matemática - conjunto dos números.pdf
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1
= {0, 1, 2, ...} = Conjunto dos Nmeros Naturais + =
* = -{0} * = Conjunto dos Nmeros Naturais diferentes de Zero
= {-2, -1, 0, 1, 2, ...} = Conjunto dos Nmeros Inteiros
* = -{0} * = Conjunto dos Nmeros Inteiros No Nulos ou diferente de Zero
+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} + = Conjunto dos Nmeros Inteiros No Negativos
- = {0, -1, -2, ...} - = Conjunto dos Nmeros Inteiros No Positivos
*- = {-1, -2, -3, ...} *- = Conjunto dos Nmeros Inteiros Negativos
*+ = {1, 2, 3, 4, ...} *+ = Conjunto dos Nmeros Inteiros Positivos
= {
,
, ,
, ...} = Conjunto dos Nmeros Racionais ou Fracionrios
I = { , , , ...}
I = Conjunto dos Nmeros Irracionais Possuem uma representao decimal infinita e no-peridica
= 1,4142135 ... = 1,7320508 ...
-
2
Pertence Equivalente / Congruente
No Pertence Somatrio
Est Contido Adio
No Est Contido + Subtrao
Contm Multiplicao
No Contm Diviso
Existe Mais ou Menos
No Existe Diferente
Unio = Igual
Interseco Aproximadamente
Para todo e qualquer que seja Pi
| | Mdulo Perpendicular
/ Tal que () Derivada
Conjunto Vazio { } Conjunto Vazio
Menor ou Igual Maior ou Igual
< Menor que > Maior que
[ ] Colchetes { } Chaves
Proposio Lgica OU Proposio Lgica E
Conectivo Condicional Se ..., ento ...
Implica que Se ..., ento ...
Conectivo Bicondicional Se, e somente se
Equivalncia Se, e somente se
Negao
Proposio Lgica Infinito
-
3
Subconjunto de , que Subconjunto de que Subconjunto de
I I est contido em
I I est contido em
contm
I = unio com I, corresponde a
I = interseco com I, corresponde a vazio
I = I corresponde a , subtrado de
Inteiros positivos
Inteiros negativos
( ) = ( I) =
= =
-
4
SUBCONJUNTO DE Z
Conjunto dos nmeros inteiros maiores que -4:
a) Pela Nomeao dos seus elementos: {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
b) Simbolicamente: {x / x >-4}
A = {0, 1, 2, 3}
B = {1, 3, 4, 5}
0 A, 1 A, 2 A, 3 A
{2} A, {0, 1} A, {3} A, { } A
1 A, 2 A, 3 A
B A ou A B
0 subconjunto de qualquer conjunto
{0, 1} = Subconjunto
{1} = Subconjunto
Todo conjunto subconjunto de si mesmo (A A ou A A)
Conjunto vazio { } est contido em qualquer conjunto.
Diz-se que A em B se no houver elemento de A que no pertena a B. Se o conjunto A vazio, no existe elemento dele que esteja fora de
qualquer outro conjunto. Logo, o conjunto vazio est contido em qualquer
conjunto.
______________________________________
A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} A B = {1, 3}
A B = {0, 2}
B A = {4, 5}
C A = { }
B
0
1
1
1
3
4
5
0
2
3
0
1
2
3
-
5
______________________________________
CORRESPONDNCIA BIUNVOCA:
Dois conjuntos esto em CORRESPONDNCIA BIUNVOCA quando cada
elemento de A corresponde a um nico elemento de B e vice-versa.
______________________________________
MDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NMERO INTEIRO
o prprio nmero, sem ser levado em considerao o sinal + ou
|+3|= 3 |+5| = 5
______________________________________
NUMEROS INTEIROS OPOSTOS OU SIMTRICOS
So Nmeros que possuem o mesmo mdulo e sinais contrrios.
+5 e 5 +9 e 9 7 e + 7
______________________________________
POTENCIAO
(3)2 32 +9 9
= | |
+
. m
. n
. o
1 .
2 .
3 .
-
6
POTNCIAS EM Z PROPRIEDADE
1) PRODUTOS DE POTNCIAS DE MESMA BASE
Repete-se a base e somam-se os expoentes.
a) (5)2 x (5)4 = (5)2+4 = (5)6
b) (2)4 x (2)x (2)3 = (2)4+1+3 = (2)8
______________________________________ 2) QUOCIENTE DE POTNCIAS DE MESMA BASE
Repete-se a base e subtraem-se os expoentes.
a) (3)6 (3)4 = (3)64 = (3)2
b) (+4)3 (+4) = (+4)31 = (+4)2
c) (2)3 (2)8 (2)3 = (2)38(3) = (2)2
______________________________________ 3) POTNCIA DE POTNCIA
Repete-se a base e Multiplica-se os expoentes.
) [(+7)2]3 = (+7)6
) [(8)4]2 = (8)8
______________________________________ 4) POTNCIA DE UMA PRODUTO OU QUOCIENTE:
Repetem-se as bases com as operaes indicadas e eleva-se cada termo
potncia constante.
) [(3) x (5)]4 = (3)4 x (5)4
) [(4) (+2)]3 = (4)3 (+2)3
-
7
MLTIPLOS
Um nmero mltiplo de outro quando a diviso por esse nmero exata.
Assim, 15 Mltiplo de 3 e 5.
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...}
M(7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, ...}
______________________________________ DIVISOR
Um nmero divisor de outro quando divide esse outro exatamente, ou seja,
sem deixar resto, e, se ele divisor de outro, o outro mltiplo dele.
Assim, 5 divisor de 10 e 10 Mltiplo de 5
D(4) = {1, 2, 4}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
______________________________________
OBSERVAES
Os divisores de um nmero formam sempre um conjunto finito.
D(5) = {1, 3, 5, 15}
1 divisor de todo nmero.
O maior divisor de um nmero o prprio nmero.
Todo nmero tem uma infinidade de Mltiplos.
1 divisor de todos os nmeros e o seu menor divisor.
Com exceo do 0, o menor mltiplo de um nmero o prprio nmero.
0 mltiplo de todo nmero.
0 no Divisor de nenhum nmero, mas Mltiplo de todos eles, e tambm o seu menor Mltiplo.
O maior divisor de um nmero ele prprio.
O maior mltiplo de um nmero infinito.
Qualquer nmero, com exceo do zero, ao mesmo tempo, mltiplo e divisor de si mesmo.
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8
DIVISIBILIDADE
2 Quando for par
3 Quando a soma do nmero mltiplo de 3
Ex: 966, 375, 462, 159, 522...
4 Quando os 2 ltimos nmeros forem mltiplos de 4 ou terminarem em 00
Ex: 224, 300, 116, 220, 356, 192...
5 Quando terminarem em 0 ou 5
6 Quando for divisvel por 2 ou por 3 ao mesmo tempo
7 Quando a diferena entre o dobro do ltimo algarismo e o nmero formado pelos demais algarismo resulta em um nmero divisvel por 7
8 Quando seus trs ltimos algarismos forem 000 ou formarem um nmero divisvel por 8
9 Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos forma um nmero divisvel por 9
Ex: 108, 189, 873, 261, 387...
10 Quando terminar em zero
11 Quando a diferena entre a soma dos algarismos de posio mpar e a soma dos algarismos de posio par resulta em um nmero divisvel por 11
12 Quando divisvel por 3 e por 4
15 Quando divisvel por 3 e por 5
______________________________________
Verificar se o nmero 41909 divisvel por 7
41909 9 x 2 = 18 2 x 2 = 4 3 x 2 = 6
4190 18 417 4 41 6
4172 413 35
41909 divisvel por 7, pois 35 tambm divisvel por 7
______________________________________ Verificar se o nmero 43813 divisvel por 11
43813 Soma dos nmeros de posio mpar
43813 Soma dos nmeros de posio Par
15 4 = 11, portanto 43813 divisvel por 11
4 + 8 + 3 = 15
3 + 1 = 4
-
9
NMEROS PRIMOS
Um nmero primo quando possui 2 divisores: a unidade e ele mesmo.
D(2) = {1, 2} D(5) = {1, 5} D(23) = {1, 2, 3}
______________________________________ NUMEROS PRIMOS MENORES QUE 100
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 , 97
1 no primo nem composto.
______________________________________
RECONHECIMENTO DE UM NMERO PRIMO
Divide-se o nmero por 2, 3, 5, 7, ... Se a diviso no for exata at que o quociente fique
menor que o divisor, o nmero primo. Se a diviso for exata, o nmero composto.
______________________________________ a) O nmero 157 Primo?
______________________________________
b) O nmero 161 primo?
O nmero 161 composto, pois a ltima diviso foi exata.
primo, pois o quociente (12)
da ltima diviso menor que
o divisor (13) e nenhuma das
divises exata.
-
10
NMEROS MLTIPLOS OU COMPOSTOS
Possuem outros divisores alm da unidade e deles mesmos.
D(4) = {1, 2, 4} D(6) = {1, 2, 3, 6}
______________________________________
DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS - FORMA FATORADA
______________________________________
Determinar o conjunto dos divisores de um nmero
a) Decompe-se o nmero em fatores primos.
b) Coloca-se outro trao vertical direita da decomposio e escreve-se o
nmero 1 que divisor de todos os nmeros, direita de um novo trao e acima
do primeiro fator.
c) Multiplica-se o primeiro fator primo pelo divisor 1 e coloca-se o produto obtido
na linha correspondente a 2.
d) Multiplicam-se os demais fatores pelos divisores que estiverem direita do
trao vertical e acima desses fatores. Os produtos repetidos so eliminados.
() = {, , , , , , , , , , , }
-
11
MXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)
Divisor comum o nmero que divide dois ou mais nmeros sem deixar resto.
O Mximo Divisor Comum de dois ou mais nmeros o maior dos seus divisores
comuns.
D(45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45}
D(63) = {1, 3, 7, 9, 21, 63}
Divisores comuns de 45 e 63
D(45) U D(63) = {1 ,3 ,9}
m.d.c. (45, 63) = 9
______________________________________ PROCESSOS PRTICOS DE CLCULO DO M.D.C.
1) MDC PELA DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS
O m.d.c. o produto dos fatores primos comuns elevados ao menor expoente.
m.d.c. (60, 264, 504)
60 = 22 x 3 x 5
264 = 23 x 3 x 11
504 = 23 x 32 x 7
Fatores Primos Comuns so 2 e 3.
O Maior expoente do fator 2 2 e do fator 3 1
m.d.c. (60, 264, 504) = =
-
12
2) MDC PELAS DIVISES SUCESSIVAS:
Divide-se o nmero maior pelo menor. Em seguida, divide-se o nmero menor
pelo 1 resto. Depois divide-se o 1 resto pelo 2 resto e assim sucessivamente
at se encontrar uma diviso exata. O ltimo divisor o m.d.c.
Calcular o m.d.c. (25, 60)
Faz-se as divises sucessivas usando o dispositivo abaixo, chamado
ALGORITIMO DE EUCLIDES, onde os quocientes so colocados por cima dos
respectivos divisores.
______________________________________ OBSERVAES:
Quando o m.d.c. de 2 ou mais nmeros igual a 1, os nmeros so denominados primos entre si.
O m.d.c. de 2 nmeros, em que um mltiplo do outro, o menor deles.
O m.m.c. de 2 nmeros, onde um mltiplo do outro, o maior deles.
O m.m.c. entre dois nmeros em que o maior divisvel pelo menor, o maior deles.
. . . (, ) =
______________________________________
Se vrios nmeros forem multiplicados ou divididos por um certo nmero diferente de zero, o seu m.m.c., tambm ficar multiplicado ou dividido por
esse nmero.
Ento, sendo m.m.c. (18, 12, 60) = 180
Podemos dizer que:
m. m. c. (18 x 3, 12 x 3, 60 x 3) =
m. m. c. (18
3,12
3,60
3 ) =
-
13
O m.m.c. de 2 ou mais nmeros primos entre si o produto deles.
. . . ( , , ) =
______________________________________
O produto do m.d.c. pelo m.m.c. de 2 nmeros naturais diferente de zero igual ao produto deles.
Ento, se m.d.c. (12, 30) = 6 e m.m.c. (12, 30) = 60
. . . (, ) . . . (, ) =
=
=
______________________________________
Dividindo o m.m.c. de vrios nmeros por todos eles, um por vez, os
quocientes obtidos sero nmeros primos entre si.
. . . (, , ) =
=
=
=
Onde os nmeros 15, 10 e 3 so primos entre si, pois admitem s a
unidade como denominador comum.
______________________________________ MNIMO MLTIPLO COMUM
O m.m.c. de dois ou mais nmeros o menor nmero # 0, que divisvel por
todos eles ao mesmo tempo. Na determinao do m.m.c., o zero excludo.
m.m.c. (3, 6)
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...}
M(6) = {0, 6, 12, 187, 24, 30, 36, 42, ...}
O Conjunto de interseco nos fornece os mltiplos comuns:
M(3) M(6) = {0, 6,12, 18, 24, 30, ...}
O Menor desse conjunto o 6 e chama-se m.m.c., que indicado assim:
. . . (, ) =
-
14
PROCESSOS PRTICOS PARA CLCULO DO M.M.C.
1) DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS:
Multiplicam-se todos os fatores primos comuns e no comuns, elevados aos
seus maiores expoentes.
Calcular o m. m. c. (36, 90, 120)
36 = 22 x 32
90 = 2 x 32 x 5
120 = 23 x 32 x 5
Os fatores primos comuns e no comuns so 2, 3, 5.
O maior expoente do fator 2 3 e do fator 3 2.
. . . (, , ) = =
______________________________________ 2) CLCULO DO M.M.C. PELA DECOMPOSIO SIMULTNEA EM
FATORES PRIMOS:
Decompem-se, ao mesmo tempo, todos os nmeros em fatores primos.
O m.m.c. o produto de todos os fatores primos obtidos.
-
15
NMEROS FRACIONRIOS (RACIONAIS)
Tipos de Fraes: Prprias, Imprprias e Aparentes.
FRAO PRPRIA:
O numerador menor que o denominador e so todos maiores que a unidade.
Ex: 2
3 ,
3
4 ,
7
8,
11
25
FRAO IMPRPRIA:
O numerador maior que o denominador e so todos maiores que a unidade.
Ex: 4
3 ,
7
5 ,
9
8 ,
17
15 ,
37
2
FRAO APARENTE:
O Numerador igual ou mltiplo do denominador e todas representam nmeros
naturais que se obtm dividindo o numerador pelo denominador.
Ex: 5
5= 1 ,
8
4= 2,
15
3= 5
FRAO DECIMAL:
O denominador 10, 100,1000...
Ex: 1
10,
2
100,
3
1000
NMERO MISTO:
A soma de um nmero inteiro com uma frao prpria chama-se nmero inteiro
ou frao mista.
Ex: 3 + 1
4
31
4
Transformao de um nmero misto em frao imprpria:
Multiplica-se o inteiro pelo denominador, e ao produto soma-se o numerador,
obtendo, assim, o numerador da frao procurada. O denominador conservado
o mesmo.
Ex: 45
7=
4 7+5
7=
33
7
-
16
Transformao de Fraes Imprprias em nmeros mistos
Extrao de Inteiros:
Divide-se o numerador pelo denominador. O quociente a parte inteira, o resto
o numerador da parte fracionria e o divisor o denominador da frao prpria.
Ex: 43
8 5
3
8
FRAES EQUIVALENTES:
So duas ou mais fraes que representam a mesma parte do inteiro.
Ex: 1
3 ,
2
6 ,
3
9
RAZO:
Razo entre dois nmeros racionais a e b, com b # 0, o quociente de a e b
, a = antecedente e b = consequente
RAZES INVERSAS:
So duas razes em que o antecedente de uma o consequente da outra.
Ex: 3
5 ,
5
3 O Seu produto sempre igual a 1
RAZES IGUAIS:
6
9
18
27
Em 2 razes iguais, os produtos dos antecedentes de uma pelo consequente da
outra so sempre iguais.
Ex: 6
9 ,
18
27 6 27 = 18 9
162 = 162
43 8
3 5
-
17
ESCALA:
Razo especial usada na representao de mapas, maquetes, plantas de
construes, etc.
Escala =
PROPORO:
Proporo uma igualdade de duas razes
=
ou a : b = c : d ou a : b : : c : d
a est para b assim como c est para d;
a o 1 termo, b o 2 termo, c o 3 termo e d o 4 termo;
a e d so os extremos e b e c so os meios;
a e c so os antecedentes e b e d so os consequentes.
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORES:
Em toda proporo a : b : : c : d, o produto dos meios (b c) sempre igual ao produto dos extremos (a d).
6
8=
15
20
8 15 = 6 20 8 15 = Produto dos Meios
120 = 120 6 20 = Produto dos Extremos
QUARTA PROPORCIONAL:
Se quatro nmeros, como por exemplo: 9, 4, 18 e 8, formam, nessa ordem, uma
proporo, diz-se que o quarto nmero (8) a quarta proporcional dos nmeros
9, 4 e 18.
Calcular a quarta proporcional dos nmeros 3, 6 e 16.
3
6=
16
3 = 96
= 32
-
18
PROPORO CONTNUA:
aquela que tem ou os meios ou os extremos iguais.
Ex: 36
12=
12
4
9
3=
27
9
MDIA PROPORCIONAL OU GEOMTRICA:
o meio ou o extremo igual de uma proporo contnua.
Ex: 6
12=
12
4
9
3=
27
9
12 a mdia proporcional ou geomtrica de 36 e 04.
09 a mdia proporcional ou geomtrica de 03 e 27.
Quando se quer calcular a mdia geomtrica de dois nmeros, basta
formarmos com eles uma proporo contnua, onde os nmeros dados
figurem ou como meios ou como extremos, resolvendo-se a proporo
obtida, em seguida.
Calcule a mdia proporcional dos nmeros 20 e 5.
20
=
5
2 = 100
= 10 A Mdia Proporcional ou Geomtrica de dois nmeros igual Raiz
Quadrada do Produto desses nmeros.
TERCEIRA PROPORCIONAL:
o quarto termos de um proporo contnua. Se numa Proporo Contnua
ocorrer: 2
10=
10
, vemos que x o terceiro elemento diferente, que com os
outros dois (2 e 10) formam uma proporo contnua. Diz-se, ento, que x a
Terceira Proporcional dos nmeros 2 e 10, e pode-se concluir que, para
calcular a Terceira Proporcional de dois nmeros a e b, basta formar com eles,
nessa ordem, uma Proporo Contnua, onde b o meio igual, ou seja:
=
-
19
Ex: Calcular a Terceira Proporcional dos nmeros 16 e 8.
16
8=
8
16 = 64
= 4
Ex: Calcular a Terceira Proporcional dos nmeros 3
4
2
3
3423
=
23
3
4=
4
9
27 = 16
= 16
27
PROPRIEDADE DAS PROPORES:
1) Propriedade da Soma dos Termos:
Em qualquer proporo, a soma dos dois primeiros termos est para o primeiro
(ou para o segundo), assim como a soma dos dois ltimos est para o terceiro
(ou para o quarto).
=
, temos 1)
+
=
+
ou 2)
+
=
+
2) Propriedade da Diferena dos Termos:
Em qualquer proporo, a diferena dos dois primeiros termos est para o
primeiro (ou para o segundo), assim como a diferena dos dois ltimos
termos est para o terceiro (ou para o quarto).
=
, temos 1)
=
ou 2)
=
Aplicao: Calcular dois termos de uma proporo, desde que sejam
conhecidos ou a sua soma ou a sua diferena.
-
20
3) Propriedade da Soma dos Antecedentes e dos Consequentes:
Em qualquer proporo, a soma dos antecedentes est para a soma dos
consequentes, assim como cada antecedente est para o seu consequente.
=
, temos 1)
+
+=
ou 2)
+
+ =
4) Propriedade da Diferena dos Antecedentes e dos Consequentes:
Em qualquer proporo, a diferena dos antecedentes est para a diferena
dos consequentes, assim como cada antecedente est para o seu
consequente.
=
, temos 1)
=
ou 2)
=
Aplicao: Clculo de dois antecedentes ou dois consequentes de uma
proporo, desde que sem conhecidos ou a sua soma ou a sua diferena.
5) Propriedade do Produto dos Antecedentes e dos Consequentes:
Em qualquer produto, o produto dos antecedentes est para o produto dos
consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente est para o
quadrado do seu consequente.
=
, temos 1)
=
ou 2)
=
Consequncia: Em qualquer proporo, os quadrados de seus termos
tambm formam uma proporo.
=
=
Aplicao: Clculo de dois termos de uma proporo, desde que seja
conhecido seu produto ou o quadrado de seus termos.
SRIE DE RAZES IGUAIS (PROPORO MLTIPLA):
Se as razes
=
=
, forem todas iguais, pode-se escrever:
=
=
, formando uma srie de razes iguais que so chamadas de
propores mltiplas, nas quais valem tambm as propriedades da soma (ou
diferena) dos antecedentes e dos consequentes, ou seja:
-
21
Em qualquer proporo mltipla, a soma (ou diferena) dos antecedentes
est para a soma (ou diferena) dos consequentes, assim como cada
antecedente est para o seu consequente.
Calcular a, b e c em
32=
8=
20 , sabendo-se que a b + c = 33.
Aplicando a propriedade da soma (ou diferena) dos antecedentes e
consequentes, vem:
=
=
+
+=
33
44=
32 44 = 1056 = 24
33
44=
8 44 = 264 = 6
33
44=
20 44 = 660 = 15
Calcular os termos desconhecidos em:
a) {
4=
12=
20
+ + = 27
++
4+12+20=
27
36
4=
3
4 = 3
++
4+12+20=
3
4
12=
3
4 = 9
20=
3
4 = 15
b) {
10=
4=
6
+ = 20
+
10+46=
20
8
10=
5
2 = 25
+
10+46=
5
2
4=
5
2 = 10
6=
5
2 = 15
-
22
c) {
18=
6=
9
= 7
1869=
7
3
18=
7
3 = 42
6=
7
3 = 14
9=
7
3 = 21
NMEROS PROPORCIONAIS
NMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Sejam os conjuntos A e B de nmeros racionais que esto em correspondncia
biunvoca (mesma quantidade de elementos):
A = {2, 5, 8, 11) e B = {6, 15, 24, 33}
Formando as razes entre os elementos correspondentes de A e B, temos:
,
,
,
, onde
=
,
=
,
=
,
=
,
Ou seja, essas razes so constantes e todas iguais a
, donde se pode
escrever:
=
=
=
=
Diz-se que os elementos dos conjuntos A e B so diretamente proporcionais
ou simplesmente proporcionais e conclui-se que:
Duas sucesses de nmeros so diretamente proporcionais quando as
razes constantes entre um elemento qualquer da primeira e o seu
correspondente na segunda sucesso so constantes (iguais).
A razo constante que existe entre os dois conjuntos chama-se Fator de
Proporcionalidade ou Coeficiente de Proporcionalidade.
-
23
Calcular os valores de a, b e c dos conjuntos de nmeros diretamente
proporcionais:
A = {2, b, 4 e 7} e B = {a, 9, c, 21}
,
,
,
=
Coeficiente de Proporcionalidade
=
=
=
= = c =
Diviso de um Nmero em Partes Diretamente Proporcionais
1) Dividir o nmero 180 em partes diretamente proporcionais a 3, 4 e 11.
Representar os nmeros por a, b e c
Considerar as sucesses (a, b, c) e (3, 4, 11) como diretamente
proporcionais.
{ + + = 180
3
=4
=
11
Clculo do coeficiente de proporcionalidade
3=
4=
11
3= 10 =
++
3+4+11=
180
18=
4= 10 =
11= 10 =
-
24
2) Dividir o nmero 372 em partes diretamente proporcionais a 1
2 ,
1
3
1
5
{
+ + = 37212
=13
=15
Como uma proporcionalidade no se altera quando multiplica todos os nmeros
do conjunto por um mesmo nmero, pode-se ento reduzir as fraes ao
mesmo denominador e desprezar, em seguida, o denominador, a fim de que
as partes sejam substitudas por nmeros inteiros.
++1
2+
1
3+
1
5
=++15+10+6
30
*Despreza-se o denominador
O problema agora consiste em dividir 372 em partes diretamente
proporcionais a 15, 10 e 6.
{ + + = 372
15
=
10=
6
++
15+10+6=
372
31= 12
12 o Coeficiente de Proporcionalidade
15= 12
10= 12
6= 12
= 180 = 120 = 72
-
25
1) Dividir o nmero 183 em partes diretamente proporcionais a 1
3 ,
1
4 ,
1
7
{
+ + = 18313
=14
=17
13
=
14
=
17
++1
3+
1
4+
1
7
=++
28+21+12
84
*Despreza-se o denominador
{ + + = 372
28
=
21=
12
++28+21+12
84
=183
61= 3
3 o coeficiente de proporcionalidade
28=
21=
12
28= 3
21= 3
12= 3
= = =
-
26
Nmeros Inversamente Proporcionais
Sejam os conjuntos C e D de nmeros racionais que tambm esto em
correspondncia biunvoca:
C = {1, 3, 5, 10} e D = {60, 20, 12, 6}
Calculando os produtos entre os nmeros do conjunto C e os correspondentes
do conjunto D, temos: 1 60; 3 20; 5 12; 10 6, v-se que esses produtos so constantes e todos iguais a 60, donde se pode escrever:
1 60 = 3 20 = 5 12 = 10 6 =
Diz-se ento que os elementos dos conjuntos C e D so inversamente
proporcionais e conclui-se que:
Duas sucesses de nmeros so inversamente proporcionais quando os
produtos entre um elemento qualquer da primeira pelos correspondentes
na segunda sucesso so constantes (iguais).
Esses produtos iguais chamam-se tambm fator de proporcionalidade
ou Coeficiente de Proporcionalidade.
Determinar os valores de a, b e c dos conjuntos de nmeros inversamente
proporcionais:
A = {3, 4, b, 10} e D = {40, a, 20, c}
Como so inversamente proporcionais os dois conjuntos forma-se os
produtos iguais entre os elementos correspondentes de A e B;
3 40 = 4 = 20 = 10
3 40 =
120 = Coeficiente de Proporcionalidade
4 = 120 20 = 120 10 = 120
= = =
-
27
Diviso de um nmero em partes inversamente proporcionais:
Dividir um nmero em partes inversamente proporcionais a nmeros dados,
significa dividi-lo em partes diretamente proporcionais aos inversos dos
nmeros dados.
1) Dividir o nmero 18 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 6.
O problema consiste em dividir 18 partes diretamente proporcionais aos inversos
de 2, 3 e 6.
{
+ + = 1812
=13
=16
++1
2+
1
3+
1
6
=++3+2+1
6
=18
6= 3
3=
2=
1
3= 3
2= 3 =
= =
Dividir o nmero 200 em partes inversamente proporcionais a 1
3
1
5 .
Dividir 200 em partes inversamente proporcionais aos inversos de 1
3
1
5.
{ + = 200
3
=5
3=
5
+
3+5=
200
8= 25
3= 25
5= 25
= =
-
28
REGRA DE SOCIEDADE
uma aplicao de diviso em partes diretamente proporcionais e
destacam-se trs casos:
1) TEMPOS IGUAIS E CAPITAIS DIFERENTES:
Divide-se o lucro ou prejuzo da sociedade proporcionalmente aos capitais
dos scios.
Quatro pessoas formam uma sociedade com os capitais R$ 100.000,00, R$
120.000,00, R$ 150.000,00 e R$ 200.000,00, respectivamente. No fim de certo
tempo, a sociedade apresentou um lucro de R$ 2.850.000,00. Quanto coube a
cada scio?
Chamamos os scios a, b, c e d, respectivamente, formando o sistema e
aplicando a diviso em partes proporcionais, temos:
{
100=
120=
150=
200
+ + + = 2850
+++
100+120+150+200=
2850
570= 5
100= 5
120= 5
150= 5
200= 5
= = = =
Cada scio recebeu, respectivamente, R$ 500.000,00; R$ 600.000,00; R$
750.000,00 e R$ 1.000.000,00
-
29
2) CAPITAIS IGUAIS E TEMPOS DIFERENTES:
Divide-se o lucro ou o prejuzo da sociedade proporcionalmente aos tempos
de permanncia dos scios.
Trs pessoas formam uma sociedade, permanecendo, o primeiro scio durante
12 meses, o segundo 8 meses e o terceiro 6 meses. Quanto ganhou cada um,
se a sociedade teve um lucro de R$ 520.000,00?
{
12=
8=
6
+ + = 520
++
12+8+6=
520
26= 20
12= 20
8= 20
6= 20
= = =
O primeiro scio ganhou R$ 240.000,00; o segundo, R$ 160.000,00 e o terceiro,
R$ 120.000,00
-
30
2) TEMPOS DIFERENTES E CAPITAIS DIFERENTES:
Divide-se o lucro ou o prejuzo da sociedade proporcionalmente aos produtos
do tempo pelo capital, respectivo de cada scio.
Trs negociantes formam uma sociedade em que o primeiro entrou com o capital
de R$ 300.000,00; o segundo com R$ 200.000,00 e o terceiro com R$
500.000,00. O primeiro permaneceu 12 meses na sociedade; o segundo, 9
meses e o terceiro, 4 meses. Qual foi o lucro de cada um, se o lucro total da
sociedade foi de R$ 3.700.000,00?
1 300.000 12 = 3.600.000,00 3.600
2 200.000 09 = 1.600.000,00 1.600
3 500.000 04 = 2.000.000,00 2.000
{
3600=
1800=
2000 + + = 3700
+ +
3600 + 1800 + 2000=
3700
7400=
1
2
3600=
1
2
1800=
1
2
2000=
1
2
= = =
Os lucros foram respectivamente: R$ 1.800.000,00; R$ 900.000,000 e R$
1.000.000,00.
-
31
Exerccios:
A e B formaram uma sociedade com capitais proporcionais a 4 e 7,
respectivamente. No final de certo tempo, A recebeu de lucro R$ 15.000,00
menos que B. Qual o lucro de cada um?
4=
7
7 = 4
= + 15.000 7 = 4 + 60.000
3 = 60.000
= .
Duas pessoas formaram uma sociedade com capitais iguais permanecendo a
primeira durante 3 anos e a segunda durante 4 anos. Aps esse tempo, foi feito
um balano geral, pelo qual a segunda recebeu R$ 12.000,00 a mais do que a
primeira. Determine o lucro de cada uma.
{
3=
4
= + 12.000 4 = 3
4 = 3 + 36.000
= = .
-
32
REGRA DE TRS
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:
So duas grandezas que, quando o valor de uma delas aumenta ou diminui, o
valor da outra aumenta ou diminui o mesmo nmero de vezes.
10 metros de tecido custam R$ 40,00
15 metros de tecido custam R$ 60,00
20 metros de tecido custam R$ 80,00
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS:
So duas grandezas que, quando o valor de uma delas aumenta ou diminui, o
valor da outra diminui ou aumenta o mesmo nmero de vezes.
3 operrios fazem um servio em 36 dias
6 operrios fazem um servio em 18 dias
9 operrios fazem um servio em 12 dias
REGRA DE TRS SIMPLES:
DIRETAMENTE PROPORCIONAL
Um automvel gasta 10 litros de gasolina para percorrer 65 km. Quantos litros
gastar num percurso de 910 km?
10 Litro 65 km
X 910 km
So grandezas diretamente proporcionais, pois aumentando o nmeros de
quilmetros, aumentar tambm os litros de gasolina.
10
=
65
910
=
=
-
33
INVERSAMENTE PROPORCIONAL
Se 12 operrios demoram 15 dias para executar um trabalho, 10 operrios, em
quanto tempo faro o mesmo trabalho?
12 Operrios 15 dias
10 Operrios x
So grandezas inversamente proporcionais, pois diminuindo o nmero de
operrios, vai aumentar o nmero de dias. Faz-se a proporo invertendo a
primeira razo.
10
12=
15
=
=
Exerccio:
Numa transmisso de correia, a polia maior tem o dimetro de 30 cm e a menor,
18 cm. Qual o nmero de rotaes por minutos da polia menor, se a maior d 45
voltas ao mesmo tempo?
30 cm 45 Voltas
18 cm x
30
18=
45
30
18
45
5
3=
45
5
1=
15
=
-
34
REGRA DE TRS COMPOSTA:
So problemas que envolvem trs ou mais grandezas direta ou indiretamente
proporcionais. Para resolv-los, faz-se:
1) Escreve-se numa mesma coluna as grandezas da mesma espcie.
2) Identifique-se as grandezas so direta ou inversamente proporcionais,
considerando as colunas duas a duas, sendo que uma delas deve conter o
termo desconhecido.
3) Escreve-se a proporo correspondente, igualando-se a razo que contm
o termo desconhecido com o produto de outras razes, e passa-se a resolv-
la.
Sete operrios, em 5 dias de 8 horas, fazem 2.800 m de tecido. Quantos
operrios sero necessrios para fazer 2.160 m do mesmo tecido em 9 dias de
6 horas?
1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo
7 5 8 2.800
9 6 2.160
a) Comparao do 2 com o 1 Grupo
5 dias 7 Operrios
Mais dias Menos operrios
Regra de trs Inversa = Flechas de Sentidos Contrrios
b) Comparao do 3 com o 1 Grupo
8 horas 7 Operrios
Menos Horas menos operrios
Regra de trs Inversa = Flechas de Sentidos Contrrios
-
35
c) Comparao do 4 com o 1 Grupo
2.800 metros 7 Operrios
Menos horas menos operrios
Regra de trs Direta = Flechas de mesmo Sentido
7 Operrio 5 dias 8 horas 2.800 m
x Operrios 9 dias 6 horas 2160 m
Invertendo as razes 5
9
8
6 , vem:
7
=
9
5=
6
8=
2800
2160
Conservando-se a razo com x e multiplicando-se as demais, vem:
7
=
9
5
6
8
2800
2160
7
=
1
1
3
4
560
240
7
=
1
1
140
80
7
=
7
4
7 = 28
=
Sero necessrios 4 Operrios.
-
36
Foram empregados 24 kg de fio para tecer 120 m de fazenda de 0,82 m de
largura. Quantos metr4os da mesma fazenda, de 1,23 m de largura sero tecidos
com 30 kg do mesmo fio?
1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo
24 120 0,82 /
30 1,23 /
24 kg de Fio 120 metros 0,82 m / largura
30 kg de Fio x metros 1,23 m / largura
120
=
24
30=
1,23
0,82
120
=
24
30
1,23
0,82
120
=
4
5
1,23
0,82
120
=
4,92
4.1
4,92 = 492
7 = 28
=
Sero tecidos 100 metros.
-
37
PORCENTAGEM:
Representar a razo
sob a forma de porcentagem.
Consiste em achar uma razo igual a
e de consequente 100.
Representando por x o antecedente da razo procurada, forma-se a proporo.
=
=
Logo, a porcentagem procurada ser:
=
= %
Representar 60% sob a forma de frao irredutvel
60%
=
( )
Representar
sob a forma de porcentagem
=
40 = 1700
=
,
= , %
= 42,5
Representar 42,5% sob a forma de frao irredutvel
42,5% ,
=
=
( )
Em 35 g de uma soluo de iodo, a poro de iodo pesa 0,7 g. Qual a taxa
percentual de iodo na soluo?
35 100% 35 = 70
0,7 = %
-
38
Um rapaz, comprando uma motoneta, conseguiu um desconto de 3% sobre o
preo marcado, e assim obteve um desconto de R$ 18,00. Qual o preo
marcado?
100% 3 = 1800
3% 18,00 = $ ,
Em um recipiente contendo lcool puro, derramam-se 7,5 l de gua para obter
uma mistura que contivesse 25% de gua. Qual o volume da mistura?
100% 25 = 750
7,5 25% =
Calcular a porcentagem ou taxa milesimal:
a) 0,2% de 938 b) 2 de 200 g c) 81
3% 600
0,2
100 938
2
1000 200
25
3
1000 600
2
1000 938
2
5
1
500 938 0,4
,
d) 3 de 145 g e) 331
3% 3
1
3
3
1000 145
100
3%
10
3
3
200 29
100
3
100
10
3
87
200
100
3
1
100
10
3
, 10
9
-
39
PROGRESSO ARITMTICA (P.A.)
Chama-se Progresso Aritmtica (P.A.) toda sequncia numrica em que cada
termo, a partir do segundo, igual ao anterior somado com um nmero fixo,
chamado de razo da P.A.
= = = = = +
FRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.
Seja a P.A. (, , , , , , ) de razo r
a2 = a1 + r a5 = a2 + 3r an = a1 + (n 1)r
a3 = a1 + 2r a5 = a3 + 2r an = ensimo Terno (ltimo termo)
a4 = a1 + 3r a3 = a2 + r n = nmero de termos
a5 = a1 + 4r a6 = a3 + 3r
an = a1 + (n 1)r a6 = a4 + 2r
FRMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITA
Considere a PA Finita (6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34) e nela podemos destacar 6 e 34, que so os extremos.
{10 3014 2618 22
{6 + 34 = 40
10 + 30 = 4018 + 22 = 40
Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos
igual soma dos extremos.
a1 + a8 = a2 + a7
a3 + a6 = a4 + a5 =(+)
, onde: {
= 1 =
=
a1 + a8 = a4 + a5
-
40
PROGRESSES GEOMTRICAS (P.G.)
Considere um conjunto ordenado de nmeros reais, tais que cada elemento
seja igual ao anterior multiplicado por uma constante.
O conjunto formado pelos nmeros (2, 4, 8, 16, 32) est nessa situao. A
constante nesse exemplo o 2 e os conjuntos assim formados chamam-se
Progresso Geomtrica (PG) e seus elementos so chamados termos.
Definio:
Chama-se PG, uma sucesso de nmeros no nulos em que o quociente de
cada um deles, a partir do segundo, pelo seu antecessor sempre o mesmo.
Esse quociente constante denominado razo da PG.
(a1, a2, a3, , an1, an)
=
= =
= =
Classificao de uma PG:
) : > Ex: (2, 6, 18, 54, . . . ) q = 3
) : < < Ex: (27, 9, 3, 1, . . . ) q = 1
3
) : = Ex: (4, 4, 4, 4, . . . ) q = 1
) : < Ex: (2, 6, 18, 54, . . . ) q = 3
FRMULA DO TERMO GERAL ()
=
=
=
a2 = a1 q a4 = a2 q2 an = ltimo Termo
a3 = a1 q2 a5 = a3 q
2 n = nmero de termos
a4 = a1 q3 a5 = a2 q
3 q = razo
a5 = a1 q4
an = a1 qn1
-
41
FRMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA PG FINITA
1 Caso:
= 1 (PG constante), usa-se a frmula =
2 Caso:
#1, usa-se a frmula:
=(
)
FRMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA
PG decrescente < 1 > 0 (0 < < 1).
0 .
PG crescente 0 .
Se a PG decrescente ilimitada, chamamos a soma de seus termos de limite
da soma dos termos da PG e indicamos por .
Para calcul-la, usamos a frmula:
=
, onde {
S = Limite da Soma1 =
=
Exerccios:
1) Calcular o valor de x, de modo que os nmeros 2 3, 2 + 1 3 + 1, estejam, nessa ordem, em PA.
2 + 1 (2 3) = 3 + 1 (2 + 1)
2 + 1 2 + 3 = 3 + 1 2 1
= 4
2) Numa PG, 5 = 32 8 = 256. Calcule 1.
8 = a5 3 5 = 1
4
256 = 32 3 32 = 1 24
3 = 8 1 =32
16
= 83
1 = 2
= 2
-
42
3) Numa PG, o sexto termo 3 e o primeiro 96. Qual o termo que igual a
12?
a6 = 3 a6 = a1 5 2=1
5
a1 = 96 3 = 96 5 2=96
1
2
5 =3
96 2=48 3=24 4=12
=1
32
= 1
32 (96, 48, 24, 12, 6, 3)
=1
2
9) Em uma PG, o 1 termo 2 e o 4 54. Calcule 5.
a1 = 2 5=14
a4 = 54 5=2 4
-
43
FUNO EXPONENCIAL
dada por () = ( #1 > 0) denominada funo exponencial de base a e definida parea todo x real.
Ex: () = 2 () = (1
3)
() = 3
A exigncia de que a base a seja positiva para que se possa definir a
funo () = a seguinte:
= 2 =1
2
() =
()
,
EQUAES EXPONENCIAIS
Chamamos de Equao Exponencial a toda equao em que a incgnita
figura como expoente.
2 = 64 3 =1
27
2 = 26 3 = 33
= =
FUNO LOGARTMICA
Definio:
O Logaritmo de um nmero real e positivo b, na base a, positiva e diferente
de 1, o nmero x ao qual se deve elevar a para se obter b.
= =
> , > #
Forma Logartmica Forma Exponencial
=
=
26 = 64 (1
3)
2= 9
-
44
= {
= =
= = {
= = =
{
ou {
> >
A Este conjunto de condies, chamamos de campo de existncia ou
domnio dos logaritmos (CE).
CONSEQUNCIAS DA DEFINIO:
=
=
=
=
= =
EQUAES LOGARTMICAS:
= =
{ > 0 = S={16}
Determinar o conjunto soluo da equao ( ) =
{ > 0 ( ) = Verificao
= = 3 = 2
= > + >
= > (V) > (V)
=
S = {-2, 3}
-
45
PROPRIEDADES OPERACIONAIS DOS LOGARITMOS
1) Logaritmo de um Produto
( ) = + , > , > # > .
2) Logaritmo de um Quociente
= , > , > # >
3) Logaritmo de Uma Potncia
= , > , > # >
CASO PARTICULAR:
log
log 1
Sabendo-se que log = 8, log = 2 log = 1, calcular: log (3
24)
(3
24)
log 3 log(
2 4)
3 log ( log2 + log
4)
3 log log2 log
4
3 8 2 2 4 1
Sendo log 2 = log 3 = , calcular log(98 ) em funo de .
( )
log 9 + log 8
log 9 + log 23
log 9 + log 23
2
log 32 +3
2log 2
2 log 3 +3
2log 2
2() +3
2 ()
2 +3
2
+
-
46
MUDANA DE BASE:
=
onde {
> <
<
Sendo log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4, calular log2 6
log2 6 =log 6
log 2
log 23
log 2
2+ 3
2
0,3+0,4
0,3
0,7
0,3
COLOGARITMO:
Chama-se Cologaritmo de um nmero b numa base a, ao oposto do logaritmo
de b na base a.
=
colog2 16 colog13
27
log2 16 log13
27
4 (3)
=
=
-
47
PRODUTOS NOTVEIS
QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
( + ) = + +
( + + ) = [( + ) + )]
QUADRADO DA DIFERENA DE 2 TERMOS
( ) = +
( + ) = [( + ) )]
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENA DE DOIS TERMOS
( + )( ) =
( + + )( ) = [( ) + ] [( ) ] = ( ) ()
CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS
( + ) = + + +
CUBO DA DIFERENA DE DOIS TERMOS
( ) = +
SOMA DE DOIS CUBOS
+ = ( + )( + )
DIFERENA DE DOIS CUBOS
= ( )( + + )
FATOR COMUM EM EVIDNCIA
+ = ( + )
-
48
AGRUPAMENTO
+ + + = ( + ) + ( + ) = ( + )( + )
DIFERENA DE DOIS QUADRADOS
= ( + )( )
TRINMIO DO QUADRADO PERFEITO
+ + = ( + )
+ = ( )
FATORAO DE EXPRESSES QUADRTICAS
Quando multiplicamos ( + ) ( + ) obtemos + + ou seja:
( + )( + ) = + +
O processo inverso, ou seja, partindo de + + para chegar a ( + )( + ), chamado de fatorao da expresso quadrtica + +
+ + .
Ex: + +
Devemos encontrar dois nmeros cujo produto 8 e cuja soma 6.
Esses nmeros so 4 e 2.
+ + = ( + )( + )
+
Devemos encontrar dois nmeros cujo produto 8 e cuja soma -6.
Esses nmeros so -2 e -4.
+ = ( )( )
Exerccios:
Fatores as expresses quadrticas:
a) + + d) +
b) + + e) +
c) + f) +
-
49
=
colog2 16 colog13
27
log2 16 log13
27
4 (3)
=
=
log2(2 + 2 + 2 =
log2(2 + 2) = log1
2(2 2) + 2
POR 25:
Quando os dois ltimos algarismo desse nmero for um nmero divisvel por 25.
POR 2
Um nmero divisvel por quando os n ltimos desse nmero for um nmero divisvel por 2
N = 235.160 divisvel por 8= PORQUE 160 DIVISVEL POR 8
N=4116 DIVISVEL POR 4=22 PORQUE 16 DIVISVEL POR 4
POR 13
Um nmero N=a6a5a4a3a2a1 divisvel por 13, quando:
M= a6a5a4a3a2+4xa1 for um nmero divisvel por 13.
N=195
19+4x5
-
50
39
39 divisvel por 13, portanto 195 duivuspuvek oir 13
b) N=1391
139+4x1
139+4
143
M=14+4x3
14+12=26
Logo, 1391 divisvel por 13.