Matematika Teknik Dasar-26 – Koordinat Bola danSilinderSebrian Mirdeklis Beselly PutraTeknik Pengairan – Universitas Brawijaya

BOLA - definisi

▪ Bola adalah lokus sebuah titik yang bergerak sehingga jaraknya dari titik pusatnya adalah konstan.

▪ Titik tetap tersebut disebut sebagai pusat dan jarak konstan adalah radius bola.

▪ Untuk mencari persamaan sebuah bola dengan pusatnya adalah (a, b, dan c) dan radiusnya adalah r.Jika P (x,y,z) berada pada sebarang titik di bola.

Jarak P dari pusat (a,b,c) adalah 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 + 𝑧 − 𝑐 2 yang sama dengan radius r (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2 adalah persamaan yang dibutuhkan.

▪ Maka persamaan sebuah bola dimana pusat bola adalah titik asalnya dan radius rx2 + y2+ z2 = r2

BOLA – persamaan umum

▪ Untuk menunjukkan bahwa persamaan x2 + y2 + z2 + 2ux + 2vy +2wz +d = 0,merepresentasikan bola dimana pusatnya adalah (-u, -v, -w) dan radiusnya adalah

𝑢2 + 𝑣2 +𝑤2 − 𝑑 maka persamaan dapat ditulis dengan bentuk(𝑥 + 𝑢)2+(𝑦 + 𝑣)2+(𝑧 + 𝑤)2= 𝑢2 + 𝑣2 +𝑤2 − d

▪ Kuadrat dari jarak pada titik sebarang (x,y,z) dari (-u, -v, -w) adalah konstant dan sama denganu2+v2+w2-d

maka persamaan tersebut merepresentasikan sebuah bola yang pusatnya adalah (-u, -v, -w)

dan radius 𝑢2 + 𝑣2 +𝑤2 − 𝑑

BOLA – persamaan umum

Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang datar di koordinat geometri,persamaan sebuah bola memiliki tiga karakteristik:

1. Memiliki derajad dua di x,y,z

2. Koefisien x2,y2,z2 adalah sama

3. Produk xy, yz, zx tidak ada.

▪ Jika koefisien dari x2,y2,z2 memiliki satuan masing-masing, maka koordinat titik pusat adalah:(-1/2 koef. x, -1/2 koef. y, -1/2 koef. z) dan kuadrat radius setara dengan jumlah kuadrat darikoordinat titik pusat dikurangi nilai konstan.

▪ Catatan: persamaan sebuah bola dimana titik pusatnya di (x1, y1, z1) adalah x2 + y2 + z2 – 2x1x –2y1y – 2z1z + d =0

BOLA – bentuk diameter dari persamaan

Untuk menemukan persamaan bola yang dideskripsikan oleh sebuah garis yangmenggabungkan titik A (x1, y1, z1); B (x2, y2, z2) sebagai diameter.

Jika P (x,y,z) sebarang titik pada bola yang dideskripsikan oleh AB sebagai diameternya.

Arah kosinus AP dan BP adalah proporsional dengan

x – x1, y – y1, z – z1; dan x – x2, y – y2, z – z2;

Dimana sudut APB adalah sudut yang dicari, maka untuk sudut semilingkarang ABP adalah

(x – x1)(x – x2) + (y – y1)(y – y2) + (z – z1)(z – z2) = 0

BOLA – konstanta di persamaan bola

Persamaan Umum dari bola adalah

x2 + y2 + z2 + 2ux + 2vy +2wz +d = 0

Persamaan ini mengandung empat konstanta sebarang, yang mana sebuah bola dapat ditemukan untuk memenuhi empat kondisi, dimana masing-masing memberikan tambahan untuk satu persamaan independen pada konstanta. Sehingga sebuah bola dapat ditemukan melewati empat titik yang tidak berada pada satu bidang.

Jika x2 + y2 + z2 + 2ux + 2vy +2wz +d = 0

BOLA – konstanta di persamaan bola

Jika x2 + y2 + z2 + 2ux + 2vy +2wz +d = 0

Maka persamaan bola yang melewati empat titik yang diberikan:

A (x1, y1, z1); B (x2, y2, z2); C (x3, y3, z3); D (x4, y4, z4); (1)

x12 + y1

2 + z12 + 2ux1 + 2vy1 +2wz1 +d = 0 (2)

x22 + y2

2 + z22 + 2ux2 + 2vy2 +2wz2 +d = 0 (3)

x32 + y3

2 + z32 + 2ux3 + 2vy3 +2wz3 +d = 0 (4)

x42 + y4

2 + z42 + 2ux4 + 2vy4 +2wz4 +d = 0 (5)

BOLA – konstanta di persamaan bola

Temukan nilai dari u,v,w, dan d dari persamaan (2), (3), (4), dan (5) dan substitusikan pada (1) untuk mendapatkan persamaan yang dibutuhkan.

Maka dari itu, menggunakan determinan, hasil dari eliminasi u,v,w, dan d dari 5 persamaan adalah:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑥 𝑦 𝑧 1

𝑥12 + 𝑦1

2 + 𝑧12 𝑥1 𝑦1 𝑧1 1

𝑥22 + 𝑦2

2 + 𝑧22

𝑥32 + 𝑦3

2 + 𝑧32

𝑥42 + 𝑦4

2 + 𝑧42

𝑥2 𝑦2 𝑧2𝑥3 𝑦3 𝑧3𝑥4 𝑦4 𝑧4

111

= 0

Merupakan persamaan yang dibutuhkan pada sebuah bola

BOLA – Contoh 1

(a) Berapakah diamter bola yang bersinggungan pada (2, -3, 1) dan (1, -2, -1)

(b) Berapa pusat bola di (6, 1, 3) dan radius 4

Jawaban:

a. Nilai ekstrim dari diameter bola adalah (2, -3, 1) dan (1, -2, -1)

Persamaan bola adalah

(x-2)(x-1)+(y+3)(y+2)+(z-1)(z+1)=0; atau

x2 + y2 + z2 – 3x + 5y + 7 = 0

BOLA – Contoh 1

b. Persamaan bola dimana titik pusatnya adalah (-6, 1, 3) dan radius 4 adalah

(x+6)2 + (y-1)2 + (z-3)2 = 42; atau

x2 + y2 + z2 + 12x - 2y -6z + 30 = 0

BOLA – Contoh 2

Temukan persamaan dari bola yang melewati titik-titik (0, 0, 0), (0, 1, -1), (-1, 2, 0), dan (1, 2, 3)

Jawaban:

Persamaan dari sebuah bola adalah: x2 + y2 + z2 + 2ux + 2vy +2wz +d = 0

Dikarenakan bola melewati titik-titik (0, 0, 0), (0, 1, -1), (-1, 2, 0), dan (1, 2, 3)

d = 0 (1)

1 + 1 + 2v – 2w + d = 0 atau v – w + 1 = 0 (2)

1 + 4 – 2u + 4v + d = 0 atau -2u + 4v + 5 = 0 (3)

1 + 4 + 9 + 2u + 4v + 6w + d = 0 atau u + 2v + 3w + 7 =0 (4)

BOLA – Contoh 2

Kita menyelesaikan persamaan (2), (3), dan (4) didapatkan:

𝑢 = −15

14, 𝑣 = −

25

14, 𝑤 = −

11

14

Nilai-nilai tersebut disubstitusikan, maka persamaan bola menjadi:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 −15

7𝑥 −

25

7𝑦 −

11

7𝑧 = 0; atau 7(x2 + y2 + z2) – 15x – 25y – 11z = 0

BOLA – Contoh 3

Temukan persamaan bola yang melewati titik (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a) dan titik pusat tersebutterletak di bidang x+y+z=a.

Jawaban:

Mengingat persamaan bola adalah: x2 + y2 + z2 + 2ux + 2vy +2wz +d = 0

Dikarenakan melewati (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a)

a2 + 2ua + d = 0 (1)

a2 + 2va + d = 0 (2)

a2 + 2wa + d = 0 (3)

BOLA – Contoh 3

Titik pusat bola (-u, -v, -w) terletak pada bidang x + y + z = a

-(u + v + w) = a (4)

Dari persamaan (1), (2), dan (3) didapatkan u = v = w dan dari persamaan (4) u=v=w= -a/3

Dan dari (1) d = -a2/3

Substitusi nilai-nilai tersebut, persamaan bola menjadi:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 −2𝑎𝑥

3−

2𝑎𝑦

3−

2𝑎𝑧

3−

𝑎2

3= 0; atau 3(x2 + y2 + z2) – 2ax – 2ay – 2az – a2 = 0

Catatan: dikarenakan x+y+z=a merepresentasikan bidang yang melewati tiga titik yang diberikan, persamaan bola yang didapatkan di atas akan merepresentasikan bola yang melewati tiga titik danmemiliki radius sekecil mungkin. Radius yang didapatkan akan sama dengan radisu lingkaran melewatitiga titik dimana pusat bola akan berada pada bidang yang melewati tiga titiknya.

BOLA – Potongan Bidang dari Bola

Diketahui bahwa bagian/ potongan bola pada sebuah bidang adalah lingkaran.

Jika bidangnya melewati pusat bola, lingkaran yang terbentuk adalah lingkaran terbesar di bola.

BOLA – Potongan Bidang dari Bola

PQR adalah sebuah bidang yang memotong bola dalam bentuk lingkaran dimana titik pusatnya adalah L dan radiusnya adalah PL, maka:

BOLA – Potongan Bidang dari Bola

1. Garis yang bergabung di titik pusat bola pada pusat perpotongan adalah tepat pada bidang perpotongan, OL adalah tegak lurus terhadap bidang PQR

2. (radius perpotongan)2 = (radius bola)2 – (tegak lurus dari pusat bola ke bidang perpotongan)2

PL2 = OP2 – OL2

BOLA – Perpotongan Dua Bola

Titik yang terjadi dari dua bola yang berada pada bidang dan karena bidang perpotongan adalah lingkaran, kurva perpotongan dari dua bola adalah lingkaran.

Jika S1 = x2 + y2 + z2 + 2u1x + 2v1y +2w1z +d = 0

S2 = x2 + y2 + z2 + 2u2x + 2v2y +2w2z +d = 0

Diperhatikan persamaan S1 – S2 = 0.

Sekarang, S1 – S2 = 2(u1-u2)x + 2(v1-v2)y + 2(w1-w2)z + d1 – d2 = 0; merepresentasikan derajad pertama bidang.

BOLA – Perpotongan Dua Bola

Titik yang terjadi dari dua bola yang berada pada bidang dan karena bidang perpotongan adalah lingkaran, kurva perpotongan dari dua bola adalah lingkaran.

Jika S1 = x2 + y2 + z2 + 2u1x + 2v1y +2w1z +d = 0

S2 = x2 + y2 + z2 + 2u2x + 2v2y +2w2z +d = 0

Diperhatikan persamaan S1 – S2 = 0.

Sekarang, S1 – S2 = 2(u1-u2)x + 2(v1-v2)y + 2(w1-w2)z + d1 – d2 = 0; merepresentasikan derajad pertama bidang.

BOLA – Perpotongan Dua Bola

BOLA – Persamaan Lingkaran

Telah diperhatikan dari perpotongan bola dan bidang yang terbentuk dari perpotongan dua bola adalah lingkaran.

Oleh karena itu, sebuah lingkaran dapat direpresentasikan oleh dua persamaan, satu adalah bola dan yang lainnya adalah bidang persamaan dari dua bola.

BOLA – Bola yang melalui Lingkaran

Jika sebuah lingkaran diberikan dari persamaan bola dan bidang.

S1 = x2 + y2 + z2 + 2u1x + 2v1y +2w1z +d = 0

U = ax + by + cz + d = 0

Persamaan bola yang melewati lingkaran adalah

S1 + kU = 0

Jika lingkaran yang diberikan melalui persamaan oleh dua bola.

S1 = x2 + y2 + z2 + 2u1x + 2v1y +2w1z +d = 0

S2 = x2 + y2 + z2 + 2u2x + 2v2y +2w2z +d = 0

BOLA – Bola yang melalui Lingkaran

Persamaan dari bidang umum dari perpotongan dua bola adalah:

S1 - S2 = 0 = 2(u1-u2)x + 2(v1-v2)y + 2(w1-w2)z + d1 – d2

Persamaan bola melalui lingkaran dari perpotongan dua bola adalah

S1 + kS2 = 0; atau

S1 + k(S1 – S2) = 0 (jika bidang S1-S2=0)

BOLA – Contoh 4

Temukan titik pusat dan radius dari lingkaran yang mana bentuk persamaan bola adalah x2+y2+z2+2x-2y-4z-19=0 yang memotong sebuah bidang x+2y+2z+7=0

Temukan juga persamaan bola yang memiliki lingkaran di atas lingkaran besar.

Jawaban:

Pusat bola adalah (-1, 1, 2) dan radiusnya adalah: 12 + 12 + 22 + 19 = 5

Arah kosinus yang normal ke bidang adalah proporsional menjadi (1, 2, 2)

Persamaan yang tegak lurus dari pusat bola ke bidangnya adalah:𝑥 + 1

1=𝑦 − 1

2=𝑧 − 2

2= 𝑟

BOLA – Contoh 4

Sebarang titik dari garis adalah:

R-1, 2r+1, 2r+2

Jika ini adalah lingkaran yang diperlukan, maka akan berada pada bidang yang diberikan

(r-1)+2(2r+1)+2(2r+2)+7=0

𝑟 =−4

3

Pusatnya adalah −7

3,−5

3,−2

3

Panjang garis tegak lurus dari (-1, 1, 2) dari bidang adalah:−1 + 2 + 4 + 7

12 + 22 + 22= 4

BOLA – Contoh 4

Radius lingkaran adalah 52 − 42 = 3

Sekarang persamaan bola yang titik pusat dan radiusnya adalah sama dengan lingkaran di atasnya adalah:

𝑥 +7

3

2

+ 𝑦 +5

3

2

+ 𝑧 +2

3

2

= 32

Atau, 3(x2+y2+z2)+14x+10y+4z=1

BOLA – Contoh 5

Temukan persamaan bola yang memiliki titik pusat bidang 4x-5y-z=3 dan melewati lingkaran x2+y2+z2-2x-3y+4z+8=0; x-2y+z=8

Jawaban:

Persamaan bola yang melewati lingkaran adalah:

x2+y2+z2-2x-3y+4z+8+k(x-2y+z-8)=0; (S+kU)=0

Pusatnya adalah 1 −𝑘

2,3

2+ 𝑘,−2 −

𝑘

2

Pusatnya terletak pada bidang 4x-5y-z=3, maka

4 1 −𝑘

2− 5

3

2+ 𝑘 − −2 −

𝑘

2= 3; 𝑘 = −

9

13

BOLA – Persamaan Bidang Tangen

Untuk menemukan persamaan bidang tangen pada sebarang titik P(x1,y1,z1) dari bola

x2 + y2 + z2 + 2ux + 2vy +2wz +d = 0

Diketahui bahwa garis yang menyambung dari pusat bola ke titik sebarang pada tegak lurus dari bidang tangen

Sekarang pusat dari bola adalah C (-u, -v, -w)

Perbandingan arah dari garis menyambung dari P(x1,y1,z1) ke C(-u, -v, -w) adalah (x1+u, y1+v, z1+w)

Persamaan bidang yang melewati P(x1,y1,z1) dan memiliki CP pada bidang normalnya.

BOLA – Persamaan Bidang Tangen

(x1+u)(x-x1)+(y1+v)(y-y1)+(z1+w)(z-z1)=0

Atau xx1+u(x-x1)+yy1+v(y-y1)+zz1+w(z-z1)-(x12+y1

2+z12) = 0 (2)

Tetapi (x1,y1,z1) adalah titik dari bola memenuhi (1)

x12+y1

2+z12+2ux1+2vy1+2wz1+d=0

Atau x12+y1

2=-2ux1-2vy1-2wz1-d

Disubstitusi nilai dari (x12+y1

2+z12) pada (2) didapatkan:

Xx1+u(x-x1)+yy1+v(y-y1)+zz1+w(z-z1)+(2ux1+2vy1+2wz1+d)=0

Atau xx1+yy1+zz1+u(x+x1)+v(y+y1)+w(z+z1)+d=0

BOLA – Kondisi Tangensi

Untuk menemukan bidang Ax+By+Cz+D=0 yang mungkin menyentuh bola x2 + y2 + z2 + 2ux + 2vy +2wz +d = 0

Sebuah bidang akan menyentuh bola jika panjang dari garis tegak lurus dari pusat bola ke bidang yang sama dengan radius bola.

Pusatnya adalah di (-u, -v, -w) dan radiusnya adalah 𝑢2 + 𝑣2 +𝑤2 − 𝑑

Panjang garis tegak lurus dari (-u, -v, -w) ke bidangnya adalah:−𝐴𝑢 − 𝐵𝑣 − 𝐶𝑤 + 𝐷

𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2

BOLA – Kondisi Tangensi

Panjang garis tegak lurus dari (-u, -v, -w) ke bidangnya adalah:−𝐴𝑢 − 𝐵𝑣 − 𝐶𝑤 + 𝐷

𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2

−𝐴𝑢 − 𝐵𝑣 − 𝐶𝑤 + 𝐷

𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2= 𝑢2 + 𝑣2 +𝑤2 − 𝑑

Atau (Au+Bv+Cw-D)2=(A2 + B2 + C2)(u2 + v2 + w2 – d)

BOLA – Kondisi untuk Dua Bola yang Saling Memotong Secara Orthogonal

Untuk menemukan kondisi dari dua bola yang orthogonal:

x2 + y2 + z2 + 2ux + 2vy +2wz +d = 0

x2 + y2 + z2 + 2u1x + 2v1y +2w1z +d = 0

Bola yang saling memotong secara orthogonal jika pangkat dari jarak antara pusatnya sama dengan jumlah pangkat dari radiusnya.

Pusatnya adalah

(-u, -v, -w) dan (-u1, -v1, -w1)

Dan radiusnya adalah

𝑢2 + 𝑣2 +𝑤2 − 𝑑 dan 𝑢12 + 𝑣1

2 +𝑤12 − 𝑑1

BOLA – Kondisi untuk Dua Bola yang Saling Memotong Secara Orthogonal

(u-u1)2 + (v-v1)2 + (w-w1)2 = (u2 + v2 + w2 – d) + (u12 + v1

2 + w12 – d1)

Atau 2uu1 + 2vv1 + 2ww1 = d1 + d2

BOLA – Contoh 6

Tunjukkan bahwa bidang 2x – 2y + z + 12 = 0 menyentuh bola x2 + y2 + z2 -2x -4y + 2z = 3

Dan temukan titik kontaknya.

Jawaban:

Pusat bola adalah (1, 2, -1) dan radiusnya adalah 12 + 22 + 12 + 3 = 3

Panjang garis tegak lurus dari (1, 2, -1) ke bidang = 2𝑥1 −2𝑥2 −1+12

22−22+12=

9

3= 3

Dimana hasil di atas adalah radius dari bola. Bidang yang terbentuk akan menyentuh bola.

BOLA – Contoh 6

Persamaan garis melalui (1, 2, -1) dan normal terhadap bidang adalah 𝑥−1

2=

𝑦−2

−2=

𝑧+1

1= 𝑟

Sebarang titik pada garis adalah:

(2r+1, -2r+2, r-1)

Ini akan menjadi titik kontak jika terletak pada bidang.

2(2r+1) – 2(-2r+2) + r – 1 + 12 = 0

9r = -9 r = 1

Titik kontaknya adalah (-1, 4, -2)