matematica y estadistica i lic. carla rojas del carpio conceptos bÁsicos y estadÍstica descriptiva

MATEMATICA Y ESTADISTICA I

Lic. Carla Rojas del

Carpio

CONCEPTOS BÁSICOS Y ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Se refiere a un conjunto de métodos para manejar la obtención, presentación y análisis de observaciones numéricas.

CONCEPTO DE ESTADÍSTICA

Tem

a 1

. Intro

ducció

n

Sus fines son describir al conjunto de datos obtenidos y tomar decisiones o realizar generalizaciones acerca de las características de todas las observaciones bajo consideración.

CONCEPTO DE ESTADÍSTICA

Tem

a 1

. Intro

ducció

n

• Estadística Descriptiva (Deductiva): es la encargada de la organización, condensación, presentación de los datos en tablas y gráficos y del cálculo de medidas numéricas que permitan estudiar los aspectos más importantes de los datos.

ÁREAS QUE CONFORMAN A LA ESTADÍSTICA

Tem

a 1

. Intro

ducció

n

DESCRIBIRDESCRIBIR

• Estadística Inferencial o Inferencia Estadística: está definida por un conjunto de técnicas, mediante las cuales se hacen generalizaciones o se toman decisiones en base a información parcial obtenida mediante técnicas descriptivas.

ÁREAS QUE CONFORMAN A LA ESTADÍSTICA

Tem

a 1

. Intro

ducció

n

INFERIRINFERIR

El uso de la Estadística es muy amplio. Resulta difícil nombrar un área en la cual no se emplee.

Los métodos estadísticos han encontrado aplicación en: Gobierno Negocios Ciencias Sociales Ingeniería Ciencias Física y Naturales Control de Calidad Procesos de Manufactura Muchos otros campos de la actividad intelectual.

ÁREAS DE APLICACIÓN DE LA ESTADÍSTICA

Tem

a 1

. Intro

ducció

n

Población: es la colección de todas las posibles mediciones u observaciones que pueden hacerse de una variable bajo estudio.

CONCEPTOS DE POBLACIÓN Y MUESTRA

Tem

a 1

. Intro

ducció

n

Se clasifica en dos categorías: Finita: es aquella que incluye una cantidad limitada contable de

observaciones, individuos o medidas. Siempre que sea posible alcanzar (contar) el número total de todas las posibles mediciones, se considera como finita la población.

Tem

a 1

. Intro

ducció

n

Infinita: es aquella que incluye un gran conjunto de observaciones o mediciones que no pueden alcanzarse por conteo. Al menos, hipotéticamente, no existe límite en cuanto al número de observaciones que el experimento puede generar.

Tem

a 1

. Intro

ducció

n

Muestra: es un conjunto de mediciones u observaciones tomadas

a partir de una población. es un subconjunto de la población.


Tem

a 1

. Intro

ducció

n

Muestra aleatoria: se considera aleatoria siempre y cuando cada observación, medición o individuo de la población tenga la misma probabilidad de ser seleccionado.


Variables: son las características o lo que se estudia de cada individuo de la

muestra. Ej: sexo, edad, peso, estatura, color de ojos, estado civil, temperatura, cantidad de nacimientos, presión, grosor, diámetro, ...

Datos: son los valores que toma la variable en cada caso.

TIPOS DE DATOS Y ESCALAS DE MEDIDA

Cualitativos: son datos que solo toman valores asociados a las cualidades o atributos, clasificándolos en una de varias categorías, es decir, no son valores numéricos. Ej: Sexo: f/m. Hábito de fumar: Fumador/No fumador Color de ojos: negro, azul, marrón, … Religión: católica, evangélica, … Estado civil: soltero, casado, divorciado,…

TIPOS DE DATOS

Cuantitativos: provienen de variables que pueden medirse, cuantificarse o expresarse numéricamente. Ejemplos: Peso Edad Estatura Presión Humedad Intensidad de un sismo Cantidad de hermanos

TIPOS DE DATOS

Tipos de variables cuantitativas: Discretas: es aquella que solo puede tomar un número finito o

infinito numerable de valores. Ejemplo: cantidad de hermanos. Continuas: es la variable que puede tomar cualquier valor en una

escala continua. Ejemplo: cantidad de líquido contenido en un recipiente.

ESCALAS DE MEDIDA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Una vez que se ha realizado la recolección de los datos, se obtienen datos en bruto, los cuales rara vez son significativos sin una organización y tabulación.

ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS


Formas de organizar los datos: Un arreglo: es la forma más sencilla de organizar

los datos en bruto, consiste en colocar las observaciones en orden según su magnitud: ascendente o descendente.

Poco práctica cuando se tiene una gran cantidad de datos.


Una distribución de frecuencias: es un arreglo de los datos que permite expresar la frecuencia de ocurrencias de las observaciones en cada una de las clases, mostrando el patrón de la distribución de manera más significativa.

Clase Pto.Medio

fi Fi fri FRi

• La Distribución de Frecuencias:– Se recomienda su uso cuando se tienen grandes

cantidades de datos (n).– Su construcción requiere, en primer lugar, la selección

de los límites de los intervalos de clase.– Para definir la cantidad de intervalos de clase (k), se

puede usar:• La regla de Sturges: k = 1 + 3.3log(n)• k = n


La cantidad de clases no puede ser tan pequeño (menos de 5) o tan grande (más de 20), que la verdadera naturaleza de la distribución sea imposible de visualizar.

La amplitud de todas las clases deberá ser la misma. Se recomienda que sea impar y que los puntos medios tengan la misma cantidad de cifras significativas que los datos en bruto.

Los límites de las clases deben tener una cifra significativa más que los datos en bruto.


Determinar: Punto medio = (Li+Ls)/2. Frecuencia absoluta de la clase (fi).

Frecuencia acumulada de la clase (Fi)

Frecuencia relativa de la clase (fri) o(ni).: fri = fi/n

Frecuencia relativa acumulada de la clase (FRi) o(Ni).


3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.•PASOS :

•1º Se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y 48.•2º Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el número de intervalos queramos establecer. •Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 6 y 15.•En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el número hasta 50 : 5 = 10 intervalos.

CONSTRUCCIÓN DE UNA TABLA DE DATOS AGRUPADOS

c i f i F i n i N i

[ 0 , 5 ) 2 . 5 1 1 0 . 0 2 5 0 . 0 2 5

[ 5 , 1 0 ) 7 . 5 1 2 0 . 0 2 5 0 . 0 5 0

[ 1 0 , 1 5 ) 1 2 . 5 3 5 0 . 0 7 5 0 . 1 2 5

[ 1 5 , 2 0 ) 1 7 . 5 3 8 0 . 0 7 5 0 . 2 0 0

[ 2 0 , 2 5 ) 2 2 . 5 3 1 1 0 . 0 7 5 0 . 2 7 7 5

[ 2 5 , 3 0 ) 2 7 . 5 6 1 7 0 . 1 5 0 0 . 4 2 5

[ 3 0 , 3 5 ) 3 2 . 5 7 2 4 0 . 1 7 5 0 . 6 0 0

[ 3 5 , 4 0 ) 3 7 . 5 1 0 3 4 0 . 2 5 0 0 . 8 5 0

[ 4 0 , 4 5 ) 4 2 . 5 4 3 8 0 . 1 0 0 0 . 9 5 0

[ 4 5 , 5 0 ) 4 7 . 5 2 4 0 0 . 0 5 0 1

4 0

1

Los gráficos permiten visualizar en forma global y rápida el comportamiento de los datos.

Para datos cuantitativos agrupados en clases, comúnmente se utilizan tres gráficos: Histogramas. Polígono de frecuencias. Ojiva o Polígono de frecuencias acumuladas.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS


Histograma


Histograma y Polígono de Frecuencias

Ojiva


c i f i F i

[ 5 0 , 6 0 ) 5 5 8 8

[ 6 0 , 7 0 ) 6 5 1 0 1 8

[ 7 0 , 8 0 ) 7 5 1 6 3 4

[ 8 0 , 9 0 ) 8 5 1 4 4 8

[ 9 0 , 1 0 0 ) 9 5 1 0 5 8

[ 1 0 0 , 1 1 0 ) 1 1 0 5 6 3

[ 1 1 0 , 1 2 0 ) 1 1 5 2 6 5

6 5

EJEMPLOEL PESO DE 65 PERSONAS ADULTAS VIENE DADO POR LA

SIGUIENTE TABLA:

Para datos cualitativos se usan: Curvas Barras Sectores


Barras


Barras


Curvas


Sectores, torta o circular

Corresponden a valores que generalmente se ubican en la parte central de un conjunto de datos.

Forma como los datos pueden condensarse en un solo valor central alrededor del cual todos los datos muestrales se distribuyen.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O POSICIÓN

Las medidas de tendencia central más importantes son: Media: Aritmética y Aritmética ponderada. Mediana. Moda.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O POSICIÓN

Es la suma de todas las observaciones dividida entre el número total de observaciones.

Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media aritmética es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación.

Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la información de una distribución (dinero en el bolsillo) suponiendo que cada observación (persona) tendría la misma cantidad de la variable.

MEDIA ARITMÉTICA

CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA

Para datos no agrupados:

n

xX

n

ii

1

n

fmX

k

iii

1

Para datos agrupados:

Donde: mi: punto medio de la clase i fi: frecuencia absoluta de la clase i

k: cantidad de clases

Es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de observaciones, una vez que han sido ordenados en forma ascendente o descendente.

Divide al conjunto de datos en dos partes iguales.

MEDIANA

Para datos no agrupados: Si n es impar: posición donde se ubica la mediana es igual a

(n+1)/2. Si n es par: (n+1)/2 no es entero, por lo tanto la mediana será

igual al promedio de las dos posiciones centrales.

CÁLCULO DE LA MEDIANA

CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS

Datos agrupados: clase mediana es la que contiene a la observación que ocupa la posición n/2.

Cmxf

xFn

LmMdm

m

)(

)(21

1

Donde: Lm: límite inferior de la clase mediana. F(xm-1): frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase mediana. f(xm): frecuencia absoluta de la clase mediana. Cm: amplitud de la clase mediana.

Observación o clase que tiene la mayor frecuencia en un conjunto de observaciones.

Un conjunto de datos puede ser unimodal, bimodal o multimodal.

Es la única medida de tendencia central que se puede determinar para datos de tipo cualitativo.

MODA

CÁLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS

Para datos no agrupados: es simplemente la observación que más se repite.

Para datos agrupados:

CmLimMo21

1

Donde: Lim: límite inferior de la clase modal. 1: diferencia entre fi de la clase modal y la anterior. 2: diferencia entre fi de la clase modal y la posterior. Cm: amplitud de la clase modal (clase de mayor frecuencia).

RELACIÓN ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA

Cuando los datos son sesgados es mejor emplear la Md

Son valores numéricos que indican o describen la forma en que las observaciones están dispersas o diseminadas, con respecto al valor central.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN, VARIACIÓN O VARIABILIDAD.

Son importantes debido a que dos muestras de observaciones con el mismo valor central pueden tener una variabilidad muy distinta.


Rango.Varianza.Desviación Típica.Coeficiente de variación.


Rango (amplitud o recorrido):Está determinado por los dos valores extremos de

los datos muestrales, es simplemente la diferencia entre la mayor y menor observación.

Es una medida de dispersión absoluta, ya que depende solamente de los datos y permite conocer la máxima dispersión.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN: RANGO

Casi no se emplea debido a que depende únicamente de dos valores.

No proporciona una medida de variabilidad de las observaciones con respecto al centro de la distribución.

Notación: R

MEDIDAS DE DISPERSIÓN: RANGO

Es un valor numérico que mide el grado de dispersión relativa porque depende de la posición de los datos x1,x2,…,xn con respecto a la media.

Es el promedio al cuadrado de las desviaciones de cada observación con respecto a la media.

Notación: s2, 2, var(X)

MEDIDAS DE DISPERSIÓN: VARIANZA

MEDIDAS DE DISPERSIÓN: VARIANZA

Si la varianza de un conjunto de observaciones es grande se dice que los datos tiene una mayor variabilidad que un conjunto de datos que tenga un varianza menor.

21

2

2

1

2

2

xn

xs

n

xxs

n

ii

n

ii

Para datos NO

agrupados:

Para datos agrupados en una distribución de frecuencias:

MEDIDAS DE DISPERSIÓN: VARIANZA PARA DATOS AGRUPADOS

21

2

2

1

2

2

xn

fms

n

fxms

k

iii

k

iii

MEDIDAS DE DISPERSIÓN: DESVIACIÓN TÍPICA

Es la raíz cuadrada de la varianza.Notación: s, .

2ss

MEDIDAS DE DISPERSIÓN: COEFICIENTE DE VARIACIÓN

Es una medida de dispersión relativa que permite comparar el nivel de dispersión de dos muestras de variables estadísticas diferentes.

No tiene dimensiones.Notación: CV

%100x

sCV

EJEMPLOS

MODA PARA DATOS AGRUPADOS

fi

[60, 63) 5

[63, 66) 18

[66, 69) 42

[69, 72) 27

[72, 75) 8

100

Li es el límite inferior de la clase modal.

fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.

fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.

fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.

ai es la amplitud de la clase.

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana. es la semisuma de las frecuencias absolutas. Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

ai es la amplitud de la clase.

MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS

fi Fi

[60, 63) 5 5

[63, 66) 18 23

[66, 69) 42 65

[69, 72) 27 92

[72, 75) 8 100

100

100/2 = 50Clase de la mediana: [66, 69)

MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

xi fi xi · fi

[10, 20) 15 1 15

[20, 30) 25 8 200

[30,40) 35 10 350

[40, 50) 45 9 405

[50, 60 55 8 440

[60,70) 65 4 260

[70, 80) 75 2 150

42 1 820

VARIANZA PARA DATOS AGRUPADOS

xi fi xi · fi xi2 · fi

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12 250

[40, 50) 45 9 405 18 225

[50, 60 55 8 440 24 200

[60,70) 65 4 260 16 900

[70, 80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050

DESVIACIÓN TÍPICA PARA DATOS AGRUPADOS

xi fi xi · fi xi2 · fi

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12 250

[40, 50) 45 9 405 18 225

[50, 60) 55 8 440 24 200

[60,70) 65 4 260 16 900

[70, 80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050

COEFICIENTE DE VARIACION

Una distribución tiene x = 140 y σ = 28.28 y otra x = 150 y σ = 25. ¿Cuál de las dos presenta mayor dispersión?

Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre la desviación típica. Este proceso se llama tipificación.

Las puntuaciones típicas se representan por z. Las puntuaciones típicas son adimensionales, es decir, son independientes de

las unidades utilizadas. Las puntuaciones típicas se utilizan para comparar las puntuaciones

obtenidas en distintas distribuciones.

PUNTUACIONES TÍPICAS

En una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de los alumnos es 58.2 kg y el de las alumnas y 54.4 kg. Las desviaciones típicas de los dos grupos son, respectivamente, 3.1 kg y 5.1 kg. El peso de José es de 70 kg y el de Ana es 65 kg. ¿Cuál de ellos puede, dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse más grueso?

José es más grueso respecto de su grupo que Ana respecto al suyo.

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