matematicki prirucnik_sadrzaj

29
Sadržaj Spisak tabela........................................................................XXXV 1. Aritmetika..........................................................................1 1.1. Elementarna matematika.........................................................1 1.1.1. Brojevi...................................................................1 1.1.1.1. Prirodni, celi i racionalni brojevi..................................1 1.1.1.2. Iracionalni i transcendentni brojevi.................................1 1.1.1.3. Realni brojevi.......................................................2 1.1.2. Metode dokazivanja........................................................5 1.1.2.1. Neposredan dokaz.....................................................5 1.1.2.2. Posredan dokaz ili dokaz pomoću suprotnog............................5 1.1.2.3. Potpuna indukcija....................................................5 1.1.2.4. Konstruktivan dokaz..................................................6 1.1.3. Zbirovi i proizvodi.......................................................6 1.1.3.1. Zbirovi..............................................................6 1.1.3.2. Proizvodi............................................................7 1.1.4. Stepeni, koreni, logaritmi................................................8 1.1.4.1. Stepeni..............................................................8 1.1.4.2. Koreni...............................................................8 1.1.4.3. Logaritmi............................................................9 1.1.4.4. Specijalni logaritmi.................................................9 1.1.5. Algebarski izrazi........................................................10 1.1.5.1. Definicije..........................................................10 1.1.5.2. Raščlanjivanje algebarskih izraza...................................11 1.1.6. Celi racionalni izrazi...................................................11 1.1.6.1. Predstavljanje u obliku polinoma....................................11 1.1.6.2. Rastavljanje polinoma na faktore....................................11 1.1.6.3. Specijalne formule..................................................12 1.1.6.4. Binomna teorema.....................................................12 1.1.6.5. Određivanje najvećeg zajedničkog faktora dva polinoma...............14 1.1.7. Razlomljeni racionalni izrazi............................................14 1.1.7.1. Svođenje na najjednostavniji oblik..................................14 1.1.7.2. Određivanje celog racionalnog dela..................................15 1.1.7.3. Razlaganje na parcijalne razlomke...................................15 1.1.7.4. Preoblikovanje srazmera.............................................17 1.1.8. Iracionalni izrazi.......................................................17 1.2. Konačni nizovi................................................................18 1.2.1. Definicija konačnog niza.................................................18 1.2.2. Aritmetički nizovi.......................................................18 1.2.3. Geometrijski nizovi......................................................19 1.2.4. Specijalni konačni nizovi................................................19 1.2.5. Srednje vrednosti........................................................19 1.2.5.1. Aritmetička sredina.................................................19 1.2.5.2. Geometrijska sredina................................................20 1.2.5.3. Harmonijska sredina.................................................20 1.2.5.4. Kvadratna sredina...................................................20 1.2.5.5. Poređenje srednjih vrednosti dveju pozitivnih veličina a i b........20 1.3. Finansijska matematika........................................................21 1.3.1. Procentni račun..........................................................21 1.3.2. Kamatni račun............................................................22 1.3.3. Račun otplata............................................................23 1.3.3.1. Otplata.............................................................23 1.3.3.2. Jednake otplate glavnice............................................23 1.3.3.3. Jednaki anuiteti....................................................24 1.3.4. Penzijski račun..........................................................24 I

Upload: zeljko-bokanovic

Post on 01-Dec-2015

184 views

Category:

Documents


8 download

DESCRIPTION

Sadržaj

TRANSCRIPT

Page 1: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

SadržajSpisak tabela...........................................................................................................................................XXXV

1. Aritmetika................................................................................................................................................11.1. Elementarna matematika.................................................................................................................1

1.1.1. Brojevi.....................................................................................................................................11.1.1.1. Prirodni, celi i racionalni brojevi.....................................................................................11.1.1.2. Iracionalni i transcendentni brojevi................................................................................11.1.1.3. Realni brojevi.................................................................................................................2

1.1.2. Metode dokazivanja................................................................................................................51.1.2.1. Neposredan dokaz.........................................................................................................51.1.2.2. Posredan dokaz ili dokaz pomoću suprotnog.................................................................51.1.2.3. Potpuna indukcija..........................................................................................................51.1.2.4. Konstruktivan dokaz......................................................................................................6

1.1.3. Zbirovi i proizvodi....................................................................................................................61.1.3.1. Zbirovi............................................................................................................................61.1.3.2. Proizvodi........................................................................................................................7

1.1.4. Stepeni, koreni, logaritmi........................................................................................................81.1.4.1. Stepeni...........................................................................................................................81.1.4.2. Koreni............................................................................................................................81.1.4.3. Logaritmi........................................................................................................................91.1.4.4. Specijalni logaritmi........................................................................................................9

1.1.5. Algebarski izrazi....................................................................................................................101.1.5.1. Definicije......................................................................................................................101.1.5.2. Raščlanjivanje algebarskih izraza................................................................................11

1.1.6. Celi racionalni izrazi..............................................................................................................111.1.6.1. Predstavljanje u obliku polinoma.................................................................................111.1.6.2. Rastavljanje polinoma na faktore................................................................................111.1.6.3. Specijalne formule.......................................................................................................121.1.6.4. Binomna teorema........................................................................................................121.1.6.5. Određivanje najvećeg zajedničkog faktora dva polinoma............................................14

1.1.7. Razlomljeni racionalni izrazi..................................................................................................141.1.7.1. Svođenje na najjednostavniji oblik...............................................................................141.1.7.2. Određivanje celog racionalnog dela.............................................................................151.1.7.3. Razlaganje na parcijalne razlomke..............................................................................151.1.7.4. Preoblikovanje srazmera..............................................................................................17

1.1.8. Iracionalni izrazi....................................................................................................................171.2. Konačni nizovi................................................................................................................................18

1.2.1. Definicija konačnog niza.......................................................................................................181.2.2. Aritmetički nizovi...................................................................................................................181.2.3. Geometrijski nizovi................................................................................................................191.2.4. Specijalni konačni nizovi.......................................................................................................191.2.5. Srednje vrednosti..................................................................................................................19

1.2.5.1. Aritmetička sredina......................................................................................................191.2.5.2. Geometrijska sredina...................................................................................................201.2.5.3. Harmonijska sredina....................................................................................................201.2.5.4. Kvadratna sredina........................................................................................................201.2.5.5. Poređenje srednjih vrednosti dveju pozitivnih veličina a i b........................................20

1.3. Finansijska matematika..................................................................................................................211.3.1. Procentni račun.....................................................................................................................211.3.2. Kamatni račun.......................................................................................................................221.3.3. Račun otplata........................................................................................................................23

1.3.3.1. Otplata.........................................................................................................................231.3.3.2. Jednake otplate glavnice..............................................................................................231.3.3.3. Jednaki anuiteti............................................................................................................24

1.3.4. Penzijski račun......................................................................................................................241.3.4.1. Renta (penzija).............................................................................................................241.3.4.2. Renta jednakih uplata..................................................................................................251.3.4.3. Stanje na računu posle n isplata rente........................................................................25

1.3.5. Otpisi.....................................................................................................................................261.4. Nejednakosti...................................................................................................................................28

1.4.1. Prave nejednakosti................................................................................................................281.4.1.1. Definicije......................................................................................................................281.4.1.2. Svojstva nejednakosti tipa I i II....................................................................................29

1.4.2. Specijalne nejednakosti.........................................................................................................301.4.2.1. Nejednačinatrougla......................................................................................................30

I

Page 2: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

1.4.2.2. Nejednakosti apsolutnog iznosa razlike dva broja.......................................................301.4.2.3. Nejednačina za aritmetičku i geometrijsku sredinu.....................................................301.4.2.4. Nejednačina za aritmetičku i kvadratnu sredinu..........................................................301.4.2.5. Nejednakosti za srednje vrednosti dva realna broja....................................................301.4.2.6. Bernulijeva nejednakost..............................................................................................311.4.2.7. Binomna nejednakost..................................................................................................311.4.2.8. Koši-Švarcova nejednakost..........................................................................................311.4.2.9. Čebiševljeva nejednakost............................................................................................311.4.2.10. Poopštena Čebiševljeva nejednakost.........................................................................321.4.2.11. Helderova nejednakost..............................................................................................321.4.2.12. Nejednačina Minkovskog...........................................................................................33

1.4.3. Rešavanje nejednakosti 1. i 2. stepena.................................................................................331.4.3.1. Opšte...........................................................................................................................331.4.3.2. Nejednakosti 1. stepena..............................................................................................331.4.3.3. Nejednakosti 2. stepena..............................................................................................331.4.3.4. Opšti slučaj nejednakosti 2. stepena...........................................................................34

1.5. Kompleksni brojevi.........................................................................................................................341.5.1. Imaginarni i kompleksni brojevi............................................................................................34

1.5.1.1. Imaginarna jedinica.....................................................................................................341.5.1.2. Kompleksni brojevi.......................................................................................................34

1.5.2. Geometrijski prikaz...............................................................................................................351.5.2.1. Vektorski prikaz...........................................................................................................351.5.2.2. Jednakost kompleksnih brojeva...................................................................................351.5.2.3. Trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva.................................................................351.5.2.4. Eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva..................................................................361.5.2.5. Konjugirano kompleksni brojevi...................................................................................36

1.5.3. Računanje s kompleksnim brojevima....................................................................................361.5.3.1. Sabiranje i oduzimanje.................................................................................................361.5.3.2. Množenje......................................................................................................................371.5.3.3. Deljenje........................................................................................................................381.5.3.4. Opšta pravila za četiri osnovne računske operacije.....................................................381.5.3.5. Stepenovanje kompleksnog broja................................................................................381.5.3.6. Izračunavanje n-tog korena kompleksnog broja..........................................................38

1.6. Algebarske i transcedentne jednačine...........................................................................................381.6.1. Svođenje algebarskih jednačina na normalni oblik...............................................................38

1.6.1.1. Definicije......................................................................................................................381.6.1.2. Sistemi od n algebarskih jednačina.............................................................................391.6.1.3. Prividna rešenja...........................................................................................................39

1.6.2. Jednačine 1. do 4. stepena....................................................................................................391.6.2.1. Jednačine 1. stepena (linearne)...................................................................................391.6.2.2. Jednačine 2. stepena (kvadratne)................................................................................401.6.2.3. Jednačine 3. stepena (kubne)......................................................................................401.6.2.4. Jednačine 4. stepena...................................................................................................421.6.2.5. Jednačine 5. i većih stepena........................................................................................43

1.6.3. Jednačine n-tog stepena........................................................................................................431.6.3.1. Zajednička svojstva algebarskih jednačina..................................................................431.6.3.2. Jednačine s realnim koeficijentima..............................................................................44

1.6.4. Svođenje transcendentnih jednačina na algebarske.............................................................451.6.4.1. Definicija......................................................................................................................451.6.4.2. Eksponencijalne jednačine...........................................................................................461.6.4.3. Logaritamske jednačine...............................................................................................461.6.4.4. Trigonometrijske jednačine..........................................................................................461.6.4.5. Jednačine sa hiperbolnim funkcijama..........................................................................47

2. Funkcije i njihovo zadavanje..................................................................................................................482.1. Pojam funkcije................................................................................................................................48

2.1.1. Definicija funkcije..................................................................................................................482.1.1.1. Funkcija........................................................................................................................482.1.1.2. Realna funkcija............................................................................................................482.1.1.3. Funkcija više promenljivih............................................................................................482.1.1.4. Kompleksna funkcija....................................................................................................482.1.1.5. Ostale funkcije.............................................................................................................482.1.1.6. Funkcionali...................................................................................................................482.1.1.7. Funkcija i preslikavanje................................................................................................49

2.1.2. Načini definisanja realne funkcije..........................................................................................492.1.2.1. Zadavanje funkcije.......................................................................................................492.1.2.2. Analitičko zadavanje realnih funkcija...........................................................................49

II

Page 3: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

2.1.3. Neki tipovi funkcija................................................................................................................502.1.3.1. Monotone funkcije........................................................................................................502.1.3.2. Ograničene funkcije.....................................................................................................512.1.3.3. Ekstremne vrednosti funkcija......................................................................................512.1.3.4. Parne funkcije..............................................................................................................512.1.3.5. Neparne funkcije..........................................................................................................512.1.3.6. Rastavljanje na parne i neparne funkcije.....................................................................522.1.3.7. Periodičke funkcije.......................................................................................................522.1.3.8. Inverzne ili obratne funkcije.........................................................................................52

2.1.4. Granična vrednost funkcije...................................................................................................532.1.4.1. Definicija granične vrednosti funkcije..........................................................................532.1.4.2. Svođenje na graničnu vrednost reda (v. s. 420)..........................................................532.1.4.3. Košijev kriterijum konvergencije..................................................................................532.1.4.4. Beskonačna granična vrednost funkcije......................................................................542.1.4.5. Leva i desna granična vrednost funkcije......................................................................542.1.4.6. Granična vrednost funkcije kada x teži beskonačnosti................................................542.1.4.7. Teoreme o graničnim vrednostima funkcija.................................................................552.1.4.8. Izračunavanje graničnih vrednosti...............................................................................552.1.4.9. Red veličine funkcija i simboli Landaua.......................................................................57

2.1.5. Neprekidnost funkcije...........................................................................................................582.1.5.1. Neprekidnost i mesto prekida......................................................................................582.1.5.2. Definicija neprekidnosti...............................................................................................592.1.5.3. Česti oblici prekida......................................................................................................592.1.5.4. Neprekidnost i mesta prekida elementarnih funkcija..................................................602.1.5.5. Svojstva neprekidnih funkcija......................................................................................61

2.2. Elementarne funkcije......................................................................................................................622.2.1. Algebarske funkcije...............................................................................................................62

2.2.1.1. Cele racionalne funkcije (polinomi)..............................................................................622.2.1.2. Razlomljene racionalne funkcije..................................................................................622.2.1.3. Iracionalne funkcije......................................................................................................63

2.2.2. Transcendentne funkcije.......................................................................................................632.2.2.1. Eksponencijalne funkcije..............................................................................................632.2.2.2. Logaritamske funkcije..................................................................................................632.2.2.3. Trigonometrijske funkcije.............................................................................................632.2.2.4. Inverzne trigonometrijske (arkus) funkcije..................................................................632.2.2.5. Hiperbolne funkcije......................................................................................................632.2.2.6. Inverzne hiperbolne (area) funkcije.............................................................................63

2.2.3. Složene funkcije....................................................................................................................632.3. Polinomi..........................................................................................................................................64

2.3.1. Linearne funkcije...................................................................................................................642.3.2. Kvadratni polinom.................................................................................................................642.3.3. Polinom 3. stepena................................................................................................................642.3.4. Polinom n-tog stepena..........................................................................................................652.3.5. Parabola n-tog reda...............................................................................................................66

2.4. Razlomljene racionalne funkcije.....................................................................................................662.4.1. Obrnuta srazmera.................................................................................................................662.4.2. Kriva 3. reda, tip I..................................................................................................................672.4.3. Kriva 3. reda, tip II.................................................................................................................672.4.4. Kriva 3. reda, tip III................................................................................................................692.4.5. Recipročna stepena funkcija.................................................................................................70

2.5. Iracionalne funkcije........................................................................................................................712.5.1. Kvadratni koren linearnog binoma........................................................................................712.5.2. Kvadratni koren kvadratnog polinoma..................................................................................712.5.3. Stepena funkcija...................................................................................................................71

2.6. Eksponencijalne i logaritamske funkcije.........................................................................................722.6.1. Eksponencijalna funkcija.......................................................................................................722.6.2. Logaritamske funkcije...........................................................................................................732.6.3. Gausova zvonolika kriva.......................................................................................................732.6.4. Zbir eksponencijala...............................................................................................................732.6.5. Poopštena Gausova zvonolika kriva......................................................................................742.6.6. Proizvod stepene i eksponencijalne funkcije.........................................................................75

2.7. Trigonometrijske funkcije (ugla).....................................................................................................762.7.1. Osnove..................................................................................................................................76

2.7.1.1. Definicija i grafovi........................................................................................................762.7.1.2. Opsezi vrednosti i tokovi funkcija................................................................................78

2.7.2. Važne formule za trigonometrijske funkcije..........................................................................80

III

Page 4: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

2.7.2.1. Odnosi trigonometrijskih funkcija................................................................................802.7.2.2. Trigonometrijske funkcije zbira i razlike dva ugla (teorema o zbiru)802.7.2.3. Trigonometrijske funkcije višestrukih uglova...............................................................812.7.2.4. Trigonometrijske funkcije poluugla..............................................................................822.7.2.5. Zbirovi i razlike dve trigonometrijske funkcije.............................................................822.7.2.6. Proizvod trigonometrijskih funkcija..............................................................................822.7.2.7. Stepeni trigonometrijskih funkcija...............................................................................83

2.7.3. Opis oscilacija.......................................................................................................................832.7.3.1. Postavljanje problema.................................................................................................832.7.3.2. Superpozicija oscilacija................................................................................................832.7.3.3. Vektorski dijagram oscilacija.......................................................................................842.7.3.4. Prigušenje oscilacija.....................................................................................................84

2.8. Ciklometrijske (arkus) funkcije.......................................................................................................852.8.1. Definicija ciklometrijskih funkcija..........................................................................................852.8.2. Svođenje na glavne vrednosti...............................................................................................852.8.3. Odnosi glavnih vrednosti.......................................................................................................862.8.4. Formule za negativne argumente.........................................................................................872.8.5. Zbir i razlika arcsin x i arcsin y..............................................................................................872.8.6. Zbir i razlika arccos x i arccos y............................................................................................872.8.7. Zbir i razlika arctan x i arctan y............................................................................................872.8.8. Specijalne relacije za arcsin x, arccos x i arctan x................................................................88

2.9. Hiperbolne funkcije.........................................................................................................................882.9.1. Definicija hiperbolnih funkcija...............................................................................................882.9.2. Grafičko predstavljanje hiperbolnih funkcija.........................................................................89

2.9.2.1. Hiperbolni sinus...........................................................................................................892.9.2.2. Hiperbolni kosinus.......................................................................................................892.9.2.3. Hiperbolni tangens.......................................................................................................902.9.2.4. Hiperbolni kotangens...................................................................................................90

2.9.3. Važne formule za hiperbolne funkcije...................................................................................902.9.3.1. Hiperbolne funkcije jedne promenljive........................................................................902.9.3.2. Predstavljanje jedne hiperbolne funkcije drugom uz isti argument.............................902.9.3.3. Formule za negativne argumente................................................................................902.9.3.4. Hiperbolne funkcije zbira i razlike dva argumenta.......................................................912.9.3.5. Hiperbolne funkcije dvostrukog argumenta.................................................................912.9.3.6. Moavreove formule hiperbolnih funkcija......................................................................912.9.3.7. Hiperbolne funkcije poluargumenta.............................................................................912.9.3.8. Zbirovi i razlike hiperbolnih funkcija............................................................................912.9.3.9. Veza hiperbolnih i trigonometrijskih funkcija izražena pomoću kompleksnih argumenata 92

2.10. Area funkcije.................................................................................................................................922.10.1. Definicije.............................................................................................................................92

2.10.1.1. Area sinus..................................................................................................................922.10.1.2. Area kosinus..............................................................................................................922.10.1.3. Area tangens.............................................................................................................932.10.1.4. Area kotangens..........................................................................................................93

2.10.2. Predstavljanje Area funkcija pomoću prirodnog logaritma..................................................932.10.3. Veze Area funkcija...............................................................................................................942.10.4. Zbirovi i razlike area funkcija..............................................................................................942.10.5. Formule za negativne argumente.......................................................................................94

2.11. Krive trećeg reda..........................................................................................................................952.11.1. Polukubna parabola............................................................................................................952.11.2. Agnezijeva versijera............................................................................................................952.11.3. Kartezijusov list...................................................................................................................962.11.4. Cisoida................................................................................................................................962.11.5. Strofoida..............................................................................................................................96

2.12. Krive četvrtog reda.......................................................................................................................972.12.1. Nikomedova konhoida.........................................................................................................972.12.2. Opšta konhoida...................................................................................................................982.12.3. Paskalov puž.......................................................................................................................982.12.4. Kardioida.............................................................................................................................992.12.5. Kasinijeve krive.................................................................................................................1002.12.6. Lemniskata........................................................................................................................101

2.13. Cikloide.......................................................................................................................................1012.13.1. Obična cikloida..................................................................................................................1012.13.2. Produžene i skraćene cikloide ili trohoide.........................................................................1022.13.3. Epicikloide.........................................................................................................................1032.13.4. Hipocikloida i astroida.......................................................................................................104

IV

Page 5: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

2.13.5. Produžena i skraćena epicikloida i hipocikloida................................................................1052.14. Spirale........................................................................................................................................105

2.14.1. Arhimedova spirala...........................................................................................................1052.14.2. Hiperbolna spirala.............................................................................................................1062.14.3. Logaritamska spirala.........................................................................................................1062.14.4. Evolventa kružnice............................................................................................................1072.14.5. Klotoida.............................................................................................................................107

2.15. Različite druge krive...................................................................................................................1082.15.1. Lančanica ili katenoida......................................................................................................1082.15.2. Kriva vučenja ili traktrisa...................................................................................................108

2.16. Pronalaženje funkcijske zavisnosti empirijskih krivih.................................................................1092.16.1. Postupak...........................................................................................................................109

2.16.1.1. Poređenje grafova funkcija......................................................................................1092.16.1.2. Rektifikacija.............................................................................................................1092.16.1.3. Određivanje parametara..........................................................................................109

2.16.2. Najčešće upotrebljavane empirijske formule....................................................................1102.16.2.1. Stepene funkcije......................................................................................................1102.16.2.2. Eksponencijalne funkcije..........................................................................................1102.16.2.3. Kvadratni polinom....................................................................................................1112.16.2.4. Razlomljena linearna funkcija..................................................................................1122.16.2.5. Kvadratni koren iz kvadratnog polinoma.................................................................1122.16.2.6. Poopštena Gausova zvonolika kriva.........................................................................1122.16.2.7. Kriva 3. reda, tip II...................................................................................................1132.16.2.8. Kriva 3. reda, tip III..................................................................................................1132.16.2.9. Kriva 3. reda, tip I....................................................................................................1132.16.2.10. Proizvod stepene i eksponencijalne funkcije..........................................................1142.16.2.11. Zbir eksponencijala................................................................................................1142.16.2.12. Potpuno izračunat primer......................................................................................114

2.17. Skale i funkcijski papir................................................................................................................1162.17.1. Skale.................................................................................................................................1162.17.2. Funkcijski papir.................................................................................................................117

2.17.2.1. Lin-log papir.............................................................................................................1182.17.2.2. Log-log papir............................................................................................................1182.17.2.3. Funkcijski papir sa recipročnom skalom..................................................................1182.17.2.4. Napomena...............................................................................................................119

2.18. Funkcije više promenljivih..........................................................................................................1202.18.1. Definicija i grafičko predstavljanje....................................................................................120

2.18.1.1. Definicija funkcija više promenljivih.........................................................................1202.18.1.2. Grafičko predstavljanje funkcija više promenljivih...................................................120

2.18.2. Različita područja definicije u ravni...................................................................................1212.18.2.1. Područje definicije funkcije zadate skupom tačaka.................................................1212.18.2.2. Dvodimenzionalna područja....................................................................................1212.18.2.3. Tro- i višedimenzionalna područja...........................................................................1212.18.2.4. Načini definisanja funkcije.......................................................................................1212.18.2.5. Oblici analitičkog zadavanja funkcije.......................................................................1232.18.2.6. Zavisnost funkcija....................................................................................................124

2.18.3. Granične vrednosti............................................................................................................1252.18.3.1. Definicija..................................................................................................................1252.18.3.2. Tačna formulacija....................................................................................................1252.18.3.3. Poopštenje na više promenljivih..............................................................................1252.18.3.4. Iterirane granične vrednosti.....................................................................................126

2.18.4. Neprekidnost.....................................................................................................................1262.18.5. Svojstva neprekidnih funkcija...........................................................................................126

2.18.5.1. Bolcanov teorema o nul-tačkama............................................................................1262.18.5.2. Teorema o međuvrednosti.......................................................................................1262.18.5.3. Teorema o ograničenosti funkcije............................................................................1262.18.5.4. Vajerštrasov teorema o egzistenciji najveće i najmanje vrednosti funkcije.............127

2.19. Nomografija................................................................................................................................1272.19.1. Nomogrami.......................................................................................................................1272.19.2. Mrežne tabele...................................................................................................................1272.19.3. Nomogrami tačaka na pravim...........................................................................................128

2.19.3.1. Nomogram sa tri prave koje prolaze kroz istu tačku...............................................1282.19.3.2. Nomogram sa dve paralelne prave i trećom koja ih seče........................................1292.19.3.3. Nomogram sa dve paralelne prave i jednom krivom...............................................130

2.19.4. Mrežne tabele za više od tri promenljive..........................................................................1313. Geometrija...........................................................................................................................................132

V

Page 6: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

3.1. Geometrija u ravni (planimetrija).................................................................................................1323.1.1. Osnovni pojmovi..................................................................................................................132

3.1.1.1. Tačka, prava, poluprava, odsečak.............................................................................1323.1.1.2. Ugao..........................................................................................................................1323.1.1.3. Uglovi dve prave koje se seku...................................................................................1333.1.1.4. Parovi uglova paralelnih pravih koje seče treča prava..............................................1333.1.1.5. Uglovi izraženi u stepenima i u radijanima................................................................134

3.1.2. Geometrijska definicija cirkularnih i hiperbolnih funkcija....................................................1343.1.2.1. Definicija cirkularnih ili trigonometrijskih funkcija.....................................................1343.1.2.2. Geometrijska definicija hiperbolnih funkcija..............................................................135

3.1.3. Trougao u ravni...................................................................................................................1363.1.3.1. Svojstva trouglova u davni........................................................................................1363.1.3.2. Simetrija....................................................................................................................137

3.1.4. Četvorougao u ravni............................................................................................................1393.1.4.1. Paralelogram..............................................................................................................1393.1.4.2. Pravougaonik i kvadrat..............................................................................................1393.1.4.3. Romb.........................................................................................................................1393.1.4.4. Trapez........................................................................................................................1393.1.4.5. Poopšteni četvorougao..............................................................................................1403.1.4.6. Tetivni četvorougao...................................................................................................1403.1.4.7. Tangentni četvorougao..............................................................................................141

3.1.5. Mnogouglovi (poligoni) u ravni............................................................................................1413.1.5.1. Poopšteni mnogougao...............................................................................................1413.1.5.2. Pravilni konveksni mnogouglovi.................................................................................1413.1.5.3. Neki pravilni konveksni mnogouglovi........................................................................142

3.1.6. Kružni likovi u ravni.............................................................................................................1433.1.6.1. Krug...........................................................................................................................1433.1.6.2. Otsečak (segment) i isečak (sektor) kruga................................................................1453.1.6.3. Kružni prsten..............................................................................................................145

3.2. Ravanska trigonometrija..............................................................................................................1463.2.1. Izračunavanje trouglova......................................................................................................146

3.2.1.1. Izračunavanje trouglova u pravolinijskim koordinatama...........................................1463.2.1.2. Izračunavanje trouglova u krivolinijskim koordinatama.............................................146

3.2.2. Geodetske primene.............................................................................................................1493.2.2.1. Geodetske koordinate................................................................................................1493.2.2.2. Uglovi u geodeziji.......................................................................................................1503.2.2.3. Primene u premeru zemljišta.....................................................................................152

3.3. Geometrija u prostoru (stereometrija)..........................................................................................1553.3.1. Prave i ravni u prostoru.......................................................................................................1553.3.2. Rubovi, ivice, prostorni uglovi.............................................................................................1563.3.3. Uglasta tela (poliedri)..........................................................................................................1573.3.4. Obla tela..............................................................................................................................160

3.4. Sferna trigonometrija...................................................................................................................1643.4.1. Osnovni pojmovi geometrije na kugli..................................................................................164

3.4.1.1. Krive, lukovi i uglovi na kugli.....................................................................................1643.4.1.2. Specijalni koordinatni sistemi....................................................................................1663.4.1.3. Sferni ugao................................................................................................................1673.4.1.4. Sferni trougao............................................................................................................1673.4.1.5. Polarni trougao..........................................................................................................1683.4.1.6. Ojlerovi i ne-Ojlerovi trouglovi...................................................................................1693.4.1.7. Triedar.......................................................................................................................169

3.4.2. Osnovna svojstva sfernih trouglova....................................................................................1693.4.2.1. Opšte teoreme...........................................................................................................1693.4.2.2. Osnovne formule i primene.......................................................................................1703.4.2.3. Ostale formule...........................................................................................................173

3.4.3. Izračunavanje sfernih trouglova..........................................................................................1743.4.3.1. Osnovni zadaci, ocena tačnosti.................................................................................1743.4.3.2. Pravougaoni sferni trougao........................................................................................1743.4.3.3. Kosougaoni sferni trougao.........................................................................................1763.4.3.4. Sferne krive...............................................................................................................180

3.5. Vektorska algebra i analitička geometrija....................................................................................1863.5.1. Vektorska algebra...............................................................................................................186

3.5.1.1. Definicija vektora, pravila računanja.........................................................................1863.5.1.2. Skalarni i vektorski proizvod......................................................................................1893.5.1.3. Višestruki proizvodi....................................................................................................1913.5.1.4. Vektorske jednačine..................................................................................................194

VI

Page 7: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

3.5.1.5. Kovarijantne i kontravarijantne koordinate vektora..................................................1943.5.1.6. Geometrijske primene vektorske algebre..................................................................195

3.5.2. Analitička geometrija u ravni..............................................................................................1953.5.2.1. Ravanski koordinatni sistemi i njihove transformacije...............................................1953.5.2.2. Istaknute tačke ravni.................................................................................................1983.5.2.3. Prava..........................................................................................................................2013.5.2.4. Krug...........................................................................................................................2043.5.2.5. Elipsa.........................................................................................................................2053.5.2.6. Hiperbola...................................................................................................................2073.5.2.7. Parabola.....................................................................................................................2103.5.2.8. Krive 2. reda..............................................................................................................212

3.5.3. Analitička geometrija u prostoru.........................................................................................2143.5.3.1. Osnove, prostorni koordinatni sistemi.......................................................................2143.5.3.2. Prava i ravan u prostoru............................................................................................2213.5.3.3. Površi 2. reda, jednačine u normalnom obliku...........................................................2273.5.3.4. Površi 2. reda, opšta teorija.......................................................................................231

3.6. Diferencijalna geometrija.............................................................................................................2333.6.1. Krive u ravni........................................................................................................................233

3.6.1.1. Načini definisanja ravanske krive..............................................................................2333.6.1.2. Lokalni elementi krive................................................................................................2343.6.1.3. Istaknute tačke krive i asimptote...............................................................................2393.6.1.4. Opšte ispitivanje krive preko njene jednačine...........................................................2443.6.1.5. Evolute i evolvente....................................................................................................2453.6.1.6. Obvojnica (anvelopa) porodice krivih........................................................................246

3.6.2. Krive u prostoru..................................................................................................................2473.6.2.1. Načini definisanja prostorne krive.............................................................................2473.6.2.2. Prateći triedar............................................................................................................2473.6.2.3. Zakrivljenost i izvijanje..............................................................................................250

3.6.3. Površi.................................................................................................................................252 3.6.3.1. Načini definisanja površi............................................................................................2523.6.3.2. Tangencijalna ravan i normala na površ....................................................................2533.6.3.3. Linijski element na površi..........................................................................................2543.6.3.4. Zakrivljenost površi...................................................................................................2563.6.3.5. Pravčaste površi i površi koje se mogu razmotati......................................................2593.6.3.6. Geodetske linije na površi..........................................................................................259

4. Linearna algebra..................................................................................................................................2614.1. Matrice.........................................................................................................................................261

4.1.1. Definicija matrice................................................................................................................2614.1.2. Kvadratne matrice...............................................................................................................2624.1.3. Vektori.................................................................................................................................2634.1.4. Računske operacije s matricama........................................................................................2644.1.5. Pravila računanja s matricama............................................................................................2674.1.6. Norma vektora i matrice.....................................................................................................268

4.1.6.1. Norme vektora...........................................................................................................2684.1.6.2. Norme matrica...........................................................................................................269

4.2. Determinante...............................................................................................................................2694.2.1. Definicije.............................................................................................................................269

4.2.1.1. Determinante.............................................................................................................2694.2.1.2. Poddeterminante.......................................................................................................269

4.2.2. Pravila računanja s determinantama..................................................................................2704.2.3. Izračunavanje determinanata.............................................................................................271

4.3. Tenzori..........................................................................................................................................2724.3.1. Transformacije koordinatnih sistema..................................................................................2724.3.2. Tenzori u pravouglim koordinatama...................................................................................2724.3.3. Tenzori specijalnih svojstava...............................................................................................274

4.3.3.1. Tenzori 2. reda...........................................................................................................2744.3.3.2. Invarijantni tenzori.....................................................................................................275

4.3.4. Tenzori u krivolinijskim koordinatnim sistemima................................................................2764.3.4.1. Kovarijantni i kontravarijantni bazni vektori..............................................................2764.3.4.2. Kovarijantne i kontravarijantne koordinate tenzora 1. reda......................................276

4.3.4.3. Kovarijantne, kontravarijantne i mešovite koordinate tenzora 2. reda 2774.3.4.4. Pravila računanja.......................................................................................................278

4.3.5. Psudotenzori.......................................................................................................................2794.3.5.1. Ogledanje tačke u odnosu na koordinatni početak....................................................2794.3.5.2. Uvođenje pojma pseudotenzora................................................................................280

4.4. Sistemi linearnih jednačina..........................................................................................................281

VII

Page 8: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

4.4.1. Linearni sistemi, postupak zamene.....................................................................................2814.4.1.1. Linearni sistemi..........................................................................................................2814.4.1.2. Postupak zamene.......................................................................................................2814.4.1.3. Linearna zavisnost.....................................................................................................2824.4.1.4. Invertiranje matrice...................................................................................................282

4.4.2. Rešavanje sistema linearnih jednačina...............................................................................2814.4.2.1. Definicija i rešivost.....................................................................................................2824.4.2.2. Primena postupka zamene........................................................................................2844.4.2.3. Kramerovo pravilo.....................................................................................................2854.4.2.4. Gausov algoritam.......................................................................................................286

4.4.3. Preodređeni sistemi linearnih jednačina.............................................................................2874.4.3.1. Preodređeni sistemi linearnih jednačina i linearni srednjekvadratni problemi...........2874.4.3.2. Uputstva za numeričko rešavanje linearnih srednjekvadratnih problema.................288

4.5. Zadaci sa sopstvenim vrednostima matrica.................................................................................2884.5.1. Opšte o problemu sopstvenih vrednosti..............................................................................2884.5.2. Specijalni problem sopstvenih vrednosti.............................................................................288

4.5.2.1. Karakteristični polinom..............................................................................................2884.5.2.2. Realne simetrične matrice, identičke transformacije.................................................2904.5.2.3. Transformacija glavnih osa kvadratnih formi.............................................................2914.5.2.4. Uputstva za numeričko određivanje sopstvenih vrednosti........................................293

4.5.3. Rastavljanje na singularne vrednosti..................................................................................2955. Algebra i diskretna matematika..........................................................................................................297

5.1. Logika...........................................................................................................................................2975.1.1. Logika iskaza.......................................................................................................................2975.1.2. Izrazi logike predikata.........................................................................................................300

5.2. Teorija skupova............................................................................................................................3025.2.1. Pojam skupa, specijalni skupovi..........................................................................................3025.2.2. Operacije sa skupovima......................................................................................................3035.2.3. Odnosi i grafičko predstavljanje..........................................................................................3065.2.4. Odnosi ekvivalentnosti i uređenosti....................................................................................3085.2.5. Obim skupova.....................................................................................................................309

5.3. Klasične alebarske strukture........................................................................................................3105.3.1. Operacije.............................................................................................................................3105.3.2. Polugrupe............................................................................................................................3105.3.3. Grupe..................................................................................................................................311

5.3.3.1. Definicija i osnovna svojstva......................................................................................3115.3.3.2. Podgrupe i direktni proizvodi.....................................................................................3125.3.3.3. Preslikavanja grupa...................................................................................................314

5.3.4. Prikazivanje grupa...............................................................................................................3155.3.4.1. Definicije....................................................................................................................3155.3.4.2. Specijalni prikazi........................................................................................................3155.3.4.3. Direktni zbirovi prikaza..............................................................................................3165.3.4.4. Direktni proizvodi prikaza..........................................................................................3175.3.4.5. Reducibilni i nereducibilni prikazi..............................................................................3175.3.4.6. Prva Šuršova lema.....................................................................................................3185.3.4.7. Klebš-Gordanov niz....................................................................................................3185.3.4.8. Nereducibilni prikazi simetrične grupe SM..................................................................318

5.3.5. Primene grupa.....................................................................................................................3195.3.5.1. Simetrične operacije, simetrični elementi..................................................................3195.3.5.2. Simetrične grupe.......................................................................................................3195.3.5.3. Simetrične operacije nad molekulama.......................................................................3205.3.5.4. Simetrične grupe u kristalografiji...............................................................................3225.3.5.5. Simetrične grupe u kvantnoj mehanici......................................................................3245.3.5.6. Ostali primeri primene iz fizike..................................................................................324

5.3.6. Prsteni i tela........................................................................................................................3255.3.6.1. Definicije....................................................................................................................3255.3.6.2. Potprstenovi, ideali....................................................................................................3265.3.6.3. Homomorfizmi, izomorfizmi, teorema o homomorfiji.................................................326

5.3.7. Vektorski prostori................................................................................................................3265.3.7.1. Definicija....................................................................................................................3265.3.7.2. Linearna zavisnost.....................................................................................................3275.3.7.3. Linearna preslikavanja...............................................................................................3275.3.7.4. Potprostori, formula za dimenziju..............................................................................3275.3.7.5. Euklidovi vektorski prostori, Euklidova norma...........................................................3285.3.7.6. Linearni operatori u vektorskim prostorima...............................................................329

5.4. Elementarna teorija brojeva.........................................................................................................330

VIII

Page 9: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

5.4.1. Deljivost..............................................................................................................................3305.4.1.1. Deljivost i elementarna pravila deljenja.....................................................................3305.4.1.2. Prim brojevi................................................................................................................3305.4.1.3. Kriterijumi deljivosti...................................................................................................3325.4.1.4. Najveći zajednički delilac i najmanji zajednički faktor...............................................3335.4.1.5. Fibonačijevi brojevi....................................................................................................334

5.4.2. Linearne Diofantove jednačine............................................................................................3355.4.3. Kongruencija i klase ostatka...............................................................................................3375.4.4. Teoreme Fermaa, Ojlera i Vilsona.......................................................................................3415.4.5. Kodovi................................................................................................................................341

5.5. Kriptologija...................................................................................................................................3445.5.1. Zadatak kriptologije............................................................................................................3445.5.2. Kriptosistemi.......................................................................................................................3445.5.3. Matematičko preciziranje....................................................................................................3445.5.4. Bezbednost kriptosistema...................................................................................................345

5.5.4.1. Metode klasične kriptologije......................................................................................3455.5.4.2. Zamenske šifre..........................................................................................................3465.5.4.3. Vigenerove šifre.........................................................................................................3465.5.4.4. Matrične zamene.......................................................................................................346

5.5.5. Metode klasične kriptoanalize.............................................................................................3475.5.5.1. Statistička analiza......................................................................................................3475.5.5.2. Test Kasiki-Fridmana..................................................................................................347

5.5.6. Traka za jednokratnu upotrebu...........................................................................................3485.5.7. Metoda javnog ključa..........................................................................................................348

5.5.7.1. Koncept Difija i Helmana............................................................................................3485.5.7.2. Jednosmerne funkcije................................................................................................3495.5.7.3. Postupak RSA.............................................................................................................349

5.5.8. Algoritam DES (Data Encryption Standard).........................................................................3505.5.9. Algoritam IDEA (International Data Encryption Algorithm).................................................350

5.6. Univerzalna algebra......................................................................................................................3515.6.1. Definicija.............................................................................................................................3515.6.2. Odnosi kongruentnosti, faktorske algebre..........................................................................3515.6.3. Homomorfizmi.....................................................................................................................3515.6.4. Teorema o homomorfiji.......................................................................................................3525.6.5. Varijeteti..............................................................................................................................3525.6.6. Konačne algebre, slobodne algebre....................................................................................352

5.7. Bulove algebre i prebacivačka algebra........................................................................................3535.7.1. Definicija.............................................................................................................................3535.7.2. Princip dvojnosti..................................................................................................................3535.7.3. Konačne Bulove algebre.....................................................................................................3545.7.4. Bulove algebre kao redosledi..............................................................................................3545.7.5. Bulove funkcije, Bulovi izrazi...............................................................................................3545.7.6. Normalni oblici....................................................................................................................3565.7.7. Prebacivačka algebra..........................................................................................................356

5.8. Algoritmi teorije grafova...............................................................................................................3595.8.1. Osnovni pojmovi i oznake...................................................................................................3595.8.2. Tok neusmerenih grafova...................................................................................................362

5.8.2.1. Nizovi stranica...........................................................................................................3625.8.2.2. Ojlerove linije.............................................................................................................3635.8.2.3. Hamiltonovi krugovi...................................................................................................364

5.8.3. Stabla i grane......................................................................................................................3655.8.3.1. Stabla.........................................................................................................................3655.8.3.2. Grane.........................................................................................................................366

5.8.4. Odgovaranja........................................................................................................................3675.8.5. Ravanski grafovi..................................................................................................................3685.8.6. Putanje usmerenih grafova.................................................................................................3695.8.7. Transportne mreže..............................................................................................................370

5.9. Fazi logika....................................................................................................................................3725.9.1. Osnove fazi logike...............................................................................................................372

5.9.1.1. Interpretacija fazi (neisključivih) skupova..................................................................3725.9.1.2. Funkcije pripadnosti...................................................................................................3735.9.1.3. Fazi (neisključivi) skupovi..........................................................................................375

5.9.2. Pripadnost neisključivim skupovima...................................................................................3765.9.2.1. Koncept pripadnosti neisključivim skupovima...........................................................3765.9.2.2. Praktična pripadnost neisključivim skupovima..........................................................3775.9.2.3. Kompenzatorni operatori...........................................................................................380

IX

Page 10: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

5.9.2.4. Princip proširenja.......................................................................................................3805.9.2.5. Neisključiva funkcija komplementa............................................................................380

5.9.3. Odnosi fazi vrednosti...........................................................................................................3815.9.3.1. Fazi odnosi.................................................................................................................3815.9.3.2. Proizvod fazi relacija R○S..........................................................................................383

5.9.4. Fazi zaključivanje................................................................................................................3845.9.5. Metode defazifikacije..........................................................................................................3865.9.6. Baze znanja s fazi zaključivanjem.......................................................................................387

5.9.6.1. Metoda Mamdanija....................................................................................................3875.9.6.2. Metoda Šugenoa........................................................................................................3875.9.6.3. Kognitivni sistemi.......................................................................................................3885.9.6.4. Interpolaciona baza znanja........................................................................................390

6. Diferencijalni račun..............................................................................................................................3936.1. Diferenciranje funkcija jedne promenljive....................................................................................393

6.1.1. Diferencijalni količnik..........................................................................................................3936.1.2. Pravila diferenciranja funkcija jedne promenljive................................................................394

6.1.2.1. Izvodi elementarnih funkcija......................................................................................3946.1.2.2. Osnovna pravila diferenciranja..................................................................................394

6.1.3. Izvodi višeg reda.................................................................................................................4006.1.3.1. Definicija izvoda višeg reda.......................................................................................4006.1.3.2. Izvodi višeg reda najjednostavnijih funkcija...............................................................4006.1.3.3. Lajbnicovo pravilo......................................................................................................4006.1.3.4. Izvodi višeg reda parametarski predstavljenih funkcija.............................................4016.1.3.5. Izvodi višeg reda inverznih funkcija...........................................................................401

6.1.4. Glavne teoreme diferencijalnog računa..............................................................................4026.1.4.1. Uslovi monotonosti....................................................................................................4026.1.4.2. Fermaova teorema....................................................................................................4026.1.4.3. Roleova teorema........................................................................................................4036.1.4.4. Teorema o srednjoj vrednosti u diferencijalnom računu............................................4036.1.4.5. Tejlorov teorema o funkcijama jedne promenljive.....................................................4046.1.4.6. Poopšteni teorema o srednjoj vrednosti u diferencijalnom računu............................404

6.1.5. Određivanje tačaka ekstrema i prevoja..............................................................................4046.1.5.1. Maksimumi i minimumi..............................................................................................4046.1.5.2. Nužni uslovi za egzistenciju relativnog ekstrema funkcije.........................................4056.1.5.3. Relativni ekstremi diferencijabilne, eksplicitno zadate funkcije y = f(x)....................4056.1.5.4. Određivanje tačaka globalnih ekstrema....................................................................4066.1.5.5. Određivanje ekstrema implicitno zadate funkcije......................................................406

6.2. Diferenciranje funkcija više promenljivih......................................................................................4076.2.1. Parcijalni izvodi...................................................................................................................407

6.2.1.1. Parcijalni izvod funkcije..............................................................................................4076.2.1.2. Geometrijsko značenje kod funkcija dve promenljive................................................4076.2.1.3. Pojam diferencijala....................................................................................................4076.2.1.4. Osnovna svojstva diferencijala..................................................................................4086.2.1.5. Parcijalni diferencijal..................................................................................................409

6.2.2. Potpuni diferencijal i diferencijali višeg reda.......................................................................4096.2.2.1. Pojam potpunog diferencijala funkcije više promenljivih (totalni diferencijal)...........4096.2.2.2. Izvodi i diferencijali viših redova................................................................................4106.2.2.3. Tejlorov teorema za funkcije više promenljivih..........................................................411

6.2.3. Pravila diferenciranja funkcija više promenljivih.................................................................4126.2.3.1. Diferenciranje složenih funkcija.................................................................................4126.2.3.2. Diferenciranje implicitnih funkcija.............................................................................412

6.2.4. Zamena promenljivih u diferencijalnim izrazima i transformacija koordinata.....................4146.2.4.1. Funkcija jedne promenljive........................................................................................4146.2.4.2. Funkcija dve promenljive...........................................................................................415

6.2.5. Ekstremi funkcija više promenljivih.....................................................................................4166.2.5.1. Definicija....................................................................................................................4166.2.5.2. Geometrijsko značenje..............................................................................................4166.2.5.3. Određivanje ekstrema funkcije dve promenljive........................................................4176.2.5.4. Određivanje ekstrema funkcije n promenljivih..........................................................4176.2.5.5. Približno rešavanje zadataka.....................................................................................4176.2.5.6. Određivanje ekstrema kada su zadati dopunski uslovi..............................................418

7. Beskonačni redovi...............................................................................................................................4197.1. Nizovi brojeva...............................................................................................................................419

7.1.1. Svojstva brojevnih nizova...................................................................................................4197.1.1.1. Definicija brojevnog niza............................................................................................4197.1.1.2. Monotoni brojevni nizovi............................................................................................419

X

Page 11: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

7.1.1.3. Ograničeni brojevni nizovi.........................................................................................4197.1.2. Granične vrednosti brojevnih nizova...................................................................................420

7.2. Redovi konstantnih članova.........................................................................................................4217.2.1. Opšte teoreme o konvergenciji...........................................................................................421

7.2.1.1. Konvergencija i divergencija beskonačnih redova.....................................................4217.2.1.2. Opšte teoreme o konvergenciji redova......................................................................421

7.2.2. Kriterijumi konvergencije za redove pozitivnih članova......................................................4227.2.2.1. Kriterijum porešenja..................................................................................................4227.2.2.2. Dalemberov kriterijum količnika................................................................................4227.2.2.3. Košijev kriterijum korena...........................................................................................4237.2.2.4. Košijev integralni kriterijum.......................................................................................424

7.2.3. Apsolutna i uslovna konvergencija......................................................................................4247.2.3.1. Definicija....................................................................................................................4247.2.3.2. Svojstva apsolutno konvergentnih redova.................................................................4247.2.3.3. Alternirajući redovi.....................................................................................................425

7.2.4. Neki specijalni redovi..........................................................................................................4257.2.4.1. Zbirovi nekih redova konstantnih članova.................................................................4257.2.4.2. Bernulijevi i Ojlerovi brojevi.......................................................................................427

7.2.5. Ocena ostatka reda.............................................................................................................4287.2.5.1. Ocena pomoću majorante..........................................................................................4287.2.5.2. Alternirajući konvergentni redovi...............................................................................4297.2.5.3. Specijalni redovi.........................................................................................................429

7.3. Redovi funkcija.............................................................................................................................4297.3.1. Definicije.............................................................................................................................4297.3.2. Jednolika konvergencija......................................................................................................429

7.3.2.1. Definicija, Vajerštrasova teorema..............................................................................4297.3.2.2. Svojstva jednoliko konvergentnih redova..................................................................430

7.3.3. Redovi potencija..................................................................................................................4317.3.3.1. Definicija, konvergencija............................................................................................4317.3.3.2. Računanje s redovima potencija................................................................................4317.3.3.3. Razvoj u Tejlorov i u Meklorenov red.........................................................................433

7.3.4. Formule za približno računanje...........................................................................................4347.3.5. Asimptotski konvergentni redovi potencija.........................................................................434

7.3.5.1. Asimptotska jednakost...............................................................................................4347.3.5.2. Asimptotski redovi potencija......................................................................................434

7.4. Furijeovi redovi.............................................................................................................................4367.4.1. Trigonometrijski zbir i Furijeovi redovi................................................................................437

7.4.1.1. Osnovni pojmovi........................................................................................................4367.4.1.2. Najvažnija svojstva Furijeovih redova........................................................................437

7.4.2. Određivanje koeficijenata simetričnih funkcija....................................................................4387.4.2.1. Različite simetrije......................................................................................................4387.4.2.2. Oblici razvoja u Furijeov red......................................................................................439

7.4.3. Određivanje koeficijenata numeričkim metodama..............................................................4407.4.4. Furijeov red i integral..........................................................................................................4407.4.5. Uputstva za primenu tabele nekih Furijeovih redova..........................................................441

8. Integralni račun...................................................................................................................................4438.1. Neodređeni integral......................................................................................................................443

8.1.1. Primitivna funkcija ili integral..............................................................................................4438.1.1.1. Neodređeni integrali..................................................................................................4448.1.1.2. Integrali elementarnih funkcija..................................................................................444

8.1.2. Pravila integracije...............................................................................................................4448.1.3. Integracija racionalnih funkcija...........................................................................................447

8.1.3.1. Integrali celih racionalnih funkcija (polinoma)...........................................................4478.1.3.2. Integrali razlomljenih racionalnih funkcija.................................................................4488.1.3.3. Četiri sučaja prilikom rastavljanja na parcijalne razlomke.........................................448

8.1.4. Integracija iracionalnih funkcija..........................................................................................4508.1.4.1. Zamena radi svođenja na integrale racionalnih funkcija...........................................4508.1.4.2. Integracija binomnih argumenata..............................................................................4518.1.4.3. Eliptički integrali........................................................................................................452

8.1.5. Integracija trigonometrijskih funkcija..................................................................................4538.1.5.1. Zamena......................................................................................................................4538.1.5.2. Pojednostavljene metode...........................................................................................454

8.1.6. Integracija ostalih transcendentnih funkcija.......................................................................4558.1.6.1. Integrali sa eksponencijalnim funkcijama..................................................................4558.1.6.2. Integrali sa hiperbolnim funkcijama...........................................................................4558.1.6.3. Primena parcijalne integracije...................................................................................455

XI

Page 12: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

8.1.6.4. Integrali transcendentnih funkcija.............................................................................4568.2. Određeni integrali.........................................................................................................................456

8.2.1. Osnovni pojmovi, pravila i teoreme....................................................................................4568.2.1.1. Definicija i egzistencija određenih integrala..............................................................4568.2.1.2. Svojstva određenih integrala.....................................................................................4578.2.1.3. Ostale teoreme o granicama integracije....................................................................4598.2.1.4. Izračunavanje određenih integrala............................................................................460

8.2.2. Primene određenih integrala...............................................................................................4638.2.2.1. Opšti princip za primenu određenih integrala............................................................4638.2.2.2. Primene u geometriji.................................................................................................4648.2.2.3. Primene u mehanici i fizici.........................................................................................467

8.2.3. Nepravi integrali, Stiltjesovi i Lebegovi integrali.................................................................4698.2.3.1. Popštenje pojma integrala.........................................................................................4698.2.3.2. Integrali sa beskonačnim granicama integracije.......................................................4708.2.3.3. Integrali sa neograničenim integrandima..................................................................473

8.2.4. Parametarski integrali.........................................................................................................4758.2.4.1. Definicija parametarskog integrala............................................................................4758.2.4.2. Diferenciranje pod znakom integrala.........................................................................4758.2.4.3. Integraljenje pod znakom integrala...........................................................................476

8.2.5. Integracija razvojem u red, istaknute neelementarne funkcije...........................................4768.3. Krivolinijski integrali.....................................................................................................................479

8.3.1. Krivolinijski integrali 1. vrste...............................................................................................4798.3.1.1. Definicije....................................................................................................................4798.3.1.2. Teorema o egzistenciji integrala................................................................................4808.3.1.3. Izračunavanje krivolinijskih integrala 1. vrste............................................................4808.3.1.4. Primene krivolinijskih integrala 1. vrste.....................................................................4818.3.1.5. Krivolinijski integrali 1. vrste......................................................................................4818.3.1.6. Krivolinijski integrali opšte vrste................................................................................483

8.3.2. Krivolinijski integrali 2. vrste...............................................................................................4818.3.3. Opšti krivolinijski integrali...................................................................................................4838.3.4. Nezavisnost krivolinijskog integrala od puta integracije.....................................................485

8.4. Višestruki integrali........................................................................................................................4888.4.1. Dvostruki integral................................................................................................................488

8.4.1.1. Pojam dvostrukog integrala.......................................................................................4888.4.1.2. Izračunavanje dvostrukog integrala...........................................................................4898.4.1.3. Primene dvostrukog integrala....................................................................................491

8.4.2. Trostruki integral.................................................................................................................4918.4.2.1. Pojam trostrukog integrala........................................................................................4918.4.2.2. Izračunavanje trostrukog integrala............................................................................4928.4.2.3. Primene trostrukog integrala.....................................................................................496

8.5. Površinski integrali.......................................................................................................................4968.5.1.1. Površinski integrali 1. vrste........................................................................................4968.5.1.2. Izračunavanje površinskih integrala 1. vrste.............................................................4988.5.1.3. Primene površinskih integrala 1. vrste......................................................................499

8.5.2. Površinski integrali 2. vrste.................................................................................................5008.5.2.1. Površinski integrali 2. vrste........................................................................................5008.5.2.2. Izračunavanje površinskih integrala 1. vrste.............................................................5018.5.2.3. Jedna primena površinskog integrala........................................................................503

9. Diferencijalne jednačine......................................................................................................................5049.1. Obične diferencijalne jednačine...................................................................................................504

9.1.1. Diferencijalne jednačine 1. reda..........................................................................................5059.1.1.1. Teorema o egzistenciji, polje smerova.......................................................................5059.1.1.2. Važne metode integracije..........................................................................................5069.1.1.3. Implicitne diferencijalne jednačine............................................................................5099.1.1.4. Singularni integrali i singularne tačke........................................................................5109.1.1.5. Približne metode integracije diferencijalnih jednačina 1. reda..................................513

9.1.2. Diferencijalne jednačine višeg reda i sistemi diferencijalnih jednačina..............................5159.1.2.1. Osnovna razmatranja.................................................................................................5159.1.2.2. Snižavanje reda jednačine.........................................................................................5169.1.2.3. Linearne diferencijalne jednačine n-tog reda.............................................................5189.1.2.4. Rešavanje linearnih diferencijalnih jednačina s konstantnim koeficijentima.............5209.1.2.5. Sistemi linearnih diferencijalnih jednačina s konstantnim koeficijentima..................5229.1.2.6. Linearne diferencijalne jednačine 2. reda..................................................................525

9.1.3. Problemi rubnih uslova........................................................................................................5329.1.3.1. Postavka problema....................................................................................................5329.1.3.2. Osnovna svojstva sopstvenih funkcija i sopstvenih vrednosti...................................533

XII

Page 13: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

9.1.3.3. Razlaganje na sopstvene funkcije..............................................................................5349.1.3.4. Singularni slučajevi....................................................................................................534

9.2. Parcijalne diferencijalne jednačine...............................................................................................5359.2.1. Parcijalne diferencijalne jednačine 1. reda..........................................................................535

9.2.1.1. Linearne parcijalne diferencijalne jednačine 1. reda.................................................5359.2.1.2. Nelinearne parcijalne diferencijalne jednačine 1. reda..............................................537

9.2.2. Linearne parcijalne diferencijalne jednačine 2. reda...........................................................5409.2.2.1. Klasifikacija i svojstva diferencijalnih jednačina 2. reda sa dve nezavisne promenljive5409.2.2.2. Klasifikacija i svojstva diferencijalnih jednačina 2. reda sa više od dve nezavisne promenljive

....................................................................................................................................5429.2.2.3. Metode integracije linearnih parcijalnih diferencijalnih jednačina 2. reda.................543

9.2.3. Parcijalne diferencijalne jednačine u prirodnim naukama i tehnici.....................................5549.2.3.1. Postavka problema i rubni uslovi...............................................................................5549.2.3.2. Talasna jednačina......................................................................................................5559.2.3.3. Jednačina provođenja i difuzije toplote u homogenom medijumu.............................5569.2.3.4. Jednačina potencijala.................................................................................................5579.2.3.5. Šredingerova jednačina.............................................................................................557

9.2.4. Nelinearne parcijalne diferencijalne jednačine, solitoni......................................................5669.2.4.1. Fizičko-matematička postavka problema..................................................................5669.2.4.2. Kortveg-Devrisova jednačina.....................................................................................5679.2.4.3. Nelinearna Šredingerova jednačina...........................................................................5699.2.4.4. Sinus-Gordonova jednačina.......................................................................................5699.2.4.5. Ostale nelinearne evolucione jednačine sa solitonskim rešenjima............................571

10. Varijacioni račun..................................................................................................................................57210.1. Postavka zadatka.......................................................................................................................57210.2. Istorijski zadaci...........................................................................................................................573

10.2.1. Izoperimetarski problem...................................................................................................57310.2.2. Problem brahistohrone......................................................................................................573

10.3. Varijacioni zadaci sa funkcijama jedne promenljive...................................................................57410.3.1. Jednostavan varijacioni zadatak i ekstremala...................................................................57410.3.2. Ojlerova diferencijalna jednačina varijacionog računa......................................................57410.3.3. Varijacioni zadaci sa rubnim uslovima..............................................................................57610.3.4. Varijacioni zadaci sa višim izvodima.................................................................................57710.3.5. Varijacioni zadaci sa više traženih funkcija.......................................................................57710.3.6. Parametarski zadati varijacioni zadaci..............................................................................578

10.4. Varijacioni zadaci sa funkcijama više promenljivih.....................................................................57910.4.1. Jednostavni varijacioni zadaci...........................................................................................57910.4.2. Opšti varijacioni zadaci.....................................................................................................580

10.5. Numeričko rešavanje varijacionih zadataka...............................................................................58010.6. Dopune.......................................................................................................................................582

10.6.1. Prva i druga varijacija........................................................................................................58210.6.2. Primene u fizici..................................................................................................................582

11. Linearne integralne jednačine 58311.1. Uvod i klasifikacija......................................................................................................................58311.2. Fredholmove diferencijalne jednačine 2. vrste...........................................................................584

11.2.1. Integrale jednačine sa izrođenim jezgrima.......................................................................58411.2.2. Metoda uzastopnih približenja, Nojmanov red..................................................................58711.2.3. Fredholmova metoda rešavanja, Fredholmova teorema...................................................589

11.2.3.1. Fredholmova metoda rešavanja..............................................................................58911.2.3.2. Fredholmove teoreme..............................................................................................591

11.2.4. Numerički postupak za Fredholmove integralne jednačine 2 vrste...................................59211.2.4.1. Približno rešavanje integrala....................................................................................59211.2.4.2. Aproksimacija jezgra................................................................................................59411.2.4.3. Metoda kolokacije....................................................................................................596

11.3. Fredholmove diferencijalne jednačine 1. vrste...........................................................................59811.3.1. Integralne jednačine sa izrođenim jezgrima.....................................................................59811.3.2. Pojmovi, analitičke osnove................................................................................................59911.3.3. Svođenje integralne jednačine na sistem linearnih jednačina..........................................60011.3.4. Rešenje homogene integralne jednačine 1. vrste.............................................................60211.3.5. Konstrukcija dva specijalna ortonormalna sistema za zadato jezgro................................60311.3.6. Iterativni postupak............................................................................................................604

11.4. Volterine integralne jednačine....................................................................................................60511.4.1. Teorijske osnove...............................................................................................................60511.4.2. Rešenje putem diferenciranja...........................................................................................60611.4.3. Nojmanov red kao rešenje Volterine integralne jednačine 2. vrste...................................60711.4.4. Volterine integralne jednačine pregibnog tipa..................................................................608

XIII

Page 14: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

11.4.5. Numeričko rešavanje Volterinih integralnih jednačina 2. vrste.........................................60911.5. Singularne integralne jednačine.................................................................................................611

11.5.1. Abelova integralna jednačina............................................................................................61111.5.2. Singularne integralne jednačine sa Košijevim jezgrima....................................................612

11.5.2.1. Formulacija zadatka.................................................................................................61211.5.2.2. Egzistencija rešenja.................................................................................................61311.5.2.3. Svojstva Košijevog integrala....................................................................................61311.5.2.4. Hilbertov problem rubnih uslova..............................................................................61311.5.2.5. Rešenje Hilbertovog problema rubnih uslova..........................................................61411.5.2.6. Rešenje karakteristične jednačine...........................................................................614

12. Funkcionalna analiza 61612.1. Vektorski prostori.......................................................................................................................616

12.1.1. Pojam vektorskog prostora...............................................................................................61612.1.2. Linearni i afino-linearni skupovi komponenata..................................................................61712.1.3. Linearno nezavisni elementi.............................................................................................61912.1.4. Konveksni skupovi komponenata i konveksni omotači.....................................................619

12.1.4.1. Konveksni skupovi...................................................................................................61912.1.4.2. Kupe.........................................................................................................................620

12.1.5. Linearni operatori i funkcionali..........................................................................................62012.1.5.1. Preslikavanja............................................................................................................62012.1.5.2. Homomorfizam i endomorfizam...............................................................................62112.1.5.3. Izomorfni vektorski prostori.....................................................................................621

12.1.6. Pretvaranje realnih vektorskih prostora u kompleksne.....................................................62112.1.7. Uređeni vektorski prostori.................................................................................................621

12.1.7.1. Kupe i poluuređenost...............................................................................................62112.1.7.2. Skupovi ograničeni uređenjem................................................................................62212.1.7.3. Pozitivni operatori....................................................................................................62312.1.7.4. Vektorski prostori.....................................................................................................623

12.2. Metrički prostori.........................................................................................................................62412.2.1. Pojam metričkog prostora.................................................................................................624

12.2.1.1. Kugle i okoline.........................................................................................................62512.2.1.2. Konvergencija nizova u metričkom prostoru...........................................................62612.2.1.3. Zatvoreni skupovi i zatvaranje.................................................................................62612.2.1.4. Gusti skupovi i separabilni metrički prostori............................................................627

12.2.2. Potpuni metrički prostori...................................................................................................62712.2.2.1. Košijev niz................................................................................................................62712.2.2.2. Potpun metrički prostor...........................................................................................62812.2.2.3. Nekoliko osnovnih teorema o potpunim metričkim prostorima...............................62812.2.2.4. Nekoliko primena principa kontrakcije.....................................................................62912.2.2.5. Upotpunjenje metričkog prostora............................................................................630

12.2.3. Neprekidni operatori.........................................................................................................63112.3. Normirani prostori......................................................................................................................631

12.3.1. Pojam normiranog prostora...............................................................................................63112.3.1.1. Aksiomi normiranog prostora...................................................................................63112.3.1.2. Nekoliko svojstava normiranih prostora..................................................................632

12.3.2. Banahovi prostori..............................................................................................................63212.3.2.1. Redovi u normiranim prostorima.............................................................................63212.3.2.2. Primeri Banahovih prostora.....................................................................................63212.3.2.3. Soboljevljevi prostori...............................................................................................633

12.3.3. Uređeni normirani prostori................................................................................................63312.3.4. Normirane algebre............................................................................................................634

12.4. Hilbertovi prostori.......................................................................................................................63512.4.1. Pojam Hilbertovog prostora...............................................................................................635

12.4.1.1. Skalarni proizvod.....................................................................................................63512.4.1.2. Unitarni prostori i nekoliko njihovih svojstava.........................................................63512.4.1.3. Hilbertov prostor......................................................................................................636

12.4.2. Ortogonalnost...................................................................................................................63612.4.2.1. Svojstvo ortogonalnosti...........................................................................................63612.4.2.2. Ortogonalni sistemi..................................................................................................637

12.4.3. Furijeovi redovi u Hilbertovom prostoru............................................................................63712.4.3.1. Najbolja aproksimacija.............................................................................................63712.4.3.2. Parsevalova jednačina, Ris-Fišerova teorema..........................................................638

12.4.4. Egzistencija baze. Izomorfni Hilbertovi prostori................................................................63812.5. Neprekidni linearni operatori i funkcionali..................................................................................639

12.5.1. Ograničenost, norma i neprekidnost linearnih operatora..................................................63912.5.1.1. Ograničenost i norma linearnih operatora...............................................................639

XIV

Page 15: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

12.5.1.2. Prostor linearnih neprekidnih operatora..................................................................63912.5.1.3. Konvergencija opertorskih nizova............................................................................640

12.5.2. Linearni neprekidni operatori u Banahovim prostorima....................................................64012.5.3. Elementi spektralne teorije linearnih operatora................................................................642

12.5.3.1. Skup rezovenata i rezolvente jednog operatora......................................................64212.5.3.2. Spektar operatora....................................................................................................642

12.5.4. Neprekidni linearni funkcionali..........................................................................................64312.5.4.1. Definicija..................................................................................................................64312.5.4.2. Neprekidni linearni funkcionali u Hilbertovom prostoru, Risova teorema................64412.5.4.3. Neprekidni linearni funkcionali u Lp.........................................................................644

12.5.5. Produženje linearnih funkcionala......................................................................................64412.5.6. Razdvajanje konveksnih skupova......................................................................................64512.5.7. Bidualni prostor i refleksivni prostori................................................................................646

12.6. Adjungirani operatori u normiranim prostorima.........................................................................64612.6.1. Adjungirani operator ograničenog operatora....................................................................64612.6.2. Adjungirani operator neograničenog operator..................................................................64712.6.3. Samoadjungirani operatori................................................................................................647

12.6.3.1. Pozitivno definitni operatori.....................................................................................64712.6.3.2. Projektori u Hilbertovom prostoru............................................................................648

12.7. Kompaktni skupovi i kompaktni operatori..................................................................................64812.7.1. Kompaktni skupovi u normiranim prostorima...................................................................64812.7.2. Kompaktni operatori.........................................................................................................648

12.7.2.1. Pojam kompaktnog operatora..................................................................................64812.7.2.2. Svojstava linearnih kompaktnih operatora..............................................................64812.7.2.3. Slaba konvergencija elemenata...............................................................................649

12.7.3. Fredholmova alternativa...................................................................................................64912.7.4. Kompaktni operatori u Hilbertovom prostoru....................................................................65012.7.5. Kompaktni samoadjungirani operatori..............................................................................650

12.8. Nelinearni operatori....................................................................................................................65012.8.1. Primeri nelinearnih operatora...........................................................................................65012.8.2. Diferencijabilnost nelinearnih operatora...........................................................................65112.8.3. Njutnov postupak..............................................................................................................65212.8.4. Šauderov princip fiksne tačke...........................................................................................65212.8.5. Leraj-Šauderova teorija.....................................................................................................65212.8.6. Pozitivni nelinearni operatori............................................................................................65312.8.7. Monotoni operatori u Banahovim prostorima....................................................................654

12.9. Mera i Lebegov integral..............................................................................................................65412.9.1. Sigma-algebre i mere........................................................................................................65412.9.2. Merljive funkcije................................................................................................................656

12.9.2.1. Merljive funkcije.......................................................................................................65612.9.2.2. Svojstva klase merljivih funkcija..............................................................................656

12.9.3. Integracija.........................................................................................................................65612.9.3.1. Definicija integrala...................................................................................................65612.9.3.2. Nekoliko svojstava integrala....................................................................................65712.9.3.3. Teoreme o konvergenciji.........................................................................................657

12.9.4. Lp prostori.........................................................................................................................65812.9.5. Distribucije........................................................................................................................659

12.9.5.1. Formule za parcijalnu integraciju.............................................................................65912.9.5.2. Poopšteni izvod (derivacija).....................................................................................65912.9.5.3. Distribucija...............................................................................................................65912.9.5.4. Izvod distribucije......................................................................................................660

13. Vektorska analiza i teorija polja66113.1. Osnovni pojmovi teorije polja.....................................................................................................661

13.1.1. Vektorska funkcija jedne skalarne promenljive.................................................................66113.1.1.1. Definicije..................................................................................................................66113.1.1.2. Izvod (derivacija) vektorske funkcije.......................................................................66113.1.1.3. Pravila diferenciranja vektora..................................................................................66113.1.1.4. Razvoj vektorske funkcije u Tejlorov red.................................................................662

13.1.2. Skalarna polja...................................................................................................................66213.1.2.1. Skalarno polje ili skalarna funkcija tačke.................................................................66213.1.2.2. Važni slučajevi skalarnih polja.................................................................................66213.1.2.3. Izražavanje skalarnih polja pomoću koordinata.......................................................66313.1.2.4. Nivo-površi i nivo-linije.............................................................................................663

13.1.3. Vektorska polja.................................................................................................................66313.1.3.1. Vektorsko polje ili vektorska funkcija tačke.............................................................66313.1.3.2. Važni slučajevi vektorskih polja...............................................................................664

XV

Page 16: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

13.1.3.3. Izražavanje vektorskih polja pomoću koordinata.....................................................66513.1.3.4. Prelaz sa jednog koordinatnog sistema na drugi.....................................................66613.1.3.5. Linije polja................................................................................................................667

13.2. Prostorne operacije diferenciranja..............................................................................................66813.2.1. Strujnice i izvod po obimu.................................................................................................668

13.2.1.1. Strujnice skalarnog polja..........................................................................................66813.2.1.2. Strujnice vektorskog polja.......................................................................................66813.2.1.3. Prostorni izvod ili izvod po obimu............................................................................669

13.2.2. Gradijent skalarnog polja..................................................................................................66913.2.2.1. Definicija gradijenta.................................................................................................66913.2.2.2. Gradijent i strujnice.................................................................................................67013.2.2.3. Gradijent i izvod po obimu.......................................................................................67013.2.2.4. Ostala svojstva gradijenta.......................................................................................67013.2.2.5. Gradijent skalarnog polja u različitim koordinatama...............................................67013.2.2.6. Pravila računanja.....................................................................................................671

13.2.3. Vektorski gradijent............................................................................................................67113.2.4. Divergencija vektorskog polja...........................................................................................671

13.2.4.1. Definicija divergencije..............................................................................................67113.2.4.2. Divergencija u različitim koordinatama...................................................................67213.2.4.3. Pravila za izračunavanje divergencije......................................................................67213.2.4.4. Divergencija centralnog polja..................................................................................672

13.2.5. Rotacija vektorskog polja..................................................................................................67313.2.5.1. Definicija rotacije.....................................................................................................67313.2.5.2. Rotacija u različitim koordinatama..........................................................................67413.2.5.3. Pravila za izračunavanje rotacije.............................................................................67413.2.5.4. Rotacija potencijalnog polja.....................................................................................675

13.2.6. Operator nabla, Laplasov operator...................................................................................67513.2.6.1. Operator nabla.........................................................................................................67513.2.6.2. Pravila računanja za operator nabla........................................................................67513.2.6.3. Vektorski gradijent...................................................................................................67613.2.6.4. Dvostruka primena operatora nabla........................................................................67613.2.6.5. Laplasov operator....................................................................................................676

13.2.7. Pregled prostornih operacija diferenciranja......................................................................67713.2.7.1. Principijelne veze i rezultati diferencijalnih operatora.............................................67713.2.7.2. Pravila računanja za diferencijalne operatore..........................................................67713.2.7.3. Izrazi vektorske analize u pravougaonim, cilindričnim i sfernim koordinatama.......678

13.3. Integracija u vektorskim poljima................................................................................................67913.3.1. Krivolinijski integral i potencijal u vektorskom polju.........................................................679

13.3.1.1. Krivolinijski integral u vektorskom polju..................................................................67913.3.1.2. Značenje krivolinijskih integrala u mehanici............................................................68013.3.1.3. Svojstva krivolinijskih integrala...............................................................................68013.3.1.4. Poopšteni krivolinijski integral.................................................................................68113.3.1.5. Integral cirkulacije vektorskog polja........................................................................68113.3.1.6. Konzervativno ili potencijalno polje ........................................................................681

13.3.2. Površinski integrali............................................................................................................68213.3.2.1. Vektor elementarne ravne površi............................................................................68213.3.2.2. Izračunavanje površinskih integrala........................................................................68313.3.2.3. Površinski integrali i tok polja..................................................................................68313.3.2.4. Površinski integrali u pravougaonim koordinatama kao površinski integrali 2. vrste684

13.3.3. Teoreme o integraciji........................................................................................................68513.3.3.1. Gausov teorema i formula za integraciju.................................................................68513.3.3.2. Stoksov teorema o integraciji..................................................................................68513.3.3.3. Grinove teoreme o integraciji..................................................................................686

13.4. Izračunavanje polja....................................................................................................................68713.4.1. Čisto polje izvora...............................................................................................................68713.4.2. Čisto vrtložno polje ili bezizvorno vrtložno polje...............................................................68713.4.3. Vektorska polja sa tačkastim izvorima..............................................................................688

13.4.3.1. Kulonovo polje tačkastog naelektrisanja.................................................................68813.4.3.2. Gravitaciono polje tačkaste mase............................................................................688

13.4.4. Superpozicija polja............................................................................................................68813.4.4.1. Diskretni izvori.........................................................................................................68813.4.4.2. Kontinualni izvori.....................................................................................................68913.4.4.3. Sabiranje..................................................................................................................689

13.5. Diferencijalne jednačine teorije polja.........................................................................................68913.5.1. Laplasova diferencijalna jednačina...................................................................................68913.5.2. Poasonova diferencijalna jednačina..................................................................................689

XVI

Page 17: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

14. Teorija funkcija 69114.1. Funkcije jedne kompleksne promenljive.....................................................................................691

14.1.1. Neprekidnost, diferencijabilnost........................................................................................69114.1.1.1. Definicija kompleksne funkcije................................................................................69114.1.1.2. Granična vrednost kompleksne funkcije..................................................................69114.1.1.3. Neprekidnost kompleksne funkcije..........................................................................69114.1.1.4. Diferencijabilnost kompleksne funkcije....................................................................692

14.1.2. Analitičke funkcije.............................................................................................................69214.1.2.1. Definicija analitičke funkcije....................................................................................69214.1.2.2. Primeri analitičkih funkcija.......................................................................................69214.1.2.3. Svojstva analitičkih funkcija.....................................................................................69314.1.2.4. Singularne tačke..................................................................................................... 693

14.1.3. Konformno preslikavanje...................................................................................................69414.1.3.1. Pojam i svojstva konformnog preslikavanja.............................................................69414.1.3.2. Najjednostavnija konformna preslikavanja..............................................................69514.1.3.3. Švarcov princip ogledanja........................................................................................70214.1.3.4. Kompleksni potencijali.............................................................................................70214.1.3.5. Princip superpozicije................................................................................................70414.1.3.6. Proizvoljno preslikavanje kompleksne brojevne ravni.............................................705

14.2. Integracija u kompleksnoj ravni..................................................................................................70614.2.1. Određen i neodređen integral...........................................................................................706

14.2.1.1. Definicija integrala u kompleksnoj ravni..................................................................70614.2.1.2. Svojstva i izračunavanje kompleksnih integrala......................................................707

14.2.2. Košijev teorema o integraciji, osnovni teorema teorije funkcija........................................70814.2.2.1. Košijev teorema o integraciji za jednostruko povezana područja............................70814.2.2.2. Košijev teorema o integraciji za višestruko povezana područja..............................709

14.2.3. Košijeve formule za integraciju.........................................................................................70914.2.3.1. Analitička funkcija unutar područja.........................................................................70914.2.3.2. Analitička funkcija izvan područja............................................................................709

14.3. Razvoj analitičkih funkcija u red potencija.................................................................................71014.3.1. Konvergencija redova s kompleksnim članovima.............................................................710

14.3.1.1. Konvergencija niza brojeva s kompleksnim članovima............................................71014.3.1.2. Konvergencija beskonačnog reda s kompleksnim članovima..................................71014.3.1.3. Redovi potencija u kompleksnoj ravni.....................................................................711

14.3.2. Tejlorov red.......................................................................................................................71214.3.3. Princip analitičkog produženja..........................................................................................71214.3.4. Loranov razvoj funkcije.....................................................................................................71314.3.5. Izolovane singularne tačke i teorema o reziduumu...........................................................713

14.3.5.1. Izolovane singularne tačke......................................................................................71314.3.5.2. Metamorfne funkcije................................................................................................71414.3.5.3. Eliptičke funkcije......................................................................................................71414.3.5.4. Reziduum.................................................................................................................71414.3.5.5. Teorema o reziduumu..............................................................................................715

14.4. Izračunavanje realnih integrala integracijom u kompleksnoj ravni............................................71514.4.1. Primena Košijevih formula za integraciju..........................................................................71514.4.2. Primena teoreme o reziduumu..........................................................................................71514.4.3. Primene Žordanove leme..................................................................................................716

14.4.3.1. Žordanova lema.......................................................................................................71614.4.3.2. Primeri za Žordanovu lemu......................................................................................717

14.5. Algebarske i elementarne transcendentne funkcije...................................................................71914.5.1. Algebarske funkcije...........................................................................................................71914.5.2. Elementarne transcendentne funkcije..............................................................................71914.5.3. Opis krivih u kompleksnom obliku....................................................................................722

14.6. Eliptičke funkcije........................................................................................................................72314.6.1. Veza sa eliptičkim integralima..........................................................................................72314.6.2. Jakobijeve funkcije............................................................................................................72514.6.3. Theta funkcije...................................................................................................................72614.6.4. Vajerštrasove funkcije.......................................................................................................727

15. Integralne transformacije 72815.1. Pojam integralne transformacije................................................................................................728

15.1.1. Opšta definicija integralnih transformacija.......................................................................72815.1.2. Specijalne integralne transformacije.................................................................................72815.1.3. Inverzne (obratne) transformacije.....................................................................................72815.1.4. Linearnost integralnih transformacija...............................................................................73015.1.5. Integralne transformacije funkcija više promenljivih........................................................73015.1.6. Primene integralnih transformacija...................................................................................730

XVII

Page 18: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

15.2. Laplasova transformacija...........................................................................................................73115.2.1. Svojstva Laplasove transformacije....................................................................................731

15.2.1.1. Laplas-transformirano, originalno i preslikano područje..........................................73115.2.1.2. Pravila računanja za Laplasovu transformaciju........................................................73215.2.1.3. Slike specijalnih funkcija..........................................................................................73515.2.1.4. Dirakova delta funkcija i distribucije........................................................................738

15.2.2. Obratna transformacija u originalno područje...................................................................73915.2.2.1. Obratna transformacija pomoću tabela...................................................................73915.2.2.2. Rastavljanje na parcijalne razlomke........................................................................73915.2.2.3. Razvoj u red.............................................................................................................74015.2.2.4. Obratni integral........................................................................................................741

15.2.3. Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću Laplasove transformacije...........................74215.2.3.1. Obične diferencijalne jednačine s konstantnim koeficijentima................................74215.2.3.2. Obične diferencijalne jednačine s promenljivim koeficijentima...............................74315.2.3.3. Parcijalne diferencijalne jednačine..........................................................................744

15.3. Furijeova transformacija.............................................................................................................74515.3.1. Svojstva Furijeove transformacije.....................................................................................745

15.3.1.1. Furijeov integral.......................................................................................................74515.3.1.2. Furijeova transformacija i obratna transformacija...................................................74615.3.1.3. Pravila računanja za Furijeovu transformaciju.........................................................74815.3.1.4. Preslikavanje specijalnih funkcija.............................................................................751

15.3.2. Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću Furijeove transformacije.............................75215.3.2.1. Obične linearne diferencijalne jednačine.................................................................75215.3.2.2. Parcijalne diferencijalne jednačine..........................................................................753

15.4. Z transformacija.........................................................................................................................75515.4.1. Svojstva Z transformacije.................................................................................................755

15.4.1.1. Diskretne funkcije....................................................................................................75515.4.1.2. Definicija Z transformacije.......................................................................................75515.4.1.3. Pravila računanja.....................................................................................................75615.4.1.4. Veza sa Laplasovom transformacijom.....................................................................75715.4.1.5. Obrnuta Z transformacija.........................................................................................758

15.4.2. Primene Z transformacije..................................................................................................75915.4.2.1. Opšte rešenje linearnih diferencijalnih jednačina....................................................75915.4.2.2. Diferencijalne jednačine 2. reda (zadata početna vrednost)...................................76015.4.2.3. Diferencijalne jednačine 2. reda (zadat rubni uslov)...............................................760

15.5. Vejvlet transformacija................................................................................................................76115.5.1. Signali...............................................................................................................................76115.5.2. Vejvleti..............................................................................................................................76215.5.3. Vejvlet transformacija.......................................................................................................76315.5.4. Diskretna Vejvlet transformacija.......................................................................................764

15.5.4.1. Brza Vejvlet transformacija......................................................................................76415.5.4.2. Diskretna Har-Vejvlet transformacija.......................................................................764

15.5.5. Gaborova transformacija...................................................................................................76415.6. Volšove funkcije.........................................................................................................................765

15.6.1. Stepenaste funkcije...........................................................................................................76515.6.2. Volšovi sistemi..................................................................................................................765

16. Teorija verovatnoće i matematička statistika 76616.1. Kombinatorika............................................................................................................................766

16.1.1. Permutacije.......................................................................................................................76616.1.2. Kombinacije.......................................................................................................................76616.1.3. Varijacije...........................................................................................................................76716.1.4. Pregled formula kombinatorike.........................................................................................768

16.2. Teorija verovatnoće....................................................................................................................76816.2.1. Događaji. Učestanosti i verovatnoće.................................................................................768

16.2.1.1. Događaji...................................................................................................................76816.2.1.2. Učestanosti i verovatnoće.......................................................................................76916.2.1.3. Uslovne verovatnoće. Bajesov zakon.......................................................................771

16.2.2. Slučajne veličine. Funkcija distribucije..............................................................................77216.2.2.1. Slučajne promenljive...............................................................................................77216.2.2.2. Funkcija distribucije.................................................................................................77216.2.2.3. Očekivana vrednost i rasipanje događaja, Čebiševljeva nejednakost......................77316.2.2.4. Višedimenzionalne slučajne promenljive.................................................................775

16.2.3. Diskretne distribucije........................................................................................................77516.2.3.1. Binomna distribucija................................................................................................77516.2.3.2. Hipergeometrijska distribucija.................................................................................77616.2.3.3. Poasonova distribucija.............................................................................................777

XVIII

Page 19: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

16.2.4. Neprekidne distribucije.....................................................................................................77816.2.4.1. Normalna distribucija...............................................................................................77816.2.4.2. Normirana normalna distribucija, Gausov integral verovatnoće..............................77916.2.4.3. Logaritamska normalna distribucija.........................................................................78016.2.4.4. Eksponencijalna distribucija.....................................................................................78116.2.4.5. Vajbulova distribucija...............................................................................................78116.2.4.6. χ2 distribucija............................................................................................................78216.2.4.7. Fišerova distribucija.................................................................................................78316.2.4.8. Studentova distribucija............................................................................................784

16.2.5. Zakoni velikih brojeva. Teoreme graničnih vrednosti.......................................................78516.2.6. Stohastički procesi i stohastički lanci................................................................................786

16.2.6.1. Osnovni pojmovi, Markovljevi lanci..........................................................................78616.2.6.2. Poasonovi procesi....................................................................................................788

16.3. Matematička statistika...............................................................................................................79116.3.1. Funkcije merenja...............................................................................................................791

16.3.1.1. Temeljna celovitost, merenje, slučajni vektor..........................................................79116.3.1.2. Funkcije merenja.....................................................................................................792

16.3.2. Opisna statistika...............................................................................................................79316.3.2.1. Statističko opisivanje rezultata merenja..................................................................79316.3.2.2. Statistički parametri................................................................................................794

16.3.3. Važni postupci merenja.....................................................................................................79516.3.3.1. Merenje i normalna distribucija................................................................................79516.3.3.2. Distribucija srednjih vrednosti merenja...................................................................79716.3.3.3. Granice pouzdanosti srednje vrednosti....................................................................79816.3.3.4. Granice pouzdanosti rasipanja.................................................................................79916.3.3.5. Princip mernog postupka.........................................................................................800

16.3.4. Korelacija i regresija..........................................................................................................80016.3.4.1. Linearna korelacija kod dve merljive osobine..........................................................80016.3.4.2. Linearna regresija kod dve merljive osobine...........................................................80116.3.4.3. Višedimenzionalna regresija....................................................................................802

16.3.5. Metoda Monte Karlo..........................................................................................................80416.3.5.1. Simulacija................................................................................................................80416.3.5.2. Slučajni brojevi........................................................................................................80416.3.5.3. Primer Monte Karlo simulacije.................................................................................80616.3.5.4. Primene metode Monte Karlo u numeričkoj matematici..........................................80616.3.5.5. Ostale primene metode Monte Karlo.......................................................................808

16.4. Teorija grešaka pri merenju........................................................................................................80916.4.1. Greške merenja i njihova distribucija................................................................................809

16.4.1.1. Distribucija grešaka merenja prema kvalitativnim osobinama................................80916.4.1.2. Gustina distribucije grešaka merenja......................................................................80916.4.1.3. Distribucija grešaka merenja prema kvantitativnim osobinama..............................81116.4.1.4. Prikaz rezultata merenja sa granicama pogrešaka..................................................81416.4.1.5. Proračun grešaka neposrednih merenja jednake tačnosti.......................................81416.4.1.6. Proračun grešaka neposrednih merenja nejednake tačnosti...................................815

16.4.2. Umnožavanje i analiza grešaka.........................................................................................81616.4.2.1. Gausov zakon umnožavanja grešaka.......................................................................81616.4.2.2. Analiza grešaka........................................................................................................817

17. Dinamički sistemi i haos 81917.1. Obične diferencijalne jednačine i preslikavanja..........................................................................819

17.1.1. Dinamički sistemi..............................................................................................................81917.1.1.1. Osnovni pojmovi......................................................................................................81917.1.1.2. Invarijantni skupovi..................................................................................................821

17.1.2. Kvalitativna teorija običnih diferencijalnih jednačina........................................................82217.1.2.1. Egzistencija toka i struktura faznog prostora...........................................................82217.1.2.2. Linearne diferencijalne jednačine............................................................................82417.1.2.3. Teorija stabilnosti.....................................................................................................82517.1.2.4. Invarijantne mnogostrukosti....................................................................................82917.1.2.5. Poenkareovo preslikavanje......................................................................................83217.1.2.6. Topološka ekvivalentnost diferencijalnih jednačina.................................................832

17.1.3. Diskretni dinamički sistemi...............................................................................................83417.1.3.1. Stabilne tačke, periodičke orbite i granični skupovi................................................83417.1.3.2. Invarijantne mnogostrukosti....................................................................................83517.1.3.3. Topološka konjugiranost diskretnih sistema............................................................836

17.1.4. Strukturna stabilnost (robusnost).....................................................................................83617.1.4.1. Strukturno stabilne diferencijalne jednačine...........................................................83617.1.4.2. Strukturno stabilni diskretni sistemi........................................................................837

XIX

Page 20: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

17.1.4.3. Generička svojstva...................................................................................................83717.2. Kvantitativni opis atraktora........................................................................................................838

17.2.1. Mere verovatnoće atraktora..............................................................................................83817.2.1.1. Invarijantna mera....................................................................................................83817.2.1.2. Elementi ergodičke teorije.......................................................................................839

17.2.2. Entropije............................................................................................................................84217.2.2.1. Topološka entropija.................................................................................................84217.2.2.2. Metrička entropija....................................................................................................842

17.2.3. Ljapunovljevi eksponenti...................................................................................................84217.2.4. Dimenzije..........................................................................................................................844

17.2.4.1. Metričke dimenzije...................................................................................................84417.2.4.2. Dimenzije koje se svode na invarijantne mere........................................................84617.2.4.3. Lokalna Hausdorfova dimenzija prema Duadi-Esterleu...........................................84917.2.4.4. Primeri atraktora......................................................................................................849

17.2.5. Usamljeni atraktori i haos.................................................................................................85117.2.6. Haos u jednodimenzionalnom preslikavanju.....................................................................852

17.3. Teorija bifurkacija i putevi u haos...............................................................................................85217.3.1. Bifurkacije u Morze-Smaleovim sistemima .......................................................................852

17.3.1.1. Lokalne bifurkacije blizu stabilnih tačaka................................................................85317.3.1.2. Lokalne bifurkacije blizu periodičke orbite...............................................................85817.3.1.3. Globalne bifurkacije.................................................................................................861

17.3.2. Prelazi u haos....................................................................................................................86217.3.2.1. Kaskade udvostručenja perioda...............................................................................86217.3.2.2. Naizmeničnost (intermitencija)................................................................................86317.3.2.3. Globalne homokline bifurkacije................................................................................86317.3.2.4. Raspad torusa..........................................................................................................865

18. Optimizovanje (matematičko programiranje) 87018.1. Linearno programiranje (optimizovanje)....................................................................................870

18.1.1. Postavka problema i grafičko predstavljanje....................................................................87018.1.1.1. Oblici linearnog programiranja................................................................................87018.1.1.2. Primeri i grafička rešenja.........................................................................................871

18.1.2. Osnovni pojmovi linearnog programiranja, normalni oblik................................................87218.1.2.1. Stranica i baza.........................................................................................................87218.1.2.2. Normalni oblik zadatka linearnog programiranja.....................................................874

18.1.3. Postupak Simpleks............................................................................................................87518.1.3.1. Simpleks tabela.......................................................................................................87518.1.3.2. Prelaz u novu Simlpeks tabelu.................................................................................87518.1.3.3. Određivanje prve Simpleks tabele...........................................................................87718.1.3.4. Revidirani postupak Simpleks..................................................................................87818.1.3.5. Dvojnost linearnog programiranja...........................................................................880

18.1.4. Specijalni problemi linearnog programiranja....................................................................88118.1.4.1. Problem transporta..................................................................................................88118.1.4.2. Problem dodeljivanja...............................................................................................88318.1.4.3. Problem raspodele...................................................................................................88418.1.4.4. Problem zatvorene putanje .....................................................................................88418.1.4.5. Problem redosleda...................................................................................................884

18.2. Nelinearno programiranje (optimizovanje).................................................................................88518.2.1. Postavka problema i teorijske osnove...............................................................................885

18.2.1.1. Postavka problema..................................................................................................88518.2.1.2. Uslovi optimalnosti..................................................................................................88518.2.1.3. Dvojnost optimizovanja...........................................................................................886

18.2.2. Specijalni zadaci nelinearnog programiranja....................................................................88718.2.2.1. Konveksno programiranje........................................................................................88718.2.2.2. Kvadratno programiranje

18.2.3. Rešavanje zadataka kvadratnog programiranja................................................................88818.2.3.1. Volfov postupak.......................................................................................................88818.2.3.2. Hildret-Dezopov postupak.......................................................................................890

18.2.4. Numeričko traženje ekstrema...........................................................................................89118.2.4.1. Jednodimenzionalno pretraživanje...........................................................................89118.2.4.2. Traženje minimuma u n-dimenzionalnom Euklidovom vektorskom prostoru..........891

18.2.5. Metode kod neograničenog područja................................................................................89218.2.5.1. Postupak najstrmijeg uspona (gradijentni postupak)...............................................89218.2.5.2. Primena Njutnovog postupka...................................................................................89318.2.5.3. Postupak konjugiranog gradijenta...........................................................................89318.2.5.4. Postupak Davidona, Flečera i Pauela (DFP).............................................................894

18.2.6. Gradijentni postupak za probleme sa ograničenjima u vidu nejednakosti........................894

XX

Page 21: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

18.2.6.1. Postupak dopu{tenih smerova................................................................................89418.2.6.2. Postupak projektovanog gradijenta.........................................................................896

18.2.7. Postupci s funkcijom kazne i sa barijerom........................................................................89818.2.7.1. Postupak s funkcijom kazne.....................................................................................89818.2.7.2. Postupak sa barijerom.............................................................................................899

18.2.8. Postupak sa odsečnim ravnima.........................................................................................90018.3. Diskretno dinamičko programiranje (optimizovanje)..................................................................901

18.3.1. Diskretni dinamički modeli odlučivanja.............................................................................90118.3.1.1. n-stepeni procesi odlučivanja..................................................................................90118.3.1.2. Problemi dinamičkog programiranja........................................................................901

18.3.2. Primeri diskretnih modela odlučivanja..............................................................................90218.3.2.1. Problem kupovine....................................................................................................90218.3.2.2. Problem punjenja ranca...........................................................................................902

18.3.3. Belmanove funkcionalne jednačine...................................................................................90218.3.3.1. Svojstva funkcije troškova.......................................................................................90218.3.3.2. Formulisanje funkcionalnih jednačina......................................................................903

18.3.4. Belmanov princip optimalnosti..........................................................................................90418.3.5. Belmanova metoda funkcionalnih jednačina.....................................................................904

18.3.5.1. Određivanje minimalnih troškova............................................................................90418.3.5.2. Određivanje optimalne politike................................................................................904

18.3.6. Primeri primene metode funkcionalnih jednačina.............................................................90518.3.6.1. Optimalna politika kupovine....................................................................................90518.3.6.2. Problem punjenja ranca...........................................................................................906

19. Numerička matematika.......................................................................................................................90719.1. Numeričko rešavanje nelinearnih jednačina s jednom promenljivom........................................907

19.1.1. Iteracioni postupak............................................................................................................90719.1.1.1. Uobičajen postupak iteriranja..................................................................................90719.1.1.2. Njutnov postupak.....................................................................................................90719.1.1.3. Metoda smanjivanja pogreške (regula falsi)............................................................909

19.1.2. Rešavanje jednačina s polinomima...................................................................................91019.1.2.1. Hornerova šema......................................................................................................91019.1.2.2. Položaj nultačaka.....................................................................................................91119.1.2.3. Numerički postupak.................................................................................................911

19.2. Numeričko rešavanje sistema jednačina....................................................................................91319.2.1. Sistemi linearnih jednačina...............................................................................................913

19.2.1.1. Rastavljanje matrice na trouglaste matrice (UDUt)..................................................91419.2.1.2. Postupak Holeskog kod simetričnih matrica koeficijenata.......................................91619.2.1.3. Postupak ortogonalizovanja.....................................................................................91619.2.1.4. Iteriranje celog postupka i pojedinačnih koraka......................................................918

19.2.2. Sistemi nelinearnih jednačina...........................................................................................91919.2.2.1. Uobičajen postupak iteriranja..................................................................................91919.2.2.2. Njutnov postupak.....................................................................................................92019.2.2.3. Gaus-Njutnov postupak bez izračunavanja izvoda...................................................920

19.3. Numerička integracija................................................................................................................92119.3.1. Opšta formula za kvadraturu (numeričko izračunavanje površine ispod krive)................92119.3.2. Interpolacione kvadrature.................................................................................................922

19.3.2.1. Formula za pravougaonike......................................................................................92219.3.2.2. Formula za trapeze..................................................................................................92219.3.2.3. Ermitova formula za trapeze....................................................................................92319.3.2.4. Simpsonova formula za trapeze..............................................................................923

19.3.3. Formule za kvadraturu Gausovog tipa..............................................................................92319.3.3.1. Gausove formule za kvadraturu...............................................................................92319.3.3.2. Lobatove formule za kvadraturu..............................................................................924

19.3.4. Rombergov postupak........................................................................................................92419.3.4.1. Algoritam Rombergovog postupka..........................................................................92419.3.4.2. Princip ekstrapolacije...............................................................................................925

19.4. Približna integracija običnih diferencijalnih jednačina................................................................92719.4.1. Zadaci s početnim vrednostima........................................................................................927

19.4.1.1. Ojlerov postupak sa vučenjem poligona..................................................................92719.4.1.2. Postupak Runge-Kuta...............................................................................................92819.4.1.3. Višestepeni postupak...............................................................................................92819.4.1.4. Postupak prediktor-korektor....................................................................................92919.4.1.5. Konvergencija, konzistencija, stabilnost..................................................................930

19.4.2. Zadaci s rubnim uslovima.................................................................................................93119.4.2.1. Metoda diferencija...................................................................................................93119.4.2.2. Metoda prislanjanja..................................................................................................932

XXI

Page 22: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

19.4.2.3. Metoda gađanja.......................................................................................................93319.5. Približna integracija parcijalnih diferencijalnih jednačina...........................................................934

19.5.1. Metoda diferencija.............................................................................................................93419.5.2. Metoda prislanjanja...........................................................................................................93519.5.3. Metoda konačnih elemenata (FEM)...................................................................................936

19.6. Aproksimacija, račun izravnanja, harmonska analiza.................................................................94119.6.1. Interpolacija polinomima...................................................................................................941

19.6.1.1. Njutnova formula za interpolaciju............................................................................94119.6.1.2. Interpolaciona formula prema Lagranžu..................................................................94119.6.1.3. Interpolacija prema Ejtken-Nevilu............................................................................942

19.6.2. Aproksimacija u srednjoj vrednosti...................................................................................94319.6.2.1. Kontinualni slučaj, normalne jednačine...................................................................94319.6.2.2. Diskretni slučaj, normalne jednačine, Hasusholderov postupak..............................94419.6.2.3. Višedimenzionalni zadaci.........................................................................................94519.6.2.4. Nelinearni srednjekvadratni zadaci .........................................................................946

19.6.3. Čebiševljeva aproksimacija...............................................................................................94719.6.3.1. Postavka zadatka i teorema o alternantama...........................................................94719.6.3.2. Svojstva Čebiševljevih polinoma..............................................................................94719.6.3.3. Remov algoritam.....................................................................................................94919.6.3.4. Diskretna Čebiševljeva aproksimacija i optimizovanje............................................949

19.6.4. Harmonska analiza............................................................................................................95019.6.4.1. Formule za trigonometrijsku interpolaciju...............................................................95019.6.4.2. Brza Furijeova transformacija (FFT).........................................................................951

19.7. Prikazivanje krivih i površi pomoću splajnova............................................................................95519.7.1. Kubni splajnovi..................................................................................................................955

19.7.1.1. Interpolacioni splajnovi............................................................................................95519.7.1.2. Splajnovi izravnanja.................................................................................................956

19.7.2. Bikubni splajnovi...............................................................................................................95719.7.2.1. Svojstva bikubnih splajnova.....................................................................................95719.7.2.2. Bikubni interpolacioni splajnovi...............................................................................95719.7.2.3. Bikubni splajnovi izravnanja....................................................................................958

19.7.3. Bernštajn-Bezjeovo prikazivanje krivih i površi.................................................................95819.7.3.1. Princip B-B prikazivanja krivih..................................................................................95919.7.3.2. B-B prikazivanje površi............................................................................................960

19.8. Korišćenje računara....................................................................................................................96119.8.1. Interno predstavljanje brojeva..........................................................................................961

19.8.1.1. Brojevni sistemi.......................................................................................................96119.8.1.2. Interno predstavljanje brojeva.................................................................................962

19.8.2. Numerički problemi prilikom izračunavanja u računarima................................................96419.8.2.1. Uvod, vrste grešaka.................................................................................................96419.8.2.2. Normalizovani decimalni brojevi i zaokruživanje.....................................................96419.8.2.3. Tačnost numeričkih proračuna................................................................................966

19.8.3. Biblioteke numeričkih metoda..........................................................................................96919.8.3.1. Biblioteka NAG.........................................................................................................97019.8.3.2. Biblioteka IMSL........................................................................................................97019.8.3.3. Ahenska biblioteka...................................................................................................971

19.8.4. Primena sistema računarskih algebri................................................................................97119.8.4.1. Mathematica............................................................................................................97119.8.4.2. Maple.......................................................................................................................975

20. Sistemi računarskih algebri.................................................................................................................97820.1. Uvod...........................................................................................................................................978

20.1.1. Karakteristike računarskih algebarskih sistema ukratko...................................................97820.1.2. Uvodni primeri za glavna područja primene.....................................................................979

20.1.2.1. Rad sa formulama....................................................................................................97920.1.2.2. Numerički proračuni................................................................................................97920.1.2.3. Grafičko predstavljanje............................................................................................98020.1.2.4. Programiranje u računarskim algebarskim sistemima.............................................980

20.1.3. Građa računarskih algebarskih sistema i rad sa njima......................................................98020.1.3.1. Osnovni elementi strukture.....................................................................................980

20.2. Mathematica...............................................................................................................................98220.2.1. Osnovni elementi strukture...............................................................................................98220.2.2. Vrste brojeva u programu Mathematica............................................................................983

20.2.2.1. Osnovni tipovi brojeva.............................................................................................98320.2.2.2. Specijalni brojevi......................................................................................................98320.2.2.3. Predstavljanje i pretvaranje brojeva........................................................................984

20.2.3. Važni operatori..................................................................................................................984

XXII

Page 23: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

20.2.4. Liste..................................................................................................................................98520.2.4.1. Pojam i značenje......................................................................................................98520.2.4.2. Strukturirane liste....................................................................................................98620.2.4.3. Operacije s listama..................................................................................................98620.2.4.4. Specijalne liste.........................................................................................................986

20.2.5. Vektori i matrice kao liste.................................................................................................98720.2.5.1. Pravljenje namenskih lista.......................................................................................98720.2.5.2. Operacije s matricama i vektorima..........................................................................987

20.2.6. Funkcije.............................................................................................................................98920.2.6.1. Standardne funkcije.................................................................................................98920.2.6.2. Specijalne funkcije...................................................................................................98920.2.6.3. Čiste funkcije...........................................................................................................989

20.2.7. Modeli................................................................................................................................98920.2.8. Operacije s funkcionalima.................................................................................................99020.2.9. Programiranje....................................................................................................................99120.2.10. Dopune u vezi sa sintaksom, podacima, porukama........................................................992

20.2.10.1. Konteksti, atributi..................................................................................................99220.2.10.2. Podaci....................................................................................................................99220.2.10.3. Poruke....................................................................................................................993

20.3. Maple..........................................................................................................................................99420.3.1. Osnovni elementi strukture...............................................................................................994

20.3.1.1. Tipovi i objekti..........................................................................................................99420.3.1.2. Ulaz i izlaz................................................................................................................995

20.3.2. Vrste brojeva u programu Maple.......................................................................................99520.3.2.1. Osnovni tipovi brojeva u programu Maple...............................................................99520.3.2.2. Specijalni brojevi......................................................................................................99620.3.2.3. Predstavljanje i pretvaranje brojeva........................................................................996

20.3.3. Važni operatori u programu Maple....................................................................................99720.3.4. Algebarski izrazi................................................................................................................99720.3.5. Nizovi i liste.......................................................................................................................99820.3.6. Tabelarne strukture i strukture polja, vektori i matrice.....................................................999

20.3.6.1. Tabelarne strukture i strukture polja.......................................................................99920.3.6.2. Jednodimenzionalna polja......................................................................................100020.3.6.3. Dvodimenzionalna polja.........................................................................................100020.3.6.4. Specijalna uputstva u vezi sa vektorima i matricama............................................1001

20.3.7. Funkcije i operatori.........................................................................................................100120.3.7.1. Funkcije..................................................................................................................100120.3.7.2. Operatori................................................................................................................100220.3.7.3. Diferencijalni operatori..........................................................................................100320.3.7.4. "Map", operator funkcionala..................................................................................1003

20.3.8. Programiranje u Mapleu..................................................................................................100320.3.9. Dopune u vezi sa sintaksom, podacima, porukama........................................................1004

20.3.9.1. Kori{ćenje Mapleove biblioteke.............................................................................100420.3.9.2. Promenljive okruženja............................................................................................100420.3.9.3. Podaci i poruke......................................................................................................1005

20.4. Primene sistema računarskih algebri.......................................................................................100520.4.1. Rad sa algebarskim izrazima..........................................................................................1005

20.4.1.1. Mathematica..........................................................................................................100520.4.1.2. Maple.....................................................................................................................1007

20.4.2. Rešavanje jednačina i sistema jednačina........................................................................101020.4.2.1. Mathematica..........................................................................................................101120.4.2.2. Maple.....................................................................................................................1012

20.4.3. Elementi linearne algebre...............................................................................................101420.4.3.1. Mathematica..........................................................................................................101420.4.3.2. Maple.....................................................................................................................1016

20.4.4. Diferencijalni i integralni račun.......................................................................................101920.4.4.1. Mathematica..........................................................................................................101920.4.4.2. Maple.....................................................................................................................1022

20.5. Grafika u sistemima računarskih algebri..................................................................................102520.5.1. Grafika u programu Mathematica...................................................................................1025

20.5.1.1. Osnove grafičke građe...........................................................................................102520.5.1.2. Grafički primitivi....................................................................................................102620.5.1.3. Grafičke opcije.......................................................................................................102720.5.1.4. Sintaksa grafičkog predstavljanja..........................................................................102720.5.1.5. Dvodimenzionalne krive........................................................................................102920.5.1.6. Parametarsko zadavanje krivih..............................................................................1030

XXIII

Page 24: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

20.5.1.7. Prikazivanje površi i prostornih krivih....................................................................103120.5.2. Grafika u programu Maple..............................................................................................1033

20.5.2.1. Dvodimenzionalna grafika.....................................................................................103320.5.2.2. Trodimenzionalna grafika......................................................................................1036

21. Tabele 103921.1. Često kori{ćene konstante.......................................................................................................103921.2. Prirodne konstante...................................................................................................................103921.3. Važni redovi..............................................................................................................................104121.4. Furijeovi redovi.........................................................................................................................104621.5. Neodređeni integrali.................................................................................................................1049

21.5.1. Integrali racionalnih funkcija...........................................................................................104921.5.1.1. Integrali sa X = ax + b...........................................................................................104921.5.1.2. Integrali sa X = ax2 + bx +c..................................................................................105121.5.1.3. Integrali sa X = a2 ± x2.........................................................................................105221.5.1.4. Integrali sa X = a3 ± x3.........................................................................................105421.5.1.5. Integrali sa X = a4 + x4.........................................................................................105521.5.1.6. Integrali sa X = a4 - x4............................................................................................105521.5.1.7. Neki slučajevi rastavljanja na parcijalne razlomke................................................1055

21.5.2. Integrali iracionalnih funkcija..........................................................................................105621.5.2.1. Integrali sa √x i a2 ± b2x........................................................................................105621.5.2.2. Ostali integrali sa √x..............................................................................................105621.5.2.3. Integrali sa √(ax+b)...............................................................................................105721.5.2.4. Integrali sa √(ax+b) i √(fx+g)................................................................................105821.5.2.5. Integrali sa √(a2 - x2)..............................................................................................105921.5.2.6. Integrali sa √(x2 + a2).............................................................................................106021.5.2.7. Integrali sa √(x2 - a2)..............................................................................................106221.5.2.8. Integrali sa √(ax2 + bx + c)....................................................................................106421.5.2.9. Integrali sa ostalim iracionalnim izrazima..............................................................106621.5.2.10. Rekurzione formule za integral sa binomnim diferencijalom...............................1066

21.5.3. Integrali trigonometrijskih funkcija.................................................................................106721.5.3.1. Integrali sa funkcijom sinus...................................................................................106721.5.3.2. Integrali sa funkcijom kosinus................................................................................106921.5.3.3. Integrali sa funkcijama sinus i kosinus...................................................................107221.5.3.4. Integrali sa funkcijom tangens...............................................................................107521.5.3.5. Integrali sa funkcijom kotangens...........................................................................1075

21.5.4. Integrali ostalih transcendentnih funkcija.......................................................................107621.5.4.1. Integrali sa hiperbolnim funkcijama.......................................................................107621.5.4.2. Integrali sa eksponencijalnim funkcijama..............................................................107721.5.4.3. Integrali sa logaritamskim funkcijama...................................................................107921.5.4.4. Integrali sa inverznim trigonometrijskim funkcijama.............................................108021.5.4.5. Integrali sa inverznim hiperbolnim funkcijama......................................................1081

21.6. Određeni integrali.....................................................................................................................108221.6.1. Određeni integrali trigonometrijskih funkcija..................................................................108221.6.2. Određeni integrali eksponencijalnih funkcija..................................................................108321.6.3. Određeni integrali logaritamskih funkcija.......................................................................108421.6.4. Određeni integrali algebarskih funkcija...........................................................................1085

21.7. Eliptički integrali.......................................................................................................................108721.7.1. Eliptički integrali 1. vrste.................................................................................................108721.7.2. Eliptički integrali 2. vrste.................................................................................................108721.7.3. Potpuni eliptički integrali K i E.........................................................................................1088

21.8. Gama funkcija..........................................................................................................................108921.9. Beselove funkcije (cilindrične funkcije)....................................................................................109021.10. Ležandrovi polinomi 1. vrste (sferne funkcije)........................................................................109221.11. Laplasove transformacije.......................................................................................................109321.12. Furijeove transformacije.........................................................................................................1099

21.12.1. Furijeove kosinus transformacije...................................................................................109921.12.2. Furijeove sinus transformacije......................................................................................110521.12.3. Furijeove transformacije...............................................................................................111021.12.4. Eksponencijalne Furijeove transformacije.....................................................................1112

21.13. Z transformacije.....................................................................................................................111321.14. Poasonova distribucija............................................................................................................111621.15. Normirana normalna distribucija............................................................................................111821.16. χ2 distribucija..........................................................................................................................112021.17. Fišerova F distribucija.............................................................................................................112121.18. Studentova t distribucija........................................................................................................112321.19. Slučajni brojevi.......................................................................................................................1124

XXIV

Page 25: Matematicki prirucnik_Sadrzaj

Literatura 1125

Indeks 1141

Matematičke oznake 1188

XXV