowolnych a, n Z zachodzi:

ap1 p 1 oraz an p a(p1)m+(nmod (p1)) p anmod (p1),

gdzie m to pewna liczba cakowita.

11 Teoria grafw 28

10.4 Twierdzenie Eulera

Dla liczby naturalnej n, przez (n) oznaczmy ilo liczb ze zbioru {1, 2, . . . , n}, ktresa wzgldnie pierwsze z n, tzn.

(n) ={m N : 1 m n oraz NWD(m,n) = 1}

.

Funkcj t nazywamy funkcj Eulera.

Stwierdzenie 10.6. Jeli n = p11 p22 . . . p

kk , gdzie pi to liczby pierwsze i 1 i,

to wtedy

(n) = (p11 )(p22 ) . . . (p

kk )

= p11(

1 1p1

)

p22

(

1 1p2

)

. . . pkk

(

1 1pk

)

= n

p|n

(

1 1p

)

.

Twierdzenie 10.7 (Twierdzenie Eulera). Jeli liczby a, n s wzgldnie pierwsze,tzn. jeli NWD(a, n) = 1, to

a(n) n 1.

11 Teoria grafw

Niech V bdzie niepustym zbiorem i niech E bdzie rodzin co najwyej dwu-elementowych podziorw zbioru V , czyli

E ={{v,w} : v,w V }.

Elementy zbioru V bdziemy nazywa wierzchokami (ang. vertices) lub czasemwzami albo punktami, natomiast elementy zbioru E krawdziami (ang. edges).Struktur

G = V,Ebdziemy nazywa grafem. Jeeli w grafie G dla wierzchokw v,w V istniejekrawd je czca, oznaczana jako vw = {v,w} E, to mwimy, e wierzchokiv,w s ssiednie. Mwimy, e wierzchoek v V incyduje z krawdzi e E,gdy krawed e wychodzi z wierzchoka V , czyli formalnie v e. Liczba krawdziincydentnych z wierzchokiem v to stopie wierzchoka v w grafie G i oznaczanajest przez deg(v).Graf prosty to taka struktura G, gdzie E jest zbiorem krawdzi midzy rnymi

wierzchokami, czyliE =

{{v,w} : v,w V, v 6= w}.jest rodzin dwu-elementowych podzbiorw V .

Stwierdzenie 11.1. Jeli G = V,E jest grafem prostym, to

vV

deg(v) = 2E.

11 Teoria grafw 29

Dowd. Kada krawd incyduje z dwoma wierzchokami. Zliczajc krawdzie in-cydentne do kolejnych wierzchokw, a nastpnie sumujc te wartoci, kada kra-wd vw zostanie zliczona dwa razy: raz przy rozpatrywaniu wierzchoka v, a drugiraz przy w.

Jeli graf G miaby nieparzycie wiele wierzchokw o nieparzystym stopniu tosuma

vV deg(v) byaby nieparzysta, wbrew temu, co mwi 11.1.

Wniosek 11.2. Liczba wierzchokw o nieparzystym stopniu w grafie prostym jestparzysta.

Graf G = V,E nazywamy skierowanym, gdy

E ={(v,w) : v,w V } V V,

czyli gdy krawdzie to pary uporzdkowane.Graf pusty to graf bez krawdzi. Antyklika lub graf niezaleny to inne nazwy

grafu pustego. Antyklik o n wierzchokach oznacza bdziemy przez An.Graf peny to graf, w ktrym kade dwa wierzchoki poczone s krawdzi.

Graf peny nazywany jest take klik i oznaczany przez Kn, gdzie n jest liczb jegowierzchokw. Liczba krawdzi w klice Kn wynosi

n(n 1)2.

Graf dwudzielny, w ktrym zbir wierzchokw V da si podzieli na dwa roz-czne podzbiory V1 oraz V2 tak, by adne dwa wierzchoki w obrbie tego samegopodzbioru Vi nie byy ssiadami. Podzia taki nie jest jednoznaczny bo na przykadw antyklice dowolny podzia zbioru wierzchokw na dwa podzbiory jest podziaemdwudzielnym. Peny graf dwudzielny to graf dwudzielny, w ktrym kady wierz-choek z V1 jest poczony z kadym wierzchokiem z V2. Peny graf dwudzielnyoznacza bdziemy przez Kr,s, gdzie r jest rozmiarem V1, a s rozmiarem V2.

11.1 cieki, cykle i drzewa

cieka w grafie G z wierzchoka w do wierzchoka u to skoczony cig krawdzipostaci

wv1, v1v2, . . . , vk1u.

W skrcie ciek tak oznaczamy przez

w v1 v2 vk1 u.

Wierzchoek w nazywa bdziemy pocztkowym, a u kocowym. Dugo cieki toilo jej krawdzi, w naszym wypadku wynosi ona k. cieka zamknita to ciekakoczca si w punkcie wyjcia, czyli taka, w ktrej w = u. Pojcie cieki masens rwnie w grafie skierowanym, naley jednak wwczas uwzgldni skierowaniekrawdzi.Cykl to cieka zamknita, w krej jedynym powtarzajcym si wierzchokiem

jest jej pocztek (bdcy jednoczenie jej kocem).

11 Teoria grafw 30

Graf jest spjny, gdy midzy dwoma dowolnymi wierzchokami istnieje cieka.Wierzchoek izolowany to wierzchoek nie posiadajcy ssiadw.Drzewo to graf spjny nie zawierajcy cykli. Las to suma drzew, czyli graf nie

zawierajcy cykli jako podgrafy. Li to wierzchoek o stopniu 1. Gwiazda to drzewo,w ktrym co najwyej jeden wierzchoek nie jest liciem.

Twierdzenie 11.3. Dla grafu G = V,E nastpujce warunki s rwnowane:(i) G jest drzewem.

(ii) G nie zawiera cykli i ma |V | 1 krawdzi.

(iii) G jest spjny i ma |V | 1 krawdzi.

(iv) G jest spjny, za usunicie dowolnej krawdzi tworzy dokadnie dwie ska-dowe.

(v) Dowolne dwa wierzchoki grafu G s poczone dokadnie jedn drog.

(vi) G nie zawiera cykli, lecz dodanie dowolnej nowej krawdzi tworzy dokad-nie jeden cykl.

11.2 Cykle Eulera

Leonhard Euler stan przed nastpujcym problemem. W Krlewcu (wwczas Ko-nigsbergu) na rzece Pregole, na ktrej s dwie wyspy wybudowano siedem mostwczce wyspy ze sob, oraz z oboma brzegami rzeki. Ukad mostw zosta przed-stawiony na rys. 1.

Rysunek 1: Mapa mostw w Krlewcu.

Pytanie, jakie zostao postawione Eulerowi, to czy mona tak uoy spacer powszystkich mostach Krlewca, by po kadym przej tylko raz i wrci do punktustartowego. Euler oczywicie odpowiedzia na zadane mu pytanie.Powyszy problem mona przedstawi w jzyku grafw. Niech kady spjny

kawaek ldu w Krlewcu odpowiada wierzchokowi. Otrzymamy w ten sposb dwawierzchoki odpowiadajce wyspom oraz dwa obu brzegom Pregoy. Most pomidzydwoma kawakami ldu bdziemy interpretowa jako krawd czc wierzchoki

11 Teoria grafw 31

odpowiadajce tym skrawkom ldu. W ten sposb otrzymamy graf (nie bdcygrafem prostym) jak na rys. 2.

Rysunek 2: Graf pocze mostami w Krlewcu.

Cykl Eulera to zamknita cieka przechodzca przez kad krawd grafu do-kadnie raz. Mwimy, e graf jest eulerowski, gdy posiada cykl Eulera.

Twierdzenie 11.4. Graf G = V,E jest eulerowski wtedy i tylko wtedy, gdyjest spjny i stopie kadego wierzchoka jest parzysty.

Twierdzenie 11.5. Niech G = V,E bdzie spjnym grafem planarnym. Ww-czas w dowolnej planarnej reprezentacji grafu G liczba regionw (obszarw, na jakiekrawdzie grafu dziel paszczyzn) jest rwna

|S| = |E|+ |V |+ 2.

11.3 Cykle Hamiltona

Inny, ciekawy problem mona przedstawi na przykadzie firmy rozwocej prze-syki. Dotyczy on pracy kuriera majcego rozwie przesyki do odbiorcw, w tensposb by odwiedzi kadego klienta jedynie raz, a na kocu wrci do siedzibyfirmy. Jest to tzw. problem komiwojaera.Cykl Hamiltona to cykl przechodzcy przez wszystkie wierzchoki grafu (czyli

cieka zamknita odwiedzajca kady wierzchoek dokadnie raz). Graf hamilto-nowski to graf posiadajcy cykl Hamiltona. cieka Hamiltona to cieka przecho-dzca przez wszystkie wierzchoki, kady odwiedzajc jedynie jeden raz.W odrnieniu od grafw eulerowskich, grafy hamiltonowskie nie posiadaj pro-

stej i szybkiej w uyciu charakteryzacji. Nie znana jest adna metoda, pozwalajcaszybko (tzn. w czasie wielomianowym) stwierdzi czy dany graf jest hamiltonowski.S natomiast znane pewne warunki wystarczajce na to, by graf by hamiltonowski.

Twierdzenie 11.6 (Ore 1960). Jeli w grafie prostym G = V,E o co najmniej3 wierzchokach dowolne dwa niessiednie wierzchoki v i w speniaj

deg(v) + deg(w) |V |,

to graf G jest hamiltonowski.

11 Teoria grafw 32

Literatura

[1] Graham, R. L., Knuth, D. E., Patashnik, O. Matematyka konkretna. Pa-stwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1996.

[2] Lipski, W. Kombinatoryka dla programistw. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2004.

[3] Ross, K. A., Wright, Ch. R. B. Matematyka dyskretna. Pastwowe Wy-dawnictwo Naukowe, Warszawa, 1998.

[4] Paka, Z., Ruciski, A. Wykady z kombinatoryki. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1998.