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Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Profesor: Claudio Gutiérrez SotoPágina Web: http://www.dcc.uchile.cl/~clgutier
e-mail: [email protected]
Fono: 207 122
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General
Esencialmente la asignatura está orientada al análisis de algoritmos. Se le dará énfasis en el desarrollo de ejercicios y tareas por parte del
alumno, esto en la resolución de análisis de algoritmos clásicos y avanzados.
Teoría
Clases expositivas orales y escritas. Desarrollo de ejercicios durante y al final de cada unidad, por parte
del profesor y alumnos.
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Contenido:Inducción matemática. Relaciones y FuncionesDigrafosTeorema de DilworthRelaciones y GrafosÁrbolesSumatoriasSeries especiales (harmónicas, stirling) Notación AsintóticaRepaso análisis algoritmosEcuaciones de recurrenciaPermutaciones y factorialesProbabilidad DiscretaAlgoritmos sobre grafosAlgoritmos probabilísticos
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¿Cuál es la diferencia entre las matemáticas discretas y las matemáticas continuas?
En realidad no existe diferencia, las matemáticas discretas se utilizan para el análisis de colecciones finitas de objetos, en contraste con las matemáticas continuas, que estudian procesos continuos. En las ciencias de la computación los elementos con los cuales se trabajan son elementos finitos, tale como: memoria, los programas, las sentencias que se ejecutan en dichos programas etc.
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Valores y Datos
Problemas (Pre-condición /Post-Condición)
Definición de Algoritmo
Definición Intuitiva ( Finitud, definibilidad, generalidad,efectividad)
Observaciones (procesador, problemas)
Métodos de Calculo (MT)
Tesis de Charch
Análisis de Algoritmo (tiempo y espacio)
Estrategias de Análisis (Empírica, teórica e híbrida)
Principio de Invarianza (Mejor,Peor y Medio)
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Propiedades :
1.1.- f ( n ) O ( f ( n ) )
2. 2.- a ) O ( f ( n ) ) O ( g ( n ) ) f ( n ) g ( n )
b ) O ( f ( n ) ) = O ( g ( n ) ) f ( n ) g ( n ) y g ( n ) f ( n )
3.- Si t ( n ) O ( f ( n ) ) y t’ ( n ) O ( g ( n ) )
a ) c * t ( n ) O ( f ( n ) )
b ) t ( n ) + t ‘ ( n ) O ( f ( n ) + g ( n ) ) = O [ max ( f ( n ) , g ( n ) ) ]
si f ( n ) es comparable asintóticamente con g ( n )
c ) t ( n ) * t’ ( n ) O ( f ( n ) g (n ) )
Ej. : t ( n ) = 3n² + 6n = ( 3n² + 6n ) = { 1º prioridad }
= O [ max ( 3n² , 6n ) ] = { 3º } = O ( 3n² ) ;
; 3n² O ( n² ) = { 3º a }
Ej. : t ( n ) = 4 log n + 6n = O ( log n + n ) = O [ max ( log n , n ) ] = O ( n )
4 log n O ( log n )
6n O ( n )
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Operaciones Conjuntísticas :
1. O ( f ( n ) ) + O ( g ( n ) ) = O ( f ( n ) + g ( n ) ) = 0 [ max ( f ( n ) , g ( n ) ) ]
si f y g son comparables
El conjunto suma esta formada por funciones se la forma t ( n ) + t’ ( n ) que pertenece respectivamente al 1º y 2º sumando.
2. O ( f ( n ) ) * O ( g ( n ) ) = O ( f ( n ) g ( n ) )
Producto conjustístico esta formado por funciones del tipo t ( n ) * t‘ ( n ) que pertenecen respectivamente al primer factor y al segundo factor.
Ej. : t ( n ) = ( n² + n ) + log n (1ª) O [ ( n² + n ) log n ] = O [ ( n² + n ) O ( log n )] =
max ( n² , n )
= O ( n² ) O ( log n ) = O ( n² log n )
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1.1. Análisis de Algoritmos Iterativos
1 La complejidad de toda asignación , lectura o escritura de variables simples es constante es decir O ( 1 ).
2 El tiempo de ejecución de una secuencia de proposiciones se determina por la regla de la suma.
3. El tiempo de ejecución de una proposición if, es el costo de las proposiciones que se ejecutan condicionalmente, Proposiciones verdaderas+ proposiciones falsas, más el tiempo para evaluar la condición
4. El tiempo para ejecutar un ciclo, corresponde a la suma de las proposiciones que contiene dicho ciclo.
5. Si existen ciclos anidados, el tiempo de ejecución del ciclo mas externo corresponde a la multiplicación de todos los ciclos.
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Análisis de Algoritmos Iterativos
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Análisis de Algoritmos Recursivos
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Matemáticas para Ciencias de la Computación
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Function Factorial :
Begin
if n<= 1 then
fact:=1
else
fact:=n* fact(n-1)
End
T(n)= c+T(n-1) si n>1
d si n<=1
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Matemáticas para Ciencias de la Computación
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Ordenación por Mezcla :
MezclaOrd ( L [ 1 .. n ] ) : array [ 1.. n ]
Inicio
Si n = = 1 entonces devolver ( L )
Sino
DividirEnDos ( L , L1 , L2 )
Devolver ( mezcla ( MezclaOrd ( L1 [ 1 .. n/2 ] ) , MezclaOrd ( L2 [ 1 .. n/2 ] )
Finsi
Fin
T(n)= c si n=1
2T(n/2)+c2n si n>1
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Ordenación por Mezcla :
MezclaOrd ( L [ 1 .. n ] ) : array [ 1.. n ]
Inicio
Si n = = 1 entonces devolver ( L )
Sino
DividirEnDos ( L , L1 , L2 )
Devolver ( mezcla ( MezclaOrd ( L1 [ 1 .. n/2 ] ) , MezclaOrd ( L2 [ 1 .. n/2 ] )
Finsi
Fin
T(n)= c si n=1
2T(n/2)+c2n si n>1
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Ecuaciones de Recurrencia
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Método de Sustitución
Método de Iteración
Teorema Maestro
Método de la Ecuación Característica
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Método de Sustitución
Método de Iteración
Teorema Maestro
Método de la Ecuación Característica
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Árboles de Recursión, visualizando la Iteración
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