Rimas Norvaiša2012 m. birželio 11 d.

Apie atotrūkį tarp mokyklinės matematikos ir universitetinės matematikos (šiuolaikinės matematikos).

Šio atotrūkio priežastį nurodo pranešimo pavadinimas.

Šioje konferencijoje apie atotrūkio problemą jau buvo diskutuota:

A. Apynis ir E. Stankus (2005) A. Apynis ir J. Šinkūnas (2007) J. Kaminskienė, D.Rimkuvienė, E.Laurinavičius

(2010) (ir kitur ,,Alfa plius omega”)

Felix Klein1907 m. rašo apie ,,dvigubą trūkį”. Jis išleidžia savo paskaitas (2 tomus) skirtas

mokyklinės matematikos mokytojams. 2007 m. IMU/ICMI pradeda The Klein Project Tikslas paruošti leidinį su įvairių šiuolaikinės

matematikos temų aprašymais skirtais mokytojams. Šiame projekte gali dalyvauti kiekvienas iš mūsų.

Bet tai nesprendžia problemos. Tarptautinės organizacijos, kaip ir nac. šalių vyriausybės, paprastai tik sukuria problemas.

Matematikos istorija, ypač 19 a. ir po to. Matematikos filosofija, ypač matematikos

esmės ir prigimties samprata. Šie argumentai naudojami vertinant

mokyklinės matematikos programą. Nacionalinių mokyklinės matematikos

ugdymo sistemų reformų apžvalga paaiškina kodėl problema lieka neišspręsta iki šiol daugelyje šalių.

Svarbiausia siūlomas planas: ką daryti?

,,Matematika - pasaulio pažinimo instrumentas leidžiantis ugdyti ir ugdytis gebėjimus skaičiuoti, logiškai mąstyti ir formalizuoti, analizuoti, įrodyti, kritiškai vertinti, lavinantis vaizdinį, erdvinį ir stochastinį mąstymą. ....”

Pirma problema – matematikos apibūdinimas. Antra problema - matematinis mąstymas. Trečia problema – matematikos kurso turinys.

Instrumentas pažinti pasaulį? Vienu metu (kelis šimtmečius) matematika

tokia buvo. G. Galileo – gamtos knyga parašyta

matematikos kalba. I. Newtonas ir kiti – panašiai galvojo. Antikoje buvo du priešingi požiūriai: Platono

ir Aristotelio. Mūsų programa perima Aristotelio požiūrį:

sąvokos formuojamos apibendrinant realią patirtį.

Esminiai pokyčiai susiję su B. Riemannu Argumentai pagrįsti geometrine-vaizdine-

jutimine intuicija keičiami loginiu pagrindimu. Matematinė sąvoka (intensija=savybės,

ekstensija=objektų rinkinys) apibrėžia objektą savybėmis vieninteliu būdu.

B.Riemanno ir G.Frege sąvoka, atitinka G.Cantoro aibę.

Joks realios tikrovės daiktas ar reiškinys nebėra tiesioginis matematikos objektas.

Išskyrus mokyklinę matematiką, ji nepakito.

Psichologijos požiūriu: skirtingi tipai 1. Rudimentinė aritmetika 2. Neformalioji matematika – sveikas protas 3. Formalioji matematika – kartais

prieštarauja sveikam protui

Dabartinė mokyklinė matematika moko 2-ojo tipo matematinio mąstymo, be tolydaus perėjimo į trečią tipą (F.Kleino ,,dvigubas trūkis”).

Matematikos objektas vienareikšmiškai apibrėžiamas savo savybėmis.

Matematiniai samprotavimai reiškiami teiginiais = sakiniai, kurie yra teisingi arba klaidingi. Tokių sakinių natūralioje kalboje paprastai nėra (pvz. vardai neapibrėžia vienareikšmiškai tikrovės objektų).

Todėl matematikoje yra įmanoma naudoti visas logikos taisykles, pvz. negalimo trečiojo dėsnį (ne tik silogizmus).

Tai būtinos matematinio įrodymo sąlygos.

Matematinį mąstymą mokiniai parodo kai: keldami hipotezes probleminėse situacijose ir

jas tikrindami; analizuodami problemą, uždavinį suskaido į

lengviau įveikiamas, geriau išnagrinėtas dalis; nustatydami objektų bei reiškinių sąryšius ir

dėsningumus; įrodydami teiginių teisingumą ir t.t. Paskutinis nėra įmanomas be minėtų sąlygų,

o kiti yra Descarteso (1596-1650) mokslinio metodo principai.

Visi bendrojo ir išplėstinio kurso faktai išdėstyti programoje buvo žinomi iki 18 a.

Tokios šiuolaikinės matematikos sąvokos kaip funkcija, begalinė aibė, riba, logikos kvantoriai, jei apibrėžiamos, tai naudojamos ne iš esmės. Sudaro šiuolaikiškumo iliuziją

Pvz. funkcija naudojama tik kaip išraiška (formulėms), t.y. L. Eulerio laikų funkcijos samprata. Riba vadovėliuose neapibrėžiama, tai galima apsieiti ir be logikos kvantorių

Tikslas – nuodugniau nagrinėti klasikinės ir moderniosios fizikos sritis.

Pastaroji sritis apima šviesos kvantines savybes, atomo sandarą, branduolinę reakciją.

Tarp uždavinių – pasirengti studijoms aukštojoje mokykloje.

Reikalaujama: nusakyti Lietuvos mokslininkų vaidmenį fizikos raidoje, nusakyti fizikos ateities perspektyvas.

Kaip atrodytų, jei ,,fiziką” keisti ,,matematika”?

Pavyzdžiui, nesant ribos tikslios apibrėžties, funkcijos išvestinė taške suprantama kaip ,,liestinės krypties koeficientas”, arba kaip ,,funkcijos kitimo greitis” .

Kyla klausimas, kaip fizikai moksleiviams paaiškina judančio kūno momentinį greitį?

Universitetinėje matematikoje šie dalykai pateikiami, kaip matematinės sąvokos interpretacija.

Mokykloje matematinio modelio aiškinimas neįmanomas, nes ,,modelis” tapatus realiai tikrovei.

F.Quinn (2012, Notices AMS) paaiškinimas. Tai, kas įvyko su matematika 19 a. buvo

revoliucija. Skirtingai nuo gamtos mokslų revoliucijų,

matematikoje analogiškas reiškinys liko nesuvoktas ir neįvertintas.

Šio matematikų bendruomenės neapsižiūrėjimo kaina – mokyklinė matematika vis dar dėstoma remiantis 19 a. metodologija.

Pirma: visiems pripažinti ligos diagnozę. Mokyklinės matematikos programos keitimas

yra nepakankamais. Skirtingai nuo F. Kleino laikų, būsimi matematikos mokytojai Lietuvoje nestudijuoja universitetinės matematikos.

Antra: reikia keisti viską kartu, t.y. matematikos mokytojų ruošimą, programas ir vadovėlius.

Dar daugiau, visuomenė turi žinoti, kad yra dar ir ne mokyklinė matematika.

Trečia: imtis matematikos populiarinimo.