MATEMATIKA BISNIS

PROGRAM STUDI MANAJEMEN/AKUNTANSI

UNIVERSITAS PGRI ADI BUANA SURABAYA

Dosen : Permadina Kanah Arieska, S.Si, M.Si

SILABUS MATERI DERET

DERET (Pertemuan 3 dan 4)Deret HitungDeret UkurBunga MajemukAplikasi Deret pada Bisnis dan Ekonomi

DERET

4

DeretDeretDeret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara

teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan

pembentuk sebuah deret dinamakan suku.

DERET Deret ukur

Deret hitung

Deret harmoni

DERET

Deret berhingga

Deret tak terhingga

Deret dilihat dari jumlah suku Deret dilihat dari segi pola perubahan bilangan pada suku

5

DeretDeret Deret hitung (DH)

Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu.

Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yaitu selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.

Contoh:1) 7, 12, 17, 22, 27, 32 (pembeda = 5)2) 93, 83, 73, 63, 53, 43 (pembeda = - 10)3) 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 (pembeda = 2)

6

DeretDeret Suku ke-n dari deret hitung

Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui sebuah rumus.

a : suku pertama atau S1

b : pembedan : indeks suku

Sebagai contoh, nilai suku ke-10 (S10) dari deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 adalahS10 = a + (n - 1)b S10 = 7 + (10 - 1)5 S10 = 7 + 45 S10 = 52.

Suku ke-10 dari deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 adalah 52.

Sn = a +(n-1)b

7

DeretDeret Jumlah n suku deret hitung

Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya, sejak suku pertama (S1 atau a) sampai dengan suku ke-n (Sn) yang bersangkutan.

Menghitung jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu n, terdapat empat bentuk rumus yang bisa digunakan

Jumlah deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 sampai suku ke-10 adalahJ 10 = 10/2 (7 + S10)J10 = 5 (7 + 52)J10 = 295

n

1iin SJ b1-n2a

2

nJ n

nn Sa2

nJ b1-n

2

nnaJ n

Jika Sn belum diketahui

8

DeretDeret Deret ukur (DU)

Deret ukur ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.

Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku di depannya.

Contoh5, 10, 20, 40, 80,160 (pengganda = 2)512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda = 0,5)2, 8, 32, 128, 512 (pengganda = 4)

9

DeretDeretSuku ke-n dari DU

Rumus penghitungan suku tertentu dari sebuah deret ukur:• Sn = apn-1

a : suku pertama p : pengganda n : indeks suku

Contoh • Nilai suku ke 10 (S10) dari deret ukur 5, 10, 20, 40, 80,160

adalah S10 = 5 (2)10-1

S10 = 5 (512) S10 = 2560

• Suku ke 10 dari deret ukur 5, 10, 20, 40, 80,160 adalah 2560

10

Deret Jumlah n suku deret hitung

Jumlah sebuah deret ukur sampai suku tertentu adalah jumlah nilai sukunya sejak suku pertama sampai dengan suku ke-n yang bersangkutan.

Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni:

Jika p <1, penggunaan rumus yang di sebelah kiri akan lebih mempermudah perhitungan. Jika p >1, menggunakan rumus yang di sebelah kanan.

Contoh:Jumlah n suku dari deret hitung 5, 10, 20, 40, 80, 160 adalah

1 -p

1)a(pJatau

p1

)pa(1J

n

n

n

n

51151

5(1023)J

1 -2

1)5(2J

10

10

10

11

Deret dalam Penerapan Ekonomi Model Perkembangan Usaha

Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha (produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal) bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya.

Model Bunga MajemukModel bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus

simpan-pinjam dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung; misalnya, besarnya pengembalian kredit di

masa datang berdasarkan tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima di masa datang.

Model Pertumbuhan PendudukPenerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah

dalam hal penaksiran jumlah penduduk. Sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur.

12

Deret dalam Penerapan Ekonomi Model Perkembangan Usaha Contoh

Sebuah perusahaan jamu “roso" menghasilkan 3.000 bungkus jamu pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu meningkatkan produksinya sebanyak 500 bungkus setiap bulan. Jika perkembangan produksinya tetap, berapa bungkus jamu yang dihasilkannya pada bulan kelima? Berapa bungkus yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?

Diketahui:a = 3.000 S5 = 3.000 + (5 - 1)500 = 5.000 b = 500n = 5

Jumlah produksi pada bulan kelima adalah 5.000 bungkus, sedangkan jumlah seluruh jamu yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut 20.000 bungkus.

20.0005.0003.0002

5J5

Sn = a +(n-1)b nn Sa2

nJ

13

Deret dalam Penerapan Ekonomi

Model Bunga Majemuk Jumlah di masa datang dari suatu jumlah sekarang

adalah Fn = P(1 + i)n

P : jumlah sekarangi : tingkat bunga per tahun n : jumlah tahun

Nilai sekarang (present value) dari suatu jumlah uang tertentu di masa datang adalah:

F : jumlah di masa datangi : tingkat bunga per tahun n : jumlah tahun

F

i1

1P

n

14

Deret dalam Penerapan Ekonomi Model Bunga Majemuk Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak Rp 5 juta

untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikannya pada saat pelunasan?

Dikteahui:P = 5.000.000n = 3 i = 2% = 0,02

Penyelesaian:F = P (1 + i )n

F = 5.000.000 (1 + 0,02)3

F = 5.000.000 (1,061208) F = 5.306.040

15

Deret dalam Penerapan Ekonomi

Model Bunga MajemukTabungan seorang mahasiswa akan menjadi sebesar

Rp.532.400 tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10% per tahun, berapa tabungan mahasiswa tersebut pada saat sekarang ini?

F = 532.400 n = 3 i = 10% = 0,1

P = 400.000Jadi besarnya tabungan sekarang adalah Rp. 400.000,00.

F

i1

1P

n

532.400

0.11

1P

3

16

Deret dalam Penerapan Ekonomi

Model Pertumbuhan PendudukPt = P1 R t-1

Dimana R = 1 + r

Pi : Jumlah pada tahun pertama (basis) Pt : Jumlah pada tahun ke-t r : persentase pertumbuhan per tahun t : indeks waktu (tahun)

17

Deret dalam Penerapan Ekonomi Model Pertumbuhan Penduduk

Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat per tumbuhannya 4% per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5%, berapa jumlahnya 11 tahun kemudian ?

Pt = P1 R t-1 Dimana: R = 1 + r P1 = 1 juta P tahun 2006 = P16 = 1 juta (1,04)15

r = 0,04 = 1 juta (1,800943) R = 1,04 = 1.800.943 jiwa

P1= 1.800.943 P 11 tahun kemudian = P11 r = 0,025 R = 1,025 P11 = 1.800.943 (1,025)10

P11 = 2.305.359 jiwa

KERJAKAN SOAL-SOAL DIBAWAH INI !

1. Perusahaan minuman “ Segar Buana ” menghasilkan 2400 botol minuman pada bulan pertama produksinya. Dikarenakan kelemahan dalam bersaing dengan perusahaan lain, produksi berkurang sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika penurunan produksi berlangsung konstan, berapa botol minuman yang dihasilkan pada bulan ke empat? Berapa botol minuman yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut ?

2. Besarnya penerimaan PT. Buana Sejahtera dari hasil penjualan barangnya Rp 720 juta pada tahun ke lima dan Rp 980 juta pada tahun ke tujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan penerimaannya per tahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun ke berapa penerimaannya sebesar Rp 460 juta ?

18

Lanjutan ……….

3. Pabrik sepatu “Buana Jaya”memproduksi 12.000 pasang sepatu pada tahun pertama operasinya. Namun karena situasi perekonomian yang tidak menguntungkan, produksinya terus menyusut 400 pasang setiap tahun. Berapa produksinya:a. Pada tahun ketiga ?b. Pada tahun kelima belas ?c. Berapa yang telah diproduksi sampai dengan tahun kesepuluh ?

4. Perusahaan “ Buana Keramik” memproduksi 10 (dalam ribuan) keramik pada bulan pertama operasinya. Karena situasi perekonomian yang bagus, produksinya terus meningkat setiap bulan seperti deret ukur dengan pembanding 2.

a. Berapa produksi pada bulan ke sepuluh ? b. Berapa jumlah yang telah diproduksi sampai dengan bulan kesepuluh ?

19

Lanjutan ….

5. Orang tua saudara menabung di Bank pada saat saudara berumur 5 tahun sebesar Rp 100.000,- dengan bunga majemuk sebesar 16 %/tahun . Untuk bisa kuliah orang tua saudara mengambil simpanan tersebut sebagai biaya sumbangan pendidikan pada tahun 2013. Berapa uang yang diterima orang tua saudara ?

( catatan : tuliskan tahun lahir saudara )

6. Seorang nasabah meminjam uang di Bank sebanyak 5 juta rupiah untuk jangka waktu 3 tahun dengan tingkat bunga 2% pertahun. Berapa jumlah seluruh uang yang akan dikembalikan pada saat pelunasan? Seandainya perhitungan pembayan bunga .bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, berapa jumlah yang harus dikembalikan ?

20

Lanjutan ..

7. Dina ingin jalan-jalan ke Brunei pada ulang tahun ke 21, 25 bulan yang akan datang. Perkiraan biayanya Rp 6.600.000 untuk tiket dan akomodasi, dan Rp 1.000.000 untuk fiskal. Jika saat ini ia sudah memiliki uang Rp. 2.800.000, berapa Dina harus menabung tiap bulannya ?

8. Gusta memiliki hutang sebesar Rp 1.000.000 dengan bunga 7 % per tahun. Jka ia berniat melunasi hutangnya setelah 2.5 tahun menunggak, berapa besar jumlah yang harus ia bayar?

21