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Ejercicio 1

Instrucciones:

1. Localiza en el plano cartesiano los puntos cuyos pares coordenados son:

a. A(-1,-3), B(-1,0), C(-3,0), D(0,3), E(3,0), F(1,0), G(1,-3) y une con líneas los

puntos en orden alfabético.

b. A(-3,2), B(-3,0), C(-1,-1), D(1,1), E(-1,3), F(-3,2) y une con líneas los

puntos en orden alfabético.

3. Determina la distancia entre los puntos:

a. X(-4,2) y Y(2,5).

b. X(1,-3) y Y(-1/2,4).

3. Calcula el perímetro del triángulo cuyos vértices son:

a. A(-4,2), B(2,5),C(2,2).

b. A(1,0), B(4,5),C(3,0).

4. Calcula el área de los triángulos del ejercicio 3.

5. Encuentra las coordenadas del punto A que divide al segmento determinado por:

a. H(4,4) y I(2,10) en la razón de .

b. O(1,0) y P(3,-6) en la razón de .

c. H(1,4) y I(3,7) en la razón de .

d. O(2,3) y P(4,7) en la razón de .

6. Determina las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos:

a. S(2,8) y T(-4,-6).

b. G(7,-3) y H(3,3).

c. S(4,6) y T(-5,-8).



d. G(3,-5) y H(2,7).

Ejercicio 2

Instrucciones:

1. Determina las coordenadas rectangulares del punto Q(3,30º) tomando en cuenta que

y

2. Determina las coordenadas rectangulares con los siguientes datos:

a.

b.

c.

d.

e.

3. Encuentra las coordenadas rectangulares del punto A, si y r2 = 50.

4. Dados los puntos (1,45º) y (6,0º) determina la distancia que existe entre ambos

puntos.

5. Si la distancia entre el punto (9,90º) y el punto (6, ) es 7 encuentra al ángulo .

6. Determina las coordenadas rectangulares del punto Q(8,30º) tomando en cuenta que

y .

7. Determina las coordenadas rectangulares con los siguientes datos:

a.

b.

c.

d.

e.

8. Encuentra las coordenadas rectangulares del punto A, si y r2 = 9.

9. Dados los puntos (7,45º) y (9,0º) determina la distancia que existe entre ambos

puntos.

10. Si la distancia entre el punto (4,80º) y el punto (3, ) es 9 encuentra al ángulo .



Ejercicio 3

Instrucciones:

1. Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos (5,3) y (2,6).

2. Una recta pasa por los puntos (-1,1) y (3,0). Encuentra el ángulo de inclinación con

respecto a la horizontal.

3. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (5,8).

4. Encuentra la ecuación de la recta con pendiente m=1/2 y pasa por el punto (3,2).

5. Encuentra las intersecciones con los ejes x y y de la siguiente ecuación -4x+2y=6.

6. Encuentra la pendiente y la intersección con el eje y de la siguiente recta:

15x+20y=10.

7. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (-4,2) y es perpendicular a la

recta 8x+7y=5.

8. Sea a=4 y b=9, la abscisa y la ordenada respectivamente de una recta, determina la

ecuación de la recta en su forma general.

9. Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,4) y (3,1).

10. Una recta pasa por los puntos (-2,5) y (3,1). Encuentra el ángulo de inclinación con

respecto a la horizontal.

11. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5,1) y (0,4).

12. Encuentra la ecuación de la recta con pendiente m=2/5 y pasa por el punto (2,-4).

13. Encuentra las intersecciones con los ejes x y y de la siguiente ecuación 3x-6y=6.

14. Encuentra la pendiente y la intersección con el eje y de la siguiente recta: 8x-4y=12.

15. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,-2) y es perpendicular a la

recta 6x+4y=7.

16. Sea a=5 y b=7, la abscisa y la ordenada respectivamente de una recta, determina la

ecuación de la recta en su forma general.

Ejercicio 4



Instrucciones:

1. Encontrar la distancia mínima entre la recta y el punto:

a. -3x+2y=9, (0,1).

b. 7x+4y=4, (-4,3).

c. 5y+3x-6=0, (2,-3).

2. Una recta pasa por los puntos (4,1) y (3,5) y otra línea pasa por los puntos (0,1) y

(5,3). Encuentra el ángulo más pequeño entre ellas dos.

3. Encuentra la familia de rectas que cumpla con lo siguiente:

a. Pasen por el punto (3,3).

b. Tengan pendiente m=5/2.

c. Corte al eje x en 2.

4. Transformar las siguientes ecuaciones de recta en su forma polar y despeje el valor

de r:

a. 5x+9y=2.

b. y+5x+6=0.

c. -5x+6y=-10.

5. Encontrar la distancia mínima entre la recta y el punto:

a. -x+8y=5, (3,1).

b. 7x+4y=4, (5,3).

c. 5y-x-6=0, (2,4).

6. Una recta pasa por los puntos (4,2) y (1,6) y otra línea pasa por los puntos (7,1) y

(5,3). Encuentra el ángulo más pequeño entre ellas dos.

7. Encuentra la familia de rectas que cumpla con lo siguiente:

a. Pasen por el punto (6,3).

b. Tengan pendiente m=5/6.

c. Corte al eje x en 3.

8. Transformar las siguientes ecuaciones de recta en su forma polar y despeje el valor

de r:

a. -x+9y=2.

b. -3y+5x+6=0.

c. -5x+9y=-8.



Ejercicio 5

Instrucciones:

1. Obtén la ecuación de las circunferencias que cumplen con las siguientes

características:

a. C(0,0) y r = 7

b. C(-3,-2) y r =

c. C(6,-3) y r = 6

2. Determina la ecuación de la circunferencia con centro en C(2,5) y que pasa por el

punto P(-2,3).

3. Determina cuál es el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es:


5. Dada la ecuación en su forma ordinaria de la circunferencia

exprésala en su forma general.

6. Obtén la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos U(1,1), V(-2,1) y

W(4,1).

7. Si los puntos (-1,5) Y (4,1) son los extremos del diámetro de una circunferencia,

determina las coordenadas del centro de la circunferencia y su ecuación.

8. Determina la ecuación en su forma polar de la circunferencia .

9. Obtén la ecuación de las circunferencias que cumplen con las siguientes

características:

a. C(0,0) y r = 4

b. C(6,3) y r =

c. C(7,1) y r = 5

10. Determina la ecuación de la circunferencia con centro en C(1,-1) y que pasa por el

punto P(2,5).





13. Dada la ecuación en su forma ordinaria de la circunferencia

exprésala en su forma general.

14. Obtén la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos U(-1,1), V(1,4) y

W(3,-2).

15. Si los puntos (-2,2) Y (2,-2) son los extremos del diámetro de una circunferencia,

determina las coordenadas del centro de la circunferencia y su ecuación.

16. Determina la ecuación en su forma polar de la circunferencia .

Ejercicio 6

Instrucciones:

1. Encuentre la ecuación de la elipse que cumpla con las siguientes condiciones:

a. Vértices en (8,0) y (-8,0) y un foco en (4,0).

b. Lado recto es 5 y sus vértices V(-3,2) y V´(5,2).

c. Centro C(1,0), uno de sus vértices es (1,-6) y uno de sus extremos del eje

menor es B(2,0).

2. Determina si las siguientes ecuaciones representan una elipse y de ser así, encuentra

la ecuación de la elipse en su forma ordinaria y todos sus elementos (

V,V´,F,F´,B,B´, excentricidad, longitud de lado recto y directrices):

a.

b.

c.

d.

3. Encuentre la ecuación de la elipse que cumpla con las siguientes condiciones:

a. Focos en (-1,-1) y (-1,7) y la longitud del eje mayor en 8 unidades.

b. Centro C(4,-2), uno de sus vértices es (9,-2) y un foco en (0,-2).

4. Determina si las siguientes ecuaciones representan una elipse y de ser así, encuentra

la ecuación de la elipse en su forma ordinaria y todos sus elementos (



V,V´,F,F´,B,B´, excentricidad, longitud de lado recto y directrices):

a.

b.

c.

d.

Ejercicio 7

Instrucciones:

1. Encontrar las ecuaciones de las parábolas que cumplan con lo siguiente:

a. Foco(-5,0) y directriz x = 5.

b. Vértice en el origen abre hacia abajo y pasa por (4,-2).

c. Vértice V(2,1), p =3 y eje focal paralelo al eje x.

2. De las siguientes ecuaciones determina todos los elementos de la parábola:

a.

b.

c.

d.

3. Obtén la forma ordinaria de las siguientes ecuaciones de parábolas:

a.

b.

4. Encontrar las ecuaciones de las parábolas que cumplan con lo siguiente:

a. Foco(-2,0) y directriz x = 2.

b. Vértice en el origen abre hacia la izquierda y pasa por (-3,5).

c. Vértice V(4,2), p =3 y eje focal paralelo al eje x.

5. De las siguientes ecuaciones determina todos los elementos de la parábola:

a.

b.

c.



d.

6. Obtén la forma ordinaria de las siguientes ecuaciones de parábolas:

a.

b.

Ejercicio 8

Instrucciones:

1. Encuentra la ecuación de la hipérbola que cumpla con las siguientes condiciones:

a. Centro en (-5,2), b=8, c=17, y el eje trasverso es paralelo al eje x.

b. Focos en F (4,-2) y F’(4,-8) y 2a=4.

c. Extremos del eje conjugado B (-2,2) y B’(-2,0) y un vértice en (1,1).

2. Para las siguientes ecuaciones de hipérbola, encuentra su forma ordinaria y

determina las coordenadas del centro, de los focos y de los vértices, los extremos

del eje conjugado, su excentricidad y las ecuaciones de sus asíntotas.

3. Encuentra la ecuación de la hipérbola que cumpla con las siguientes condiciones:

a. Centro en (-2,3), 2b=12, 2a=16, y el eje trasverso es paralelo al eje y.

b. Focos en F (5,3) y F’(5,-1) y e = 4.

c. Vértices en V (-6,3) y V’(1,3).

4. Para las siguientes ecuaciones de hipérbola, encuentra su forma ordinaria y

determina las coordenadas del centro, de los focos y de los vértices, los extremos

del eje conjugado, su excentricidad y las ecuaciones de sus asíntotas

a.

b.

c.

d.



Ejercicio 9

Instrucciones:

1. Se requiere poner césped en un jardín, el cual está representado por el área

sombreada de la siguiente figura:

Se requiere calcular el área sombreada para saber cuántos metros cuadrados de césped se

debe comprar.

2. Un niño arroja una piedra, la cual sigue la trayectoria tal como lo muestra la figura:

Encuentra la ecuación de la elipse.

3. Determina la ecuación del arco de el puente representado en la siguiente figura:



4. Un ingeniero del producto determina que el corte interno de un pañal para bebé

simula la forma de una hipérbola, si el lado recto de la hipérbola es de 55 cm. y la

parte más angosta del pañal mide 10 cm. determina la ecuación de la hipérbola

suponiendo que el pañal es visto en su forma horizontal.

Ejercicio 10

Instrucciones:

1. Determina lo que representa cada una de las siguientes ecuaciones:

2. Encuentra la forma ordinaria de las siguientes ecuaciones y define a cuál cónica

pertenecen:

3. Determina lo que representa cada una de las siguientes ecuaciones:



4. Encuentra la forma ordinaria de las siguientes ecuaciones y define a cuál cónica

pertenecen:

Ejercicio 11

Instrucciones:

1. Encuentra las intersecciones con los ejes coordenados de las siguientes curvas, si es

que los cortan en algún punto:

a.

b.

c.

d.

e.

2. Determina cuáles de las siguientes curvas son simétricas a algún eje coordenado o

bien, a un punto de origen:

a.

b.

c.

d.

e.

3. Encuentra las asíntotas de las siguientes curvas:

a.



b.

c.

Ejercicio 12

Instrucciones:

1. Elimina los términos lineales de las siguientes ecuaciones de curva y encuentra la

nueva ecuación:

a.

b.

c.

2. Determina la posición del nuevo origen de coordenadas, de manera que la ecuación

carezca de términos lineales:

3. Trasforma las siguientes ecuaciones girando los ejes en el ángulo que se indica:

a.

b.

c.

4. En las siguientes ecuaciones elimina el término Bxy:

a.

b.

c.

5. Elimina los términos lineales de las siguientes ecuaciones de curva y encuentra la

nueva ecuación:

a.

b.

c.

6. Determina la posición del nuevo origen de coordenadas, de manera que la ecuación

carezca de términos lineales

7. Trasforma las siguientes ecuaciones girando los ejes en el ángulo que se indica:

a.



b.

c.

8. En las siguientes ecuaciones elimina el término Bxy:

a.

b.

c.

Ejercicio 13

Instrucciones:

1. Encuentra el conjunto solución de las siguientes desigualdades:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

2. Encuentra el conjunto solución de las siguientes desigualdades:

a.

b.

c.

d.

e.

f.



g.

h.

Módulo 1. Sistemas de coordenadas rectangulares y polares, ecuaciones de la recta

Tema 1. Sistema de coordenadas rectangulares

1.1 Localización de puntos dados en el plano cartesiano

1.2 Distancia entre puntos

1.3 El área de un triángulo dados sus vértices

1.4 Coordenadas del punto que divide un segmento lineal en una razón dada

Tema 2. Sistema de coordenadas polares

2.1 Puntos de coordenadas polares

2.2 Relaciones entre coordenadas rectangulares y polares

2.3 Distancia entre dos puntos en coordenadas polares

Tema 3. La recta y sus tipos de ecuaciones

3.1 La recta como lugar geométrico

3.2 La relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta

3.3 La ecuación de rectas paralelas a ejes coordenados

3.4 Tipos de ecuaciones de recta

3.5 Las condiciones de paralelismo y perpendicularidad, de acuerdo a sus

pendientes

Tema 4. Distancia de un punto a una recta, ángulo entre rectas, familia de rectas,

forma polar de la ecuación de la recta

4.1 La longitud del segmento trazado del punto p (x1, y1) y perpendicular a la recta

Ax + By + C = 0

4.2 El ángulo entre rectas

4.3 La ecuación de una familia de rectas

4.4 La forma polar de la ecuación de la recta

Módulo 2. Cónicas I (circunferencia, elipse, parábola)

Tema 5. La circunferencia

5.1 La circunferencia como lugar geométrico

5.2 Tipos de ecuaciones de la circunferencia

5.3 La ecuación de la circunferencia que satisface tres condiciones

5.4 La forma polar de la circunferencia

Tema 6. La elipse

6.1 La elipse como lugar geométrico

6.2 La forma ordinaria de la ecuación de la elipse

6.3 La forma general de la ecuación del elipse

Tema 7. La parábola



7.1 La parábola como lugar geométrico

7.2 Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen y eje paralelo a un eje

coordenado

7.3 Ecuaciones de la parábola con vértice en (h, k) y eje paralelo a un eje

coordenado

Módulo 3. Cónicas II: Hipérbola, propiedades de las cónicas. Ecuación general de

segundo grado con dos variables

Tema 8. La hipérbola

8.1 La hipérbola como lugar geométrico

8.2 La forma ordinaria de la ecuacion de la hipérbola

8.3 La ecuacion general de la hipérbola

8.4 La ecuación de la hipérbola equilátera

Tema 9. Propiedades de las cónicas

9.1 Propiedades de la circunferencia

9.2 Propiedades de la elipse

9.3 Propiedades de la parábola

9.4 Propiedades de la hipérbola

Tema 10. Ecuación general de segundo grado con dos variables

10.1 Ecuación general de segundo grado con dos variables

10.2 Simplificación de ecuación general de segundo grado con dos variables

Módulo 4. Análisis de curvas algebraicas. Intersecciones, simetrías, asíntotas y

desigualdades cuadráticas

Tema 11. Análisis de curvas algebraicas. Intersecciones, simetrías, asíntotas

11.1 La intersección de una curva con los ejes coordenados

11.2 La simetría de una curva con respecto a los ejes coordenados y al origen

11.3 Asíntotas de una curva

Tema 12. Transformación de coordenadas

12.1 Traslación de ejes

12.2 Rotación de ejes

Tema 13. Desigualdades cuadráticas

13.1 Desigualdades cuadráticas

13.2 Resolución de inecuaciones



Ejercicio 1

El objetivo de la siguiente actividad es poner en práctica la identificación de las partes de

una función, la diversidad de representaciones que existen y la evaluación de funciones

explícitas.

Parte A:

Instrucciones: Determina lo que se te pide de los siguientes ejemplos de funciones:

1. Un sensor almacena la velocidad de los primeros mil autos que pasan

por un semáforo en una avenida de doble sentido.

Variable independiente :

Variable dependiente :

2. Se tiene la siguiente función: , utilízala para calcular lo siguiente:

a.

b.

c.

d.

e.

f. ¿Qué puedes concluir de los valores de ?

3. Se tiene la siguiente función: , utilízala para calcular lo siguiente:

a.

b.

c.

g. ¿Qué puedes decir acerca de conforme va creciendo?

4. Un obrero cuenta cuántos objetos defectuosos salen cada veinte minutos de una

línea de producción durante dos horas, da una representación numérica y gráfica de

la función en cuestión (inventa los números para la cantidad de objetos



defectuosos):

Hora Objetos

Defectuosos

12:00

12:20

12:40

13:00

13:20

13:40

14:00

5. Se tiene la siguiente gráfica, da una representación verbal viable de la función en

cuestión:

Parte B:

Instrucciones: Contesta lo que se te pide a continuación de manera clara y ordenada,

incluye las operaciones matemáticas y justificaciones que sean necesarias para llegar a

la respuesta.

1. ¿Cuáles son las partes que conforman una función?

2. Da un ejemplo de una función en alguna de tus actividades diarias, distingue la

variable independiente y la variable dependiente:



3. ¿Cómo se representa una función gráficamente?

4. ¿Es lo siguiente un ejemplo de función? Justifica tu respuesta.

“Una lista de calificaciones dadas por 5 jueces a 3 diferentes competidores en un concurso

de oratoria”.

5. Realiza una gráfica de la siguiente función:

Ejercicio 2

Instrucciones: Contesta lo que se te pide a continuación de manera clara y ordenada,

incluye las operaciones matemáticas y justificaciones que sean necesarias para llegar a

la respuesta.

1. Se tiene la siguiente gráfica de una función, además se sabe que los valores se

encuentran restringidos entre los dos puntos rojos en la gráfica.

Determina el dominio:

Determina el rango:

¿La función es creciente o decreciente?

2. Realiza una gráfica de la siguiente función y encuentra su dominio y su rango:

Dominio:



Rango:

3. Clasifica las siguientes funciones por su estructura de acuerdo a las familias

presentadas en este tema, además comenta cómo es que la identificaste:

a.

b.

c.

d.

4. Menciona qué tienen en común gráficamente las siguientes tres funciones lineales:

5. Lee lo que se plantea y responde las preguntas. Un supermercado capturó durante

el mes de octubre la siguiente información:

Día del mes Disfraces vendidos

1 1

2 4

3 8

4 17

5 25

6 34

7 50

8 66

9 80

10 100

Realiza una gráfica con los datos.

¿Qué tipo de función se podría usar para aproximar esta información?

6. ¿Qué significa que una función sea par? ¿Cómo se determina esto?

7. Determina si la siguiente función es creciente o decreciente, además da una prueba



numérica de ello:

8. Da dos ejemplos de polinomios de grado 5:

Ejercicio 3

Instrucciones: Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los

ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias.

1. Calcula los siguientes límites a partir de una tabla de datos:

a.

b.

2. Usa las propiedades de los límites para evaluar lo siguiente sin usar tablas:

a.

b.

3. Identifica cuáles de los siguientes son límites que tienden a infinito y explica

porqué:

a.

b.

c.

d.



4. Identifica la recta asíntota que define el siguiente límite y realiza una gráfica para

comprobarlo:

a.

Ejercicio 4



1. Utiliza la definición de continuidad para demostrar que las siguientes funciones son

continuas en el número a dado:

a.

b.

c.

d.

2. Explica porqué las siguientes funciones son discontinuas:

a.

b.

c.

3. Utiliza las propiedades y teoremas de continuidad para evaluar los siguientes



límites:

a.

b.

c.

4. Da un ejemplo de función discontinua y realiza su gráfica.

5. Dibuja 2 ejemplos de gráficas de funciones continuas.

6. Menciona un ejemplo aplicado de continuidad en la vida real.

Ejercicio 5



1. Considera la función y responde lo siguiente:

a. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=0 y x=5?

b. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=5 y x=10?

c. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=10 y x=15?

d. ¿Qué se puede decir de la pendiente de y conforme x es más grande?

2. Observa la siguiente gráfica y realiza lo que se te pide:



a. Dibuja la razón promedio de cambio entre x=0 y x=5.

b. Dibuja la razón promedio de cambio entre x=2 y x=5.

c. Dibuja la razón promedio de cambio entre x=4 y x=5.

d. ¿Qué se puede inferir sobre la razón instantánea de cambio en x=5?

3. ¿Qué dice gráficamente la razón instantánea de cambio de

una magnitud?

4. Construye la gráfica de y dibuja la

razón promedio de cambio entre los puntos x=1 y x=2.

5. La cantidad de clientes en un supermercado en un instante

t esta dado por la siguiente expresión

, donde c es la cantidad de

clientes y t es la cantidad de horas transcurridas. Con esta

información responde lo siguiente:

a. ¿Cuál es la razón promedio de llegada de los

clientes entre la 1 y las 3 horas?

b. ¿Cuál es la razón instantánea de llegada en t=1

hora?

6. Considera la función y responde lo

siguiente:

a. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=0 y

x=10?

b. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=10 y

x=20?

c. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=20 y



x=30?

d. ¿Qué se puede decir de la pendiente de y conforme

x es más grande?

7. La siguiente tabla muestra la cantidad de computadoras

producidas por una fábrica por mes. Con dicha

información responde las preguntas:

Mes 2 4 6 8 10 12

Computadoras 240 240 360 480 310 650

a. Calcula la razón promedio de producción por mes

del mes 2 al mes 4.

b. Calcula la razón promedio de producción por mes

del mes 8 al mes 10.

c. Calcula la razón promedio de producción por mes

del mes 6 al mes 12.

d. ¿Qué te dicen estas razones sobre el

comportamiento de la producción en la fábrica?

Ejercicio 6



1. Considera la siguiente gráfica y dibuja lo que se te pide:

a. Dibuja la recta secante entre los puntos (2,f(2)) y (4,f(4)).



b. Dibuja la recta tangente al punto (3,f(3)).

c. Dibuja la recta normal al punto (1,f(1)).

2. Define con tus propias palabras lo que es una recta tangente a una curva f(x).

3. ¿Qué se necesita para calcular la pendiente de una recta normal a una curva f(x)?

4. ¿Se puede calcular siempre la pendiente de una recta secante en una curva f(x)?

5. Obtén la pendiente de la recta secante, tangente y normal a la función que pasa

por los puntos dados (para la tangente y la normal selecciona el primer punto):

a. con los puntos .

b. con los puntos .

6. Dibuja la gráfica de la siguiente función y da un ejemplo de recta secante, tangente

y normal en ella mostrando los puntos elegidos (elije los puntos a tu gusto).

7. Obtén la representación algebraica de la recta normal de la siguiente función:

en el punto (3, f(3)).

8. Obtén una expresión para la pendiente de la recta tangente de la siguiente función

para cualquier punto x=a.

Ejercicio 7


ejercicios. No olvides incluir las operaciones y justificaciones necesarias.

1. ¿Cuáles son algunas de las interpretaciones de la derivada?

2. Considera la siguiente gráfica de la función y ordena de mayor a menor las

siguientes derivadas, explica tu razonamiento:



a.

b.

c.

d.

3. Obtén una expresión general para la derivada de las funciones dadas en el punto x=a

por medio de la definición:

a.

b.

c.

d.

4. La cantidad de gasolina que gasta un automóvil después de x kilómetros esta

expresada por la función :

a. ¿Qué significado tiene la

derivada ?

b. ¿Qué determinará los

valores que puede tomar la

derivada ?

5. Los siguientes límites expresan la derivada de una función en un punto x=a.

Determina cuál es la función que se está derivando y el valor de a que se está

utilizando:

a.

b.



c.

Ejercicio 8

Instrucciones:

Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda

incluir las operaciones y justificaciones necesarias.

1. Explica con tus propias palabras cómo sacar la derivada de una suma o resta de

funciones.

2. ¿Qué es una derivada de orden superior?

3. Obtén la primer derivada de las siguientes funciones mediante la regla de suma y

resta:

a.

b.

4. Obtén la primer derivada de las siguiente funciones mediante la regla del producto:

a.

b.

5. Obtén la primer derivada de las siguientes funciones mediante la regla del cociente:

a.

b.

6. Grafica la primer derivada de la siguiente función:

a.

7. Obtén la segunda derivada de las siguientes funciones:

a.



b.

8. Evalúa la primer derivada de la siguiente función en el punto dado:

a.

9. Evalúa la tercer derivada de las siguientes funciones en el punto dado:

a.

b.

c.

10. Obtén la derivada de la siguientes funciones usando la regla de la cadena:

a.

b.

Ejercicio 9

Instrucciones:

Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. No

olvides incluir las operaciones y justificaciones necesarias.

1. El péndulo de un reloj antiguo oscila con un movimiento armónico simple. La

posición de la base del péndulo con respecto a una superficie horizontal está dada

por la función , donde x es la posición del objeto en centímetros y t es

el tiempo transcurrido en segundos. Con esta información responde lo siguiente:

a. ¿Cuál es la función de aceleración de la base

del péndulo , es decir la segunda

derivada de ?

b. ¿Qué valor toma la posición y la aceleración

en ?

2. ¿Qué puede apreciarse de la derivada de una función que es periódica?



3. Obtén la derivada de la siguiente función trigonométrica a partir de su equivalencia

en tangente y comprueba que se obtiene el resultado planteado en la definición de la

derivada:

4. Obtén la derivada de las siguientes funciones trigonométricas:

a.

b.

5. Obtén la derivada de las siguientes funciones exponenciales:

a.

b.

6. Obtén la derivada de las siguientes funciones logarítmicas:

a.

b.

7. Obtén la derivada de las siguientes funciones compuestas:

a.

b.

Ejercicio 10

Instrucciones:



1. ¿Cuándo se debe recurrir al método de la derivación implícita?

2. Considera la siguiente ecuación y responde lo que se te pide:



a. Encuentra por el método de derivación implícita.

b. Despeja y de la ecuación original y deriva con respecto a x.

c. Comprueba que el resultado obtenido en a) es equivalente al obtenido en b)

al sustituir y en el resultado de a).

3. Encuentra implícitamente las ecuaciones dadas:

a.

b.

c.

d.

4. Realiza los siguientes pasos para la ecuación dada:

Obtén implícitamente.

Sustituye el punto dado para obtener el valor explícito de la pendiente en

dicho punto.

Utiliza la información de la pendiente y el punto dado para escribir la

función de la recta tangente al punto.

a. en el punto (5,3).

Ejercicio 11

Instrucciones:

Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios.

Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias.

1. ¿Qué significa que una función sea cóncava hacia abajo en un intervalo?

2. ¿Qué es un máximo global en una función?

3. ¿Cómo se identifica un mínimo local en una función?



4. Determina si la siguiente función es creciente o decreciente en el intervalo dado:

en el intervalo [0,2].

5. Determina si la siguiente función es cóncava hacia arriba o hacia abajo en el

intervalo dado:

en el intervalo [0,1.5].

6. Determina en qué intervalos de la siguiente gráfica se tienen tipos de crecimiento o

concavidad:

7. Clasifica los puntos de la siguiente gráfica como máximo global, mínimo global,

máximo local, mínimo local o ninguno de los anteriores:

8. Dibuja la gráfica de una función f(x) que cumpla con las siguientes propiedades:

Que tenga máximo global en x=-3 y mínimo global en x=7, que tenga un mínimo

local en x=0 y que tenga un máximo local en x=4.



9. Obtén los puntos críticos de la siguiente función y determina si corresponden o no a

máximos o mínimos locales:

a.

Ejercicio 12

Instrucciones:



1. ¿Cuándo se dice que un límite tiene la forma indeterminada 0/0?

2. Explica con tus palabras como es la regla de L´Hopital.

3. Utiliza la regla de L´Hopital para obtener los siguientes límites, de ser necesario y

posible, utilízala más de una vez. Si no es posible utilizar la regla, menciona por

qué:

a.

b.

c.

d.

e.

4. Dadas las siguientes funciones, indica en dónde tienen un límite indeterminado:

a.

b.



c.

d.

e.

Ejercicio 13

Instrucciones:

Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios.

Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias.

1. ¿Qué utilidad tienen las derivadas en los problemas de movimiento rectilíneo?

2. ¿Qué utilidad tienen las restricciones de un problema de optimización?

3. Supongamos que tenemos un terreno rectangular el cual queremos cercar. Para

lograrlo contamos con 370 metros de cerca y queremos saber de qué manera

podemos usarla para cubrir la mayor área rectangular posible dentro del terreno.

4. Supongamos que tenemos un terreno rectangular el cual queremos cercar. El

terreno colinda con un río por lo que no necita ser cercado en ese lado. Para lograrlo

contamos con 140 metros de cerca y queremos saber de qué manera podemos

usarla para cubrir la mayor área rectangular posible dentro del terreno.



5. Un atleta que corre en una línea recta, tiene la siguiente función

de posición: , donde x esta en metros y t

en horas.

a. Obtén la función de velocidad del atleta.

b. Obtén la función de aceleración del atleta.

c. ¿Qué posición tiene el atleta 3 horas después? ¿Qué

significa él valor obtenido?

d. ¿Qué velocidad lleva el atleta 2 horas después? ¿Qué

significa el valor obtenido?

e. ¿Qué aceleración lleva el atleta cuando han transcurrido 1

hora, 4 horas, 6 horas?

3. Una empresa que produce latas de refresco, tiene la siguiente

función de costo para su producción: ,

donde x es la cantidad de latas producidas y c es el costo de la

producción en pesos.

a. Obtén la función de costo marginal.

b. Obtén la función de costo promedio.

c. Indica en qué nivel de producción se minimiza el costo

promedio.

d. ¿Qué valor toma el costo en este nivel de producción?

Módulo 1. Funciones y Límites

Tema 1. Recordando las funciones

1.1 Ejemplos aplicados

1.2 Definición de función

1.3 Representaciones

Tema 2. Características y tipos de funciones

2.1 Notación

2.2 Dominio y rango



2.3 Propiedades

2.4 Tipos de funciones

Tema 3. Límites

3.1 Definición de límite

3.2 Propiedades

3.3 Cálculo del límite de una función

3.4 Identificación de asíntotas

Tema 4. Continuidad

4.1 Definición

4.2 Teoremas

Módulo 2. Razones de Cambio

Tema 5. Ejemplificando razones

5.1 Velocidades

5.2 Otras razones de cambio

Tema 6. Secantes, Tangentes y Normales

6.1 Recta secante

6.2 Recta tangente

6.3 Recta normal

Tema 7. Concepto de derivada

7.1 Definición de derivada

7.2 Interpretaciones de la derivada

Módulo 3. Derivadas

Tema 8. Definiciones, Teoremas y Reglas

8.1 Notación de derivadas

8.2 Teoremas y propiedades

8.3 Reglas de derivación

8.4 Derivadas de orden superior

Tema 9. Derivadas de funciones conocidas

9.1 Funciones trigonométricas

9.2 Funciones exponenciales

9.3 Funciones logarítmicas

Tema 10. Derivadas implícitas

10.1 Método de derivación implícita

Módulo 4. Análisis de funciones y aplicación de derivadas

Tema 11. Comportamiento de una función

11.1 Crecimiento

11.2 Concavidad

11.3 Valores extremos y puntos críticos



Tema 12. Regla de L’Hopital

12.1 Limites indeterminados

12.2 Regla de L’Hopital

Tema 13. Derivadas en otros contextos

13.1 Optimización

13.2 Movimiento rectilíneo

13.3 Negocios y economía

Ejercicio

Instrucciones:

Después de revisar y entender el tema, resuelve los siguientes ejercicios.

1. En un laboratorio se está analizando un tipo de bacteria, si la colonia de bacterias se

triplica cada hora e inicialmente había 5200. Encuentra el número de bacterias que

habrá después de 4.5 horas.

2. Se encontraron en una excavación arqueológica restos de huesos humanos que

fueron fechados usando Carbono-14 cuya vida media es 5,730 años. Si en los

huesos se encontró el 27% del Carbono -14 de un tejido vivo. ¿Qué tan antiguos son

los restos que se encontraron?

3. Se analiza una bacteria en un laboratorio, sabemos que la colonia tiene inicialmente

1300 bacterias y una constante k= 0.237. ¿Después de cuántas horas habrá

aproximadamente 30,000 bacterias?

Ejercicio

Instrucciones:

Después de revisar y entender el tema, resuelve los siguientes ejercicios.

1. La policía encontró el cuerpo de una persona asesinada en una casa a las 8:00 de la

mañana en una habitación donde la temperatura estaba regulada a 23º C. Los

investigadores forenses tomaron la temperatura de la persona a la hora del hallazgo

(8:00 AM) y era de 34º C y dos horas más tarde era de 32º C. Si al momento del

asesinato la persona tenía una temperatura normal de 37º C, ¿a qué hora ocurrió el

asesinato?

2. Encuentra la temperatura final de cierto material después de 0.50 horas si sabemos

que su temperatura inicial era de 28º C y la temperatura ambiente es de 10º C.



Sabiendo que el valor de k=0.1625.

3. ¿Cuál es la temperatura inicial de un objeto si después de estar a una temperatura

ambiente de 39º C durante 2.5 hr. llega a una temperatura de 9º C? Sabiendo que el

valor de k=0.2452.

4. Encuentra el valor de la constante “k” de cierto material después de 2.3 horas si

sabemos que su temperatura inicial era de 11º C, temperatura final 25º C y la

temperatura ambiente es de 35º C.

Ejercicio

Instrucciones:

1.- Determina el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:

Ecuación diferencial Orden Grado

2.- Encuentra la solución particular que cumpla con las condiciones dadas en las siguientes

ecuaciones diferenciales por el método de separación de variables:

3.- Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de ecuaciones diferenciales de primer

orden:

4.- Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de ecuaciones diferenciales por

separación de variables:

Módulo 1. Diferencial, antiderivada e integral

Tema 1. El diferencial

1.1 Definición de diferencial y su interpretación geométrica y algebraica



1.2 Aplicaciones del diferencial

Tema 2. La antiderivada

2.1 Diferencia entre derivar e integrar

2.2 El teorema fundamental del cálculo

Tema 3. Integración

3.1 La integral indefinida

3.2 Integración de potencias

Tema 4. Integración de funciones

4.1 Integración de funciones exponenciales y logarítmicas

4.2 Integración de funciones trigonométricas

Módulo 2. Métodos de integración básicos

Tema 5. Integración por sustitución

5.1 Método de integración por sustitución

Tema 6. Integración por partes

6.1 Método de integración por partes

Tema 7. Integración de potencias de funciones trigonométrica

7.1 Método de integración de funciones trigonométricas

Módulo 3. Otros métodos de integración

Tema 8. Integración por sustitución trigonométrica

8.1 Método de integración por sustitución trigonométrica

Tema 9. Integración por fracciones parciales

9.1 Método de integración por fracciones parciales

Tema 10. Integral definida

10.1 La integral definida

10.2 Área bajo una curva y entre curvas

10.3 Longitud de arco y valor medio de una función

Módulo 4. Aplicaciones del Cálculo Integral

Tema 11. Ecuaciones diferenciales

11.1 Definición de ecuaciones diferenciales y su clasificación

11.2 Ecuaciones diferenciales que satisfacen un conjunto de condiciones iniciales

11.3 Ecuaciones diferenciales de primer orden

11.4 Solución de ecuaciones diferenciales por separación de variables

Tema 12. Modelación matemática elemental

12.1 Crecimiento y decrecimiento

12.2 Decaimiento radioactivo

Tema 13. Ley de enfriamiento de Newton



13.1 Ley de enfriamiento de Newton

13.2 Trayectorias ortogonales

matematicas prepa tec milenio

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