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  • 1

    = {0, 1, 2, ...} = Conjunto dos Nmeros Naturais + =

    * = -{0} * = Conjunto dos Nmeros Naturais diferentes de Zero

    = {-2, -1, 0, 1, 2, ...} = Conjunto dos Nmeros Inteiros

    * = -{0} * = Conjunto dos Nmeros Inteiros No Nulos ou diferente de Zero

    + = {0, 1, 2, 3, 4, ...} + = Conjunto dos Nmeros Inteiros No Negativos

    - = {0, -1, -2, ...} - = Conjunto dos Nmeros Inteiros No Positivos

    *- = {-1, -2, -3, ...} *- = Conjunto dos Nmeros Inteiros Negativos

    *+ = {1, 2, 3, 4, ...} *+ = Conjunto dos Nmeros Inteiros Positivos

    = {

    ,

    , ,

    , ...} = Conjunto dos Nmeros Racionais ou Fracionrios

    I = { , , , ...}

    I = Conjunto dos Nmeros Irracionais Possuem uma representao decimal infinita e no-peridica

    = 1,4142135 ... = 1,7320508 ...

  • 2

    Pertence Equivalente / Congruente

    No Pertence Somatrio

    Est Contido Adio

    No Est Contido + Subtrao

    Contm Multiplicao

    No Contm Diviso

    Existe Mais ou Menos

    No Existe Diferente

    Unio = Igual

    Interseco Aproximadamente

    Para todo e qualquer que seja Pi

    | | Mdulo Perpendicular

    / Tal que () Derivada

    Conjunto Vazio { } Conjunto Vazio

    Menor ou Igual Maior ou Igual

    < Menor que > Maior que

    [ ] Colchetes { } Chaves

    Proposio Lgica OU Proposio Lgica E

    Conectivo Condicional Se ..., ento ...

    Implica que Se ..., ento ...

    Conectivo Bicondicional Se, e somente se

    Equivalncia Se, e somente se

    Negao

    Proposio Lgica Infinito

  • 3

    Subconjunto de , que Subconjunto de que Subconjunto de

    I I est contido em

    I I est contido em

    contm

    I = unio com I, corresponde a

    I = interseco com I, corresponde a vazio

    I = I corresponde a , subtrado de

    Inteiros positivos

    Inteiros negativos

    ( ) = ( I) =

    = =

  • 4

    SUBCONJUNTO DE Z

    Conjunto dos nmeros inteiros maiores que -4:

    a) Pela Nomeao dos seus elementos: {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

    b) Simbolicamente: {x / x >-4}

    A = {0, 1, 2, 3}

    B = {1, 3, 4, 5}

    0 A, 1 A, 2 A, 3 A

    {2} A, {0, 1} A, {3} A, { } A

    1 A, 2 A, 3 A

    B A ou A B

    0 subconjunto de qualquer conjunto

    {0, 1} = Subconjunto

    {1} = Subconjunto

    Todo conjunto subconjunto de si mesmo (A A ou A A)

    Conjunto vazio { } est contido em qualquer conjunto.

    Diz-se que A em B se no houver elemento de A que no pertena a B. Se o conjunto A vazio, no existe elemento dele que esteja fora de

    qualquer outro conjunto. Logo, o conjunto vazio est contido em qualquer

    conjunto.

    ______________________________________

    A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} A B = {1, 3}

    A B = {0, 2}

    B A = {4, 5}

    C A = { }

    B

    0

    1

    1

    1

    3

    4

    5

    0

    2

    3

    0

    1

    2

    3

  • 5

    ______________________________________

    CORRESPONDNCIA BIUNVOCA:

    Dois conjuntos esto em CORRESPONDNCIA BIUNVOCA quando cada

    elemento de A corresponde a um nico elemento de B e vice-versa.

    ______________________________________

    MDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NMERO INTEIRO

    o prprio nmero, sem ser levado em considerao o sinal + ou

    |+3|= 3 |+5| = 5

    ______________________________________

    NUMEROS INTEIROS OPOSTOS OU SIMTRICOS

    So Nmeros que possuem o mesmo mdulo e sinais contrrios.

    +5 e 5 +9 e 9 7 e + 7

    ______________________________________

    POTENCIAO

    (3)2 32 +9 9

    = | |

    +

    . m

    . n

    . o

    1 .

    2 .

    3 .

  • 6

    POTNCIAS EM Z PROPRIEDADE

    1) PRODUTOS DE POTNCIAS DE MESMA BASE

    Repete-se a base e somam-se os expoentes.

    a) (5)2 x (5)4 = (5)2+4 = (5)6

    b) (2)4 x (2)x (2)3 = (2)4+1+3 = (2)8

    ______________________________________ 2) QUOCIENTE DE POTNCIAS DE MESMA BASE

    Repete-se a base e subtraem-se os expoentes.

    a) (3)6 (3)4 = (3)64 = (3)2

    b) (+4)3 (+4) = (+4)31 = (+4)2

    c) (2)3 (2)8 (2)3 = (2)38(3) = (2)2

    ______________________________________ 3) POTNCIA DE POTNCIA

    Repete-se a base e Multiplica-se os expoentes.

    ) [(+7)2]3 = (+7)6

    ) [(8)4]2 = (8)8

    ______________________________________ 4) POTNCIA DE UMA PRODUTO OU QUOCIENTE:

    Repetem-se as bases com as operaes indicadas e eleva-se cada termo

    potncia constante.

    ) [(3) x (5)]4 = (3)4 x (5)4

    ) [(4) (+2)]3 = (4)3 (+2)3

  • 7

    MLTIPLOS

    Um nmero mltiplo de outro quando a diviso por esse nmero exata.

    Assim, 15 Mltiplo de 3 e 5.

    M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...}

    M(7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, ...}

    ______________________________________ DIVISOR

    Um nmero divisor de outro quando divide esse outro exatamente, ou seja,

    sem deixar resto, e, se ele divisor de outro, o outro mltiplo dele.

    Assim, 5 divisor de 10 e 10 Mltiplo de 5

    D(4) = {1, 2, 4}

    D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

    ______________________________________

    OBSERVAES

    Os divisores de um nmero formam sempre um conjunto finito.

    D(5) = {1, 3, 5, 15}

    1 divisor de todo nmero.

    O maior divisor de um nmero o prprio nmero.

    Todo nmero tem uma infinidade de Mltiplos.

    1 divisor de todos os nmeros e o seu menor divisor.

    Com exceo do 0, o menor mltiplo de um nmero o prprio nmero.

    0 mltiplo de todo nmero.

    0 no Divisor de nenhum nmero, mas Mltiplo de todos eles, e tambm o seu menor Mltiplo.

    O maior divisor de um nmero ele prprio.

    O maior mltiplo de um nmero infinito.

    Qualquer nmero, com exceo do zero, ao mesmo tempo, mltiplo e divisor de si mesmo.

  • 8

    DIVISIBILIDADE

    2 Quando for par

    3 Quando a soma do nmero mltiplo de 3

    Ex: 966, 375, 462, 159, 522...

    4 Quando os 2 ltimos nmeros forem mltiplos de 4 ou terminarem em 00

    Ex: 224, 300, 116, 220, 356, 192...

    5 Quando terminarem em 0 ou 5

    6 Quando for divisvel por 2 ou por 3 ao mesmo tempo

    7 Quando a diferena entre o dobro do ltimo algarismo e o nmero formado pelos demais algarismo resulta em um nmero divisvel por 7

    8 Quando seus trs ltimos algarismos forem 000 ou formarem um nmero divisvel por 8

    9 Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos forma um nmero divisvel por 9

    Ex: 108, 189, 873, 261, 387...

    10 Quando terminar em zero

    11 Quando a diferena entre a soma dos algarismos de posio mpar e a soma dos algarismos de posio par resulta em um nmero divisvel por 11

    12 Quando divisvel por 3 e por 4

    15 Quando divisvel por 3 e por 5

    ______________________________________

    Verificar se o nmero 41909 divisvel por 7

    41909 9 x 2 = 18 2 x 2 = 4 3 x 2 = 6

    4190 18 417 4 41 6

    4172 413 35

    41909 divisvel por 7, pois 35 tambm divisvel por 7

    ______________________________________ Verificar se o nmero 43813 divisvel por 11

    43813 Soma dos nmeros de posio mpar

    43813 Soma dos nmeros de posio Par

    15 4 = 11, portanto 43813 divisvel por 11

    4 + 8 + 3 = 15

    3 + 1 = 4

  • 9

    NMEROS PRIMOS

    Um nmero primo quando possui 2 divisores: a unidade e ele mesmo.

    D(2) = {1, 2} D(5) = {1, 5} D(23) = {1, 2, 3}

    ______________________________________ NUMEROS PRIMOS MENORES QUE 100

    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 , 97

    1 no primo nem composto.

    ______________________________________

    RECONHECIMENTO DE UM NMERO PRIMO

    Divide-se o nmero por 2, 3, 5, 7, ... Se a diviso no for exata at que o quociente fique

    menor que o divisor, o nmero primo. Se a diviso for exata, o nmero composto.

    ______________________________________ a) O nmero 157 Primo?

    ______________________________________

    b) O nmero 161 primo?

    O nmero 161 composto, pois a ltima diviso foi exata.

    primo, pois o quociente (12)

    da ltima diviso menor que

    o divisor (13) e nenhuma das

    divises exata.

  • 10

    NMEROS MLTIPLOS OU COMPOSTOS

    Possuem outros divisores alm da unidade e deles mesmos.

    D(4) = {1, 2, 4} D(6) = {1, 2, 3, 6}

    ______________________________________

    DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS - FORMA FATORADA

    ______________________________________

    Determinar o conjunto dos divisores de um nmero

    a) Decompe-se o nmero em fatores primos.

    b) Coloca-se outro trao vertical direita da decomposio e escreve-se o

    nmero 1 que divisor de todos os nmeros, direita de um novo trao e acima

    do primeiro fator.

    c) Multiplica-se o primeiro fator primo pelo divisor 1 e coloca-se o produto obtido

    na linha correspondente a 2.

    d) Multiplicam-se os demais fatores pelos divisores que estiverem direita do

    trao vertical e acima desses fatores. Os produtos repetidos so eliminados.

    () = {, , , , , , , , , , , }

  • 11

    MXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)

    Divisor comum o nmero que divide dois ou mais nmeros sem deixar resto.

    O Mximo Divisor Comum de dois ou mais nmeros o maior dos seus divisores

    comuns.

    D(45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45}

    D(63) = {1, 3, 7, 9, 21, 63}

    Divisores comuns de 45 e 63

    D(45) U D(63) = {1 ,3 ,9}

    m.d.c. (45, 63) = 9

    ______________________________________ PROCESSOS PRTICOS DE CLCULO DO M.D.C.

    1) MDC PELA DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS

    O m.d.c. o produto dos fatores primos comuns elevados ao menor expoente.

    m.d.c. (60, 264, 504)

    60 = 22 x 3 x 5

    264 = 23 x 3 x 11

    504 = 23 x 32 x 7

    Fatores Primos Comuns so 2 e 3.

    O Maior expoente do fator 2 2 e do fator 3 1

    m.d.c. (60, 264, 504) = =

  • 12

    2) MDC PELAS DIVISES SUCESSIVAS:

    Divide-se o nmero maior pelo menor. Em seguida, divide-se o nmero menor

    pelo 1 resto. Depois divide-se o 1 resto pelo 2 resto e assim sucessivamente

    at se encontrar uma diviso exata. O ltimo divisor o m.d.c.

    Calcular o m.d.c. (25, 60)

    Faz-se as divises sucessivas usando o dispositivo abaixo, chamado

    ALGORITIMO DE EUCLIDES, onde os quocientes so colocados por cima dos

    respectivos divisores.

    ______________________________________ OBSERVAES:

    Quando o m.d.c. de 2 ou mais nmeros igual a 1, os nmeros so denominados primos entre si.

    O m.d.c. de 2 nmeros, em que um mltiplo do outro, o menor deles.

    O m.m.c. de 2 nmeros, onde um mltiplo do outro, o maior deles.

    O m.m.c. entre dois nmeros em que o maior divisvel pelo menor, o maior deles.

    . . . (, ) =

    ______________________________________

    Se vrios nmeros forem multiplicados ou divididos por um certo nmero diferente de zero, o seu m.m.c., tambm ficar multiplicado ou dividido por

    esse nmero.

    Ento, sendo m.m.c. (18, 12, 60) = 180

    Podemos dizer que:

    m. m. c. (18 x 3, 12 x 3, 60 x 3) =

    m. m. c. (18

    3,12

    3,60

    3 ) =

  • 13

    O m.m.c. de 2 ou mais nmeros primos entre si o produto deles.

    . . . ( , , ) =

    ______________________________________

    O produto do m.d.c. pelo m.m.c. de 2 nmeros naturais diferente de zero igual ao produto deles.

    Ento, se m.d.c. (12, 30) = 6 e m.m.c. (12, 30) = 60

    . . . (, ) . . . (, ) =

    =

    =

    ______________________________________

    Dividindo o m.m.c. de vrios nmeros por todos eles, um por vez, os

    quocientes obtidos sero nmeros primos entre si.

    . . . (, , ) =

    =

    =

    =

    Onde os nmeros 15, 10 e 3 so primos entre si, pois admitem s a

    unidade como denominador comum.

    ______________________________________ MNIMO MLTIPLO COMUM

    O m.m.c. de dois ou mais nmeros o menor nmero # 0, que divisvel por

    todos eles ao mesmo tempo. Na determinao do m.m.c., o zero excludo.

    m.m.c. (3, 6)

    M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...}

    M(6) = {0, 6, 12, 187, 24, 30, 36, 42, ...}

    O Conjunto de interseco nos fornece os mltiplos comuns:

    M(3) M(6) = {0, 6,12, 18, 24, 30, ...}

    O Menor desse conjunto o 6 e chama-se m.m.c., que indicado assim:

    . . . (, ) =

  • 14

    PROCESSOS PRTICOS PARA CLCULO DO M.M.C.

    1) DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS:

    Multiplicam-se todos os fatores primos comuns e no comuns, elevados aos

    seus maiores expoentes.

    Calcular o m. m. c. (36, 90, 120)

    36 = 22 x 32

    90 = 2 x 32 x 5

    120 = 23 x 32 x 5

    Os fatores primos comuns e no comuns so 2, 3, 5.

    O maior expoente do fator 2 3 e do fator 3 2.

    . . . (, , ) = =

    ______________________________________ 2) CLCULO DO M.M.C. PELA DECOMPOSIO SIMULTNEA EM

    FATORES PRIMOS:

    Decompem-se, ao mesmo tempo, todos os nmeros em fatores primos.

    O m.m.c. o produto de todos os fatores primos obtidos.

  • 15

    NMEROS FRACIONRIOS (RACIONAIS)

    Tipos de Fraes: Prprias, Imprprias e Aparentes.

    FRAO PRPRIA:

    O numerador menor que o denominador e so todos maiores que a unidade.

    Ex: 2

    3 ,

    3

    4 ,

    7

    8,

    11

    25

    FRAO IMPRPRIA:

    O numerador maior que o denominador e so todos maiores que a unidade.

    Ex: 4

    3 ,

    7

    5 ,

    9

    8 ,

    17

    15 ,

    37

    2

    FRAO APARENTE:

    O Numerador igual ou mltiplo do denominador e todas representam nmeros

    naturais que se obtm dividindo o numerador pelo denominador.

    Ex: 5

    5= 1 ,

    8

    4= 2,

    15

    3= 5

    FRAO DECIMAL:

    O denominador 10, 100,1000...

    Ex: 1

    10,

    2

    100,

    3

    1000

    NMERO MISTO:

    A soma de um nmero inteiro com uma frao prpria chama-se nmero inteiro

    ou frao mista.

    Ex: 3 + 1

    4

    31

    4

    Transformao de um nmero misto em frao imprpria:

    Multiplica-se o inteiro pelo denominador, e ao produto soma-se o numerador,

    obtendo, assim, o numerador da frao procurada. O denominador conservado

    o mesmo.

    Ex: 45

    7=

    4 7+5

    7=

    33

    7

  • 16

    Transformao de Fraes Imprprias em nmeros mistos

    Extrao de Inteiros:

    Divide-se o numerador pelo denominador. O quociente a parte inteira, o resto

    o numerador da parte fracionria e o divisor o denominador da frao prpria.

    Ex: 43

    8 5

    3

    8

    FRAES EQUIVALENTES:

    So duas ou mais fraes que representam a mesma parte do inteiro.

    Ex: 1

    3 ,

    2

    6 ,

    3

    9

    RAZO:

    Razo entre dois nmeros racionais a e b, com b # 0, o quociente de a e b

    , a = antecedente e b = consequente

    RAZES INVERSAS:

    So duas razes em que o antecedente de uma o consequente da outra.

    Ex: 3

    5 ,

    5

    3 O Seu produto sempre igual a 1

    RAZES IGUAIS:

    6

    9

    18

    27

    Em 2 razes iguais, os produtos dos antecedentes de uma pelo consequente da

    outra so sempre iguais.

    Ex: 6

    9 ,

    18

    27 6 27 = 18 9

    162 = 162

    43 8

    3 5

  • 17

    ESCALA:

    Razo especial usada na representao de mapas, maquetes, plantas de

    construes, etc.

    Escala =

    PROPORO:

    Proporo uma igualdade de duas razes

    =

    ou a : b = c : d ou a : b : : c : d

    a est para b assim como c est para d;

    a o 1 termo, b o 2 termo, c o 3 termo e d o 4 termo;

    a e d so os extremos e b e c so os meios;

    a e c so os antecedentes e b e d so os consequentes.

    PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORES:

    Em toda proporo a : b : : c : d, o produto dos meios (b c) sempre igual ao produto dos extremos (a d).

    6

    8=

    15

    20

    8 15 = 6 20 8 15 = Produto dos Meios

    120 = 120 6 20 = Produto dos Extremos

    QUARTA PROPORCIONAL:

    Se quatro nmeros, como por exemplo: 9, 4, 18 e 8, formam, nessa ordem, uma

    proporo, diz-se que o quarto nmero (8) a quarta proporcional dos nmeros

    9, 4 e 18.

    Calcular a quarta proporcional dos nmeros 3, 6 e 16.

    3

    6=

    16

    3 = 96

    = 32

  • 18

    PROPORO CONTNUA:

    aquela que tem ou os meios ou os extremos iguais.

    Ex: 36

    12=

    12

    4

    9

    3=

    27

    9

    MDIA PROPORCIONAL OU GEOMTRICA:

    o meio ou o extremo igual de uma proporo contnua.

    Ex: 6

    12=

    12

    4

    9

    3=

    27

    9

    12 a mdia proporcional ou geomtrica de 36 e 04.

    09 a mdia proporcional ou geomtrica de 03 e 27.

    Quando se quer calcular a mdia geomtrica de dois nmeros, basta

    formarmos com eles uma proporo contnua, onde os nmeros dados

    figurem ou como meios ou como extremos, resolvendo-se a proporo

    obtida, em seguida.

    Calcule a mdia proporcional dos nmeros 20 e 5.

    20

    =

    5

    2 = 100

    = 10 A Mdia Proporcional ou Geomtrica de dois nmeros igual Raiz

    Quadrada do Produto desses nmeros.

    TERCEIRA PROPORCIONAL:

    o quarto termos de um proporo contnua. Se numa Proporo Contnua

    ocorrer: 2

    10=

    10

    , vemos que x o terceiro elemento diferente, que com os

    outros dois (2 e 10) formam uma proporo contnua. Diz-se, ento, que x a

    Terceira Proporcional dos nmeros 2 e 10, e pode-se concluir que, para

    calcular a Terceira Proporcional de dois nmeros a e b, basta formar com eles,

    nessa ordem, uma Proporo Contnua, onde b o meio igual, ou seja:

    =

  • 19

    Ex: Calcular a Terceira Proporcional dos nmeros 16 e 8.

    16

    8=

    8

    16 = 64

    = 4

    Ex: Calcular a Terceira Proporcional dos nmeros 3

    4

    2

    3

    3423

    =

    23

    3

    4=

    4

    9

    27 = 16

    = 16

    27

    PROPRIEDADE DAS PROPORES:

    1) Propriedade da Soma dos Termos:

    Em qualquer proporo, a soma dos dois primeiros termos est para o primeiro

    (ou para o segundo), assim como a soma dos dois ltimos est para o terceiro

    (ou para o quarto).

    =

    , temos 1)

    +

    =

    +

    ou 2)

    +

    =

    +

    2) Propriedade da Diferena dos Termos:

    Em qualquer proporo, a diferena dos dois primeiros termos est para o

    primeiro (ou para o segundo), assim como a diferena dos dois ltimos

    termos est para o terceiro (ou para o quarto).

    =

    , temos 1)

    =

    ou 2)

    =

    Aplicao: Calcular dois termos de uma proporo, desde que sejam

    conhecidos ou a sua soma ou a sua diferena.

  • 20

    3) Propriedade da Soma dos Antecedentes e dos Consequentes:

    Em qualquer proporo, a soma dos antecedentes est para a soma dos

    consequentes, assim como cada antecedente est para o seu consequente.

    =

    , temos 1)

    +

    +=

    ou 2)

    +

    + =

    4) Propriedade da Diferena dos Antecedentes e dos Consequentes:

    Em qualquer proporo, a diferena dos antecedentes est para a diferena

    dos consequentes, assim como cada antecedente est para o seu

    consequente.

    =

    , temos 1)

    =

    ou 2)

    =

    Aplicao: Clculo de dois antecedentes ou dois consequentes de uma

    proporo, desde que sem conhecidos ou a sua soma ou a sua diferena.

    5) Propriedade do Produto dos Antecedentes e dos Consequentes:

    Em qualquer produto, o produto dos antecedentes est para o produto dos

    consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente est para o

    quadrado do seu consequente.

    =

    , temos 1)

    =

    ou 2)

    =

    Consequncia: Em qualquer proporo, os quadrados de seus termos

    tambm formam uma proporo.

    =

    =

    Aplicao: Clculo de dois termos de uma proporo, desde que seja

    conhecido seu produto ou o quadrado de seus termos.

    SRIE DE RAZES IGUAIS (PROPORO MLTIPLA):

    Se as razes

    =

    =

    , forem todas iguais, pode-se escrever:

    =

    =

    , formando uma srie de razes iguais que so chamadas de

    propores mltiplas, nas quais valem tambm as propriedades da soma (ou

    diferena) dos antecedentes e dos consequentes, ou seja:

  • 21

    Em qualquer proporo mltipla, a soma (ou diferena) dos antecedentes

    est para a soma (ou diferena) dos consequentes, assim como cada

    antecedente est para o seu consequente.

    Calcular a, b e c em

    32=

    8=

    20 , sabendo-se que a b + c = 33.

    Aplicando a propriedade da soma (ou diferena) dos antecedentes e

    consequentes, vem:

    =

    =

    +

    +=

    33

    44=

    32 44 = 1056 = 24

    33

    44=

    8 44 = 264 = 6

    33

    44=

    20 44 = 660 = 15

    Calcular os termos desconhecidos em:

    a) {

    4=

    12=

    20

    + + = 27

    ++

    4+12+20=

    27

    36

    4=

    3

    4 = 3

    ++

    4+12+20=

    3

    4

    12=

    3

    4 = 9

    20=

    3

    4 = 15

    b) {

    10=

    4=

    6

    + = 20

    +

    10+46=

    20

    8

    10=

    5

    2 = 25

    +

    10+46=

    5

    2

    4=

    5

    2 = 10

    6=

    5

    2 = 15

  • 22

    c) {

    18=

    6=

    9

    = 7

    1869=

    7

    3

    18=

    7

    3 = 42

    6=

    7

    3 = 14

    9=

    7

    3 = 21

    NMEROS PROPORCIONAIS

    NMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

    Sejam os conjuntos A e B de nmeros racionais que esto em correspondncia

    biunvoca (mesma quantidade de elementos):

    A = {2, 5, 8, 11) e B = {6, 15, 24, 33}

    Formando as razes entre os elementos correspondentes de A e B, temos:

    ,

    ,

    ,

    , onde

    =

    ,

    =

    ,

    =

    ,

    =

    ,

    Ou seja, essas razes so constantes e todas iguais a

    , donde se pode

    escrever:

    =

    =

    =

    =

    Diz-se que os elementos dos conjuntos A e B so diretamente proporcionais

    ou simplesmente proporcionais e conclui-se que:

    Duas sucesses de nmeros so diretamente proporcionais quando as

    razes constantes entre um elemento qualquer da primeira e o seu

    correspondente na segunda sucesso so constantes (iguais).

    A razo constante que existe entre os dois conjuntos chama-se Fator de

    Proporcionalidade ou Coeficiente de Proporcionalidade.

  • 23

    Calcular os valores de a, b e c dos conjuntos de nmeros diretamente

    proporcionais:

    A = {2, b, 4 e 7} e B = {a, 9, c, 21}

    ,

    ,

    ,

    =

    Coeficiente de Proporcionalidade

    =

    =

    =

    = = c =

    Diviso de um Nmero em Partes Diretamente Proporcionais

    1) Dividir o nmero 180 em partes diretamente proporcionais a 3, 4 e 11.

    Representar os nmeros por a, b e c

    Considerar as sucesses (a, b, c) e (3, 4, 11) como diretamente

    proporcionais.

    { + + = 180

    3

    =4

    =

    11

    Clculo do coeficiente de proporcionalidade

    3=

    4=

    11

    3= 10 =

    ++

    3+4+11=

    180

    18=

    4= 10 =

    11= 10 =

  • 24

    2) Dividir o nmero 372 em partes diretamente proporcionais a 1

    2 ,

    1

    3

    1

    5

    {

    + + = 37212

    =13

    =15

    Como uma proporcionalidade no se altera quando multiplica todos os nmeros

    do conjunto por um mesmo nmero, pode-se ento reduzir as fraes ao

    mesmo denominador e desprezar, em seguida, o denominador, a fim de que

    as partes sejam substitudas por nmeros inteiros.

    ++1

    2+

    1

    3+

    1

    5

    =++15+10+6

    30

    *Despreza-se o denominador

    O problema agora consiste em dividir 372 em partes diretamente

    proporcionais a 15, 10 e 6.

    { + + = 372

    15

    =

    10=

    6

    ++

    15+10+6=

    372

    31= 12

    12 o Coeficiente de Proporcionalidade

    15= 12

    10= 12

    6= 12

    = 180 = 120 = 72

  • 25

    1) Dividir o nmero 183 em partes diretamente proporcionais a 1

    3 ,

    1

    4 ,

    1

    7

    {

    + + = 18313

    =14

    =17

    13

    =

    14

    =

    17

    ++1

    3+

    1

    4+

    1

    7

    =++

    28+21+12

    84

    *Despreza-se o denominador

    { + + = 372

    28

    =

    21=

    12

    ++28+21+12

    84

    =183

    61= 3

    3 o coeficiente de proporcionalidade

    28=

    21=

    12

    28= 3

    21= 3

    12= 3

    = = =

  • 26

    Nmeros Inversamente Proporcionais

    Sejam os conjuntos C e D de nmeros racionais que tambm esto em

    correspondncia biunvoca:

    C = {1, 3, 5, 10} e D = {60, 20, 12, 6}

    Calculando os produtos entre os nmeros do conjunto C e os correspondentes

    do conjunto D, temos: 1 60; 3 20; 5 12; 10 6, v-se que esses produtos so constantes e todos iguais a 60, donde se pode escrever:

    1 60 = 3 20 = 5 12 = 10 6 =

    Diz-se ento que os elementos dos conjuntos C e D so inversamente

    proporcionais e conclui-se que:

    Duas sucesses de nmeros so inversamente proporcionais quando os

    produtos entre um elemento qualquer da primeira pelos correspondentes

    na segunda sucesso so constantes (iguais).

    Esses produtos iguais chamam-se tambm fator de proporcionalidade

    ou Coeficiente de Proporcionalidade.

    Determinar os valores de a, b e c dos conjuntos de nmeros inversamente

    proporcionais:

    A = {3, 4, b, 10} e D = {40, a, 20, c}

    Como so inversamente proporcionais os dois conjuntos forma-se os

    produtos iguais entre os elementos correspondentes de A e B;

    3 40 = 4 = 20 = 10

    3 40 =

    120 = Coeficiente de Proporcionalidade

    4 = 120 20 = 120 10 = 120

    = = =

  • 27

    Diviso de um nmero em partes inversamente proporcionais:

    Dividir um nmero em partes inversamente proporcionais a nmeros dados,

    significa dividi-lo em partes diretamente proporcionais aos inversos dos

    nmeros dados.

    1) Dividir o nmero 18 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 6.

    O problema consiste em dividir 18 partes diretamente proporcionais aos inversos

    de 2, 3 e 6.

    {

    + + = 1812

    =13

    =16

    ++1

    2+

    1

    3+

    1

    6

    =++3+2+1

    6

    =18

    6= 3

    3=

    2=

    1

    3= 3

    2= 3 =

    = =

    Dividir o nmero 200 em partes inversamente proporcionais a 1

    3

    1

    5 .

    Dividir 200 em partes inversamente proporcionais aos inversos de 1

    3

    1

    5.

    { + = 200

    3

    =5

    3=

    5

    +

    3+5=

    200

    8= 25

    3= 25

    5= 25

    = =

  • 28

    REGRA DE SOCIEDADE

    uma aplicao de diviso em partes diretamente proporcionais e

    destacam-se trs casos:

    1) TEMPOS IGUAIS E CAPITAIS DIFERENTES:

    Divide-se o lucro ou prejuzo da sociedade proporcionalmente aos capitais

    dos scios.

    Quatro pessoas formam uma sociedade com os capitais R$ 100.000,00, R$

    120.000,00, R$ 150.000,00 e R$ 200.000,00, respectivamente. No fim de certo

    tempo, a sociedade apresentou um lucro de R$ 2.850.000,00. Quanto coube a

    cada scio?

    Chamamos os scios a, b, c e d, respectivamente, formando o sistema e

    aplicando a diviso em partes proporcionais, temos:

    {

    100=

    120=

    150=

    200

    + + + = 2850

    +++

    100+120+150+200=

    2850

    570= 5

    100= 5

    120= 5

    150= 5

    200= 5

    = = = =

    Cada scio recebeu, respectivamente, R$ 500.000,00; R$ 600.000,00; R$

    750.000,00 e R$ 1.000.000,00

  • 29

    2) CAPITAIS IGUAIS E TEMPOS DIFERENTES:

    Divide-se o lucro ou o prejuzo da sociedade proporcionalmente aos tempos

    de permanncia dos scios.

    Trs pessoas formam uma sociedade, permanecendo, o primeiro scio durante

    12 meses, o segundo 8 meses e o terceiro 6 meses. Quanto ganhou cada um,

    se a sociedade teve um lucro de R$ 520.000,00?

    {

    12=

    8=

    6

    + + = 520

    ++

    12+8+6=

    520

    26= 20

    12= 20

    8= 20

    6= 20

    = = =

    O primeiro scio ganhou R$ 240.000,00; o segundo, R$ 160.000,00 e o terceiro,

    R$ 120.000,00

  • 30

    2) TEMPOS DIFERENTES E CAPITAIS DIFERENTES:

    Divide-se o lucro ou o prejuzo da sociedade proporcionalmente aos produtos

    do tempo pelo capital, respectivo de cada scio.

    Trs negociantes formam uma sociedade em que o primeiro entrou com o capital

    de R$ 300.000,00; o segundo com R$ 200.000,00 e o terceiro com R$

    500.000,00. O primeiro permaneceu 12 meses na sociedade; o segundo, 9

    meses e o terceiro, 4 meses. Qual foi o lucro de cada um, se o lucro total da

    sociedade foi de R$ 3.700.000,00?

    1 300.000 12 = 3.600.000,00 3.600

    2 200.000 09 = 1.600.000,00 1.600

    3 500.000 04 = 2.000.000,00 2.000

    {

    3600=

    1800=

    2000 + + = 3700

    + +

    3600 + 1800 + 2000=

    3700

    7400=

    1

    2

    3600=

    1

    2

    1800=

    1

    2

    2000=

    1

    2

    = = =

    Os lucros foram respectivamente: R$ 1.800.000,00; R$ 900.000,000 e R$

    1.000.000,00.

  • 31

    Exerccios:

    A e B formaram uma sociedade com capitais proporcionais a 4 e 7,

    respectivamente. No final de certo tempo, A recebeu de lucro R$ 15.000,00

    menos que B. Qual o lucro de cada um?

    4=

    7

    7 = 4

    = + 15.000 7 = 4 + 60.000

    3 = 60.000

    = .

    Duas pessoas formaram uma sociedade com capitais iguais permanecendo a

    primeira durante 3 anos e a segunda durante 4 anos. Aps esse tempo, foi feito

    um balano geral, pelo qual a segunda recebeu R$ 12.000,00 a mais do que a

    primeira. Determine o lucro de cada uma.

    {

    3=

    4

    = + 12.000 4 = 3

    4 = 3 + 36.000

    = = .

  • 32

    REGRA DE TRS

    GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:

    So duas grandezas que, quando o valor de uma delas aumenta ou diminui, o

    valor da outra aumenta ou diminui o mesmo nmero de vezes.

    10 metros de tecido custam R$ 40,00

    15 metros de tecido custam R$ 60,00

    20 metros de tecido custam R$ 80,00

    GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS:

    So duas grandezas que, quando o valor de uma delas aumenta ou diminui, o

    valor da outra diminui ou aumenta o mesmo nmero de vezes.

    3 operrios fazem um servio em 36 dias

    6 operrios fazem um servio em 18 dias

    9 operrios fazem um servio em 12 dias

    REGRA DE TRS SIMPLES:

    DIRETAMENTE PROPORCIONAL

    Um automvel gasta 10 litros de gasolina para percorrer 65 km. Quantos litros

    gastar num percurso de 910 km?

    10 Litro 65 km

    X 910 km

    So grandezas diretamente proporcionais, pois aumentando o nmeros de

    quilmetros, aumentar tambm os litros de gasolina.

    10

    =

    65

    910

    =

    =

  • 33

    INVERSAMENTE PROPORCIONAL

    Se 12 operrios demoram 15 dias para executar um trabalho, 10 operrios, em

    quanto tempo faro o mesmo trabalho?

    12 Operrios 15 dias

    10 Operrios x

    So grandezas inversamente proporcionais, pois diminuindo o nmero de

    operrios, vai aumentar o nmero de dias. Faz-se a proporo invertendo a

    primeira razo.

    10

    12=

    15

    =

    =

    Exerccio:

    Numa transmisso de correia, a polia maior tem o dimetro de 30 cm e a menor,

    18 cm. Qual o nmero de rotaes por minutos da polia menor, se a maior d 45

    voltas ao mesmo tempo?

    30 cm 45 Voltas

    18 cm x

    30

    18=

    45

    30

    18

    45

    5

    3=

    45

    5

    1=

    15

    =

  • 34

    REGRA DE TRS COMPOSTA:

    So problemas que envolvem trs ou mais grandezas direta ou indiretamente

    proporcionais. Para resolv-los, faz-se:

    1) Escreve-se numa mesma coluna as grandezas da mesma espcie.

    2) Identifique-se as grandezas so direta ou inversamente proporcionais,

    considerando as colunas duas a duas, sendo que uma delas deve conter o

    termo desconhecido.

    3) Escreve-se a proporo correspondente, igualando-se a razo que contm

    o termo desconhecido com o produto de outras razes, e passa-se a resolv-

    la.

    Sete operrios, em 5 dias de 8 horas, fazem 2.800 m de tecido. Quantos

    operrios sero necessrios para fazer 2.160 m do mesmo tecido em 9 dias de

    6 horas?

    1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo

    7 5 8 2.800

    9 6 2.160

    a) Comparao do 2 com o 1 Grupo

    5 dias 7 Operrios

    Mais dias Menos operrios

    Regra de trs Inversa = Flechas de Sentidos Contrrios

    b) Comparao do 3 com o 1 Grupo

    8 horas 7 Operrios

    Menos Horas menos operrios

    Regra de trs Inversa = Flechas de Sentidos Contrrios

  • 35

    c) Comparao do 4 com o 1 Grupo

    2.800 metros 7 Operrios

    Menos horas menos operrios

    Regra de trs Direta = Flechas de mesmo Sentido

    7 Operrio 5 dias 8 horas 2.800 m

    x Operrios 9 dias 6 horas 2160 m

    Invertendo as razes 5

    9

    8

    6 , vem:

    7

    =

    9

    5=

    6

    8=

    2800

    2160

    Conservando-se a razo com x e multiplicando-se as demais, vem:

    7

    =

    9

    5

    6

    8

    2800

    2160

    7

    =

    1

    1

    3

    4

    560

    240

    7

    =

    1

    1

    140

    80

    7

    =

    7

    4

    7 = 28

    =

    Sero necessrios 4 Operrios.

  • 36

    Foram empregados 24 kg de fio para tecer 120 m de fazenda de 0,82 m de

    largura. Quantos metr4os da mesma fazenda, de 1,23 m de largura sero tecidos

    com 30 kg do mesmo fio?

    1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo

    24 120 0,82 /

    30 1,23 /

    24 kg de Fio 120 metros 0,82 m / largura

    30 kg de Fio x metros 1,23 m / largura

    120

    =

    24

    30=

    1,23

    0,82

    120

    =

    24

    30

    1,23

    0,82

    120

    =

    4

    5

    1,23

    0,82

    120

    =

    4,92

    4.1

    4,92 = 492

    7 = 28

    =

    Sero tecidos 100 metros.

  • 37

    PORCENTAGEM:

    Representar a razo

    sob a forma de porcentagem.

    Consiste em achar uma razo igual a

    e de consequente 100.

    Representando por x o antecedente da razo procurada, forma-se a proporo.

    =

    =

    Logo, a porcentagem procurada ser:

    =

    = %

    Representar 60% sob a forma de frao irredutvel

    60%

    =

    ( )

    Representar

    sob a forma de porcentagem

    =

    40 = 1700

    =

    ,

    = , %

    = 42,5

    Representar 42,5% sob a forma de frao irredutvel

    42,5% ,

    =

    =

    ( )

    Em 35 g de uma soluo de iodo, a poro de iodo pesa 0,7 g. Qual a taxa

    percentual de iodo na soluo?

    35 100% 35 = 70

    0,7 = %

  • 38

    Um rapaz, comprando uma motoneta, conseguiu um desconto de 3% sobre o

    preo marcado, e assim obteve um desconto de R$ 18,00. Qual o preo

    marcado?

    100% 3 = 1800

    3% 18,00 = $ ,

    Em um recipiente contendo lcool puro, derramam-se 7,5 l de gua para obter

    uma mistura que contivesse 25% de gua. Qual o volume da mistura?

    100% 25 = 750

    7,5 25% =

    Calcular a porcentagem ou taxa milesimal:

    a) 0,2% de 938 b) 2 de 200 g c) 81

    3% 600

    0,2

    100 938

    2

    1000 200

    25

    3

    1000 600

    2

    1000 938

    2

    5

    1

    500 938 0,4

    ,

    d) 3 de 145 g e) 331

    3% 3

    1

    3

    3

    1000 145

    100

    3%

    10

    3

    3

    200 29

    100

    3

    100

    10

    3

    87

    200

    100

    3

    1

    100

    10

    3

    , 10

    9

  • 39

    PROGRESSO ARITMTICA (P.A.)

    Chama-se Progresso Aritmtica (P.A.) toda sequncia numrica em que cada

    termo, a partir do segundo, igual ao anterior somado com um nmero fixo,

    chamado de razo da P.A.

    = = = = = +

    FRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.

    Seja a P.A. (, , , , , , ) de razo r

    a2 = a1 + r a5 = a2 + 3r an = a1 + (n 1)r

    a3 = a1 + 2r a5 = a3 + 2r an = ensimo Terno (ltimo termo)

    a4 = a1 + 3r a3 = a2 + r n = nmero de termos

    a5 = a1 + 4r a6 = a3 + 3r

    an = a1 + (n 1)r a6 = a4 + 2r

    FRMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITA

    Considere a PA Finita (6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34) e nela podemos destacar 6 e 34, que so os extremos.

    {10 3014 2618 22

    {6 + 34 = 40

    10 + 30 = 4018 + 22 = 40

    Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos

    igual soma dos extremos.

    a1 + a8 = a2 + a7

    a3 + a6 = a4 + a5 =(+)

    , onde: {

    = 1 =

    =

    a1 + a8 = a4 + a5

  • 40

    PROGRESSES GEOMTRICAS (P.G.)

    Considere um conjunto ordenado de nmeros reais, tais que cada elemento

    seja igual ao anterior multiplicado por uma constante.

    O conjunto formado pelos nmeros (2, 4, 8, 16, 32) est nessa situao. A

    constante nesse exemplo o 2 e os conjuntos assim formados chamam-se

    Progresso Geomtrica (PG) e seus elementos so chamados termos.

    Definio:

    Chama-se PG, uma sucesso de nmeros no nulos em que o quociente de

    cada um deles, a partir do segundo, pelo seu antecessor sempre o mesmo.

    Esse quociente constante denominado razo da PG.

    (a1, a2, a3, , an1, an)

    =

    = =

    = =

    Classificao de uma PG:

    ) : > Ex: (2, 6, 18, 54, . . . ) q = 3

    ) : < < Ex: (27, 9, 3, 1, . . . ) q = 1

    3

    ) : = Ex: (4, 4, 4, 4, . . . ) q = 1

    ) : < Ex: (2, 6, 18, 54, . . . ) q = 3

    FRMULA DO TERMO GERAL ()

    =

    =

    =

    a2 = a1 q a4 = a2 q2 an = ltimo Termo

    a3 = a1 q2 a5 = a3 q

    2 n = nmero de termos

    a4 = a1 q3 a5 = a2 q

    3 q = razo

    a5 = a1 q4

    an = a1 qn1

  • 41

    FRMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA PG FINITA

    1 Caso:

    = 1 (PG constante), usa-se a frmula =

    2 Caso:

    #1, usa-se a frmula:

    =(

    )

    FRMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA

    PG decrescente < 1 > 0 (0 < < 1).

    0 .

    PG crescente 0 .

    Se a PG decrescente ilimitada, chamamos a soma de seus termos de limite

    da soma dos termos da PG e indicamos por .

    Para calcul-la, usamos a frmula:

    =

    , onde {

    S = Limite da Soma1 =

    =

    Exerccios:

    1) Calcular o valor de x, de modo que os nmeros 2 3, 2 + 1 3 + 1, estejam, nessa ordem, em PA.

    2 + 1 (2 3) = 3 + 1 (2 + 1)

    2 + 1 2 + 3 = 3 + 1 2 1

    = 4

    2) Numa PG, 5 = 32 8 = 256. Calcule 1.

    8 = a5 3 5 = 1

    4

    256 = 32 3 32 = 1 24

    3 = 8 1 =32

    16

    = 83

    1 = 2

    = 2

  • 42

    3) Numa PG, o sexto termo 3 e o primeiro 96. Qual o termo que igual a

    12?

    a6 = 3 a6 = a1 5 2=1

    5

    a1 = 96 3 = 96 5 2=96

    1

    2

    5 =3

    96 2=48 3=24 4=12

    =1

    32

    = 1

    32 (96, 48, 24, 12, 6, 3)

    =1

    2

    9) Em uma PG, o 1 termo 2 e o 4 54. Calcule 5.

    a1 = 2 5=14

    a4 = 54 5=2 4

  • 43

    FUNO EXPONENCIAL

    dada por () = ( #1 > 0) denominada funo exponencial de base a e definida parea todo x real.

    Ex: () = 2 () = (1

    3)

    () = 3

    A exigncia de que a base a seja positiva para que se possa definir a

    funo () = a seguinte:

    = 2 =1

    2

    () =

    ()

    ,

    EQUAES EXPONENCIAIS

    Chamamos de Equao Exponencial a toda equao em que a incgnita

    figura como expoente.

    2 = 64 3 =1

    27

    2 = 26 3 = 33

    = =

    FUNO LOGARTMICA

    Definio:

    O Logaritmo de um nmero real e positivo b, na base a, positiva e diferente

    de 1, o nmero x ao qual se deve elevar a para se obter b.

    = =

    > , > #

    Forma Logartmica Forma Exponencial

    =

    =

    26 = 64 (1

    3)

    2= 9

  • 44

    = {

    = =

    = = {

    = = =

    {

    ou {

    > >

    A Este conjunto de condies, chamamos de campo de existncia ou

    domnio dos logaritmos (CE).

    CONSEQUNCIAS DA DEFINIO:

    =

    =

    =

    =

    = =

    EQUAES LOGARTMICAS:

    = =

    { > 0 = S={16}

    Determinar o conjunto soluo da equao ( ) =

    { > 0 ( ) = Verificao

    = = 3 = 2

    = > + >

    = > (V) > (V)

    =

    S = {-2, 3}

  • 45

    PROPRIEDADES OPERACIONAIS DOS LOGARITMOS

    1) Logaritmo de um Produto

    ( ) = + , > , > # > .

    2) Logaritmo de um Quociente

    = , > , > # >

    3) Logaritmo de Uma Potncia

    = , > , > # >

    CASO PARTICULAR:

    log

    log 1

    Sabendo-se que log = 8, log = 2 log = 1, calcular: log (3

    24)

    (3

    24)

    log 3 log(

    2 4)

    3 log ( log2 + log

    4)

    3 log log2 log

    4

    3 8 2 2 4 1

    Sendo log 2 = log 3 = , calcular log(98 ) em funo de .

    ( )

    log 9 + log 8

    log 9 + log 23

    log 9 + log 23

    2

    log 32 +3

    2log 2

    2 log 3 +3

    2log 2

    2() +3

    2 ()

    2 +3

    2

    +

  • 46

    MUDANA DE BASE:

    =

    onde {

    > <

    <

    Sendo log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4, calular log2 6

    log2 6 =log 6

    log 2

    log 23

    log 2

    2+ 3

    2

    0,3+0,4

    0,3

    0,7

    0,3

    COLOGARITMO:

    Chama-se Cologaritmo de um nmero b numa base a, ao oposto do logaritmo

    de b na base a.

    =

    colog2 16 colog13

    27

    log2 16 log13

    27

    4 (3)

    =

    =

  • 47

    PRODUTOS NOTVEIS

    QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

    ( + ) = + +

    ( + + ) = [( + ) + )]

    QUADRADO DA DIFERENA DE 2 TERMOS

    ( ) = +

    ( + ) = [( + ) )]

    PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENA DE DOIS TERMOS

    ( + )( ) =

    ( + + )( ) = [( ) + ] [( ) ] = ( ) ()

    CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS

    ( + ) = + + +

    CUBO DA DIFERENA DE DOIS TERMOS

    ( ) = +

    SOMA DE DOIS CUBOS

    + = ( + )( + )

    DIFERENA DE DOIS CUBOS

    = ( )( + + )

    FATOR COMUM EM EVIDNCIA

    + = ( + )

  • 48

    AGRUPAMENTO

    + + + = ( + ) + ( + ) = ( + )( + )

    DIFERENA DE DOIS QUADRADOS

    = ( + )( )

    TRINMIO DO QUADRADO PERFEITO

    + + = ( + )

    + = ( )

    FATORAO DE EXPRESSES QUADRTICAS

    Quando multiplicamos ( + ) ( + ) obtemos + + ou seja:

    ( + )( + ) = + +

    O processo inverso, ou seja, partindo de + + para chegar a ( + )( + ), chamado de fatorao da expresso quadrtica + +

    + + .

    Ex: + +

    Devemos encontrar dois nmeros cujo produto 8 e cuja soma 6.

    Esses nmeros so 4 e 2.

    + + = ( + )( + )

    +

    Devemos encontrar dois nmeros cujo produto 8 e cuja soma -6.

    Esses nmeros so -2 e -4.

    + = ( )( )

    Exerccios:

    Fatores as expresses quadrticas:

    a) + + d) +

    b) + + e) +

    c) + f) +

  • 49

    =

    colog2 16 colog13

    27

    log2 16 log13

    27

    4 (3)

    =

    =

    log2(2 + 2 + 2 =

    log2(2 + 2) = log1

    2(2 2) + 2

    POR 25:

    Quando os dois ltimos algarismo desse nmero for um nmero divisvel por 25.

    POR 2

    Um nmero divisvel por quando os n ltimos desse nmero for um nmero divisvel por 2

    N = 235.160 divisvel por 8= PORQUE 160 DIVISVEL POR 8

    N=4116 DIVISVEL POR 4=22 PORQUE 16 DIVISVEL POR 4

    POR 13

    Um nmero N=a6a5a4a3a2a1 divisvel por 13, quando:

    M= a6a5a4a3a2+4xa1 for um nmero divisvel por 13.

    N=195

    19+4x5

  • 50

    39

    39 divisvel por 13, portanto 195 duivuspuvek oir 13

    b) N=1391

    139+4x1

    139+4

    143

    M=14+4x3

    14+12=26

    Logo, 1391 divisvel por 13.