matematika - old.eqe.geold.eqe.ge/uploads/grifireba/grifirebulebi_2012/... · 5 sesavali viii...

maTematika 8maswavleblis wigni

nana jafariZe maia wilosani nani wulaia

3

s a r C e v i

Sesavali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5erovnuli saswavlo gegma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები და მათი ინდიკატორები . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Sinaarsisa da miznebis ruka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11მოსწავლის შეფასების სისტემა . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14gTavazobT ramdenime gakveTilis sanimuSo scenars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

I Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 . gamonaTqvamebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 . mocemulis sawinaaRmdego gamonaTqvami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 . xarisxi mTeli maCvenebliT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 . mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 . qordis marTobuli diametris Tviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 . wrewiris mxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 . ori wrewiris urTierTmdebareoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 . wrewirSi Caxazuli da wrewirze Semoxazuli samkuTxedebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 . wrewiris rkali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 . Caxazuli kuTxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 . mxebiTa da qordiT Sedgenili kuTxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 . marTkuTxa samkuTxedis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

III Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 . wiladuri gamosaxuleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 . wiladebis Sekreba da gamokleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 . wiladebis gamravleba da gayofa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 . wiladur gamosaxulebaTa gamartiveba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 . wiladuri gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 . utoloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 . ricxviTi utolobis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 . wrfiv erTucnobian utolobaTa sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

IV Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 . farTobis Tvisebebi . kvadratis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 . marTkuTxedis, marTkuTxa samkuTxedis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 . racionaluri ricxvi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 . perioduli aTwiladis gadaqceva Cveulebriv wiladad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 . kvadratuli fesvi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 . piTagoras Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 . ori wrewiris saerTo Siga da saerTo gare mxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 . kvadratuli fesvebis gamravleba da gayofa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810 . kvadratuli fesvi xarisxidan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5811 . kvadratuli fesvebis Semcvel gamosaxulebaTa gardaqmna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6012 . saSualo ariTmetikuli da saSualo geometriuli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4

V Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661 . funqciis cneba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 . funqciis mocemis xerxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 . funqciis grafiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685 . wrfivi funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696 . wrfivi gantolebis da utolobis grafikuli amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707 . mobruneba, centruli simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718 . wrfivi orucnobiani gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729 . amovxsnaT gantoleba mTel ricxvebSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7410 . orucnobian gantolebaTa sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7411 . wrfiv gantolebaTa sistemis amoxsna Casmis xerxiT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7512 . algebruli Sekrebis xerxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

VI Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841 . mravalkuTxedebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842 . paralelogramis niSnebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843 . paralelogramis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864 . samkuTxedis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875 . samkuTxedis Suaxazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876 . rombi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897 . marTkuTxedi, kvadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908 . trapecia, trapeciis Suaxazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929 . marTkuTxa trapecia, tolferda trapecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9310 . trapeciis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9511 . wrewirSi Caxazuli oTxkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9612 . wrewirze Semoxazuli oTxkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

VII Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031 . albaToba da fardobiTi sixSire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032 . erTnairad mosalodnel elementarul xdomilobaTa albaToba . . . . . . . . . . . . . . . 1053 . albaTobis klasikuri ganmarteba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

VIII Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101 . Talesis Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102 . samkuTxedis biseqtrisis Tviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113 . samkuTxedis medianis Tviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114 . proporciuli monakveTebi wreSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5

Sesavali

VIII klasSi maTematikis sagnis swavlebis ZiriTadi mizania mozardSi kvlevis Cvevis, agreTve analitikuri, logikuri, sistemuri da simboluri azrovnebis gamomuSaveba . maTematikis swavlam moswavles unda SesZinos is unar-Cvevebi, romelic mas daexmareba cxovrebiseuli, praqtikuli problemebis gadaWraSi .

erovnuli saswavlo gegmis daniSnulebaa daexmaros saskolo ganaTlebis procesis monawileebs am procesis dagegmvasa da warmarTvaSi .

erovnul saswavlo gegmaSi aRwerilia is savaldebulo moTxovnebi, romelsac unda akmayofilebdes yvela moswavle saswavlo wlis dasrulebis mere . es moTxovnebi TiToeuli mimarTulebisaTvis Sedegebisa da maTi indikatorebis enazea Camoyalibebuli .

Sedegi aris debuleba imis Sesaxeb, Tu ra unda SesZlos moswavlem swavlis mocemuli safexuris dasrulebis Semdeg .

indikatori aris debuleba im codnisa da unar-Cvevebis demonstrirebis Sesaxeb, romelic Camoyalibebulia Sesabamis SedegSi . indikatoris ZiriTadi daniSnulebaa imis warmoCena, miRweulia Tu ara Sedegi . indikatori orientirebulia unar-Cvevebze da Camoyalibebulia aqtivobis enaze .

VIII klasis warmodgenili saxelmZRvanelos daniSnulebaa xeli Seuwyos erovnuli saswavlo gegmiT gaTvaliswinebuli unar-Cvevebis gamomuSavebas .

saxelmZRvanelo faravs standartis yvela Sedegs .masalis miwodebis ZiriTadi meToduri orientiria problemuri Txroba .

moswavle aris gakveTilis axsnis aqtiuri monawile .gagacnobT wignis struqturas .TiTqmis yvela paragrafi iwyeba situaciuri amocaniT, maprovocirebeli

SekiTxviT an iseTi amocaniT, romelic moswavlisagan kvlevas moiTxovs da romelic iZleva varaudis gamoTqmis saSualebas . gakveTilis etapebi gamoyofilia aqtivobebiT, riTac xdeba axali masalis aTvisebis Semowmeba da gaRrmaveba . varskvlaviT moniSnulia amocanebi maRali SefasebisaTvis .

maswavleblis sarekomendacio wignSi mocemulia ramodenime gakveTilis scenari, aqtivobebis mizani, daniSnuleba, savaraudo da swori pasuxebi, sakontrolos nimuSebi . mocemulia Sefasebis ZiriTadi mdgenelebi, damxmare literatura maswavleblisaTvis .

agreTve gTavazobT savaraudo saaTobriv ganawilebas . sarezervo saaTebi gvaZlevs saSualebas, rom zogierT gakveTils maswavlebelma meti dro dauTmos, gamoiyenos Tavis Sexedulebisamebr .

6

erovnuli saswavlo gegma

წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები მიმართულებების მიხედვით:

რიცხვები და მოქმედებები

კანონზომიერებები და ალგებრა

გეომეტრია და სივრცის აღქმა

მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა

VIII.1. მოსწავლეს შეუძლია პოზიციური სისტემის და რიცხვის ჩაწერის სტანდარტული ფორმის გამოყენება .

VIII.2. მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებების შესრულება და მათი შედეგის შეფასება .

VIII.3. მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დასაბუთების ზოგიერთი ხერხის გამოყენება .

VIII.4. მოსწავლეს შეუძლია გამოთვლებთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნა .

VIII.5. მოსწავლეს შეუძლია სიდიდეებს შორის წრფივი დამოკიდებულების ამოცნობა, გაანალიზება და გამოსახვა .

VIII.6. მოსწავლეს შეუძლია ორ სიმრავლეს შორის შესაბამისობის აგება, გამოსახვა და გამოკვლევა .

VIII.7 . მოსწავლეს შეუძლია განტოლებათა სისტემებისა და უტოლობების გამოყენება პრობლემის გადაჭრისას .

VIII.8. მოსწავლეს შეუძლია ფიგურათა თვისებების გამოყენება ფიგურათა კლასიფიცირებისათვის და მათი სახეობების შესადარებლად .

VIII.9. მოსწავლეს შეუძლია ფიგურისა და მისი ელემენტების ზომების მოძებნა .

VIII.10. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული დებულებების მართებულობის დასაბუთება .

VIII.11. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემების მოპოვება და მათი წარმოდგენა დასმული ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით .

VIII.12. მოსწავლეს შეუძლია შემთხვევითი მოვლენების ამოცნობა და ხდომილობათა ალბათობების გამოთვლა .

VIII.13. მოსწავლეს შეუძლია ხდომილობათა ალბათობების შეფასება და მსჯელობა ხდომილობათა მოსალოდნელობის შესახებ ფარდობით სიხშირესა და ალბათობას შორის კავშირის გამოყენებით .

7

წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები და მათი ინდიკატორები

მიმართულება: რიცხვები და მოქმედებები

მათ . VIII .1 . მოსწავლეს შეუძლია პოზიციური სისტემის და რიცხვის ჩაწერის სტანდარტული ფორმის გამოყენება .

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • მოცემული სიზუსტით ამრგვალებს მთელ რიცხვებსა და ათწილადებს, განასხვავებს

პერიოდული ათწილადის შემოკლებით ჩაწერას დამრგვალებისგან . (მაგალითად, “დაამრგვალე მეასედის სიზუსტით და შეადარე 0 .7(6) და 0 .767”);

• პოზიციური სისტემის გამოყენებით ასაბუთებს გაყოფადობის ნიშნებს; (ერთნიშნა) რიცხვის თანმიმდევრული ხარისხების განხილვისას მსჯელობს ერთეულების თანრიგებში მდგომ ციფრთა პერიოდული განმეორების შესახებ (მაგალითად “რომელი ციფრი იქნება ერთეულების თანრიგში, თუ პოზიციური სისტემით ჩავწერთ 2 ხარისხად 11-ს?”);

• წერს რიცხვებს სტანდარტული ფორმით და პირიქით, სტანდარტული ფორმით მოცემულ რიცხვს წერს პოზიციური სისტემის გამოყენებით; ადარებს რიცხვის ჩაწერის სხვადასხვა ფორმებს (მაგალითად, რა უპირატესობა აქვს სტანდარტულ ფორმას რიცხვებზე მოქმედებების შესრულებისას) .

მათ . VIII .2 . მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებების შესრულება და მათი შედეგის შეფასება .

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • იყენებს შეფასებას რაციონალურ რიცხვებზე შესრულებული გამოთვლების (მათ შორის

ხარისხი და ფესვი) შედეგის ადეკვატურობის შესამოწმებლად;• იყენებს რიცხვის ჩაწერის ეკვივალენტურ ფორმებს (მაგალითად, სტანდარტული

ფორმა) გამოთვლების შესრულების და/ან გამოთვლების შედეგის შეფასებისას;• ამოცანის კონტექსტის გათვალისწინებით ირჩევს რა უფრო მიზანშეწონილია -

მოქმედებათა შედეგის შეფასება თუ მისი ზუსტი მნიშვნელობის პოვნა;• ახდენს რიცხვიდან კვადრატული/კუბური ფესვის ამოღებისა და რიცხვის

კვადრატში/კუბში აყვანის ოპერაციების თვისებების (მათ შორის, ამ ოპერაციების ურთიერთშებრუნებულობის) დემონსტრირებას;

• ასაბუთებს მთელმაჩვენებლიანი ხარისხის თვისებებს და ახდენს მათ დემონსტრირებას .

მათ . VIII .3 . მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დასაბუთების ზოგიერთი ხერხის გამოყენება .შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • განასხვავებს დებულების წანამძღვარს/წანამძღვრებს და დასკვნას; ცვლის დებულების

წანამძღვარს და მსჯელობს დასკვნის მართებულობის შესახებ;• აყალიბებს და ასაბუთებს მარტივ დებულებას მთელი რიცხვების თვისებების ან მათზე

მოქმედებების შედეგის შესახებ . (მაგალითად, “თუ კენტ რიცხვს დავუმატებთ კენტ რიცხვს, შედეგად მივიღებთ . . .”);

• შესაბამის შემთხვევაში ახდენს რიცხვების თვისებების შესახებ გამონათქვამის არამართებულობის დასაბუთებას (მაგალითად, კონტრმაგალითის გამოყენებით); აყალიბებს მოცემული დებულების საწინააღმდეგო დებულებას;

• ასაბუთებს ან ხსნის ამოცანის ამოხსნისას გამოყენებულ ხერხს .•

8

მათ . VIII .4 . მოსწავლეს შეუძლია გამოთვლებთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნა .შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • ორი (წრფივი მოდელით მოცემული) სამომხმარებლო კონტრაქტიდან ან მომსახურების

გეგმიდან უკეთესის შესარჩევად ასრულებს გამოთვლებს და იღებს გადაწყვეტილებას;• ხსნის ბუნებისმეტყველების დარგებიდან მომდინარე ამოცანებს გამოთვლებზე;• იყენებს გამორიცხვის ან ამოწურვის მეთოდს რიცხვებზე ამოცანების ამოხსნისას და

განმარტავს გამოყენებულ ხერხს (მაგალითად, ავსებს არითმეტიკული მოქმედების წერითი ალგორითმის ნიმუშს, სადაც ზოგიერთი რიცხვი სიმბოლოებით არის შეცვლილი);

• ირჩევს და იყენებს სიდიდის ცვლილების სიჩქარის შესაფერის ერთეულებს; გამოსახავს მცირე ერთეულს დიდი ერთეულის გამოყენებით .

მიმართულება: კანონზომიერებები და ალგებრა

მათ . VIII .5 . მოსწავლეს შეუძლია სიდიდეებს შორის წრფივი დამოკიდებულების ამოცნობა, გაანალიზება და გამოსახვა .

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • მისთვის ნაცნობი სიდიდეებისათვის ასახელებს სიდიდეებს შორის წრფივ

დამოკიდებულებებს (მაგალითად, თანაბარი მოძრაობისას განვლილი მანძილის დამოკიდებულება დროზე);

• განასხვავებს წრფივ და არაწრფივ დამოკიდებულებებს მიუხედავად დამოკიდებულების გამოსახვის ხერხისა; მსჯელობს წრფივ და არაწრფივ დამოკიდებულებებს შორის განსხვავებაზე;

• სიტყვიერად ჩამოყალიბებულ დებულებას სიდიდეებს შორის დამოკიდებულებისა და მიმართების შესახებ გამოსახავს ალგებრულად; ალგებრულად მოცემულ დამოკიდებულებას გამოსახავს გრაფიკულად, ცხრილით ან აყალიბებს სიტყვიერად .

მათ . VIII .6 . მოსწავლეს შეუძლია ორ სიმრავლეს შორის შესაბამისობის აგება, გამოსახვა და გამოკვლევა .

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • აგებს რეალური ვითარების ადეკვატურ შესაბამისობას ორ მოცემულ სიმრავლეს შორის

(მაგალითად, მოსწავლეები და მერხები საკლასო ოთახში) და ცხრილის ან სქემის საშუალებით გამოსახავს მას;

• ასახელებს ერთსა და იმავე შესაბამისობას შესაბამისობის გამოსახვის ხერხისაგან დამოუკიდებლად;

• რაიმე ხერხით (სიტყვიერად, ცხრილის ან სქემის საშუალებით) მოცემული შესაბამისობისათვის პოულობს მითითებული სიმრავლის ანასახს/წინასახეს .

მათ . VIII .7 . მოსწავლეს შეუძლია განტოლებათა სისტემებისა და უტოლობების გამოყენება პრობლემის გადაჭრისას .

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • ტექსტური ამოცანის ამოსახსნელად ადგენს და ხსნის ორუცნობიან წრფივ

განტოლებათა სისტემას; ახდენს ამონახსნის ინტერპრეტაციას ამოცანის კონტექსტის გათვალისწინებით;

• ირჩევს ხერხს და ხსნის ორუცნობიან წრფივ განტოლებათა სისტემას; ახდენს ამონახსნის სიმრავლურ და გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას;

9

• ტექსტური ამოცანების ამოხსნისას და რეალური ვითარების მოდელირებისას ადგენს და ხსნის ერთუცნობიან წრფივ უტოლობებს; ახდენს ამონახსნის სიმრავლურ ინტერპრეტაციას .

მიმართულება: გეომეტრია და სივრცის აღქმა

მათ . VIII .8 . მოსწავლეს შეუძლია ფიგურათა თვისებების გამოყენება ფიგურათა კლასიფიცირებისათვის და მათი სახეობების შესადარებლად .

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • აყალიბებს მიმართებებს (მაგალითად ზოგადობა-კერძოობა) ფიგურათა სახეობებს ან

თვისებებს შორის, სქემატურად გამოსახავს ამ მიმართებებს (მაგალითად ცხრილის ან დიაგრამის საშუალებით);

• ფიგურის მოცემულ თვისებებს (მათ შორის სიმეტრიულობა) შორის ირჩევს თვისებათა იმ მინიმალურ ერთობლიობას, რომელიც ცალსახად განსაზღვრავს ამ ფიგურას;

• მოცემული ხედების მიხედვით ასახელებს სივრცული ფიგურის შესაძლო სახეობას .

მათ . VIII .9 . მოსწავლეს შეუძლია ფიგურისა და მისი ელემენტების ზომების მოძებნა .შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • იყენებს ფიგურათა თვისებებს და ტოლი ფიგურების შესაბამისი ელემენტების

შედარების მეთოდს ფიგურის ელემენტის უცნობი ზომის მოსაძებნად;• იყენებს დეკარტეს კოორდინატებს ფიგურის ან მისი ელემენტის უცნობი ზომის

მოსაძებნად;• პოულობს ფიგურის ფართობს მარტივ ფიგურებად დაყოფის ან მარტივ ფიგურამდე

შევსების ხერხით;• იყენებს მოცულობის ადიციურობას არაგადამფარავი ფიგურების კომბინაციით

მიღებული ფიგურების მოცულობების შესადარებლად/მოსაძებნად .

მათ . VIII .10 . მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული დებულებების მართებულობის დასაბუთება .

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • მსჯელობისას განასხვავებს წინაპირობებს და შედეგს (მათ შორის - აქსიომას და

თეორემას);• დედუქციური და ინდუქციური მსჯელობის ნიმუშში აღადგენს გამოტოვებულ

საფეხურს/საფეხურებს;• იყენებს ალგებრულ გარდაქმნებს, ტოლობისა და უტოლობების თვისებებს

გეომეტრიულ დებულებათა დასაბუთებისას;• იყენებს დეკარტეს კოორდინატებს გეომეტრიული ობიექტის თვისებების

დასადგენად და დასაბუთებისთვის (მაგალითად, მართკუთხედის დიაგონალების ტოლობის საჩვენებლად);

• იყენებს გეომეტრიულ გარდაქმნებს და მათ კომპოზიციებს სიბრტყეზე ფიგურათა შორის მიმართების (მაგალითად, ტოლობის) დასაბუთებისთვის .

მიმართულება: მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკამათ . VIII .11 . მოსწავლეს შეუძლია მონაცემების მოპოვება და მათი წარმოდგენა დასმული

ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით .შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

10

• ატარებს შემთხვევით ექსპერიმენტს შემთხვევითობის წარმომქმნელი რომელიმე მოწყობილობით, აგროვებს მონაცემებს და წამოადგენს მათ სიხშირული ცხრილის სახით;

• ქმნის მარტივ კითხვარს, განსაზღვრავს რესპონდენტებს, აგროვებს მონაცემებს და წარმოადგენს მათ გრაფიკული ფორმით;

• ერთი გრაფიკული ფორმით წარმოდგენილ მონაცემებს წარმოადგენს განსხვავებული გრაფიკული ფორმით და წარმოაჩენს თითოეული ფორმის ხელსაყრელ და არახელსაყრელ მხარეებს

მათ . VIII .12 . მოსწავლეს შეუძლია შემთხვევითი მოვლენების ამოცნობა და ხდომილობათა ალბათობების გამოთვლა .

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • ასახელებს აუცილებელ და შეუძლებელ ხდომილობებს, მოცემული ხდომილობის

საწინააღმდეგო ხდომილობას, თანაბრად მოსალოდნელ ხდომილობებს, მოცემულ ხდომილობაზე მეტად/ნაკლებად მოსალოდნელ ხდომილობებს;

• აღწერს შემთხვევითი ექსპერიმენტის ხდომილობების ერთობლიობას, იყენებს ვარიანტების დათვლის ხერხებს ხდომილობათა ალბათობების გამოსათვლელად;

• იყენებს ალბათობის თვისებებს ხდომილობათა ალბათობების გამოსათვლელად, გამოსახავს ხდომილობათა ალბათობებს წილადების, ათწილადების და პროცენტების საშუალებით

მათ . VIII .13 . მოსწავლეს შეუძლია ხდომილობათა ალბათობების შეფასება და მსჯელობა ხდომილობათა მოსალოდნელობის შესახებ ფარდობით სიხშირესა და ალბათობას შორის კავშირის გამოყენებით .

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • აკეთებს მონაცემთა პირველად დამუშავებას და მის საფუძველზე გამოთქვამს ვარაუდს

ხდომილობის შესახებ – არის თუ არა ორი ან რამდენიმე ხდომილობა თანაბრად მოსალოდნელი, ერთი რომელიმე ხდომილობა უფრო მოსალოდნელი, ვიდრე მეორე და რამდენჯერ;

• ატარებს შემთხვევით ექსპერიმენტს შემთხვევითობის წარმომქმნელი მოწყობილობით და აფასებს ხდომილობის ალბათობას ფარდობითი სიხშირის საშუალებით, მსჯელობს განსხვავებაზე თეორიულ (მოსალოდნელ) შედეგებსა და ემპირიულ (ექსპერიმენტულ) შედეგებს შორის;

• ქმნის შემთხვევითობის წარმომქმნელ მოწყობილობას ფარდობითი სიხშირის კერძო მნიშვნელობის მისაღებად .

11

Sinaarsisa da miznebis ruka

Sinaarsi Temis kavSiri miznebTan da SedegebTan

sava

rau

do

xa

ngr

Zliv

oba

1 2 3

I TavigamonaTqvami .mocemulis sawinaaRmdego gamonaTqvami .xarisxi mTeli maCvenebliT .mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebi .

მოსწავლეს შეუძლია ორ სიმრავლეს შორის შესაბამისობის აგება, გამოსახვა და გამოკვლევა .

მოსწავლეს შეუძლია სიდიდეებს შორის წრფივი დამოკიდებულების ამოცნობა, გაანალიზება და გამოსახვა .

7 sT

sakontrolo wera №1 1 sT

II Taviqordis marTobuli diametris Tviseba .wrewiris mxebi .ori wrewiris urTierTmdebareoba .wrewirSi Caxazuli da wrewirze Semoxazuli samkuTxedebi .wrewiris rkali .Caxazuli kuTxe .mxebiTa da qordiT Sedgenili kuTxe .marTkuTxa samkuTxedi .

მოსწავლეს შეუძლია ფიგურათა თვისებების გამოყენება ფიგურათა კლასიფიცირებისათვის და მათი სახეობების შესადარებლად .

მოსწავლეს შეუძლია ფიგურისა და მისი ელემენტების ზომების მოძებნა .

მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული დებულებების მართებულობის დასაბუთება .

11 sT


III Taviwiladuri gamosaxuleba .wiladebis Sekreba da gamokleba .wiladebis gamravleba da gayofa .wiladur gamosaxulebaTa ga-martiveba .wiladuri gantoleba .utoloba .ricxviTi utolobebis Tvisebebi wrfiv erTucnobian utolobaTa sistema .

მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დასაბუთების ზოგიერთი ხერხის გამოყენება .

მოსწავლეს შეუძლია გამოთვლებთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნა .

მოსწავლეს შეუძლია განტოლებათა სისტემებისა და უტოლობების გამოყენება პრობლემის გადაჭრისას .

23 sT


12

1 2 3

IV TavimarTkuTxa paralelepipedis moculoba .farTobis Tvisebebi . kvadratis farTobi .marTkuTxedis, marTkuTxa samkuTxedis farTobi .racionaluri ricxvi .perioduli aTwiladis gadaqceva Cveu-lebriv wiladad .kvadratuli fesvi .piTagoras Teorema .ori wrewiris saerTo Siga da saerTo gare mxebi .kvadratuli fesvebis gamravleba da gay-ofa .kvadratuli fesvi xarisxidan .kvadratuli fesvebis Semcvel gamosax-ulebaTa gardaqmna .saSualo ariTmetikuli da saSualo geo-metriuli .geometriuls Soris damokidebulebis gamoyeneba amocanebis amoxsnisas .

მოსწავლეს შეუძლია პოზიციური სისტემის და რიცხვის ჩაწერის სტანდარტული ფორმის გამოყენება .

მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებების შესრულება და მათი შედეგის შეფასება .


23 sT


V Tavifunqciis cneba .funqciis mocemis xerxebi .funqciis grafiki .wrfivi funqcia .

1 . pirdapirproporciulobis funqcia .2 . y=kx+b wrfivi funqcia .

wrfivi gantolebisa da utolobis grafikuli amoxsna .mobruneba, centruli simetria .wrfivi orucnobiani gantoleba .amovxsnaT gantoleba mTel ricxvebSi .orucnobian gantolebaTa sistema .wrfiv gantolebaTa sistemis amoxsna Casmis xerxiT .algebruli Sekrebis xerxi .

მოსწავლეს შეუძლია სიდიდეებს შორის წრფივი დამოკიდებულების ამოცნობა, გაანალიზება და გამოსახვა .

მოსწავლეს შეუძლია ორ სიმრავლეს შორის შესაბამისობის აგება, გამოსახვა და გამოკვლევა .

მოსწავლეს შეუძლია განტოლებათა სისტემებისა და უტოლობების გამოყენება პრობლემის გადაჭრისას .


21 sT


13

1 2 3

VI TavimravalkuTxedebi .paralelogramis niSnebi .paralelogramis farTobi .samkuTxedis farTobi .samkuTxedis Suaxazi .rombi . rombis farTobi .marTkuTxedi . kvadrati .trapecia . trapeciis Suaxazi .marTkuTxa trapecia . tolferda tra-pecia .trapeciis farTobi .wrewirSi Caxazuli oTxkuTxedi .wrewirze Semoxazuli oTxkuTxedi .



მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული დებულებების მართებულობის დასაბუთება

29 sT


VII TavialbaTobis Teoriis elementebi .albaToba da fardobiTi sixSire .erTnairad mosalodnel elementarul xdomilobaTa albaToba .albaTobis klasikuri gansazRvra .

მოსწავლეს შეუძლია მონაცემების მოპოვება და მათი წარმოდგენა დასმული ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით .

მოსწავლეს შეუძლია შემთხვევითი მოვლენების ამოცნობა და ხდომილობათა ალბათობების გამოთვლა .

მოსწავლეს შეუძლია ხდომილობათა ალბათობების შეფასება და მსჯელობა ხდომილობათა მოსალოდნელობის შესახებ ფარდობით სიხშირესა და ალბათობას შორის კავშირის გამოყენებით .

7 sT


VIII TaviTalesis Teorema .samkuTxedis biseqtrisis Tviseba .samkuTxedis medianebis Tviseba .proporciuli monakveTebi wreSi .



მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული დებულებების მართებულობის დასაბუთება .

9 sT


14

მოსწავლის შეფასების სისტემა

მოსწავლის შეფასების მიზანი, პრინციპები და მიდგომები

1 . მოსწავლის შეფასების მიზანია სწავლა-სწავლების ხარისხის მართვა, რაც გულისხმობს სწავლის ხარისხის გაუმჯობესებაზე ზრუნვასა და კონტროლს .

2 . მოსწავლის აკადემიური მიღწევის შეფასება უნდა იყოს ხშირი და მრავალმხრივი; მან ხელი უნდა შეუწყოს: მოსწავლეთა მრავალმხრივ განვითარებას, მათი შესაძლებლობების გამოვლენას, სხვადასხვა პოტენციალის მქონე მოსწავლეთათვის თანაბარი პირობების შექმნას .

3 . მოსწავლე უნდა შეფასდეს სხვადასხვა ფორმებით (ესსე, პროექტის მომზადება, ზეპირი გამოსვლა, ექსპერიმენტის ჩატარება, ცდის ჩატარება, წარმოდგენა, წერითი, ფერწერული ან სხვა ტიპის ნამუშევარი, არგუმენტირებული მსჯელობა და სხვ .) .

განმსაზღვრელი და განმავითარებელი შეფასება1. სკოლაში გამოიყენება ორი ტიპის შეფასება: განმსაზღვრელი და განმავითარებელი . 2. განმსაზღვრელი შეფასება აკონტროლებს სწავლის ხარისხს, ადგენს მოსწავლის

მიღწევის დონეს ეროვნული სასწავლო გეგმით განსაზღვრულ მიზნებთან მიმართებაში . განმსაზღვრელ შეფასებაში იწერება ქულა .

3. განმავითარებელი შეფასება აკონტროლებს თითოეული მოსწავლის განვითარების დინამიკას და ხელს უწყობს სწავლის ხარისხის გაუმჯობესებას . განმავითარებელი შეფასებისას გამოიყენება ისეთი საშუალებები, როგორიცაა სიტყვიერი კომენტარი, რჩევა-დარიგება, დაკვირვების ფურცელი, თვითშეფასებისა და ურთიერთშეფასების სქემა და სხვ .

4. განმავითარებელი და განმსაზღვრელი შეფასებების აღწერილობა

განმავითარებელი განმსაზღვრელი

მიზანი სწავლის ხარისხის გაუმჯობესება;

მოსწავლის განვითარების ხელშეწყობა

სწავლის ხარისხის გაკონტროლება;მოსწავლის მიღწევის დონის დადგენა ეროვნული სასწავლო გეგმით განსაზღვრულ მიზნებთან მიმართებაში;აკადემიური მოსწრების დონის განსაზღვრა

შეფასების საგანი სწავლის პროცესი სწავლის შედეგი

შეფასების შედეგად მიღებული გადაწყვეტილება

წინსვლის ხელშესაწყობად განსხვავებული აქტივობის შერჩევა, სწავლების სტრატეგიის შეცვლა, რჩევა-დარიგების მიცემა და სხვ.

მომდევნო ეტაპზე (კლასში/საფეხურზე) დაშვება/არდაშვება

წარმარტების კრიტერიუმების განსაზღვრა

კონკრეტული მოსწავლის წინსვლის საფუძველზე (საკუთარ მიღწევებთან მიმართებით - რა დონეს ფლობდა, რა დონეს ფლობს)

იმის საფუძველზე, თუ რამდენად მიაღწია სტანდარტით განსაზღვრულ შედეგებს (ყველასათვის საერთო, სტანდარტით დადგენილ ნორმასთან მიმართებაში)

შეფასების საშუალებები

თვით/ურთიერთშეფასების რუბრიკა; კითხვარი;სიტყვიერი (ზეპირი/წერილობითი) კომენტარი;უნარის განვითარების დონის აღწერა.

ქულა

15

მოსწავლეთა აკადემიური მიღწევები ფასდება ათქულიანი სისტემით

ქულები შეფასების დონეები10

მაღალი98

საშუალოზე მაღალი76

საშუალო54

საშუალოზე დაბალი32

დაბალი1

საგნის სემესტრული ქულის შემადგენელი კომპონენტები

1. სემესტრის მანძილზე მოსწავლეები ფასდებიან შემდეგი სამი კომპონენტის მიხედვით: ა) საშინაო დავალება; ბ) საკლასო დავალება; გ) შემაჯამებელი დავალება.

2. შეფასების სამივე კომპონენტს ერთნაირი წონა აქვს.

3. საშინაო და საკლასო დავალებათა კომპონენტებში გამოიყენება როგორც განმსაზღვრელი, ასევე განმავითარებელი შეფასება .

4. შემაჯამებელი დავალების კომპონენტში აუცილებელია განმსაზღვრელი შეფასების გამოყენება .

5. ეროვნული სასწავლო გეგმა თითოეული საგნისათვის განსაზღვრავს სემესტრის განმავლობაში ჩასატარებელი შემაჯამებელი დავალებების სავალდებულო მინიმალურ რაოდენობას . ამ კომპონენტით შეფასებისას:

ა) სტანდარტის მოთხოვნათა დასაკმაყოფილებლად, აუცილებელია შემაჯამებელი დავალების მრავალგვარი ფორმის გამოყენება (თხზულება, მოხსენება, რეფერატი, პროექტი, საველე-გასვლითი სამუშაო, ლაბორატორიული კვლევა, სახვითი და გამოყენებითი ხელოვნების ნიმუში და სხვ .);

ბ) მოსწავლე ვალდებულია შეასრულოს კლასში ჩატარებული ყველა შემაჯამებელი დავალება (ეროვნული სასწავლო გეგმით დადგენილი სავალდებულო მინიმუმი და სკოლის მიერ დამატებით დადგენილი, ამ უკანასკნელის არსებობის შემთხვევაში);

გ) თუ მოსწავლე არ შეასრულებს რომელიმე შემაჯამებელ სამუშაოს გაცდენის გამო, სკოლა ვალდებულია, მისცეს მას გაცდენილი შემაჯამებელი დავალებების აღდგენის საშუალება . შემაჯამებელი აღდგენითი სამუშაოს ვადები და მისი ჩატარების ფორმა განისაზღვრება სასკოლო სასწავლო გეგმით .

განმსაზღვრელი შეფასების ქულათა სახეობებიზოგადსაგანმანათლებლო სისტემაში გამოიყენება განმსაზღვრელი შეფასების შემდეგი სახეობები:ა) საგნის მიმდინარე და შემაჯამებელი ქულები – საშინაო, საკლასო და შემაჯამებელი კომპონენტის ქულები, რომლებსაც მოსწავლე იღებს სემესტრის განმავლობაში;

16

ბ) საგნის სემესტრული ქულა – საგანში მიღებული შეფასება თითოეულ სემესტრში (სემესტრული გამოცდის ჩაბარების შემთხვევაში, გამოითვლება მისი გათვალისწინებით); გ) საგნის წლიური ქულა – სემესტრული ქულებიდან გამომდინარე შეფასება საგანში . წლიურ ქულაში შეიძლება წლიური გამოცდის ქულაც აისახოს, თუ ასეთი გამოცდა გათვალისწინებულია სასკოლო სასწავლო გეგმით და სკოლის მიერ განსაზღვრულია, რომ მას გავლენა ექნება საგნის წლიურ ქულაზე;დ) საერთო წლიური ქულა – საგნების წლიური ქულებიდან გამომდინარე შეფასება;ე) საფეხურის საერთო ქულა – ზოგადი განათლების რომელიმე საფეხურის (დაწყებითი, საბაზო, საშუალო) საერთო შეფასება.

ქულების გამოანგარიშების წესი1. საგნის სემესტრული ქულის გამოანგარიშების წესი:ა) მოსწავლის მიერ სემესტრის განმავლობაში სამივე კომპონენტში (საშინაო, საკლასო და შემაჯამებელი) მიღებული ქულების ჯამი უნდა გაიყოს მიღებული ქულების რაოდენობაზე; ბ) მიღებული ქულა უნდა დამრგვალდეს მთელის სიზუსტით (მაგ., 6 .15 მრგვალდება 6-მდე, 7 .49 მრგვალდება 7-მდე, 8 .5 მრგვალდება 9-მდე);გ) იმ შემთხვევაში, თუ მოსწავლეს არა აქვს შესრულებული ყველა შემაჯამებელი დავალება, მისი სემესტრული ქულის გამოსაანგარიშებლად სამივე კომპონენტში მიღებული ქულების ჯამი უნდა გაიყოს მიღებული ქულებისა და შეუსრულებელი შემაჯამებელი დავალებების რაოდენობის ჯამზე.2. საგნის წლიური ქულის გამოანგარიშების წესი:ა) საგნის წლიური ქულის გამოსაანგარიშებლად საგნის სემესტრული ქულების ჯამი უნდა გაიყოს ორზე; ბ) საგნის წლიური ქულა მრგვალდება მთელის სიზუსტით (მაგ., 7.25 მრგვალდება 7-მდე, 4 .49 მრგვალდება 4-მდე, 9 .5 მრგვალდება 10-მდე); გ) თუ სასკოლო სასწავლო გეგმა ითვალისწინებს წლიური გამოცდის ჩატარებას და განსაზღვრულია, რომ ამ გამოცდის ქულაც აისახება წლიურ ქულაზე, მაშინ საგნის წლიური ქულა სამი (ორი - საგნის სემესტრული და ერთი - გამოცდის) ქულის საშუალო არითმეტიკულია (დამრგვალებული მთელის სიზუსტით) . 3. საერთო წლიური ქულის გამოანგარიშების წესი: ა) საერთო წლიური ქულის გამოსაანგარიშებლად უნდა შეიკრიბოს ეროვნული სასწავლო გეგმით კონკრეტული კლასისთვის გათვალისწინებული ყველა სავალდებულო საგნის წლიური ქულა (საშუალო საფეხურზე, აგრეთვე, სასკოლო სასწავლო გეგმით განსაზღვრული არჩევითი საგნების ქულები სავალდებულო საგნების წლიურ ქულებთან ერთად) და ჯამი გაიყოს ქულების რაოდენობაზე;ბ) საერთო წლიური ქულა მრგვალდება მეათედის სიზუსტით (მაგ., 7 .14 მრგვალდება 7 .1-მდე, 8 .15 მრგვალდება 8 .2-მდე) . 4. საფეხურის საერთო ქულის გამოანგარიშების წესი: ა) საფეხურის საერთო ქულა გამოითვლება იმავე პრინციპით, რომლითაც ითვლება საერთო წლიური ქულა: ჯამდება საფეხურის მანძილზე ნასწავლი ყველა საგნის წლიური ქულა (მაგ . მათემატიკა მე-10 კლასი, მათემატიკა მე-11 კლასი, მათემატიკა მე-12 კლასი, ქართული მე-10 კლასი, ქართული მე-11 კლასი, ქართული მე-12 კლასი და ა.შ .) და ჯამი იყოფა ქულების საერთო რაოდენობაზე;ბ) საფეხურის საერთო ქულა მრგვალდება მეათედის სიზუსტით (მაგ ., 6 .43 მრგვალდება 6 .4-მდე, 7 .58 მრგვალდება 7 .6-მდე) .

17

gTavazobT ramdenime gakveTilis sanimuSo scenars

III Tavi. § 4. piTagoras Teorema

moswavleebi damoukideblad, naxazisa da paragrafSi dasmuli SekiTxvebis daxmarebiT amtkiceben piTagoras Teoremas, ecnobian or wertils Soris manZilis gamosaTvlel formulas .

aqtivobis mizani:

moswavlem SeZlos naxazze mocemuli pirobis gaazreba da Sesabamisi daskvnis gamotana .moswavlem SeZlos Sefaseba, damtkicda mocemuli faqti, Tu saWiroa kidev raimes dadgena–dasabuTeba, winaaRmdeg SemTxvevaSi SeZlon im pirobis damateba, romelic uzrunvelyofs damtkicebas .moswavleebs CamouyalibdeT kritikuli azrovnebisa da msjelobis unari .savaraudo xangrZlivoba: 1 gakveTili .

aqtivobis aRwera:1 . gakveTili iwyeba saSinao davalebis analiziT, ris Semdegac moswavleebs vaxsenebT

farTobis Tvisebebs, kvadratis farTobis gamosaTvlel formulas (10 wT) .2 . Semdgom maswavlebeli avalebs moswavleebs ifiqron paragrafis dasawyisSi

mocemul 1–4 davalebebze (5–7 wT) .3 . Semdeg wyvilebis an jgufebis mier xdeba Sesrulebuli davalebis prezentacia da

piTagoras Teoremis Camoyalibeba (5 wT) .4 . paragrafSi mocemuli individualuri SekiTxvebi moswavleebs exmareba ufro Rrmad

gaiazron „damtkicebis“ arsi, daadginon, rom piTagoras Teorema damtkicebulia (5 wT) .

5 . maswavlebeli avalebs moswavleebs gaiazron paragrafSi ganxiluli amocana . sanam moswavleebi fiqroben, maswavlebeli dafaze xazavs am amocanis Sesabamis naxazs (5 wT) .

6 . romelime moswavle maswavleblis daxmarebiT axdens amoxsnili amocanis prezentacias (5 wT) .

7 . maswavlebeli axdens piTagoras Teoremis gamoyenebis demonstrirebas romelime amocanis amoxsniT (5 wT) .

jgufuri mecadineoba: paralelogrami da misi kerZo SemTxvevebi

moswavleebi sistemaSi moiyvanen am TavSi miRebul codnas . dainaxaven maTTvis ukve cnobil figurebs: paralelograms, marTkuTxeds, rombs da kvadrats, rogorc erT mTlians, naxaven ra aqvT maT saerTo da riTi gansxvavdebian erTmaneTisgan . aseve naxaven, rom marTkuTxedi da rombi paralelogramis kerZo SemTxvevebia, xolo kvadrati ki yvela danarCenis kerZo SemTxvevaa .dainaxaven yovelive zemoTqmuls sqematurad gamosaxuls .aqtivobis mizanimoswavlem unda SeZlos oTxkuTxedebis Tvisebebis safuZvelze maTi saxeobis Sedareba da klasifikacia .

18

SeZleben Camoayalibon zogadoba–kerZoobis mimarTeba maTTvis cnobil oTxkuTxedebs Soris .SeZleben sqematurad gamosaxon es mimarTeba .SeZleben Camoayalibon marTkuTxedis, rombisa da kvadratis yvela niSani .miRebuli codna daexmarebaT konkretuli problemis gadaWraSi .SeZleben amoicnon esa Tu is oTxkuTxedi da Semdeg gamoiyenon misi Tvisebebi .CamouyalibdebaT kritikuli azrovnebis dasabuTebis da msjelobis unari .savaraudo dro: 1 gakveTili .1 . maswavlebeli awvdis moswavleebs maTTvis ukve cnobili figurebis, marTkuTxedisa da kvadratis ganmartebas – rogorc paralelogramis kerZo SemTxvevis . Semdeg yovelive amas warmoudgens sqematurad – winaswar gamzadebuli plakatiT (10 wT) .2 . yofs klass jgufebad da sTxovs Seasrulon paragrafSi mocemuli 4 davaleba, ganumartavs maT, rom amoxsnil amocanaSi jgufi iRebs 2 qulas, xolo yovel Camoyalibebul niSanSi (marTkuTxedis an kvadratis) – 1 qulas . SegaxsenebT, rom niSani ase unda iwyebodes: „Tu oTxkuTxedSi . . . . da aZlevs mosamzadeblad dros (15 wT) .3 . jgufebi saTiTaod axdenen maT mier amorCeuli amocanis an niSnis prezentacias (15 wT) .4 . maswavlebeli ajamebs Sedegebs da acnobebs jgufebs (5 wT) .

II Tavi. §7. mxebiTa da qordiT Sedgenili kuTxe

reziume: moswavleebi ecnobian wrewirTan dakavSirebul kuTxeebs da Sesabamis rkalebis gra-dusul zomaTa Soris kavSirs, wrewirTan dakavSirebul yvela SesaZlo kuTxis gamo-saTvlel formulebs .

aqtivobis mizani:• moswavleebi ecnobian wrewirTan dakavSirebuli sami kuTxis _ mxebiTa da qordiT Sedgenili kuTxis, kuTxis, romlis wvero wrewiris SigniTaa da kuTxis, romlis wvero wrewiris gareTaa, gacnoba da maTi gamoTvlis wesis daufleba . am wesebis gamoyenebis unar-Cvevebis gamomuSaveba .• moswavleebi SeZleben amocanis konteqstis gaTvaliswinebiT SearCion Sesabamisi gza da formula wrewirTan dakavSirebuli kuTxeebis an rkalebis gradusuli zomebis gamosaTvlelad;• Seswavlili masalis safuZvelze SeZleben wrewirTan dakavSirebul kuTxeebs Soris toli kuTxeebis amorCevas, rig SemTxvevebSi maT Soris metoba-naklebobis dadgenas .savaraudo xangrZlivoba 1 gakveTili .

aqtivobis aRwera:

1. gakveTili iwyeba saSinao davalebis analiziT, ris Semdegac moswavleebi kidev erTxel gaixseneben wrewirTan dakavSirebul Caxazul da centralur kuTxeebs . (10wT) .

2. sasurvelia axali masalis axsnamde maswavlebelma dasvas SekiTxvebi: Cven ukve gave-caniT centralur da Caxazul kuTxeebs a) kuTxe, romlis wvero wrewiris centrSia; b) kuTxe, romlis wvero wrewirze mdebareobs, xolo gverdebi kveTs wrewirs . rogor SegiZliaT daaxasiaToT kidev sxva kuTxeebi, romelsac SeiZleba SevxvdeT wrewir-

19

Si? Tu pasuxi ar iqneba srulyofili maswavlebeli TviTon Seavsebs CamonaTvals . (5wT) .

3. maswavlebeli klasis daxmarebiT da jvaredini SekiTxvebiT amtkicebs paragrafSi moyvanil 2 Teoremas . (10wT) .

4 . kuTxeebis klasifikaciis Semdeg vadgenT zemoTxsenebuli kuTxeebis gazomvis wess . moswavleebs vTavazobT daasabuTon, rom im kuTxis zoma, romlis wvero wrewiris gareTaa, am kuTxis gverdebs Soris moTavsebuli rkalebis zomaTa naxevarsxvao-bis tolia . Tu saWiro gaxda, miscems Sesabamis miTiTebas: gaavleT AN monakveTi da ∠ANC ganixileT rogorc ΔABN-is gare kuTxe . Semdgom mecadineoba grZeldeba wyvilebSi an mcirericxovan jgufebSi (10 wT) .

5 . wyvilebi an jgufebi axdenen damtkicebulis prezentacias . (5 wT) .

6 . aqtivobis gafarToeba-gaRrmavebis mizniT vixilavT paragrafSi garCeul amocanas: vpoulobT kuTxis gareT aRebuli wertilidan gavlebul mxebebs Soris kuTxes . maswavlebeli miuTiTebs moswavleebs, rom sasurvelia moswavleebma es amocana daimaxsovron rogorc faqti da aZlevs saSinao davalebas . (5 wT) .

IV Tavi. §12. saSualo ariTmetikulis da saSualogeometriulis cneba. damokidebuleba maT Soris

reziume: moswavleebi ecnobian saSualo ariTmetikulsa da saSualo geometriulsSoris damokidebulebas da iyeneben mas utolobaTa damtkicebis dros .aqtivobis mizani:• gaecnon saSualo geometriulis cnebas;• gaecnon saSualo ariTmetikulsa da saSualo geometriuls Soris damokidebule-bas;• miRebuli codna gamoiyenon utolobebis da geomtriuli amocanebis amoxsnisas.Savaraudo xangrZlivoba 1 gakveTili .aqtivobis aRwera:moswavleebs vaxsenebT ramdenime ricxvis saSualos (saSualo ariTmetikulis) cne-bas . davsvaT ramdenime SekiTxva . mag . 1) rogor gamoyavT Tqveni semestruli niSani? 2) rogor viangariSo Tqveni klasis moswavleTa saSualo asaki? rogor Seicvleba es maCvenebeli, Tu viangariSebT klasis yvela moswavlis da maswavleblis saSualo asaks?gavarCioT Semdegi amocana: risi tolia manqanis saSualo siCqare mTel gzaze, Tu is A-dan B-sken moZraobs 40km/sT siCqariT, xolo ukan brundeba 60km/sT siCqariT?savaraudoa, rom klasSi iqneba Semdegi pasuxi: (40+60):2=50(km/sT) .

kiTxvebi: ras udris saSualo siCqare? Tu AB manZils aRvniSnavT x-iT, ra manZili

gauvlia manqanas? risi tolia mTeli daxarjuli dro? _ x x x40 60 24

+ = (sT) .

ras udris saSualo siCqare? :xx

224

48= (km/sT) . (10 wT)

axla ukve SeiZleba ganvmartoT saSualo geometriuli . TvalsaCinod moviyvanoT para-grafis dasawyisSi dasmuli amocana _ kvadratis gverdi marTkuTxedis gverdebis saSualo geometriulia. kiTxvebi _ SegiZliaT moiyvanoT saSualo geometriulis magaliTebi geometriidan? algebridan? romeli ricxvebis saSualo geometriulia 6

[62=1·36=2·18=3·12=4·9=6·6]? 6= 1 36$ , 6= 2 18$ , 6= 3 12$ , 6= 4 9$ . ganvixiloT mocemuli

ricxvebis saSualo ariTmetikuli 2

1 366>

+ , 62

2 18>

+ , 62

3 12>

+ , 62

4 9>

+ , 62

6 6>

+ .

20

yovelTvis sruldeba es damokidebuleba?

mivceT moswavleebs davaleba ganixilon sxvaoba – a bab

2+

- , roca a>0 da b>0 da gaa-

keTon Sesabamisi daskvna . (15 wT)yovelive amis Semdeg SeiZleba vaCvenoT moswavleebs rogor gamoiyeneba dasabuTe-buli debuleba utolobebis damtkicebis dros . garda paragrafSi ganxiluli mag-aliTebisa klasSi davamtkicoT me-4 savarjiSos ramdenime magaliTi . (10 wT)kiTxvebi aqtivobis gasamtkiceblad

1) rva ricxvis saSualo ariTmetikuli 54-ia, xolo am rvidan romeliRac xuTis ki 186 . ras udris danarCeni samis saSualo ariTmetikuli?

2) daasaxeleT ori dadebiTi ricxvi, romelTa saSualo ariTmetikuli 3-ia, xolo sa-Sualo geometriuli _ 8.

3) dawereT a–1 da a+1 ricxvebis saSualo ariTmetikuli da saSualo geometriuli .

4) mdinaris dinebis siCqarea 2km/sT, navis sakuTari siCqare _ 14km/sT. ra saSualo siCqariT moZraobda navi, Tu man gaiara erTi da igive manZili mdinaris dinebis mimarTulebiT da sawinaaRmdego mimarTulebiT? (10 wT)

V Tavi. §2 wrfivi funqcia. pirdapirproporciulobis damokidebuleba

reziume:• moswavleebi gaecnobian y=kx funqcias• daadgenen kavSirs wrfis daxris kuTxisa da k koeficients Soris .

aqtivobis mizani:

• moswavleebma SeZlon y=kx funqciis grafikis ageba;• amoicnon pirdapirproporciulobis grafiki• k koeficientis niSnis mixedviT daadginon, Tu romel sakoordinato meoTxedebSi mdebareobs grafiki .• grafikis mixedviT daadginon k koeficientis niSani;• sxvadasxva amocanebis gadawyvetisas SeZlon miRebuli codnis gamoyeneba;• CamouyalibdeT kvleviTi unar-Cvevebi.

savaraudo xangrZlivoba: 1 gakveTili

aqtivobis aRwera:1 . gakveTili iwyeba saSinao davalebis analiziT, rac xels Seuwyobs ukve Seswav-lili masalis gameorebas (5 wT) .2 . maswavlebeli avalebs wyvilebs ifiqron paragrafis dasawyisSi mocemul amo-canaze (5 wT) .3 . wyvilebi axdenen amoxsnili amocanebis prezentacias (5 wT) .4 . maswavlebeli xsnis axal masalas da klasTan erTad adgens wrfis mdebareobasa (sakoordinato meoTxedebis mimarT) da k koeficientis niSans Soris damokidebule-bas . sasurvelia daisvas SekiTxvebi: 1 . Tu k>0, maSin SesaZlebelia Tu ara, rom x da y

21

iyos a) sxvadasxvaniSniani; b) erTnairniSniani .2 . Tu k<0, maSin SesaZlebelia Tu ara, rom x da y iyos a) sxvadasxvaniSniani; b) erT-nairniSniani (10 wT) .5 . Semdeg wyvilebi fiqroben paragrafSi miTiTebul amocanebze (5 wT) .6 . amocanebis prezentaciis procesSi maswavlebeli SekiTxvebiT exmareba moswavlee-bs funqciis zrdadoba-klebadobis k-ze damokidebulebis dadgenaSi . Semdeg avalebs daasabuTon, rom a) Tu k>0, maSin y=kx funqciis grafiki mdebareobs I da III meoTxedebSi . b) Tu k<0, maSin y=kx funqciis grafiki mdebareobs II da IV meoTxedebSi . yovelive amis Semdeg vayalibebT y=kx wrfis Ox sxivisadmi daxris kuTxis k koeficientze damokide-bulebas . (10 wT) .7 . maswavlebeli ajamebs axal masalas da aZlevs klass davalebas (5 wT) .

V Tavi. §5 wrfis daxraaqtivobis mizani:azris Camoyalibebis, kvleviTi unar–Cvevebis urTierTTanamSromlobis, wina codnis mocemul sakiTxTan dakavSirebiT unarebis Camoyalibeba da ganviTareba .wrfis wertilTa koordinatebis saintereso Tvisebis gacnoba: X koordinatis erTi da imave sididiT zrdis (Semcirebis) dros Y koordinatis Sesabamisi mniSvnelobebic erTi da imave sididiT icvleba .

aqtivobis aRwera:gakveTils viwyebT im kiTxvebis gacemiT, romelic paragrafis dasawyisSia mocemuli . moswavleebi gamoTqvamen TavianT varauds . msjelobis Semdeg mivlen im daskvnamde, rom radgan orive mTis simaRle tolia, amitom rac naklebia AO, miT cicaboa mTa da miT Znelia masze asvla . amis Semdeg dafaze vkidebT winaswar momzadebul plakats badeze daxazuli gantolebis grafikiT da vaCvenebT, rom A(0;1) ori mimdevrobiTi paraleluri gadaadgilebiT, 3 erTeuliT marjvniv da 2 erTeuliT zeviT miviRebT B(3;3) wertils, romelic isev wrfeze mdebareobs (5 wT) . moswavleebs vTxovoT Seamowmon Sesruldeba Tu ara igive wrfis sxva wertilebisTvisac . vurigebT winaswar gamzadebul cxrils da vTxovT mocemuli nimuSis mixedviT Seavson igi . rodesac Seavseben cxrils, amis Semdeg erTi an ramdenime moswavle avsebs kedelze gamokrul didi zomis cxrils .kiTxva: ra kanonzomierebis SemCneva SeiZleba miRebuli cxriliT? moswavleebi mcire kamaTis Semdeg SeTanxmdebian, rom X–is erTi da imave ricxviT, kerZod 3–iT, zrdis Sedegad Y–is Sesabamisi mniSvnelobebi mudmivad 2–iT izrdeboda .amis Semdeg SegviZlia ganvixiloT sxva gantoleba, magaliTad, igive davalebis Sesrulebis Semdeg vsvamT kiTxvas: SeimCneva Tu ara igive kanonzomiereba am SemTxvevaSic . mcireodeni kamaTis Semdeg moswavleebi mivlen im daskvnamde, rom kanonzomiereba SenarCunda, oRond Y–is mniSvnelobebiT . am SemTxvevaSi –1–iT mcirdeboda .amis Semdeg ukve SesaZlebelia miRebuli Sedegi analizurad ganvamtkicoT erT–erTi moswavle dafasTan ganixilavs sxvaobas, sadac (X0,Y0) da (X1,Y1) Y=kx+b gantolebis amonaxsnebia, e .i . Sesabamisad grafikis wertilebic da X1=X0a . gamartivebis Semdeg miiReben, rom Y1–Y0=ka.kiTxva: razea damokidebuli ordinatebis Sesabamis mniSvnelobebs Soris sxvaoba? mcire kamaTis Semdeg daaskvnian, rom sxvaoba mudmivi a–s SemTxvevaSi mudmivi sididea (20 wT) .

22

yuradReba mivaqcevinoT wrfis kidev erT saintereso Tvisebaze . razea damokidebuli wrfis daxra, OX sxivis mimarT . 15 wT .bavSvebs vawyvilebT da vurigebT daxazul baraTebs .SekiTxva: razea damokidebuli wrfis daxra OX sxivTan (rac igivea ra gansazRvravs wrfis mier OX sxivTan Sedgenili kuTxis sidides)? Tu gauWirdebaT pasuxis gacema, SesaZloa mivuviToT, rom Seadginon TiToeuli gantolebisTvis cxrili bijiT 2 da daakvirdnen ramdeniT icvleba Y–is Sesabamisi mniSvnelobebi . mcireodeni diskusiis Semdeg mivlen daskvnamde, rom kuTxis sidides X–is koeficienti gansazRvravs, e .i . Y=kx+b wrfis daxra =k.kiTxva: grafikis agebis gareSe rogor gavarkvioT romeli gantolebebis grafikebi iqneba erTmaneTis paraleluri da romeli kveTs erTmaneTs? imedia, moswavleebi advilad gaarTmeven Tavs dasmul SekiTxvas da Tu ara, SevaxsenoT wrfeTa paralelobis niSnebi (15 wT) .

VIII Tavi. $5. sibrtyis dafarva

reziume: moswavle gaiazrebs Tu ras niSnavs sibrtyis dafarva; Tavad SeZlebs Seqmnas figura, romliTac SesaZlebelia sibrtyis dafarva .aqtivobis mizani:• moswavlem, figuraTa Tvisebebze dayrdnobiT, SeZlos dadgena, Tu romeli figure-biTaa SesaZlebeli sibrtyis an mocemuli figuris dafarva .• Seqmnas saintereso mozaika.• Camouyalibdes abstraqtuli azrovnebis unari.savaraudo xangrZlivoba: 1 gakveTili

aqtivobis aRwera1 . gakveTili iwyeba saSinao davalebis analiziT, rac moswavles gaaxsenebs sibrtyis gardaqmnas, anu yvela im faqts, rac daexmareba axali masalis ukeT aTvisebaSi (5 wT) .2 . Semdgom maswavlebeli avalebs Seasrulon paragrafSi mocemuli pirveli davale-ba: gadaxazon naxazebi ujrebian furcelze or egzemplarad, erTidan gamoWran fig-urebi da daWran ise, rogorc teqstSia miTiTebuli . Semdgom am nawilebiT moaxdinon meore egzemplarze figurebis dafarva . (5 wT) .3 . wyvilebi axdenen TavianTi amorCeuli figuris dafarvis demonstrirebas . (5 wT) .4 . maswavlebeli esaubreba sibrtyis dafarvaze da aCvenebs magaliTebs an winaswar gamzadebuli plakatebiT an wignSi moyvanili naxatebis safuZvelze (5 wT) .5 . Semdeg moswavleebi wyvilebSi an jgufebSi asruleben 2-5 davalebebs . wignSi moce-muli miTiTebebis zedmiwevniT Sesrulebis Sedegad moswavleebi Tavad qmnian sain-tereso formis mozaikas . (15 wT) .6 . jgufebis an wyvilebis mier xdeba sibrtyis nawilis dafarvis demonstrireba (10 wT) .

23

I Tavi

1. gamonaTqvamebi

reziume:

moswavlem unda SeZlos gaarkvios aris Tu ara mocemuli winadadeba gamonaTqvami . „da“ da „an“ kavSiriT SeerTebuli rTuli gamonaTqvami ra SemTxvevaSia WeSmariti an ra SemTxvevaSi mcdari .

amoxsnebi, miTiTebebi:

1. e) da; v) ar aris gamonaTqvami; z) WeSmariti gamonaTqvamia, radgan carieli simravle nebismieri simravlis qvesimravlea . T) mcdari gamonaTqvamia . carieli simravlis qvesimravle mxolod carieli simravlea . {0} ki erTelementiani simravlea elementiT 0.

3. i) WeSmariti gamonaTqvamia . k) mcdari gamonaTqvamia, radgan nebismieri ori mTeli ricxvis namravli isev mTeli ricxvia, magram Sefardeba SesaZloa ar iyos mTeli . mag-aliTad, (2:7)∉Z .

4. a) 300=5·60 pasuxi: 60 . b) 300:7=42 (6) pasuxi: 42 . g) 11-is jeradi erTniSna da orniSna ricxvebis raodebobaa 99:11=9 . radgan 999:11=90(9), amitom 11-is jeradi samniSna ricx-vebis raodenoba iqneba 90–9=81.

2. mocemulis sawinaaRmdego gamonaTqvami

reziume:

moswavlem unda SeZlos mocemuli gamonaTqvamis sawinaaRmdego gamonaTqvamis Camoya-libeba . ganvixiloT pasuxebSi dasmuli problema-amocana:a) Tu moswavles maswavlebeli arc xval gaiZaxebs da arc zeg, aramed gaiZaxebs ori dRis Semdeg, maSin A da D erTdroulad aRmoCndeba mcdari . magram Tu xvalac da zegac moswavles gamoiZaxeben da orive dRes igi 10 qulas miiRebs, maSin A da D aR-moCndeba WeSmariti . b) Tu xval moswavle miiRebs 7-s, maSin A da C erTdroulad aRmoCndeba mcdari .

2. dawereT mocemuli gamonaTqvamis sawinaaRmdego gamonaTqvami .1. yvela martivi ricxvi kentia .sawinaaRmdego gamonaTqvamia: arsebobs iseTi martivi ricxvi, romelic ar aris kenti .


1. b) arsebobs kenti naturaluri ricxvi (W); d) 7<4 (m); e) 3≥2 (W); v) arsebobs erTi mainc kenti ricxvi, romelic ar aris martivi, an arsebobs erTi mainc Sedgenili kenti ricxvi (W) .

2. g) .

3. a) ar aris urTierTsawinaaRmdego „3>2“-is sawinaaRmdegoa „3≤2“; b) urTierTsawi-naaRmdegoa; g) ar aris; d) ara . sawinaaRmdego iqneba `Tako araa dediserTa~, an kidev `Takos hyavs an da an Zma~ .

24

4. g) .

7. a) 42=4·10+2. e .i . me-11 sarTulze; b) 117=4·29+1. 29=14+14+1 117=4·14+4·14+14·1+1 bina N117 aris III sadarbazos me-2 sarTulze .

8. 37037 . pasuxi: 12.

9. n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4). xuT momdevno ricxvSi 2 mainc luwia . e .i . erTi iyofa 2-ze, meore ki 4-ze . amitom gaiyofa 8-ze . erTi 3-is, erTi ki 5-is jeradi iqneba . e .i . gaiyofa 8·3·5=120-ze .

3. xarisxi mTeli maCvenebliT

reziume:

moswavlem unda SeZlos uaryofiTi mTelmaCvenebliani xarisxis Cawera dadebiT maCvenebliani xarisxis saxiT da misi mniSvnelobis gamoTvla .ricxvis Cawera standartuli saxiT da piriqiT .dainaxos, rom moduliT Zalian didi an mcire ricxvebis Casawerad mosaxerxebelia am ricxvis standartuli saxiT Cawera .amoxsnebi, miTiTebebi:

5. a) 0,0056; b) 0,0000005. 7. a) 2,7·1019; b) 1,36·10-8 .

8. 1m3=(1000mm)3=109mm3.

10. a) 0,0001wm; b) 0,0000000001m; g) 511000000km2; d) 149000000km2 .

11. 11·109w=11·109·365·24·36·102. S1=15·109·365·24·36·102wm·3·105km/wm≈1,4·1023km .

13. 5l=5dm3=5·106mm3 sisxli Seicavs 5·106·5·106=25·1012=2,5·1013 wiTel sxeuls .

22. ... 1121

21

31

31

41

81

91

91

101

101

109- + - + - + + - + - = - =` ` ` ` `j j j j j

23. 45wT=43 sT .

43 (10-x)=3x x=2km/sT .

4. mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebi

reziume:

moswavlem unda SeZlos mTelmaCvenebliani xarisxis Semcveli gamosaxulebis gamartiveba da mniSvnelobis gamoTvla .

37037 444444

74074 12

37037

25


4. (a2–b2)2; b) ((m+n)(m2–mn+n2))-3=(m3–m2n+mn2+nm2–mn2+n3)-3=(m3+n3)-3.g) (y2–x2)-6.

6. a) 165=(24)5=220; b) 5-6; e) 3-4k .

7. g) 2 49

14 7

2 7

2 7 7

2

7167

3

7 10

3 2

7 7 10

4

$

$

$

$ $= = =-

-

-

- -

; d) 25 7

125 49

5 7

5 7496 8

4 5

12 8

12 10

$

$

$

$= =-

-

-

-

;

e) 3 5 5

27

15 625

3 3

52725

1

6 2

3

6 6 8

3

2

$ $ $= = =-

-

-

- -

; v) ( )

( )12

m n

m nm n m n

n

m12 1443 4 1

5 2 2

2 10 4 3 4

8

7

= =- - -

-

- - -

9. a) (1010)7=1070= ...10 070S

; b) ...10 10 10 0( ) ...10 10 0

10000000

7

7

= =?

S, e .i . 10000000 nuliT;

g) 10 ...10 10 10 0100 ... ...10 100 10 0 10 0

10100

100 102

102

= = =^ ^^h hh ?? ?

, e .i . ...10 0102S

nuliT .

d) 10 10 ...10 0(( ) ( )10 10

10

10 10 100

100

= =S

, e .i . 10100 nuliT .

10. 260=(210)6≈(103)6=1018. Tan 260>1018 nuliT .

11. cifrTa jami gaiyofa 3-ze .

12. vTqvaT Rirda x lari . axla Rirs 54 x lari . unda gaZvirdes x

5-iT . e .i .

:x

x5 5

4 ·100%=41 ·100%=25%-iT .

13. vTqvaT Rirda x lari . I. x+ x x10050

23= . II. x x x x

23

23

10010

2027

100135

$- = = , e .i . 35%-iT .

an asec: iyo 100%, gaxda 150%. gaiafebis Semdeg gaxda 150%-is 90%=100

150 90$ =135%. e .i . metia 35%-iT .

15. b) Tu n=3k-s, maSin naSTia 0; Tu n=3k+1, maSin naTSia 1; Tu n=3k+2, (3k+2)2=9k2+12k+4, naTSia 1.

g) 1. (7k+1)2:7=... (1); 2. (7k+2)2:7=... (4); 3. (7k+3)2=... (9). e .i . 2;

4. (7k+4)2=...+16, 16:7=2 (2); 5. (7k+5)2=...+25, 25:7=... (4); 6. (7k+6)2:7=...36, 36:7=...(1). e .i .

SesaZloa naSTebia: 0; 1; 2; 4.

16. N(A B)=1400–60=1340 (moswavle) N(C)=N(A)+N(B)–N(A B) N(C)=1250+950–1340=862 (moswavle)

N(A)=A simravlis elementebis raodenoba .

17. a) 5·107+4·104+102+2 ricxvis cifrTa jamia 5+4+1+2=12.

Tx . A.1250

B. cig .952C.

26

I Tavis damatebiTi savarjiSoebi:

1. a) W . b) mcdaria, radgan A∩F=F. g) mcdaria, radgan {0} Ø={0}

d) W; e) mcdaria, radgan arsebobs 999–99=900 samniSna naturaluri ricxvi; v) W; z) W; 14=1; 24=...6; 34=...1; 44=...6; 54=...5; 64=...6; 74=...1; 84=...6; 92=..1; 104=...0; T) W; i) W; k) mcdaria (oqromWedlebi iyvnen XII s .); l) W — imereTSia .

2. a) ̀ mocemul gantolebas an ara aqvs amonaxseni an erTze meti amonaxseni aqvs~; g) ̀ moce-muli samkuTxedi ar aris maxvilkuTxa~, an kidev ̀ mocemuli samkuTxedi an marTkuTxaa an blagvkuTxa~; d) `samkuTxedis Siga kuTxeebis jami ar aris 270°~ .

5. a) ,2 25

98

54

45

49

98

121

$

$

$= = ; b)

,

, ,

11 59

20 0 0290

0 4 1155 182 23

4523$ $

$$= = = ;

g) , .2

7562

254

310

1019

239

92

2

7550

631

431

2331

23

13 5$ $

$--

+= -

+= - =-

6. a) 2,7·106; g) 7,8·10-4; d) 7,1·10-6; e) 3,45·107.

7. g) ,, , ;

4 105 6 10 8

112 10 1 12 102

46 5

$$ $ $ $= =

-- - ;

d) .10

4 10 2 10 52 10 2 10 5

102 5

84

3 12

2 2 24$ $ $ $ $ $ $ $

= = =-

- --

^ h .

9. g) ba

27

ba3)2(

ba)2(612126332

6623

=-

--

--

d) 2 2

12p q p q p

q6 3 4 20 8 3 14

5

$ $ $ =- -

e) 6 2 3 1x3-

-

^_ hi

2 3 6 2 3x5

x38

- -

-=-

^_ ^hi h v) 1-x2; z)

1

1 1

1

1

x

x x

x

x2

2

21

21

2

2

+

- +=

-

+-

- -

^] ^

]hg h

g

10. 1=40; 4=41; 64=43; 41

41

=- ; 4

161 2

=- ; 4

641 3

=- ;

12. a4=(a2)2; a8=(a2)4; a-6=(a2)-3; a-14=(a2)-7; a-28=(a2)-14;

13. a) 32·2431 ·812·3-3=32·3-5·38·3-3=9; b)

91:274

: :1

4816

12181

91

827

1648

81121

36121

61 2

$ $ $= = =`` `j j j

15. a) 414=228, e .i . 227<414; b) 9-18=3-36, e .i . 3-37<9-18;

g) 21 29

` j =2-29 41 15

` j =2-30 41 15

` j <21 29

` j .

17. a) 259+517=518+517=6·517 30; b) 1213–1212+1211=1211(122–12+1)=1211·13319;

g) 2710–914=330–328=328·824.; d) 119–118+117=117(112–11+1)=117·3·37;

e) 1723–853=(172–85)(1722+172·85+852)=97(1722+172·85+852);

v) 883+873=(88+87)(882–88·87+872)=175(882–88·87+872).

I Tavis testi:1. d; 2. b; 3. a; 4. b; 5. g; 6. a; 7. g; 8. b; 9. b; 10. b .

AF

27

II Tavi

1. qordis marTobuli diametris Tviseba

reziume:

moswavleebs gavaxsenoT wrewiris, wris, qordis da diametris ganmartebebi . Sebruneb-uli Teoremis damtkiceba: ganv. ΔAOB. AO=OB, maSasadame samkuTxedi tolferdaa . e .i . OM mediana amave dros simaRlecaa . OM⊥AB r .d .g . sasurvelia klasSi gairCes №5, 6 da 7 amocanebi .


1 . cxadia CD diametria, amitom CD=10. 2. AK=KB=12sm . 3. AK=KB=3 e .i . AB=6sm .

5. OM=6sm ON=10smMB=AM=ON=10 e . i. AB=20CN=AN=OM=6 e . i . AC=12

6. miRebuli marTkuTxedis diagonali radiusis tolia . marTobis fuZeebis SemaerTe-beli monakveTi ki meore diagonalia da, maSasadame, isic radiusis tolia da udris 10 sm .

7. unda avagoT wrewiris nebismieri ori qordis SuamarTobebi . cxadia wrewiris cen-tri iqneba maTi gadakveTis wertili .

8. 1) maxvilkuTxa samkuTxedis yvela gare kuTxe blagvia . 2) blagvkuTxa samkuTxedis ori simaRle samkuTxeds gareTaa . 3) vTqvaT, gaaCnia α>β+γ⇒2α>180°, e .i . α>90° maSasadame ar gaaCnia maxvilkuTxas da marTkuTxas . 4) marTkuTxa samkuTxedis ori kuTxis jami mesame kuTxis tolia . 5) marTkuTxa da blagvkuTxa samkuTxedebSi udidesi gverdis win ar aris maxvili kuTxe .

9. a) 88=224=412=(44)3; b) 12520=560=2530=(256)5; g) 8115=360=2720=(274)5 .

10. x2–6xy+10y2–2y+8=x2–6xy+9y2+y2–2y+1+7=(x–3y)2+(y–1)2+7 gamosaxulebis udidesi mniSvneloba iqneba 7, roca y=1 da x=3.

12. saZiebeli ricxvia 862.

A С

M

B

N

O

28

2. wrewiris mxebi

reziume:

ganvixiloT wrewiris da wrfis urTierTmdebareobis yvela SesaZlo SemTxveva .SemovitanoT mkveTisa da mxebis cnebebi . moswavleebi TviTon SeZleben daamtkicon Teorema Sexebis wertilSi gavlebuli radiusis Sesaxeb .ganvmartoT kuTxeSi Caxazuli wrewiri da naxazis micemis Semdeg TviTon gavakeTebinoT moswavleebs Sesabamisi daskvnebi .


1. sportsmenebi moZraoben wriul bilikze .

2. mocemuli wrfis paralelur wrfes . wrfeebs Soris manZili wrewirebis radiusis tolia .

3. ∠OAB tolferda marTkuTxa samkuTxedia e . i. BAO=45°.

4. ∠BAO=30°.

5. moc . Tanaxmad ABOC oTxkuTxedi rombia, romlis ∠B=∠C=900 e . i . kvadratia da ∠BAC=90°.

8. wrewiris centri warmoadgens B wertilze mxebis marTobuli wrfisa da AB monakveTis SuamarTobis gadakveTis wertils .

9. sul gadaixada 1,70·3000=5100 lari . unda gayidos 2700 kg da aiRos 100

5100 130$ lari . 2700x=5·130. x=2,6l .

10. : 87,5%100105

100120

2021

65$= = , gayiduli televizorebis raodenoba Semcirda 12,5%-iT .

11. tarifi 10070 moxmarebuli wuTebis raodenoba

100160 , Semosavali %

10070

100160

100112

112$ = =

gaizarda 12%-iT .

3. ori wrewiris urTierTmdebareoba.

reziume:

dafaze davxazoT da ganvixiloT sibrtyeze ori wrewiris urTierTmdebareobis yvela SesaZlo SemTxveva .ra kavSiria centrebs Soris manZilsa da radiusebs Soris yvela konkretuli Sem-TxvevisaTvis?am kiTxvaze moswavleebma unda upasuxon Sesabamisi naxazebis ganxilvisas . ganvmartoT koncentruli wrewirebi .

29


1. AB⊥CD AB=CD=10. Sexebis M da N wertilebiT TiToeuli qorda iyofa tol monakveTebad. AM=MB=CN=ND=5. KMON kvadratia da OM=ON=KM=AM-AK=3sm .

2. AOK-Si OK=, e .i .∠OAK=30°⇒∠KAM=600°. miviReT ΔAMB tolgverdaa AM=MB=AB=7sm .

3. miTiTeba: gavavloT A wertilze wrewirTa saerTo mxebi .

4. a) OO1=R+r=15; b) OO1=R-r=5.

6. a wrfis A wertilze gavlebul marTobul wrfes A wertilis gareSe .

7. SesaZlebelia, Tu isini moZraoben koncentrul wrewirebze .

8. AB=7,8+5,8–9,6=4.

9. 3x+2x–1=9; x=2. e .i . R=6 r=4.

10. 1. sxvadasxvagverda samkuTxeds ar aqvs toli medianebi .2. tolgverda samkuTxedSi yvela biseqtrisa emTxveva medianas .3. tolferda da sxvadasxvagverda samkuTxedebi SeiZleba iyos marTkuTxa .4. tolferda samkuTxedi biseqtrisiT iyofa or marTkuTxa samkuTxedad .5. tolferda samkuTxedSi zustad erTi mediana emTxveva simaRles .6. tolferda da sxvadasxvagverda samkuTxedebSi medianebis kveTis wertili ar emTx-veva biseqtrisebis kveTis wertils .

4. wrewirSi Caxazuli da wrewirze Semoxazuli samkuTxedebi

reziume:

ganvmartoT wrewirSi Caxazuli da wrewirze Semoxazuli mravalkuTxedebi . paragrafis bolos mocemuli individualuri SekiTxvebi:1 . a) ara; b) ara .2 . a) ki . b) ki . g)-s a) da b) winadadebebis Sebrunebuli winadadebebi WeSmaritia, sawi-naaRmdego ki _ ara.


1. u .v . ∠AOC da ∠COB. ∠COA=180°– CAB BCA2 2

+ ++` j=180°-

(12°30′+45°)=180°-57°30′=122°30′. ∠COB=180°-(45°+32°30′)=102°30′.

30

2. ∠A=100° ∠B=50° ∠C=30°. O Caxazuli wrewiris centria∠AOC=180°-(50°+15°)=115°. ∠BOC=180°-(25°+15)=140°. ∠BOA=180°-(25°+50°)=105°.

3. pasuxi: C=10sm. r=2,5sm u .v . a+b r=(a+b-c)2 a+b=15.

4. radgan samkuTxedi tolgverdaa, TiToeuli gverdi tolia 2·5=10sm, p=30.

5. samkuTxedi tolferdaa, e . i . a+x=a+y da x=y, r .d .g .

7. a=3; b=4 e . i . C=5. ra b c

21=

+ -=

8. a=3x b=4x c=2R=10. r=2, R=5. miviReT x=2.

9. erT wrfeze aramdebare sami wertili gansazRvravs erTaderT samkuTxeds, wveroe-biT am wertilebSi da radgan nebismier samkuTxedze Semoixazeba wrewiri, masTan mx-olod erTi, am sam wertilzec Semoixazeba wrewiri . masTan mxolod erTi .

10. a) Semoxazuli wrewiris centrSi; b) Caxazulia wrewiris centrSi .

11. im samkuTxedze Semoxazulia wrewiris centrSi, romlis wveroebic emTxveva bao-babis Zirebs .

12. diagrama sworad ar asaxavs situacias . mizezi aris is, rom aTvla iwyeba 20 xmidan .

14. bolo saSualo ariTmetikulis dros yvelaze metjer, 4-jer monawileobs Sua kva-drati, amitom masSi Caiwereba 9, kuTxeebis Sesabamisi kvadratebi monawileoben TiTo-jer, amitom maTSi ganawildeba ricxvebi 1, 2, 3, 4; xolo danarCeni kvadratebi or-or-jer, maTSi ganawildeba ricxvebi 5, 6, 7, 8; sabolood miviRebT:

( ) ( )41

44 9 2 5 6 7 8 1 2 3 4

41

249

849

$$

$=+ + + + + + + +

= = .

5. wrewiris rkali

reziume:

gavaxsenoT moswavleebs rkalis ganmarteba . ganvmartoT damatebiTi rkalis cneba . CamovayaliboT Teorema toli qordebis Sesabamisi toli rkalebis Sesaxeb . damtkiceba mivandoT moswavleebs . movTxovoT maT Camoayalibon da daamtkicon Sebrunebuli Teorema .


1. miviReT tolferda samkuTxedi, romlis wverosTan mdebare kuTxe rkalis

graduruli zoma tolia da udris 180°–2·34°=112°.

31

2. (180°–74°):2=53°.

3. vRebulobT tolferda marTkuTxa samkuTxeds da saZiebeli manZili qordis naxevr-is tolia .

8. vercxli — x 1472

7100= . 9. I.

10080 125

100$ =

alumini — 2–x. ( )x x

7100

1001

2$= - II . 100

100 125125

$ =

7x=2–x 8x=2 x=0,25kg .

vercxli 0,25kg, alumini 1,75kg .

6. Caxazuli kuTxe

reziume:

Caxazuli kuTxis ganmartebis Semdeg davamtkicoT Teorema misi gradusuli zomis Sesaxeb . SeiZleba sqematurad mivceT moswavleebs wyvilebSi dasamtkicebeli 4 faqti da Semdeg damoukideblad davamtkicebinoT isini . xazgasmiT aRvniSnoT, rom yvela es faqti dasamaxsovrebeli faqtia da ara ubralod amocana . paragrafSi ganxiluli amocanis daskvnas agreTve gavusvaT xazi, rogorc mniSvnelovan faqts .


1. mivceT Sesabamisi naxazi moswavleebs da SevaxsenoT, rom analogiur amocanebSi Tu miTiTebuli ar aris, TviTon arian valdebuli ganixilon yvela SesaZlo SemTxveva: ∠ADC=α an ∠ADC=180°−α.

2. MK rkali SeiZleba iyos MN rkalis nawili . am SemTxvevaSi ∠KMN= KN2 2

3819

cc= = .

meore SemTxvevaSi: ∠KMN= 360KN2 2

1062

254127

c c cc=

-= = .

3 . ∠ABC=30°, e .i . AC=60°. SevaerToT A da C wertilebi O centrTan . AOC tolgverdaa, e .i . AC=R=10.

4. 3x+8x+7x=360°. 18x=360°. x=20°.mocemuli rkalebia: 60°; 160°; 140°; e .i . kuTxeebi tolia 30°; 80°; 70°.

5. 11x+7x=3600, e . i . rkalebs gradusuli zomebi 140° da 220° . ∠K=360°–(90°+90°+140°)=40°.

32

6. ori SemTxvevaa: Tu D wertili aRebulia mcire AB rkalze, maSin ∠ADB=120°, xolo Tu D wertili aRebulia ACB rkalze, maSin ∠ADB=60°.

7. SevadginoT saorientacio naxazi . radgan ∠C=90°, aviRoT OA

monakveTis Suawertili K da KA radiusiT . SemovxazoT wrewiri .

wrewirebis gadakveTis wertili iqneba saZiebeli C wertili .

8. wrewiris centri iqneba kuTxis biseqtrisis da AB monakveTis SuamarTobis gadakveTis wertili .

9 . mocemuli kuTxis biseqtrisas kuTxis wveros gareSe .

11. |2x–2|=8 2x–2=8 an 2x–2=-8, e .i . x=5 an x=-3. |3x+2|=7 x=5 an x=319- .

orive toloba sruldeba x=5-isTvis .

12. a) (3 2) 6=31

332

2 632

31

932

$ $ $ $+ + =` j ; b) x x31

32

632

31

9$ $+ = + , saidanac x=3.

7. mxebiTa da qordiT Sedgenili kuTxe

reziume:

ganvmartoT mxebiTa da qordiT Sedgenili kuTxe da davamtkicoT Teorema misi gra-dusuli zomis Sesaxeb . SemovitanoT wrewirTan dakavSirebuli sxva kuTxeebis cnebebi: kuTxe wveroTi wrewiris SigniT, kuTxe wveroTi wrewiriT gareT (kerZod, mxebebiT Sedgenili kuTxe, romelic ganxilulia amocanaSi da romelsac aucileblad unda gavusvaT xazi, rogorc dasa-maxsovrebel faqts) .


1. Tu AK wrewirTan gadakveTis wertils aRvniSnavT N asoTi, maSin ∠AND= AMD2

, xolo AKD>AND (∠AKD gare kuTxea NKD samkuTxedis).

2. ∠ANC= AMC2

, xolo ANC ABC>% %

.

6. α aris mxebiTa da qordiT Sedgenili kuTxe, xolo qorda moWimavs 120°-ian rkals, e . i . α=60° .

AC

O

O

A

B

AK

C

O

33

9. a) 25x+600=35x x=60 firma arc izaralebs da arc moigebs .b) 25x+600+1000=35x. x=160;

10. cxadia, TiToeuli SemTxvevisaTvis orive Sesakrebebi nulis tolia .

a) x= –3 y=4; b) x=-21 y=4; g) ara aqvs amonaxsni;

d) x=±1 y=±4 . oTxi amonaxsni .

11. a) ∠ABC=180°–80°=100°; b) 180°.

12. 3x=180° x=60°; 60°; 120°.

8. marTkuTxa samkuTxedis Tvisebebi

reziume:

moswavles unda SeeZlos marTkuTxa samkuTxedis Tvisebebis Camoyalibeba; maxvili kuTxeebis jamis Sesaxeb; simaRlis gavlebis Sedegad miRebuli samkuTxedebis Sesaxeb da paragrafSi ganxiluli Tvisebebi .


1. H=26 =3

2. AK=KB⇒∠A=∠ABK=α BK=KC⇒∠C=∠CBK=β ganv . ∆ABC. α+α+β+β=180°⇒α+β=90°⇒∠ABC=90°.

r .d .g .

3. ganv . ∆BKC. ∠K=90°.

BK= BC2

⇒∠C=30°. ganv . ∆ABC. ∠B=90°. ∠C=30°⇒∠A=60°.

4. miTiTeba: aageT marTkuTxa samkuTxedi kaTetiT da hipotenuziT . amasTan, kaTetis sigrZe aiReT hipotenuzis naxevari .

7. hipotenuzis sigrZea 20sm, medianis ki 10sm .

300

A

a ß

K C

B

A

5

K

B 10

C

34

II Tavis damatebiTi savarjiSoebi

2 . qordis boloebze gavavloT radiusebi . miRebul samkuTxedSi fuZesTan mdebare kuTxeebia 30° . saZiebeli monakveTis sigrZe radiusis sigrZis naxevris tolia .

3. AB da CD paraleluri 90°-iani rkalebis momWimave qordebia . ∆AOB da ∆COD toli, tolferda marTkuTxa samkuTxedebia . manZili AB da CD qordebs Soris aris am sam-kuTxedebis medianebis jami da tolia 12-is .

4. centrebs Soris manZili radiusebis jamis tolia .

5. miRebuli samkuTxedis perimetri didi wrewiris diametris tolia .

6. *AOC samkuTxedi tolgverdaa (O —wrewiris centria) . gvaqvs 2 SemTxveva — B wer-tili mcire AC rkalzea . am SemTxvevaSi ∠ABC=150° sn B wertili mis damatebiT rkalzea, maSin ∠ABC=30°.7. ∠ABC=30°, maSin ∠AOC=60° da ∆AOC tolgverda, AC=5.

10. AB=BC=60°, ∆ABO=∆BOC tolgverdebia, e .i . AB=AO=2. diametri 4 sm-is tolia .

12. ∠MBN= MN2

=20°, MN=40°.

∠A=∠C== NMB2

=70°, e .i . NMB=140°.

miviReT MB=100°; NC=40°.

13. a) ∠AOC=2B=100°; b) ABC=360°–252°=108°=∠AOC.

14. I SemTxveva — centri samkuTxedis gareTaa . ∠AOC=180°–2·20°=140°, e .i . ABC=140° da

∠ABC=2

360 140c c- =110°, e .i . ∠BAC=∠BCA=40°.

II SemTxveva — O centri samkuTxedis SigniTaa . ∠AOC=140°, ∠ABC= AOC2

+ =70°, ∠BAC=∠BCA=55°.

15. ACAB

xx

1012

56= =

35

16. ∠CAO1=30°, e .i . AO1=2BO1=8

AO=AO1+OO1=8+4+R=12+R

∆ACO-Si AO=2CO, e .i . 12+R=2R, R=12.

17. (∠BAC=74°)⇒BC=148°. ∠BMC=180°–BC=32°.

18. moc . MB:AM=5:2

∠BAM=90°, e .i . BM=180°.

5x=180° x=36°.

AM=72°, e .i . AB=180°–72°=108°.

19. fuZe gaiyofa 3 sm-is tol or monakveTad, e .i . ferdis monakveTebia 3 sm da 6 sm .

21. samkuTxedi AOB tolgverdaa, e .i . AB=BC=R=10, BK=0,5AB=5.

22. gadavzomoT DC-ze DK=AD=a. ΔADK tolgverda (∠ADK=60°) e .i . AK=a.ganv . ΔADB da ΔAKC.AD=AK; AB=AC∠DAB=∠KAC(∠DAB=60°–∠BAK=∠KAC) e .i . ΔADB=ΔAKC saidanac KC=DB=b.

23. AB da AC qordebia, AD diametria, maSin ΔABD=ΔACD (hipot-enuziT da maxvili kuTxiT), e .i . AB=AC.

24. ΔAOB da ΔAO1B1 tolferda samkuTxedebia . e . i . OO1 warmoadgens AB-s Sua marTobs .

25. AB=CD, saidanac AB=CD=10 sm .

28. Semoxazuli wrewiris centri SuamarTobze, e .i . simaRleze mdebareobs . Caxazulis biseqtrisaze, e .i . amave dros simaRleze . emTxveva mxolod tolgverda samkuTxedSi .

29. umciresi daxrilis sigrZe, rac 20 sm-is tolia, udidesi daxrili 2-jer metia, e .i . 40 sm .

31. gavavloT simaRle da biseqtrisa . cxadia, AD da DC rkalebi tolia, saidanac ΔADC tolferdaa . da, maSasadame D-dan daSvebuli DM simaRle medianacaa, e .i . AM=MC. maSasadame, BM-ic medianaa ΔABC-Si .

36

32. AM=AN=5. BM=BK da CN=CK. SABC=AB+BC+AC=AB+BK+KC+AC=AB+BM+CN+AC=

=AM+AN=10.

33. AB=70°. BC⊥AB. e .i . AC=180°. BC=180°–70°=110°.

34. ∠M=18°. CM=OC, e .i . ∠COA=∠M=AC=18°.

∠M= BD AC2- , 36°=BD–18°. BD=54°=∠BOD.

Seamowme Seni codna

1. b; 2. g; 3. g; 4. b; 5. b; 6. d; 7. d; 8. a; 9. b; 10. a .

37

III Tavi

1. wiladuri gamosaxuleba

reziume:

moswavle unda ansxvavebdes ricxviT wilads da wiladur gamosaxulebas, unda SeZlos wiladuri gamosaxulebis gansazRvris aris dadgena da cvladis dasaSveb mniSvnelobispovna .

amocanebi:

4. a) ( ) ( )

xx y

xx y

xx y

5 5 44

204

$

$+=

+=

+; g)

( )x yx

x yx

x yx2

32 3

3 36

$$

+=

+=

+;

d) ( ) ( ) 3( )

(2 ) 3( )

( )

( )( )

x x y

x y

x x y x y

x y x y

x x y

x y x y2

3

3 22 2

$

$

-

+=

- +

+ +=

-

+ +;

7. vaxom gaiara t wamSi, maSin nikam gaiara (t+5) wamSi . nikas siCqarea t 5200+

m/wm, vaxosi ki

t200 m/wm .

8. vTqvaT, mixo papas nakveTia x ha, maSin vano papasi iqneba x+2 ha . radgan mixo papam

sul 10 t . yurZeni aiRo, e .i . man 1 heqtarze saSualod aiRo x10 tona . analogiurad

vano papam 1 heqtarze aiRo x 215+

tona .

10. SevadginoT cxrili:

miiRo gayides darCa

I dRe x x52

x x x52

53- =

I dRe x53

xx

53

10060

259

$ = x x x x x53

259

2515 9

256- =

-=

darCa 256 nawili .

11. davadginoT ramdeni rZe dalia sabam . 31

61

21

62 1 3

66

1+ + =+ +

= = , e .i . rZe da yava dalia Tanabrad .

12. 161

31

163

21- + = - =` j .

13. a) radgan 10-s gvaZlevs 2-isa da 5-is namravli, gvainteresebs ramdeni wyvili 2 da 5-is Segvxvdeba, magram, radgan 2-iani meti Segvxvdeba vidre 5, amitom davTvaloT ramdenia xuTiani .1-dan 99-mde gvxvdeba

599 wiladis mTeli nawili, e .i . 19 cali 5-iani, magram 25-is jeradi

ki aris 2599

32524= ricxvis mTeli nawili, e .i . 3 cali 5-iani . sul aris 19+3=22 xuTiani .

erTniSnianebSi iyo erTi, e .i . orniSnianebSi darCa 21 xuTiani . maSasadame, gveqneba 21 cali nuli .

38

b) a ricxvis mTeli nawili aRvniSnoT [ a], nulebis raodenoba iqneba .

5700

25700

125700

625700+ + +8 8 8 8B B B B=140+28+5+1=174. iqneba 174 nawili .

14. 4 332

343

41

323

343

41 18

343

417

343

831

1

$ $ $ $ $- = - =-

=- =--

-

`` `j j j .

15. yoveli 5 gagorebis Semdeg burTi ubrundeba erTidaigive moTamaSes, radgan moTa-maSeebis raodenobaa 5. e .i . 75 gagorebis Semdeg burTi unda daubrundes gurams . da radgan gurami burTs iRebs natosgan, e .i . 74 gagorebis Semdeg burTi aqvs natos .

2. wiladebis Sekreba da gamokleba


6. a) 3a

a baa

ab

ab3 2 3 2 2+

= + = + ; b) x

x axx

xa

xa

66

66

61

6-- +

=--

+-

= +-

;

g) a b

b a xa b

b aa bc

a bc

a bc

22

22

21

2 21

-- +

=-

-+

-=- +

-=

-- ;

d) 3aa

aa

a23 8

23 6 2

22

++

=+

+ += +

+; e)

xx

xx

x12 4

12 2 6

22

6-+

=-

- += +

- .

8. SevadginoT cxrili, risTvisac navis sakuTari siCqare aRvniSnoT x-iT .

S V t

d . mim . 30 km (x+3) km/sTx 330+

sT

d . saw . 20 km (x–3) km/sTx 320-

sT

sul daxarja 3

30x x 3

20+

+-

c m sT .

9. vTqvaT, mocemuli wiladi iyo aa3+

. axali wiladi iqneba a

aaa

3 5 8+ +=

+ .

gamosaxulebas eqneba saxe: aa

aa

3 8+-

+ .

10. a) vTqvaT, I muSas samuSaos Sesruleba SeuZlia x dReSi, maSin II muSa am samuSaos

Seasrulebs (x+3) dReSi . I-is muSaobis siCqarea x1 naw/dReSi . meoris ki

x 31+

naw/

dReSi da radgan maT imuSaves 6 dRe, I-ma Seasrula x6 naw . II-em ki

x 36+

naw . e .i . maT

Seasrules samuSaos x x6

36++

c m nawili .

39

b) SevadginoT cxrili:

dro, romelSAic Seu-Zlia mTeli samuSaos

Sesrulebav t s

I x dRex1 naw/dR . 3 dRe

x3 naw .

II x+3 dRex 31+

naw/dR . 5 dRex 35+

naw .

orivem erTad Seasrula samuSaos 3x x

3 5++

c m nawili .

11. a)

dro, romelSAic Seu-Zlia mTeli samuSaos

Sesrulebav t s

I x+1 sTx 11+

naw/dR . 5 dRex 15+

naw .

II x sTx1 naw/dR . 5 dRe

x5 naw .

aivseba x x15 5+

+c m nawili . b) sul x x15 5+

+c m nawili .

12. dRe-RameSi 24 saaTia, rac 24·60 wuTia . 10

24 60$ =24·6=144. e .i . daikargeba 144-jer

naxevari litri, rac 72 litria .

13. 32

2416= , xolo

87

2421= . e .i . gvainteresebs ramdeni mTeli ricxvia 16-sa da 21-s

Soris . 21–16–1=4.

14. sul aris 25 patara kvadrati . e .i . patara kvadratis farTobia 2 sm2 . ocdaxuTi pa-tara kvadratidan gaferadebulia 17 . rac imas niSnavs, rom gaferadebulia didi

kvadratis 2517 nawili, romlis farTobia 17·2sm2=34sm2.

16. vTqvaT, es ricxvia x, e .i . x·43 =72. saidanac x=96.

17. a) tolferda samkuTxedSi samive kuTxe toli ar aris; b) Cvens klasSi xuTi aTosani moswavle ar aris; g) makam mina ar gatexa; d) yvela biWs fexburTis TamaSi ar uyvars; e) yvela mgeli mtacebeli ar aris .

19. xx

463537

91

+-

= ; x=437.

40

3. wiladebis gamravleba da gayofa


5. a) mc; b) W; g) mc; d) W .

6. maRviZara unda CamorCes 12 saaTiT, rom kvlav swori dro aCvenos . 12 sT=12·60 wT da

radgan dRe-RameSi CamorCeba 10 wuTiT, amitom 12·60 wuTi CamorCeba 10

12 6072

$ = dRe-RameSi .

1 aprilis dRis 12 saaTidan 72 dRe-Ramis Semdeg iqneba 30 dRe-Rame 1 maisamde; 31 dRe 1 ivnisamde da 11 dRe 1 ivnisidan, e .i . 12 ivnisis dRis 12 sT .

7. radgan a⊕b=a+5b, maSin 5⊕x=5+5x, miviReT 5+5x=95 ⇒x=18.

8. 1 saaTis ganmavlobaSi isrebi orjer adgenen marT kuTxes (erTxel roca daeweva didi isari pataras, meorejer, roca gaasworebs) . radgan dRe-RameSi 24 saaTia, es gamodis 24·2=48 .

9. es amocana SeiZleba ase gadaiTargmnos . ramdeni wrfe gaivleba 10 wertilze, romelTagan arc erTi sami erT wrfeze ar mdebareobs (n wertilisaTvis gamoiTvleba ( )n n2

1- formula)

210 9

45$ = .

10. ∆ABK da ∆CFD tolobidan advilad mtkicdeba Sesabamis wrfeTa paraleloba .

11. SemoviRoT aRniSvna: ∠C=∠A=α, maSin∠DBE=180°-2α-30°=150°-2α, radgan DB=BE mivi-

RebT ∠BED= ( )2

180 150 2c c a- -=15°+α, magram

∠BED gare kuTxea ∆DEC-sTvis, sadac ∠C=α, e .i . ∠EDC=15°.

4. wiladur gamosaxulebaTa gamartivebareziume:

moswavlem unda SeZlos wiladebis moqmedebebis Sesaxeb miRebuli codnis gamoyeneba gamosaxulebaTa gamartivebisas .


8. tVS= . S1=t·U=

VS U. 9. t=

V VS

1+. S1=t·(V–V1)= V V

S1+(V-V1).

10. 1996+415–1096+585=(1996–1096)+(415+585)=900+1000=1900.

A O

B

30°

E

C

41

12. AB=|-11–(-7)|=|-11+7|=|-4|=4.

13. I. A wertilSi moxvdeba yovel 5

600 =120 wamSi, II — 5

800 =160 wamSi, III — 5

900 =180 wamSi . e .i . unda vipovoT 120, 160 da 180-is umciresi saerTo jeradi, rac 1440-is tolia . 1440wm=24wT .

14. I x x10015

gaizarda 86–72=14II 72–x ( )x

10025 72 -

( )x x203

205 72

+-

=14, saidanac x=40.

15. 1. 6,127; 2. 612,7; 3. 613; 4. 625; 5. 625.

16. me-2 safexurze miRebuli ricxvi 0-sa da 990-s Sorisaa . me-3 safexuris ricxvi ekuTvnis [1;990] Sualeds, is mTelia . me-4 safexuris ricxvi [13;1002] Sualeds da agreTve mTelia . mocemuli ricxvebidan gamodgheba mxolod d) 674.

5. wiladuri gantoleba


4. vTqvaT wiladis mricxveli iyo 3x (aseTi aRniSvna ganapiroba iman, rom mricxveli

unda SevamciroT 3-jer) . maSin mniSvneli iqneba 3x+2. e .i . wiladi iyo xx

3 23+

axali wiladi

iqneba x

x3 2 3+ +

, romelic 81 -is tolia, e .i .

xx

x x x3 5 8

18 3 5 1& &

+= = + = Tavdapirveli

wiladi iqneba 3 1 23 1

53

$$+

= .

5. iyo xx4+

, gaxda xx

311

++ . es wiladebi urTierTSebrunebulia, e .i . maTi namravlia 1 . mi-

viReT xx

xx

x x x x x4 4

111 11 7 12 3

2 2

& &$+ +

+= + = + + = . Tavdapirveli wiladia

x 43

73

+= .

6.

iyo gaxda 5(x–10)=2x+105x–50=2x+103x=60; x=20.

I x kg (x-10) kg

II 2x kg (2x+10) kg

I-Si iyo 60 kg, II-Si ki 120 kg .

42

7.

iyo gaitana darCa

I x lari x4

lari xx x4 4

3- = lari

II lari x43

94

64$ +` j lari x x43

364- +` j lari

radgan darCenili Tanxa aris Tavdapirvelis 203 nawili, miviReT gantoleba:

x xx

43

364

203- + =` j

x x x43

3 203

64- - =

64x x x

6045 20 9- -

=

1664

x

604

=

x=240

8.

A→B 60 km/sT S km/sT S60

sT

B→A 80 km/sT S km/sT S80

sT

5 sT da 50 wT=56050 sT=5

65 sT . maSasadame,

5S S60 80 6

5+ =

S S240

4 3635+

=

6

S

240

7 35

40

5

=

S=40·5=200km .

9. vTqvaT unda davumatoT x kg . gvaqvs % %%

xx

1212 40 0

30$ $

++

= (saSualo ariTmetikuli)

12 40

xx x

1230 12 16 4

4 4

& &$

+= + = = .

10. % %30%

xx

325 3 39$ $

++

=

25x+117=31x+93; 6x=24, x=4.

43

11. 83

ba = ⇒ α=3x da β=8x. γ= x

3a = . 12.

83

ba = ⇒ α=4x da β=5x

3x+8x+x=180° α+β=180° ⇒ 9x=180° ⇒ x=20° 12x=180° α=80° da β=100°. x=15° α=45°; β=120°; γ=15°.

13. AC=43 MN ⇒

MNAC

43= ⇒ AC=3x da MN=4x. AC+MN=14 ⇒ 7x=14 ⇒ x=2.

14. daviwyoT bolodan . ricxvi gaamravla 7-ze, pasuxSi waSala bolo ori cifri da miiRo 21 . cxadia, es ricxvi an 30 an 31 . axla unda mivuweroT cifri ise, rom miRebuli ricxvi gaiyos 13-ze . aseTi ricxvi mxolod 312-ia . e .i . saZiebeli ricxvia 312:13=24 .

15. patiosani veziri rom iyos 1-ze meti, maSin iarsebebda wyvili, sadac orive patio-sania, rac ewinaaRmdegeba pirobas . e .i . samefoSi aris zustad 1 patiosani veziri .

16. x1+x=474 ⇒ 10x+1+x=474. 11x=473, x=43. es ricxvebia 43 da 431.

17. raRac ricxvis da misi momdevno ricxvis cifrTa jamebi gansxvavdeba erTiT, Tu ar xdeba aTeulze, aseulze da a .S . gadasvla . magaliTad, 99-is cifrTa jamia 18, 100-is ki _ 1 . ganvixiloT 69, 699, 6999 da a .S . ricxvebi . cxadia, nebismieri maTganis momdevno cifrTa jami 7-ia . amaTgan romlis cifrTa jami iyofa 7-ze . davadginoT ramdeni cxriani unda iyos 699... tipis ricxvSi rom igi gaiyos 7-ze .

e .i . 9k=7m+1 ⇒ m= kk

k7

9 17

2 1-= +

- advilad davinaxavT, rom umciresi k aris 11.

18. %12020

100350

$ = .

19. 25%.

6. utoloba


2. yvela SemTxvevaSi ganvixiloT marcxena da marjvena mxareebis sxvaobebi .

mag .: v) (m+n)2–4mn=(m–n)2≥0 r .d .g .

3. mn wesieria niSnavs, rom n<m. ganvixiloT

( )nm

mn

m mn m

11

10<-

++

=+

- , r .d .g .

12. a) d) x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1>0. a, b, g, e da v SemTxvevebSi pasuxs ver gavcemT .

44

16.

d . mim . 20 km/sT S km205 sT

d . saw . 16 km/sT S km165 sT

205

165

3#+ . 380

45 45#

+ . 38095

# . 59

3 80380

2632$

# = =

turistebs SeuZliaT navsadgurs daSordnen araumetes 2632 km-iT .

17. x≥50

30 12536

751$ = = . sul cota 8 dRe .

18. 5<x<21. umciresi mTeli ricxvi, romelic akmayofilebs utolobas, aris 6.

19. (x+6)2–x2=108 x2+12x+36–x2≥108 12x≥72 x≥6

20. erTeulze mogebaa 5 lari . vTqvaT wawrmoa x erTeuli, maSin 5x>500. x>100.

21. % %%

x12

8 60 440

$ $#

+

( )40

x12

4 12#

-+

120+x≤120 x≤0.es niSnavs, rom unda SevurioT 0%-iani xsnari .

22. 5000(x–50)–80000≥70000 5(x–50)–80≥70 5x–250≥70 5x≥400 x≥80.e .i . firmam erTi fila Sokoladi unda gayidos sul mcire 80 TeTrad .

23. ba

65= ;

cb

32= ;

dc

43= .

ba

65= ;

cb

96= ;

dc

129= .

a:b:c:d=5:6:9:12.a=5x; b=6x; c=9x; d=12x.32x=64, x=2.a=10; b=12; c=18; d-24.

45

24. TiTo aseTi moqmedebis dros namatia 4 . vTqvaT moxda x gaxeva, maSin nakuwebis raodenobaa 4x+5=1996 ⇒ 4x=1992 ⇒ x=498 . radgan x miviReT naturaluri, maSasadame SesaZlebelia .

25. sul mcire 55%-ma icis franguli da inglisuri, 35%-ma franguli da germanuli, 20%-ma ki inglisuri da germanuli . e .i . 5%-ma samive ena .

SeiZleba eileris wreebiTac:

7. ricxviTi utolobis Tvisebebi

reziume:

paragrafSi vecnobiT ricxviTi utolobis Tvisebebsa da maT praqtikul gamoyenebas .


4. ganvixiloT sxvaoba 2( )

aa a

a aa

a1 2 1 10

2 2

$+ - =- +

=-

.

5. 0<a<1 cxadia, nebismieri n∈N 0<an<1. ganvixiloT sxvaoba an–a=a(an-1–1), magram an-1<1 e .i . mocemuli sxvaoba uaryofiTia da an<a, r .d .g .

6. samkuTxedis utolobis Tanaxmad, OA OB AB

OB OC BC

OA OC AC

>

>

>

+

+

+

*

SevkriboT

2OA+2OB+2OC>AB+BC+AC, e .i . OA+OB+OC>a

AB BC AC+ + .

8. 3<a<7 d) 24<2a+3b<446<b<10 5<2b–a<17

10. 2<a<5 -3<b<-1 6<3a<15 2<-2b<6

a) 20<3a–2b+12<33

11. ganvixiloT sxvaoba

– – – –3 2( ) 2 1 2 1 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) 0a b c a b c a a b b c c a b c2 2 2 2 2 2 2 2

$+ + + + + = + + - + + - + = - + + r .d .g .

85 70

35-x

55-x

20-xx

A C

B

O

46

12. u .d . a a b c2

<+ +

( )a

a b c a b c a b c2 2 2

0<-+ +

=- -

=- +

(samk . utolobiT) .

13. vwerT samkuTxedis utolobas:

AO+OB>ABJ

L

KKKKK

AO+OD>AD CO+OD>CD BO+OC>BC SevkriboT 2AC+2BD>AB+AD+CD+BC.

AB+AD>BDJ

L

KKKKK

BC+CD>BD AB+BC>AC AD+CD>AC SevkriboT 2AB+2BC+2CD+2AD>2BD+2AC.

8. wrfiv erTucnobian utolobaTa sistema

reziume:

moswavlem unda SeZlos wrfivi erTucnobiani utolobis amonaxsnebis ricxviT RerZze gamosaxva, wrfiv utolobaTa sistemisTvis amonaxsenTa simravleebis TanakveTis povna (ricxviT RerZze) da pasuxis dawera .


5. x x

x x22

3

23

52

#-

+

Z

[

\

]]

] x x

x x

3 6 2

5 15 22

#-

+) x

x

6

52

#

-) {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.

6. x x

x x

23

41

29

23

31

29

2

1

-

-

Z

[

\

]]

] ,x x

x

23 2

25

2

1) aseTi mTeli ricxvi 24-ia .

7. a) -6,5≤ x2

7 6+ ≤20,5 SevcvaloT sistemiT da amovxsnaT

x

x

7 6 15

7 6 41

$

#

+ -

+)

x

x

3

5

$

#

-) [-3;5].

8. a) x2

23 2

3# #-- x

32

38

# #-

-4≤3x–2≤6 -2≤3x≤8 pasuxi: 0; 1; 2.

b) 2x3

4 75# #-

- 1≤4x≤22

-6≤4x–7≤15 x41

211

# # pasuxi: 1; 2; 3; 4; 5.

A

B

O

D

C

47

9. n — kenti ricxvia . ( )

( 2)

n n

n n

2 2 151

3 174

1

2

+ +

+ -)

n

n

3 147

4 180

1

2)

n

n

49

45

1

2)

aseTi kenti ricxvia 47 .

10. 30(x+6)≤6·50+20x≤35(x+6), saidanac 6≤x≤12.

11. kalami x+2 5 fanqari x 6 flomasterebi x+5 17≤100–(5(x+2)+6x+x+5)≤137≤85-12x≤13, saidanac 6≤x≤6,5.

12. 1≤x/24+x/16≤2, saidanac 9,6≤x≤19,2.

13. x

x20

55 40 0

25$ $

# #++ ( )

( )

x

x

25 5 200

20 5 200

$

#

+

+) 3≤x≤5.

14. 40(x+120)≤80x+120·15≤45(x+120).

x x

x x

16 360 9 1080

2 45 120

#

$

+ +

+ +)

x

x

7 720

75

#

$) x

x

10276

75

#

$*

17. zogadi formulaa) an=2·(-1)n-1; b) an=22n-1-1; g) an=2·3n-1; d) an=-7+(n-1);

18. ∆ACD tolferdaa . ∠BCD=140°. e .i . ∠BDC=20° da ∠DOC=80°.

III Tavis damatebiTi savarjiSoebi

6. b) cba

c3ba

cba

c

c

c3ba

c

cba

c

3ba

1c

ba

3c

ba

+++−

=++

⋅+−

=++

+−

=+

+

+−

.

g) .zy

zx

yzxzxy

zx:

zy

yzxzxy

zx

xzy

zy

yzx

−−

=−−

−−−

=

−−

−−

d) 1x2

1x

1x

x1x

1

1x

x1

1

x

1x

11

1

x

11

11

1

++

=

+++=

++

=

++=

++

.

10. =−

+−⋅

+−−+

=

−+

++

−)xa(x

)ax2axa(2

xa

xaaxa

xa

a4

x

a2

xa

xaa

222222

a2)xa(x

)xa(a2

xa

)xa(x=

−+

⋅+−

= . r .d .g

48

15. a) (a+b)2≥4ab ⇒ a2+2ab+b2–4ab≥0 ⇒ a2–2ab+b2≥0 ⇒ (a–b)2≥0. r .d .g .

b) ( ) ( )

( )

a

a

a

a

a

a a

a

a

1 21

21

10

2 1

1 20

2 1

102

2

2

2

2

2 2

2

2 2

+ + +# $ $ $+

-+ +

+ -

+

-

g) a2+6a+10≥0 ⇒ a2+6a+9+1≥0 ⇒ (a+3)2+1≥0. r .d .g .

d) 2a2+4b2+2a+4ab+7>0 ⇒ (a2+4b2+4ab)+(a2+2a+1)+6>0 ⇒ (a+2b)2+(a+1)2+6>0 r .d .g .

19. x35

85 45

40# #+

280≤5x+45≤320

235≤5x≤275

47≤x≤55.

20. samkuTxedis utolobis Tanaxmad a<b+c . utolobis orive mxares davumatoT a.

2a<a+b+c, saidanac a a b c2

1+ + r .d .g (danarCeni ori gverdisTvis mtkiceba analogiuria) .

22. a) 5≤x<8 b) 5≥x<8 10≤2x<16 -8<-x≤-5 15≤2x+5<21 -24<-3x≤-15 -17<7-3x≤-8.

25. b) 2x–1≥3a+5

2x≥3a+6

x= a2

3 6+

x>0 ⇒x a2

3 6=+ >0 ⇒ 3a+6>0 ⇒ a>-2. x<0 ⇒ a<-2.

26. b) 7x–m=2m+1

7x=3m+1

x= m7

3 1+

x>3 ⇒ m7

3 1+ >3 ⇒ 3m+1>21 ⇒ m>320 .

x<3 ⇒ m7

3 1+ >2 ⇒ 3m+1<14<13 ⇒ m>313 .

27. a) |5m-2|=2-5m ⇒ 5m-2≤0 ⇒ m≤52 ;

g) mm m m

m7 47 4

17 4 7 4

7 4 0&

!++

=+ = +

+o) ⇒ 7m+4>0 ⇒ 7m>-4;

d) 1m m

m m

4 1 4

4 4 12

2

+ -

- -= ⇒ 4m2-4m+1>0 ⇒ (2m-1)2>0 ⇒ m≠

21 .

49

28.

tivi 4 km/sT 20 km420 sT=5sT

navi (x+4) km/sT 20 kmx 420+

sT

5–3=x x420

420

&+ +

=2 ⇒ 2x+8=20. x=6.

29. radgan manqanebi moZraoben Semxvedri mimarTulebiT, amitom manZili ifareba siC-qareebis jamiT . Tu avtomanqanis siCqares aRvniSnavT x km/sT-iT, maSin manqanebs Soris manZili ifareba 2x km/sT-iT . or saaTSi daifareba 4x km-iT manqanebs Soris manZili .e .i . 4x≥250-2 4x ≥248 x≥62.

31. 6–a<14–a 6<2a<14 3<a<7

analogiurad, 3<b<7, e .i . a da b-s SesaZlo mniSvnelobebia 4, 5, 6, e .i . danarCeni ori gverdis sigrZea 4 da 6 an 5 da 5.

33.

d .m . S km 4 sT S4

km/sT

d .s . S km 5 sT S5

km/sT

V V V

V V V

d.m. n. m.d.

d.s. n. m.d.

= +

= +o ⇒ V

d .m .– V

d .s .=V

n+V

md .–V

n+V

md .=2V

md .

S S4 5

2 2$- =

S S20

5 44

-= ; S=80.

34.

d .m . 5 sT (x+2,4) km/sT 5(x+2,4) km/sT

d .s . 641 sT (x–2,4) km/sT

425 (x–2,4) km/sT

5(x+2,4)=25

4

5

(x–2,4)

4x+9,6=5x–12 x=21,6.

50

35. I x km/sT 1032 sT x

332 km

II (x–10) km/sT 1254 sT

564 (x–10) km

32x

3= 64

5

2

(x–10)

5x=6(x–10)5x=6x–60x=60

36. avsebs

x y24 24

1+ =I x sTx1 naw/sT 24 sT

x24 naw .

II y sTy1 naw/sT 24 sT

x24 naw .

Ix1 naw/sT 8 sT

x8 naw .

x y8 12

52+ =

IIy1 naw/sT 12 sT

x12 naw .

24 24

( )

y x xy

y x xy5 4 6

+ =

+ =o ⇒ 24y+24x=20y+30x

4y=6x ⇒ y= x26 . e .i .

6

12

x x

8 4

52

2$

+ =

x26

52&= x=40. marto I miliT gaivseba 40 saaTSi .

37. (x+200) 401008 5

=

x+200=500 x=300

38. xx

2020 12 0

10$ $

++

= ⇒ x=4.

41. a) x31

! ; b) x=1; g) x23

! ; -2; d) Ø .

45. a) a+1=6; a=5

b) a=5

III Tavis testi:

1. d; 2. b; 3. b; 4. g; 5. g; 6. b; 7. g; 8. a; 9. a; 10. g; 11. a; 12. d; 13. b;

14. 30 sT; 15. 8 sT; 16. a) (4;∞); b) (21 ; ∞) . 17. erTi;

2 3 4 5 6

5 6 7 8 9

51

IV Tavi

2. farTobis Tvisebebi. kvadratis farTobi


1. S=42=16sm2. 2. S=36sm2=a2 a=6sm. 3. SABD=SBDC–3=2. SABC=7sm2.

4. SABCD=9sm2+6sm2 =15sm2. 5. SABK=2·6sm2=12sm2. 6. SMNKD< SABC=2. e .i . SMNKD=1.

7. pirveli da mesame kvadratebis farTobTa jamia 18sm2, xolo meore da meoTxis ki 14sm2. e .i . wiTlad daStrixuli figurebis farTobi 18sm2–14sm2=14sm2–iT metia cisfrad daStrixuli figuris farTobze .

8. a) t=VS , e .i . t da V ukuproporciuli sidideebia;

b) x=100–y, sadac x darCenili furclebis raodenobaa, y ki amoxeulis . x da y arc pirda-pirproporciulia, arc ukuproporciuli;g) ukuproporciulia; d) arc erTi .

9. masStabia 1:300, es SeiZleba ase ganvixiloT: 300sm, 1sm, e .i . 3m→1sm, saidanac midi-RebT 15m→5sm, e .i . bilikis sigrZe naxazze 5 sm-ia .

10. a) AB=-5–(-11)=6; b) AB=|m-n|.

11. radgan A da B wertilebis y koordinatebi tolia, e .i . AB monakveTi paraleluria x RerZis da AB=A1B1=2.

AB=7–(-5)=12.

12. vTqvaT iyo x mandarinis da y forToxlis xe . radgan erTi xidan saSualod 300kg man-darini daikrifa, e .i . mandarini daikrifa 300xkg . analogiurad, forToxali daikrifa 800ykg . saSualod erTi xidan miiRes 600kg xili . e .i .

800y+300x=600x+600y, saidanac y= x32 , miviRebT, rom

x yx

52

+= , e .i . mandarinis xeebis

raodenoba baRSi mdgomi xeebis 40%-ia .

b) 2 A

A1

5 7

B B1

52

es sainteresoa: mravalwaxnagebis Slilebi

6.

7.

3. marTkuTxedis, marTkuTxa samkuTxedis farTobi


1. vTqvaT marTkuTxedis gverdebis sigrZeebia a da b . e .i . S=ab, Tu gverdebis sigrZeebs gavzrdiT k-jer, maSin a1=k·a da b1=k·b. S1=a1b1=k2ab=k2∙S. e .i . farTobi gaizrdeba k2-jer.(k>1).

2. a:b=1:2 → b=2a. P=2a+2b=2a+4a=6a=72.a=12, b=24.

3. S=21 ·7·24=84.

4. a:b=9:40 → a=9x da b=40x. S=21 ab=720.

2

40x x1

920

$ $ =720 ⇒ x2=4 ⇒ x=2. a=18 sm da b=80 sm .

5. S1:S2=9:16 ⇒ x x6 4

329

&= = . x=4,5 sm .

6. samkuTxedis gverdebis sigrZeebia 3sm, 4sm da 5sm . kaTetebi iqneba 4sm da 5sm, radgan

hipotenuza udidesi gverdia . e .i . S=21 ·4·3=6. S=6sm2.

3 1 4

5

2

6 3

6

5 4 2

1

53

7. S=2(2·3+2·5+3·5)=2·3=62. Ssr

=62 sm2.

8. a) 16 ricxvi; b) 9 ricxvi .

9. (a+b+c)x+(a-b-c)x=x(a+b+c+a-b-c)=2ax=-54.

10. Teas sZinavs 8 sT, rac Seadgens mTeli dRe-Ramis 31 -s . dRe-RameSi dedamiwa akeTebs

erT bruns, e .i . sanam Teas sZinavs, Semobrundeba sruli brunis 31 -iT . 360°·

31 =120°.

4. racionaluri ricxvireziume:

moswavlem unda SeZlos Cveulebrivi wiladis Cawera aTwiladis saxiT . icodes rom-eli wiladi gadaiqceva sasrul da romeli periodul aTwiladad . SeZlos period-uli aTwiladis Semoklebuli Cawera . aTwiladis (maT Soris periodulis) Sedareba . aTwiladebis damrgvaleba mocemuli sizustiT . mivuTiToT, rom zogjer amocanis konteqstis gaTvaliswinebiT, zogjer mosaxerxebelia ara zusti, aramed misi miaxloe-biTi mniSvnelobis povna .


1. a) periodulad meordeba 24 . sami momdevno cifria: 242; g) araperiodulia; e) araperiodulia .

5. a) 0,544... 0,5 d) 0,73636... ≈0,7 0,547≈0,5 0,761≈0,8 0,5≈0 ,5 0,7≈0,8

6. a) 2161 ; b) 1

9029- ; g)

91 ; d) 1,5 .

7. a) 2·3·5·7=210. xolo 2·3·5·7·11>999. e .i . 4; b) 3·5=15 da 3·5·7>99. e .i . 2.

8. 1-dan 9-mde → 9 cifri .10-dan 99-mde → 90·2=180 cifri . sul 1203+180+9=1392 cifri .100-dan 500-mde → 401·3=1203 cifri .

5. perioduli aTwiladis gadaqceva Cveulebriv wiladad.

reziume:

moswavlem unda SeZlos racionaluri ricxvis ganmarteba . unda SeeZlos racionaluri ricxvis Cawera, rogorc Cveulebrivi wiladis, ise aTwiladis saxiT . sasurvelia, gayofis Sesrulebamde daadginos romeli wiladi gadaiqceva sasrul da romeli usasrulo periodul aTwiladad . SeZlos perioduli aTwiladebis gadaqceva Cveulebriv wiladad, SeZlos moqmedebebi racionalur ricxvebze da saWiroebis SemTxvevaSi gamoiyenos moqmedebaTa Tvisebebi .

-12 -3 3 12 -5 5

54


13.marili wyali

sul x x53 x

52

amoSrobis Semdeg x54 x

53

koncentracia 75%

14. mamakacebi 10080

54= nawili, maT Soris coliani

54 ·60%=48%.

15. wyali mSraligargari 80% 20% x kgCiri 20% 80% 5 kg

20x=5·80 x=20

16. usg (x;y)=ab7c3; usj (x;y)=a5b10c4.

6. kvadratuli fesvi


6. a) 1,1; b) 0,3; g) 0,14; d) 0,4; e) 0,6; v) 54 ; z)

73 ; T)

21 ; i)

32 ; k)

47 .

7. a) m10 3 10 9 1+ = - = .

8. a) 241

49

23= = ; b) 1

4915

4964

78= = .

9. a) 45; b) 0,12; d) 0,22· 625 =0,04·25=1.

10. a) ki; b) ara; g) ki; d) ki; e) ki .

11. a) x≥0; b) x≥3; g) x≤0; d) x≤31 ; d) nebismieri.

12. a) x=±6; b) m=±7; g) a=±1,5; d) x=0; e) x∈Ø; v) x=49; z) n∈Ø; T) y=0; i) x=26; k) x=6.

13. a) 7 55 8< < ; b) 9 98 10< < ; g) 25 635 26< < ; d) 36 1300 37< < .

14. 6a2=96 ⇒ a2=16 ⇒ a=4.

15. a) 3 4 9 16 52 2+ = + = ; b) 9 16 3 4 7+ = + = .

55

16. (x+6)2=100 ⇒ x+6=± 100 =±10. aq unda gavamaxviloT yuradReba imaze, rom Cven unda SevarCioT dadebiTi pasuxi . x+6=10. x=4.

17. a) (x+5)2=25 ⇒ x+5=±5. x=0 an x=-10; b) (x–2)2=16 ⇒ x–2=±4. x=-2 an x=6;

a) (2x–1)2=5 ⇒ 2x–1=± 5 . x=2

1 5! ;

18. vTqvaT figurebis wiboebia a, b da c, e .i . a3+b3+c3=216 (a, b da c naturaluria) . pasuxi unda moiZebnos SerCeviT . 13=1; 23=8; 33=27; 43=64; 53=125; 63=216. cxadia, a, b da c ricxvebi-dan TiToeuli naklebia 6-ze . e .i . unda SeirCes 1 ,2 ,3 ,4 da 5 ricxvebidan . esenia: 3; 4 da 5 (27+64+125=216).

19. 3a3=192 ⇒ a3=64 ⇒ a=4.

22. 75∈[8;9].

23. pirvel rigSi vaCvenoT moswavleebs, rom 5**5 aris orniSa ricxvis kvadrati, radgan

umciresi samniSna aris 100 da 1002=10000, xolo udidesi erTniSna aris 9 da 92=81 . a52=5**5.(10a+5)2=5**5 ⇒100a2+100a+25=5**5 ⇒100(a2+a)+25=5**5, e .i . bolo ori cifria 25 da a2+a=5*, saidanac advili sanaxavia, rom a=7 . 72+7=56. saZiebeli ricxvia 5625.

24. 4kg=4000gr . 5% tolia 100

4000 5$ =200 gr . meryeobs 3 kg da 800 gr-dan 4 kg da 200 gr-mde .

25. α=10020$b ⇒ β=5α. α+β=90° ⇒ α=15°, β=75°.

26. a) 1

9 3+ =12; b) 2

3 5+ =4.

7. piTagoras Teorema


1. a) c2=32+42 ⇒ c=5; b) c2=202+212=400+441=841 ⇒ c=29.

2. a) b= ( )( )13 5 13 5 13 5 8 18 4 3 122 2

$ $- = - + = = = ;

b) b 17 8 9 252 2

$= - = =3·5=15.

3. x= 91 60 8281 3600 11881 1092 2+ = + = =

60 x

91

56

4. x= a a a a2 22 2 2+ = = .

5. x2+x2=a2 ⇒ 2x2=a2 x= a a

2 22

= .

6. cxadia, samkuTxedi marTkuTxaa 2x2=16 ⇒ x2=8 ⇒ x=2 2 .

7. BCAC

BCAK

2548

2524

&= =

BK2=(25x)2–(24x)2=49x·x=49x2. BK=7x=35 ⇒ x=5.

8. AB= ( ) ( )2 1 2 7 9 25 342 2

- - + - = + = .

9. a) AC:CB=3:4 ⇒ AC=3x; BC=4x.

AB= ( ) ( )x x x3 4 52 2+ = , e .i . AC:AB=3:5.

b) AB:CB=5:4 ⇒ AB=5x; BC=4x. AC= ( ) ( )x x x x5 4 9 32 2 2- = = ,

AC:BC=3:4.g) AB:BC=5:4

10. MD2=a2 a a4 4

32 2

- =

MD= a

23

11. a) 32+42=52; b) (3x)2+(4x)2=(5x)2.

12. x4–4x+2x2+1=0. uaryofiTi fesvi ver eqneba, radgan marcxena mxare mkacrad dadebiTi iqneba . luwi fesvis Semowmebas azri ara aqvs, x4–4x3+2x2 iqneba luwi da ar daakmayofilebs . e .i . unda SevamowmoT mxolod 1 . 14–4·13+2·12+1=1–4+2+1=0. x=1 gantolebis fesvia .

a x

a

x 45

x

4

A

B

25x

K 24x C

C B

A

M

D a

K

N

57

C

F

A B

D

E

13. 2 145 522347 darCa 5522347.

14. A wertilidan aris ori gza (AC; AF); B wertilidan aris ori (CF; CD); D wertilidan aris ori (DB; DE).

15. 4 muSa Seasrulebs orjer met droSi . e .i .12 dReSi . 12 muSa ki samjer ufro swrafad Seasrulebs samuSaos, vidre 4 muSa . e .i . 12:3=4. SeiZleba ase: erTi muSa erT dReSi mTeli

samuSaos 6 81

481

$= naw .12 muSa erT dReSi _

4812 naw . e .i . saWiroa 4 dRe .

8. ori wrewiris saerTo Siga da saerTo gare mxebi

reziume:

gakveTili jgufuri mecadineobisTvisaa mizanSewonili . mivceT yvela saerTo mxebis Sesabamisi naxazi da oTxive amocana mivceT samuSaod . gansakuTrebuli yuradReba gavu-maxviloT dasamtkicebel amocanebze, vTxovoT moswavleebs rom pasuxebi daimaxsovron . paragrafSi dasmul SekiTxvebze pasuxebis gacemis dros daakonkreton rodis aris SesaZlebeli esa Tu is faqti .

ganvixiloT paragrafSi dasmuli me-4 amocana:

gavataroT BK||O1O2. ABK marTkuTxa samkuTxedSi

BK= O1O2=R+r, AK= O1A– O1K=R–r. piTagoras Teoremis

Tanaxmad: AB= ( ) ( )R r R r Rr22 2

+ - - = .


2. Tu me-4 amocanaSi damtkicebul formulas daimaxsovreben, pasuxs advilad

ipovnian . AB=2 Rr =40.

3. 27+13<50, e .i . gare mxebis sigrZe= ( )OO R r 50 14 36 641

2 2 2 2

$- - = - = =48. Siga mxebis

sigrZe = ( )OO R r 50 40 10 901

2 2 2 2

$- + = - = =30.

4. 632=652–(R–r)2 (R–r)2=256 R–r=16 252=652–(R+r)2 (R+r)2=3600 R+r=60

saidanac R=38, r=22.

5. OO1

2–(R+r)=94 (OO1

2+(R–r)2) R=5; r=2

9· OO1

2–9·49=4·OO1

2+36

5·OO1

2=405 OO1

2=9

O1

K

A

O2

B

58

6. R=11 r=9.

a) saerTo Siga mxebi= 26 20 6 46 2 692 2

$- = = ;

saerTo gare mxebi= 26 2 24 28 4 422 2

$- = = .

b) wrewirebis, romelTa centrebi OP wrfezea da romlebic exebian mocemul wrewirebs,

diametrebia MN da PK e . i . pirveli wrewiris radiusi iqneba ( )OP R r2

3- +

= , xolo meo-

resi ( )

3OP R r

2 246

2+ +

= = .

9. kvadratuli fesvebis gamravleba da gayofa


6. d) a a a a a3 2 3 5

$= = ; i) xy xy x y xy x y3 3 32 2 3 3

$= = .

7. a) 5 2 25 2 50$= = ; b) 4 3 16 3 48$= = .

10. g) S 2 3 3 6$= = . 11. S a a2 321

33

4 3&$= = = .

12. a) x2+6x+3=x2+2·3·x+9–9+3=(x+3)2–6; b) x2+8x+21=x2+2·4·x+16+5=(x+4)2+5 .

13. vaSlis 31 yovelTvis wylis zemoTaa da radgan isini Wamas iwyeben erTdroulad

da amTavreben erTdroulad . cxadia, Citi SeWams orjer mets .

10. kvadratuli fesvi xarisxidan

reziume:

yuradReba gamaxvildes, rom moswavles kargad esmodes gansxvaveba . mas unda SeeZlos xarisxidan kvadratuli fesvis amoReba, modulis niSnis sworad gamoyeneba da misi moxsna .


5. a) x x25 54 2= ; b) a a

2=- , Tu a≤0; g) 3 3 9

3

$ = ;d) 4 5

6

$ =2·53=250; e) b b2= , Tu a≥7; v) ( 1)2 2 1

2- = - ;

z) ( ) ( ) 11 3 2 3 3 2 3 12 2

- + - = - + - = ; T) ( )a a3 32

- = - , Tu a≥5;

i) ( )2 7 7 22

- = - .

C O P

59

8. g) x2+2· x23

49

47

0+ + = ;

x23

47

02

+ + =` j x∈Ø.

3) y2– y211

3 0- =

y2– y2411

16121

16169

0$ + - = y411

161692

- =` j y

y

6

21

=

=->

9. a) x≥0; b) x≤0; g) x, y∈R; d) x∈R; e) x∈R; v) x∈R .

11. a) 18- ; g) a3≥0 ⇒ a≥0 ⇒ a a a3 5= ;

d) a3b≥0 ⇒ ab≥0. ab a b a b3 5 3

= ; e) b33

, radgan b≥0;

z) b x3 2

, radgan bx2≥0 ⇒ b≥0. i) a<0 ⇒ a–2, e .i . ( )ab a5 22

- - ;

k) 0≤x<1,5 ⇒ 0≤2x≤3 ⇒ -3<-2x≤0 ⇒ 0<3-2x≤3, e .i . ( )x x2 2 32

- - .

12. b) m m m9 93= , g .a . m≥0. g) x y x y x x y x

5 8 2 4 2 4= = ;

d) x y x y x x y x7 2 3 3

- = - =- - , g .a . -x7y2≥0 ⇒ a≤0.

v) a b a b a a b a4 2 211 6 5 3 5 3

- = - =- - , g .a . -a≥0 ⇒ a≤0.

z) x y x y xy x y xy7 5 3 2 3 2

= = , g .a . xy≥0.

14. a) 3+ ( )2 2 2 2 2 1 2 12

= + + = + , a=b=1;

b) 3+ ( )7 4 3 4 4 3 3 2 32

- = - + = - , a=2; b=1.

15. a≥0 da b≥0; b) a≤0 da b≤0; g) a≥0 da b≤0; d) a≤0 da b<0.

16. a) ;37

3j8 ; b) [0;∞); g) (-∞;0]; d) 0; e) R; v) Ø; z) [0;∞); T) [0;∞); i) 0; k) R.

17. a) arsebobs mgeli, romelic ar aris nacrisferi; b) arc erTi ixvi ar aris wiTeli;g) arsebobs rombi, romelic ar aris paralelogrami; d) yvela kvadrati rombia .

60

11. kvadratuli fesvebis Semcvel gamosaxulebaTa gardaqmna

reziume:

paragrafis dasawyisSi mocemuli problemis gadawyveta:

1. a aris wiTeli kvadratis gverdi . b — cisferi kva-

dratis gverdi . a b+ aris iseTi kvadratis gverdi, rom-

lis farTobic tolia wiTeli da cisferi kvadratebis

farTobebis jamis . a+b<SABCD. e .i . a b AB a b<+ = + .

2. 8 18 50 2 2 3 2 5 24+ = + = , r .d .g .

amocanebi:

8. a) ( )( )

11 11

11 2 30

1

11 2 30

1

11 2 30 11 2 30

2 30 2 30

121 120

4 304 30

--

+=

- +

+ - +=

-= ;

b) 5 3 5 3

5 3

5 3

5 3

5 3

5 3 5 3

5 3 5 3

5 3

2 15 2 152 15

2 2

+

--

-

+=

+ -

- - +=

-

- + - - -=-^ ^

^ ^h h

h h .

9. a) AD=2CD ⇒ x=2·2 5 4 5= .

PABCD=2·x+2·CD=2·4 5 2 2 5 8 5 4 5 12 5$+ = + = .

10. a) 3 3 6

3 5 6

3

3 5 6

3

3 5 6 3 5 6

3 5 6 5

45 36

9 5 18 3 5 69

12 5 123

4 5 4

-+

-=

- +

+ + -=

-

+ + -=

+=

+

^ ^ ^ ^^

h h h hh

.

b) 2 23 5

2

3 5

1

2 3 5 2 3 5

4 3 2 5 2 3 5

12 5

6 3 57

6 3 57

6 3 5

-+

+=

- +

+ + -=

-

+=

+=

+

^ ^h h .

11. d1

2=a2+b2. d2=c2+d1

2=c2+a2+b2. d2=4+1+36 ⇒ d= 41 .

12. udidesi orniSna ricxvia 99. 99:6=16(3) e .i . 100-is 6-ze gayofis naSTia 4, udidesi orniSna ricxvi, romlis 6-ze gayofis naSTia 4, iqneba 100-6=94.

13. x y3

3612

+ += ⇒ x+y+36=36 ⇒ x+y=0 ⇒ x y

20

+= .

B

A

C

D

b

a a

b

61

1 4 . AB=x. samkuTxedis utolobis Tanaxmad: AC-BC<AB<AC+BC ⇒ 6<x<8, radgan x mTelia . x=7 sm .

15.

3 3

3

3 ...

3 ...

3 ...

9

7

1

3

1

2

3

4

5

"

"

"

"

"

_

`

a

bbb

bbb

radgan yoveli oTxis mere meordeba da 35:4=8(3), naSTia 3, e .i . dabolovdeba iseve, rogorc 33 bolo cifria 7 .

b) 218 xarisxis bolo cifri rom vipovoT, ganvixiloT 2-is xarisxebi .

gameoreba xdeba 4 etapis Semdeg 18:4=4(2) . naSTis Sesabamisi meorexarisxia, radgan 22→4. bolo cifri iqneba 4.

g) 22218 (b) SemTxvevis analogiurad bolo cifria 4 .

d) yoveli oTxis mere bolo cifri meordeba 50:4=12(2), naSTia 2,e .i . gvainteresebs 73 →...9, maSasadame, 750-is bolo cifria 9 .

17. samive SemTxvevaSi cifrebi gvaqvs 0; 1; 3; 5; 7 da 9 . maTi raodenobaa 6 . warmovidginoT, rom gvaqvs ori ujra da TiToSi unda CavweroT TiTo cifri . a) SemTxvevaSi I-Si SeiZleba nebismieri cifris Cawera, aseve II-Sic . e .i . sul 6x6=36 varianti; b) SemTxvevaSi I-Si 0-s ver CavwerT , radgan miRebuli ricxvi iqneba erTniSna (mag . 05 erTniSnaa) . e .i . pirvel adgilas gvaqvs 5 arCevani . meoreSi ki 6 . variantis raodenobaa 5·6=30 . g) SemTxvevaSi wina SemTxvevebisgan gansxvavebiT cifrebs ver gavimeorebT, amave dros, {0;1} da {1;0}

simravleebi erTi da igivea, e .i . qvesimravleebis raodenoba iqneba 2

6 515

$ = .

12. saSualo ariTmetikuli da saSualo geometriuli

reziume:

moswavlem unda icodes saSualo ariTmetikulis da saSualo geometriulis cneba, unda icodes damokidebuleba maT Soris da unda SeeZlos misi damtkiceba, unda SeeZlos aRniSnuli utolobebis gamoyeneba sxva utolobebis damtkicebis dros .


3. a) a+b= a b ab ab2 22

$- +^ h ;

b) a+ 2 ; 1 2 ; 1 2 ;yx

yx

zy

zy

xz

xz

$ $ $+ + gadavamravloT .

A

B

7C

62

g) ba

ab

ba

ab

2 22

$+ = - +c m ;

d) a2+ab+b2=21 (2a2+2ab+2b2)=

21 ((a+b)2+a2+b2)≥0; e) a2+

a a1

11

2 22

2

$= - +` j ;

z) a2+b2+c2= ( ) ( ) ( )a b a c b c2

2 2 2- + - + -

+ab+ac+bc≥ab+ac+bc;

T) 21 (a+b)+

21 (m+n)=

21 (a+m)+

21 (b+n)≥ ( )( )a m b n+ + .

4. a) a+2≥2 a2 b+2≥ b2 a+b≥ ab2 gadavamravloT .

b) 1+a≥2 a 1+b≥2 b 1+c≥2 c . (1+a)(1+b)(1+c)≥8 abc =8.

5. 55

25 35 30 4037

$ $+= .

6. x y

x y

x y

x y

x

y

5

40 6020

5

40 60 5 8070

1

2$

+ +

+=

+ +

+ +=

=

=

Z

[

\

]]

]]

7. I — x; II — y

x y

x y

x

y

82 5 1

83

224 15 3

114

21

51

+ +=

+ +=

=

=

Z

[

\

]]

]]

9. a) 12 (5 2 7 8)+24+8 8 b) 12 (5 2 7 8)-36+4 4

10. 0-s boloSi gvaZlevs 5-isa da nebismieri luwi ricxvis namravli . vipovoT 5-ianebis raodenoba . 1-dan 100-mde aris 20 5-is jeradi ricxvi, maT Soris 4 cali 25-is jeradi, e .i . sul 24 5-iani . dagvrCa cameti 5-iani . aviTvaloT aTeulebiT: 101 4 120 (101-dan 120-mde 4 xuTiania) 121 4 130, 131 2 140, 141 3 150, e .i . 37 nuli gveqneba 150, 151, 152, 153, 154 ricxvebi-saTvis .

13. (100+20n)10n

10 -` j=11250 n=25.

gayidda 1500 detals, TiToeuls 7,5 larad .

63

IV Tavis damatebiTi savarjiSoebi:

1. a) W; b) mc; g) mc; d) W; e) mc; v) W .

8. a) x37

# ; b) x=0; g) 2|x|+3≠0, e .i . x81

$ ; d) x≠±2; e) x<0,6;

v) x∈R; z) 8x2+24x+18=2(4x2+12x+9)=2[(2x)2+2·2x·3+32]=2(2x+3)2, e .i . x∈R .

10. RP=2- 2 ; PQ=3 2 –2; RM=2- 2 ; RQ=3 2 – 2 =2 2 .

11. a) 27 ( )3 3 9 3 3 3 3 1 3 3 12$+ = + = + =^ ^h h .

d) [ ( )] ( )5 10 5 1 2 5 1 2 2 2 15 10 22 2

+ = + = + + = +^ h ;

v) ( )( ) ( ) ( ) ( )7 3 3 7 7 3 3 7 7 3 3 7 7 3 3 7 3 7 7 3 842 2 2 2

$ $ $+ - = - = - = - = .

12. a) ( ):x a y a a x y2 2+ = + ; v) ( )( )m n n m n n m n2 3 3

+ - + = + ;

i) ( ) [ ( )] ( )p q q p p q p q pq p q3 3 3 92 2 2

$- = - = - .

13. a) ( )6 4 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2

$ $- = - + = - + = - = - ;

g) ( )16 6 7 9 2 3 7 7 3 7 3 72

$+ = + + = = = + .

15. 5a) 2 50= ; 7= 49 , e .i . 5 2 >7;

e) 3 18 9 18 162$= = ; 2 72 4 72 288$= = , e .i . 2 72 3 18> .

16. a) ( )

( )

42 54

35 45

6 7 3

5 7 3

6

5

-

-=

-

-= ;

d) ( )( )

( )

x a

x ax a

x a

x x a a

x a x a

x a

x a

x a

2 3

2 24 3

2 3

2 2 2 3 3

2 3 2 3

2 3

2 3

2 32 2

2 2 2

$-

- +=

-

- +=

+ -

-=

+

- .

v) 2

( 2) ( )

x

x

x

x

x

x x xx x

2

2 2

2

2 2 22 2

3 3 3 2

2

-

-=

-

-=

-

- + += + + .

17. a) 2

6 3

2 2

6 3 22

6 63 6

$

$= = = ; g)

( )

ab

a b b a

ab

a b a b a b

5 5 5$+

=+

=+

;

d) ( )( )

( ) ( )( )

5 3

4

5 3 5 3

4 5 32

4 5 32 5 3

-=

- +

+=

+= + .

64

18. a) ( )( )

( )

( )( )

( )

( )(3 )

( )

( )3 1

2

3 2

3

3 3

15

3 5

1

3 1 3 1

2 3 1

3 2 3 2

3 3 2

3 3 3

15 3 3

3 5

1$ $

-+

-+

- +=

- +

++

- +

++

- +

+

+=c em o

3 66

15 ( )3 1 3

3 3

3 5

12

15 5 32 3 5

215 5 3 4 3 10

3 5

1

25 3

3 5

121

$ $

$

= + - - ++

+=

+- - =

+ - -

+=

=+

+=

^ ch m

b) 7 2 7 2( )( )

7 214

2 3 2 3 ;

373

7 4 3

1

7 4 3

13

73

7 4 3 7 4 3

7 4 3 7 4 33

7

3

49 48

7 7

2

$ $- +-

++

= - +- +

+ + -= - +

-=

= - + =

c m

g) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ;

4 15 10 6 4 15 10 6 4 15 4 15 5 3 8 2 15

5 3 5 3 2

2+ - - = - + - = - + =

= - + =

d) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( ) 2 15 2 15

8

5 5.

5 3

5 3

5 3

5 3

5 1

5 12

5 5

5 3 5 3

5 3 5 3 5 3 5 3

5 1 5 1

5 1 5 12

5 5

5 2

5 3 5 3

5 1

5 2 5 12

5 5216

46 2 5

25 5

25 5

23 5

82

5 38 1 9

+

-+

-

+-

-

++

+=

+ -

- - + + +-

-- +

+ ++

+=

-

- + + + +-

--

+ ++

+= -

++

+= +

+-

+=

= ++ - -

= + =

19. AB

B

6

30c+

=

=o ⇒ AC=6:2=3

CB2=62–32 ⇒ CB=3 3 .

S=21 AC·CB=

21 ·3·3 3

29 3

=

20. AB= 1 25 26+ = AC= 4 4 8+ =

AB= 1 9 10+ = A da C wertilebs Soris manZili umciresia .

21. ∆ACB=∆ASC=∆BSC sruli zedapiris farTobia S∆ABC+3S∆ASB= 3S4

36 3ASB+ 3 .

KB=3 SK=4 ⇒ S∆ASB=21 ·4·6=12.

S4

6 33 9 3 36ASB

2

+ = +3 .

33. ( )( )( )( ) (( ) )( ) )

( )( ) .

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 3 2

2 2 3 2 2 3 4 12 8

2 2+ + - + + - - - = + - - - =

= + - = - =-

3

A 6

30° B

C

A

S

6

5

K 3 B

65

37. a) ;14 6 5 14 6 5 9 6 5 5 9 6 5 5 3 5 3 5 6- + + = - + + + + = - + + =

b) cxadia 011 4 7 11 4 7 >+ - - ganvixiloT misi kvadrati

)11 4 7 11 4 7 11 4 7 2 121 16 7 11 4 7 22 18 42

$+ - - = + - - + - = - = , e .i .

11 4 7 11 4 7 0+ - - = .

38. m m5 3 3- + + = aviyvanoT kvadratSi

( )( )m m m m5 2 5 3 3 9- + - + + + = ( )( )m m5 3 1- + = .

40. b) ( ) ( ) ( )a a a

aa a

a

a

a a a

a a2 1

1

2 1

1

1

22 1

2

1

2

1

1 2

1

13

2

3

2

3

2 2

2+

+-

--

+=

--

-

+=

-

+ + - -=-

+ +.

41. a) m+2≥2 m2 ; n+2≥2 n2 ; mn+1≥2 mn , e .i . (m+2)(n+2)(mn+1)≥16mn.

b) a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2), magram a2+b2≥2ab, e .i . a3+b3≥(a+b)(2ab–ab)=ab(a+b);

g) radgan a b 0$+ da ( )a b a b a ab2

+ = + +

a b 0$+ da ( )a b a b2

+ = + , e .i . a b a b$+ + ;

d) a b ab

a b ab

21 1 2

$

$

+

+ p gadamravlebiT (a+b)a b1 1

4$+` j .

42. , ,,

7 37 3 3 2 5

1028 5

2 85$ $

++

= = .

43. x — 2t . x — 3t . ,

xx x2

2 32 5

+= t .

44. nebismier marTkuTxa samkuTxedSi hipotenuzis mediana hipotenuzis naxevaria . erTi wertilidan gavlebuli daxrili yovelTvis metia amave wertilidan gavlebul marTobze .

45. 6·105+6x=12·115. x=125%.

IV Tavis testi:

1. b; 2. d; 3. a; 4. g; 5. g; 6. g; 7. g; 8. b; 9. a; 10. b; 11. g; 12. g; 13. a;

14. g; 15. b; 16. g; 17. d; 18. b; 19. d; 20. b; 21. d; 22. a; g; d .

66

V Tavi

1. funqciis cneba

reziume:

moswavleebs konkretuli magaliTebis safuZvelze davanaxoT, Tu rogori Sesabamiso-baa funqcia . ras niSnavs Canaweri f(-1), f(5). . . roca mocemulia y=f(x) funqcia (magali-Tad, f(x)=5x-1; f(x)=x2-1...) . mniSvnelovania, rom TviTonve moiyvanon iseTi Sesabamisobis magaliTebi, romlebic iqneba funqcia an piriqiT, ar iqneba funqcia da SAeZlon amis dasabuTeba .


5. a) ara, radgan abscisaTa RerZze mdebare erT (Sav) wertils Seesabameba ori cisferi wertili; b) funqciaa . aseTi magaliTebi SesaZlebelia TviTonac moigonoT . es mag-aliTebi xels Seuwyobs, Semdgom, funqciis grafikuli ganmartebis advilad aRqmas .

6. v=a3 aris funqcia . a → a3.

7. f(0)=-02+7=7; f(-2)=-(-2)2+7=3 .

8. davSaloT erTi jaWvi . miviRebT sam rgols, romelic sakmarisia danarCeni 4 jaWvis gadasabmelad .

9. gadadis ori biWi . erT-erTi rCeba meore napirze, erTi ki navs abrunebs ukan . gadadis ori jariskaci, biWs navi moyavs ukan . biWebi daubrundnen sawyis pozicias, amasTan ori jariskacis gadayvanas dasWirda ori wre .a) sami jariskacis gadayvanas dasWirdeba 4 wre;b) aTi wre .

10. a) `5 an 5 q-ze naklebi~ seqtoris gradusuli zomaa 108°.

%

%%

xx

360 100

108 360108 100

30$

$&

$c

c= =o

b) 70%; g) x36036

101= = naw .

d) wriuli diagramis gamoyeneba hansakuTrebiT mosaxerxebelia iseT SemTxvevebSi, roca monacemebi nawilebiT an procentebiTaa warmodgenili .

11. a) 30 000 lari; b) ivlisSi — 5000 lari;

g) 12

303002525= lari; d) 3000 lari; e) 5000–(-500)=5500 lari;

v) svetovani diagramis gamoyeneba gansakuTrebiT mosaxerxebelia maSin, roca saWiroa

monacemebi swrafad da advilad (TvalsaCinod) SevadaroT .

67

12. erTad SeiZleba darCes mgeli da kombosto, amitom glexs gadahyavs Txa, brundeba ukan, mohyavs mgeli, Caisvams navSi Txas da brundeba sawyis wertilSi . datovebs Txas da miaqvs kombosto . mere dabrundeba ukan da gadaiyvans Txas .

13. radgan mediana 24-ia da moda 18, ricxvebis ganlageba Semdegnairad moxdeba: 13; 18; 18; 24; a; b; 37. Tu maT 8-s da 43-s davumatebT, variaciul mwkrivSi I adgils daikavebs 8, xolo 43 bolos, e .i . mediana ar Seicvleba, arc moda, Seicvleba saSualo .

15. cxadia, gamoklebas .

16. ∠ADB=2x+14° (gare kuTxe) . 2x+14=90–32, saidanac x=22°.

2. funqciis mocemis xerxebi

reziume:

moswavlem unda icodes Tu ra upiratesoba aqvs funqciis mocemis TiToeul xerxs . miuxedavad imisa, rom funqciis grafikze TvalsaCinod vxedavT funqciis yofaqce-vas gansazRvris aris raRac nawilze mainc, Cven ver SevZlebT argumentis mocemuli mniSvnelobisaTvis funqciis zusti mniSvnelobis povnas . yuradReba mivaqcioTY areze mocemul funqciebs _ 1 . erTsadaimave simravleebs Soris SesaZlebelia davamyaroT sxvadasxva funqciuri Sesabamisoba . 2. y(x) da h(x) sxvadasxva funqciebia, radgan gansx-vavdeba maTi gansazRvris areebi .


1. a) x∈R; b) x≠2; d) 4x2-9≠0; x ≠ ± 1,5 .

3. a) y=4; e .i . 3,5x-4=4 ⇒ x=,

x3 58

716= = ; b) y(2)=3,5·2–4=3.

6. y=10–0,8x.

a) 0≤10–0,8x≤10 ⇒ 0≤x≤225 . x∈Z.

x=0; 1; 2;...12.

7. y=300x+500. a) 500+300·4=1700.

8. y=500–60x

a) 0≤500–60x≤500 AB=500; AC=60x; CB=y.

0≤x≤831 .

b) 8 sT 20 wT; g) y=100 ⇒ x60

500 100320=

-= =6 sT 40 wT .

11. ab b ab7 35&$= = .

A C B

68

12. a) 5*+* 8 4

* * * 0

56+* 8 4

* * 4 0

56+9 8 4

1040

6

9

b) * **

* * 8

9 99

1 0 8

9

g) 6 * 5 *-*8*4

2 8 5 6

6 * 5 0-*8*4

2 8 5 6

6 7 5 0-3894

2 8 5 6

0 7

39

13. I. tr dRe hatr ha

4 8 6y

y y4 8 16

6 16 316

uk.pr

uk.pr

$

$& &$ = = .

II. tr dRe ha

tr dRe hadRe

6 16 1630

1610

xx3

16

6 30 31

uk.pr$

$& $ $= = .

3. funqciis grafiki

reziume:

moswavleebs umuSavdebaT Cveva _ wertilebis saSualebiT aagon mocemuli funqciis grafiki . unda esmodeT, rom grafikze mdebare yoveli wertilis koordinatebi da mxolod isini akmayofileben funqciis gantolebas . unda SeZlon sakoordinato si-brtyeze mocemuli wirebidan amoicnon, Tu romelia raime funqciis grafiki da romeli ara .


1. yuradReba mivaqcevinoT, rom Tu arsebobs x-is erTi mniSvneloba mainc, romelsac Seesabameba grafikis, imave abscisis mqone 1-ze meti wertili . aseT SemTxvevaSi wiri ar iqneba funqcia .a) aris; b) aris; g) ar aris; d) aris; e) ar aris; v) aris .

4. A(0; -1) . SevamowmoT sruldeba Tu ara piroba b=f(a) .

-1=2 0 15 0 1$$

+- -1=-1, e .i . A mdebareobs grafikze .

B(2,3); 3=2 2 15 2 1$$

+- 3=

59 mcd . B ar mdebareobs grafikze .

5. a) aris; b) ar aris; g) aris; d) ar aris; e) ar aris .

69

8. a) g; b) p; g) f; d) φ .

9. a) y=2x–5; b) y=x3; g) yx1= ; d) y=-x+1 .

10. n-3; n-2; ...; n+4(n-3)+(n-2)+(n-1)=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4).2n=-16n=-8-11; -10; -9; -8; ... ; -4.

12. a) 1–64b6; b) a2–16a–9; g) ab1 - .

5. wrfivi funqcia

reziume:

paragrafi iyofa or Tavad . masala da Sesabamisi savarjiSoebi gamoyofilia moswavlis wignSi .

(1) pirdapirproporciulobis funqcia .


3. y=21 x; y=2x; y=

31- x.

5. unda Semowmdes xy

xy

xy

A

A

B

B

C

C= = .

7. a) 3–3+5–7+...+97–99=(1–3)+(5–7)+...+(97–99)=-2·25=-50.g) 1000000–(1000000–(1000000–(1000000–(1000000–999999))))=1000000–1000000+(1000000–1000000+1)=1.

2. y=kx+b wrfivi funqcia .


1. wrfivia I da V . xazi gavusvaT, rom IV grafiki ar aris funqcia .

8. jer davweroT romelime or wertilze gamavali wrfis gantoleba . mag .: A da B-ze .

y=kx+b k b

k b

8 4

15 3

= +

= +) , saidanac k=-7 da b=36, e .i . y=-7x+36. SevamowmoT mdebareobs Tu ara

C(-5;-15) wertili AB wrfeze . pasuxi uaryofiTia .

11. a) b–7=0 b=7k≠0 b=7b) k≠3 b=0

13. y=5x wrfes gadakveTs b) da d) funqciaTa grafikebi (daxris koeficientebi toli ar aris) .

70

15. amovxsnaT sistemebi:

a) (11; 37) ; b) (-11; -12,5);

g) (3; 5); d) (-4; -13).

16. l wrfis gantolebaa y=3x+b, sadac b=7, e .i . y=3x+7.

18. M(a; -14) y=6x+a K(-1,5a; -2).M: -14=6a+aa=-2 K(3; -2); M(-2; -14).

AK= 5 12 132 2+ = .

20. davweroT A(0;1) da B(-2; -1) wertilebze gamavali wrfis gantoleba y=x+1, e .i . k=6.

21. a) f(-4)>f(1), e .i . f klebadia k<0; b) piroba sakmarisi ar aris;g) f(5)>f(-2), e .i . k>0; d) sakmarisi ar aris .

28. bavSvebis burTebis raodenoba 3-is da 8-is jeradia da radgan is 30-ze naklebia, e .i . tolia 24-is .

6. wrfivi gantolebis da utolobis grafikuli amoxsna

reziume:

arsebiTia moswavles esmodes grafikze wertilebis koordinatebs Soris damokide-buleba . is rom Tu (xo;yo) wertili mdebareobs y=f(x) grafikze, maSin yo=f(xo), xolo Tu igive wertili y=φ(x) grafikzec mdebareobs, maSin yo=f(xo) e . i . xo wertilisTvis f(x)=φ(x).


1. am gantolebebs moswavleebi analizurad iolad xsnian . arsebiTia maT isini grafi-kulad amoxsnan da Semdeg Sedegebi Seadaron .a) avagoT y=5x–1 da y=3 wrfeebi . vipovoT gadakveTis wertilis abscisa x

54= .

2. a) k b

k bk

b

5 0

0 353

3$

+ =

+ ==-

=) *

3. davweroT f wrfivi funqcia mocemuli pirobebiT .f(x)=3x+b0=3·4+b, e .i . b=-12f(x)=3x+12.

3x+12=3x=-3.

71

4. grafikulad: a) 1 amonaxsni .

5. g) |x|>2x–4. e) |x–2|>5 grafikidan Cans, romgrafikidan Cans, rom utoloba x∈(-∞;-3)∪(7;∞).sruldeba, roca x∈(-∞;4)

9. a) Sesvenebis gareSe imoZrava II jgufma da misi siCqare toli iyo 58 km/sT;

b) 5 sT; g) 1 sT-Si da Seisvena 2 sT; d) maTi Sexvedra moxda gasvlidan 2 sT . 20 wT-Si .

13. Tu SevkrebT daTosa da levanis, agreTve levanisa da kaxas Tanxebs, miviRebT 28 l . da 50 T . am TanxaSi levanis Tanxa orjer aris Sesuli, e .i . 28,50-20=8,50 . es aris levanis Tanxa . cxadia, SeiZleba amocana amoixsnas sistemiTac .

7. mobruneba, centruli simetria

reziume:

moswavles unda SeeZlos mocemuli figuris α kuTxiT mobrunebiT, O wertilis mimarT simetriiT miRebuli figuris ageba (wertilis, monakveTis, samkuTxedis) . marTkuTxa sakoordinato sistemaSi mocemuli wertilis simetriuli wertilis ageba, koordi-natTa saTavis, x da y RerZebis mimarT .


1. a) A1(-2); b) A1(1).

2. a) A1(-4;-5); b) Ax(4;-5); g) Ay(-4;5). 7. A(a;b); Ax(a;-b); Ax;y(-a; -b).

72

12.

13. iyo x kg . gazafxulze gaxda xx

10075

43= kg . zafxulSi gaxda x x

43

100120

109

$ = , Semodgo-

maze — x x109

1090

10081

$ = , zamTarSi ki — x x x43

100120

250243

<$ = , e .i . kaxa gaxda .

14. e .i . SesaZloa iyos , , , , .x x x x x

10094

10095

10096

10097

10099 x x

10095

2019= , e .i . unda iyofodes 20-ze . am-

rigad, umciresi raodenobaa x=20 .

19 gogona da 1 biWi .

15. x kg kitrSi „uwylo masa“ tolia x100

kg-is . aorTqlebis Semdeg darCenil y kg-Si ki

„uwylo masa“ y y

1002

50= . x y

100 50= x=2y. daikarga wonis 0,5 nawili .

16. a) 3 2 3 4 2 3 3 12 4 12 12 3 4 12 1- + - = - + - = - + - = ;

b) ( )( )

( ) ( )

6 2 6 2

6 2 6 2416

4

2 2

- +

+ + -= = ;

g) 15 1520 27 12 45 12 12 104+ + + + - = .

8. wrfivi orucnobiani gantoleba

reziume:

moswavlem unda icodes, rom Tu wertili mdebareobs orucnobiani gantolebis grafikze, maSin misma koordinatebma unda daakmayofilos grafikis Sesabamisi gan-toleba, rom ax+by+c=0, sadac a an b≠0 gantolebis grafiki wrfea .


1. x — burTi; y — manqana ⇒ 2x+3y=20.

xy y

220 3

1023

=-

= - , e .i . y aris 2-is jeradi .

4. a) 3(-1)–5·2≠1 — ar gadis; b) 4·2+7(-1)≠2 — ar gadis;

M1

K

K1 O M

MO

K

K1

M1

y 0 2 4 6x 10 7 4 1

73

g) 3(-1)–2=-5 — gadis; d) 10·2=21–1 — gadis .

6. a·2+5·3=21 ⇒ a=3.

7. A(x; 3) 18x+7·3=12 ⇒ x=21 .

8. ab ; a+b=16.

a) ⇒ab=97; 88; 79.

10. a) x unda iyos 4-is jeradi . b) ( )x y y34

34

34

1= - = - ⇒ y–1=3k ⇒ y=3k+1.

11. a)

13. u .s .j . (2; 3; 4; ...; 10)=23·32·5·7=2520.

14.

15. 1) 2; 7; 12; 17; 22; 27; 32 → 5(n–1)+2;2) 6; 14; 22; 30; 38; 46; 54 → 8(n–1)+6.

16. m

kn

mn

,0,16

4

0,16

400025000P

SF

P 2 2= = = = pa (paskali) .

a 9 8 7b 7 8 9

y

0 -2

x

b) y

0 -2

x

g)y

-4 0 x

d) y

-4 0 x

a) b) 3 1 3

1 1

3 1 3

1 5 1

5 5

1 5 1

74

9. amovxsnaT gantoleba mTel ricxvebSireziume:

moswavlem unda SeZlos orucnobiani wrfivi gantolebis amoxsna mTel ricxvebSi .


1. a) x(y–3)=10x

y

1

3 10

=

- =) x

y

10

3 1

=

- =) x

y

2

3 5

=

- =) x

y

5

3 2

=

- =)

(1;13); (10;4) (2;8) (5;5)

b) 2x2+3xy–2y2=13 (2x–y)(x+2y)+13

x y

x y

2 1

2 13

- =

+ =)

an

x y

x y

2 13

2 1

+ =

+ =)

(3;5) ar aqvs mTeli amonaxsnebi

2. pirveli ricxvi vipovoT SerCeviT, daboloebebiT:bolo cifri unda iyos 7, namravlis aTeulebis cifri rom gamovides 0, Semdegi cifri unda iyos 3 da a .S .amis Semdeg 137-is win SevarCioT cifrebi ise, rom namravi ar gadacdes 100000 . aseTad gamodgeba mxolod 1137 (2137×73=156001).

6. x y6 4 14

5+ = ; 7xy+24·7=15y; y(15–7x)=24·7 SerCeviT (1;21) (2;168)

8. cxadia ∠AEC=90°=∠CED. ∠BCE samkuTxedis gare kuTxea . e .i . ∠D=125°–90°=35°.

10. 1 ( ) ( ; )a

aaa

a11

1 1 0 12$ $ d

--

= - =-

II. a) 2x+4y=7 ⇒y x42

47=- + .

7:4=1(3). e .i . 2x=4k+3. es ki SeuZlebelia, radgan 4k+3 kenti ricxvia, 2x ki _ luwi. e.i. gantolebas mTel ricxvebSi amonaxseni ar eqneba .daskvna: Tu ax+by=c gantolebaSi u .s .g . (a; b)=k da c k maSin gantolebas mTel ricx-vebSi amonaxseni ar eqneba .mocemul gantolebaSi arc erTi mTeli (x;y) wyvilisTvis ar Sesruldeba 2(x–2y)=7, radgan marcxena mxare iyofa 2-ze, marjvena ki ara .

10. orucnobian gantolebaTa sistema

reziume:

moswavles unda SeeZlos orucnobiani wrfiv gantolebaTa sistemis amouxsnelad daadginos, Tu ramdeni amonaxseni aqvs sistemas . unda icodes, rom gantolebaTa siste-mis grafikuli amoxsna gvaZlevs mis miaxloebiT amonaxsens .

73137

10001

75


4. a) y x

y x

3

31

6

=

= +* erTi amonaxseni; b)

, ,

0,3 1,6

y x

y x

0 3 1 6=- +

=- +) uamravi amonaxseni .

g) , ,

, ,

y x

y x

0 4 1 2

0 4 0 12

=- +

=- +) ara aqvs amonaxseni .

5. % %700357

100 51$ = .

6. vaSlebis raodenobis 4-jer ganaxevrebis Semdeg darCa aTi vaSli . e .i . iyo 10·2·2·2·2=160. mcvelebs SexvdaT 150 vaSli .

7. ab-(a+b)=10a+b–a–b=9a _ 9-is jeradia . e .i .

XI → 9–9=0;

X → 18–9=9

IX → 27–9=18

VIII → 36–9=27.............................................................................................................

II → 99–18=81

I → 108–9=99

pasuxi: 108.

8. a–b<c<a+b — samkuTxedis utoloba .

11. wrfiv gantolebaTa sistemis amoxsna Casmis xerxiT


1. a) 3 8

3 8 12( ; )

y x

x x

y

x

11

11 11&

= +

+ + =

=

=o) ) ;

g) ( )

,x y

y y

x y

y Rx

x3 4

2 3 4 6 8

3 434

&d

= +

+ - =

= + -`o j) ) sistemas aqvs uamravi amonaxsni .

e) ( ; )y x

x x

y

x

2 1

6 7 2 1

5

22 5&

= +

- = +

=

=o) ) ; z) (4,5; 7);

i) ( )

x y

y y

5 3

9 11 2 5 3

=- +

- = - +o) ⇒(-12; 3).

2. a) ( )

2 4 5

2

x x

x x

x x

x

2 4 5

3 4 5 8 2&

= -

- - - =

= -

=o) ) (-3;2);

76

b) a b

b b

a b

b

34

234

3 134

3&

$

=-

- + =

=-

=`

N

P

OOOj

Z

[

\

]]

]* (-4;3);

k) 25

54

3 6 61

25 2 40

2 1

( )x y

x yx y

x y

x x

y x

10

6

25 2 2 1 40

2 1& &

$

$

+ =

+ =-

+ =

+ =-

+ - - =

=- -

N

P

OOOO

o o

Z

[

\

]]

]]) ) (2;-5).

3. a) gadakveTis wertilTa koordinatebi akmayofilebs orive wrfis gantolebas, ami-tom iqneba Semdegi sistemis amonaxseni:

215 5 47

125

47

x y

x y

xy

yy

xy

y y

xy

y

x

y

2 5 15

3 8 12

15 5

245 15

8 12

15 5

45 15 16 22

15 5

47& & & &

$+ =

+ =-

=-

-+ =-

=-

- + =-

=-

=-

=+

=

=-

N

P

OOOO

o p p

Z

[

\

]]

]]) * **

4. I. vipovoT wrfeebis gadakveTis wertili:

3 4

2 9 12 1

x y

x y

y x

x x

y

x

3 4

2 3 1

1

1& &

- =

+ =-

= -

+ - =-

=-

=o o) ) ) M(1;-1).

M-is koordinatebma unda daakmayofilos ax–2y=1 gantoleba: a·1–2(-1)=1 ⇒ a=-1.

6. ( ) ( )abc cba a b c c b a a c a c a c100 10 100 10 99 99 99 9 11$- = + + - - - = - = - = - miRebuli, rom sruli kvadrati iyos, unda Sesruldes a–c=11k2, rac SeuZlebelia, radgan a; c<10.

7. x=0 ⇒ y=5 (0;5).

y=0 ⇒ ;x35

35

0=- -` j

8. 25:12=2 (1)

9. 1:400000 ⇒ 1 sm → 400000 sm, e .i . 1 sm → 4 km anu 10 sm → 40 km .

12. algebruli Sekrebis xerxi


2. a) ( )

x y

x y

x y

x y

x

7 10 3

2 5 3

1

2

7 10 3

4 10 6

3 3

$

$

+ =

+ = -

+ =

- - =-

=-

) )

( )

x

y

x

y

1

2 1 5 3

1

1$

=-

- + =

=-

=)) (-1;1)

77

z) x y

x yx y

x y

x y

x y

y

23

32

2

41

31

4

6

12

3 9 2 4 12

3 3 4 4 48

3 2 1

3 4 47

6 48

&$

$

+-

-=

--

+=

+ - + =

- + + =

- =-

+ =

- =-

o

Z

[

\

]]

]]) )

y

x

y

x

8

3 2 8 1

8

5$

=

- =-

=

=)) (5;8);

T) x y y

xy

x y y

x y

x y

x y

x

y

y

2 32

25

23

2 0

6

2

3 3 4 15

3 4 0

3 15

3 4 0

4

3

5 15

& &$

$

+- =

+ =

+ - =

+ =

- =

+ =

=

=-

- =

o

Z

[

\

]]

]) ) ) (4;-3).

3. a) radgan A da B wertilebi mdebareobs wreze, amitom maTma koordinatebma unda daakmayofilos wrfis gantoleba . miviRebT sistemas:

k b

k b

k

b

k

2 5

3 1

6

17

6

+ =

+ =-

=-

=

- =

)

e .i . y=-6x+17 . aris saZiebeli wrfis gantoleba .

6. vTqvaT, iyida x kombaini da y traqtori, maSin

,y x

x y

x

y

1 4

24

10

14&

=

+ =

=

=) )

7. vTqvaT, I-ze aiRo x t, II-ze ki — y t . x+y=460.

I-ze gaizarda mosavali 0,15x t-iT .

II-ze ki — 0,1y t-iT .

0,15x+0,1y=516–460.

460

15 10 5600

x y

x y

x y

x y

x

2 2 920

3 2 1120

200

&+ =

+ =

- - =-

+ =

=

) )

I → 200 t .

II → 260 t .

8. ,ab ba1 75=

ab a b18= + +

( )a b b a

a b a b

a b b a

a10

47

10

10 18

40 4 70 7

9 18&

+ = +

+ = + +

+ = +

=)*

a

b

a

bab

2

66 33 2

2

121&

$

=

=

=

==) ) .

pasuxi: 21 .

78

A B C

A B C

9. vTqvaT, VA=x da VB=y.

I. tB=2,5 ⇒ tA=4,5. miviReT 4,5x+2,5y=30.

II. tB=5 ⇒ tA=3. miviReT 3x+5y=30.

x y

x yx

y

y

9 5 60

9 15 909

60 5 35

3

10 30

$+ =

- - =-=

-=

=

- =-

) *

pasuxi: 5 km/sT, 3 km/sT .

10. I. vTqvaT, VA=x da VB=y.

10x+10y=650.

AB=650km

II. tB=8 sT tA=8 sT+4sT .20wT .=1231 sT .

x b337

650y+ =

miviReT sistema:

13 1950 24 65

13 65( )

x y

x y

x y

x y

x

y

x

x

x

65

37 24 1950

24 24 24 65

37 24 1950

30

35

30 24

30

&$

$

+ =

+ =

- - =-

+ =

=

=

= -

= -

=

) ) )

pasuxi: 30 km/sT, 35 km/sT .

11. vTqvaT, pirveli 1 saaTSi asrulebs samuSaos x nawils, meore ki y nawils, maSin 6x+6y=1 .

Tu I 1 saaTSi Seasrulebs x2

nawils, xolo II 3y nawils, maSin gveqneba:

xy4

23 1+ =` j .

x y

x y

x y

x y

y

x

6 6 1

2 12 1

6 6 1

6 36 3151

101& &

+ =

+ =

+ =

- - =-

=

=

Z

[

\

]]

]

Z

[

\

]]

]

Z

[

\

]]

]

I samuSaos Seasrulebs 10 dReSi .II ki — 15 dReSi .

12. V1=x naw/sT, V2=y naw/sT .

x y

x y

2 2125

32411

+ =

+ =

Z

[

\

]]

]

79

14. I → x lari . ⇒

x y x

y x y

32

30 20

43

30 15

+ = =

+ = =

Z

[

\

]]

] II → y lari .

16. a) 4x2+24x+36=0|:4 g) 100x2–64=0|:4 x2+6x+9=0 25x2–16=0 (x+3)2=0 (5x–4)(5x+4)=0 x=-3 5x–4=0 an 5x+4=0

x=±54

19. a) 1322–1312=(132–131)(132+131)=263; b) (1001–1000)(1001+1000)=2001 .

V Tavis testi:

1. d; 2.b; 3. g; 4. g; 5. a; 6. d; 7. a; 8. d; 9. d; 10. b; 11. g; 12. g; 13. b; 14. g; 15. b; 16. d; 17. b; 18. a; 19. b; 20. g .

V Tavis damatebiTi savarjiSoebi

4. a) R; b) 4x2+12x+9≠0 ⇒ x≠23 ; g) (|x|–1)(|x|–3)≠0

x

x

1

3&

!

!o) x≠1; -1; 3; -3;

d) (x2+3)2≠0 x∈R; e) (|x|–1)(x2+1)≠0 ⇒ |x|–1≠0 ⇒ x≠±1;

v) x4–1≠0; (x2–1)(x2+1)≠0; (x–1)(x+1)≠0. x≠1; -1.

6. aris .

8. funqciis grafikia: a); d) .

9. wrfivi funqciis grafikia: b); e) . v) wrfea, magram ar aris funqciis grafiki .

10. wrfivia . a) y x95

91= - ; g) y=5x2–5x–5x2+7=-5x+7 da d) .

12. k=-2. y=-2x–2,5.

Tu x=0 ⇒ |y|=|-2,5|=2,5.

Tu y=o ⇒ |x|= ,22 5

- 1,25.

13. y=kx+b; k=3. e .i . ( ;

y x b

Ab

3

2 55 6&

= +

-=- +o)

b=11.y=3x+11.

14. I gza: ar mdebareobs .y

+1 +1 +1 +1 +1 +1

-2 -2 -2

x: 1 2 3 4 5 6 7

5 3 1 -1 -3 -5 -7

80

?

2x

x x

II gza: davweroT A da B wertilebze gamavali wrfis gantoleba:

( ; )

( ; )

y kx b

A

B

k b

k b

k

b

k

2 3

1 5

2 3

5

2

7

2

&

= ++ =

+ =

=-

=

=-

p* ) ) .

y=-2x+7 (1) SevamowmoT mdebareobs Tu ara (1) wrfeze c wertili:

-2·7+7=9-14+7≠9 ar mdebareobs .

15. a) f:x→2x f(x)=2x

a) f:x→ x2

f(x)= x2

.

16. a) v=kx+b

wlovaneba litr . wertilik b

k b

k

b

k

3 58

7 6547

5243

4 7

+ =

+ =

=

=

=

Z

[

\

]]

])3 58 (3; 58)

7 65 (7; 65)

e .i . y x47

5243= +

b) 52 ,x y5 843

43

61 5&= = + = ;

g) y x60 6047

4211

&= = + ; 240=7x+211⇒ x=y729

471= = , 4 wlis Zroxa .

17. vipovoT romelime wrfis gadakveTis wertili:

, ,y x

y x

1 3 0 7

3 5

=- -

= -) -1,3x–0,7=3x–5 x=1; y=-2.

SevamowmoT y=0,5x–2,5 gadis Tu ara (1; -2) wertilze, e .i . wrfeebi ikveTeba .

18. a) [-4; 5]; b) [-2; 2]; g) {-3; 0; 3};

d) f(x)>0, roca x∈(-3; 0) (3; 5) .

f(x)<0, roca x∈(-4; -3) (0; 3) .

x

x

2

x

2

81

19. f(x)=-x+3 g(x)=kx+b.

cxadia, b=3 da g(x) wrfe gadis (-2; 0) wertilze, e .i . g(x)=23 ·x+3.

20. f:y=kx+b gadis (-2; 3) da (4; 0) wertilebze, e .i . k21=- da b=2. f(x)= x

21

2- + .

22. ( )y

xx x

xx x

x2

2 42

2 22

2

=--

=--

= , roca x≠2.

23. y=(2x–3)2–4(x–1)2–3=4x2–12x+9–4x2+8x–4–3=-4x+2.

24. a) A(a; -2) — -2=3a a=32- .

b) B(2a-1; 1,5) — 1,5=3(2a–1) a=0,75 .

25. y=-2x–2,5.Oy:x=0 y=-2,5 CamokveTili monakveTebisOx:y=0 x=-1,25 sigrZeebia y RerZze — 2,5 x RerZze — 1,25.

26. vipovoT y=-0,5x+1 da y=2x-6,5 funqciaTa gadakveTis wertili . es wertilia (3; -0,5) vipovoT b, Tu y=-x+b gadis (3; -0,5) wertilze b=2,5. saZiebeli funqciaa y=-x+2,5.

27. a) wrfeebi y=ax da y=x+2 gadaikveTeba, Tu a≠1, e . i . eqneba erTi amonaxsni . Tu a=1, wrfeebi paraleluria da x∈∅.b) Tu a≠6, wrfeebi ikveTeba; Tu a=6, wrfeebi erTmaneTs emTxveva _ uamravi amonaxsni. g) y=(a+1)x da y=5.Tu a=–1, wrfeebi paraleluria x∈∅.Tu a≠–1, wrfeebi ikveTeba .

29. a) 2x+5y=56 ⇒ y x5

56 2=- .

30. a) (a–1)3–3=2a–1 ⇒ 3a–3–3=2a–1. a=5.

31. 6x+18y=54 ⇒ x+3y=9.

x 0 3 6 9 3 indauri an 3 qaTami da2 indauri, an 6 qaTami da 1

indauri, an 9 qaTamiy 3 2 1 0

32. a) xy=24. 24=1·24=2·12=3·8=4·6. b) y x32

10=- + . x=3k

d) x

y

x

y

1 1

20

2

20&

- =

=

=

=o ))

x

y

x

y

1 20

1

21

1&

- =

=

=

=o )) ( ; )

x

y

1 2

13 10&

- =

=o)

x 3 6 9 12y 8 6 4 2

x 1 2 3 4 6 8 12 24y 24 12 8 6 4 3 2 1

82

34. a) 8·2–3,5y=9 ( ; )x

y

1 10

211 2&

- =

=)

,y

3 516 9

2=-

= ( ; )x

y

1 4

55 5&

- =

=)

A(2; 2) ( ; )x

y

1 5

46 4&

- =

=)

36. vTqvaT, x0, y0∈Z da 4x0-6 y0=7 ⇒ 2(2x0-3y0)=7 (1)2x0-3y0=3,5. magram, daSvebis Tanaxmad (2x0-3y0)∈Z . e .i . M(x0, y0) wertili ar mdebareobs grafikze .

38. (3; )

2 5 1

A y

x y&

- =o) 2·3–5y=1 ⇒ y=1. A{3; 1}.

(2a–1)x+y=a wrfeze mdebareobs A(3; 1). e .i . (2a–1)3+1=a ⇒ a=52 .

39. ( ; )M x

x y

0

4+ =o) ⇒ x+0=4 ⇒ x=4.

( ; )

bx y

M

2 5

4 0

+ = o) ⇒4b+2·0=5 ⇒b=45 .

41. a) y x

y x

6 2

6 12

= -

= -) ; b) y x

y x75

71

8 3

= -

=- +* .

42. a) y

cx

y x

3 317

52

29

=- +

= -

Z

[

\

]]

] 1) amonaxseni ara aqvs, Tu: 3 5

2

317

29

c

c56

&!

- =

-=-

N

P

OOO

Z

[

\

]]

],

2) aqvs uamravi amonaxseni, Tu:

c3 5

2

317

29

- =

=-

N

P

OOO

Z

[

\

]]

] ⇒ c∈∅.

3) aqvs erTaderTi amonaxseni, Tu: cc

3 52

56

&! !- - .

51. ,a k

a nk n

4 3

7 54 3 7 5&

= +

= ++ = +o k, n∈N.

n= k74

72- , e .i .

4k:7=m(2);4k=7m+2. e .i . 4k=2; 9; 16 ⇒ k=4. pasuxi: 19; 47; 75; 103; 131.

a

+7 +7

k 4 11 18 25 32

19 47 75 103 131

83

55. raodenoba wona

didi yuTi x 24xpatara yuTi y 19y

24x+19y=709, x, y∈N.

y= x1924

19709- + 709:19=37(6), amitom 24x=19k+6.

24x luwia, amitom k-c luwi iqneba . +38 +38 24x=6; 44; 82; 120.24x=120 ⇒ x=5 ⇒ y=

19120

19709

19589

31- + = =

56. dedali sapekimamali sapekiwiwila sapeki

3

( 3)

x x

y y

t t

x y t

x y t

x y t N

x y t

x y t

y t

5

3

3 5 100

3 1003 5 100

3 3 9 300

2 8 200

t t

$

$

$ d

+ + =

+ + = -+ + =

- - - =-

- =-

Z

[

\

]]

]* )

4t–y=100 ⇒ y=4t-100 da x=100–y–3t=100–(4t–100)–3t. e .i . x=200–7t; y=4t–100.

t 25 26 27 28y 0 4 8 12x 25 18 11 4

57. a) 4x2-y2=7 ⇒ (2x-y)(2x+y)=7, radgan x, y∈Z, amitom 2x-y da 2x+y ricxvebic mTeli ricx-vebia, 7=1∙7=(-1)(-7) . e .i .

1) x y

x y

2 7

2 1

- =

+ =) ; 2) x y

x y

2 1

2 7

- =

+ =) ; 3) x y

x y

2 1

2 7

- =-

+ =-) ; 4) x y

x y

2 7

2 1

- =-

+ =-) .

(2; -3) (2; 3) (-2; -3) (-2; 3)

58. a)

1

1x y

x y

xa

yb

a b

a b

b

a

1 16

3 514

6

3 5 14

4

2

/

/

+ =

- =-

+ =

- =-

=

=

V

X

WWWW

Z

[

\

]]

]

Z

[

\

]]

]) )

;x

y

x

y

12

14

21

41 2

141

&

=

=

=

=`

N

P

OOO

j

Z

[

\

]]

]

Z

[

\

]]

]

x

5+19 -24

24

y

31

7

84

VI Tavi

1. mravalkuTxedebireziume:

moswavles unda SeeZlos mravalkuTxedis kuTxeebis, gverdebisa da diagonalebis dasax-eleba . unda icodes ramdeni diagonali gaivleba mravalkuTxedis erTi wverodan da ramdeni diagonali aqvs n-kuTxeds . unda icodes mravalkuTxedis Siga kuTxeebis jamis formula . amis gaTvaliswinebiT unda SeeZlos wesieri n-kuTxedis kuTxis gradusuli zomis povna konkretuli n-isTvis .


1. ganvixiloT magaliTad nebismieri xuTkuTxedi . samkuTxedis utolobis Tanaxmad, A1A4<a1+a2+a3, analogiurad A1A5<a1+a2+a3+a4 . nebismikeri mravalkuTxedisaTvis msjeloba analogiuria .

2. x+2x+3x+4x+5x=60, saidanac x=4 .

3. nebismieri wverodan gaivleba n–3 diagonali, e .i . diagonalebis raodenoba iqneba ( )n n2

3- .

4. 120n=180(n–2) n=6.

5. Siga kuTxe tolia 150-is, e .i . 150n=180(n-2) n=12.

6. ( )n n2

1- .

7. n–3=7 n=10.

12.

2. paralelogramis niSnebiamoxsnebi, miTiTebebi:

1 . BO=OD

AO=OC p ⇒∆AOB=∆COD ⇒∠3=∠4 ⇒ AB||CD.

∠1=∠2 (vert . kuTxeebi)

analogiurad BC||AD, e .i . ABCD paralelogramia .

2. AB||CD ⇒ ∠3=∠4 da ∠5=∠6 AB=CD p ⇒∆ABO=∆COD ⇒BO=OD da AO=OC.

ABCD paralelogramia I niSnis Tanaxmad .

Α

B C 5

4

1 O 2

D

3

6

30°

2x

x 3 x45°

x( 3 +1) – 20x=10( 3 –1)S= x x

2 23

2 2

+ = ( ) ( )( )

2100 3 1 3 1

100 3 1

2- +

= -

85

3. ∠A=∠C=αp ∠B=∠D=β ⇒α+β=180°⇒BC||AD.

da AC||CD. r .d .g . (Siga calmxrivi mdebare kuTxeebi)

4. ganv . ∆ABD da ∆BCD AB=CD ⇒ ∆ABD=∆BCD ⇒ BC=AD p ∠1=∠2 ⇒ AB||CD BD saerToa ∠3=∠4 ⇒ BC||AD r .d .g .


1. ∠A=∠Cp⇒ABCD paralelogramia⇒AB=CD=5 sm .

∠B=∠D

2. AO=OCp⇒ABCD paralelogramia⇒P=2(AD+BC)=2·17=34 sm .

BO=OD

3. AB=CDp⇒ABCD paralelogramia⇒∠A=180°–∠B=80° .

AB||CD

4. BE=EDp⇒BEDF paralelogramia.

BE||ED

5. MP+MQ+MK+MN=h1+h2.

6. a) avagoT ABD samkuTxedi sami gverdiT, D wertilidan gavataroT AD-s, xolo D-dan ki AB-s paraleluri wrfeebi erTmaneTTan gadakveTamde .

b) AO=21 AC; OD=

21 BD. avagoT AOD samkuTxedi sami gverdiT . O wertilidan gadavzomoT

OC=OA da OB=OD monakveTebi . B wertili SevaerToT A-sTan, C ki D-sTan .g) miTiTeba: avagoT ABD samkuTxedi ori gverdiT da maT Soris mdebare kuTxiT .

A

Bβ

βα

αC

D

Β

A

C

D2

31

4

PBK

M

A Q

C

ND

B C

Α

Ο

D

86

d) miTiTeba: avagoT AOD samkuTxedi ori AO da OD gverdiT da maT Soris mdebare kuTxiT .

8. a wrfeze aviRoT ori A da D wertili . avagoT O cen-tris mimarT . A da D wertilebis simetriuli A1 da D1 wertilebi .

miRebuli AD1A1D oTxkuTxedi paralelogramia I niSnis Tanaxmad . a||A1D1. r .d .g .

9. ganv . ABCD oTxkuTxedi. O diagonalebis kveTis wertilia . radgan O oTxkuTxedis simetriis centria, amitom AO=OC da BO=OD . e .i . ABCD paralelogramia I niSnis Tanax-mad .

12. daStrixuli figuris farTobi ganvixiloT rogorc SAOD-SBCD=21 ·8·7–

21 ·4·3=28.

3. paralelogramis farTobi


1. S=9·10=90sm2. 2. 20=5·h ⇒ h=4sm . S=a·ha=3ha·ha=48 ⇒ ha=4sm .

3. ha·3=aa=12sm .

6. a+b=35 2a=5b ⇒

ba

25= ⇒ 5

2

a x

b x

=

=o ⇒ 2x+5x=35 ⇒ x=5.

b=10sm; a=25sm; S=a·2=50sm2.

7. a=3x; b=4x; c=5x. udidesi gverdi hipotenuzaa . e .i . 5x=2·15 ⇒ x=6.

S=21 a·b=6x2=6·36=216.

S=216sm2.

8. beqam aiRo qliavis mesamedi — 4 cali, e .i . mas daxvda 12 qliavi, imdeni, ramdenic da-

tova ninom . es ki im raodenobis 32 -ia, rac mas daxvda . e .i . ninos daxvda 18 qliavi, rac im

raodenobis 32 -ia, rac daxvda Teas . e .i . Teas daxvda 27 qliavi . dedam datova 27 qliavi .

9. x2+18x+72=0 ⇒ x2+2·9x+81–9=0 ⇒ (x+9)2=9.

9 3

9 3

x

x

x

x

6

12&

+ =

+ =-

=-

=-o= = .

a

O

A D

D1 A1

87

4. samkuTxedis farTobi


2 . 2

2

S ab

S c hc$

=

=o ⇒ a·b=c·hc. 3. hc.10=5·20 ⇒ hc=10sm .

4. BC=25dm .

BC·ha=30·20 ⇒ 25·ha=30·20 ⇒ ha=24dm .

5. 16·33=22ha ⇒ ha=24sm .

7. kaTetis sigrZe aRvniSnoT x-iT . x2+x2=142 ⇒ x2=14·7.

S=21 x2=

21 ·14·7=49sm2.

9. kaTeti da hipotenuza aRvniSnoT a da c-Ti. a c43

43

441 3

2 2

+ = ⇒ a2+c2=41.

c a43

43

49 3

2 2

- = ⇒ c2–a2=9.

miRebuli tolobebis SekrebiT miviRebT, rom 2c2=50 ⇒ c=5.

a2=16 ⇒ a=4; c=5; b=3.

10. Ssr

=4· a43

10 3 100 3

2

2= = .

11. S=44

1a

a a3

3 2 3 2 3

2

2

&$ = = = .

16. 22+979=1001.

5. samkuTxedis Suaxazi

amocanebi:

2. a:b:c=3:4:5 ⇒ a=3x; c=5x.3x+4x+5x=60 ⇒12x=60 ⇒ x=5 ⇒ a=15; b=20; c=25.saZiebeli samkuTxedis perimetria 60:2=30sm .

A

20

15 15 C

B

88

gverdebi ki a2

=7,5; b2

=10 da c2

=12,5.

3. radgan fuZis paraleluri Suaxazis sigrZea 3 sm, e .i . fuZis sigrZea 6sm . gverdebis ki (16-6):2=5sm .

4. miRebuli oTxkuTxedi marTkuTxedia . perimetri ki 223

24+` j=7sm .

5. MN monakveTi ABC samkuTxedis Suaxazia, e .i . MN= AC2

=12. ∆ACD-dan analogiurad miviRebT, rom MP=NK=5. MNKP oTxkuTxedis mopirdapire gverdebi tolia . e .i . MNKP paralelogramia . P=2(12+5)=34sm .

6. M, N da K wertilebis SeerTebiT miviRebT MNK samkuTxeds . samkuTxedis wveroebidan gavavloT mopirdapire gverdebis paraleluri wrfeebi erTmaneTTan gadakveTamde . amgvarad miRebuli samkuTxedi iqneba saZiebeli ABC samkuTxedi .

7. MN Suaxazia . e .i . MN||AC. ganv . ∆ABK. AB gverdis M Suawertilidan gavlebulia fuZis paraleluri wrfe, e .i . MP Suaxazia . maSasadame, BP=KP.

8. wina amocanis Tanaxmad (ix . naxazi), SuaxaziT simaRle gaiyo or tol monakveTad . ma-

Sasadame, S∆MBN=21 BP·MN=

21 · BK

2· AC2

=41 SABC. analogiurad SAMK=SKNC=SMBN=

41 SABC.

SMNK= SABC –3·41 SABC=

41 SABC=5sm .

9. SABC=4·SMNB=12sm2.

10. miTiTeba: gaavleT samive Suaxazi . amgvarad, miRebuli oTxive samkuTxedi tolia

(gverdebis sigrZeebia ;a b2 2

da c2

, sadac a, b da c Tavdapirveli samkuTxedis gverdebis

sigrZeebia) . cxadia, es yovelTvisaa SesaZlebeli .

11. a) x100150

10050

$ $ =1,5·0,5x=0,75x. e .i . Semcirda 25%-iT .

12. iyo a:b, gaxda 1,5a:(0,5·b)=3·a:b. e .i . ganayofi gaizarda 3-jer .

13. radgan 10 sT-Si ivseba, e .i . I miliT 1 sT-Si Cadis 1800l:10=180l . II miliT ki saaTSi gaedineba 1800l:15=120l . e .i . roca orive mili gaxsnilia, saaTSi Cadis 180l–120l=60l . 5 saaTSi Cava 5·60l=300l .

B

M

N C

K

A P D

B

M

A

p

K

N

C

89

6. rombi.

amocanebi:

1. a=8sm . ganv .: ∆ABK. ∠K=90°, BK=21 AB=4; S=8·4=32,

2. sr=21 d1d2= 2

1 ·5·9=22,5.

3. ganv . ∆ABK. ∠A=45°⇒AK=BK≡h. 2h2=25⇒h=2

5

S=2

25 2 =22,5 2

4. 6α=180°⇒a=30°⇒h= a2

. S= a a a2 2

2

$ = .

5. α=30°⇒a=2h=20sm . S=a·h=200sm2.

6. a=10 2

1S d d

S a h 211

&$

=

=p ·16·12=10h⇒h=9,6sm .

7. KD=5⇒AK=x–5. ganv .: ∆ABK. x2=(x–5)2+144 ⇒x2=x2–10x+15+144 ⇒ 10x=169 ⇒x=16,9. S=12·16,9=202,8sm2.

8. miRebuli oTxkuTxedi rombia, radgan diagonalebi erTmaneTiT Suaze iyofa da urTierTmarTobulia .

9. rombi paralelogramis kerZo SemTxvevaa . a·ha=b·hb formulidan miviRebT aha=ahb ⇒

ha=hb.

8

A

4

K 2 D

B C

5

A

B C

45°K D

A

B

K

a

D

C

6

8

x

A

B

12

x-5

13

K 5 D

C

90

13. x x5 3

2152-

-= , saidanac x=4km/sT .

14. vTqvaT aris x skami da y sportsmeni . 6( 1) 3

5 4

x y

x y

- + =

+ =o ⇒6x–3=5x+4 ⇒ x=7. y=39.

15. mocemuli tolobidan vRebulobT, rom a=5.

7. marTkuTxedi, kvadrati

amocanebi:

1. ∆COD. CO=OD≡x, ∠COD=60° ⇒ CD=x. 6x=3,6 ⇒x=0,6. AC=BD=2x=1,2.

2. ganv .: .

50

COD OC OD

COD&

O

c+

=

=o ∠OCD=∠CDO=65°.

∠BDA+∠CDO=90° ⇒ ∠BDA=25°.

4. x+3x=90° ⇒ x=22,5°.ganv . ∆AOD. α gare kuTxea . e .i . α=2x=45°.

5. 5α=90° ⇒ α=590c =18°.

2α=36° da 3α=54°.

6. KM||ACM=90°. analogiurad ∠N=90°. CMKN marT-kuTxedia .ganv . ∆ABC. CK hipotenuzis medianaa, e .i . CK= AB

2=3.

x x x

x O

x

60 x

B C

A D

B C

A D

50° O

x

3x x x

B C

A D

3x O α

3α

3α 2α

B C

A D

C

C

3

3

K

M

3

B

91

7. OM=4sm ⇒ AB=8sm .ON=6sm ⇒ BC=12sm .P=2∙(8+12)=40sm .

8. PABCD=24 ⇒ AB+BC=12. BM= x

2=x

(∆ABM=∆DCM) ⇒ ∠BMA=∠CMD=45°. e .i . AB=BM=x.

9. ganv .: ∆BCD, ∠C=90°. BD=4 ⇒ CD=2 2 . CD aris meore kvadratis diagonali . misi gverdi aRvniS-

noT b-Ti . b2+b2=(2 2 )2 ⇒ 2b2=4·2 ⇒ b=2a.

10. CD=1 ⇒ BD= 2 . BD meore kvadratis gverdia . misi diagonali aRvniSnoT d-Ti . d2=( 2 )2+ 2 2 ⇒ d2=4 ⇒ d=2.

11. MNPK kvadratia, MN=AC=12sm . P=4∙12sm=48sm

12. simetriis centria diagonalebis kveTis wertili . simetriis RerZi ara aqvs .

13. kvadratis simetriis centria diagonalebis kveTis wertili . simetriis RerZia diagonalebi da gverdebis SuamarTobebi . sul 4 cali .

N

A

6 O

4

M D

B C

y

A

B

x 2 x 2

2x D

C M

A

4

D

B C

2 2

A

1

D

B C

2

M

B

A

N

K

C

D

P

92

8. trapecia, trapeciis Suaxazi


1 . sasurvelia gavamaxviloT yuradReba imaze, rom trapeciis ferdTan mdebare kuTx-eebis jami 180·-ia .

(AB mkveTia . BC||AD) ∠B=180°–74°=106°, ∠C=180°–68°=112°.

2. ∆ABD-Si SDuamonakveTis sigrZea 2 sm, e .i . AD=42sm . ∆BCD-dan analogiurad miviRebT, rom BC=2·6sm=12sm .

3. 5x=10 ⇒ x=2. ganv . ∆ABC. MK=3x ⇒ BC=6x=12. AD=16x=32.

pasuxi: BC=12sm da AD=32sm .

4. SuamonakveTis sigrZeebi aRvniSnoT x da y-iT . maSin fuZeebis sigrZeebia 2x da 2y.x+y=8 da x–y=2 ⇒ x=5 da y=3.fuZeebis sigrZeebia 10sm da 6 sm .

5. a=2x; b=3x. a b x x2

72

2 35&

+=

+= . x=2.

a=4m; b=6m .

6. a=b+4 da 7a b b b2 2

47&

+=

+ += ⇒ b=5sm . a=9sm .

7. ganv . PBCK trapeciis MN SDuaxazia,

e .i . xy22

=+

⇒ y=2x–2 (1).

AMND trapeciidan miviRebT y x25=

+ ,

saidanac (1)-is gaTvaliswinebiT 2x–2= x25+ ⇒ 4x–4=x+5 ⇒ x=3 da y=4.

8. M wertilidan gavavloT ME||AB; MF||CD. ∠EMF=90° AE=BM=MC=FD=x.

MN medianaa . MN= AD x AD BC2

22

-=

- , e .i . AD–BC=6;

AD+BC=14, saidanac AD=10; BC=4.

B C

DA74° 68°

B C

NM

DA

3x K8x

x y

5

2 C

NK

D

B

M

P

A

A E 670

x x 230

D N F

B M x C

93

9. vTqvaT burTi Rirda x lari . fasi Semcirda 30%-iT . e .i . axla burTi Rirs Zveli fasis (100%-30)%=70% .

0

7021

x

10

$= x=30.

10. iyo a·b, gaxda 1,5a·0,5b=0,75ab. e .i . namravli Semcirda 25%-iT .

11. vTqvaT avtokalami Rirs x lari, fanqari ki y lari . mas SeeZlo eyida an 6 avtokalami, rac Rirs 6x lari, an 12 fanqari, rac Rirs 12y lari . es Tanxebi tolia . 6x=12y ⇒ x=2y. vTqvaT man iyida n cali avtokalami da fanqari . e .i . gadaixada n(x+y)=12y.n(2y+y)=12y ⇒ n=4.

12. cxadia, 762, es ricxvi ar iyofa 4-ze .

9. marTkuTxa trapecia, tolferda trapecia

amocanebi:

1. AM=16sm da MD=36sm . Suaxazis sigrZe tolia MD=36sm .

BC=a da AD=b. a b2+ =36 ⇒ a+b=72 ⇒ b=72–a.

AM= b a a a2 2

72-=

- - =16 ⇒ 72–2a=32 ⇒ a=20.

pasuxi: mcire fuZis sigrZea 20sm, Suaxazis ki 36sm .

2. α–β=40°, α+β=180° ⇒ α=110° da β=70°.

3. ganv . ∆ABK. ∠A=60° ⇒ ∠B=30° ⇒ AK= AB2

=0,5. analogiurad ∆CMD ⇒ MD=0,5. BC=KM=2,7–(0,5+0,5)=1,7.

pasuxi: BC=1,7sm .

4. x=2

49 15234-

= =17

AB=2x=34. P=15+49+2·34=132sm .

B

M

a

b

A

C

D

A M D

B C

K 2,7

a

60°

A D

B C

x x

2x2x

a

60°

94

5. ∆ABK ⇒ AK= AB2

=12. BC=a; AD=b ⇒ b a2- =12 ⇒ b-a=24.

b+a=43. e .i . b=267 ; a=

219 .

6. a b2+ =30 da a b

2- =6 ⇒ a+b=60 da a–b=12 ⇒ a=36 da b=24.

7. AD=17.

CD monakveTis EF SuamarTobi AD gverds kveTs M wer-tilSi . ganv . ∆CMD. MK medianaa da simaRle, e .i . CM=AD=x. ∠D=∠C=45° ⇒ ∠CMD=90°.

ganv . ∆EMD. 45

90

D

E

c

c

+

+

=

=o ⇒ ∠EMD=45°, ∠AMF=45° ⇒ AM=AF=y.

BF=x+y=AD=17.

(vertikaluri kuTxeebi) . ganv . ∆AMF, A=90°, ∠AMF=45° ⇒ ∠ AM=AF=y. BAMC marTkuTxe-didan BA=x.

8. cxadia, es diagonali ver iqneba BD diagonali, radgan ∆BAD

marTkuTxa iqneba, xolo BCD ki blagvkuTxa .

ganv . ∆BAC. AC=8 ∠B=90° p ⇒ BC=4. Suaxazis sigrZea BC AD

2 24 8+

=+ =6sm .

∠A=90°

9. ∠ADC=120° ⇒ ∠BDC=30° ganv . ∆BDC. ∠B=90°. o ⇒ BC=

27 .

SuamonakveTis sigrZea , ,BC AD

2 33 5 12

215 5+

=+

= =7,75.

10. es oTxkuTxedebi paralelogramebia .

11. gaferadebuli ∆-is kaTetebis sigrZeebia 1 da 2 . e .i . hipotenuzis sigrZea 5 . miiReba

kvadrati, romlis gverdis sigrZea 2 5 . P=8 5 .

12. cxadia, Tu trapecias aqvs simetriis RerZi, is gadis fuZeebis Suawertilebze, e .i . ABCD trapeciaSi (BC||AD) B → C da A → D. e .i . AB → CD AB=CD. r .d .g .

B

K

a

30°

60°2,712 x

2424

bA

C

D

x

A y

F

x

y 45°

45° M

E

45°x

D

B C

60°

8

A 60°

30°

8

8

60° D

B C

A

B C

12

30°

D

7

95

13. 22 DdRe aris 3 sruli kvira da kidev erTi dRe . Tu gvinda, rom Tanxa iyos udidesi, is erTi dRe unda iyos kvira, radgan kviraobiT uxdian yvelaze met Tanxas — 300 lars . kviraSi uxdian 5∙10+20+30=100 lars . 22 dReSi aiRebs 3∙100+30=330 lars .

14. x+ x10060 =80 x=50; 50; 30.

15. speqtaklze movida 100

60 75

4

15 3$=45 bavSvi . carieli darCeba 64–45=19 skami .

10. trapeciis farTobi

amocanebi:

1. S= 22545a b

h h h h2

2252

10 352

105

& & &$ $ $+

=+

= = .

2. 200= a226+ ·10 ⇒ a+26=40 ⇒ a=14.

3. 400= a b2+ ·20 ⇒ a b

2+ =20. Suaxazis sigrZea a b

2+ =20sm .

4. a:b=4:5 ⇒ a=4x da b=5x. 36=2

2x x4 5

$+ ⇒ 9x=36 ⇒ x=4. a=16sm da b=20sm .

5. ganv . ∆ACK ∠A=45° ∠K=90°

N

P

OOOOO ⇒ AK=CK=4 2 .

AC=8

S=AK·CK=4 2 ·4 2 =32. S=32sm2.

6. AD=a; BC=b; AK= a b2+ =10.

SABCD=AK·CK=100.

pasuxi: S=100sm2.

7. AK= AD BC2- =9.

ganv . ∆ABK. 412=92+h2 ⇒ (41–9)(41+9)=h2 .

h= 32 50$ ⇒ h=4·2·5=40.

A K

B C

45

8

D

A45°

K D

B C

41

51

A K 69 D

B C

96

9. ABEF paralelograms da FECD trapecias toli simaRle aqvT .

SABEF=x·h p ⇒x= x

240 2- ⇒ x=10.

SABEF=x x

h2

12 28$

- + -

10. SABCD= S∆AMD–S∆BMC=4

6 34

3 34

27 32 2

- = .

11. MN=8. BK=KP=h.

SAMND= h h2

8 1210$

+=

p ⇒SMBCN·SAMND=6h:10h=3:5. SMBCN= h h

24 8

6$+

=

12. roca II movida finiSTan, e .i . t droSi gairbina 100 m . III CamorCeboda mas 10m-iT . e .i .

gairbina 90, imave t droSi . ;Vt

Vt

90 1003 2= = analogiurad SegviZlia davadginoT, rom

VV

9 1010 10

2

1

$$= , e .i . V1:V2:V3=100:90:81 ⇒

VV

81100

3

1 = ⇒ V1=100x da V3=81x. t droSi, roca I-ma

gairbina 100m, e .i . S1=100. vTqvaT, III-m gairbina S3 m, e .i . t=VS

VS

x xS

100100

812

1

3

3 3&= = ⇒ S3=81m .

e .i . III CamorCeba I-s 19m-iT .

13.

nab .-is sigrZenab .-is raod .

t droSi t droSi maRalma gaiara xy manZili, da-balma ki 0,8·1,2y=0,96xy. e .i . maRali dadis ufro Cqara .

m x yd 0,8x 1,2y

11. wrewirSi Caxazuli oTxkuTxedi

reziume:

gavaxsenoT moswavleebs, rom yvela samkuTxedze Semoixazeba wrewiri da sad mdebareobs Semoxazuli wrewiris centri . naxazebiT advilad darwmundebian, rom oTxkuTxedebis SemTxvevaSi ase ar aris .Teorema Caxazuli oTxkuTxedis mopirdapire kuTxeebis jamis Sesaxeb davamtkicebinoT Sesabamisi kiTxvebis dasmiT, analogiurad Sebrunebuli Teoremac .

41

A x

CEB

h

F 28-x D

x 12-x

A

3

B3

6

3

C

D

M

M

A

k

P D

N

CB

97

daskvna _ sad mdebareobs Semoxazuli wrewiris centri maswavlebelma unda ganavr-con ara marto oTxkuTxedebisTvis, aramed nebismieri mravalkuTxedisTvis, romelic wrewirSi Caixazeba .


1 . ∠A=∠B=∠C=3

360 1023

25886

-= = .

2. 40°-is mopirdapire kuTxe iqneba 180°–40°=140°. danarCeni ori kuTxe 90°-is tolia .

3. ∠MON=130°. MBNO oTxkuTxedSi ∠M=∠N=90°, e .i . ∠B=180°–130°=50°.

4. 75°-iani kuTxis mopirdapire kuTxea 180°-75°=105°, xolo oTxkuTxedis meoTxe kuTxea 180°–55°=125°.

5. amocanas pirobidan Cans, rom AC diametri, e . i . ∠B=∠D=900, xolo ∠C=180°–70°=110°.

6. radgan ∠B=∠D=90°, am oTxkuTxedze SemoxazeT wrewiri da ∠CAB=∠CDB=40°, rogorc erT rkalze dayrdnobili kuTxeebi, xolo ∠DCA=90°–30°=60°. e . i . ∠DKC=180°–(40°+60°)=80° maxvili kuTxe iqneba 700.

7. radgan ∠ABC+∠ADC=180°, e . i . am oTxkuTxedze Semoixazeba wrewiri . ixileT me-6 amocana .

8.1) Tu paralelograms aqvs marTi kuTxe, igi marTkuTxedia .2) verc erTi CamoTvlili mravalkuTxedis farTobs marto ori gverdiT ver gamovT-vliT .3) samkuTxedi da paralelogrami .4) es mravalkuTxedi aris trapecia .5) es mravalkuTxedia trapecia .6) es mravalkuTxedi aris paralelogrami .

12. wrewirze Semoxazuli oTxkuTxedi

reziume:

gakveTili wina gakveTilis analogiurad warimarTeba . mniSvnelovania zogi daskvna:a) Tu mravalkuTxedSi Caixaza wrewiri, sad mdebareobs am wrewiris centri;b) agreTve farTobis zogadi formula, romelic WeSmaritia nebismier wrewirze Semoxa-zuli mravalkuTxedisaTvis .


3 . radgan oTxkuTxedi Semoxazulia, e . i . mopirdapire gverdebis jami tolia P=2·(6+9)=30 .

AO

C

N

B

M

98

4. oTxkuTxedis gverdebia 2x; 3x; 4x da 3x e .i . 2·6x=24, x=2 4; 6; 8; 6.

7. P=2(4+4)=16.

8. rombSi Caxazuli wrewiris diametri am rombis simaRlis tolia . e . i . r=4 sm .

9. simaRle trapeciaSi da rombSi Caxazuli wrewiris diametris tolia . e . i . h=6 sm .

10. S=pr, e . i . 240=30r . r=8.

11. 20dm2=2000sm2, e .i . 2000=25p p=80 sm . perimetri tolia 160 sm an 16 dm .

12. vipovoT radiusi r= 64 225+ =17. S=pr=100·17=1700sm2.

VI Tavis damatebiTi savarjiSoebi

1. cxadia, MBKN paralelogramia da AMN samkuTxedi tolferda . P=2x+2y=2(x+y)=30.

3. ABCD rombia, romelic diagonaliT or tolgverda samkuTxedad iyofa .

8. BC=a; AD=b. AB=CD= a b2+ .

P=a+b+2· a b2+ =2(a+b)=21. AB=CD= a b

2+ =

421 .

9. BC=a; AD=b ⇒ a b2+ =21.

ganv . ∆ABK. AK=BK=12.

AK= b a2- =12.

42

24

a b

b a

b

a

33

9&

+ =

- =

=

=o) ) AD=33.

10. AD:BC=7:3 ⇒ AD=7x; BC=3x. AD-BC=3,2 ⇒ 7x–3x=3,2 ⇒ ⇒ 4x=3,2 ⇒ x=0,8.

AD BC x2 2

10+= =5x=4.

A b D

B a C

12 45°

A K b D

B a C

A x

x

x y

N

K

C

B

A

B

7x D

C3x

99

11. ∆ABD-Si KN Suaxazia ⇒ KN=217 .

∆ABC. KM Suaxazia ⇒KM=23 .

MN=KN–KM=217 –

23 =7.

pasuxi: MN=7sm .

12. A wertilze gavataroT a wrfis paraleluri wrfe . BK sxivTan gadakveTis wertili aRvniSnoT M-iT .

PQMB

QL2

15

10&

= =

=p PL=5sm .

13. BC:AD=2:5 ⇒ BC=2x da AD=5x. ∠BCA=α (BC||AD, AC mkveTia) ⇒ AB=BC=CD=2x.

P=5x+6x=11x=132 ⇒ x=12. BC AD x x2 2

2 527+

=+

= ·12=42.

14. AB=BC=CD≡x (ix . amocana 13). 3x+1,5=4,5 ⇒ x=1.

15. AC, A kuTxis biseqtrisaa ⇒ AB=BC BD, D kuTxis biseqtrisaa ⇒ DC=BC o ⇒AB=BC=DC. MK=10 ⇒ BC=20; KN=18 ⇒ AD=36. P=3·20+36=96.

pasuxi: P=96sm .

16. ∠1=∠2 ⇒ AB=BC=CD=x. ganv . ∆ACD ∠C=90° p ⇒ ∠CAD=30° ⇒ AD=2x. ∠D=60° ∠BAD=∠BAC+∠CAD=60° ⇒ AB=CD=x.

P=5x=2 ⇒ x=52 . AD=2x=

54 =0,8.

17. ∠C=135° ⇒ ∠D=45°. BC:AD=1:8 ⇒ BC=AK≡x; KD=7x. ganv . ∆CKD ∠k=90° p ⇒ CK=KD=7x. ∠D=45°

BC AD x2 2

9+= =18 ⇒ x=4. AB=7x=28sm .

M N

17 A

K

D

3 B C

M

K 10 10

20

B

h

P

a

Q A

M

A αα

b

a α

D

B C

M 10 18 K

A

C

N

D

B

x

1

A 2

2x

x

60°D

x B C

7x

A x K 7x 45°

D

x B C

100

18. BC AD2+ =8 ⇒ BC+AD=16 ⇒ BC=6 da AD=10.

C wertilidan gavataroT AB ferdis paraleluri CP monakveTi . cxadia, ∠CPD=60°; ∠PCD=90°. PD+AD–BC=4.

∆PCD ⇒ PC=2. cxadia, PC<CD D P<` jS S. PC=AB, e .i . AB mcire ferdia da AB=2sm .

20. B1 wertilTa geometriuli adgilia B wertilze gamavali AC wrfis paraleluri wrfe da am wrfis simetriuli AC-s mimarT .

21. AB=BC≡a S∆ABK=21 ABh1= 2

1 ah1 S∆BKC=ah2

S∆ABC=S∆ABK+S∆BKC=21 a(h1+h2) (1)

S∆ABC=a·h2. aqedan (1)-is gaTvaliswinebiT miviRebT, rom h1+h2=ha·(ha — fuZeze daSvebuli simaRlea da e .i . ∆ABC-sTvis madmivi sididea) . r .d .g .

22. ganv . ∆CKD ∠K=90° CK=

23

SABCD=2

3 1623

219

23

457

$ $+

= = =14,25.

S=14,25sm2.

23. KD= AD BC2 2

54 42212

6-

=-

= = . ∆CKD ⇒

CK=KD=6.

SABCD=2

54 42+ ·6=96·3=288.

pasuxi: S=288sm2.

24. CK≡h h2=172–x2=392–(44–x)2 ⇒ (44–x)2–x2=392–172 ⇒

⇒ (44–2x)·44 22 562 28

$= ⇒ 44–2x=28 ⇒ 2x=16 ⇒ ⇒ x=8.

A

B

60°

C

60°P 4

30°D

K

A

h1

K

h2

C

B

A

3sm

K

3

30°D

B C

A

3

K 45°

D

B C

17 39 17

A x

K D

B C

101

AD BC BC2 2

44&

- - =8 ⇒ BC=28. h2=172–82=9·25 ⇒ h=15.

AD BCh

2 244 28

15$ $+

=+ =36·15=540. S=540m2.

25. S∆ABC:S∆ACD=3:7 ⇒ BC:AD=3:7 ⇒ BC=3x da AD=7x.

3S x h

S x h SS

21

4 23ABCK

CKD CKD

ABCK&

$

$ $

=

==

3 3

p .

26. ∠K=90° ⇒ ∠A=∠D=45°. ∆CKD ⇒ CK=KD=5, CD=5 2 .

BC≡x. SABCD= x x2

10+ + ·5=45 ⇒ x+5=9 ⇒ x=4.

AB=CD=5 2 sm; BC=4sm; AD=14sm .

27. ab

hh

75

b

a= = ⇒ a=14sm; b=10sm .

28. 16·ha= 12·hb ⇒hh h x

h x43 3

4b

a a

b

&==

=. ha+hb=14 ⇒ 7x=14 ⇒ x=2.

ha=6m; hb=8m.

29. a=6; b=3. hc=h h

2a b+

a·ha=b·hb ⇒hh

21

b

a = ⇒ hb=2·ha

p ⇒ hc=

h23 a

6·ha=c·hc ⇒6· h ch

2

3a

a

$= ⇒ c=4.

30. PD≡x; AK=40–x h2=372–x2=132–(40–x)2 ⇒ 372–132=x2–(40–x)2 ⇒

⇒ 2450 405 6 4

$ = (2x–40) ⇒ 2x-40=30 ⇒ x=35. h2=132–52=8·18 ⇒ h=12.

S2

60 20ABCD =

+ ·12=480.

31. gamoviyenoT formula, rom mxebebiT Sedgenili kuTxe gamoiTvleba 180° — α, sadac αSesabamisi rkalis gradusuli zomaa .

32. rombis simaRle 4 sm-ia (300-iani kuTxis mopirdapire kaTeti) . am da analogiur amo-canebSi xazi unda gaesvas, rom paralelur wrfeebs Soris Caxazuli wrewiris radiusis sigrZe am paralelur wrfeebs Soris manZilis naxevris tolia .

A 3x K 4x D

B 3x C

B x

5

C 5 2 5 2

5

x A K 5 D

M

13

A

h h

40-x K

37

60 P x D

B C

102

35. AD=130°, CD=30°. radgan BD diametria, amitom

AB=180°–130°=50° da BC=150°.

α=2

50 30c c+ =40°.

36. radgan diagonalebs Soris kuTxe 60°-ia, e .i . diagonali did gverdTan adgens 30°-ian kuTxes, saidanac diagonalis sigrZe 2-jer metia mcire kaTetis sigrZeze da udris 2sm . magram diagonali tolia 2R, saidanac R=1m .

38. ABCD trapeciaSi AB+CD=BC+AD= P2ABCD =6, e .i . BC AD

2+ =3.

39. radgan SuamonakveTia 1 m . e .i . fuZeebis jamia 2 m . maSasadame, fuZeebis jamic 2 m-ia, e .i . ferdis sigrZea 1 m . simaRle 0,5 m . radiusi ki simaRlis naxevaria da tolia 0,75m .

40. r=9, e .i . ABCD trapeciis )BC||AD; AB⊥AD). AB=2r=18. Tu C wverodan AD-ze davuSvebT CK marTobs; CKD marTkuTxa samkuTxedSi (∠D=30°) CD=2CK=36.

BC AD AB CD2 2 2

18 36+=

+=

+ =27.

41. moc .: ABCD trapecia . AB=2r=12, radgan trapecia Semoxazulia AB+CD=BC+AD=36 . e .i . CD=24. Tu davuSvebT CK⊥AD miviRebT marTkuTxa samkuTxeds, sadac CK kaTeti CD hipotenuzaze orjer naklebia, e .i . ∠D=30°.

44. r=ON=OM=2 AC=3x+2; BC=2x+2. vwerT piTagoras Teoremas: (3x+2)2+(2x+2)2=(5x)2.

45. kaTetebia 20x da 21x, hipotenuzis sigrZes viRebT 29x . Semoxazuli wrewiris radiusia

R= x229 , xolo Caxazulia x x x

220 21 29+ - =6x, R – r= 17 . e . i . x=2.

46. tolferda trapeciis fuZeebi 36 sm da 100 sm, e . i . fuZeebis naxevarsxvaoba 32 sm-ia .

ferdi ki 2

100 36+ =68 sm . simaRles viRebT 60 sm, e . i . R=30 s .

Seamowme Seni codna:1. b); 2. a); 3. a); 4. g); 5. b); 6. d); 7. g); 8. b) .

130°

D

C

αB

A

50°

150°

65°

15°

15°

65° 30°

103

VII Tavi

1. albaToba da fardobiTi sixSire

reziume:

moswavles unda SeeZlos aucilebeli, SeuZlebeli da SemTxveviTi xdomilebis amocnoba . amoicnos mocemulis sawinaaRmdego xdomiloba, rom A da A xdomilobebi erTdroulad ar SeiZleba ganxorcieldes an ar ganxorcieldes . magaliTad, A=`kamaTlis gagorebisas 2-ianis mosvla~ da B=`4-is mosvla~ . xdomilobebi ar arian erTmaneTis sawinaaRmdego xdomilobebi, radgan Tu gagorda 3-iani, es niSnavs, rom arc erTi ar ganxorcielda . A-s sawinaaRmdego xdomiloba iqneba C= „1-is, 3-is, 4-is, 5-is an 6-is mosvla“ . moswavleebma unda dainaxon xdomilobis albaTobasa da fardobiT sixSires Soris kavSiri .


cda 1.

2 . (paragrafSi mocemuli savarjiSo) . a) ufro swori iqneba (ara maincdamainc swori) salomes varaudi . radgan am varaudidan Cans, rom „3“ da „4“, aseve „2“ da „5“ gverdebs, romlebic toli marTkuTxedebia, mosvlis erTnairi Sansi aqvT . zazas varaudiT „2“ da „5“ gverdebis mosvlis Sansi 0-ia, rac arasworia, xolo mirianis varaudiT ki, yovel gverds mosvlis Tanabari Sansi aqvs, rac aseve mcdaria .

cda 2.4. iseve, rogorc 1-el cdaSi, anas mosazreba iqneba mcdari . arasworia agreTve salomes mosazreba, radgan safasuris erTxel mosvla, niSnavs borjRalos 3-jer mosvlas . anu safasuris erTxel mosvlas eqneba iseTive Sansi, rac safasuris 3-jer mosvlas da sa-fasuris 0-jer mosvlas eqneba iseTive Sansi, rac safasuris 4-jer mosvlas . e .i . ufro swori iqneba giorgis mosazreba (ix . el . xdimilobaTa CamonaTvali imave gverdze) .

savarjiSoebi:

1. I mosazreba iqneba 4-qvianisTvis, radgan me-2, me-3, me-4 da me-5 gverdebs mosvlis erTnairi Sansi aqvT (toli marTkuTxedebia) .II mosazreba iqneba 6-qvianisaTvis .III mosazreba iqneba 8-qviani figurisTvis .

4. beqa: fn (A)=250

100177

5

2

$ ≈70,8%.

zaza: fn (A)=500

332100

5

$ ≈66,4%.

nika: fn (A)=750

470100

15

2

$ ≈62,6%.

104

Ibeqa:

II

TaviT dacema gverdze dacema TaviT dacema gverdze dacema

albaToba 70% 30% albaToba 71% 29%

Izaza:

II



Izaza:

II



6. a) A1 – luw nomerze;

b) A2 – 5-is arajerad nomerze;

g) A4 – isari gaCerdeba wiTel, TeTr, mwvane an cisfer ferze;

d) A3 .

7. a) xelSemwyobi xdomiloba iqneba, romelime ̀ tuzis~ kartis amoReba . sul 4 elementa-ruli xdomiloba . 3) 10 TeTriani monetis . g) xdomiloba amoRebuli birTvebia lurji da wiTeli ganxorcieldeba Tu amoviRebT birTvebs nomrebiT; 1 2; 1 4; 1 6; 2 3; 2 5; 3 4;3 6; 4 5; 5 6.

8. sss bbs bss bsb sbs sbb ssb bbb

9. a) A1 _ amoRebuli karti Savia. b) A4 _ amoRebuli karti ar aris tuzi. g) A1 da A5; A2 da A4; A3 da A6 . d) A3-s xels uwyobs 9 SemTxveva A4-s ki _ 4 . e .i . A3. A5-s xels uwyobs 18 elementaruli xdomiloba, A6-s ki _ 9 . e .i . A5.

10. kubis; wesieri tetratris .

11. a) (2a-2a-3)(2a+2a+3)=-3(4a+3); b) (m-3m+7)(m+3m-7)=(7-2m)(4m-7); g) m(n-1)-2(n-1)=(n-1)(m-2); d) 25(x4+4x2y2+4y4)=25(x2+2y2)2.

12. AB≡2x.

tx

602

1 = ; tx x x x50 70 350

121756

2 = + = = .

105

ganvixiloT sxvaoba t1–t2:

t1–t2=x x x x30 175

61050

35 36- =- <0 ⇒ t1<t2. adre Cavidoda pirveli .

13. a) 2 3 12

3 2 182 3 3 2<&

=

=o ; b) 2

2 20 80

6 3 10820 6 3<&

=

=o .

14. a) mniSvnelebSAi movxsnaT iracionaloba, miviRebT:

a)

1 1

2 1

2 1

3 2

3 2

4 3

4 3

5 4

5 4

6 5

6 56

2 3 2 4 3 5 4 6 5 6

-

-+

-

-+

-

-+

-

-+

-

-- =

= - + - + - + - + - - =-

;

b) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 33 2 12 4 3 3 6 2 4 6 0- - - - + - =- + - + + - = .

2. erTnairad mosalodnel elementarul xdomilobaTa albaTobareziume:

moswavlem unda SeZlos erTnairad mosalodnel xdomilobaTa albaTobis gamoTvla .


1. 1. (1) P(3)=61 ; (2) P(3)=

81 ; (3) P(3)=

121 .

2. a) P(a)=41 ; b)

41 ;

3. a) 361 ; b)

361 ; g)

91 ; d)

21 .

4. Tu pirvelad amovida aso ̀ n~, maSin SesaZlo sityvaTa raodenobaa 6 → ̀ nato~, ̀ naot~, `ntao~, `ntoa~, `noat~, `nota~ . e .i . yvela SesaZlo sityvebis raodenoba iqneba 4∙6=24 .

P(nato)=241 .

5. a) WeSmaritia, radgan sul 12 Tvea; b) mcdaria, radgan yvela adamiani wels ar aris dabadebuli . g) W; d) mcdaria .

6. (1) P(3)=71 ; (2) P(3)=

51 ; (3) P(3)=

31 .

7. a) 121 ; b)

31 ; g)

31 .

8. a) XY; XZ; XF; YX; YZ; YF; b) P(ZY)=21 .

ZX; ZY; ZF; FX; FY; FZ.

9. a) |x-5|<7 x∈(-2; 12).

5-7 5 5+7

A1 B A2

106

b) x∈(-∞;-2) (12; ∞).

g) x=2 an x=8.

10. a) x x x3

8 12

4 93

1<

+-

+ -

16x+2–12x–27<2–2x 6x<27

x<29 . x∈{1; 2; 3; 4}.

11. 5 3

6 4

a k

a nk n k n5 3 6 4

56

51

& &= +

= ++ = + = +o

6n=5m+4 → 4; 9; 14; 19; 24 ⇒ n=4; 4+5=9; 9+5=14. a1=6·4+4=28 a2=6·9+4=58 a3=6·14+4=88

ra Tqma unda, SesaZlebelia moswavle zepirad mixvdes romelime mTel amonaxsens, mag-aliTad, Cvens SemTxvevaSi n=-1. momdevno iqneba -1+5=4 da a .S .

12. a)x R

x 2>

d) x∈(2;∞);

b) x

x

0

1>

=

-) x=0.

3. albaTobis klasikuri ganmarteba

reziume:

moswavlem unda SeZlos elementarul xdomilobaTa erTnairad SesaZleblobis Sem-TxvevaSi, xdomilobis xelSemwyob xdomilobaTa CamoTvla da Sesabamisi albaTobis gamoTvla . icodes albaTobis Tvisebebi .


2 . a) 185 ; b)

183

61= ; g)

185 ; d)

1813 ; e)

187 ; v)

1811 ;

3. wiTeli burTebi davnomroT kenti nomrebiT 1 da 3. xolo TeTri luwiT _ 2 da 4. yvela SesaZlo elementaruli xdomiloba iqneba: 123; 24; 134; 234.

a) ori erTi ferisaa, yvela SemTxvevaSi . e .i . P=1;

-2 12 5 B

5-3 5 5+3 A1 B A2

107

b) erTi mainc TeTri iqneba yvela SemTxvevaSi: e .i . P=1;

g) 124; 234 → P=42

21= ; d) 123; 134 → P=

21 .

4. a) 5025

21= ; b)

5015

103= ; g)

5010

51= ; d)

507 ; e)

505

101= ; v)

5013 .

5. 1 2 3 4 5 6 Tu visargeblebT mocemuli cxriliT,a) j amSi xuTi SesaZloa movides oTx

SemTxvevaSi . e .i . P(5)=364

91= ;

b) P(5)=366

61= .

1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12

7. y=x+2 (1); y=2x+3 (2); y= x75 –1 (3); y=x+3 (4).

yvela SesaZlo elementaruli xdomilobebia:(1) (2); (1) (3); (1) (4); (2) (3); (2) (4); (3) (4).

a) ar eqneba amonaxseni (1) (4). e .i . P=41 ; b) P=

65 ; g) P=0.

8. bolo ori cifri SesaZloa iyos:

P=901

01; 02; ... 09;

10;12; ...19;

20; 21; ... 29;

90; 01; ... 87.

10

? _

`

a

bbb

bbb

6 7 8444 444

9. kamaTelze 1 2 an 2 1 mosvla sxvadasxva elementaruli xdomilobaa, amitom sworad Tengizi fiqrobs .

12. a) (x2–9)2≥0 (x+3)2≥0 ori arauaryofiTi ricxvis jami nuli iqneba, roca TiToeuli udris nuls .

e .i . ( 9) 0

( 3) 0

x

xx 3

2 2

2 &- =

+ ==-o) .

b) (x–3)2(x+3)2–(x+3)2=0 (x+3)2[(x-3)2–1]=0

x+3=0 an (x–3)2=1 x1=-3 x2=4 x3=2.

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f(n)361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361

108

14.

f:n → P(n) ar aris wrfivi .

VII Tavis damatebiTi savarjiSoebi

6. a) 109 ; b) nuli Sedis 10, 20, ... 90, 100. e .i . P=

10090

109= .

10. bbb bss a) 83 ; b)

87 ; g)

84

21= ; d)

81 .

bbs sbs bsb ssb sbb sss

12. isargebleT saxelmZRvaneloSi gv . 288-ze mocemuli cxriliT .

14. elementarul xdomilobaTa raodenobaa 20 .

P(35)=201 . (12; 13; 14; 15; 21; 22; ... 54).

16. a) 361 ; b)

364

91= ; g)

369

41= ; d)

3618

21= ; e)

3632

98= .

17. 1. erTi waxnagi eqneba SeRebili yovel waxnagze oTx kubiks . e .i . sul 4·6=24 kubiks .2. ori waxnagi eqneba SeRebili yovel wiboze or kubiks . e .i . sul 2·12=24 kubiks .3. sami waxnagi eqneba SeRebili wverosTan mdebare kubikebs . e .i . 8 kubiks . 4 . arc erTi waxnagi ar eqneba SeRebili 64–2·24–8=8 kubiks .

a) 648

81= ; b)

6424 ; g)

6424 ; d)

648 ; e) 0 .

21. SesaZlo elementaruli xdomilobebia:bbbb bbss bsssbbbs bsbs sbssbbsb sbbs ssbsbsbb bssb sssbsbbb sbsb ssss ssbb

• •

•

• •

1 2

• •

• •

• •

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

61

361

3

2 1

109

22.

sul SesaZlebelia 24 sityva . P(ani)=142

121= .

„ani“-s mosvlas xels ori SemTxveva uwyobs .

23. SesaZlo wyvilebia: (2; 5); (2; -2); (2; 12,25); (2; 8); (2; 9) (3; 5); ............................................................................ (5; 5); ............................................................................ (-3; 5); ........................................................................... (11; 5) .............................................................................sul aris 25 wyvili . aqedan y=x2 funqciis grafikis wertilis koordinatebia: (8; 9);

(5; 25); (-3; 9). P=253 .

VI Tavis testi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

g g g g a b g 31

241

494

121

10. 0 1 2 3 4 5 60 0 1 2 3 4 5 6

P(9)=494 .

1 1 2 3 4 5 6 72 2 3 4 5 6 7 83 3 4 5 6 7 8 94 4 5 6 7 8 9 105 5 6 7 8 9 10 116 6 7 8 9 10 11 12

11. y= x32

35- +

x 1 0 7 -2

amonaxsenia (7; -3). P=121

y 135 -3 3

n a i

n

a i i a n n

a i

n n i

n i n i n n

n

110

VIII Tavi

1. Talesis Teorema

reziume:

moswavleebi ecnobiani Talesis Teoremas da Teoremas proporciuli monakveTebis Sesaxeb . iswavlian monakveTis dayofas n tol nawilad, monakveTis gayofas mocemuli proporciiT .


1 da 2 amocanebi, zogadad, ganxilulia paragrafSi, amdenad moswavleebs unda SeeZloT monakveTis dayofa nebismieri konkretuli raodenobis tol monakveTad .

3. KBAK

BPPC= , saidanac PC

9 32= , e .i . PC=6.

4. CNDN

MBAM

52= = .

5. MN||AC ⇒ CN:NB=AM:MB. CN=30.

6. AKB kuTxis gverdebi gadakveTilia AB da MN paraleluri wrfeebiT, e .i . AM:MK=BO:OK=2:3 ⇒ AM=2x da MK=3x, e .i . AK=KC=5x. AM:MC=2:8=1:4.

7. a) S=600+100t; b) S=600–100t .

8. vTqvaT, unda Sekeron x palto . daxarjuli Tanxaa 60x+400 lari, gayidvebis Sedegad kiaiRes 120x lari . mogeba unda iyos 20% . e . i . aRebuli Tanxa unda iyos daxarjulis 120% .

( )xx

10060 400 120

120+

=

60x+400=100x40x=400x=10.

C

A

N

M B

B

N

CM

O

A

111

2. samkuTxedis biseqtrisis Tviseba

reziume:

moswavleebi gaecnobian samkuTxedis biseqtrisis Tvisebas . SeZleben am Tvisebis gamoy-enebas gamoTvliTi tipis da agebis amocanebSi .


4 . ACAB

35= AB=5x, maSin AC=3x, e .i . 8x+8=32. x=3. udidesi gverdia 15.

5. 3x=6 2x=9 da 3x=9 SemTxvevebi ar x=2 akmayofilebs samkuTxedis mesame gverdis sigrZea 10. utolobas .

6. kaTetebi iyos 3x, 4x. davweroT piTagoras Teorema .

8. Caxazuli wrewiris centri biseqtrisebis gadakveTis wertilia .

10. vTqvaT, daTos aqvs x lari, levans y lari, kaxas ki z lari, maSin

x+y=15,7 * y+z=12,8 x+y+z=20

I da II tolobebis Sekrebis Sedegad miviRebT: x+y+z+y=28,5, romelSic mesamis CasmiTmiviRebT, rom y=8,5, am ukanasknelis I da II-Si CasmiT ki — x=7,2 da z=4,3 .

pasuxi: daTos aqvs 4 lari da 30 TeTri, levans _ 8 lari da 50 TeTri, kaxas _ 7 lari da20 TeTri .

12. viangariSoT gaumuqebeli samkuTxedebis farTobebi da gamovTvaloT kvadratis farTobi .

3. samkuTxedis medianis Tviseba

reziume:

moswavleebi gaecnobian samkuTxedis medianebis Tvisebas . naxaven, rom samive medianisgavlebis Sedegad miRebuli eqvsive samkuTxedi toldidia . gaecnobian tolgverda samkuTxedSi Caxazul da masze Semoxazuli wrewirebis radiusebis gamosaTvlel for-mulebs .


1 . medianebi gadakveTis wertiliT iyofian 2:1 SefardebiT (wveros mxridan) .

4 . tolgverda samkuTxedSi biseqtrisebi, simaRleebi, medianebi emTxveva, amitom biseq-trisebis (rac igivea, medianebis) gadakveTis wertilic gverdidan daSorebuli iqneba misi sigrZis mesamediT .

2x

9

3x

6

112

6. centri mdebareobs didi fuZis Sua wertilSi .AB=CD ⇒ ΑB=CD=60°AB=CD=5. anu ΔACD.∠C=90° ∠A=30°, e .i . AD=10, saidanac R=5.

7. SAOM=SOMC=S (OM medianaa) . vaCvenoT, rom S∆ABO:SAOM=2:1 (BO:OM=2:1 da simaRle saerTo aqvT) .

medianebis Tvisebis gamoyeneba agebis amocanebSi.

a) avagoT CAA1 samkuTxedi sami gverdiT . CA1 sxivze gadavdoT A1B=A1C . A da B wertilebi SevaerToT .b) avagoT ADC samkuTxedi sami gverdiT . avagoT DC monakveTis C1 Suawertili. AC1 sxivzegadavdoT C1B=AC1 monakveTi . B da C wertilebi SevaerToT .g) avagoT ODC samkuTxedi sami gverdiT . am sakuTxedSi . gavavloT CA1 mediana . CA1 sxivzegadavdoT . A1B=CA1, xolo A1O sxivze ki OA=OA1 .d) avagoT OBA1 samkuTxedi sami gverdiT . BO sxivze gadavdoT OD=

21 OB, xolo A1O sxivze

OA=20A1 monakveTebi . gavavloT BA1 da AD sxivebi erTmaneTTan gadakveTamde . gadakve-Tis wertili aRvniSnoT C-Ti. A, B da C wertilebi SevaerToT .e) avagoT BOC samkuTxedi sami gverdiT . CO sxivze gadavdoT OC1= 2

1 OC, xolo BO sxivze

OB1= 21 OB monakveTebi . gavavloT CB1 da gadakveTis wertili aRvniSnoT A-Ti . A, B da C

wertilebi SevaerToT .

4. proporciuli monakveTebi wreSi

reziume:

mxebisa da mkveTis cnebebis gaxsenebis Semdeg moswavleebs vavalebT paragrafis dasawyisSi mocemuli amocanis amoxsnas, Semdeg vamtkicebT Teoremebs da varCevT paragrafSi garCeul amocanas .


1 . x2=3·48, saidanac x=12.

2. x(18–x)=18·4, saidanac x=6.

3. 4(2R–4)=8·8, saidanac R=10.

5. udidesi mkveTi centrze gadis 50(50–2R)=400, R=21.

6. mxebi — x, mxebis gare monakveTi x–8, Siga monakveTi — x+20.

B

A

C

D

A

B

C

O

M

113

x2=(x–8)(2x+12), saidanac x=12.

7. mxebi —2x, mkveTis Siga monakveTi 3x.4x2=(12–3x)·12 x=3.mxebi — 6sm .

VIII Tavis damatebiTi savarjiSAoebi

4. AMBM

AKKC

25= = AK=

72 AC=4. analogiurad PC=4, e .i . KP=6.

5. AKBK

12= . AK=x, KB=2x, e .i . AB=3x.

APBP

MCBM

1= = , e .i . AP=PB= x32 . BP:PK:AK= :

23

21 :1=3:1:2.

6. AB=6 3 R= AB2

3 =9. AO=OC= h32 =6.

OK=39 =3; PAOK=12+6 3 .

7. OK= BK4

. OK=r, e .i . BO=3r.

AKAB

13= AB=BC=3x. AC=2x.

8x=16 x=2.

9. gavataroT MF||CE||AK naxazidan Cans, rom BO:OM=3:3=1:1.

10. gavataroT MK||CN. KB:KN=BM:MC=3:2. KB=2t ⇒ NK=3t, magram AN:NK=5:1, e .i . AN=15t.

miviReT: NBAN

tt

515

13= = .

14. mxebi aRvniSnoT x-iT, amocanis pirobidan gare monakveTi iqneba a x2- ,

e .i . x a xa

22=

- .

2x2+ax–a2=0

P

A

K O

M

N C

B

A K

0

C

B

A K C

0

B

A

B C

D

K

F

MO

P

3t

2tt

3x

x

x

x2x

2y

y

E

A C

M

B

NK 2x

3x

5y

yO

114

x2+2· a4

x+ a a16 16

92 2

- =0

xa

49

1692

2

+ =` j , saidanac x= a2

.

15. mxebi — x. mkveTis Siga da gare monakveTebi Sesabamisad iqneba x–2 da x–4. miviReT:x2=(x–4)(2x–6), saidanac x=12.

19. mx(a+mx)=nx(b+nx).

x=n m

am bn2 2-

- .

Seamowme Seni codna:

1. a) 1; b) 9 3 ; 3. 10 . 4. g) . 5. 12 sm; 6 sm; 6. a2

.

mxa

b

nx

115

sakontrolo weris nimuSebi

sakontrolo wera №1

1. gamoTvaleT:

a) ( )

5

5 512

5 3 5

; b) 4 9

6 272 6

3 3

$

$ ; g) ( )

45 3

15 34 2

5 6

$

- .

2. dawereT mocemuli gamonaTqvamis sawinaaRmdego gamonaTqvami da daadgineT romelia maTgan WeSmariti gamonaTqvami .a)nebismier or wrewirs aqvs saerTo erTi, ori an arcerTi saerTo wertili;b) Tu a 3 da b 3, maSin (a+b) 3.

3. gaamartiveT da gamoTvaleT: x y

x y

15

252 3 4

3 6 2

- -

- -

^^

hh

, Tu x=3 da y=35.

4. daamtkiceT,rom iyofa 25-ze .


1. O centris mqone wrewirisadmi gavlebulia MN mxebi ise, rom MON=65°. ipoveT MON kuTxe .

2. tolferda samkuTxedSi, romlis fuZe 14sm, xolo perimetri 38sm-is tolia, Caxazu-lia wrewiri . ipoveT Sexebis wertiliT miRebuli monakveTebis sigrZeebi .

3. wrewirze aRebuli sami A, B da C wertiliT wrewiri iyofa SefardebiT 5:7:6 . ipoveT TiToeuli rkalis gradusuli zoma .

4. wrfidan 45sm-iT daSorebuli wertilidan gavlebulia ori daxrili romelTa Sefardebaa 1:3 . Uudidesi daxrili wrfesTan adgens 30°-ian kuTxes . ipoveT daxrilTa sigrZeebi .


1. ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba:

a) xx

35

-+ ; b)

x

x

8

42

2

+

+ ; g) ( )( )x x

x2 4

3- +

- ; d),

x

x

8

5 53-

+ .

2. savse auzidan pirvel saaTSi gavida mTeli wylis 2/5, semdeg saaTSi darCenili wylis 60% . wylis ra nawili darCa auzSi .

3. ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba, Tu a=–1/6 da b=–1/4:

a b b ab a ab4 25

10

5 2

1

4 10

52 2 2 2-

--

-+

116

4. amoxseniT gantoleba: x x

xx4

52

102

--

+=

5. amoxseniT utolobaTa sistema: ( )

( ) ( )

x x

x x

3 2 4 4 8

4 2 3 2 2 2

<

$

+ -

+ + +) .


1. SeasruleT moqmedeba: 2 5 7

2

2 5 7

2-

++

.

2. avtomobili qalaqidan B qalaqSi Cavida 60 km/sT .siCqariT, ukan dabrunda 50km/sT siCqariT . ipoveT avtomobilis saSualo siCqare mTel gzaze .

3. daamtkiceT,rom Tu a>0 da b>0.

( )a ba b1 1

4$+ +` j

4. daamtkiceT, rom gamosaxuleba mTeli ricxvia: 14 6 5 14 6 5+ + - .


1. dawereT wrfivi funqcia,romlis grafiki paraleluria y=3x+4 wrfis da gadis (2;5) wertilze .

2. ipoveTSemdeg wrfeTa gadakveTis wertilis koordinatebi: y=2x–4 da y=5x+5.

3. dawereT AB monakveTis koordinatTa saTavis mimarT simetriuli A1B1 monakveTis boloebis koordinatebi, Tu: A(2;3) B(4;8).

4. ipoveT gantolebis naturaluri amonaxsnebi: x2–y2=13.

5. ori ricxvis jami 160-is tolia,Tu pirvels SevamcirebT 20%-iT,xolo meores 25%-iT, maTi jami 125-is toil gaxdeba . ipoveT es ricxvebi .


1. n-kuTxedis yvela kuTxe tolia160°-is . ipoveT n .

2. EF monakveTi ABC samkuTxedis Suaxazia (EF||AC) . ipoveT S∆EFB, Tu S∆EFB=36sm2.

3. trapeciis diagonali trapeciis Suaxazs yofs or monakveTad romelTa Sefardebaa 7:4 . ipoveT trapeciis FfuZeebi, TuSuaxazi 55sm-ia .

117

4. wrewirze Semoxazuli oTxkuTxedis sami momdevno gverdis sigrZea 14 sm, 24 sm, 15 sm . ipoveT am oTxkuTxedis perimetri .

5. wrewirSi Caxazuli oTxkuTxedis sami momdevno kuTxis Sefardebaa 2:5:7 . ipoveT am oTxkuTxedis kuTxeebi .


1. ipoveT kamaTlis gagorebis dros martivi ricxvis mosvlis albaToba .

2. saTamaSo disko dayofilia 8 tol seqtorad da gadanomrilia 1,2,...8 . ipoveTalbaToba imisa, rom diskos datrialebis dros mova:

a)luwi ricxvi? B b)samis jeradi ricxvi?

3. avisroloT moneta samjer . ipoveT albaToba imisa, rom gerbi mova:

a) 0-jer, b) 1-jer, g) 2-jer, d) 3-jer .

4. amoxseniT gantoleba:

a) (x–5)2+(y+3)2=0; b) |x–2|+|y+3|=0.


1. marTkuTxasamkuTxedis kaTetebi 5 sm Dda 12-is tolia . ipoveT monakveTebi, romlebadac marTi kuTxis biseqtrisa yofs hipotenuzas .

2. urTierTgadamkveTi ori qordidan erTi iyofa Suaze, meore ki 7sm-is da 28sm-is tol monakveTebad .ipoveT qordebis sigrZeebi .

3. mzebis monakveTis sigrZe 4sm-ia,xolo imave wertilidan gavlebuli udidesi mkveTis sigrZe 10 sm-ia .ipoveT wrewiris diametris sigrZe .

4. wrewiris wertilidan mis diametrze daSvebulia perpendikulari . ipoveT am perpendikularis sigrZe,Tu diametris monakveTebia 2sm da 8sm .

matematika - old.eqe.geold.eqe.ge/uploads/grifireba/grifirebulebi_2012/... · 5 sesavali viii...

Documents