llit(('{lvit( ,, t,,ln( k.rL{,s( [,nistiti ovillr tni'1rr'ri[,nll (;l,l,Ivot( txrlii.li.rx)r.'}1 l( [ritf. !,) (nrx)rr(!ir i(\llx\rn!rii( t)[Irirnrir Mi tn.tIrll1,,t.,,r) ,li, s. f,r,livoI i'vollr( tnirr(:ritu |'ii((h i((ll'nli'r' lrrrtxnr. Ilih,lt. lit(k0rr i.sl rrt.sc.i, (Lrklc,l)r,,irx)r'r (nl t((ln( hkciic u li((|Ir (h'H. Nllrnvno (Lr s(. isl(,Ix,.,. uiillili i /r !riicrno(rl r,i,,,r(\(cr(iprlkic,iica()rroDxvli riut)o/nirosxs,x(livx),prrrki^'s.|nnJicdan!,,r( !a s! ki (ln,r icdnr lckciit' (r'r odnxn ncdiclj(nr)). vicr)it'rl'o ac nIi"spicinii",,kr(rl,,hirik(',nl)in,rcii,rlnvcitrcae: nrkon pol gunog trchTcDi.r ciclotupnog sradiv.r,ln.(l rst)ir sc ioi iclnoD tDnov,n'r,vi7niic.l tnillr('r)il'u,cdru dovolian brcj ispira njihT5. Jcd n scispittrch.rrijeiitiu ro'Iu,trl0l)rninurr. []DUtIr is{ogr t}oglavlja. ispiti su otprilikc jcdnakc lczine. PrcdlrTemor,1lliIr(lr|rnli sv(,i nrprcdak na sljcdcai naain. Prilikom prvogr prolazenja gradiva.rx.lx t,rr\1,,,(ti icdrn od ispit.r u sv.rkom pogla!lju. Rccimo. prvi ispit u neparnim i drugirst)ir I p,rnin, p(,sltlvljima (ili ob,a1 r. Krda hudc prciao cjelokupno gradivo, nekrr tN,,i,vljxniu riicii rc prcskoacne ispite. Bez obzh na to koji odabir napravi. sigurni!,,n) rli,i( n (htrgom prcl.teoju postiai bolje rezuhate.

vicn'icnx) da ac ov'rj pr,ruanik osigurati uspjeino polaganje ovog vttrnog ispila i(nrx,soairi Tclicni oastavlk ikolovanj".

-F'iliDr/^ail. f/*"."4

l. bL.iirl. lcl'.iir

L lel(iir

lr). lctcijdI l. lcl,.,j!ll. Ielt.ijx

ln. lck.ija

10. lckcijall lckcija22. lekcijalr. lekcija2,r. lekc,ja

llrrllli l)'oic\,Algrbnl\[i i/rrriI'olinonri i nlsehtllstc ic(lnr(llhcl-incLrrDc icdnirdTlt i prlrrcllri t)rvog s(upnitrUrcdai nn stutlLrrcxlnih broicvSkut k,,Irt,lt'k.rih l,r,,t, \JKvadrrlna llnkciia,.icdnndZbc i DcicdnildlhcEksponcncijalnc i logarilamskc lunkciicFunkcijcTrigorornctirjske fuDkcijc I llTrigon ornctr;j ske jedDrdzbc i ncicdnadibe lr' IPlaniolctliia lri ITrigonometrija pravokulrog trokuta 1lr1Pouici o trokutu i primjcnc trigonoDretrije 'lrrPolicdri i rotrcijska lijcKoordinrtni sustav u nvniri rl IPravacKruznica )(rr)Elipsa. hiperhol.r iparrbola .'filCcornctriiu ln,\1,'rr ttlAritmetidki i geometrijski niz i.) tDcrivacije funkcija I l/Primjene dif-ereDcrjalnog raiuna t: IZavrini ispiti rl \Rjeienja zadataka

lr)/Rie.eIiJ r\piru

I

l5

tllr) /l,| |

Vcktori

I /ir),r.lnr, srt)nir 200(.).

t. Lekcija

IRealni

@ Porovir,oPrirodni broievi

\lr,t, tn'iirltrilr lnrier x o/urin\rrno \ N.N {r.1..r..1.5.....r. ..}.

sl,,ti tr ll,nlril, h,,'r( !ir /.rvo,c,r ic \ ol)/i(nn nLr .,hrri,rnie i mnorenjc.N.1,,, tL i, I t)rirxlirn hnli. lliro(iri bft)i N 1lrpis.rn u pozicii\kom sutlalu s

I'x/,rn /, r rir!rtt(1|x,sl:N tt,,t, rt,, ll'tu,, t.h"I ...'u b+d't.

/,,.,,,r.,,1. //,,.,rr. .,,, eiicli s, br()ic\i ilskupll 10. 1.2....., ll.IDdeksoTn-,.,\.,Lrl,'t,rt t( l)r/i /irt,i\inbr(,i. l r (lcl,ld\l'onr susllM l,r ojtva jc r : l0.ubinarnom/, I. r,,lrrln{rr , li.rllh(t\r(lcci llnrn, 16.

S\,rli \.,1\irl)rirrlnirhi'il ,, i ll Ix'!u ustx,r'diliprema velitini.N.k., tL , tr, \,,lri ,{hb,,!,r prinxlr}i hr1)i. ()rdajc njcso\ sljcdbenik prnodni bn,j

, , Lr rt.r,,\ rr(lh,(lnrl , l.l1,,irl,r br('l ,r tli.lii! i. fll xlninr bll icm n l(o po\toji pri.odni broi /, takr!

,1,, rU, x /, Ll/.,,x)rhi.n(li(lirrliili "'.i( r:r od rr ipiiemon,,.

lr,i,r1,,, lr(), \(.i , l ic prosr nLo ic (liclii! \rnro s I i sa si'mim \obonr. Broj.ic\l',,(r' rl,) rite pr(Nl. \ i,?nimkom h('j l koii nc driimo ni prostim ni slo:cnim. l'rrrnrni,i rL \lo/e,,h

'idi.liiv s l.srrt,r n, prirorlni bl1)i Droic nr ic(linslycn nLrain nlpilati u ohliku umooika pro\lih

tt |'tl)) P,,,

Kriicriii dieliivosti

. l'ri(xhri b()i ic dicliiv bn)icm I ll'o ic,ricgov,t l)oslicdnia /namcnkr 0 iliprrrr brri.

. r',iRxlDi h()jjedjeliir l,()icr)r s,rlo ic rhr)i ,ricsovih zD.'menki broj djcljivsa il.

. Itirodoi b()i jc djcliir s .t ak, ic dxw,)rDrcr)ttlst broi iro ga ainc posliednicd\irL'rnrNen(c (li.li'\ vr J.

. Itirodni hroi jc (liclln \ 5 ll(, ic icgol lx)sljc(lnjr rnamenka 0 ili 5.

. l''in)dni bn)i jc (li.lii\ v' 6 ilo ic (ljclj,\ s l i s l.

llI,rlIr lu,t t.,lt.ltr\ \ ri:rl,' t,'rt,'r,('\ lri,/r,rrn rl.r\l /r\r\1rk ln,,t(lt( ltr\\sItr,'t t.,lt(lrr\ \ ') ,'1,(, tL' /ln('t ht.r,,'\rlr /rrriri'rrlr rltLltr\ \()lli,)t r( (lt.ltr\ \ II .rt(' r( r,r/[kI /lr,,t,r /I,rrx,rlIr.r t,.,,,,,rr tivk'r.,,,,.,/hr't /rrrrrerrlr rx r.|irrIr! t!rr( rt,rr[x llr,'t ,lt('ltr\ \ I I

Ciicli broievi

opcrt'ciju oduzinanj.r u skupu pri(xllih b()jcvn nc moTc se ut,iick (lcli'lirxlirl,,!itrli do proiircnja skupa prirodnih h()jcv m skup cijclih bft)icva.

Skup ci.ielih bmjcva oznainvamo sa Z Iz = {... - 3, -2, -t, 0, t, 2, 3,...}.

l,,rrt,,p/ tlorcn jesobzir(nn n.r zbr"jrric. odurinr"'rjc innn)rcnic. l)ii(lr(,,t( \,,,,1,,,I

svojslva zbraiania i mno:enia u skupu cilelih bloieva

. ;Znkon komutativnosti ili zamjcnc mjcsta:a+b=b+d:. u.b:b.d.

. Z.akon asmi.ialivnosti:

.,+(r+() = (l, + r) +.:a.(rt t)=k tt) t.

. Zakon distributivnosri mnorenjr prcma zbrajanjulu'lb+c)=a b+a c

. Za svaki cijeli broj /, vrijedi:4+O=ct l=u.

. za svaki cijeli broj ., I 0 postoji cijcli broj .r tako da vrijedi:a + (-a) =0'

Broj d je suprorni bmj broja lI.

uurrnr r vr!.axralntl

Al,, /x (l!ir (rt.lx ln('i,r ,/ L tr'\t('tr lnot ,/. ,/ / rr. rxtx\ (h t( ,r ttt I i/, /,r ,/.1I7.!rx',1,t t. t/ /xi(lDirLirlillil(li rlr /ri(1I'n[,, r"irri' hr'tc\r i ,Ni,r\(.rh,ot ,/ s, .i"r n('irr\,'r'r

^\'e \c rtxi\r' /ri(d"i(.kx "'i1,rx,nt d r r.^[,r

\I (linI (l!r.,ich h,oiir ./ i ,. r n hr('i , /x L(]ii vriic(li dlr i , r' ^)vc,,r,/i,rr1l!('ki,,, vii(kllrrnikorn bn,iev , i , Nrinrlurii o.l b(,icur I s,,vim svorsr!(nn

^,\ r,,! ' "x iDxtr iim /n j( ilni(1ki'I \ ii(r rxrtriLotr' i r,/ntliivrm] s t/({r. i,)

/\r,',l\rIili vit) (iiclih hr)ic!r' ncr)r tu / jcdDiakih diclncti {o\i' hroia,).rt t'l,r/(r'r, ,l ir lr l!r,i.ri rclnli\ ||r' t)l,sli.

Rnclonalni t roievi

N.nr)suenosr I)(,tpunog dclinimnja operacijc dijcljcnja u rkLrpu cijelih bi)jeva/rl,r,t(!x uvodcric skUp racdl lnih h'({ova. Itlcn lni brojcvi su koliinici ciiclihlnr't( !ir. Skuf rx(ntr'rltril' h()i(lu o,,n lrvamo s Q I

l- ,,rt\a 1,, ., )s\,,tr rx.i,nrxl,ri b()j r)xrsuie ie zapi\lti u obliku razknnka 1. gdie ic ar ciieti. a atr l, tr rIr r)roi

sk'r|, .x,,xlnih brojcva zarvorcn je s obzirom na zbrajanjc. odu/nnanje. m'x);c,

l,.,txrrrlivanie razlomakal{x/l(n,,kc icdnrtih nl'livnita usp(ncdujemo polUt prirodnih br()icva. usporcdu.juai

< . ako je ., -, akoje a > /r.

llx/l,,rk( rr.,liairih nl,,ivnika nsporcd{emo svodcnicn) n.r z jednitti nazivnit dohi-\xi'k:i rxlo,l/hnnkc ic(h kih n /ivrikr.

J({lnakosl razlomakall,ru hrrr r '/ r '. lrrlrlrki .rr rk,' r .rrrrr',,k,' t( ,/ ,/ /, , .t' ,t/.,

'\,'k, ,,r n ,,,1,,, lrt,i '] , ""r, r,,,,' ,r r /liLrr ,rl rnrtc \nj.d,.'h

l'. t h'

('rllllrxrli t(1llrirkr'\t/rI\r'r'rlii(vo,ln(lnt('it(\',!t'r"\iri\nrir.rn,Itrtrnktr-,]r.rlrrrrrlr t. \ltr\ir rkl(\ilr'. litrlx tr)v(nilx' i' l.rx(."i'r rtl-"^.,, ;: j::

S!xLrs.rx.',,r'nln'h'{!inx'i(l,rr(r.|ticI'(htr1\lrnIrnni['rl,'t.r"hr'trr[|r'r/rvIrlrtrrrrru z,r ter ln tt'1, ih rliclitcliu.

./lnatanie i oduzimanie racionalnih broieva

li,,/l(',,,1,. Ioii 'rcnurir'

/.rjcdniati nr'livnik nnnamo f'oiiriti k;,k,' bis,r) (1,)l)ili ,x/1,n,,Ir't(!lrxtth nr/ivniM. ZajedniaLiJc na/ivnik irrnl loji srdr;i ftlr(nc stih tr't.,hrrhrrrzrrrrl,r rukrnata koje zbrajn'no ilioduzima' ).

Mrx,zcnie i diielienje racionalnih broieva

i'I'r'

!'9- b =odbd 9 tc'

l\t'1,(,rik dv.rjr ruknnaka mo;c sc lnpisari u obliku dvojnog r|lkrr)l'r:

Itilorn rr i d nazivamo vanjskim, a l) i . unulrmjim dlanovi'na dvojnog rt'/linnlnov,) pnmtimo kao pravilo: rxzlorn(i se diielr lrkodr se pni rarkrnrak yrrrnorir(.iD' 0iDnn rarknnkonl drugog.

Svojstva zbrajanja i mnozenja u skupu racionalnih broieva. Komuhlivnost:

a+b=h+ula.b: b.a.

. Asocijalivnostla+(b+()=.t+\b+c):

a.(b.4:@.b).c.. D,,rrihurivno.r mnoTenill premr /brajrnju'

a (b+.:): a b+a.(.

. Nr'rllr,rlIr(lL'r!Ilr llllr/l!,rtirtt. I /,1 rrrr/.r1.)tt ll tt,t I tt

. ,/., \\.,1, ,.i r!rxlIr lr(,t / ,lr tx'\li'tr nt(Ilr \uprot r hr()i ,/ ir.(n lhDIlj,('t r,rlx\ (l.r \Ittlli:

dl(d) o iIlJioi i'tr(.u"i ic hroihrl)i" r/.

l" i r./ktrr'xI i( rul(nnrk L(,i.nr ic h'1)inik 'nnrii

od nazivnikr'.h1)\li,\irili lnoi r, /1 ,,t ir . prir\l'x'! l,'r,i ,r itrur,,r rul|,,||'Lr l,?

Ltn.'lrk ril { r,,/l,,rx /,,t,inri( u ( .litr' ,r :

bl)

lir't(\r I,.'ti u\u rxcrnrxhri. ti. kr)jt liir n)guae predoiili kno kolianikc dlidu(,t.l,h ln,,r.\x /, \( irr(nmnl"ihfi,ir\i.slrt, irx.nn'nltrih l)r{)icra o./nla ! nn) s L

l,in,,!,.r1,,,rr,)r(\'i s,, ,u tn imicr l,r)icvi /2. /s. /5. r. ".....

sk,,t) '(xl"ilr l,r'i$x lt s!,sloii sijod r crrnrtllnih iiraciorl.rlnih b11)icv.r:R Q I,

l,,r \l,rt) F./rr\1nur s oh,/i'(nn or rh'rixnjc. odr'/i'n Djc. mnoTcnjc idjclicnic.

Svotslvil zbraiania i mnoienia u skupu realnih broieva

. K,lrrllti\ no\l:o jl' I' olt l, 1,.x.

. A\(tr iiirlr\ rxr\l:a i (b \ t) i t lb+()l

d.lb.t) @.b).(.

. l)i\lrilnrlivn(Al rnnor(1rtr ln('lrxr/h11tiIlltU(l'ttJ t I'ld tl

. Ncrlrrlniek.rrerni ({),/irllxri rt(, l ,/x 'lrr,/.Itr'):

tt t ll tt.nl d-

. Sut)r({ni i invcrroiclcrll(nt:I

,/ I ( ,,) rl. ,/ l. / .r.,|,i ,, / r'.Slxki rclLrn broi ./ moicmo priktylli u dcciDralnun zrpisu:

t lo.n |.t\...lr,(.,',u ic.r,, ciicli hroi. a ./r ..rr../r... nc(c od rmmcnlio. 1.....()

l)(ai"rxltri /rpi\ r.r(i'mnlnox hi,ir ic ili kontlirn ili hc\lol|l n r tr.rirlr,'Ir...r(, /n.ri (|' \c od ir\jesnos nrjestr i/n dccinr hre toakc sl,rtinx /nx,,trnki p.,,,!li l,rrn,i,\ tlr. 1)ccinrulni apis raciomlnog bn)jr 'l' .i. t unuiun ut'. i *u',n) ,rl,' ri,/r!r,t ,rn rrir(Iutilr proslih lakloraosim 2 i5.

l)(.itr',rltri ^ri\ irn(i(nlnl"os brl'i ic hcskonaian i ncpcrnxlialli.

I Potenciie

Porencija ."' jednakaje umnoiku ,, jcdnakih faklora:/rN.

....T-l{erl,ri jc bl1,i ,/ bazr' (iU osnovicr') p0lr"( iit. a prirodni broi , rric/i,) ic (Lstrtr(,"rl/inuscdric ( ar.

hi rt'iL,nrriu s polenciiamr vriicdc \licdcaa pr.rvih:

\il =a'(;l -- (;)

Rcolni brojevi

'r o^lPurrEr ulrt

AI() i. ,/ t),,/irilrn ,cl'lni br,l i rr, a pri'1xl'ri b ,jcvi. (nrda ir:u: i/a_.

(,/)' - (,,' )

Kradrnt[i (drugi) korijn pozilivnog broja a jest poziiivnivriicdil

braj '/n za koji

liL('dcr ir y'o 0.Zr bik) koii rcalni broi a vrijedil

li : lnl.Zn Do/irivnc brojevc a i, vrijedil

,/i vfr . ' r,. l'

".uiiAko su ll i /, pozirivni brojevi. rc ,r prnodDi broj i ako vrijedi ,,' = a, broj , je

r(ln n li [(ni.icn iz (. D kle:

s!('i\r!ir I\(niicD s :bt=ab=i/i.

i/o = Y,*, r, e x;!,t' = W. i/t,,,F !/n.Ui vi'

dtn: wa,(r4'=va

N.l,,r t. ,

r.!lnr hr't I ncInrirrr, rnxll l( \7rr" r/ Arr! l( "

rinrrrr Dr.l I nV,',tx,/irivn', ,(xl'ril)',)i ;1,,11 1 ,111 ;rrroii sllrrrr' rrkr) 1, , ne|irrr ln0i

I ,,1 ,, ( ,, (',,

q+u2+a? +...+al

I( niihovtl,rrilDreliikr srcdina ili l)ros.,ek.

Nckaje dano r nenegativnih brojeva rr, a2, a3,.. . u, Btq:Vatolar' ,1.

t. tliihotn sc,,nclri,skll srtdnrn.

( )\nor n n \ rijcd rost -r je broj od kojeg se obraaunava postolak.I',,\l'nrk p je broj jedinica koji se uzima od l00jedinica neke vcliainc:

"t--Ll(,0Il,\k'lni i/no\ P je broj koji se dobije kad se od osnovne veliiinc (xlredi (li(l

mrn:raen drnim oostotkom:P , L.

100

Izraaunrti postotak /, od neke osnovne vrijednosli .\ znaai izratunali B)slolrriirnos P, tj. odrediti vrijcdnosl funkciie:

'/trr rui 'Ako je broj P dohivcn uvecanjem broja r za postolak /' lo pisemo:

l,\P Y . .\. r;0 -\[I ,bol

ceometriiska sredina

Aralmetidka sredina

Nckl icd no, rcllnihbi)icv ./L..rJ. d,,. .../,'. Ilnri:

ttn.llertl,Ir'trrl

-LI| ,/hr'i n.t ,r,,.rr,Ir l, t)r,,{trrt, t,r,,t(r.r t(.\l k.,trtr t(. trtx\ .rtn),,rtl

/Jlc([rraki \ iiclrrlDil ]r, ,r, N.til ic n. x ll., tl., t l., t.1 int 5 icsr urlsropnih prirodnihli,'tt \,r Ntih,\ ,,hr!i lc:

fir I t5 57.trl,rll. t( , 7. Ost li broievi sLr ll, 1). I0. II i ll. Rrsrlvimo ti ih srda m pro\tc

7 7. 8 2r, 9 3r. t0 1.5. ll: ll. 12:2r 3.r. l( r)lih(\'IlliDllllrji/t'jedniaki vi(ctftrrnit icdrut N, 2r.]r.5.7. | =11.D|.Primier 2.

1l Ako je a + b:42. b+ c =28. c+a 24,kotikojea.b.c,l2l Ako Je a. b = 42, b. c = 28. c. a = 24. koliko je a + b + c ?

Odredimo sve cijele brojevc -r.) i I za kojcje:t) r (-r t) (r

- 2) . ... (-r l0) 0;

2) 1\r l): + (r,r l)r o:3)(r 2) .(r+l) (.

.']) . r.

,i/, ,,r/, l) I)ll hi rn rolak hn,jcd'uk nL'ti dovoljno ic da bude iedan rakror iednatrIlr ,/.u.',\,r t(1hrr.l/h.r I x trrlrn c\l rt((cnJr:

llr t,.\ lrili icr l.ili \ l ati.....iti t:10.

/i,\,rt" 1) Zhrajanjem svih triju jednadibi, dobije se 2(a + /, + c) : 94, a odarle,tthtt 47.lsada.i/o.b 42i

-b t, 47 stiiedi 42r. 47.puje, s. Na icdnar se na6in dobije rl : t9 i h = 23. Konaano, ar. = 21852) llnnno;ioo sve tn jednadZb i dobijemo (ub.), = (6.1 .4)1. te )e dbc = 6..t .4ili th 6 . 7 - 4 . Lako se sada dobije a : 6 , h = 7 . . : 4 ;ti a : 6 , b = .t .. ,1 tcica+r+.: lT.odnosno(+/r+.: t7.

2)Xirl,'/l,r,iL\r'{li,rlril!irirln('tr\.rit,rlflrt.rnl,xlr\xrl!(,1,,tr t(lnxli'\l t{ nx'llrkI.,Ir!)ll!lir\lk,l,r|Ul'r'tIrl, t,rlnxllr'rtrlr l.rl('rr r!',)riIt(t,rtx!.rlrxrl/lx (l l).rll).tl.l).(ll):l) h.'l(, rr' rl.r'r! urnx!(krUt( lrI h,'t(\x. r l,r)t llnnnttrtr'l,rirn.rtrir!k'\ltrll(rr

(lr , I l.rll 1.. l I.({htl.\Li((la \ l.\ 0.. .ll(.)r r I l.rll l.. l l.rnlnkl.sliicrli r l.f -1,. .'.(l) \ I l.r'll l.: 1 l.,xl klr\liidi \ l.\ o.. .).l.l) \ I I.rll 1.. .l I . odr'lilc \liic(li r l,r -r,. I

Dokazimo:1) zbroj svakih pet uzasbpnih cijclih brojcva djcljivjo s 5;2) zbroj svaka tri uzaslopna parna broja djeljiv.ie sn 6;3) zbroj svaka detiri uzaslopna ncpama cijcla broja djcljivjc s 8.

tlr5t tc 1l Z&oj pet uza opnih cijelih brojeva zapisat acmo na sljdcai ndirl(/ 2) t(,, l) +,l+(,r+l)+(r+2). Taj je zbroj jednak 5n. (r,jc i'air,,rn0idicrjiv s s,2) lrll'rno redom: (2

-2)+2n+(2,t+2) = 6,r. Rzultar j broj djeljiv m 6.3) zhrt'janjem dobijemo: (2n

- 3) + (2

- t) + (Lr + I ) + (2' + 3) = 8,'. oairo. 8,

Ir.h'l)j djeljiv s 8 za svaki cijeli broj ,,.

Zbroj prvih /l pri(xl'rih h(,icv,r icdn.rk ic 561. odrcdinn, ,

ti. .q. Zbtoj n u/r,ropnih cijelih hrojeva rraunc sc po rbrmuli +r .lr Irch,'r'x), dakle. rijeliti kvadratnu jednadzbu x. (,r + l) = 1122. Rjelenja su hr('icvi) 34 i n2 = 33. Kdkoje broj , prirodan, prihvadamo drugo rjeacnje. Zbi(,i prvnl.l prirodna broja jednak je 561.

Primijetimo kako do rjtunja mor-emo dodi i na sljedeii na6in: Broj I122 r{sln-virrro na prosre faktore: ll22:2.3.11.17. Kako je umnozak ,(,r + l) u'nnohrtlviriu uzasropnih prircdnih brojeva, zakljulujemo: ,' = 33.

Prlmlor 6.

I ' l \i) I )/\ t\,'Lrt\,, (. fl 1, I r l|)l

/f'!r/,, l',)slicd"i" sc znlmcnka polencrje l" Friodidki ponavlja. Kako je redomI l. l' 9. lr 27.31 : Sl...., jxsno jc da ic postjednja znamenka odr" (rL) 'ri hiri7. Anrk)8no..icrjc 4tr

- (1,), 4= 1617.4, posljednja zna-

r(.Ikr rrl .l\\ i(sr 4. I LonraDo. posljcdnia znimenka broja 65s je 6. Dakte, posljcdnjat( /rirll(1rk rl)'roikn lr1 455 6s5 znrmenka 8.

N(', lirillrii(lilr kllo svc lri potenciie imaju jednak eksponent. Zbog toga je111 ..ln (,s (.1 .4.(r5s

- 7255 paie posljednja znamenka umnoika jednaka

trAlr(1llrt,)i /nlnr('nci porencijc 255. A onaje, zbog 255 = (2r)rr . 2r,iednaka 8.

/i/, ,rr| N4(r( r, /irtn\llL rl til t5l l0O 50 50 (l I l l L. !50).,/ln,)i l)r,tr'\r u /r!rr(lr t(hirk i. ll75 |l i unx, 5l I 5l 5l I ... I0{)\o \o t.r75 t50ll [75 \'7'1s

Prlmier 7.

Koi ir poslic.lnin,rt'm!.nka umnorka triiu potencija 355 455 .655 )

Prlmler 8.

llmi 750 podijelimo na dva dijela tako da 87. prvos diiela zajedno s24{, d'rgoga aini ll.2% od danog broja.

/r/, ,!rt, Nct.ic.r Ir 750. lrdaje0.08r+0.24]:0.I12.750-84. Ovojc\rsrr\ t(lhritrl7hi i/ koicga se dobije -t : 6m, ) : 150- Prov.jera pokazujc dajc rczullirr l,tr'irr. Nrirnc. lrijcdi: 0.08 600 : 48. zatim 0.24 150 : 36, teje 48 +36 = 84,ir v.( srtr) irrraunnli 84

- 0.1 12. 750. n*oder je _r +, : 600 + 150 : 750.

Prlmier 9.

Akojc omjer razlike. zbroja i umnoika dvaju brojevajednakkolikije kolianik iih brojeva?

l:2:6.

1 :3. t2tttrst\tto t/.Q b):Q+b): I : 2 slijedi r, = 30. Aiz(a+b).(ab):( 3, i /,l0,dobiiese h:1.Zatlrj,],Je a:12.1.je at b=3.

12

Prlmlor 10.

ri ii, lr.lJr.rrx,lrll,iL,v( i//:rpi\rul) /i , rllLlIlskr zrrlrr121,, lrr I a" ril.1J,,,1 I rrr l.,rr -ln I l.-10,,1 .1 ar I 0 ?rr' .1,

,,,r., ,,,,,r,r, icdnrdrhu D|212n1l .i,,i.,koicslii(di , 5l,rirnier 11.

Zbroj anhetiake i geometrijske sredine dvaju pozirivnil,.jeva jedoak je 450. Kolika je aritmcliaka srcdinr drurilrbrojeva?

llln,,tevr,rr\flstr!rsl,r^nr, !ril(11t(!irirl,Al l.)1, .'1,, llr,"( ) li,l(ll tr l)irli ritlt'l

2 +/t t:45(rlr{ ri,/ n.,liJednrko't. 2 i umieJo.r i J nrti\cmo v5- i !^ .rmxllh':

,d +21,y+ uf =e(}0, oanosno (y4+ uf)r:utltt,,nl,,l,le Lo,icnovanjem i diielienjen s 2 dobivamo ttilmcliaku srcd|)u drugih l,(niturirr,,,1"",, /J14-15.

Primier 12.

Koja se znamcnka nalui na 701. mjestu iza decinalne totkc u (lccillrnll.nom zJprsu orol:r r

I' o Brni

-

0.e2R571 ie perioJi(un\IlcriodomdulJine6/nameflli. P,,litrllnx.lr /01 s.r 6, dobivamo kolidnik 116 i osiatak 5. Daklc, pcriod ie se izredali I 16 prll i,,11,(nr njega slijedijo! 5 znamenki. Stoga jc 701 . znamenka iza decimalne toake rprrv( |

Prlmlor 13.

At,) r,. r) t/ ) /r' . lrlrr r) |.l,olik() ic ,, I , ?/l/,\,,r/,, l)r!inIhi hrot l).17l irh(\[,n (:lni])drtrliar (t)crxxliincll!iic/n nrcn.l.) ,,

^ liDk' rr /irIisuli u ,)hlil,u lrllonrkl.

/rt)iirtr) / o l7l 0..1 0.0i'1.( ',,,.,.

.,,r.tr ..nt., , ,r.ri'i ,r,:,r .(,,n,,t., t. j rnH, ' t_, t) /_ tor.11 4( rl.,rl. \1,tr1|, ')"(,\ 7l r.'ir \

lL t lskupinirrl U (,s,,1)c t|ll,si(.!. ll \rlrosl i/ osi .15 Hollinr. Ak(, sc i^lvoic nlli-'ll1,',1l'

osobn. L('ioi ic l5 8t)(lin,r, i isrll-riir. ko,('i ic ls A(trli,ri, toliki jc pr)sickgo(liIr (,sllllih 1??- tt l' razrcdu

.jc 28 uacnik.r. Npisr)r.nonr ispilr i/ malcmrtikc prosjek,\voic,)ih hodovr iznosn, je t5. Akoje5 ulcriLr i'rl.llo 20 bodova. a 3 utenikairlllli nr l),, l8 hodova, koliki je prosjekoslnlih'1

?q: Ncki ic lcrisaa pobijedio u 7 od t8,srcrr, n u slicdcaih 7 s srcla pobijediojc

.l pul . L,r zilc u postocim,rbroj niegovihltrrrruu u svinr ovirn susletirna.

?4- t i;cnu nclog odijcla snircDa je za157 i sll(h i,, osi 942.5 kn. Kolika jel)ih ciicrl (trliicLr priie sni;cnja?25 Akr ciicru goriva nr bcnzinskoj crl)ki lrnrsrc /rl 4t)L . a poto'I. jo\ za 4o/a,koliko ic ukrpno povcianje'l29- t iicnr nckc robe povisi se za t2%.T koliko postdakr bi se rrebala umanjirilx povcarnr cijcna kako bi sc vratila na

?Z- ti nclom razredu na pismenom suisIito poslnvlien.r dva zadatka. Prvi je us-t)ic(,x, riiciilo 727, uaenika, drogi 760l,,(,hr zndrrka rijciilo ih je 12. Svaki jeulcnili rijciio baremjedan zadatak. Koli-ko ic uacnika u tom razrcdu?

3!- lzraiunajte:

K, rlil0 t( l\/) /-r /rl /rl/ee /r()() ? lspiti

30.I r, l

,,,. /ffi tln\'-

\,"/b b,E )

$. ia7. w..h!!: Izralunajte vrijednost brojevnog iz-

l, .0?5Irzalld..b'zl : I"-1 .r'l 'L\ / \ / lt6zad=-.b:0.01.

3E: Racionalizimjte nazivnik u razlom-. 2\/1+ 3rt

2\/3 3\/ 29.q: Raoionalizirajte nazivnik u razlom-

15 15la :/o+63Z: Racionalizimjte nazivnik u razlom-

lru 1q- r'99. rorir

1. l'(\1,(.11'rix /n rIcnkr utrnn)ikll prvitr 5o p11)slih hr(,icvl icsl:B. I c. .l D.5

2. Al(,ic 22rl,) l3(/,) l33l(/,1. kolikoje u istom brojevnom suslavu 2311,1.321,1B. l34l(,) c. l4l l1/,)

:1. l(i.([ir icdn d;be .r+2r+ 3.r +... + l j:259 je:A. l

.l B. I8

A. l1

7.

6 Ra/l(nnrk q+ .iednak jc broju:

D- I l34o

D. I24

4. t I kinodvor.rnijc 50 redova, u svakom jc rcdu 25 sledala. Ako ie u svakom redutxi prl prar)ih sjcdala popunjenost dvorancje:

8.15'ti c. iJ07. o- 90.'/a

c.i

c. I o.

c. 10099

l, 'J b',. \1.' t, . lnlrko r( :t,'tl J/, I .

A. l

A. l

B-536

8.0.99

8.4 c.u

o-19

D. t6

D. 0.rl

61

( i((,ncrri)ska sredinadvaju pozirivnih realnih brojeva je 2, zbroj njihovih kvadratat(.lt. Aitmctiaka srcdina tih brojcya iznosi:

(l 8,) lA. ()l B. 0.5 C. I

10.

q- ,l r/t8l+ 3 - v4FrtrlB3lA. 2',/2 t B. 3 2A c. 2 vA D. l+2/2

A. I2 sllti

K(,likr ) dugo ae putovati radiosignal, koji se kreie brzinom svjertosti ( 3 . 105 knv s).s Mlrs do Zemlje atoje udaljenost ovih dvaju planetajednaka 1.38 . 103 km?

ll

B, 20 min 15 sek C. I h 2.1 Drin D. 7 min 4l) sck

llIlt:l

I /l'r(i! \.!(L,/x\rt)t!rlrLrt.lLl[,)tt.\,r r/rii\L I)/\ Nrt!r,Lnt ,il rtr r,1tL.r\ r,A. l0

. \.,, .,r ' rr'',.:, lr,,r:, r,, rr:,1,' .,r,1,' 1, 1 r, -, lr.,r.. r,,1".'.,,.a. t.l

B. l5

^. ',/tiir B. 2r

li. Akoje 2ro 5''? : n. 103, ondaje:

r r\k{) i. \ ,i ,i ,.,. , r{) r. , r1rr. r.'d,r ic:A. \ l(X).01 B. r: l0l C. t: l(ll I D., llll

c..t0

c. iorc

" ra!

c.6

D. Lt)r)

I Kolilo inu ciiclih brr)icvtr/l. l---".- l{}0koji nisudicliivi 'ris l.l'is rl

B. to C. () D. I

B. 50 c. .12 D. ()/

r' od ictiridana brojr tri su imcionalna. .iedan ie racional"n. li)jch'r'i

D, r ,'

/ ohujrln brklerijc jcdnak jc 0.00fi100iu)00fi)0025 nrr. Zrpilrn u /rrrr\(\.rhrirolrikn tri broi glasi:A.25.10 15 8.2.5.1016 c.2.5.r0 16 D.2.5 ro r/

8 Akojc 15% od r jcdDrko 24t od210.ondajcl

A.a:2.5 B-n:25 C. n:250 D., l5oo

A.r:336 B. r 450 C. .f -

240 D. \ .l.lo,lar r ,2f r 2

s. vrijedno.r brojevnocinan; . _; , ,, ,_., . na,,*,r.,

10, (v/, t)'z.(4+2vlr) :4.2

A -j-::1296

B- 133468

I ',\5o-

246

D. ll8.4

lspll2

I ll!'t ir\/'o,lt.lr,\ r( \ir(' l.(lirUiI|')/,rl /I.IrrILr ,! n.M/rhill t.(llr.rlB. l0 c. lo

2. /h(,1 \vih (iirlih hr(Jicvl , ,, koic ic irt'rl(nnrka. I B. l, c. ll

3.

B.r l C.r:5

.l-l 1l ierlnikolA. lltl

5. Al,o jc r {).1 . r, 0.01 . -$: : l . ladaje:A.. l)ool C.;: l0

o. 15

cijeli broj jcdnak je:D.

-10

D..r II2l . U i\k)i ic bari ond.r

D.2|2

O.. 0.1

B. I l]t

B.::1000

B.h

6,,}'

\ ,t t' d dh L / dnrrrjc lgchrrsk (,pcrnciin u skupu rcalnih brojeva. Akor( 1,, (\ l) 9.o"(hicl z.lekcija

4. lr n.[(,i ic h',,icvo(,i hlri roina jcd nkost 22 + 33 :

c. 1 122

6. l'ril /r'r u ohliku lx)tcncije s bazom 3 zbroj 5.95+4.273+8.3e jcdnal.ie:B. r| c.3rr D. 3rl

7. N,rinn'riiod hrojevr a,=0.01, r= 100 r5, c=0.1 ,. d= i,6.001 jesrbroj:C.r

A. IItoI B. 1.2.10 r c. loI D. l).lt . l0 h

I

IO

D. rl

Aro ic a .t''', b - 25" t te n 2 l. onda je umnozak dD broj koji ima:A.2aznanrcnki B. n+ I znamcnku C. ,, + 2 znamenke D.2,,+ I znamnki

lrr(,i (.l r s r) ':jcdnakje:

lt

s.

B. tl c. 4l o. J(X)l'(,vriinr llrvatske jednaka je 56 542 km2, povrlina Zemlje jc 510 U)0 000 km2.o'rlcr rih dviju povrxin! jcdnakje:

\ t

1ZTazl