matematika 3 razred gimnazije banja luka

Post on 01-Jun-2018

235 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    1/270

    . : III

      1

    Маака IIIа ћ а ај

    Рак Вкћ, . 

    2012-13. .. . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    2/270

    . : III

      2

    Садржај 

    I  .................................................................................................................. 5 

    1.  ......................................................................................................... 5 1.1.  ................................................................................................ 5 

    1.2.  .......................................................................................... 7 1.3.  ............................................................................................ 8 1.4.  ......................................................................................................... 9 1.5.  .......................................................................................................... 10 

    2. ............................................................................................................ 12 2.1.  .............................................................................................................. 13 2.2.  ........................................................................................ 14 2.3.  ...................................................................................................... 16 

    3.  .......................................................................................................................... 17 

    3.1.  .......................................................................................................... 17 

    3.2.  ................................................................................................................ 20 4. () ....................................................................................................... 21 

    4.1.  .............................................................................................. 22 4.2.  ...................................................................................................... 22 4.3.  ....................................................................................................... 23 4.4.  .................................................................................. 23 

    5.  ........................................................................................................................ 24 5.1.  .............................................................................................................. 25 5.2.  ............................................................................................................ 27 5.3.  ................................................................................................................. 29 

    II  ...................................................................................................................... 31 

    6.  ...................................................................................................................... 32 6.1.  .............................................................................................. 32 6.2.  ............................................................................................ 34 6.3.  ...................................................................................... 35 6.4.  ......................................................................................................... 37 

    7.  ................................................................................................................. 38 7.1.  ........................................................................................ 39 7.2.  ........................................................................................ 41 

    8.  ............................................................................................... 45 8.1.  ................................................................................................................. 46 

    8.2.  ..................................................................... 47 

    8.3.  ..................................................................... 48 9.  ................................................................................................ 50 

    III  ............................................................................................................. 57 10.  ..................................................................................................................... 58 

    10.1.  .................................................................................................. 59 10.2.  ............................................................................................ 61 10.3.  ............................................................................................ 63 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    3/270

    . : III

      3

    11.  ........................................................................................................................ 65 11.1.  ........................................................................................... 67 11.2.  ............................................................................................... 72 11.3.  .............................................................................................. 74 

    12.  ..................................................................................................... 76 

    12.1.  ............................................................................ 77 

    12.2.  ........................................................................... 79 13.  ...................................................................................................................... 82 

    13.1.  ............................................................................................. 83 13.2.  ............................................................................................. 85 

    IV  ....................................................................................................... 91 14.  .............................................................................................. 91 

    14.1.  .................................................................... 91 14.2.  ........................................................................ 95 14.3.  ............................................................................................. 99 

    15.  ...................................................................................................... 102 

    15.1. 2.  ................................................................................... 102 

    15.2.  ........................................................................... 107 16.  ................................................................................................................ 114 

    16.1.  .......................................................................................... 114 16.2.  ........................................................................ 118 16.3.  ....................................................................... 123 

    17.  ............................................................................................................... 127 17.1.  .......................................................................................... 127 17.2.  ........................................................................................ 132 

    V  ................................................................................................................ 137 18.  ....................................................................................................... 137 

    18.1.  ..................................................................................... 138 18.2.  ............................................................................................ 140

     

    18.3. ........................................................................................... 144 18.4.  ................................................................................. 151 18.5.  ............................................................................. 153 

    19.  ........................................................................................... 157 19.1.  ............................................................................................ 157 19.2.  ........................................................................ 158 19.3.  ....................................................................... 160 

    VI  ........................................................................................... 165 20.  ............................................................................................................. 166 

    20.1.  .................................................................................... 166 20.2.  ........................................................................................ 170

     

    20.3.  ............................................................................................ 175 21.  .................................................................................................................. 179 

    21.1.  .......................................................................................... 180 21.2. .............................................................................................. 183 

    22.  .............................................................................................................. 190 22.1.  ...................................................................................... 190 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    4/270

    . : III

      4

    22.2.  .......................................................................................... 193 23.  ............................................................................................................ 199 

    23.1.  .................................................................................... 200 23.2.  ....................................................................................... 207 

    VII  ..................................................................................................................... 213 

    24.  ..................................................................................... 213 

    24.1.  ............................................................................................... 213 25.  ................................................................................................... 224 

    25.1.  .......................................................................................... 225 25.1.  ......................................................................................... 226 

    26.  ....................................................................................... 228 26.1.  .................................................................................... 229 26.2.  .............................................. 232 

    VIII  ............................................................................................................. 236 27.  ...................................................................................................... 236 

    27.1.  .............................................................................................. 237 

    27.2.  ............................................................................................... 240 

    27.3.  ......................................................................................................... 245 27.4.  ............................................................................................................. 249 27.5.  ......................................................................................... 251 

    28.  ........................................................................................... 257 28.1.  .................................................................................. 258 28.2.  ........................................................................................ 261 28.3.  .................................................................................................... 265 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    5/270

    . : III

      5

    I  

    1.     . 

    c

    a

     sin , c

    b

     cos , tg   = b

    a

    , ctg  = a

    b

    .

       : 

    1cossin   22      , tg   = 

     

    cos

    sin, ctg   =

     

     

    sin

    cos,

          cossin   , tg   = ctg   . ђ 

    21

    1cos

    t  ,

    21

    sint

    t

      ,  

    t = tg  , 0-90  +.

    1.1.  

      I  .       . 

    1.1.1.

    1.  : )  ; )  . 

    2.    , : 

    30  45  60 

    sin2

    2

    2

    cos2

    2

    2

    tg3

    3  1 3  

         , . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    6/270

    . : III

      6

     sinAD  - ,

     cosOA  - , 

    CD = tg   - , 

    DE = ctg   - , 

    OC = sec    cos

    1  - , 

    OE = csec    sin

    1  - . 

    , : 

    AB = versin   = 1 –  cos  ,

    BC = exsec   = sec   - 1.

    a, b  c ABC  ,      . r R.

     1.1.2.  . 

    Rcba

    2sinsinsin

        

     

    :  , ABC 

    2R = A1C.  A1BC 

    , 1  BC

       . R

    a

    2sin     , . R

    a2

    sin

     .

    Rb 2sin

      

      Rc 2sin

     

    ,

    1.1.3.  : 

     cos2222 bccba   ,

      cos2222 accab   ,

     cos2222 abbac   .

    :  , h = CD

    ABC c x y.  

    22222 xbyah   , xcy     22222 )2( xbxcxca     cxcba 2222 .  cosbx ,

    . , . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    7/270

    . : III

      7

    1.2. Ј  

    , .

    1( ) . 

        ,           . 

    OA = cos   -  , OF = sin   - , BC = tg   , ED = ctg  .

       (BG)      

    (BOG)  . 2   6,28319,

    360. 2  = 360.   = 180,  902

     ,

     603

     ,  45

    4

     ,  30

    6

     , .  . 

    OB, OG . ( BE)

    0 2

      

    , II   2

      

       , III   2

    , IV 2

      2 . , II , , . 

      (x) f(-x) = f(x).    (x) f(-x) = -f(x). , , . 

    1.2.1.

    1.       : 

      I II III IV

    sin + + - -cos + - - +

    tg + - + -

    ctg + - + -

    2.          , . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    8/270

    . : III

      8

    3.  , . 

    :  

    DAC  .   ? 

    1.3.  

    1.3.1.   , :

                sincoscossin)sin(   .

    AD

    EDGE

    AD

    GD)sin(       

    AD

    EDBC

    AD

    CD

    CD

    ED

    AD

    AC

    AC

    BC         sincoscossin   . 

    1.3.2.  ,   : )              sincoscossin)sin(   ;

    )              sincoscossin)sin(   .

    2

    1R ,    (

    1.3.)   a sin , b  sin   c  sin .

      ;  AEO: cc

    2 / 1

    2 / sin  , . 

    ,          coscos abDBADc  

    ( )          cossincossin   .      sinc     ))(sin(        

    )sin(       , . )  ()   ))(sin(       

      )sin(cos)cos(sin                    sincoscossin   ,

    , . 

    1.3.3.  , :             sinsincoscos)cos(   ,

    , . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    9/270

    . : III

      9

    :  ,   ))(2

    sin()cos(      

         

      ))2

    sin((      

           

        

    cos)2

    cos(cos)2

    sin(           sinsincoscos   .

      ))2sin(()cos(     

     

              

     

       

     

    sin)2cos(cos)2sin(           sinsincoscos   . 

    1.3.4.    :

    )    

          

     tgtg-1

     tgtg)(tg

    ; ) 

       

          

     tgtg1

     tgtg)(tg

    .

    1.4.  

        ( -)  .

    , xx 2

    21

        , . 

    1.4.1. 

    1.  : 

    )        cossin22sin   ; )        22 sincos2cos   ; )  

      

    2tg1

     tg22tg

    .

    2.  : 

    )        sin3sin43sin  3

    ; )        cos3cos43cos  3

    .

    3.  : 

    ) 2

    cos1

    2sin

           ; ) 

    2

    cos1

    2cos

           ;

    1.4.2.  2

    tg 

    t   : 

    ) 21

    2sin

    t

    t

      ; ) 

    2

    2

    1

    1cos

    t

    t

      ; ) 

    21

    2 tg

    t

    t

      .

    :  ,

    2

        , ta 2 , 21 tb   ,

    222 cba     21 tc   .  , 

    1.4.3.

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    10/270

    . : III

      10

    1.  : )  )sin()sin(cossin2              ; )  )sin()sin(sincos2              ;

    )  )cos()cos(coscos2              ; )  )cos()cos(sinsin2              .

    :    )sin()sin(           )sincoscos(sin)sincoscos(sin                   cossin2 , . 

    2.  :

    ) 2

    cos2

    sin2sinsin       

        

    ; ) 2

    sin2

    cos2sinsin       

        

    ;

    ) 2

    cos2

    cos2coscos       

        

    ; ) 2

    cos2

    sin2coscos       

        

    .

    :  yx  , yx      

    2

    cos2

    sin2         2

    )()(cos2

    )()(sin2   yxyxyxyx   )cos(sin2 yx

    yxcossin2     )sin()sin( yxyx        sinsin   , . 

    1.5. Ј 

    Ј  ( -) . ,

    . , 532   x    ,

      1x .

    1.5.1.  : 

    ) 2

    2)60sin(   x ; ) 

    2

    1)

    6cos(  

      x ;

    ) tg(x –  30) 3 ; ) ctg3

    3)

    4(  

     x .

    : )  () ђ 707,02

    2  

    () ( ). ()

    ђ 45  135.     + 60 = 45,      + 60 = 135. () k ,   . ,   : 

      + 60 = 45 + k 360   + 60 = 135 + k 360.     360151   k x     360752   nx  (k,nZ). ) ,  

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    11/270

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    12/270

    . : III

      12

    222222cossin

    ba

    cx

    ba

    bx

    ba

    a

    .

    22 ba

    a

     

    22 ba

    b

       ,

    1.  cos22

      baa ,  sin

    22

      bab ,

    22cossinsincos

    ba

    cxx

         , . 

    22)sin(

    ba

    cx

      .

    , 1122

    ba

    c.

    , 1. 

    1.5.5.  ABC 5

    4sin     , 135sin      .

     cos  2 tg 

    , . 

    :    ))(cos(cos            )cos(          )sinsincos(cos        

     

      

     

     

      

     

    13

    5

    5

    4

    13

    12

    5

    3

    65

    56

    65

    2036

    .

    3

    4 tg       

    3

    4

    1

    22 

    t

    t ( 1.4.2.),

     2

    tg 

    t , 0232   2   tt  

     2

    1t   2t . ,

    2

    1

    2 tg    

    .

    2.   

    a b  P = ab. . 

      baP       haP       ahP2

    1  

    .   :

    1.  , 2.  , 3.  . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    13/270

    . : III

      13

    2.1.  

    ABD CBE

    , B. AB:AD = BC:CE, . c:ha = a:hc . a:b:c =hc:hb:ha , .

    2.1.1.  ABC:

    222

    cba   hchbhaP 

    .

    2.1.2.    sin cha ,   sin2

    acP  

    .

    , ђ . 

    2.1.3.    : 

    ))()(( csbsassP   ,  2

    cbas

       .

    , ( 1.4.) ac

    bca

    2cos

    222

        

       sin2

    1acP      2cos1

    2

    1ac  

      222222)(4

    4

    1bcaca

        )(2)(241   222222

    bcaacbcaac     2222

    )()(4

    1

    bcacab

      ))()()((4

    1bcabcacabcab   ))()(( csbsass   . 

    2.1.4.  . 

    2.1.5. R

    abcP

    4 , R . 

      ( 1.3.)   2.1.2.

    2.1.6.  rsP   , r , s  . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    14/270

    . : III

      14

    :  ABC (. )

    ABO, BCO CAO, cr2

    1,

    ar

    2

    1  br

    2

    1, rs. 

    2.1.7.  a = 5, b = 7,   = 30.

    AB1C AB2 C, .

    , c   sin bh = 7/2. ,

          sinsin

    ba , .   30sin

    7

    5sin   = 0,7.

      1 = 44,427º   2 = 135,573º. 180, ,

    1 = 105,573º 2 = 14,427º. ,

          sinsin

    ca   c1 = AB1 = 9,63289 c2 = 2,49146. ,

    , P1 2

    1  hc  

    = 16,85756 P2 = 4,36006.

    2.1.8.  ? 

    :   = 180 -   -    = 45.

      

      

    sin2

    sinsin2 b

    P    34,5.

    2.1.9.  : ) 5, 5, 6; ) 5, 5, 8.

    :  12, . 

    2.2.  

    .   , , , , . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    15/270

    . : III

      15

    2.2.1.  n- (n = 3, 4, 5, …) a.

    :  ,  ()  n- R

     r.   

    n

      

      2 .

    :n

    aR

       sin

    2 ,

    n

    ar

       ctg

    2 .

    n- n

    naPn

     ctg

    4

    2

    .

    4

    32

    3

    aP     2

    4  aP   .

      , 4

    36

    2

    6

    aP   .

    2.2.2.      .)  ђ . )  .)  . 

    : ) 

    72. ђ

    36. ђ

    108.

    )    36ctg4

    5   2

    5

    aP ,

    510254

    2

    5    a

    P    1,72048a2 .

    )  ,  d AD, AC  BD. : AFD  BCF.

    xad   ,   xaad ::   , .

      022   aadd ,

      ad  

    2

    5112 .

      , .2

    51:

      ad .

       .   ( 1,61803).

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    16/270

    . : III

      16

    2.2.3.  . 

    :   

    :   228

      abP  2

    2

    22aaaa

      

       , . 

    )21(2  2

    8     aP    4,82843a2.

       ( 2.1.1.): 

    8 ctg2   28 

    aP   ,

    2122,5ctg   .

    2.3. Ч 2.3.1.   d1  d2  

     sin2

    214  

      ddP ,    ђ

    AC = x + y BD = u + v  .

    ABCD ABE, BCE, CDE

    DAE. )sin(2

    sin2

    )sin(2

    sin2

    4              vxyvuyxu

    P ,

     sin)(2

    14   vxyvuyxuP        sin)()(

    2

    1xyvyxu      sin))((

    2

    1vuyx   ,

      . 

    2.3.2.    . , ђ . . 

    2.3.3.    .  ,

    180. , ,

      . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    17/270

    . : III

      17

    2.3.4.    . 

    2.3.5.    .  . 

    , , . 

     2.3.6. 

    1.  . 

    2.  a, b h,

    hbaP  

    2 .

    3.  a, b ababP     sin .

    3 .          . , , .  : k –   ABC ( );r –   (AQ);

    AB –  ; t –  ; 

       –   (AQB);

       –   (ACB);

       –   ђ (ABt);l –   (AlB);AQBl –  () ; ABl –  () ; 

    ђ,

    , . hdr   , h .

    3.1.  

     rs 2 .

     2rP   ,

    r ,   = 3.14159... . ?   (    r2 ).

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    18/270

    . : III

      18

    3.1.1.    „“: 

    ?    , :

    ,

    rlP   , r .  , 

     l       rl ,        2rP   . 

     rl  ,    .  

     2

    2

    1rPI   ,

     

         sin2

    1

    2

    1   22rrPPP IO     ,

    P   ABQ   ;    

     . 

    3.1.2.     R2   n-. 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    19/270

    . : III

      19

    :  ,...}5,4,3{n . a

    P   n- (

    2a)      l

    P    bP   n-

    ( 2b), .  :

    bla   ,    sin Ra ,  tg Rb , R 

    , n

          

    n- .  n . , 

         tgsin     RlR ,

         cos

    1

    sin1  

    R

    l. n

    n

         

    , 1cos     . ,  sin  Rl .

    ,   1R      

     ,     sin . ,nn

      sin .

          

    Rn

    Rnn

    Rnnl 22sin22   . 

    3.1.3.  . 1 . ? 

    :   rl 2 , r .  RL 2 , R .

    1 lL , 122          rR , . 2

    1 rR   16 cm,  

      . 

    3.1.4.  13, 14  15 . . 

    :  , 84

    P cm2.

    865

    4

    RabcR = 8,125.

     2RPo     207,39;   PPP o   123,39 cm2.

     3.1.5.  ђ . . . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    20/270

    . : III

      20

    :  r = a. , O1  O2      A  B. O1O2A O1O2B

    . AO1B = 1203

    2     . 

    AO1B 3

    2

    2

    1   2    aPI

      ,

    AO1B 4

    32aP   ,

    BO2A    PPP Io

     

      

     

    4

    3

    3

    2    a    0,61418 a2.

    2Po  1,22837 a2. 

    3.1.6. 

    . ђ . . 

    3.2.  

      (AB) (k).     (t)  (k ), .

      (r)  (O)  (A). . 

    (AOC =  ) 

     (AOB =  ) (AC) ђ

    (ABt =  ). ,

    (180).

    3.2.1. : 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    21/270

    . : III

      21

    )  ; )  ; )  ; 

    )  ђ ђ   . 

    : )  ,  AOB, BOC COA

     . COA 

    , .  1 = 2 2.  1 = 2 2,

      = 2  . )  180.)  , .

       =  1 +  2 

    ACD  BCD . )  , .

    3.2.2.  ,    . 

    :  PAD PBC

    ,  (BD A + C =

    180  BAD +DAP = 180)

    PA PB = PC  PD. 

     3.2.3.    p = PA PB   p = OP

    2  –  r

    2.

      P r O  OP2  –  r2.

    4.  ()  .

    ( ) , . . ()

    , . . , .  ,  ().    . 

      , , . .  .

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    22/270

    . : III

      22

     , . , .    ( ) .  ( ) . ,

     ().

    , (), .  . , ,  () ,   .  () .

    4.1.   

    1.  ђ :) ; ) ; ) 50; ) 100;

      ( )?

    2. :) ; ) ; ) 50; ) 100;  , ? 

    3.  , . . 

    4.  () . . ? 

    5.  () () A, p.

    6.  A  B  p.    AC + BC .

    4.2.  

    1.  :I.   a  b  c, ђ

    , . a||c  b||c a||b.II.   a  b ђ ,

       ,   , . a||b  a||   b|| .

    III.              

    ђ , .  ||      ||     ||  .

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    23/270

    . : III

      23

    IV.             T,  p,  t , . 

     ||p    ||p  T t       t||p.

    2.  ,

    . !

    3.  , , , . ! 

    4.  , , ђ . ! 

    5.  ,   . ! 

    6. :I.   T  p  t p.

    II.  A     || .III.  . IV. 

    4.3.  

    1. :I.  ,

    II. 

    ( ) (1.I.).

    2.  , . ! 

    3.  , , .

    4.  , , , . .! 

    5.  . 

    6.  . 

    4.4.  

    1.  . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    24/270

    . : III

      24

    2.  , , 12 13, 5 : 9.   ђ ? 

    3.  AB  A’ψ’   A +1,

    B  +4. AB.

    4.  AB  A’ψ’  [ A’ (+2), ψ’ (-3)]. AB.

    5.  ABC ,  A’ψ’ω’    AA’  = 1 cm, ψψ’  = 2 cm, ωω’  = 3 cm.

    6.  ABCD   A’ψ’ω’D’    AA’  = 1 cm, ψψ’  = 2 cm, ωω’  = 3 cm.   D.

    5.

     

          . , .

       ђ . 

       . 

      . 

    , n  д3, 4, 5, …жђ  p1, p2, p3, …   S  p1Sp2 , p2Sp3 , p3Sp4 , … ,    n- .

       n-    ,

    . , , ( ) . . 

      . , , . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    25/270

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    26/270

    . : III

      26

    :  ,  MNPQ ABCD MQ  PN ABD BCD. , MQ  PN

     , MNPQ. 

    , ,   . 

      . 

     5.1.3.          1   2 

     (O)  (p).

    :  ,  O A1A2, B1B2  C1C2,   M, N P   , . c1c2,

    a1a2  b1b2, p =  1   2.

    OA1A2  OB1B2 ђ   M,

    (c1c2). M

     1 ( A1B1C1),  2 ( A2B2C2) OA1A2B1B2. , N P

       1  2, . p.

    , : M, N P   p,    .

    M, N P .   AB ( A1A2B1B2), BC  CA , A1A2, B1B2  C1C2. 

    5.1.4. . )  ABC CDA   . BD = a, ? 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    27/270

    . : III

      27

    )   ABCD  ADEF .

    90, CAE ђ ? 

    : )  , DE  ACD    

    2

    3ah  ,

    BDE BEDhhha     cos2   2222 , . 

    3

    1cos   BED ,  BED = 70,53.

    . )  ,

       2ad   . AE, AC CE. ACE  ,

     = CAE = 60.

    5.2.    .  .   , . 

    5.2.1.  !

    :  ,  ABC 

         Oxyz .  p O    P. p Ox,

    Oy, Oz  ,   ,   

    A1, B1, C1  .    

    p   

    Ox Oxyz,     BC.

      АА1  . , BB1  CC1  , P  . 

    ,

    , . ,  

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    28/270

    . : III

      28

    : „“, „“,„“, „“ , „ , , , “. 

    5.2.2.  , , ђ . 

       , : A1OB1 > A1OB1.

    , sin N1OB1 = 1

    11

    OB

    NB

    2

    22

    OB

    NBsin N2OB2   

    N1OB1 > N2OB2, . A1OB1 > A1OB1. 

     5.2.3.  . 

    :  Oxyz , yOz, xOz  xOy  ,      .

      +    >  .

    180,    . , Ou

         zOu =   . A, B, C  D x, y, z  u OA = OB

    = OD, „“ (COD  COA)

    ђ OD = OA.  ABC, . BC + CA > AB BD = BC + CD> AB. OBD OAB , ,

    .  (4.2.2.) BOD > BOA,   +    >  . 

    ,         , . 

    (5.2.3.)    . 

    .  , Sabc, aSc 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    29/270

    . : III

      29

    . SD ,

    cSD = cSb. SB  B SB =SD. B  D S. C  Sc, . 

     DC  BC (BCS  CDS). ABC |AC| < |AB| + |BCе, . |AD| + |DC| < |AB| + |BC|. |AD|

    < |ABе ASD xOy.

    yOz +zOv +vOx,

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    30/270

    . : III

      30

    vOx +xOt = vOt, tOy + yOz =tOz vOt + tOz +

    zOv > xOy + yOz + zOv + vOx,    . 

     5.3.3.  360.

    :  n > 3 (4.3.2.) n –  1 . , .

    !   . 

    Sabc c1  S Sc.

     Sabc1   ( 4.2.3.) aSb < aSc1 + bSc1.

    bSc + aSc , ,

    , .aSb + bSc+ aSc < 360, . 

      ђ. 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    31/270

    . : III

      31

    II   (: που   –  ; ο  –  , ) ђ      . , ,  .  .  . 

    10 , 16 , 8 .  : 

    22 , 45 , 25 . 

    : 12 , 30 , 12 . 

    : 20 , 48 , 24 . 

     (www.wikipedia.org )  (),  ( ). : , ,   .

    http://www.wikipedia.org/http://www.wikipedia.org/http://www.wikipedia.org/http://www.wikipedia.org/

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    32/270

    . : III

      32

    6 .     . . : 

       ђ .

      ,   .

       . , . 

       .    : ,  ,  

    .    .    () . ,   , a, b  c.   . 

         

    26aP    3aV    

    acbcabP 222    

    abcV    MBP   2  

    BhV    

      (  n-) (n ).  . 

    6.1.    

    6.1.1. ( ) . ( ). 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    33/270

    . : III

      33

    :  A C1   M     BC.

    6.1.2.  ђ .

    :   x ђ AD1  DC1,  . ђ. , ђ

    AD1       ,   (DC1). AD1 || BC1  AD1 || BC1D,     ђ, D1 

       (. BC1D).

    D1O    . OB DC1   E. ,

    E  DC1, BC1D

    2a . BD1   3a .

    .

    BD1E 2

    6aBE  ,

    2

    21   aED    

    31   aBD   .

    ,

    D1BE , E.,  

    BEBD

    EDBEBDBED

    1

    2

    1

    22

    1

    12

    cos  

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    34/270

    . : III

      34

    2

    632

    22

    33

    22

    2

    aa

    aaa

     23

    4 . ,  = BEDBDOD 111   sin  

    3

    3a .♦ 

    6.1.3.  DB1  BD1   ABCDA1B1C1D1  . ђ  AC1  BD1.

    :  , DB1  BD1   S. BB1D1D , .

    AB = a.

    2aBD  , 21  aBB   .

    aBDDB 211   .

    S

    , aAC 21   . SA = SB, ASB

     . ASB = 60, .

    ђ  AC1  BD1. 

    6.1.4.  AB1D1  BDC1  A1C ABCDA1B1C1D1  . 

    :  , S  ,  M  N

    A1C  AB1D1  BDC1. , S  , AB1D1  BDC1  . MS = SN. , A1S = SC A1M = NC. ђ, M  AC1A1 

    SAMA 113

    2   CA1

    2

    1

    3

    2   CA1

    3

    1 .   NC  MN ђ

    A1C. , . 

    6.1.5.  . . 

    6.2.  

    B, M P P = 2B + M.

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    35/270

    . : III

      35

    5.2.1. (, 2003.) 10 30 .

    :  ,

    .    30 ,

    4 / 230    10,6 . 10

    30 . 

     6.2.2. (, , 1994.)     8 6,   13. . 

    6.2.3. (џ, , 1992.)

    120. 16 14. , 20. 

     6.2.4.  32,  40. . 

    :  MBP   2   )(2

    1MPB     4)3240(

    2

    1 . ,

    4, a = 2. aHM 4 ,

    48

    32

    4 a

    M

    H . 

    6.2.5.  13 , 14 15 , 26 . . )  . )  . 

    6.2.6.  289,  17. . 

    6.3.  

     (1598 –  1647)  . ђ   .   (Geometria indivisibilibus continuorum nova) 1635.     ,       , ( 480 – 525.). (Arithmetica ifinitorum, 1655)

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    36/270

    . : III

      36

    ,      . 

    :   ,

    , , . 

    , a1  a2 , a p

    F1  F2 ђ , . 

     :

    , ,

    ,  .

    ,  1   2 ,

      

       F1  F2 ђ ,  . 

    (wikipedia.org) .

    6.3.1. 

      .  hBV   .

    :  ,    h

     ,  F1   F2,

     1 =  2.    ||

       .

       1    1  , .  1 

    =   2. ,     F1  F2.  

     =  .

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    37/270

    . : III

      37

    6.4.  

    5.4.1. (mathforum.org) .  . 45 . ? 

    :  n . n –  2 (n –  2)3  . , 45,

    (n –  2)3  45. n –  2  3, . n  5. ,

    45 , n3  45, . n  4. n  4 5.

    n = 4. 23 = 8 45 –  8 = 37 . 43  –  23 = 56. 37 56 , 56 –  37 = 19 . ,

    , , . 4

    2 = 16 ,

    19 . 16 16, , 12 . 19, n = 4.

    , n = 5. , : 125, 27, 98, 18, 80. 25 , 80 , 4 . 5 , ,

    9 , 27 45. 4 , , , . , 12 + 9 = 21 , 27 , 45. , 9 + 9 = 18 , 27 , 45.

    , 5 4

    , . 

    6.4.2.  4,

    9, 10 17. . 

    :    9, 10 17,

    a : b : c = 9 : 10 : 17.   k a 9 , k b 10   k c 17 ,  k    .

    Bcsbsass     ))()(( , s = 18k, .   48918     k k k k  . 9

    1k  ,   

    9H , BHV   = 36. 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    38/270

    . : III

      38

    6.4.3.  H = 20, d =21. :) ; ) ; ) . 

    : )  204

    3413   V   355,07; ) 4120 = 820; )  2130,42.

    6.4.4.  D = 14,    

    641   d   372  d .

    :  2222 Dcba   , 2122 dca    

    2

    2

    22dcb     2

    1

    22dDb    

    2

    2

    22 dDa   , b = 10, a = 7,

    47c  . bcacab 222    

    4734140   373,09.     4770 abcV   479,90 . 

    6.4.5.      АА1, BB1  CC1  ABCA1B1C1    А0 , B0  C0. ABCA0B0C0  pAAAA   10  : , qBBBB   10  :   rCCCC   10 : .

    :  H, B V  , ABCA1B1C1,   h BC   ABC.   ,  А0  BB1  CC1  B2  C2  ABCA0B0C0   ABCA0B2C2   B2B0C0C2A0. ,

    hCCBB

    AAPV ABC  

    23

    1   020201  

    a

    Pa

    prHpqHpHP   ABCABC

    2

    2

    )()(

    3

    1

     

    3

    rqpHPABC

    ,

    )(:3: 1   rqpVV   . . 

    7 .    (n = 3, 4, 5, …) ђ V (Vp1 , Vp2 , …, Vpn ) , n- . V , ,

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    39/270

    . : III

      39

      .  .

       –  . Ј   

    . . 

       , . .

    , . .  ,  . , . .

    , , .  n- . 

    n- n- . , ,. 

         . 4-

    225 , 137 ( 147 ).  

    5150'.    2 583 283  6,25 .  , (  - „ “).

    7.1.   

    7.1.1.  , : 1.  ; 

    2. 

    ; 3.  ђ . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    40/270

    . : III

      40

    :  T, A1,A2, A3, ..., An  , S.

    A1ST,A2ST, A3ST, …, AnST ( )  

    ( ). A1S = A2S = A3S = … = AnS. , S  , .

    ђ . 

    7.1.2.  . ( , 1965.) 

    .      Vabcd  ABCD. . ? 

       А   Va .   

     А  Vdc , AB || DC. ,     Vbc,  AD || BC., ABCD  . ,

     

    .♦ 

     7.1.3. 1.  2,

    7 .

    . .

    2.  a, 2a 2a.  a H. .

    3.  20, 21 . . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    41/270

    . : III

      41

    4.  10 24. 5 . . 

    7.2.  

    7.2.1.  . 

    .  ABCA1B1C1  .  ( ), .

    ABCC1,AC1A1B BB1C1A1  . 

      ABC,  ђ

    ACC1.  AC1A1       . ! 

    , ђ BC1C A. BB1C1  .    . , ! 

    , . ђ, . . , .♦ 

    BHV3

    1 , B

    H . , h –   , . .

      , () ,   H h.

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    42/270

    . : III

      42

    7.2.2.  ,       ,    R.

      .

    .      

    AD, BD  CD , DO  ABC.

      AOD H = R·tg . ABC

     sin2Ra   ,   sin2Rb   .

    ),(sin2

    1baabPABC    

    )sin(sinsin2   2            R ,  

    HPV ABC3

    1   )sin(sinsin

    3

    2   3            R tg  . ♦ 

    7.2.3.  ,

    s.        . . 

    .  , ABCD a b.   EF.

    ABE  

    BCE  cos2sa   ,   cos2sb   .

          22 coscos    sAF ,

          22 cossin    sEF .

    ,

             223 cossincoscos3

    4   sV .♦ 

    7.2.4.    H   a. :

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    43/270

    . : III

      43

    1.  22

    10

    55aHs  

    ;

    2. , .

    22

    20

    525aHh  

    ;

    3. 

    5254

    52545   22

      

      

    Haaa

    P ; 

    4.  5102512

    1   2   HaV .

    :   ABCDE ,   a, , , R = OB r = F1O.

    BF1 = a/2 BF1O OB 54њ,

    54cos2

    aR  

    2

    ar   tg 54°.   

    4

    55236sin54cos

     

    tg 54° = ctg 36° = 

    5

    5255   ,  

    10

    55  aR  

    5

    525

    2

     ar , . aR     85065,0   ar     68819,0 .

    OBF  , 22 RHs   ,

      (1.) . F1FO 22

    rHh   ,  (2.) .  ,

    BCO , BCF. ,2

    52

    5   aharP    

    r h (3.) . ,   

    Har

    V    

      

     

    25

    3

    151025

    12

    1   2   Ha .♦ 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    44/270

    . : III

      44

    7.2.5.  a  .   ,

     . a)  . )    = 60њ .

    .    , AFG   ,

    , CDG     . GG1   H , GG2   h ,   ABCDEF a.

      ,  

    ()  2

    3at  

    .

    )  G1G2G  

    G1  h. 321   aGG   .

    , 3aH   tg  , 32

    3aV   tg  .

    )    = 60њ , tg   360     aH 3 . , h

     sin

    3ah  , . ah 2 . a

    31GGn    BC je 

    a  

    t, .4

    33an  ,

    BCG (  

    DEG), 221   nHh    

    194

    31     ah .

    , ABG ( EFG) 4

    3

    2

    1 atm     222   mHh  

    4

    372

    ah   .

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    45/270

    . : III

      45

     2

    22

    222

    21   ahahahaHM    

      

      .

         2

    36

    2a

    B   , )19331910(4

    2

     a

    P ,  

    2

    14aP 

    . ♦ 

    7.2.6. 1.  ђ . 4, 8 9 m2.

    [16 m3]

    2.  45њ, d. . 

    [   3

    4

    2d ]

    3.   

    60њ . . 

    [   ,2

    322   aa    12

    23

    a]

    4.  5dm, 12/13 .

    [25 dm2]5.  2 cm, 3 cm.

    [   284  cm2, 73

    4 cm3]

    6.  6 60°.

    7.  3 ђ 45њ. 3. . 

    8.  . 5   45њ 60њ. . 

    9.  . b

    30њ. . 

    8 . З  

    n- ()  . ђ   n- .

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    46/270

    . : III

      46

    (n- ) ,  , . ђ   ,   . 

      ,  

    .

    8.1.  

      5 , 5 8 . , 8 (A, B, C, …, C1, D1  ), 6 12 . 

    , n- (n = 3, 4,5, …)  n + 1 , n + 1 2n. ,

    n- 2n, n + 2 3n .

     . ,  

    () + () = () + 2. 

    8.1.1.  ( ) a, a1   H. d, d1,

    s, h     () . 

    .  2ad   , 211   ad   . ACC1A1 

    212 )(

    2

    1ddHs   .   BCC1B1 

    2

    1

    2)(

    4

    1aaHh   . MM1T1T tg

    1

    2

    aa

    H

       .♦ 

    8.1.2.   a a1. s.  . 

    .  , BCC1 B1 

      212

    1   )(4

    1aasMM   .

    H  T1T ђ .

    TMM1T1 2

    1

    2 )(3

    1aasH   .♦ 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    47/270

    . : III

      47

    8.1.3.  n . ,   .

    .    ,

    2n .   , 3n . 

    8.2.  

    8.2.1.  30  6, 5. 

    .  , . P = B + B1 + M . . 7.1.1.  

    haa

    aaP  

    2

    4   1212  = 900 + 36 + 72h = 936 + 7213 = 1872.♦ 

    8.2.2.  8 2, 5. 

    .  , . 8.1.2.

    haaaa

    P2

    34

    3

    4

    3   12

    1

    2  = 31760 .♦ 

    8.2.3.    1 

       . . 

    .    ABCDE , A1B1C1D1E1  1,  OGF =  .

    H = H2  –  H1 =FO –  FO1. h = GG1   BCC

    1B

    1. OG = r  O

    1G

    1 = r

    1.  

     BGO B1G1O1 

    2

    ar   tg 54°

    2

    1

    1

    ar   tg 54њ ( 6.2.4.). OGG1O1 

    h = r sin  , H = r tg  , 2

    11

    aarrr 

    tg 54°.

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    48/270

    . : III

      48

    , . P =

    25

    25   11

    raar  + h

    aa

    25   1

     =  sin)()(

    4

    5   21

    22

    1

    2 aaaa   tР 54њ.♦ 

    8.2.4. 

    1.  7 3, 5. ? 

    [   31 ]

    2.  5 2, 2. ? 

    [   13 ]

    3.  10 4, 60њ. ? 

    [3]4.     5 3. 45њ. ? 

    [4   15 ]

    5.    a b, . 

    [   )(2 baab   ]

    6.  3 m, 8 m 2 m.

    [   3103  m2]

    8.3.  

    , . 

    8.3.1.  B1  B2, H,    

    22113

    BBBBH

    V   .

    :   a1, b1, c1, ...  a2, b2, c2,...   H1  H2   T,

      ,    2121   :: aaHH     21 : bb   21 : cc  

    = ... ,   22

    2

    121   :: HHBB   ,

    323

    121   :: HHVV   ,

    )(:)(: 221121   HBHBVV   .

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    49/270

    . : III

      49

     (V)  (V2)

    (V1), . 12   VVV   .

       

      

     

    2

    12   1

    V

    VVV   =

     

      

     

    3

    2

    3

    122 13 H

    HHB  =

    2

    2

    3

    2

    3

    12

    3 H

    HHB   . ,

    ))((   22212

    121

    3

    2

    3

    1   HHHHHHHH   ,

    HHH   21

    .

     

      

        1

    3 2

    1

    2

    1

    2

    12

    H

    H

    H

    HHBV  

     

     

     

        1

    3 2

    1

    2

    12

    B

    B

    B

    BHB  2211

    3BBBB

    H .♦ 

    BBB   21   . BHV , . . 

    8.3.2.        d1 

    ђ  .

       , H.

    ? , 361  d ,   =   = 30°,

    H = 2?

    :        sin2

    1   211   dB   .

    M2 

    M3  111   NMd   ,

    M3M1M2 =  .

    M1M3 = H ctg   ,

    d2 = d1  –  2H ctg  ,

     sin2

    1   222   dB   .

    22113

    BBBBH

    V   . , 271  B , 322   d , 32   B   26V .

    8.3.3.     3,6 m, 2,8 m 2,0 m. ,

        = 2,5·102 kg/m3?

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    50/270

    . : III

      50

    :  B1 = 7,84 m2  B2 = 4,00 m

    2,

    V = 00,400,484,784,73

    6,3  = 20,93 m

    3.

       = V·   = 5232 kg.♦ 

    8.3.4.

    1.  m:n?

    [   3nm

    mH

    ]

    2.    7 5 , 9 . 

    [109 m3]

    3.  7 5 , 4 .

    [654 m3]4.    7 5, 60њ. 

    [12

    3109 m3]

    5.  7 5 , 60њ. 

    [6

    3109 m

    3]

    9 .       ђ . 

    , ,    .

    ђ, .

    ђ, ,   „“ ABCDEF  AEDG  BCFG, , G      . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    51/270

    . : III

      51

      . ,           .

       . . 

       . , , . 

    , „“,  

      . 

    , „“. „“  . 

    9.1.    . 

    :    (). s  i

    1, i

    2, ..., i

    s , i

    1 + i

    2 + ...+ i

    s.

    ђ, . ,    .♦ 

    9.2.  S   S = (t –  2)360њ, t . 

    :     . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    52/270

    . : III

      52

    , ,    .

      ,

    .  .  k , t –  k   ,

    S = (k –  2)360° + (t –  k)360° = (t –  2)360њ.♦ 

    9.3. ( )  t , s , i   : t + s = i + 2.

    :  s . i1  (), i2 , i3 , ... , s- is . ()    S = (i1  –  2)180° + (i2  –  2)180° + … + (is  –  2)180°

    = (i1 + i2 + … + is)180° –  s360°= 2i180° –  s360°,

      i1 + i2 + … + is = 2i ( 9.1.).

     ( 9.2.)  S = (t –  2)360њ, 2i·180° –  s·360° = (t –  2)360°  t + s = i + 2.♦ 

    9.4.    m , a n (   ),  

    tm = 2i, sn = 2i, 2mn = (2m + 2n –  mn)·i,

    t , s , i . 

    :  (8.1.). n (), . n sn,  s . sn = 2i,  i . 

      , . m , . m ,

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    53/270

    . : III

      53

    tm, t . , tm =2i.

    ,   t = 2i/m s = 2i/n

    ( 8.3.) t + s = i + 2, 222

      i

    n

    i

    m

    i  

    mnnm

    mni

    22

    2.♦ 

       , . , , . 

    ђ , ђ

    ђ . 

    9.5.    .    :

    1.  () ,2.  (),3.  ( ) ,4.  , 5.  . 

    :  360њ ( 4.3.1.) n (n =

    3, 4, 5, …) ( ) 

      1802

    n

    n      360 m , m (m = 3, 4, 5, …)

      . 

      3601802

    n

    nm   nmmn 22    

    2

    111

    mn.

    , n  3  m < 6 , m  3  n < 6. , :

    n = m = 3; n = 3, m = 4; n = 3, m = 5; n = 4, m = 3; n = 5, m = 3.♦ 

     9.6.  (), (), (), (. )  ()  (). 

    1. 2. 3. 4. 5.

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    54/270

    . : III

      54

             

    :  n     , m     , t , s , i      :

    ns = 2i, mt = 2i, t + s = i + 2 2

    111

    mn 

     ,    :

    1.  n = 3, m = 3,  t = 4, s = 4, i = 6 ,

    . 2.  n = 3, m = 4, t = 6, s = 8, i = 12  

    . 3.  n = 3, m = 5, t = 12, s = 20, i = 30

      . 4.  n = 4, m = 3, t = 8, s = 6, i = 12  

    () , . 5.  n = 5, m = 3, t = 20, s = 12, i = 30

      .♦ 

      ()

    . (t + s = i + 2) (t, s) , . 

    , . , .   .

       ,    ђ       (, 350. ....). , , , , .    

    : (4),  (6), (8), (12) (20). 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    55/270

    . : III

      55

    9.7.       ?

    :      ,  . ,   . 

    s     ,  r .  As(a), Ps. Vs. ,  :

    Ps = s·As(a), )(3 aA

    sr

    V ss 

      sP

    r

    3 .

    , :

    324   aP   ,2

    6   6aP   , 32  2

    8   aP   ,2

    12   )525(53 aP   , 35  2

    20   aP   ;

    26

    3

    4

    aV   , 36   aV   ,

    3

    23

    8

    aV   , 312

    4

    575aV

        320

    12

    )53(5aV

      .♦ 

    9.8.

    1.  . 

    [ ]2.  : .  ? .     ? .   ? 

    [3, 6, 7]

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    56/270

    . : III

      56

    3.  , ABCD  a.

    a.  AD  BC ?.   DT ?

    .   ? .  r   R ? .    DT ?

    [2

    2a,

    3

    6a,

    12

    23a,

    12

    6a 

    4

    6a, 3:1]

    4.  ( )ABCDA1B1C1D1, . 

    a.  ђ

    ( AB1, AD1)..  ђ

      ( AB1,BC1).

    [60°, 60°]5.  . ђ . 

    [3

    a, . 6.1.2.]

    6.  . [ ]7.  .

    .  . .   ..  . .  . 

    [   32   2a ,3

    23

    a,

    6

    6a,

    2

    2a]

    7.  .  2510253 a    20,64572 a2.

    8.  .

    35   2a   8,66025 2.

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    57/270

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    58/270

    . : III

      58

    , ђ   , ђ   , . 

          , . g s  (360°). s    . , AB s, ,   , . 

         

      . 

    10 . В  

       (), , ,

    .    . . , () () r, s H.         .

     ( .   

     )  , . ,

      .  ( ) ,       . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    59/270

    . : III

      59

    10.1.   

       (T)  (r1 + r2) (F1  F2) .   ,  ,

     (AB) () .     ,   .

    ,     F1 F2    F1  F2.ђ .

    10.1.1.     

    , . 

     (. . , 1822.).             .    ,   F1  F2.    k 1  k 2.

    F1T  TM1  , ђ F2T  TM2. F1 

    F2   M1M2   k 1  k 2. , ,

    F1  F2  , .♦

    10.1.2.   r = 4 H = 6. .  . 

    :   , AB = a, DE = a.  EO x.  CDE  AOE  

     222

    )2( Hxa    

    2

    22

    2  

      

       a

    rx ,  

    , .

     2

    4   22 rHa

      ,   25a   7,07.♦ 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    60/270

    . : III

      60

    10.1.3.  r     . . 

    :  2 r. ,

    H = 2r. . , a1 = A1B1, a2 =

    A2B2.  ABO ra   1  

    3

    322

    ra   .   raM 26    

    12   MMM     )(12 12   aar     )332(4  2

      r .♦ 

    „“ „“

    (2r ),

    .        , .

    MBP   2 ,  

    rHrP          22   2  )(2 Hrr       ,

      3,14159… .

    ,   

    , . , . 

    10.1.4.  3 4.  r  H . 

    :  ABCD AC = 4  BD = 3

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    61/270

    . : III

      61

    .    AFC 3, 4

    5, 522      r . ,

    2

    5

    2

    43 H

    .  

     4

    5r  

    5

    12H .♦ 

     (, ) (

    ) , . HBV   ,  

    HrV      2 .

    10.1.5.  H = 10 cm

    d = 5 cm.   = 2  /3.     . 

    :  MN ,   ,

    P1  P2. MNO je  sin2

    1   2rP MNO   .

          ,

     2

    2

    1rPi   . MNOi   PPP 1  

        )sin(2

    2

    1       r

    P .

    2sin2   dr     2,89 cm,

    2sin

    sin

    8   2

    2

    1     

     dP   334

    36

    2    d   220,0 d .

    HPV 11   , . V1  51 cm3.

    HrV      2   262 cm3, V2 = V –  V1  211

    cm3.♦ 

    10.2.  

    9.2.1.  ? 

    :  HrM    2 , H r

      222 rB  .

         222 rHr     r = H. .♦ 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    62/270

    . : III

      62

    10.2.2.   H = 8 , , R = 7  r = 6.

    :  rR   MMBP   2 ,

    rR  BBB      )(   22 rR   ,

    HrRMM rR   )(2       .

    ,

    ))((2 HrRrRP       , . P = 234  .♦ 

    10.2.3.        ,

    . . 

    :    ABCDS. ,   2r = H,

    ABS   2

    3ah   .

      )12(    aH ,

    : P = 6r2π  =  2

    2)223(3 a .♦ 

    10.2.4.

    1.  P0 = 120 cm2, B = 78,54

    cm2. d = 3

    cm . [96,00 cm2]

    2.  r H . , . 

    [4

    2

    2

      Hr   ]

    3.  P0. ? 

    [4

    0 P

    ]

    4.  ђ  r  H ,    . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    63/270

    . : III

      63

    [r = H]5.  . . 

    [  : 3]6.  .

    [   )21(2

     a ]7.  (

    ) 80   cm2.

    [120 cm2]8.  H  

     . . 

    [H2·tg  ]

    9.  () 10 .

     () 144  cm2. . [4 cm, 18 cm]

    10.  ,

      12 cm2, 5 cm.

    [   324  cm2, 39  cm3; 38

    321  

     

      

       cm2,

    4

    327 cm3]

    10.3.   

    H B  V = BH.

    10.3.1.  r = 564   l = 10 . ? 

    :  hrV      2 .

     2r

    Vh   .

    r = 5,64 , 10 10 dm3 

    h = 0,10 dm.♦ 

    10.3.2.  r = 6 cm        7 9 .    ? 

    :  . ,  , . ,

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    64/270

    . : III

      64

    , .

    2

    21   ss   . ,

    ,  

      , s1 + s2  . ,

    2

    212   ssrV      , . V = 288  cm3.♦ 

    10.3.3.  V.

    :  BHV   Ha

    4

    32 ,  

      .

    6

    3ar   .

    HBV vv     Hr    2

     

      

        H

    a

    4

    3

    33

    1   2V

    33

    1 .♦ 

    10.3.4.

    1.   . 

    [V1 : V2 = r1 : r2]2.     . 

    [M1 : M2 = r2 : r1]3.  .

    [4

    3 a]

    4.  .

    [4

    3   3 a]

    5.  V.

    [   V3

    34 ]

    6.  S  . l. . 

    [Sl]

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    65/270

    . : III

      65

    7.  , . . 

    [4:1]8.    . ? 

    [8

    2

    3

     a ]

    11.    (, ) .  , SPO O OS h, PO r SP s,     OS.   S, . 

        SP = s, . P

      2r ,  r = OP   = 3,14159... . S    OSP .    P  S s, . .

      s.      , . 

    ,  2

    2

    1sM    

     l = P1P2 = s . ,

      l = 2r , s

    r  

      2 .

          . 

    11..  M = rs .♦ 

    11..  ()

    () , :

    2sin2   

        .

    :    r,

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    66/270

    . : III

      66

    s,   .

    ,

      OPS

    /2.

    s

    r

    2sin

      .

    l = 2r .

    , s

       . P1P2   l = s . ђ

    2r  = s , . 

     

    2

    s

    r,

    2sin2   

        .♦ 

    , 60њ ,

    3

            =  . , ( = 90°)

    () 30њ. 

    , ,. P = B + M.

    11..       P = r (r + s).

    :  B = r2  , M = rs , P = r 2  +rs  , .♦ 

      S    . .

    (H),            , .

    HrV     

    2

    3

    1

    . .

    11..  :i. ; ii.  . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    67/270

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    68/270

    . : III

      68

    . ( 262. –  190. ....) , ,  , .        ,   , ,  

    .

    11.1.1.  ,     (). ,  ().   . 

    ,  (). ,

    , .

     

    ,  (). , , .

    , .  , , .♦ 

    11.1.2. 

     , .   (P)     (F1  F2) :

    PF 1 + PF 2 = const.

    F1  F2.

       (P) (F)  

    (d) .

      A F   ABC BC d.

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    69/270

    . : III

      69

       (P)   (F1  F2) :

    PF 1  –  PF 2 = const. F2  A,  

      F1.♦ 

    - . . (1794 –  1847. .)    ,   ,   . , . 

    11.1.3.  (),  . 

    :  ,   S   G1  G2, F1  F2. k 1  k 2. P   P1  P2  k 1  k 2.

     k 1  k 2 ,   P

    1P

    P.

    , PF1  P1P (G1) ђ , PF 2  PP2  (G2). PF 1 + PF2 = P1P + PP2 =P1P2 = const. ♦ 

    (, , , ,

    )  . , , . 

    11.1.4.        d F.   

    P     PF  Pd     . F  (), d,    . 0 <  < 1

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    70/270

    . : III

      70

     (. ἔ   ιι   –  ),  = 1  (. πααβοή - ),  > 1  (. ύπβοή  –  ).

    (10.1.3.)  ђ   ,    (Xah Lee

    Web, http://xahlee.org/).

     11.1.5. 1.  .  

    , .  . 

    2.  . 3. 

      . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    71/270

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    72/270

    . : III

      72

    [ , .   .

    , .]

    11.2.  

      () ()    .  „“ „ “.  ,

    M = rs ,

    B = r2 ,

    P = r (r + s).

    , s2 = h2 + r2.

    () (S) , .

    () ,  

    2sin2   

        .

    11.2.1.  H, 180њ. 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    73/270

    . : III

      73

    :  ,   =  , 2

    1

    2sin  

       

    3

         .

    ђ    6

      

     , . 30°. ,3

    32Hs   

    3

    3Hr   , P =

    H2 .♦ 

    11.2.2.  a b      a. . 

    :  ABCD AB = a AD = b ђ  

    BAD =     AB. D  C   r D1  C1. M1  M2.

    M1 = rb   M2 = 2ra   b, a   

    r = b·sin    Pa = 2  a(a + b)sin  .♦ 

    11.2.3.

    1.  100њ . . 

    [32°]2.  H. , 120њ. 

    [2

    2

    H  ]

    3.  1 , ½ . 

    [90  cm]

    4.       :  H. ? 

     

    cos1

    2

    H]

    5.  a = 10, b = 17 c = 21 :

    a. ; b. ; c.  . . [    

     

    a

    cbPMa

    )(2 = 2553,6·  ; Mb =1225,4·  ; Mc = 864·   cm]

    6.  11 cm 3 cm 105 cm  . ? 

    [570  ; 397,8 cm2]

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    74/270

    . : III

      74

    7.  . 24 cm 18 cm, 7 cm. . 

    [344,9  cm2]

    11.3.

     

    , .  , 4-

     . .

      

    (  ||  )  

    , . ђ . ,  

    (5.3.) . 

    , ,   ,  1   2  O k     

    (X1 1) (X2 2) OX2 = k · OX1.

    O , k .

    . A1B1  A2B2 

     A2B2 = k · A1B1. . 

       , .

    BHV3

    1 .

    . ђ,      , . ђ, r : 

    HrV      2

    3

    1,

    H ( ) . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    75/270

    . : III

      75

    11.3.1.  384  cm2, 20 МЦ. 

    :  384   = r  · (r + s), s.  r

    2 + 20r –  384 = 0.

     r = 12 cm.  s2 = h2 + r2, h = 16 cm.    

    16123

    1   2    V cm3 = 768 cm3.♦ 

    11.3.2.  13, 14 15 . . 

    :  13 15

    , . r  14 cm .  ђ   14 cm.

     P = r·13  + r·15 =

    r·28 . yrxrV          22

    3

    1

    3

    1  )(

    3

    1   2 yxr        

    143

    1   2    r .

    (r)  

    ))()(( csbsassP  

    , s =

    21 . , P = 84 cm2,  

     P

    r

    2

    14, . r = 12 cm.    P = 336  cm

    2  V = 672  cm

    3.♦ 

    11.3.3.  H = 10       = 0,77 .   . 

    :     0 = 1 ,

    .

    HRV    2

    3

    1 , m =  V HR   

         2

    3  (). 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    76/270

    . : III

      76

    hrV    203

    1 .

      0r2h =   R2H. , r : h =

    R : H (. ) RH

    hr   ,

    3   Hh      9,17 .♦ 

    11.3.4. 1.  r,

       . ? 

    [   14

    3   2

    23

     

      r]

    2.  s 60°. ? 

    [24

    33 s

    ]

    3.  a, b, c  . . 

    [cba

    1:

    1:

    1]

    4.  7 cm 5 cm  2 cm  , .   . 

    [17 cm3, 21 cm3]5.  .

    . [1 : 4]

    6.  , r  .   . . 

    [9 : 2]

    7.     0 = 0,89 g/cm3  .

    , 90% ? [0,65 g/cm

    3]

    8.  H    ( ) . ? 

    [   3 11    H ]

    12 . З  

       ђ .

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    77/270

    . : III

      77

    : h –   ,R, r –   ,s –    M –  . 

    22 )( rRhs   ,

    M = s (R + r),

    P =  R2 +  r2 + s (R + r),

    hrRrRV )(3

    1   22     .

    12.1.  

       . 

    12.1.1.    : 

    P =  R2 +  r

    2 + s (R + r).

    :  . S ,s  . , H   , h  . ђ, R  , r  

    ,    H –  h, S –  s.

    , S s  (R –  r) : R = s : S.

    M = RS   –  r(S –  s) , M = s (R + r).

    , R2   r2  , , .

    P =  R2 +  r

    2 + s (R + r).♦ 

    12.1.2.  . 

      M = s (R + r).

    :   

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    78/270

    . : III

      78

    . , S   S –  s

     , ,  

    S  = 2 R (S –  s)  = 2 r.

      RS   2  

      rsS   2 ,

         )(2 rRs   .

    , ђ

           22 )(2

    1

    2

    1sSSM   . )(

    )(2   2rR

    rRM  

     

     ,

     M = s (R + r). ,   (11.1.1.).♦ 

    12.1.3.  ( R, r, h)

    ? ,   , ( 7, 5, 6)? 

    :  )(3

    22 rRrRh

    V      

    .

    4

    )(   2 rRhVv

    . vVVV   ,

    2)(

    12rR

    hV  

          .    .

        

    vV

    VV

        .

    ,     218V ,    216vV .  

     2V ,  

      

    216

    2V  = 0,009259… , . 1%. ♦ 

    12.1.4.  d1 = 15 cm, d2 = 8 cm  . . 

    :  ABCD   . ђ,

     AC = d1  BD = d2  . ,   p A BD. AC  AC/2,

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    79/270

    . : III

      79

    AC/2.

    , . P = 2· (AC + AC/2)·CD +

    2· (AC/2)·CD = 4 ·AC·CD = 222

    112 ddd     .

      , .V =

    2·(1/3) (AC2

     + AC·(AC/2) + (AC/2)2

    )·(BD/2) –  2· (AC/2)2

     ·(BD/2) = 22

    1

    2 dd

     

    . ,

    P = 510  cm2  V = 900  cm3.♦ 

    12.1.5.

    1.     r. . . 

    [    

      

        1

    sin

    42

    2

    2

         r ]

    2.  p = 24 cm,  = 10 cm 

    . . [240  cm

    2]

    3.     . . 

    [6a2 ]

    4.  R = 25, r = 15, s = 10 ? [25 : 9]

    5.  R H .    . 

    [4 : 1]

    6.  P0 = 15 cm2, R = 7 cm  r = 3 cm. ? 

    [108  cm2]

    12.2.  

    ,   , . 

    12.2.1.     B1  B2, h,  

    2211

    3 BBBB

    h

    V   .

       7.3.1.♦ 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    80/270

    . : III

      80

    12.2.2.  hrV   2

    3

    1  (r h

    ) . 

    :  n  (n  N ) n –  1 ђ .  k-  ( k =

    1, 2, …, n)   n

    h,

    n

    k r    

    n

    k r

      1 .

    k-

    n

    hAH   ,

    n

    k rAD 2  

    n

    k rGF  1

    .  Vk  

       AD GF. k  

    n

    n

    k rV

    n

    n

    k r k   

     

      

     

     

      

       

    221

       ,  

    2

    2

    32)1( k 

    hr

    nVk  k   

     

    .

    k = 1, 2, …, n

    222

    2

    3222 ...21)1(...10 n

    hr

    nVn  

     

    ,

    V = V1 + V2 + … + Vn  . n –  1  n   

    6

    )12)(1(

    6

    )12()1(2

    3

      nnn

    hr

    nV

    nnn

     .

     n3  ђ  

    3

    2

    11

    11

    3

    2

    11

    11

    2

     

      

     

     

      

     

     

      

     

     

      

     

    nn

    hr

    Vnn

     .

    , n. n ,            

    1/3. , n  31

      hrV

     ,

    . hrV   2

    3

      .♦

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    81/270

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    82/270

    . : III

      82

    [ 722,3 cm3]

    13.     R ,

    .   ().

       , . 

     24RP   ,

    R . 

       .   . . 

        3

    3

    4RV  .

       .  , R  . r. , h

    )3(3

    2

    hRh

    V      

    .

       () , .  

     RhP 2 ,

    R h . 

         , .  , , , . , .

      

     hRV   2

    3

    2 ,

    R , h  . 

    , ђ ,

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    83/270

    . : III

      83

    .

     RhV 2 , R , h  . 

    ђ

      , ђ   , , r1  r2.

    )33(6

    22

    2

    2

    1   hrrh

    V      

    ,

    h , r1  r2  , . 

    13.1.  

      () R 

     24RPl  ,

       3,14159. ?

    12.1.1.  , . () R () ,

     ( 2R )

    (2R). ( ) RRPc   22       .  

    :  ,  ђ , .

    , џ.

         ,   ,   .ђ, , ђ 

    ђ . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    84/270

    . : III

      84

     , hc   ,  hs   . џ

    2R  hc ,

     2r  hs. ,

    r, .

     , K  . PA  P, a A  QP B. APK 

    . KPQ  , QKP + KPQ =

    90. ђ KPQ + BPA = 90, . QKP = BPA.

    , : QKP  

    BPA. PQ : KP = AB : PA, PQ = r, KP

    = R, AB = hc  PA = hs, . r hs = R hc.

    r hs  џ

       . 

     

    Pk  = 2R h, R h ,  

    Pz = 2R h,  h . 

    13.1.2.  R.

     . . 

    :  )(3

    2

    221

    2

    1   rrrrH

    Vk       

    , H  

    , r1  r2  .

    H = 2R, r1 = R ctg2

       r2 = R tg

    2

     ,

       )

    2

    tg1

    2

    ctg(

    3

    2   223   RVk  .

     13.1.3.

    1.    . .

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    85/270

    . : III

      85

    [12

    6ar   ,

    4

    6aR ]

    2.    . . 

    [ 6

    6a

    r   , 2

    2a

    R ]

    3.   h = 2,  

        = 3:2. ? 

    [         )41)(1(   22 h  = 100 ]

    4.  . ? 

    [1/5]

    5.  400   6, 8. . 

    [40 , 280 ]

    6.    r = 6 cm d = 12 cm.

    [36π  cm2]

    13.2.  

    13.2.1.   

     3

    3

    4rV   ,

    r . 

    :  3

    3

    4rV   ,  

    (6.3.) . r, , ()  

    ђ r, (1).

    (2), h ()   , k h  ,      ph  r - h r. . 

      222 )( hrrx    = 22 hrh ,

    (k h)  )2(  2hrhPk    . (ph)

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    86/270

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    87/270

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    88/270

    . : III

      88

    : n  N   OA0A1, OA1A2, OA2A3, …, OAn-1An ,   ђ r1= r2 = r3 = … = rn = r , s  ,     r n . 

    ,

    1

    1

    13P

    rV   , 2

    2

    23P

    rV   , 3

    33

    3P

    rV   , ... , n

    n

    n   Pr

    V3

    ,

      nVVVV ...321  

    )...(3

      321 nPPPPr

     

    rPr

    3 ,

    Pr = 4r2π r.  

     243

    rrV    =   33

    4 r . 

    13.2.6.  , 7, 15 cm , 25 cm. . 

    : , . . . 

     h1 = C1C2 = 15 –  7 = 8 cm,   OB1C1 

    OB2C2 22

    1   1525   r  = )1525)(1525(    = 4010  = 1004  = 210 = 20,

    22

    2   725   r  = 3218  = 649  = 38 = 24.

    )33(6

    22

    2

    2

    11   hrrh

    V      

      =3

    11968 cm3.

    h2 = 15 + 7 = 22 cm  

    3

    375322

     V  cm3. 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    89/270

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    90/270

    . : III

      90

    2.     .   . s, , , . :

    i.  , ;

    ii.  ; iii.  . 

    3.  r h. . 

    4.   r1  r2.

    5.  .   . . 

    6.   1 : 3. ? 

    7.  3 cm 108π  cm2. ? 

    8.  6 dm 216π  dm3. ? 

    9.  1 m , 14 cm 30 cm. :

    i.  ; ii.  ђ . 

    10.  √ 

     

    1. 

    11.   

     dm

    1 dm.

    12.  . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    91/270

    . : III

      91

    IV   . , , , .

      m  n

    1211   ),...,,( bxxxf  n    

    2212   ),...,,( bxxxf  n    

    ...

    mnm   bxxxf    ),...,,( 21  

    f i  x j  n- (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …,n) x1, x2, …, xn, f i  bi  . ,   f i    x j.

     

    , , . , :

    1.  ;2.  ;3.  . 

    , ,   . 

    14.   . 

      f i  x j   :

    n

     j

     jiji   xaf 1

    , i = 1, 2, …, m.

    , f 2 = 3x1  –  2x2 + x3,  x1 , x2  x3.

    14.1.  

    ђ    „ “ (Zhou Bi

    Suan Jing:九章算术), 10 –  2.  ...  14.1.1.

      ; 35 94. , ? 

    ( ), 70, 94. , 24 –   .   24 : 2 = 12, 35 –  12 = 23.

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    92/270

    . : III

      92

    ,    –   ,   –   , :

    x + y = 35

    2x + 4y = 94

      = 23,  = 12. 

       „ “, VII,  ,    ђ  . 

    14.1.2.

    9 11 . , . ђ,

    ђ , , 9 (8 1 ) 16 (). ? 

    ,   –   ,   –   ,

    9x = 11y8x + y + 16 = 10y + x

    : x = 44, y = 36 . 

    , , ( ) , ђ,   . 

      ,  1 = 55 ().  1 = 9 1/11 = 45 (). , ()

    8x1+ y1 + 16 = 10y1 + x1.

    ђ, 855 + 45 + 16 + 501, 1045 + 55 +

    505, 4 . k 1 = 4  „ “, „ “. 

     Д ,  2 = 22 .  2 = 9 2 /11 = 18. ,

    8x2+ y2 + 16 = 10y2 + x2.

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    93/270

    . : III

      93

    , 822 + 18 + 16 = 210, 1018+ 22 = 202. , 8 . k 2 = 8 „ “, „ “.

     

     

     

     

    21

    21

    xx

    k k  

    ,

    21

    2211

    k k 

    xk xk x

     =

    84

    558224

     = 44 . 

       ђ „“, . x2 < x < x1. ђ y = 9x/11 = 944/11 = 36 . 

    , , 2 12 , 2 4 (1 = 16 ). 

        , 18. . 

    , , . 

    14.1.3.

    , 360 .

    , . ?

    x –   , y –  , z –  .

    x + y + z = 360  y = 2z  x = 2(y + z).

    , x = 6z, 9z = 360, z = 40. x = 240, y = 80 z = 40. , ,

      240, 80 40 . 

    14.1.4.

    6 , 4 ђ, ђ. ? 

    x1, …, x6  ђ.

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    94/270

    . : III

      94

    ((   41     j j   xx ) ( j  д1, …, 5}))  ( 61   3 xx   ).

    ,

    (   465

       xx , 864

       xx , 1263

       xx , 1662

       xx , 2061

       xx )  (61

      3 xx   ).

     

    20366

       xx , . x6 = 10.

    , ђ 10 , 14, 18, 22, 26 30

     14.1.5.

    1.  . 6 , 8 . 12 86 ,

    ?  [7]2.  $1.5   $4. 2200 $5050. ? 

    [700]3.  7. , 27. ? 

    4.  ђ џ. џ 13 4 487£. џ 6 232£. ,

    5.  1800 (. jetstream). , , 4 . ? 

    : v –   w –   . 3(v + w) = 4(v –  w) = 1800.

    6.  (–1, 9), (1, 5) (2, 12).

    : cbxaxy     2 .

    7.  :

    22

    7523

    xxx

    x.

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    95/270

    . : III

      95

    :  112  

      x

    C

    x

    B

    x

    A.

        . 

    8.  100 , 3 ( 1, 2  3 ). $100. 50 , 3 , 10 , 100 100 ? 

    :  - 100, ђ,  1   2   3   100. 2 = 20 + (19/5) 3, .

    14.2.  

      m   n

    11212111   ... bxaxaxa nn    

    22222121

      ... bxaxaxann

       

    … 

    mnmnmm   bxaxaxa     ...2211 .

    aij  (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n)  () , bi    , x j  , . (m = n) , , . 

     

     

     

     

     

    mmnmm

    n

    n

    yaaa

    yaaa

    yaaa

    ...

    ...

    ...

    ...

    21

    222221

    111211

     

      n  β 1, β 2, ..., β n, (x j = β  j) . 

    : ,  ( ),

     () . , ђ, ђ. :

      ђ  ђ 

    2

    1

    21

    21

    xx

    xx 

    1

    1

    21

    21

    xx

    xx 

    1

    1

    21

    21

    xx

    xx 

         

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    96/270

    . : III

      96

    , .ђ ђ  . , .

       ,  XOY. . , , ђ , ђ .

         

    : 336     yx   224     yx ,

    336     yx   224     yx , . 

    3- .

    (y1 = 0, y2 = 0, ..., ym = 0)   , . ,  , (x1 = x2 = ... = xn = 0),

      . ђ . 

    , ,  (Carl Friedrich Gauss, 1777 –  1855), -  ,        .     .  

    mnmn

    nn

    nn

    bxa

    bxaxa

    bxaxaxa

    ''

    ...

    ''...'

    ''...''

    22222

    11212111

     

    , (m-) mnmm   abx ' / '  .  

       xn-1,  , ,       , , . 

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    97/270

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    98/270

    . : III

      98

    , -1  . :

    1200

    0000

    2

    3

    321

    x

    xxx

     

    x3 = ½,  -.  , x3  x1 + x2 = 3/2. ,  x2 = t, ђ x1 = 1,5 –  t. , ђ, () ђ (x1, x2, x3) = (1

     –  t, t, 3/2), t . 

    14.2.4.

    1.  2- :) ) )

    864     yx  

    1096     yx  

    864     yx  

    1269     yx  

    1269     yx  

    846     yx  

    2.    :) )

    3

    2

    1

    321

    321

    321

    xxx

    xxx

    xxx

     

    3

    1

    2

    321

    321

    321

    xxx

    xxx

    xxx

     

    [(2,5; -0,5; -1) (-0,5;1,5;1)]

    3.  :) ) )

    12

    1

    0

    321

    32

    31

    xxx

    xx

    xx

     

    12

    1

    0

    321

    32

    31

    xxx

    xx

    xx

     

    22

    1

    0

    321

    32

    31

    xxx

    xx

    xx

     

    [(0,5; 0,5; -0,5), , (-t; 1+t; t)]

    4.  :) ) )

    2x1 + x2 + 3x3 = 1

    2 x1 + 6x2 + 8x3 = 36 x1 + 8x2 + 18x3 = 5

    3x + y –  6z = – 10

    2x + y –  5z = – 86x –  3y + 3z = 0

    x + z = 1

    x + y + z = 2x –  y + z = 1

    [( 3/10, 2/5, 0); (t –  2, 3t –  4, t); ]

    5.  :) )

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    99/270

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    100/270

  • 8/9/2019 Matematika 3 Razred Gimnazije Banja Luka

    101/270

    . : III

      101

    )32()2(2

    )32(2)2(3

    21212

    21211

    xxxxx

    xxxxx 

    ђ