MATEMATICASBASICAS

MATEMATICAS BASICAS

Autora: Jeanneth Galeano Penaloza

Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas

Sede Bogota

2 de abril de 2013

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MATEMATICASBASICAS

Parte I

Introduccion a la geometrıa elemental

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MATEMATICASBASICAS

Nociones basicas

Las nociones de punto, lınea y plano no seran definidas, pero...

b

punto lınea plano

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Nociones basicas

La presentacion tradicional de la geometrıa euclidiana se haceen un formato axiomatico. Un sistema de axiomas es aquel que,a partir de un cierto numero de postulados que se presumenverdaderos (conocidos como axiomas) y a traves deoperaciones logicas, genera nuevos postulados cuyo valor deverdad es tambien positivo.

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Cinco postulados de Euclides

1 Dados dos puntos se puede trazar una y solo una rectaque los une.

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Cinco postulados de Euclides

1 Dados dos puntos se puede trazar una y solo una rectaque los une.

2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continuaen cualquier sentido.

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Cinco postulados de Euclides

1 Dados dos puntos se puede trazar una y solo una rectaque los une.

2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continuaen cualquier sentido.

3 Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquierpunto y de cualquier radio.

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Cinco postulados de Euclides

1 Dados dos puntos se puede trazar una y solo una rectaque los une.

2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continuaen cualquier sentido.

3 Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquierpunto y de cualquier radio.

4 Todos los angulos rectos son iguales.

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Cinco postulados de Euclides

1 Dados dos puntos se puede trazar una y solo una rectaque los une.

2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continuaen cualquier sentido.

3 Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquierpunto y de cualquier radio.

4 Todos los angulos rectos son iguales.

5 Por un punto exterior a una recta pasa una unica paralela.

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Nociones basicas

Una lınea, un segmento y un rayo...

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Angulos

Definicion

Un angulo es la union de dos rayos que tienen un puntoextremo comun. Cada uno de los rayos se llama lado delangulo, y el punto comun se conoce como vertice.

Para medir angulos se emplea una herramienta llamadatransportador.

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Angulos

Podemos clasificar los angulo segun su medida: agudo si midemenos de 90◦, recto si mide 90◦, obtuso si mide mas de 90◦,pero menos de 180◦ y llano si mide 180◦.

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Angulos

Encuentre las medidas de los angulos de la siguiente figura,sabiendo que ∠ABC es un angulo recto.

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Angulos

Se dice que dos angulos son complementarios si la sumade sus medidas es 90◦.

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Angulos

Se dice que dos angulos son complementarios si la sumade sus medidas es 90◦.

Se dice que dos angulos son suplementarios si la sumade sus medidas es 180◦.

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Angulos

Ejercicio

El suplemento de un angulo mide 10◦ mas que el triple de sucomplemento. Calcule la medida del angulo.

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Rectas paralelas

Las rectas paralelas son aquellas que estan en el mismo planoy no se intersecan. Una recta que interseca dos rectas paralelasse denomina transversal.

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Angulos entre paralelas

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal seforman ocho angulos, como se muestra en la figura.

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Angulos entre paralelas

∠5 y ∠4 se llaman angulos alternos internos y soncongruentes, es decir, tienen la misma medida, esto senota ∠5 ∼= ∠4.

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Angulos entre paralelas

∠5 y ∠4 se llaman angulos alternos internos y soncongruentes, es decir, tienen la misma medida, esto senota ∠5 ∼= ∠4.

∠1 y ∠8 se llaman angulos alternos externos y∠1 ∼= ∠8.

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Angulos entre paralelas

∠5 y ∠4 se llaman angulos alternos internos y soncongruentes, es decir, tienen la misma medida, esto senota ∠5 ∼= ∠4.

∠1 y ∠8 se llaman angulos alternos externos y∠1 ∼= ∠8.

∠6 y ∠2 se llaman angulos correspondientes y ∠6 ∼= ∠2.

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Angulos entre paralelas

∠5 y ∠4 se llaman angulos alternos internos y soncongruentes, es decir, tienen la misma medida, esto senota ∠5 ∼= ∠4.

∠1 y ∠8 se llaman angulos alternos externos y∠1 ∼= ∠8.

∠6 y ∠2 se llaman angulos correspondientes y ∠6 ∼= ∠2.

∠7 y ∠6 se llaman opuestos por el vertice, ∠7 ∼= ∠6.

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Angulos entre paralelas

Ejercicio

Encuentre otros pares de angulos

alternos internos

alternos externos

correspondientes

opuestos por el vertice

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Angulos entre paralelas

Ejercicio

En la figura m||n. Encuentre el valor de los angulos que seindican.

(3x+2)o

(5x-40)o

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Triangulos

Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida.Podemos clasificar los triangulos por la medida de sus lados:equilatero es el que tiene todos sus lados congruentes,isosceles tiene dos lados congruentes y escaleno no tienelados congruentes.

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Triangulos

Tambien se pueden clasificar por la medida de sus angulos:acutangulo tiene todos sus angulos agudos, rectangulo tieneun angulo de 90◦, obtusangulo tiene un angulo obtuso.

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Triangulos

La suma de los angulos internos de un triangulo es 180◦.

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Triangulos

Ejercicio

Calcule la medida de cada angulo del triangulo de la figura.

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Triangulos

Definicion

En el triangulo que se aprecia en la figura, los angulos 1, 2 y 3se llaman angulos interiores, mientras que los senalados conlos numeros 4, 5 y 6 se llaman angulos exteriores deltriangulo.

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Triangulos

La medida de un angulo exterior de un triangulo, es igual a lasuma de las medidas de los dos angulos interiores opuestos.

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Triangulos

Ejercicio

Calcule las medidas de los angulos interiores A,B y C deltriangulo de la figura, y la medida del angulo exterior BCD.

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Circunferencia

Definicion

Una circunferencia es un conjunto de puntos en un plano, cadauno de los cuales esta a la mismo distancia de un punto fijo.

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Circunferencia

Teorema

Cualquier angulo inscrito en un semicırculo debe ser recto.

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Circunferencia

Demostracion

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Circunferencia

Ejercicio

Con el uso de los puntos, segmentos y lıneas de la figura, hagauna lista de: centro, radios, diametros, cuerdas, secantes,tangentes.

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Polıgonos

Un polıgono es una curva simple cerrada constituida solo porsegmentos de recta. Los segmentos se llaman lados y lospuntos en los que se tocan se llaman vertices.Los polıgonos con todos sus angulos y lados congruentes sonpolıgonos regulares.

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Polıgonos

Clasificacion de los polıgonos de acuerdo con el numero delados.

Numero de lados Nombre

3 Triangulo4 Cuadrilatero5 Pentagono6 Hexagono7 Heptagono8 Octagono9 Nonagono10 Decagono

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Cuadrilateros

Trapecio

Es un cuadrilaterocon un par de ladosparalelos

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Cuadrilateros

Paralelogramo

Es un cuadrilaterocon dos pares delados paralelos

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Cuadrilateros

Rectangulo

Es un paralelogramo con unangulo recto, por lo tantocuatro angulos rectos

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Cuadrilateros

Cuadrado

Es un rectangulo cuyoslados tienen la mismalongitud

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Cuadrilateros

Rombo

Es un paralelogramocuyos lados tienen lamisma longitud

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Perımetro

Definicion

El perımetro de un polıgono es la suma de las medidas de suslados.

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Perımetro

Ejemplo

Un terreno tiene forma de rectangulo. Si su largo es de 50 piesy ancho de 26 pies, ¿que cantidad de cerca se necesita paraencerrar por completo el lote?

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Perımetro

Ejemplo

La longitud de una etiqueta de forma rectangular es 1centımetro mas que el doble del ancho. El perımetro es de 110centımetros. Calcule el largo y el ancho.

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Area

Definicion

El area de una figura plana es la medida de la superficiecubierta por la figura.

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Area

Area de un rectangulo

El area de un rectangulode largo b y ancho h

esta dado por la formula

A = bh

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Area

Area de un cuadrado

El area A de un cuadrado cuyolado tiene longitud a es

A = a2

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Area

Paralelogramo

El area de un paralelo-gramo con altura h ybase b es

A = bh

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Area

Area de un trapecio

El area de un trapeciocon bases paralelas By b y altura h es

A =1

2h(B + b)

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Area

Area de un triangulo

El area A de un triangulocon altura h y base b es

A =bh

2

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Area

Ejercicio

La siguiente figuramuestra el plano del pisode un edificio,constituido por variosrectangulos. Si cadalongitud esta en metros,¿cuantos metroscuadrados derecubrimiento serequerirıan para cubrir elpiso del edificio?

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Area

Ejercicio

Calcule el area delparalelogramo de lafigura.

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Area

Ejercicio

Calcule el area deltrapecio de la figura,donde h = 6, b = 3 yB = 9.

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Area

La region limitada por lacircunferencia C deradio r se llama cırculode radio r.La circunferencia operımetro de un cırculode radio r esta dada porla formula

C = 2πr.

El area de un cırculo deradio r esta dada por

A = πr2.

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Area

Ejercicio

(a) Un cırculo tiene un diametro de 12.6 centımetros. Calculesu circunferencia.

(b) El radio de un cırculo es de 1.7 metros. Calcule sucircunferencia.

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Area

Ejercicio

En un negocio de entrega de pizzas a domicilio. El precio de unpizza de 8 pulgadas de diametro de pepperoni es de $6,99,mientras que el de una de 16 pulgadas de diametro es de$13,98. Un cliente que requiere varias pizzas para una reunion¿que tipo de pizzas deberıa comprar para tener el mejor precio?

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Perımetro y Area

Ejercicio

La siguiente figura tiene perımetro P = 38. Encuentre el valorde x y el area de la figura.

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Perımetro y Area

Ejercicio

La siguiente figura tiene area A = 30. Encuentre el valor de x.

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Perımetro y Area

Ejercicio

Encuentre el area y el perımetro de la parte sombreada.

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Perımetro y Area

Ejercicio

A partir del cırculo con centro O y el rectangulo ABCO

obtenga el diametro del cırculo, sabiendo que AC = 13pulgadas y AD = 3 pulgadas.

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Triangulo rectangulo

Definicion

En un triangulo rectangulo, los lados que forman el angulorecto se llaman catetos y el otro lado hipotenusa.

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Teorema de Pitagoras

Teorema

Si los dos catetos de untriangulo rectangulotienen longitudes a y b,y la hipotenusa tienelongitud c, entonces

a2 + b2 = c2.

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Teorema de Pitagoras

Demostracion

Pensando en areas:

(a+ b)2 = 4

(

ab

2

)

+ c2

a2 + b2 = c2

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Teorema de Pitagoras

Ejercicio

Una terna pitagorica es una terna de numeros a, b, c quecumplen que a2 + b2 = c2. Si se demuestra que (x, x+ 1, y)es una terna pitagorica entonces tambien lo es

(3x+ 2y + 1, 3x+ 2y + 2, 4x+ 3y + 2).

Utilice esta idea para encontrar tres ternas pitagoricas.Comience con 3, 4, 5.

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Teorema de Pitagoras

Teorema

La hipotenusa de un triangulo rectangulo mide 1 centımetromas que el doble del cateto mas corto, y el cateto mas largomide 9 centımetros menos que el triple del cateto mas corto.Determine las longitudes de los tres lados del triangulo.

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Area y perımetro

Dada la figura, encuentre el perımetro y el area.

4

5

8

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Area y perımetro

Si la proporcion entre AD y DC es de 1 a 3, AC mide 16 cm yDB mide 3 cm, encuentre el area y el perımetro de lostriangulos △ADB, △BDC y △ABC.

A

B

CD

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Triangulos congruentes

Dos triangulos son congruentes si tienen la misma forma y elmismo tamano, esto es, si tienen lados y angulos congruentes.

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Criterios de congruencia

LLL Lado-lado-lado Si los tres lados de un trianguloson congruentes respectivamente a los tres ladosde otro triangulo, entonces los triangulos soncongruentes.

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Criterios de congruencia

LLL Lado-lado-lado Si los tres lados de un trianguloson congruentes respectivamente a los tres ladosde otro triangulo, entonces los triangulos soncongruentes.

LAL Lado-angulo-lado Si dos lados de un triangulo yel angulo comprendido entre ellos soncongruentes respectivamente a dos lados y elangulo comprendido de un segundo triangulo,entonces los triangulos son congruentes.

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Criterios de congruencia

LLL Lado-lado-lado Si los tres lados de un trianguloson congruentes respectivamente a los tres ladosde otro triangulo, entonces los triangulos soncongruentes.

LAL Lado-angulo-lado Si dos lados de un triangulo yel angulo comprendido entre ellos soncongruentes respectivamente a dos lados y elangulo comprendido de un segundo triangulo,entonces los triangulos son congruentes.

ALA Angulo-lado-angulo Si dos angulos y el ladocomun de un triangulo son congruentesrespectivamente con dos angulos y el lado comunde un segundo triangulo, entonces los triangulosson congruentes.

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Triangulos semejantes

Dos triangulos son semejantes si tienen la misma forma perono necesariamente el mismo tamano.

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Criterios de semejanza

AA Angulo-angulo Si dos angulos de un trianguloson congruentes con dos angulos de otrotriangulo, entonces los triangulos son semejantes.

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Criterios de semejanza

AA Angulo-angulo Si dos angulos de un trianguloson congruentes con dos angulos de otrotriangulo, entonces los triangulos son semejantes.

LLL Lado-lado-lado Si los tres lados de un trianguloson proporcionales a los tres lados de otrotriangulo, entonces los dos triangulos sonsemejantes.

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Criterios de semejanza

AA Angulo-angulo Si dos angulos de un trianguloson congruentes con dos angulos de otrotriangulo, entonces los triangulos son semejantes.

LLL Lado-lado-lado Si los tres lados de un trianguloson proporcionales a los tres lados de otrotriangulo, entonces los dos triangulos sonsemejantes.

LAL Lado-angulo-lado Si un angulo de un trianguloes congruente con un angulo de otro triangulo, ysi los lados correspondientes que incluyen elangulo son proporcionales, entonces los triangulosson semejantes.

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Semejanza de triangulos

Encuentre el valor de x.

A

6

C

B

x

4

3

E

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Semejanza de triangulos

Como el △BDE es rectangulo y ∠D es recto, podemos utilizarel teorema de Pitagoras, es decir,

BE2 = BD2 +DE2

Por consiguiente tenemos:

BE2 = 42 + 32 = 25

BE =√25 = 5

Los triangulos △ABC y △DBE son semejantes gracias a que:∠A ∼= ∠D, ambos son rectos; ∠ABC ∼= ∠DBE ya que sonopuestos por el vertice; por tanto, por el criterio AA seconcluye que △ABC △DBE.

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Semejanza de triangulos

Utilizando este hecho podemos afirmar que

AC

DE=

BC

BE

De donde se tiene:6

3=

x

5,

es decir, x = 10.

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Volumen

Volumen de un

paralelepıpedo

El volumen de una cajade largo l, ancho a yaltura h es

V = lah

y el area de su superficiees

S = 2la+ 2ah + 2lh

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Volumen

Volumen de un cubo

El volumen de un cubode lado a es

V = a3

y su area superficial es

S = 6a2

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Volumen

Volumen de un cilindro

El volumen de uncilindro circular recto dealtura h y radio de subase r es

V = πr2h

y el area de su superficiees

S = 2πrh+ 2πr2

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Volumen

Volumen de una esfera

El volumen de unaesfera de radio r es

V =4

3πr3

y el area de su superficiees

S = 4πr2

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Volumen

Volumen de un cono

El volumen de un conocircular recto con alturah y radio de la base r es

V =1

3πr2h

y el area de su superficiees

S = πr√

r2 + h2 + πr2

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Volumen

Volumen de una

piramide

Si B representa el areade la base de unapiramide y h la altura,entonces el volumenesta dado por

V =1

3Bh

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