Operaciones con ángulos y tiempos

1 Efectúa las siguientes operaciones:

a) 27° 31' 15"�43° 42' 57" b) 163° 15' 43"�96° 37' 51"

c) (37° 42' 19") × 4 d) (143° 11' 56") : 11

a) 27° 31' 15"

�43° 42' 57"

70° 73' 72" → 71° 14' 12"

b) 163° 15' 43" 162° 74' 103"

� 96° 37' 51" → � 96° 37' 51"

66° 37' 52"

c)→ (37° 42' 19") × 4�150° 49' 16"

d)143° 11' 56" 11

033 00 01" 13° 1' 5"

00

Solución:

2 En el ángulo A∧

�80° 42' 56", trazamos su bisectriz. ¿Cuánto mide ca-da ángulo resultante?

Cada uno mide: 80° 42' 56" 2

00 00 00 40° 21' 28"

3 Halla el cuarto ángulo de un cuadrilátero sabiendo que los otros tresmiden:

A∧

�47° 11' 15", B∧

�96° 51' 33", C∧

�68° 3"∧D�360°� (47° 11' 15"�96° 51' 33"�68° 3")�147° 57' 9"

Cociente → 13° 1' 5"Resto → 1"

37° × 4�148°42' × 4�168'�2° 48'19" × 4�76"�1' 16"

1

4 Halla en grados, minutos y segundos el ángulo interior de un heptágonoregular.

El ángulo interior de un heptágono regular mide:

�(7�2

7) �180°��128° 34' 17"

Construcciones

5 Traza, con el transportador, los ángulos de 30°, 45°, 60° y 75°. Cons-truye sus complementarios y calcula sus medidas.

6 Traza con el transportador los ángulos de 120°, 135°, 150° y 165°.Construye sus suplementarios y calcula sus medidas.

7 Utilizando exclusivamente el lápiz, la regla y el compás, dibuja los si-guientes ángulos:

a) 60° b) 30° c) 45° d) 150° e) 75°

60°30°

45°45°

30°

60°

15°

75°

60° 120° 45° 135°

30° 150°15° 165°

a) b)

d) e)

c)

180°�30°

Trazando unabisectriz al anterior. Bisectriz a un

ángulo recto.

Bisectriz al anterior.

2

8 Dibuja un ángulo de 120°. Traza tres rectas de forma que dividan al án-gulo en cuatro partes iguales.

120°�180°�60°

Primero se traza la bisectriz del ángulo de 120° (verde) y luego las dos bisectri-ces de los ángulos de 60° (azul y rojo).

9 Dibuja en tu cuaderno una rectar y un punto P exterior a ella. ¿Cuán-tas rectas paralelas a r que pasen porP puedes trazar?

Haz los trazados con regla y escuadra.

Solo puede trazarse una recta paralela.

10 Dibuja en tu cuaderno un itinerario como este con las siguientes medidas:

AB—

�6 cm, BC—

�3 cm, CD—

�4 cm, DE—

�4 cm

P

r

A

B

C

D

E

BC

D

AC

D

B

E

3

11 Construye un triángulo como este con las siguientes medidas:

a�4 cm

A∧

�30° B∧

�100°

Halla los ángulos D∧

y E∧

. ¿Cómo son los ángulos B∧

y E∧

? ¿Y D∧

y C∧

?

∧C�180°� (30°�100°)�50°∧D�180°�50°�130°∧E�180°�100°�80°∧B y

∧E son suplementarios

(y adyacentes).∧D y

∧C son suplementarios (y adyacentes).

12 Responde a las siguientes preguntas:

a) ¿Qué propiedad tiene cada punto de la mediatriz de un segmento?

b) ¿En qué punto de la vía férrea hay que situar una estación de modo que seencuentre a la misma distancia de los pueblos A y B ?

Copia en tu cuaderno el dibujo y resuélvelo gráficamente.

a) Que equidista de cada uno de los dos extremos del segmento.

b)La estación E hay que situarla en el punto en que la mediatriz de AB cortaa la vía férrea. De ese modo, equidista de A y de B.

A^

B^

C^ D

^

a E^

4 cm 100°80°

130°50°30°

A

B

Vía férrea

A

BE

Vía férrea

4

13 Contesta y construye:

a) ¿Qué propiedad tiene cada punto de la bisectriz de un ángulo?

b) Copia en tu cuaderno un ángulo como este, alargan-do sus lados varios centímetros. Sitúa una circunfe-rencia de 4 cm de radio, que sea tangente a los dos la-dos del ángulo (es decir, que la circunferencia toqueen un solo punto a cada lado del ángulo).

a) Que equidista de los lados del ángulo.

b)

Trazamos un segmento de 4 cm perpendicular a un lado. Por su extremo tra-zamos una paralela a este, hasta que corte a la bisectriz. Ahí está el centro dela circunferencia buscada.

Relaciones angulares

14 Calcula el valor del ángulo o de los ángulos que se piden en cada figura:

4 cm

32°

c d

28°A^

P^ Q

^

A 125° 125°

63° N^P^

a b

(No construido a su tamaño.)

5

a)∧A�180°�63°�117°

b)∧P�

∧N� �55°

c)∧A�90°�32°�58°

d)∧P�

∧Q��

180°2�28°��76°

e)∧A��

1805° �3��108°;

∧B��

3650°��72°

f )∧M�

∧N��

180° �32�90° �3��135°

g)∧B�

∧C�40°;

∧A�180°�40°�140°

h)∧N�130°;

∧M�180°�130°�50°

15 Averigua cuánto mide el ángulo de un pentágono re-gular contestando a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuánto mide el ángulo central?

b) Por tanto, ¿cuánto mide el ángulo señalado en rojo?

c) Por tanto, ¿cuánto mide el ángulo del pentágono?

a) Ángulo central��36

50°��72°

360°� (125°�125°)���

2

40°

130°

g h

A^B^

C^

M^

N^

A^B^

M^

N^

fe

6

b) Ángulo señalado��180°

2�72°��54°

c) Ángulo del pentágono�54° �2�108°

16 Calcula el valor del ángulo o de los ángulos que se piden en cada figura:

a)∧B�25°;

∧A�

∧C�180°�25°�155°

b)∧M�180°�40°�140°;

∧N��

180°�

2140°��20°;

∧P�90°�20°�70°

c)∧A��

1020°��50°

d)∧B��

4

2

0°��20°

e)∧C�

∧D�90°

f )∧A�

∧B �

∧C�150° : 2�75°

g)∧E�60°;

∧D�2 �60°�120°

c) d)

e)

A^

100°B^

40°

C^

D^

A^

150°

60°B^

C^

E^

D^

f ) g)

AB 25° 40°C^

M^N^

P^

a) b)

7

17 El triángulo I es equilátero. Los triángulosII son isósceles.

Halla la medida de los ángulos A∧

, B∧

y C∧

.

∧A��

180°2�30°��75°

∧B�360°� (60°�75° �2)�150°∧C� (180°�150°) : 2�15°

Simetrías

18 Observa las letras delabecedario:

Di cuáles no tienen ejes desimetría (hay 10), cuálestienen un eje de simetría(hay 13), cuáles tienen dos(hay 3) y cuál tiene infini-tos ejes de simetría.

Dibuja cada una de ellas entu cuaderno señalando losejes que tenga.

No tienen eje de simetría: F, G, J, N, Ñ, P, Q, R, S, Z.

Tienen un eje de simetría: A, B, C, D, E, K, L (inclinado), M, T, U, V, W, Y.

I

IIIIA

C^ B^

a aaa

a

aI

IIII

a

15°150°

60°75°

aaa

a

a

8

Tienen dos ejes de simetría: H, I, X. La O tiene infinitos.

Son simétricas respecto a un punto, además de H, I, X, O, las siguientes: N, S,Z.

19 Completa en tu cuaderno cada figura para que sea simétrica respecto aleje señalado:

20 Completa la siguiente figura para que tenga los dos ejes de simetría que se in-dican:

Comprueba el resultado con un espejo.

21 Imagina que pones un espejo sobre la línea de puntos de las siguientes fi-guras:

Dibuja en tu cuaderno lo que crees que se verá mirando por cada una de susdos caras.

e1

e2

a b

c d

9

¿Cómo hay que situar el espejo en cada figura para que se vea lo mismo porlas dos caras?

Para que se vea lo mismo por las dos caras hay que situar los espejos así:

22 Vamos a obtener figuras mirando un trozo de esta figura F con un espejo:

a

b

c

d

se verá

↓2↑1

↓2↑1

↓2↑1

1

1

1

2

21

2

2

se verá

se verá

se verá

↓2↑1

a

b

c

d

F

10

Por ejemplo, para obtener esta hemos de situar el espejo así:

Pero ¡atención!, no tenemos un espejo a mano. Tienes que imaginártelo.Indica cómo hay que situar el espejo sobre F para visualizar cada una de lassiguientes figuras:

F

A M N

P

B C D

E

A

M

N

P

B C

D E

11

P E R A C I O N E S C O N Á N G U L O S

1 Efectúa las siguientes sumas:

a) 15° 13' + 35° 23'

b) 18° 50' + 22° 15'

c) 25° 17' + 54° 40' + 13° 54'

a) 50° 36' b) 41° 5' c) 93° 51'

2 Resuelve estas restas:

a) 181° 19' – 121° 52' b) 143° 12' – 97° 24'

a) 59° 27' b) 45° 48'

3 Haz los productos siguientes:

a) (58° 14') · 3 b) (37° 43') · 5

c) (62° 12') · 7 d) (5° 58') · 2

a) 174° 42' b) 188° 35'

c) 435° 24' d) 11° 56'

4 Resuelve estas divisiones:

a) (277° 34') : 11 b) (201° 52') : 8

c) (127° 55') : 5 d) (174° 30') : 6

a) 25° 14' b) 25° 14'

c) 25° 35' d) 29° 5'

5 Halla el complementario de:

a) 45° 13'

b) 70° 52'

a) 90° – 45° 13' = 44° 47°

b) 90° – 70° 52' = 19° 8'

6 Halla el suplementario de:

a) 93° 15'

b) 15° 02'

a) 180° – 93° 15' = 86° 45'

b) 180° – 15° 02' = 164° 58'

7 Halla en grados y minutos el ángulo interior de un heptágono regular.

= 128° 34,29'5 · 180°7

O

12

O N S T R U C C I O N E S C O N R E G L A , E S C U A D R A Y C O M P Á S

8 Construye un ángulo de 60°.

9 Construye un triángulo que tenga los tres ángulos de 60°.

10 Construye un triángulo cuyos ángulos midan 60°, 90° y 30°.

11 Construye un triángulo con ángulos de 45°, 45° y 90°.

12 Construye un ángulo de 120° y otro de 150°.

120° 150°

90°

45°

45°

60° 90°

30°

60° 60°

60°

60°

CPág. 2

13

13 Traza un segmento y construye su mediatriz. ¿Qué propiedad tienen suspuntos?

Todos los puntos, P, de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento:

PA—

= PB—

14 Traza un ángulo y construye su bisectriz. ¿Qué propiedad tienen sus puntos?

Todos los puntos, P, de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo:

dist (P, r ) = dist (P, s )

15 Calcula el valor del ángulo o de los ángulos que se piden en cada figura:

a) Aì

= 180° – 37° = 143° Bì

= 37° Cì

= 37°

b) Mì

= 180° – 132° = 48° Nì

= 132°

c) Aì

= 180° – 90° – 37° = 53°

d) Pì

= Qì

= = 77°180° – 26°2

a) b)

c) d)

132°

37°

26°

37°

A^

A^

B^

C^

N^

P^

Q^

M^

s

P

r

A B

P

14

16 Calcula el valor de los ángulos desconocidos.

a) Aì

= 360° – 90° – 90° – 71° = 109°

b) Pì

= Nì

= = 60°

c) Bì

= 26°; Aì

= Cì

= 180° – 26° = 154°

d) Nì

= = 17° 30'; Mì

= 180° – 35° = 145°; Pì

= 90° – 17° 30' = 72° 30'

e) Aì

= = 108°; Bì

= = 72°

f ) Mì

= Nì

= 90° + 45° = 135°

17 Halla el valor de los ángulos indicados.

a)

A^

A^

B^

B^

C^

C^

E^

D^

D^

b)

110°

160°

63°

50°

c) d)

e)

A^

B^

C^

40°

f )

360°5

3 · 180°5

35°2

360° – 120° – 120°2

a) b)

c) d)

120° 120°

71°

A^

A^

N^

P^

26° 35°P^

M^

B^ C

^

e) f )

A^

B^

N^

M^

N^

15

a) Aì

= = 55° b) Bì

= = 25°

c) Cì

= Dì

= 90° d) Aì

= Bì

= Cì

= = 80°

e) Dì

= 2 · 63° = 126°; Eì

= 63° f ) Aì

= Bì

= 2 · 40° = 80°; Cì

= 40°

18 Averigua cuánto mide el ángulo de un pentágono regular contestando a lassiguientes preguntas:

a) ¿Cuánto mide el ángulo central?

b) Por tanto, ¿cuánto mide el ángulo señalado en rojo?

c) Por tanto, ¿cuánto mide el ángulo del pentágono?

a) = 72° b) = 54° c) 2 · 54° = 108°

19 El triángulo I es equilátero. Los triángulos II son isósceles.

Halla la medida de los ángulos Aì

, Bì

y Cì

.

Los ángulos del triángulo equilátero I miden 60°. Por lo que el ángulo Dì

medirá:

90° – 60° = 30°.

Así: Aì

= = 75°

Bì

= 360° – 2 · 75° – 60° = 150°

Cì

= = 15° A^

D^

B^

C^

180° – 150°2

180° – 30°2

a

aaa a

a

I

II IIA^

B^

C^

180° – 72°2

360°5

160°2

50°2

110°2

16

I M E T R Í A S

20 Observa las letras del abecedario:

A B C D E F GH I J K M NÑ O P Q R S TU V W X Y ZDi cuáles no tienen ejes de simetría (hay 10), cuáles tienen un eje de simetría (hay13), cuáles tienen dos (hay 3) y cuál tiene infinitos ejes de simetría.

Dibuja cada una de ellas en tu cuaderno señalando los ejes que tenga.

No tienen ejes de simetría: F, G, J, N, Ñ, P, Q, R, S, Z.

Tienen un eje de simetría: A, B, C, D, E, K, L, M, T, U, V, W, Y. Así:

A B C D E K M T U V W YTienen dos ejes de simetría: H, I, X. Así:

H I XLa O tiene infinitos ejes de simetría. Todas las rectas que pasen por el centro de lacircunferencia son ejes de simetría.

21 Completa cada figura para que sea simétrica respecto del eje señalado.

S

17

22 Completa la siguiente figura para que tenga los dos ejes de simetría que seindican:

23 Imagina que pones un espejo sobre la línea de puntos de las siguientes figuras:

Dibuja en tu cuaderno lo que crees que se verá mirando por cada una de sus doscaras.

¿Cómo hay que situar el espejo en cada figura para que se vea lo mismo por lasdos caras?

a)

b)

c)

ba c

e1

e2

e1

e2

18

Para que se vea lo mismo por las dos caras, hay que situar el espejo sobre alguno delos ejes de simetría de cada figura:

24 Vamos a obtener figuras mirando un trozo de esta figura F con un espejo:

Por ejemplo, para obtener esta hemos de situar el espejo así:

Pero, ¡atención!, no tenemos un espejo en la mano. Tienes que imaginártelo.

Indica cómo hay que situar el espejo sobre F para visualizar cada una de las si-guientes figuras:

A

BC

DE

MN

P

A B C D E

M NP

F

F

b)

e2e4

e1e1

e2

e2

e3e3

a) c)

19