maTematikamoswavlis wigni

nana jafariZe maia wilosani nani wulaia

10

s a r C e v i

I Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 funqcia. funqciis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 wrfivi funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 gavixsenoT kvadratuli funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 kvadratuli funqciis umciresi da udidesi mniSvneloba. . . . . . . . . . . . . . . . 265 uban-uban wrfivi funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 f: x → funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 funqciis grafikis zogierTi gardaqmna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 ukeTesi variantis arCeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 I Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 I TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

II Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551 geometriuli gardaqmnebi. RerZuli simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562 paraleluri gadatana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 centruli simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 mobruneba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 msgavsebis gardaqmna. homoTetia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706 stereometriis aqsiomebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 aqsiomebis Sedegebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758 wrfeTa paraleluroba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779 wertilis koordinatebi sivrceSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 II Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 II TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

III Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831 parametris Semcveli gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842 modulis Semcveli gantolebisa da utolobis amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873 maRali xarisxis gantolebis amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904 iracionaluri gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935 utoloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976 parametris Semcveli utoloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007 utolobis amoxsna intervalTa meTodiT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 III Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 III TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

IV Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131 kosinusebis Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142 kosinusebis Teoremis Sedegebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173 sinusebis Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204 samkuTxedis biseqtrisis sigrZisa da samkuTxedis farTobis

gamosaTvleli formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235 samkuTxedebis amoxsna (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 samkuTxedebis amoxsna (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 IV Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 IV TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

V Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1391 namdvili ricxvebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1402 iracionaluri gamosaxulebis gamartiveba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483 gamosaxulebis gamartiveba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514 gamosaxulebis gamartiveba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555 Tvlis sistemebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576 jgufuri: viTamaSoT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 es sainteresoa: kodireba da dekodireba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 V Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 V TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

VI Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1691 wesieri mravalkuTxedebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1702 kuTxis radianuli zoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1753 segmenti, segmentis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1773 viTamaSoT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 VI Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 VI TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

VII Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1891 logikuri msjeloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902 operaciebi gamonaTqvamebze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943 implikacia. ekvivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985 amocanebi albaTobaTa Teoriidan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066 statistikis elementebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 VII Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

VIII Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2211 perioduli funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2222 sinusisa da kosinusis ganmarteba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2273 sinus da kosinus funqciis zogierTi Tviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2334 tgα da ctgα funqciebi da maTi Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375 ricxviTi argumentis trigonometriuli funqciebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2436 trigonometriuli gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 1. sin x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 2. cos x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 3. tg x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 VIII Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 VIII TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

pasuxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

rogor visargebloT wigniT

wignze muSaobarom gagiadvildeT, mizanSewonilad CavTvaleTgagac-noTwignisagebuleba.wigni Sedgeba Tavebisagan, xolo TiToeuli Tavi_ paragrafebisgan.

yovelTavSimocemuliatestebirubrikiT`SeamowmeSenicodna~.teste-bzemuSaobadagexmarebaTTviTSemowmebasadaSeswavlilimasalisganmt-kicebaSi.wignSiganmartebebidabeWdiliamuqiSriftiT,xoloTvisebebi,formulebi,zogierTisaWirodaskvna_feradfonSi.TiTqmisyovelTavSimocemuliaamTavSigadmocemulmasalasTandaka-

vSirebulisainteresoTema.yovelparagrafSiSexvdebiTzogierTsSem-deginiSnebidan:

- umartivesi kiTxvebi, romelTac axali masalis axsnisprocesSiTavadmoswavlemundagascespasuxi;

-wyvilebSisamuSao;

-SedarebiTrTuliamocana;

-savarjiSoebi,romelicemsaxurebagavlilimasalisgameorebas;

-sagulisxmofaqti.

wignis bolos mocemulia sagnobrivi saZiebelida Semoklebuli aRniS-vnebisTvisgamoyenebulimaTematikuriniSnebi.gTavazobTagreTvezo-miserTeulebs,laTinurdaberZnulanbans,kvadratebiscxrilsdaamo-canebispasuxebs,damxmareliteraturisCamonaTvals.

gisurvebTwarmatebebs!

*

s .f .s .f .

I Tavi

amTavSigaiRrmavebTcodnasfunqciisSesaxeb.

gaecnobiTmisTvisebebs.SeiswavliTyxk= fun-

qcias.daadgenTkvadratulifunqciisudides

daumciresmniSvnelobebssegmentze.

8

ITavi 1 funqcia. funqciis Tvisebebi

1. Sesavali

1 arisTu ara naxazze moce-mulidamokidebulebafunq-cia?

a) ipoveT misi gansazRvrisare, mniSvnelobaTa simrav-le;

b)droisraperiodSiikleb-da, izrdeboda evros kursilarTanmimarTebaSi?

g)rodismiaRwiaevroskurs-maudidesmniSvnelobas?

bunebrivimovlenebiZalianmWidrodaaerTmaneTTandakavSire-buli.umetesSemTxvevaSiiskanonebi,romlebicmarTavenmovle-naTaurTierTdamokidebulebassakmaodrTulia.uamrav aseT damokidebulebaTa Soris mecnierebma gamoyvesiseTebi,rocaerTisididismniSvnelobacalsaxadgansazRvravsmeore sididis mniSvnelobas. aseTi damokidebulebebis magal-iTebi mravlad gvxvdeba rogorc maTematikaSi, aseve fizikaSic(magaliTad,TuviciTkubiswibossigrZe,SegviZliagamovTval-oTkubismoculoba,zedapirisfarTobi;moZraobissiCqarisadamoZraobazedaxarjulidroissaSualebiTSesaZlebeliagavli-limanZilisgamoTvladaa.S.).

gavixsenoT:XdaYsimravleebsSorisSesabamisobas,rocaXsim-ravlisnebismierx elementsSeesabamebaYsimravliserTaderTiy elementifunqciaewodeba.funqciaaRiniSnebaase:

f: x→y, any=f(x),sadacxdamoukidebulicvladia, argumenti;y – damokidebulicvladi,funqcia;fki–wesi,romliTacx elementsSeesabamebay elementi.

rogorc viciT, ricxviTi funqciis TvalsaCinoT war-mosadgenadmisgrafiksiyeneben.y=f(x) funqciisgrafikiarissakoordinatosibrtyis(x; f(x))wertilTasimravle.

2.29

2.27

2.25

2.23

2.21

2.19

2.17

2.15

22.11.2011

23.11.2011

25.11.2011

26.11.2011

29.11.2011

30.11.2011

01.12.2011

02.12.2011

03.12.2011

06.12.2011

07.12.2011

08.12.2011

09.12.2011

10.12.2011

lariskursievrosmimarT22.11.2011-10.12.2011

X da Y ricxviTsimravleebs Sorisfunqciuri damoki-debuleba ricxviTifunqciaa.

9

x

y

x

y

x

y

-1

-1

-2

-3

-2-3 x

y

3

2

1

1 2 3 4

daxazeTa) y=2x+3; b) y=–x+1; g) y=x2 funqciisgrafiki.grafikissaSualebiTipoveTy(0); y(–2); y(3).

cxadia,romsakoordinatosibrtyezemocemuli yoveli wiri ar aris raimefunqciis grafiki. magaliTad, naxaz-ze mocemulia wrewiri centriT (0;0)wertilSi.igiararisraimefunqciisgrafiki, radgan ∀x∈(–1;1)-s Seesa-bameba ordinatis ori y1 da y2 mniS-vneloba, rac igivea, rom wrewirzearisorisxvadasxvawertilierTidaimave abscisiT da gansxvavebuli or-dinatiT.maSasadame,

fwiriiqnebaraimefunqciisgrafikimaSindamxolodmaSin,rocayRerZisparalelurinebismieriwrfefwirsgadakveTsaraumeteserTwertilSi.

naxazze mocemuli wirebidanromeliaraimefunqciisgrafiki?(pasuxidaasabuTeT)

a) b) g)

nebismier x ricxvs SeusabameT [x],misive mTeli nawili (x ricxvis mTe-linawiliisudidesimTeliricxvia,romelicaraRematebax-s).e.i.gvaqvsf:x→[x] damokidebuleba.a)arisTuaramocemuliSesabamisobaFfunqcia?b)ipoveTf(–2,2); f(0,5); f(1,3); f(–0,1).g) dawereT am funqciis gansazRvrisare,mniSvnelobaTasimravle.

rogorcparagrafisdasawyisSivnaxeTfunqciisgrafikisakmaodmosaxerxebelia imisaTvis, rom Segveqmnas zogadi warmodgenafunqciisyofaqcevaze,misTvisebebze.momdevno paragrafebSi Cven gavecnobiT sxvadasxva funqciaTagrafikebs,maTTvisebebs.

simbolo ∀-iT ma--TematikaSi aRiniS-neba sityva „nebis-mieri“,„yoveli“

[1]=1[0,7]=0

[–1,5]=–2

10

ITavi

Rx

B

A

N

С

M

K

savarjiSoebi:

1 iqnebaTuarafunqciamocemuliSesabamisoba? a)sibrtyisMwertili→ (x;y), sadacwyvili(x;y)arisMwerti-liskoordinatebi;

b)M(x;y)→ x; g)x → M(x;y); d)manqana→ isricxvi,romelricxvSicesmanqanaagamoSvebuli; e)dRe(ricxvi)→ amdResgamoSvebulimanqana.

2 dawereTfunqciaf:wesierieqvskuTxedisgverdi→ amaveeqvs-kuTxedisfarTobidaipoveTf(2); f(5).

3 sawarmos erTi paltos Sekerva 150 lari ujdeba. Tve-Si sawarmo saSualod 50 paltos keravs. dawereT funqciaf:gasayidifasi→ mogeba,Tucnobilia,romsawarmosxvadasxvasaxisgadasaxadebSi800larsixdis.

4naxazismixedviTdawereTfunqciaS=f(x), sadacSmarTkuTxedisfarTobia.

5 ABCsamkuTxedSiMN||AC. dawereT MKN samkuTxedis farTobi,rogorcx-isfunqcia,sadacx=S∆ABC.

6 nebismierxnamdvilricxvsSevusabamoT{x},misiwiladinawili.({x}=x–[x]).

a)arisTuaramocemuliSesabamisobafunqcia? b)dawereTmisigansazRvrisare,mniSvnelobaTasimravle. g)daxazeTaRniSnuliSesabamisobisgrafiki.

7 yovelnaturalurnricxvsSeusabamesmisi5-zegayofiTmiRe-bulirnaSTi.ipoveTr,rocantolia15; 27; 138; 1004.arisTuaramocemuliSesabamisobafunqcia?ipoveTgansazRvrisare;mniSvnelobaTaare.

8 ABC samkuTxedis AB, ACdaBCgverdebzeaRebuliaSesabamisadK, Nda Mwertilebiise,romAK:KB=2:3, AN:NC=4:5da BM:MC=4:7.ipoveT SDAKN, SDBKM daSDMNC,TuABC samkuTxedisfarTobiaS.

9 gvaqvs2aTlitrianiqila10%da15%-ianimarilmJavasxsnariT.mocemulia agreTve 3, 4 da 5 litriani qilebi. gadasxmebisSedegadrogormiviRoT1litri12%-ianixsnari?

10 EwertiliABCsamkuTxedisADmedianasyofsSeefardebiT1:4 (wverosmxridan). ipoveTBEC samkuTxedisfarTobi,TuABCsamkuTxedisfarTobia40.

11

2.luwi da kenti funqcia

naxazze mocemulia f wiri,romelic sxivis moZraobistraeqtorias aRwers (sark-

isebrzedapirzedacemisas)dag wiri,romelicy=x2funqciisgrafikia.a)raaqvTsaerTodariTgansxvavdebi-anesgrafikebierTmaneTisgan?b)dawereTfwirisgantoleba,Tua=45°.

funqcias,misgrafiksbevrisaintere-soTvisebaaqvs.gavecnoTzogierTmaTgans.M ricxviT simravles ewodeba simetriuli nulis mimarT, Tu∀x∈M pirobidan gamomdinareobs,rom–x∈M. e.i. (–a;a) SualedisimetriulianulismimarTnebismieria-s-Tvis.

CamoTvlili Sualedebidan romelia simetriuli nulismimarT?a)[–5;5]; b)[–2;3]; g)R\{0}; d)R\{2}; e)R\{–1;1}.

y=f(x) funqcias ewodeba luwi, Tu misi gansazRvris are simetriulia 0-is mimarT da gansazRvris ari-dan aRebuli nebismieri x-Tvis sruldeba: f(–x)=f(x).

ganmartebidan gamomdinareobs, rom Tu (x;f(x)) wer-tili mdebareobs luwi funqciis grafikze, maSin(–x; f(x))-icimavegrafikiswertilia.

luwifunqciis grafiki simetriulia y RerZis mi-marT.

y=f(x) funqcias ewodeba kenti, Tu misi gansazRvris are simetriulia 0-is mimarT da gansazRvris aridan aRebuli nebismieri x-Tvis sruldeba: f(–x)=–f(x).

naxazzemocemuliSualede-bi (wiTlad Seferadebuli)simetriulianulismimarT.

0–a a–b b

–2 2

0

0

y

x–x

(–x;f(x)) (x;f(x))

radgan sarkisebr ze-dapirze sxivis dacemiskuTxe arekvlis kuTxistolia, amitom sxivismoZraobis traeqtorialuwifunqciiTaRiwereba.

0 x

y

� �

sarkisebrzedapirzesxivisdacemiskuTxearekvliskuTxistolia.

g

12

ITavi

gGasaxseneblad!

(a;b) da (–a;–b) wer-tilebi simetriuliwertilebia O(0;0)wertilismimarT.(a;b) da (–a;b) wer-tilebi simetriuliwertilebia y Rer-ZismimarT.

vambobT, rom y=f(x) funqciis grafikisimetriulia koor-dinatTa saTavis (yRerZis) mimarT, TugansazRvris arisnebismieri a werti-lisaTvis (–a;–f(a))wertilic ((–a;f(a))wertilic) imavegrafikiswertilia.

ganmartebidangamomdinareobs,romTu(x,f(x))wertilimdebar-eobs kenti funqciis grafikze, maSin (–x;–f(x)) wertilic imavegrafikiswertiliiqneba.

kenti funqciis grafiki simetriulia koordinatTa saTavis mi-marT.

aCveneT(analizurad),rom a)y=x2luwifunqciaa; b)y=kxkentifunqciaa.

magaliTi 1

daadgineT,luwiaTukentiSemdegifunqcia:

a)f(x)=x4+2x2+5; g)f(x)=2x2+3x;

b) ; d) .

amoxsna:

a)D(f)=(–∞;∞).ganvixiloTf(–x). f(–x)=(–x)4+2(–x)2+5=x4+2x2+5=f(x). e.i.funqcialuwia.

b)D(f)=R\{0}–simetriulianulismimarT.

e.i.funqciakentia.

0 x

–x

(–x;–f(x))

–f(x)

(x;f(x))f(x)

y

y=x2funqciisgrafiki

simetriuliayRerZismi-marT

y=kxfunqciisgrafikisimetriulia(0;0)wertilismi-

marT

13

g)D(f)=Rf(–x)=2(–x)2+3(–x)=2x2–3x.e.i.funqciaarcluwiadaarckenti.

d)D(f)=R\{1;2}.radgangansazRvrisareararissimetriuli0-ismimarT,amitomfunqciaarcluwiadaarckenti.

SeavseTgamotovebuliadgilebi:

1 y=f(x)funqcialuwia,Tu∀x∈D(f)-Tvissruldeba ? .

2 Tu y=f(x)kentifunqciaada f(5)=9,maSinf(–5)= ? .

3 luwifunqciisgrafikisimetriulia ? mimarT.

4kentifunqciisgrafikisimetriulia ? mimarT.

5 Tu y=f(x)kentifunqciaada f(1)=7,maSinf(–1)= ? .

savarjiSoebi:

1 ipoveTAwertilissimetriuliwertili: 1)yRerZismimarT,

2)O(0;0)wertilismimarT,Tu: a)A(–2;4); b)A(5;–7); g)A(3;2); d)A(–1,5;–4).

2 aageTAB, BC da ACmonakveTebissimetriulimonakveTebi 1)yRerZismimarT; 2)O(0;0)wertilismimarT: a)A(1;2), B(3;5), C(5;0); b)A(1;–2), B(3;–5), C(4;2); g)A(–2;3), B(–3;5), C(–1;–2); d)A(1;1), B(5;3), C(3;6).

3 aageTAB monakveTis simetriuliAB1 monakveTebiyRerZismimarT,sadac A(o;b) B(a;c)daaCveneT,rom∠BAO=∠B1AO.

4 aageTABC samkuTxedis simetriuli 1) y RerZis mimarT2) O saTavismimarT,TuA(2;1) B(–2;5) C(–5;2)daaCveneT,rommiRebulisamkuTxedimocemulisamkuTxedistolia.

5 daadgineT,luwiaTukentiSemdegifunqcia:

a)y=5x2+1; b)y=4x3; g)y=x3+3x;

d)y=x(x+5x3); e)y=x5+3x–5; v)y=x2+2x+5;

z)y=x|x|; T) y=2|x–2|; i) y=3x2–2|x|–4;

k)y3x +5

4=

x ; l)yx

=5 ; m)y

2–x2

=x

4

.

14

ITavi

a) b) g)

d) e) v)

0 x

y

0 x

y

0 x

y

0 x

y

0 x

y

0 x

y

6 naxazze mocemuliaR simravleze gansazRvruli y=f(x) funq-ciisgrafikisnawili.SeavseTigimTelgansazRvrisareze,Tucnobilia,rom:

1) y=f(x)luwifunqciaa;2) y=f(x)kentifunqciaa.

7 Tuf(0)=5.SesaZlebeliaTuara,romffunqciaiyoskenti?

8 risitoliaf(0),Tufkentifunqciaada0∈D(f)?

9 SesaZlebelia Tu ara y=kx+b funqcia iyos kenti? luwi?(dadebiTipasuxisSemTxvevaSidaadgineTraSemTxvevaSi?)

10 daamtkiceT,rom: a)luwfunqciaTajami,namravli,ganayofi(TumniSvneli≠0)

luwifunqciaa; b)kentfunqciaTajamikentifunqciaa; g)kentfunqciaTanamravli,ganayofi(TumniSvneli≠0)luwi

funqciaa; d)kentdaluwfunqciaTajamiarckentia,arcluwi; e)kentdaluwfunqciaTanamravli,ganayofikentifunqciaa.

11 D wertili Zevs ABC samkuTxedis AB gverdze. rogor See-fardebaADdaDB monakveTTasigrZebi,TuACDsamkuTxedisfarTobisamjernaklebiaABC samkuTxedisfarTobze?

12 sami wrewiri,romelTaradiusebia3 sm,3 smda1 sm, wyvil-wyvilad exeba erTmaneTs. ipoveT im samkuTxedis farTobi,romelTawveroebicwrewirTaSexebiswertilebia.

15

3.funqciis zrdadoba da klebadoba

naxazzemocemuliagrafiki,romelicgviCvenebshaeristemperaturisdrozedamokidebulebas.

a)droisromelSualedSiiklebda,matulobdatemperatura?

b)droisromelSualedSiyinavda,romelSualedSiiyosiTbo?

g)ipoveTdRisganmavlobaSiyvelazedabalidayvelazemaRalitemperatura;

d)romelsaaTzegautoldatemperatura0°C-s?

y=f(x) funqcias ewodeba zrdadi gansazRvris aris raime (a,b) SualedSi, Tu nebismieri x1,x2∈(a,b)-Tvis, roca x1<x2, maSin f(x1)<f(x2).

y=f(x) funqcias ewodeba klebadi gansazRvris aris raime (a,b) SualedSi, Tu nebismieri x1,x2∈(a,b)-Tvis, roca x1<x2, maSin f(x1)>f(x2).

zrdaddaklebadfunqciebsmonotonuri funqciebiewodeba.

moiyvaneT zrdadi, klebadi funqciis magaliTebiTqvenTviscnobilifunqciebidan.

daxazeTy=x2funqcia.romelSualedSiaigizrdadi?klebadi?

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 t,sT

p,°C

0 xx1 x2

f(x2)

f(x1)

y

0 xx1 x2

f(x2)

f(x1)

y

0 x

a c

b

y

x1<x2

f(x1)<f(x2)funqciazrdadia

x1<x2

f(x1)>f(x2)funqciaklebadia

x∈[a;b] - funqciazrdadiax∈[b;c] - funqciaklebadia

funqcias ewodebazrdadi raime Su-aledSi, Tu argu-mentis met mniS-vnelobas am Sua-ledidan Seesaba-meba funqciis metimniSvneloba.funqcias ewodebaklebadi raime Su-aledSi, Tu argu-mentis met mniS-vnelobas am Sual-edidan Seesabamebafunqciis naklebimniSvneloba.

16

ITavi

fmudmivia(a;b)intervalSi

y

a b

f6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110 tsaaTebi

magaliTi 1

daamtkiceT, rom y=x2+5 funqcia klebadia x∈(–∞;0) SualedSi,xolox∈(0;∞)SualedSikizrdadia.

amoxsna:

ganvixiloTnebismierix1<x2, x1,x2∈(–∞;0).maSinsxvaoba( ) ( ) ( 5) ( 5) 5 5 ( )( )f x f x x x x x x x x x x x

2 1 2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2 1 2 1– – – – – –= + + = + = = +

radgan x1<x2, amitom x2–x1>0. mocemulobiT x1<0, x2<0. amitommiviRebTx1+x2<0.e.i.(x2–x1)(x2+x1)<0.aqedanf(x2)–f(x1)<0,racni-Snavs,romf(x2)<f(x1),e.i.(–∞;0)SualedSifunqciaklebadia.vTqvaT,x1<x2dax1,x2∈(0;∞).ganvixiloTsxvaobaf(x2)–f(x1)=(x2–x1)(x2+x1).(x1<x2)⇒(x2–x1>0).

� �>0

>0

x

x

1

2

⇒(x1+x2)>0.

e.i.((x2–x1)(x2+x1)>0)⇒(f(x2)–f(x1)>0)⇒f(x2)>f(x1).e.i.(0;∞)SualedSifunqciazrdadia.r.d.g.

SeavseTgamotovebuliadgilebi:

1 funqciasewodebazrdadi(a;b)SualedSi,TuargumentismetmniS-vnelobasamSualedidanSeesabamebafunqciis ? mniSvneloba.

2 funqciasewodeba ? raimeSualedSi,TuargumentismetmniS-vnelobas am Sualedidan Seesabameba funqciis naklebi mniS-vneloba.

3 zrdaddaklebadfunqciebs ? funqciebiewodeba.

4 Tu y=f(x)funqciazrdadia,roca x∈[–2;4],maSinf(–1) ? f(3).

5 Tu y=f(x)klebadifunqciaa,maSinf(–1) ? f(3).

savarjiSoebi:

1 aageTfunqciisgrafikidaipoveT:1) misimniSvnelobaTasim-ravle;2)zrdadobisadaklebadobisSualedebi:

a)y=2x–3, x∈(–4;3]; b)y=–x+1, x∈[–2;2]; g)y=|x–2|, x∈[0;3); d)y=x2–2x–3, x∈[–2;3]; e)y=|x+3|, x∈(–4;1); v)y=x2–3x–4, x∈(–4;–1).

2 naxazze mocemulia sxeulissiCqaris moZraobis drozedamokidebulebis grafiki.droisraperiodisganmavlo-baSi:a)izrdebodasiCqare;

b)iyomudmivisiCqare; g)ganicdidasiCqareklebas.

17

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t

S

400

350

300

250

200

150

100

50

0

km

saaTebi

Tu funqcia zrda-dia (klebadia) (a;b)SualedSi, maSingrafiki am Sualed-Si marcxnidan mar-jvniv miemarTebazeviT(qveviT).

3 naxazze mocemulia avtomanqanismier gavlili manZilis droze da-mokidebulebis grafiki. drois raperiodisganmavlobaSi:

a)izrdebodamanZilisawyispunqtsadaavtomanqanasSoris;

b) iyo manZili ucvleli avtomanqa-nasadasawyispunqtsSoris;

g)mcirdebodamanZiliavtomanqanasadasawyispunqtsSoris.

4 warmovidginoT, rom TviTmfrinavimoZraobswrfivaddaTanabrad500km/sTsiCqariTfrankfurti-dankievamdedakievidanTbilisamde(kievSidafreniT).sakoor-dinatosibrtyissaTavedmiiCnieTkievidadaxazeTTviTmfri-naviskievidandaSorebis, moZraobisdrozedamokidebulebisgrafiki. cnobilia, rom manZili frankfurtidan kievamde dakievidanTbilisamdedaaxloebiT1450km-ia.ipoveTfunqciis:

a)gansazRvrisare;

b)mniSvnelobaTasimravle;

g)zrdadobisadaklebadobisSualedebi;

d)daadgineTluwiaTukentimiRebulifunqcia.

5 amoxseniTwinaamocanaimSemTxvevaSi,Tu: a)siCqareiqneba300km/sT; b)manZiliqalaqebsSorisiqneboda3000km. daakvirdiTmocemulisididisSecvlamragavlenaiqoniamoZ-raobisdroze.

6 daxazeT [–5;3] SualedSi gansazRvruli funqcia ise, rom esfunqcia [–5;–1]SualedSiiyoszrdadi,xolo [–1;3]SualedSi–klebadi.

7 daxazeT (–3;7] SualedSi gansazRvruli funqcia ise, rom esfunqcia (–3;–1] SualedSi iyos zrdadi, [–1;0] SualedSi –klebadi,xolo[0;7]SualedSiki_isevzrdadi.

8 daamtkiceT,romfunqcia: a)y=3x–1zrdadia; b)y=–2x+3klebadia; g)y=–x2–3zrdadia(–∞;0],xoloklebadia[0;∞) SualedSi; d)*y=–x2–4x–4 zrdadia(–∞;–2)daklebadia(–2;∞)SualedSi.

9 aageTy=f(x)funqciisgrafikidaCamowereTmisiTvisebebi: a)f(x)=0,5x–2; b)f(x)=–2x+5; g)f(x)=3x+1; d)f(x)=–x–1.

18

ITavi

10 giorgimbankSi500lariSeitana.raTanxaiqnebabankSigior-gisangariSze5wlisSemdeg,TuyovelwliuradTanxasemate-ba5%(igulisxmeba,rom5wlisganmavlobaSigiorgibankidanfulsargamoitans)?

11 AF aris ABC tolgverdasamkuTxedismediana. F wertilidangavlebulia AFC kuTxisbiseqtrisa.ipoveT AFKsamkuTxedisfarTobi,TuABCsamkuTxedisfarTobia 30 sm2.

12 samarTlianiaSemdegidebulebebi: 1.bejiTibavSvikargadswavlobs; 2.TubavSvikargadswavlobs,maSinisbejiTia; 3.bavSvi,romelickargadswavlobs,mowesrigebulia. SemdegiwinadadebebidanWeSmaritia a)mowesrigebulibavSvibejiTia; b)mowesrigebulibavSvikargadswavlobs; g)TubavSviararismowesrigebuli,maSiniskargadswavlobs; d)TubavSvikargadarswavlobs,maSinisararisbejiTi.

13 marTkuTxasamkuTxedismaxvilikuTxea15°,hipotenuzissig-rZe20sm-istolia.ipoveTmarTikuTxiswverodanhipotenu-zazedaSvebulisimaRle.

p r o e q t i :

yoveldRiurad,maTematikaSisaSinaodavalebadmocemuliamocaneb-is Tu magaliTebis raodenoba x-iT aRvniSnoT, xolo am amocanebidanTqvensmiersworadamoxsnilisa–m-iT.davalebisSesrulebisSefase-badmiviCnioTmx ·10.

SeadgineTfunqciaf:dRe(ricxvi)→amdRisSefaseba.yoveldRiuradmarTkuTxasakoordinatosistemaSimoniSneTwertilebi(x; f(x)).

g: dRe(ricxvi)→miRebuliniSanimaTematikaSi.sakoordinatosiste-maSimoniSneT(x; g(x))wertilebi.esdavalebaSeasruleTerTisemestrisganmavlobaSi.daakvirdiTorivefunqciisgrafiks.radaskvnisgamotanaSeZeliT?

19

4.funqciis nulebi. niSanmudmivobis Sualedebi

naxazzemocemulidiagramagviCvenebsfirmisSemosavalsTormetiTvisganmavlobaSi:a)romelTveSiganicdidawagebasfirma?

b)romelTveSiiyomisimogebanulistoli?g)romelTveebSimuSaobdafirmamogebaze?d)romelTveSihqondafirmasyvelazedidimogeba?wageba?

argumentis im mniSvnelobas, romlisTvisac funqciis mniS-vneloba nulis toli xdeba, funqciis nuli ewodeba.

imisaTvis, rom vipovoTy=f(x) funqciis nulebi,saWiroa amovxsnaT f(x)=0gantoleba. am gantolebisfesvebi iqneba y=f(x) fun-qciisnulebi.advili misaxvedria,rom funqciis nulebi imwertilTa abscisebia,romelSic y=f(x) funqciisgrafiki kveTs, an exeba ab-scisaTaRerZs.1-el naxazze mocemulifunqciis nulebia x1=–4; x2=–1,5; x3=2 da x4=4,5. aqedan (–4;0) wertilSi grafiki exeba,xolo danarCen wertilebSi kveTs abscisaTa RerZs. kidev erTisainteresoTviseba–funqciamomdevnonulebsSoris„niSansin-arCunebs“1).magaliTad:1-elnaxazze,Tux<–4,maSinf(x)>0.Tux∈(–4;–1,5), maSinf(x)>0;Tux∈(–1,5;2), maSinf(x)<0;Tux∈(2; 4,5), maSinf(x)>0;Tux>4,5 , maSinf(x)<0.

Tux∈(a;b)Sualed-Si funqciis gra-fiki moTavsebulia

x RerZis zeda nax-evarsibrtyeSi,maSinamSualedSifunqciaRebulobs dadebiTmniSvnelobebs –funqciadadebiTia.

xolo Tu x∈(c;d)SualedSi funqci-

is grafiki x Rer-Zis qveda naxevar-sibrtyeSia, maSin amSualedSi funqciauaryofiTia.

y

x0

dad

ebiT

ia

funqcia

uaryofiTia u

aryofiTia

y

x0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

-2

-1

4

3

2

1

y=f(x)funqciisnulebi

nax.1

1)esTvisebaaxasiaTebsfunqcias,gansazRvrisaris(a,b)SualedSi,TuamSualedSifun-qciisgrafikiuwyvetiwiriTgamoisaxeba–daixazebafanqriswverisrveulidanmouci-leblad.

I II III IV V VI VII VIII IX X XI

20

ITavi

4

3

2

1

0

y

x1 2 3 4-3 -2

-2

-1-1

0

4

3

2

1

y

x1 2 3-3 -2

-2

-1-1

amoxsna:a)1. D(y)=[–2;4].2. E(y)=[–1;4].

3. 3

2–1 ;0� �; (0;1,5).

4. x∈[–2;–1]–funqciazrdadia,x∈[–1;1]–funqciaklebadia,x∈[1;4]–funqciazrdadia,

5. x∈3

2–2;–1� �, f(x)<0

x∈

3

2–1 ;4� �, f(x)>0

b) 1. D(y)=[–3;3].2. E(y)=[–2;2].

3. 3

1– ;0� �;

3

2–2 ;0� �; (0;1).

4. x∈[–3;–1] –klebadia,x∈[–1;3] –zrdadia. 5. x∈

3

2–3;–2� �, f(x)>0

x∈ , f(x)<0

x∈3

1– 3;� �, f(x)>0.

Sualeds,romelSicfunqcia niSans inarCunebs (andadebiTia anuaryofiTi),funqciisniSanmudmivobis Sualedi ewodeba.

a)daxazeTy=2x+5funqciisgrafiki.ipoveTmisinuli.dade-biTobisadauaryofiTobisSualedebi;b)grafikisaugebladipoveTy=–x+2funqciisnuli.

magaliTi1

naxazzemocemuliay=f(x)funqciisgrafiki.ipoveTffunqciis:1)gansazRvrisare;2)mniSvnelobaTasimravle;3)xdayRerZebTangadakveTiswertilebi;4)zrdadobisdaklebadobisSualedebi;5)niSanmudmivobisSualedebi:

a) b)

21

1) 2) 3)

4) 5) 6)

x

-2

-1

y

4

3

2

1

0 1 2 3 4-3-4 -2 -1 x

-2

-1

y

4

3

2

1

-4-5 0 1 2 3 4-3 -2 -1 x

-2

-1

y

4

3

2

1

0 1 2 3 4-3 -2 -1

x

y

0

y

x-4-5 0 1 2 3 4-3 -2 -1

-2

-1

4

3

2

1

x

y

0 1 2 3-3 -2 -1

savarjiSoebi:

1 ipoveTfunqciisnulebi:

a)y2

=3x–1; b)y=x2–8x–9; g)y

x–7=

x –3x–282

; d)y3

=x –4x

2

.

2 daxazeT(–2;6)SualedSigansazRvrulifunqcia,romlisnule-bia–1da0daromelic(–1;0)SualedSiuaryofiTia.

3 daxazeT [–4;5]SualedSigansazRvrulifunqcia,romelic[–4;1)SualedSiiqnebadadebiTi,(1;2) SualedSi–uaryofiTi,xolo(2;5]SualedSi–isevdadebiTi.ipoveTamfunqciisnulebi.

4 naxazzemocemuliay=f(x)funqciisgrafiki.ipoveTffunqciis:a)gansazRvrisare; b)mniSvnelobaTasimravle;

g)sakoordinatoRerZebTangadakveTiswertilTakoordinate-bi;

d)zrdadobisadaklebadobisSualedebi;

e)niSanmudmivobisSualedebi.

v)daadgineT,luwiaTukentiffunqcia.z)*amoxseniTgantoleba:f(x)=1; f(x)=–2; f(x)=0.T)*amoxseniTutoloba:f(x)>1; f(x)<2.i)ipoveTfunqciisudidesi,umciresimniSvneloba(Tukiarse-bobs).

5 ipoveTraformuliTgamoisaxeba f(x)funqcia,rocax<odaipoveTmisinulebi,Tu f(x)=-x2+4x,rocax>oda f(x)funqciaa)luwia;b)kentia.

22

ITavi

dadebiTipasuxisSemTxvevaSidaadgineT: a)funqciisgansazRvrisare,mniSvnelobaTasimravle;b)luwiaTukentifunqcia;

g)zrdadobisadaklebadobisSualedebi;d)funqciisumciresidaudidesimniSvneloba.

7 ABCD paralelogramis gverdebis sigrZeebia AB=6 sm da AD=16sm.ABdaADgverdebzegadazomiliaSesabamisad AK=1smda AP=7smsigrZismonakveTebi.ipoveTSDAKP:SABCD.

8 qaRaldze daxazes tolgverda samkuTxedi da dafares sxva-dasxva zomis ori gamoWrili tolgverda samkuTxediT.daamtkiceT,romamsamkuTxedisdasafaradsakmarisiiyoerT-erTigamoWrilisamkuTxedebidan.

amocanadamoukidebelikvlevisTvis:

9 ipoveTy=f(f(x)),Tuf(x)=2x–1.

10 daamtkiceT, rom funqcia y=f(f(x)) iqneba zrdadi, roca y=f(x)funqciazrdadia.

gaarkvieT iqneba Tu ara y=f(f(x)) zrdadi, roca y=f(x) klebadifunqciaa?

6 agorebenor,lurjdayviTelkamaTels.ipoveTalbaTobaimi-sa,romlurjkamaTelzeda yviTelkamaTelze mosuliricx-vebissxvaobatoliiqneba–1-is,1-is,5-is.SeadgineTfSesabam-isobiscxrili,sadac f:mosulricxvTasxvaoba→amsxvaobismosvlis albaToba (igulisxmeba lurj kamaTelze mosul ricxvsgamoklebuliyviTelkamaTelzemosuliricxvi).

miRebuli cxrilis mixedviT aageT am Sesabamisobis grafiki.iqnebaTuaraesSesabamisobafunqcia?

23

y=kx+b,maSin

k=x xy y

2 1

2 1

--

; k=tga

2 wrfivi funqcia

TqvenTvis ukve cnobilia wrfivi, kvadratuli funqcia; misigrafiki,Tvisebebi.gavixsenoTesfunqciebi.

y=kx+b, k, b∈R saxis funqcias wrfivi funqcia ewodeba.

1.moiyvaneTwrfivifunqciismagaliTebi.

2.rageometriulfiguraswarmoadgenswrfivifunqciisgrafiki?

x y=kx+b (x; y)

0 b (0; b)

kb- 0 ; 0

kb-` j

3. CamoayalibeTwrfivifunqciisTvisebebi.

4. arisTuarapirdapirproporciulobawrfivifunqcia?

5. aRwereTrogoravagoTwrfivifunqciisgrafiki.aageT: a)y = 2x–3;b)y = –0,5x + 1wrfe.

6. ragardaqmniTmiiRebay=kx wrfisgany=kx+b wrfe?dawereTamgardaqmnisSesabamisiformulebi.

7. SeavseTgamotovebuliadgilebiiseTiricxvebiT,rom f(x)=2xwrfisganmiviRoTg(x)=2x+3wrfe.

a)?

x x

y y

"

" +' ; b) ?x x

y y

"

"

+) ;

g) ( ) ( ) ?g x f x= + ; d) ( ) ( ?)g x f x= + .

8*. aCveneT,romTuA A(x1; y1), B(x2; y2) mdebareobsy=kx+bfunqciisgrafikze,

maSin:

a)kx x

y y

2 1

2 1=

-

-; b)k=tga.

k>0 b

y

x0kb-

k<0

y

x

b

0kb-

k=0

y

x

b

0

y kx b

b 0

= +

='

y=kx

k

b

0

0

=

='

y=0

y

xx1

y1

x2

y2

0

s .f .s .f .

24

ITavi

b)A(x1; y1), B(x2; y2)wertilebzegamavaliwrfisgantolebaseqneba

saxe:x x

y y

x x

y y

1

1

2 1

2 1

-

-=

-

-.

9. daadgineTraSemTxvevaSiaa)paraleluri;b)mkveTi; g)rodisemTxvevaerTmaneTsoriy=k1x+b1day=k2x+b2wrfe.

10. aageTfunqciisgrafikidaCamowereTmisiTvisebebi a)y = –x+2; b) y=2x+1; g) y=2x; d) y=-2x.

11. grafikis augeblad ipoveT y=2x+1 da y=5x+10 funqciaTagrafikebiskveTiswertiliskoordinatebi.

12. sistemisamoxsnisgareSeamoarCieTfunqciebi,romelTagrafikicparaleluriay=-3x+11funqciisgrafikis.

a)y=3x+11; b)y=3x–11; g)y=-3x; d)y=-6x+22.

13. f funqciis grafiki sakoordinato RerZebs kveTs A(0;5) daB(3;0)wertilebSi.dawereTwrfivifunqcia,romelicgadis(1;1)wertilzedaparaleluriaamwrfis.

14. daamtkiceT,rom7n3+5niyofa6-zenebismierimTelinricx-visTvis.

15. daamtkiceT,romnebismieri10 naturaluriricxvidanyov-elTvismoiZebnebaori,romelTasxvaobaiyofa9-ze.

16. daamtkiceT,rom3x2+5=6y2gantolebasarSeiZlebahqondesmTeliamonaxsnebi.

17. amoxseniTgantoleba: a)|x|=-5; b)|x|=5; g)|x|=0; d)|x|=|2x–3|.

25

3 gavixsenoT kvadratuli funqcia

1. rageometriulfiguraswarmoadgensy = ax2 + bx + c fun-qciisgrafiki?

y=ax2 + bx + c, a,b,c∈R, a≠0 saxis funqcias kvadratuli funqcia ewodeba.

2. aRwereT,rogoravagoTkvadratulifunqciisgrafikimaxasi-aTebeliwertilebiT(wvero,RerZebTankveTiswertilebi)daaageT:

a)y = x2 + 3x – 4 parabola; b)y = –2x2 + 3x + 2 parabola.

3. CamoayalibeTkvadratulifunqciisTvisebebi.

4. ragardaqmniTmiiRebay=x2 parabolasgan a)y=(x-3)2; b)y=x2+8; g)y=2(x-3)2; d)y=(x-3)2-1 parabola?

5. dawereT parabolis gantoleba a koeficientiT da wveroskoordinatebiT.

6. rogoraadamokidebuliparabolaa)a;b)ckoeficientze?

7. dawereTy=ax2+bx+c parabolassimetriisRerZisgantoleba.8. raSemTxvevaSieqnebaparabolasxRerZTan:a)erTi; b)ori; g)arcerTisaerTowertili?

9. ipoveT y = x2 + 2x – 15 funqciis RerZebTan gadakveTis wer-tilebiskoordinatebi.

10. ipoveTfunqciismniSvnelobaTasimravlea)y=x2 – x – 6; x∈[1; 4].b)y=2x2+4x–7, x∈ [-5;-2]; g)y=x(x–4), x∈[-1;3]

aageTSesabamisigrafiki.

11. ipoveTc-syvelamniSvneloba,romlisTvisacy=-x2–4x+cfun-qciisgrafiki

a)moTavsebuliaxRerZisqvemoT; b)OxRerZTanaqvserTaderTisaerTowertili; g)kveTsOxRerZsorwertilSi; d)gadakveTsOxRerZsorwertilSi,romlebickoordinatTa

saTavismimarTsxvadasxvamxaresmdebareoben.

amocanadamoukidebelikvlevisTvis:

12. kvadratisgverdissigrZexsm-ia.misierTigverdi3sm-iTSeamcires,xolomeore3sm-iTgaadides.dawereTffunqcia,romelicgviCvenebsmiRebulimarTkuTxedisfarTobiskvadratisgverdissigrZezedamokidebulebas.

a)ipoveTf(10), f(12), f(20);b)ipoveTmiRebulifunqciisgansazRvrisare,mniSvnelobaTasimravle;g)daxazeT ffunqciisgrafiki,CamowereTmisiTvisebebi(funqciisgansazRvrisaredCaTvaleTR).

26

ITavi 4 kvadratuli funqciis umciresi da

udidesi mniSvneloba

ganvixiloTamocana.

1. giorgis16msigrZismavTulbadeaqvs.raudidesifarTobismarTkuTxanakveTisSemoRobvaSeuZliamasammavTulbadiT?

vTqvaT,aseTimarTkuTxanakveTisgverdebiaxmdazm.maSin 2(x+z)=16, x+z=8 (1). marTkuTxedis farTobiki,rogorccnobilia,gamoiTvlebaformuliTS=xz. (1)-danz=8–x.miviRebTS=x(8–x). S=–x2+8x.Cvenimizania,vipovoTx-is ra mniSvnelobisaTvis iqneba marTkuTxedisfarTobi, anu (–x2+8x) gamosaxulebis mniSvnelobaudidesi.

ganvixiloTfunqcia x → –x2+8xavagoTy=–x2+8xfunqciisgrafiki,0<x<8.paraboliswveroaS(4;16)(nax.2).y=–x2+8xfunqciaudidesmniSvnelobasRebulobs,rocax=4-s.miviReTx=4daz=8–4=4. e.i. mocemuli perimetris SemTxvevaSiudidesifar-Tobiaqvskvadrats.Skv=42=16.amrigad16msigrZismavTulbadiTgiorgiSemoRobavssuldidi16 m2farTobis mqone nakveTs,romelsac kvadratisformaaqvs.

2. ipoveTy=2x2–5x+2funqciisudidesidaumciresimniS-vnelobaSemdegSualedebSi:a)x∈[1,5;3]; b)x∈[0;3].

amoxsna:avagoTy=2x2–5x+2funqciisgrafiki.

1.paraboliswveroaS(x0;y0),

x0=a2 4

b 5– = ,

8

9

8

16–25

a4y

0= –=

bac42

–=

� �� �8

9

4

5–;S .

2. Tuy=0,maSin(2x2–5x+2=0)⇔( )4x=

5 3 ⇔(x1=2; x2=0,5).Tux=0,maSiny=2.e.i.RerZebTangadakveTiswertilebiaM(2;0), N(0,5;0), K(0;2).a)radganfunqciagansazRvrulia[1,5;3]monakveTze,ami-tomfunqciisgrafikiiqnebaparabolisisnawili,romel-icme-3nax-zewiTladaaSeferadebuli.funqciazrdadia,amitomfunqciisumciresimniSvnelobaiqnebaf(1,5)=2·1,52–5·1,5+2=4,5–7,5+2=–1.udidesimniSvnelobaki–f(3)=2·32–5·3+2=5.

y

x0 4

16S

8

nax.2

nax.1

y

x0

-1

1

1 2 3 4

2

3

4

5

-2

nax.3

27

b) funqcia gansazRvrulia [0;3] Sua-ledSi, aqedan gamomdinare, misi gra-fiki parabolis is nawilia, romelicme-4naxazzewiTladaaSeferadebuli.

advili dasanaxia, funqciis umciresi

mniSvnelobaa8

9( )4

5–=f (wverosordinata),

xoloudidesimniSvneloba–f(3)=5.

y

0-1

12345

-2

x1 2 3 4

nax.4SeavseTgamotovebuliadgilebi:

naxazzemocemuligrafikismixedviTdaadgineTfunqciisudide-sidaumciresimniSvnelobaSesabamisSualedSi:

1 2 3

4 5 6

7 8

[a;b]SualedSifunqciisudidesimniSvnelobaa f( ? ),xoloum-ciresi—f( ? ).

28

ITavi

savarjiSoebi:

1 36smperimetrismqonemarTkuTxedebidanipoveTudidesifar-TobismqonemarTkuTxedisgverdebissigrZe.

2 ipoveTricxvi,romlisnamravlimasze2-iTnaklebricxvzeum-ciresia.

3 ipoveTricxvi,romlisgasamkecebelinamravlimasze4-iTmetricxvzeumciresia.

4 20warmoadgineTiseTorSesakrebad,rommaTinamravliiyosudidesi.

5 10 warmoadgineT iseT or Sesakrebad, rom maTi kvadratebisjamiiyosumciresi.

6 ipoveT iseTi ricxvi, rom am ricxvisa da masze 4-iT naklebiricxvisnamravliiyosumciresi.

7 meqoTneebmasoflisganapirasmarTkuTxaformisnakveTzeba-zrobismowyobagadawvites.maTSeiZines200msigrZismavTul-bade. ra sigrZis nakveTi unda SemoRobon maT, rom farTobiudidesiiyos?

8 daamtkiceT,rom,Tuorisididisjamimudmivia,maTinamravlimaqsimaluriamaSindamxolodmaSin,rocaessididebitolm-niSvnelobebsRebulobs.

9 ipoveTfunqciisumciresidaudidesimniSvneloba(Tukiarse-bobs):a)y=2x2–4x+5; b)y=–x2+4x+3;g)y=x2+6x–4, x∈[–2;2); d)y=–x2+2x–3, x∈(2;5];e)y=–x2–4x+7, x∈[–4;–1]; v)y=x2+6x–4, x∈[–4;2].

10 naxazzemocemuligwrfisgantolebaa

g(x)=– x+3.

a)ipoveTOMNKmarTkuTxedisfarTobi,TuNwerti-lisabscisa3-istolia.b)*ipoveTimNwertiliskoordinatebi,romlisTvisacOMNKmarTkuTxedisfarTobiiqnebaudidesi.

11 ori avtomanqana moZraobs urTierTmar-Tobul gzebze, pirveli axlaB wertil-SiadamoZraobsOwertilisken.meoremkiukvegaiaraOwertilidaaxlaAwertil-Si imyofeba. cnobilia, romOB=12 km daOA=5km.pirvelimoZraobs40km/sT,meore

y

x4K0

MN1

3

g

O

B

A

29

ha

a

B D

A E

C

A O

B

300km

200km

ki–60km/sTsiCqariT.a)ramdenisaaTisSemdegiqnebamaTSo-rismanZiliumciresi?

b)ramdenisaaTisSemdegiqnebamaTSorismanZili13km?

12 A daB punqtebidanerTdrouladdaiwyomoZraoba orma gemma. A-dan gamosuligemi moZraobs dasavleTidan aRmosav-leTiT 40 km/sT siCqariT, xolo B-dangamosuli CrdiloeTidan samxreTiT30km/sTsiCqariT,rogorcnaxazzeamoce-muli.

a)arisTuarasaSiSroeba,romesgemebierTmaneTsSeejaxon?

b) moZraobis dawyebidan ramden xanSiiqneba gemebs Soris manZili umciresi?ipoveTesmanZili.

13 wesiersamkuTxedSi,romlisgverdiaa sm,saWiroaCaixazosudidesifarTobismqonemarTkuTxedi.rasudrisaseTimarTkuTxe-disgverdebissigrZe?

14 figuraSedgebamarTkuTxedisagandawesieri samkuTxedisagan. risi toliunda iyos marTkuTxedis gverdebi,romamfigurashqondesmaqsimalurifarTobi, Tu figuris perimetri p-stolia(BD-ssigrZeperimetrSiarSe-dis)?

15 samkuTxedSi fuZisa da maszedaSvebuli simaRlis jami14sm-ia.

a)SesaZlebeliaTuaraaseTisamkuTxedis farTobi iyos25sm2?

b) ras unda udrides aseTisamkuTxedisfuZe,romsamkuTxedisfarTobiiyosudidesi?g)ipoveTesfarTobi.

30

ITavi

16 daSaleTmamravlebad: a)x–9; b)a2–5;g)x–2 ; d) x –8; e) 10 – 14.

17 ipoveTgamosaxulebisgansazRvrisare:

a) 5–7x ; b)x–3

5 ; g) 2x–1

4x –; d) .

18 ABC samkuTxedis AB gverdzeaRebuliaDwertiliise,romADAB=1

3 ,xoloBCgverdzeaRebulia E wertiliise,romBEBC=1

6 .

E wertilze gavlebuliaAC-s paraleluri wrfe, romelic AB gverds gadakveTs F wertilSi. ipoveT BDE da BEF sam-kuTxedebisfarTobebisSefardeba.

19 ramdeni diagonali gaivleba xuTkuTxedSi? SvidkuTxedSi?dawereTfunqciaf:n→n-kuTxedSidiagonalebisraodenoba.

a)ipoveT:f(10); f(6); b)ipoveTn,Tuf(n)=14; 27.

20 Tu`y=f(x) kvadratulifunqciaa~–WeSmaritiwinadadebaa,ma-SinCamoTvliliwinadadebidanaucilebladmcdaria:

a)ffunqciismniSvnelobasimravlea[–7;∞); b) f funqcia zrdadia (–∞;5) SualedSi da klebadia [5;∞) Su-

aledSi; g)ffunqciisgrafikimoTavsebuliapirvelmeoTxedSi; d)ffunqciisgrafikiargadisme-3meoTxedSi.

21 daamtkiceT,romn2(n2–1) 4.

22 SABC=40 sm2, AC=10 sm. ipoveT B wertilidanACwrfemdeman-Zili.

23 sqematuraddaxazeTy=ax2+bx+c, a≠0 funqciisgrafiki,Tucnobilia,romaf(1)<0. rogoraaganlagebulix=1wertilismimarTmocemulifunqciisnulebi?

24 SeavseTgamotovebuliadgilebi: a)TuerTimarTkuTxasamkuTxediskaTetebimeoremarTkuTxa

samkuTxediskaTetebis,essamkuTxedebimsgavsia. b)TumarTkuTxasamkuTxedSimarTikuTxiswverodangavlebu-

liasimaRlemiiRebawyvilimsgavsisamkuTxedi g)samkuTxedisyofsmopirdapiregverds

monakveTebad,romlebicmimdebaregverdebisproporciulia.

25 SemdegiwinadadebebidanromeliaWeSmariti? a) orinebismieriparalelogramimsgavsia; b) orinebismierimarTkuTxedimsgavsia; g) orinebismierirombimsgavsia; d) orinebismierikvadratimsgavsia; e) orinebismieritrapeciamsgavsia; v) erTsadaimavewrewirzeSemoxazuliorimsgavsimraval-

kuTxeditolia.

31

5 uban-uban wrfivi funqcia

XbklasismoswavleebilaSqrobazeSatilSiwavidnen.orisaa-TisganmavlobaSiisini4 km/sTsiCqariTmidiodnen.SemdegisamisaaTiki-2 km/sTsiCqariT.iqbavSvebmaorisaaTiSeisvenesda3 km/sTsiCqariTukandabrundnen.dawereTfunqcia,romelicgviCvenebsmoswavleebismiergavli-limanZilisdrozedamokidebulebas.aageTSesabamisigrafikidaCamowereTmisiTvisebebi.

1-elnaxazzemocemulia

y=

Tu

Tu

, 1

, 1 5

x x

x x

21

23

41

43

<

# #

+

+

–2x+13, Tu x>5

Z

[

\

]]

]]

funqciisgrafiki.

aseTfunqcias uban-uban wrfivi funqcia ewodeba.

TqvenTvis cnobili funqciebidan rome-lia uban-uban wrfivi? daxazeT SesabamisigrafikidaCamowereTmisiTvisebebi.

magaliTi1

daxazeTf(x) =− − < −

− ≤ <− ≥

0 5 2 11 1 21 2

, ,,,

x xx

x xfunqciisgrafiki.

amoxsna:

I. avagoTa)f(x) = –0,5x – 2, x < –1; b)y = x–1, –1 < x < 2; g) y = x – 1, x ≥ 2funqciisgrafiki.

SevadginoTcxrili:

a) x f(x)=0,5x–2–1 –1,5–4 0

b) x f(x)=x–12 13 2

nax.1

yuradReba!

(a;b) Sualedze gansazRvruliwrfisnawilisasagebadsasurve-lia sakoordinato sibrtyezemovniSnoT (a;f(a)), (b;f(b)) wer-tilebi.

32

ITavi

savarjiSoebi:

1 daxazeTfunqciisgrafiki:

a),

,

,

y

x x

x x

x

3 1 1

2 2 1 0

5 0

TuTu

Tu1

2

#

#=

- -

- -

Z

[

\

]]

]; b)

,

,

,

y

x x

x

x x

1 1

2 1 2

21

5 2

TuTu

Tu

<

<#

$

=

+

+

Z

[

\

]]

]]

.

2 daxazeTy=|x–2|+|x+3| funqciisgrafikidaipoveYT:y(-5); y(0); y(-3); y(8).

3 ipoveTfunqciisRerZebTankveTiswertilebi:

a)2 5, 5

8, 5 5

3 5, 5

y

x x

x x

x x

TuTu

Tu1 1

#

$

=

- -

- -

- +

Z

[

\

]]

]; b)

7, 2

, 2 0

2 1, 0

y

x x

x x

x x31

32

Tu

TuTu

1

2

#

#=

+ -

+ -

- +

Z

[

\

]]

]].

4 ipoveT x-is mniSvnelobebi, romelTaTvisac y=f(x) funqciisgrafikimoTavsebuliOxRerZiszemoT.

a),

,

,

y

x

x x

x

5 3

3 3

5 3

TuTuTu

1

2

# #=

- -

-

Z

[

\

]]

]; b)

,

,

0

0y

x

x

x

x

2

2

TuTu 2

#=

- +

-) .

5 a-sramniSvnelobisTvisaqvsf(x)=agantolebas 1) erTiamonaxseni;2)oriamonaxseni;3)uamraviamonaxseni.

a)f(x)=,

,

,

x x

x

x x

0

0 0 2

2 2

TuTu

Tu

1

2

# #

-

-

Z

[

\

]]

]; b) ( )

, 0

, 0f x

x x

x x

3

3

TuTu 2

#=

+

-) .

6 ipoveTa-smniSvneloba,romlisTvisacyfunqciasaqvsudidesimniSvnelobax=2wertilSi.

,

,

,

y

x x

a x

x x

1 2

2

5 2

TuTuTu

1

2

=

+

=

-

Z

[

\

]]

]

7 xsmsigrZisgverdismqonekvadratuliformisTunuqisfurcelze amoWriliaR=5 mmradiu-siani4 wriulixvreli.

a)dawereTfunqcia:

f:kvadratisgverdi→TunuqisdarCenilinawi-lisfarTobi;

b)ipoveTfunqciismniSvneloba,Tux=4sm,7sm,1m.

8romeliRacricxvis10-zegayofisasnaSTSiviRebT7-s.ranaSTimiiRebaamavericxvis5-zegayofisas?

33

6 f: x → funqcia

naxazzemocemuliaavtomobi-lis moZraobis siCqaris drozedamokidebulebisgrafiki,roca

mis mier gavlili S manZili mudmivia.ipoveTS.a)radroSigaivlisavtomobiliSkm-s,Tuis moZraobs20 km/sT,40 km/sTsiC-qariT?b) ra siCqariTunda imoZraos avtomo-bilma,raTaSkmgaiaros3sT-Si,2sT-Si,1sT-Si?g) rogori damokidebuleba arsebobssiCqaresa da dros Soris mudmivi gav-lilimanZilisSemTxvevaSi?d) dawereT siCqaris droze damokide-bulebisfunqcia(naxazismixedviT).

moiyvaneTorsididesSorispirdapirproporciuli,ukupro-porciulidamokidebulebismagaliTebi.

ganvixiloT y= funqcia. SevadginoT cxrili. miRebuli

wertilebi movniSnoT marTkuTxa sakoordinato sistemaSi

daSevaerToTwiriT.miRebuliwiriiqnebay= funqciisgrafiki.

x y

4

3

2

1 1

2

3

– –2

–1 –1

–2 –

–3 –

34

ITavi

a)aageT:y= ; y= ; y=–5x ; y=– funqciaTagrafikebi.

b)raaqvTsaerTodariTgansxvavdebianerTmaneTisaganage-buligrafikebi?

Tu davalebas kargad gaarTviT Tavi, maSin SegviZlia davaskvnaT,

romy= funqciisgrafikseqnebaSemdegisaxe:

y=

k>0 k<0

f: x → funqcias, k≠0 ukuproporciuloba ewodeba.

CamovayaliboTy= funqciisTvisebebi:

I. k>0.

1. D(y)=R\{0}. x=0-TvisfunqciaararisgansazRvruli.

2. Tu x>0, maSinf(x)>0, Tu x<0, maSinf(x)<0. E(y)=R\{0}.

3. f(–x)= =– =–f(x).

funqciakentia(simetriulia(0;0)-ismimarT).

4. Tu x∈(0;∞), funqciaklebadiaTu x∈(–∞;0), funqciaaseveklebadia.

5. |x|-is zrdasTanerTadfunqciismniSvnelobebiTandaTanuax-lovdeba0-s(xdebaragindmciredagrafikiuaxlovdebaxRerZs).

6. roca x uaxlovdeba 0-s, maSin |f(x)|-is mniSvnelobebi ufrodaufro izrdeba (xdebaraginddidida grafikiuaxlovdeba yRerZs).

7. grafikisimetriulia(0;0)wertilismimarT.

grafikiserTiStoImeoTxedSiameoreki–IIImeoTxedSi.

y=

x da y cvladebs So-ris ukuproporciu-lidamokidebulebaa.

35

CamoayalibeTy= funqciisTvisebebi,rocak<0.

y= funqciisgrafikshiperbolaewodeba.

magaliTi1ipoveTk,TuA(k–6;k–4) mdebareobsy= funqciisgrafikze.

amoxsna:

AA wertiliskoordinatebiundaakmayofilebdesy= gantolebas:

k–4= kk–6

k2–11k+24=0k1=8, k2=3.

SeavseTgamotovebuliadgilebi:

1 Tuf(x)= , maSinf(–4) ? f(–1); f(5) ? f(7).

2 f: produqciisraodenoba→ erTeuliproduqciisfasi (pro-duqciaze gadaxdili Tanxa mudmivia) funqciis grafiki aris ? .

3 f: muSaTaraodenoba→ maTmierSeqmniliproduqti(muSaobazedaxarjulidromudmivia)funqciisgrafikiaris ? .

4 y=– funqciisgrafikimoTavsebulia ? da ? meoTxedebSi.

5 y= funqciisgrafikimoTavsebulia ? da ? meoTxedebSi.

6 y= funqciisgrafikisimetriulia ? mimarT.

savarjiSoebi:

1 ukuproporciulobamocemuliaformuliTf(x)= .ipoveT:

a) f(x), Tu x = 3; –5; 0,2; 100. b) x, Tu f(x) = 1; –1; 10–5; –3.

2 A daBqalaqebsSorismanZili800km-ia.avtobusmaesmanZilitsaaTSigaiara.rasiCqariTmoZraobdaavtobusi?dawereTfun-qcia,romelicaRwersmudmivimanZilisSemTxvevaSimoZraobisdroissxeulissiCqarezedamokidebulebas.

a)radroSigaivlisavtobusi800km-s,TuigimoZraobda60km/sTsiCqariT?80km/sTsiCqariT?

b)rasiCqariTundaimoZraosavtobusma,romigiBqalaqSiCa-vides8sT-Si?9sT-Si?

36

ITavi 3 aageTy=– funqciisgrafiki.grafikissaSualebiTipoveT:

a) f(1,5); f(–0,3); f(–7,1); f(5,2).b) x, Tu y = 5; –4; 7.

4 aageTf(x)= (f(x)=– ) funqciisgrafiki.grafikissaSualebiTipoveT:

a)f(–3), f(1,5), f(2), f(–2,7); b)x, Tu f(x) = 5, 1, –1, –3.

5 mdebareobsTuaraf: x→x–1funqciisgrafikzeMwertili:a)M(0,1; 1000); b)M(–1; –1); g)M(–2; 8); d)M(1; 1).

6 mocemulif(x)= funqciisgrafikisaugebladSeadareT:

a)f(–5) da f(–1); b)f(3) da f(4,7); g)f(–2) da f(1,7).

7 ipoveTm,TuF wertilimdebareobsf: x→x–1funqciisgrafikze:a)F(3;m); b)F(–2;m); g) F(m;–1); d)F(m;–32).

8 ipoveTmdan,TuM(–0,25; –2048), F(0,25; m)da E(0,125; n)wertilebimdebareobsf(x)=ax–1funqciisgrafikze.

9 mewarmem muSebis samuSao pirobebis gaumjobesebis mizniTsa-muSaodRis8 saaTidan7 saaTamde Semcireba gadawyvita.ram-denimuSisayvanamouwevsmewarmessamuSaoze,TudRisganmav-lobaSidasamzadebeliproduqciisraodenobaucvlelirCebadaTavdapirveladsawarmoSimuSaobda7muSa;14muSa;21muSa.

10 cxrilSi mocemulia monacemebi, Turamdeni muSa drois ramonakveTSi asrulebs samuSaos. igulisxmeba, rom yovelimuSa1saaTSierTsadaimavesamuSaosasrulebs.

muSaTaraodenobax 4 10 12 3 8yovelimuSismuSaobis

xangrZlivobay 15 6 5 20 7,5

rogori damokidebuleba arsebobs x da y cvladebs Soris?dawereTfunqciaf :muSaTaraodenoba→muSismuSaobisxan-grZlivoba,TuSesasrulebelisamuSao a-stolia.

11 reostatsmiewodebaU=6vmudmiviZabva.rogoricvlebareostatSidenisZala,TuwinaRoba1omidan24omamdeTan-abrad izrdeba? aageT denis Zalis winaRobaze damokide-bulebisI=f(R) grafiki.grafikismixedviTipoveT:a)denisZala,rocaR = 6omi,15 omi,22 omi;

b)reostatiswinaRoba,TudenisZalatolia10; 7; 2amperis. g)rogoridamokidebulebaarsebobsdenisZalasadawinaRo-

basSorismudmiviZabvisdros?

12 erT operators SeuZlia xelnaweri kompiuterze 20 dReSiakrifos.ramdendReSidasruldeba samuSao,Tu erTdrou-lad (erTi da imave siCqariT) imuSavebs a) 2 operatori,b)4operatori.dawereTfunqcia:

37

f :operatorTaraodenoba→ samuSaosSesasrulebladdax-arjulidro.

aageTSesabamisigrafiki.grafikismixedviTipoveTramdenioperatoriiqnebasaWiro,raTasamuSaodasruldes4dReSi.

13* laSqrobaze wasulma megobrebma gzis pirveli 20km avto-busiTgaiares40 km-sTsiCqariT, xolobolo6 km kifexiTiares x km-sT siCqariT. ra saSualo siCqariT moZraobdnenbiWebimTelgzazeTux = 4; 6.dawereTfunqcia f : siCqarefexiTsiarulisas→saSualosiCqaremTelgzaze.

14 daamtkiceT,roma)(24k–1) 5.

15 warmoidgineT,romromeliRacqveyanaSi arismxolod1, 10, 100, 1000, ...dolarianikupiurebi.SeZlebTTuara5000 calikupiuriTSeadginoTmilionidolari?

16 aqvsTuara10n+10n–5+103=9n+9gantolebasamonaxsenimTelricxvebSi?

17 ipoveT a-s yvela is mniSvneloba, romlisTvisac f(x)==–3(x–2)2–4dag(x)=2(x+a)2–4 funqciebisTviserTisudidesimniSvnelobaemTxvevameorisumciresmniSvnelobas.

18 immarTkuTxasamkuTxedebsSoris,romelTahipotenuzaze daSvebuli simaRle 6 sm-istolia, romels aqvs umciresi farTobi?ipoveTesfarTobi.

19 ABC samkuTxedis mediana BD=9 sm, MN Suaxazia (MN||AC), MN=4. BD da MNgadakveTisasadgenenkuTxeebs,romelTaganerT-erTissididea60°.ipoveT ABCsamkuTxedisfarTobi.

20 daadgineT, naxazis mixedviT romelor wertils Soris manZilis povnaaSesaZlebelidaipoveT,Tucnobilia,rom QR||AC da BQ=240 m, BC=560 m, BR=180 m.

amocanadamoukidebelikvlevisTvis:

21* daamtkiceT,rom∀a,b>0-TvismarTebuliautoloba:

.

axseniTamutolobisgeometriuliazri.

22 1) dayaviT180a)2-is,3-isada4-ispirdapirproporciulnawilebad;b)2-is,3-isada6-isukuproporciulnawilebad. 2)dayaviTAricxvim-is,n-isadak-sukuproporciulnawilebad.

f(x)=1x

38

ITavi 7 funqciis grafikis zogierTi

gardaqmna

1 mcxeTidandabaTumidanSemxvedrimimarTulebiToriavtomo-bilimoZraobs.erTi_60km/sT,meoreki_80km/sTsiCqariT.a)dawereTfunqcia:

f : dro → manqanebsSorismanZili,Tucnobilia,rommcxeTasadabaTumsSorismanZili560km-ia;b)aageTffunqciisgrafiki;g)rainformaciismiRebaSegiZliaTkidevgrafikisagan?dasviTgonivruliSekiTxvebi.

amoxsna:

manqanebsSorismanZiliy-istoliSesaZlebeliaiyosrogorcSexvedramde(nax.a);aseveSexvedrisSemdegac(nax.b).Tu moZraobis dros x-iT aRvniSnavT, maSina) SemTxvevaSi gveqneba: x → 560-140x funqcia(y=560–140x);b)SemTxvevaSi:x → 140x–560 funqcia(y=140x–560).advilisanaxavia,romoriveesfunqciaSesaZle-beliagavaerTianoTerTx → |140x–560| funqciad,racigiveay=|140x–560|.

upirveles yovlisa avagoT f(x)=140x–560 funqciisgrafiki.

1 ra damokidebuleba iarsebebs y=f(x)da y=|f(x)| funqciebis mniSvnelobebsSorisx-isimmniSvnelobebisTvis,rocaa)140x–560≥0; b)140x–560<0.

2 rogor arian ganlagebuli erTmaneTis mimarT(b;f(b))da(b;|f(b)|) wertilebi,rocaf(b)<0.

e.i. f(x)=|140x–560| funqciisgrafikismisaRebady=140x–560wrfis is nawili, romelic xRerZis zemoTaa, darCeba, xolois, romelic x RerZis qvemo-Taa aisaxeba x RerZis mimarTsimetriulad.

a)

b)

39

gaeciT pasuxi paragrafis dasawyisSi mocemuli amo-canisdanarCenSekiTxvebs.

ragardaqmniTmiiRebay=x2parabolasgany=(x-a)2; y=x2+c; y=(x-a)2+c parabola?

gavecnoTy=f(x)funqciisgrafikiszogierTgardaqmnas.

1. y=f(x–a) funqciisgrafikimiiRebay=f(x)funqciisgrafikisa-gan misixRerZisgaswvriv paralelurigadataniTa erTeuliT(marjvniv,TuadadebiTiadamarcxniv,TuauaryofiTia).amgardaqmnasCvenukvegavecaniTparabolismagaliTze.

scadeTTviTon:

y= 1x+2 y=

1x

aage: y=(x–1)3

y=(x+2)3aage:y= ; y= .

aage: y=f(x–1) y=f(x+2)

2. y=f(x)+b funqciisgrafikimiiRebay=f(x)funqciisgrafikisyRerZisgaswvrivparalelurigadataniTberTeuliT(zeviT,TubdadebiTiadaqveviT,TubuaryofiTia).scadeTviTondaaagey=f(x)+3,Tu:

40

ITavi 3. y=|f(x)| funqciisgrafikiromavagoTsaWiroa:

a)avagoTy=f(x) funqciisgrafiki;b)f wirisisnawili,romelicxRerZiszemoTaa,davtovoTucvle-lad,xoloisnawili,romelicxRerZisqvemoTaasimetriuladgadavitanoTxRerZismimarT.

scadeTTviTondaaageT:

4. y=f(|x|) funqcialuwia,radganf(|–x|)=f(|x|).amasTan,rocax≥0 f(|x|)=f(x). amitomy=f(|x|) fun-qciis grafikis asagebad saWiroa avagoT y=f(x) funqciisgrafiki,rocax≥0daSevavsoTigiluwfunqciamde.

avagoTy=x2–5|x|+6 (1) funqciisgrafiki.(1)asecSegviZliaCavweroT:y=|x|2–5|x|+6. avagoT(1)pa-rabola, roca x≥0 da SevavsoT luwi funqciisgrafikamde.

1aCveneT,rogoravagoTy=f(x) funqciisgrafikisagana)y=–f(x); b)y=f(–x) funqciaTagrafikebi.

magaliTi1

aageTf(x)= funqciisgrafiki.aRwereT,rogormiiRebaffunqci-is grafikidang funqciis grafikida CamoayalibeTg funqciisTvisebebi:

a)g(x)=– ; b)g(x)= 2x–2 .

–3 –2 2 3

41

swrafi ageba

y= +1

x–3≠0,e.i.x≠3.avagoTdamxmaresakoordinatoRer-Zebi:x=3day=1wrfeebi.simetriiscentria(3;1)wertili.axalsakoordinatosistemaSiavagoT

f(x)= funqciisgrafiki.

Tvisebebi:

1. D(g)=R\{0}.2. E(g)=R\{0}.erTiStomoTavsebuliaIImeoTxedSi,meoreki–IVmeoTxedSi.3. funqciakentia.4.rocax∈(–∞;0),funqciazrdadia,rocax∈(0;∞)–funqciazrdadia.5. |x|-is zrdasTan erTad f(x)-is mniSvnelobebi uaxlovdeba 0-s(grafikiuaxlovdebaxRerZs).6.rocaxuaxlovdeba0-s,|f(x)|-ismniSvnelobebiufrodaufroizrdeba(grafikiuaxlovdebayRerZs).

b)gfunqciisgrafikismisaRebadfhiperbolaundagavacuroTxRerZisgaswvriv,marjvniv2erTeuliT.

amoxsna:a)fdagfunqciaTagrafikebisimetriuliaxRerZismimarT(nax.1).

42

ITavi Tvisebebi:

1. D(y)=R\{2},radganx–2≠0, x≠2.2. E(y)=R\{0}.3.arcluwia,arckenti. grafikisimetriulia(2;0)wertilismimarT.4.rocax∈(–∞;2),funqciaklebadia, rocax∈(2;∞)–funqciaklebadia.5. |x|-is zrdasTan erTad f(x)-is mniSvnelobebi uaxlovdeba 0-s,grafikiuaxlovdebaxRerZs.

6.rocaxuaxlovdeba2-s,maSin |f(x)|-ismniSvnelobebiufrodaufroizrdeba(grafikiuaxlovdebax=2 wrfes,magramarexebamas).

magaliTi2

aageTyxx

12 1=++ funqciisgrafiki.

amoxsna:

yxx

12 1=++ gamosaxulebidan gamovyoT mTeli

nawili.

( ) ( ) ( )y

xx

x

x

x

x

x

x

x12 1

1

2 1 2 1

1

2 1 1

1

2 1

11=

++

=+

+ - +=

+

+ -=

+

+-

+

( ) ( ) ( )y

xx

x

x

x

x

x

x

x12 1

1

2 1 2 1

1

2 1 1

1

2 1

11=

++

=+

+ - +=

+

+ -=

+

+-

+

miviReT: yxx

x12 1

11

2=++

=-+

+ funqcia, romlis

grafikisagebacCvenTviscnobilia.damxmareRer-

Zebia:x = –1; y = 2 axalsakoordinatosistemaSiavagoT

yx1=- funqciisgrafiki.

y ax bcx d= ++ , ad–bc≠0, c≠0 saxis funqciaswilad-wrfivi

funqciaewodeba.

SeavseTgamotovebuliadgilebi:

1 y=f(x–2) funqciisgrafikis asagebady=f(x) funqciisgrafikiundagadavitanoTparalelurad ? RerZisgaswvriv ? er-TeuliT.

2 y=f(x)+b grafikis asagebad, (b>0) saWiroa y=f(x) funqciisgrafikigadavitanoTparalelurad ? RerZisgaswvriv ? er-TeuliT.

3 y=–|f(x)| funqciisgrafiki ganTavsebuliSeiZlebaiyos ? da ? meoTxedebSi.

4 y= funqciisgrafikimoTavsebulia ? da ? meoTxedebSi.

5 y=f(|x|) funqciisgrafikisimetriulia ? RerZismimarT.

SesaZlebeliaasec:x + 1 = t, maSin x = t – 1miviRebT:

( )y

xx

tt

tt

t x12 1 2 1 1 2 1

21

21

1=++

=- +

=-

= - = -+

( )y

xx

tt

tt

t x12 1 2 1 1 2 1

21

21

1=++

=- +

=-

= - = -+

-1

2

43

savarjiSoebi:

1 ipoveTffunqciisgansazRvrisaredasimetriiscentri:

a)f(x)= 2x –1; b)f(x)= 1

x+5; g)f(x)= 1x–3+1.

2 f(x)= funqciisgrafikissaSualebiTaageTgfunqciisgrafiki:

a)g(x)=– ; b)g(x)=– ; g)g(x)= –1.

3 aageTSemdegfunqciaTagrafikebi: a)y=|2x+5|; b)y=2|x|+5; g) y=|2x–1|; d) y=2|x|–1.

4 y= funqciisgrafikissaSualebiTaageTg(x)funqciisgrafiki:

a)g(x)=– ; b)g(x)= +3; g)g(x)= ; d)g(x)= +3.

5 paragrafSiaRweriligardaqmnebiTaageTfunqciisgrafiki:

a)y=|x2–3|; b)y=|x2–2x–8|; g)y=x2–2|x|–8;

d)y=|2x2–2|; e)y=|x2–2|x|–8|; v)y=x2+3|x|+2.

6 paragrafSi aRwerili gardaqmnebiT aageT Semdegi funqciaTagrafikebi:

a)y= +1; b)y= ; g)y=| |; d)y= ;

e)y= ; v)y=| +4|; z)yx2 51=+

; T)yx 31=-

.

7 aageTy=x3funqciisgrafikidaCamowereTmisiTvisebebi.

8 y=x3+b funqciis grafiki gadis (2;5) wertilze. ipoveT b daaageTfunqciisgrafiki.

9 WeSmaritiaTumcdariSemdegiwinadadebebi: a)y=f(|x|) funqciisgrafikisimetriuliayRerZismimarT;

b)y=|f(x)| funqciisgrafikisimetriuliaxRerZismimarT;

g)y=x3 funqciisgrafikisimetriuliakoordi-natTasaTavismimarT;

d) y=x3+5 funqciis grafiki simetriulia(0;5)wertilismimarT.

10 paragrafSiaRweriligardaqmnebiTaageTSemdegifunqciaTagrafikebi:

a)y=–x3+3; b)y=|x3+2|; g)y=|(x+3)3|; d) y=|x2–4x+5|;d)y=(x–1)3; e)y=|x|3–1,5; v)y=(x–2)3+2; T) y=x2–4|x|+5.

11 ipoveTmocemulifunqciisumciresimniSvneloba: a)y=|3x+1|–2; b)*y=|3x2–4x+2|–3; g)y=|x2–4x+3|-4; d)y=|–x2+2x|+1; ey=5+|2x+7|; v)y=x2-2|x|+1.

44

ITavi

0 x

y12 aageT Semdegi funqciaTa grafikebi(gardaqmnebissaSualebiT):

a)y= ; b)y= –3; g)y=– ; d)y=| –7|; e)y=| –5|.

13 ABCDparalelogramisABdaADgverdebzeaRebuliaSesabam-isadKdaP wertilebi ise,romAK:KB=1:4daAP:PC=3:5. ip-oveTS∆AKP:S∆ABCD

14 marTkuTxedisdiagonalebisgadakveTiswertilidandidgver-damdemanZili2,5sm-ia.ipoveTmarTkuTxedismciregverdi.

15 P da Q wertilebi ABC samkuTxedis AB da AC gverdebisSuawertilebia.ipoveTP∆ABC, Tu P∆APQ=21sm.

16 ABCD trapeciaSi BC=a da AD=b fuZeebia.Semdegi winadadebebidan amoarCieT WeSmaritiwinadadebebi:

a)SBOCSAOD

=ab b)SAOB = SCOD g)SABD = SACD

d)SABC = SBCD e)SAODSBOC

=a2

b2 v)SABOSBOC

=ab

amocanadamoukidebelikvlevisTvis:

17 y=f(x)funqciisnuliax=2.ipoveT: a)y=f(x–3); b)y=f(x+1) funqciisnuli.

18 a)aageTy=|x2–x–6|funqciisgrafiki: b)a-sramniSvnelobisTvisaqvs|x2–x–6|=agantolebasarc

erTi,erTi,ori,sami,oTxi,uamraviamonaxseni?

A D

B a C

O

b

45

8 ukeTesi variantis arCeva

● teqstiani amocanebis amoxsnisas saWiroa amocana mSobliurienidan maTematikis enaze gadaviyvanoT da Semdeg amovxsnaTmiRebuligantolebaTuutoloba. esyvelaferiZalianmniS-vnelovania,radgansawarmoodaekonomikurpraqtikaSixSiradgvesaWiroeba davTvaloT, SevajamoT monacemebi, gavukeToTanalizisawarmoosmuSaobasdaa.S.boloskigavaanalizoTSe-qmnilisituacia.risSemdegacSesaZlebeliaSedgesSemdgomimuSaobisgegma. Seqmnili sxvadasxva variantebidan ki saWiroaSeirCesukeTesi.

aseTi amocanebis dasma da amoxsna aris maTematikuri pro-gramirebissagani.CvenganvixilavTramdenimeaseTmartivamo-canas.

amocana1

nikamdalukamgadawyvitesmoenaxulebinaTmaTisoflidan40km-iTdaSorebulimowameTistaZari.maTmxoloderTivelosipediaqvT.nikasSeuZliafexiT6km/sTsiCqariT,velosipediTki–20km/sTsiCqariTimoZraos.lukasSesabamisad–4km/sTda30km/sTsiC-qariT.SesaZlebeliavelosipedisgzazeuyuradReboddatoveba.rogor SeuZliaT maT, orivem, rac SeiZleba swrafad miaRwiontaZramde?

1)biWebierTdrouladmividnentaZarTan.vTqvaT, nikamx km gaiara velosipediTda (40–x) km –fexiT. ma-Sin luka x km-s fexiT gaivlida, (40–x) km-s ki – velosipediT.nika taZarTanmividoda ( )20 6

x+

40–x saaTSi.lukaki– ( )4 30

x+

40–x

saaTSi. radgan isini erTdroulad mividnen taZarTan, amitom

20 6

x+

40–x

4 30

x+

40–x= . aqedan x=16km-s, xolo biWebi taZarTan

4saaTsada48wT-Simividodnen.

2) TuvigulisxmebT,romnikavelosipediT16km-zenaklebsgaiv-lis(x<16),maSintaZramdemisasvlelidro

60t =

400–7x gaizrdeba

(ratom?pasuxidaasabuTeT).

3) TunikavelosipediT16km-zemetmanZilsgaivlida,maSinTvi-TonkimividodataZramdeufroswrafad,magramsamagierodlukas

taZramdemisvlisdro,60

t =13x+80

sT,gaizrdeboda.

e.i. saukeTeso variantia, roca biWebi taZarTan erTdroulad

mivlen.

46

ITavi amocana2

laboratoriaSimoitanessamisxvadasxvaSenadnobi.pirveliSei-cavs40%spilenZsda60%nikels,meore–60%spilenZsda40%kobalts,mesame–60%kobaltsda40%nikels.eqsperimentisTvissaWiroa1kgSenadnobi,romelSiciqneba40%kobaltidaracSes-aZlebelianaklebispilenZi.rogorSAeiZlebaamismiRweva?

vTqvaT,aviReTxkgI, ykgIIdazkgIIISenad-nobi.maSinmiviRebT

0,4y+0,6z=0,4 (2)

x+y+z=1 (1){TangasaTvaliswinebelia,romspilenZiiyosracSeiZlebamcire.e.i. gamosaxulebam a=0,4x+0,6y unda miiRos minimaluri mniS-vneloba(agavxadoTerT–ycvladze,damokidebuli):

a=0,4(x+y)+0,2y=0,4(1–z)+0,2y

(2)-dan3

z =2–2y

.miviRebT:15

a =2+7y

.

y-isramniSvnelobisTvismiiRebsaumciresmniSvnelobas?

diax,spilenZisminimaluriwiliaxalSenadnobSiiqneba15

2,

maSin,rocax= ; z= da y=0.

e.i.undaSevurioT kgpirveliSenadnobida kgmesameSenad-nobi.

amamocanaSicCvenSevexeTwrfivi,a=15

7 y+15

2funqciisumciresi

mniSvnelobispovnas,rocay∈[0;1].

miRebulSenadnobSiracSeiZlebanaklebispilenZiniSnavsracSeiZlebametnikels.amoxseniTamocanaamkuTxiT.

amocana3

100laradundaSeiZinonnaZvisxissaTamaSoebi.Sekvra,romel-Sic20saTamaSoa,4lariRirs.Sekvra,romelSic35 saTamaSoa–6lari,xolo,romelSic50saTamaSo–9lari.ramdenidaromeliSekvraundaSeiZinon,raTaiyidonracSeiZlebametisaTamaSo.

amoxsna:

pirveli Sekvris TiToeuli saTamaSo5

1 lari Rirs, meore

Sekvrisa–35

6 lari,mesamisaki–50

9 lari.

35

6 < 50

9 < 5

1

Cu Ni CoI 40% 60% –II 60% – 40%III – 40% 60%

I II III

20 cali 35 cali 50 cali

4 lari 6 lari 9 lari

I II III

1 cali 1 cali 1 cali

5

1lari35

6 lari50

9 lari

47

rogorfiqrobT,romelisaTamaSoebisjobsmetiSei-Zinon?romelidaramdeniSekvraundaSeiZinon,raTaracSeiZlebametisaTamaSoiyidon?

imedia,TqvensworadimsjeleT,magram,raTqmaunda,verganixi-lavTyvelaSesaZlovariants.moviyvanoTamocanisufromkacriamoxsna.

vTqvaT, iyides x cali pirveli Sekvra, y cali meore Sekvrada z cali mesame Sekvra. x, y, z ≥ 0 da 4x+6y+9z≤100. amasTanS=20x+35y+50z undaiyosudidesi.

ipoveTx, y, z cvladebisdasaSvebmniSvnelobaTasim-ravle.

S=5(4x+7y+10z)=5[4x+6y+9z+y+z]≤500+5(y+z).S gamosaxulebismniSvnelobaiqnebaudidesi,roca(y+z)-ismniS-vnelobaarisudidesi,anurocay+z=16. aqedanS≤580.advilisanaxavia,rocax=1, y=16 da z=0. maSinS=580.

savarjiSoebi:

1 tafaze2 katletieteva.maTiSewvaorivemxaresSesaZlebelia10wT-Si.raumciresdroSiSeiwvebaamtafazesamikatleti?

2 b wrfis erT naxevarsibrtyeSi mdebareobsA daB wertilebi.rogorda sad movaTavsoTb wrfeze mocemuli sigrZisMK=a monakveTi,romAMKB texilissigrZeiyosumciresi?

3 moswavleebmagadawyvites,romsko-lis sportul moedanze moawyonsarbeni biliki sigrZiT ℓ=100m,romelsac eqneba naxazze mocemuliforma.risitoliundaiyosAA1daACmonakveTebissigrZe,romsarbenibilikiT SemosazRvruli nakveTisfarTobi iyos udidesi (ABC daA1B1C1–naxevarwreebia).

4* firmayovelTviuradyidis1000caldetals.TiToeulideta-lisfasi10laria.erT-erTiTanamSromlisazriT,TuTiToeu-lidetalsgaaiafebdnen0,1lariT,maSinSesaZlebeliiqnebodayovelTviurad20detaliTmetisgayidva;Tudetali0,2lar-iTgaiafdeboda,maSingaiyideboda40-iTmetidaa.S.

a)ramdenadundagaiafdesTiToeulidetali,romfirmammii-Rosmaqsimalurimogeba,TuvigulisxmebT,romTanamSromlisvaraudisworia;

b)ramdendetalsgayiddaTveSifirmaamSemTxvevaSi.

A A1

C C1

xB B1

48

ITavi

8 svetovandiagramazenaCvenebiafirmismogebismaCveneblebi5TvisganmavlobaSi.

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

mogebalarebSi

Tveebimarti aprili maisi ivnisi ivlisi

a)raTanxasSeadgendafirmismogebamartidanivlisisCaTvliT?

b)ramdeniasaSualoTviurimogeba?

g)ramdeniprocentiTmetiiyomogebamaisSimartTanSedarebiT?

30sm

5* qarxanaSi Ria kolofis dasamzadebladiyenebenfurclovanifoladisnarCenebs,romlebsac tolferda marTkuTxa sam-kuTxedisformaaqvTc=30smhipotenuz-iT.kolofirom,racSeiZlebametiteva-dobisaiyos,saWiroafoladisTiToeulinaWridan gamoiWras rac SeiZleba metifarTobismqonemarTkuTxedi.rogorSei-ZlebaamisgakeTeba?

6 100 m sigrZis mavTulbadiT saWiroa SemoiRobosudidesifarTobismqonemarTkuTxanakveTiise,romnakveTiserTgverdadSesaZlebeliagamoyenebuliiq-nassxvanakveTisRobe.ipoveTaseTimarTkuTxanakve-TissigrZedasigane.

7 ABC tolferda samkuTxedSi, romlisferdi 8 sm-ia, Caxazulia naxevarwre,romliscentriACfuZezeZevs. ipoveTradiusis sigrZe, romlisTvisac naxe-varwrisfarTobiudidesiiqneba.

A

B

O C

49

ITavisdamatebiTisavarjiSoebi:

1 ipoveTfunqciisgansazRvrisare:

a) ; b) ; g) ;

d) ; e) ; v) .

2 daadgineT,luwiaTukentifunqcia:

a)y=3–2x2; b)y=5x–7x3; g)y=2|x|–x2+5;

d) ; e) ; v) .

3 ipoveTfunqciis: a)zrdadobisadaklebadobisSualedebi;

b)niSanmudmivobisSualedebi;g)nulebi.

4 daxazeTfunqciisgrafiki,romeliczrdadia(–∞;–3]SualedSi,(–3;2]SualedSiklebadia,xolo(2;∞)SualedSikiisevzrdadiadaaqvserTaderTinuli,x=4.

5 daxazeT funqciis grafiki, romelic zrdadia (–∞;1] SualedSidaklebadi(1;∞)SualedSi.amavedros,(–2; 4)SualedSifunqciadadebiTia,xolo(–∞;–2)U(4;∞)SualedSiki–uaryofiTi.

6 naxazzemocemuliay=f(x)funqciisgrafiki.ipoveTf(x)funqciis a) gansazRvris are; b) mniSvnelobaTa are, g) sakoordinatoRerZebTan gadakveTis wertilTa koordinatebi;d) zrdadobisadaklebadobisSualedebi;e)niSanmudmivobisSualedebi.

a) b)

1) 2) 3)

50

ITavi

7. gansazRvreT, Semdegi funqciebidan romelia luwi, kenti, romelia arcluwi,arckenti?

a)(3–x)3–(3+x)3; b)y=x

xx1

11

++

;

g)y=|x–2|–3|x|+|x+2|; d)*y=[|4x|].

8. cnobilia,romf(x)luwifunqciaa;g(x)—kentia.raSeiZlebaiTqvasSemdegifunqciebisluw-kentobaze.

a)y=f(x+g(x)); b)y=g(f(x)); g) y=xf(x)+g(x); d)y=x(f(x)+g(x)).

9.ipoveTa; b da c-syvelamniSvneloba,romelTaTvisaca) y=ax+b;b) y=ax2+bx+c, a≠0funqciaaris1)luwi;2)kenti.

10* ipoveTf(–3),Tucnobilia,romf(3)=2,xolof(x)+x2 funqciakentia.

11* gamovTvaloTf(4),Tuf(–4)=9,xolo(x+1)·f(x) luwia.

12 WeSmaritiaTuara:

a)orizrdadifunqciisjamizrdadia;

b)oriklebadifunqciisjamiklebadia;

g)orizrdadifunqciisnamravlizrdadia.

13 f(x)funqciagansazRvruliadaklebadia [–1;4]Sualedze.cnobilia,romf(2)=5.amoxseniTutolobaf(x)>5.

14 ipoveTfunqciisumciresidaudidesimniSvneloba

a) y=2–|x|; b)x

x

1

22

+; g) x x2

2+ - ; d) x x2 6 7

4 2- + .

15 ipoveTfunqciisudidesidaumciresimniSvnelobamocemulSualedze.

a)y=2+x–x2 x∈[-1;3]; b)y=4+x 31-

x∈[0;2]; g)y=2 3x3 3x-- x∈[1;4].

16 naxazzemocemuliay=ax2+bx+cfunqciisgrafiki. ipoveTa; bdackoeficientebisniSnebi.

17 naxazze mocemulia y=x2–7x+c funqciis grafikidaKL=5KO.ipoveTc-smniSvneloba.

K LO

51

18* k-sramniSvnelobisaTviseqnebamocemulfunqciaTagrafikebs1)erTi;2)ori;3)arcerTigadakveTiswertili:a)y=3x–9; y=x2–(2k+1)x+8k; b)y=x2–2kx+1; y=–3.

19 ipoveTfunqciisumciresidaudidesimniSvneloba:

a)y=–2x2+5x–1, x∈[0;3]; b)y=–0,5x2+2x–7, x∈[1;4]; g)y=x2–3x+4, x∈[–3;1]; d)y=2x2–5x–1, x∈[–4;2].

20 x-isramniSvnelobisaTvismiiRebsgamosaxulebaudidesanumciresmniS-vnelobas?ipoveTesmniSvneloba:

a)x2–4x+1; b)x(x–2)–1; g)–x(x+3)–4; d)x–3x2.

21 ipoveTricxvi,romlis: a)namravlimasze25-iTmetricxvzeiqnebaumciresi: b)gasamkecebelinamravlimasze1-iTmetricxvzeiqnebaumciresi; g)meoTxedisnamravlimasze3-iTnaklebricxvzeiqnebaumciresi.

22. aageTSemdegfunqciaTagrafikebi: a) y=|3x+5|; b)y=3|x|–7; g)y=|x2–15x+54|; d) y= |x–5|+3; e) y=x2+2|x|–3; v) y=|x2–x–2|+2;

z)yx 51=+

; T)| |

yx 51=+

; i)| |

yx 51=+

.

52

ITavi

SeamowmeSenicodna:

1. cnobilia,romfunqciazrdadia(–∞;–2)da[1;5]SualedebSi,xolomisnulebia:x=–4dax=–0,5,maSinaseTifunqciisgrafikiiqneba:

a)f; b)g; g)h; d)j.

2. mocemulifunqciebidanluwia:

a)f; b)g; g)h; d)j.

3. mocemuliwirebidankentifunqciisgrafikia:

a)f; b)g; g)h; d)j.

4. y=|x–1|+|x+1|funqcia: a)luwia;b)kentia;g)arcluwia,arckentia;d)wrfivia.

5. Tuf (x)=x2+x–1,maSinf(x–1)=: a)x2–x–1; b)x2–1; g)x2+x–1; d) x2–x+1.

53

9. ABCD marTkuTxedSi Caxa-zulia paralelogrami ise,rogorc es naxazzea. pa-ralelogramis farTobi um-cires mniSvnelobas miiRebs,rocax udris:

a)1sm; b)7sm; g)4sm; d)3sm.

10. y=|–x2+bx+c|funqciasgaaCnia:a)umciresimniSvneloba; b)udidesimniSvneloba;g)umciresimniSvnelobacdaudidesimniSvnelobac;d)arcerTipasuxisworiararis.

6.SemdegifunqciebidanI. y=x2–x4; II. y=x2–3; III. y=4x3+16 luwia: a)mxolodI; b)mxolodII; g)mesame; d)IdaII.

7.Tumocemuliaax4+bx2+cfunqciadaf(5)=3,maSinf(-5)= a) 3; b) -3; g) 9; d)pasuxsvergavcemT.

8. y=x2–5x+6funqciisumciresimniSvnelobaa. a) y=-2; b) y=

41- ; g) y=0; d) y=1.

54

I TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva

0

y

x–x

(–x;f(x)) (x;f(x))

0 x

–x

(–x;–f(x))

–f(x)

(x;f(x))f(x)

y

● y=f(x)funqciasewodebaluwi,Tumisigan-sazRvris are simetriulia 0-is mimarTdagansazRvris aridan aRebulinebismierix-Tvissruldeba:f(x)=f(–x).

● y=f(x)funqciasewodebakenti,Tumisigan-sazRvris are simetriulia 0-is mimarT dagansazRvris aridan aRebuli nebismieri x-Tvissruldeba:f(–x)=–f(x).

● y=f(x)funqciasewodebazrdadigansazRvrisarisraime (a,b) SualedSi, Tu nebismieri x1,x2∈(a,b)-Tvis,rocax1< x2,maSinf(x1)<f(x2).

● y=f(x)funqciasewodebaklebadigansazRvrisarisraime(a,b)SualedSi,Tunebismierix1,x2∈(a,b)-Tvis,rocax1< x2,maSinf(x1)>f(x2).

● argumentis im mniSvnelobas, romlisaTvisacfunqciismniSvnelobanulistolixdeba,fun-qciisnuliewodeba.

● Sualeds, romelSic funqcia niSans inarCunebs (andadebiTia an uaryofiTi), funqciis niSanmudmivobisSualediewodeba.

0 xx1 x2

f(x2)

f(x1)

y

0 xx1 x2

f(x2)

f(x1)

y

y

x0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

-2

-1

4

3

2

1

y

x0

dad

ebiT

i

funqcia

uaryofiTi u

aryofiTi

y=

k>0 k<0

● y= funqciisgrafiks

hiperbolaewodeba.