matematika 4.razred srednje skole

Click here to load reader

Post on 18-Nov-2014

379 views

Category:

Documents

31 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Zbirka resenih zadataka iz matematike za 4. razred srednje skole

TRANSCRIPT

1INTEGRALIZADACI (I DEO) Ako je f(x) neprekidna funkcija i F `(x) = f(x) onda je( ) ( ) f x dx Fx C = +, gde je C proizvoljna konstanta. Morate nauiti tablicu osnovnih integrala: 211. 2. 23. najee se koristi...114.lnili da vas ne zbuni ln5. ln6. 7.sin cos8.cos sin9.nnxxx xdx x Cxxdx Cxx dx Cndxdx x C x Cx xaadx Cae dx e Cxdx x Cxdx x C+= += += ++= + = += += += += + + 222 2 22 2 21 sin110. cosili1 1 111.to jest1arcsin ili1 112.to jest arcsin1dx ctgx Cxdx tgx Cxarctgx Cxdx dx arctg Carcctgx C x a x a ax Cxdx dx Carccocx C ax a x= += ++= = + + + ++= = + + Ovo su osnovni tablini integrali.Neki profesori dozvoljavaju da se kao tablini koriste i : 2 2 2 2 22 2 22 2 21 1 1 113.lnodnosno ln to jest ln1 2 1 2 214.ln 1 odnosnoln 1dx x dx a x dx x aC C Cx x a x a a x x a a x adx dxx x C x x a Cx x a+ + = + = + = + += + + = + + www.matematiranje.com 2 Primeri: 1. 5 1 655 1 6x xx dx C C+= + = ++kao 3. tablini 11nnxxdx Cn+= ++ 2.77ln 7xxdx C = +kao 5. tablini lnxxaadx Ca= + 3. xdx = pogledamo i vidimo da ga ovaj integral nema u tablici osnovnih integrala... Ideja je da se kod ovakvih integrala iskoristi pravilo za stepenovanje 12, odnosno nm nmx x x x = = . Na ovaj nainse integral svede na najee upotrebljavanitablini 11nnxxdx Cn+= ++. Dakle: 1 3 3112 2 2221 3312 2x x xxdx xdx C C C+= = + = + = ++ 4. 121dxx= I ovaj ga nema u tablici...Za njega emo upotrebiti pravilo za stepenovanje, da je 1nnxx= ...

12 1 111212 111 112 1 11 11x xdx x dx C C Cx x + = = + = + = + + Najbolje je da se mi podsetimo svih pravila za stepenovanje i korenovanje: 1)10= a 2) nnaa1=

3) n m n ma a a+= 4) n m n ma a a= :5) n m n ma a= ) ( 6) n nb a b a = ) (7) nnnbaba=

8) n nabba= www.matematiranje.com 31) nmn ma a =2) n n nb a b a = 3) n n nb a b a : : =4)( )n mmna a =5) m n n ma a=6) m pan pn ma = Nastavimo sa primerima 5. 3x xdx = Upotrebimo pravila za stepen i koren da pripremimo podintegralnu funkciju : 1 1 411 33 3 34 7 7143 3 33 334 7713 3x x x x x xx x xx xdx xdx C C C++ = = = = = + = + = ++ 6. 51 5 35 3 55 3 3ln3xxx x xxdx dx dx C = = = + 7.

78 2 3 4 3 7 4 48?"Spakujemo" podintegralnu funkciju x x x dxx x x x x x x x x x x x== = = = = 7 15 15178 8 8887 151518 8x x xxdx C C C+= + = + = ++ Da se upoznamo i sa osnovnim svojstvima neodredjenog integrala: 1)( ) ( ) gde je A konstanta (broj) A f x dx A f x dx = Dakle, slino kao i kod izvoda, konstanta (broj)izlazi ispred integrala... www.matematiranje.com 4 Primeri: 8. 33 34 ?4 4 4x dxx dx x dx== = 44x4C x C + = + 9. 1?41 1 1 1ln4 4 4dxxdx dx x Cx x== = + 10. 2 sin ?2 sin 2 sin 2 ( cos ) 2 cosxdxxdx xdx x C x C == = + = + 2)[ ( ) ( )] ( ) ( ) f x gx dx f x dx gx dx = Opet slino kao kod izvoda: Ako imamo zbir ili razliku vie funkcija od svake traimo posebno integral... 11.22 223 2 32(4 2 3) ?(4 2 3) 4 2 3konstante izbacimo ispred integrala... 4 2 3 4 + 2 3 4 + 33 2 3x x dxx x dx x dx xdx dxx dx xdx dxx x xx C x x C+ =+ = + == + = + = + 12.323 32 21 4 23(5cos 2 2 5 ) ?3 sin1 4 23 1 1(5cos 2 2 5 ) 5 cos 2 4 23 2 53 sin 3 sin15sin3x xx x x xx e x dxx xdxx e x dx xdx e dx x dx dx dxx x x xx+ + + =+ + + = + + + == + 452 4ln 23( ) 24 ln5xxxe x ctgx C + + + www.matematiranje.com 5 13. 32?xdxx= Kod ovog i slinih integrala emo upotrebitiA B A BC C C= 2 3 2 33 3 32 1 3 12 2( ) ( 2 ) 2 =22 1 3 1

x xdx dx x x dx x dx x dxx x xx xC + += = = + + + 21 1Cx x= + + 14. 1 12 5?10x xxdx+ = Da prisredimo najpre malo podintegralnu funkciju... 11 1 11 15 52 22 5 2 2 2 1 5 1 1 15 52 210 10 10 10 10 5 10 5 5 2x xxx x x xx x xx x x x+ = = = = 1 12 5 1 1 1 1 1 1[2 ] 210 5 5 2 5 5 21 11 1 1 1 5 22 21 15 5 2 5ln ln5 2x x x xx xxx xx xdx dx dx dxdx dx C+ = = = = = + 15. 22?1xdxx=+ Ovo je tip integrala koji najlake reavamo malim ''trikom'' ( dodamo 1 i oduzmemo 1) 2 2 2 22 2 2 21 1 1 1 11 1 1 1x x x xdx dx dx dxx x x x+ + += = =+ + + + 21 x +221111dx dxxdx dx x arctgx Cx+= = ++ I ovde e nam trebati znanje iz trigonometrije. Da se podsetimo nekih najvanijih formula:www.matematiranje.com 6 Osnovni trigonometrijski indetiteti 1) 1 cos sin2 2= + 2) cossin= tg3) sincos= ctg 4)1 = ctg tg Adicione formule sin( ) sin cos cos sincos( ) cos cos sin sin( )11( )tg tgtgtg tgctg ctgctgctg ctg + = ++ = ++ = + =+ ctg ctgctg ctgctgtg tgtg tgtg+ = += + = = 1) (1) (sin sin cos cos ) cos(sin cos cos sin ) sin( Polovina ugla 1. 2cos 12sin =ili 2 21 cos 22sin 1 cosodnosnosin2 2xx= = 2. 2cos 12cos + = ili 2 21 cos 22cos 1 cos odnosnocos2 2xx+= + =3. cos 1cos 12 + = tg4. cos 1cos 12 + = ctg Transformacije zbira i razlike u proizvodDvostruki ugao 1. 2cos2sin 2 sin sin += +1. cos sin 2 2 sin =2. 2sin2cos 2 sin sin += 2. 2 2sin cos 2 cos =3.2cos2cos 2 cos cos += +3.2122tgtgtg=4. 2sin2sin 2 cos cos + = 4.ctgctgctg2122=5. cos cos) sin( = tg tg6. sin sin) sin( = ctg ctg www.matematiranje.com 7 16. 2 22 22 22 2 2 22 22 2 2 22cos 2?treba nam formula cos 2 cos sinsin coscos 2 cos sin rastavimo na dva integrala...sin cos sin coscos sin...sin cos sin coscosxdx x x xx xx x xdx dxx x x xx xdx dx skratimox x x xx= = = = = 2 2sin cos x x 2sin xdx 2sin x22 2 i dobijamo dva tablina integrala...cos1 1sin cosdxxdx dx ctgx tgx Cx x= = + 17. 2 22 22 22 2 2 2 2 22 22 2 2?treba nam formula sin cos 1sin cos1 1 sin cosuz dx je 1, zar ne?=rastavimo na dva integrala...sin cos sin cos sin cossin cossin cos sin codxx xx xdx x xdx dxx x x x x xx xdxx x x= + = += = = + 22...ssindx skratimoxx=2sin x22coscosxdxx+2 2sin cos x x 2 2 i dobijamo dva tablina integrala...1 1cos sindxdx dx tgx ctgx Cx x= = + + 18. 222 2 2 2 222 22 2 2?sin

cossin kako jesin cos 1 sin 1 cos , pa je cos1 cos 1 cos =cos cos costgxdxxOvde koristimo tgxxxtgxdx dxxdx dxx x x === = + = = = 21cosdx dx dx tgx x Cx= = + www.matematiranje.com 8 19. 218 2?3 1xdxx = Probamo da sredimo podintegralnu funkciju, ako nee, mora se koristiti neki drugi trik( druga metoda)... 2 22 (3 1)18 2 2(9 1)3 1 3 1xx xx x = = (3 1)3 1xx+2(3 1) 6 2 x x = + = + Sad je ve lake... 2 2218 2(6 2) 6 2 6 2 3 23 1 2x xdx x dx xdx dx x C x x Cx = + = + = + + = + + 20. 2 24?2(2 ) (2 )4 2 ( ) (2 )(2 )2 2 2xdxxx xx x x xx x x=+ + += = =+ + +2 x +123 31 12 22 22 24 2(2 ) 2 2 233 22x xx x xdx x dx dx xdx x C x Cx= = = = = + = ++ www.matematiranje.com 1INTEGRALIZADACI ( II DEO) INTEGRACIJA POMOU SMENE Ako uvedemo smenu ( ) x gt onda je`( ) dx g t dt i poetni integral( ) f x dx postaje: ( ) ( ( )) `( ) f x dx f gt g t dt Za poetak evo jednog saveta: za smenu birati izraz iji je izvod uz dx. Smena ustvari, prosto reeno, znai da u datom integralu neto (recimo )izaberemo da je t. Od toga nadjemo izvod i to zamenimo u poetni integral, koji je sada sve'' po t ''.`tdx dt . Primeri: 1 22?12xdxx Vidimo da uz dximamo izraz 2x.Razmiljamo od ega je izvod 2x ?Znamo da je 2( )` 2 x x ito emo izabrati kao smenu. Jo je pametnije da uzmemo ceo izraz 212 x da nam bude smena jer je izvod od konstante 0. [2( 12)` 2 x x ] 22212 2ln kad reimo integral 'po t' , 12 2onda vratimo smenu i dobijamo reenje 'po x' =ln 12x t xdx dtt Cx t xdx dtx C 2 23?1x dxx I ovde slino razmiljamo, izvod od 31 x je 23x i to je pogodno za smenu, al ta emo sa onom trojkom? Ne brinite, znamo da konstanta uvek moe da ide ispred integrala po pravilu( ) ( )A f x dx A f x dx koje smo objasnili u prethodnom delu ( integrali zadaci I deo). 32332 211 1 13ln ln 11 3 3 3 33dtx tx dx dtt C x Cdtx t t x dx dt x dx www.matematiranje.com 23 1?5dxx Ovaj integral lii na tablini 1ln dx x Cx ali umesto x u imeniocu imamox + 5. Zato je pametno ba taj izraz uzeti za smenu : 51 1ln ln 55x tdx dt t C x Cdx dt x t Vezano za ovakve integrale moemo izvesti jedan zakljuak: 1ln dx x a Cx a 4 31?( 5)dxx Ovaj integralje slianprethodnom, ali pazite jer u imeniocu je stepen izraza pa on ne ide u ln. 3 133 3 2 251 1 1 1( 5) 3 1 2 2 ( 5)x ttdx dt t dt C C Cdx dt x t t x 5 2sin cos ? x xdx Uz dx imamo cosx, a kako znamo da je izvod od (sinx)`=cosx , jasno je da e to i biti smena. 3 32 2sinsinsin coscos 3 3x tt xx xdx t dt C Cxdx dt 6 32?xe x dx 3 3322 21 1 13 3 3 3 33x t t t xx tdte x dx e e dt e C e Cdtx dx dt x dx www.matematiranje.com 3 7 ? ctgxdx Ovde najpre moramo upotrebiti identitet cossin xctgxx , pa tek onda uzeti smenu: sincosln ln sincos sinx tx dtctgxdx dx t C x Cxdx dt x t 8 2?1arctgydyy Vidite i sami da se bez znanja izvoda teko moe razumeti metoda smene, zato vam savetujemo da prvo njih dobro obnovite pa tek onda da se probate sa integralima( fajloviizvodi zadaci I,II IIIdeo) 2 222( )11 2 21arctgy tarctgy t arctgydy tdt C Cdy dt yy 9

26?4x dxx Ovde uz dx imamo 2xI znamo da je izvod od 3 2( )` 3 x x a u imeniocu nemamo 3x . Zato emo mi malo prepraviti imenilac da bi dobili 3x 32 26 3 2 2 22 2134 ( ) 4 4 3 4 33dtx tx dx x dx dtdtx x t t x dx dt x dx Ovde emo upotrebiti tablini integral2 21 1 tdx arctg Ca t a a ali moramo najpre odrediti a. = 32 2 21 1 1 1 13 4 3 2 3 2 2 6 2dt dt t xarctg C arctg Ct t www.matematiranje.com 4 Kad smo ve upotrebili ovaj tablini integral , ako se seate, mi smo pomenuli da ne dozvoljavaju svi profesori da se on koristi. Pa da vidimo kako smo mi njega reili metodom smene: 10 2 21 1 xdx arctg Ca x a a TABLINI Dokaz: 2 2 2 2 2 22 2 21 1 1 1 1 1 1[1 ][1 ( ) ] [1 ( ) ]xtadx dx dx adtx xdx a x a a t aadt dx adta aa a221[1 ]1 1 1 1[1 ]dttxdt arctgt C arctg Ca t a a a 11 21?25dxx Ovde je dakle samo problem odrediti vrednost za a. 2 2 21 1 1[ovde je dakle=5] 25 5 5 5xdx dx a arctg Cx x Slina situacija je i sa : 12 2 21arcsin xdx Caa x TABLINI Dokaz: 2 22 2 2 2