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MATEMATICAper le quinte

di San Patrignano

LORENZO PANTIERI

Questo lavo- ro, scritto pergli alunni dellIstituto Versari-Macrelli di Cese-

na, spiega il programma di ma- tematica degli Istituti professio-nali italiani. Ringrazio i Dirigenti sco- lastici Lorenza Prati e Mauro Tosi per

aver sostenuto questo progetto, e i miei colleghi Silvia Bagnoli, Antonietta Bolo-gnesi, Francesco Cerino, Silvia Cortesi, Giulia Degli Angeli, Orlando Fiumana, Ma-

ria Chiara Garaffoni, Giuseppe Guarrasi, Gilda Mautone, Giorgia Milandri, EmanuelaMontanari, Monica Morelli, Emanuele Parini, Enrico Petroncini, Manuela Pompili, Lu-cia Sirotti, Elisabetta Turci e Carlo Zoffoli per laiuto fornito nella redazione di questolavoro, la pazienza e la precisione nei suggerimenti, la competenza e la disponibilit.Un grazie altrettanto speciale va ai miei studenti, per i consigli durante la stesuradi unopera che senza il loro contributo non avrebbe mai assunto la forma attuale:questo libro pi loro che mio. Se avete idee su argomenti da aggiungere, togliereo modificare in questo documento, o se vi dovesse capitare di notare un errore,

sia di battitura che di sostanza (ed probabile che ce ne siano parecchi, soprat-tutto del primo tipo, ma anche del secondo), mi fareste un favore comunican-

domelo, cos che io possa apportare le opportune correzioni in versionisuccessive. Mi interessano specialmente i commenti degli studenti

su quali parti di questo lavoro si potrebbero spiegare meglio. Inparticolare, se vi sembra di notare un errore matematico

anche nel vostro interesse discuterne con me per chia-rire se si tratta di unincomprensione vostra o di

uno sbaglio mio. con questo spirito cheho scritto questo lavoro: spero che

possiate studiare la matema-tica con il mio stes-

so piacere.

Lorenzo Pantieri

Matematica per gli Istituti professionaliCopyright c 2015-2018

+ lorenzo.pantieri@gmail.com

mailto:lorenzo.pantieri@gmail.com

I N D I C E

1 geometria analitica 11.1 Piano cartesiano 11.2 Punti 21.3 Segmenti 31.4 Esercizi 9

2 rette nel piano cartesiano 132.1 Funzioni lineari 132.2 Appartenenza di un punto a una retta 142.3 Punti dintersezione con gli assi 152.4 Coefficiente angolare e ordinata allorigine 162.5 Equazione della retta nel piano cartesiano 182.6 Posizione reciproca di due rette 232.7 Determinare lequazione di una retta 262.8 Esercizi 30

3 equazioni di secondo grado 453.1 Richiami sulle radici quadrate 453.2 Risoluzione delle equazioni di secondo grado 453.3 Equazioni fratte 513.4 Scomposizione dei trinomi di secondo grado 573.5 Esercizi 60

4 parabola 774.1 Appartenenza di un punto a una parabola 784.2 Disegno di parabole 794.3 Intersezioni tra retta e parabola 874.4 Esercizi 89

5 matematica per leconomia 935.1 Problemi di scelta 935.2 Problemi di costi e ricavo 965.3 Esercizi 106

6 disequazioni 1156.1 Intervalli sulla retta reale 1156.2 Diseguaglianze e disequazioni 1176.3 Principi di equivalenza 1186.4 Disequazioni lineari 119

iv indice

6.5 Disequazioni di secondo grado 1246.6 Disequazioni di grado superiore al secondo 1346.7 Disequazioni fratte 1426.8 Esercizi 149

1 G E O M E T R I A A N A L I T I C ALa geometria analitica permette di studiare per via algebrica oggetti geometrici

(come punti, segmenti e rette) e, viceversa, di rappresentare graficamente oggettialgebrici (come numeri, equazioni e sistemi lineari).

1.1 piano cartesiano

Consideriamo sul piano due rette perpendicolari, indichiamo con O il loro pun-to di intersezione, fissiamo un verso di percorrenza su ciascuna retta (convenzio-nalmente sullorizzontale da sinistra a destra, sulla verticale dal basso allalto) escegliamo un segmento arbitrario come unit di misura. Indichiamo con x laretta orizzontale, che chiamiamo asse delle ascisse, e con y la retta verticale, chechiamiamo asse delle ordinate (figura 1a).

Definizione 1. Si chiama piano cartesiano un piano con una coppia di retteorientate, perpendicolari, dotate di unit di misura.

x

y

unit

O

(a) Assi cartesiani

x

y

unit

O

A(4, 2)

(b) Un punto nel piano cartesiano

Figura 1: Piano cartesiano

2 geometria analitica

x

y

O

I quadranteII quadrante

III quadrante IV quadrante

Figura 2: Quadranti del piano cartesiano

1.2 puntiOgni punto del piano cartesiano individuato da una coppia ordinata di numeri

che ne definiscono la posizione:

la prima componente della coppia prende il nome di ascissa e individua lospostamento orizzontale (positivo o negativo) del punto rispetto allorigine

la seconda componente della coppia prende il nome di ordinata e individualo spostamento verticale (positivo o negativo) del punto rispetto lorigine

Ascissa e ordinata si dicono anche coordinate cartesiane del punto.Per esempio, il punto A rappresentato nella figura 1b ha coordinate (4, 2): il suo

spostamento rispetto allorigine di 4 unit in orizzontale e di 2 unit in verticale.Gli assi cartesiani dividono il piano in quattro quadranti, numerati come in figu-

ra 2. Il segno delle coordinate cartesiane indica univocamente in quale quadrante posizionato il punto (tabella 1).

Si hanno i seguenti casi particolari:

se lascissa zero, il punto si trova sullasse y

se lordinata zero, il punto si trova sullasse x

lorigine O ha coordinate (0, 0)

Tabella 1: Posizione di un punto nel piano cartesiano

Ascissa Ordinata Quadrante

+ + I

+ II

III

+ IV

1.3 segmenti 3

x

y

unit

O

A(3, 4)

B(2, 2)

Figura 3: Due punti nel piano cartesiano

Esercizio 1. Disegna i punti A e B di coordinate (3, 4) e (2, 2),rispettivamente.

Soluzione. La figura 3 mostra i punti A e B nel piano cartesiano: A il punto dicoordinate (3, 4) e B il punto di coordinate (2, 2).

C una una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano cartesiano e lin-sieme delle coppie ordinate di numeri reali (x, y): a ogni punto corrisponde unacoppia di numeri reali, e viceversa a ogni coppia di numeri reali corrisponde unpunto. Possiamo dunque confondere una coppia di numeri reali con il puntocorrispondente sul piano cartesiano e anzi diremo, secondo gli esempi precedenti,A il punto (3, 4), B il punto (2, 2) invece di A il punto corrispondente allacoppia (3, 4) o B il punto di coordinate (2, 2).

1.3 segmenti

Definizione 2. Un segmento la parte di retta delimitata da due suoi punti,detti estremi del segmento.

Nel piano cartesiano un segmento pu essere:

verticale, se i suoi estremi hanno la stessa ascissa

orizzontale, se i suoi estremi hanno la stessa ordinata

obliquo, se i suoi estremi non hanno n la stessa ascissa n la stessa ordinata

4 geometria analitica

Per esempio, nella figura 4:

il segmento AB verticale, perch lascissa dei suoi estremi A e B la stessa

il segmento CD orizzontale, perch lordinata dei suoi estremi C e D lastessa

il segmento EF, invece, obliquo

Lunghezza di un segmento

Definizione 3. La lunghezza di un segmento la distanza tra i suoi estremi.

Vogliamo determinare la lunghezza AB di un segmento AB, posto in un pianocartesiano, conoscendo le coordinate dei suoi estremi A e B.

Segmenti verticali

Se il segmento AB verticale, posto A = (xA, yA) e B = (xB, yB), la lunghezzaAB del segmento data dalla formula

AB = |yB yA| (1)

dove |yB yA| il valore assoluto delle differenza yB yA.

x

y

unit

O

A(2, 2)

B(2, 5)

C(2, 1) D(6, 1)

E(3, 3)

F(6, 5)

Figura 4: Il segmento AB verticale, il segmento CD orizzontale, il segmento EF obliquo

1.3 segmenti 5

x

y

unit

O

A(2, 7)

B(2, 3)

(a)

x

y

unit

O

B(2, 4)

A(2,1)

(b)

Figura 5: Lunghezza di un segmento verticale

Esercizio 2. Determina la lunghezza del segmento di estremi A(2, 7)e B(2, 3).

Soluzione. Il segmento AB rappresentato nella figura 5a. Applichiamo la formu-la 1 con yB = 3 e yA = 7:

AB = |yB yA| = |3 7| = |4| = 4

Esercizio 3. Determina la lunghezza del segmento di estremi A(2,1)e B(2, 4).

Soluzione. Il segmento AB rappresentato nella figura 5b. Applichiamo la formu-la 1 con yB = 4 e yA = 1:

AB = |yB yA| = |4 (1)| = |5| = 5

Segmenti orizzontali

Se il segmento AB orizzontale, posto A = (xA, yA) e B = (xB, yB), la lunghez-za AB del segmento data dalla formula

AB = |xB xA| (2)

6 geometria analitica

x

y

unit

O

A(1, 4) B(5, 4)

(a)

x

y

unit

O

A(4, 2)B(3, 2)

(b)

Figura 6: Lunghezza di un segmento orizzontale

Esercizio 4. Determina la lunghezza del segmento di estremi A(1, 4)e B(5, 4).

Soluzione. Il segmento AB rappresentato nella figura 6a. Applichiamo la formu-la 2, con xB = 5 e xA = 1:

AB = |xB xA| = |5 1| = |4| = 4

Esercizio 5. Determina la lunghezza del segmento di estremi A(4, 2)e B(3, 2).

Soluzione. Il segmento AB rappresentato nella figura 6b. Applichiamo la formu-la 2 con xB = 3 e xA = 4:

AB = |xB xA| = |3 4| = |7| = 7

Segmenti obliqui

Se il segmento AB obliquo, posto A = (xA, yA) e B = (xB, yB), la lunghezzaAB del segmento data dalla formula

AB =(xB xA)2 + (yB yA)2 (3)

1.3 segmenti 7

x

y

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