matem´aticas aplicadas a las ccss coleccion de ejercicios´ programacion lineal · 2020. 10....

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Matemáticas aplicadas a las CCSSColección de Ejercicios

PROGRAMACION LINEAL

Iñigo Zunzunegui Monterrubio

10 de octubre de 2020

mailto:[email protected]

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Índice general

32004 Junio Opción A - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42005 Junio Opción B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52017 Junio Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62017 Junio - Coincidentes Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . 72017 Septiembre Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82017 Septiembre - Coincidentes Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . 92018 Modelo Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102018 Junio Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112018 Junio - Coincidentes Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . 122018 Septiembre Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132019 Modelo Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142019 Junio Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152019 Junio - Coincidentes Opción B - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . 162019 Septiembre Opción B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172019 Septiembre - Coincidentes Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . 182020 Junio Opción B - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192020 Junio - Coincidentes Opción B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . 202020 Septiembre Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212020 Modelo Opción B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

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Ejercicio 1 (3 puntos)

Un producto se compone de la mezcla de otros dos A y B. Se tienen 500 kg de A y500 kg de B. En la mezcla, el peso de B debe ser menor o igual que 1.5 veces el de A.Para satisfacer la demanda la producción debe ser mayor o igual que 600 kg. Sabiendoque cada kg de A cuesta 5 euros, y cada kg de B cuesta 4 euros. Calcular los kg de Ay B que deben emplearse para hacer una mezcla de coste mı́nimo.

(Madrid - Matemáticas CCSS - 2004 Junio - Opción A )

Solución.

Incógnitasx ≡ kg de producto Ay ≡ kg de producto B

Región Factible Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su re-presentación

S =

x ≤ 500 → (500, 0)y ≤ 1.5x → (0, 0) & (400, 600)x + y ≥ 600 → (0.600) & (600, 0)x ≥ 0, y ≥ 0

Funcı́ón objetivof(x, y) = 5x + 4y

Región factible Representamosla región factible y calculamos losvértices de la misma

Optimización de la fuciónobjetivo Evaluamos la funciónobjetivo en cada vértice

Punto x y f(x,y)A 240 360 2640B 333 500 3665C 500 500 4500D 500 100 2900

Por tanto hay que mezclar 240 kg del componente A con 360 kg del componente Bpara obtener un coste mı́nimo de 2640 euros.

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4 Ejercicios de Programación Lineal

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Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños:pequeño y grande. La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar másde 1000 envases en total. En función de la demanda sabe que debe mantener unstock mı́nimo de 100 envases pequeños y 200 envases grandes. La demanda de envasesgrandes es igual o superior a la de envases pequeños. El coste por almacenaje es de10 céntimos de euro para cada envase pequeño y de 20 céntimos de euro para cada envase grande. ¿Qué cantidad de cada tipo de envases proporciona el mı́nimo gasto dealmacenaje? Obtener dicho mı́nimo.

(Madrid - Matemáticas CCSS - 2005 Junio - Opción B )

Solución.Envase pequeño Envase grande

Coste de almacenamiento 0.1€ 0.2€Stock mı́nimo 100 200

Incógnitas x ≡ Número de envases pequeñosy ≡ Número de envases grandes


x + y ≤ 1000 → (0, 1000) & (1000, 0)x ≥ 100 → (100, 0)y ≥ 200 → (200, 0)y ≥ x → (0, 0) & (100, 100)

Funcı́ón objetivof(x, y) = 0.1x + 0.2y



Punto x y f(x,y)A 100 200 50B 100 900 190C 500 500 150D 200 200 60

Por tanto el coste de almacenamientomı́nimo es de 50 euros y se produce conun stock de 100 envases pequeños y 200grandes.

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Considérese la región del plano S definida por:

S ={

(x, y) ∈ R2 | x + 6y ≥ 6 ; 5x− 2y ≥ −2 ; x + 3y ≤ 20 ; 2x− y ≤ 12}

a) Represéntese gráficamente la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.

b) Determı́nense los puntos en los que la función f(x, y) = 4x − 3y alcanza susvalores máximo y mı́nimo en S, indicando el valor de f(x, y) en dichos puntos.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio 2017 - Opción A )

Solución.

Funcı́ón objetivof(x, y) = 4x− 3y

Región S Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su representación

S =

x + 6y ≥ 6 → (0, 1) & (6, 0)5x− 2y ≥ −2 → (0, 1) & (−0.4, 0)x + 3y ≤ 20 → (0, 20/3) & (20, 0)2x− y ≤ 12 → (0,−12) & (6, 0)

Región factible Repre-sentamos la región factibley calculamos los vérticesde la misma

Optimización de lafución objetivo Eva-luamos la función objetivoen cada vértice

Punto x y f(x,y)A 6 0 24B 0 1 -3C 2 6 -10D 8 4 20

Por tanto el máximo de la función objetivo se produce en el punto A(6, 0) y vale 24,mientras que el mı́nimo se produce en C(2, 6) y vale −10.

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Sea S la región del plano definida por:

x + y ≥ 2; 2x− y ≤ 4; 2y − x ≤ 4; x ≥ 0; y ≥ 0

a) Represéntese la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.

b) Obténganse los valores máximo y mı́nimo de la función f(x, y) = −5x + 3y enla región S indicando los puntos de S en los cuales se alcanzan dichos valoresmáximo y mı́nimo.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio 2017 - Opción A Coincidentes)

Solución.

Funcı́ón objetivof(x, y) = −5x + 3y


S =

x + y ≥ 2 → (0, 2) & (2, 0)2x− y ≤ 4 → (0,−4) & (2, 0)2y − x ≤ 4 → (0, 2) & (−4, 0)x ≥ 0y ≥ 0

Región factible Repre-sentamos la región factibley calculamos los vérticesde la misma

Optimización de lafución objetivo Eva-luamos la función objetivoen cada vértice

Punto x y f(x,y)A 2 0 -10B 0 2 6C 4 4 -8

Por tanto el máximo de la función objetivo se produce en el punto B(0, 2) y vale 6,mientras que el mı́nimo se produce en A(2, 0) y vale −10.

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Se considera la región del plano S definida por:

1 ≤ x ≤ 5; 2 ≤ y ≤ 6; x− y ≥ −4; 3x− y ≤ 10

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b) Calcúlese los valores máximo y mı́nimo de la función f(x, y) = −200x + 600y enla región S y obténgase los puntos de S donde se alcanzan dichos valores.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Septiembre 2017 - Opción A )

Solución.

Funcı́ón objetivof(x, y) = −200x + 600y


S =

1 ≤ x ≤ 5 → (1, 0) & (5, 0)2 ≤ y ≤ 6 → (0, 2) & (0.6)x− y ≥ −4 → (0, 4) & (−4, 0)3x− y ≤ 10 → (0,−10) & (10/3, 0)

Región factible Represen-tamos la región factible ycalculamos los vértices de lamisma

Optimización de lafución objetivo Eva-luamos la función objetivo encada vértice

Punto x y f(x,y)A 1 2 1000B 1 5 2800C 2 6 3200D 5 6 2600E 5 5 2000F 4 2 400

Por tanto el máximo de la función objetivo se produce en el punto C(2, 6) y vale 3200,mientras que el mı́nimo se produce en F (4, 2) y vale 400.

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2x + y ≤ 16; x + y ≤ 11; x + 2y ≥ 6; x ≥ 0; y ≥ 0

a) Represéntese la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices. ¿Perteneceel punto (4, 4) a S?

b) Obténganse los valores máximo y mı́nimo de la función f(x, y) = 3x + y en laregión S indicando los puntos en los cuales se alcanzan dichos valores máximo ymı́nimo.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Septiembre 2017 - Opción A - Coincidentes)

Solución.

Funcı́ón objetivo:f(x, y) = 3x + y

Región S: Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su representa-ción

S =

2x + y ≤ 16 → (0, 16) & (8, 0)x + y ≤ 11 → (0, 11) & (11, 0)x + 2y ≥ 6 → (0, 3) & (6, 0)x, y ≥ 0

Región factible: Representa-mos S y calculamos los vérticesde la misma. (4, 4) ∈ S ya quecumple todas las restricciones.

Optimización de la fuciónobjetivo:

Punto x y f(x,y)A 0 3 3B 0 11 11C 5 6 21D 8 0 24E 6 0 18

Por tanto el máximo de la función objetivo se produce en el punto D(8, 0) y vale 24,mientras que el mı́nimo se produce en A(0, 3) y vale 3.

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Una bodega desea fijar el precio de venta al público de las 250 botellas de vinoblanco y de las 500 de vino tinto que tiene en stock. Para no incurrir en pérdidas sabenque el precio de venta al público de la botella de vino blanco debe ser como mı́nimo de3 euros, de la misma manera el precio de venta al público de la botella de vino tintodebe ser de, como mı́nimo, 4 euros. Además saben que, para ser competitivos con esosprecios de venta al público el coste de 2 botellas de vino blanco y una de tinto debeŕıaser a lo sumo 15 euros. Por el mismo motivo, el coste total de una botella de vinoblanco y una de tinto no debe sobrepasar los 10 euros.Determı́nense los respectivos precios de venta al público por unidad de las botellas devino blanco y de las de vino tinto, para que el ingreso total al vender el stock de 250botellas de vino blanco y 500 de vino tinto sea máximo.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Modelo 2018 - Opción A )

Solución.

Incógnitas x = Precio del vino blanco (€)y = Precio del vino tinto (€)

Funcı́ón objetivo f(x, y) = 250x + 500y

Restricciones Escribimos las restricciones del problema y los puntos necesariospara su representación

x ≥ 3 → (3, 0)y ≥ 4 → (0, 4)x + y ≤ 10 → (0, 10) & (10, 0)2x + y ≤ 15 → (0, 15) & (7.5, 0)x, y ≥ 0



Punto x y f(x,y)A 3 4 2750B 3 7 4250C 5 5 3750D 5.5 4 3375

Luego el ingreso máximo de 4250€ se produce con un precio del vino blanco de 3€ yun precio de vino tinto de 7€

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x + y ≤ 50, 2x + y ≤ 80, x ≥ 0, y ≥ 0.


b) Obténgase el valor máximo de la función f(x, y) = 5x + 4y en la región S,indicando el punto en el cual se alcanza dicho valor máximo.


Solución.

Funcı́ón objetivof(x, y) = 5x + 4y


x + y ≤ 50 → (0, 50) & (50, 0)2x + y ≤ 80 → (0, 80) & (40, 0)x, y ≥ 0



Punto x y f(x,y)A 0 0 0B 0 50 200C 30 20 230D 40 0 200

Luego el máximo de la función ese 230 que se produce en el punto C(30, 20)

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x + y ≤ 6 ; 4x + y ≤ 12 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0


b) Obténganse los valores máximo y mı́nimo de la función f(x, y) = 8x + 3y5 en S,indicando los puntos de la región en los cuales se alcanzan dichos valores máximoy mı́nimo.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio 2018 - Opción A - Coincidentes)

Solución.

Restricciones Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su repre-sentación

1 x + y ≤ 6 → (0, 6) & (6, 0)2 4x + y ≤ 12 → (0, 12) & (3, 0)

x, y ≥ 0

Funcı́ón objetivo

f(x, y) = 8x + 3y5

Región factible Representamosla región y calculamos los vértices.

Optimización de F.O. Evalua-mos f(x, y) en cada vértice

Punto x y f(x, y)A 0 0 0B 0 6 18/5C 2 4 28/5D 3 0 24/5

Por tanto el máximo es de 28/5 y se produce en el punto C(2, 4), mientras que el mı́nimoes 0 y se alcanza en el punto A(0, 0).

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Considérese la región del plano S definida por:

S ={

(x, y) ∈ R2 | x + 2y ≥ 4; x + 2y ≤ 12; x ≤ 4; −x + 2y ≤ 12}


b) Determı́nense los puntos en los que la función f(x, y) = 3x−y alcanza sus valoresmáximo y mı́nimo en S, indicando el valor de f en dichos puntos.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Julio 2018 - Opción A )

Solución.

Funcı́ón objetivo: f(x, y) = 3x− y

Región S: Escribimos restricciones puntos necesarios para su representación

S =

x + 2y ≥ 4 → (0, 2) & (4, 0)x + 2y ≤ 12 → (0.6) & (12, 0)x ≤ 4 → (4, 0)−x + 2y ≤ 12 → (0, 6) & (−12, 0)

Región factible: Representamos laregión factible y calculamos los vérticesde la misma

Optimización de la fuciónobjetivo: Evaluamos la funciónobjetivo en cada vértice

Punto x y f(x,y)A 4 0 12B -4 4 -16C 0 6 -6D 4 4 8

Por tanto el máximo de la función objetivo se produce en el punto A(4, 0) y vale 12,mientras que el mı́nimo se produce en B(−4, 4) y vale −16.

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−2x + 3y ≤ 4; 2x + y ≥ 4; 2x− y ≤ 4.


b) Obténganse los valores máximo y mı́nimo de la función f(x, y) = 0.5x+ 13y en S,indicando los puntos de la región en los cuales se alcanzan dichos valores máximoy mı́nimo.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Modelo 2019 - Opción A )

Solución.

Funcı́ón objetivo

f(x, y) = 0.5x + 13y


1 − 2x + 3y ≤ 4 → (0, 4/3) & (−2, 0)2 2x + y ≥ 4 → (0, 4) & (2, 0)3 2x− y ≤ 4 → (0,−4) & (2, 0)



Punto x y f(x,y)A 2 0 1B 1 2 7⁄6C 4 4 10⁄3

Luego la función objetivo tiene un mı́nimo en A(2, 0), que vale 1 y un máximo enC(4, 4) que vale 10/3.

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Una voluntaria quiere preparar helado artesano y horchata de auténtica chufa paraun rastrillo solidario. La elaboración de cada litro de helado lleva 1 hora de trabajo yla elaboración de un litro de horchata 2 horas.Como la horchata no necesita leche, sabe que puede preparar hasta 15 litros de heladocon la leche que tiene.Para que haya suficiente para todos los asistentes tiene que preparar al menos 10 litrosentre helado y horchata, en un máximo de 20 horas.

a) Represéntese la región del plano determinada por las restricciones anteriores.

b) Si el beneficio por litro es de 25 euros para el helado y 12 euros para la horchata,obténgase la cantidad de cada producto que se deberá preparar para maximizarel beneficio y calcúlese el beneficio máximo que podŕıa obtenerse.


Solución.

Incógnitasx ≡ ”litros de helado”y ≡ ”litros de horchata”

Resumimos los datos del enunciado en una tabla:x y Restricción

h trabajo/litro 1 2 ≤ 20≤ 15

a) Región factible Restricciones y puntos necesarios para su representaciónx + y ≥ 10 → (0, 10) & (10, 0)x + 2y ≤ 20 → (0, 10) & (20, 0)x ≤ 15 → (15, 0)x, y ≥ 0

Región factible Representamos laregión factible y hallamos sus vértices.

Optimización de la f. objetivoEvaluamos f(x) en cada vértice

b) Función Objetivo f(x) = 25x +12y

Punto x y f(x,y)A 10 0 250B 0 10 120C 15 2.5 405D 15 0 375

Por tanto el máximo beneficio se produce en el punto C(15, 2.5) y vale 405 euros.

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Para el mantenimiento de las piscinas de cierto hotel se quiere utilizar cloro dedisolución lenta CL y cloro estabilizado (CE). El hotel quiere que la cantidad de cloroque se use en la temporada de verano, sea como mucho 500 kg y la cantidad de clorode disolución lenta sea mayor que la cantidad de cloro estabilizado al menos en 100kg. No podrán utilizarse más de 350 kg de cloro de disolución lenta ni menos de 100kg de cloro estabilizado. Cada kg de cloro de disolución lenta cuesta 30 euros, mientasque cada kg de cloro estabilizado cuesta el doble.

a) Represéntese la región del plano determinada por las restricciones anteriores.

b) Se desea que el gasto, respetando las caracteŕısticas anteriores, sea el mı́nimoposible. Determı́nense las cantidades de cloro de cada tipo que deben usarsepara minimizar los costes. Obténgase el valor del coste mı́nimo.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio 2019 - Opción B - Coincidentes)

Solución.

Incógnitas x ≡ Kg de cloro de disolución lenta (CL)y ≡ Kg de cloro estabilizado (CE)


1 x + y ≤ 500 → (0, 500) & (500, 0)2 x ≥ y + 100 → (0, 100) & (300, 400)3 x ≤ 350 → (350, 0)4 y ≥ 100 → (0, 100)

x, y ≥ 0

Funcı́ón objetivo Coste del cloro.f(x, y) = 30x + 60y

Región factible Representamos laregión y calculamos los vértices.

Optimización de F.O. Evaluamosf(x, y) en cada vértice

Punto x y f(x, y)A 200 100 12000B 300 200 21000C 350 150 19500D 350 100 16500

Por tanto el coste mı́nimo es de 12000 euros y se produce con un consumo de 200 kg decloro de disolució lenta (CL) y 100 kg de cloro estabilizado (CE).

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Un alcalde quiere instalar un estanque rectangular en un parque de la ciudad conlas siguientes caracteŕısticas.El estanque deberá tener al menos 2 metros de ancho y al menos 5 metros de largo.Además su largo debe ser al menos 2 veces su ancho pero no más de tres veces suancho. Cada metro del ancho del estanque cuesta 1000 euros y cada metro de largo500 euros. Y se cuenta con un presupuesto de 9000 euros.

a) Determı́nese la región del plano delimitada por las restricciones anteriores sobrelas dimensione del estanque.

b) Si se desea que el estanque, respetando esas caracteŕısticas, tenga el mayor anchoposible, determı́nense el largo del estanque y su coste.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Julio 2019 - Opción B )

Solución.

a)

x

y

Región Factible

1 y ≥ 2 → (0, 2)2 x ≥ 5 → (5, 0)3 x ≥ 2y → (0, 0) & (2, 1)4 x ≤ 3y → (0, 0) & (3, 1)5 x + 2y ≤ 18 → (18, 0) & (0, 9)

x, y ≥ 0

La ec. 5 sale de: 1000y + 500x ≤ 9000 =⇒ x + 2y ≤ 18

b) Si queremos la solución con mayor ancho (ymáx) hemos de coger el punto de lafrontera de la región factible con mayor ordenada. En este caso C(9, 4.5), cuyo costees de 9000 euros pues se encuentra sobre la recta 5 ≡ x + 2y = 18

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3x− y ≥ 5 ; 3y − x ≥ 1 ; y + x ≤ 7

a) Represéntese S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.

b) Determı́nese el valor máximo de la función f(x, y) = x + 4y en S, indicando elpunto en el cual se alcanza dicho valor.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Septiembre 2019 - Opción A - Coincidentes)

Solución.

Funcı́ón objetivo:f(x, y) = x + 4y

Región S: Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su representa-ción

S =

1 3x− y ≥ 5 → (0,−5) & (5/3, 0)2 3y − x ≥ 1 → (0, 1/3) & (−1, 0)3 y + x ≤ 7 → (0, 7) & (7, 0)

Función Objetivo:

f(x, y) = x + 4y

Región factible: Representamos Sy calculamos los vértices de la misma.

Optimización de la fuciónobjetivo:

Punto x y f(x,y)A 2 1 6B 3 4 19C 5 2 13

Por tanto el máximo de la función objetivo se produce en el punto B(3, 4) y vale 19.

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La región del plano S está definida por las siguientes expresiones:

x ≥ 3 & 0 ≤ y ≤ 15 & y − 5 + x2 ≥ 0 & y − x ≤ 10 & y + 20 ≥ 2x

a) Determine las coordenadas de sus vértices y represente en el plano la región S.

b) Obtenga el valor máximo y el valor mı́nimo de la función f(x, y) = x + y en estaregión, indicando los puntos en los cuales se alcanzan estos valores.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Julio 2020 - Opción B )

Solución.

Región Factible Escribimos la región S y los puntos necesarios para su represen-tación

S ≡

1 x ≥ 3 → (3, 0)2 0 ≤ y ≤ 15 → (0, 0) & (0, 15)3 y − 5 + x2 ≥ 0 → (0, 5) & (10, 0)4 y − x ≤ 10 → (0, 10) & (5, 15)5 y + 20 ≥ 2x → (10, 0) & (15, 10)

Funcı́ón objetivo f(x, y) = x + y



Punto x y f(x, y)A 3 3.5 6.5B 3 13 16C 5 15 20D 17.5 15 32.5E 10 0 10

Por tanto f(x) tiene un mı́nimo igual a6.5 en A(3, 3.5) y un máximo igual a 32.5en D(17.5, 15).

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Considere la región del plano S definida por:

x− y ≥ 0, y + 2x ≤ 8, 0 ≤ y ≤ 2

a) Represente la región S y calcule las coordenadas de sus vértices.

b) Obtenga el valor máximo y el valor mı́nimo de la función f(x, y) = 4x− y en laregión S, indicando los puntos en los cuales se alcanzan dichos valores.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Julio 2020 - Opción A - Coincidentes)

Solución.

Región Factible Escribimos la región S y los puntos necesarios para su represen-tación

S ≡

1 x− y ≥ 0 → (0, 0) & (4, 4)2 y + 2x ≤ 8 → (0, 8) & (4, 0)3 0 ≤ y ≤ 2 → (0, 0) & (0, 2)

Funcı́ón objetivo f(x, y) = 4x− y



Punto x y f(x, y)A 0 0 0B 2 2 6C 3 2 10D 4 0 16

Por tanto f(x) tiene un mı́nimo igual a0 en A(0, 0) y un máximo igual a 16 enD(4, 0).

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Un vivero elabora dos tipos de sustratos. Para elaborar 1 m3 del tipo A necesita 60kg de tierra vegetal y 30 horas de trabajo. Para elaborar 1 m3 del tipo B necesita 50kg de tierra vegetal y 50 horas de trabajo. El vivero dispone como máximo de 21000kg de tierra vegetal y 15000 horas de trabajo. Además, la cantidad de metros cúbicosque elabora de tipo A debe ser como mucho cinco veces la cantidad de tipo B. Por laventa de cada metro cúbico de tipo A obtiene un beneficio de 50 € y 60 € por cadametro cúbico de tipo B.

a) Represente la región del plano determinada por las restricciones anteriores ydetermine las coordenadas de sus vértices.

b) Determine cuántos metros cúbicos de cada tipo deben elaborarse para, respe-tando las restricciones anteriores, maximizar el beneficio. Obtenga el valor delbeneficio máximo.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Septiembre 2020 - Opción A )

Solución.

Sustrato A Sustrato B RestricciónTierra vegetal (kg/m3) 60 50 < 21000

Horas de trabajo (h/m3) 30 50 < 15000Beneficio (£/m3) 50 60

Incógnitas Llamamos x e y a los m3 de cada tipo de sustrato.

Región Factible Escribimos las restricciones y los puntos para representarlas1 60x + 50y ≤ 21000 → (0, 4420) & (3683, 0)2 30x + 50y ≤ 15000 → (0, 300) & (500, 0)3 x ≤ 5y → (0, 0) & (500, 100)

x, y ≥ 0

Funcı́ón objetivo (Coste en €) f(x, y) = 50x + 60y

Región factible Representamos la región y calculamos los vértices.

Optimización de F.O. Evaluamos f(x, y)en cada vértice.

Punto x y f(x, y)A 0 0 0B 0 300 18000C 200 180 20800D 300 60 18600

El coste máximo es de 20800 €, elaborando 200 m3 del sustrato tipo A y 180 m3 del B.

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Un agricultor dispone de 5 hectáreas, como máximo, de terreno para dedicar a laplantación de trigo y cebada. Cada hectárea dedicada al trigo le supone un beneficiode 200 euros, mientras que cada hectárea dedicada a la cebada le supone un beneficiode 60 euros. Entre ambos cultivos es obligatorio plantar como mı́nimo una hectárea,y la normativa autonómica le obliga a que el cultivo de trigo ocupe como mucho unahectárea más que el de cebada. Represente la región factble, determine las hectáreasque debeŕıa dedicar a cada cultivo para maximizar sus beneficios y obtenga el valordel beneficio máximo.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Modelo 2021 - Opción B )

Solución.

Incógnitasx ≡ Hectáreas dedicadas al cultivo de trigoy ≡ Hectáreas dedicadas al cultivo de cebada


1 x + y ≤ 5 → (0, 5) & (5, 0)2 x + y ≥ 1 → (0, 1) & (1, 0)3 x ≤ y + 1 → (5, 4) & (1, 0)

x, y ≥ 0

Funcı́ón objetivo f(x, y) = 200x + 60y

Región factible Representamos laregión y calculamos los vértices.

Optimización de F.O. Evaluamosf(x, y) en cada vértice

Punto x y f(x, y)A 0 1 60B 0 5 300C 3 2 720D 1 0 200

Por tanto el beneficio máximo es de 720 eu-ros y se produce destinando 3 hectáreas alcultivo de trigo y 2 al de cebada.

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PL-1 Sea la función ( ), 0.4 3.2f x y x y= − + , sujeta a las restricciones:

7

4 4

5

0 5

0

x y

x y

x y

x

y

+

+

+

a) Represéntese la región S del plano determinada por el conjunto de

restricciones.

b) Calcúlense los puntos de la región S donde la función f alcanza sus valores

máximo y mínimo

c) Calcúlense dichos valores máximo y mínimo.

(PAU Madrid CCSS Junio 2010 FG)

Solución:

Representamos las restricciones en un gráfico, viendo las coordenadas de dos puntos.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

7 0,7 y 7,0

4 4 0,1 y 4,0

5 0,5 y 2,7

0 5

0

x y

x y

x y

x

y

+ →

+ →

+ →

Asimismo representamos la función

( )( )

( )

0,0, 0.4 3.2 0

8,1f x y x y

= − + = →

Y trazamos las paralelas a la misma

en la región factible, determinando

así los puntos en donde se produce el

máximo ( )1,6 y el mínimo ( )5,0 .

Para calcular su valor sustituimos en

la función ( ),f x y .

( )

( )

1,6 0.4 3.2 6 18.8

5,0 0.4 5 2

f

f

= − + =

= − = −

x + y = 7

( )1,6 ( )0,7

( )0,1

( )2,7

x = 5

x + 4y = 4

-0.4x + 3.2y = 0 ( )4,0 ( )5,0

x + 5 = y

( )7,0

( )0,5

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PL-2 Un club de fútbol dispone de un máximo de 2 millones de euros para fichajes de futbolistas españoles y extranjeros. Se estima que el importe total de las

camisetas vendidas por el club con el nombre de futbolistas españoles es igual al

10% de la cantidad total invertida por el club en fichajes de españoles, mientras

que el importe total de las camisetas vendidas con el nombre de futbolistas

extranjeros es igual al 15% de la cantidad total invertida por el club en fichajes

de extranjeros. Los estatutos del club limitan a un máximo de 800.000 euros la

inversión total en fichajes extranjeros y exigen que la cantidad total invertida en

fichajes de futbolistas españoles sea como mínimo de 500.000 euros. Además la

cantidad total invertida en fichajes de españoles ha de ser mayor o igual que la

invertida en fichajes extranjeros. ¿Qué cantidad debe invertir el club en cada tipo

de fichajes para que el importe de las camisetas vendidas sea máximo? Calcúlese

dicho importe máximo. Justifíquese.

(PAU Madrid CCSS Junio 2010 FE - Opción A)

Solución:

Primero haremos una tabla resumen con los datos del problema:

FICHAJES NACIONALES

FICHAJES EXTRANJEROS

Camisetas vendidas

10% 15%

500.000 800.000

Ahora definimos las incógnitas que, claramente son:

x → inversión en fichajes nacionales

y → inversión en fichajes extranjeros

Restricciones: Inversión total máxima inferior a 2 millones. La inversión en fichajes

nacionales ha de ser como mínimo de 500.000 €. La inversión en fichajes extranjeros no

debe exceder los 800.000 €. La inversión en fichajes nacionales ha de ser mayor o igual

que la inversión en fichajes extranjeros.

2.000.000 (0,2.000.000) (2.000.000,0)

(0,0) (1,1)

500.000

800.000

x y y

x y y

x

y

+ →

→

Ahora representamos las rectas limitándonos a la igualdad y dibujamos la “región

factible”.

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La función que maximiza el ingreso por la venta de camisetas (función objetivo) es:

( , ) 0.1 0.15f x y x y= +

Hemos visto que el máximo de esta función se produce en el punto de abscisa 1.2

millones sin más que trazar

una paralela a la función

objetivo por el punto de la

región factible más alejado

del origen de coordenadas

El importe máximo

ingresado por la venta de

camisetas, supuestos unos

fichajes nacionales de 1,2

millones de euros y unos

fichajes extranjeros de

800.000 será el resultante

de sustituir estas cantidades

en la función objetivo:

(1.200.000,800.000) 0.1 1.200.000 0.15 800.000f = + →

Ingresos 240.000 euros=

(1.200.000,800)

0,1x+0,15y=0

x + y=2.000.000

y=800.000

500

x=y

X

x = 500

2.000.000

800

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PL-3 Un pintor necesita pintura para pintar como mínimo una superficie de 480 m2. Puede comprar la pintura a dos proveedores, A y B. El proveedor A le ofrece

una pintura con un rendimiento de 6 m2 por kg y un precio de 1 euro por kg. La

pintura del proveedor B tiene un precio de 1,2 euros por kg y un rendimiento de

8 m2 por kg. Ningún proveedor le puede suministrar más de 75 kg de pintura y el

presupuesto máximo del pintor es de 120 euros. Calcúlese la cantidad de pintura

que el pintor tiene que comprar a cada proveedor para obtener el mínimo coste.

Calcúlese dicho coste mínimo.

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2010 FG)

Solución:

Ponemos los datos en una tabla

PROVEEDOR A `PROVEEDOR B

Rendimiento ( )2m kg 6 8 Precio ( )€ kg 1 1,2

Existencias (kg) 75 75

Las incógnitas serán:

x → kg suministrados por el proveedor A

y → kg suministrados por el proveedor B

Restricciones: Superficie mínima a pintar 480 m2 . Existencias máximas de cada proveedor 75 kg. Presupuesto máximo del pintor 120 €.

( ) ( )

( ) ( )

6 8 480 0,60 y 80,0

1.2 120 0,100 y 120,0

75 75

x y

x y

x y

+ →

+ →

La función a minimizar (función objetivo) es el coste que se puede expresar:

( , ) 1.2C x y x y= +

Vemos que el punto de coste mínimo se produce en las coordenadas 0x = e 60y = ,

con un coste de:

(0,60) 1.2 60 72 €C = =

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Pero debido al dibujo cabe

la duda de si el mínimo se

produce en 75x = e

3.75y = , no tenemos más

que comprbarlo en la

función coste:

(0,60) 75 1.2 3.75 78 €C = + =

Por lo que queda claro cual

es el mínimo. Esto nos

puede pasar si el dibujo no

es muy exacto, pero siempre

podemos tantear entre los

puntos dudosos. 120

x + 1.2y = 0

x = 75

y = 75

80

X

75

6x + 8y = 480

60

6x + 8y = 480

100

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PL-4 Un grupo inversor dispone de un máximo de 9 millones de euros para invertir en dos tipos de fondos de inversión, A y B. El fondo de inversión del tipo A

tiene una rentabilidad anual del 4% y una limitación legal de 5 millones de euros

de inversión máxima. El fondo de inversión del tipo B tiene una rentabilidad del

3% anual, deben invertirse al menos 2 millones de euros y no hay límite superior

de inversión. El grupo inversor desea invertir en el fondo del tipo B, como

máximo, el doble de lo invertido en el fondo del tipo A. ¿Qué cantidad debe

invertir el grupo en cada tipo de fondo para obtener el máximo beneficio anual?

Calcúlese dicho beneficio máximo.

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2010 FE)

Solución:

Presentamos los datos:

FONDO A FONDO B

Rentabilidad anual (%) 4% 3%

Limitación legal (millones de €) 5 -

Inversión mínima (millones de €) - 5

Definimos las incógnitas:

x → inversión en fondo A.

y → inversión en fondo B.

Restricciones: Capital máximo para inversión 9 millones €. Inversión máxima en fondo

A de 5 millones €. Inversión mínima en fondo B de 2 millones €. Inversión en B menor

que el doble de la inversión en A.

9 (0,9) (9,0)

2 (0,0) (2,1)

5 2

x y y

y x y

x y

+ →

→

La función objetivo a maximizar es el beneficio obtenido que se expresa por la función:

( )B , 0.04 0.03x y x y= +

Pasamos a la representación de la región factible y al dibujo de la función objetivo

igualada a cero, así como a la determinación del punto donde se produce el máximo de

la citada función objetivo, que es el (5,4)

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Por tanto el máximo beneficio se

producirá cuando invirtamos 5 millones €

en el fondo A y 4 millones € en el fondo

B.

El beneficio obtenido en ese caso será:

( )B 5,4 0,04 5 0,03 4 320.000 €= + =

(5,4)

0.04x + 0.03y = 0

x = 5

Y

y = 2

5

x + y = 9

X

9

2

9

y = 2x

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PL-5 Una refinería utiliza dos tipos de petróleo, A y B, que compra a un precio de 350 € y 400 € por tonelada, respectivamente. Por cada tonelada de petróleo de tipo A

que refina, obtiene 0.10 ton. de gasolina y 0.35 ton. de fuel-oil. Por cada

tonelada de petróleo de tipo B que refina, obtiene 0.05 ton. de gasolina y 0.55

ton. de fuel-oil. Para cubrir sus necesidades necesita obtener al menos 10 ton. de

gasolina y al menos 50 ton. de fuel-oil. Por cuestiones de capacidad, no puede

comprar más de 100 ton. de cada tipo de petróleo. ¿Cuántas ton. de petróleo de

cada tipo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades a mínimo coste?.

Determinar dicho coste mínimo.

(PAU Madrid CCSS Junio 2009 – Opción B)

Solución:


PETRÓLEO

Tipo A PETRÓLEO

Tipo B Necesidades

Precio (€/ton) 350 400

Gasolina obtenida (ton) 0.10 0.05 10

Fuel-oil obtenido (ton) 0.35 0.55 50

Limitacion por capacidad (ton) 100x 100y


x → Ton. de petróleo del tipo A

y → Ton. de petróleo del tipo B

Restricciones: Obtención mínima de 10 ton. de gasolina y 50 de fuel-oil. Capacidad

máxima de almacenaje de 100 ton. de cada tipo de petróleo

0.1 0.05 10 (0,200) (100,0)

0.35 0.55 50 (0,90.9) (142.9,0)

0 100

0 100

x y y

x y y

x

y

+ →

+ →


factible”.

La función que maximiza la ganancia anual (función objetivo) es:

( )( , ) 350 400 en miles de €G x y x y= +

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Calculamos todos los puntos de

corte que configuran la región

factible y hallamos el valor de la

función objetivo en los mismos.

( )

0.1 0.05 100.75 60

0.35 0.55 50

80, 40

x yx

x y

+ = =

+ =

→

Los resultados se muestran en la

siguiente tabla (el valor de la

ganancia se ha multiplicado por

1000 para que el resultado sean

€):

x y G(x,y)

50 100 57.500

100 100 75.000

100 27.3 45.920

80 40 44.000

Se obtiene un precio mínimo de

443000 € comprando 80 T de

petróleo de la refinería A y 40 T

de la B.

(100,27.3)

(50,100) (100,100)

y = 100

200

x = 100

X

0.1x + 0.05y = 10

30

y

90.9

142 100

100

0.35x + 0.55y = 50

(80,40)

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PL-6 Una carpintería vende paneles de contrachapado de dos tipos, A y B. Cada m2 de panel del tipo A requiere 0.3 horas de trabajo para su fabricación y 0.2 horas

para su barnizado, proporcionando su venta un beneficio de 4 €. Cada m2 de

panel del tipo B requiere 0.2 horas de trabajo para su fabricación y 0.2 horas

para su barnizado, proporcionando su venta un beneficio de 3 €. Sabiendo que en

una semana se trabaja un máximo de 240 horas en el taller de fabricación y de

200 horas en el taller de barnizado, calcular los m2 de cada tipo de panel que

debe vender semanalmente la carpintería para obtener el máximo beneficio.

Calcular dicho beneficio máximo.

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2009 – Opción A)

Solución:


Contrachapado A Contrachapado B Restricciones

Fabricación ( )2h m 0.3 0.2 240

Barnizado ( )2h m 0.2 0.2 200 Beneficio (€) 4 3

Ahora definimos las incógnitas:

x → m2 de contrachapado tipo A

y → m2 de contrachapado tipo B

Restricciones: Las horas semanales de fabricación y barnizado no pueden exceder las

240 y 200 respectivamente.

( ) ( )

( ) ( )

0.3 0.2 240 0,1200 y 800,0

0.2 0.2 200 0,1000 y 1000,0

0

0

x y

x y

x

y

+ →

+ →


factible”.

La función que maximiza el beneficio (función objetivo) es:

( , ) 4 3B x y x y= +

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Calculamos el valor de la función

beneficio en todos los puntos que

limitan la región factible, para lo cual

los hallamos previamente resolviendo

el sistema de ecuaciones formado por

las rectas que se cortan:

( )

0.3 0.2 2400.1 40

0.2 0.2 200

400,600

x yx

x y

+ = =

+ =

→

Ahora evaluaremos la función

beneficio en las fronteras de la región

factible para hallar el máximo

beneficio:

x y B(x,y)

0 1000 3.000

400 600 3.400

800 0 3.200

El beneficio máximo se produce con una producción de 400 m2 de contrachapado tipo A

y 600 m2 de tipo B, siendo el citado beneficio igual a 3400 €.

800 1000

x

y

1000

1200

(400,600)

0.3x + 0.2y = 240

0.2x + 0.2y = 200

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PL-7 Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo A se necesitan 10 kg

de cobre, 2 kg de titanio y 1 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable

de tipo B se necesitan 15 kg de cobre, 1 kg de titanio y 1 kg de aluminio. El

beneficio que obtiene la empresa por cada 100 metros de cable de tipo A

fabricados es igual a 1500 euros, y por cada 100 metros de cable de tipo B es

igual a 1000 euros. Calcúlense los metros de cable de cada tipo que han de

fabricarse para maximizar el beneficio y determínese dicho beneficio máximo.

(PAU Madrid CCSS 2010 Modelo FE – Junio 2007 Opción B)

Solución:

Ponemos los datos en una tabla para organizarlos mejor:

CABLE A CABLE B Existencias

kg de cobre / 100 m de cable 10 15 195

kg de titanio / 100 m de cable 2 1 20

kg de aluminio / 100 m de cable 1 1 14

Beneficio / 100 m de cable 1.500 € 1.000 €


x → m de cable de tipo A (en cientos de metros)

y → m de cable de tipo B (en cientos de metros)

Restricciones: Tenemos unas existencias de materia prima de 195 kg de cobre, 20 kg de

titanio y 14 kg de aluminio.

Inversión total máxima inferior a 2 millones. La inversión en fichajes nacionales ha de

ser como mínimo de 500.000 €. La inversión en fichajes extranjeros no debe exceder los

800.000 €. La inversión en fichajes nacionales ha de ser mayor o igual que la inversión

en fichajes extranjeros.

10 15 195 (0,13) (19.5,0)

2 20 (0, 20) (10,0)

14 (0,14) (14,0)

x y y

x y y

x y y

+ →

+ → + →

La función objetivo a maximizar es el beneficio obtenido, que expresamos por cada 100

metros de cable de esta manera:

( , ) 1500 1000B x y x y= +

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14

Calculamos los puntos de intersección de las rectas:

1010 15 195

14

xx y

x y

+ =→

+ =

15 195

10

y

x

+ =

− 10 140

11 3

y

y x

− = −

= → =

22 20

14

x yx y

x y

++ =→

+ =

20

x y

=

− − 14

86 yx

= −

== →

Hacemos una tabla resumen con los

valores de la función objetivo en los

vértices de la región factible:

x y B(x,y)

0 13 13.000

3 11 15.500

6 8 17.000

10 0 15.000

Por lo tanto deberemos fabricar 600 m de cable tipo A y 800 m de cable tipo B para que

el beneficio sea máximo, siendo el mismo de 17.000 €

2x + y = 20

x + y = 14

14

10x + 15y = 195

20

10 19,5

X

(6,8)

13

14

(3,11) ht

tps:/

/apr

ende

conm

igom

elon

.com



PL-8 Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almazaras, A y B. Las almazaras A y B venden el aceite a 2000 y 3000 euros por tonelada,

respectivamente. Cada almazara le vende un mínimo de 2 toneladas y un

máximo de 7 y para atender a su demanda, el distribuidor debe comprar en total

un mínimo de 6 toneladas. El distribuidor debe comprar como máximo a la

almazara A el doble de aceite que a la almazara B. ¿Qué cantidad de aceite debe

comprar el distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mínimo

coste? Determínese dicho coste mínimo.


Solución:


Almazara A Almazara B

Coste (Ton) 2000 € 3000 €

2 7x 2 7y

Ahora definimos las incógnitas:

x → Toneladas de aceite compradas a la almazara A

y → Toneladas de aceite compradas a la almazara B

Restricciones: Las almazaras proveen entre 2 y 7 toneladas. Mínima compra del

distribuidor igual a 6 toneladas en total. La compra en la almazara A debe ser, como

máximo, el doble de la almazara B.

2 7

2 7

6 (0,6) (6,0)

2 (0,0) (4,2)

x

y

x y y

x y y

+ → →


factible”.

La función que minimiza el coste del aceite (función objetivo) es:

( , ) 2000 3000C x y x y= +

http

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om


Trazando una paralela a la

función objetivo por el

punto de la región factible

más cercano al origen de

coordenadas vemos que el

mínimo de la función coste

se produce en el punto

( )4,2 .

También podemos calcular

el valor de la función coste

en todos los puntos de la

región factible:

x y C(x,y)

4 2 14.000

7 4 24.500

7 7 35.000

2 7 25.000

2 4 16.000

El coste mínimo por tanto será:

(4,2) 2000 4 3000 2C = +

14000 €Coste =

(4,2)

2000x+3000y = 0

x + y = 6

y = 2

x=2y

X

6

6

y = 7

2

2

x = 7

( 7,3.5)

(2,4)

(2,7) (7,7)

7

7

http

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PL-9 Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igual que 125000 euros,

distribuidos entre acciones del tipo A y del tipo B. Las acciones del tipo A

garantizan una ganancia del 10% anual, siendo obligatorio invertir en ellas un

mínimo de 30000 euros y un máximo de 81000 euros. Las acciones del tipo B

garantizan una ganancia del 5% anual, siendo obligatorio invertir en ellas un

mínimo de 25000 euros. La cantidad invertida en acciones del tipo B no puede

superar el triple de la cantidad invertida en acciones del tipo A. ¿Cuál debe ser

la distribución de la inversión para maximizar la ganancia anual? Determínese

dicha ganancia máxima.

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2008 – Opción B)

Solución:


ACCIONES

Tipo A ACCIONES

Tipo B

Ganancia anual (%) 10% 5%

Limitaciones (en miles €) 30 81x 25

3

y

y x


x → inversión en acciones de tipo A (en miles de €)

y → inversión en acciones de tipo B (en miles de €)

Restricciones: Inversión total máxima inferior a 125.000 €. Inversión en acciones del

tipo A entre 30.000 y 81.000 €. Inversión mínima en acciones de tipo B de 25.000 €.

Inversión en acciones de tipo B inferior al triple de la inversión en acciones de tipo A.

125 (0,125) (125,0)

30 81

25

3 (0,0) (30,90)

x y y

x

y

y x y

+ →

→


factible”.

La función que maximiza la ganancia anual (función objetivo) es:

( )( , ) 0.1 0.05 en miles de €G x y x y= +

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Calculamos todos los puntos

de corte que configuran la

región factible y hallamos el

valor de la función objetivo

en los mismos. Los

resultados se muestran en la

siguiente tabla (el valor de la

ganancia se ha multiplicado

por 1000 para que el

resultado sean €):

x y G(x,y)

30 25 4.250

30 90 7.500

31,25 93,75 7.813

81 44 10.300

81 25 9.350

La ganancia máxima se

obtiene invirtiendo 81.000 €

en acciones del tipo A y

44.000 € en acciones del tipo

B, con una ganancia total de 10.300€

( )81000,44000 0.1 81000 0.05 44000G = + → 10300 €G =

(30,25)

0,1x + 0,05y = 0

y = 25

125

y = 3x

X

x = 30

25

x = 81

x + y = 125

30 81

(81,25)

(81,44)

(31.25,93.75)

(30,90)

125

Y

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PL-10 Una aerolínea quiere optimizar el número de filas de clase preferente y de clase turista en un avión. La longitud útil del avión para instalar las filas de asientos es

de 104 m, necesitándose 2 m parra instalar una fila de clase preferente y 1.5 m

para las de clase turista. La aerolínea precisa instalar al menos 3 filas de clase

preferente y que las filas de clase turista sean como mínimo el triple que las de

clase preferente. Los beneficios por fila de clase turista son de 152 euros y de

206 euros para la clase preferente.

¿Cuántas filas de clase preferente y cuántas de clase turista se deben instalar

para obtener el beneficio máximo? Indicar dicho beneficio.


Solución:

Ponemos los datos en una tabla

PREFERENTE TURISTA Restricciones

Espacio necesario (m) 2 1.5 104

Exigencias 3 3x

Beneficio 206 € 152 €

Las incógnitas serán:

x → nº de filas de clase preferente

y → nº de filas de clase turista

Restricciones: Espacio máximo para colocar asientos 104 m. Nº mínimo de filas de

clase preferente igual a 3. Nº filas de clase turista al menos el triple que preferente.

( ) ( )

( ) ( )

2 1.5 104 0,69.3 y 52,0

3

3 0,0 y 30,90

x y

x

y x

+ →

→

La función a maximizar (función objetivo) es el beneficio, que se puede expresar:

( , ) 206 152B x y x y= +

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. La solución es 16x48 y dan

10498€

Calculamos los puntos de corte de

la región factible y evaluamos la

función beneficio en cada uno de

ellos.

x y B(x,y)

3 65 10.498

16 48 10.592

3 9 1.986

Podemos comprobar que el punto

de beneficio máximo se produce

en las coordenadas 16x = e

48y = , y tiene un valor de:

(16,48) 206 16 152 48B = +

(16,48) 10592 €B =

(16,48)

206x +152 y =0

x =3

Y

y =3x

52

2x +1.5 y = 104

X

69.3

3

(3,65.3)

(3,9

)

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PL-11 Una papelería quiere liquidar hasta 78 Kg. de papel reciclado y hasta 138 Kg. de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B. Los lotes A están

formados por 1 Kg. de papel reciclado y 3 Kg. de papel normal y los lotes B por

2 Kg. de papel de cada clase. El precio de venta de cada lote A es de 0’9 euros el

de cada lote B es de 1 euro. ¿Cuántos lotes A y B debe vender para maximizar

sus ingresos? ¿A cuánto ascienden estos ingresos máximos?

(PAU Madrid CCSS Junio 2006 – Opción A)

Solución:


LOTE A LOTE B Existencias

kg de papel reciclado 1 2 78

kg de papel reciclado 3 2 138

Precio de venta 0.9 € 1 €


x → nº de lotes A

y → nº de lotes B

Restricciones: Tenemos unas existencias de materia prima de 78 kg de papel reciclado

y 138 kg. de papel normal.

2 78 (0,39) (78,0)

3 2 138 (0,69) (46,0)

0 0

x y y

x y y

x y

+ →

+ →

La función objetivo a maximizar son los ingresos obtenido:

( , ) 0.9B x y x y= +

Representamos las restricciones y hallamos los puntos de corte de las mismas para

determinar los vértices de la región factible.

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22 78

3 2 138

x yx y

x y

++ =

→+ =

78

3 2x y

=

− − 138

30 24x y

= −

= → =



vértices de la región

factible:

x y B(x,y)

0 39 39

30 24 51

46 0 41.4

Por tanto deberemos vender 30 lotes A y

24 lotes B, obteniendo unos ingresos de 51 €

39

78

69

3x+2y = 138

x+2y = 78

(30.24)

46

x

y

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PL-12 Una empresa fabrica láminas de aluminio de dos grosores, finas y gruesas, y dispone cada mes de 400 Kg. de aluminio y 450 horas de trabajo para

fabricarlas. Cada m2 de lámina fina necesita 5 Kg. y 10 horas de trabajo, y deja

una ganancia de 45 euros. Cada m2 de lámina gruesa necesita 20 Kg. y 15 horas

de trabajo, y deja una ganancia de 80 euros. ¿Cuántos m2 de cada tipo de lámina

debe fabricar la empresa al mes para que la ganancia sea máxima, y a cuánto

asciende ésta?


Solución:


LÁMINA

FINA LÁMINA GRUESA

Existencias

kg de aluminio/ m2 de lámina 5 20 400

h de trabajo/ m2 de lámina 10 15 450

Beneficio / m2 de lámina 45 € 80 €


x → m2 de lámina fina

y → m2 de lámina gruesa

Restricciones: Tenemos unas existencias de materia prima de 400 kg de aluminio y

disponemos de 450 h. de trabajo para su fabricación.

5 20 400 (0,20) (80,0)

10 15 450 (0,30) (45,0)

0 0

x y y

x y y

x y

+ →

+ →

La función objetivo a maximizar es el beneficio obtenido

:

( , ) 45 80B x y x y= +



105 20 400

10 15 450

xx y

x y

−+ =→

+ =

40 800

10

y

x

− = −

15 450

14 2425 350

y

y xy

+ =

= → =− = −

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Hacemos una tabla resumen

con los valores de la

función objetivo en los


factible:

x y B(x,y)

0 20 1.600

24 14 2.200

45 0 2.025

Por tanto deberemos fabri-

car 24 m2 de lámina de fina

y 17 m2 de lámina gruesa,

obteniendo un beneficio 2.200 €

20

y

x

45

30

80

5x+20y = 400

10x+15y = 450

(24.14)

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PL-13 Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños: pequeño y grande. La capacidad de sus congeladores no le permite

almacenar más de 1000 envases en total. En función de la demanda sabe que

debe mantener un stock mínimo de 100 envases pequeños y 200 envases

grandes. La demanda de envases grandes es igual o superior a la de envases

pequeños. El coste por almacenaje es de 10 céntimos de euro para cada envase

pequeño y de 20 céntimos de euro para cada envase grande. ¿Qué cantidad de

cada tipo de envases proporciona el mínimo gasto de almacenaje? Obtener dicho

mínimo.


Solución:


Envase

PEQUEÑO Envase

GRANDE

Coste de almacenamiento 0.1 € 0.2 €


x → nº de envases pequeños

y → nº de envases grandes

Restricciones: El número máximo de envases almacenados es 1000. El stock de

envases mínimo es de 100 para los pequeños y 200 para los grandes. El stock de

envases grandes ha de ser mayor o igual que el de los pequeños.

1000 (0,1000) (1000,0)

100

200

x y y

x

y

y x

+ →

La función objetivo a minimizar es el coste de almacenamiento.

( , ) 0.1 0.2C x y x y= +



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vértices de la región factible:

x y B(x,y)

100 200 50

100 900 190

500 500 150

200 200 60

Por tanto deberemos el coste de

almacenamiento mínimo se produce con

un stock de 100 envases pequeños y 200

grandes, y éste asciende a 50 €

200

1000 x = 100

x = 200

(500.500)

100

x

y

x = y

(100.900)

(200.200)

(100.200)

1000

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PL-14 En una empresa de alimentación se dispone de 24 Kg. de harina de trigo y 15 Kg. de harina de maíz, que se utilizan para obtener dos tipos de preparados: A y

B. La preparación del preparado A contiene 200 gr. de harina de trigo y 300 gr.

de harina de maíz con 600 cal de valor energético. La ración de B contiene 200

gr. de harina de trigo y 100 gr. de harina de maíz con 400 cal de valor

energético. ¿Cuántas raciones de cada tipo hay que preparar para obtener el

máximo rendimiento energético total? Obtener el rendimiento máximo.


Solución:


Preparado

A Preparado

B Existencias

kg de harina de trigo 0.2 0.2 24

kg de harina de maíz 0.3 0.1 15

Valor energético (cal.) 600 400


x → nº de preparados tipo A

y → nº de preparados tipo B

Restricciones: Tenemos unas existencias de 24 kg de harina de trigo y 15kg. harina de

maíz.

0.2 0.2 24 (0,120) (120,0)

0.3 0.1 15 (0,150) (50,0)

0 0

x y y

x y y

x y

+ →

+ →

La función objetivo a maximizar es el rendimiento energético global:

( , ) 600 400RE x y x y= +



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0.1 0.10.2 0.2 24

0.3 0.1 15

x yx y

x y x

− −+ =

→+ =

12

0.3 0.1x y

= −

+ 15

15 105x y

=

= → =

Hacemos una tabla resumen con los valores

de la función objetivo en los vértices de la

región

factible:

x y B(x,y)

0 120 48.000

15 105 51.000

50 0 30.000

Por tanto deberemos fabricar 15 preparados

tipo A y 105 del tipo B obteniendo un

rendimiento energético global de 51.000 cal.

120

78

f

0.33x+y = 15

0.2x+0.2y =24

(15.105)

46

x

y

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PL-15 Un producto se compone de la mezcla de otros dos A y B. Se tienen 500 Kg. de A y 500 Kg. de B. En la mezcla, el peso de B debe ser menor o igual que 1’5

veces el de A. Para satisfacer la demanda la producción debe ser mayor o igual

que 600 kg. Sabiendo que cada Kg. de A cuesta 5 euros, y cada Kg. de B cuesta

4 euros. Calcular los Kg. de A y B que deben emplearse para hacer una mezcla

de coste mínimo.

(PAU Madrid CCSS Junio 2004 – Opción A)

Solución:



x → kg de producto A

y → kg de producto B

Restricciones: Tenemos unas existencias de 500 kg de cada componente. La cantidad

de producto B ha de ser menor o igual que una vez y media la del producto A. Debemos

producir al menos 600 kg de mezcla.

500 500

1.5

600 (0,600) (600,0)

0 0

x y

y x

x y y

x y

+ →

La función objetivo a minimizar es el coste de la mezcla obtenida:

( , ) 5 4C x y x y= +



Hacemos una tabla resumen con los valores de la función objetivo en los vértices de la

región factible:

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y B(x,y)

240 360 2.640

333 500 3.665

500 500 4.500

500 100 2.900

Hay que mezclar 240 kg del

componente A con 360 kg del

componente B para obtener un coste

mínimo de 2.640 €

(333,500) (500,500)

600

500

(500,100)

y

x

x+y = 600

y =1.5x

500 600

x = 500

y = 500

(240,360)

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PL-16 Un establecimiento de prendas deportivas tiene almacenados 1600 bañadores, 1000 gafas de baño y 800 gorros de baño. Se quiere incentivar la compra de

estos productos mediante la oferta de dos tipos de lotes, el lote A, que produce

un beneficio de 8 euros, formado por un bañador, un gorro y unas gafas, y el lote

B, que produce un beneficio de 10 euros y está formado por dos bañadores y

unas gafas. Sabiendo que la publicidad de esta oferta tendrá un coste de 1500

euros a deducir de los beneficios, se pide calcular el número de lotes A y B que

harán máximo el beneficio y a cuánto asciende éste.


Solución:


LOTE A LOTE B Existencias

Bañadores 1 2 1600

Gafas de baño 1 1 1000

Gorros de baño 1 0 800

Beneficio 8 € 10 €


x → nº de lotes tipo A

y → nº de lotes tipo B

Restricciones: Tenemos unas existencias de 4600 bañadores, 1000 gafas de bañoo y

800 gorros de baño.

2 1600 (0,800) (1600,0)

1000 (0,1000) (1000,0)

800

0 0

x y y

x y y

x

x y

+ →

+ →

La función objetivo a maximizar es el beneficio obtenido:

( , ) 8 10 1500B x y x y= + −



2 1600

1000

xx y

x y

+ =→

+ =

2 1600y

x

+ =

− 1000

400600

y

xy

− = −

→ ==

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factible:

x y B(x,y)

0 800 6.500

400 600 7.700

800 200 6.900

800 0 4.900

Por tanto deberemos hacer lotes tipo

A tipo B para obtener un beneficio

máximo igual a 7.700 €

1000

800

(400.600)

(800,200)

y

x

1600

x+y = 1000

x+2y = 1600

1000 800

x = 800

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PL-17 Determinar los valores máximo y mínimo de la función 5 3z x y= − sujeta a las

restricciones:

3 4

6

0 5

5

x y

x y

y

x

+

+


Solución:

Representamos la región factible:

3 4 (0,4) y (1.33,0)

6 (0,6) y (6,0)

0 5

5

x y

x y

y

x

+ →

+ →

A continuación evaluamos la

función en los vértices de la

región factible para hallar los

extremos de la misma. Los

resultados se presentan en una

tabla:

x y f(x,y)

-0,33 5 13,3

1 5 20

5 1 28

5 0 25

1,33 0 6,7

Por tanto la función tiene un

máximo igual a 28 en el punto

(5,1), y un mínimo de valor 6.7

en el punto (1.33,0)

(1,5)

(5,1)

x + y = 6

y=800.000

1.33

3x + y = 4

X

x = 5

6

6

4

5

y = 5

(-0.33,5)

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PL-18 Un vendedor quiere dar salida a 400 Kg. de garbanzos, 300 Kg. de lentejas y 250 Kg. de judías. Para ello hace dos tipos de paquetes. Los de tipo A contienen 2

Kg. de garbanzos, 2 Kg. de lentejas y 1 Kg. de judías y los de tipo B contienen 3

Kg. de garbanzos, 1 Kg. de lentejas y 2 Kg. de judías. El precio de venta de cada

paquete es de 25 euros para los de tipo A y de 35 euros para los de tipo B.

¿Cuántos paquetes de cada tipo debe vender para obtener el máximo beneficio y

a cuánto asciende éste?


Solución:


PAQUETE A

PAQUETE B

Existencias en almacén

Kg de garbanzos 2 3 400

Kg. de lentejas 2 1 300

Kg. de judías 1 2 250

Precio de venta 25 35

Ahora definimos las incógnitas que, son:

x → nº de paquetes tipo A

y → nº de paquetes tipo B

Buscamos las restricciones que en este caso son las existencias de cada una de las

legumbres que tenemos en el almacén.

Ahora representamos las tres rectas limitándonos a la igualdad, para lo cual calculamos

los puntos de corte con los ejes. Por último dibujamos la “región factible”:


( ), 25 35B x y x y= +

)0,250()125,0(

)0,150()300,0(

)0,200()3.133,0(

00

2502

3002

40032

y

y

y

yx

yx

yx

yx

→

→

→

+

+

+

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Procedemos a dibujar la región

factible y los puntos que

delimitan la misma, para lo cual

debemos resolver varios sistemas

de ecuaciones:

( )

( )

2 3 40050,100

2 250

2 3 400125,50

2 300

x y

x y

x y

x y

+ = →

+ =

+ = →

+ =

x y B(x,y)

0 125 4.375

50 100 4.750

125 50 4.875

150 0 3.750

Por tanto hay que hacer 125

paquetes tipo A y 50 tipo B para

obtener el máximo beneficio de

4875 €.

2x + y = 300 2x + 3y = 400

200

133.3

300

(125,50)

X

150 250

x +2y = 250

125

(50,100)

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PL-19 Un proyecto de asfaltado puede llevarse a cabo por dos grupos diferentes de una misma empresa: G1 y G2. Se trata de asfaltar tres zonas: A, B Y C.

En una semana, el grupo G1 es capaz de asfaltar 3 unidades en la zona A, 2

en la zona B y 2 en la zona C. El grupo G2 es capaz de asfaltar

semanalmente 2 unidades en la zona A, 3 en la zona B y 2 en la zona C. El

coste semanal se estima en 3300 euros para G1 y en 3500 euros para G2. Se

necesita asfaltar un mínimo de 6 unidades en la zona A, 12 en la zona B y

10 en la zona C. ¿Cuántas semanas deberá trabajar cada grupo para

finalizar el proyecto con el mínimo coste?


Solución:


Grupo G1 Grupo G2 Mínimo

asfaltado necesario

Ud. Asfaltadas en Zona A 3 2 6

Ud. Asfaltadas en Zona B 2 3 12

Ud. Asfaltadas en Zona C 2 2 10

Coste semanal 3300 3500


x → nº de semanas a trabajar por el grupo G1

y → nº de semanas a trabajar por el grupo G2

Buscamos las restricciones. En este caso vienen dadas por el mínimo nº de unidades que

es necesario asfaltar.

Ahora representamos las tres rectas limitándonos a la igualdad, para lo cual calculamos

los puntos de corte con los ejes. Por último dibujamos la “región factible” :


( ), 3300 3500f x y x y= +

)0,5()5,0(

)0,6()4,0(

)0,2()3,0(

00

1022

1232

623

y

y

y

yx

yx

yx

yx

→

→

→

+

+

+

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on.c

om



Hallamos los vértices de la región

factible y evaluamos la función

objetivo en los mismos.

→=+

=+)2,3(

1022

1232

yx

yx

x y f(x,y)

0 5 17.500

3 2 16.900

6 0 19.800

Por tanto hay que asfaltar tres

semanas con el grupo G1 y dos con

el grupo G2 para tener el mínimo

coste que ascenderá a 16.900 €.

(3,2)

X

2

4

6

5

5

3

x + y = 10

2x + 3y = 12

3x + 2y = 6

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


PL-20 Determinar los valores máximo y mínimo de la función 3 4z x y= + sujeta a las

restricciones:

3 3

5

0 10

2

x y

x y

y

x

+

+

−


Solución:

Representamos la región factible:

3 3 (0,3) y (1,0)

5 (0,5) y (5,0)

0 10

2

x y

x y

y

x

+ →

+ →

−

A continuación evaluamos la función

en los vértices de la región factible

para hallar los extremos de la misma.

Los resultados se presentan en una

tabla:

x y f(x,y)

-1 6 21

5 0 15

1 0 3

Por tanto la función tiene un máximo

igual a 21 en el punto (-1,6), y un

mínimo de valor 3 en el punto (1,0)

PL-21 En el último salón internacional del automóvil celebrado en España, un pequeño fabricante presentó sus modelos Caaper (precio por unidad 16000 euros) y Ena

(precio por unidad 15000 euros).

El coste de producción por unidad es, respectivamente, 10400 y 9750. Para la

fabricación de una unidad del primer modelo se necesitan 3 m² de un

determinado producto textil y 7.5 Kg. de pintura especial, mientras que para la

fabricación de una unidad del segundo modelo se necesitan 4 m² de producto

(-1,6)

x + y = 5

1

3x + y = 3

X

x = -2

-2

10

5

5

y = 10

3

y

http

s://a

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om



textil y 7 kg de pintura. Mensualmente existen en el almacén 96 m² de producto

textil y 195 Kg. de pintura.

a) Representar la región factible.

b) Halla cuántas unidades de cada modelo interesa fabricar mensualmente para

que las ventas de las mismas produzca el máximo beneficio.

a) Calcula dicho beneficio.

Solución:


Caaper Ena Existencias en el

almacén Precio Venta 16.000 15.000

Coste producción 10.400 9.750

m2 tela necesarios 3 4 96

Kg. pintura necesarios 7.5 7 195


x → nº de vehículos modelo Caaper

y → nº de vehículos modelo Ena

Buscamos las restricciones, y ojo que aquí es donde no nos deben abrumar la cantidad

de datos. Insistimos en buscar solo restricciones. En este caso los m2 de tela no pueden

superar las existencias, es decir, 96 así como la pintura a utilizar no puede exceder de

195 Kg., unido (y no por obvio debemos olvidarlo) a que, tanto “x” como “y” (nº de

coches) son números positivos

1957

3 4 96 (0, 24) (32,0)

7.5 7 195 (0, ) (26,0)

0 0

x y y

x y y

x y

+ →

+ →

Ahora representamos las dos rectas limitándonos a la igualdad, para lo cual calculamos



( ) ( ) ( ) ( ), 16000 10400 15000 9750 , 5600 5250B x y B xy y x yx= − + − = + → →

Y

195/7

24

(12,15)

3x+4y=96

http

s://a

pren

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omel

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om


Necesitamos las coordenadas de todos los puntos de la región factible, por lo que

hallamos el corte de ambas rectas:

→=+

=+)15,12(

19575.7

9643

yx

yx

Para calcular el máximo beneficio evaluamos la función beneficio en todos los puntos

de la región factible:

x y B(x,y)

0 24 126.000

12 15 145.950

26 0 145.600

Por tanto hay que vender 12 vehículos del modelo Caaper y 15 del Ena para obtener el

máximo beneficio que es de 145.950 €.

http

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om



PL-22 Una empresa constructora dispone de 10800000 euros para edificar en una urbanización casas de dos tipos: las de tipo A, cada una de las cuales tendría un

coste (para la empresa) de 180000 euros, y dejaría al venderla, un beneficio de

24000 euros; y las de tipo B cuyos costes y beneficios individuales serían de

120000 euros y 18000 euros respectivamente. Si las normas municipales no

permiten construir más de 80 casas, hallar cuántas de cada tipo debe construir la

empresa para obtener el máximo beneficio.

Solución:


TIPO A TIPO B

Coste 180.000 120.000

Beneficio 24.000 18.000

Presupuesto disponible 10.800.000

Limitación nº de casas 80

Ahora definimos las incógnitas: x → nº de casas tipo A

y → nº de casas tipo B

Buscamos las restricciones. En este caso el presupuesto disponible para la edificación es

de 10800000 euros y el número máximo de viviendas que podemos construir es de 80

en total, asimismo el número de casas a construir debe ser un número positivo.




( ), 24000 18000B x y x y= +

Queremos maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos

el recinto correspondiente a las restricciones (región factible) y la recta 24000∙x +

18000∙y = 0, que nos da la dirección de las rectas

z = 24000∙x + 18000∙y

)0,80()80,0(

)0,60()90,0(

00

80

18023

00

80

10800000120000180000

y

y

yx

yx

yx

yx

yx

yx

→

→

→

+→

+→

+

+

http

s://a

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Evaluamos la función Beneficio

en los puntos de la región

factible:

x y B(x,y)

0 80 1.440.000

20 60 1.560.000

60 0 1.440.000

El máximo se alcanza en el punto

de corte de las rectas

→=+

=+)60,20(

80

18023

yx

yx

Por tanto tendremos que vender

20 casas del tipo A y 60 del tipo

B para obtener un beneficio de

1.560.000 €.

(20,60) )

24000x +18000y = 0

X

3x +2 y = 180

60

80 x + y = 80

80

90

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PL-23 Una peña de aficionados de un equipo de fútbol encarga a una empresa de transportes el viaje para llevar a los 1200 socios a ver la final de su equipo. La

empresa dispone de autobuses de 50 plazas y de microbuses de 30 plazas. El

precio de cada autobús es de 252 euros y el de cada microbús de 180. Sabiendo

que la empresa sólo dispone de 28 conductores, se pide: (403)

a) ¿Qué número de autobuses y microbuses deben contratarse para conseguir el

mínimo coste posible?

b) ¿Cuál será el valor de dicho coste mínimo?

Solución:


AUTOBUSES MICROBUSES

Nº de plazas 50 30

Precio del vehículo 252 180

Nº socios a transportar 1.200

Nº de conductores 28

Ahora definimos las incógnitas: x → nº de autobuses a contratar

y → nº de microbuses a contratar

Buscamos las restricciones. En este caso hay que tener en cuenta que debemos

transportar a 1200 aficionados y que solo disponemos de 28 conductores., asimismo el

número de vehículos a contratar debe ser un número positivo.



La función que minimiza el coste (función objetivo) es:

→ f(x,y) = 252∙x + 180∙y

)0,28()28,0(

)0,24()40,0(

00

28

12035

00

28

12003050

y

y

yx

yx

yx

yx

yx

yx

→

→

→

+→

+→

+

+

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om


Queremos minimizar esta

función, sujeta a las

restricciones anteriores.

Dibujamos el recinto corres-

pondiente a las restricciones

(región factible) y la recta

252∙x + 180∙y = 0, que nos da

la dirección de las rectas

z = 252∙x + 180∙y

El mínimo se alcanza en el

punto de corte de la recta 5x +

3y = 120 con el eje OX, es decir

en el punto (0,24).

Por tanto tendremos que

contratar 24 autobuses con un

coste de

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