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MATEMÁTICA – GEOMETRIA I
Natália Rodrigues – Pirâmides e Cones
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PIRÂMIDES
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PIRÂMIDES
Uma pirâmide é um sólido geométrico, cuja base é um polígono e
cujas faces laterais são triângulos que possuem um vértice comum.
A altura da pirâmide é um segmento perpendicular à base e que
passa por V (vértice).
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PIRÂMIDES
Condições para que uma pirâmide seja REGULAR:
a) A base da pirâmide é um polígono regular;
b) A projeção ortogonal do vértice P coincide com o centro do polígono (reta).
Pirâmide Pentagonal
Regular
Base (Pentágono Regular)
Toda pirâmide que não-reta é irregular e a chamamos de OBLÍQUA.
Pirâmide Pentagonal
Irregular Oblíqua
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Caso especial de pirâmide: TETRAEDRO REGULAR
A base é um triângulo equilátero, assim como as suas faces laterais
Note que nesse caso qualquer uma das faces pode ser tomada como
base.
PIRÂMIDES
Pirâmide triangular regular (tetraedro)
Planificação tetraedro
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APÓTEMA
PIRÂMIDES
Em um polígono, o segmento de reta que partindo do centro geométrico
da figura é perpendicular a um dos seus lados é chamado de apótema. O
conceito se aplica apenas a figuras regulares. Em uma pirâmide regular, o
apótema da pirâmide diz respeito à altura do triângulo da lateral.
apb
Apótema da base (apb)_
Apótema da pirâmide (ap)
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VOLUME DE UMA PIRÂMIDE
PIRÂMIDES
Vprisma
3 = Vpirâmide =
Ab.h3
Um prisma qualquer pode sempre ser divido em três pirâmides de
mesmo volume.
A fórmula pode ser aplicada para qualquer tipo de pirâmide!
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TRONCO DE PIRÂMIDE
PIRÂMIDES
Quando cortamos uma pirâmide com um plano paralelo à base obtemos
duas estruturas: uma pirâmide em miniatura, semelhante à original e uma
outra parte, dita tronco de pirâmide.
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VOLUME TRONCO DE PIRÂMIDE
PIRÂMIDES
VT = Volume do tronco
h = Altura do tronco
AB = Área da base maior
Ab = Área da base menor
Um tronco de pirâmide tem como bases duas regiões quadradas de lados
5 cm e 12 cm. A altura do tronco é 8 cm. Vamos calcular o volume desse
tronco.
𝑉𝑇 = 13 .8.[52 + 52.122 + 122] → 𝑉𝑇 = 610,6 𝑐𝑚3
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VOLUME TRONCO DE PIRÂMIDE
PIRÂMIDES
Resolvendo de outra forma:
Temos que h = d + 8 e que a razão de semelhança
entre as duas pirâmides semelhantes é:
Logo, o volume da pirâmide original é: E o volume da miniatura é de:
O volume do tronco é a diferença desses dois volumes:
𝑉𝑇 = 1832
3→ 𝑉𝑇 = 610,6 𝑐𝑚3
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CONES
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Considerando um plano α, um circulo de centro O e raio R contido em α e
um ponto V fora dele:
CONES
Chama-se cone circular o sólido determinado pela reunião de todos os
segmentos com uma extremidade em V e outra no circulo (geratrizes).
Eixo
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Classificação
CONES
Cone reto: Quando o eixo VO é perpendicular à base.
Todo cone reto é um cone de revolução (formado a
partir da rotação de um triângulo retângulo em torno de
um dos seus catetos). Nessa caso, vale que g2 = R2 + h2.
Cone Equilátero
Quando a geratriz de um cone possui a mesma medida
que o diâmetro do círculo da base, dizemos que o cone é
equilátero. Isso significa que a área de secção meridiana
do cone será um triângulo equilátero.
Cone Oblíquo: Quando o eixo VO não é perpendicular à base.
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ÁREAS DO CONE
CONES
Área da base
g g
2πR (R é o raio da base)
Ab = πr2
Área lateral
L = r.Ɵ (comprimento de um arco)
2πR = g.Ɵ Ɵ = 2πrg
2π πg2
2πrg
Al
Al = πrg 2πAl = 2πrg . πg2
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VOLUME DO CONE
CONES
Volume do cone = Volume das pirâmides
Vcone = Ab.h
3=
πr2h3
TRONCO DE CONE
Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base
circular, a uma determinada altura, teremos a constituição de uma nova
figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone.
Área Superficial
As = πg(R+r)
Volume
V = πh3
(r2 + rR + R2)
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TRONCO DE CONE
CONES
Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base
circular, a uma determinada altura, teremos a constituição de uma nova
figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone.
Área Superficial
As = πg(R+r)
Volume
V = πh3
(r2 + rR + R2)
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Novo horário de aulas
Segunda-feira
1ª e 2ª aula
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