matematika prirucnik 2015 požarevac

8/19/2019 Matematika Prirucnik 2015 Požarevac

1/65

ПРИРУ

ПОЛАГАЊ

ВИСОК

−++333

3 xyz z y

НИК

ЗА

ПРИПРЕМУ

ЗА

Е ПРИЈЕМНОГ ИСПИТА НА

ОЈ

ТЕХНИЧКОЈ

ШКОЛИ

У

ПОЖАРЕВЦУ

Алекса Срдан!

Пожаревац, 2015.

( ) +++= 2( z y x


2/65

~ 2 ~

Р.". Тема Стр.

1. С#е$ен!а%е & крен!а%е 3

Зада'& #а !е()* 4

У$*#с#!а & ре+е%а 6

2. Ал,е)арске -една.&не & не-една.&не 14

Зада'& /а !е()* 16

У$*#с#!а & ре+е%а 18

3. Екс$нен'&-ална & л,ара0ска 1*нк'&-а 33

Зада'& /а !е()* 35

У$*#с#!а & ре+е%а 35

4. Екс$нен'&-ална & л,ара0ска 1*нк'&-а 42

Зада'& /а !е()* 44

У$*#с#!а & ре+е%а 45

5. Тр&,н0е#р&-а 49

Зада'& /а !е()* 51

У$*#с#!а & ре+е%а 52

6. П!р+&на & /а$ре0&на ,е0е#р&-ск&2 #ела 56

Зада'& /а !е()* 57

У$*#с#!а & ре+е%а 58


3/65

~ 3 ~

1. С#е$ен!а%е & крен!а%е

1.1. С#е$ен!а%е $р&рдн&0 )р-е0

Ако је a било који реалан број тада је

,1 aa = ,2 aaa ⋅= ,3 aaaa ⋅⋅= ,4 aaaaa ⋅⋅⋅= и уопште, за произвољан природан број n имамо

....пута-

43421n

n aaaa ⋅⋅⋅=

За произвољне реалне бројеве ba , и произвољне природне бројеве nm , важе

следећи закони:

(1) ;nmnm aaa +=⋅

(2) ( ) ;mnmn aa ⋅= (3) ( ) ;mnn baab ⋅=

(4) ;n

nn

b

a

b

a=

.0≠b

1.2. С#е$ен!а%е 'ел&0 )р-е0

Ако је 0≠a и n произвољан природан број, тада уводимо дефиницијe:

,10 =a .1n

n

aa =−

Претходним дефиницијама је дефинисано степеновање са нулом и неативним бројем за основе разли!ите од нуле. "ада је основа нула важи

.0 ,

1 ,00

≤

≥=

nдефинисноније

nn

За степеновање целим бројем важи и

(5) ,mnm

n

ab

a −= .0≠b

1.3. 3е1&н&'&-а крена

За сваки позитиван реалан број a и сваки природан број n постоји та!но један

позитиван број b такав да је .abn =

Тај јединствен и позитиван број b озна!авамо са n a и називамо n -ти корен

позитивно броја .a

Специјално, у слу!ају ,1=n уместо 1 a пишемо једноставно само ,a а у слу!ају

2=n , уместо 2 a , пишемо краће .a #акле, када је подкорена вели!ина позитивна, вредност корена је јединствен и

позитиван број. $ слу!ају када је подкорена вели!ина неативна разликујемо два слу!аја:

а) ако је n паран број, онда n -ти корен из неативно броја a није дефинисан;

б) ако је n непаран број, онда n -ти корен из неативно броја a дефинишемо као

.nn aa −=


4/65

~ 4 ~

Пример. ,42 − 4 16− нису дефинисани, односно не постоје у оквиру скупа реалних

бројева, а .2888 333 −=−=−−=−

Ако су ba, позитивни реални бројеви, а nm, природни бројеви важи:

(5) ,nnn abba =⋅ ,nn

n

b

a

b

a= ( ) ,n mmn aa = .mnm m aa ⋅=

По дефиницији вредност корена је јединствен позитиван број. Заборављањем

ове !ињенице !есто се долази до мноих порешних резултата. Тако је ,24 = без

обзира што је и ( ) .42 2 =− То не треба мешати са !ињеницом да једна!ина 42 = x има два

реална решења. $ том смислу треба строо водити ра!уна да је

.2 aa =

1.4. С#е$ен!а%е ра'&налн&0 )р-е0

Сада можемо дефинисати израз xa де је a произвољан позитиван број, а x било који рационалан број. Сваки рационалан број се може записати као коли!ник два

природна броја. #акле, .n

m x = Тада је, по дефиницији

.n mn

m

x aaa ==

Ако су ba, произвољни реални бројеви, pm, цели бројеви и qn, природни

бројеви важи:

(6) ;q p

n

m

q

p

n

m

aaa+

=⋅

(7) ;: q p

n

m

q

p

n

m

aaa−

=

(8) ;nqmp

q

p

n

m

aa =

(9) ( ) ;nm

n

m

n

m

baab ⋅=

"од овакве дефиниције јавља се проблем што записивање рационалних бројева

није јединствено одре%ено. &аиме, ...15

6

10

4

5

2=== $ том слу!ају понекад се може

појавити следећи проблем. Ако бисмо 3 8− записали као ( ) ,8 31

− тада, збо тоа што је

6

2

3

1= , имали бисмо да је ( ) ( ) .88 6

2

3

1

−=− 'е%утим, ( ) ,288 331

−=−=− док је

( ) ( ) ,26488 66 262

==−=− а тако%е можемо писати и ( ) ( ) ,88 2662

−=− што није дефинисано.

(вако разли!ити резултати моу бити узрок мноим решкама и треба о томе водити ра!уна.


5/65

~ 5 ~

Зада'& /а !е()*

1. Ако је ,11 =+ −aa изра!унати

а) 22 −+ aa ; б) 33 −+ aa ; ц) .55 −+ aa 2. )аставити на !иниоце:

а) ;4224 y y x x ++ б) ;10178 23 +++ x x x ц) ;92 22 y x xy −+− д) ;22 bbxbxaaxax +−−−+ е) .250432 44 xy y x +

3. $простити израз

( ) ( ) ( ).

2222

22

accbba

bccb

−−−+−

−+

4. Ако је ,3232 33 +−−= x изра!унати вредност израза

.3233

++ x x

5. Ако је ,0=++ z y x ,1222 =++ z y x изра!унати .444 z y x ++

6. $простити израз

,444

:2

2

2 2

224

22

22

aabba

bbaa

baba

bba

ab

ba

+++

−++

−−

−++

−−

−

а затим наћи њеову вредност за 4

32=a и .1−=b

7. *зра!унати ( )( )( )( ).acbcbacbacba −++−−+++

8. )ационалисати следеће имениоце:

а) ;632

32231

++

−+ б) ;

1

3 y x − ц) ;

321

1

++

д) ;811

3

44−

е) .1236

32

−+−

+

9. #оказати идентитете:

а) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) .111111111111abcd

d cbaabcd

cbaabc

baaba

a++++=++++++++++

б) ,10 ,1

1 ,1

1

1:

12

12

4

4

4

=

−

+

+−

+−

x

x

x

x

x x

x x.1,0 ≠≥ x x

ц)( )

.0 ,1

22

2

1

2

1

>+

=

+

−

x x

x x x

д)( )( )

.0 ,4

111

1

1

2

1

2 2

22

>−−

=

+

++

+

−

− x

x

x x x

x x

x

x

x

x

x

е) .1 ,0 ,023

2

3

1

3

1

3

1

3

4

3

4

3

1

3

2

3

2

≠≠=

−

−

−

+

−−−

x x

x x

x

x x

x

x x

x

ф) ( ) ( ) ( ).2 y x y y x y x

y x y x y x

y x

y x y x −=

+−

+

−+⋅

−+

−

+−

10. $простити изразе

а)

+−

++

−

+

+

−

xy

y x

y xy

x

x xy

y x

y x

xy y:


6/65

~ 6 ~

б) .:1

22

22111

ba

baa

ab

ba

ab

ba

a −

+

−

+

−+

−−−

ц) ;1

:1

2 x x x x x x

x

−++

+

д) ;2

1

1

:

1

15.05.1

5.0

2

1 −+−

+

++

−

x x

x

x x

x

е) ( )( ) .11

1

11

11

2211

+−

−

++−

−−

−

−−

−−

−−−−

ba

b

ba

a

ab

bababa

11. *зра!унати вредност израза за дате вредности арумената.

а) ,22

1

44

1

44

1:1

1

1 22

+−

−+

+

−−

− aaaa

a за ;

2

3=a

б) ,uvuuvuu ++⋅−+⋅ за ;6,5 65 == vu

ц) ,211

21211

21 x

x x

x−−

−+

++

+

за ;43= x

д) ,1

1

1 21

2

1

2

1

2

1

−

−−

+

−−−

a

aa

a

a за ;5=a

е) ,

1

1

1

1

4

3

4

3

4

3

2

1

4

1

2

1

+

−+

−

+⋅

+

+

x

x

x

x x

x x

x за ;16= x

ф) ,

3

3432 32

−

+−−

x

x x за .23 3−= x


7/65

~ 7 ~

У$*#с#!а & ре+е%а

1.Треба искористити формуле за степене бинома:

( ) ,2 222 bababa ++=+

( ) ( )baabbababbaaba +++=+++=+ 333 3332233 ,

( ) ( ) ( ).105510105222255543223455 bababaabbababbababaaba +++++=+++++=+

Заменом 1−= ab и знајући да је 101 ==⋅ − aaa , као и да је 11 =+ −aa лако налазимо да је:

а "вадрирањем је ( ) ,1221 =+ −aa односно .12 212 =++ −− aaaa )ешење: ;122 −=+ −aa

б) "убирањем ( ) ,1331 =+ −aa односно ( ) ,13 3113 =++⋅+ −−− aaaaaa итд. )ешење је:;23133 −=−=+ −aa

ц) #изањем на пети степен ( ) ,1551 =+ −aa добија се ( ) ( ) ( ) ,1105 221332155 =+⋅++⋅++ −−−− aaaaaaaaba односно .1101055 =−−+ba

)ешење је: .2155 =+ −aa 2.

За растављање на !иниоце треба се присетити следећих формула:

( ); y x A Ay Ax +=+ ( )( );22 y x y x y x +−=− ( )( );2233 y xy x y x y x +−+=+ ( )( ).2233 y xy x y x y x ++−=−

а) Применом формуле за квадрат бинома, па потом разлике квадрата имамо

( ) ( )( ).2222222224224 y xy x y xy x y x y x y y x x +−++=−+=++

б) Потребно је присетити се теореме о рационалним нулама полинома. Ако је број q

p

нула полинома онда је број p делилац слободно !лана, а број q је делилац

коефицијента уз највећи степен то полинома. $ овом слу!ају ако полином има

рационалне нуле онда је { }10,5,2,1,1,2,5,10 −−−−∈ p и { }.1,1−∈q #акле, једине рациналне нуле моу бити неки од бројева: -10,-5,-2,-1,1,2,5,10. Провером налазимо да су бројеви -1,-2 и -5 нуле. &а основу +езуово става можемо писати да је:

( )( )( ).52110178 23 +++=+++ x x x x x x

ц) *деја је сли!но као под а)

( ) ( ) ( )( ).3332992 222222 y x y x y x y xy x y x xy +−−+=−−=+−−=−+− д) Треба применити дистрибутивни закон и руписање !ланова

( ) ( ) ( )( ).111 22222 ba x x x xb x xabbxbxaaxax −−+=−+−−+=+−−−+ е) Сли!но као бод д) уз додатак растављања збира кубова

( ) ( )( ).22250432 223344 y xy x y x xy y x xy xy y x +−+=+=+

3.Треба приметити да се бројилац може записати као ( )222 2 cbbccb −=−+ , док је именилац једнак

( ) ( ) ( ) ( ) .2222222 2222222222 bcabacbaacccbcbbabaaccbba −−+=+−−+−++−=−−−+− #обијени именилац се може раставити на !иниоце поновљеним дистрибутивним

законом ( ) ( ) ( )( ).2222222 2 abcbbcacbbbcabacb −−=−+−=−−+ После замене у полазни

разломак и скраћивања добија се резултат ( )

.2 ab

cb

−

−

4. "убирањем полазне једнакости (формула као за 1. задатак!) добијамо


8/65

~ 8 ~

( )

( )( ) .3233232323

32323232323323232

3

33333

333

−−=−⋅+−−

=+−

++−+⋅−−−=

+−−=

x x

x

x

4 4 4 34 4 4 21

Пребацивањем на леву страну добија се 03233 =−+ x x .

5. *скористимо формулу за квадрат тринома дату са (тк) ( ) .2222222 bcacabcbacba +++++=++

Заменом , xa = , yb = , zc = у формулу (тк) добијамо

( ) ,022 =++ z y x односно ,0222222 =+++++ yz xz xy z y x тј. ( ).2222 yz xz xy z y x ++−=++

(давде налазимо да је .2

1−=++ yz xz xy Поновним квадрирањем ове једнакости добијамо

( ) ,2

12

2

−=++ yz xz xy тј. ,

4

12

0

222222=

+++++43421 z y x xyz z y z x y x тј. .

4

1222222=++ z y z x y x

Заменом 222 ,, zc yb xa === у формулу (тк) добијамо

( ) ,122222 =++ z y x односно .1222 222222444 =+++++ z y z x y x z y x

Сада лако налазимо да је резултат .2

1

6. *зраз у заради треба сра!унати, а изразе у делиоцу треба прво раставити на !иниоце.

( ) ( )( ).222242444 2222224 ++−+=−+=−++ babababbaa ( ) ( )( ).12 ++=+++=+++ abaabbaaaabba

( )( ) ( ) ( )( ).2222242 22222 babaabbbabaabbbababa +−=−++−=−+−=−−

( )( ) ( )( ) ( )( ).

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2222222

22

22

baba

ba

baba

bbaba

baba

bba

ab

ba

baba

bba

ab

ba

+−

−+=

+−

−+++−=

+−

−++−

−

−=

−−

−++−

−

−

Сада налазимо да је

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ).

2221

12222:

222

2

222

++−

+=++

++−+

+−

−+

babaa

abababa

bababa

#акле, цео израз је .817

40

8

129

4

19:

4

1521

8

1212

4

11:1

4

11=

⋅=

+−

+

+

7. $о!ити разлике квадрата у прве две и последње две зараде, па имамо

( )( )( )( ) ( ) ( ) =−−−+=−++−−+++ 2222 baccbaacbcbacbacba

( ) ( ) ( ) .222...22 4442222222222224222 cbacbcabacbababaccbaba −−−++==+−+−−−++= 8. ,енерално, рационализација разломака своди се улавном на допуну до разлике

квадрата, разлике кубова, збира кубова или пуних корена. Поступак се понавља

онолико пута колико је потребно да се елиминишу сви корени.

а) Свеједно је којим редоследом треба елиминисати корене, пошто се морају сви елиминисати. Зато, прво проширимо са 632 −+ добијамо

( ) 1623527

632

3527

632

632

632

3223122

−

−=

−+

−=

−+

−+⋅

++

−+

Сада треба још проширити са ,162 + кона!но добијамо

.2323

223323

162

162

162

3527−=

−=

+

+⋅

−

−

б) Треба искористити формулу за разлику кубова која ласи

( )( )2233 babababa ++−=− , односно ( )( )2233 babababa +−+=+ .


9/65

~ 9 ~

Ставимо у прву формулу yb xa == ,3 налазимо да је множилац 233 2 y y x x ++ . Сада је

.1

3

233 2

233 2

233 2

3 y x

y y x x

y y x x

y y x x

y x −

++=

++

++⋅

−

ц) #опуна до разлике квадрата,

( ).22321212222

22321

321321

321321

3211 +

−+=++⋅

−−+=

−+−+=

−+

−+⋅

++

д) 'ножимо два пута, проширујући до разлике квадрата. Прво имамо

( ).

811

8113

811

811

811

3

811

3 44

44

44

4444−

+=

+

+⋅

−=

−

Поновном допуном до разлике квадрата добијамо

( ) ( )( ) ( )( ).8118113

8118113

811

811

811

8113 444444

++=++

=+

+⋅

−

+

е) *менилац посматрати као разлику квадрата множењем са ( ) ( ).1236 −−−

( )( ) ( ) ( ).

246

1236

1236

1236

12361236

123632

1236

3222

−

−+−=

−−−

−+−=

+−−−+−

+−−+⋅

−+−

+

Поново допуна до разлике квадрата са множењем ,246+ добијамо

.2

1236

246

246

246

1236 +++=

+

+⋅

−

−+−

9. а) Треба сабирање изводити поступно по!евши од прва два сабирка. *мамо

;11

1a

a

a

+=+

( ) ( )( ),

111)1(11

ab

ba

ab

aab

ab

a

a

a ++=

+++=

++

+ итд.

б) Треба приметити да је

( )

2

112 −=+−

x x x , ( )

244

112 −=+−

x x x и ( )( ).11144

+−=− x x x

Потом је важно приметити да вредност корена зависи од променљиве x

( ) .10 ,1

1 ,11112

2

−=−=−=+−

x x

x x x x x x

Сада је цео израз једнак

( ) ( ) .

10 ,1

1 ,1 1sgn

1

1

1

1

1

1:

12

12

4

4

24

4

4

4

=−=

+

−⋅

−

−

=−

+

+−

+−

x

x x

x

x

x

x

x

x

x x

x x

ц) Треба степене записати као x

x1

2

1

=−

и x x =21

, тако имамо

( ) .0 ,121

211

211 222

2

21

21

>+

=++

=++=++=

+=

+

−

x x

x

x

x x x

x x x

x x x

x x x

д)( )( )

.0 ,4

111

1

1

2

1

2 2

22

>−−

=

+

++

+

−

− x

x

x x x

x x

x

x

x

x

x Треба приметити да је

( )1+=+ x x x x , ( )( )111 +−=− x x x и да су изрази у зарадама једнаки ( ) x

x

x

x2

2

1

4

1

2

1

2

−=

− и

( ) ( ).

1

1

1

11

1

1

+

+=

+

++−=

+

++

+

−

x x

x

x x

x x x

x x

x

x

x


10/65

~ 10 ~

(давде се лако добија тражени резултат.

е) *скористимо да је ,3 232

x x = ,3 434

x x = ,331

x x = ,1

3

3

1

x x =−

.1

3 2

3

2

x

x =−

Ако сваки

сабирак прво запишимо помоћу корена, имамо

;111

3

3 2

3

3 2

3 2

3

1

3

2

3

2

−=

−=

−

=

−− x

x

x

x x

x x

x

x x

x

( );

113

3 4

33 4

3 4

3

1

3

4

3

4

−=

−=

−

=

−

x

x

x x

x

x x

x

x x

x

.111

3 2

3

3 2

3

3

3

2

3

1

3

1

−=

−=

−

=

−− x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x

Сада је лако проверити да је кона!ан резултат нула.

ф) Приметити да је ( ) ( )( ) y x y x y x y x y x +−=

−

+− и да је у обе зараде записана разлика

квадрата.

10. ,енерално упуство за све задатке у којима треба упростити израз је да се то ради поступком који би се ре!има описао као изра!унавање "де $ де". То зна!и да је

нај!ешће потребно уо!авати мање целине које потом треба посебно сра!унати, па

враћати у израз и тај поступак треба понављати све док се не добије крајњи резултат.а) Приметити да је

; y x

y x

y x

xy x xy y x

y x

xy y

+

+=

+

++−=+

+

−

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) .22

22

xy

x y

x y xy

x y

x y x y xy

x y y x x y x x x y y y

xy

y x

y xy

x

x xy

y +=

−

−

=+−

−+−++−

=

+

−+

+−

)ешење је: .2

1

б) ;1

211

ba

a

ba

aba

ab

ba

a −=

−+=

−+

−−

ba

aa

ba

aba

ab

ba

+−=−

+=−

+ − 21

;

.:22

4

22

22

22

4

22

2222

ba

a

ba

ba

ba

a

ba

ba

ba

a

ba

a

+−=

+

−⋅

−−=

−

+

+

−⋅

−

ц) $ дељенику је једино моуће извући заједни!ки множилац у њеовом имениоцу.

*мамо ( )

;1

11

++

+=

++

+

x x x

x

x x x x

x $ делиоцу се примећује да је то тако%е моуће

урадити, па потом у имениоцу имамо разлику кубова. #акле,

( )( )111

1

1

1

11

3

2

32 ++−=

−

=

−

=− x x x x x x

x x x x

.

Потом сре%ујемо цео израз, имамо

( ) ( )( ) .111

1

11

1

1−=−+=

++−⋅

++

+ x x x

x x x x

x x x

x


11/65

~ 11 ~

д) )ационалне степене напишемо као корене, па је именилац делиоца разлика кубова.

#ељење је у овом слу!ају само скраћивање. *мамо

( )( ),

11

1

1

1

1

135.1

5.0

++−

+=

−

+=

−

+

x x x

x

x

x

x

x

Сада вршимо дељење

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ,11

111

1

11

1

11

1

111:

1

1 25.1

5.0

2

1 −=

+

−+−=

+

−−=

+

++−⋅

++

−=−

+

++

− x x

x x x

x

x x

x

x x x

x x

x

x

x

x x

x

користили смо разлику квадрата, односно да је ( )( ).111 +−=− x x x "она!но је на реду цео израз. *мамо

( ) .12122121

1:

1

15.0

2

5.05.1

5.0

2

1 +=++−=+−=+

−

+

++

−

−− x x x x

x x

x x

x

x x

x

е) Поента у сре%ивању ово израза је у извла!ењу заједни!ко множиоца испред

зараде. Треба прво уо!ити да је

( );144441

2

1

+=+=+ x x x x x x

( );144 321

4

3

+=+=+ x x x x x x

( )( ).111 +−=− x x x Заменом у први део полазне формуле и после скраћивања добијамо

( )( )( )

( ).

1

1

1

1

11

1

1

4

44

4

2

1

4

1

2

1

2

1

4

3 x

x

x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x −=

+

+⋅

+

+−=

+

+⋅

+

−

Сада је лако упростити цео израз. *мамо

( ).111

11

1

1 44

4

1

2

1

4

1

2

1

2

1

4

3 x x x x

x x

x

x x

x x

x=+−=+⋅

−=+⋅

+

+⋅

+

−

11. ,енерално упуство за овакве задатке је да се ретко вредности у!ествујућих

променљивих замењује у полазни израз, већ да се израз треба сра!унти техником "део

по део".

а)( )

,11

111

1

1

2

2

2

22

2

a

a

a

aa

a −=

−

−−=−−

−

( )

( )( )( ).

11114

112111

22

1

44

1

44

12

a

a

aaa

aaaaa

aaa −=

+−+

−+−+++−=

+−

−+

+

-ео израз је онда

,11

11:

1

22

2

2

22

2

aaa

a

a

a

a

a

a

a−=

−⋅

−

=−−

за дату вредност резултат је .4

3

2

1

2

3=⋅

б) Потпуно се аналоно решава као и под а). "рајње решење не зависи од v и износи

.55

ц) Треба уо!ити следеће једнакости

;2

31

2

31

2

3121

2

+=

+=+=+ x

.2

13

2

31

2

31

2

3121

2

−=

−

=

−=−=− x ( .редност корена мора бити позитивна)


12/65

~ 12 ~

#аље налазимо да је

;2

33

2

311211 +

=+

+=++ x

.2

33

2

131211 −

=−

−=−− x

Први и друи сабирак постају

;6

33

33

33

33

32

2

33

4

321

211

21 +=

−

−⋅

+

+=

+

+

=++

+

x

x

.6

33

33

33

33

32

211

21 −=

+

+⋅

−

−=

−−

−

x

x

"она!но је

.16

33

6

33

211

21

211

21=

−+

+=

−−

−+

++

+

x

x

x

x

д) Прво израз записујемо са коренима. *мамо

( );

1

1

1

1

1

11

1

1

2

1

2

1

aa

a

a

aa

a

a

a

a

+

−=

+

−

=

+

−

=

+

−−

.1

1

1

1

1

1

2

1

2

1

aa

aa

a

aa

a

aa=

−

−

=−

−

=−

−−

Сада је цео израз једнак

( ) ( ).

2

1

111

1

1

aaaa

aa

aaa

a

+

−=

+

−−−=−

+

−

Заменом 5=a добијамо

( ).

10

55

20

552

55

55

55

2 −=

−−=

−

−⋅

+

−

е) $ овом изразу је једноставније директно заменити вредност. То је овде

препору!љиво јер ако би се овај израз покушао да некако упрости врло брзо би се суо!или са !ињеницом да то није моуће применом неко једноставно поступка. (во

је пример који одступа од правила. *пак, цео израз сра!унавамо и овако део по део.

*мамо

;18

5

1616

11611

44

4

1

2

1

=

+

+=

+

+=

+

+

x x

x

x x

x ;

15

12

15

1616

11

344 34

3

2

1

=+

=−

+=

−

+

x

x x

x

x x

.9

7

18

18

116

116

1

1

1

1

4

34

34

34

4

3

4

3

=+

−=

+

−=

+

−=

+

−

x

x

x

x

&алазимо вредност цело израза : .19

9

9

7

9

2

9

7

15

12

18

5==+=+⋅

ф) "ао и у претходном слу!ају директно замењујемо вредност у израз. Прво налазимо

( ) ;4232323 33232 +−=−= x ( ) .023262326342332423233432 33333332 =+−−=+−−−+−=+−− x x #акле,

вредност израза је нула.


13/65

~ 13 ~

2. Ал,е)арске -една.&не & не-една.&не

2.1. Једна.&на $р!, с#е$ена (л&неарна -една.&на)

/една!ина по непознатој x

(1) ,b xa =⋅

де су ba, реални бројеви и 0≠a има јединствено решење .a

b x = За ,0=a разликујемо

два слу!аја:

¡) за 0=b једна!ина је неодре%ена – решење је сваки реалан број;

¡¡) за 0≠b једна!ина је немоућа – нема реалних решења.

0инеарне једна!ине се решавају еквивалентним трансформацијама. 1то зна!и да је сваку линеарну једна!ину моуће трансформисати на облик (1) и тиме добити

одовор о решењима полазне једна!ине.

2.2. С&с#е0 д!е л&неарне -една.&не са д!е не$/на#е

Систем две линеарне једна!ине са две непознате се оби!но записује у облику

(2).

222

111

c yb xa

c yb xa

=+

=+

Ако је 01221

≠− baba систем има јединствено решење дато са

,1221

1221

baba

bcbc x

−

−= .

1221

2112

baba

acac y

−

−=

Ако је 01221 =− baba разликујемо два слу!аја:

¡) Систем (2) је неодре%ен, има бескона!но мноо решења, ако су истовремено

01221

=− bcbc и 02112

=− acac .

¡¡) Систем (2) је немоућ ако је бар један од следећих израза разли!ит од нуле:0

1221 ≠− bcbc или 0

2112 ≠− acac .

(сим већ отових формула систем једна!ина (линеаран или не) може се

решавати методом замене. 1то зна!и да се, ако је то моуће, једна од једна!ина реши

по некој од непознатих, па се то као замена уведе у друу једна!ину. &а тај на!ин друа

једна!ина постане једна!ина са једном непознатом која се потом мора решити..редност друе непознате добија се из смене.

2.3. Л&неарне не-една.&не

&еједна!ина облика

(3) ,0 ,0 ≠>+ abax назива се линеарна неједна!ина. (ву неједна!ину за 0>a задовољавају сви реални

бројеви за које важи ,a

b x −> односно сви бројеви из интервала .,

∞−

a

b За 0


14/65

~ 14 ~

разлика. Збо тоа не треба повезивати и истрајавати на сли!ностима метода већ

уо!авати њихове ме%усобне разли!итости.

2.4. С&с#е0 л&неарн&2 не-една.&на

Систем линеарних неједна!ина !ине две или више линеарних неједна!ина.

Систем линеарних неједна!ина се решава тако што се свака линеарна неједна!ина реши независно као посебна неједна!ина. "ада одредимо скупове решења сваке од

у!ествујућих линеарних неједна!ина укупно решење се добија као пресек свих

добијених решења..еома важну класу неједна!ина !ије се решавање своди на системе линеарних

неједна!ина представљају неједна!ине знака. Такве неједна!ине су облика

( )( ) ,0>++ d cxbax ( ) ,0

+

+⋅

+

+

d rx

q px

d cx

bax итд.

"ада се овакве неједна!ине решавају помоћу система неједна!ина као решење

се по правилу добија унија више система линеарних једна!ина. $ том слу!ају када решимо сваки систем посебно укупно решење је унија свих добијених решења на које

је систем разложен.

2.5. К!адра#на -една.&на

/една!ина облика

(4) ,02 =++ cbxax

де су cba ,, реални бројеви назива се квадратна једна!ина. (Претпоставка да су cba ,,

реални бројеви није битна већ ћемо само такве једна!ине разматрати). "вадратна једна!ина може да има највише два реална решења. То је одре%ено дискриминантом

која се ра!уна по формули .42 acb −=δ )азликујемо следећа три слу!аја:

¡) Ако је 0δ квадратна једна!ина (4) има два реална решења дата формулом

.2

42

2,1a

acbb x

−±−=

)ешења квадратне једна!ине повезана су .иетовим правилима. (дносно, ако су

21, x x решења квадратне једна!ине (4) тада важи:

;21

a

b x x −=+

.21

a

c x x =⋅

2.6. К!адра#не не-една.&не

&еједна!ина облика

(5) ,02 >++ cbxax

назива се квадратна неједна!ина. "ада једна!ина (5) има реална решења озна!имо их

са: 21 , x x . Тада је решење неједна!ине (5) дато са једним од следећа 3 слу!аја:


15/65

~ 15 ~

¡) Ако је 0> и 0>a решење је сваки број из интервала ( ) ( ).,, 21 ∞∪∞−∈ x x x

¡¡) Ако је 0>δ и 0


16/65

~ 16 ~

Зада'& /а !е()*

1. )ешити једна!ине:

а) ;4,3

7,2

4,3

7,24,3

+

−=

−

+

x

x

x

x б) ;0

32

4

3

2

1

12

=−+

++

+−

−

+

x x x

x

x

x

ц) ;3

25

8

175

4

31

3

126

−−

−−=

+−

+−

x x x x д) ( ) ( ) ( )( ) ;

4

26612

4

3

6 22 ++−−=−

+−

− x x x x x

е) ;221 +=−++ x x x ф) ;31

23=

−

+

x

x ) ;4

21

21=

−−

+−

x

x х) ;3

1

23=

−

−

x

x

и)( )

;15

1017

1

13

1

523

+−

+=

++

+ x x

x

x x ј) ;

1

6

1

36

1

1632

2

x

x

x

x

x x

x x

−

+−=

−

++

++

+−

к) ;11 ax

b

bx

a

−=

− л) ;0

111122

=−

+−

+−

+− bbxabbxabaxaax

м) .2

1

448

223

−

−=

++−

− a

x

aa

a

a

x

2. )ешити системе једна!ина:

а)

.02

183

10

52

94

183

10

52

=+−

−++

=+−

+++

x xy x xy

x xy x xy

; б)

.6

12

111

=−

=−

x y

y x ; ц)

.6

12

2

5

3

1

532

−=−

=+

y x

y x

д).6954

313

2

22

=+

=+

y xy

y x; е)

.

2222

ab xy

ba y x

=

+=+

ф).28

2

aay x

a yax

=+

=+; )

.996

32

=−

=−

y x

ky x

х).15

151

−+=

=−+−

x y

y x.

3. )ешити следеће неједна!ине:

а) ;13

6

2

6

2

4

3

92−

+−

+>

+−

+ x x x x б) ;0

8

125,0

4

25,0

4

5,0<

−+

−+

+ x x x

в) ;10133 −+−+ x x x

д) ( )( ) ;0231 −−− x x x

е) ;086

342

2

>++

++

x x

x x ф) ;

2

5

5

1723

+

−>

−

−−

x

x

x

x

4. )ешити следеће системе неједна!ина

а) ;

453

5649

1023

≥+

≤+

≤+−

y x

y x

y x

б) ;

1025

1025

2

≤−

≥+

≤+−

y x

y x

y x

5. )ешити следеће једна!ине

а) ;045 24 =+− x x б) ;036,013100 24 =+− x x

ц) ;0122 234 =+−−− x x x x д) ;0653856234

=++−+ x x x x

е) .14924 222 x x x −=−−−


17/65

~ 17 ~

6. $ једна!ини 04272 =−+− m x x одредити вредност реално параметра m за које ће једна!ина имати а) оба решења позитивна б) реална решења супрото знака.

7. (дреди природу и знак решења једна!ине 0322 =−+− m x x , де је . Rm∈

8. &е решавајући једна!ину 0342 =−+ x x одреди вредност израза:

а) ;2221 x x + б) ;

1

2

2

1

x

x

x

x+ ц) ;

11

21 x x

+ д)2

2

1

2

21

2221

21 343

x x x x

x x x x

+

+−.

9. Ако су 21 , x x решења једна!ине 017152

=+− x x написати једна!ину !ија су решења: а)

;1

,1

21 x x б) ., 22

21 x x

10. )ешити систем једна!ина

а)0144

0632

22=+−−

=+−

x y x

y x; б)

.04

4

22=−+

=+

x y x

y x; ц)

.8

6175

=

=+

xy

y x; д)

.4

01243

=

=+−

xy

y x

11. )ешити систем једна!ина

а)2

422

=++

=++

y xy x

y xy x; б)

412

25

22

22

=+

=+

y x

y x

12 $ једна!ини 0172

=−+− m x x одреди реалан број m ако је .321 += x x 13. $ једна!ини 082 =+− q x x одреди реалан број q ако је .3 21 x x =

14. $ једна!ини ( ) 045122 =−++− m xm x одреди реалан број m ако је .104 21 =− x x

15. )ешити следеће квадратне неједна!ине

а) ;334

322

2

<+−

−+−

x x

x x б) ;1

23

232

2

≥++

+−

x x

x x ц) ;1

32

52

>

−

−

x

x

16. )ешити следеће једна!ине

а) ;525 =−+− x x б) ;111 22 =−+− x x

ц) ;83132 −=−−+ x x x д) ;11254 −+−=+ x x x

е) 111 =++ x x ф) ;4212 =++− x x ) .0717 =−++ x x

17. )ешити следеће неједна!ине

а) ;43 2 x x x −++−

ц) ;121

2−>

−

−

x

x д) ;2

2

742<

−

+−

x

x x

е) ;4

57

−>+ x

x ф) .4532


18/65

~ 18 ~

У$*#с#!а & ре+е%а

1.(пште упутство за решавање једна!ина је у ослоба%ању од разломака и зарада што

се врши одоварајућим множењем. Потом се раздвоје познате и непознате и тиме полазна једна!ина сведе на најједноставнији моући облик (1), који се лако разрешава.Провера решења је обавезна. Тиме се уверавамо барем у та!ност поступка.

а) Треба наћи &ЗС за имениоце и са њим помножити сваки !лан једна!ине, !име се ослоба%амо од разломака. *мамо

( )( ) ( )( );4,37,24,37,24,3 −−=++ x x x x После сре%ивање добијамо

.036,204,2 2 =+ x x

)ешења су: 01 = x и .

80

2982 = x

Сваки !лан једна!ине множимо са ( ) ( ).11 2 +− x x *мамо

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .1

937.11

12

8.11

1

7.11

23

2

2

2

2

2

+−−

−+−=

+−+−+

−+−

x x x

x x x

x x x x

x x x

После скраћивања добијамо ( ) ( ) ,9371817 x x x −=++−

(слоба%ањем од зарада и одвајањем познатих од непознатих добијамо ,3624 = x

односно .2

3= x (стаје још да се решење провери. Проверу вршимо сра!унавањем

израза техником "део по део". Тако налазимо

;5

28

25,1

7

15,1

72

==−

;3215,125,1

82

=+⋅−

;5

188

15,15,15,1

5,193723 =

+−−

⋅− ,

5

18832

5

28=+ та!но.

б) Треба видети да је ( )( ) .3231 2 −+=+− x x x x Помножити целу једна!ину са ( )( )31 +− x x ,

после скраћивања добијамо ( )( ) ( )( ) .041231 =+−+−++ x x x x

#обија се .3−=

x (вде приликом покушаја провере видимо да се појављује дељење са нулом у друом и трећем разломку. Закљу!ак, једна!ина нема решења.ц) Прво се ослободимо зарада, добијамо

.3

25

8

175

4

31

3

126

x x x x −+

−−=

++

+−

'ножимо сваки !лан једна!ине са 24 добијамо

.3

2524

8

1724524

4

3124

3

1224624

x x x x −⋅+

−⋅−⋅=

+⋅+

+⋅−⋅

После скраћивања разломака враћају се зараде. *мамо ( ) ( ) ( ) ( ).258173120316128144 x x x x −⋅+−⋅−=+⋅++⋅−

(слоба%ањем од зарада и пребацивањем налазимо .7= x /ош треба проверити.

д) Сли!но као под ц). #обија се ;0602 =− x x )ешења су: 01 = x и .60

2 = x

е) Апсолутна вредност мења знак у околини нуле. Зато прво одредимо све нуле свих

апсолутних вредности. Тиме бројну праву поделимо на интервале одре%ене тим

нулама. $ сваком од тих интервала треба одредити знак израза под апсолутним

вредностима. То записујемо табелом. Сада се решавање полазне једна!ине своди на

решавање више једна!ина, у свакомм интервалу по једне, а укупно решење је унија свих тако добијених решења.

( )2,−−∞ -2 ( )1,2 −− -1 ( )2,1− 2 ( )2,1−


19/65

~ 19 ~

$ овом примеру решавамо !етири разли!ите једна!ине. $ свакој области по једну.¡) за ( )2,−−∞∈ x сви изрази под апсолутним вредностима су неативни па се добија

једна!ина

( ) ( ) ( )221 +−=−−+− x x x ,

лако се налази .3= x 1то није решење јер не припада посматраној области.

¡¡) за ( ),1,2 −−∈ x изрази у прве две апсолутне вредности су неативни а у трећој је

позитиван. Тако добијамо ( ) ( ) ,221 +=−−+− x x x

лако се налази ,3

1−= x што тако%е није решење јер није из посматрано интервала.

¡¡¡) за ( )2,1−∈ x , неативана је само друа апсолутна вредност. *мамо

( ) ,221 +=−−+ x x x

налазимо ,1= x што јесте решење полазне једна!ине.

¡v) за ( ),,2 ∞∈ x сви изрази под апсолутним вредностима су позитивни. *мамо ,221 +=−++ x x x

налазимо ,3= x што јесте решење. $купно имамо два решења 1= x и .3= x

ф) Аналоно решавати као и под е). )ешења су сви бројеви .6≥ x

) Посматрати посебно бројилац и именилац. )ешавати као под е). )ешење .6

1= x При

решавању помножити са имениоцем.

х) )ешавати као под е). )ешења су

3

5= x и .

5

11= x

и) 'ножењем целе једна!ине са ( )( )115 2 +−+ x x x после сре%ивања добија се једна!ина

.020132 2 =+− x x )ешења су:2

51 = x и .4

2 = x

ј) 'ножењем целе једна!ине са ( )( )11 2 ++− x x x после сре%ивања добијамо једна!ину:

,014119 2 =−− x x !ија су решења: 21 = x и .

9

72 −= x

к) Пошто су ba, параметри, па дакле непознате вели!ине треба дискутовати када

једна!ину делимо или множимо са непознатим параметром. Ако се појављује и непозната онда треба искљу!ити из скупа решења оне вредности за које би тај множилац или делилац био нула.

'ножимо једна!ину са ( )( )axbx −− 11 уз ораду да за 0≠a и 0≠b решења не моу

бити a

x1

= или .1

b x = Тако добијамо

( )( ) ( )( ) .1

111

11ax

baxbx

bx

aaxbx

−−−=

−−−

( )( ) .ababab x −=+−

)азликујемо два слу!аја

)i За ba = једна!ина је неодре%ена али решење не може бити a

x1

= .

- - + +

2− x - - - +

- + + +

1+ x

2+ x


20/65

~ 20 ~

)ii За ba ≠ опет разликујемо два су!аја

за 0=+ba , једна!ина је немоућа

за 0≠+ba јединствено решење ba

x+

=1

. $ овом слу!ају морамо искљу!ити да

решења буду a

x1

= и .1

b x = То је за 0≠a и .0≠b Сада све добијене резултате

објединимо у једну целину.

За 0=a и 0=b једна!ина је неодре%ена;

За 0=a и 0≠b једна!ина је немоућа;

За 0≠a и 0=b једна!ина је немоућа;

За 0≠= ba једна!ина неодре%ена решења су сви бројеви из скупа .1

\

b R

За ,0≠−= ba једна!ина немоућа;

$ осталим слу!ејевима једна!ина моућа и решење је .1

ba x

+=

л) Треба помножити са ( )( )b xa xab −− . Mора се претпоставити да је 0,0 ≠≠ ba и решења

не моу бити a x =

или .b x =

После множења и скраћивања добијамо ( ) ( ) ( ) ( ) .0=−+−+−+− a xab xaa xbb xb

Сре%ивањем и пребацивањем добијамо

( ) ( ) .2 2baba x +=+

)азликујемо два слу!аја

¡) за 0=+ba једна!ина је неодре%ена. )ешење су сви бројеви из скупа { }., \ aa R −

¡¡) за 0≠+ba једна!ина је моућа. )ешење ,2

ba x

+= .ba ≠

Ако све објединимо имамо:

За 0=a или 0=b једна!ина немоућа.

За 0≠a и 0≠b али 0=+ba , једна!ина неодре%ена. )ешења { }., \ aa R x −∈

За 0≠a и 0≠b и 0≠+ba једна!ина моућа. )ешење .2ba x +=

м) Треба приметити да је ( )( ) ,3065 2 −+=+− x x x x па потом целу једна!ину помножити са

( )( )65 +− x x . )ешење је .0= x

н) Помножити једна!ину са ( )( )442 2 ++− aaa . Претпоставити да је 2≠a . #обијамо ( )

24

142

++

+=

aa

a x , за 2≠a . За 2=a једна!ина немоућа.

2. а) Треба увести нове променљиве дате са ,52 ++= x xyu 183 +−= x xyv , па заменом

добијамо систем

.12 ,60 ,18015

1803

05

18052

10 / 0

210

20 / 9410

==

=

=⇔

=−

=+⇔

⋅=−

⋅=+

vuv

u

vu

vu

vu

vu

Сада решавамо систем

,12183

1801563

12183

3 / 6052+

=+−

−=−−−⇔

=+−

−⋅=++

x xy

x xy

x xy

x xy

сабирањем једна!ина добијамо

,1681414 −=−− x односно 11= x . Заменом у прву једна!ину налазимо .3= y


21/65

~ 21 ~

б)( )

−=−=

==⇔

=−+

+=⇔

=−

=⇔

=−

=−⇔

=−

=−

6,12

12,6

0726

6

6

72

6

12

6

12

111

22

11

2 y x

y x

x x

x y

x y

xy

x y

xy x y

x y

y x

ц) $во%ењем смене: x

u1

= , y

v1

= добија се једноставнији систем

6

12

2

5

3

1

532

−=−

=+

vu

vu

)ешавањем ово система налазимо ( ) ( ),1,1, =vu односно ( ) ( ).1,1, = y x

д) (вакав систем се назива хомоен. )ешава се уво%ењем смене ky x =

( )( ) ( ) ( )

=+−

=⇔

+=+

=⇔

=+

=+⇔

=+

=+

0521246954313696954

313

6954

313222

22

2

22

k k

ky x

k k

ky x

k y

k y

y xy

y x;

решење је: .73

23,

73

26 ,

73

23,

73

26

−−

е) )ешења су: ( ) ( )., ,, baba −−

ф) Применом "рамерово правила за решавање линеарних система налазимо да је

( )( )( )

,44

4

16

42

2

+−

−=

−

−=

aa

aa

a

aa x

( )( )( )44

42

16

822

2

+−

−=

−

−=

aa

aa

a

aa y ,

што представља решење само ако именилац није нула, тј. ако је 4≠a и .4−≠a С тоа разликујемо следећа три слу!аја:

¡) &ека је .4=a Заменом у систем он постаје

=+

=+

848

424

y x

y x,

с обзиром да су то две исте једна!ине, систем је неодре%ен. )ешење то система је сваки уре%ени пар ( ) . ,22 , R∈− α α α

¡¡) &ака је 4−=a . Заменом у систем добијамо

,848

424

−=−

−=+−

y x

y x

'ножењем прве једна!ине са 2 и сабирањем са друом добијамо ,160 −= дакле,

систем је немоућ.

¡¡¡) За 4≠a и 4−≠a систем је моућ и решења су ( )

,4+

=a

a x

( ).

4

2

+=

a

a y

) Применом формула за решавање добијамо ( )

( ),

32

33

−

−=

k

k x

,0= y

што јесте решење само ако је .3≠k С тоа разликујемо 2 слу!аја:

¡) Ако је 3=k , заменом у систем он постаје

,996

332

=−

=−

y x

y x

(во су две еквивалентне једна!ине, па је систем неодре%ен. )ешење система је

сваки уре%ен пар . , ,2

33 R∈

+α α

α


22/65

~ 22 ~

¡¡) За 3≠k систем је моућ и решење му је ,2

3−= x .0= y

х) *зрази под апсолутним вредностима су нула дуж права 1= x и .5= y Те две праве

деле целу раван на !етири области и то: ¡) ;5,1 ≥≥ y x ¡¡) ;5,1 ≤≥ y x ¡¡¡) ;5,1 ≥≤ y x ¡v)

.5,1 ≤≤ y x Сада се систем решава у свакој од области посебно и у свакој од њих

апсолутне вредности се моу скинути јер је у свакој та!ки исте области знак израза под апсолутним вредностима једнак.

)i $ првој области је 05 ,01 ≥−≥− y x , па систем постаје

,

2

11

2

3

4

7

15

151

=

=

⇔

=+−

=+⇔

−+=

=−+−

y

x

y x

y x

x y

y x

што јесте решење јер припада посматраној области;

)ii $ друој области је 05 ,01 ≤−≥− y x , па систем постаје

,4

3

15

151

=+−

−=−⇔

−+=

=+−−

y x

y x

x y

y x

Сабирањем ове две једна!ине закљу!ујемо да је систем немоућ, па нема решења;)iii $ трећој области је 05 ,01 ≥−≤− y x , па систем постаје

,

2

11

2

1

6

5

15

151

=

=

⇔

=+

=+−⇔

+−=

=−++−

y

x

y x

y x

x y

y x

што јесте решење јер припада посматраној области;

)iv $ трећој области је 05 ,01 ≤−≤− y x , па систем постаје

,6

5

15

151

=+

−=−−⇔

+−=

=+−+−

y x

y x

x y

y x

добијени систем је несаласан па нема решења.

#акле, постоје два решења полазно система.3. Поступак решавања неких неједна!ина сли!ан је поступку решавања једна!ина.а) Помножимо сваки !лан неједна!ине са 6 добијамо

( ) ( ) ( ) ( ) .6626343922 −+−+>+−+ x x x x

После ослоба%ања од зарада и пребацивањем добијамо ,60 −> што је та!но. (туда је

решење сваки реалан број.

б) 'ножењем са 4 свако !лана неједна!ине добијамо ( ) ( ) .0125,025,025,02


23/65

~ 23 ~

,103 x "ако добијено решење нема пресек са

посматраном облашћу то у овом слу!ају нема решења.

¡¡) За ( ),1 ,3−∈ x је: ,03 + x ,01− x па се добија неједна!ина ,10133 x ,01>− x ,02 >− x добија се неједна!ина ,321 >−+−+ x x x

што даје неједна!ину ,63 > x што је еквивалентно са .2> x )ешење је ( ).,2 ∞∈ x

$купно решење је унија свих добијених. #акле, ( ) ( ) ( ).,21,00, ∞∪∪−∞∈ x

д ) #ата једна!ина се назива једна!ина знака. То отуда што је на једној страни производ и или коли!ник, а на друој нула. &ајлакше се решавају прављењем следеће табеле.


24/65

~ 24 ~

*з табеле се "!ита" да је решење ( ) .,3

21,

∞∪−∞−∈ x

%) $ овом примеру се !есто прави решка збо !ињенице да постоји квадрат који се

збо тоа не разматра. Али збо строе неједнакости мора се уважити слу!ај када је он

једнак нули. За ову неједна!ину имамо следећу табелу

∞−

3

1,

2

3,

3

1

4,

2

3

( )∞,4

13 − x - + + +

x−4 + + + -

( )

2

32 − x

+ + + +

( )( )( )232413 −−− x x x - + + -

*з табеле се "!ита" да је .4,2

3

2

3,

3

1

∪

∈ x

е) *мамо да је: ( )( )31342 ++=++ x x x x и ( )( )42862 ++=++ x x x x . *з тоа можемо формирати следећу табелу:

( )4,−∞− ( )3,4 −− ( )2,3 −− ( )1,2 −− ( )∞− ,1

1+ x - - - - +

3+ x - - + + +

2+ x - - - + +

4+ x - + + + +

86

342

2

++

++

x x

x x

+ - + - +

*з табеле се „!ита“ решење: ( ) ( ) ( ).,12,34, ∞−∪−−∪−∞− ф) &ије дозвољено множење са изразима !ији знак није познат. Зато се све мора довести на исти именилац и претворити у неједнакост знака. После сре%ивања полазне неједна!ине добијамо

( )( )( )

.052

37>

−+

−

x x

x

(доварајућа табела је

( )2,−∞− ( )3,2− ( )5,3 ( )∞,5

3− x - - + +2+ x - + + +

5− x - - - +

( )( )( )52

37

−+

−

x x

x

- + - +

)ешење је: ( ) ( ).,53,2 ∞∪− 4. (вакви системи неједна!ина се најлакше решавају рафи!ки. $ координатном

систему се нацрта права одре%ена неком неједнакошћу. Права дели све та!ке равни на

два дела. $ свакој та!ки једне од полуравни важи иста неједнакост. (зна!имо ону

( )1,−−∞

−

3

2 ,1

∞ ,

3

2

1+ x - + +

x23− + + -( )( ) x x 231 −+ - + -


25/65

~ 25 ~

полураван која се слаже са задатом. )ешење је пресек свих озна!ених поједина!них области.

а) -ртамо праву .01023 =−+− y x Тражено решење је "испод" нацртане праве. Потом

цртамо праву .05649 =−+ y x (пет је решење "испод" нацртане праве. кона!но цртамо

праву .0453 =−+ y x Сада је решење "изнад" те праве. $купно решење је оно које је

заједни!ко за све добијене полуравни. Ако смо их шрафирали онда је решење троуаона област, тј. она која је три пута ишрафирана.б) Потпуно исто се решава.

5. а) (вакве једна!ине се називају биквадратне. )ешавају се уво%ењем смене ,2 x y =

после !еа се полазна једна!ина претвара у квадратну. )ешавањем квадратне једна!ине

добијамо решења тако што додатно разрешавамо смену.После смене добијамо једна!ину

.0452

=+− y y

)ешења су ,4 ,1 21 == y y одавде следи ,12= x ,42 = x ,1,1 21 =−= x x .2,2 43 =−= x x

б) *сто као под а). )ешења су: { }.03.0 ,02.0 ,02.0 ,03.0 −−∈ x ц) (ва једна!ина спада у класу која се назива једна!ине са симетри!ним

коефицијентима. Сваки !лан једна!ине се подели са .2 x За даље се мора увести смена

,1

x x y += !ијим квадрирањем се налази да је ,2

1 22

2−=+ y

x x заменом у један!ину добија

се квадратна. 2еним решавањем треба решити и уведену смену.

После дељења са 2 x , добијамо

.011

21

012

122

2

2

2=−

+−+⇔=+−−− x

x x

x x x

x x

$во%ењем смене добија се ,01222 =−−− y y !ија су решења 1,3 21 =−= y y . Сада решавамо

смену: ,31

−=+ y

y ,11=+

y y !име добијамо ;

2

532,1

±−= x друа нема решења у скупу

реалних бројева.д) *сто као под ц). )ешења су ;

3

10,

2

521 −== y y .3,

3

1,2,

2

14321 ==== x x x x

е) *зраз под првом апсолутном вредношћу мења знак у та!кама 21 −= x и ,22 = x а

израз у друој апсолутној вредности мења знак у 33 −= x и .34 = x Следећа табела

приказује како се ти знаци мењају

( )3,−−∞ ( )3,2 ( )∞,3

42 − x + + - + +

92 − x + - - - +

)азликујемо следећа три слу!аја:¡) За ( ) ( )∞∪−−∞∈ ,33, x имамо да су изрази у обе апсолутне вредности позитивни

( ) ,14924 222 x x x −=−−− разрешење даје ,1414 = што зна!и да су решења све та!ке посматране области.

¡¡) За ( ) ( )3,22,3 ∪−−∈ x израз унутар прве апсолутне вредности је позитаван, а друи

неативан. Тако имамо

( ) ,14924 222 x x x −=−+− разрешавањем добијамо ,364 2 = x што даје решења 3,3 21 =−= x x која припадају

посматраној области.

( )2,3 −− ( )2,2−


26/65

~ 26 ~

¡¡¡) За ( )2,2−∈ x изрази под оба модула су неативни па имамо

( ) ,14924 222 x x x −=−++− )азрешавањем добијамо ,14 ,14282 21

2−==⇔= x x x што нису решења јер не

припадају посматраној области.

$купно решење !ине сви бројеви из области ( ] [ ).,33, ∞∪−−∞∈ x

6.а) #а би решења уопште имала знак прво морају бити реална, а да би оба била позитивна треба и збир и производ да буде позитиван. #акле, имамо систем

.0004 21212

>=⋅∧>−=+∧>−=a

c x x

a

b x xacbδ

$ нашем слу!ају треба да је

( ) 01

420

1

7042449 >

−∧>

−−∧>−−

mm

"рајње решење је .8

67,2

∈m

б) )ешења морају бити реална и производ мањи од нуле. #обијамо систем

.004 212

−=ac x xacbδ односно ( ) 0

142042449 −− mm

"рајње решење је .2δ реална и иста ако је ,0=δ и конјуовано

комплексна ако је .0< "ако је ( ),344 −−= mδ налазимо да су решења реална и

разли!ита за ,4m

8. Прво се напишу .иетове формуле, па потом се сви изрази преко њих изразе.

3

4

21

21

−=

−=+

x x

x x

а) ( ) ;226162 212

2122

21 =+=−+=+ x x x x x x

б) ( ) ;3

222

21

21221

21

2221

1

2

2

1−=

−+=

+=+

x x

x x x x

x x

x x

x

x

x

x

ц) ;3

411

21

21

21

=+

=+ x x

x x

x x

д)( )

( ).8

103343

2121

212

21

221

221

2221

21

=+

−+=

+

+−

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

9. /една!ину добијамо помоћу .иетових формула. *з полазне једна!ине је ,1521 =+ x x

.1721 =⋅ x x

а) &алазимо да је

,17

1511

21

21

21

=+

=+ x x

x x

x x ,

17

111

21

=⋅ x x

зато је тражена једна!ина облика .017

1

17

152=+− x x

б) &алазимо да је

( ) ,1912 212

2122

21 =−+=+ x x x x x x ,289

22

21 = x x

зато је тражена једна!ина облика .02891912 =+− y y

10. (вакви системи се решавају методом замене. *зра!уна се непозната из линеарне

једна!ине и замени у друу. &а тај на!ин друа једна!ина постане једна!ина са једном непознатом коју треба решити. )азрешењем смене добија се решење система.


27/65

~ 27 ~

а) *з прве једна!ине је .3

62 += x

y Заменом у друу и сре%ивањем добијамо квадратну

једна!ину

,0276032 2 =−− x x

!ија су решења ,4

91 = x .

8

32 −= x &алазимо ,

2

71 = y .

4

72 = y

б) Смена x y −= 4 друу једна!ину претвара у ,0862 =+− x x !ија су решења 4 ,2 21 == x x .

&алазимо .0 ,2 21 == y y

ц) *з друе једна!ине ,8

y x = заменом у прву даје .040617 2 =+− y y )ешења су ,

7

51 = y

.7

562 = y &алазимо да је ,

5

561 = x .12 = x

д) *з друе једна!ине ,4

y x = заменом у прву даје .04124 2 =−+− y y )ешења су

,2

831

+= y .

2

832

−= y &алазимо да је ( ),8381 −= x ( ).8382 += x

11. а) $водимо смене , , xyv y xu =+= систем постаје

==

−==⇔

=−+

−=⇔

=+

=−

5,0

3,2

06

2

2

4

21

21

2

2

vv

uu

uu

uv

vu

vu.

#обијамо два си

matematika prirucnik 2015 požarevac

Documents