matematika2 dio2 za gimnazije i tehnicke skole

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Branimir DakicNeven Elezovic

MATEMATIKA 2udzbenik i zbirka zadatakaza 2. razred gimnazija i tehnickih skola2. dio

� �

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Intelektualno je vlasnistvo, poput svakog drugog vlasnistva, neotu -divo, zakonomzasticeno i mora se postivati. Nijedan dio ove knjige ne smije se preslikavati niti

umnazati na bilo koji nacin, bez pismenog dopustenja nakladnika.

ISBN 978-953-197-848-4 (cjelina)ISBN 978-953-197-850-7 (Dio 2)

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Branimir DakicNeven Elezovic

MATEMATIKA 2

udzbenik i zbirka zadataka

za 2. razred gimnazija i tehnickih skola

2. dio

1. izdanje

Zagreb, 2013.

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

c© Branimir Dakic, prof.prof. dr. sc. Neven Elezovic, 2013.

UrednicaSandra Gracan, dipl. ing.

RecenzentiZeljka Frkovic, prof.

prof. dr. sc. Ljubo Marangunic

LektoricaDunja Apostolovski, prof.

Crtezi, slog i prijelom

Element d.o.o., Zagreb

Dizajn

Edo Kadic

NakladnikElement d.o.o., Zagreb, Menceticeva 2

tel. 01/ 6008-700, 01/ 6008-701faks 01/ 6008-799www.element.hr

[email protected]

TisakElement d.o.o., Zagreb

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Predgovor

Uz ovaj udzbenik stjecat cete nova matematicka znanja. Knjiga se sastoji od dvasveska s ukupno sedam poglavlja, a u svakom je poglavlju obra -dena jedna tematskacjelina. Pojedino poglavlje zapocinje zanimljivim i poticajnim problemom koji cese razrijesiti nakon usvajanja novog gradiva. Uvjerit cete se u vaznost matematikete njezinu siroku primjenu u raznim podrucjima zivota.

Gradivo se izlaze na vama primjeren i pristupacan nacin. Potkrepljuju ga pomnoodabrani i potpuno rijeseni raznovrsni primjeri. Nastojte ih pozorno i temeljitoprouciti. Neposredno iza primjera slijedi njemu blizak zadatak cije ce samos-talno rjesavanje pridonijeti boljem razumijevanju i usvajanju gradiva. Velik brojilustracija i slika podize zornost sadrzaja.

U ovoj knjizi je i opsezna zbirka zadataka za vjezbu. Zadatci su razvrstani pomanjim tematskim cjelinama unutar poglavlja. Na kraju knjige su rezultati, a uzslozenije zadatke nalaze se i postupci rjesavanja.

I svakako ne zaboravite: uspjesno ucenje matematike zahtijeva upornost i marlji-vost, ono mora biti redovito, nikako “kampanjsko”. Nastojte uciti sto samostalnije,uz pomoc udzbenika. Samo tako ce vase znanje biti temeljito i trajno.

Ukazimo jos i na male, raznovrsne i zanimljive umetke (kutke) kojima je svrhaunijeti zivost u proces ucenja. Ti su umetci naznaceni posebnim simbolima. Evonjihova tumacenja:

Za radoznale

U ovim kutcima dane su neke napomene i krace dopune neposrednopovezane s gradivom koje se upravo obra -duje. Poklonite im trenutakpozornosti, nece to zahtijevati poseban dodatni napor, a moze pridonijetiprosirivanju vasih matematickih vidika.

Kutak plus

Kutak plus sadrzava dodatne napomene uz tekuce gradivo. Tim malimdodatcima mozete upotpuniti i produbiti svoje znanje. Savjetujemo ivama, koji mozda mislite kako ti dodatci nisu za vas: ne odustajte olako.Barem pokusajte razumjeti o cemu se radi jer ovdje nije rijec ni o cemunedostupnom.

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Istrazite

U ovim kutcima naici cete na otvorene probleme koje valja istraziti.“Otvoreno” znaci da vam nije unaprijed propisan put k rjesenju, niti jesamo rjesenje predvidivo. Neki od problema pod ovim naslovom moguse obraditi i kao projektni zadatci ili kao matematicki eseji.

Bez rijeci

Dokaze nekih matematickih cinjenica mozemo izraziti zorno i bez rijecikao svojevrsne matematicke rebuse. Kad kazemo “bez rijeci”, podrazu-mijevamo da je dokaz neke matematicke cinjenice predocen bez ikakvapisanog obrazlozenja. Dokazu vodi analiza same slike, a na vama je daga opisete rijecima.

Iz zabavne matematike

Zabavna (ili rekreacijska) matematika priznata je grana matematike. Za-bavna je zbog “zabavnih” problema, sto ne znaci da su ti problemi sasvimmatematicki bezazleni. Uz zadatke u ovim kutcima, u udzbeniku cetenaci jos citav niz zadataka, ugra -denih u samo izlaganje gradiva, koji bise tako -der mogli svrstati u zabavnu matematiku.

Povijesni kutak

Matematicka znanost ima bogatu i zanimljivu povijest. U svakom pojedi-nom poglavlju ovog udzbenika povijesni kutak ukratko govori o povijestipodrucja matematike koje se u tom poglavlju obra -duje. Ponekad su tosamo male napomene.

Tocno-netocno pitalice

Tocno-netocno pitalice namijenjene su prije svega za vas samostalan rad.One su pozorno i sustavno osmisljene te sadrzajno pokrivaju pojedinecjeline. Nije dovoljno reci je li vas odgovor na pojedinu pitalicu tocanili netocan. Upravo podrobno obrazlozenje izbora izme -du “da” i “ne” jeono sto se trazi. Zbog toga budite uporni u traganju za rjesenjima.

Autori

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Sadrzaj

5. Eksponencijalne i logaritamske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1. Eksponencijalna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2. Graf i svojstva eksponencijalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.3. Logaritamska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.4. Svojstva logaritamske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.5. Eksponencijalne i logaritamske jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.6. Eksponencijalne i logaritamske nejednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.7. Primjene eksponencijalne i logaritamske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.8. Racunanje logaritama i opcih potencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6. Geometrija prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.1. Tocke, pravci i ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.2. Paralelnost i okomitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.3. Ortogonalna projekcija i udaljenost tocke do ravnine . . . . . . . . . . . . . . 926.4. Preslikavanja prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.5. Kut pravca i ravnine. Kut dviju ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.6. Konveksni skupovi, poluprostori i poliedri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7. Poliedri i rotacijska tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.1. Obujam tijela. Cavalierijev princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.2. Prizme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.3. Piramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.4. Valjak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.5. Stozac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.6. Kugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.7. Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.8. Rotacijska tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Rjesenja i upute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935. Eksponencijalne i logaritamske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946. Geometrija prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007. Poliedri i rotacijska tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Kazalo pojmova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

5 EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE FUNKCIJE

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Dosad smo u matematici upoznali vise funkcija. Nekima od njih, a takve suprimjerice polinomi prvog i drugog stupnja, vrijednosti mozemo izracunati s po-mocu cetiri osnovne racunske operacije te operacija potenciranja i korjenovanja.Takve se funkcije zovu algebarske.

U ovom poglavlju srest cemo se s dvjema novim funkcijama, eksponencijalnom ilogaritamskom koje prelaze te okvire jer se njihove vrijednosti ne mogu izracunatina opisani nacin. Takve se funkcije zovu transcedentne.

Eksponencijalna i logaritamska funkcija znacajne su pri analizi i opisivanju ne-kih vaznih prirodnih i drustvenih pojava i fenomena. Za uvod odabrali smo jedansasvim jednostavan primjer.

5.1. Eksponencijalna funkcija

Cijena rabljenog automobila ovisi o vise cimbenikaod kojih je vrlo bitna godina proizvodnje, odnosnostarost automobila. Svake se godine vrijednost nekogautomobila umanjuje za 25 % u odnosu na prethod-nu.

Ako je kao nov automobil stajao 15 000 eura, kolikamu je vrijednost nakon n godina?

Oznacimo s C0 = 15 000 cijenu novog automobila.Nakon godinu dana ( n = 1 ) vrijednost automobilaumanji se za 25 % i iznosi

C1 = C0 − C0 · 0.25= C0(1 − 0.25)= C0 · 0.75= 11 250 eura.

Nakon jos jedne godine automobilu cijena ponovno padne za 25 % i iznosi

C2 = C1 − C1 · 0.25 = C1(1 − 0.25) = C1 · 0.75 = C0 · 0.752 = 8437.5 eura.

Analogno racunamo dalje te je

C3 = C0 · 0.753 = 6328 eura itd.

Cijena automobila funkcija je vremena i mozemo je zapisati u sljedecem obliku:

Cn = 15 000 · (0.75)n.

Prikazimo racun tablicom u kojoj je s n oznacen broj godina, a s Cn vrijednostautomobila nakon n godina izrazena u tisucama eura. Primijetite da pri ispisi-vanju tablice rabimo sljedecu cinjenicu: ako je Cn cijena automobila nakon ngodina, tada je cijena sljedece godine Cn · 0.75 .

2

EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA 5.1

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

n 0 1 2 3 4 5 6

Cn 15 11.250 8.438 6.328 4.746 3.560 2.7

Podatke iz tablice uz jos nekoliko dodanih mozemo za-pisati u obliku ure -denih parova (n,Cn) te pridruzene imtocke ucrtati u koordinatni sustav. Sto primjecujete? Opi-site taj graf.

Naravno da ima smisla pitati i za cijenu automobila sta-rog 3.5 godina ili 75 mjeseci i sl. Jer ipak je razdoblje odprimjerice pola godine znacajno u zivotu automobila. Nodoci cemo do odgovora i na ovakva pitanja.

Opisani primjer uvodi nas u obradu jedne vrlo vazne funk-cije, eksponencijalne funkcije.

Kakva su ocekivanja o duljini zivotnog vijeka neke osobe? Kojom se brzinomsiri neka zarazna bolest? Koliko se komaraca moze ocekivati u nekom mocvar-nom podrucju tijekom ljeta? Koliko vremena treba proci kako bi alkoholiziranivozac bio spreman za voznju? Sto znaci da je neki potres jacine 5 stupnjevapo Richterovoj ljestvici? Eksponencijalna funkcija daje odgovore na ova, ali imnoga druga pitanja.

Ponovimo: Potencije i njihova svojstva

U prvom smo razredu upoznali potencije ciji su eksponenti cijeli ili racionalnibrojevi.

Ako je a > 0 realan, a n prirodan broj, onda je

a2 = a · a, a3 = a · a · a = a2 · a · . . . · an = a · a · . . . · a︸︷︷︸n puta

= an−1 · a.

Broj a je baza, a broj n eksponent potencije an .

Iz definicije neposredno slijede osnovna svojstva potencija.

Svojstva potencija

(E1) ax · ay = ax+y

(E2) (ax)y = ax·y

(E3) (a · b)x = ax · bx .

Potom smo uveli potencije ciji je eksponent negativan cijeli broj

a−n =1an

,

pri cemu je a > 0 i n ∈ N .

3


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Nadalje, uz primjenu svojstva (E1) vrijedi:

a0 = an−n = an · a−n = an · 1an

= 1.

Ovo cemo vazno svojstvo potencija tako -der posebno istaknuti:

Potenciranje nulom

(E4) a0 = 1 .

Potenciranje pozitivnog broja a reciprocnim brojem prirodnog broja n povezalismo s korijenom broja a :

a1n = n√a.

Zatim smo uveli pojam potencije cija je baza a pozitivan broj, a eksponent bilo

koji racionalan broj. Ako je x =mn

, m ∈ Z , n ∈ N , tada stavljamo:

ax = amn = n√am.

Racunanje s ovakvim potencijama posjeduje sva svojstva (E1)– (E4) .

Tako smo definirali potenciju ax za sve pozitivne brojeve a te racionalne brojevex .

Eksponencijalna funkcija

Ako je a zadana baza, a > 0 i a �= 1 , a x bilo koji racionalan broj, ondavrijednost potencije ax ovisi o x . Mozemo govoriti o funkciji koja racionalnombroju x pridruzuje vrijednost potencije ax ,

x �→ ax.

Definicija te funkcije moze se prosiriti i na realne brojeve te je za svaki realnibroj x definirana funkcija

f (x) = ax,

koju zovemo eksponencijalna funkcija.

Primjer 1. Funkcija f (x) = 3x primjer je eksponencijalne funkcije. Za realni broj xvrijednost funkcije je 3x .

Tako je

f (3) = 33 = 27, f (−2) = 3−2 =19, f

(12

)= 3

12 =

√3.

U svakom od triju primjera umjesto x uvrstavali smo samo probrane bro-jeve. Jer opcenito, bez pomoci dzepnog racunala ili tablica nije moguceizracunavati vrijednosti potencije 3x .

4


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Koliko je, primjerice, f(3

5

)? Odnosno, koliko je 3

35 ?

335 = 5√

33 = 5√27.

Vrijednosti funkcije f (x) = 3x (i ne samonje) u pravilu se odre -duju dzepnim racunalom.Kako, o tome ce jos biti rijeci. No primijetitekako je na slici dzepnim racunalom dobiveno3

35 ≈ 1.933182045 .

Eksponencijalna funkcija

Neka je a > 0 i a �= 1 realan broj. Funkcija f (x) = ax definirana zasvaki realni broj x zove se eksponencijalna funkcija.

Zasto se zahtijeva da baza potencije bude pozitivan broj? Ako bismo dopustili daje baza negativan broj, tada potencije kao sto su (−2)−

14 , (−3)

38 i slicne ne bi

bile realni brojevi.

Ako bi pak baza bila jednaka nuli, tada bi vrijedilo 0x = 0 za svaki realni broj xosim za x = 0 , kada ta potencija nije definirana.

Jednako tako je 1x = 1 za svaki realni broj x . Dakle, funkcija f (x) = 1x = 1 jekonstanta pa je zbog toga uvedeno i ogranicenje a �= 1 .

Zadatak 1. Ako je dana eksponencijalna funkcija f (x) = 4x , koliko je: f (2) , f(1

2

),

f(−3

2

), f (0) , f (0.25) ?

Neka je baza eksponencijalne funkcije a > 1 .

Tada za svaki pozitivan racionalni eksponent x > 0 vrijedi ax = amn > 1 .

Naime, ax = n√am , a kako je am > 1 , onda je i n√am > 1 .

Uzmimo da je x1 < x2 . Uz primjenu svojstva (E1) imamo:

ax2 = a(x2−x1)+x1 = ax2−x1 · ax1 > ax1 ,

jer je x2 − x1 > 0 i ax2−x1 > 1 .

Time smo dokazali i sljedece svojstvo monotonosti eksponencijalne funkcije.

Monotonost eksponencijalne funkcije

(E 5 ) Ako je a > 1 , onda za racionalne brojeve x1 < x2vrijedi ax1 < ax2 .

5


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatci 5.1.1. Obrazlozi svojstva potencija (E1)– (E3) za slu-

caj kada su x i y prirodni brojevi.

2. Zapisi u obliku potencije:

1) 10 · 1002 · 10003 ; 2) (93 · 3 · 272)3 ;3) (16 · 43 · 82)5 ; 4) 37 + 6 · 36 ;

5) 9 · 273 + 2 · 311 ; 6) 26 · 54 + 6 · 104 .

3. Zapisi u obliku potencija s osnovicom a :

1) (an+1)2 · (a2n+1)2 · (a3n+1)2 ;

2) (a3n−1)2 · (a3n−1)3 · (a3n−1)4 ;

3) (a3)2n+1 · (a4)2n+1 · (a5)2n+1 ;

4) (an+2)3 · (an+1)3 · (an)3 ;

5) an+1 · (an+1)2 · (an+1)3 .

4. Izracunaj:

1) 43n+2 : 82n+1 ; 2) 36n+3 : 62n+5 ;

3) 93n+2 : 272n+2 ; 4)32n−4 · 7n−1

63n−1;

5)28n+2

22n+4 · 7n−1; 6)

362n+1

16n · 34n.

5. Izracunaj:

1)(8a−3

b−2

)2·( b

8a−2

)3;

2)( 25

a−2b

)3·(5a3

b2

)−2;

3) (4x2y−3)3 :( 1

16x3y−1

)−2;

4)(0.25x3y−2

27z−2

)−2·( 9x−2

4y2z3

)−3;

5)( 9a−2

16b3c−1

)−3:(8a3c−2

27b−5

)2.

6. Provedi naznacene racunske operacije i rezultatizrazi u znanstvenom zapisu:

1) 9.1 · 10−5 + 5.2 · 10−5 ;

2) 6.9 · 108 + 7.8 · 109 ;

3) 3.5 · 10−4 · 7.6 · 10−4 ;

4) 5.5 · 10−4 · 9.2 · 10−5 ;

5) 7.4 · 108 : 1.2 · 1011 ;

6) 6.6 · 10−10 : 4.4 · 10−15 .

7. Izracunaj:

1) (−125)−3 · (−25)−4 ;

2) (−4)−4 · (−8)−3 ;

3) (−9)−3 :

(− 1

27

)−3

;

4) (−0.1)−4 : (−100)−3 ;

5) −10−3·(−0.1−2)3·(−0.01−3)−2 ;

6) − 1100−2

· 10.013

· 10−2

0.0012.

8. Otisak ovog udzbenika ima rezoluciju od 2400tocaka po incu. Koliko tocaka ima na stranici di-menzije 20× 24 cm? Izrazi rezultat u znanstve-nom zapisu.

9. Za koliko ce vremena svemirski brod koji pu-tuje brzinom od 1.5 · 105 km/h prijeci put od4.5 · 1012 km?

10. Brzina svjetlosti je 3 ·108 metara u sekundi. Akoje udaljenost Sunca od Zemlje 93 milijuna milja(1milja = 1.6 km), za koliko ce vremena svjetlostsa Sunca stici do Zemlje?

11. Ako je masa atoma vodika 1.7 · 10−24 grama,koliko je atoma vodika u masi od jednog kilogra-ma?

12. Izracunaj:

1)√

3 · √12 ; 2) 3√2 · 3√4 ;

3) 3√3 · 6√3 ; 4)√

3 · 3√4 · 4√9 ;

5) 3√9 :√

3 ; 6) 4√8 : 3√4 ;

7)√

5 · √5 ; 8)√

4 · 3√4 .

13. Izracunaj:

1)√

5√x3 · 3√

5√x3 ; 2)3√√

x9 ·√√

x6 ;

3)4√

3√x8 :9√√

x3 ; 4)5√

3√x10 :4√

3√x4 .

14. Pojednostavni:

1) ( 3√

x2 · √x :√

x · √x) · 3√x2 ;

2) (√

x· 3√x2 :√

x·√x)· 3√

x· 4√x ;

3) (3√

x · n√x5)3 : ( n√

x2 · √x)2 ;

4) ( n√

x · 3√x)3 : (√

x · n√x4)2 .

6


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

15. Zapisi u obliku potencije:

1) 3√4 ; 2) 4√27 ; 3)25√8

;

4)1√125

; 5)1

4√83; 6) 4

√125

;

7) 3√

(a−2)2 ; 8) 4√a2 − b2 .

16. Zapisi s pomocu korijena sljedece potencije:

1) 2−12 ; 2) 3−1.5 ;

3) 523 ; 4) (a

12 − 1)

12 ;

5) (a2 − 1)23 ; 6) a

14 · b− 3

4 .

17. Izracunaj:

1) 8112 ; 2) 81−

14 ;

3) 0.062514 ; 4) 32

15 + (−8)

13 ;

5) 10√322 ; 6) 3√

(−2)3 .

18. Izracunaj:

1) 0.25−32 ·( 1

16

)−0.5;

2) 0.04−1.5 ·( 1

125

) 23

;

3) 160.5 +( 1

16

)−0.75;

4) (0.81)−0.5 +(1

8

)− 23 ;

5)(16

25

)− 32 − (0.064)−

23 ;

6) 27−23 −

(5

116

)− 34

.

19. Izracunaj vrijednost brojevnog izraza[(a−

13 b)−1.5 : (a

13 b

23 )−

34

]− 13,

za a = 16 , b =827

.

20. Izracunaj vrijednost brojevnog izraza[(a

23 · b−2)0.75 : (a−

12 · b3)−

12

]−3,

za a =1681

, b = 0.01 .

21. Izracunaj vrijednost brojevnog izraza[(a

23 · b−2)−

12 : (ab−3)

13

]− 34

ako je a = 0.64 , b =425

.

22. U kojem su me -dusobnom odnosu realni brojevim i n , ako je

1)(1

3

)m>(1

3

)n; 2) 2m > 2n ;

3) 0.2m < 0.2n ; 4) 4m = 4n ;

5)(4

3

)m<(3

4

)n; 6)

( 1√2

)m>( 1√

2

)n;

7)(

2

)m<(

2

)n; 8)

(√33

)m>(√3

3

)n?

23. Formulom v = 6.5p1/7 izrazava se ovisnost br-zine broda u cvorovima o snazi p brodskog mo-tora u konjskim snagama (1 cvor = 1.15 mi/h= 1.85 km/h ).

1) Kako se brzo krece brod ciji motor ima snaguod 600 KS?

2) Ako se snaga motora udvostruci, kojom cese brzinom kretati brod?

3) Brzina Titanika pri udaru o santu bila je18.5 cv. Kolikom su snagom u tom trenutkuradili motori?

24. D. Dubois i E. F. Dubois objavili su u casopisuArchives of Internal Medicine 1916. godine rad ukojem navode formulu za izracunavanje povrsineljudskog tijela. Ta formula glasi:

P = 0.007184m0.425 · h0.725,

pri cemu je P u kvadratnim metrima povrsinatijela, m masa tijela u kilogramima, h visinaosobe u centimetrima.Ako je masa neke osobe 70 kg, a visina 175 cm,kolika je povrsina njezina tijela? Izracunaj povr-sinu svojega tijela.

7


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

5.2. Graf i svojstva eksponencijalne funkcije

Nacin na koji zapisujemo brojeve daje naslutiti kako ce baza a = 10 imati poseb-nu ulogu u racunanju potencija. Naime, dekadski zapis brojeva upravo se zasnivana racunanju s potencijom broja 10 .

Promotrimo zato potencije oblika 10x .

Graf funkcije x �→ 10x

Skicirajmo graf funkcije f (x) = 10x . U tu cemo svrhu izracunati njezine vrijed-nosti za nekoliko odabranih vrijednosti x .

-3 -2 -1 0 1

10

x

y

1

graf potencije 10x

x 10x

−3 10−3 = 0.001−2 10−2 = 0.01−1 10−1 = 0.1

0 100 = 10.5 100.5 =

√10 = 3.16

1 101 = 101.5 101.5 =

√1000 = 31.6

2 102 = 100

Primijetimo da su vrijednosti funk-cije u tockama 0.5 i 1.5 odre -denepriblizno, jer su

√10 i

√1000 ira-

cionalni brojevi.

Vidimo da ova eksponencijalna funkcija raste vrlo brzo za pozitivne brojeve x .Crtano u mjerilu 1 : 1 , za x = 10 cm koordinata y iznosi 1010 cm = 105 km .Za negativne argumente x funkcija pada prema nuli, tako -der vrlo brzo. Njezinse graf priljubljuje uz negativni dio x -osi. Kazemo da je x -os asimptota grafaeksponencijalne funkcije.

Graf funkcije 10x u razlicitim mjerilima

Grafove funkcija koje rastu vrlo brzo mozemo lakse predociti tako da upotrijebi-mo razlicita mjerila na koordinatnim osima. Nacrtajmo sad graf eksponencijalnefunkcije 10x na intervalu [−1, 1] izabravsi jedinice na koordinatnim osima takoda jednoj jedinici na x -osi odgovara deset jedinica na y -osi.

Pritom cemo s pomocu dzepnog racunala izracunati vrijednosti eksponencijalnefunkcije u racionalnim tockama. Broj 10x racuna se na dzepnom racunalu nasljedeci nacin:

8

GRAF I SVOJSTVA EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE 5.2

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

•unese se vrijednost broja x

•pritisne se tipka 10x .

Dobivene cemo vrijednosti zapisati dvjema znamenkama.

-1 1

10

0 x

y

Graf funkcije 10x nacrtan je u mjerilu 10 : 1 .

x 10x

−1 0.1−0.8 0.16−0.6 0.25−0.4 0.40−0.2 0.630 10.2 1.60.4 2.50.6 4.00.8 6.31 10

Nacrtan je graf funkcije koja je definirana za svaki realni broj x , dakle i za svakiiracionalni broj. Provjerit cemo je li ovaj postupak ispravan.

Izaberimo neki iracionalni broj, recimo√

2 . Zapisati ga mozemo samo s odre--denom tocnoscu, jer je njegov decimalni zapis beskonacan. Ako racunamo nadvije decimale, tada cemo zapisati:

1.41 <√

2 < 1.42 .

Zelimo da svojstva eksponencijalne funkcije ostanu sacuvana. Zato po svojstvu(E4) mora vrijediti:

101.41 < 10√

2 < 101.42,

odnosno:25.70 < 10

√2 < 26.30 .

Ocjena je neprecizna jer funkcija x �→ 10x raste jako brzo, a uzeli smo grubuaproksimaciju broja

√2 . Popravimo je! Iz ocjene

1.41421 <√

2 < 1.41422

slijedi:

25.95434 < 10√

2 < 25.95493.

Vidimo da smo dobili broj 10√

2 s pet tocnih znamenki 10√

2 = 25.954 . . .

Kad se broj 10√

2 racuna na dzepnom racunalu koje zapisuje brojeve s 10 zna-menki, tada racunalo koristi aproksimaciju

1.41421356237 <√

2 < 1.41421356238

(Prebrojite broj znamenki!), a na zaslonu se pokaze vrijednost

2 √ 10x = 25.95455352,

9


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

s deset tocnih znamenki. Naravno, i ovo je samo priblizna vrijednost broja10

√2 jer je to iracionalan broj. Pri zapisivanju brojeva izracunanih na dzepnom

racunalu, rezultate cemo zaokruzivati na 2–5 tocnih znamenki.

Na ovakav nacin, koristeci racionalne eksponente, vrijednost potencije 10x mo-zemo s dovoljnom tocnoscu izracunati za svaki iracionalni broj x . Za to jedovoljno uzeti bliske decimalne brojeve x1 i x2 takve da vrijedi x1 < x < x2 .Onda ce biti: 10x1 < 10x < 10x2 .

Graf eksponencijalne funkcije x �→ ax

Bas kao za a = 10 , mozemo nacrtati graf funkcije ax za druge vrijednosti bazea . Nacrtajmo graf funkcije f (x) = 2x .

-3 -2 -1 0 1 2 3

1

2

4

8

x

yy=2

x

graf funkcije 2x

x 2x

−3 18

−2 14

−1 12

0 1

1 2

2 4

3 8

Vidimo da i ova funkcija ima graf slican grafu funkcije x �→ 10x , samo sto onaza pozitivne realne brojeve x > 0 raste sporije, jer je 2x < 10x za x > 0 . Zanegativne brojeve x vrijedi suprotna nejednakost: 2x > 10x .

x

y

x

y10x

2x

1

bx

ax

1

a<b

usporedba grafova eksponencijalnih funkcija za razne vrijednosti baza a > 1 , b > 1

Zadatak 1. Nacrtaj graf funkcije f (x) = 3x . Usporedi ga s grafovima funkcija (x) = 10x if (x) = 2x . Sto mozes zakljuciti?

10


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Uz bazu 10, koja je vazna zbog toga sto racunamo u dekadskom sustavu, te ba-zu 2, jer racunala racunaju u binarnom sustavu (sustavu s bazom 2), vazna je ieksponencijalna funkcija cija je baza broj e . To je iracionalan broj s pribliznomvrijednoscu

e = 2.718281828 . . .

Funkcija f (x) = ex ugra -dena je u svako dzepno racunalo koje sadrzi i ostale stan-dardne funkcije. Njezina je tipka oznacena s ex . Vrijednost broja e mozemo

dobiti s pomocu 1 ex .

Zadatak 2. Provjeri:e1.5 ≈ 4.4817, e3 ≈ 20.0855, e−0.25 ≈ 0.7788, e−1 ≈ 0.3679 .

Kutak plus

BROJ e

Jednadzbe kao sto su linearna ax + b = 0 , kvadratna ax2 + bx + c = 0 ili jednadzba 3. stupnja (kubna), gdje sukoeficijenti racionalni brojevi zovu se algebarske jednadzbe.

Realni brojevi koji su rjesenja takvih jednadzbi zovu se algebarski brojevi.

No postoje realni brojevi koji nisu rjesenja niti koje algebarske jednadzbe. To su transcedentni brojevi. Broj je transcedentan broj. On nije rjesenje nijedne algebarske jednadzbe. Duzinu cija je duljina transcedentan broj nijemoguce konstruirati. Tako ne mozemo konstruirati niti duzinu duljine i to je razlog zbog kojeg nije rjesiv zadatakkvadrature kruga spomenut u 1. razredu.

Uz broj jos se istice jedan transcedentan broj, broj e .

Taj broj, cija je priblizna vrijednost 2.7182818284590 , kao baza eksponencijalne funkcije pojavljuje se u vrlo raznoli-kim prirodnim zakonima, kao sto su razne vrste prirodnog prirasta. Nezaobilazne su takve funkcije i u optici, akustici,elektronici, dinamici itd.

Promatramo li niz brojeva koji dobijemo uvrstavanjem za n redom prirodnih brojeva u izraz

„1 +

1n

«n

, sve smo blizi

broju e sto dalje u tom nizu odmicemo.„1 +

1n

«n

→ 2.7182818284590 . . .

Oznaku e uveo je svicarski matematicar Leonhard Euler 1727. godine, vjerojatno inspiriran rjecju eksponent. On je1737. dokazao da je e iracionalan, a da je transcedentan dokazao je 1873. Charles Hermite.

11


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Graf eksponencijalne funkcije s bazom 0 < a < 1

Sada cemo promotriti eksponencijalnu funkciju s bazom 0 < a < 1 . Vidjetcemo da se njezin graf moze izvesti iz grafa eksponencijalne funkcije s bazomvecom od 1, koju znamo nacrtati.

Zapocnimo s jednim primjerom. Uzmimo bazu a =12

. Primijetimo da vrijedi:(12

)x

= 2−x.

Nacrtajmona istomkoordinatnomsustavu grafove funkcija f (x)=2x i g(x)=2−x .

Grafovi funkcija f (x) = 2x i g(x) = 2−x

simetricni su s obzirom na y -os.

x 2x 2−x

−318

8

−214

4

−112

2

0 1 1

1 212

2 414

3 818

Primjecujemo da funkcije f i g poprimaju iste vrijednosti za brojeve suprotnihpredznaka, jer vrijedi: f (−x) = 2−x = g(x) . Zato su grafovi ovih funkcijasimetricni s obzirom na y -os.

Objasnimo u kakvoj su vezi funkcije ciji su grafovi simetricni s obzirom na y -os.

xx-x

g x =f -x( ) ( ) f x( )

( )x,y( ( ))-x,f -x

y

Zrcaljenjem oko y -osi dobiva segraf funkcije g(x) = f (−x) .

Zrcalimo graf po volji odabrane funkcije f oko y -osi. Time dobivamo graf nekefunkcije; oznacimo je s g . Ako tocka (x, y) lezi na njezinom grafu, tada jey = g(x) , ali isto je tako y = f (−x) , jer je graf dobiven zrcaljenjem (vidi sliku).

12


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zrcaljenje grafa oko y -osi

Zrcaljenjem grafa funkcije f oko y -osi dobiva se graf funkcije g(x) =f (−x) .

Zrcalimo li graf eksponencijalne funkcije f (x) = ax oko y -osi, dobitcemo graf eksponencijalne funkcije g(x) = a−x :

g(x) = f (−x) = a−x =(

1a

)x

.

Graf funkcije g(x) = bx ,0 < b < 1 simetrican jegrafu funkcije f (x) = ax ,

a =1b

s obzirom na y -os.

Funkcija g(x) = bx pada-juca je funkcija. Pozitivandio x -osi njezina je asimp-tota. xx-x

yg x =b =a( )

x -x f x =a( )x

Zadatak 3. Graf funkcije f (x) = 2x zrcalimo prema koordinatnim osima. Koje funkcijepripadaju zrcalnim slikama?

Prosiri zakljucivanje na graf bilo koje eksponencijalne funkcije i njezine zrcalneslike prema koordinatnim osima.

Mozes li provesti slicno zakljucivanje za translaciju grafa eksponencijalne funk-cije u smjeru koordinatnih osi?

Zadatak 4. Povezi svaku od sest eksponencijalnih funkcija s bojom u kojoj je nacrtan njezingraf:

1��

3

��

2

��

1

�� 2 3 4

7

8

x

y

4

�

5

6

1) f (x) = 4x a)

2) f (x) = e−x b)

3) f (x) =(3

2

)xc)

4) f (x) = (0.75)x d)

5) f (x) =(1

8

)xe)

6) f (x) = ex f )

13


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Navedimo sada svojstva eksponencijalne funkcije:

Svojstva eksponencijalne funkcije

Eksponencijalna funkcija x �→ ax ima sljedeca svojstva:

1. Funkcija je definirana za svaki realni broj x .

2. Sve su vrijednosti funkcije pozitivni brojevi i svaki je pozitivanrealni broj vrijednost funkcije za neki realni broj x .

3. (E 1 ) ax · ay = ax+y ,

(E 2 ) (ax)y = ax·y ,

(E 3 ) (a · b)x = ax · bx .

(E 4 ) a0 = 1 .

(E 5 ) 1) Ako je a > 1 , onda za x1 < x2 vrijedi ax1 < ax2 ;funkcija je rastuca.

2) Ako je 0 < a < 1 , onda za x1 < x2 vrijedi ax1 > ax2 ;funkcija je padajuca.

4. Grafovi eksponencijalnih funkcija, cije su baze reciprocni brojevi,simetricni su s obzirom na os y .Za svaki a > 0, a �= 1 je a0 = 1 , a to znaci da graf svakeeksponencijalne funkcije prelazi os y u tocki (0, 1) .

Injektivnost eksponencijalne funkcije

Iz svojstva (E5) slijedi sljedeci vazan zakljucak.

Injektivnost eksponencijalne funkcije

(E6) Ako je ax1 = ax2 , onda vrijedi x1 = x2 .

Zaista, kad bi bilo x1 �= x2 , pa je, recimo, x1 < x2 , onda se po svojstvu (E5) 1)ili (E5) 2) vrijednosti ax1 i ax2 tako -der razlikuju. Vrijedi, dakle:

x1 �= x2 =⇒ ax1 �= ax2 .

Ova je tvrdnja ekvivalentna tvrdnji (E5) . (Razmislite zasto!)

Primjerice, iz 2x = 8 , tj. 2x = 23 nuzno slijedi x = 3 .

14


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Kriterij injektivnosti

Funkcija f je injektivna ako pravac paralelan s x -osi sijece njezin grafnajvise u jednoj tocki.

Od cetiriju funkcija ciji su grafovi skicirani, samo druga zadovoljava kriterij injektivnosti.

Dosad smo obradili vise realnih funkcija: linearnu funkciju, funkciju apsolut-ne vrijednosti i kvadratnu funkciju. Jesu li te funkcije injektivne? Odgovorobrazlozite.

Kutak plus

LANCANICA

pjesacki most u Osijeku

Kad smo govorili o zeljeznickom mostupreko Save u Zagrebu, pretpostavili smo danjegov veliki luk ima oblik parabole. I op-cenito, skloni smo lukove na raznim mos-tovima gledati kao parabole. No je li to bastako? Naime, lukovi vecine mostova kruz-nog su oblika, neki su mostovi parabolicni,a mnogi imaju oblik lancanice.

Lancanica je krivulja ciji oblik poprima lanac kada ga prihvatimoza njegove krajeve i pustimo da slobodno visi. Na slici vidimojednu lancanicu na pjesackom mostu preko Drave u Osijeku.

Jednadzba lancanice je

y =a2

„e

xa + e−

xa

«.

U toj je jednadzbi broj e = 2.71828 . . . poznata matematicka kons-tanta, a je koeficijent koji utjece na oblik lancanice. Na slici su

prikazane krivulje za a = 2 , a = 1 i a =12

.

15


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Istrazite

NEWTONOV ZAKON HLA-DENJA

Uzmite posudu, ulijte u nju uzavrelu vodu. Zatim posudu stavite u okolinubitno nize temperature, te u vodu uronite termometar. Svakih pet minutaocitajte i pribiljezite temperaturu. Neka pokus traje jedan sat. Podatkedobivene mjerenjem ucrtavajte u koordinatni sustav. Sto primjecujete?Pretpostavite da se temperatura umanjuje po eksponencijalnom zakonu

Tt = T0 · ekt,

gdje je Tt temperatura vode nakon t minuta. Odredite tu funkciju.

Uz ovaj eksperimentalni zadatak valja spomenuti kako se u praksi rabifizikalni zakon poznat kao Newtonov zakon hla -denja. Stavimo li tijelotemperature T0 u okolinu nize temperature Te , tada ce temperatura tijelapadati i nakon vremena t iznosit ce

T(t) = Te + (T0 − Te) · e−kt.

Konstanta k ovisi o nekimposebnim svojstvima tvari te se odre -duje eksperimentalno. Nakon sto provedete eksperiment,mozete usporediti vas rezultat s rezultatom dobivenim primjenom Newtonova zakona.


Koje su od sljedecih tvrdnji tocne, a koje netocne? Odgovori, a odgovor obrazlozi.

1. Funkcija f (x) = x−3 primjer je eksponencijalne funkcije.

2. Ako je f (x) = 8x , onda je f(−1

3

)= −2 .

3. Ako je 10m = 10n , onda je m = n .

4. Ako je f (x) = 4x , tada je f (−x) = (−4)x .

5. Funkcija f (x) = 2−x prima pozitivne vrijednosti za svaki realni broj x .

6. Funkcija f (x) = (√

2)x nije definirana za negativne realne brojeve.

7. Ako je f (x) = (0.1)x , onda je f (−1) < f (−2) .

8.(1

2

)x<(1

3

)xza sve x < 0 .

9. Grafovi funkcija f (x) = 10x i g(x) = (0.1)x simetricni su prema osiordinata.

10. Graf eksponencijalne funkcije f (x) = ax , a > 0 , a �= 1 , presijeca osx u tocki (0, 1) .

16


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatci 5.2.1. Koristeci se dzepnim racunalom, odredi:

1) 100.512 ; 2) 100.8 ; 3) 100.112 ;

4) 101.55 ; 5) 102.3174 ; 6) 103.915 ;

7) 10−0.25 ; 8) 10−1.152 ; 9) 10−0.4157 ;

10) 10−2.245 .

2. Izracunaj racunalomvrijednosti funkcije y = 10x

za 0.51 , 0.52 , . . . , 0.60 . Je li razlika funkcijs-kih vrijednosti konstantna?

3. Uvjeri se u tocnost formule 10x1 · 10x2 = 10x1+x2

racunajuci lijevu i desnu stranu za neke brojevex1 i x2 .

4. Za funkciju f (x) = 10x vrijedi: f (0) = 1 if (1) = 10 . Za koji ce x biti f (x) = 2 ? Potrazitaj x na racunalu racunajuci vrijednosti funkcije10x za razlicite brojeve x . Odredi x s tocnos-ti od triju decimala. (Uputa: usporedi f (0.3) if (0.4) . Zatim izracunaj f (0.31) itd.)

5. Dane su eksponencijalne funkcije:

f 1(x) = 2x, f 2(x) = 3x, f 3(x) =(

12

)x

,

f 4(x) =(

52

)x

, f 5(x) =

(√3

2

)x

.

Poredaj po velicini brojeve:

1) f 1(−1) , f 2(−1) , f 3(−1) , f 4(−1) , f 5(−1) ;2) f 1(3) , f 2(3) , f 3(3) , f 4(3) , f 5(3) .

6. Za koje realne brojeve x vrijedi:

1) 2x < 4 ; 2)(1

2

)x< 4 ;

3) 2x � 12

; 4)(1

2

)x� 1

2;

5) 4x >18

; 6)(1

4

)x> 2 ;

7)(1

3

)2> 3−x ?

7. Dana je eksponencijalna funkcija: f (x) =(

23

)x

.

Poredaj po velicini brojeve: f (−√5) , f (11) ,

f (0.5) , f (−1) , f (0) .

8. Dana je eksponencijalna funkcija: f (x) = 5x .Poredaj po velicini brojeve: f (

√2) , f (−3) ,

f (0.01) , f (−0.5) , f (0) .

9. Koliko ce godina dozivjeti neka osoba? Moz-da je neobicno, ali je istinito: ocekivanje raste sgodinama. Za zene je ono dano s formulom

f (n) = 78.5 · (1.001)n,

a za muskarce

f (n) = 72.2 · (1.002)n,

gdje je n trenutacni broj godina neke osobe.

1) Koliki zivotni vijek moze ocekivati zena ko-joj je sada 25 godina?

2) Koliki zivotni vijek moze ocekivati muska-rac kojem je 60 godina?

10. Kojoj od funkcija f 1(x) = 5x , f 2(x) = (0.4)−x ,

f 3(x) = x3 , f 4(x) =(2

3

)xpripada sljedeci graf:

11. Kojoj od funkcija f 1(x) = 2−x , f 2(x) = x2−x+1 ,

f 3(x) = 2.5x , f 4(x) =1x

, f 5(x) = 2x + 1 pripa-

da graf na slici:

17


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

12. Koji od cetiriju grafova prikazuje funkciju

f (x) = 4 ·(1

2

)x?

1) 2)

3) 4)

13. Komarci

U Kopackom ritu uproljece broj koma-raca naglo raste i nji-hov broj po jednomhektaru iznosi

n(t)=2.5·100.1t+2,

gdje je t broj dana nakon posljednjeg mraza.Koliko ce komaraca biti u ritu nakon 15; 20; 25dana?

14. LopociBroj lopoca na jezeru udvostrucuje se svakogatjedna. S 5000 lopoca prekrilo bi se cijelo jezero.Neka su na jezeru dva lopoca.

1) Opisi eksponencijalnom funkcijom prirastbroja lopoca nakon t tjedana.

2) Koliko ce lopoca biti na jezeru nakon 9 tje-dana?

3) Nakon koliko vikenda bi jezero moglo bitipotpuno prekriveno lopocima?

15. Balon

Ako djecji, elasticni, gu-meni balon probusimo, sprotokom vremena nje-gov ce se obujam uma-njivati eksponencijalnopo zakonu V = V0at .Ako je u balonu 6 litarazraka, a nakon 5 sekun-di 1 litra, odredi ekspo-nencijalnu funkciju ko-ja opisuje smanjivanje obuj-ma zraka u balonu tijekom vremena t . Nakonkoliko vremena ce u balonu ostati svega 0.1 litrazraka?

16. LijekBolesniku je kao terapija propisan antibiotik cijaje pojedinacna masa 250 mg. Nakon uzimanjase kolicina lijeka u krvotoku tijekom vremenaumanjuje pa nakon svakog sata u krvotoku ostaje60 % prethodne kolicine.

Odredite Q(t) , kolicinu antibiotika izrazenu umiligramima (mg) t sati nakon uzimanja.

17. CajUroni termometar u vreli caj i nakon toga u hlad-nu vodu (oko 5 ◦C). Ocitavaj temperaturu svakih5 sekundi i podatak unosi u tablicu. Pretpostavida se smanjivanje temperature odvija po ekspo-nencijalnom zakonu. Odredi taj zakon.

18. KoleraKolera je teska akutna bolest ciji je uzrocnik bak-terija vibrio cholerae. Ta bakterija proizvodi tok-sin koji napada crijeva. Bolest je tijekom povi-jesti uzrokovala razorne epidemije zahvaljujuciprije svega vrtoglavom povecanju broja bakte-

18


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

rija sto se odvija po eksponencijalnom zakonuN = N0 · e1.385t . Ako imamo samo jednu bakte-riju, koliko ce ih biti nakon 12 sati?

19. Koristeci se racunalom nacrtaj graf funkcijef (x) = 2x i usporedi ga s grafovima funkcija:

1) f 1(x) = 2x + 1 ; 2) f 2(x) = 2x − 1 ;

3) f 3(x) = 2x−1 ; 4) f 4(x) = 2x+1 .

20. Koristeci se racunalom nacrtaj graf funkcijef (x) = 2x i usporedi ga s grafovima funkcija:

1) f 1(x) = 2−x ; 2) f 2(x) = 2−x − 1 ;

3) f 3(x) = 2−x−1 ; 4) f 4(x) = 2−x+1 .

21. Koristeci se racunalom nacrtaj grafove funkcija:

1) f (x) = 2|x| ; 2) f (x) = 2|x+1| ;

3) f (x) = 2−|x| ; 4) f (x) = 2|1−x| .

22. Koristeci se racunalom nacrtaj graf funkcije

f (x) = 3x−1 − 1.

Promatraj graf i odgovori koje su od sljedecihtvrdnji tocne:1) Nul-tocka ove funkcije je x = 1 .2) f (0) = −2 .3) Za svaka dva realna broja x1 i x2 , x1 < x2 ,

vrijedi f (x1) < f (x2) .4) Nejednakost f (x) > 0 ispunjena je za svaki

x > 1 .

23. Koristeci se racunalom nacrtaj graf funkcije

f (x) = 2 − 2−x.

Promatraj graf i odgovori koje su od sljedecihtvrdnji tocne:1) Nul-tocka ove funkcije je x = 1 .2) f (0) = −1 .3) Za svaka dva realna broja x1 i x2 , x1 < x2 ,

vrijedi f (x1) < f (x2) .4) Nejednakost f (x) < 0 ispunjena je za svaki

x > 0 .

24. Koliko rjesenja ima jednadzba:

1) 10x−1 = 2x + 3 ; 2) 8x+1 = x2 − 3x ;

3) (0.2)x = |x − x2| ; 4) (0.75)x = |x| − 1 ?Zadatak rijesi crtanjem grafova funkcija, a rje-senje provjeri dzepnim racunalom.

Za radoznaleCIJENA RABLJENOG AUTOMOBILA...

Vratimo se pocetnom primjeru u kojemu smo racunali cijenu rabljenog automobila.

Mozemo zakljuciti kako ona opada eks-ponencijalno ovisno o starosti automo-bila. Postavili smo pitanje o cijeni auto-mobila nakon 3.5 godine. Nakon 3.5godine automobil je vrijedio C3.5 =15 000 · (0.75)3.5 = 5480 eura. A koli-ka je cijena nakon 75 mjeseci? Tada jen = 6.25 i izracunamo C6.25 = 2484eura. Zapravo, vrijednost automobi-la svakim je trenutkom sve manja papremda se to u praksi ne izracunava,ima smisla postaviti pitanje kolika je ubilo kojem trenutku.

19


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

5.3. Logaritamska funkcija

U primjeru s cijenom rabljenih automobila pratili smo cijenu automobila u ovis-nosti o njegovoj starosti. Odgovor smo dali u obliku eksponencijalne funkcije.No mozemo postaviti i obrnuto pitanje: ako je poznata cijena rabljenog automo-bila, kolika mu je starost? Primjerice, neka je cijena 4500 eura. Tada je pitanjeza koji n je

4500 = 15 000 · (0.75)n?

Do pribliznog rjesenja mozemo jednostav-no i brzo doci s pomocu racunala. Najprijepojednostavnimo jednadzbu:

4.5 = 15 · (0.75)n.

Nacrtamo zatim graf funkcije

f (n) = 15 · (0.75)n

te potom i pravac y = 4.5 . Pravac sijecegraf u tocki A(4.19, 4.5) pa zakljucujemoda je starost automobila oko 4.19 godina.

I tako smo problem rijesili graficki. Za precizniji odgovor morali bismo nacinacina kako rijesiti jednadzbu koja nakon sre -divanja prima oblik (0.75)n = 0.3 .Taj nas problem uvodi u pojam logaritma.

Pojam logaritma

Izracunati vrijednost eksponencijalne funkcije f (x) = ax za neki realni broj xznaci odrediti vrijednost potencije ax za taj broj x . Kako se zahtijeva a > 0 ,sve su vrijednosti eksponencijalne funkcije pozitivni brojevi.

Obrnuto, ako je zadana vrijednost y potencije ax , pitanje je koliki je eksponent.Odgovor je logaritam broja y po bazi a. Pisemo

x = loga y.

Logaritam pozitivnog broja

Neka je f (x) = ax eksponencijalna funkcija i neka je y pozitivan broj.Broj x za koji je ax = y zove se logaritam broja y .

ax = y ⇐⇒ x = loga y.

Logaritam pozitivnog broja y jest eksponent kojim treba potenciratibazu a da bi se dobilo y :

aloga y = y.

20

LOGARITAMSKA FUNKCIJA 5.3

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 1. Ilustrirajmo na nekoliko jednostavnih primjera pojam logaritma:

23 = 8 ⇐⇒ 3 = log2 8 ;

32 = 9 ⇐⇒ 2 = log3 9 ;

103 = 1000 ⇐⇒ 3 = log10 1000 ;

5−1 = 0.2 ⇐⇒ −1 = log5 0.2 .

Primjer 2. Izracunajmo:

1) log2 8 ; 2) log5 25 ; 3) log319

; 4) log4 2 .

1) Koliko je log2 8 ? To pitanje jednako je pitanju: kojim brojem treba-mo potencirati broj 2 da bismo dobili 8? Ili, za koji x je 2x = 8?Rjesenje je x = 3 , odnosno log2 8 = 3 .

2) Kojim brojem trebamo potencirati broj 5 da bismo dobili 25? Ili, zakoji x je 5x = 25? Rjesenje je x = 2 , odnosno log5 25 = 2 .

3) Kojim brojem trebamo potencirati broj 3 da bismo dobili19

? Ili, za

koji x je 3x =19

? Rjesenje je x = −2 , odnosno log319

= −2 , jer

je 3−2 =19

.

4) Kojim brojem trebamo potencirati broj 4 da bismo dobili 2 ? Ili, za

koji x je 4x = 2? Rjesenje je x =12

. Odnosno, log4 2 =12

, jer je

412 = 2 .

Zadatak 1. Izracunaj:

1) log2 16 ; 2) log5 0.04 ; 3) log3 27 ; 4) log913

.

Svi prethodni primjeri zbog boljeg razumijevanja pojma logaritma vrlo su jed-nostavni. Kako izracunati loga b za bilo koju bazu a i za bilo koji pozitivanbroj b ? To je zadatak koji opcenito ne mozemo rijesiti napamet. Za njegovorjesavanje potrebno je dodatno znanje, ali i dzepno racunalo.

21


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

mnemotehnicko pravilo zapamcenje osnovne veze ek-ponencijalne i logaritamskefunkcije

y=ax

log y= xa a

log y=xa

Primjer 3. Odredimo nepoznati broj x u svakom od sljedecih zadataka:

1) log319

= x ; 2) logx94

= 2 ; 3) log8 x =53

.

1) Prema definiciji logaritma jednakost je ekvivalentna jednakosti 3x =19

. Odatle je 3x = 3−2 te je x = −2 .

2) Iz logx94

= 2 slijedi x2 =94

, a kako je baza logaritma pozitivan broj,

onda je x =32

.

3) Ako je log8 x =53

, onda je 853 = x , odnosno x = (23)

53 = 25 = 32 .

Primjer 4. Koliko je:

1) 2log2 3 ; 2) 32+log3 7 ; 3) 25log5 11 ?

U ovim zadatcima primjenjuju se svojstva potencija i definicija logaritmapozitivnog realnog broja aloga y = y .

1) Izravno iz definicije logaritma slijedi: 2log2 3 = 3 . Naime, logaritambroja 3 po bazi 2 je eksponent kojim trebamo potencirati bazu 2 dabismo dobili broj 3.

2) U eksponentu potencije imamo zbroj pa je onda:

32+log3 7 = 32 · 3log3 7 = 9 · 3log3 7 = 9 · 7 = 63.

3) Baza potencije i baza logaritma prema definiciji moraju biti jednake:

25log5 11 = 52 log5 11 = (5log5 11)2 = 112 = 121.

22


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatak 2. Koliko je

1) 5log5 3 ; 2) 21+log2 3 ; 3) 32−log3 4 ; 4) (0.1)2+log10 5 ?

Primjer 5. U prethodnim je primjerima eksponent (logaritam) uvijek bio cijeli broj.To me -dutim nije uvijek tako, logaritam nije uvijek cijeli broj. Naprotiv.Evo nekoliko primjera s bazom a = 10 :

101.4 = 25.119 ⇐⇒ 1.4 = log10 25.119;

100.1 = 1.2589 ⇐⇒ 0.1 = log10 1.2589;

10−2.31 = 0.04898 ⇐⇒ −2.31 = log10 0.004898.

Logaritamsku funkciju po bazi 10 izdvajamo iz skupa svih ostalih logaritam-skih funkcija jer dekadski je sustav standardni sustav u kojem i inace racunamo.Logaritam po bazi 10 zapisujemo bez naznake baze.

log10 x = log x

Dekadski logaritam

Logaritam po bazi 10 zovemo dekadski logaritam ili jednostavno lo-garitam.

10x = y ⇐⇒ x = log y

Prema prethodnom primjeru slijedi:

log 25.119 = 1.4,

log 1.2589 = 0.1,

log 0.004898 = −2.31.

Ove vrijednosti dobivamo na dzepnom racunalu pritiskom na tipku log .

Provjerite sve navedene rezultate i obratite pozornost na zaokruzivanje brojeva.Logaritmi su, kao i opce potencije, gotovo uvijek iracionalni brojevi pa se pri ra-cunanju uzimaju njihove priblizne vrijednosti. Broj decimala s kojima uzimamote vrijednosti ovise o zahtijevanoj tocnosti racuna.

23


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Logaritamska funkcija i njezin graf

Skup svih vrijednosti eksponencijalne funkcije je skup pozitivnih realnih brojeva.To onda znaci da ima smisla traziti logaritme samo pozitivnih brojeva.

Pridruzivanje pozitivnim realnim brojevima njihovih logaritama je funkcija,logaritamska funkcija.

Logaritamska funkcija

Logaritamska funkcija po bazi a je pridruzivanje x �→ loga x , kojimse pozitivnom realnom broju x pridruzuje njegov logaritam. Pisemo:

f (x) = loga x.

Nacrtajmo graf logaritamske funkcije. Ucinimo to na primjeru funkcije f (x) =log2 x .

Uzet cemo za x vise pogodnih vrijednosti te u koordinatnom sustavu ucrtati tocke(x, loga x) . Zatim cemo te tocke povezati krivuljom.

4

��

�2

�3

0 5 6 7 8

3

4

x

y

�

1

2

21

x log2 x

2 1

4 2

8 3

12

−1

14

−2

1 0

Imamo, dakle, ove tocke: (2, 1) , (4, 2) , (8, 3) ,(1

2,−1

),(1

4,−2

), (1, 0) .

Vec tih sest tocaka bit ce dovoljno kako bi se uocila krivulja koja ih povezuje,graf funkcije f (x) = log2 x .

Vratimo se caskom natrag (str. 10) i usporedimo ovaj graf s grafom funkcijef (x) = 2x . Sto primjecujemo? Ova su dva grafa sukladna, samo su razlicitopolozena u koordinatnom sustavu.

Je li to slucajno? Dakako da nije.

U cemu se razlikuje njihov polozaj?

24


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Graf eksponencijalne funkcije smjesten je iznad osi x , a graf logaritamske desnood osi y . Jedan iz drugog moze se dobiti zrcaljenjem prema simetrali I. i III.kvadranta, odnosno pravcu y = x .

Kako to objasniti?

Uzme li se bilo koja tocka (x, y) ravnine, onda je njoj simetricna tocka premapravcu y = x tocka (y, x) .

Pri simetriji ravnine s obzirom na pravac y = x tocka (x, y) preslika se u tocku (y, x) .

Dakle, simetricnim tockama pripadaju i simetricni ure -deni parovi realnih brojeva.Ova cinjenica objasnjava sukladnost grafova.

Naime, eksponencijalna i logaritamska obrnute su ili inverzne funkcije.

ax = y ⇐⇒ x = loga y

Tako iz grafa jedne od tih funkcija mozemo dobiti graf druge zrcaljenjem premapravcu y = x .

a >10< <1af x a( ) = x f x a( ) = x

g x x( ) = loga

g x x( ) = loga

y x=

1

1

1

1x x

xx

y

y y

y

Prikazan je graf logaritamske funkcije, za a > 1 (lijevo) i za 0 < a < 1 (desno).Primjecujemo da je u oba slucaja y -os vertikalna asimptota funkcije. Tako -der, x = 1 je

njezina nul-tocka.

25


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Nadalje iz ovih grafova zakljucujemo:

— podrucje definicije eksponencijalne funkcije je skup realnih brojeva. Skupvrijednosti ove funkcije jest skup pozitivnih realnih brojeva. Zbog toga segraf eksponencijalne funkcije proteze iznad cijele osi x , u I. i II. kvadrantu;

— skup vrijednosti eksponencijalne funkcije je podrucje definicije logaritam-ske funkcije pa je graf logaritamske funkcije smjesten desno od osi y , u I.i IV. kvadrantu;

— ako je baza a eksponencijalne funkcije broj veci od 1, ta funkcija je rastucapa je rastuca i odgovarajuca logaritamska funkcija:

x1 < x2 ⇐⇒ loga x1 < loga x2, x1, x2 > 0;

— ako je baza eksponencijalne funkcije broj a , 0 < a < 1 , ta je funkcijapadajuca, pa je padajuca i odgovarajuca logaritamska funkcija:

x1 < x2 ⇐⇒ loga x1 > loga x2, x1, x2 > 0.

y

x1 x

y

1

a > 1 0 < < 1a

Zadatak 3. Nacrtaj graf funkcije f (x) = log 13x . Usporedi ga s grafom funkcije

f (x) =(

13

)x

. Izvedi zakljucak.

Zadatak 4. Na slici su grafovi pet logaritamskih funkcija s razlicitim bazama. Povezi poje-dinu funkciju s bojom kojom je nacrtan njezin graf.

4

��

�2

��

�3

0 5 6 7

3

4

x

y

�

1

2

21

1) f (x) = log 12x a)

2) f (x) = log0.1 x b)

3) f (x) = ln x c)

4) f (x) = log8 x d)

5) f (x) = log 13x e)

6) f (x) = log2 x f )

26


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatci 5.3.Sljedece jednakosti zapisi koristeci se logaritmima:

1. 1) 33 = 27 ; 2)(1

2

)−4= 16 ;

3) 813 = 2 ; 4) 4−

32 =

18

;

5) 532 = 5

√5 ; 6)

(13

)−2= 9 ;

7) 16−34 =

18

; 8) 10−3 = 0.001 .

2. 1) 101.114 = 13 ; 2) 101.74 = 55 ;

3) 10−0.301 = 0.5 ; 4) 102.369 = 234 ;

5) 103.14 = 1380.4 ; 6) 100 = 1 .

3. Sljedece jednakosti zapisi koristeci se eksponen-cijalnom funkcijom:

1) log2 8 = 3 ; 2) log10 100 = 2 ;3) log6 6 = 1 ; 4) log6 36 = 2 ;5) log√3 81 = 8 ; 6) logm k = n .

4. Obrazlozi sljedece jednakosti:

1) log 0.01 = −2 ; 2) log218

= −3 ;

3) log33√9 =

23

; 4) log12

16 = −4 ;

5) log5 5√

5 =32

; 6) log√3 1 = 0 ;

7) log4 8 =32

; 8) log8 16 =43

;

9) log√3

√3 = 1 ; 10) log0.2 1 = 0 .

5. Izracunaj:

1) log6 36 ; 2) log 0.0001 ;3) log7 7 ; 4) log16 2 ;5) log0.2 25 ; 6) log8 0.25 .

6. Napisi sljedece veze u logaritamskomobliku i iz-racunaj vrijednosti nepoznanice koristeci dzepnoracunalo:1) 10x = 1 ; 2) 10x = 2 ;

3) 10x = 20 ; 4) 10x = 12 ;

5) 10x = −2 ; 6) 10x = 2.3178 .

7. Koliko je:

1) log2 16 ; 2) log3 81 ;

3) log319

; 4) log12

8 ;

5) log13

81 ; 6) log9

√3 ;

7) log2 64 ; 8) log0.4 6.25 ?

8. Odredi realni broj x ako je:

1) log13

x = −2 ; 2) log4 x = −2 ;

3) log x = 5 ; 4) log√2 x = −6 ;

5) log3 x =13

; 6) log15

x = 0 ;

7) log0.1 x = −1 ; 8) log12

x = −5 .

9. Odredi x u svakoj od sljedecih jednakosti:

1) logx 8 = −34

; 2) logx18

= −32

;

3) logx 64 = −3 ; 4) logx 8 = 1.5 ;

5) logx116

= −4 ; 6) logx

√2 =

14

;

7) logx 27 = −34

; 8) logx 0.125 = −2 ;

9) logx73

= 1 ; 10) logx827

= −3 .

10. Koliko je:

1) 5log5 10 ; 2)(1

5

)log5 10;

3) 3log3 3 ; 4)(1

3

)log3 11;

5) 32 log9 12 ; 6) 22 log4 7 ;

7) 4log2 3 ; 8) 3−2 log9 20 ?

11. Izracunaj:

1) 100− log52 ; 2) 81

12 log3 7 ;

3) 8− log4 9 ; 4) 9− log3 8 ;

5)(1

2

)2 log212 ; 6)

(14

)−2 log8 125.

12. Ako je f (x) = log5 x , izracunaj f (1) , f (−2) ,f (0.2) , f (125) , f (0.04) .

27


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

13. Ako je f (x) = log 14x , izracunaj f (2) , f (−4) ,

f (0.25) , f (0) , f (0.5) .

14. Ako je f (x) = log x , izracunaj f (0.1) , f (100) ,f (0.001) , f (10−5) , f (0.01−4) .

15. Neka je za realni broj x sa x� najveci cijelibroj koji nije veci od x . Odredi: log 123� ,log 5.5� , log 0.989� , log 0.01� .

16. Izracunaj: log2 77� , log3 0.1� , log8 11111� ,log 1

425� , log 1

50.01� .

17. Rijesi jednadzbe:

1) log x� = −2 ;

2) log x� = 0 ;

3) log x� = 3 .

4) log x� = −1 .

18. Izracunaj:

1) (√

10)− log 25+2 log 55 ;

2) (0.01)log 6− 12 log 24 ;

3) 0.041+log5 0.5 ;

4) 3log√3 7−2 log 1

37

;

5) (√

0.1)log 0.04−2 log 5 ;

6) 2log√2 5+2 log0.5 5 ;

7) 25log 1

54+log√5 4

;

8)(1

3

)−2−log9 25.

19. Izracunaj:

1) 2 log5

√5 + 3 log2 8 ;

2) 5 log12

√8 − 2 log3

19

;

3) 3 log33√3 − 2 log2

√2 ;

4) 2 log3

√3 + 3 log1

2

3√2 ;

5) log12

log√5 25− log8 log5

√5 ;

6) log8 log4

√2 + log8 log√2 4 .

20. Izracunaj:

1) log15(0.04 · 4− log√2 0.2) ;

2) log√2(0.125 · 3log27 8) ;

3) log8(4 · 3√32 · 25− log5 4) ;

4) log√3

(4 · 3√9 · 3

log 13

12);

5) log3 log2√

2(2 · 3√4 · 5− log25 8) ;

6) log√3 log0.2(20 · 3√25 · 4log0.5 5−1) .

21. Nacrtaj grafove funkcija:

1) f (x) = log2 x ; 2) f (x) = log12

x ;

3) f (x) = log3 x ; 4) f (x) = log13

x ;

5) f (x) = log5 x ; 6) f (x) = log15

x .

22. Kojoj od funkcija

1) f 1(x) = log2 x ; 2) f 2(x) = log0.2 x ;

3) f 3(x) = log4 x ; 4) f 4(x) = log0.5 x ;

5) f 5(x) = log x

pripada sljedeci graf?

4��

�1

5 x

y

� 1 2 3 6

1

2

3

��


1) f 1(x) = log2 x ;

2) f 2(x) = | log2 x| ;3) f 3(x) = log2 |x|pripada sljedeci graf?

4��

�1

5

x

y

� 1 2 3 6 7

1

2

3

28


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

24. Svakoj od navedenih funkcija pridruzi njezin graf.

1) l(x) = −2x + 3 ; 2) a(x) = |x + 1| ;3) k(x) = −x2 + 3x ; 4) f (x) = 3x ;5) g(x) = log1

2x .

4

4

��

�1

5 x

y

� 1 2 3

1

2

3

��

4

4

��

�1

5 x

y

� 1 2 3

1

2

3

��

4��1

x

y

� 1 2 3

1

2

��

��

��

x

4

5

21��2�3 0

y

��

1

2

3

��

��2�3 0

3

4

x

y

�

1

2

21

25. Na prilozenoj slici prikazani su grafovi cetirijufunkcija:

1) l(x) = 0.5x + 2.7 ; 2) k(x) = −x2 + 3x ;

3) f (x) = log2 x ; 4) g(x) =(1

3

)x.

Pridruzi svakoj od tih funkcija njezin graf:

4

y

1

2

3

4 x1 2 3��2�4�5 �3 0

�1

��

26. Koji od cetiriju grafova pripada funkciji

f (x) = log4(−x)?

1) 2)

3) 4)

27. Odredi dva uzastopna cijela broja kojima je od-re -den interval realnih brojeva u kojem je rjesenjejednadzbe:

1) log3 x = 1 − 12x ;

2) 3x + 2x = 2 ;3) log 1

2x − x + 3 = 0 ;

4) log2 x = 2−x ;

5) 2 log12|x| + x = 0 .

Provjeri rjesenje uz pomoc racunala.

29


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

5.4. Svojstva logaritamske funkcije

Logaritamska funkcija ima vise vaznih svojstava. Ona su posljedica svojstavaeksponencijalne funkcije, koja smo vec ranije obradili.

Prisjetimo ih se:

(E1) ax · ay = ax+y

(E2) (ax)y = ax·y

(E3) (a · b)x = ax · bx

(E4) a0 = 1

(E5) 1) Za svaki a > 1 i x1 < x2 vrijedi ax1 < ax2 .

2) Za svaki 0 < a < 1 i x1 < x2 vrijedi ax1 > ax2 .

(E6) Iz ax1 = ax2 slijedi x1 = x2 .

Navedimo sada i svojstva logaritamske funkcije koja odgovaraju gornjim svoj-stvima eksponencijalne funkcije.

Svojstva logaritamske funkcije

Logaritamska funkcija x → loga x definirana je za sve pozitivne realnebrojeve. Skup svih njezinih vrijednosti je skup realnih brojeva.

Ta funkcija ima sljedeca svojstva:

(L1) loga(x · y) = loga x + loga y

(L2) loga

(xy

)= loga x − loga y

(L3) loga(xr) = r · loga x

(L4) Za svaki broj a > 0 i a �= 1 , vrijedi loga 1 = 0 .

(L5) 1) Ako je a > 1 i x1 < x2 , onda je loga x1 < loga x2 .

2) Ako je 0 < a < 1 i x1 < x2 , onda jeloga x1 > loga x2 .

(L6) Ako je loga x1 = loga x2 , onda vrijedi x1 = x2 .

30

SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE 5.4

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 1. Kad smo u prvom razredu navodili primjere za potencije, spomenuli smoi Legendu o sahu. Tada smo rekli da je ukupan broj zrnaca koji je trebaloisplatiti izumitelju jednak 264 − 1 . Koliki je taj broj? Taj nam odgovor nisada nije lako dati u potpunosti, ali koristeci se logaritmima mozemo gabarem dobro procijeniti.

Neka je n = 264 . Tada je

log n = 64 · log 2 ≈ 64 · 0.30103 = 19.26592.

No to onda znaci da je

1019 < n < 1020,

pa broj n ima 20 znamenki. To je broj

18 446 744 073 709 551 615.

Primjer 2. Ako je log 2 = 0.30103, log 3 = 0.4771 , koliko znamenki ima broj1212 ?

Neka je n = 1212 . Tada je

log n = 12 · log 12 = 12 · log(3 · 22)= 12 · (log 3 + 2 · log 2) ≈ 12.95.

Zakljucujemo da je1012 < n < 1013,

a to znaci da broj 1212 ima 13 znamenki.

Zadatak 1. Ako je log 2 = 0.30103 , log 3 = 0.4771 , izracunaj:

1) log 6 ; 2) log 60 ; 3) log 15 ; 4) log 3.6 ; 5) log 18 000 .

Primjer 3. Izracunajmo bez uporabe dzepnog racunala vrijednost brojevnog izraza:

1)log2 36

1 + log2 3; 2)

log33√16

log3 2 − log3 8.

U rjesavanju zadataka primijenit cemo svojstva (L1)– (L3) logaritamskefunkcije:

1)log2 36

1 + log2 3=

log2 62

log2 2 + log2 3=

2 · log2 6log2(2 · 3)

=2 · log2 6log2 6

= 2 .

2)log3

3√16log3 2 − log3 8

=log3 2

43

log328

=43 · log3 2

log3 2−2=

43 · log3 2

−2 · log3 2= −2

3.

31


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Pokazimo valjanost svojstava (L1) – (L5) logaritamske funkcije.

(L1) x i y napisimo u obliku x = au , y = av . Tada je u = loga x , v = loga y i dobivamo

xy = au · av = au+v,

odakle citamo:loga(xy) = u + v = loga x + loga y.

(L2) Ovo svojstvo provjerava se slicno provjeri prethodnog.

(L3) Iz osnovne vezex = aloga x

izvodimo, koristenjem svojstva (E2) :xr = ar loga x. (1)

Djelovanjem logaritamske funkcije (popularno kazemo: “logaritmiranjem jednakosti”) dobivamo ponovno iz osnovneveze:

loga(xr) = loga(a

r loga x) = r loga x.

(L4) Slijedi iz osnovne veze: a0 = 1 ⇐⇒ 0 = loga 1 .

(L5) Vidljivo je iz grafa funkcije. Strogi dokaz koristi monotonost eksponencijalne funkcije:

y1 < y2 ⇐⇒ ay1 < ay2 .

Stavljajuci y1 = loga x1 , x1 = ay1 i slicno za x2 , ova se relacija pise u obliku

loga x1 < loga x2 ⇐⇒ x1 < x2,

sto je i trebalo pokazati.

(L6) Ako je loga x1 = loga x2 , onda vrijedi x1 = aloga x1 = aloga x2 = x2 .

Primjer 4. Keplerovi zakoni govore o gibanju planeta oko Sunca. Treci od tih zakonakaze da je omjer kuba srednje udaljenosti r planeta od Sunca i kvad-rata vremena ophodnje T stalan i jednak k . Zakon se moze zapisati usljedecem obliku

log T =3 log r − log k

2.

Prepoznajete li u tom zapisu gornji izricaj Keplerova zakona? Zapisimozakon bez logaritama.

Iz ovog zapisa ne razaznajemo spomenuti Keplerov zakon. Zbog toga gazapisimo bez logaritama na ovaj nacin:

log T2 = logr3

k

a odatler3

T2 = k .

32


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Promjena baze logaritamske funkcije

S pomocu dzepnog racunala mozemo odrediti dekadske i prirodne logaritme po-zitivnih realnih brojeva. Sto su prirodni logaritmi – vidjet cemo na sljedecojstranici. A kako odrediti logaritam po nekoj drugoj bazi? Kako izracunati,primjerice, log3 44?

Oznacimo m = log3 44 . Prema definiciji logaritma to znaci da je 3m = 44 .Ocito, 3 < m < 4 .

Primjenom pravila (L3) mozemo zapisati: m · log 3 = log 44 . Odatle je

m =log 44log 3

.

Tako smo promjenom baze racunanje sveli na dekadski logaritam pa jednostavnonalazimo: m ≈ 3.4445 .

Zadatak 2. Izracunaj:

1) log2 7 ; 2) log4 0.543 ; 3) log8 1281 .

Na opisani nacin uvijek mozemo racunati vrijednost logaritma bilo kojeg brojapo bilo kojoj bazi.

Neka je m = loga x . To onda znaci da je x = am . Odatle slijedi logb x =m · logb a , odnosno

m =logb xlogb a

.

Veza logaritama po razlicitim bazama

Ako je a > 0 i a �= 1 te x bilo koji pozitivan broj, tada vrijedi sljedeciidentitet

loga x =logb xlogb a

.

Zadatak 3. Iz prethodne veze me -du logaritmima razlicitih baza slijedi:

loga b =1

logb a.

Obrazlozi ovaj identitet.

33


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 5. Bez uporabe dzepnog racunala izracunajmo vrijednost brojevnog izrazalog2 18 − 2 log4 123 log8 4 + log0.5 9

.

Svaki pojedini clan izraza mozemo zapisati u obliku logaritma po bazi 2:

log4 12 =log2 12log2 4

=log2 12

2;

log8 4 =log2 4log2 8

=23;

log0.5 9 =log2 9

log2 0.5= − log2 9 = −2 log2 3.

I sada dani izraz mozemo dalje zapisivati:

log2 18 − log2 122 − 2 · log2 3

=log2

1812

2(1 − log2 3)=

log232

2 · (log2 2 − log2 3)

=log2

32

2 · log223

=log2

32

2 · (− log232 )

= −12.

Zadatak 4. Koliko jelog3 4

log9 8 − log 132

? Izracunaj bez uporabe dzepnog racunala.

Prirodni logaritam

U primjeni logaritamskih funkcija najvaznija je ona cija je baza broj e .Ta funkcija ima i posebno ime, prirodni logaritam, i posebnu oznakuln x :

loge x = ln x.

Oznaka ln potjece od prvih slova latinskog naziva ove funkcije, lat.logaritmus naturalis (prirodni logaritam).

Dekadski i prirodni logaritam povezani su sljedecom jednakoscu:

ln x =log xlog e

≈ 10.4343

· log x ≈ 2.3 · log x.

Vrijednosti funkcije f (x) = ln x odre -duju se dzepnim racunalom. Nakon unosapozitivnog broja pritisnemo tipku ln .

Primjerice:

ln 3 ≈ 1.0986, ln 0.55 ≈ −0.5978, ln 1000 ≈ 9.9078 .

34


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 6. Prost broj n je prirodni broj koji osim broja 1 i samoga n nema drugihdjelitelja.

Prosti su brojevi redom: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. . .

Da je ovaj niz beskonacan, odnosno da je skup prostih brojeva beskonacan,dokazao je jos Euklid.

Na pitanje koliko prostih brojeva ima u nekom intervalu prirodnih brojeva,nema potpunog odgovora. Od prvih deset prirodnih brojeva 4 su prosta.Me -du prvih 100 prostih je 25, me -du prvih 1000 prostih je 168, me -du prvih10 000 ih je 1229 itd.

No, sto uzimamo vece intervale, sve je teze odgovoriti na pitanje.

FormulaNp ≈ n

ln n

daje priblizan broj prostih brojeva me -du prvih n prirodnih brojeva.

Zadatak 5. Koliko je priblizno prostih brojeva u skupu prirodnih brojeva koji su manji od:

1) 106 ; 2) 109 ; 3) 1012 ?

Povijesni kutak

KAKO SU OTKRIVENI LOGARITMI

John Napier

Otkrice logaritama potaknuto je razvitkom astronomije, navigacije, geodezije i dru-gih prakticnih znanosti u 16. stoljecu. Ono se veze uz ime svicarskog urara JoostaBurgija, premda se logaritmi prvi put pojavljuju 1614. godine u knjizi Mirifici Loga-rithmorum Canonis Descriptio skotskog matematicara Johna Napiera (1550.–1618.)Od Napiera potjece i naziv, logos = odnos, arithmos = broj. Logaritmi su se razvili izpotrebe pojednostavnjivanja slozenih racuna. Oni, naime, snizuju stupanj algebarskeoperacije; logaritmiranjem se mnozenje svodi na zbrajanje, dijeljenje na oduzimanje, apotenciranje i korjenovanje na mnozenje.

Prve logaritamske tablice koje su sadrzavale logaritme cijelih brojeva od1 do 1000 na osam decimalnih mjesta dao je 1617. g. Briggs i po njemuse danas cesto dekadski logaritmi zovu Briggsovi logaritmi. S vremenomsu uslijedile nove, preciznije tablice, a valja biti svjestan kako je njihovosastavljanje bilo naporan i dugotrajan posao, jer je provo -deno pjesice.

I u nasim su skolama sve donedavna bile su u uporabi tablice Briggsovihlogaritama koje su prilago -dene na 5 decimala. Zanimljivo je da je u svrhuracunanja, pa i izracunavanja logaritama, dugo vremena sluzilo logari-tamsko ili pomicno racunalo. Ta je napravica, popularno zvana siber,bila statusni simbol inzenjera elektrotehnike, strojarstva, gra -devinarstvaitd., otprilike onako kao sto su to danas suvremena elektronicka racunala.

35


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatci 5.4.1. Primjenom svojstava logaritamske funkcije ras-

pisi sljedece izraze:

1) log(10a2b3) ; 2) log(ab)2 ;

3) log√

0.1a ; 4) log 3

√ab

;

5) logab3

√c

; 6) log1

a3b3;

7) log10

a2 3√b; 8) log

√ab

(a − b)2;

9) log

√a

10b; 10) log(a3 + b3)3 .

2. Koliki je x , ako je

1) log x = log a + 2 log b ;

2) log x = 2 log a +13

log b − log c ;

3) log x = 1 − log a ;

4) log x =13

log a − 23

log b ;

5) log x = −2 − log a − 2 log b − 3 log c ;6) log x = − log(a + b) − log(a − b) .

3. Izracunaj:

1) log5 2 + log5 2.5 ;2) 2 log2 10 + 2 log2 0.8 ;3) log 1.5 − log 45 + log 0.3 ;4) log 11 − log 110 + log 1100 − log 11 000 .

4. 1) Ako je log 2 = a , koliko je log 800 ?

2) Ako je log 3 = b , koliko je log√

2700?3) Ako je log 5 = c , koliko je log 0.02 ?

5. 1) Uzmi da je log 2 = 0.30103 pa izracunaj

log12

; log 4 ; log 5 ; log 0.125 ; log 160 .

2) Uzmi da je log 2 = 0.301 , log 3 = 0.477 paizracunaj log 6 ; log 18 ; log 2.4 ; log 120 ;log 108 .

6. Skrati razlomke:

1)log2 xlog x2

; 2)1 − log2 xlog(10x)

;

3)log(a2b) − log(ab2)

log a2 − log b2.

7. Ako je log 2 = 0.301 , koliko jelog 4 + log 1

2 − log√

2 ?

8. Ako je log 3 = 0.477 , koliko jelog 9 + log 1

27 + log 3√3 ?

9. Ako je logx z = 0.2 , logy z = 0.1 , koliko je

logz

x√

y

z2?

10. Ako je log4 a = x , log8 b = y , koliko je

log21ab

?

11. Ako je log2 log3 log4 a = log3 log4 log2 b =log4 log2 log3 c = 0 , koliko je a + b + c ?

12. Dokazi da za pozitivne realne brojeve a i b ,(a > b) vrijedi a2 + b2 = 6ab ako i samo ako je

log(a + b) − log(a − b) =12

log 2.

13. Izracunaj:

1) log3 10 ; 2) log9 10 ;3) log2 5 ; 4) log4 17 ;5) log1

20.157 ; 6) log5 313 ;

7) log13

41.2 ; 8) log8 1000 ;

9) log0.1 100 ; 10) log14

15.88 .

14. Koliko je:

1) log12

127

· log3 16 ;

2) log2

√3 · log1

3

18

;

3) log23√9 · log1

3

18

;

4) log12

√27 · log3 16 ;

5) log53

√14· log√2 125 ;

6) log13(5√

5) · log√5(3√

3) ?

36


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

15. Izracunaj:

1)log√2 12 − log4 36

2 + 3 log8 6;

2)2 log0.2 12 + log√5 16

log25 36 − 3 log5 2;

3)log√3

18− 2 log1

36

3 log9 16 − 3;

4)2 log8 36 + log√2

3√6

3 + log12

48.

16. Izracunaj:

1) log0.2 log√3 3− log5 log3 9√

3 ;

2) log√3 log0.21√5− log1

3log√2

3√4 ;

3) log√5 log4

√2− log1

5log√2 256 ;

4) 4 log14

log√33√9− log√2 log1

9

127

.

17. Izrazi:1) log3 6 s pomocu log6 2 ;2) log36 9 s pomocu log36 8 ;3) log6 16 s pomocu log12 27 ;4) log12 64 s pomocu log12 3 ;5) log49 28 s pomocu log7 2 .

18. Ako je log6 2 = m , koliko je log6 9 ?

19. Ako je log 64 = p , koliko je log 3√25 ?

20. Ako je log 5 = a, log 3 = b , koliko je log30 8 ?


1) f 1(x) = log2(x3) ; 2) f 2(x) = log2

x2

;

3) f 3(x) = log2(8x) ; 4) f 4(x) = log21x



1) f 1(x)= log 12x ; 2) f 2(x) = log 1

2

2x

;

3) f 3(x)= log 12(1−x) ; 4) f 4(x) = log 1

2(4x)



Koje su od sljedecih tvrdnji tocne, a koje netocne?Odgovori, a odgovor obrazlozi.

1. Jednakost 23 = 8 ekvivalentna je jedna-kosti log2 8 = 3 .

2. Ako je log2 x� = −1 , onda je 0.5 � x <1 .

3. 4− log2 5 = 0.04 .

4. Ako je b pozitivan broj, onda je 4log2 b =b2 .

5. Za svaki pozitivan broj a , a �= 1 , vrijediloga 1 = 0 .

6. Ako je log 2 = a , log 3 = b , onda jelog 36 = a2 + b2 .

7. Funkcija f (x) = log(x+1)2 definirana jeza svaki realni broj x .

8. Ako je logm = n , onda je log 10m3 =1 + 3n .

9. log 5 · log 2 = log 5 + log 2 .

10. Funkcija f (x) =√

log0.5(x − 1) defini-rana je za svaki x > 1 .

37


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

5.5. Eksponencijalne i logaritamske jednadzbe

Ako je f (x) neka realna funkcija, tada je problem odre -divanja broja x0 takvogda je f (x0) = 0 , problem rjesavanja jednadzbe. Broj x0 je rjesenje jednadzbe.Ako jednadzba ima vise rjesenja, onda govorimo o skupu rjesenja jednadzbe.Rjesavajuci jednadzbu moramo odrediti sva njezina rjesenja.

Ovisno o tome o kojoj se funkciji radi, na prikladan nacin imenujemo i odgova-rajuce jednadzbe.

Tako smo uz linearnu funkciju f (x) = ax+b imali linearnu jednadzbu, jednadz-bu oblika ax + b = 0 .

Rjesavali smo i kvadratne jednadzbe, jednadzbe oblika ax2 + bx + c = 0 , kojesu vezane uz kvadratnu funkciju f (x) = ax2 + bx + c .

Analogno ovom, uz eksponencijalnu i logaritamsku funkciju rjesavamo ekspo-nencijalne, odnosno logaritamske jednadzbe.

Eksponencijalna jednadzba

Neka je dana eksponencijalna funkcija f (x) = ax . Jednadzbu oblika ax = bzovemo eksponencijalna jednadzba. Vrijednosti eksponencijalne funkcije po-zitivni su realni brojevi pa ova jednadzba ima smisla ako i samo ako je b > 0 .

Eksponencijalne se jednadzbe pojavljuju u raznim, pa i vrlo slozenim oblicima,ali se svaka jednadzba nizom algebarskih postupaka nastoji svesti na ekvivalentanosnovni oblik ax = b .

Eksponencijalna jednadzba

Jednadzbu koju mozemo svesti na oblik

ax = b, b > 0

zovemo eksponencijalna jednadzba.

Pokazimo kroz primjere kako se rjesavaju neke standardne eksponencijalne jed-nadzbe.

38

EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE JEDNADZBE 5.5

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 1. Rijesimo jednadzbe: 1) 16x =132

, 2)(1

2

)−3x= 6 .

1) Obje strane jednadzbe prikazat cemo u obliku potencije s istom bazom:

(24)x =125

24x = 2−5

pa je 4x = −5 , odnosno x = −54

.

2) Lijeva strana ima jednostavniji oblik 23x . Me -dutim desna se strana mo-ze napisati kao potencija baze 2 samo koristenjem logaritama: 6 = 2log2 6 .Odavde slijedi 3x = log2 6 .

Jednostavnije je do rjesenja doci postupkom logaritmiranja po bazi 10, naovaj nacin:

23x = 6,

3x log 2 = log 6,

x =log 6

3 log 2Priblizna vrijednost ovog rjesenja je x = 0.8617 .

Zadatak 1. Rijesi jednadzbu: 272−x · 3√92x+1 =

(13

)x−4

.

Primjer 2. Rijesimo jednadzbu: 3x−1 + 5x−1 = 5x − 3x+1 .

Najprije razvrstajmo clanove jednadzbe tako da se s njezine iste stranena -du potencije iste baze: 3x−1 + 3x+1 = 5x − 5x−1 .

Primjenom svojstava potencija jednadzbu zapisimo u obliku:

3x−1 + 9 · 3x−1 = 5 · 5x−1 − 5x−1.

Ove potencije sada imaju jednake eksponente pa one s jednakim bazamamozemo zbrojiti. Tako dobijemo 10 · 3x−1 = 4 · 5x−1 . Iz ove jednadzbe

slijedi

(35

)x−1

=25

.

Primjenom logaritama jednadzba prima oblik (x − 1) · log35

= log25

,

odakle izracunamo x = 1 +log 0.4log 0.6

≈ 2.79 .

39


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatak 2. Rijesi jednadzbe:

1) 5x−1 + 5x + 5x+1 = 155 2) 2x−1 + 3x+1 = 2x+1 + 3x−1 .

Primjer 3. Rijesimo jednadzbu:

(13

)1−x

· 3− 4x = 9 .

I u ovoj su jednadzbi clanovi potencije iste baze, baze 3. Zato je zapisemou obliku 3x−1 · 3− 4

x = 32 .

Izjednacivanjem eksponenata dobijemo jednadzbu x−1−4x

= 2 , odnosno

ekvivalentnu jednadzbu x2 − 3x − 4 = 0 , x �= 0 .

Rjesenja su x1 = −1 i x2 = 4 .

Zadatak 3. Rijesi jednadzbu:

(23

)x+1

·(

32

) 2x

=49

.

Primjer 4. Rijesimo jednadzbu: 0.4x − 2.5x+1 = 1.5 .

Jednadzbu mozemo zapisati u obliku

(25

)x

− 52·(

52

)x

=32

. Zamjenom(25

)x

= u jednadzbu svodimo na kvadratnu 2u2 − 3u − 5 = 0 .

Imamo rjesenja: u = −1 (prvo) i u =52

(drugo).

Vratimo se sada na izvornu nepoznanicu. Najprije,

(25

)x

= −1 nije

ispunjeno niti za koji realan broj x , jer su vrijednosti eksponencijalnefunkcije pozitivni brojevi.

Iz

(25

)x

=52

slijedi x = −1 i to je jedino rjesenje zadane jednadzbe.

Zadatak 4. Rijesi jednadzbu: 5 · 4x − 3 · 10x − 2 · 52x = 0 .

Uputa: Podijeli jednadzbu sa 52x = 25x .

40


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Logaritamska jednadzba

Uz logaritamsku je funkciju f (x) = loga x vezana logaritamska jednadzba,jednadzba oblika loga x = b . Skup vrijednosti logaritamske funkcije je skuprealnih brojeva pa zato ta jednadzba ima rjesenja za svaki realni broj b .

Logaritamska jednadzba

Jednadzbu koja se moze svesti na oblik

loga x = b, b ∈ R

zovemo logaritamska jednadzba.

Na nekoliko primjera pokazat cemo rjesavanje standardnih logaritamskih jed-nadzbi.

Primjer 5. Rijesimo jednadzbu log x + log(x − 3) = 1

Primjenom svojstava logaritamske funkcije mozemo napisati

log x + log(x − 3) = 1,

log[x(x − 3)] = log 10,

x(x − 3) = 10.

Dobili smo kvadratnu jednadzbu x2 − 3x − 10 kojoj su rjesenja x1 = 5 ,x2 = −2 . Me -dutim, samo prvo zadovoljava pocetnu jednadzbu, jer zax = −2 logaritamska funkcija nije definirana. Zato je x = 5 jedinorjesenje ove jednadzbe.

Primjer 6. Rijesimo jednadzbu: log(0.1x2) · log(10x) = 2 .

Primjenom svojstava logaritama jednadzbu mozemo zapisati u obliku

(log 0.1 + log x2)(log 10 + log x) = 2.

Zatim imamo(−1 + 2 log x)(1 + log x) = 2.

Nakon sre -divanja dobijemo kvadratnu jednadzbu

2(log x)2 + log x − 3 = 0.

Njezina su rjesenja log x = 1 ili log x = −32

.

Rjesenja zadane jednadzbe su x1 = 10 i x2 =√

10100

.

Zadatak 5. Rijesi jednadzbu: log(x + 1)2 − log(x2 − 1) = 1 − 2 log 2 .

41


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 7. Rijesimo jednadzbu: log2{4 log5[2 + log2(4 + log3 x)]} = 2 .

Jednadzbu “citamo” kao jednadzbu oblika log2 t = 2 , gdje je

t = 4 log5[2 + log2(4 + log3 x)].Dakle, t = 4 pa je log5[2 + log2(4 + log3 x)] = 1 .

Oznacimo li sada u = 2 + log2(4 + log3 x) , onda iz log5 u = 1 slijediu = 2 + log2(4 + log3 x) = 5 , odnosno log2(4 + log3 x) = 3 .

Nastavljamo na jednak nacin i dolazimo do rjesenja x = 81 .

Zadatak 6. Rijesi jednadzbu: log3[1 + log2(1 + 3 log2 x)] = 1 .

Primjer 8. Rijesimo jednadzbu: log3 x · log9 x · log27 x = 36 .

U jednadzbi su logaritmi po razlicitim bazama. No oni se primjenom

identiteta loga x =logb xlogb a

(prema str. 33) mogu svesti na jednu, istu bazu.

Tako dobivamo ekvivalentnu jednadzbu

log3 x · log3 xlog3 9

· log3 xlog3 27

= 36,

odnosno

log3 x · log3 x2

· log3 x3

= 36.

Sada imamo (log3 x)3 = 36 · 6 = 63 . Dakle, log3 x = 6 i konacnox = 36 = 729 .

Zadatak 7. Rijesi jednadzbu: log2 x − log4 x − log8 x =12

.

Primjer 9. Rijesimo sustav jednadzbi:

{3x−2 · 2y−4 = 144,

1 + log2 x = log2 y.

Iz druge jednadzbe sustava slijedi log2 y − log2 x = 1 , ili log2yx

= 1 .

Odatle je y = 2x . Uvrstimo to u prvu jednadzbu pa imamo:

3x−2 · 22x−4 = 3x−2 · 4x−2 = 12x−2 = 144.

Dakle je x = 4 . Zatim iz y = 2x dobijemo y = 8 .

Zadatak 8. Rijesi sustav jednadzbi:

{3x−2 · 2y = 54,

log2(x − y) = 2.

42


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Iz zabavne matematike

SUDOKU

Tablicu za sudoku precrtaj u biljeznicu. Na odgovarajuca mjesta u tablici upisite odgovore na pitanja od a. do n. Zatimprazna polja popunite tako da u svakom retku i u svakom stupcu te u svakom pravokutniku 3 × 2 budu upisani svibrojevi od 1 do 6.

a b c d

e f g

h i

j

k

m n

l

a. e0 ; b.„

13

«− log3 4

; c. log4 163 ;

d. (0.01)x−2 = 100 · (0.1)x , x = ? e. 1 − ln e−5 ;

f. 0.1x · 0.01x = 10−12 , x = ? g.ln 32ln 2

;

h. log 15 + log 2 − log 3 ;

i. log2(3x + 4) = 2 + log2(2x − 4) , x = ?

j. log

„41+log2 5

«; k. log2 (log2 256) ;

l. log2 2 · log3 3 · log4 4 · . . . · log9 9 ;

m. (0.5)x+4 = 4 · (0.25)x , x = ? n. (log32 2)−1 .

Kutak plus

ZADATAKRijesi jednadzbu 4x + 9x = 2 · 6x.

Rjesenje. Najprije zapisimo jednadzbu u obliku 4x + 9x = 12x . Zatim slijedi

log(4x + 9x) = log 12x pa log 36x = log 12x.

I dalje redom: log 36x − log 12x = 0 , a odatle je log36x

12x = 0 . Dakle log 3x = 0 , odnosno 3x = 1 .

I konacno, x = 0 .

Provjerimo rezultat i uvjerimo se da je x = 0 rjesenje jednadzbe.

Da, rjesenje je tocno premda je pri rjesavanju nacinjeno nekoliko grubih pogresaka. Mozes li ih pronaci?

43


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatci 5.5.

Rijesi jednadzbe:

1. 1) 0.1x = 100 ; 2)(1

4

)x= 2 ;

3) 0.22x−3 = 5 ; 4)(1

8

)x= 64 ;

5) 0.25x = 16 ; 6) 10x−4 = 0.01 ;

7) 2x−1 =18

; 8) 0.52−x = 0.125 ;

9) 0.4x = 6.25 ; 10) 0.1252−3x =132

;

11) 73−5x = 1 ; 12) 4−12 x+2 = 8−

12 x+2 .

2. 1) 32x =1

128; 2) 6−

3x = 36 ;

3)( 1

16

) x2 = 8 ; 4) 82x−5 = (

14)3−x ;

5) 9x = 27x−1 ; 6)(1

3

)3x−2= 814x+1 ;

7) 43x−1 =(1

8

)5−2x; 8) (0.75)2x =

169

.

3. 1) 10x = 110 ; 2) 100x = 200 ;3) 2x = 20 ; 4) 5x = 32 ;

5) 112x = 220 ; 6) 44x = 44 .

4. 1) 0.125 · 42x−3 =(√2

8

)−x;

2) 0.04 ·(√5

125

)2−x= 251−x ;

3) 0.043−x · √125 =(√5

5

)−x;

4) 0.01−0.5x ·√10 · (0.1)1−2x = 100 ;

5)18·√

0.125x+3 = 2 · 0.5x−3 ;

6)1

125· 3√0.22−3x = 25−

13 .

5. 1) 9x−2 · 22x−1 = 8 ;

2) 25x−1 · 22x+1 = 8 ;

3) 23x · 52x = 64 · 1012 ;

4) 2x · 5x = 0.1 · (10x−1)5 ;

5) 2x · 5x−1 = 0.2 · 102−x ;

6) 32x−3 · 24x−10 = 0.75 · 12x .

6. 1) 3x+1 − 4 · 3x−1 = 45 ;

2) 5x + 3 · 5x−2 = 140 ;

3) 5x+1 − 5x−1 = 24 ;

4) 3 · 2x − 2x−1 = 20 ;

5) 5x−1 + 5x + 5x+1 = 155 ;

6) 2x−1 + 3 · 2x−2 + 5 · 2x−3 = 15 ;

7) 32x−1 + 32x−2 − 32x−4 = 315 ;

8) 5 · 32x−1 + 9x = 8 .

7. 1) 3x + 3x+1 + 3x+2 = 25 ;

2) 5x−1 + 5x + 5x+1 = 50 ;

3) 5x + 5x+1 = 6x+2 ;

4) 7x−1 + 7x+2 = 8x−1 + 8x−2 ;

5) 32x−1 + 9x+1 = 22x−1 + 4x+1 ;

6) 52x−1 + 361−x = 25x+1 + 61−2x .

8. 1) 4x − 2x+3 + 15 = 0 ;

2) 4x − 2x+1 = 3 ;

3) 9x − 3x+1 = 4 ;

4) 9x−3 − 3x−2 + 2 = 0 ;

5) 52x+1 + 6 = 31 · 5x ;

6) 32x − 3x = 3 ;

7) 72x − 7x−2 = 1 ;

8) 36x = 3x+2 · 2x − 18 .

9. 1) 9x − 4 · 3x + 3 = 0 ;

2) 4x−1 − 2x−1 = 12 ;

3) 9x+1 + 3x+2 = 810 ;

4)(1

4

)x−2= 25−x − 12 ;

5) 2x + 21−x = 3 ;

6)(3

5

)x−1+(3

5

)1−x= 2 .

10. 1) 2x · 0.53x = 4 ;

2) 2x · 81x − 16 = 0 ;

3)(1

5

)1−x· 5− 4

x = 25 ;

44


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

4)(3

4

)x−2·(4

3

) 2x =

43

;

5)(3

4

)x−1·(4

3

) 2x =

169

;

6)14· 2x+ 1

x = 81−x .

11. 1) 4x + 6x = 2 · 9x ;

2) 4 · 25x + 5 · 16x = 9 · 20x ;

3) 5 · 52x + 2 · 41

x − 7 · 101x = 0 ;

4) 2 · 91x + 3 · 41

x = 5 · 61x ;

5) 9 · 41x + 5 · 61

x = 4 · 91x ;

6) 2x +√

2x+2 · 5x = 3 · 5x .

12. 1) 71−|x| = 49 ;

2) 2|x−1| = 16 · 40.5 ;

3) 31+|x+1| = 91.5 ;

4) 23+|x−1| = 16 · 4−0.5x ;

5) 3|3x−4| = 92x−3 ;

6) 52|2x−2| = 253x−4 .

13. 1) log(x − 1) + log 5 = log(3x + 1) ;

2) log(x + 1) − log(x − 1) = log 2 ;

3) log x + log x2 = 3 ;4) log x− log(3x+2)= log(x+1)− log(3x+1) ;

5) log x + log x2 + log x3 = 12 ;6) log x − log(x − 1) = log 3 .

14. 1) log(x−1) + log(x−2) = 2 log(x−3) ;

2) log x + log(x − 3) = 1 ;

3) log(x−2) + log(x+2) = 2 log(x−1) ;

4) log(2x−1) − log(x+2) = log(x−2) ;

5) log(3x−5) − 12

log(x+1) = 1 − log 5 ;

6) log(3x−2) − 2 =12

log(x+2) − log 50 .

15. 1) log(100x)− log(10x3) = 2 ;

2) log2(4x2) + log2(8x) = 8 ;

3) log3(27x) − log3 x3 = 3 ;

4) 2 log5(0.2x) − log 15(125x) = 13 .

16. 1)3

log x − 1= 1 + log x ;

2)2 log x

log x − 1− log x =

2log x − 1

;

3)1

5 − log x+

21 + log x

= 1 ;

4)1

5 − 4 log x+

41 + log x

= 3 .

17. 1) log2 x + 2 · log(0.1x) = 1 ;

2) log(0.1x2) · log10x

= −3 ;

3) log2 x − 2 log(10x) = 6 ;

4) log2 1x − 1

+ log(x − 1) = log 100 .

18. 1) log3 log8 log2 x = log3 2 − 1 ;

2) log5[2 + log3(x + 3)] = 0 ;

3) log[3 + 2 log(x + 1)] = 0 ;

4) log25[15

log3(2 − log12

x)] = −12

;

5) log4[4 − 2 log5(4 − x)] =12

;

6) log3{1 + log2[1 + log4(1 + log12

x)]} = 0 .

19. 1) log4 x + log8 x = 5 ;

2) log3 x + log27 x + 4 = 0 ;

3) log2 x − log12

x = 8 ;

4) log4 x − log0.25 x = 4 ;

5) log5 x + log0.2 x = 0 ;

6) log16 x + log8 x + log2 x =1936

.

20. 1) log3 x · log9 x · log27 x =43

;

2) log12

x · log2 x · log4 x = 4 ;

3) log25 x · log15

x · log5 x = 4 ;

4) log3 x · log9 x · log27 x · log81 x =23

.

21. 1) log3(3x − 8) = 2 − x ;

2) log2(2x − 7) = 3 − x ;

3) log5(5x − 4) = 1 − x ;

4) log2(2x − 3) = 2 − x .

45


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

22. 1) x1+log x = 0.001−23 ;

2) x2 log x−5 = 0.01 ;

3) 24x1−log2 x = (√

3)2+log9 16 ;

4) 9 · x2−log3 x = (√

3)2 log3 x−8 .

23. 1) 0.1log x−2 = 100 ;

2) 4log2(x+2) = 4x + 5 ;

3) 3log9(x+2) = x + 2 ;

4) 2log8(x−1) = x − 1 .

24. Koliki je x ako je:

1)100

1 + e−x= 0.5 ;

2)3ex

1 + 2e2x=

23

.

25. Ako je log 5 = m izrazi preko m rjesenje jed-nadzbe 0.2x−1 = 2.5 · 0.04x .

26. Izrazi x iz formule y = c(1 − e2x) .

27. Izrazi x iz formule y =ex − e−x

ex + e−x.

28. Izrazi k iz formule C = C0 · ekx .

29. Koliko rjesenja ima jednadzba:

1) x2 = ex ; 2) x = ln x ;

3) |x − 10| = log2 x ; 4) x2 − x = 2x−1 ?

30. U kojim tockama graf funkcije f sijece koordi-natne osi:1) f (x) = ln(x + 1) + 3 ;

2) f (x) = 2ex−1 − 1 ;

3) f (x) = log2 x2 − 1 ;

4) f (x) = log2(x − 1)2 ;

5) f (x) = e−x − 1 ;

6) f (x) = log |x − 0.1| − 1 ?

31. Rijesi sustave jednadzbi:

1)

{5x · 2y = 3200,

log√5(y − x) = 2;

2)

{52x−1 · 3y+1 = 135,

1 + log2 x = log2 y;

3)

⎧⎨⎩

2x−2 · 5y+1 = 200,

log12(x − y) = −2;

4)

{3x · 2y = 576,

log√2(y − x) = 4;

5)

{22x−3 · 5y+2 = 1000,

log√2(x − 2y) = 0;

6)

{log2(x − y) = 2,

3x−2 · 2y = 324;

7){

log3 x − log3 y = 2,x(y − 2);

8){

2 + log2(x + y) = log2 8,x2 − y2 = 16;

9){

2 log x − log y = 2 log 2 + log 3,2x2 + y = 75;

10){

x − y = 90,log x + log y = 3.

32. Rijesi sustave jednadzbi:

1)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

log2 x + 2 log2 y = 2,

log2 y + 2 log2 z = 5,

log2 z + 2 log2 x = 2;

2)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

log x = 1 +12

log y,

log y = 1 + log z,

log z = 1 − 2 log x;

3)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

log2 x + log4 y + log4 z = 2,

log3 y + log9 z + log9 x = 2,

log4 z + log16 x + log16 y = 2;

4)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

log2 x + log3 y + log5 z = 6,

log4 x − log9 y + log25 z = 2,

2 log8 x + 3 log27 y + log125 z = 4.

46

EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE NEJEDNADZBE 5.6

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

5.6. Eksponencijalne i logaritamske nejednadzbe

Pri rjesavanju eksponencijalnih i logaritamskih nejednadzbi, slicno kao i pri rje-savanju jednadzbi, koristimo se svojstvima odgovarajucih funkcija. No za razlikuod jednadzbi, rjesavajuci nejednadzbe moramo prije svega voditi racuna o svoj-stvima monotonosti tih funkcija.

Naime, ako je a > 1 , tada su funkcije x �→ ax i x �→ loga x rastuce, pa sunejednadzbe oblika

af (x) > ag(x), loga f (x) > loga g(x)

ekvivalentne s f (x) > g(x) .

Pritom moramo uvaziti da je logaritamska funkcija definirana samo tamo gdje jef (x) > 0 i g(x) > 0 .

Ako je 0 < a < 1 , tada su funkcije x �→ ax i x �→ loga x padajuce, pa sunejednadzbe oblika

af (x) > ag(x), loga f (x) > loga g(x)

ekvivalentne s f (x) < g(x) .

Dakako, i u ovom slucaju valja uvaziti da se kod logaritamske nejednadzbe zah-tijeva f (x) > 0 i g(x) > 0 .

Primjer 1. Rijesimo nejednadzbu: 0.25 ·(

18

)x−1

< 16 .

U nejednadzbi su potencije baze12

pa je mozemo zapisati u obliku(12

)3x−1

<

(12

)−4

.

Kako je rijec o eksponencijalnoj funkciji cija je baza manja od 1, ta je funk-cija padajuca, pa je nejednadzba ekvivalentna s 3x − 1 > −4 . Konacnoje x > −1 .

Primijetimo kako smo nejednadzbu mogli zapisati i u obliku2−2 ·2−3x+3 < 24 , odakle slijedi −3x+1 < 4 , zatim −3x < 3 i konacnox > −1 .

Zadatak 1. Rijesi nejednadzbu (0.2)x−1 <125

· 5x+1 .

47


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 2. Rijesimo nejednadzbu 9x−1 + 3x < 18 .

Valja prepoznati da je rijec o eksponencijalnoj nejednadzbi koja se za-mjenom u = 3x−1 svodi na kvadratnu. Najprije je zapisimo u obliku(3x−1)2 + 3 · 3x−1 − 18 < 0 .

Uz navedenu zamjenu ona prima oblik u2 + 3u − 18 < 0 .

Rjesenje ove posljednje nejednadzbe je −6 < u < 3 pa je−6 < 3x−1 < 3 .

Eksponencijalna funkcija prima samo pozitivne vrijednosti pa je rjesenjesvaki realni broj x za koji je 3x−1 < 3 , odnosno svaki x < 2 .

Zadatak 2. Rijesi nejednadzbu: 4x+1 − 41−x − 10 � 0.

Primjer 3. Rijesimo nejednadzbu: log 13(x − 1) > 1 .

Baza logaritamske funkcije je broj manji od 1, zato je funkcija monotono

padajuca pa slijedi x − 1 <13

, odnosno x <43

.

No, oprez! Logaritamska funkcija je definirana samo za pozitivne brojeve,pa mora vrijediti x − 1 > 0 . Tako je konacno rjesenje ove nejednadzbe

1 < x <43

.

Pogledajmo i graficko rjesenje zadatka.

x

y

1

1 43

2

Nacrtajmo graf funkcije f (x) =log 1

3(x − 1) . Radi se o grafu

funkcije log 13x koji je translati-

ran u smjeru osi x udesno za 1.

Nacrtajmo zatim i pravac y = 1te istaknimo dio grafa koji je iz-nad tog pravca. Projicirajmo gana os x i dobit cemo rjesenje za-

datka, interval⟨1,

43

⟩.

Zadatak 3. Rijesi nejednadzbu: log 12(x − 2) > log 1

2(2x + 3).

48

EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE NEJEDNADZBE 5.6

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 4. Rijesimo nejednadzbu:log2

2 x − 3 log2 x + 11 − log2 x

> 1 .

Uvedimo zamjenu u = log2 x te imamo nejednadzbuu2 − 2u1 − u

> 0 .

u1 20

Nacrtajmo apscisnu os i skicirajmo grafo-ve dviju funkcija, kvadratne f (u)=u2−2u

i linearne g(u)=1−u . Omjerf (x)g(x)

vrijed-

nosti ovih dviju funkcija bit ce pozitivannad intervalima unutar kojih ove funkcijeimaju isti predznak.

Sa slike ocitamo: u < 0 ili 1 < u < 2 . Dakle, log2 x < 0 ili1 < log2 x < 2 , odnosno x < 1 ili 2 < x < 4 .

No i opet moramo imati na umu da je logaritamska funkcija definiranasamo za pozitivne brojeve, pa je konacno rjesenje x ∈ 〈 0, 1〉 ∪ 〈 2, 4〉 .

Zadatak 4. Rijesi nejednadzbu:log2(x

2 + 1)log2(x2 − x)

< 0 .



1. Rjesenje jednadzbe 2x + 2x+1 = 3 je x = 1 .

2. Rjesenje jednadzbe 4x−1 = 5x+1 je broj x = log0.8 20 .

3. 2x > 3x za sve x < 0 .

4. Ako je log2(log3 x) = −1 , onda je x =√

3 .

5. Vrijednost funkcije f (x) = 10x−1 + 1 jednaka je 1 za x = 1 .

6. Jednadzba x2 = ax za svaki a > 0 ima dva pozitivna rjesenja.

7. Jednadzba 4log2 x = 2 − x ima dva realna rjesenja.

8. Ako je x cijeli broj te 3 < log x < 4 , onda x ima cetiri znamenke.

9. Ako je y =1

1 + e−x, onda je x = ln

1 − yy

.

10. Rjesenje nejednadzbe log3(x−3) + log3(x−1) � 1 jest interval 〈 3, 4] .

49


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatci 5.6.Rijesi nejednadzbe:

1. 1) 0.75x−1 >

√3

2;

2) 0.8x−1.5 >

√5

2;

3) 2.51−3x < 0.4x−2 ;

4) 62x−3 < 2x+7 · 33x−1 ;

5) 31x + 33+ 1

x > 84 ;

6) 22− 2x − 21− 2

x < 1 .

2. 1) 32x+3 − 4 · 3x+1 + 1 > 0 ;

2) 22x+5 − 3 · 2x+2 + 1 � 0 ;

3) 3x+1 + 32−x < 2 · 271−x ;

4) 0.4x − 2.5x+1 > 1.5 .

3. 1) 8 · 0.5x(x+1) > 0.2532 x ;

2) 0.25 · 2x(x+3) < 16x ;

3)(1

4

)1− 1x

< 16 · 22x−3 ;

4)(4

3

) 1x · (0.75)

1x−2 <

√3

2;

5) 0.8 ·(4

5

) 1x−1

<(5

4

)x+ 12

.

4. 1)9x − 3x+1 + 2√

2 − x� 0 ;

2)8x − 4x − 2x+1

√9 − x2

� 0 ;

3)32x+1 − 4 · 3x + 1√

1 − x2� 0 .

5. 1)32x+1 − 4 · 3x + 1

3x − 9x� 0 ;

2)22x+3 − 3 · 2x+1 + 1

21−x − 1> 0 .

6. 1)3x

3x − 1− 1

3x + 1� 0 ;

2)2x

5x−1+ 3 <

5x

2x−1;

3)1

2x − 4>

12x − 1

.

7. 1)log2 x + 2 log x − 6

log x< 1 ;

2)log2 x − 3 log x + 3

log x − 1< 1 ;

3)1

log x− 1

log x − 1< 1 ;

4)3

2 log x − 1− 2

log x< 1 .

8. 1) log10x

· log(10x) � log1

10x;

2) log x2 + log2 x � 3 ;

3) log(0.1x) · log(10x3) � log2 x2 − 4 ;

4) log(10x)2 · log10x

� log1x3

.

9. 1)1 − 2x + x2

log 1(x2 − 1)

� 0 ;

2)log(x

2 − 1)x2 − x + 1

� 0 .

10. 1)log 1

2(x2 + x − 1)

log2(x2 + 1)� 0 ;

2)log0.1(2x + 1

4 )log8(x2 + 2)

�0 ;

3)x2 + x + 3

log 12(x2 − 3)

<0 .

11. 1) log12(3x − 1) > 0 ;

2) log5(x + 3) > 1 ;

3) log14

1 − 2x4

� 0 ;

4) log3x − 2

x< 2 ;

5) log23x − 13x + 1

> 1 .

50

PRIMJENE EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE FUNKCIJE 5.7

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

5.7. Primjene eksponencijalne i logaritamske funkcije

Brojne su primjene eksponencijalne i logaritamske funkcije u najrazlicitijim po-drucjima znanosti. Osobito su pogodne za matematicki opis mnogih prirodnihpojava. U ovoj nastavnoj cjelini udzbenika potkrijepit cemo to nizom zornih iprobranih primjera pri cemu ce naglasak biti na idejama. Prvi primjeri odnose sena primjene u kojima je “matematicki model” funkcija oblika

f (t) = f 0 · ekt.

U tome je zapisu f 0 pocetno stanje, stanje na pocetku mjerenja ( t = 0 ), dok jef (t) stanje nakon vremena t . Broj k je konstanta koja se uglavnom odre -dujeeksperimentalno. Ako je k > 0 , funkcija f opisuje (prirodni) rast, a ako jek < 0 , (prirodni) pad u nekom procesu.

Prirast stanovnistva

Hrvatska je prema popisu stanovnistva 2011. godine imala 4.29 · 106

stanovnika. Prema nekim crnim prognozama taj bi broj do 2031. mogaopasti na 3.68 · 106 . Kad bi to bilo tako, koje bi godine broj stanovnikabio upola manji nego li je bio 2011. godine?

Prirast stanovnistva u nekoj zajednici lijep je primjer primjene spome-nutog eksponencijalnog zakona

nt = n0 · ekt.

Iz podataka za n0 = 4.29 · 106 i nt = 3.68 · 106 , gdje je t = 20 godina, nakonuvrstavanja imamo:

3.68 · 106 = 4.29 · 106 · e20k.

Odatle je e20k = 0.8578 te je

20k = ln 0.8578 = −0.15337.

Konacno imamo k = −0.0076685 . Tako smo dosli do zakonitosti po kojoj setijekom vremena mijenja broj stanovnika u nasoj zemlji:

nt = 4.43 · 106 · e−0.0076685t.

Primijetimo da je konstanta k negativan broj, sto je karakteristika funkcije kojaopisuje pad vrijednosti. Naravno, rijec je o tome da se broj stanovnika RepublikeHrvatske neprestance umanjuje.

I sada odgovorimo na pitanje kada bi se taj broj iz posljednjeg popisa prepolovio.

Iz12n0 = n0 · e−0.0076685t slijedi ln 0.5 = −0.0076685t , odakle se dobije t ≈ 90

godina.

Zakljucimo: prihvatimo li pretpostavku da se broj stanovnika u Republici Hrvat-skoj mijenja po eksponencijalnom zakonu, onda bi (uz spomenute crne prognoze)2101. u Republici Hrvatskoj zivjelo upola manje stanovnika nego 2011. godine.

51


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatak 1. Godine 1800. na Zemlji je zivjela 1 milijarda ( 109 ) ljudi. Jeste li znali da jepetmilijarditi stanovnik Zemlje ro -den u Zagrebu 11. srpnja 1987. u vrijeme odr-zavanja Univerzijade? Sestmilijarditi Zemljanin ro -den je u Sarajevu 12. listopada1999., a na Filipinima je 31. listopada 2011. ro -dena djevojcica, sedammilijarditistanovnik naseg planeta. Mozes li procijeniti koliko ce stanovnika imati Zemlja2050. godine? Koliko je tvoj rezultat u skladu s onim sto mozemo iscitati sdonjega grafa? Napomenimo kako na slici uocavamo zapis 6.1 billion. To jeengleski naziv za broj koji mi nazivamo milijarda. U svakom slucaju rijec je obroju 109 .

Na grafikonu koji potjece iz Ujedinjenih naroda prikazan je brojcani rast stanovnistvaZemlje (u milijardama) od 1750. godine te predvi -danje rasta do 2150. godine. Svjetlijom

bojom obuhvacene su manje razvijene, a tamnijom razvijene zemlje.

Vidljivost

Intenzitet svjetlosti u moru smanjuje se s dubinom. To smanjenjeje razlicito i ovisi o brojnim cimbenicima. Jadransko more zbogsvoje iznimne cistoce ima vrlo dobru prozirnost. Ona se za vedrog isuncanog dana umanjuje svega oko 2 % po metru dubine. Ako je napovrsini intenzitet I0 , onda je na dubini h metara intenzitet jednak

I(h) = I0 · 0.98h.

1) Koliki je postotak intenziteta svjetlosti na dubini od 20 m uodnosu prema onom na povrsini?

2) Na kojoj je dubini postotak intenziteta 50 % onoga na povrsini?

52


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Kamate

Benjamin Franklin je bio vrlo mudar covjek. Pripisuju mu se brojnepoucne izreke od kojih je jedna: Uste -den penny zara -den je penny.Franklin je 5. srpnja 1776. godine postavio sljedeci problem:

Ako bih danas u banci stavio na stednju 1 penny i zahtijevao da se nakraju svakog sljedeceg mjeseca pripise 12 % kamata koliki bi iznos (udolarima) bio nakon 100 godina?

Ovakva pitanja nisu ni danas izgubila na vaznosti. Odgovor je danformulom

C(t) = C0

(1 +

pn

)nt

gdje je C0 pocetni iznos (ulog), p je kamatna stopa, n broj ukamaci-vanja godisnje i t broj godina.

Primjerice, ulozi li netko iznos od 10 000 kn uz kamatu od 8 %, kolika ce bitisvota nakon tri godine ako se pripisivanje kamata provodi

1) godisnje; 2) polugodisnje; 3) mjesecno; 4) dnevno?

Potrazimo odogovore:

1) U ovom slucaju je C0 = 10 000 = 105 , p = 0.08 , n = 1 te je

C = 105 ·(1 +

0.081

)3= 105 · 1.083 ≈ 12 597.11 kn.

2) Sada su podatci za C0 i p isti kao u prethodnom slucaju, samo je n = 2 :

C = 105 ·(1 +

0.082

)= 105 · 1.046 ≈ 12 653.2 kn.

3) Sada stavljamo n = 12 i imamo: C = 105 ·(1 +

0.0812

)36≈ 12 702.37 kn.

4) I konacno, uzmemo li da godina ima 365 dana, tada je

C = 105 ·(1 +

0.08365

)3·365≈ 12 712.16 kn.

No ukamacivanje moze biti i kontinuirano, neprekinuto, sto znaci da se provodiu svakom trenutku trajanja ugovora. Tada se racun provodi po formuli

C = C0 · ept,

gdje je C0 pocetni iznos (glavnica), t vrijeme u godinama, p postotak (kamat-njak). Ako bismo po ovoj formuli racunali koliki je iznos na racunu uz glavnicu10 000 kn, nakon tri godine i uz kamatnu stopu od 12 %, dobili bismo:

C = 105 · e0.08·3 = 105 · e0.24 ≈ 12 712.5 kn.

53


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

No nismo odgovorili na Franklinovo pitanje. U njegovom bi slucaju bilo:C0 = 0.01 , p = 0.12 , n = 12 , t = 100 pa bismo imali:

C(100) = 0.01(1 +

0.1212

)12·100= 0.01 · 1.011200 ≈ 1533.38 dolara.

Zadatak 2. Neka svota uz godisnje pripisivanje kamata te uzkamatnu stopu od 5 % naraste za 5 godina na iznos19 144 kn. Kolika je bila ulozena svota?

Zadatak 3. Ako netko ulozi 5000 kuna uz kamatu od 2.5 % i uz kontinuirano ukamacivanje,koliko ce nakon 6 godina iznositi kamate?

Radioaktivnost

Maria Curie je dvostruka dobitnica Nobelove nagrade, 1903. za fiziku i1911. za kemiju. Godine 1898. otkrila je radij, vrlo radioaktivan kemijskielement. Ako je m0 masa neke radioaktivne tvari, tada je kolicina te tvarinakon vremena t jednaka m(t) = m0 · e−kt .

Vrijeme potrebno da se radioaktivnim raspadanjem kolicina te tvari pre-polovi zove se vrijeme poluraspada i oznacava se s T . Dakle je

m(T) =12m0 , gdje je m(T) masa tvari preostale nakon vremena T .

Dalje imamo m0e−kT =12m0 . Odatle je e−kT =

12

, zatim −kT = ln12

i

konacno k =ln 2T

.

Tako primjerice, vrijeme poluraspada radija-226 iznosi 1620 godina. Konstantu

k racunamo iz k =ln 2T

= 4.27868·10−4 i masa radija koja preostane od pocetne

mase m0 nakon t godina jednaka je m(t) = m0 · e−0.000427868t .

Vremena poluraspada za neke radioaktivne elemente vidimo u sljedecoj tablici:

Element T

Uran U-238 4.5 · 109 god.

Plutonij PU-239 24 360 god.

Ugljik C-14 5730 god.

Einsteinij Es-254 270 dana

Nobelij No-257 23 sekunde

54


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Torinsko platno

U torinskoj katedrali (Duomo di San Giovanni) u proljece 2010. g. posjetitelji sumogli vidjeti restauriranu Sindonu, platno u koje je po vjerovanju nekih, nakonsmrti bilo umotano Isusovo tijelo. Na tom komadu platna duljine 4.4 m i sirine1.1 m uocljivi su obrisi ljudskog lika koji neodoljivo podsjeca na Isusa. Je li utaj komad tkanine uistinu bilo umotano Isusovo mrtvo tijelo? Nedoumica trajestoljecima pa je 1988. g. torinski nadbiskup potrazio pomoc znanstvenika te su ulaboratorijima sveucilista u Oxfordu, Zurichu te sveucilista u americkoj Arizoniprovedene tri nezavisne provjere.

Provjera je provo -dena jednom vrlo preciznom metodom koja se temelji na radi-oaktivnom ugljiku C-14. Ustanovljeno je kako je platno nastalo negdje izme -du1260. i 1390. godine pa bi prema tome to platno bila krivotvorina. No i dalje sejavljaju osporavatelji ovog nalaza. Njihovi se argumenti svode na upitnost cistoceuzorka. Tvrde kako se tijekom vremena u platno uvuklo nesto mla -deg materijalasto je utjecalo na rezultate mjerenja, a neki govore kako je za analizu uzet diozakrpe koja je mla -da od samoga platna. Na neki nacin prica ostaje otvorena.

A kako je provedena provjera starosti platna?

Sve zivo, ukljucujuci ljude, biljke i zivotinje, tijekom zivota iz ugljikova diok-sida u atmosferi apsorbira izotop ugljika C-14. Nakon smrti ili ugibanja C-14se pocinje smanjivati u sada nezivom organizmu po eksponencijalnom zakonum(t) = m0 · e−kt pa se mjerenjem preostale kolicine C-14 moze procijeniti nje-gova starost. Iz vremena poluraspada, koje za izotop ugljika C-14 iznosi 5730godina odredit cemo konstantu k .

Iz k =ln 2T

za T = 5730 dobijemo k = 1.2 · 10−4 .

Provjera je pokazala je da se u lanenim nitima Torinskog platna zadrzala kolicinaod 91.6 % izvorne kolicine C-14. I sada iz jednadzbe 0.916 = e−0.00012t slijedida je priblizna starost platna t ≈ 730 godina pa je zakljucak da ono nije moglobiti Isusova posmrtna odora.

Zadatak 4. Na podrucju Kumrana na Bliskom istoku sredi-nom proslog stoljeca prona -deno je mnostvo is-pisanih svitaka (Kumranski svitci). Neki od njihsadrzavali su 77 % izotopa ugljika C-14. Procijeninjihovu starost.

55


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatak 5. Cernobil

U mjesecu travnju 1986. godine u gradu Cer-nobilu u Ukrajini dogodila se jedna od dosadnajvecih katastrofa nuklearnih elektrana. Eks-plozija je razorila jedan od cetiriju reaktora ipritom su u atmosferu dospjele velike kolicinevisokoradioaktivnih tvari od kojih ce neke bi-ti jos desetljecima velika prijetnja po ljudskozdravlje. Poznato je kako je u krugu promjeraod nekoliko stotina kilometara oko ove nukle-arke porasla pojava raka stitnjace za vise od500 %, a zabiljezen je znacajan porast obolje-nja od svih vrsta karcinoma, osobito kostiju.Dvije trecine oslobo -denih radioaktivnih tvaricinili su cezij-137 i stroncij-90, a oko 12 %jod-131.

1) Ako vrijeme poluraspada joda-131 iznosi 8 dana, nakon koliko vremena jezaga -denost tim elementom iznosila desetinu zaga -denosti neposredno nakonincidenta?

2) Odgovorite na isto pitanje za cezij-137, cije je vrijeme poluraspada 30 godina.

Jaje

Jeste li uocili neke oznake na svje-zim jajima koja se prodaju u samo-poslugama i na trznicama? Sto teoznake znace? One izrazavaju kak-vocu proteina u jajetu, a mjera se zo-ve Haughova jedinica (H) po Ray-mondu Haughu koji je 1937. godinedao formulu za njezin izracun:

H = 100 · log(h − 1.7m0.37 + 7.6).

U formuli je m masa jajeta u gramima, a h visina bjelanjka u milimetrima nakonsto se jaje razbije i izlije na ravnu povrsinu.

Haughova jedinica razvrstava jaja u granicama od 0 – 130 te imamo ove oznake:

• H � 72 , oznaka AA; • 60 � H � 71 , oznaka A;

• 31 � H � 59 , oznaka B; • H � 30 , oznaka C.

Ovaj primjer tek je jedan od brojnih u kojima se pri opisu nekih procesa ili pojavaprimjenjuju eksponencijalna i logaritamska funkcija.

Uzmite jaje, razbijte ga i izlijte na vodoravnu povrsinu. Izmjerite njegovu masui visinu bjelanjka te izracunajte Haughovu jedinicu. Koja oznaka pripada vasemjajetu?

56


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatak 6. Tamne naocale

Tamne naocale vazan su modni detalj, ali su i neophodno sredstvo zdravstvenezastite. Tako primjerice, zavarivaci moraju nositi zastitne zatamnjene naocalestupnja 10. Promatraci pomrcine Sunca trebaju oci zastititi naocalama najvecegstupnja zasjenjenosti, 14.

Stupanj zatamnjenosti S stakala s prozirnoscu P , dijelom vidljive svjetlosti kojeta stakla propustaju, vezan je jednadzbom

S = −7 · log P3

+ 1.

Koliki dio vidljive svjetlosti propustaju te naocale, a koliki naocale zavarivaca?

Logaritamska skala

Ponekad se odre -deni podatci graficki prikazuju tako da im se pridruze tockepravca. Pritom je skala najcesce linearna. No takva je skala ponekad neprak-ticna pa se primjenjuju neke druge, kakva je primjerice logaritamska. Linearnuskalu mozemo pretvoriti u logaritamsku tako da svakom broju b linearne skalepridruzimo broj 10b logaritamske.

linearna skala

logaritamska skala

Jedna od prirodnih nepogoda od kojih ljudi najvise strepe jest potres. U novijese doba iznimno jak potres dogodio u Cileu 1960. g., a njegova je jacina bila9.5 stupnjeva po Richteru.

Hrvatska je seizmicki vrlo aktivno podrucje i kod nas se prosjecno svakihdeset godina dogodi jaci potres. Osobito su kriticni krajevi na krajnjem jugu.Najjaci potres zabiljezen u Republici Hrvatskoj pogodio je Dubrovnik 1667.godine, a iznosio je 7.6 stupnjeva po Richteru. A 1880. godine i Zagreb jezahvatio jak potres (6.3 stupnjeva po Richteru) s epicentrom u Medvednici.

Richterova skala je ime dobila po americkom seizmologu Charlesu Richterukoji ju je uveo 1935. godine. Ta je skala logaritamska, povecanje za jedanstupanj znaci deset puta jaci potres. Primjerice, potres u Podgori 1962. je bioza dva stupnja jaci negoli potres u Splitu 2013. To znaci da je potres u Pod-gori bio 100 puta jaci nego splitski. Najjaci potres novijeg doba u Hrvatskoj,onaj koji se dogodio 1667. godine u Dubrovniku iznosio je 7.6 stupnjeva i uusporedbi s potresom u Splitu (4.1) on je bio priblizno 3162 puta jaci.

Naime, 7.6 − 4.1 = 3.5 , a 103.5 ≈ 3162 .

57


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatak 7. U posljednjih 50 godina dva iznimno jaka potresa u Hrvatskoj pogodila su Pod-goru 1962. i Ston 1996. godine. Magnituda prvoga bila je 6.9, a drugoga 6.1stupnjeva po Richterovoj skali.

Usporedi ta dva potresa po kolicini oslobo -dene energije.

Zadatak 8. Pri raznim oblicima osiguranja vazan je faktor vjerojatnost nepovoljnog doga -daja(rizik) kakvo je, primjerice, smrtno stradavanje. Stupanj rizika prikazuje se nalogaritamskoj skali. Prouci i komentiraj tablicu. Tablicu prepisi u biljeznicu ipopuni prazne kucice:

Smrtno stradavanje usljed. . . Rizik (1 : n) log n

udara groma 1 : 2 milijuna 6.3

voznje na motociklu 1 : 8000 3.9

pusenja 1 : 2.9

skoka s padobranom 1 : 4.1

ubojstva 1 : 12 000

leta zrakoplovom 1 : 2.2 milijuna

utapanja 1 : 30 000

Zadatak 9. Vec po okusu za neke tvari cemo zakljuciti da su kisele, za neke da su neutral-ne, a neke luznate. Razinu kiselosti tvari odre -duje koncentracija vodikovih ionau njoj, a izrazava se pH-vrijednoscu. Ta vrijednost za vodu iznosi 7. Ako jepH-vrijednost neke tvari manja od 7 tada je smatramo kiselom, a ako je veca od7 tada je luznata. Na slici vidimo skalu kiselosti uz navo -denje nekih posebnihprimjera. Primijetimo kako je rijec o logaritamskoj skali.

Ako je H+ koncentracija vodikovih iona, tada se pH-vrijednost neke tvari izra-zava funkcijom

pH = − log(H+).

58


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjerice, u ruralnim podrucjima Hrvatske koncentracija vodikovihiona u kisnici priblizno je jednaka 2.5 · 10−6 . Dakle je pH-vrijednostkisnice u tim krajevima jednaka − log(2.5 · 10−6) = 5.6 . Ako jepH-vrijednost kisnice ispod 5.6, to je pokazatelj povecane kiselosti, aako je izme -du 4 i 4.5 tada govorimo o kiselim kisama. Ta “kiselost”posljedica je procesa sagorijevanja pri kojima se u atmosferu emitirajustetni plinovi. Kisele kise ostecuju tkivo biljaka, a u tlu otapaju hranjivetvari potrebne za njihov zivot. One rijecnim tokom zaga -duju jezera imora.

1) Koncentracija vodikovih iona u kisnici iznosi 2.5 · 10−6 . Morska voda imapH 8.2. Usporedi kiselost kisnice i morske vode.

2) U soku od rajcice koncentracija vodikovih iona iznosi H+ = 6.3 · 10−5 .Kolika je njegova pH-vrijednost? Je li taj sok kiseo?

3) Mlijeko s magnezijem ima koncentraciju vodikovih iona H+ = 3.2 · 10−11 .Odredi njegovu pH-vrijednost.

Logisticka funkcija

Pozorno pogledajte graf uz zadatak 1. o brojcanom rastu stanovnistva Zemlje.Sto uocavate? Ocigledno je da eksponencijalnoj funkciji ne pripada krivulja kojaje granica podrucja svjetlije boje. Premda smo rastu stanovnistva pripisali tufunkciju, ona tek djelomice odgovara tom procesu. Za pojave pri kojima nakonnaglog rasta (ili pada) dolazi do relativnog smirivanja, znatno bolje je rjesenjelogisticka funkcija. Primjer je epidemija gripe pri kojoj se zaraza u pocetku brzosiri da bi nakon nekog vremena jenjavala.

Opca formula logisticke funkcije glasi

f (x) =c

1 + ae−bx.

U ovom zapisu a , b i c su konstante, realni brojevi koji su svojstveni pojedinojkonkretnoj pojavi i za koje vrijedi a > 0 , b �= 0 , c > 0 .

Na dvjema slikama prikazani su grafovi dviju logistickih funkcija:

x

y

y a=

a2

b > 0

x

y

y a=

a2

b < 0

59


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Gripa

U jednom je gradu broj osoba zarazenih gripom nakon t dana trajanja epidemijepriblizno jednak

Q(t) =5000

1 + 1250e−kt.

Ako je nakon sedam dana bilo zarazeno 40 osoba, koliko ce osoba biti bolesnonakon petnaest dana?

Iz jednadzbe Q(7) =5000

1 + 1250e−7kslijedi e−7k =

1241250

, odnosno −7k =

ln1241250

. Tako dobivamo k = 0.33 pa imamo funkciju

Q(t) =5000

1 + 1250e−0.33t.

I sada racunamo: Q(15) =5000

1 + 1250e−4.95 ≈ 507 .

Nakon 15 dana gripom ce biti zarazeno priblizno 507 osoba.

Ebola

virus ebole

Na temelju pracenja tijeka sirenja ebole, teske za-razne bolesti, u jednom dijelu Ugande postavljenje matematicki model koji opisuje povecanje obo-ljelih u t dana nakon pocetka promatranja:

n(t) =396

1 + 2.75 · 1.1−t.

Koliko se oboljelih moze ocekivati nakon 60 da-na?

Iz dane formule izracunamo

n(60) =396

1 + 2.7 · 1.1−60 ≈ 392.

Moze se, dakle, ocekivati da ce nakon 60 danavirusom ebole biti zarazeno priblizno 392 osoba.

Zadatak 10. Africki je slon najveci zivuci sisavac na kopnu. Dug je 5.5 – 7 metara, visok3 – 4 metra. Zivi 50 – 60 godina. Masa zenke starosti t godina moze se u tonamapriblizno izracunati iz formule m(t) = 2.6 · (1 − 0.51 · e−0.75t)3 .

1) Kolika je ocekivana masa mladunceta africkog slona?

2) Kolika je ocekivana masa slonice stare 10 godina?

3) Kolika je ocekivana masa slonice stare 50 godina?

60


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatci 5.7.1. Godisnji je prirast stanovnistva u Zagrebu 2 % .

Prema popisu stanovnistva iz 2001. godine gradje imao 760 000 stanovnika. Kada ce Zagrebimati 1 000 000 stanovnika?

2. Procijenjeno je da u nekoj sumi ima 45 000 m3

drva. Godisnji je prirastaj 2 % . Koliko ce drvabiti u toj sumi nakon 10 godina ako se na krajusvake godine posijece 1500 m3 ?

3. Izracunaj polovicno vrijeme raspada a, ako jek = 1.382 · 10−11s−1 .

4. Koliko atoma radioaktivnog izotopa kobalta (k =4.2 · 10−9 · s−1) ostane nakon 10 godina ako jepocetni broj N0 = 106 atoma?

5. Pocetni broj bakterija na nekoj kulturi bio je 1000.Nakon cetiri sata taj se broj utrostrucio. Kolikoce bakterija biti nakon dva dana?

6. Ako je nakon dva sata od pocetka promatranjabroj bakterija narastao od 2 000 na 18 000, kolikice broj bakterija biti nakon jos dva sata?

7. Ako su p0 i ph tlakovi zraka u dva mjesta s vi-sinskom nadmorskom razlikom h , tada vrijedi:

ph = p0 · e−kh,

pri cemu je k konstanta i ona priblizno iznosi1.25 · 10−4 m−1 .Odredi tlak zraka na vrhu 80 m visoke zgra-de ako je u njezinu podnozju izmjeren tlak od1000 hPa.

8. Barometar na Zrinjevcu u Zagrebu pokazuje tlakzraka 996 hPa. Istodobno je na Gricu izmjerentlak od 991 hPa. Ako je nadmorska visina Zri-njevca 120 m, kolika je nadmorska visina Grica?

9. Nedugonakon uzimanja aspirina u krvi bolesnikabilo je 300 miligrama tog lijeka. Ako se kolici-na lijeka u krvi smanjuje tako da je svaka dvasata upola manja, koliko ce aspirina biti u krvibolesnika nakon 5 sati?

10. Nakon sto je ispio nekoliko casica, u krvi vozacabilo je 0.2 mg/dLalkohola. Ako se kolicina alko-hola u krvi smanjuje eksponencijalno tako da se

svakog sata smanji za14

, za koje ce vrijeme u

krvi vozaca biti 0.08 mg/dlitra alkohola?

11. Hla -denje tijela koje se nalazi u okolini nize tem-perature tece prema zakonu

T = T0 + (T1 − T0)e−kt,

gdje je T temperatura tijela nakon vremena t ,T0 temperatura okoline, T1 temperatura tijela napocetku, te k realna konstanta.Pri vanjskoj temperaturi od 6 ◦C za 4 sata tempe-ratura sadrzaja u termos-boci spustila se s 90 ◦Cna 75 ◦C . Koliko ce se spustiti za iducih 12 sati?

12. Ako se posuda s ledom temperature 0 ◦C na -de uprirodi pri temperaturi 30 ◦C , nakon koliko vre-mena ce temperatura u posudi porasti na 5 ◦C?Uzmimo k = 0.0037 1/min.

13. Kad je pripremljena salica caja, temperatura teku-cine u salici iznosila je 98 ◦C . Salica je stavlje-na na stol u prostoriji u kojoj je temperatura bila20 ◦C . Nakon pet minuta temperatura caja bilaje 38 ◦C . Nakon koliko ce vremena temperaturapasti na 22 ◦C?

14. Otapanje neke topljive tvari u vodi odvija se pozakonu

S = S0(1 − e−kt),

pri cemu je S kolicina tvari sto se otopi u vreme-nu t , S0 kolicina potrebna za zasicenost otopine,a k > 0 konstanta koja ovisi o vrsti tvari sto seotapa.Ako se 20 g secera otopi za 1 minutu, a 30 g za2 minute, izracunaj kolicinu S0 potrebnu da sepostigne zasicenje otopine.

15. Broj rijeci sto ih nakon t tjedana provedenih natecaju unosi tipkacica jednak je

r(t) = 100 · (1 − e−0.3t).

1) Odredi r(1) i r(8) .

2) Nakon koliko tjedana tipkacica postigne br-zinu unosa od 95 rijeci u minuti?

16. Stupanj glasnoce izrazen u decibelima dan je for-mulom

L = 10 · log(I · 1012).Pritom je I jacina zvuka. Ako je jacina zvuka narock-koncertu na udaljenosti 75 m od pozornicejednaka 0.001 W/m 2 , koliki je stupanj zvuka utoj tocki?

61


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

5.8. Racunanje logaritama i opcih potencija

Znanstveni zapis broja

Svaki se pozitivni realni broj x moze napisati u obliku

x = x′ · 10n, (1)

pri cemu je 1 � x′ < 10 , a n cijeli broj. Primjerice:

x = 236 = 2.36 · 102,

x = 12.636 = 1.2636 · 101,

x = 0.03172 = 3.172 · 10−2,

x = 2.347 = 2.347 · 100.

Ovaj se zapis broja naziva znanstveni zapis.

Pri racunanju na dzepnom racunalu znanstveni je zapis nuzan ukoliko broj zna-menaka broja lijevo od decimalne tocke prelazi broj mjesta na zaslonu racunala.Isto se doga -da za brojeve manje od 1 koji imaju desno od decimalne tocke velikbroj nula. Racunalo ce u tom slucaju automatski prijeci na znanstveni zapis.

Primjer 1. Izracunajte dzepnim racunalom sljedece umnoske:

8 123 402.3 · 773 621.2 = 6.2844362 · 1012,

0.000000213 · 0.000000624 = 1.32912 · 10−13

(Provjerite rezultat na zaslonu.)

Racunalo, jasno, nece napisati potenciju u obliku 1012 , vec ce znanstvenizapis naznaciti u obliku 6.2844362 E 12 ili u nekom obliku slicnom tome.

Ako su nasi podatci vec dani u znanstvenom zapisu, tad racunamo nasljedeci nacin:

2.136 · 108 : 3.127 · 10−7

2.136 E 8 : 3.127 E 7 ± = (6.8308 E 14).

Ovdje je E tipka kojom se nakon unosenja znamenki broja zapocinje sunosenjem znamenki eksponenta. Na raznim racunalima ona ce mozdabiti oznacena drugim znakom, poput EEX ili EXP . Ako je eksponentnegativna predznaka, taj se predznak unosi nakon znamenki eksponentatipkom ± za promjenu predznaka. Ne smijete koristiti umjesto toga

tipku − za operaciju oduzimanja!

62

RACUNANJE LOGARITAMA I OPCIH POTENCIJA 5.8

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Logaritam broja i logaritamske tablice

Logaritam broja x zapisanog u znanstvenom obliku: x = x′ · 10n — iznosi

log x = log x′ + log(10n) = log x′ + n.

Kako vrijedi 1 � x′ < 10 , logaritam tog broja nalazi se u granicama

0 � log x′ < 1.

Zato se logaritam broja x nalazi u granicama

n � log x < n + 1.

Racunanje broja iz zadanog logaritma

Neka je n cijeli broj za koji vrijedi

n � log x < n + 1.

Ako je n � 0 , tad x ima tocno n+1 znamenku prije decimalne tocke,a ako je n < 0 , tad x ima n − 1 nula neposredno poslije decimalnetocke. Broj x ima znanstveni zapis:

x = 10log x−n · 10n.

Primjer 2. Odredimo broj x iz zadanog logaritma.

1) log x = 5.126 . Sada je

x = 105.126 = 100.126 · 105 = 1.3366 · 105 .

(Ovaj se broj mogao na dzepnom racunalu racunati i ovako 105.126 .)

2) log x = 136.2081 . Sad je

x = 10136.2081 = 100.2081 · 10136 = 1.6147 · 10136 .

Ovaj broj ima 137 znamenki prije decimalne tocke.

3) log x = −2.367 . Mozemo racunati direktno:

x = 10−2.367 = 0.004295,

ili na sljedeci nacin

x = 103−2.367−3 = 100.633 · 10−3 = 4.295 · 10−3.

63


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

4) log x = −237.45 . Sada moramo racunati na jedan od ovih dvajunacina:

x = 10238−237.45−238 = 100.55 · 10−238 = 3.5481 · 10−238,

ili

x = 10−0.45−237 = 10−0.45 · 10−237 = 0.35481 · 10−237

= 3.5481 · 10−238.

Ovaj broj ima u svom decimalnom zapisu 237 nula neposredno izadecimalne tocke.

Racunanje opce potencije i opce eksponencijalne funkcije

Kad racunamo vrijednosti eksponencijalne funkcije f (x) = ax i vrijednost opcepotencije f (x) = xr za zadane vrijednosti brojeva a , x i r , me -du njima ne-ma razlike. U oba slucaja moramo izracunati brojeve nalik ovakvima: 2.36.12 ,0.0126−3.632 , 1728 itd.

Najlakse se ti brojevi racunaju na dzepnom racunalu koje posjeduje tipku yx .Racunamo na racunalu, zapisujuci brojeve s cetirima decimalama:

2.3 yx 6.12 = (163.5966),

0.0126 yx 3.632 ± = (7 933 305.5270),

17 yx 28 = (2.8351 · 1034).

Me -dutim, na vecini dzepnih racunala nece biti moguce izracunati broj poput4579 , jer je prevelik. Njega moramo racunati koristeci svojstva logaritamskih ieksponencijalnih funkcija. Istim se metodama sluzimo i ako dzepno racunalokojim racunamo nema ugra -denu funkciju yx .

Opca potencija xr i opca eksponencijalna funkcija ax mogu se racunatiformulama:

xr = 10r log x, ax = 10x log a.

Funkcija 10x ugra -dena je u sva racunala (osim onih sa samo cetirima osnovnimoperacijama).

64

RACUNANJE LOGARITAMA I OPCIH POTENCIJA 5.8

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 3. Izracunajmo 3.2461.28 koristeci samo funkcije log x i 10x .

Racunamo po formuli

3.2461.28 = 101.28 log 3.246.

Najprije racunamo eksponent 1.28·log 3.246 , a zatim vrijednost potencije10x :

1.28 × 3.246 LOG = (0.6545)

10x (4.5136).

Primjer 4. Izracunajmo sljedece potencije, koristeci samo funkcije log x i 10x :

1) 1.232.347 ; 2) 0.00124−16.27 ; 3) (−2.347)2.34 .

1) 1.232.347 = 102.347 log 1.23,

1.23 LOG × 2.347 = 10x (1.6256),

2) 0.00124−16.27 = 10−16.27 log 0.00124,

0.00124 LOG × 16.27 = ± 10x (1.9500 × 1047),

3) (−2.347)2.34 = 102.34 log(−2.347),

2.347 ± LOG (ERROR).

Baza eksponencijalne funkcije ne smije biti negativan broj. Ipak, akoje eksponent prirodan broj, vecina dzepnih racunala izracunat ce i tadavrijednost potencije.

Slicno racunamo i n -ti korijen ako racunalo ne posjeduje programiranu funkcijun√x :

5√16 = 1615 = 160.2 = 100.2 log 16 = 100.2408 = 1.7411 .

Racunanje velikih potencija

Dzepno racunalo moze racunati samo s brojevima unutar nekog ome -denog inter-vala. Obicno je najveci broj koji se moze zapisati:

9.999999999 · 1099.

Ako se tijekom racunanja dobije broj veci od ovog, doci ce do prekoracenja me-morije i na zaslonu ce se ispisati formula o pogresci u racunu. Najmanji je brojobicno 1.00 · 10−99 .

65


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

To ne znaci da ne mozemo racunati operacije u kojima rezultati premasuju ovevrijednosti. Treba se prisjetiti da se svaki broj moze zapisati u eksponencijalnomzapisu, a racunanje s potencijama broja 10 iznimno je jednostavno.

Primjer 5. Izracunajmo potenciju 23665 .

Racun provodimo ovako. Najprije izvrsimo (na papiru) pripremni racun:

x = 23665 = (2.36 · 102)65 = 2.3665 · 102·65 = 2.3665 · 10130.

Ako dzepno racunalo posjeduje tipku yx , racunamo ovako:

2.36 yx 65 = (1.7349 E 24),

te jex = 1.7349 · 10154.

Ako dzepno racunalo ne posjeduje tipku yx , broj 2.3665 racunamokoristeci svojstva logaritama, kako je objasnjeno prije.

Moguce je ta svojstva koristiti i bez prethodne pripreme:

23665 = 1065 log 236 = 1065·2.3729 = 10154.2393 = 100.2393 · 10154

= 1.7349 · 10154.

Zadatak 1. Zapisi u znanstvenom prikazu brojeve:

1) 855; 2) 8555; 3) 855

.

Primjer 6. Koliko znamenki ima broj x = 555

?

Logaritam je ovog broja:

log x = log 555

= 55 log 5 = 3125 log 5 = 3125 · 0.69897 = 2184.28.

Zato broj x ima 2185 znamenki. Njegova je priblizna vrijednost:

x = 102184.28 = 100.28 · 102184 = 1.911 · 102184.

Zadatak 2. Koliko znamenki imaju brojevi (99)9 i 999?

66

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

7 POLIEDRI I ROTACIJSKA TIJELA

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

U nasoj okolini uocavamo predmete najrazlicitijih oblika. Mnogi od njih nastalisu ljudskom rukom i prije svega trebalo je znanja da bi ih se izradilo. Pritom jevaljalo crtati, planirati, mjeriti.

Kako oblikovati neki predmet? Kako mu izracunati povrsinu (oplosje), kako muodrediti obujam? To su prakticna pitanja koja su se uvijek postavljala pred co-vjeka i na koja je on trazio odgovore u geometriji. Tijekom vremena rjesenja sudobivala opci smisao i sustavno su matematicki obra -dena.

7.1. Obujam tijela. Cavalierijev princip

a

b

Uceci geometriju, izme -du ostalog smonaucili kako izmjeriti povrsinu nekih li-kova u ravnini. Krenuli smo od povrsi-ne pravokutnika jer je njegovu povrsinunajjednostavnije izracunati. Ako su a ib duljine stranica pravokutnika, onda jenjegova povrsina jednaka

P = a · b.

Povrsina paralelograma jednaka je umnosku duljina njegove stranice i visine natu stranicu:

P = a · va = b · vb.

va

A

b

aE B F

CDKako smo dosli do ove formule?

Iz vrha D paraleleograma ABCDpolozimo visinu va na njegovu stra-nicu AB . Od paralelograma je timeodsjecen pravokutni trokut AED . Na-domjestimo taj trokut sukladnim tro-kutom BFC onako kako je to prika-zano na slici.

Povrsina paralelograma ABCD jednaka je povrsini pravokutnika EFCD, cija jestranica EF sukladna stranici AB paralelograma, a druga je jednaka visini va .

Analogno se pokazuje da je povrsina paralelograma jednaka P = b · vb .

Zato kazemo da je povrsina paralelograma jednaka umnosku duljina njegovestranice i visine na tu stranicu.

126

OBUJAM TIJELA. CAVALIERIJEV PRINCIP 7.1

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

va

A a B

C Svaki se trokut moze dopuniti do pa-ralelograma. To je moguce ucinitina tri nacina, a jedan je prikazan naslici. U svakom je slucaju povrsi-na trokuta jednaka polovini povrsineparalelograma. Tako dolazimo dopoznatih formula za povrsinu troku-ta:

P =12ava =

12bvb =

12cvc.

A

B

C

DE

F

Bilo koji mnogokut mozemo podi-jeliti na trokute pa je njegova povr-sina zbroj povrsina tih trokuta. Tapodjela moze se provesti na raznenacine, primjerice, povlacenjem di-jagonala iz jednog vrha mnogokuta.

Prisjetite se kako smo racunali povr-sinu pravilnih mnogokuta.

Racunajuci povrsinu kruga, koristilismo se povrsinama krugu opisanih iopisanih mnogokuta s dovoljno veli-kim brojem stranica.

No dakako, matematicari su nasli vrlo ucinkovit nacin za izracunavanje povrsinai slozenijih likova u ravnini, ali za opisivanje tih postupaka jos je malo prerano ivalja se strpjeti do cetvrtog razreda.

Ova prica o racunanju povrsine nekih likova u ravnini trebala bi vas potaknuti naanalogiju kad je rijec o racunanju obujmu geometrijskih tijela.

a

b

c

Krenut cemoodobujmakvadra, pros-tornog lika koji je analogan pravo-kutniku. Obujam kvadra jednak jeumnosku duljina triju njegovih bri-dova:

V = a · b · c.

Racunanje obujma nekih slozenijihtijela oslanjat ce se na racunanje obuj-ma kvadra, slicno kao sto je to bioslucaj s racunanjem povrsina koje jezapoceto s povrsinom pravokutnika.

127


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Cavalierijev princip

Pri racunanju povrsina i obujama likova u ravnini, odnosno prostoru, cesto seprimjenjuje jedno jednostavno nacelo, poznato kao Cavalierijev princip. Tonacelo ne mozemo dokazati dosadasnjom razinom znanja, no ono samo dovoljnoje jasno i uvjerljivo pa ga stoga prihvatimo.

Rijec je o uvjetima uz koje dva naizgled potpuno razlicita lika imaju jednakupovrsinu, odnosno jednak obujam.

Cavalierijev princip

Cavalierijev princip za povrsine: ako se dva lika mogu postaviti ta-ko da njihovi presjeci s pravcima paralelnima jednom zadanom pravcuimaju istu duljinu, tad oni imaju jednake povrsine.

Cavalierijev princip za obujme: ako se dva tijela mogu postaviti ta-ko da njihovi presjeci s ravninama paralelnima jednoj zadanoj ravniniimaju jednake povrsine, onda ta dva tijela imaju jednake obujme.

Primjer 1. Ilustrirajmo prvi Cavalierijev princip.

Uzmimo dva trokuta jednakih osnovica i visina. Postavimo ih tako da imosnovice leze na zadanom pravcu. Presijecimo ih bilo kojim pravcem kojije paralelan sa zadanim. Neka je a osnovica trokuta, v njihova visina i xudaljenost pravca do vrhova C1 , odnosno C2 .

Trokuti A1B1C1 i A′1B

′1C1 su slicni. Isto su tako slicni i trokuti A2B2C2 i

A′2B

′2C2 . Zato vrijedi:

a1 : a = x : v = a2 : a,

pa je a1 = a2 . Dakle, presjeci obaju trokuta imaju jednaku duljinu zasvaki x . Zato po Cavalierijevu principu trokuti imaju jednaku povrsinu.

128

OBUJAM TIJELA. CAVALIERIJEV PRINCIP 7.1

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Povijesni kutak

BONAVENTURA CAVALIERI

Bonaventura Cavalieri (1598. – 1647.) bio je talijanski jezuit. Na njegov interes zamatematiku presudno je utjecao Galileo Galilei, kojeg je upoznao za vrijeme svojegboravka u samostanu u Pisi. Cavalieri se bavio raznim podrucjima matematike,fizike i astronomije. Objavio je i nekoliko vrlo zapazenih radova iz astrologije, apriredio je i tablice logaritama te tablice logaritama trigonometrijskih funkcija zauporabu u astronomiji.

Cavalierijevi principi u danasnjem su izricaju suvremen zapis njegovih stavaka o ne-djeljivim velicinama, koje je izlozio u radu Geometria indivisibilibus continuorumnova quadam ratione promota (1635.), inspiriranom Arhimedovim radovima.

Bio je predavac matematike na Sveucilistu u Bologni i putem pisama odrzavao jestalne veze s najuglednijim matematicarima svojeg vremena.

Prema Cavalierijevu principu jednaku povrsinu imaju i ova dva lika.

Mozemo zamisliti da je drugi nastao deformacijom trokuta pri kojem su se po-maknuli horizontalni slojevi. Pritom su velicina i broj slojeva nepromijenjeni pase nije promijenila ni povrsina.

Koju ideju iskazuje Cavalierijev princip?

Zamislimo da je lik podijeljen u vrlo tanke slojeve oblika pravokutnika. Pomica-njem tih slojeva povrsina lika se ne mijenja. Sto su slojevi tanji, ti pravokutnicibolje ce opisivati dani lik. Ako debljina sloja tezi nuli, dobit cemo tvrdnjuCavalierijeva principa.

129


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Na analogan se nacin moze opisati i Cavalierijev princip u prostoru. Tijelo mo-zemo paralelnim ravninama podijeliti u tanke slojeve. Pomicanjem tih slojevamijenja se oblik tijela, ali ne i njegov obujam. Stovise, niti oblik sloja ne mora bitijednak. Vazno je samo da odgovarajuci slojevi u raznim tijelima budu jednakogobujma. Kako je njihova debljina uvijek ista, taj se zahtjev svodi na to da presjecitijela budu jednake povrsine. (Ovdje u razmisljanju prihvacamo kao istinu da jeobujam sloja jednak povrsini sloja pomnozenoj s visinom.)

Cavalierijev princip mozemo zorno predociti na razne nacine.

Na prvoj slici lijevo je stup papira u obliku prizme. Desno do njega je taj isti stupmalo iskrenut. Je li se pritom promijenila kolicina papira?

A na drugoj slici su dvije case jednake vi-sine. Jedna ima oblik uspravnog valjka, adruga je ista takva, ali “iskrivljena.” Za-misljeni presjeci obiju casa ravninom kojaje paralelna ravnini njihove osnovke na bilokojoj visini, sukladni su krugovi.

Razina tekucine u objema casama na jedna-koj je visini. U kojoj je casi veca kolicinatekucine?

Odgovor je: U objema je casama kolicinatekucine jednaka.

130

PRIZME 7.2

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

7.2. PrizmeNeka je B zadani konveksan mnogo-kut A1A2 . . . An u ravnini . Nacr-tajmo i duzinu MN koja ne lezi u tojravnini. Nazivamo je izvodnica. Pro-motrimo skup svih tocaka dobivenihna sljedeci nacin: one leze na duzina-ma PP′ koje su paralelne i sukladneduzini MN , a pocetna im tocka lezi ubilo kojoj tocki P lika B .

Dobiveni skup tocaka u prostoru na-zivamo prizmom.

Prizma

Mnogokut B je osnovka ili baza prizme. Prizma ima dvije baze, do-nju i gornju. Stranice na osnovkama prizme zovu se osnovni bridovi.Spojnice odgovarajucih vrhova donje i gornje osnovke su bocni bridoviprizme.

Paralelogrami A1A2A′2A

′1 , A2A3A′

3A′2 . . . su bocne strane ili pobocke

prizme. Skup svih pobocki prizme cini njezino pobocje.

Visina prizme je me -dusobna udaljenost ravnina u kojima leze osnovkeprizme.

Za prizmu kazemo da je n -terostrana ako je njezina osnovka n -tero-kut.

Prizma je uspravna ako je izvodnica okomita na ravninu osnovke.

Prizma je pravilna ako je uspravna i ako je njezina osnovka pravilanmnogokut.

Primjer 1. Koliko vrhova, koliko bridova i koliko strana ima n -terostrana prizma?

Naziv n -terostrana prizma proistjece od njezine osnovke ili baze koja jen -terokut, bilo pravilan, bilo nepravilan. Takva prizma ima 2n vrhova, nna donjoj osnovci i jednako toliko na gornjoj. Svaka od dviju osnovakan -terostrane prizme ima n bridova, a jos je tu i n bocnih bridova. Dakleih je ukupno 3n . I konacno, n -terostrana prizma ima dvije osnovke i npobocaka, dakle ima n + 2 strane.

Uocimo jos:

Broj vrhova bilo koje prizme paran je broj jednak ili veci od 6. Brojbridova bilo koje prizme djeljiv je s 3, a najmanje ih je 9. Broj strana jebilo koji broj, najmanji me -du njima je 5.

131


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatak 1. 1) Postoji li prizma koja ima 16 vrhova?

2) Postoji li prizma koja ima 16 bridova?

3) Postoji li prizma koja ima 16 strana?

Zadatak 2. Trostrana prizma nema prostornih dijagonala. Cetverostrana ih ima cetiri, pete-rostrana 10. Koliko dijagonala ima n -terostrana prizma?

Prizma je konveksan poliedar. Ravnine ko-je prolaze donjom i gornjom bazom su pa-ralelne. Ravnine koje prolaze pobockamaparalelne su s izvodnicom MN .

Radi jednostavnosti istim cemo slovom Boznacavati bazu prizme i povrsinu tog lika.To nece izazvati zabunu jer ce iz kontekstauvijek biti jasno radi li se o geometrijskomliku ili pak o broju— njegovoj povrsini. Istinacin oznacavanja rabimo i kad s a ozna-cavamo stranicu trokuta (duzinu) i duljinute duzine.

Kutak plus

KOSA PRIZMA

Uz uspravne postoje i kose prizme. To su prizmekod kojih bocni bridovi nisu okomiti na ravninu os-novke vec su prema njoj nagnuti pod nekim kutom.Takvim se prizmama opcenito necemo baviti. Nji-hovo oplosje je zbroj povrsina svih strana, a obujamse racuna po istoj formuli ( V = B · v ) koja vrijediza uspravne prizme.

Posebice se u skupu kosih prizmi isticu one cijesu sve strane paralelogrami. Takve se prizme poanalogiji s paralelogramima u ravnini nazivaju pa-ralelepipedi.

Na slici vidimo jedno zanimljivo zdanje, novu zgra-du Knjiznice Filozofskog fakulteta u Zagrebu. Pro-motrite pozorno sliku te opisite o kakvom se tijeluradi.

132

PRIZME 7.2

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Oplosje prizme

Baze prizme cine n -terokut ABC . . . i njemu sukladan n -terokut A1B1C1 . . .Oplosje prizme sastoji se od dviju baza i pobocja koji cini n paralelograma:

O = 2B + P.

B racunamo po formulama za povrsinu mnogokuta.

Obujam prizme

N

M

Prizmu mozemo opisati na jos jedan nacin. Mo-zemo zamisliti duzinu MN s pocetnom tockom ujednom vrhu baze i zatim translatirati bazu tako dataj vrh putuje duzinom. Skup svih tako dobive-nih tocaka ponovno je ta prizma. Zato je presjekprizme ravninom paralelnom s njegovom bazommnogokut sukladan bazi.

Po Cavalierijevu principu sve prizme koje imajujednake povrsine osnovki i jednake visine imajujednak obujam.

I kvadar je prizma. Njegov je obujam

V = B · v,gdje je B povrsina baze, a v visina. Ova formula vrijedi za svaku prizmu, bilokoje baze i bez obzira na to je li uspravna ili ne.

Oplosje i obujam prizme

Ako je B povrsina osnovke prizme, v njezina visina, a P povrsinapobocja, tada je

O = 2B + P; V = B · v.

Primjer 2. Bridovi baze uspravne trostrane prizme imaju duljine a = 13 cm , b =4 cm i c = 15 cm , a njezina visina je v = 8 cm . Koliki su obujam ioplosje prizme?

Povrsinu baze racunamo Heronovom formulom

B =√

s(s − a)(s − b)(s − c), s =a + b + c

2,

pa su obujam i oplosje dani s:

V = B · v, O = 2B + v(a + b + c).

133


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Dobivamo: V = 192 cm3 , O = 304 cm2 .

Na slici lijevo je uspravna trostrana prizma. Tijelo na slici desno tako -der jeuspravna trostrana prizma.

Zadatak 3. Akvarij ima oblik kvadra s bridovima duljina 60 cm, 45 cm, 40 cm. Osnovkaakvarija je najveca njegova strana i on lezi na horizontalnoj ravnini. Ako je uakvariju voda do 3/ 4 visine, koliko je u njemu litara vode?

Zadatak 4. Kupaonica ima pod velicine 3 × 2 metra i visinu stropa 2.5 metra. Valja jepoplociti jednakim kvadraticnim plocicama 12×12 cm do visine zida 1.5 metar.Ako se racuna s otpadom od 10 %, koliko plocica valja nabaviti?

Kocka

Neke se prizme posebno izdvajaju po svojoj cestoj pojavi u raznim prakticnimprimjenama i drugim situacijama. Takva je prije svega kocka, jedan od sestpravilnih poliedara.

A B

CD

A1 B1

C1D1

a

a

a 2D B

a

B1D1

Kocka je ome -dena sasest sukladnih kvadra-ta. Ona ima 8 vrhovai 12 bridova.

Ako je duljina bridakocke a, njezino je op-losje O = 6a2 .

Obujam kocke je V = a3 . (Zasto? Obrazlozi!)

Sve su prostorne dijagonale kocke sukladne i duljina svake iznosi D = a√

3 .

Duljinu dijagonale mozemo izracunati iz pravokutnog trokuta BD1D . Na slicidesno je taj presjek dan u pravoj velicini.

134

PRIZME 7.2

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Po Pitagorinu poucku slijedi:

D =√

(a√

2)2 + a2 =√

2a2 + a2 =√

3a2.

Dakle, D = a√

3 .

Kocka

Oplosje kocke O = 6a2

Obujam kocke V = a3

Duljina prostorne dijagonale kocke D = a√

3

Zamislimo li da su strane kocke od papira,tada kocku mozemo razrezati po njezinimbridovima, a strane razviti u ravninu. Kaze-mo da smo dobili mrezu kocke. Kako onaizgleda mozemo vidjeti na str. 124. gdje sudane mreze svih pet pravilnih poliedara.

Tu smomrezu dobili rezanjem i razvijanjemprikazanim na slici.

No mogli smo do mreze doci i rezanjem ponekim drugim bridovima.

Zadatak 5. Cini li sest povezanih kvadrata mrezu kocke, to nije uvijek jednostavno ustano-viti. Pokusaj odrediti koje od ovih slicica predstavljaju mrezu kocke. Ovakve suvjezbe pogodne za razvijanje geometrijskog zora. Provjeri svoja razmisljanja napapirnatom modelu koristeci se skarama.

Kocka ima ukupno 11 razlicitih mreza. Na slici su samo neke od njih.Mozes li nacrtati barem jos tri?

135


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Kvadar

Nakon kocke, najcesca prizma jest kvadar. Kvadar je prizma cije su sve stranepravokutnici. Po dvije suprotne strane kvadra su paralelne i sukladne.

Na slici su prikazani kvadar i njegova mreza.

a

b

c

D

Kvadar

Ako su a , b i c duljine bridova kvadra, tada je:

oplosje kvadra O = 2(ab + ac + bc);

obujam kvadra V = abc;

duljina prostorne dijagonale kocke

D =√

a2 + b2 + c2.

Cesto se u zadatcima o kvadru spominje njegov dijagonalni presjek. Dijago-nalni presjek kvadra je presjek kvadra ravninom koja prolazi dijagonalom nekenjegove strane okomito na tu stranu.

Tri su razlicite strane pa su i tri razlicita dijagonalna presjeka.

136

PRIZME 7.2

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 3. Opseg osnovke kvadra je 56 cm. Dijagonalni presjek kvadra, koji je oko-mit na osnovku, kvadrat je povrsine 400 cm2 . Kolika je duljina prostornedijagonale kvadra? Koliki su oplosje i obujam kvadra?

Kako je dijagonalni presjek kvadrat, za-kljucujemo da je c = 20 cm . Prostornadijagonala kvadra jest dijagonala kvadratasa stranicom duljine 20 cm.

Dakle, D = 20√

2 cm .

Duljina dijagonale osnovke je√a2 + b2 = 20.

Opseg baze kvadra je 56 cm, sto znaci daje a + b = 28 cm .

Tako smo dobili sustav dviju jednadzbi s dvjema nepoznanicama:

a + b = 28 i a2 + b2 = 400.

Konacno rjesenje je O = 1504 cm2 , V = 3840 cm3 .

Zadatak 6. Duljine bridova kvadra u omjeru su 2 : 3 : 6 , a duljina njegove dijagonale iznosi42 cm. Koliki su obujam i oplosje kvadra?

Primjer 4. Povrsine strana kvadra su u omjeru 2 : 3 : 5 . Njegovo je oplosje jednako300 cm2 . Koliki je obujam ovog kvadra?

Iz prvog podatka zakljucujemo kako je ab = 2k , ac = 3k , bc = 5k , pricemu je k > 0 .

Zatim iz O = 2(ab + ac + bc) = 2(2k + 3k + 5k) = 20k = 300 slijedik = 15 .

Dakle, povrsine strana kvadra su

ab = 30, ac = 45, bc = 75 cm2.

Kako bismo izracunali obujam kvadra, u ovom zadatku ne moramo racu-nati duljine bridova. Naime, pomnozimo li povrsine strana, dobit cemo

ab · bc · ac = (abc)2 = V2.

Tako je V2 = 30 · 45 · 75 = 2 · 15 · 3 · 15 · 5 · 15 = 2 · 154 , odakle slijediV = 225

√2 cm2 .

137


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Prizma

Oplosje i obujam prizme nije uvijek jednostavno izracunati. Stoga smo se unasim zadatcima vecim dijelom ogranicili na pravilne prizme ili jednostavnijeuspravne prizme. Takvi se oblici najcesce i javljaju u primjenama i prakticnimproblemima.

Primjer 5. Osnovka uspravne prizme je romb povrsine 216 cm2 . Povrsine dijago-nalnih presjeka nad osnovkom iznose 198 cm2 i 264 cm2 . Izracunajmoobujam te prizme.

Oznacimo s e i f dijagonale baze priz-me, a s v njezinu visinu. Iz podatakamozemo zapisati sustav jednadzbi:

ef = 432 , ev = 198 , f v = 264 .

Pomnozimo li posljednje dvije jednadzbe,dobit cemo ef · v2 = 198 · 264 .

Uvrstimo sada ef = 432 , te je v = 11 cm . Obujam prizme je V = B · v .Tako je V = 216 · 11 = 2376 cm3 .

Primjer 6. Povrsina osnovke pravilne sesterostrane prizme je 96√

3 cm2 . Povrsinapobocja prizme iznosi 240 cm2 . Koliki je obujam prizme?

a

Osnovka prizme je pravilan sesterokut. Njegovaje povrsina jednaka

B = 6 · a2√

34

= 96√

3.

Slijedi a2 = 64 te je duljina osnovnog brida priz-me a = 8 cm .

Povrsina pobocja je P = 6 · av = 240 . Odatle je v = 5 cm . Obujam oveprizme iznosi V = B · v = 96

√3 · 5 = 480 · √3 ≈ 831 cm2 .

6

6

4

20 m

4Zadatak 7. Kolika je masa zraka u plasteniku u obliku satora (vidi

sliku) ako je gustoca zraka jednaka 1.29 kg/m3?

138

PRIZME 7.2

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatak 8. Iz metalne pravilne cetverostrane prizma treba isto-kariti pravilnu osmerostranu prizmu jednake visinekojoj je osnovka u osnovci cetverostrane prizme (sli-ka). Koliki dio obujma vece prizme zauzima manja?

Kutak plus

Za kvadriranje binoma vrijedi identitet:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Tom identitetu moze se pridruziti jednostavno geometrijsko tumacenje. Promotrite sliku!

a b

a2

a2

b2

b2

a + b

= + +

a b.

a b.

a b.

a b.

Analogno, identitetu(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

tako -der mozemo pridijeliti lijepu geometrijsku predodzbu. Kako ona izgleda, moze se vidjeti na slici.

139


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatci 7.2.1. Zamislimo da drvenu kocku s bridom duljine

n cm obojimo nekom bojom pa je potom rav-ninama paralelno njezinim stranama izrezemo nan3 manjih kockica.Koliko je pritom kockica koje su:1) s trima obojenim stranama2) s dvjema obojenim stranama3) s jednom obojenom stranom4) bez ijedne obojene strane?

2. Postoji li prizma kod koje je moguce provesti set-nju njezinim bridovimakakva je opisana na strani103?

3. Koliko je najmanje boja potrebno kako bismoobojili kocku tako da svake dvije njezine susjed-ne strane, strane koje imaju zajednicki brid, buduobojene razlicitim bojama?

4. Koliko je najmanje boja potrebno za bojenje stra-na prizme zelimo li da svake dvije susjedne stra-ne, one koje imaju zajednicki brid, budu obojenerazlicitim bojama?

5. Postoji li prizma cije su sve strane sukladni pra-vokutnici?

6. Koliko prostornih dijagonala ima prizma cija jeosnovka pravilni mnogokut s n stranica?

7. Dokazite da je u svakoj prizmi broj bridova djeljivs 3. Uvjerite se na primjeru cetverostrane, petero-strane i sesterostrane prizme u valjanost Euleroveformule.

8. Koji su uvjeti dovoljni da bi prizma bila usprav-na?1) Ako postoji njezina pobocka koja je pravo-

kutnik;2) Ako postoje dvije njezine pobocke koje su

pravokutnici;3) Ako postoje dvije njezine susjedne pobocke

koje su pravokutnici?

9. Pokazite da se tri prostorne dijagonale paralele-pipeda sijeku u istoj tocki.

10. Ako se pobocje pravilne trostrane prizme razvijeu ravninu, dobije se kvadrat cija je povrsina jed-naka a2 . Koliki su oplosje i obujam ove prizme?

11. Povrsine pobocaka uspravne trostrane prizme iz-nose 425 cm2 , 700 cm2 i 975 cm2 , a njezina jevisina 25 cm . Izracunaj oplosje i obujamprizme.

12. Duljine osnovnih bridova uspravne trostrane pri-zme u omjeru su 9 : 10 : 17 . Duljina bocnogbrida je 16 cm , a povrsina pobocja 1152 cm2 .Koliki je obujam prizme?

13. Duljine osnovnih bridova uspravne trostrane pri-zme u omjeru su 9 : 10 : 17 , njezina je visina du-gacka 10 cm , a oplosje prizme iznosi 2592 cm2 .Izracunaj obujam prizme.

14. Udaljenosti bocnih bridova kose trostrane priz-me jesu 2 , 3 i 4 cm . Povrsina pobocja iznosi45 cm2 . Kolika je duljina bocnog brida ove priz-me?

15. Osnovka uspravne prizme je trokut sa stranicamaduljina 8 , 9 i 11 cm . Visina prizme jednaka jenajvecoj visini osnovke. Koliki je obujam priz-me?

16. Osnovka uspravne prizme je trokut sa stranica-ma duljina 10 , 17 i 21 cm . Povrsina najvecepobocke jednaka je povrsini osnovke. Koliki suoplosje i obujam prizme?

17. Osnovka uspravne trostrane prizme je trokut sastranicama duljina 4 cm , 13 cm i 15 cm . Obu-jam prizme jednak je 240 cm3 . Izracunaj njezinooplosje.

18. Osnovni brid pravilne trostrane prizme dugacakje 6 cm . Ravnina polozena bridom AB osnovkei vrhom C1 dijeli prizmu na dva dijela cije supovrsine u omjeru 2 : 3 , ne racunajuci pritompovrsinu samog presjeka. Koliko je oplosje teprizme?

19. Osnovka uspravne trostrane prizme pravokutni jetrokut s katetama duljina 9 cm i 12 cm . Hipote-nuzom jedne osnovke i vrhom pravog kuta drugepolozena je ravnina koja prizmu sijece u liku po-vrsine 90 cm2 . Koliki je obujam te prizme?

20. Osnovka prizme je pravokutni trokut s katetamaduljina 6 cm i 8 cm . Pobocka nad hipotenuzomokomita je na ravninu osnovke i ima povrsinu200 cm2 . Koliki je obujam prizme?

21. Osnovka prizme je jednakostranican trokut sastranicom duljine 8 cm . Obujam prizme izno-

140

PRIZME 7.2

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

si 160√

3 cm3 . Kolika je duljina bocnog bridaprizme ako je taj prema osnovci priklonjen podkutom od 45◦ ?

22. Osnovka prizme je jednakostranican trokut stra-nice a . Bocni bridovi s ravninom osnovke za-tvaraju kutove od 60◦ . Ortogonalna projekcijajednog od vrhova gornje osnovke u sredistu jekruznice opisane donjoj osnovci. Koliki je obu-jam prizme?

23. Vrhovima B i D osnovke i polovistem P bocnogbrida CC1 kocke polozena je ravnina. Ako je po-vrsina presjeka kocke tom ravninom 9

√6 cm2 ,

koliki je obujam kocke?

24. Dijagonalom AC osnovke kocke i njezinim vr-hom D1 polozena je ravnina. Ako je povrsinapresjeka kocke tom ravninom jednaka 8

√3 cm2 ,

koliki je obujam kocke?

25. Osnovnim bridom kocke polozena je ravnina kojakocku dijeli na dijelove ciji su obujmi u omjeru1 : 2 . Kolika je povrsina presjeka kocke tomravninom ako je a duljina brida kocke?

26. Osnovnim bridom kocke polozena je ravnina ko-

ja kocku sijece u liku povrsine12a2√

5 . U kojem

omjeru ta ravnina dijeli obujam kocke?

27. Duljina dijagonale kvadra veca je od duljine nje-govih bridova za 1 , 2 , odnosno 3 cm . Kolikaje duljina te dijagonale?

28. Duljine dijagonala strana kvadra su 11 cm , 19 cmi 20 cm . Kolika je duljina prostorne dijagonalekvadra?

29. Opseg osnovke kvadra je 14 cm , duljina boc-nog brida iznosi 12 cm , a prostorne dijagonale13 cm . Izracunaj oplosje i obujam kvadra.

30. Duljine bridova kvadra u omjeru su 1 : 2 : 3 .Dokazi da je povrsina njegovog pobocja devetputa veca od povrsine njegove osnovke.

31. Osnovni bridovi kvadra dugacki su 3 cm i 4 cm .Kolika je duljina bocnog brida ako je dijagonalnipresjek tim bridom kvadrat?

32. Opseg osnovke kvadra iznosi 42 cm . Dijago-nalni presjek kvadra, okomit na osnovku, jestkvadrat povrsine 225 cm2 . Izracunaj oplosje iobujam kvadra.

33. Povrsina osnovke kvadra iznosi 48 cm2 , visinakvadra je 15 cm . Dijagonalni presjek kvadrakracim osnovnimbridom ima povrsinu 102 cm2 .Koliko je oplosje tog kvadra?

34. Povrsine strana kvadra su 20 cm2 , 28 cm2 i35 cm2 . Koliki je obujam kvadra?

35. Povrsine strana kvadra u me -dusobnom su omjeru3 : 6 : 10 ; obujam kvadra je 150 cm3 . Kolike suduljine bridova kvadra?

36. Povrsine dviju strana kvadra su 72 cm2 i 96 cm2 .Duljina prostorne dijagonale iznosi 17 cm . Ko-liki je obujam kvadra?

37. Duljine osnovnih bridova kvadra u omjeru su1 : 2 . Pobocje razvijeno u ravninu je kvadratpovrsine 144 cm2 . Izracunaj oplosje i obujamtog kvadra.

38. Duljine bridova jednog kvadra u omjeru su 3 :5 : 6 , a drugog 3 : 6 : 7 . Ako im se oplosjaodnose kao 7 : 9 , koliki je omjer obujama tihdvaju kvadara?

39. Povrsine dijagonalnih presjeka kvadra iznose24

√29 cm2 , 102 cm2 i 150 cm2 . Koliki su op-

losje i obujam kvadra?

40. Osnovni bridovi kvadra dugacki su 15 cm i 17 cm ,bocni je brid dugacak 20 cm . Jednim osnovnimbridom polozena je ravnina i ona sijece kvadartako da je presjek kvadrat. U kojem su omjeruobujmi dijelova kvadra dobiveni takvim presje-kom?

41. Ravnina sto prolazi vrhovima A , C i D1 kvadrapriklonjena je prema osnovici pod kutomod 30◦ .Koliki je obujam kvadra ako su duljine njihovihosnovnih bridova 6 cm i 8 cm?

42. Prostorna dijagonala kvadra dugacka je 10√

2 cm ,a prema ravnini osnovke priklonjena je pod ku-tom od 45◦ . Jedan je osnovni brid za 2 cm duljiod drugog. Koliki je obujam kvadra?

43. Duljina dijagonale kvadra je D . S jednom po-bockom dijagonala zatvara kut od 30◦ , s drugom45◦ . Koliki je obujam kvadra?

141


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

44. Osnovka uspravne prizme je romb. Duljine pros-tornih dijagonala su 8 cm i 5 cm , visina prizmeje 2 cm . Kolika je povrsina pobocja ove prizme?

45. Osnovka uspravne prizme je romb povrsine B .Povrsine dijagonalnih presjeka nad osnovkom suQ1 i Q2 . Koliki je obujam prizme?

46. Osnovka uspravnog paralelepipeda je paralelog-ram s jednim kutom od 30◦ . Povrsina osnovkeje 4 cm2 , a povrsine pobocaka 6 cm2 i 12 cm2 .Izracunaj obujam ove prizme!

47. Osnovka uspravnog paralelepipeda je paralelo-gram sa stranicama duljina 3 cm i 5 cm , te ku-tom od 60◦ . Veci dijagonalni presjek okomit naosnovku ima povrsinu 63 cm2 . Koliki je obujamove prizme?

48. Osnovka uspravne prizme je romb sa stranicamaduljine 6 cm i jednim kutom od 120◦ . Manjaprostorna dijagonala prizme s osnovkom zatvarakut od 45◦ . Koliki je obujam prizme?

49. Osnovka uspravne prizme je rombpovrsine 18 cm2 .Dulja prostorna dijagonala ima 12 cm i s osnov-kom zatvara kut od 30◦ . Kolika je duljina kraceprostorne dijagonale?

50. Manji dijagonalni presjek pravilne sesterostra-ne prizme, okomit na osnovku, ima povrsinu40

√3 cm2 . Visina prizme je 8 cm . Koliki je

obujam prizme?

51. Koliki su oplosje i obujam pravilne sesterostra-ne prizme ako je njezin veci dijagonalni presjekkvadrat povrsine 36 cm2 ?

52. Dijagonale dviju susjednih pobocaka povucenihiz istog vrha pravilne sesterostrane prizme me -du-sobno su okomite. Kolika je povrsina pobocja teprizme ako je v duljina njezine visine?

53. Duljine prostornih dijagonala pravilne sestero-strane prizme su 24 cm i 25 cm . Koliki je obu-jam prizme?

54. Povrsina pobocja pravilne sesterostrane prizmeje 648 cm2 . Duljina dijagonale pobocke iznosi15 cm . Kolike su duljine bridova ove prizme?

55. Ako je duljina brida kocke jednaka a , izracunajoplosje i obujam svakog od danih poliedara.

1) 2)

30

a2

a2

3) 4)

a2

a2

a2

a2

5) 6)

a2

a2

a3

7) 8)

a2

a3

a2

9) 10)

a2

a2

142

PIRAMIDE 7.3

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

7.3. Piramide

A1

A2A3

P

An

V

Piramidu mozemo opisati slicno kao stosmo opisali prizme.

Neka je zadan konveksan mnogokut B svrhovima A1A2 . . .An u ravnini i tockaV koja ne pripada toj ravnini. Promotri-mo skup svih tocaka koje leze na duzinamaPV , gdje je P po volji uzeta tocka lika B .Dobiveni skup tocaka u prostoru nazivamopiramidom.

Ako tocka P pripada samo rubu mnogoku-ta, onda duzine PV opisuju pobocje pira-mide.

Elementi piramide

Osnovka ili baza piramide je mnogokut B . Tocku V nazivamo vrhompiramide.

Visina piramide udaljenost je vrha V od ravnine baze. Istim imenomnazivamo i samu duzinu VV ′ , gdje je V ′ ortogonalna projekcija vrhaV na ravninu baze.

Trokuti A1A2V , A2A3V . . . zovu se strane (pobocke); one cine pobo-cje piramide.

Pobocni i osnovni bridovi definiraju se kao i za prizme. Piramida je n -terostranaako je njezina baza n -terokut.

S

P

Posebno je vazan slucaj kad je baza pirami-de pravilan mnogokut. Neka je S sredistetog mnogokuta. Ako je spojnica SV sre-dista baze i vrha piramide okomita na rav-ninu baze, kazemo da je piramida pravilna.Drugim rijecima, piramida je pravilna akojoj je baza pravilan n -terokut, a ortogonal-na projekcija vrha piramide na ravninu bazepada u srediste n -terokuta.

Primijetimo da su svi pobocni bridovi pra-vilne piramide jednake duljine. Njihovaje duljina po Pitagorinu poucku jednaka√

R2 + v2 , gdje je R polumjer opisane kruz-nice.

143


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Povijesni kutak

EGIPATSKE PIRAMIDE“Vrijeme je jace od svega, ali piramide su jace od vremena.”

(Stara arapska izreka)

Svakom osnovnoskolcu vec pri samom spominjanju rijeci “piramida” misao odleti u Egipat. Tamosnje piramidenajstarije su od sedam svjetskih cuda koje je popisao grcki pjesnik Antipatros u 2. st. pr. Kr. Po cemu su one cudo?Prije svega to je graditeljski poduhvat koji je zahtijevao odlicno poznavanje geometrije. Uz to, ni dandanas nije savimrazjasnjeno kojim su se tehnikama sluzili graditelji.

Na visoravni Gize, svega 4 kilometra jugozapadno od Ka-ira tri su cudesne piramide: Keopsova, Kefrenova i Mi-kerinova. Najveca me -du njima je Keopsova ili Velikapiramida. U nju je prema nekim izvorima ugra -deno naj-manje 3 milijuna kamenih blokova mase od 2 do 30 tona,a nekoliko ih je imalo i 70 tona. Gra -dena je dulje od 20godina, izme -du 2650. i 2550. g. prije Krista.

Sve piramide su cetverostrane i pravilne. Tablica prikazujeneke od podataka o ovim trima piramidama. Pritom je aduljina osnovnog brida, b duljina bocnog brida, v visi-na piramide, v1 visina pobocke, prikloni kut bocnogbrida prema osnovci piramide te kut izme -du pobockei osnovke. Prepisite u biljeznicu i popunite prazna poljaove tablice.

Faraon a b v v1

Keops 230 246

Kefren 209 179

Mikerin 105 51◦11′

I Napoleon je proucavao egipatske piramide te je nacr-tao ovaj crtez uz koji je ispisao i neke opaske. Crtezpotjece iz 1799. godine.

Dodajmo jos jednu malu zanimljivost:

Napoleon je uzivao u matematici i bio je u njoj vrlouspjesan. U geometriji je poznat jedan poucak nazvannjegovim imenom. U njemu se kaze:

Ako se nad stranicama trokuta konstruiraju prema van(ili pak prema unutra) jednakostranicni trokuti, tada susredista tih trokuta vrhovi jednakostranicnog trokuta.

144

PIRAMIDE 7.3

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Obujam piramide

Pokazimo najprije da obujam piramide ovisi samo o njezinoj visini i povrsiniosnovke.

Neka su zadane dvije piramide istih visina s bazama B1 i B2 koje imaju jednakupovrsinu. Postavimo ih tako da im baze leze u istoj ravnini .

V1 V2

x

v

L1

B1

L2

B2

Povucimo ravninu paralelnu s bazom na udaljenosti x od vrha prizme (odnosnov − x od ravnine ).

Oznacimo s L1 i L2 presjeke ravnine s prizmama kao i povrsine tih presjeka.Tvrdimo da je L1 = L2

Likovi L1 i B1 su homoteticni, sa sredistem homotetije V . Koeficijent je homo-

tetijexv

. Isto vrijedi i za likove L2 i B2 . Zato vrijedi:

L1

B1=(

xv

)2

=L2

B2.

Kako je B1 = B2 , mora biti i L1 = L2 . Dakle, pokazali smo da presjeci ovihdviju piramida s ravninama paralelnim zadanoj ravnini imaju jednake povrsine.Po Cavalierijevu principu takve piramide imaju jednake obujme.

Jednakost obujama piramida

Dvije piramide koje imaju baze jednakih povrsina i jednake visine imajujednak obujam.

Primijetimo da pritom nije vazno kojeg su oblika baze ovih piramida.

145


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Formula za obujam piramide

Pokazali smo da formula za obujam piramide ne ovisi o vrsti mnogokuta — bazepiramide, vec samo o njegovoj povrsini. Uzmimo zato jednostavnu piramidu iizracunajmo njezin obujam.

Izdvojimo trostranu piramidu s bazom B i visinom v i usporedimo je s trostranomprizmom iste baze i visine.

Nacrtajmo trostranu prizmu s osnovkama ABC i A1B1C1 . Ravninama A1BC iA1BC1 presjeci cemo je na tri dijela, tri trostrane piramide ABCA1 , BCC1A1 ,A1B1C1B . Pokazimo da su njihovi obujmi jednaki.

Piramide ABCA1 i A1B1C1B imaju jednake obujme jer imaju sukladne osnovkeABC i A1B1C1 i jednake visine (zapravo, ove su piramide sukladne).

A B

C

A1

B1

C1 C1C1

B1

A1A1A1

C C

BBBA

Usporedimo sad piramide BCC1A1 i A1B1C1B . Zamislimo da je tocka A1 vrhobiju piramida. Njihove su baze BCC1 i BB1C1 jednakih povrsina (jer su objepolovica paralelograma BCC1B1 ), a njihove se visine podudaraju (to je udalje-nost vrha A1 do ravnine paralelograma BCC1B1 ). Zato i te dvije piramide imajujednake obujme.

Ovime smo pokazali da je obujam svih triju piramida jednak i iznosi trecinuobujma prizme.

Obujam piramide

Piramida s bazom B i visinom v ima obujam

V =B · v3

.

146

PIRAMIDE 7.3

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 1. Bocni bridovi pravilne trostrane piramide s ravninom osnovke zatvarajukut od 64◦ . Ako je duljina brida osnovke jednaka 12 cm , koliki je obujamove piramide?

B

V

ACS

Neka je tocka S noziste visine pira-mide. Trokuti ASV , BSV i CSV sume -dusobno sukladni. Oni su pravo-kutni. Jedan kut u svakom od njih je , a VS je zajednicka stranica.

To onda povlaci

AS ∼= BS ∼= CS.

Dakle, vrhovi baze �ABC su jed-nako udaljeni od tocke S , pa je Ssrediste kruznice opisane bazi.

Osnovka piramide je jednakostranican trokut pa slijedi 4r =a√

33

=

4√

3 cm . Povrsina osnovke iznosi B =a2√

34

= 36√

3 cm2 . Dalje je

v = |SV | = r · tg 64◦ . I konacno imamo:

V =13Bv =

13· 36

√3 · 4

√3 tg 64◦ = 144 · tg 64◦ ≈ 295.2 cm3.

Zadatak 1. Duljine osnovnih bridova piramide su 6 cm, 8 cm i 10 cm. Svi bocni bridovijednake su duljine koja iznosi 13 cm. Koliki je obujam ove piramide?

Primijetimo kako vrijedi sasvim opcenito:

Ako su svi bocni bridovi piramide prema ravnini njezine osnovke priklonjeni podjednakim kutovima, tada se osnovki piramide moze opisati kruznica, a srediste tekruznice jest noziste visine.

Ako je osnovka piramide pravokutan trokut, dokazi da je jedna pobocka piramidekoja zadovoljava navedene uvjete okomita na ravninu osnovke.

Zadatak 2. Osnovni bridovi trostrane piramide dugacki su 4 cm, 13 cm i 15 cm. Svi bocnibridovi piramide s ravninom osnovke zatvaraju kut od 58◦ . Izracunaj obujamove piramide.

147


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 2. Sve pobocke trostrane piramide s ravninom osnovke zatvaraju kut =58◦ . Osnovka je jednakokracan trokut s osnovicomduljine 12 cm i krakomod 10 cm. Koliki je obujam piramide?

Neka je tocka S noziste osnovke ove piramide. Polozimo pravcem VStri ravnine okomite na osnovne bridove piramide. Tada je po pretpostavci<)SA1V ∼= <)SB1V ∼= SC1V .

B1

B

V

C

A1

A

C1

S

Trokuti VSA1 , VSB1 i VSC1 me -du-sobno su sukladni. Oni su pravokutni,jedan kut u svakom od njih je , a VSje zajednicka stranica.

To onda povlaci A1S ∼= B1S ∼= C1S .Zakljucujemo:

Tocka S jednako je udaljena od osnov-nih bridova piramide pa je srediste kru-znice upisane osnovci.

Duljinu polumjera osnovci upisane kru-znice izracunat cemo koristeci se povr-sinom trokuta.

Najprije, P =12a · va = 48 cm2 . Izjednacimo P = r · s = 48 pa odatle

slijedi r = 3 cm . I dalje, v = r · tg 58◦ te je konacno:

V =13· 48 · 3 · tg 58◦ = 48 · tg 58◦ ≈ 76.8 cm3.

Istaknimo da opcenito vrijedi:

ako sve bocne strane neke piramide s ravninom osnovke zatvaraju jednak kut,tada se osnovci moze upisati kruznica. Srediste te kruznice noziste je visinepiramide.

Zadatak 3. Bocne strane pravilne trostrane piramide s ravninom osnovke zatvaraju kut od30◦ . Ako je duljina visine piramide 10 cm, koliki joj je obujam?

Zadatak 4. Osnovka piramide je pravilan sesterokut sa stranicom duljine 10 cm. Bocne stra-ne ove piramide zatvaraju s njezinom osnovkom kut od 60◦ . Koliki je obujamove piramide?

148

PIRAMIDE 7.3

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Krnja piramida

Ako piramidu presijecemo ravninom paralelno njezinoj osnovci, ona ce se ras-pasti na dva dijela od kojih je jedan manja piramida koju zovemo dopunjak.Drugi je dio krnja piramida.

Odredimo obujam krnje piramide. Oznacimo s v visinu krnje piramide (uda-ljenost ravnina u kojima leze baze B i b ). Neka je h visina manje, odrezanepiramide. To znaci da je visina prvobitne piramide v + h .

B

b

h

v

Baze B i b slicni su likovi, s koeficijentom slic-

nostiv + h

h. Zato vrijedi: B : b = (v + h)2 : h2,

odnosno:√

B :√

b = (v + h) : h. Odavde slijedi

h√

B = (v + h)√

b,

h =v√

b√B −√

b=

v√

b(√

B +√

b)B − b

.

Obujam krnje piramide V razlika je obujama dviju piramida s bazama B odnosnob i visinama v + h odnosno h . Zato je

V =B(v + h)

3− bh

3=

Bv3

+Bh3

− bh3

=Bv3

+h3(B − b).

Uvrstimo ovdje izracunanu vrijednost za h :

V =Bv3

+v√

b(√

B +√

b)3(B − b)

(B − b)

=Bv3

+v3(√

Bb + b) =v3(B +

√Bb + b).

Obujam krnje piramide

Obujam krnje piramide s bazama B i b i visinom v iznosi

V =v3(B +

√Bb + b).

149


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatci 7.3.1. Koliko vrhova, koliko bridova i koliko strana ima

n -terostrana piramida?Postoji li piramida koja ima 15 vrhova?Postoji li piramida koja ima 15 bridova?Postoji li piramida koja ima 15 strana?

2. Koliko je najmanje boja potrebno za bojenje stra-na piramide ako svake dvije susjedne strane, onekoje imaju zajednicki brid, valja obojiti razlicitimbojama?

3. Dokazite da je u svakoj piramidi povrsina poboc-ja veca od povrsine baze.

4. Koliko najvise bridova moze imati piramida akosu svi bridovi jednake duljine?

5. Postoji li piramida kojoj su sve strane sukladnitrokuti?

6. Moze li se od komada papira oblika kvadrata bezrezanja i preklapanja savijanjem sloziti piramida?Moze li se isto uciniti s papirom oblika pravilnogpeterokuta?

7. Dokazi: ako sve bocne strane piramide s ravni-nom osnovke zatvaraju jednake kutove, tada vri-jede i sljedeca me -dusobno ekvivalentna svojstva:1) visine svih bocnih strana imaju jednake du-

ljine2) visina piramide sa svim pobockama zatvara

jednake kutove3) osnovci piramide moze se upisati kruznica, a

njezino je srediste noziste visine piramide.

8. Prizma i piramida imaju osnovke jednakih po-vrsina, a visine su im jednakih duljina. Ako jeobujam prizme 63 cm3 , koliki je obujam pirami-de?

9. Tri strane trostrane piramide sto se sastaju u vr-hu piramide me -dusobno su okomite, a njihovesu povrsine 3 cm2 , 4 cm2 i 6 cm2 . Kolike suduljine osnovnih bridova ove piramide?

10. Prizma i piramida imaju osnovke jednakih po-vrsina, a visine su im jednakih duljina. Ako jeobujam piramide 63 cm3 , koliki je obujam priz-me?

11. Ako prizma i piramida imaju osnovke jednakihpovrsina i ako su im visine jednakih duljina, tada

je obujampiramide jednak trecini obujma prizme.Koristeci se ovom cinjenicom odredi obujam ti-jela na svakoj od sljedecih slika. Pritom je aduljina brida kocke.

1) 2)

3) 4) a2

12. Ako je a duljina brida pravilnog tetraedra, (ko-risteci se lijevom slikom dolje) odredi obujamtetraedra.

13. Ako je a duljina brida pravilnog oktaedra, (ko-risteci se slikom desno gore) odredi obujam ok-taedra.

14. Povrsina osnovke pravilne cetverostrane pirami-de je 484 cm2 , a oplosje piramide iznosi 2684 cm2 .Koliki je obujam piramide?

15. Povrsina pobocja pravilne cetverostrane pirami-de iznosi 544 cm2 , a povrsina osnovke 256 cm2 .Izracunaj obujam piramide.

16. Bocni bridovi x , y i z trostrane piramide me--dusobno su okomiti. Dokazi da je njezin obujam16x · y · z .

150

PIRAMIDE 7.3

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

17. Osnovka piramide jednakostranican je trokut sastranicom duljine 12 cm . Duljina svakog boc-nog brida je 13 cm . Koliki je prikloni kut bocnogbrida prema ravnini osnovke? Koliki su priklonikutovi bocnih strana prema osnovci?

18. Osnovka piramide je trokut sa stranicama duljina15 cm , 16 cm i 17 cm . Bocni bridovi pirami-de s osnovkom zatvaraju kut od 45◦ . Koliki jeobujam piramide?

19. Koliki je obujam trostrane piramide kojoj je os-novka trokut sa stranicamaduljina 13, 14, 15 cm,a svi su bocni bridovi prema osnovci priklonjenipod 70◦ ?

20. Osnovka piramide je trokut cije su stranice du-gacke 13 , 20 i 21 cm . Pobocke zatvaraju s rav-ninom osnovke kutove od 30◦ . Koliki je obujampiramide?

21. Koliki je obujam trostrane piramide kojoj su os-novni bridovi dugacki 4 cm , 5 cm i 7 cm , apobocke s osnovkom piramide zatvaraju kut od48◦30′ ?

22. Na kojoj visini od ravnine baze treba presjeci pi-ramidu ravninom paralelnom s bazom da bi dvadobivena tijela imala jednak obujam?

23. Izracunaj obujam pravilne cetverostrane pirami-de kojoj je duljina brida osnovke 10 cm , a duljinabocnog brida 15 cm .

24. Izracunaj obujampravilne cetverostrane piramidekojoj je duljina visine 18 cm , a povrsina dijago-nalnog presjeka 378 cm2 .

25. Omjer duljina osnovnog brida i visine pravilnecetverostrane piramide jednak je 3 : 2 , povrsinanjezina pobocja iznosi 1500 cm2 .Koliki je obujam piramide?

26. Oplosje pravilne cetverostrane piramide jednakoje 108 cm2 , a kut izme -du pobocke i osnovke je60◦ . Koliki je obujam piramide?

27. Osnovni brid pravilne cetverostrane piramide du-gacak je 4 cm . Dvije susjedne pobocke piramidezatvaraju kut od 120◦ . Kolika je povrsina pobo-cja te piramide?

28. Presjek pravilne cetverostrane piramide ravni-nom koja prolazi dijagonalom osnovke i polo-vistem bocnog brida jednakostranican je trokut

povrsine 2√

3 cm2 . Koliki je obujam te pirami-de?

29. Ravnina prolazi nozistem visine pravilne cetve-rostrane piramide paralelno jednoj pobocki. Po-vrsina dobivenog presjeka iznosi 27 cm2 . Akosu pobocke priklonjene k osnovci pod 60◦ , kolikije obujam piramide?

30. Bocni bridovi pravilne cetverostrane piramide sosnovkomzatvaraju kutove od 60◦ . Presjek pira-mide ravninom koja prolazi dijagonalom osnov-ke okomito na bocni brid ima povrsinu

√3 cm2 .

Koliki je obujam te piramide?

31. Osnovnim bridom uspravne trostrane prizme po-lozena je ravnina koja s osnovkom zatvara kut od30◦ . Presjek je jednakostranican trokut povrsine9√

3 cm2 i njime je prizma podijeljena na dije-love kojima su obujmi u omjeru 1 : 3 . Koliki jeobujam te prizme?

32. Presijece li se kocka ravninom koja prolazi kraj-njim tockama triju bridova sto se sastaju u jednomvrhu, presjek ce biti lik povrsine 1 m2 . Kolikoje oplosje kocke?

33. Osnovke krnje piramide imaju povrsine 98 cm2

i 2 cm2 . Kolika je povrsina presjeka piramideravninom koja prolazi polovistem visine paralel-no osnovkama?

34. Osnovni bridovi pravilne trostrane krnje pirami-de dugacki su 6 cm i 2 cm . Pobocke piramide sravninom osnovke zatvaraju kut od 60◦ . Kolikaje visina krnje piramide?

35. Povrsine osnovaka krnje piramide iznose 98 cm2

i 32 cm2 . Visina odgovarajuce “cijele” piramideje 14 cm . Koliki je obujam krnje piramide?

36. Duljina visine trostrane krnje piramide je 10 cm ,duljine stranica jedne osnovke su 27 cm , 29 cmi 52 cm , a opseg druge 72 cm . Koliki je obujampiramide?

37. Akoodpiramide cija osnovka imapovrsinu 36 cm2

odsijecemo piramidu ravninom paralelnom os-novci, dobit cemo krnju piramidu obujma 76 cm3

i visine 3 cm . Koliki je obujam odsjecene pira-mide?

151


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

38. Od piramide obujma 54 cm3 odsijecemo ravni-nom paralelnomosnovci piramidu obujma 2 cm3

i visine 1 cm . Kolika je visina “cijele” piramide?

39. Visina piramide je 35 cm . Ako tu piramidu pre-sijecemo ravninomparalelno osnovci,dobit cemokrnju piramidu s osnovkama povrsina 245 cm2 i80 cm2 . Koliki je obujam te krnje piramide?

40. Visina krnje piramide je 15 cm , njezin obujamiznosi 475 cm3 , a povrsine njezinih osnovaka uomjeru su 4 : 9 . Kolike su te povrsine?

41. Koliki je obujam pravilne krnje cetverostrane pi-ramide ako su duljine njezinih osnovnih bridovajednake a i b (a > b) , a duljina visine piramidev ? (Zadatak iz “Moskovskog papirusa”)

42. Duljina bocnog brida pravilne cetverostrane krnjepiramide iznosi 13 cm , duljina visine pobockeje 12 cm . Ako je povrsina pobocja ove pirami-

de 720 cm2 , kolike su duljine osnovnih bridovapiramide?

43. Krnja piramida s bazama B = 16 cm2 , b =9 cm2 i visinom v = 4 cm presjecena je rav-ninom paralelnom s bazama, na jednakoj uda-ljenosti od baza. Kolika je povrsina dobivenogpresjeka? Kako se odnose obujmovi dobivenihdijelova?

44. Krnja piramida s bazama B = 16 cm2 , b =9 cm2 i visinom v = 4 cm presjecena je ravni-nom paralelnom s bazama tako da povrsina pre-sjeka bude jednaka aritmetickoj sredini povrsinabaza. Na kojoj udaljenosti od vece baze trebamopostaviti tu ravninu?

45. Krnja piramida s bazama B = 16 cm2 , b =9 cm2 i visinom v = 4 cm presjecena je ravni-nom paralelnom s bazama tako da obujmi dobi-venih dijelova budu jednaki. Na kojoj udaljenostiod vece baze trebamo postaviti tu ravninu?

Bez rijeci

OBUJAM KRNJE PIRAMIDE

Obujam krnje piramide kojoj su povrsine osnovaka B i B1 , a visina h , racunamo poformuli

V =h3(B +

√BB1 + B1).

Posebice, ako je piramida uspravna s kvadratnom osnovkom, tada je njezin obujamjednak

V =h3(a2 + aa1 + a2

1).

Do ove formule mozemo doci i na nacin opisan sljedecim slicicama. Protumacite ih!

a

a a b�

b

b

h

h

=

= +

volumen abh= volumen h= 1/3( )2

a b�

152

VALJAK 7.4

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

7.4. Valjak

Valjak je tijelo slicno prizmi i moze se opisa-ti na istovjetan nacin. Jedina bitna razlika jeu osnovkama: osnovka prizme je mnogokut,a osnovka valjka je krug. Slicno kao sto sekrug po volji malo moze razlikovati od pravil-nog mnogokuta upisanog (ili opisanog) krugu,analogno se mogu usporediti valjak i prizma.

Na predmete u obliku valjka svakodnevno na-ilazimo u nasoj okolini. Na slici vidimo jedanlijep primjer, rijecku katedralu sv. Vida.

Prikazani du nacini dobivanja valjka. Mozemo zamisliti da duzine paralelne s MN putujutako da im jedna krajnja tocka bude u donjoj bazi. Isto tako mozemo zamisliti da se baza

translatira duz jedne svoje izvodnice.

Valjak

v

r

Osnovke valjka su krugovi. Udaljenostravnina u kojima leze osnovke valjka jevisina valjka.

Pravac koji spaja sredista tih krugova zo-ve se os valjka.

Duzina koja spaja dvije tocke na rubuosnovki i koja je paralelna s osi valjka jeizvodnica valjka.

Zakrivljena ploha koja zajedno s njegovim osnovkama ome -duje valjakzove se plast valjka.

Valjak je uspravan ako mu je izvodnica okomita na ravninu baze. Ako to nijeslucaj, valjak je kos.

153


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Mreza uspravnog valjka

Mreza valjka sastoji se od dvaju krugova (osnovke valjka) i pravokutnika kojinastaje rezanjem plasta valjka duz jedne njegove izvodnice i razgrtanjem u rav-ninu. Pritom je jedna stranica tog pravokutnika jednaka visini valjka, a drugaopsegu osnovke.

A'

A

B'B

A

B

A'

B'

2r�

2r v�

r

r

r2�

v

Mreza valjka je vazna jer je cesto potrebno raditi razne predmete koji imaju oblikvaljka, kao sto su limenke, razne kutije, cijevi i sl.

Osni presjek

Presijecemo li valjak ravninom koja prolazi sredistem njegove baze i paralelna jes izvodnicom, dobiveni se lik naziva osni presjek.

r

v

A

C

B

D

A1

C1

B1

D1

�

� �

Ako je valjak uspravan, onda su svi osni presjeci sukladni pravokutnici sa strani-cama duljina 2r i v .

Osni presjeci kosog valjka su paralelelogrami; me -dutim, oni nisu sukladni. Me -dunjima se istice jedan koji cemo opisati.

Valjak presijecemo ravninom koja prolazi izvodnicom i okomita je na ravninubaze. Taj je presjek paralelogram ABB1A1 . Njegov kut je najmanji kut kojiizvodnice zatvaraju s bazom. Ovaj presjek nazivamo karakteristicni presjekvaljka.

154

VALJAK 7.4

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Istrazite

NAJKRACI PUT PO PLASTU VALJKA

Neke lijepe zadatke koje smo rjesavali uz prizme mogli bismo ponoviti i uz valjak. Vrlo zanimljiv je onaj koji trazinajkraci put sto spaja dvije tocke na plastu uspravnog valjka, a vodi po samom plastu.

Za neke slucaje taj zadatak je lako rjesiv. Ako su, primjerice, tocke na istoj izvodnici, onda je njihova najkraca spojnicaduzina koja pripada toj izvodnici. Ili, ako su dvije tocke jednako visoko iznad osnovke, onda je njihova najkracaspojnica manji od dvaju kruznih lukova kruznice koja prolazi kroz te dvije tocke, ima srediste na osi valjka i lezi uravnini okomitoj na os valjka.

Odaberimo dvije tocke tako da budu krajnje tocke jedne izvodnice. Opisimo najkraci put koji vodi iz donje u gornjutocku, ali tako da presijeca sve izvodnice valjka.

Rijesimo zadatak analogno rjesenju slicnog zadatka koji smo postavili za kvadar.

Razrezimo plast valjka duz odabrane izvodnice i razvijemo ga u ravninu. Tada spojimo dvije tocke duzinom, koja jenjihova najkraca spojnica, pa vratimo plast u ranije stanje.

Tako smo dobili krivulju koja je najkraca spojnica danih dviju tocaka prema opisanim uvjetima. Na slici je prikazanorjesenje zadatka izvedeno na prozirnoj foliji.

Spojnica je dio krivulje koja se zove cilindricna spirala ili zavojnica. Tu krivulju mozemo uociti kod raznih vijaka,kod zavojitih stuba itd. Mozes li i ti navesti neki primjer?

Zadatci

1. Uzmi valjkastu vostanicu i omotaj je visestruko papirom. Ostrim nozem presijeci vostanicu okomito na njezinu os.Zatim razmotaj papir. Sto primjecujes?

2. Projektiraj zavojito protupozarno stubiste uz neku zamisljenu cetverokatnicu. Uzmi pravokutnu foliju i postupislicno kao u rijesenom primjeru. Kad foliju smotas u plast valjka, na njoj se trebaju vidjeti cetiri zavoja.

3. Rijesi Zadatak o mravu i kapi meda koji glasi: s vanjske strane staklene case u obliku uspravnog valjka nalazi semrav, a s unutarnje je na plastu kap meda. Ako mrav zeli najkracim putem doci do kapi meda, kojim ce se putemkretati?

155


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 1. Ako je plast uspravnog valjka razgrnut u ravninu pravokutnik cije su stra-nice dugacke 6 cm i 11 cm, kolika je povrsina osnog presjeka valjka?

Zadatak ima dva rjesenja:

1) Ako je 2r = 6 i v = 11 , onda je 2r =6

≈ 1.9 cm . Povrsina

osnog presjeka valjka tada je P = 2rv = 21 cm2 .

2) Ako je 2r = 11 i v = 6 , onda je 2r =11

≈ 3.5 cm . U ovom je

slucaju povrsina osnog presjeka tako -der jednaka P = 2rv = 21 cm2 .

Je li slucajno sto su obje mogucnosti dale isti rezultat? Zasto? Obrazlozi!

Zadatak 1. Ako je osni presjek uspravnog valjka pravokutnik sa stranicama duljina 12 cm i9 cm, kolika je povrsina plasta valjka?

Oplosje valjka

Vidjeli smo da se mreza valjka sastoji od dvaju krugova i plasta koji ima oblikpravokutnika. Jedna je stranica tog pravokutnika jednaka opsegu osnovke valjka,a druga visini valjka.

Povrsina jedne osnovke je r2 , a povrsina plasta iznosi 2rv . Oplosje je:

O = 2 · r2 + 2rv = 2r(r + v).

Oplosje uspravnog valjka

Oplosje uspravnog valjka polumjera osnovke r i visine duljine v jed-nako je:

O = 2r(r + v).

Primjer 2. Oko krova kuce koji u svojem donjem dijelu ima oblik pravokutnika veli-cine 8× 10 metara treba postaviti limeni oluk otvora 15 cm. Koliko limavalja nabaviti?

0.15

0.15

Oduzmimo pri svakom kutupo 0.15 m oluka (kao na slici)pa izracunajmo duljinu olukabez odsijecenih dijelova. Onje 2 · (8 + 10) m. No kakoje oluk pola valjka, mozemouzeti pola ove duljine zamis-ljajuci da od dviju polovinapoklapanjem dobijemo cijev.

156

VALJAK 7.4

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Ta cijev ima duljinu 8 + 10 = 18 m i promjer 0.15 m.Njezina vanjska povrsina je P = 2 · rv = 0.15 · · 18 ≈ 8.48 m2 .Dodajmo sada jos odbacene dijelove. Zamislimo da od njih slozimo dvijecijevi, svaka duljine 0.15 m i promjera 0.15 m. Povrsina plasta tih dvijucijevi je 2 · 0.15 · · 0.15 ≈ 0.14 m2 .

Zbrojimo sada dvije povrsine: 8.48 + 0.14 = 8.62 .

Za izradu oluka potrebno je nabaviti 8.62 m2 lima.

Po volji odaberimo kosi valjak polumjera baze r i visine r te uspravni valjakjednake baze i visine. Postavimo ih tako da im baze leze u istoj ravnini. Svipresjeci ovih dvaju valjaka s ravninama paralelnima s ravninom baze sukladni sukrugovi istog polumjera r . Zato su ti presjeci jednake povrsine. PrimjenjujuciCavalierijev princip zakljucujemo da su oba valjka istog obujma.

r r

vv

Zamislimo sad uz valjak prizmu iste visine v , s bazom povrsine B = r2 . Pre-sjeci valjka i prizme imaju jednake povrsine pa su im po Cavalierijevu principujednaki i obujmi.

Valjak i prizma s bazama jednakih povrsina i jednakim visinama imaju jednakeobujme.

Obujam valjka

Uspravni i kosi valjak istog polumjera baze r i visine v imaju jednakeobujme. Taj obujam iznosi

V = r2v.

157


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 3. Osni presjek uspravnog valjka je kvadrat povrsine 400 cm2 . Koliki suoplosje i obujam ovog valjka?

Ako je osni presjek valjka kvadrat, onda je visina jednaka promjeru os-novke, v = 2r = 20 cm .

Izracunajmo oplosje valjka:

O = 2r(r + v) = 20 · · 30 = 600 ≈ 1885 cm2.

Obujam ovog valjka je

V = r2v = 100 · · 20 = 2000 ≈ 6283 cm2.

Primjer 4. Uspravnu casu u obliku valjka promjera 6 cm i visine 1.5 dm napunimovodom. Zatim je nagnemo pod kutom od 45◦ prema osi. Koja se kolicinavode pritom izlije iz case?

45

Zamislimo da smo casu stavili na stol pa zatimstol nagnuli za 45◦ . Na slici vidimo sto se do-godilo. Kako izracunati koliko se vode izliloiz case?

Promotrimo dio case iz kojeg se izlila voda.Zamislimo da ga dopunimo jos jednim takvimsukladnim dijelom tako da dobijemo valjak.

Taj valjak ima obujam V = r2v = 9 · · 6 = 54 cm3 .

Iz case se izlila polovina tog obujma, 27 ≈ 85 cm3 vode.

Zadatak 2. Spremnik za lozivo ulje ima oblik valjka promjera osnovke 1.2 m i visine 3 m, apolozen je tako da lezi na horizontalnoj ravnini na jednoj izvodnici.

1) Koliki je kapacitet spremnika?

2) Kolika jemasa ulja u punomspremniku ako je specificna tezina ulja 900 kg/m3 .

3) Ako je razina lozivog ulja u spremniku 75 cm, koliko je ulja u spremniku?

158

VALJAK 7.4

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 5. Iz drvenog trupca u obliku valjka duljine v metara i promjera r cm trebaispiliti drvenu gredu kojoj je presjek kvadrat. Koliki je postotak otpada?

r

a

Oduzmemo li od obujma trupca Vt obujamgrede Vg , dobit cemo dio koji je otpao pilje-njem. Iz

Vt − Vg = r2v − a2v

= r2v − 2r2v

= r2v( − 2)

≈ 114.16r2v cm3.

Obujam trupca je Vt = r2v ≈ 314.16r2v cm3 .

I sada izracunamo omjer:Vt − Vg

Vt≈ 0.3634 . Nakon piljenja je od trupca

otpalo oko 36 % drvne mase.

Primijetimo da je ovaj rezultat neovisan o duljini trupca i o promjeru nje-govog presjeka. Od svakog trupca koji ima oblik valjka, nakon sto se odnjega ispili greda kvadratnog presjeka, otpad izrazen u postotcima uvijekce biti jednak.

Primjer 6. Kolika je duljina aluminijske zice promjera 2r = 1 mm koja se mozedobiti od aluminija mase 1 kg? Gustoca aluminija je 2.7 g/cm3 .

Najprije iz gustoce =mV

izracunajmo obujam aluminijske mase od

1 kg:

V =m

=10002.7

≈ 370.4 cm3 .

I sada je 370.4 = r2v = 0.52 · 10−2v , odakle je v ≈ 471.6 m.

Zanimljivo: aluminij mase 1 kg ima obujam 370.4 cm2 (sto je otprilikekocka s duljinom brida 7.2 cm), a od te se mase dobije zica promjera 1 mmduljine 471.6 metara.

Zadatak 3. Izracunaj oplosje i obujam tijela prikazanog na slici.

1

1

1

1

1 11

10 10

1) 2)

159


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatci 7.4.1. Oplosje valjka je 112 cm2 . Duljine polumjera

osnovke i visine valjka u omjeru su 2 : 5 . Kolikije obujam valjka?

2. Visina valjka je za 10 cm veca od polumjera os-novke, a oplosje valjka iznosi 144 cm2 . Odre-dite duljine polumjera osnovke i visine valjka.

3. Ako je oplosje valjka 8 cm2 , a polumjer osnov-ke jednak visini, izracunajte obujam tog valjka.

4. Plast valjka nacinjen je od kvadrata duljine stra-nice a . Koliki je polumjer cijevi u koju se savijetaj kvadrat? Kolika je duljina te cijevi?

5. Plast valjka ima povrsinu 72 cm2 , a opseg os-novke je 12 cm . Odredite oplosje i obujam togvaljka.

6. Opseg osnog presjeka uspravnog valjka je 20 cm ,a povrsina tog presjeka 16 cm2 . Izracunajte op-losje i obujam valjka.

7. Koji od valjaka s opsegomosnog presjeka 2p imanajvece oplosje?A koji od takvih valjaka ima najvecu povrsinuplasta?

8. Koliko se metara bakrene zice promjera 1 mmmoze dobiti od jednog kilograma bakra (gustocabakra je 8.9 g/cm−3 )?

9. Iz mjedene kocke brida 10 cm valja istokaritivaljak s osnovkama upisanima stranama kocke.Kolika ce masa mjedi pritom otpasti ako je gus-toca mjedi 8500 kg/m3 ?

10. Casu oblika valjka s promjerom osnovke 6 cm ,punu vode, stavimo na kosinu s kutom 30◦ . Ko-lika je kolicina vode sto se pritom izlije iz case?

11. Uspravni valjak polumjera osnovke 6 cm i visine9 cm presjecen je ravninom koja prolazi paralel-

no osi valjka na udaljenostir2

od nje. Izracunaj-

te povrsinu manjeg dijela valjka koji je dobivenovim presjekom.

12. Uspravni valjak polumjera osnovke 10 cm i vi-sine 15 cm presjecen je ravninom paralelno osivaljka tako da krajnje tocke tetive zatvaraju sasredistem osnovke pravi kut. Izracunajte povr-sinu veceg dijela valjka koji je nastao pri tompresjeku.

13. Uspravni valjak ( r = 10 cm , v = 16 cm ) pre-sjecen je ravninomokomito na osnovku. Na kojojudaljenosti od osi treba postaviti ravninu kako bise za presjek dobio kvadrat?

14. Visina uspravnog valjka jednaka je 16 cm , a po-lumjer osnovke 10 cm . Duzini duljine 20 cmjedan je kraj na rubu donje, a drugi na rubu gor-nje osnovke. Kolika je najkraca udaljenost teduzine od osi valjka?

15. Krajnje tocke duzine AB pripadaju kruznicamana rubovima donje i gornje osnovke uspravnogvaljka. Projekcija duzine AB na osni presjek ko-ji joj je paralelan dijeli promjer osnovke u omjeru1 : 5 . Kolika je duljina duzine AB ako je polu-mjer osnovke 18 cm , a visina valjka 32 cm?

16. Koliki je omjer obujama valjka i pravilne seste-rostrane prizme upisane u taj valjak?

17. Koliki je omjer oplosja valjka i pravilne osmero-strane prizme upisane u taj valjak?

18. Izracunaj oplosje i obujam tijela prikazanih naslikama:

1) 2)

2

3

3

2

3 1

3

3) 4)

2

3

3

1.5

2

1

160

STOZAC 7.5

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

7.5. Stozac

Usporedba slicna usporedbi prizme s valjkommoze se provesti i za piramidu i stozac. Naneki se nacin stozac moze promatrati kao pira-mida cija je osnovka mnogokut s beskonacnomnogo vrhova.

I predmeti u obliku stosca cesti su u nasoj sva-kodnevici. Na slici vidimo jedan lijep primjer,kulu na Kaptolu u Zagrebu.

Stozac

v

S

V

r

s

Osnovka stosca je krug. Udaljenost vrha stoscaod ravnine njegove osnovke jest visina stosca.

Pravac koji spaja vrh stosca i srediste osnovke zovese os stosca.

Duzina koja spaja vrh i neku tocku na rubu osnovkeje izvodnica stosca. Oznacava se sa s .

Zakrivljena ploha koja zajedno s njegovom osnov-kom ome -duje stozac zove se plast stosca.

Stozac je uspravan ako je spojnica VS okomita na ravninu baze. Ovdje je Ssrediste kruga.

Mreza stosca

Mreza stosca sastoji se od jednog kruga i kruznog isjecka. Krug je osnovka stos-ca. Ako zamislimo da plast stosca razrezemo duz jedne izvodnice i razvijemo uravninu, dobit cemo kruzni isjecak.

A'A

sA A'

ss

Plast stosca moze se rezanjem po izvodnici razviti u ravninu. Dobiva se kruzni isjecakpolumjera s i duljine luka 2r .

161


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Osni presjek stosca

Presjek stosca ravninom koja prolazi njegovim vrhom i bilo kojim promjerombaze nazivamo osni presjek.

r

s

v

Ako je stozac uspravan, onda su osni presjecisukladni jednakokracni trokuti s osnovicom du-ljine 2r i krakovima duljine s .

Iz osnog presjeka uspravnog stosca primjenomPitagorina poucka nalazimo vaznu relaciju kojapovezuje duljine izvodnice ( s ), polumjera os-novke ( r ) i visine ( v ) stosca:

s2 = r2 + v2 .

Ako je stozac kosi, njegovi osni presjeci nisu sukladni trokuti. Kod kosog stoscaizdvaja se presjek ravninom koja prolazi kroz visinu i os stosca. Taj se presjeknaziva karakteristicni presjek kosog stosca. Na slikama je to trokut ABV .

Prikazan je karakteristican presjek kosog stosca. Pogled odozgo (lijevo). Presjecnaravnina ABV okomita je na ravninu baze.

Me -du svim izvodnicama stosca, AV je najdulja, a BV najkraca. Tako -der, pravacAV zatvara najmanji kut s ravninom baze stosca, a BV zatvara najveci kut.

Karakteristican presjek kosog stosca

Osni presjek kosog stosca s ravninom okomitom na ravninu baze nazivase karakteristicni presjek. Stranice tog trokuta promjer su kruga tenajkraca i najdulja izvodnica stosca.

Zadatak 1. Duljina najkrace izvodnice stosca jednaka je 13 cm, duljina najdulje 20 cm, aduljina visine iznosi 12 cm. Koliki je polumjer osnovke ovog stosca?

162

STOZAC 7.5

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 1. Ako uzmemo polukrug polumjera 12 cm i spojimo ga u plast stosca, kolikaje visina tako dobivenog stosca?

2r�

s sVPolumjer polukruga jest izvodnica stos-ca, dakle s = 12 cm . Polukruznica sesavije u bazu stosca pa je njezina duljina2r · = 12 . Tako je r = 6 cm .

Zakljucujemo:

Osni presjek stosca ciji plast razvijen u ravninu cini polukrug jest jedna-kostranican trokut. Takav se stozac zbog toga ponekad i zove jednakos-tranican stozac.

Visina tog trokuta v = 6√

3 cm ujedno je i visina stosca.

Zadatak 2. Ako je osni presjek stosca jednakokracan trokut s osnovicom duljine 18 cm ikrakom 15 cm, koliki je sredisnji kut u mrezi tog stosca?

Zadatak 3. Ako je kut kruznog isjecka u mrezi uspravnog stosca pravi, onda je izvodnicastosca cetiri puta kraca od njegova polumjera. Dokazi!

Kutak plus

PLAST STOSCA

Kad govorimo o mrezi uspravnog stosca, ponekome se mozda cini neuvjer-ljivim da je plast stosca kruzni isjecak. Pomislit ce da je to jednakokracantrokut. Sumnjicavost se moze vrlo lako otkloniti. Konstruirat cemo kruzniisjecak s vrhom V i lukom AB pa spojiti duzinom krajnje tocke A i Bluka. Spojimo zatim duzine AV i BV . Ocekivanje da ce se od trokutadobiti plast stosca nisu se ispunila, vec je plast nastao od isjecka.

No ovaj eksperiment pokazao nam je ipak i jos nesto.

Naime, na slici se vidi najkraci put kojim se iz tocke na rubu osnovke stoscaobilazi po plastu i vraca u polaznu tocku. To je ocito neka cudna petlja.

163


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Oplosje stosca

Oplosje stosca zbroj je povrsina njegove baze i njegovog plasta.

Povrsina baze iznosi B = r2 .

Povrsina kruznog isjecka kruga s polumjerom r i duljinom luka l racuna se

po formuli P =r · l2

. Primijenit cemo tu formulu uzimajuci oznake vezane uz

stozac.

2r�

s s

r s�

Tako je polumjer kruznog isjecka koji je plaststosca jednak izvodnici stosca, a duljina lukatog isjecka opseg je baze stosca. Tako ondaimamo:

P =s · 2r

2= rs .

Povrsina plasta stosca je P = rs .

Izracunajmo oplosje stosca:

O = B + P = r2 + rs = r(r + s).

Oplosje stosca

Oplosje uspravnog stosca kojem je polumjer osnovke r , a duljina iz-vodnice s je

O = r(r + s).

Zadatak 4. Koliko je oplosje jednakostranicnog stosca— uspravnog stosca ciji je osni presjekjednakostranican trokut povrsine 36

√3 cm2 ?

Obujam stosca

Presijecemo li stozac ravninom paralelnom s bazom na udaljenosti x od vrha, kaopresjek dobit cemo krug. Povrsina tog kruga odnosi se prema povrsini baze kaox2 : v2 . Potpuno isti odnos vrijedio je i za presjek piramide takvom ravninom.

Ako stozac i piramida imaju baze istih povrsina B , onda i njihovi presjeci rav-ninama paralelnima bazi imaju opet jednake povrsine, pa su im po Cavalierijevuprincipu i obujmi jednaki.

164

STOZAC 7.5

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Obujam stosca

Obujam uspravnog ili kosog stosca s polumjerom baze r i visinom viznosi:

V =r2v

3.

Primjer 2. U uspravan stozac polumjera baze R i visine v upisan je valjak kojem jevisina jednaka promjeru baze. Koliki je omjer njihovih obujama?

Neka je r polumjer baze valjka. Iz karakteristicnog presjeka mozemopostaviti omjer

rR

=v − 2r

v,

odakle je: r =vR

2R + v. Omjer je obujama

Vv

Vs=

r2 · 2r13R

2v=

6v2R(2R + v)3 .

Stozac i piramida koji imaju jednake povrsine baza i jednake visineimaju i jednake obujme.

165


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 3. Osni presjek uspravnog stosca je pravokutni trokut povrsine 36 cm2 . Ko-liki je obujam ovog stosca?

r

rr

ss

Stozac je uspravan pa pravokutnitrokutmora biti jednakokracan. Nje-gova je povrsina P = r2 = 36 cm2

odakle je onda r = v = 6 cm .

Obujam stosca je:

V =13r2v =

13r3 = 72 cm3.

Zadatak 5. Povrsina plasta uspravnog stosca tri puta je veca od povrsine osnovke. Koliki jekut u mrezi ovog stosca?

Krnji stozac

Presijecanjem stosca ravninom paralelnom s ravninom baze dobivamo manji sto-zac slican pocetnom i dio koji nazivamo krnji stozac.

Oznacimo s R polumjer donje baze, s r polumjer gornje baze, a s v visinu krnjegstosca.

Prikazan je krnji stozac. Dobiva se presijecanjemstosca ravninom paralelnom s ravninom baze.

Oplosje krnjeg stosca

Promotrimo uspravni krnji stozac. On ima sve izvodnice jednake duljine, kojaiznosi

s =√

v2 + (R − r)2.

Rezanjem po jednoj izvodnici plast krnjeg stosca moze se prostrijeti u ravninu.

166

STOZAC 7.5

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

�

�

plast krnjeg stosca

Taj je plast isjecak kruznog vijenca. Duljina veceg luka je 2R , duljina manjegluka 2r . Zato je povrsina plasta P razlika povrsina P1 i P2 kruznih isjecaka.Oznacimo privremeno s x duljinu nepostojeceg dijela polumjera kruznog isjecka.Iz slicnosti trokuta imamo

x : r = (x + s) : R.

Odavde cemo izracunati potrebne velicine:

x =sr

R − r, x + s =

sRR − r

.

Zato je

P = P1 − P2 = R(x + s) − rx = R · sRR − r

− rsr

R − r

= s · R2 − r2

R − r= s(R + r).

Oplosje uspravnog krnjeg stosca

Oplosje uspravnog krnjeg stosca s polumjerima baza R i r i izvodnicoms dano je formulom

O = R2 + r2 + s(R + r).

Karakteristicni presjek krnjeg stosca dobiva se presijecanjem ravninom koja jeokomita na ravninu baze, a prolazi sredistima baza. Taj je presjek trapez.

Obujam krnjeg stosca

Formulu za obujam krnjeg stosca dobivamo na potpuno istovjetan nacin kao iformulu za obujam krnje piramide. (Izvedite za vjezbu tu formulu!)

Druga je mogucnost da se odmah pozovemo na Cavalierijev princip. Ako krnjistozac ima povrsinu donje i gornje baze istu kao i krnja piramida, i ako su imvisine jednake, onda su jednaki i njihovi obujmi.

167


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Uvrstavajuci B = R2 i b = r2 u formulu

V =v3(B +

√Bb + b),

dobivamo formulu za obujam krnjeg stosca.

Obujam krnjeg stosca

Krnji stozac kojem baze imaju polumjere R i r , a visina iznosi v , imaobujam

V =v3

(R2 + Rr + r2).

Primijetimo kako nije nuzno da bude r < R . Krnji stozac moze biti postavljeni tako da mu ‘donja’ baza bude manja. Stavimo li r = R , dobit cemo obujamvaljka, jer je krnji stozac jednakih baza upravo valjak.

Primjer 4. Uspravnom stoscu cija je visina v = 16 cm , a polumjer osnovke 12 cmupisana je sfera. Stozac je presjecen ravninom koja prolazi paralelnoosnovci stosca i dira upisanu sferu.

1) Kolika je povrsina presjeka stosca tom ravninom?

2) U kojem omjeru ta ravnina dijeli obujam stosca?

3) Koliki je obujam krnjeg stosca koji je dobiven pri ovom presjeku?

V

S

SA B

F r

�

S1

E

D

R

1) Uvedimo oznake kao na slici. Tada jeR = 12 cm , |VS| = 16 cm ,s = |AV | = |BV | = 20 cm .Iz �VSB ∼ �VDS slijedi:

R : = s : (v − ),a odatle = 6 cm . Onda jev1 = |VS1| = v − 2 = 4 cm .Iz �VSB ∼ �VS1E imamoR : r = v : v1 te je r = 3 cm .Presjek stosca ravninom je krugpovrsine Pp = r2 = 9 cm2 .

2) Oznacimo s V obujam stosca, a s V1 obujam dopunjka. Tada jeV : V1 = (R : r)3 , a odatle V : V1 = 64 . Ravnina dijeli stozac na dvadijela ciji su obujmi u omjeru 1 : 63 .

3) Sada je lako izracunati obujam krnjeg stosca jer imamo sve potrebneelemente. No primijeti kako mozemo postupiti i nesto jednostavni-je. Obujam dopunjka je V1 = 1

3r2v1 = 12 cm3 . A obujam krnje

piramide je 63 puta veci (rezultat pod 2)), Vk = 12·63 = 756 cm3 .

168

STOZAC 7.5

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatci 7.5.1. Ako se plast uspravnog stosca prostre u ravninu,

dobije se polukrug polumjera 3 cm . Kolika jevisina tog stosca?

2. Kad se plast uspravnog stosca razvije u ravninu,

dobije se34

kruga polumjera 6 cm . Kolika je

duljina visine ovog stosca?

3. Izvodnica uspravnog stosca s ravninom osnov-ke zatvara kut od 60◦ . Koliki je sredisnji kutkruznog isjecka u mrezi stosca?

4. Duljina polumjera osnovke uspravnog stosca je12 , a duljina izvodnice stosca je 40 cm . Kolikije kut pri vrhu kruznog isjecka umrezi tog stosca?

5. Povrsina plasta stosca je 136 cm2 , a povrsinaosnovke 64 cm2 . Koliki je obujam stosca?

6. Oplosje stosca je 12 cm2 , a duljina promjeranjegove osnovke iznosi 4.8 cm. Koliki je obujamstosca?

7. Ako je obujam stosca 324 cm3 , a duljina visinev = 12 cm , koliko je njegovo oplosje?

8. Valjak i stozac imaju jednaku bazu i jednaku vi-sinu. Ako je obujam valjka 39 cm3 , koliki jeobujam stosca?

9. Casa za sampanjac ima oblik stosca s promjeromosnovke 6 cm i visinom stozastog dijela 3 cm.Ako je casa puna do polovine visine, kolika jekolicina sampanjca u njoj?

10. Zamislimo da imamo zatvorenu staklenu posuduu kojoj je voda. Kad posuda lezi na bazi, razinavode u njoj dopire do polovine visine. Ako po-sudu okrenemo naopacke, do koje ce razine tadabiti voda u njoj?

11. Povrsina plasta uspravnog stosca iznosi 20 cm2 ,a nakon razvijanja plasta u ravninu dobije se kru-zni isjecak sa sredisnjim kutom 72◦ . Koliko jeoplosje tog stosca?

12. Iz kruga polumjera 15 cm izrezan je kruzni isje-cak sa sredisnjim kutom 120◦ . Izracunajte obu-jam i oplosje stosca kojemu je taj isjecak plast.

13. Kad se kruzni isjecak sa sredisnjim kutom 216◦savije u plast stosca, taj stozac ima visinu duljine20 cm . Kolika je povrsina tog plasta?

14. Plast stosca je kruzni isjecak polumjera 8 cm isredisnjeg kuta 135◦ . Izracunaj oplosje i obujamstosca.

15. Krug povrsine 100 cm2 rasijece se u dva po-lukruga koji se zatim saviju u plasteve stozacai spoje u “bovu”. Kolika je povrsina i koliki jeobujam te “bove”?

16. Ravnina paralelna s bazom presijeca stozac napolovici njegove visine. Kako se odnose povr-sina presjeka i povrsina baze? Kako se odnoseobujmi dobivenih dijelova?

17. Visina stosca dugacka je 4 cm , duljina izvodni-ce je 10 cm . Kolika je povrsina presjeka stoscaravninom koja prolazi vrhom stosca pod 60◦ uodnosu prema ravnini osnovke?

18. Povrsina plasta uspravnog stosca je 60 cm2 , aduljine polumjera osnovke i visine stosca u om-jeru su 3 : 4 . Koliki je obujam stosca?

19. Visina uspravnog stosca je 12 cm , a obujam stos-ca iznosi 324 cm3 . Koliko mu je oplosje? Koli-ki je sredisnji kut kruznog isjecka u mrezi stosca?

20. Opseg osnog presjeka uspravnog stosca iznosi48 cm , a povrsina plasta je 128 cm2 . Koliko jeoplosje stosca?

21. Oplosje stosca iznosi 384 cm2 , a duljina njego-ve izvodnice 20 cm . Koliki je obujam stosca?

22. Odredite oplosje i obujam uspravnog stosca akoje njegov osni presjek:1) pravokutni trokut s hipotenuzom duljine

6√

2 cm2) jednakostranican trokut opsega 12 cm

3) jednakokracan trokut povrsine 6√

3 cm2 ikuta 120◦ .

23. U kocku s bridom duljine a upisan je stozac takoda mu je osnovka upisana jednoj strani kocke,a vrh je u sredistu nasuprotne strane. Koliki jeomjer obujama kocke i stosca?

169


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

24. U jednakostranican stozac ( s = 2r ) polumjeraosnovke r upisana je kocka tako da joj jednaosnovka pripada osnovci stosca, a vrhovi gornjeosnovke na plastu su stosca. Kolika je duljinabrida te kocke?

25. U uspravni stozac upisana je pravilna trostranapiramida kojoj su svi bridovi jednake duljine a ,tako da je jedna strana piramide upisana osnov-ci stosca, a vrh nasuprotan toj stranici u vrhu jestosca. Izrazi obujam stosca kao funkciju duljinebrida piramide.

26. Polumjer osnovke stosca dugacak je 6 cm , a vi-sina stosca iznosi 12 cm . Stranice trokuta cija jeravnina paralelna s ravninom osnovke stosca, di-raju plast stosca. Na kojoj su udaljenosti ravninatrokuta i ravnina osnovke stosca ako su duljinestranica trokuta 5 cm , 7 cm i 8 cm?

27. U uspravni stozac polumjera baze r = 3 cm ivisine v = 4 cm upisana je pravilna osmerostra-na piramida. Koliki je omjer njihovih obujama ioplosja?

28. Oko uspravnog stosca polumjera baze r = 3 cmi visine v = 4 cm opisana je pravilna dvana-esterostrana piramida. Koliki je omjer njihovihobujama i oplosja?

29. Visina stosca podijeljena je na tri jednaka dijelapa su djelisnim tockama polozene ravnine para-lelne s osnovicom stosca. U kojem su omjerupovrsine presjeka?Ako je V obujam stosca, koliki je obujam sred-njeg dijela dobivenog ovim presjecima?

30. Polumjeri osnovaka krnjeg stosca su 3 cm i 10 cm ,a njegov je obujam 1112 cm3 . Kolika je duljinavisine i duljina izvodnice krnjeg stosca?

31. Obujam krnjeg stosca je 416 cm3 . Polumjeridonje i gornje osnovke te izvodnice u omjeru su5 : 2 : 5 . Koliko je oplosje tog stosca?

32. Polumjeri osnovaka krnjeg stosca su 4 cm i 10 cm .Ravnine paralelne s osnovkama dijele visinu stos-ca na tri jednaka dijela. U kojem omjeru te rav-nine dijele obujam stosca?

33. Povrsina plasta krnjeg stosca je 128 cm2 , du-ljina izvodnice stosca je 8 cm . Kolike su duljinepolumjera osnovaka ovog stosca ako je omjer tihduljina 2 : 5 ?

34. Polumjeri osnovaka krnjeg stosca su 4 cm i 20 cm ,duljina visine iznosi 30 cm . Kolika je povrsinaplasta ovog stosca?

35. Duljina izvodnice krnjeg stosca je 17 cm . Povr-sina osnog presjeka stosca je 420 cm2 , a povrsi-na presjeka stosca ravninom paralelnom osnovkikoja prolazi kroz poloviste njegove visine iznosi196 cm2 . Koliko je oplosje stosca?

36. Duljine polumjera osnovaka i izvodnice krnjegstosca u omjeru su 4 : 11 : 25 . Obujam togstosca iznosi 181 cm3 . Koliko mu je oplosje?

37. Kolika je duljina visine krnjeg stosca ako je nje-gov obujam 584 cm3 , a duljine polumjera os-novaka iznose 7 cm i 10 cm?

38. Povrsina presjeka krnjeg stosca ravninom kojaprolazi polovistem njegove visine paralelno os-novci jednaka je 225 cm3 . Obujam stosca izno-si 2800 cm3 , a duljina visine je 12 cm . Kolikisu polumjeri osnovaka ovog stosca?

39. Stozac je upisan krnjem stoscu tako da je njegovvrh u sredistu gornje, manje osnovke krnjeg stos-ca, a osnovka mu je druga osnovka krnjeg stosca.Koja relacija povezuje polumjere osnovki krnjegstosca ako je obujam upisanog stosca polovinaobujma krnjeg stosca?

40. Karakteristicni presjek kosog krnjeg stosca je tra-pez s osnovicama a = 10 cm , c = 8 cm i kra-kovima b = 6 cm , d = 4 cm . Koliki je njegovobujam?

41. U uspravnom krnjem stoscu polumjeri su baza Ri r , R > r i visina v . Na koju udaljenost od vecebaze treba postaviti ravninu paralelnu s bazom dabi povrsina presjeka bila:

1) aritmeticka sredina povrsina baza;2) geometrijska sredina povrsina baza;3) harmonijska sredina povrsina baza?

170

KUGLA 7.6

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

7.6. Kugla

Prikazana je kugla. Udaljenost svake tockekugle od sredista S manja je ili jednaka

polumjeru R . Rub kugle nazivamo sferom.

Krug smo definirali kao skup svih to-caka neke ravnine cija je udaljenostod cvrste tocke — sredista kruga —manja ili jednaka njegovom polum-jeru R .

Definicija kugle potpuno je ista, sjedinom iznimkom sto promatramosve tocke u prostoru.

Definicija kugle

Kugla sa sredistem S i polumjerom R skup je svih tocaka T prostoraza koje vrijedi |TS| � R .

Tocke na rubu kugle cine sferu. Za svaku tocku sfere vrijedi |TS| = R .

Kugla je uistinu poseban geometrijski lik. Zemlja je kugla; za to da je elipsoidmalo tko mari. Kuglanje i bacanje kugle popularne su sportske discipline. Bili-jarskim se kuglama mnogi dobro zabavljaju. U kristalnoj kugli prorocica gledau buducnost. Kad nam je nesto smijesno, kuglamo se od smijeha.

Mogli bismo tako nastaviti unedogled.

Kugle se mogu zateci na svakom koraku. Na slikama vidimo dvije koje ukrasa-vaju ulice nasih gradova. Lijeva, Dzamonjina, nalazi se u fontani ispred rijeckogHNK-a Ivana pl. Zajca, a Kozaricevo Prizemljeno Sunce smjesteno je u pjesackojzoni Bogoviceve ulice u Zagrebu.

171


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Presjek ravnine i kugle

Promotrimo sto se dobije presijecanjem kugle nekom ravninom . Prvo je pi-tanje koje se namece: kada ce ravnina sjeci kuglu? I ovdje je situacija analognaonoj koju smo imali u ravnini, promatrajuci presjek pravca i kruga.

Da bi ravnina sjekla kuglu, njezina udaljenost od sredista kugle mora bitimanja od R . Ako je udaljenost veca od R , tada ravnina ne sadrzi niti jednu tockukugle pa je ne sijece, a ako je udaljenost jednaka R , tada ravnina dodiruje kuglusamo u jednoj tocki.

Neka ravnina sijece kuglu i neka je S′ tocka ravnine najbliza sredistu S ku-gle. Tocka S′ ortogonalna je projekcija tocke S na ravninu . Oznacimo s dudaljenost tocaka S i S′ , d = |SS′| . Neka je T bilo koja tocka s presjeka sferei ravnine. Trokut SS′T je pravokutan, pa je:

|S′T| =√

R2 − d2.

Vidimo da ova udaljenost ne ovisi o izboru tocke T . Zato ona vrijedi za svakutocku presjeka ravnine i sfere.

Presjek ravnine i kugle je krug.Presjek ravnine i sfere je kruznica.

Presjek ravnine i kugle

Ravnina i sfera sijeku se u kruznici polumjera√

R2 − d2 , gdje je dudaljenost ravnine od sredista kugle. Ravnina i kugla sijeku se u krugus tom obodnom kruznicom.

Kako je polumjer presjecne kruznice jednak√

R2 − d2 , vidimo da je to vecisto je udaljenost d ravnine od sredista kruznice manja. Najveca se kruznica,polumjera R , dobiva kad je d = 0 . U tom slucaju ravnina prolazi sredistem Ssfere, a presjecnu kruznicu nazivamo glavnom kruznicom.

172

KUGLA 7.6

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 1. Kugla polumjera 26 cm presjecena je dvjema paralelnim ravninama, apovrsine presjeka su 100 cm2 i 576 cm2 . Kolika je me -dusobna uda-ljenost tih ravnina?

S

24

26

26

10Promotrimopresjek kugle ravninomko-ja prolazi sredistem kugle okomito nadvije ravnine (slika desno). Polum-jer veceg presjeka je 24 cm, a manjeg10 cm. Iz istaknutih pravokutnih troku-ta nalazimo udaljenosti dviju ravnina odsredista kugle, one iznose 24 cm, odnos-no 10 cm. Zakljucujemo da su ravnineme -dusobno udaljene 24+10 = 34 cm.

No oprez! Zadatak ima jos jedno rjesenje. Valja jos razmotriti drugumogucnost, kada su ravnine s iste strane sredista kugle. Tada je udaljenost24 − 10 = 14 cm.

Zadatak 1. Na kuglu polumjera 12 cm nataknut je trokut nacinjen od tanke zice tako dastranice trokuta diraju kuglu. Ako su duljine stranica trokuta 6 cm, 8 cm i 10 cm,koliko je ravnina trokuta udaljena od sredista kugle?

Obujam kugle

Obujam kugle izracunat cemo primjenom Cavalierijeva principa. Promotrimopolovicu kugle. Oznacimo sa S njezino srediste, s R polumjer. Nacrtajmo ivaljak polumjera baze i visine R kojem baza lezi u istoj ravnini kao i glavnakruznica polukugle.

Obujam polukugle jednak je obujmu dijela valjka iz kojeg je izva -den stozasti dio.

Iz valjka izvadimo dio koji odre -duje stozac cija se baza podudara s gornjombazom valjka, a vrh mu je u sredistu donje baze.

Sada cemo usporediti polukuglu s tijelom koje cini dio valjka s izva -denim stos-cem. Postavimo ih u istu horizontalnu ravninu i presijecimo ravninom paralelnoms ravninom baze, na udaljenosti x od nje.

173


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Presjek ravnine i kugle je krug polumjera r =√

R2 − x2 i zato je povrsinapresjecnog kruga (R2 − x2) .

Presjek ravnine i drugog tijela je kruzni prsten. Njegov je veci polumjer R ,a manji x (objasnite zasto!). Zato je povrsina presjeka jednaka R2 − x2 , ijednaka je prethodnoj povrsini.

Ovim smo pokazali da su povrsine presjeka obaju tijela jednake. Po Cavalierijevuprincipu, i njihovi su obujmi jednaki. Obujam drugog tijela lako mozemo odreditikao razliku obujma valjka i stosca:

R2 · R − R2 · R3

=23R3.

Taj je obujam polovica obujma kugle.

Obujam kugle

Obujam (volumen) kugle polumjera R iznosi:

V =43R3.

Primjer 2. Koliki je polumjer zeljezne kugle cija je masa 1 kg ako je gustoca zeljeza7.9 g/cm3?

Gustoca homogenog tijela je omjer njegove mase i njegovog obujma. Tako

cemo iz jednakosti 7.9 =1000

Vdobiti V = 126.58 cm3 .

I sada iz43R3 = 126.58 izracunamo polumjer kugle, R = 3.1 cm .

Primjer 3. Kuglu obujma 65.45 cm3 uronimo u vodu koja se nalazi u valjkastoj casii stoji na horizontalnoj ravnini. Promjer otvora case iznosi 6 cm, a njezinaje visina 8 cm.

1) Kolika se kolicina vode izlije iz case ako je prije uranjanja bila navisini 7 cm?

2) Koliki bi trebao biti polumjer kugle ako bi se uz iste uvjete nakonuranjanja razina vode podigla tocno do ruba case?

174

KUGLA 7.6

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

1) “Pretvorimo” obujam kugle u obujam va-ljka. Stavimo li r = 3 cm u jednakost65.45 = r2v , dobit cemo v = 2.3 cm .Dakle, razina vode u casi podigne se za2.3 cm. Kako je visina case 8 cm, a razinavode u njoj 7 cm, to znaci da ce se izli-ti obujam vode koji stane u valjak visine1.3 cm i polumjera 3 cm.

Dakle, V = r2v = 9 · · 1.3 ≈ 37 cm3 .

2) Obujam kugle jednak je obujmu sloja vode visine 1 cm, a on iznosir2v = 9 . Zatim iz 4

3R3 = 9 nalazimo R = 1.89 cm .

Zadatak 2. Casa ima oblik valjka promjera baze 3 cm i visine 7 cm. Do koje najmanje visinemora biti voda u casi zelimo li da nakon uranjanja metalne kuglice promjera1 cm ta kuglica bude cijela pod vodom?

Dijelovi kugle

Primjer 4. Odredimo obujam Vk kuglinog odsjecka, tijela koje od kugle odsijecaravnina.

Neka je v njegova visina. (To znaci da je udaljenost presjecne ravnineod sredista sfere jednaka R − v ). Formulu cemo odrediti na potpuno istinacin kao i obujam polukugle. Usporedit cemo obujam odsjecka s od-govarajucim tijelom koje dobivamo ako iz valjka visine v izvadimo krnjistozac polumjera gornje baze R , a donje baze R − v .

R

RR

Rr

vv R-v

Obujam kuglinog odsjecka jednak je obujmu dijela valjkaiz kojeg je izva -den krnji stozac.

Po poznatim formulama za obujam valjka i krnjeg stosca, vrijedi:

Vk = R2v − v3

[R2 + R(R − v) + (R − v)2] =(3R − v)v2

3. (1)

175


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 5. Dana je kocka s bridom duljine 10 cm. U sredistu kocke je srediste kuglekoja dira sve bridove kocke. Izracunajmo obujam dijela kugle koji nije ukocki.

Nad svakom stranom kocke kugla izbija iz nje.Svaka strana kocke odsijeca od kugle jednakodsjecak. Promjer kugle jednak je duljini dija-gonale strane kocke, 2R = 10

√2 cm . Visina

kuglina odsjecka iznosi 5√

2 − 5 ≈ 2.07 cm .

I sada mozemo izracunati obujam odsjecka:

V =(3R − v)v2

3=

(15√

2 − 2.07) · 2.072 · 3

≈ 27.34 cm3.

No iz kugle “viri” sest takvih odsjecaka, nad svakom stranom po jedan, paje njihov ukupan obujam 6 · 27.34 = 164.04 cm3 .

Kako je obujam kugle43· (5

√2)3 ≈ 471.4 cm3 , onda je izvan kocke

oko 35 % njezinog obujma.

Kutak plus

STO JE NA SLICI?

Sto ste pomislili kad ste vidjeli ovu slicicu? Sto ona prikazuje?

Rijec je o fotografiji prstenaste pomrcine Sunca koja je snimljena 3.listopada 2005. godine na Ibizi u Spanjolskoj.

Kad se Mjesec pri svojem putu isprijeci izme -du Zemlje i Sunca, do-lazi do pomrcine Sunca. Kako Mjesec nije uvijek jednako udaljen odZemlje, pomrcina moze biti djelomicna, potpuna ili prstenasta. Prste-nasta pomrcina nastupa kada je Mjesec najudaljeniji od Zemlje pa je on“premali” da bi pokrio cijelo Sunce. Za vrijeme djelomicne pomrcineSunceva korona nije vidljiva.

Pomrcina Sunca vidljiva je iz malog podrucjaZemlje. Ona se me -dutim pomice velikom br-zinom kao koridor sirine stotinjak kilometara.

176

KUGLA 7.6

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 6. Odredimo obujam kuglinog sloja, dijela kugle koji odsijecaju dvije para-lelne ravnine.

Njegov je obujam jednak razlici obujama dvaju kuglinih odsjecaka; aliracun je slozeniji krenemo li na taj nacin.

Obujam cemo odrediti s pomocu triju velicina: polumjera prvog pre-sjecnog kruga r1 , drugog presjecnog kruga r2 i visine kuglinog sloja v .Pretpostavit cemo, radi jednostavnijeg zapisa, da je r1 > r2 i da kuglinsloj lezi u istoj polukugli. Te tri velicine nisu me -dusobno neovisne; znajucidvije uvijek mozemo odrediti trecu, po formuli:

v = v1 − v2 =√

R2 − r21 −

√R2 − r2

2.

Znacenje velicina vidimo na slici na kojoj je naznacen glavni presjekpolukugle i pomocnih tijela.

Obujam kuglinog sloja jednak je obujmu valjka visine viz kojeg je izrezan krnji stozac iste visine s polumjerima v1 i v2 .

Izvedimo pomocne relacije. Iz veze v = v1 − v2 izracunat cemo umnozakv1v2 :

v2 = v21 + v2

2 − 2v1v2 =⇒ 2v1v2 = v21 + v2

2 − v2. (2)

Tako -der vrijedi:

r21 = R2 − v2

1, r22 = R2 − v2

2. (3)

Obujam kuglinog sloja jednak je obujmu pomocnog tijela:

V = R2v − v3

[v21 + v1v2 + v2

2]

=v6

[6R2 − 2v21 − 2v2

2 − 2v1v2] = po (2)

=v6

[6R2 − 3v21 − 3v2

2 + v2] = po (3)

=v6

(3r21 + 3r2

2 + v2).

Ako je r2 = 0 , tada sloj prelazi u odsjecak. Oznacimo li (jedini) polumjerpresjecnog kruga s r umjesto s r1 , dobit cemo formulu:

V =v6

(3r2 + v2), (4)

sto je drugi oblik za formulu obujma kuglinog odsjecka.

177


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatak 3. Pokazi da se formule (1) i (4) za obujam kuglinog odsjecka podudaraju.

Primjer 7. Odredimo formulu za obujam kuglinog isjecka. To je tijelo koje od kugleodsijeca ploha stosca koja ima vrh u sredistu kugle.

Formula se moze iskazati s pomocu polumjera kugle R i visine pripadnogodsjecka v .

Kuglin isjecak dobivamo tako da kuglinom odsjeckudodamo stozac polumjera r i visine R − v .

Neka je r pomocna velicina: polumjer baze stosca. Iz karakteristicnogpravokutnog trokuta citamo:

R2 = (R − v)2 + r2 =⇒ r2 + v2 = 2Rv.

Sada racunamo obujam V kuglinog isjecka zbrajajuci obujam odsjec-

ka Vo =v6

(3r2 + v2) (formula (5) na prethodnoj strani) i stosca

Vs =r23

(R − v) :

V =v6

(3r2 + v2) +r23

(R − v)

=v6

(r2 + v2) +v6

· 2r2 +r23

(R − v)

=v6

(r2 + v2) +r23

· R

=v6

· 2Rv +r23

· R

=13R(v2 + r2) =

23R2v.

Zadatak 4. Kuglin isjecak je rotacijsko tijelo koje nastane vrtnjom kruznog isjecka oko nje-gove osi simetrije. Ako je polumjer kruznice 12 cm, a kut kruznog isjecka 60◦ ,koliki je obujam tijela koje nastane opisanom rotacijom kruznog isjecka?

178

KUGLA 7.6

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Ponovimo formule za obujme karakteristicnih dijelova kugle.

Obujmi dijelova kugle

Obujam kuglinog odsjecka:

V =13v2(3R − v) =

16v(3r2 + v2) (5)

Obujam kuglinog sloja:

V =16v(3r2

1 + 3r22 + v2) (6)

Obujam kuglinog isjecka:

V =23R2v (7)

Upisane kugleU svaki stozac moze se upisati kugla. Ako je stozac uspravan, ona ce diratiravninu baze u sredistu i sve izvodnice u tockama koje leze u ravnini paralelnoj sbazom (te tocke leze na jednoj kruznici). Uzmemo li bilo koji osni presjek, dobitcemo jednakokracan trokut kojem je osnovica promjer baze stosca, a krakovi suizvodnice. Presjek kugle ravninom tog osnog presjeka je krug upisan u trokut.

21

2

Na slici je prikazana kugla upisana u stozac (lijevo), karakteristicni trokut za uspravnistozac (u sredini)

i za kosi stozac (desno).

Ako je stozac kos, onda uzimamo njegov karakteristicni presjek. Tako dobivamotrokut koji cine promjer baze stosca te najkraca i najdulja izvodnica. Presjekkugle je krug upisan u trokut.

Kugla se moze upisati i u svaku pravilnu piramidu. Ona ce dirati ravninu os-novke u sredistu pravilnog mnogokuta, a pobocke u tockama koje leze u ravniniparalelnoj s osnovkom. Odnose izme -du osnovnih velicina odre -dujemo iz karak-teristicnog presjeka. Napravimo tipicni primjer.

179


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Na slici je kugla upisana upravilnu trostranu pirami-du. Polozaj tocaka u kojimaona dira pobocke odre -du-jemo iz simetrije tijela: tetocke leze na visinama po-bocaka spustenim iz vrhaV (lijevo). Karakteristicnitrokut (desno).

Primjer 8. Duljina brida osnovke pravilne trostrane piramide je a , a njezina visinav . Koliki je polumjer kugle upisane u piramidu?

Tocka T u kojoj kugla dira osnovku srediste je jednakostranicnog trokuta;

zato je MT trecina njegove visine, |MT| =a√

36

. Trokuti SNV i MTV

su slicni. Iz omjera odgovarajucih stranica dobivamo:

rv − r

=

a√

36h

=

a√

36√

v2 +(a

√3

6

)2.

Odavde slijedi (provjerite!):

r =av

a +√

12v2 + a2.

Prikazana je kugla upisana u pravilnu n -terostranupiramidu.

Slicna se situacija javlja za sva-ku pravilnu piramidu.

Karakteristicni trokut je pra-vokutan, a spaja poloviste Mbrida osnovke, srediste T mno-gokuta i vrh V piramide. Izslicnosti pravokutnih trokutaSNV i MTV postavljamo om-

jerr

v−r=

dh, gdje je d kateta

pravokutnog trokuta. Odavdeje:

r =vd

d + h.

180

KUGLA 7.6

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatci 7.6.1. Kugla polumjera R = 41 cm presjecena je rav-

ninom koja je od sredista kugle udaljena 9 cm .Kolika je povrsina presjeka?

2. Na kojoj udaljenosti od sredista kugle polumjeraR valja presjeci kuglu ravninom kako bi povrsinapresjeka bila upola manja od povrsine najvecegpresjeka kugle ravninom?

3. Dvije paralelne ravnine sijeku kuglu polumjera12 cm u krugovima povrsina 140 i 135 cm2 .Kolika je me -dusobna udaljenost tih ravnina?

4. Kugla je presjecena ravninom koja je od njezi-nog sredista udaljena 24 cm . Koliki je polumjer

kugle ako je opseg presjeka35

opsega najveceg

presjeka kugle ravninom?

5. Dva me -dusobno okomita presjeka kugle ravnina-ma imaju zajednicku tetivu duljine 16 cm . Koli-ki je polumjer kugle ako su povrsine tih presjeka185 cm2 i 320 cm2 ?

6. Najveci presjek kugle ravninom ima povrsinu16 cm2 . Koliki je obujam te kugle?

7. Promjeri triju kugli u omjeru su 1 : 2 : 3 .1) Dokazi da je obujam najvece kugle tri puta

veci od zbroja obujama dviju manjih.2) Koliki je obujam svake od triju kugli ako je

obujam najvece za 192 cm3 veci od zbrojaobujama manjih kugli?

8. Stotinu metalnih kuglica polumjera 1 cm pre-topimo u jednu kuglu. Koliki je polumjer takodobivene kugle?

9. Kugla K1 dotice kuglu K2 iznutra, pri cemu jesrediste kugle K2 na povrsini kugle K1 . Akoje obujam kugle K1 36 cm3 , koliki je obujamkugle K2 ?

10. Promjer Marsa je 0.53 promjera Zemlje. Kolikije omjer obujama Marsa i Zemlje?

11. U valjkastoj posudi polumjera osnovke 12 cm ivisine 72 cm nalazi se voda do pola visine. Zakoliko ce se podignuti razina vode u posudi akou vodu uronimo kuglu polumjera 10 cm?

12. U valjkastu posudu polumjera osnovke 6 cm i vi-sine 10 cm spustimo metalnu kuglicu promjera6 cm . Do koje bi najmanje visine morala bitivoda u posudi kako bi se cijela kuglica nakonuranjanja nasla pod vodom?

13. Nadnuvaljkaste posude promjera osnovke 15 cmnalazi se metalna kugla promjera 12 cm . Razinavode u posudi tocno je na najvisoj tocki kugle. Nakoju ce razinu pasti voda kada izvadimo kuglu?

14. Kugla polumjera 7 cm osvijetljena je svjetloscuciji je izvor u tocki P udaljenoj od sredista kugle25 cm . Izracunaj duljinu granicne crte izme -duosvijetljenog i neosvijetljenog podrucja na kugli.

15. Srediste osnovke valjka je srediste kugle. Koji jeobujam zajednickog dijela ovih dvaju tijela akoje polumjer kugle 15 cm , a polumjer osnovkevaljka 9 cm? Visina valjka veca je od polumjerakugle.

16. Kugla je presjecena ravninom. Presjek je krugpolumjera 8 cm . Koliki je obujam kuglinog od-sjecka ako je njegova visina 4 cm?

17. Dokazite da za obujam kuglinog odsjecka vrije-

di formula V = v2(R − v

3

), gdje je v visina

odsjecka, a R polumjer kugle.

18. Sredista dviju kugli jednakog polumjera leze napovrsinama tih kugli. Koliki dio obujma jednekugle cini obujam zajednickog dijela?

19. Polumjeri osnovki kuglinog sloja jednaki su 3 cmi 4 cm , polumjer kugle je 5 cm . Koliki je obu-jam sloja ako su ravnine presjeka s iste stranesredista kugle?

20. Kugla polumjera R presjecena je dvjema para-lelnim ravninama cija je udaljenost d , d < 2R .U kojem je polozaju tih ravnina dio kugle izme -duravnina najveceg obujma? Koliki je taj obujam?

21. Na kojoj udaljenosti od sredista treba ravninompresjeci kuglu da se obujmi dobivenih tijela od-nose kao 3 : 1 ?

181


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

22. Koliki je obujam kuglinog isjecka ako je polu-mjer pripadnog kruga 12 cm , a polumjer kugle15 cm?

23. Kuglin odsjecak i stozac na koji je kuglin isje-cak podijeljen osnovkom odsjecka, imaju jedna-ke obujme. U kojem su omjeru visine odsjecka istosca?

24. U kugli polumjera 30 cm probusena je valjkastarupa cija je os promjer kugle. Koliki je obu-jam kuglinog prstena ako je otvor rupe polumjera18 cm?

25. U kuglin isjecak sa sredisnjim kutomod 90◦ upi-sana je kugla. Koliki je omjer njihovih obujama?

26. Pravilnoj cetverostranoj piramidi s osnovnim bri-dom duljine 14 cm i visinom duljine 24 cm upi-sana je kugla. Koliki je obujam te kugle?

27. Kugla je upisana u pravilnu cetverostranu pirami-du s osnovnim bridom a i pobocnim bridovimab . Koliki je njezin polumjer?

28. Osnovka uspravne prizme pravokutni je trokut skatetama duljina 5 cm i 12 cm . Koliki je obu-jam kugle koja se moze upisati toj prizmi?

29. U pravilnu cetverostranu piramidu s osnovnimbridom duljine a i kutom izme -du dvaju bridovana jednoj pobocki 60◦ upisana je kugla. Kolikije obujam te kugle?

30. Kugla je upisana i opisana oko pravilne sestero-strane piramide s osnovnimbridom a i pobocnimbridom b . Koliki je omjer obujama tih kugli?

31. U kocku brida a upisana je kugla. U prostorprema jednom vrhu upisana je manja kugla kojadira prvu. Koliki je polumjer te manje kugle?

32. Odredite obujamkugle upisane krnjem stoscu cijisu polumjeri osnovke 9 cm i 25 cm .

33. Ako se krnjem stoscu cija izvodnica s ravninomosnovke zatvara kut od 45◦ moze upisati kugla,tada je povrsina plasta stosca dvostruko veca odpovrsine kugle. Dokazite ovu tvrdnju.

Za radoznaleKAMENE KUGLE

Slozimo cetiri kamene kugle kao na slici. Kolika je visina ovako slozene hrpe ako jepromjer pojedine kugle 20 cm? A ako hrpu povecamo (slika desno) kolika je sadanjezina visina?

182

SFERA 7.7

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

7.7. Sfera

Odredenost sfere

Sfera je skup svih tocaka T koje su jednako udaljene od zadane tocke S , sredistasfere. Udaljenost |ST| oznacavamo s R i nazivamo polumjer sfere.

Sfera je odre -dena cetirima nekomplanarnim tockama, tockama koje ne leze ujednoj ravnini.

Primjer 1. Pokazimo da se oko svakog stosca moze opisati sfera. Izracunajmo njezinpolumjer R ako je stozac uspravan.

Na slici je sfera opisana oko stosca (lijevo) tekarakteristicni trokut za uspravni stozac (desno).

Neka su A , B , C po volji uzete tocke s oboda baze stosca. Tim tockamai tockom V odre -dena je sfera. Presjek sfere s ravninom baze stosca jekruznica. Kako tocke A , B i C pripadaju sferi i toj ravnini, presjecna jekruznica upravo obodna kruznica (odre -dena tockama A , B i C ). Zato jesfera opisana oko stosca. Odredimo joj polumjer.

Vezu izme -du zadanih i trazenih velicina odre -dujemo iz karakteristicnogpresjeka stosca. Kako karakteristicni presjek prolazi sredistem baze ivrhom V , on sadrzi i srediste opisane sfere. Zato je kruznica opisanakarakteristicnom trokutu presjek sfere ravninom koja prolazi njezinim sre-distem, pa je njezin polumjer R . Za uspravni stozac polumjer nalazimo izkarakteristicnog trokuta na slici:

R2 = (v − R)2 + r2 =⇒ R =r2 + v2

2v,

pri cemu je s2 = r2 + v2 , pa iz zadanog polumjera i jedne od tih velicinamozemo lako odrediti drugu.

183


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Povrsina sfere

Sfera je zakrivljena ploha, kao sto su i plast valjka ili plast stosca. Me -dutim,me -du tim plohama postoji bitna razlika. Pokazali smo da se plast valjka i plaststosca nakon rezanja po jednoj izvodnici, mogu razviti u ravnini. To sa sferomnije slucaj. Rezemo li sferu na bilo koji nacin, uzimajuci bilo koji njezin dio, onuvijek ostaje zakrivljen i ne moze se razviti u ravninu!

Taj se problem najjasnije vidi u predocavanju globusa ravninskom kartom; to nijemoguce uciniti, a da se ne deformira odnos pojedinih dijelova globusa. Zemljovidna karti nikad ne daje tocne odnose udaljenosti poput onoga na globusu.

Kutak plus

SFERNI TROKUT

Problem zakrivljenosti sfere mora se osjetiti i pri racunanju povrsine sfere. U nekom trenutku morat cemo zakrivljenuplohu zamijeniti ravninskom, kojoj znamo odrediti povrsinu.

Tri tocke A , B i C na sferi mozemo spojiti dijelovima kruznih lukova kojima je srediste u sredistu sfere. Takav setrokut naziva sferni trokut.

Svi trokuti nacrtani na povrsini Zemljine kugle zapravo su sferni trokuti. Ako su njihove stranice relativno velike, onise ne mogu zamijeniti ravninskim trokutima. To je bio razlog zbog cega se trigonometrija sfernog trokuta, koja je bilanuzna za orijentaciju pri putovanjima oceanima, razvila prije trigonometrije ravninskih trokuta.

Prikazan je sferni trokut (lijevo). Njegove su stranice dijelovi kruznih lukova sa sredistem u sredistu sfere.Povrsina sfernog trokuta veca je od povrsine trokuta sto ga odre -duju tetive, ali se razlika smanjujesmanjivanjem stranica (sferni trokut postaje ravan). Sfera se moze podijeliti sfernim trokutima.

Odgovarajuce piramide ispunjavaju cijelu kuglu.

Zamijenimo lukove tetivama. Time sferni trokut zamjenjujemo ravninskim. Povrsina ravninskog trokuta manja je odpovrsine sfernog. Uzmemo li dovoljno malene njihove stranice, povrsine su im prakticno jednake (poput povrsinemalog trokuta nacrtanog na Zemlji).

Zamislimo da smo sferu podijelili na velik broj trokutastih podrucja P1 , P2 . . .Pn . Svako takvo podrucje odre -dujepripadnu piramidu cija je baza ravninski trokut, a srediste u sredistu kugle. Povrsinu baze piramide mozemo zamijenitipovrsinom dijela sfere. Kako su stranice baze vrlo male, visina piramide moze se zamijeniti polumjerom kruga. Zbrojsvih njihovih obujama jednak je obujmu kugle, a zbroj povrsina njihovih baza daje oplosje O kugle. Zato vrijedi:

V =43R3 =

P1R3

+P2R3

+ . . . +PnR3

=R3

(P1 + P2 + . . . + Pn) =R · O

3.

Odavde slijedi formula za oplosje kugle: O = 4R2.

184

SFERA 7.7

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Oplosje kugle (povrsina sfere)

Oplosje kugle polumjera R iznosi:

O = 4R2. (1)

Primjer 2. Odredimo povrsinu Pk kugline kapice. Kapica je dio sfere koji pripadakuglinu odsjecku.

kuglina kapica (lijevo) i kuglin pojas (desno)

Mozemo ga odrediti na potpuno isti nacin kao i povrsinu citave sfere akokrenemo od obujma Vi kuglinog isjecka. Istom analizom kao i pri racuna-nju povrsine sfere, obujam isjecka dobivamo zbrajanjem obujama prizmicije baze pokrivaju kapicu. Dobivamo jednakost:

Vi =23R2v =

13R · Pk.

Odavde je:Pk = 2Rv.

U ovoj se formuli pojavljuju samo polumjer kugle i visina kapice. Razlika po-vrsina dviju kapica, s visinama v1 i v2 , daje povrsinu kuglinog pojasa, dijelasfere koji je odre -den kuglinim slojem. Njegova je povrsina:

Ps = 2Rv1 − 2Rv2 = 2Rv,

gdje smo s v oznacili visinu kuglinog pojasa.

Povrsina kugline kapice i pojasa

Neka je R polumjer kugle. Povrsina kugline kapice i kuglinog pojasaiznosi

P = 2Rv, (2)

gdje je v visina odgovarajuceg kuglinog odsjecka, odnosno pojasa.

Primijetimo da za v = 2R kapica i pojas prelaze u citavu sferu.

185


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 3. Ako zamislimo da je Zemlja idealna kugla polumjera R = 6400 km ,kolika se povrsina vidi s visine od h = 2000 m?

A

B

RR

S

D

vh

�

Povrsina podrucja koje je vidljivo iz toc-ke A je kuglina kapica. Nacrtajmo karak-teristicni presjek: presjek sfere ravninomkoja prolazi tockom A i sredistem S . Ne-ka je B diraliste tangente povucene iz A .Trokut ABS pravokutan je i slican je tro-kutu BDS . Zato je:

|DS|R

=R

R + h=⇒ |DS| =

R2

R + h.

Zato je visina odsjecka:

v = R − |DS| = R − R2

R + h=

RhR + h

,

a njegova povrsina:

P = 2Rv =2R2hR + h

.

U konkretnom primjeru ona iznosi P = 80 400 km2 . S vrha Velebita,visokog 1758 m , vidjela bi se povrsina od preko 70 000 km2 , sto je viseod povrsine Hrvatske.

Primjer 4. Na ravnini leze tri jednake kugle i me -dusobno se diraju. Cetvrta, manjakugla dira sve tri i tako -der lezi u ravnini. Koliki je omjer obujama vece imanje kugle?

Sredista S1 , S2 i S3 triju vecih kugli i srediste S cetvrte, manje kuglevrhovi su pravilne trostrane piramide. Oznacimo s R duljinu polumjeravece, a s r manje kugle. Osnovni bridovi te piramide, S1S2 , S2S3 i S1S3 ,su onda duljina 2R , duljine bocnih bridova, SS1 , SS2 i SS3 jednake suR + r , a duljina visine piramide SS′ iznosi R − r .

Iz trokuta S1SS′ , primjenom Pitagorina poucka, slijedi:

(R + r)2 = (R − r)2 +(2

3· 2R

√3

2

)2.

Iz ove jednakosti slijedi

R = 3r.

Dakle je polumjer vece kugletri puta veci od polumjera ma-le. Onda je obujam vece kugle27 puta veci od obujma manje.Rjesenje ovog zadatka pomocice ti u rjesavanju zadatka “Ka-mene kugle” na str. 182.

186

SFERA 7.7

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatci 7.7.1. Unutar kugle zadana je tocka T . Koja je tocka

na sferi najbliza, a koja najudaljenija od te tocke?

2. Pokazite da kroz tri tocke na sferi prolazi tocnojedna kruznica koja lezi na njoj.

3. Dokazite: ako se osnovici piramide moze opisatikruznica, onda se piramidi moze opisati sfera.Vrijedi li ista tvrdnja i za svaku prizmu?

4. Pokazite da postoji tocno jedna sfera koja prolazikroz zadani krug i zadanu tocku izvan ravnine togkruga.

5. Stranice trokuta dugacke su 13 , 14 i 15 cm i di-raju sferu polumjera 5 cm . Kolika je udaljenostsredista sfere od ravnine trokuta?

6. Na sferi su dane tri tocke cije su najkrace me -du-sobne udaljenosti 6 cm , 8 cm i 10 cm . Polum-jer sfere dugacak je 13 cm . Kolika je udaljenostsredista sfere od ravnine odre -dene trima danimtockama?

7. Sredista dviju sfera udaljena su 25 cm . Odre-di duljinu krivulje njihovog presjeka ako su impolumjeri dugacki 15 cm i 20 cm .

8. Duljine polumjera dviju sfera su 17 cm i 25 cm ,a duljina krivulje njihovog presjeka iznosi 3 cm .Koliko su udaljena sredista tih dviju sfera?

9. Povrsina kugle je 225 cm2 . Koliki je obujamkugle?

10. Hipotenuza i katete pravokutnog trokuta promje-ri su triju sfera. Kakva je veza me -du povrsinamatih sfera?

11. Sfera je presjecena ravninom, a povrsine dobive-nih dijelova su 16 cm2 i 48 cm2 . Koliki je opsegpresjeka?

12. Sfera je presjecena valjkastom cijevi cija os pro-lazi sredistem sfere, a polumjer je polovica njezi-na polumjera. Koliki je dio povrsine sfere ostaounutar te cijevi?

13. Odredi duljinu presjecne krivulje jednakostranic-nog stosca i polusfere koja je konstruirana nadosnovkom stosca s jednakim polumjerom r kaoi ta osnovka.

14. Visina jednakostranicnog stosca je promjer sfere.Ako je duljina polumjera osnovke stosca 16 cm ,odredite duljinu presjecne krivulje stosca i sfere.

15. Na kuglu polumjera 26 cm nataknut je plast stos-ca s polumjerom osnovke 10 cm . Koliki je diopovrsine kugle natkriven tim plastom?

16. Povrsina sfere opisane jednakostranicnom stoscuiznosi 12 cm2 . Koliki je obujam stosca?

17. Koliki su polumjeri sfere opisane i upisane pra-vilnom tetraedru ako je duljina brida tetraedra a ?

18. Koliki su polumjeri sfere opisane i upisane pra-vilnom oktaedru ako je duljina brida oktaedra a ?

19. Kolika je duljina polumjera sfere koja dira svebridove kocke ako je duljina brida kocke a ?

20. Koliki je polumjer sfere koja dira sve bridove pra-vilnog tetraedra ako je duljina brida tetraedra a ?

21. Oko sfere polumjera 6 cm opisana je piramidakojoj je oplosje 1.2 dm2 . Koliki je obujam tepiramide?

22. Na ravnini leze i me -dusobno se diraju tri sferepolumjera 1 cm , 1 cm i 2 cm . Koliki je kut iz-me -du ravnine i ravnine sto prolazi sredistimatih triju sfera?

23. Cetiri kugle polumjera po 6 cm smjestene su ta-ko da svaka dira sve tri ostale. Koliki je polumjersfere koja dira sve cetiri kugle?

187


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

7.8. Rotacijska tijela

U ovom smo poglavlju usvojili dva nacina nastajanja geometrijskih tijela.

Prvu skupinu cine prizme i valjak koje mozemo dobiti translatiranjem izvodnicepreko tocaka ravninskog lika — osnovke tijela.

U primjerima koje smo obradili osnovka je za prizme bila mnogokut, a za valjakkrug. Jednako tako ona moze biti po volji odabran lik u ravnini. Dobiveno cemotijelo nazivati valjkastim (ili cilindricnim) tijelom.

Prikazano je valjkasto tije-lo (lijevo). Njegov je obu-jam jednak umnosku po-vrsine baze i visine tije-la. Obujam stozastog tije-la (desno) jednak je treciniumnoska povrsine baze ivisine tijela.

Drugu skupinu cine piramide i stozac, kod kojih se svaka tocka osnovke spaja sjednom tockom prostora: vrhom. Piramide za osnovke imaju mnogokute, a zastosce je osnovka krug. Ali, jasno je da osnovka moze biti i bilo koji drugi lik.

Kuglu ne mozemo dobiti niti na jedanod ovih dvaju opisanih nacina. Me -du-tim, postoji jos jedan vrlo prirodan na-cin nastajanja geometrijskih tijela kojesusrecemo u svakodnevnom zivoru. Tosu tijela koja su nastala vrtnjom nekogravninskog lika oko istaknute osi. Na-zivamo ih rotacijska tijela.

Mnogobrojni su primjeri rotacijskih tijela. Tehnika izrade predmeta od razlicitihmaterijala (metala, stakla, gline, drveta) koji se obra -duju vrtnjom na razlicitimtipovima alatnih strojeva poznata je od davnina.

188

ROTACIJSKA TIJELA 7.8

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Navedimo neke primjere s tijelima koje smo dosad susreli.

Valjak je rotacijsko tijelo nastalo vrt-njom pravokutnika oko jedne njegovestranice. Ako se pravokutnik vrti okoosi koja je paralelna njegovoj stranici, ane sijece ga, dobivamo suplji valjak.

Stozac je rotacijsko tijelo nastalo vrtnjom pravokutnog trokuta oko jedne njegovekatete. Vrtnjom bilo kojeg trokuta oko neke njegove stranice dobivamo tijelokoje je stozac, ili unija dvaju stozaca, ili jedan stozac iz kojeg je izva -den drugi.

Stozac je rotacijsko tijelo. Vrtnjom tupokutnog trokuta oko neke od kracih stranica nastajetijelo s obujmom koji je razlika obujama dvaju stozaca.

I kugla je rotacijsko tijelo. Vrtimo li polukrug oko njegovog promjera, dobitcemo kuglu.

Zadatak 1. Svaki od iscrtanih likova pri vrtnji oko danog pravca opise neko tijelo. Povezipojedini lik s tijelom koje nastaje njegovom vrtnjom.

189


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Primjer 1. Trokut sa stranicom a i visinom v na tu stranicu rotira oko stranice a .Koliki je obujam dobivenog tijela?

Visina spustena na stranicu a dijeli tu stranicu na dijelove a1 i a2 . Vrijedia = a1 + a2 . (Ako je kut tup, onda je a = a2 − a1 . Nacrtaj sliku!).Rotacijsko tijelo je unija dvaju stozaca, kojima je v polumjer baze, a a1 ,odnosno a2 visine. Zato je obujam rotacijskog tijela jednak

V = V1 + V2 =13v2a1 +

13v2a2 =

13v2a.

Primijetimo da stranicom i visinom trokut nije jednoznacno odre -den. Me--dutim, obujam rotacijskog tijela uvijek ce biti isti. Uvjeri se da se isti izrazdobiva i ako je jedan od kutova uz stranicu a tup.

Primjer 2. Jednakokracni trokut s osnovicom a = 6 cm i visinom na osnovicuv = 4 cm rotira oko kraka. Koliki su oplosje i obujam rotacijskog ti-jela?

Oznacimo s b krak, a s h visinu na krak.Oplosje je jednako zbroju plasteva dvaju sto-zaca ciji su polumjeri osnovaka jednaki ( h ),a izvodnice su a , odnosno b :

O = h(a + b).Obujam rotacijskog tijela (prema prethod-nom primjeru) jednak je

V =13h2b.

Potrebno je izracunati h i b . Izpravokutnog je trokuta

b =

√a2

4+ v2 = 5 cm.

Iz jednakosti povrsina (ili slic-nosti) citamo

12av =

12bh =⇒ h =

avb

=245

cm.

Sada je O =264

5cm2 , V =

1925

cm3 .

190

ROTACIJSKA TIJELA 7.8

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatak 2. U svakom retku neko od tijela dobiveno je rotacijom lika nacrtanog na pocetkuretka. Koje je to tijelo?

Zadatak 3. Jednakokracan trapez ABCD kojem je krak AB okomit na osnovice, vrti se okopravca koji prolazi vrhom B siljastog kuta trapeza okomito na AB . Izracunajoplosje i obujam nastalog rotacijskog tijela ako je |AB| = 7 cm , |CD| = 5 cm ,<)ABC = 60◦ . Koliki su oplosje i obujam tijela koje nastane rotacijom istogtrapeza oko kraka AD ?



1. Dvije prizme jednakih povrsina osnovaka i jednakih visina imaju jednakaoplosja.

2. Povrsina pobocja uspravne prizme jednaka je umnosku opsega osnovkei visine prizme.

3. Sve piramide sa zajednickom osnovkom i vrhom u ravnini paralelnojravnini osnovke piramide imaju jednak obujam.

4. Tocke A , B , C1 i D vrhovi su kocke. Obujam tetraedra ABC1D jednak

je13

obujma kocke.

5. Ako je plast valjka razvijen u ravninu kvadrat, onda je promjer bazevaljka jednak visini valjka.

6. Ako je sredisnji kut u mrezi stosca 270◦ , omjer duljina njegovapromjerai izvodnice iznosi 4 : 5 .

7. Povrsina kugle cetiri je puta veca od povrsine njezinog najveceg presjekaravninom.

8. Tisucu malih metalnih kuglica pretopljeno je u jednu vecu kuglu. Omjerpolumjera jedne male i velike kugle jednak je 10.

9. Osni presjek rotacijskog tijela osnosimetrican je lik.

191


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zadatci 7.8.1. Odredite oplosje i obujam tijela koje nastane ro-

tacijom pravokutnika s duljinama stranica a i boko njegove osi simetrije.

2. Pravokutnik sa stranicama a i b vrti se oko stra-nice a pa zatim oko stranice b . Koliki je omjerobujama nastalih rotacijskih tijela?

3. Duljine stranica pravokutnika razlikuju se za 4 cm .Vrtnjom tog pravokutnika oko vece stranice nas-tane valjak oplosja 192 cm2 . Koliki je obujamtijela koje nastaje vrtnjom pravokutnika oko ma-nje stranice?

4. Pravokutnik povrsine 120 cm2 vrti se oko jednepa zatim oko druge svoje osi simetrije. Raz-lika obujama dobivenih rotacijskih tijela iznosi255 cm3 . Kolika je razlika njihovih oplosja?

5. Pravokutnik stranica 3 cm i 5 cm zakrene se okoduze stranice za 120◦ . Koliko je oplosje i kolikije obujam tijela sto ga takvim zakretanjem opisepravokutnik?

6. Izracunajte oplosje i obujam tijela koje nastanerotacijom pravokutnog trokuta s katetama dulji-na a i b oko:1) katete a ; 2) katete b ; 3) hipotenuze.

7. Izracunajte oplosje i obujam tijela koje nastanevrtnjom jednakostranicnog trokuta sa stranicomduljine a oko:1) jedne stranice; 2) osi simetrije trokuta;3) pravca koji prolazi vrhom trokuta okomito na

os simetrije sto prolazi tim vrhom.

8. Trokut sa stranicama duljine a = 15 cm , b =13 cm i c = 14 cm rotira oko stranice c . Izra-cunaj oplosje i obujam nastalog rotacijskog tijela.

9. Trokut sa stranicama duljina 6 , 25 i 29 cm ro-tira po duljini srednje stranice. Koliki su oplosjei obujam rotacijskog tijela?

10. Obujam rotacijskog tijela sto nastane rotacijom

trokuta oko stranice a je V =4Q2

3a , gdje je Q

povrsina trokuta. Dokazi tu tvrdnju.

11. Trokut ABC vrti se redom oko stranica a , b ic . Dokazi da su obujmi rotacijskih tijela kojapritom nastanu obrnuto proporcionalni duljina-ma stranica trokuta. Primijeni tvrdnju dokazanuu prethodnom zadatku.

12. Koliki su oplosje i obujam tijela sto nastane vrt-njom kvadrata stranice a oko dijagonale?

13. Romb stranice a i siljastog kuta od 30◦ vrti seoko jedne pa oko druge dijagonale. Koliki jeomjer obujama nastalih rotacijskih tijela?

14. Romb stranice a i siljastog kuta od 60◦ rotiraoko osi koja prolazi vrhom istog kuta okomitona vecu dijagonalu. Izracunaj povrsinu nastalogrotacijskog tijela.

15. Stranice trokuta dugacke su 29 , 25 i 6 cm . Ko-liki je obujam tijela sto nastane vrtnjom tog troku-ta oko pravca koji prolazi vrhom trokuta paralelnonjegovoj najduzoj stranici?

16. Pravokutni trapez ima osnovice duljina 3 cm i6 cm , a dulji je krak dugacak 5 cm . Koliko jeoplosje i koliki obujam tijela sto nastane vrtnjomtog trapeza oko:

1) vece osnovice; 2) manje osnovice?

17. Pravokutni trapez vrti se oko osi koja je okomitana osnovicu i prolazi vrhom siljastog kuta. Du-ljine osnovica trapeza su 4 cm i 7 cm , a duljinakraka 5 cm . Izracunaj oplosje i obujam nastalogrotacijskog tijela.

18. Jednakokracan trapez kojem su krakovi i manjaosnovica duljine a , a kut = 60◦ , vrti se okomanje osnovice. Izracunaj povrsinu nastalog ro-tacijskog tijela.

19. Trapez s osnovicama duljina 5 cm i 12 cm , tekracima 24 cm i 25 cm vrti se oko pravca kojiprolazi vrhom najmanjeg kuta trapeza okomitona osnovicu. Koliki je obujam tijela sto nastanepri opisanoj vrtnji?

192

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

5 RJESENJA ZADATAKA

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

5. Eksponencijalne i logaritamske funkcije

Rjesenja 5.1

2. 1) 1014 ; 2) 339 ; 3) 280 ; 4) 38 ; 5) 312 ;6) 105 .

3. 1) a12n+6 ; 2) a27n−9 ; 3) a24n+12 ;4) a9n+9 ; 5) a6n+6 .

4. 1) 2 ; 2) 6 ; 3)19

; 4)19

; 5) 343 ;

6) 36 .

5. 1)b7

8; 2) 625b ; 3)

14y7

; 4) 1024y10z5 ;

5)64cb

.

6. 1) 1.43 ·10−4 ; 2) 8.49 ·109 ; 3) 2.66 ·10−7 ;4) 5.06 · 10−8 ; 5) 6.17 · 10−3 ; 6) 1.5 · 105 .

7. 1) −5−17 ; 2) −2−17 ; 3) 3−15 ; 4) −1010 ;5) 10−9 ; 6) −1014 .

8. 4.285 · 108 .

9. t = 3 · 107 h = 1.25 · 106 dana = 3424.66godina.

10. t = 4.96 · 102 s = 8.267 minuta.

11. n = 5.88 · 1026 .

12. 1) 6 ; 2) 2 ; 3)√

3 ; 4) 3 · 3√4 ; 5) 6√3 ;6) 12√2 ; 7) 4√125 ; 8) 2 · 3√2 ;

13. 1)√

x ; 2) x3 ; 3)√

x ; 4) 3√x .

14. 1) 4√x3 ; 2)√

x ; 3) x ; 4)1x

.

15. 1) 223 ; 2) 3

34 ; 3) 2

25 ; 4) 5−

32 ;

5) 2−94 ; 6) 2−

54 ; 7) (a − 2)

23 ;

8) (a2 − b2)14 .

16. 1)1√2

; 2)1

3√

3; 3) 3√25 ; 4)

√√a − 1 ;

5) 3√

(a2 − 1)2 ; 6) 4

√ab3

.

17. 1) 9 ; 2)13

; 3) 0.5 ; 4) 0 ; 5) 2 ;

6) −2 .

18. 1) 32 ; 2) 5 ; 3) 12 ; 4)469

; 5) −27564

;

6) − 527

.

19.13

.

20.278

.

21.252

.

22. 1) m < n ; 2) m > n ; 3) m > n ;4) m = n ; 5) m < n ; 6) m < n ;7) m < n ; 8) m < n .

23. 1) 16.21 cv. 2) 17.9 cv. 3) 1513 ks.

Rjesenja 5.2

1. 1) 3.251 ; 2) 6.310 ; 3) 1.294 ; 4) 35.481 ;5) 207.683 ; 6) 8222.426 ; 7) 0.562 ;8) 0.0705 ; 9) 0.384 ; 10) 5.689 · 10−3 .

5. Brojevi su poredani od najveceg do najmanjeg:1) f 3(−1) , f 5(−1) , f 1(−1) , f 4(−1) , f 2(−1) ;2) f 2(3) , f 4(3) , f 1(3) , f 5(3) , f 3(3) .

6. 1) x < 2 ; 2) x > −2 ; 3) x � −1 ;

4) x � 1 ; 5) x > −32

; 6) x < −12

;

7) x > 2 .

7. f (−√5) , f (−1) , f (0) , f (0.5) , f (11) .

8. f (√

2) , f (0.001) , f (0) , f (−0.5) , f (−3) .

9. 1) f (25) = 80.48 ; 2) f (60) = 81.4 .

10. f 2(x) .

11. f 2(x) .

13. n(15) = 7906 ; n(20) = 25 000 ;n(25) = 79 057 .

14. 1) f (t) = 2 · 2t ; 2) 1024; 3) 11.3.

15. Iz jednadzbe 1 = 6 · a5 slijedi a =(1

6

)0.2pa

eksponencijalni zakon po kojem se mijenja obu-jam balona glasi V = 61−0.2t . U balonu ce ostati0.1 l zraka nakon 11.5 sekundi.

16. Q(t) = 250 · (0.6)t .

18. 16 700 000.

194

POLIEDRI I ROTACIJSKA TIJELA 5

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

21. 1) Vidi sliku lijevo; 2) vidi sliku desno;

3) vidi sliku lijevo; 4) vidi sliku desno.

22. Tocne su tvrdnje pod 1), 3) i 4).23. Nije tocna ni jedna tvrdnja.

Rjesenja 5.3

5. 1) 2 ; 2) −4 ; 3) 1 ; 4)14

; 5) −2 ;

6) −23

.

6. 1) x = 0 ; 2) x = 0.30103 ;3) x = 1.30103 ; 4) x = −0.30103 ;5) ne postoji; 6) 0.36508 .

7. 1) 4 ; 2) 4 ; 3) −2 ; 4) −3 ; 5) −4 ;

6)14

; 7) 6 ; 8) −2 .

8. 1) x = 9 ; 2) x =116

; 3) x = 105 ;

4) x =18

; 5) x = 3√3 ; 6) x = 1 ;

7) x = 10 ; 8) x = 32 .

9. 1) x =116

; 2) x = 4 ; 3) x =14

;

4) x = 4 ; 5) x = 2 ; 6) x = 4 ;

7) x =181

; 8) x = 2√

2 ; 9) x =73

;

10) x =32

.

10. 1) 10 ; 2)110

; 3) 3 ; 4)111

; 5) 12 ;

6) 7 ; 7) 9 ; 8)120

.

11. 1)425

; 2) 49 ; 3)127

; 4)164

; 5) 4 ;

6) 625 .

12. f (1) = 0 , f (−2) nije definirano, f (0.2) = −1 ,f (125) = 3 , f (0.04) = −2 .

13. f (2) = −12

, f (−4) nije definirano, f (0.25) =

1 , f (0) nije definirano, f (0.5) =12

.

14. f (0.1) = −1 , f (100) = 2 , f (0.001) = −3 ,f (10−5) = −5 ; f (0.01−4) = f (108) = 8 .

15. log 123� = 2 ; log 5.5� = 0 ; log 0.989� =−1 ; log 0.01� = −2 .

16. log2 77� = 6 ; log3 0.1� = −3 ; log8 11111�= 4 ; log 1

425� = −3 ; log 1

50.01� = 2 .

17. 1) 0.01 � x < 0.1 ; 2) 1 � x < 10 ;3) 1000 � x < 10 000 ; 4) 0.1 � x < 1 .

18. 1) 11 ; 2)23

; 3)425

; 4) 74 ; 5) 25 ;

6) 1 ; 7) 16 ; 8) 45 ;

19. 1) 10 ; 2) −72

; 3) 0 ; 4) 0 ; 5) −53

;

6) 0 ;

20. 1) −2 ; 2) −4 ; 3) −19

; 4) −23

;

5) −2 ; 6) −2 ;

21. 1) Vidi sliku lijevo; 2) vidi sliku desno.

22. Graf pripada funkciji f 2 .

23. Graf pripada funkciji f 2 .

24. Redom su to grafovi funkcija g , l , k , f , a .

25. l (plavo), k (crveno), f (zeleno), g (crno).

26. 3).

27. 1) 1 < x < 2 ; 2) 0 < x < 1 ;

195

5 RJESENJA ZADATAKA

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

3) x = 2 ; 4) 1 < x < 2 ;

5) Jedno je rjesenje u intervalu 〈−1, 0〉 . Jed-nadzba ima jos dva rjesenja, x = 2 i x = 4 .

Rjesenja 5.4

1. 1) 1 + 2 log a + 3 log b ; 2) 2 log a + 2 log b ;

3) −12

+12

log a ; 4)13

log a − 13

log b ;

5) log a + 3 log b − 12

log c ;

6) −3 loga−3 log b ; 7) 1−2 log a−13−log b ;

8)12

log a +12

log b − 2 log(a − b) ;

9)12

log a− 12

log b− 12

; 10) 3 log(a3 − b3) .

2. 1) x = ab2 ; 2) x =a2 3√b

c; 3) x =

10a

;

4) x = 3

√ab2

; 5) x =1

100ab2c3;

6) x =1

a2 − b2.

3. 1) 1; 2) 6; 3) −2 ; 4) −2 .

4. 1) 3a + 2 ; 2)12(3a + 2) ; 3) −c − 1 .

6. 1)log2 xlog x2

=log2 x2 log x

=log x

2. Primijeti kako ovaj

izraz ima smisla za x > 0 , x �= 1 ; 2) 1−log x ;

3)12

.

7. log 4 + log12− log

√2 = 2 log 2 − log 2 −

12

log 2 =12

log 2 = 0.301 : 2 = 0.1505 .

8. −23· log 3 .

9. 8.

10. −2x− 3y .

11. Iz log2 log3 log4 a = 0 slijedi log3 log4 a = 1 ,zatim log4 a = 3 i konacno a = 64 . Analognoje b = 16 , c = 9 te je konacno a + b + c = 89 .

12. Jednakost a2 +b2 = 6ab ekvivalentna je dvjemajednakostima: (a+b)2 = 8ab i (a−b)2 = 4ab .

Podijelimo li ih, dobit cemo(a + b

a − b

)2= 2 , a

odatle izravno slijedi druga jednakost.

13. 1) 2.096 ; 2) 1.048 ; 3) 2.322 ; 4) 2.044 ;5) 2.671 ; 6) 3.570 ; 7) −3.385 ;8) 3.322 ; 9) −2 ; 10) −1.995 ;

14. 1) log12

127

·log3 16 = −3 log12

3·(−4)·log312

=

12 · log12

3 · log312

= 12 ; 2)32

; 3) 2 ;

4) −6 ; 5) −4 ; 6) −92

.

15. 1) 1 ; 2) −2 ; 3) −23

; 4) −2 ;

16. 1) −1 ; 2) −1 ; 3) 0 ; 4) −2 ;

17. 1) log3 6 =1

log6 3=

1

log662

=1

1 − log6 2;

2) log36 9 = log36364

= 1 − log36 4

= 1 − log36 823 = 1 − 2

3log36 8 ;

3) log12 27 = 3 log12 3 =3

log3 12=

31 + 2 log3 2

.

Dalje je log6 16 = 4 log6 2 =4

1 + log2 3.

Iz tih dviju jednakosti dobivamo

log6 16 =4(3 − log12 27)3 + log12 27

;

4) log12 64 = 3 log12 4 = 3 log12123

= 3(1 − log12 3) ;

196


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

5) log49 28 =12

log7 28 =12(log7 4 + 1)

=12(1 + 2 log7 2) .

18. log6 9 = log6364

= 2 − log6 4 = 2 − 2 log6 2 =2 − 2m .

19. Najprije zapisimo: log 64 = 6 log 2 = p , pa

je log 2 =p6

. Dalje imamo: log 3√25 =13

log 25 =13

log1004

=13(2−2 log 2) =

13(2−

2 · p6) . Konacno je log 3√25 =

6 − p9

.

20. log30 8 =log 8log 30

=3 log 2

1 + log 3=

3 log 105

1 + log 3

=3 − 3 log 51 + log 3

=3 − 3a1 + b

.

21. Graf pripada funkciji f 3 .22. Graf pripada funkciji f 2 .

Rjesenja 5.5

1. 1) x = −2 ; 2) x = −12

; 3) x = 1 ;

4) x = −2 ; 5) x = −2 ; 6) x = 2 ;7) x = −2 ; 8) x = −1 ; 9) x = −2 ;

10) x =19

; 11) x =35

; 12) x = 4 .

2. 1) x = −75

; 2) x = −32

; 3) x = −32

;

4) x =94

; 5) x = 3 ; 6) x = − 219

;

7) Jednadzba nema rjesenja; 8) x = −1 .

3. 1) x = 2.0414 ; 2) x = 1.1505 ; 3) x = 4.3219 ;4) x = 2.1534 ; 5) x = 1.1246 ; 6) x = 0.6824 .

Sudoku – rjesenje zadatka sa stranice 43.

4. 1) x = 6 ; 2) x = 2 ; 3) x = 3 ; 4) x = 1 ;5) x = −23 ; 6) x = 3 .

5. 1) x = 2 ; 2) x = 1 ; 3) x = 6 ; 4) x =32

;

5) x = 1 ; 6) x = 4 .6. 1) x = 3 ; 2) x = 3 ; 3) x = 1 ; 4) x = 3 ;

5) x = 2 ; 6) x = 3 ; 7) x = 3 ; 8) x =12

.

7. 1) x = 0.595 ; 2) x = 1.297 ; 3) x = −9.83 ;4) x = 1.118 ; 5) x = −0.141 ; 6) x = 0.02798 .

8. 1) x1 = 1.585, x2 = 2.322 ;2) x = log2 3 = 1.585 ;3) x = log3 4 = 1.262 ;4) x1 = 3, x2 = 3.361 ;5) x1 = −1 , x2 = 1.113 ;6) x = 0.759 ; 7) x = 5.244 · 10−3 ;8) x = 0.613 , x2 = 1 .

9. 1) x1 = 0 , x2 = 1 ; 2) x = 3 ; 3) x = 2 ;4) x1 = −0.585 , x2 = 1 ; 5) x1 = 0 , x2 = 1 ;6) x = 1 .

10. 1) x1 = −1 , x2 = 3 ; 2) x1 = 1 , x2 = 3 ;3) x1 = −1 , x2 = 4 ; 4) x1 = −1 , x2 = 2 ;

5) x1 = −2 , x2 = 1 ; 6) x1 =14

, x2 = 1 ;

11. 1) x = 0 ; 2) x1 = 0 , x2 = 1 ; 3) x = −1 ;

4) x = 1 ; 5) x =12

;

6) x1 = 0 , x2 =log 9

log 2 − log 5.

12. 1) Jednadzba nema rjesenja;2) x1 = −4 , x2 = 6 ; 3) x1 = −3 , x2 = 1 ;4) Rjesenje jednadzbe je svaki x , x ∈ 〈−∞, 1] ;5) x = 2 ; 6) x = 2 .

13. 1) x = 3 ; 2) x = 3 ; 3) x = 10 ;

4) x = 1 ; 5) x = 100 ; 6) x =32

.

14. 1) Jednadzba nema rjesenja; 2) x = 5 ;

3) x =52

; 4) x = 3 ; 5) x = 3 ; 6) x = 2 ;

15. 1) x =1√10

; 2) x = 2 ; 3) x = 1 ;

4) x = 625 .16. 1) x1 = 100 , x2 = 0.01 ; 2) x = 100 ;

3) x1 = 100 , x2 = 1000 ;

4) x1 = 10 , x2 =√

10 .17. 1) x1 = 0.001 , x2 = 1 ;

2) x1 =1√10

, x2 = 100 ;

197

5 RJESENJA ZADATAKA

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

3) x1 = 0.01 , x2 = 10 000 ;4) x1 = 1.01 , x2 = 11 .

18. 1) x = 16 ; 2) x = −83

; 3) x = − 910

;

4) x = 2 ; 5) x = −1 ; 6) x = 1 .

19. 1) x = 64 ; 2) x =127

; 3) x = 16 ;

4) x = 16 ; 5) Rjesenje je svaki x ∈ R+ ;6) x = 3√2 .

20. 1) x = 9 ; 2) x =14

; 3) x =125

;

4) x1 = 9 , x2 =19

.

21. 1) x = 2 ; 2) x = 3 ; 3) x = 1 ; 4) x = 2 .22. 1) x1 = 0.01 , x2 = 10 ;

2) x1 =√

10 , x2 = 100 ;

3) x1 =12

, x2 = 4 ;

4) x1 =19

, x2 = 27 .

23. 1) x = 1 ; 2) x1 = 1 , x2 = −1 3) x = −1 ;4) x = 2 ;

24. 1) x = − ln 199 ; 2) x = ln 2 ili x = −2 ln 2 .

25. x =m − 1

m.

26. x =12

lnc − y

c.

27. x =12

ln1 + y1 − y

.

28. k =lnC − ln C0

x.

29. 1) 1; 2) jednadzba nema rjesenja; 3) 2;4) 2.

30. 1) (e−3 − 1, 0) = (0.95, 0) , (0, 3) ;

2)(ln

e2, 0)=(0.307, 0) ,

(0,

2e−1)=(0,−0.264) ;

3) (±√2, 0) , graf ne sijece os y ;

4) (0, 0) , (2, 0) ; 5) (0, 0) ;6) (0,−2) , (−0.99, 0) , (10.01, 0) .

31. 1) x = 2 , y = 7 ; 2) x = 1 , y = 2 ;3) x = 5 , y = 1 ; 4) x = 2 , y = 6 ;5) x = 3 , y = 1 ; 6) x = 6 , y = 2 ;7) x = 27 , y = 3 ; 8) x = 5 , y = −3 ;9) x = 6 , y = 3 ; 10) x = 100 , y = 10 .

32. 1) x = 1 , y = 2 , z = 4 ;

2) x = 10 , y = 1 , z =110

;

3) x =23

, y =278

, z =323

;

4) x = 16 , y = 3 , z = 5 .

Rjesenja 5.6

1. 1) x <32

; 2) x < 1 ; 3) x > −12

;

4) x > 4 ; 5) 0 < x < 1 ; 6) 0 < x < 2 ;2. 1) x < 2 ili x > −1 ; 2) −3 � x � −2 ;

3) x <12

; 4) x < −1 .

3. 1) −1 < x < 3 ; 2) −1 < x < 2 ;

3) −2 < x < 0 ili x >12

;

4) 〈 1 −√5, 0〉 ∪ 〈 2, 1 +

√5〉 ;

5) x ∈ 〈−1, 12 〉 ∪ 〈 1, +∞〉 .

4. 1) 〈−∞, 0] ∪ [log3 2, 2〉 ; 2) 〈−3, 1] ;3) 〈−1, 0] .

5. 1) x � −1 , x �= 0 ;2) x < −2 ili −1 < x < 1 .

6. 1) x < 0 ; 2) x > 1 ; 3) x < 0 ili x > 2 .7. 1) 0 < x < 0.001 i 1 < x < 100 ; 2) x < 10 ;

3) 0 < x < 1 i x > 10 ;

4) 0 < x < 0.1 i 1 < x <√

10 i x > 10 .8. 1) 0.1 � x � 100 ; 2) 0.001 � x � 10 ;

3) 0 < x � 0.001 ili x � 10 ;

4)

√10

10� x � 100 .

9. 1) x ∈ 〈−√2,−1〉 ∪ 〈 1,

√2〉 ;

2) x ∈ [−√2,−1〉 ∪ 〈 1,

√2] .

10. 1) Kako je x2 + 1 > 1 (x �= 0) , to je log2(x2 +

1) > 0 . Stoga mora biti i log12(x2 + x− 1) � 0 .

Posljednja je nejednakost ekvivalentna sa susta-vom nejednadzbi 0 < x2 + x − 1 � 1 . Ko-

nacno: x ∈[−2,

−1 −√5

2

⟩∪⟨−1 +

√5

2, 1].

2) x ∈⟨−1

8,38

]; 3) x < −2 ili x > 2 .

11. 1) x ∈⟨1

3,23

⟩; 2) x ∈ 〈 2, +∞〉 ;

3) x ∈[−3

2,12

⟩;

4) x ∈⟨−∞,−1

4

⟩∪ 〈 2, +∞〉 ;

5) x ∈⟨−1,−1

3

⟩.

198


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Rjesenja 5.7

1. Iz Z = Z0·en , n =pt

100nalazimo t =

3− log 7600.02 · log e

= 13.72 godine. Zagreb bi prema tome imao1 000 000 stanovnika 2015. godine.

2. Kolicina drva nakon prve godine iznosi: G1 =G0

(1 − p

100

)− P , nakon druge G2 = G0

(1 +

p100

)2− P

(1 +

p100

)− P , nakon trece G3 =

G0

(1+

p100

)3−P(1+

p100

)2−P(1+

p100

)−P

itd.Nakon deset godina kolicina drva u sumi je:

G10 = G0

(1 +

p100

)10− P

[(1 +

p100

)9

+(1 +

p100

)8+ . . . +

(1 +

p100

)+ 1

].

Iz ove jednakosti njezinim prosirivanjem s(1 +

p100

)− 1 imamo

G10· p100

= G0

(1+

p100

)10· p100

− P

[(1+

p100

)10−1

].

Uvrstimo li G0 = 45 000 m3 , p = 2 % ,P = 1500 m3 , dobit cemo G10 = 38 430 m3.

3. T 12

= 1.59 · 103 godina.

4. N = 265 900 .

5. Neka je n0 broj bakterija na pocetku promat-ranja. Tada ce broj bakterija nakon t sati bitint = n0 · ekt .Odredimo najprije konstantu k . Iz e4k = 3 do-bijemo k = 0.27465 . Dva dana su 48 sati te jen48 = 1000 · e48k ≈ 531 441 000 .Zakljucujemo da ce nakon dva dana na kulturibiti 5.3 · 108 bakterija.

6. 162 000.

7. p80 = 990 hPa.

8. Najprije je h =log p0 − log ph

k · log e. Nakon uvrsta-

vanja podataka dobivamo h = 40 m . Stoga jenadmorska visina Grica 160 m .

9. Smanjivanje kolicine aspirina u krvi jest ekspo-

nencijalna funkcija f (t) = m0 ·(

12

) t2

, gdje je

m0 masa aspirina u krvi na pocetku, a f (t) koli-cina lijeka nakon vremena t .

I sada racunamo: f (5) = 300 ·(

12

) 52

miligra-

ma. Nakon 5 sati u krvi bolesnika bit ce oko 53mg aspirina.

10. Oznacimo s x0 = 0.2 . Nakon jednog sata u

krvi vozaca bit ce x1 = x0 − 14x0 =

34x0 al-

kohola. Nakon drugog sata u njegovoj ce kr-

vi biti x2 = x1 − 14x1 =

34x1 =

916

x0 . I

dalje, nakon treceg sata u krvi vozaca ce biti

x3 = x2 − 14x2 =

34x2 =

2764

mg/dL alkohola.

Nastavljamo na jednak nacin i zakljucujemo: na-

kon t sati u krvi vozaca bit ce f (t) = x0 ·(

34

)t

miligrama alkohola u jednom decilitru krvi.

I sada postavljamo jednakost: 0.2 ·(

34

)t

=

0.08 . Slijedi

(34

)t

= 0.4 . Primjenom svojsta-

va logaritamske funkcije odatle je t · log 0.75 =

log 0.4 , odnosno t =log 0.75log 0.4

≈ 3.185 sati.

U krvi vozaca kolicina alkohola ce se smanjiti od0.2 mg/dL na 0.08 mg/dL za 3 sata i 11 minuta.

11. Najprije izracunamo k iz jednadzbe 75 = 6 +(90 − 6) · e−4k . Dobije se k = 0.05 . Zatim jeT = 6 + (75 − 6)e−0.05 · 12 = 43.87 ◦C .

12. Iz jednadzbe 5 = 30+(0− 30) · e−0.0037t dobijese t = 50 minuta.

14. Iz sustava jednadzbi 20 = S0(1 − e−k) , 30 =S0(1 − e−2k) dobivamo 1 + e−k = 1.5 , odnos-no e−k = 0.5 . Odatle je k = 0.69 min−1 =

0.01155 s−1 . Potom je S0 =20

1 − e−k=

200.498

=

40 g .15. 1) r(1) ≈ 26; r(8) ≈ 91 .

2) Iz 95 = 100 ·(1−e−0.3t) slijedi e−0.3t = 0.05

pa je −0.3t = ln 0.05 , odnosno t =0.05−0.3

≈9.98 .

199

6 RJESENJA ZADATAKA

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

6. Geometrija prostora

Rjesenja 6.1

4. 1) Da; 2) da; 3) ne.

6. Tri ravnine odre -duju dijagonalne presjeke kvad-ra.

7. 1) 2)

3)

9. Pravci mogu biti paralelni ili mimoilazni.

11. Ne. Promotri na modelu kocke.

12. Ravnini BCD1 pripadaju pravci A1C i A1B .

13. Pravci A1B1 i CD paralelni su s ravninom, pra-vac BD1 lezi u ravnini, a pravac A1C probadaravninu, ima s njom jednu zajednicku tocku.

14. Pravac A1B1 probada ravninu, ima s njom jednuzajednicku tocku, pravci A1C1 i BC1 paralelnisu s ravninom.

15. 1) Ravnine se sijeku; 2) ravnine su paralelne.

Rjesenja 6.2

8. Trokut i cetverokut.

9. Uputa: ravninu mozemo odabrati po volji, ali ta-ko da bude paralelna s dvama mimoilaznim bri-dovima tetraedra (i da sijece tetraedar!).

10. Trokut, cetverokut, peterokut i sesterokut.

11. Pravcem PQ polozimo ravninu okomito na rav-ninu ABC . Presjecnica ovih dviju ravnina jepravac AQ1 . Pravac PQ probada ravninu ABCu tocki R .

12. Vidi sliku.

A

DC

A1

PB1

D1

R

13. Vidi sliku. Probodiste pravca PQ i ravnine ABCje tocka R .

A

B

R

P

QC

D

14. Vidi sliku.

200


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

15. Ravnina polozena okomicom iz tocke D na rav-ninu ABC i ravninu ABM sijeku se u pravcuMN . Sjeciste okomice i pravca MN jest toc-ka S , probodiste okomice iz tocke D na ravninuABC .

16. Pravcem A1C polozimo ravninu ACC1 i ona rav-ninu BB1D sijece u pravcu S1S2 , gdje su S1 i S2sjecista dijagonala donje i gornje osnovice kocke.Pravci S1S2 i A1C sijeku se u trazenoj tocki P .

17. Pravcem B1D polozimo ravninu DBB1 . Ta rav-nina i ravnina A1BC1 sijeku se u pravcu BS , gd-je je S sjeciste dijagonala kvadrata A1B1C1D1 .Sjeciste P pravaca B1D i BS probodiste je prav-ca B1D s ravninom A1BC1 .

18. Ravnine PQD1 i BB1D sijeku se u pravcu D1R ,a sjeciste S pravaca D1R i B1D probodiste jepravca B1D i ravnine PQD1 .

19. Ravninu paralelnu sa zadanom ravninom.

21. Vidi slike. Povrsina presjeka u oba slucaja jea2√

2 .

22. Vidi slike. 1) P =38a2 ; 2) P =

9a2

8.

24. Vidi slike.

28. Presjecni lik je jednakokracni trapez s osnovica-

ma duljine a√

2 i12a√

2 te krakom b duljine

a√

52

. P =9a2

8.

29. Presjek tetraedra ravninom BMN je jednakokra-

can trokut s osnovicom duljinea2

i kracima du-

ljinaa√

32

(slika). Povrsina presjeka jea2√

1116

.

201

6 RJESENJA ZADATAKA

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK30. P =

14ab ako je presjek pravokutnik, te P =

a16

√4b2 − a2 ako je presjek trokut.

31. P = 132√

2 cm2 .

32. P = 45 cm2 .

33. Vidi slike. 1) P = 24√

2 cm2 ;

2) P = 18 cm2 ; 3) P = 12√

2 cm2 .

34. Ravnine su me -dusobno okomite.

A BP

B1

Q

A1

35. Ravnine su me -dusobno okomite. One se sijeku upravcu SD1 .

A B

C

S

B1

D1

36. Ravnine su me -dusobno okomite. Njihov je pres-jek visina piramide.

Rjesenja 6.3

1. Samo u slucaju kada je barem jedan pravac para-lelan s ravninom.

2. Paralelogram.

3. Tezisnice se projiciraju u tezisnice jer se projici-ranjem cuva omjer duzina, pa se poloviste stra-nice projicira u poloviste projekcije te stranice.Projekcije visina ne moraju biti visine.

4. Paralelne su.

5. Udaljenost polovista od ravnine je 5 cm ako sutocke A i B s iste, a 3 cm ako su s razlicite straneravnine .

6. d = 6 cm (ako su A i B s raznih strana ravnine)ili d = 4

√6 (ako su A i B s iste strane ravnine).

7. 1 cm .

8. a = 96 cm , d =√

4804 ≈ 69.3 cm .

9. Oznacimo s d trazenu udaljenost (vidi sliku).Iz sustava jednadzbi 512 − d2 = |A′B|2 , 532 −d2 = |C′D|2 , dijeljenjem jednadzbi dobivamo:512 − d2

532 − d2=

3649

, a odatle d = 45 cm .

202


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK10. |BT| = |FT| = 5 cm , |CT| = |ET| =

√57 cm ,

|DT| =√

73 cm .

11. 1) a ; 2) Tocka D1 pripada ravnini ABC1 ;

3)a√

33

.

12. 1) a√

2 ; 2)a√

62

; 3)a√

32

; 4) a

√23

.

13. 1)a√

62

; 2)a√

32

; 3) a

√211

.

14. Udaljenost tocke S od ravnine BQD jednaka jeudaljenosti tocaka S i P gdje je P probodisteokomice polozene iz S na tu ravninu.

Tu cemo udaljenost u pravoj velicini vidjeti udijagonalnom presjeku gdje je ona visina jedna-kokracnog trokuta OQS , te je mozemo odreditikoristeci se izrazima za izracunavanje povrsine.

Dobit cemo |SP| =a3

√6 .

15. Promotri dijagonalni presjek kocke ravninom BB1D1 .

Trazena je udaljenost |DP| =23a√

3 , |B1P| =13a√

3 .

16. 1.2 cm .

17. P�ABC = 84 cm2 , zatim je |BC|·|AN| = 2·84 teje |AN| = 12 cm . Iz pravokutnog trokuta ANDnalazimo d = 13 cm .

18. Iz pravokutnog trokuta AC′C nalazimo |AC| =4√

5 , a iz trokuta BDD′ je |BD| = 2√

5 . Du-ljina stranice romba ABCD je 5 cm. Stogaje |A′B′| = |AB| = |CD| = |C′D′| = 5 cm ,|B′C′| = |A′D′| = 3 cm .

19. Iz |AC|2−|CA′|2 = 100 nalazimo |AC|2 = 109 ,a iz |BC|2 − |CB′| = 100 dobijemo |BC|2 =125 . No hipotenuza je paralelna s ravninom te jestoga |A′B′| = |AB| =

√234 = 3

√26 cm .

20. Oznacimo |MM′| = d . Zbog slicnosti tro-kuta ABM i CDM te trokuta AM′M i AC′Cimamo: 7 : 3 = |AM| : |MC| = |MM′| :(|CC′| − |MM′|) , odnosno 7 : 3 = d : (5 − d) .Odatle je d = 3.5 cm .

203

6 RJESENJA ZADATAKA

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Rjesenja 6.4

6. d = 12.5 cm .

7. v = 3√

15 cm .

8. Likovi u kojima ravnine sijeku piramidu me -du-

sobno su slicni, koeficijenti slicnosti su14

,12

i

34

. Stoga su povrsine presjeka 25 cm2 , 100 cm2

i 225 cm2 .

9. d = 10 cm .

10. B1 = 81 cm2 .

Rjesenja 6.5

1. 1) 43◦50′21′′ ; 2) 39◦48′20′′ .

2. 1) 27◦30′2′′ ; 2) 51◦20′25′′ .

3. 3 cm i 9 cm; 36◦52′12′′ .

4. 8.4 cm i 12.6 cm; 46◦23′50′′ .

5. d = 5√

2 cm .

6. d = 10√

3 cm .

7. 35◦15′52′′ .

8. 54◦44′8′′ .

9. 1) P =14a2√

6 ; 2) 54◦44′8′′ ; 3) 65◦54′19′′ .

10. 1) P =a2

√6

4; 2) 90◦ ; 3) 65◦54′19′′ .

11. 124◦13′44′′ .

12. 97◦10′51′′ .

13. Da, dosezu.

14. 60◦ .

15. 1 = 45◦ , 2 = 40◦45′ , 3 = 15◦47′ .

16. Promotrimo tri dijagonale povucene iz vrha A .Kako je |AC| = |B1D1| , |B1C| = |AD1| , |AB1| =|CD1| , zato su trokuti ACB1 , ACD1 i AB1D1me -dusobno sukladni.Stoga je zbroj kutova sto ih me -dusobno zatva-raju dijagonale kvadra povucene iz jednog vrhajednak zbroju kutova u trokutu tj. 180◦ .

A

C

B1

D1

17. 30◦ ; 26◦34′ .

18. 4√

3 cm .

19. b = 10√

2 , v = 10 cm .

20. Neka je tocka S ortogonalna projekcija vrha Vna ravninu osnovke. Uocimo da su trokuti ASV ,BSV i CSV me -dusobno sukladni: pravokutni su,VS im je zajednicka stranica, a |AV| = |BV| =|CV| . Stoga je |AS| = |BS| = |CS| , te je tockaS srediste kruznice opisane osnovci. Iz jedna-

kosti√

s(s − a)(s − b)(s − c) =abc4R

, nalazi-

mo R = 22.5 cm , tg =vR

i = 54◦53′ .

21. 1)2√

33

a2 ; 2) a2√

2 ; 3)2√

33

a2 .

22. 1) P = 100√

3 cm2 ; 2) P = 300 cm2 .

23. 1) 45◦ ; 2) 35◦16′ ; 3) 41◦49′ .

24. 1) 45◦ ; 2) 54◦44′ ; 3) 54◦44′ .

25. Prikloni kut dviju ravnina je kut <)DSD1 .

Kako je |DS| =12a√

2 , |DD1| = a , stoga je

tg =√

2 , odnosno = 54◦44′ .

204


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

26. 1) 54◦44′ ; 2) 28◦8′ ; 3) 54◦44′ ;4) 29◦30′ .

27. P =√

33

a2 .

28. = 48◦11′ .

29. = 70◦32′ .

30. Pretpostavimo da je trokut ACE opisani presjek(slika). Taj je trokut jednakokracan i njegov jekut <)AEC kut od 75◦ . Naime, ako tocka Emijenja polozaj na duzini DD1 , kut <)AEC semijenja, ali u granicama od 60◦ do 90◦ . Stogane moze vrijediti <)EAC = <)ACE = 75◦ jerbi tada bilo <)AEC = 30◦ . Dalje je: cos =

cos(<)DSE) =|DS|

|AS| · ctg 37◦30′= tg 37◦30′ , te

je = 39◦53′ .

31. Oznacimo s kut <)ANC sto ga zatvaraju po-bocke ABV i BCV , a s kut <)ABV . Tada je

v1 = |AN| = |AB| · sin (cos =16) , i zatim

sin2

=|AB|2v1

=1

2 sin, te je = 60◦56′ .

32. Ako je duljina osnovnog brida a , onda je |A1C1| =a2

, no tako -der je i |DC1| = |DA1| =a2

, jer

je trokut C1A1D jednakostranican. Stoga je|A1B| = |A1C| = |A1D| i trokut BCD je pravo-kutan po Talesovu poucku. Jednako se dokazujeda su i ostale dvije pobocke pravokutni trokuti.

33. Ako je duljina osnovnog brida piramide a , on-

da je |AS| =a√

33

(polumjer osnovci opisane

kruznice), |A1S| =a√

36

(polumjer osnovci upi-

sane kruznice). Zatim racunamo: |VS| = |AS| ·tg 42◦ =

a√

33

tg 42◦ , te tg =|VS||A1S| . Tako

dobijemo tg = 2 tg i konacno = 60◦57′ .

34. = 57◦48′ , = 72◦31′ .35. Dokazimo iskazanu tvrdnju najprije za trokut.

Tvrdnju je lako dokazati ako jedna stranica tro-kuta, primjerice, AB lezi u ravnini . Povrsina

trokuta ABC je P =12|AB| · |CC1| .

Povrsina njegove ortogonalne projekcije, trokuta

ABC′ je P′ =12|AB| · |C1C′| =

12|AB| · |C1C| ·

cos = P·cos . Ako pak imamo bilo koji mno-gokut, mozemo ga razrezati na trokute kojima jejedna stranica paralelna ravnini pa ce povrsinaortogonalne projekcije biti zbroj povrsina orto-gonalnih projekcija takvih trokuta. A povrsinupojedinog trokuta nalazimo na jednak nacin kaoi ovoga gore, s pocetka rjesenja zadatka.

205

6 RJESENJA ZADATAKA

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

36. Najprije nalazimo P(�ABC) = 84 cm2 . Iz sus-tava jednadzbi x2 + y2 = 225 , y2 + z2 = 169z2+x2 = 196 izracunamoduljine bocnih bridovax , y , z . Koristeci se rezultatom prethodnog za-datka dobit cemo: 1 = 60◦18′ , 2 = 48◦20′ ,3 = 56◦ .

37. = 51◦19′ .

38. = 43◦48′ .

39. Presjek ravnine i kvadra je trokut PQR povrsi-ne 16.44 cm2 . Povrsine trokuta PQV , QRVi PVR jednake su redom: P1 = 13.5 cm2 ,P2 = 5.625 cm2 i P3 = 7.5 cm2 . Sada lakonalazimo kutove: 1 = 34◦47′ , 2 = 69◦59′ ,3 = 62◦51′ .

Rjesenja 6.6

7. Neka su A1 i B1 tezista strana ABV i BCV . Ta-

da je |A1B1| =23|PQ| =

23· 12a =

13a . Kako su

sve strane sukladni jednakostranicni trokuti, jed-nako vrijedi i za ostale spojnice tezista po dvijustrana.

206


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

7. Poliedri i rotacijska tijela

Rjesenja 7.2

4. Osnovke prizme obojit cemo istom bojom. Akoje osnovka mnogokut s parnim brojem stranica,bit ce dovoljne jos dvije boje kojima cemo naizm-jenicno bojiti pobocke. No ako je taj broj neparan(kao sto je slucaj s trostranom prizmom), bit cenam potrebna jos jedna boja.

5. Da, to je kocka.

6. Iz svakog od n vrhova osnovke mogu se povucin − 3 prostorne dijagonale, dakle ukupno ih jen(n − 3) .

7. U prizmi cija je osnovka n -terokut ima 2n vrho-va i n + 2 stranice. Po Eulerovoj formuli, brojbridova je tocno 3n . Do tog zakljucka mozemodoci i direktno: iz svakog vrha prizme izlaze tribrida. Svaki brid je pritom brojen dvaput, jer sena krajevima brida nalaze dva vrha prizme. Zatoje ukupan broj bridova (3 · 2n)/2 .

8. 1) Ne; 2) ne; 3) da.

9. Paralelepiped je centralnosimetrican s obziromna presjek svojih dijagonala.

10. O =a2

18(18 +

√3) , V =

√3

36a3 .

11. O = 2520 cm2 , V = 5250 cm3 .

12. Iz jednadzbe (9k+10k+17k)·16 = 1152 dobijese k = 2 . Zatim izracunamo B = 144 cm2 tekonacno V = 2304 cm3 .

13. a = 36 cm , b = 40 cm , c = 68 cm , V =5760 cm3 .

14. Iz jednadzbe 2b + 3b + 4b = 45 dobije seb = 5 cm .

15. Iz B = 4v dobivamo v =B4

te je V = B · v =

B · B4

=14B2 = 315 cm3 .

16. B = 84 cm2 , v = 4 cm , O = 360 cm2 , V =336 cm3 .

17. O = 368 cm2 .

18. Najprije racunamo povrsine dvaju dijelova na ko-

je ravnina dijeli prizmu: P1 =a2√

34

+ av ,

P2 =a2√

34

+2av . Potom iz P1 : P2 = 2 : 3 na-

lazimo v =a√

34

, te je konacno O =5a2

√3

4=

45√

3 cm2 .

19. V = 518.4 cm3 .

20. V = 480 cm3 .

21. b = 10√

2 cm .

22. V =14a3√

3 .

23. Presjek je jednakokracan trokut s osnovicom du-

ljine a√

2 i krakoma2

√5 . Iz podatka o povrsini

nalazimo a = 6 cm , te je V = 216 cm3 .

24. Presjek je jednakostranican trokut sa stranicom

duljine a√

2 . Dakle je14(a√

2)2 · √3 = 8√

3 ,

a odatle slijedi a = 4 cm . Obujam kocke je64 cm3 .

A

C

D1

25. P =√

133

a2 .

26. V1 : V2 = 1 : 3 .

27. Zapisimo: a = D−1 , b = D−2 , c = D−3 , teiz jednadzbe D2 = (D−1)2+(D−2)2+(D−3)2 ,odnosno D2 − 6D + 7 = 0 dobivamo D =(3 +

√2) cm .

207

7 RJESENJA ZADATAKA

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

28. Iz sustava jednadzbi a2 + b2 = 112 , b2 +c2 = 192 , c2 + a2 = 202 , zbrajanjem svihtriju jednadzbi dobivamo 2(a2 + b2 + c2) =112 + 192 + 202 . Odatle se izravno izracunaD =

√a2 + b2 + c2 = 21 cm .

29. Iz sustava jednadzbi a + b = 7 , a2 + b2 + c2 =169 , c = 12 slijedi a = 4 , b = 3 te jeO = 192 cm2 , V = 144 cm3 .

31. c = 5 cm .

32. a = 9 cm , b = 12 cm , c = 15 cm , O =846 cm2 , V = 1620 cm3 .

33. a = 6 cm , b = 8 cm , O = 516 cm2 .

34. Pomnozimo li jednadzbe ab = 20 , bc = 35 ,ac = 28 , dobit cemo (abc)2 = V2 = 20 ·28 ·35 ,te je V = 140 cm3 .

35. a = 5 cm , b = 3 cm , c = 10 cm .

36. Zadatak ima dva rjesenja:

1) a = 9 , b = 8 , c = 12 cm , V = 864 cm3 ;2) a = 4.8 , b = 15 , c = 6.4 cm ,V = 460.8 cm3 .

37. O = 160 cm2 , V = 96 cm3 .

38. Najprije zapisimo: a1 = 3p , b1 = 5p , c1 = 6p ,te je O1 = 126p2 . Isto tako iz a2 = 3q ,b2 = 6q , c2 = 7q dobivamo O2 = 162q2 .No O1 : O2 = (126p2) : (162q2) = 7 : 9 , te jeodatle p : q = 1 . I sada imamo: V1 = 90p3 ,V2 = 126q3 , te je V1 : V2 = 5 : 7 .

39. Postavimo sustav jednadzbi: (a2 + c2)b2 =a2b2 + b2c2 = (24

√28)2 , (b2 + c2)a2 = a2b2 +

a2c2 = 1022 , (a2+b2)c2 = a2c2+b2c2 = 1502 .Primjecujemo kako je rijec o simetricnom sus-tavu jednadzbi s nepoznanicama (ab)2 , (ac)2

i (bc)2 . Rjesenje zadatka je: O = 516 cm2 ,V = 720 cm3 .

40. Dovoljno je naci omjer u kojem su osnovke dvijuuspravnih prizmi, jer one imaju jednaku visinu.Taj je omjer 1 : 4 .

41. Tocka N noziste je okomice spustene iz vrha Dna dijagonalu AC osnovke. U trokutu DND1

je <)DND1 = 30◦ te jer je |DN| =245

slijedi

|DD1| =85

√3 cm .

42. V = 480 cm3 .

43. V =√

28

D3 .

44. Oznacimo dijagonale osnovke prizme s e =BD , f = AC . Dijagonala iznad BD kra-ca je, te iz pravokutnog trokuta DBD1 imamoe2 + 4 = 25 . Analogno, iz trokuta ACC1 dobitcemo f 2 + 4 = 64 . Iz tih je dviju jednadz-bi e2 + f 2 = 81 . Posljednju jednakost zapi-

simo u obliku( e

2

)2+( f

2

)2=(9

2

)2te je

odatle a =92

. Povrsina pobocja prizme izno-

si P = 4av = 36 cm2 .

45. Iz B =12ef , Q1 = ev , Q2 = f v nalazimo

v =

√Q1 · Q2

2Bte je V =

12

√2BQ1Q2 .

46. V = 12 cm3 .

47. V =1352

√3 cm3 .

48. V = 108√

3 cm3 .

49. 4√

3 cm .

50. V = 300√

3 cm3 .

51. O = 27(4 +√

3) ≈ 154.77 cm2 , V = 81√

3 ≈140.3 cm3 .

52. Oznacimo s d duljinu dijagonale pobocke. Tadaje d2 = a2 + v2 , ali i d

√2 = a

√3 . Iz tog sus-

tava jednadzbi dobit ce se a2 = 2v2 , a povrsinapobocja je P = 6av = 6v2

√2 .

53. Iz sustava jednadzbi 3a2 +v2 = 576 , 4a2 +v2 =625 dobivamo a = 7 , v =

√429 cm , te je

V ≈ 2638.8 cm3 .

54. Povrsina jedne pobocke je av = 108 cm2 , dulji-na dijagonale pobocke je 15 cm , tj. a2 + v2 =225 . Imamo dva rjesenja: (1) a = 12 , b =9 cm ; (2) a = 9 , b = 12 cm .

208


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Rjesenja 7.3

3. Projiciramo vrh piramide okomito na ravninu ba-ze. Povrsina pobocja veca je od povrsine proji-ciranog lika, a ovaj je jednak povrsini baze (akoprojekcija vrha pada unutar baze) ili cak veci odpovrsine baze (ako projekcija vrha pada van ba-ze).

4. Ako su svi bridovi piramide jednake duljine, svepobocke piramide jednakostranicni su trokuti injih moze biti najvise 5 . Vise ne, jer bi tadazbroj kutova na pobockama pri vrhu piramide bioveci od 360◦ . Tako piramida kojoj su svi bridovijednake duljine moze imati najvise 10 bridova.

5. Postoji! Takva je piramida primjerice pravilni te-traedar. No nije i jedina. Nacrtajmo neki raznos-tranican trokut ABC te mu povucimo srednjice,spojnice polovista njegovih stranica. Dobili smotako mrezu piramide cije su sve strane sukladni(raznostranicni) trokuti. Jedini je uvjet da su svikutovi trokuta ABC siljasti. Ako bi trokut bio tu-pokutan, iz njega se opisanom konstrukcijom nebi mogla dobiti piramida. Kad bi primjerice kut bio tup, bio bi veci od kutova i zajednote se nad ne bi mogao zatvoriti prostorni kut.Uvjeri se u to pokusajem.

A C1B

A1

C

B1

� � � � �

�

6. To se moze postici i na slikama su dane mrezetakvih piramida.

7. Pretpostavka je da je <)VA1S = <)VB1S = . . .gdje su A1 , B1 . . . nozista visina bocnih stranana bridovima osnovke. Uoci sukladnost troku-ta VA1S , VB1S . . . Iz te sukladnosti proistjecudokazi svih iskazanih tvrdnji.

E

E1

AA1 B

B1

CS

V

8. V = 21 cm3 .

9. 2√

5 cm , 5 cm ,√

13 cm .

10. V = 189 cm3 .

11. 1)16a3 ; 2)

16a3 ; 3)

16a3 ; 4)

16a3 .

12. V =√

212

a3 .

13.16a3 .

14. V ≈ 7869 cm3 .

15. V = 1280 cm3 .

17. Prikloni kut bocnog brida prema ravnini osnov-ke iznosi 57◦48′ , a kut izme -du bocnih strana iosnovke je 72◦31′ .

18. V = 340 cm3 .

19. B = 84 cm2 , R =abc4P

= 8.125 cm , v = R tg( = 70◦) , V ≈ 625.05 cm3 .

20. V =196

√3

3cm3 .

21. B = 4√

6 cm2 , r =√

62

cm , v = r tg ( =

48◦30′) , V ≈ 4.52 cm3 .

22. Iz uvjeta V1 : V2 = h3 : (h − x)3 = 2 izracunase x .

23. V =5003

√7 cm .

24. V = 5292 cm3 .

25. a = 30 cm , v = 20 cm , V = 6000 cm3 .

26. V = 36√

3 cm3 .

27. P = 16√

2 cm2 .

209

7 RJESENJA ZADATAKA

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

28. Izd2√

34

= 2√

3 dobijemo d = 2√

2 cm te

je a = 2 cm . Dalje nalazimo b = 2√

6 cm ,

v =√

22 te je V =43

√22 cm3 .

29. Presjek piramide je trapez s osnovicama duljina

a ia2

, te visinoma2

. Stoga iz P =38a2 = 27

slijedi a2 = 72 te je V = 72√

6 cm3 .

30. Presjek je trokut BND . Iz podatka za njegovupovrsinu nalazimo a = |AB| = 2 cm . Obujam

piramide je V =43

√6 cm3 .

31. Naci cemo |AB| = 6 cm , |CD| =3√

32

cm ,

B =272

cm2 . Manji dio prizme sto je do-

biven opisanim presjekom ima obujam V1 =274

√3 cm3 , a veci V2 =

814

√3 cm3 , te je obu-

jam V = V1 + V2 = 27√

3 cm3 .

32. O = 4√

3 m2

33. P = 32 cm2 .

34. v = 2 cm .

35. V = 372 cm3 .

36. V = 1900 cm3 .

37. V = 32 cm3 .

38. Iz sustava jednadzbi 54 =13Bv , 2 =

13B1v1 do-

bivamo B1 = 6 cm2 , Bv = 162 cm3 . Dalje jeB = 6v2 te konacno v = 3 cm , B = 54 cm2 .

39. V = 2325 cm3

40. Povrsine su jednake 20 cm2 , odnosno 45 cm2 .

41. V =v3(a2 + ab + b2)

42. 20 cm i 10 cm .

Rjesenja 7.4

1. V = 160 cm3 .

2. r = 4 cm , v = 14 cm .

3. O = 2r(r + v) = 4r2 = 8 , odatle jer =

√2 cm , pa je V = 2

√2 cm3 .

4. r =a2

, d = v = a .

5. O = 144 cm2 , V = 216 cm3 .

6. Iz sustava jednadzbi 2r + v = 10 , rv = 8 do-bivamo kvadratnu jednadzbu x2 − 10x + 16 = 0cija su rjesenja v i r .

1) r = 4 cm , v = 2 cm , O = 48 cm2 ,V = 32 cm3 ;2) r = 1 cm , v = 8 cm , O = 18 cm2 ,V = 8 cm3 .

7. Najprije je 2r + v = p pa potom imamo:

1) O = 2r(r + v) = 2rp − 2r2 . Najveca

je vrijednost ove funkcije za r =p2

. No tada je

v = 0 i takav valjak ne postoji.

2) P = 2rv − 2rp − 4r2 , te je plast najveci

ako je r =p4

.

8. Kako jemV

= 8.9 g/cm3 =1000 g

V, dobije

se V =1

8900m3 (primijetimo da je 1 m3 =

106 cm3 ). Iz V = r2v nalazimo v = 143 m .

210


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

9. Obujam valjka je 250 cm3 = 785.4 cm3 . Ka-ko je obujam kocke 1000 cm3 , razlika obuja-ma je 214.6 cm3 = 214.6 · 10−6 m3 . Sada iz

jednadzbe 8500 kg/m3 =106x

214.6 m3nalazimo

x = 1.824 kg .

10. 9√

3 cm3 .

11. Kako je |ST| =r2

, slijedi da je = <)ASB =120◦ . Tada je duljina kruznog luka sto odgova-ra tom luku 4 . Tijelo, ciju povrsinu trazimo,ome -deno je dvama kruznim odsjeccima, pravo-kutnikom (lik u kojem ravnina sijece valjak) tedijelom valjkaste plohe. Ta je povrsina pribliznojednaka 250.85 cm2 .

A

B

S

12. P ≈ 1490.23 cm2 .

13. d = 6 cm .

14. Duzinom AB polozit cemo ravninu paralelnu osivaljka. Ta ravnina sijece valjak u pravokutnikuA1BB1A . Iz |AA1| = 16 i |AB| = 20 nalazi-mo |A1B| = |AB1| = 12 cm . Udaljenost kojutrazimo jednaka je 8 cm .

A1 B

AS

B1

15. |AB| = 40 cm .

Rjesenja 7.5

1. v =3√

32

cm .

2. v =32

√7 cm .

3. = 180◦ .

4. = 108◦ .

11. O = 24 cm2 .

12. r = 5 cm , s = 15 cm , v = 10√

2 cm ,

O = 100 cm2 , V =250

√2

3 cm3 .

13. Najprije, iz podatka za kut, nalazimo 5r = 3s , aa odatle se dobije r = 15 cm , s = 25 cm , te jeP = 375 cm2 .

14. O = 33 cm2 , V = 3√

55 cm3 .

15. P = 100 cm2 , V =13· 250

√3 cm3 .

17. P =163

√59 cm2 .

18. V = 96 cm3 .

19. r = 9 cm , s = 15 cm , O = 216 cm2 , = 216◦ .

20. O = 192 cm2 .

21. r = 12 cm , v = 16 cm , V = 768 cm3 .

22. 1) O = 9√

2(2 +√

2) cm2 , V = 18√

2 cm3 ;

2) O = 12 cm2 , V =83√

3 cm3 ;

3) O = 6(3 + 2√

3) cm2 , V = 6√

6 cm3 .

23. Vs : Vk = : 12 .

24. U dijagonalnom presjeku uocavamo slicne tro-kute ASV i A1PV . Odatle je |AS| : |A1P| =

|VS| : |PV| , odnosno r :x√

22

= v : (v − x) ,

gdje je s x oznacena duljina brida kocke. Dobije

se x =2rv

2r + v√

2. Kako je stozac jednakos-

tranican, tj. s = 2r , onda je v = r√

3 , pa jex =

√3(√

6 − 2)r .

25. V =a3√

627

.

211

7 RJESENJA ZADATAKA

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

26. d = 2(6 −√3) cm .

29. 9 : 4 : 1 , V1 =727

V .

30. v = 24 cm , s = 25 cm .

31. R = 10 cm , r = 4 cm , s = 10 cm , v = 8 cm ,O = 256 cm2 .

32. 19 : 37 : 61 .

33. R =807

cm , r =327

cm .

34. 1816 cm2 .

35. v = 15 cm , R = 22 cm , r = 6 cm ,O = 996 cm2 .

36. r = 2 cm , R = 5.5 cm , s = 12.5 cm .

37. v = 8 cm .

38. R = 20 cm , r = 10 cm .

39.Rr

=1 +

√5

2.

Rjesenja 7.6

1. P = 1600 cm2 .

2. d =R√

22

.

3. Dva su rjesenja, d1 = 5 cm , d2 = 1 cm .

4. R = 30 cm .

5. Iz podataka danih u zadatku nalazimo: |PS1|2 +|PS2|2 = 377 . I zatim dalje: R2 = |AS|2 =|PS|2 + |AP|2 = 441 , te je R = 21 cm .

6. V =2563

cm3 .

7. 2)323 ,

2563

, 288 .

8. R = 3√100 ≈ 4.64 cm .

9. V = 288 cm3 .

10. Obujam Zemlje 6.7 puta je veci od obujmaMarsa, tj. omjer obujama Zemlje i Marsa je1000 : 149 .

11.25027

≈ 9.26 cm .

12. 5 cm .

13. 6.88 cm .

14. l = 13.44 cm .

15. 1098 ( 24.4 % obujma kugle nalazi se u valj-ku).

16. V =4163

cm3 .

18.516

.

19. V = 1223 cm3 .

22. V = 900 cm3 .

23.

√5 − 12

.

24. V = 18 432 cm3 .

26. V =308716

cm3 .

28. R = 2 cm , V =323 cm3 .

29. V =a3√

212

(3√

3 − 5) .

31. Rjesavaj kao prethodni zadatak. Rezultat je

r =2 −√

32

a .

32. U osnom presjeku imamo krug upisan jednako-kracnom trapezu. Prema teoremu o tangencijal-nom cetverokutu mozemo zapisati 2b = 68 , aodatle je b = 34 cm . Potom iz Pitagorina po-ucka dobijemo v = 2R = 30 cm te je polumjerkugle jednak 15 cm i V = 4500 cm3 .

212


OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Rjesenja 7.7

1. Trazene se tocke nalaze na krajevima promjerakoji prolazi tockom T .

2. Ta je kruznica presjek sfere i ravnine odre -dene sazadane tri tocke.

3. Bilo koje tri tocke opisane kruznice osnovci i vrhpiramide odre -duju sferu koja je opisana piramidi.Ista tvrdnja opcenito vrijedi i za svaku uspravnuprizmu.

4. Usporedi s proslim zadatkom.

5. Heronovom formulom nalazimo povrsinu troku-ta, P = 84 cm2 . Polumjer kruznice upisane tomtrokutu dugacak je 4 cm . Trazena je udaljenost3 cm .

6. d = 12 cm .

7. Presjecna krivulja je kruznica polumjerar = 12 cm . Njezina je duljina 24 cm .

8. d = 41.88 cm .

9. V =1125

2 cm2 .

10. Pa + Pb = Pc .

11. O = 4√

3 cm2 .

13. Promotrimo osni presjek. Trokut ABC je jed-nakostranican, trokut ABD pravokutan (upisanje polukruznici), pa je tocka D poloviste strani-ce AC . Duzina DE srednjica je trokuta ABC .Stoga je l = r .

14. U osnom presjeku uocavamo slicne trokute POSi PSV , te je stoga |PS|2 = 2 = d(16

√3 − d) ,

gdje je d = |OS| . Iz slicnosti trokuta AOVi PSV imamo d = 16

√3 −

√3 . Tako je

= 12 cm , l = 24 cm .

15.126

.

16. V =9√

38

cm3 .

17. R =a√

64

, r =a√

612

.

18. r =a√

66

, R =a√

22

.

19. U presjeku kocke ravninom simetrije paralelnomjednoj strani kocke dobit ce se kruznici upisankvadrat. Kruznica je najveci presjek sfere, a kva-drat je sukladan strani kocke. Tako je 2R = a

√2 ,

odnosno R =√

22

a .

20. Smjestit cemo tetraedar u kocku tako da bridovitetraedra budu dijagonale suprotnih strana koc-ke. Kugla koja dira sve bridove tetraedra zapravoje kugla upisana ovoj kocki. Oznacimo li brid

kocke s x , onda je R =x2

=a√

24

.

21. Ako dana piramida ima n strana, svaka je njezinastrana osnovka piramide s vrhom u sredistu sfere.Time smo danu piramidu podijelili na n manjihpiramida od kojih svaka ima visinu jednaku po-lumjeru upisane sfere velikoj piramidi. Sada josvalja zbrojiti obujme tih n piramida, te ce se do-

biti: V = V1 + V2 + . . . + Vn =13B1r +

13B2r +

. . .+13Bnr =

13(B1 +B2 + . . .+Bn)r =

13O ·r =

13120 · 6 = 240 cm3 .

213

7 RJESENJA ZADATAKA

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

22. Iz sin =√

24

dobivamo = 20◦42′ .

23. Sredista svih cetiriju sfera odre -duju pravilni tet-raedar s bridom duljine 12 cm . Polumjer sfereopisane tom tetraedru je 3

√6 cm . Ima dvije sfe-

re koje diraju dane cetiri i one su koncentricnesferi sto je opisana spomenutom pravilnom te-traedru. Jednoj je polumjer za 6 cm manji, adrugoj za 6 cm veci od polumjera te sfere. Takoza manju sferu imamo r = 3

√6 − 6 , a za vecu

R = (3√

6 + 6) cm .

Rjesenja 7.8

1. 1) r =a2

, v = b , O =12a(a + 2b) ,

V =14a2b ;

2) r =b2

, v = a , O =12b(2a + b) ,

V =14ab2 .

2. V(a) : V(b) = b : a .

3. Iz sustava jednadzbi a−b = 4 , 192 = 2b(a+b) , dobiva se a = 10 cm , b = 6 cm te jeV = 600 cm3 .

4. a = 16 cm , b =152

cm , O1 = 248 ,

O2 =1185

8 , O1−O2 =

7998

= 99.875 cm2 .

5. O = 2(15 + 8) cm2 , V = 15 cm3 .

6. 1) O = b(b +√

a2 + b2) , V =13ab2 ;

2) O = a(a +√

a2 + b2) , V =13a2b ;

3) O = r(a+b) , V =ab3

r , r = lab√

a2 + b2.

7. 1) O = a2√

3 , V =14a3 ;

2) O =34a2 , V =

√3

24a3 ;

3) O = 2a2√

3 , V =12a3 .

8. Oplosje se sastoji od povrsina plasteva dvaju sto-zaca i iznosi O = ra + rb = 336 gdje jer = 12 cm , duljina visine na stranicu c trokuta.Obujam je jednak zbroju obujama dvaju stozacai iznosi 672 cm3 .

9. O = 168 cm2 , V = 192 cm3 .

12. O = a2√

2 , V =16a3√

2 .

13. V(e) : V(f ) = f : e = ctg 15◦ = 2 +√

3 .

14. P = 4a2√

3 .

15. V =960029

cm3 .

16. 1) O = 60 cm2 , V = 64 cm3 ;2) O = 84 cm2 , V = 80 cm3 .

17. O = 160 cm2 , V = 184 cm3 .

18. P = 3√

3a2 .

19. V = 3064 cm3 .

214

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Kazalo pojmova

asimptota, 8baza potencije, 5—, prirodnog logaritma, 34

Cavalierijev princip, 126, 128centralna simetrija, 99centralna slicnost, 100cilindricno tijelo, 188dekadski logaritam, 23dodekaedar, 119, 120eksponencijalna funkcija, 3, 4, 5eksponent, 3Eulerova formula, 119heksaedar, 119, 120homotetija, 100ikosaedar, 119, 121izometrija, 98izvodnica, 131inverzna funkcija, 25injektivnost eksponencijalne funkcije, 14karakteristicni presjek valjka, 154— —, stosca, 162, 167

koeficijent homotetije, 102koeficijent slicnosti, 102konveksan poliedar, 118kuglin isjecak, 178kuglin odsjecak, 175kuglin pojas, 185kuglin sloj, 177kuglina kapica, 185logaritam, 20—, po bazi a , 20

mreza kocke, 135oktaedar, 120ortogonalna projekcija, 92osna simetrija, 99osni presjek valjka, 154— —, stosca, 162

opca logaritamska funkcija, 19paralelepiped, 132piramida, 143—, krnja, 149—, pravilna, 143

plast stosca, 161—, valjka, 153

pobocje prizme, 131pobocje piramide, 143poluravnina, 116poluprostor, 117pravci, mimoilazni, 72—, paralelni, 71—, ukrsteni, 71

pravilni poliedri, 119prirodni logaritam, 34prizma, 131ravnine, okomite, 84, 85, 87—, paralelne, 84, 85

rotacijska tijela, 188simetralna ravnina, 97sfera, 183sferni trokut, 184srediste homotetije, 100srediste simetrije, 99stozac, 155—, uspravan, 155—, krnji, 160

strane tetraedra, 110svojstva logaritamske funcije, 30tetraedar, 78, 120—, pravilan, 119, 120

tezisnica tetraedra, 79teziste tetraedra, 79tocke, kolinearne, 69—, komplanarne, 69—, nekomplanarne, 69, 78

tranzitivna relacija, 86valjak, 153valjkasto tijelo, 188visina prizme, 131—, piramide, 143—, tetraedra, 88—, stosca, 161—, valjka, 153

znanstveni zapis broja, 62zrcalna simetrija, 97

215

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

Zagreb, prosinac 2013.

matematika2 dio2 za gimnazije i tehnicke skole

Documents