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Matemáticas aplicadas a las CCSS Colección de Ejercicios

PROGRAMACION LINEAL

Iñigo Zunzunegui Monterrubio

10 de octubre de 2020

mailto:aprendeconmigomelon@gmail.com

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Índice general

3 2004 Junio Opción A - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2005 Junio Opción B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2017 Junio Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2017 Junio - Coincidentes Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . 7 2017 Septiembre Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2017 Septiembre - Coincidentes Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . 9 2018 Modelo Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2018 Junio Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2018 Junio - Coincidentes Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . 12 2018 Septiembre Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2019 Modelo Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2019 Junio Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2019 Junio - Coincidentes Opción B - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . 16 2019 Septiembre Opción B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2019 Septiembre - Coincidentes Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . 18 2020 Junio Opción B - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2020 Junio - Coincidentes Opción B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . 20 2020 Septiembre Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2020 Modelo Opción B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

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Ejercicio 1 (3 puntos)

Un producto se compone de la mezcla de otros dos A y B. Se tienen 500 kg de A y 500 kg de B. En la mezcla, el peso de B debe ser menor o igual que 1.5 veces el de A. Para satisfacer la demanda la producción debe ser mayor o igual que 600 kg. Sabiendo que cada kg de A cuesta 5 euros, y cada kg de B cuesta 4 euros. Calcular los kg de A y B que deben emplearse para hacer una mezcla de coste mı́nimo.

(Madrid - Matemáticas CCSS - 2004 Junio - Opción A )

Solución.

Incógnitas x ≡ kg de producto A y ≡ kg de producto B

Región Factible Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su re- presentación

S =

 x ≤ 500 → (500, 0) y ≤ 1.5x → (0, 0) & (400, 600) x + y ≥ 600 → (0.600) & (600, 0) x ≥ 0, y ≥ 0

Funcı́ón objetivo f(x, y) = 5x + 4y

Región factible Representamos la región factible y calculamos los vértices de la misma

Optimización de la fución objetivo Evaluamos la función objetivo en cada vértice

Punto x y f(x,y) A 240 360 2640 B 333 500 3665 C 500 500 4500 D 500 100 2900

Por tanto hay que mezclar 240 kg del componente A con 360 kg del componente B para obtener un coste mı́nimo de 2640 euros.

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4 Ejercicios de Programación Lineal

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Ejercicio 1 (3 puntos)

Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños: pequeño y grande. La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar más de 1000 envases en total. En función de la demanda sabe que debe mantener un stock mı́nimo de 100 envases pequeños y 200 envases grandes. La demanda de envases grandes es igual o superior a la de envases pequeños. El coste por almacenaje es de 10 céntimos de euro para cada envase pequeño y de 20 céntimos de euro para cada en vase grande. ¿Qué cantidad de cada tipo de envases proporciona el mı́nimo gasto de almacenaje? Obtener dicho mı́nimo.

(Madrid - Matemáticas CCSS - 2005 Junio - Opción B )

Solución. Envase pequeño Envase grande

Coste de almacenamiento 0.1€ 0.2€ Stock mı́nimo 100 200

Incógnitas x ≡ Número de envases pequeños y ≡ Número de envases grandes

Región Factible Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su re- presentación 

x + y ≤ 1000 → (0, 1000) & (1000, 0) x ≥ 100 → (100, 0) y ≥ 200 → (200, 0) y ≥ x → (0, 0) & (100, 100)

Funcı́ón objetivo f(x, y) = 0.1x + 0.2y

Región factible Representamos la región factible y calculamos los vértices de la misma

Optimización de la fución objetivo Evaluamos la función objetivo en cada vértice

Punto x y f(x,y) A 100 200 50 B 100 900 190 C 500 500 150 D 200 200 60

Por tanto el coste de almacenamiento mı́nimo es de 50 euros y se produce con un stock de 100 envases pequeños y 200 grandes.

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Ejercicio 2 (2 puntos)

Considérese la región del plano S definida por:

S = {

(x, y) ∈ R2 | x + 6y ≥ 6 ; 5x− 2y ≥ −2 ; x + 3y ≤ 20 ; 2x− y ≤ 12 }

a) Represéntese gráficamente la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.

b) Determı́nense los puntos en los que la función f(x, y) = 4x − 3y alcanza sus valores máximo y mı́nimo en S, indicando el valor de f(x, y) en dichos puntos.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio 2017 - Opción A )

Solución.

Funcı́ón objetivo f(x, y) = 4x− 3y

Región S Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su representación

S =

 x + 6y ≥ 6 → (0, 1) & (6, 0) 5x− 2y ≥ −2 → (0, 1) & (−0.4, 0) x + 3y ≤ 20 → (0, 20/3) & (20, 0) 2x− y ≤ 12 → (0,−12) & (6, 0)

Región factible Repre- sentamos la región factible y calculamos los vértices de la misma

Optimización de la fución objetivo Eva- luamos la función objetivo en cada vértice

Punto x y f(x,y) A 6 0 24 B 0 1 -3 C 2 6 -10 D 8 4 20

Por tanto el máximo de la función objetivo se produce en el punto A(6, 0) y vale 24, mientras que el mı́nimo se produce en C(2, 6) y vale −10.

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6 Ejercicios de Programación Lineal

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Ejercicio 2 (2 puntos)

Sea S la región del plano definida por:

x + y ≥ 2; 2x− y ≤ 4; 2y − x ≤ 4; x ≥ 0; y ≥ 0

a) Represéntese la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.

b) Obténganse los valores máximo y mı́nimo de la función f(x, y) = −5x + 3y en la región S indicando los puntos de S en los cuales se alcanzan dichos valores máximo y mı́nimo.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio 2017 - Opción A Coincidentes)

Solución.

Funcı́ón objetivo f(x, y) = −5x + 3y

Región S Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su representación

S =



x + y ≥ 2 → (0, 2) & (2, 0) 2x− y ≤ 4 → (0,−4) & (2, 0) 2y − x ≤ 4 → (0, 2) & (−4, 0) x ≥ 0 y ≥ 0

Región factible Repre- sentamos la región factible y calculamos los vértices de la misma

Optimización de la fución objetivo Eva- luamos la función objetivo en cada vértice

Punto x y f(x,y) A 2 0 -10 B 0 2 6 C 4 4 -8

Por tanto el máximo de la función objetivo se produce en el punto B(0, 2) y vale 6, mientras que el mı́nimo se produce en A(2, 0) y vale −10.

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Ejercicio 2 (2 puntos)

Se considera la región del plano S definida por:

1 ≤ x ≤ 5; 2 ≤ y ≤ 6; x− y ≥ −4; 3x− y ≤ 10

.

a) Represéntese gráficamente la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.

b) Calcúlese los valores máximo y mı́nimo de la función f(x, y) = −200x + 600y en la región S y obténgase los puntos de S donde se alcanzan dichos valores.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Septiembre 2017 - Opción A )

Solución.

Funcı́ón objetivo f(x, y) = −200x + 600y

Región S Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su representación

S =

 1 ≤ x ≤ 5 → (1, 0) & (5, 0) 2 ≤ y ≤ 6 → (0, 2) & (0.6) x− y ≥ −4 → (0, 4) & (−4, 0) 3x− y ≤ 10 → (0,−10) & (10/3, 0)

Región factible Represen- tamos la región factible y calculamos los vértices de la misma

Optimización de la fución objetivo Eva- luamos la función objetivo en cada vértice

Punto x y f(x,y)