matematika i · 2018-09-27 · ciljevi ucenjaˇ. ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ....

Matematika IVrste funkcija

Katedra za matematiku, FSB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 38

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcijeVeza grafa funkcije i grafa njoj invernze funkcijeNeki poznati grafovi koji nisu grafovi funkcija


Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Vrste funkcijaPolinomiRacionalne funkcijeTrigonometrijske funkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcijeElementarne funkcije

2 Graf funkcijeGraf linearne funkcijeGraf kvadratne funkcijeGraf polinoma

3 Graf inverzne funkcije

4 Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija


Vrste funkcija Polinomi

Polinomi

Polinom:

y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,

kazemo da je stupnja n ako je an 6= 0.

Primjer.1 y = x2 +x +12 y = x100−13 y =−3x4 +

√3x2−πx +5.25


Vrste funkcija Racionalne funkcije

Racionalne funkcije

Racionalna funkcija:

y =P(x)Q(x)

,

gdje su P(x) i Q(x) polinomi.

Primjer.

1 y =2x +5x−3

2 y =3x +2

x2 +x +3

3 y =5x4 +

√7x2−πx +5

x3−2x +1


Vrste funkcija Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije:1 y = sinx2 y = cosx3 y = tgx4 y = ctgx


Vrste funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije

Eksponencijalne i logaritamske funkcije

Eksponencijalne i logaritamske funkcije: neka je a > 0, a 6= 11 y = ax

2 y = loga x


Vrste funkcija Elementarne funkcije

Elementarne funkcije

Elementarne funkcije su sve funkcije koje su gore navedene i one kojesu dobivene iz njih konacnim brojem primjena racunskih operacijazbrajanja, oduzimanja, mnozenja, dijeljenja, komponiranja iinvertiranja.


Graf funkcije

Graf funkcije

Graf funkcije y = f (x) u zadanom koordinatnom sustavu x ,y , cine svetocke (x ,y) za koje vrijedi y = f (x).Dakle sve tocke oblika (x , f (x)).

y

x0 x

f(x)(x, f(x))


Graf funkcije

Graf funkcije

Zadatak.Funkcija f je zadana grafom

y

x4

3

−1

Ocitajte vrijednosti: f (0), f (52), f (4), f (−1), f (−2).


Graf funkcije

Primjer 1.Je li zadani graf graf funkcije? Ako jest oznaci podrucje definicije tefunkcije.

Slika 1. Slika 2.

Slika 3. Slika 4.


Graf funkcije

Zadatak.Je li zadani graf graf funkcije? Ako jest odredi podrucje definicije tefunkcije.

-1 1

Slika 1.

-1 1

Slika 3.

Slika 2. Slika 4.

Slika 5.

Slika 6.


Graf funkcije Graf linearne funkcije

Graf linearne funkcije oblika y = ax +b (polinom 1. stupnja ) je pravac.

a < 0

y = ax+ b

a > 0

y = ax+ b


Graf funkcije Graf linearne funkcije

Zadatak.Skicirajte sljedece pravce:

1 y = 2x−32 y = 3−2x3 y = 4


Graf funkcije Graf kvadratne funkcije

Graf kvadratne funkcije oblika y = ax2 +bx +c (polinom 2. stupnja ) jeparabola cija je os paralelna s osi y .

a > 0

a < 0


Graf funkcije Graf kvadratne funkcije

Zadatak.Skicirajte sljedece funkcije:

1 y = x−x2

2 y = (x−1)2

3 y = x2−3x−44 y = x2 +x +1


Graf funkcije Graf polinoma

Polinom je funkcija oblika

y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,

an,an−1, . . . ,a1,a0 ∈ R, an 6= 0. Prirodni broj n se naziva stupanjpolinoma.




y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,

an,an−1, . . . ,a1,a0 ∈ R, an 6= 0. Prirodni broj n se naziva stupanjpolinoma.Ako je n paran broj, n = 2,4,6, . . .

an > 0 an < 0




y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,

an,an−1, . . . ,a1,a0 ∈ R, an 6= 0. Prirodni broj n se naziva stupanjpolinoma.Ako je n neparan broj, n = 1,3,5,7, . . .

an > 0 an < 0



Zadatak.Skicirajte grafove funkcija, kao na prethodnom slide-u

1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3




1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3

Rjesenje.

y = 4x3 − 2x2 + 1




1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3

Rjesenje.

y = −3x4 + x




1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3

Rjesenje.

y = x− x2 − x3



SPECIJALNO: n = 2,4,6,8

y = x2

1

1




y = x4

1

1




y = x6

1

1




y = x8

1

1




y = x2

y = x4

y = x6

y = x8

1

1




y = x

1

1

−1

−1




y = x3

1

1

−1

−1




y = x5

1

1

−1

−1




y = x7

1

1

−1

−1




y = xy = x3

y = x5

y = x7

1

1

−1

−1



Uocimo sljedece svojstvo prethodnih polinoma:

Funkcija y = xn za parne eksponente n ima svojstvo y(−x) = y(x);

Zato svaku funkciju f koja ima svojstvo f (−x) = f (x) nazivamo parna.



Funkcija y = xn za neparne eksponente n ima svojstvo y(−x) =−y(x).

i svaku funkciju f koja ima svojstvo f (−x) =−f (x) nazivamo neparna;



Zadatak.Koja je od sljedecih funkcija (ne)parna?

Slika 1. Slika 2. Slika 3.

Rjesenje.1. parna, 2. neparna, 3. niti parna niti neparna.



Zadatak.Nadopunite graf funkcije f tako da:

Slika 1.

f je parna f je neparna

Slika 2.

f je parna

Slika 3.

f je neparna

Slika 4.



Rjesenje.Nadopunite graf funkcije f tako da:

Slika 1. Slika 2.

Slika 3. Slika 4.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 24 / 38


Primjer.

Skicirajte graf funkcije y =1x

Rjesenje.

1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 x → 0+ onda y →+∞

4 x → 0− onda y →−∞



Primjer.

Skicirajte graf funkcije y =1

1+x2

Rjesenje.1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 vrijednost funkcije je

najveca za x = 0, onda jey = 1

1



Zadatak.Skicirajte grafove funkcija:a) y = 1

x−1 b) y = 1x2 .

Rjesenje.

a)b)


Graf inverzne funkcije


x = f−1(y)

y = f(x)




Ima li svaka funkcija y = f (x) inverz x = f−1(y)?NE, kako donja slika pokazuje.



Primjer.

Pokusajmo invertirati funkciju f (x) = x2.

Rjesenje.

y = x2 =⇒ x =±√y . (2 funkcije)

yx = −√y x =

√y

y = x2



Suzavanje domene omogucava invertiranje:

Ako je f : [0,∞)→ R, f (x) = x2, onda je f−1(y) =√

y .

Ako je f : (−∞,0]→ R, f (x) = x2, onda je f−1(y) =−√y .



Zadatak.Nadite parove inverznih funkcija

Slika 1. Slika 3.

Slika 2. Slika 4.

Slika 5.

Slika 6.



Zadatak.Za funkciju sa slike skicirajte inverznu funkciju (ako postoji)



Rjesenje.



Rjesenje.Nema inverznu jer



Rjesenje.


Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija


Kruznica radijusa r s centrom u ishodistu (x2 +y2 = r2):

r




Elipsa s poluosima a i b(

x2

a2 +y2

b2 = 1)

:

a

b




Hiperbola s poluosima a i b(

x2

a2 −y2

b2 = 1)

:

a

b


matematika i · 2018-09-27 · ciljevi ucenjaˇ. ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ....

Documents