MATEMATİK EĞİTİMİNDEMATEMATİKSELMODELLEME-Araştırmacılar, Eğitimciler ve Öğrenciler İçin-

Ed�tör: Doç. Dr. Esra BUKOVA GÜZEL

Editör: Doç. Dr. Esra BUKOVA GÜZEL

Matematik Eğitiminde Matematiksel ModellemeAraştırmacılar, Eğitimciler ve Öğrenciler İçin

ISBN 978-605-318-544-4DOI: 10.14527/9786053185444

Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayım ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.

1. Baskı: 2016, Ankara

Yayın-Proje: Ümit Dilaver Dizgi-Grafik Tasarım: Ayşe Nur Yıldırım

Kapak Tasarımı: Pegem Akademi

Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105

Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)

Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi 0312 430 67 50 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.netE-ileti: pegem@pegem.net

ÖN SÖZ

Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme adlı kitabımızda matema-tiksel modellemeyi çok yönlü ele alarak başta matematik eğitimcileri, araştır-macılar ve öğrenciler olmak üzere geniş bir kitleye hitap etmeye çalıştık. Gerçek yaşam ile matematiğin ilişkilendirilmesini sağlayan matematiksel modellemenin her düzeyde önemli olduğu fikrini yansıtan bu kitap, ortaokul, lise ve lisans sevi-yeleri için modelleme uygulamaları örneklerini içermektedir. Diğer yandan, ma-tematiksel modelleme alanında araştırmalar yürütmek isteyenlere kuramsal bir taban sunarken matematik öğretmenlerine ve matematik öğretmeni adaylarına da uygulamaya dönük deneyim kazanacakları altyapı sağlamaktadır. Matema-tiksel modellemeyi kavramak ve modelleme uygulamalarını gerçekleştirmek için okuyuculara ışık tutacak olan bu kitap alan yazına da önemli katkılar sağlaya-caktır. Kitabın içeriğini belirleme ve yazma sürecinde uzun yıllardır yürüttüğüm Matematiksel Modelleme Dersi'nden edindiğim deneyimlerim ve diğer yazarlarla birlikte matematik öğretmenlerine ve öğrencilere yönelik 2011 yılından itibaren her yıl düzenli olarak gerçekleştirdiğimiz çalıştaylardan edindiğimiz deneyimler bize yol gösterdi. Bazen alan yazındaki çalışmalara atıf yaparak okuyucuları bilgi-lendirmeye çalışırken bazen okuyucuları sıkmamak adına deneyimlerimize dayalı edindiğimiz bilgilere yer verdik. Kitapta; matematiksel modelleme, matematiksel modelleme süreci, modelleme yeterlikleri ve gelişimi, modelleme yeterliklerinin değerlendirilmesi, modelleme etkinliklerinin öğretimde kullanımı ve modelleme problemleri örneklerini ele aldık.

Uzun süreli bir emeğin ürünü olan kitabımızın hazırlık sürecinden itibaren bizleri sabırla destekleyen eşlerimize, kendisinden edindiğim bilgi ve deneyimler-le her zaman bana ışık tutmuş Sayın Hocam Prof. Dr. Hüseyin ALKAN’a ve kitabın hazırlanma sürecinde hızla büyüyen bebeğimiz Erdem DEDE'ye ve biricik oğlum Alp GÜZEL'e teşekkürlerimizi sunuyorum.

Editör

Doç. Dr. Esra BUKOVA GÜZEL

YAZARLAR

Doç. Dr. Esra BUKOVA GÜZEL

Dokuz Eylül Üniversitesi Buca Eğitim Fakültesi

Dr. Ayşe TEKİN DEDE

Dokuz Eylül Üniversitesi Buca Eğitim Fakültesi

Dr. Çağlar Naci HIDIROĞLU

Pamukkale Üniversitesi Eğitim Fakültesi

Yrd. Doç. Dr. Semiha KULA ÜNVER

Dokuz Eylül Üniversitesi Buca Eğitim Fakültesi

Arş. Gör. Aytuğ ÖZALTUN ÇELİK

Pamukkale Üniversitesi Eğitim Fakültesi

İÇİNDEKİLER

Ön Söz .................................................................................................................................... iiiYazarlar ....................................................................................................................................v

1. BÖLÜM

Matematiksel Modellemeye Giriş .........................................................................................11.1. Matematiksel Model ve Matematiksel Modelleme ....................................................91.2. Matematiksel Modelleme Perspektifl eri .....................................................................12

2. BÖLÜM

Matematiksel Modelleme Süreci ........................................................................................17

3. BÖLÜM

Modelleme Yeterlikleri ve Gelişimi ....................................................................................35

4. BÖLÜM

Modelleme Etkinliklerinin Öğretimde Kullanımı ...........................................................454.1. Modelleme Uygulamalarına İlişkin Alan Öğretimi Modelleri ................................474.2. Modelleme Etkinliklerinin Özellikleri .......................................................................484.3. Modelleme Uygulaması İçin Bir Örnek: Model Oluşturma Etkinlikleri ...............50

4.3.1. Bir MOE Örneği: Büyük Ayak Problemi ..........................................................544.4. Modelleme Etkinliklerinin Öğretim Sürecine Entegrasyonu için Yaklaşımlar .....584.5. Matematik Derslerinde Modelleme Etkinliklerinden Yararlanma Önerileri ........594.6. Modelleme Etkinliklerinin Uygulama Süreci ............................................................654.7. Modelleme Uygulamalarında Karşılaşılabilecek Zorluklar ve Öğretmen Müdahaleleri ......................................................................................................75

5. BÖLÜM

Matematiksel Modelleme Problemleri ..............................................................................835.1. Salıncak Problemi..........................................................................................................83

5.1.1. Salıncak Problemi’nin Geogebra ile Desteklenen Örnek Bir Çözümü ........845.2. Boy-Ayak Uzunluğu Problemi.....................................................................................885.3. Stat Problemi ..................................................................................................................90

5.3.1. Stat Problemi’nin Çözüm Örneği ......................................................................91

viii Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme

5.4. Buca Arena Stadyumu Problemi ................................................................................965.4.1. Buca Arena Stadyumu Problemi’nin Çözüm Örneği .....................................97

5.5. Obezite Problemi ...........................................................................................................995.6. Atatürk Rölyefi Problemi .......................................................................................... 1015.7. Adım Problemi ........................................................................................................... 1025.8. Antik Tiyatro Problemi ............................................................................................. 1035.9. Atlet Problemi ............................................................................................................. 1045.10. Kargo Problemi ........................................................................................................ 1055.11. Sultan Kösen Problemi ............................................................................................ 1065.12. Piramit Problemi ...................................................................................................... 1075.13. Yakıt Problemi .......................................................................................................... 108

5.13.1. Yakıt Problemi’nin Çözüm Örneği .............................................................. 1095.14. Düşme Problemi (Uzaydan Dünya’ya Atlayış) ..................................................... 1125.15. Tiyatro Problemi ...................................................................................................... 1155.16. Köprü Problemi (Yavuz Sultan Selim Köprüsü) .................................................. 1175.17. İzmir Saat Kulesi Problemi ..................................................................................... 1195.18. Karşıyaka Vapur İskelesi Problemi ........................................................................ 1215.19. Yatak Problemi ......................................................................................................... 122

5.19.1. Yatak Problemi’nin 6. Sınıf Öğrencilerine ait Örnek Bir Çözümü ........... 1235.19.2. Yatak Problemi’nin Lisans Öğrencilerine ait Örnek Bir Çözümü ............ 123

5.20. Saman Balyası Problemi .......................................................................................... 1245.21. Adenauer Problemi .................................................................................................. 125

5.21.1. Adenauer Problemi’nin Çözüm Örneği ....................................................... 1265.22. Akaryakıt İstasyonu Problemi ................................................................................ 1295.23. Pisa Kulesi Problemi ................................................................................................ 1305.24. Deniz Feneri Problemi ............................................................................................ 1315.25. Elmalı Turta Problemi ............................................................................................. 1325.26. Eşme Kilim Problemi............................................................................................... 1335.27. Merdiven Problemi .................................................................................................. 1345.28. Okulda Zaman Problemi......................................................................................... 1355.29. Diş Fırçalama Problemi ........................................................................................... 1365.30. Futbol Sahası Problemi ............................................................................................ 137

Kaynakça ...............................................................................................................139

İçindekiler ix

Şekiller ListesiŞekil 2.1. Modelleme Sürecinin Yapısı (Müller ve Wittmann,1984) .............................19Şekil 2.2. Modellemedeki Temel Basamaklar (Mason, 1988) ........................................20Şekil 2.3. Modelleme Döngüsü (Berry ve Davies,1996) .................................................20Şekil 2.4. Modelleme Süreci (Doerr, 1997).......................................................................21Şekil 2.5. Matematiksel Modelleme Döngüsü (Abrams, 2001) .....................................21Şekil 2.6. Matematiksel Modelleme Sürecindeki Temel Etkenler

(Blomhøj ve Jensen, 2003; 2006) .......................................................................23Şekil 2.7. Matematiksel Modelleme Sürecinin Akış Diyagramı

(Voskoglou, 2006) ...............................................................................................23Şekil 2.8. Modelleme Süreci (Lema, 2006) .......................................................................24Şekil 2.9. Bilişsel Perspektif Altında Modelleme Döngüsü

(Borromeo Ferri, 2006) ......................................................................................25Şekil 2.10. Modelleme Süreci (Galbraith ve Stillman, 2006) .........................................25Şekil 2.11. Modelleme Süreci (Mousoulides, 2007) ........................................................28Şekil 2.12. Matematiksel Modelleme Süreci (Cheng, 2010) ...........................................28Şekil 2.13. Matematiksel Modelleme Sürecinin Temel Yapısı (Hıdıroğlu, 2012) ........29Şekil 2.14. Saman Balyası Problemi ..................................................................................30Şekil 2.15. Dört Basamaklı Döngüye Göre Çözüm Yaklaşımı .......................................31Şekil 4.1. Moelerin Özellikleri ...........................................................................................51Şekil 4.2. Moelerin Temel Bileşenleri ................................................................................51Şekil 4.3. Modelleme Uygulamaları Rehberi (Tekin Dede ve Bukova Güzel, 2016) ...68

x Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme

Tablolar ListesiTablo 1.1. Günlük Yaşam Örnekleri ve İlgili Matematik Konuları .................................4Tablo 1.2. Matematiksel Modelleme Perspektifl erinin Sınıfl andırılması .....................12Tablo 2.1. Öğrencilerin Modelleme Sürecindeki Bilişsel Eylemleri ..............................26Tablo 3.1. Matematiksel Modelleme Sürecindeki Üst Bilişsel Eylem Yapıları .............40Tablo 4.1. MOE Prensipleri ................................................................................................54Tablo 4.2. Modelleme Yeterlikleri Değerlendirme Rubriği ...........................................73

Yaşamımızdaki pek çok duruma veya olaya matematik sayesinde anlam kazandı-rabiliriz. Bu durumları, mimarlıktan dan-sa, coğrafyadan iktisada, müzikten spora vb. alanlara yayılan geniş bir yelpazede gö-rebiliriz. Örneğin, spor ile ilgili akla gele-bilecek örneklerden biri, bir basketbol to-punun potaya atılması halinde gerçekleşen hareketinin parabol ile ilişkilendirilmesi-dir. Basketbol oynayan kişinin, potaya olan uzaklığı, boy uzunluğu ve potanın yer-den yüksekliği şüphesiz parabolün neye benzeyeceği hakkında bir fi kir verecektir. Bir diğer husus ise atıştaki topu potaya atarken kolun açısının nasıl ayarlanacağı-dır ki bu sayede parabolün kollarının açık-lığı da şekillenecektir.

MATEMATİKSEL MODELLEMEYEGİRİŞ

1.1. BÖLÜMBÖLÜM

Benzer şekilde bir futbol maçında topun kaleye ulaşmasında şutu çeken oyuncunun yeri, kaleye uzaklığı, hangi açı ile topa vurması gerektiği durumu da matematiğin yaşamdaki bir yansıması olarak düşünülebilir. Bilardoda, bir topa hangi açıdan kaç defa vurulması sonucunda, topun istenen deliğe isabet etme du-rumu da matematiksel hesaplama ile bulunabilir. Biliriz ki bilardo topu hangi açı ile vuruldu ise o açıya eş bir açı ile banttan sekerek yoluna devam eder.

Seneye doğum gününüzün hangi gün olacağı, “45 gün sonra ödevlerinizi ge-tirin!” diyen bir öğretmene ödevinizi hangi gün teslim edeceğiniz gibi durumlar modüler aritmetiğin yaşamımıza yansımaları olarak düşünülebilir. Bir ressamın çizimini tamamlarken tuvalinin büyüklüğüne göre ölçeklendirme yapmasında ve belli oranları kullanmaya çalışmasında da matematiğin izlerini görürüz.

Görüldüğü gibi matematik yaşamımıza anlam kazandırmada önemli bir yere sahiptir. Matematik sayesinde akıl yürütme becerisine sahip oluruz. Matematiksel akıl yürütmeye sahip bir kişi günlük yaşamda karşılaştığı problemleri çözerken matematiksel mantığını kullanabilir. Örneğin, evinize yaptıracağınız bir kütüpha-nenin nasıl olması gerektiği aslında bir matematik problemi olarak düşünülebilir. Öncelikle ne tür kitaplarınız, ne kadar yeriniz ve ne kadar paranız var soruları problem çözümü için başlangıç noktanızdır. Çünkü mevcut olan bu bilgiler sonra-ki adımlarınızı şekillendireceği için önemlidir. Eğer kitapları gruplayarak yerleşti-

2 Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme

recekseniz bu gruplamada neyi temel alacağınızı göz önünde bulundurmanız ge-rekecektir. Kitapların türünü veya kitapların boyutlarını dayanak noktası almak bir seçim ölçütü olabilir. Bu adım sizi probleminizi çözmede bir aşama daha ileri götürecektir. Örneğin kitapları büyüklüğüne ve küçüklüğü-ne bakarak benzer boyutlara göre gruplandıracaksanız kitaplığın rafl arı-nı bu boyutlara göre düzenlemeniz de etkili olabilir. Ancak kitaplarınızı belli temalara göre gruplandırmak isteme-niz sizi başka bir çözüm yoluna yönel-tecektir. Alışılagelmişin dışında yaratı-cılığınızı kullanarak farklı kitaplık modellerini de düşünebilirsiniz.

Benzer şekilde yaşayabileceğiniz bir evi kiralama da pek çok değişkeni içe-ren ve matematik sayesinde çözülmesi daha kolay olan bir problemdir. Evi nere-de kiralamak istediğiniz, ne büyüklükte bir ev düşündüğünüz, kaç kişi ile o evde yaşacağınız ve ne kadar bütçe ayıracağınız bu problemin çözümünde ele almanız gereken hususlardandır. Öğrenci iseniz okulunuza yakın ve arkadaşlarınızla büt-çesini paylaşabileceğiniz bir ev isteyebilirsiniz. Öte yandan evli iseniz evin eşler-den hangisinin işine yakın olacağı sorusunu kendinize sorabilirsiniz. Üstelik bir de çocuğunuz varsa bu seçimler daha da çeşitlenecektir. Ancak bütçenizi zorlayan bazı evleri ve yerleşim yerlerini en başında ihmal etmeniz de gerekecektir. İçine girildikçe bu konuda daha fazla değişken de aklınıza gelebilir.

Görüldüğü gibi matematik, yaşamımızda bazen doğrudan yansımalarını gör-düğümüz bazen ise yaşamımıza anlam kazandırmak için kullandığımız bir bilim-dir. Buna bağlı olarak yaşamımızı böylesine etkileyen matematiğin bir ders olarak okullarımızdaki yeri de oldukça önemlidir. Bu nedenle, matematik derslerini ger-çek yaşam problemlerine çözüm üretme becerisi kazandıracak şekilde yürütmek gerekir. Bunun için günlük yaşamda karşılaştığımız olayların hangi matematiksel kavramlar ile ilişkili olduğunu düşünmek ve bunları problem durumları olarak sunmak faydalı olabilir. Blum (1991), günlük yaşamda karşılaşılan bazı olayları ve bunlarla ilgili matematiksel kavramları örneklemektedir (bkz. Tablo 1.1). Tablo-daki örnekler matematik derslerinde yararlanılabilecek günlük yaşam uygulama-larına ilişkin farklı bir bakış açısı sağlayabilir.

Matematiksel Modellemeye Giriş 3

Tablo 1.1. Günlük Yaşam Örnekleri ve İlgili Matematik Konuları

Gerçek Yaşam Örnekleri

İlgili Matematik Konuları

Artış-Azalış Süreçleri

• nüfus artışı

• kimyasal tepkimeler

• salgın hastalıkların yayılımı

• gazlı içecek köpü-ğünün azalışı

• ısınma-soğuma

• soğurma…

Fonksiyonlar, Analiz ve Lineer Cebir

Gökkuşağı Geometri ve Analiz

Genetik Hesaplama, Olasılık ve (Lineer) Cebir

Faiz Oranı Hesaplama, Fonksiyonlar ve Analiz

Gelir Vergisi Hesaplama, Fonksiyonlar ve Analiz

4 Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme