matem´aticas aplicadas a las ccss coleccion de ejercicios´ programacion lineal · 2020. 10....
Embed Size (px)
TRANSCRIPT
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Matemáticas aplicadas a las CCSSColección de Ejercicios
PROGRAMACION LINEAL
Iñigo Zunzunegui Monterrubio
10 de octubre de 2020
mailto:[email protected]
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Índice general
32004 Junio Opción A - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42005 Junio Opción B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52017 Junio Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62017 Junio - Coincidentes Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . 72017 Septiembre Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82017 Septiembre - Coincidentes Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . 92018 Modelo Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102018 Junio Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112018 Junio - Coincidentes Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . 122018 Septiembre Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132019 Modelo Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142019 Junio Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152019 Junio - Coincidentes Opción B - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . 162019 Septiembre Opción B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172019 Septiembre - Coincidentes Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . 182020 Junio Opción B - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192020 Junio - Coincidentes Opción B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . 202020 Septiembre Opción A - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212020 Modelo Opción B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Ejercicio 1 (3 puntos)
Un producto se compone de la mezcla de otros dos A y B. Se tienen 500 kg de A y500 kg de B. En la mezcla, el peso de B debe ser menor o igual que 1.5 veces el de A.Para satisfacer la demanda la producción debe ser mayor o igual que 600 kg. Sabiendoque cada kg de A cuesta 5 euros, y cada kg de B cuesta 4 euros. Calcular los kg de Ay B que deben emplearse para hacer una mezcla de coste mı́nimo.
(Madrid - Matemáticas CCSS - 2004 Junio - Opción A )
Solución.
Incógnitasx ≡ kg de producto Ay ≡ kg de producto B
Región Factible Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su re-presentación
S =
x ≤ 500 → (500, 0)y ≤ 1.5x → (0, 0) & (400, 600)x + y ≥ 600 → (0.600) & (600, 0)x ≥ 0, y ≥ 0
Funcı́ón objetivof(x, y) = 5x + 4y
Región factible Representamosla región factible y calculamos losvértices de la misma
Optimización de la fuciónobjetivo Evaluamos la funciónobjetivo en cada vértice
Punto x y f(x,y)A 240 360 2640B 333 500 3665C 500 500 4500D 500 100 2900
Por tanto hay que mezclar 240 kg del componente A con 360 kg del componente Bpara obtener un coste mı́nimo de 2640 euros.
◦
4 Ejercicios de Programación Lineal
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Ejercicio 1 (3 puntos)
Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños:pequeño y grande. La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar másde 1000 envases en total. En función de la demanda sabe que debe mantener unstock mı́nimo de 100 envases pequeños y 200 envases grandes. La demanda de envasesgrandes es igual o superior a la de envases pequeños. El coste por almacenaje es de10 céntimos de euro para cada envase pequeño y de 20 céntimos de euro para cada envase grande. ¿Qué cantidad de cada tipo de envases proporciona el mı́nimo gasto dealmacenaje? Obtener dicho mı́nimo.
(Madrid - Matemáticas CCSS - 2005 Junio - Opción B )
Solución.Envase pequeño Envase grande
Coste de almacenamiento 0.1€ 0.2€Stock mı́nimo 100 200
Incógnitas x ≡ Número de envases pequeñosy ≡ Número de envases grandes
Región Factible Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su re-presentación
x + y ≤ 1000 → (0, 1000) & (1000, 0)x ≥ 100 → (100, 0)y ≥ 200 → (200, 0)y ≥ x → (0, 0) & (100, 100)
Funcı́ón objetivof(x, y) = 0.1x + 0.2y
Región factible Representamosla región factible y calculamos losvértices de la misma
Optimización de la fuciónobjetivo Evaluamos la funciónobjetivo en cada vértice
Punto x y f(x,y)A 100 200 50B 100 900 190C 500 500 150D 200 200 60
Por tanto el coste de almacenamientomı́nimo es de 50 euros y se produce conun stock de 100 envases pequeños y 200grandes.
◦
https://aprendeconmigomelon.com 5
https://aprendeconmigomelon.com
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Ejercicio 2 (2 puntos)
Considérese la región del plano S definida por:
S ={
(x, y) ∈ R2 | x + 6y ≥ 6 ; 5x− 2y ≥ −2 ; x + 3y ≤ 20 ; 2x− y ≤ 12}
a) Represéntese gráficamente la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.
b) Determı́nense los puntos en los que la función f(x, y) = 4x − 3y alcanza susvalores máximo y mı́nimo en S, indicando el valor de f(x, y) en dichos puntos.
(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio 2017 - Opción A )
Solución.
Funcı́ón objetivof(x, y) = 4x− 3y
Región S Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su representación
S =
x + 6y ≥ 6 → (0, 1) & (6, 0)5x− 2y ≥ −2 → (0, 1) & (−0.4, 0)x + 3y ≤ 20 → (0, 20/3) & (20, 0)2x− y ≤ 12 → (0,−12) & (6, 0)
Región factible Repre-sentamos la región factibley calculamos los vérticesde la misma
Optimización de lafución objetivo Eva-luamos la función objetivoen cada vértice
Punto x y f(x,y)A 6 0 24B 0 1 -3C 2 6 -10D 8 4 20
Por tanto el máximo de la función objetivo se produce en el punto A(6, 0) y vale 24,mientras que el mı́nimo se produce en C(2, 6) y vale −10.
◦
6 Ejercicios de Programación Lineal
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Ejercicio 2 (2 puntos)
Sea S la región del plano definida por:
x + y ≥ 2; 2x− y ≤ 4; 2y − x ≤ 4; x ≥ 0; y ≥ 0
a) Represéntese la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.
b) Obténganse los valores máximo y mı́nimo de la función f(x, y) = −5x + 3y enla región S indicando los puntos de S en los cuales se alcanzan dichos valoresmáximo y mı́nimo.
(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio 2017 - Opción A Coincidentes)
Solución.
Funcı́ón objetivof(x, y) = −5x + 3y
Región S Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su representación
S =
x + y ≥ 2 → (0, 2) & (2, 0)2x− y ≤ 4 → (0,−4) & (2, 0)2y − x ≤ 4 → (0, 2) & (−4, 0)x ≥ 0y ≥ 0
Región factible Repre-sentamos la región factibley calculamos los vérticesde la misma
Optimización de lafución objetivo Eva-luamos la función objetivoen cada vértice
Punto x y f(x,y)A 2 0 -10B 0 2 6C 4 4 -8
Por tanto el máximo de la función objetivo se produce en el punto B(0, 2) y vale 6,mientras que el mı́nimo se produce en A(2, 0) y vale −10.
◦
https://aprendeconmigomelon.com 7
https://aprendeconmigomelon.com
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Ejercicio 2 (2 puntos)
Se considera la región del plano S definida por:
1 ≤ x ≤ 5; 2 ≤ y ≤ 6; x− y ≥ −4; 3x− y ≤ 10
.
a) Represéntese gráficamente la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.
b) Calcúlese los valores máximo y mı́nimo de la función f(x, y) = −200x + 600y enla región S y obténgase los puntos de S donde se alcanzan dichos valores.
(Madrid - Matemáticas CCSS - Septiembre 2017 - Opción A )
Solución.
Funcı́ón objetivof(x, y) = −200x + 600y
Región S Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su representación
S =
1 ≤ x ≤ 5 → (1, 0) & (5, 0)2 ≤ y ≤ 6 → (0, 2) & (0.6)x− y ≥ −4 → (0, 4) & (−4, 0)3x− y ≤ 10 → (0,−10) & (10/3, 0)
Región factible Represen-tamos la región factible ycalculamos los vértices de lamisma
Optimización de lafución objetivo Eva-luamos la función objetivo encada vértice
Punto x y f(x,y)A 1 2 1000B 1 5 2800C 2 6 3200D 5 6 2600E 5 5 2000F 4 2 400
Por tanto el máximo de la función objetivo se produce en el punto C(2, 6) y vale 3200,mientras que el mı́nimo se produce en F (4, 2) y vale 400.
◦
8 Ejercicios de Programación Lineal
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Ejercicio 2 (2 puntos)
Sea S la región del plano definida por:
2x + y ≤ 16; x + y ≤ 11; x + 2y ≥ 6; x ≥ 0; y ≥ 0
a) Represéntese la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices. ¿Perteneceel punto (4, 4) a S?
b) Obténganse los valores máximo y mı́nimo de la función f(x, y) = 3x + y en laregión S indicando los puntos en los cuales se alcanzan dichos valores máximo ymı́nimo.
(Madrid - Matemáticas CCSS - Septiembre 2017 - Opción A - Coincidentes)
Solución.
Funcı́ón objetivo:f(x, y) = 3x + y
Región S: Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su representa-ción
S =
2x + y ≤ 16 → (0, 16) & (8, 0)x + y ≤ 11 → (0, 11) & (11, 0)x + 2y ≥ 6 → (0, 3) & (6, 0)x, y ≥ 0
Región factible: Representa-mos S y calculamos los vérticesde la misma. (4, 4) ∈ S ya quecumple todas las restricciones.
Optimización de la fuciónobjetivo:
Punto x y f(x,y)A 0 3 3B 0 11 11C 5 6 21D 8 0 24E 6 0 18
Por tanto el máximo de la función objetivo se produce en el punto D(8, 0) y vale 24,mientras que el mı́nimo se produce en A(0, 3) y vale 3.
◦
https://aprendeconmigomelon.com 9
https://aprendeconmigomelon.com
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Ejercicio 2 (2 puntos)
Una bodega desea fijar el precio de venta al público de las 250 botellas de vinoblanco y de las 500 de vino tinto que tiene en stock. Para no incurrir en pérdidas sabenque el precio de venta al público de la botella de vino blanco debe ser como mı́nimo de3 euros, de la misma manera el precio de venta al público de la botella de vino tintodebe ser de, como mı́nimo, 4 euros. Además saben que, para ser competitivos con esosprecios de venta al público el coste de 2 botellas de vino blanco y una de tinto debeŕıaser a lo sumo 15 euros. Por el mismo motivo, el coste total de una botella de vinoblanco y una de tinto no debe sobrepasar los 10 euros.Determı́nense los respectivos precios de venta al público por unidad de las botellas devino blanco y de las de vino tinto, para que el ingreso total al vender el stock de 250botellas de vino blanco y 500 de vino tinto sea máximo.
(Madrid - Matemáticas CCSS - Modelo 2018 - Opción A )
Solución.
Incógnitas x = Precio del vino blanco (€)y = Precio del vino tinto (€)
Funcı́ón objetivo f(x, y) = 250x + 500y
Restricciones Escribimos las restricciones del problema y los puntos necesariospara su representación
x ≥ 3 → (3, 0)y ≥ 4 → (0, 4)x + y ≤ 10 → (0, 10) & (10, 0)2x + y ≤ 15 → (0, 15) & (7.5, 0)x, y ≥ 0
Región factible Represen-tamos la región factible ycalculamos los vértices de lamisma
Optimización de lafución objetivo Eva-luamos la función objetivo encada vértice
Punto x y f(x,y)A 3 4 2750B 3 7 4250C 5 5 3750D 5.5 4 3375
Luego el ingreso máximo de 4250€ se produce con un precio del vino blanco de 3€ yun precio de vino tinto de 7€
◦
10 Ejercicios de Programación Lineal
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Ejercicio 2 (2 puntos)
Sea S la región del plano definida por:
x + y ≤ 50, 2x + y ≤ 80, x ≥ 0, y ≥ 0.
a) Represéntese la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.
b) Obténgase el valor máximo de la función f(x, y) = 5x + 4y en la región S,indicando el punto en el cual se alcanza dicho valor máximo.
(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio 2018 - Opción A )
Solución.
Funcı́ón objetivof(x, y) = 5x + 4y
Restricciones Escribimos las restricciones del problema y los puntos necesariospara su representación
x + y ≤ 50 → (0, 50) & (50, 0)2x + y ≤ 80 → (0, 80) & (40, 0)x, y ≥ 0
Región factible Representamosla región factible y calculamos losvértices de la misma
Optimización de la fuciónobjetivo Evaluamos la funciónobjetivo en cada vértice
Punto x y f(x,y)A 0 0 0B 0 50 200C 30 20 230D 40 0 200
Luego el máximo de la función ese 230 que se produce en el punto C(30, 20)
◦
https://aprendeconmigomelon.com 11
https://aprendeconmigomelon.com
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Ejercicio 2 (2 puntos)
Sea S la región del plano definida por:
x + y ≤ 6 ; 4x + y ≤ 12 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
a) Represéntese la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.
b) Obténganse los valores máximo y mı́nimo de la función f(x, y) = 8x + 3y5 en S,indicando los puntos de la región en los cuales se alcanzan dichos valores máximoy mı́nimo.
(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio 2018 - Opción A - Coincidentes)
Solución.
Restricciones Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su repre-sentación
1 x + y ≤ 6 → (0, 6) & (6, 0)2 4x + y ≤ 12 → (0, 12) & (3, 0)
x, y ≥ 0
Funcı́ón objetivo
f(x, y) = 8x + 3y5
Región factible Representamosla región y calculamos los vértices.
Optimización de F.O. Evalua-mos f(x, y) en cada vértice
Punto x y f(x, y)A 0 0 0B 0 6 18/5C 2 4 28/5D 3 0 24/5
Por tanto el máximo es de 28/5 y se produce en el punto C(2, 4), mientras que el mı́nimoes 0 y se alcanza en el punto A(0, 0).
◦
12 Ejercicios de Programación Lineal
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Ejercicio 2 (2 puntos)
Considérese la región del plano S definida por:
S ={
(x, y) ∈ R2 | x + 2y ≥ 4; x + 2y ≤ 12; x ≤ 4; −x + 2y ≤ 12}
a) Represéntese gráficamente la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.
b) Determı́nense los puntos en los que la función f(x, y) = 3x−y alcanza sus valoresmáximo y mı́nimo en S, indicando el valor de f en dichos puntos.
(Madrid - Matemáticas CCSS - Julio 2018 - Opción A )
Solución.
Funcı́ón objetivo: f(x, y) = 3x− y
Región S: Escribimos restricciones puntos necesarios para su representación
S =
x + 2y ≥ 4 → (0, 2) & (4, 0)x + 2y ≤ 12 → (0.6) & (12, 0)x ≤ 4 → (4, 0)−x + 2y ≤ 12 → (0, 6) & (−12, 0)
Región factible: Representamos laregión factible y calculamos los vérticesde la misma
Optimización de la fuciónobjetivo: Evaluamos la funciónobjetivo en cada vértice
Punto x y f(x,y)A 4 0 12B -4 4 -16C 0 6 -6D 4 4 8
Por tanto el máximo de la función objetivo se produce en el punto A(4, 0) y vale 12,mientras que el mı́nimo se produce en B(−4, 4) y vale −16.
◦
https://aprendeconmigomelon.com 13
https://aprendeconmigomelon.com
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Ejercicio 2 (2 puntos)
Sea S la región del plano definida por:
−2x + 3y ≤ 4; 2x + y ≥ 4; 2x− y ≤ 4.
a) Represéntese la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.
b) Obténganse los valores máximo y mı́nimo de la función f(x, y) = 0.5x+ 13y en S,indicando los puntos de la región en los cuales se alcanzan dichos valores máximoy mı́nimo.
(Madrid - Matemáticas CCSS - Modelo 2019 - Opción A )
Solución.
Funcı́ón objetivo
f(x, y) = 0.5x + 13y
Restricciones Escribimos las restricciones del problema y los puntos necesariospara su representación
1 − 2x + 3y ≤ 4 → (0, 4/3) & (−2, 0)2 2x + y ≥ 4 → (0, 4) & (2, 0)3 2x− y ≤ 4 → (0,−4) & (2, 0)
Región factible Represen-tamos la región factible ycalculamos los vértices de lamisma
Optimización de lafución objetivo Eva-luamos la función objetivo encada vértice
Punto x y f(x,y)A 2 0 1B 1 2 7⁄6C 4 4 10⁄3
Luego la función objetivo tiene un mı́nimo en A(2, 0), que vale 1 y un máximo enC(4, 4) que vale 10/3.
◦
14 Ejercicios de Programación Lineal
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Ejercicio 2 (2 puntos)
Una voluntaria quiere preparar helado artesano y horchata de auténtica chufa paraun rastrillo solidario. La elaboración de cada litro de helado lleva 1 hora de trabajo yla elaboración de un litro de horchata 2 horas.Como la horchata no necesita leche, sabe que puede preparar hasta 15 litros de heladocon la leche que tiene.Para que haya suficiente para todos los asistentes tiene que preparar al menos 10 litrosentre helado y horchata, en un máximo de 20 horas.
a) Represéntese la región del plano determinada por las restricciones anteriores.
b) Si el beneficio por litro es de 25 euros para el helado y 12 euros para la horchata,obténgase la cantidad de cada producto que se deberá preparar para maximizarel beneficio y calcúlese el beneficio máximo que podŕıa obtenerse.
(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio 2019 - Opción A )
Solución.
Incógnitasx ≡ ”litros de helado”y ≡ ”litros de horchata”
Resumimos los datos del enunciado en una tabla:x y Restricción
h trabajo/litro 1 2 ≤ 20≤ 15
a) Región factible Restricciones y puntos necesarios para su representaciónx + y ≥ 10 → (0, 10) & (10, 0)x + 2y ≤ 20 → (0, 10) & (20, 0)x ≤ 15 → (15, 0)x, y ≥ 0
Región factible Representamos laregión factible y hallamos sus vértices.
Optimización de la f. objetivoEvaluamos f(x) en cada vértice
b) Función Objetivo f(x) = 25x +12y
Punto x y f(x,y)A 10 0 250B 0 10 120C 15 2.5 405D 15 0 375
Por tanto el máximo beneficio se produce en el punto C(15, 2.5) y vale 405 euros.
◦
https://aprendeconmigomelon.com 15
https://aprendeconmigomelon.com
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Ejercicio 2 (2 puntos)
Para el mantenimiento de las piscinas de cierto hotel se quiere utilizar cloro dedisolución lenta CL y cloro estabilizado (CE). El hotel quiere que la cantidad de cloroque se use en la temporada de verano, sea como mucho 500 kg y la cantidad de clorode disolución lenta sea mayor que la cantidad de cloro estabilizado al menos en 100kg. No podrán utilizarse más de 350 kg de cloro de disolución lenta ni menos de 100kg de cloro estabilizado. Cada kg de cloro de disolución lenta cuesta 30 euros, mientasque cada kg de cloro estabilizado cuesta el doble.
a) Represéntese la región del plano determinada por las restricciones anteriores.
b) Se desea que el gasto, respetando las caracteŕısticas anteriores, sea el mı́nimoposible. Determı́nense las cantidades de cloro de cada tipo que deben usarsepara minimizar los costes. Obténgase el valor del coste mı́nimo.
(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio 2019 - Opción B - Coincidentes)
Solución.
Incógnitas x ≡ Kg de cloro de disolución lenta (CL)y ≡ Kg de cloro estabilizado (CE)
Región Factible Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su re-presentación
1 x + y ≤ 500 → (0, 500) & (500, 0)2 x ≥ y + 100 → (0, 100) & (300, 400)3 x ≤ 350 → (350, 0)4 y ≥ 100 → (0, 100)
x, y ≥ 0
Funcı́ón objetivo Coste del cloro.f(x, y) = 30x + 60y
Región factible Representamos laregión y calculamos los vértices.
Optimización de F.O. Evaluamosf(x, y) en cada vértice
Punto x y f(x, y)A 200 100 12000B 300 200 21000C 350 150 19500D 350 100 16500
Por tanto el coste mı́nimo es de 12000 euros y se produce con un consumo de 200 kg decloro de disolució lenta (CL) y 100 kg de cloro estabilizado (CE).
◦
16 Ejercicios de Programación Lineal
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Ejercicio 1 (2 puntos)
Un alcalde quiere instalar un estanque rectangular en un parque de la ciudad conlas siguientes caracteŕısticas.El estanque deberá tener al menos 2 metros de ancho y al menos 5 metros de largo.Además su largo debe ser al menos 2 veces su ancho pero no más de tres veces suancho. Cada metro del ancho del estanque cuesta 1000 euros y cada metro de largo500 euros. Y se cuenta con un presupuesto de 9000 euros.
a) Determı́nese la región del plano delimitada por las restricciones anteriores sobrelas dimensione del estanque.
b) Si se desea que el estanque, respetando esas caracteŕısticas, tenga el mayor anchoposible, determı́nense el largo del estanque y su coste.
(Madrid - Matemáticas CCSS - Julio 2019 - Opción B )
Solución.
a)
x
y
Región Factible
1 y ≥ 2 → (0, 2)2 x ≥ 5 → (5, 0)3 x ≥ 2y → (0, 0) & (2, 1)4 x ≤ 3y → (0, 0) & (3, 1)5 x + 2y ≤ 18 → (18, 0) & (0, 9)
x, y ≥ 0
La ec. 5 sale de: 1000y + 500x ≤ 9000 =⇒ x + 2y ≤ 18
b) Si queremos la solución con mayor ancho (ymáx) hemos de coger el punto de lafrontera de la región factible con mayor ordenada. En este caso C(9, 4.5), cuyo costees de 9000 euros pues se encuentra sobre la recta 5 ≡ x + 2y = 18
◦
https://aprendeconmigomelon.com 17
https://aprendeconmigomelon.com
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Ejercicio 2 (2 puntos)
Sea S la región del plano definida por:
3x− y ≥ 5 ; 3y − x ≥ 1 ; y + x ≤ 7
a) Represéntese S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.
b) Determı́nese el valor máximo de la función f(x, y) = x + 4y en S, indicando elpunto en el cual se alcanza dicho valor.
(Madrid - Matemáticas CCSS - Septiembre 2019 - Opción A - Coincidentes)
Solución.
Funcı́ón objetivo:f(x, y) = x + 4y
Región S: Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su representa-ción
S =
1 3x− y ≥ 5 → (0,−5) & (5/3, 0)2 3y − x ≥ 1 → (0, 1/3) & (−1, 0)3 y + x ≤ 7 → (0, 7) & (7, 0)
Función Objetivo:
f(x, y) = x + 4y
Región factible: Representamos Sy calculamos los vértices de la misma.
Optimización de la fuciónobjetivo:
Punto x y f(x,y)A 2 1 6B 3 4 19C 5 2 13
Por tanto el máximo de la función objetivo se produce en el punto B(3, 4) y vale 19.
◦
18 Ejercicios de Programación Lineal
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Ejercicio 2 (2 puntos)
La región del plano S está definida por las siguientes expresiones:
x ≥ 3 & 0 ≤ y ≤ 15 & y − 5 + x2 ≥ 0 & y − x ≤ 10 & y + 20 ≥ 2x
a) Determine las coordenadas de sus vértices y represente en el plano la región S.
b) Obtenga el valor máximo y el valor mı́nimo de la función f(x, y) = x + y en estaregión, indicando los puntos en los cuales se alcanzan estos valores.
(Madrid - Matemáticas CCSS - Julio 2020 - Opción B )
Solución.
Región Factible Escribimos la región S y los puntos necesarios para su represen-tación
S ≡
1 x ≥ 3 → (3, 0)2 0 ≤ y ≤ 15 → (0, 0) & (0, 15)3 y − 5 + x2 ≥ 0 → (0, 5) & (10, 0)4 y − x ≤ 10 → (0, 10) & (5, 15)5 y + 20 ≥ 2x → (10, 0) & (15, 10)
Funcı́ón objetivo f(x, y) = x + y
Región factible Representamosla región y calculamos los vértices.
Optimización de F.O. Evalua-mos f(x, y) en cada vértice
Punto x y f(x, y)A 3 3.5 6.5B 3 13 16C 5 15 20D 17.5 15 32.5E 10 0 10
Por tanto f(x) tiene un mı́nimo igual a6.5 en A(3, 3.5) y un máximo igual a 32.5en D(17.5, 15).
◦
https://aprendeconmigomelon.com 19
https://aprendeconmigomelon.com
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Ejercicio 1 (2 puntos)
Considere la región del plano S definida por:
x− y ≥ 0, y + 2x ≤ 8, 0 ≤ y ≤ 2
a) Represente la región S y calcule las coordenadas de sus vértices.
b) Obtenga el valor máximo y el valor mı́nimo de la función f(x, y) = 4x− y en laregión S, indicando los puntos en los cuales se alcanzan dichos valores.
(Madrid - Matemáticas CCSS - Julio 2020 - Opción A - Coincidentes)
Solución.
Región Factible Escribimos la región S y los puntos necesarios para su represen-tación
S ≡
1 x− y ≥ 0 → (0, 0) & (4, 4)2 y + 2x ≤ 8 → (0, 8) & (4, 0)3 0 ≤ y ≤ 2 → (0, 0) & (0, 2)
Funcı́ón objetivo f(x, y) = 4x− y
Región factible Representamosla región y calculamos los vértices.
Optimización de F.O. Evalua-mos f(x, y) en cada vértice
Punto x y f(x, y)A 0 0 0B 2 2 6C 3 2 10D 4 0 16
Por tanto f(x) tiene un mı́nimo igual a0 en A(0, 0) y un máximo igual a 16 enD(4, 0).
◦
20 Ejercicios de Programación Lineal
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Ejercicio 2 (2 puntos)
Un vivero elabora dos tipos de sustratos. Para elaborar 1 m3 del tipo A necesita 60kg de tierra vegetal y 30 horas de trabajo. Para elaborar 1 m3 del tipo B necesita 50kg de tierra vegetal y 50 horas de trabajo. El vivero dispone como máximo de 21000kg de tierra vegetal y 15000 horas de trabajo. Además, la cantidad de metros cúbicosque elabora de tipo A debe ser como mucho cinco veces la cantidad de tipo B. Por laventa de cada metro cúbico de tipo A obtiene un beneficio de 50 € y 60 € por cadametro cúbico de tipo B.
a) Represente la región del plano determinada por las restricciones anteriores ydetermine las coordenadas de sus vértices.
b) Determine cuántos metros cúbicos de cada tipo deben elaborarse para, respe-tando las restricciones anteriores, maximizar el beneficio. Obtenga el valor delbeneficio máximo.
(Madrid - Matemáticas CCSS - Septiembre 2020 - Opción A )
Solución.
Sustrato A Sustrato B RestricciónTierra vegetal (kg/m3) 60 50 < 21000
Horas de trabajo (h/m3) 30 50 < 15000Beneficio (£/m3) 50 60
Incógnitas Llamamos x e y a los m3 de cada tipo de sustrato.
Región Factible Escribimos las restricciones y los puntos para representarlas1 60x + 50y ≤ 21000 → (0, 4420) & (3683, 0)2 30x + 50y ≤ 15000 → (0, 300) & (500, 0)3 x ≤ 5y → (0, 0) & (500, 100)
x, y ≥ 0
Funcı́ón objetivo (Coste en €) f(x, y) = 50x + 60y
Región factible Representamos la región y calculamos los vértices.
Optimización de F.O. Evaluamos f(x, y)en cada vértice.
Punto x y f(x, y)A 0 0 0B 0 300 18000C 200 180 20800D 300 60 18600
El coste máximo es de 20800 €, elaborando 200 m3 del sustrato tipo A y 180 m3 del B.
◦
https://aprendeconmigomelon.com 21
https://aprendeconmigomelon.com
-
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
Ejercicio 1 (2 puntos)
Un agricultor dispone de 5 hectáreas, como máximo, de terreno para dedicar a laplantación de trigo y cebada. Cada hectárea dedicada al trigo le supone un beneficiode 200 euros, mientras que cada hectárea dedicada a la cebada le supone un beneficiode 60 euros. Entre ambos cultivos es obligatorio plantar como mı́nimo una hectárea,y la normativa autonómica le obliga a que el cultivo de trigo ocupe como mucho unahectárea más que el de cebada. Represente la región factble, determine las hectáreasque debeŕıa dedicar a cada cultivo para maximizar sus beneficios y obtenga el valordel beneficio máximo.
(Madrid - Matemáticas CCSS - Modelo 2021 - Opción B )
Solución.
Incógnitasx ≡ Hectáreas dedicadas al cultivo de trigoy ≡ Hectáreas dedicadas al cultivo de cebada
Región Factible Escribimos las restricciones y los puntos necesarios para su re-presentación
1 x + y ≤ 5 → (0, 5) & (5, 0)2 x + y ≥ 1 → (0, 1) & (1, 0)3 x ≤ y + 1 → (5, 4) & (1, 0)
x, y ≥ 0
Funcı́ón objetivo f(x, y) = 200x + 60y
Región factible Representamos laregión y calculamos los vértices.
Optimización de F.O. Evaluamosf(x, y) en cada vértice
Punto x y f(x, y)A 0 1 60B 0 5 300C 3 2 720D 1 0 200
Por tanto el beneficio máximo es de 720 eu-ros y se produce destinando 3 hectáreas alcultivo de trigo y 2 al de cebada.
◦
22 Ejercicios de Programación Lineal
-
PL-1 Sea la función ( ), 0.4 3.2f x y x y= − + , sujeta a las restricciones:
7
4 4
5
0 5
0
x y
x y
x y
x
y
+
+
+
a) Represéntese la región S del plano determinada por el conjunto de
restricciones.
b) Calcúlense los puntos de la región S donde la función f alcanza sus valores
máximo y mínimo
c) Calcúlense dichos valores máximo y mínimo.
(PAU Madrid CCSS Junio 2010 FG)
Solución:
Representamos las restricciones en un gráfico, viendo las coordenadas de dos puntos.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
7 0,7 y 7,0
4 4 0,1 y 4,0
5 0,5 y 2,7
0 5
0
x y
x y
x y
x
y
+ →
+ →
+ →
Asimismo representamos la función
( )( )
( )
0,0, 0.4 3.2 0
8,1f x y x y
= − + = →
Y trazamos las paralelas a la misma
en la región factible, determinando
así los puntos en donde se produce el
máximo ( )1,6 y el mínimo ( )5,0 .
Para calcular su valor sustituimos en
la función ( ),f x y .
( )
( )
1,6 0.4 3.2 6 18.8
5,0 0.4 5 2
f
f
= − + =
= − = −
x + y = 7
( )1,6 ( )0,7
( )0,1
( )2,7
x = 5
x + 4y = 4
-0.4x + 3.2y = 0 ( )4,0 ( )5,0
x + 5 = y
( )7,0
( )0,5
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 23
https://aprendeconmigomelon.com
-
PL-2 Un club de fútbol dispone de un máximo de 2 millones de euros para fichajes de futbolistas españoles y extranjeros. Se estima que el importe total de las
camisetas vendidas por el club con el nombre de futbolistas españoles es igual al
10% de la cantidad total invertida por el club en fichajes de españoles, mientras
que el importe total de las camisetas vendidas con el nombre de futbolistas
extranjeros es igual al 15% de la cantidad total invertida por el club en fichajes
de extranjeros. Los estatutos del club limitan a un máximo de 800.000 euros la
inversión total en fichajes extranjeros y exigen que la cantidad total invertida en
fichajes de futbolistas españoles sea como mínimo de 500.000 euros. Además la
cantidad total invertida en fichajes de españoles ha de ser mayor o igual que la
invertida en fichajes extranjeros. ¿Qué cantidad debe invertir el club en cada tipo
de fichajes para que el importe de las camisetas vendidas sea máximo? Calcúlese
dicho importe máximo. Justifíquese.
(PAU Madrid CCSS Junio 2010 FE - Opción A)
Solución:
Primero haremos una tabla resumen con los datos del problema:
FICHAJES NACIONALES
FICHAJES EXTRANJEROS
Camisetas vendidas
10% 15%
500.000 800.000
Ahora definimos las incógnitas que, claramente son:
x → inversión en fichajes nacionales
y → inversión en fichajes extranjeros
Restricciones: Inversión total máxima inferior a 2 millones. La inversión en fichajes
nacionales ha de ser como mínimo de 500.000 €. La inversión en fichajes extranjeros no
debe exceder los 800.000 €. La inversión en fichajes nacionales ha de ser mayor o igual
que la inversión en fichajes extranjeros.
2.000.000 (0,2.000.000) (2.000.000,0)
(0,0) (1,1)
500.000
800.000
x y y
x y y
x
y
+ →
→
Ahora representamos las rectas limitándonos a la igualdad y dibujamos la “región
factible”.
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
24 Ejercicios de Programación Lineal
-
La función que maximiza el ingreso por la venta de camisetas (función objetivo) es:
( , ) 0.1 0.15f x y x y= +
Hemos visto que el máximo de esta función se produce en el punto de abscisa 1.2
millones sin más que trazar
una paralela a la función
objetivo por el punto de la
región factible más alejado
del origen de coordenadas
El importe máximo
ingresado por la venta de
camisetas, supuestos unos
fichajes nacionales de 1,2
millones de euros y unos
fichajes extranjeros de
800.000 será el resultante
de sustituir estas cantidades
en la función objetivo:
(1.200.000,800.000) 0.1 1.200.000 0.15 800.000f = + →
Ingresos 240.000 euros=
(1.200.000,800)
0,1x+0,15y=0
x + y=2.000.000
y=800.000
500
x=y
X
x = 500
2.000.000
800
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 25
https://aprendeconmigomelon.com
-
PL-3 Un pintor necesita pintura para pintar como mínimo una superficie de 480 m2. Puede comprar la pintura a dos proveedores, A y B. El proveedor A le ofrece
una pintura con un rendimiento de 6 m2 por kg y un precio de 1 euro por kg. La
pintura del proveedor B tiene un precio de 1,2 euros por kg y un rendimiento de
8 m2 por kg. Ningún proveedor le puede suministrar más de 75 kg de pintura y el
presupuesto máximo del pintor es de 120 euros. Calcúlese la cantidad de pintura
que el pintor tiene que comprar a cada proveedor para obtener el mínimo coste.
Calcúlese dicho coste mínimo.
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2010 FG)
Solución:
Ponemos los datos en una tabla
PROVEEDOR A `PROVEEDOR B
Rendimiento ( )2m kg 6 8 Precio ( )€ kg 1 1,2
Existencias (kg) 75 75
Las incógnitas serán:
x → kg suministrados por el proveedor A
y → kg suministrados por el proveedor B
Restricciones: Superficie mínima a pintar 480 m2 . Existencias máximas de cada proveedor 75 kg. Presupuesto máximo del pintor 120 €.
( ) ( )
( ) ( )
6 8 480 0,60 y 80,0
1.2 120 0,100 y 120,0
75 75
x y
x y
x y
+ →
+ →
La función a minimizar (función objetivo) es el coste que se puede expresar:
( , ) 1.2C x y x y= +
Vemos que el punto de coste mínimo se produce en las coordenadas 0x = e 60y = ,
con un coste de:
(0,60) 1.2 60 72 €C = =
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
26 Ejercicios de Programación Lineal
-
Pero debido al dibujo cabe
la duda de si el mínimo se
produce en 75x = e
3.75y = , no tenemos más
que comprbarlo en la
función coste:
(0,60) 75 1.2 3.75 78 €C = + =
Por lo que queda claro cual
es el mínimo. Esto nos
puede pasar si el dibujo no
es muy exacto, pero siempre
podemos tantear entre los
puntos dudosos. 120
x + 1.2y = 0
x = 75
y = 75
80
X
75
6x + 8y = 480
60
6x + 8y = 480
100
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 27
https://aprendeconmigomelon.com
-
PL-4 Un grupo inversor dispone de un máximo de 9 millones de euros para invertir en dos tipos de fondos de inversión, A y B. El fondo de inversión del tipo A
tiene una rentabilidad anual del 4% y una limitación legal de 5 millones de euros
de inversión máxima. El fondo de inversión del tipo B tiene una rentabilidad del
3% anual, deben invertirse al menos 2 millones de euros y no hay límite superior
de inversión. El grupo inversor desea invertir en el fondo del tipo B, como
máximo, el doble de lo invertido en el fondo del tipo A. ¿Qué cantidad debe
invertir el grupo en cada tipo de fondo para obtener el máximo beneficio anual?
Calcúlese dicho beneficio máximo.
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2010 FE)
Solución:
Presentamos los datos:
FONDO A FONDO B
Rentabilidad anual (%) 4% 3%
Limitación legal (millones de €) 5 -
Inversión mínima (millones de €) - 5
Definimos las incógnitas:
x → inversión en fondo A.
y → inversión en fondo B.
Restricciones: Capital máximo para inversión 9 millones €. Inversión máxima en fondo
A de 5 millones €. Inversión mínima en fondo B de 2 millones €. Inversión en B menor
que el doble de la inversión en A.
9 (0,9) (9,0)
2 (0,0) (2,1)
5 2
x y y
y x y
x y
+ →
→
La función objetivo a maximizar es el beneficio obtenido que se expresa por la función:
( )B , 0.04 0.03x y x y= +
Pasamos a la representación de la región factible y al dibujo de la función objetivo
igualada a cero, así como a la determinación del punto donde se produce el máximo de
la citada función objetivo, que es el (5,4)
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
28 Ejercicios de Programación Lineal
-
Por tanto el máximo beneficio se
producirá cuando invirtamos 5 millones €
en el fondo A y 4 millones € en el fondo
B.
El beneficio obtenido en ese caso será:
( )B 5,4 0,04 5 0,03 4 320.000 €= + =
(5,4)
0.04x + 0.03y = 0
x = 5
Y
y = 2
5
x + y = 9
X
9
2
9
y = 2x
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 29
https://aprendeconmigomelon.com
-
PL-5 Una refinería utiliza dos tipos de petróleo, A y B, que compra a un precio de 350 € y 400 € por tonelada, respectivamente. Por cada tonelada de petróleo de tipo A
que refina, obtiene 0.10 ton. de gasolina y 0.35 ton. de fuel-oil. Por cada
tonelada de petróleo de tipo B que refina, obtiene 0.05 ton. de gasolina y 0.55
ton. de fuel-oil. Para cubrir sus necesidades necesita obtener al menos 10 ton. de
gasolina y al menos 50 ton. de fuel-oil. Por cuestiones de capacidad, no puede
comprar más de 100 ton. de cada tipo de petróleo. ¿Cuántas ton. de petróleo de
cada tipo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades a mínimo coste?.
Determinar dicho coste mínimo.
(PAU Madrid CCSS Junio 2009 – Opción B)
Solución:
Primero haremos una tabla resumen con los datos del problema:
PETRÓLEO
Tipo A PETRÓLEO
Tipo B Necesidades
Precio (€/ton) 350 400
Gasolina obtenida (ton) 0.10 0.05 10
Fuel-oil obtenido (ton) 0.35 0.55 50
Limitacion por capacidad (ton) 100x 100y
Definimos las incógnitas:
x → Ton. de petróleo del tipo A
y → Ton. de petróleo del tipo B
Restricciones: Obtención mínima de 10 ton. de gasolina y 50 de fuel-oil. Capacidad
máxima de almacenaje de 100 ton. de cada tipo de petróleo
0.1 0.05 10 (0,200) (100,0)
0.35 0.55 50 (0,90.9) (142.9,0)
0 100
0 100
x y y
x y y
x
y
+ →
+ →
Ahora representamos las rectas limitándonos a la igualdad y dibujamos la “región
factible”.
La función que maximiza la ganancia anual (función objetivo) es:
( )( , ) 350 400 en miles de €G x y x y= +
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
30 Ejercicios de Programación Lineal
-
Calculamos todos los puntos de
corte que configuran la región
factible y hallamos el valor de la
función objetivo en los mismos.
( )
0.1 0.05 100.75 60
0.35 0.55 50
80, 40
x yx
x y
+ = =
+ =
→
Los resultados se muestran en la
siguiente tabla (el valor de la
ganancia se ha multiplicado por
1000 para que el resultado sean
€):
x y G(x,y)
50 100 57.500
100 100 75.000
100 27.3 45.920
80 40 44.000
Se obtiene un precio mínimo de
443000 € comprando 80 T de
petróleo de la refinería A y 40 T
de la B.
(100,27.3)
(50,100) (100,100)
y = 100
200
x = 100
X
0.1x + 0.05y = 10
30
y
90.9
142 100
100
0.35x + 0.55y = 50
(80,40)
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 31
https://aprendeconmigomelon.com
-
PL-6 Una carpintería vende paneles de contrachapado de dos tipos, A y B. Cada m2 de panel del tipo A requiere 0.3 horas de trabajo para su fabricación y 0.2 horas
para su barnizado, proporcionando su venta un beneficio de 4 €. Cada m2 de
panel del tipo B requiere 0.2 horas de trabajo para su fabricación y 0.2 horas
para su barnizado, proporcionando su venta un beneficio de 3 €. Sabiendo que en
una semana se trabaja un máximo de 240 horas en el taller de fabricación y de
200 horas en el taller de barnizado, calcular los m2 de cada tipo de panel que
debe vender semanalmente la carpintería para obtener el máximo beneficio.
Calcular dicho beneficio máximo.
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2009 – Opción A)
Solución:
Primero haremos una tabla resumen con los datos del problema:
Contrachapado A Contrachapado B Restricciones
Fabricación ( )2h m 0.3 0.2 240
Barnizado ( )2h m 0.2 0.2 200 Beneficio (€) 4 3
Ahora definimos las incógnitas:
x → m2 de contrachapado tipo A
y → m2 de contrachapado tipo B
Restricciones: Las horas semanales de fabricación y barnizado no pueden exceder las
240 y 200 respectivamente.
( ) ( )
( ) ( )
0.3 0.2 240 0,1200 y 800,0
0.2 0.2 200 0,1000 y 1000,0
0
0
x y
x y
x
y
+ →
+ →
Ahora representamos las rectas limitándonos a la igualdad y dibujamos la “región
factible”.
La función que maximiza el beneficio (función objetivo) es:
( , ) 4 3B x y x y= +
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
32 Ejercicios de Programación Lineal
-
Calculamos el valor de la función
beneficio en todos los puntos que
limitan la región factible, para lo cual
los hallamos previamente resolviendo
el sistema de ecuaciones formado por
las rectas que se cortan:
( )
0.3 0.2 2400.1 40
0.2 0.2 200
400,600
x yx
x y
+ = =
+ =
→
Ahora evaluaremos la función
beneficio en las fronteras de la región
factible para hallar el máximo
beneficio:
x y B(x,y)
0 1000 3.000
400 600 3.400
800 0 3.200
El beneficio máximo se produce con una producción de 400 m2 de contrachapado tipo A
y 600 m2 de tipo B, siendo el citado beneficio igual a 3400 €.
800 1000
x
y
1000
1200
(400,600)
0.3x + 0.2y = 240
0.2x + 0.2y = 200
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 33
https://aprendeconmigomelon.com
-
PL-7 Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo A se necesitan 10 kg
de cobre, 2 kg de titanio y 1 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable
de tipo B se necesitan 15 kg de cobre, 1 kg de titanio y 1 kg de aluminio. El
beneficio que obtiene la empresa por cada 100 metros de cable de tipo A
fabricados es igual a 1500 euros, y por cada 100 metros de cable de tipo B es
igual a 1000 euros. Calcúlense los metros de cable de cada tipo que han de
fabricarse para maximizar el beneficio y determínese dicho beneficio máximo.
(PAU Madrid CCSS 2010 Modelo FE – Junio 2007 Opción B)
Solución:
Ponemos los datos en una tabla para organizarlos mejor:
CABLE A CABLE B Existencias
kg de cobre / 100 m de cable 10 15 195
kg de titanio / 100 m de cable 2 1 20
kg de aluminio / 100 m de cable 1 1 14
Beneficio / 100 m de cable 1.500 € 1.000 €
Ahora definimos las incógnitas que, claramente son:
x → m de cable de tipo A (en cientos de metros)
y → m de cable de tipo B (en cientos de metros)
Restricciones: Tenemos unas existencias de materia prima de 195 kg de cobre, 20 kg de
titanio y 14 kg de aluminio.
Inversión total máxima inferior a 2 millones. La inversión en fichajes nacionales ha de
ser como mínimo de 500.000 €. La inversión en fichajes extranjeros no debe exceder los
800.000 €. La inversión en fichajes nacionales ha de ser mayor o igual que la inversión
en fichajes extranjeros.
10 15 195 (0,13) (19.5,0)
2 20 (0, 20) (10,0)
14 (0,14) (14,0)
x y y
x y y
x y y
+ →
+ → + →
La función objetivo a maximizar es el beneficio obtenido, que expresamos por cada 100
metros de cable de esta manera:
( , ) 1500 1000B x y x y= +
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
34 Ejercicios de Programación Lineal
-
14
Calculamos los puntos de intersección de las rectas:
1010 15 195
14
xx y
x y
+ =→
+ =
15 195
10
y
x
+ =
− 10 140
11 3
y
y x
− = −
= → =
22 20
14
x yx y
x y
++ =→
+ =
20
x y
=
− − 14
86 yx
= −
== →
Hacemos una tabla resumen con los
valores de la función objetivo en los
vértices de la región factible:
x y B(x,y)
0 13 13.000
3 11 15.500
6 8 17.000
10 0 15.000
Por lo tanto deberemos fabricar 600 m de cable tipo A y 800 m de cable tipo B para que
el beneficio sea máximo, siendo el mismo de 17.000 €
2x + y = 20
x + y = 14
14
10x + 15y = 195
20
10 19,5
X
(6,8)
13
14
(3,11) ht
tps:/
/apr
ende
conm
igom
elon
.com
https://aprendeconmigomelon.com 35
https://aprendeconmigomelon.com
-
PL-8 Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almazaras, A y B. Las almazaras A y B venden el aceite a 2000 y 3000 euros por tonelada,
respectivamente. Cada almazara le vende un mínimo de 2 toneladas y un
máximo de 7 y para atender a su demanda, el distribuidor debe comprar en total
un mínimo de 6 toneladas. El distribuidor debe comprar como máximo a la
almazara A el doble de aceite que a la almazara B. ¿Qué cantidad de aceite debe
comprar el distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mínimo
coste? Determínese dicho coste mínimo.
(PAU Madrid CCSS Junio 2008 – Opción B)
Solución:
Primero haremos una tabla resumen con los datos del problema:
Almazara A Almazara B
Coste (Ton) 2000 € 3000 €
2 7x 2 7y
Ahora definimos las incógnitas:
x → Toneladas de aceite compradas a la almazara A
y → Toneladas de aceite compradas a la almazara B
Restricciones: Las almazaras proveen entre 2 y 7 toneladas. Mínima compra del
distribuidor igual a 6 toneladas en total. La compra en la almazara A debe ser, como
máximo, el doble de la almazara B.
2 7
2 7
6 (0,6) (6,0)
2 (0,0) (4,2)
x
y
x y y
x y y
+ → →
Ahora representamos las rectas limitándonos a la igualdad y dibujamos la “región
factible”.
La función que minimiza el coste del aceite (función objetivo) es:
( , ) 2000 3000C x y x y= +
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
36 Ejercicios de Programación Lineal
-
Trazando una paralela a la
función objetivo por el
punto de la región factible
más cercano al origen de
coordenadas vemos que el
mínimo de la función coste
se produce en el punto
( )4,2 .
También podemos calcular
el valor de la función coste
en todos los puntos de la
región factible:
x y C(x,y)
4 2 14.000
7 4 24.500
7 7 35.000
2 7 25.000
2 4 16.000
El coste mínimo por tanto será:
(4,2) 2000 4 3000 2C = +
14000 €Coste =
(4,2)
2000x+3000y = 0
x + y = 6
y = 2
x=2y
X
6
6
y = 7
2
2
x = 7
( 7,3.5)
(2,4)
(2,7) (7,7)
7
7
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 37
https://aprendeconmigomelon.com
-
PL-9 Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igual que 125000 euros,
distribuidos entre acciones del tipo A y del tipo B. Las acciones del tipo A
garantizan una ganancia del 10% anual, siendo obligatorio invertir en ellas un
mínimo de 30000 euros y un máximo de 81000 euros. Las acciones del tipo B
garantizan una ganancia del 5% anual, siendo obligatorio invertir en ellas un
mínimo de 25000 euros. La cantidad invertida en acciones del tipo B no puede
superar el triple de la cantidad invertida en acciones del tipo A. ¿Cuál debe ser
la distribución de la inversión para maximizar la ganancia anual? Determínese
dicha ganancia máxima.
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2008 – Opción B)
Solución:
Primero haremos una tabla resumen con los datos del problema:
ACCIONES
Tipo A ACCIONES
Tipo B
Ganancia anual (%) 10% 5%
Limitaciones (en miles €) 30 81x 25
3
y
y x
Definimos las incógnitas:
x → inversión en acciones de tipo A (en miles de €)
y → inversión en acciones de tipo B (en miles de €)
Restricciones: Inversión total máxima inferior a 125.000 €. Inversión en acciones del
tipo A entre 30.000 y 81.000 €. Inversión mínima en acciones de tipo B de 25.000 €.
Inversión en acciones de tipo B inferior al triple de la inversión en acciones de tipo A.
125 (0,125) (125,0)
30 81
25
3 (0,0) (30,90)
x y y
x
y
y x y
+ →
→
Ahora representamos las rectas limitándonos a la igualdad y dibujamos la “región
factible”.
La función que maximiza la ganancia anual (función objetivo) es:
( )( , ) 0.1 0.05 en miles de €G x y x y= +
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
38 Ejercicios de Programación Lineal
-
Calculamos todos los puntos
de corte que configuran la
región factible y hallamos el
valor de la función objetivo
en los mismos. Los
resultados se muestran en la
siguiente tabla (el valor de la
ganancia se ha multiplicado
por 1000 para que el
resultado sean €):
x y G(x,y)
30 25 4.250
30 90 7.500
31,25 93,75 7.813
81 44 10.300
81 25 9.350
La ganancia máxima se
obtiene invirtiendo 81.000 €
en acciones del tipo A y
44.000 € en acciones del tipo
B, con una ganancia total de 10.300€
( )81000,44000 0.1 81000 0.05 44000G = + → 10300 €G =
(30,25)
0,1x + 0,05y = 0
y = 25
125
y = 3x
X
x = 30
25
x = 81
x + y = 125
30 81
(81,25)
(81,44)
(31.25,93.75)
(30,90)
125
Y
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 39
https://aprendeconmigomelon.com
-
PL-10 Una aerolínea quiere optimizar el número de filas de clase preferente y de clase turista en un avión. La longitud útil del avión para instalar las filas de asientos es
de 104 m, necesitándose 2 m parra instalar una fila de clase preferente y 1.5 m
para las de clase turista. La aerolínea precisa instalar al menos 3 filas de clase
preferente y que las filas de clase turista sean como mínimo el triple que las de
clase preferente. Los beneficios por fila de clase turista son de 152 euros y de
206 euros para la clase preferente.
¿Cuántas filas de clase preferente y cuántas de clase turista se deben instalar
para obtener el beneficio máximo? Indicar dicho beneficio.
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2007 – Opción B)
Solución:
Ponemos los datos en una tabla
PREFERENTE TURISTA Restricciones
Espacio necesario (m) 2 1.5 104
Exigencias 3 3x
Beneficio 206 € 152 €
Las incógnitas serán:
x → nº de filas de clase preferente
y → nº de filas de clase turista
Restricciones: Espacio máximo para colocar asientos 104 m. Nº mínimo de filas de
clase preferente igual a 3. Nº filas de clase turista al menos el triple que preferente.
( ) ( )
( ) ( )
2 1.5 104 0,69.3 y 52,0
3
3 0,0 y 30,90
x y
x
y x
+ →
→
La función a maximizar (función objetivo) es el beneficio, que se puede expresar:
( , ) 206 152B x y x y= +
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
40 Ejercicios de Programación Lineal
-
. La solución es 16x48 y dan
10498€
Calculamos los puntos de corte de
la región factible y evaluamos la
función beneficio en cada uno de
ellos.
x y B(x,y)
3 65 10.498
16 48 10.592
3 9 1.986
Podemos comprobar que el punto
de beneficio máximo se produce
en las coordenadas 16x = e
48y = , y tiene un valor de:
(16,48) 206 16 152 48B = +
(16,48) 10592 €B =
(16,48)
206x +152 y =0
x =3
Y
y =3x
52
2x +1.5 y = 104
X
69.3
3
(3,65.3)
(3,9
)
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 41
https://aprendeconmigomelon.com
-
PL-11 Una papelería quiere liquidar hasta 78 Kg. de papel reciclado y hasta 138 Kg. de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B. Los lotes A están
formados por 1 Kg. de papel reciclado y 3 Kg. de papel normal y los lotes B por
2 Kg. de papel de cada clase. El precio de venta de cada lote A es de 0’9 euros el
de cada lote B es de 1 euro. ¿Cuántos lotes A y B debe vender para maximizar
sus ingresos? ¿A cuánto ascienden estos ingresos máximos?
(PAU Madrid CCSS Junio 2006 – Opción A)
Solución:
Ponemos los datos en una tabla para organizarlos mejor:
LOTE A LOTE B Existencias
kg de papel reciclado 1 2 78
kg de papel reciclado 3 2 138
Precio de venta 0.9 € 1 €
Ahora definimos las incógnitas que, claramente son:
x → nº de lotes A
y → nº de lotes B
Restricciones: Tenemos unas existencias de materia prima de 78 kg de papel reciclado
y 138 kg. de papel normal.
2 78 (0,39) (78,0)
3 2 138 (0,69) (46,0)
0 0
x y y
x y y
x y
+ →
+ →
La función objetivo a maximizar son los ingresos obtenido:
( , ) 0.9B x y x y= +
Representamos las restricciones y hallamos los puntos de corte de las mismas para
determinar los vértices de la región factible.
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
42 Ejercicios de Programación Lineal
-
22 78
3 2 138
x yx y
x y
++ =
→+ =
78
3 2x y
=
− − 138
30 24x y
= −
= → =
Hacemos una tabla resumen con los
valores de la función objetivo en los
vértices de la región
factible:
x y B(x,y)
0 39 39
30 24 51
46 0 41.4
Por tanto deberemos vender 30 lotes A y
24 lotes B, obteniendo unos ingresos de 51 €
39
78
69
3x+2y = 138
x+2y = 78
(30.24)
46
x
y
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 43
https://aprendeconmigomelon.com
-
PL-12 Una empresa fabrica láminas de aluminio de dos grosores, finas y gruesas, y dispone cada mes de 400 Kg. de aluminio y 450 horas de trabajo para
fabricarlas. Cada m2 de lámina fina necesita 5 Kg. y 10 horas de trabajo, y deja
una ganancia de 45 euros. Cada m2 de lámina gruesa necesita 20 Kg. y 15 horas
de trabajo, y deja una ganancia de 80 euros. ¿Cuántos m2 de cada tipo de lámina
debe fabricar la empresa al mes para que la ganancia sea máxima, y a cuánto
asciende ésta?
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2006 – Opción A)
Solución:
Ponemos los datos en una tabla para organizarlos mejor:
LÁMINA
FINA LÁMINA GRUESA
Existencias
kg de aluminio/ m2 de lámina 5 20 400
h de trabajo/ m2 de lámina 10 15 450
Beneficio / m2 de lámina 45 € 80 €
Ahora definimos las incógnitas que, claramente son:
x → m2 de lámina fina
y → m2 de lámina gruesa
Restricciones: Tenemos unas existencias de materia prima de 400 kg de aluminio y
disponemos de 450 h. de trabajo para su fabricación.
5 20 400 (0,20) (80,0)
10 15 450 (0,30) (45,0)
0 0
x y y
x y y
x y
+ →
+ →
La función objetivo a maximizar es el beneficio obtenido
:
( , ) 45 80B x y x y= +
Representamos las restricciones y hallamos los puntos de corte de las mismas para
determinar los vértices de la región factible.
105 20 400
10 15 450
xx y
x y
−+ =→
+ =
40 800
10
y
x
− = −
15 450
14 2425 350
y
y xy
+ =
= → =− = −
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
44 Ejercicios de Programación Lineal
-
Hacemos una tabla resumen
con los valores de la
función objetivo en los
vértices de la región
factible:
x y B(x,y)
0 20 1.600
24 14 2.200
45 0 2.025
Por tanto deberemos fabri-
car 24 m2 de lámina de fina
y 17 m2 de lámina gruesa,
obteniendo un beneficio 2.200 €
20
y
x
45
30
80
5x+20y = 400
10x+15y = 450
(24.14)
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 45
https://aprendeconmigomelon.com
-
PL-13 Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños: pequeño y grande. La capacidad de sus congeladores no le permite
almacenar más de 1000 envases en total. En función de la demanda sabe que
debe mantener un stock mínimo de 100 envases pequeños y 200 envases
grandes. La demanda de envases grandes es igual o superior a la de envases
pequeños. El coste por almacenaje es de 10 céntimos de euro para cada envase
pequeño y de 20 céntimos de euro para cada envase grande. ¿Qué cantidad de
cada tipo de envases proporciona el mínimo gasto de almacenaje? Obtener dicho
mínimo.
(PAU Madrid CCSS Junio 2005 – Opción B)
Solución:
Ponemos los datos en una tabla para organizarlos mejor:
Envase
PEQUEÑO Envase
GRANDE
Coste de almacenamiento 0.1 € 0.2 €
Ahora definimos las incógnitas que, claramente son:
x → nº de envases pequeños
y → nº de envases grandes
Restricciones: El número máximo de envases almacenados es 1000. El stock de
envases mínimo es de 100 para los pequeños y 200 para los grandes. El stock de
envases grandes ha de ser mayor o igual que el de los pequeños.
1000 (0,1000) (1000,0)
100
200
x y y
x
y
y x
+ →
La función objetivo a minimizar es el coste de almacenamiento.
( , ) 0.1 0.2C x y x y= +
Representamos las restricciones y hallamos los puntos de corte de las mismas para
determinar los vértices de la región factible.
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
46 Ejercicios de Programación Lineal
-
Hacemos una tabla resumen con los
valores de la función objetivo en los
vértices de la región factible:
x y B(x,y)
100 200 50
100 900 190
500 500 150
200 200 60
Por tanto deberemos el coste de
almacenamiento mínimo se produce con
un stock de 100 envases pequeños y 200
grandes, y éste asciende a 50 €
200
1000 x = 100
x = 200
(500.500)
100
x
y
x = y
(100.900)
(200.200)
(100.200)
1000
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 47
https://aprendeconmigomelon.com
-
PL-14 En una empresa de alimentación se dispone de 24 Kg. de harina de trigo y 15 Kg. de harina de maíz, que se utilizan para obtener dos tipos de preparados: A y
B. La preparación del preparado A contiene 200 gr. de harina de trigo y 300 gr.
de harina de maíz con 600 cal de valor energético. La ración de B contiene 200
gr. de harina de trigo y 100 gr. de harina de maíz con 400 cal de valor
energético. ¿Cuántas raciones de cada tipo hay que preparar para obtener el
máximo rendimiento energético total? Obtener el rendimiento máximo.
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2005 – Opción A)
Solución:
Ponemos los datos en una tabla para organizarlos mejor:
Preparado
A Preparado
B Existencias
kg de harina de trigo 0.2 0.2 24
kg de harina de maíz 0.3 0.1 15
Valor energético (cal.) 600 400
Ahora definimos las incógnitas que, claramente son:
x → nº de preparados tipo A
y → nº de preparados tipo B
Restricciones: Tenemos unas existencias de 24 kg de harina de trigo y 15kg. harina de
maíz.
0.2 0.2 24 (0,120) (120,0)
0.3 0.1 15 (0,150) (50,0)
0 0
x y y
x y y
x y
+ →
+ →
La función objetivo a maximizar es el rendimiento energético global:
( , ) 600 400RE x y x y= +
Representamos las restricciones y hallamos los puntos de corte de las mismas para
determinar los vértices de la región factible.
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
48 Ejercicios de Programación Lineal
-
0.1 0.10.2 0.2 24
0.3 0.1 15
x yx y
x y x
− −+ =
→+ =
12
0.3 0.1x y
= −
+ 15
15 105x y
=
= → =
Hacemos una tabla resumen con los valores
de la función objetivo en los vértices de la
región
factible:
x y B(x,y)
0 120 48.000
15 105 51.000
50 0 30.000
Por tanto deberemos fabricar 15 preparados
tipo A y 105 del tipo B obteniendo un
rendimiento energético global de 51.000 cal.
120
78
f
0.33x+y = 15
0.2x+0.2y =24
(15.105)
46
x
y
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 49
https://aprendeconmigomelon.com
-
PL-15 Un producto se compone de la mezcla de otros dos A y B. Se tienen 500 Kg. de A y 500 Kg. de B. En la mezcla, el peso de B debe ser menor o igual que 1’5
veces el de A. Para satisfacer la demanda la producción debe ser mayor o igual
que 600 kg. Sabiendo que cada Kg. de A cuesta 5 euros, y cada Kg. de B cuesta
4 euros. Calcular los Kg. de A y B que deben emplearse para hacer una mezcla
de coste mínimo.
(PAU Madrid CCSS Junio 2004 – Opción A)
Solución:
Ponemos los datos en una tabla para organizarlos mejor:
Ahora definimos las incógnitas que, claramente son:
x → kg de producto A
y → kg de producto B
Restricciones: Tenemos unas existencias de 500 kg de cada componente. La cantidad
de producto B ha de ser menor o igual que una vez y media la del producto A. Debemos
producir al menos 600 kg de mezcla.
500 500
1.5
600 (0,600) (600,0)
0 0
x y
y x
x y y
x y
+ →
La función objetivo a minimizar es el coste de la mezcla obtenida:
( , ) 5 4C x y x y= +
Representamos las restricciones y hallamos los puntos de corte de las mismas para
determinar los vértices de la región factible.
Hacemos una tabla resumen con los valores de la función objetivo en los vértices de la
región factible:
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
50 Ejercicios de Programación Lineal
-
y B(x,y)
240 360 2.640
333 500 3.665
500 500 4.500
500 100 2.900
Hay que mezclar 240 kg del
componente A con 360 kg del
componente B para obtener un coste
mínimo de 2.640 €
(333,500) (500,500)
600
500
(500,100)
y
x
x+y = 600
y =1.5x
500 600
x = 500
y = 500
(240,360)
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 51
https://aprendeconmigomelon.com
-
PL-16 Un establecimiento de prendas deportivas tiene almacenados 1600 bañadores, 1000 gafas de baño y 800 gorros de baño. Se quiere incentivar la compra de
estos productos mediante la oferta de dos tipos de lotes, el lote A, que produce
un beneficio de 8 euros, formado por un bañador, un gorro y unas gafas, y el lote
B, que produce un beneficio de 10 euros y está formado por dos bañadores y
unas gafas. Sabiendo que la publicidad de esta oferta tendrá un coste de 1500
euros a deducir de los beneficios, se pide calcular el número de lotes A y B que
harán máximo el beneficio y a cuánto asciende éste.
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2004 – Opción B)
Solución:
Ponemos los datos en una tabla para organizarlos mejor:
LOTE A LOTE B Existencias
Bañadores 1 2 1600
Gafas de baño 1 1 1000
Gorros de baño 1 0 800
Beneficio 8 € 10 €
Ahora definimos las incógnitas que, claramente son:
x → nº de lotes tipo A
y → nº de lotes tipo B
Restricciones: Tenemos unas existencias de 4600 bañadores, 1000 gafas de bañoo y
800 gorros de baño.
2 1600 (0,800) (1600,0)
1000 (0,1000) (1000,0)
800
0 0
x y y
x y y
x
x y
+ →
+ →
La función objetivo a maximizar es el beneficio obtenido:
( , ) 8 10 1500B x y x y= + −
Representamos las restricciones y hallamos los puntos de corte de las mismas para
determinar los vértices de la región factible.
2 1600
1000
xx y
x y
+ =→
+ =
2 1600y
x
+ =
− 1000
400600
y
xy
− = −
→ ==
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
52 Ejercicios de Programación Lineal
-
Hacemos una tabla resumen con los
valores de la función objetivo en los
vértices de la región
factible:
x y B(x,y)
0 800 6.500
400 600 7.700
800 200 6.900
800 0 4.900
Por tanto deberemos hacer lotes tipo
A tipo B para obtener un beneficio
máximo igual a 7.700 €
1000
800
(400.600)
(800,200)
y
x
1600
x+y = 1000
x+2y = 1600
1000 800
x = 800
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 53
https://aprendeconmigomelon.com
-
PL-17 Determinar los valores máximo y mínimo de la función 5 3z x y= − sujeta a las
restricciones:
3 4
6
0 5
5
x y
x y
y
x
+
+
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2003 – Opción B)
Solución:
Representamos la región factible:
3 4 (0,4) y (1.33,0)
6 (0,6) y (6,0)
0 5
5
x y
x y
y
x
+ →
+ →
A continuación evaluamos la
función en los vértices de la
región factible para hallar los
extremos de la misma. Los
resultados se presentan en una
tabla:
x y f(x,y)
-0,33 5 13,3
1 5 20
5 1 28
5 0 25
1,33 0 6,7
Por tanto la función tiene un
máximo igual a 28 en el punto
(5,1), y un mínimo de valor 6.7
en el punto (1.33,0)
(1,5)
(5,1)
x + y = 6
y=800.000
1.33
3x + y = 4
X
x = 5
6
6
4
5
y = 5
(-0.33,5)
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
54 Ejercicios de Programación Lineal
-
PL-18 Un vendedor quiere dar salida a 400 Kg. de garbanzos, 300 Kg. de lentejas y 250 Kg. de judías. Para ello hace dos tipos de paquetes. Los de tipo A contienen 2
Kg. de garbanzos, 2 Kg. de lentejas y 1 Kg. de judías y los de tipo B contienen 3
Kg. de garbanzos, 1 Kg. de lentejas y 2 Kg. de judías. El precio de venta de cada
paquete es de 25 euros para los de tipo A y de 35 euros para los de tipo B.
¿Cuántos paquetes de cada tipo debe vender para obtener el máximo beneficio y
a cuánto asciende éste?
(PAU Madrid CCSS Junio 2003 – Opción B)
Solución:
Primero haremos una tabla resumen con los datos del problema:
PAQUETE A
PAQUETE B
Existencias en almacén
Kg de garbanzos 2 3 400
Kg. de lentejas 2 1 300
Kg. de judías 1 2 250
Precio de venta 25 35
Ahora definimos las incógnitas que, son:
x → nº de paquetes tipo A
y → nº de paquetes tipo B
Buscamos las restricciones que en este caso son las existencias de cada una de las
legumbres que tenemos en el almacén.
Ahora representamos las tres rectas limitándonos a la igualdad, para lo cual calculamos
los puntos de corte con los ejes. Por último dibujamos la “región factible”:
La función que maximiza el beneficio (función objetivo) es:
( ), 25 35B x y x y= +
)0,250()125,0(
)0,150()300,0(
)0,200()3.133,0(
00
2502
3002
40032
y
y
y
yx
yx
yx
yx
→
→
→
+
+
+
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 55
https://aprendeconmigomelon.com
-
Procedemos a dibujar la región
factible y los puntos que
delimitan la misma, para lo cual
debemos resolver varios sistemas
de ecuaciones:
( )
( )
2 3 40050,100
2 250
2 3 400125,50
2 300
x y
x y
x y
x y
+ = →
+ =
+ = →
+ =
x y B(x,y)
0 125 4.375
50 100 4.750
125 50 4.875
150 0 3.750
Por tanto hay que hacer 125
paquetes tipo A y 50 tipo B para
obtener el máximo beneficio de
4875 €.
2x + y = 300 2x + 3y = 400
200
133.3
300
(125,50)
X
150 250
x +2y = 250
125
(50,100)
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
56 Ejercicios de Programación Lineal
-
PL-19 Un proyecto de asfaltado puede llevarse a cabo por dos grupos diferentes de una misma empresa: G1 y G2. Se trata de asfaltar tres zonas: A, B Y C.
En una semana, el grupo G1 es capaz de asfaltar 3 unidades en la zona A, 2
en la zona B y 2 en la zona C. El grupo G2 es capaz de asfaltar
semanalmente 2 unidades en la zona A, 3 en la zona B y 2 en la zona C. El
coste semanal se estima en 3300 euros para G1 y en 3500 euros para G2. Se
necesita asfaltar un mínimo de 6 unidades en la zona A, 12 en la zona B y
10 en la zona C. ¿Cuántas semanas deberá trabajar cada grupo para
finalizar el proyecto con el mínimo coste?
(PAU Madrid CCSS Junio 2002 – Opción B)
Solución:
Primero haremos una tabla resumen con los datos del problema:
Grupo G1 Grupo G2 Mínimo
asfaltado necesario
Ud. Asfaltadas en Zona A 3 2 6
Ud. Asfaltadas en Zona B 2 3 12
Ud. Asfaltadas en Zona C 2 2 10
Coste semanal 3300 3500
Ahora definimos las incógnitas que, claramente son:
x → nº de semanas a trabajar por el grupo G1
y → nº de semanas a trabajar por el grupo G2
Buscamos las restricciones. En este caso vienen dadas por el mínimo nº de unidades que
es necesario asfaltar.
Ahora representamos las tres rectas limitándonos a la igualdad, para lo cual calculamos
los puntos de corte con los ejes. Por último dibujamos la “región factible” :
La función que maximiza el beneficio (función objetivo) es:
( ), 3300 3500f x y x y= +
)0,5()5,0(
)0,6()4,0(
)0,2()3,0(
00
1022
1232
623
y
y
y
yx
yx
yx
yx
→
→
→
+
+
+
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 57
https://aprendeconmigomelon.com
-
Hallamos los vértices de la región
factible y evaluamos la función
objetivo en los mismos.
→=+
=+)2,3(
1022
1232
yx
yx
x y f(x,y)
0 5 17.500
3 2 16.900
6 0 19.800
Por tanto hay que asfaltar tres
semanas con el grupo G1 y dos con
el grupo G2 para tener el mínimo
coste que ascenderá a 16.900 €.
(3,2)
X
2
4
6
5
5
3
x + y = 10
2x + 3y = 12
3x + 2y = 6
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
58 Ejercicios de Programación Lineal
-
PL-20 Determinar los valores máximo y mínimo de la función 3 4z x y= + sujeta a las
restricciones:
3 3
5
0 10
2
x y
x y
y
x
+
+
−
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2002 – Opción B)
Solución:
Representamos la región factible:
3 3 (0,3) y (1,0)
5 (0,5) y (5,0)
0 10
2
x y
x y
y
x
+ →
+ →
−
A continuación evaluamos la función
en los vértices de la región factible
para hallar los extremos de la misma.
Los resultados se presentan en una
tabla:
x y f(x,y)
-1 6 21
5 0 15
1 0 3
Por tanto la función tiene un máximo
igual a 21 en el punto (-1,6), y un
mínimo de valor 3 en el punto (1,0)
PL-21 En el último salón internacional del automóvil celebrado en España, un pequeño fabricante presentó sus modelos Caaper (precio por unidad 16000 euros) y Ena
(precio por unidad 15000 euros).
El coste de producción por unidad es, respectivamente, 10400 y 9750. Para la
fabricación de una unidad del primer modelo se necesitan 3 m² de un
determinado producto textil y 7.5 Kg. de pintura especial, mientras que para la
fabricación de una unidad del segundo modelo se necesitan 4 m² de producto
(-1,6)
x + y = 5
1
3x + y = 3
X
x = -2
-2
10
5
5
y = 10
3
y
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 59
https://aprendeconmigomelon.com
-
textil y 7 kg de pintura. Mensualmente existen en el almacén 96 m² de producto
textil y 195 Kg. de pintura.
a) Representar la región factible.
b) Halla cuántas unidades de cada modelo interesa fabricar mensualmente para
que las ventas de las mismas produzca el máximo beneficio.
a) Calcula dicho beneficio.
Solución:
Primero haremos una tabla resumen con los datos del problema:
Caaper Ena Existencias en el
almacén Precio Venta 16.000 15.000
Coste producción 10.400 9.750
m2 tela necesarios 3 4 96
Kg. pintura necesarios 7.5 7 195
Ahora definimos las incógnitas que, claramente son:
x → nº de vehículos modelo Caaper
y → nº de vehículos modelo Ena
Buscamos las restricciones, y ojo que aquí es donde no nos deben abrumar la cantidad
de datos. Insistimos en buscar solo restricciones. En este caso los m2 de tela no pueden
superar las existencias, es decir, 96 así como la pintura a utilizar no puede exceder de
195 Kg., unido (y no por obvio debemos olvidarlo) a que, tanto “x” como “y” (nº de
coches) son números positivos
1957
3 4 96 (0, 24) (32,0)
7.5 7 195 (0, ) (26,0)
0 0
x y y
x y y
x y
+ →
+ →
Ahora representamos las dos rectas limitándonos a la igualdad, para lo cual calculamos
los puntos de corte con los ejes. Por último dibujamos la “región factible”:
La función que maximiza el beneficio (función objetivo) es:
( ) ( ) ( ) ( ), 16000 10400 15000 9750 , 5600 5250B x y B xy y x yx= − + − = + → →
Y
195/7
24
(12,15)
3x+4y=96
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
60 Ejercicios de Programación Lineal
-
Necesitamos las coordenadas de todos los puntos de la región factible, por lo que
hallamos el corte de ambas rectas:
→=+
=+)15,12(
19575.7
9643
yx
yx
Para calcular el máximo beneficio evaluamos la función beneficio en todos los puntos
de la región factible:
x y B(x,y)
0 24 126.000
12 15 145.950
26 0 145.600
Por tanto hay que vender 12 vehículos del modelo Caaper y 15 del Ena para obtener el
máximo beneficio que es de 145.950 €.
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 61
https://aprendeconmigomelon.com
-
PL-22 Una empresa constructora dispone de 10800000 euros para edificar en una urbanización casas de dos tipos: las de tipo A, cada una de las cuales tendría un
coste (para la empresa) de 180000 euros, y dejaría al venderla, un beneficio de
24000 euros; y las de tipo B cuyos costes y beneficios individuales serían de
120000 euros y 18000 euros respectivamente. Si las normas municipales no
permiten construir más de 80 casas, hallar cuántas de cada tipo debe construir la
empresa para obtener el máximo beneficio.
Solución:
Primero haremos una tabla resumen con los datos del problema:
TIPO A TIPO B
Coste 180.000 120.000
Beneficio 24.000 18.000
Presupuesto disponible 10.800.000
Limitación nº de casas 80
Ahora definimos las incógnitas: x → nº de casas tipo A
y → nº de casas tipo B
Buscamos las restricciones. En este caso el presupuesto disponible para la edificación es
de 10800000 euros y el número máximo de viviendas que podemos construir es de 80
en total, asimismo el número de casas a construir debe ser un número positivo.
Ahora representamos las dos rectas limitándonos a la igualdad, para lo cual calculamos
los puntos de corte con los ejes. Por último dibujamos la “región factible”:
La función que maximiza el beneficio (función objetivo) es:
( ), 24000 18000B x y x y= +
Queremos maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos
el recinto correspondiente a las restricciones (región factible) y la recta 24000∙x +
18000∙y = 0, que nos da la dirección de las rectas
z = 24000∙x + 18000∙y
)0,80()80,0(
)0,60()90,0(
00
80
18023
00
80
10800000120000180000
y
y
yx
yx
yx
yx
yx
yx
→
→
→
+→
+→
+
+
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
62 Ejercicios de Programación Lineal
-
Evaluamos la función Beneficio
en los puntos de la región
factible:
x y B(x,y)
0 80 1.440.000
20 60 1.560.000
60 0 1.440.000
El máximo se alcanza en el punto
de corte de las rectas
→=+
=+)60,20(
80
18023
yx
yx
Por tanto tendremos que vender
20 casas del tipo A y 60 del tipo
B para obtener un beneficio de
1.560.000 €.
(20,60) )
24000x +18000y = 0
X
3x +2 y = 180
60
80 x + y = 80
80
90
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 63
https://aprendeconmigomelon.com
-
PL-23 Una peña de aficionados de un equipo de fútbol encarga a una empresa de transportes el viaje para llevar a los 1200 socios a ver la final de su equipo. La
empresa dispone de autobuses de 50 plazas y de microbuses de 30 plazas. El
precio de cada autobús es de 252 euros y el de cada microbús de 180. Sabiendo
que la empresa sólo dispone de 28 conductores, se pide: (403)
a) ¿Qué número de autobuses y microbuses deben contratarse para conseguir el
mínimo coste posible?
b) ¿Cuál será el valor de dicho coste mínimo?
Solución:
Primero haremos una tabla resumen con los datos del problema:
AUTOBUSES MICROBUSES
Nº de plazas 50 30
Precio del vehículo 252 180
Nº socios a transportar 1.200
Nº de conductores 28
Ahora definimos las incógnitas: x → nº de autobuses a contratar
y → nº de microbuses a contratar
Buscamos las restricciones. En este caso hay que tener en cuenta que debemos
transportar a 1200 aficionados y que solo disponemos de 28 conductores., asimismo el
número de vehículos a contratar debe ser un número positivo.
Ahora representamos las dos rectas limitándonos a la igualdad, para lo cual calculamos
los puntos de corte con los ejes. Por último dibujamos la “región factible”:
La función que minimiza el coste (función objetivo) es:
→ f(x,y) = 252∙x + 180∙y
)0,28()28,0(
)0,24()40,0(
00
28
12035
00
28
12003050
y
y
yx
yx
yx
yx
yx
yx
→
→
→
+→
+→
+
+
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
64 Ejercicios de Programación Lineal
-
Queremos minimizar esta
función, sujeta a las
restricciones anteriores.
Dibujamos el recinto corres-
pondiente a las restricciones
(región factible) y la recta
252∙x + 180∙y = 0, que nos da
la dirección de las rectas
z = 252∙x + 180∙y
El mínimo se alcanza en el
punto de corte de la recta 5x +
3y = 120 con el eje OX, es decir
en el punto (0,24).
Por tanto tendremos que
contratar 24 autobuses con un
coste de