matemática básica para eletromecânica

Curso Técnico em Eletromecânica

Matemática Aplicada à Eletromecânica

Armando de Queiroz Monteiro NetoPresidente da Confederação Nacional da Indústria

José Manuel de Aguiar MartinsDiretor do Departamento Nacional do SENAI

Regina Maria de Fátima TorresDiretora de Operações do Departamento Nacional do SENAI

Alcantaro CorrêaPresidente da Federação das Indústrias do Estado de Santa Catarina

Sérgio Roberto ArrudaDiretor Regional do SENAI/SC

Antônio José CarradoreDiretor de Educação e Tecnologia do SENAI/SC

Marco Antônio DociattiDiretor de Desenvolvimento Organizacional do SENAI/SC

Confederação Nacional das Indústrias

Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial

Curso Técnico em Eletromecânica

Matemática Aplicada à Eletromecânica

Fernando Carlos Dorte

Florianópolis/SC2010

É proibida a reprodução total ou parcial deste material por qualquer meio ou sistema sem o prévio consentimento do editor. Material em conformidade com a nova ortografia da língua portuguesa.

Equipe técnica que participou da elaboração desta obra

Coordenação de Educação a DistânciaBeth Schirmer

Revisão Ortográfica e NormatizaçãoContextual Serviços Editoriais

Coordenação Projetos EaDMaristela de Lourdes Alves

Design Educacional, Ilustração, Projeto Gráfico Editorial, Diagramação Equipe de Recursos Didáticos SENAI/SC em Florianópolis

AutorFernando Carlos Dorte

Ficha catalográfica elaborada por Luciana Effting CRB14/937 - Biblioteca do SENAI/SC Florianópolis

SENAI/SC — Serviço Nacional de Aprendizagem IndustrialRodovia Admar Gonzaga, 2.765 – Itacorubi – Florianópolis/SCCEP: 88034-001Fone: (48) 0800 48 12 12www.sc.senai.br

Ficha catalográfica elaborada por Luciana Effting CRB14/937 - Biblioteca do SENAI/SC Florianópolis D719m

Dorte, Fernando Carlos Matemática aplicada à eletromecânica / Fernando Carlos Dorte. –

Florianópolis : SENAI/SC, 2010. 49 p. : il. color ; 28 cm.

Inclui bibliografias.

1. Matemática. 2. Matemática - Estudo e ensino. 3. Trigonometria. I.

SENAI. Departamento Regional de Santa Catarina. II. Título.

CDU 51

Prefácio

Você faz parte da maior instituição de educação profissional do estado. Uma rede de Educação e Tecnologia, formada por 35 unidades conecta-das e estrategicamente instaladas em todas as regiões de Santa Catarina.

No SENAI, o conhecimento a mais é realidade. A proximidade com as necessidades da indústria, a infraestrutura de primeira linha e as aulas teóricas, e realmente práticas, são a essência de um modelo de Educação por Competências que possibilita ao aluno adquirir conhecimentos, de-senvolver habilidade e garantir seu espaço no mercado de trabalho.

Com acesso livre a uma eficiente estrutura laboratorial, com o que existe de mais moderno no mundo da tecnologia, você está construindo o seu futuro profissional em uma instituição que, desde 1954, se preocupa em oferecer um modelo de educação atual e de qualidade.

Estruturado com o objetivo de atualizar constantemente os métodos de ensino-aprendizagem da instituição, o Programa Educação em Movi-mento promove a discussão, a revisão e o aprimoramento dos processos de educação do SENAI. Buscando manter o alinhamento com as neces-sidades do mercado, ampliar as possibilidades do processo educacional, oferecer recursos didáticos de excelência e consolidar o modelo de Edu-cação por Competências, em todos os seus cursos.

É nesse contexto que este livro foi produzido e chega às suas mãos. Todos os materiais didáticos do SENAI Santa Catarina são produções colaborativas dos professores mais qualificados e experientes, e contam com ambiente virtual, mini-aulas e apresentações, muitas com anima-ções, tornando a aula mais interativa e atraente.

Mais de 1,6 milhões de alunos já escolheram o SENAI. Você faz parte deste universo. Seja bem-vindo e aproveite por completo a Indústria do Conhecimento.

Sumário

Conteúdo Formativo 9

Apresentação 11

12 Unidade de estudo 1

Números Decimais

Seção 1 - Introdução

Seção 2 - Operações básicas com números decimais


Proporções

Seção 1 - Definição de pro-porção (conceito de razão)

Seção 2 - Regra de três simples


Frações

Seção 1 - Propriedades com frações: multiplicação e divisão

Seção 2 - Propriedades com frações: adição e subtração

13

13


Potenciação e Radiciação

Seção 1 - Propriedades de potenciação

Seção 2 - Propriedades de radiciação


Equação de 1º e 2º Grau

Seção 1 - Introdução à equação

Seção 2 - Equação de 1º grau

Seção 3 - Equação de 2º grau


Função de 1º e 2º Grau

Seção 1 - Definição de função

Seção 2 - Função de 1º grau

Seção 3 - Função de 2º grau

17

19

25

27

31

31

32


Trigonometria Básica

Seção 1 - Definição de trigo-nometria

Seção 2 - O triângulo retân-gulo

Seção 3 - Teorema de Pitágoras, seno, cosseno e tangente

Seção 4 - Aplicação prática

Finalizando 47

Referências 49

21

21

35

36

37

41

41

43

45

8 CURSOS TÉCNICOS SENAI

Conteúdo Formativo

9MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA

Carga horária da dedicação

Carga horária: 30 horas

Competências

Aplicar ferramentas matemáticas para resolução de problemas em sistemas industriais.

Conhecimentos

▪ Conjuntos numéricos.

▪ Operações com números decimais.

▪ Frações, potenciação e radiciação.

▪ Proporções e regra de três simples.

▪ Equações do 1º e 2º grau.

▪ Funções do 1º e 2º grau.

▪ Trigonometria básica.

Habilidades

▪ Interpretar catálogos, manuais e tabelas técnicas.

▪ Utilizar técnicas da matemática aplicada.

▪ Utilizar calculadora científica.

Atitudes

▪ Proatividade.

▪ Trabalho em equipe.

Apresentação

MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA 11

Sabemos que hoje é de fundamental importância o desenvolvimento pessoal e profissional. A sociedade e as empresas almejam não somente indivíduos capacitados, mas também profissionais que sejam acima de tudo éticos e tenham atitudes proativas em busca de desenvolvimento e crescimento contínuos.Você está convidado a iniciar uma nova etapa no desenvolvimento de sua formação, com um maior aprofundamento de seus conhecimentos, utilizando-se de uma abordagem integrada entre os assuntos expostos nesta unidade curricular e suas aplicações práticas.Os fundamentos matemáticos aqui tratados estão elaborados de forma a lhe fornecer informações, objetivando contribuir para o seu cresci-mento profissional e proporcionando o interesse e a motivação para a sua autoaprendizagem. Os assuntos abordados procuram estabelecer ligações com as atividades e as situações práticas vivenciadas no dia a dia, objetivando o seu aperfeiçoamento profissional e social de uma for-ma prática, criativa e agradável por meio dos temas correlacionados e desenvolvidos.Bons estudos!

Professor Fernando Carlos Dorte

Fernando Carlos Dorte é pós-graduado em Gestão Industrial pela UNERJ Jaraguá do Sul, formado em Pedagogia para o Ensino Técnico pela UNISUL, tecnólogo em Processos de Fabricação (convênio CEFET/PR – UNERJ/SC), técnico em Mecânica pelo CIS Joinville e em Mecânica Geral pelo SENAI Taubaté. Trabalha há 25 anos na área de engenharia industrial de diversas empresas atuando como analista de processos e desenvolvendo atividades ob-jetivando a redução dos custos industriais, melhoria da quali-dade do produto, processos e também das condições de tra-balho (ergonomia). Atualmente, exerce a função de especialista de ensino no SENAI Unidade de Jaraguá do Sul, no núcleo Metal Mecânico, onde ministra além de disciplinas nas áreas de exa-tas, disciplinas relacionadas à gestão e humanas. Participou de vários cursos relativos a ges-tão industrial, sistemas da quali-dade, processos de fabricação e gestão de manutenção e ainda de cursos de formação pedagó-gica e desenvolvimento tecno-lógico pelo SENAI/SC.

Unidade de estudo 1

Seções de estudo

Seção 1 – IntroduçãoSeção 2 – Operações básicas com nú-meros decimais


SEÇÃO 1 Introdução

Leitura de um número decimal

No número decimal, temos:

Parte Inteira Parte Decimal

3 , 52

{ {

Para ler um número decimal, de-vemos proceder conforme descri-to a seguir. Acompanhe!

1. Primeiro, lemos os inteiros.

2. Depois, lemos a parte decimal seguida da palavra:

▪ décimos – caso exista apenas uma casa decimal; ▪ centésimos – caso existam

duas casas decimais; ▪ milésimos – caso existam três

casas decimais.

Exemplos

a. 2,8 (dois inteiros e oito déci-mos).

b. 3,27 (três inteiros e vinte e sete centésimos).

c. 14,008 (quatorze inteiros e oito milésimos).

d. 12,531 (doze inteiros, quinhen-tos e trinta e um milésimos).

Números Decimais

DICA Quando a parte inteira for zero, lemos apenas a parte decimal.

Exemplos

a. 0,6 (seis décimos).

b. 0,38 (trinta e oito centésimos).

c. 0,25 (vinte e cinco centési-mos).

d. 0,002 (dois milésimos).

Composição de um va-lor (padrão de leitura)

Milhar

Centena

Dezena

Unidade

,

Décimos

Centésimos

Milésimos

Décimos

milésimo

Centésimos

milésimo

Exemplo

64,5836 (sessenta e quatro intei-ros, cinco mil, oitocentos e trinta e seis décimos de milésimos).

SEÇÃO 2Operações básicas com números decimais

Adição e subtração

Prática para realizar as operações de adição e subtração com núme-ros decimais:1º Passo: é preciso organizar os números colocando vírgula abai-xo de vírgula;2º Passo: adicionar ou subtrair como se fossem números natu-rais.

Exemplos

a. Comprei uns utensílios domés-ticos de limpeza que me custa-ram, respectivamente, R$ 4,34 e R$ 2,27. Quanto gastei no total?

4,34

+2,27

6,61


Resposta: gastei um total de R$ 6,61.

c. Eu possuía uma saca contendo arroz pesando 84,63 kg; meu vizinho solicitou um emprés-timo de três conchas pesando 8,74 kg. Quantos quilos resta-ram na saca?

84,63-8,74

75,89

Resposta: restaram na saca 75,89 kg de arroz.

DICA Havendo uma quantidade de casas diferente entre os números após a vírgula, você deve igualar com ze-ros à direita.

Exemplos

a. 3,73 + 2,4

3,73+2,40 6,13

b. 47,6 – 23,84

47,60-23,84 31,76

Multiplicação

Multiplicar os números decimais como se fossem Números Na-turais.

Devemos contar o total de casas decimais dos números multipli-cados entre si para posicionar a vírgula no resultado final (pro-duto), contando da direita para a esquerda.

Exemplos

a. 4,26 x 2,3

4,26x2,31278852/

9,798

b. 0,23 x 0,007

0,23x0,0070,00161

Divisão

Dividir os números decimais como se fossem Números Natu-rais.Para se dividir números decimais, devemos igualar as casas decimais destes, completando com quantos zeros forem necessários.

Exemplos

a. 3,52 ÷ 0,2 = Igualando as casas decimais: 3,52 ÷ 0,20

Após as casas decimais estarem com a mesma quantidade de al-garismos, eliminamos as vírgulas e procedemos a divisão como se fossem números naturais.

352 | 20 20 17,6 152 140 0120 120 0

Números Naturais: Integram ao conjunto dos Números Naturais (N) os números não decimais e maiores ou iguais a zero.N = {0, 1,2,3...}.


Observe que a divisão foi efetuada como se tivéssemos multiplicado ambos os números decimais por 100, eliminando assim as vírgulas.

b. 68,4 ÷ 1,44 = 684 ÷ 144 = 47,5 (ambos multiplicados por 100).

c. 3,458 ÷ 0,25 = 3458 ÷ 250 = 13,832 (ambos multiplicados por 1.000).

DICA Podemos encontrar expressões que envolvem adições, subtrações, multiplicações e divisões. Quando isso ocorrer, devemos primeira-mente efetuar a multiplicação ou divisão e somente após somar ou subtrair, salvo operações que se encontrem entre parênteses.

Exemplo

a. 3,5 x 2,45 + 2,5 = multiplicando: 3,5 x 2,45 = 8,575.

Finalmente, soma-se o resultado ao valor restante: 8,575 + 2,5 = 11,075.

Compreendido isso, que tal agora você avançar em seus estudos e co-nhecer o conceito de razão? A compreensão deste conceito é primordial para o entendimento de proporções, tema da unidade de estudo a seguir. Vamos! O que você está esperando para prosseguir? Bons estudos!

Unidade de estudo 2

Seções de estudo

Seção 1 – Definição de proporção (con-ceito de razão)Seção 2 – Regra de três simples


SEÇÃO 1 Definição de proporção (conceito de razão)

Para compreendermos a definição e aplicação prática de proporção, devemos entender o conceito de razão.

Razão

Entre dois números dados, é o quociente do primeiro pelo se-gundo, ou seja, a relação entre es-ses números.

Exemplo

De cada 10 bolas coloridas, 5 são azuis. Portanto, 5 em 10 são azuis.

5 → Lê-se 5 para 10;10 A razão é “0,5“ pois 5 ÷ 10 = 0,5 Os números dados são os ter-mos da razão e, em toda razão, o dividendo é chamado anteceden-te e o divisor é chamado conse-quente.

12 → Antecedente2 → Consequente

Proporção

É a igualdade entre duas ou mais razões, isto é, mantendo-se a mes-ma relação (quociente) entre o antecedente e o consequente de cada uma das razões temos razões proporcionais.

Proporções

Exemplo

9 = 6 12 8

Lê-se: 9 está para 12, assim como 6 está para 8.

Note que a razão para cada uma das relações é mantida inalterada, isto é, igual a “0,75”, portanto, são razões proporcionais.Os números que compõem uma proporção são chamados termos, os quais recebem denominações especiais. O primeiro e o último termo entre duas razões são os extremos e os outros recebem a denominação de meios:

extremo

meio

meio

extremo

→→

=←←

86

129

7289

72612

86

129

=×→=×→

=

Propriedade fundamental das proporções: “O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.” (NEVES, [200-?]).

Grandezas direta e inversamente proporcio-nais

Duas grandezas são diretamen-te proporcionais quando, ao se aumentar o valor de uma certo número de vezes, o valor da outra aumenta o mesmo número de ve-zes, ou quando, ao se diminuir o valor de uma, o valor da outra di-minui o mesmo número de vezes.

Exemplo

Uma pessoa paga R$ 2,58 por um litro de gasolina, por 45 litros pa-gará o valor de: 45 x R$ 2,58 = R$ 116,10.

Tabela 1 - Grandezas Diretas

Gasolina Preço (R$)

1 litro 2,58

2 litros 5,16

5 litros 12,90

10 litros 25,80

45 litros 116,10


Nas grandezas diretamente proporcionais, a razão entre os valores cor-respondentes é constante.

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentan-do a grandeza de uma certo número de vezes, a grandeza da outra dimi-nui o mesmo número de vezes, ou quando, ao se diminuir a grandeza de uma, a grandeza da outra aumentará o mesmo número de vezes.

Exemplo

Relação entre velocidade e tempo necessário para percorrer a distância de 180 km.

Tabela 2 - Grandezas Inversas

Velocidade (km/h) Tempo (horas)

90 2

60 3

45 4

36 5

30 6

Sempre que duas grandezas são inversamente proporcionais, o produto entre os valores correspondentes é constante.90 x 2 = 60 x 3 = 36 x 5 = 30 x 6 = 180

58,245

10,11610

80,25590,12

216,5

158,2

=====


SEÇÃO 2Regra de três simples

Por meio da regra de três podemos determinar um termo desconhecido de uma relação de proporção, caso sejam conhecidos os demais termos. A regra de três se baseia na propriedade fundamental das proporções.

Exemplo

a.

:4

122

epropriedadaAplicandox

∴=

:1224 Assimx ×=×

64

244122

=∴=∴×

= xxx

b. Se um minuto equivale a 60 s, então 400 min equivalem a quantos segundos?

Visto a regra de três simples, estudaremos agora as frações, nosso próxi-mo tema de estudo. Continue antenado!

Montando a proporção: xs

s

⇒⇒

min400

60min1 Portanto:

x60

4001

=

400601 ×=× x Matematicamente: sxx 24000140060

=∴×

=

Unidade de estudo 3

Seções de estudo

Seção 1 – Propriedades com frações: multiplicação e divisãoSeção 2 – Propriedades com frações: adição e subtração


SEÇÃO 1 Propriedades com frações: multiplicação e divisão

Números fracionários são for-mas de representação numérica, significando uma relação de pro-porção, que não passa de uma di-visão entre valores apresentada da seguinte forma:

Multiplicação com frações

A operação de multiplicação en-tre frações é muito simples, basta multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si.

Exemplos

a.

286

4732

43

72

=××

=⋅

b.

43

34

154135

43

5 ==××

=⋅

Frações

Divisão com frações

A operação de divisão com frações segue a seguinte regra: para se dividir fração por fração, deve-se transformar a operação de divisão em uma multiplicação. No entanto, é necessário respeitar o seguinte processo: a primeira fração é mantida inalterada enquanto ela é multiplicada pela segunda fração invertida. Em outras palavras, o numerador é trocado pelo denominador dessa mesma fração. Por fim, a regra da multiplicação é aplicada.

Observe que no exemplo “b” a fração resultante possui o numerador maior que o denominador, para realizar sua simplificação foram retira-dos os inteiros do número fracionário, formando uma fração composta.

SEÇÃO 2Propriedades com frações: adição e subtração

As operações de adiçãoe subtração de frações exigem uma condição fundamental a ser respeitada, acompanhe!

Para se efetuar as operações de adição e subtração entre duas ou mais fra-ções, os denominadores das respectivas frações “devem ser iguais”, pois devemos manter uma relação de proporcionalidade entre elas.

Fração equivalente

Frações equivalentes são aquelas que não alteram sua grandeza, repre-sentam a mesma parte de um inteiro, assim, mantemos a essa relação de proporção entre numerador e denominador da fração, multiplicando ou dividindo os mesmos por um único valor.

Exemplos

a.

218

3742

34

72

43

:72

=××

=×=

b.

32

63

203145

34

543

5 ==××

=×=÷

Segunda fração invertida


21

Ex.: 42

2

12

2

=×

×

e 21

4

22

2

=÷

÷

42

Assim: ""

21

e ""

42

são frações equivalentes.

21

42

Para igualar os denominadores das frações a serem somadas ou subtraí-das, podemos aplicar a sistemática do Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c).Vamos relembrar como obter o Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.) en-tre dois ou mais denominadores:

Ex.: ?61

103

32

=+−

30532

5

3

2

111

511

533

10,6,3

=××

Assim: 158

30

1630

5920305

309

3020

61

103

32

2

2

ivalentesFraçõesEqu

adorcomummindenogosadoresantimindeno

==+−

=+−=+− ÷

÷

= ÷

é o m.m.c. de 3, 6 e 10.

×


DICA Processo: dividir o novo denominador das frações equivalentes pelo antigo de cada fração e multiplicar esse resultado pelo numerador respectivo de cada fração.

Exemplos

a.

2013

2058

41

52

=+

=+

b.

165

1638

163

21

=−

=−

Com o tema propriedades com frações: adição e subtração, você con-cluiu aqui a terceira unidade de estudo. Antes de avançar para uma pró-xima unidade, certifique-se de que apreendeu todas as dicas e orienta-ções para operar propriedades com frações. Vamos! Não custa conferir. Como diz o ditado, “o seguro morreu de velho...”

Unidade de estudo 4

Seções de estudo

Seção 1 – Propriedades de potenciaçãoSeção 2 – Propriedades de radiciação


SEÇÃO 1 Propriedades de potenciação

A potenciação indica o produto (multiplicações) de fatores (números) iguais, representado da seguinte forma:

an = a . a . a .( . . .) . a{ n = número de vezes que o fator “a” deve ser multiplicado). Sendo:

Símbolo de potência: an expoente basePor exemplo, o produto: 5 . 5 . 5 . 5 pode ser indicado na forma 54.

Exemplos

23 = 2. 2. 2 = 8 32 = 3. 3. = 944 = 4. 4. 4. 4 = 256 53 = 5. 5. 5 = 125

Atenção: todo número inteiro é uma potência de expoente 1.

Ex.: 7 = 71

Podemos reverter o processo, neste caso, transformar um número intei-ro não primo em potência, fatorando esses números. Observe.

Exemplo 8 = 23 8 2

4 2 2 2 1 8

Multiplicação de potências

Bases iguais: para multiplicar potências de mesma base, deve-se man-ter a base e somar os expoentes. am . an = am+n

Exemplos

a. a4 . a7 = a4+7 = a11

b. 25 . 22 = 25+2 = 27

Expoentes iguais: para multiplicar potências de mesmo expoente, deve-se manter o expoente e multiplicar as bases.

Potenciação e Radiciação

xn . yn = x .yn

Exemplos

a. a5 . b5 = a . b5

b. 57 . 27 = (5 . 2)7 = 107

Divisão de potênciasBases iguais: para dividir potên-cias de mesma base, deve-se man-ter a base e subtrair os expoentes.

nmn

m

aa

a −=

Exemplos

2242

4

333

3== −

5838

3

555

5 −− ==

a.

b.

Expoentes iguais: para dividir potências de mesmo expoente, deve-se manter o expoente e divi-dir as bases.

n

n

n

yx

y

x

=


Exemplos

4

4

4

43

4

3

=

22

2

2

23

46

4

6

=

=

a.

b.

Potências de base negativa

Podemos encontrar potências com base negativa em que o sinal de ne-gatividade pode estar sob o efeito do expoente (entre parênteses) ou não.

Exemplos

a. 81)3.3.3.3(34 −=−=−

b. 81)3.3.3.3()3( 4 =−−−−=−

c. 8)2.2.2(23 −=−=−

d. 8)2.2.2()2( 3 −=−−−=−

a.

b.

c.

d.

Conclusões

Sempre que a base for negativa, isto é, o sinal também estiver sob a influência do expoente (entre parênteses), o resultado depende-rá da regra dos sinais.

DICA Observe que se o expoen-te for par, o resultado será positivo; e se o expoente for ímpar, o resultado será negativo.

2

12 1 =−

271

3

13 3

3 ==−

41

249

2

323

32

2

222

===

=

−

31

134

3

434

43

1

111

===

=

−

Expoente igual a zero (0)

Toda potência de expoente 0 é igual a 1.

a0 = 1

Exemplos 20 = 1

30 = 1

100 = 1

1000 = 1

3000 = 1

10000 = 1

Potência de expoente negativo

Podemos alterar o expoente nega-tivo de uma potência para positi-vo invertendo a base.

nn

aa

1=−

Exemplos

a.

b. c. d.

Expoente de expoente

Existem duas formas para en-contrar potências elevadas a um determinado expoente. Em uma situação, tem-se a base sendo uma potência (entre parênteses) (am)n =

am-n; e, em outra, tem-se apenas o expoente da base elevado a outro expoente:

)".."...( vezesnmesmoelepordomultiplicamnm aa =

Neste caso, elevamos o expoente da base ao segundo expoente.

Exemplos

a. b. c. d.

Notação científica – potência de dez (10)

Aplicamos números representa-dos em forma de notação cientí-fica quando esses números forem de grandeza muito reduzida ou de grandeza muito elevada, com o objetivo de facilitar seu enten-dimento ou os cálculos a serem efetuados.Para representar um número em notação científica devemos res-peitar o seguinte formato: a x 10n em que: “a” deverá ser um núme-ro entre 1,00 e 9,99 multiplicado por uma potência de expoente “n” e base 10.

DICA Quando o expoente “n” for positivo, devemos acres-centar zeros ao valor “a” ou deslocar a vírgula para a di-reita; quando for negativo, devemos acrescentar casas decimais ou deslocar a vír-gula para a esquerda.

( ) 63.232 33)3( ==

( ) 62.323 22)2( ==

( ) 82.2.22 3333

==

( ) 93.33 2222

==


Exemplos

a.

b.

c.

d.

e.

f.

SEÇÃO 2Propriedades de radiciação

A radiciação é a operação inversa da potenciação, na qual:

xyyx nn=∴=

Sendo: xyyx nn=∴=

n – é chamado índice;x – é chamado radicando.√ – é chamado radical.

DICA Devemos lembrar que quan-do o índice não aparecer na representação, temos uma raiz quadrada, assim, o índi-ce é n = 2.

Exemplos

a.

b.

Multiplicação e divisão de raízes

Para multiplicar e dividir raízes, deve-se possuir o mesmo índice.

Multiplicação

Multiplicamos duas ou mais raízes entre si mantendo o índice e mul-tiplicando os radicandos.

nnn xyyx =×

Divisão

Dividimos duas raízes entre si mantendo o índice e dividindo os radicandos.

nn

n

yx

y

x=

Exemplos

a.

b.

c.

d.

Raiz de raiz

Quando temos a raiz de outra raiz podemos transformá-la em uma única raiz multiplicando os índi-ces das raízes.

mnnmm n xxx =∴ .

Exemplos

a.

b.

c.

d.

Raiz de uma potência

Quando temos a raiz de uma po-tência podemos transformá-la em uma potência de expoente fracio-nário, ou vice-versa, caso isso fa-cilite a simplificação da expressão matemática.

nm

n m xx ⇔

Exemplos

a.

b.

c.

d.

DICA Muitas vezes podemos fa-torar o radicando e obter uma potência.

Exemplo

5

35 35 228 =∴

4108365,448365 ×=

81062,50000000562,0 −×=

3,45 x 34500104 =

1,38 x 00138,010 3 =−

8 x 000.000.000.8109 =

6,8 x 0000068,010 6 =−

9339 2 =∴=

8228 33=∴=

3333 153535 =×=×

63232 =×=×

55

5

75

7

5=

444

4

21

63

6

3==

12433 4 777 == x

10255 333 == x

242433 4 777 == ×x

10525 333 == x

32

3 2 55 ⇔

72

7 2 33−− ⇔

7721

⇔

5 252

2104

4,0 2222 ⇔∴∴ ÷


Potência de raiz

Quando temos a potência de uma raiz dizemos que o radicando dessa raiz está elevado ao mesmo expoente.

( ) n ppn xx ∴

Exemplos

( ) 4

34 334 5::55 recordando∴

Aplicando as propriedades já conhecidas:

( ) 4 3444434 55555555 ∴××=××∴

Redução de radicais ao mesmo índice

Podemos alterar o índice de uma raiz com o objetivo de aplicar alguma outra propriedade já conhecida, ou mesmo objetivando a simplificação da expressão matemática.Procedemos multiplicando ou dividindo o índice da raiz e o expoente do radicando por um mesmo número, assim, mantemos a sua grandeza.

pn pmn m xx× ×∴

Exemplos

a.

b.

c.

6 423 223 2 333 ∴∴ × ×

10 552 51 222 ∴∴ × ×

666 326 36 232 3123 213 728923232323 ∴×∴×∴×∴×∴× × ×× ×


Adição e subtração de raízes

Somente podemos somar ou subtrair raízes que forem totalmente iguais, isto é, que possuírem o mesmo índice e o mesmo radicando.

444 3.233 =+

Exemplos

a.

b.

c.

Aplicando a propriedade de potenciação teremos:

23222 2 +× .

Lembrando a propriedade de multiplicação de raízes.

222222222 2 22 ××⇒××⇒×

Assim:

272324 ∴+

Iniciaremos agora a quinta unidade de estudo. Perceba que já fizemos uma boa caminhada até aqui. Mas não pense que acabou! Ainda há mui-to pela frente... Bons estudos!

26252 =+

74747375 =−+

23222382 3 +∴+

Unidade de estudo 5

Seções de estudo

Seção 1 – Introdução à equaçãoSeção 2 – Equação de 1º grauSeção 3 – Equação de 2º grau


SEÇÃO 1 Introdução à equação

Para resolvermos expressões ma-temáticas aplicamos a lógica, assim, conseguimos transformar desafios cotidianos em um “pro-blema matemático”, esse é o pri-meiro passo para entender e resol-ver uma equação de igualdade que possua pelo menos uma incógnita (valor que você não conhece) re-presentada por letra.Vejamos a condição seguinte. Pense em um número, multipli-que-o por 2, diminua 5 e o resul-tado será 3. Que número é esse?Para resolver, devemos nos utili-zar das operações inversas e ini-ciar pelo fim, veja. 1º Passo: 3 + 5 = 8 (a adição é a operação inversa da subtração).2º Passo: 8 ÷ 2 = 4 (a divisão é a operação inversa da multiplica-ção).Assim obteremos o número resul-tante que é 4.Porém podemos descrever o de-safio de forma diferente, veja. 1º Passo: “Pense em um núme-ro”: como não conhecemos esse número, pode ser qualquer valor, assim, vamos representá-lo por uma letra, que tal X?

x

2º Passo: “multiplique-o por 2”:

2 . x

3º Passo: “diminua 5”:

2x - 5

4º Passo: o resultado será 3:

2x - 5 = 3

Equação de 1º e 2º grau

Resolvendo pelas operações inversas:

2 . x = 3 + 5

x = 3 + 5

2

x = 4

SEÇÃO 2Equação de 1º grau

Definição de equação

Qualquer expressão matemática determinada por uma condição de igual-dade, formada por uma ou mais letras (variáveis ou incógnitas) que repre-sentem valores numéricos desconhecidos. Define-se como sendo de 1º grau quando suas variáveis constituem uma potência de expoente igual a 1.A expressão matemática situada à esquerda da igualdade é denominada: 1º membro da equação (ou igualdade).A expressão matemática situada à direita da igualdade é denominada 2º membro da igualdade (ou equação).

incógnitaouiávelvaraé"x"oOnde35x2IgualdadeEquação

=−

DICA Podemos transformar uma equação em outra equivalente simplifica-da adicionando ou subtraindo um mesmo valor em ambos os mem-bros da equação. Ou ainda, multiplicando ou dividindo seus mem-bros por um mesmo valor, diferente de zero.

Exemplo

)5(0)5(5x:teremosmembrososambosa5Somando05x +=+−=−

Portanto: x = 5


Assim, solucionar uma equação significa encontrar as grandezas de suas incógnitas, valor esse que deverá respeitar a condição de igualdade.

Exemplos de equação de 1º grau

a.

b.

SEÇÃO 3Equação de 2º grau

Também conhecida como equação quadrática, é uma equação polino-mial matemática. Para que a equação seja considerada quadrática, é ne-cessário que sua incógnita forme uma potência de expoente 2 e siga a forma geral:

0cbxax2 =++

Sendo que: “a”, “b” e “c” são os coeficientes da equação; o coeficiente “a” deve ser sem-pre diferente de zero (caso con-trário, não teríamos uma equação de 2º grau);a incógnita “x”, que determina a equação quadrática, é a grandeza a ser determinada.A maneira mais simples e prin-cipal de se resolver uma equação quadrática é aplicar a chamada Fórmula de Bhaskara:

a2ac4bb

x2 −±−

=

sendo “a”, “b” e “c” os mes-mos coeficientes da equação de 2º grau. A partir dessa fórmula po-demos encontrar os possíveis va-lores para a resolução da equação. A parcela da Fórmula de Bhaska-ra b2 - 4ac também é conhecida como Δ. Vale salientar que po-demos encontrar duas grandezas possíveis que atendam a con-dição de igualdade da equação.

108x2 =+

810x2 −=

1x22

x2

810x =∴=∴

−=

108x2 =+

810x2 −=

1x22

x2

810x =∴=∴

−=

108x2 =+

810x2 −=

1x22

x2

810x =∴=∴

−=

75x =+

57x −=

2x =


Exemplo

02x7x3 2 =+−

Temos:

a = 3 b = –7 c = 2

Sabendo-se que:

ac4b2 −=∆ Obteremos:

( ) 2.3.47 2 −−=∆

Concluindo:

252449 =∆∴−=∆

Aplicando a Fórmula de Bhaskara:

3257

x±−

=

Assim:

2x6

122.3

5)7(x 11 =∴∴

+−−=

31

x62

2.35)7(

x 12 =∴∴−−−

=

Visto isso, que tal agora saber se você apreendeu tudo até aqui? Retome os exemplos. Se possível, refaça-os. Articular teoria e prática, esse é o segredo. Bom trabalho!

Unidade de estudo 6

Seções de estudo

Seção 1 – Definição de funçãoSeção 2 – Função de 1º grauSeção 3 – Função de 2º grau


SEÇÃO 1 Definição de função

O conceito de função é um dos mais importantes em toda a mate-mática por se tratar de estabelecer a relação de grandezas entre si. Tem grande importância não só pela sua aplicação na Matemática, mas também na Química, Biolo-gia, Física, entre outras ciências. Dessa forma, podemos dizer que a função está presente em nosso dia a dia e nos possibilita entender melhor o mundo que nos cerca.

Eis alguns exemplos práticos para compreensão das relações entre grandezas e da importância da função:

a. o preço de uma refeição em função do peso;

b. a altura de uma pessoa em fun-ção de sua idade;

c. o salário de um vendedor em função do volume de vendas;

d. a área de um quadrado em fun-ção da medida seu lado.

Função de 1º e 2º Grau

DICA Nesses pequenos exemplos se reflete o conceito de função, perce-ba que existe uma relação entre as duas grandezas, e que a varia-ção de uma depende da variação da outra.

Domínio e imagem

Nos exemplos anteriores, o peso expressa a grandeza que chamamos domínio, enquanto a grandeza preço expressa o que chamamos ima-gem.Tomando um dos exemplos citados acima, vamos verificar como pode-mos relacioná-lo com função, utilizando-se de um quadro. No 1º exemplo podemos afirmar que o valor da refeição é de R$15,00/kg, portanto:

Peso 0,5 1 1,5 2 2,5

Preço (R$) 7,50 15 22,50 30,00 37,50

Perceba que o valor da refeição é uma grandeza variável e que o peso também é uma grandeza variável, assim, podemos afirmar que o preço é função do peso.


Notação de uma função

Representamos a função pela letra “f ” e, matematicamente, utilizamos letras para representar grandezas variáveis, assim, no exemplo citado an-teriormente vamos utilizar “x” para representar a variável peso e “y” para a variável preço.

Assim:

"x"defunçãoé"y"quesignifica)x(fy ⇒=

A função do exemplo acima fica desta forma:

x.15)x(f =

SEÇÃO 2Função de 1º grau

Funções e gráficos

Frequentemente nos deparamos com tabelas e gráficos em jornais, re-vistas e, especialmente, em empresas. De forma simples, são transmi-tidos os mais variados tipos de informações, acontecimentos do dia a dia, desempenho de uma empresa, etc. Pela compreensão de funções podemos facilmente interpretar e compreender os dados apresentados nesses gráficos e até projetar possíveis tendências.Para construir um gráfico baseado numa função, basta atribuir valores do domínio da função e calcular suas respectivas imagens por meio da sentença matemática que define essa função.A função de 1º grau com duas variáveis pode ser representada por uma equação de 1º grau, em que:

bx.a)x(f += Valor inicial Portanto: bx.ay +=

Variável determinante

Variação constante

Observação: se a grandeza “a” for positiva, temos uma função crescen-te; se for negativa, a função é decrescente. Para “a” nulo (a = 0) obtemos uma função constante.O valor “b” corresponde à ordenada do ponto no gráfico de f(x) que cruza o eixo “y”:


Figura 1 - Exemplos de Gráficos da Função de 1º Grau

Exemplo

Para a função 2

x)x(f =

x 2 4 6 8

y 1 2 3 4

Obtenção dos valores de “y” em função de “x”:

1y22

y2

xy 11

11 ==∴=

2y24

y2

xy 22

22 ==∴=

3y26

y2

xy 33

33 ==∴=

4y28

y2

xy 44

44 ==∴=

Elaborando o gráfico

Figura 2: Gráfico 2x

)x(f =

Observação: o gráfico de uma função de 1º grau gera uma reta.

SEÇÃO 3Função de 2º grau

Denominamos função de 2º grau como sendo toda função que tem o fator de uma potência quadrá-tica e suas variáveis, por isso, a função de 2º grau também é co-nhecida como função quadrática. Como vimos em função de 1º grau, a função de 2º grau também é representada por uma equação, e a equação que melhor represen-ta uma função de 2º grau é uma equação já conhecida nossa:

cbxax)x(f 2 ++=

.

Observação: para termos uma fun-ção de 2º grau, o termo “a” deve ser diferente de “0”.

Funções e gráficos

Como na função de 1º grau ob-temos gráficos que podem repre-sentar a função, assim também podemos elaborar gráficos a par-tir de uma função de 2º grau.Os gráficos gerados por uma função de 2º grau têm uma par-ticularidade, o resultado das co-ordenadas obtidas pelos cálculos formará uma parábola.


Exemplo

Vejamos a função: x6x)x(f 2 +−

na qual entendemos: y = -x² + 6x.

Vamos determinar valores para “x” e obter grandezas relativas para “y”.

Elaborando o gráfico

Coordenadas Gráfico

x y Cálculo

1 5 y = - 12 + 6 . 1 y = -1 + 6 y = 5

2 8 y = - 22 + 6 . 2 y = -4 + 12 y = 8

3 9 y = - 32 + 6 . 3 y = -9 + 18 y = 9

4 8 y = - 42 + 6 . 4 y = -16 + 24 y = 8

5 5 y = - 52 + 6 . 5 y = -25 + 30 y = 5

6 0 y = - 62 + 6 . 6 y = -36 + 36 y = 0

Figura 3 - Gráfico de Parábola


Quando a > 0, o gráfico da função forma uma parábola côncava para cima. Quando a < 0, a parábola é côncava para baixo.

Tabela 3 - Tipos de Parábolas

Fonte: Coser (2009).

Estamos chegando ao final desta unidade curricular. A unidade de es-tudo que veremos a seguir trata especialmente da trigonometria básica. Aqui você terá algumas noções introdutórias de trigonometria.

Unidade de estudo 7

Seções de estudo

Seção 1 – Definição de trigonometriaSeção 2 – O triângulo retânguloSeção 3 – Teorema de Pitágoras, seno, cosseno e tangenteSeção 4 – Aplicação prática


SEÇÃO 1 Definição de trigonometria

De origem grega, “trigonon + metria” significa o estudo puro e simples das medidas dos lados, ângulos e outros elementos dos triângulos. A tri-gonometria é usada em várias áreas das ciências, como as Engenharias, a Física, a Astronomia, a Navegação, etc., segundo Cardoso (2009).

Para aplicação em nossa área iremos estudar, em particular, os funda-mentos e as propriedades relativas ao triângulo retângulo e para isso é fundamental o conhecimento dessa figura geométrica.

SEÇÃO 2O triângulo retângulo

Triângulo retângulo é todo triângulo que possui um de seus ângulos com inclinação igual a 90° (ângulo reto). Como já sabemos, a somatória dos

ângulos internos de um triângulo é igual a 180° ∑ °=180Ângulos

, então, para em um triângulo retângulo os outros dois ângulos somarão 90° (ângulos complementares) °=+ 90βα

.Os lados de um triângulo retângulo são denominados de forma especial, tomando-se como referência o ângulo reto (90°), de acordo com suas posições em relação a esse ângulo. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa, ou também o maior lado do triângulo retângulo. Os lados que formam o ângulo reto são conhecidos por catetos.

Figura 4 - Triângulo Retângulo

Trigonometria Básica

Hipotenusa: hypoteinusa = hipó (por baixo) + teino (eu estendo).

Catetos: cathetós (perpendi-cular).


Identificando os cate-tos

Como já aprendemos, os cate-tos são os lados do triângulo que formam o ângulo reto, devemos diferenciá-los entre si tomando como referência outros dois ân-gulos restantes, pois será necessá-rio utilizar um desses ângulos, ou mesmo os dois, para podermos aplicar as relações trigonométri-cas ao triângulo retângulo.

Esse ângulo complementar será considerado o ângulo de referên-cia para basear os cálculos mate-máticos que iremos estudar, bem como orientar as práticas envolvi-das nesta unidade.

É primordial a interpretação cor-reta de um triângulo retângulo e a identificação de suas informações, em especial seus catetos, para que possamos desenvolver os cálculos necessários e compreender suas relações. Portanto, continue ante-nado em sua aprendizagem.

Figura 5 - Ângulos Complementares

Cateto oposto e cateto adjacente

Orientados por esse ângulo de referência determinado, podemos distin-guir os catetos e identificar adequadamente todas as características do triângulo retângulo analisado.

Cateto oposto

Entendemos por cateto oposto o lado do triângulo que fica oposto ao ângulo determinado como ângulo de referência.

Figura 6 - Ângulo de Referência: Cateto Oposto


Cateto adjacente

Entendemos por cateto adjacente o lado do triângulo que forma conjun-tamente com a hipotenusa esse mesmo ângulo de referência.

Figura 7 - Ângulo de Referência: Cateto Adjacente

Nota: alterando o ângulo de referência, alteramos os ca-tetos oposto e adjacente.

SEÇÃO 3Teorema de Pitágoras, seno, cosseno e tangente

Teorema de Pitágoras

Existe uma relação direta entre os lados de um triângulo e por meio des-sa afirmação foi elaborada uma teoria na qual Pitágoras pôde demons-trar que: "Em um triângulo retângulo, a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos".

222 catetocatetohip +=

Figura 8 - Teorema de Pitágoras

Seno

Num triângulo retângulo, o sen de determinado ângulo de referência é dado pela razão (divisão) entre o cateto oposto (CO) a esse ângulo e a hipotenusa (HIP).

HIPCO

sen =α

Figura 9 - Lei do Seno


Cosseno

Num triângulo retângulo, o cos de determinado ângulo de referência é dado pela razão (divisão) entre o cateto adjacente (CA) a esse ângu-lo e a hipotenusa (HIP).

HIP

CAcos =α

Figura 10 - Lei do Cosseno

Tangente

Num triângulo retângulo, a tg de determinado ângulo de referência é dada pela razão (divisão) entre o cateto oposto (CO) e o cateto adjacente (CA) a esse ângulo. Po-demos também dividir o valor do seno do ângulo pelo valor do cos-seno do mesmo ângulo e, assim, obteremos a sua tangente,

ou

CA

COtg =α

ααα

cossen

tg =

Figura 11 - Lei da Tangente

Exemplo

Determinar as dimensões faltantes para o triângulo retângulo abaixo.

Dados: ângulo 30° e CO 122 mm.Sendo a dimensão “x” o CA em relação ao ângulo de referência, aplica-mos a fórmula da tangente:

mm3,211x

30tg122

xx

12230tg

CACO

tg =∴°

=∴=°∴=α

Utilizando os mesmos dados e sendo “y” a hipotenusa, aplicamos a fór-mula do seno:

mm244y

30sen122

yy

12230sen

HipCO

sen =∴°

=∴=°∴=α

Sendo “α” um ângulo complementar:

°−°=∴°=°+°=+ 3090903090 ααβα

°= 60α


SEÇÃO 4Aplicação prática

A trigonometria nasceu entre os gregos e foi aplicada à Astrono-mia pura. Suas primeiras apli-cações práticas ocorreram com Ptolemaios, por volta do ano 150 d.C., que a usou para determinar a latitude e a longitude de cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas.Do mundo grego, a trigonometria passou para a Índia, onde era usa-da a partir do século V nos cál-culos astrológicos. No ano 800, aproximadamente, ela chegou ao mundo islâmico, onde foi muito desenvolvida e utilizada na Astro-nomia e Cartografia. Alcançou, com os livros de Ptolemaios, a Europa Cristã em torno do ano de 1100. Com os portugueses, en-controu uma aplicação de enorme valor econômico na navegação oceânica.Até cerca do ano de 1600, todas as aplicações da trigonometria nada tinham a ver com problemas de agrimensura ou topografia.A trigonometria possui uma in-finidade de aplicações práticas, vejamos alguns exemplos que en-volveram a necessidade da aplica-ção da trigonometria e que ainda hoje continua sendo largamente aplicada:

Os gregos, há mais de 2000 anos, conseguiram determinar o raio da Terra (distância inacessível). Os astrônomos precisaram, no passado, determinar a distância da Terra até a Lua. Muito utilizada ainda hoje pelos navios para determinar distâncias entre ilhas, de sua posição até a costa, etc. Os cartógrafos se utilizam dos recursos trigonométricos para de-terminar a altura de montanhas, o comprimento de rios, desenhar mapas, etc. Um engenheiro aplica a trigono-metria para determinar larguras de rios e assim construir uma ponte, em dimensionamentos de componentes mecânicos, etc.Em atividades de produção, nas quais operadores de equipamen-tos de usinagem determinam re-gulagens para preparação de má-quinas operatrizes ou fabricação de produtos.Como podemos notar, são inúme-ras as possibilidades de aplicação da trigonometria em nosso coti-diano e, em especial, em nossas atividades. Encontre você mesmo outras possibilidades de aplicação da trigonometria em sua vida. Va-mos! Não é difícil...

Trigonometria: Astronomia, Cartografia e Navegação Oce-ânica.


Finalizando

Este material foi elaborado de forma a relacionar todos os assuntos abordados com a vivência prática necessária para o desenvolvimento das atividades profissionais inerentes ao seu curso.

Todos os temas abordados são de fundamental importância para o seu crescimento profissional e pessoal dentro do ambiente de trabalho, bem como para o seu crescimento social, procurando lhe proporcionar capacitação para que se torne autodidata, possa se aprofundar cada vez mais nos assuntos e, assim, crescer no mercado de trabalho tão concorrido e exigente.

Esperamos ter atingido nossos objetivos e desejamos que você possa aprofundar seus conheci-mentos e desenvolver suas habilidades e atitudes.Sucesso!

Referências


▪ CARDOSO, Adriano Sumar. Matemática na cabeça: Trigonometria. 2009. Disponível em: <http://profdrico.sites.uol.com.br/trigono2.html>. Acesso em: 20 out. 2009.

▪ COSER, Marcelo Cóser. Funções de 1º grau. 2009. Disponível em: <http://www.marce-locoser.com.br/03_funcoes1.pdf>. Acesso em: 01 nov. 2009.

▪ NEVES, Márcio. Proporção. [200-?]. Disponível em: <fadepe.com.br/restrito/conteudo/matematica_proporcao.doc>. Acesso em: 10 jan. 2010.

Bibliografia complementar

▪ COLÉGIO Trilíngue Inovação. Disponível em: <http://www.colegioinovacao.com.br/cms>. Acesso em: 30 out. 2009.

▪ FACCHINI, Walter. Matemática para a escola de hoje: guia pedagógico. São Paulo: FTD, 2006. 280 p.

▪ IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David Mauro. Matemática: ciência e aplicações. São Paulo: Atual, 2001. 2 v.

▪ IEZZI, Gelson. Matemática e realidade: manual do professor. São Paulo: Atual, [199-?]. 242 p. (8ª série do primeiro grau).

▪ MACHADO, Antonio dos Santos. Matemática na escola do segundo grau. São Paulo: Atual, 1994. 3 v.

▪ MARTINS, Luciano Camargo. Matemática C - Aula 4: razões e proporções. Disponível em: <http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/PreVestibular/2005-1/mod1/node56.html>. Acesso em: 25 out. 2009.

▪ PITOMBEIRA, João Bosco. Matemática: 1ª fase, 1º grau. São Paulo: Globo, c1994. 127 p. (Telecurso 2000. Profissionalizante, v. 2).

▪ ______. Matemática: 2ª fase, 1º grau. São Paulo: Globo, c1994. 144 p. (Telecurso 2000. Profissionalizante, v. 3, 4).

▪ ______. Matemática: 2º grau. São Paulo: Globo, c1995. 176 p. (Telecurso 2000. Profis-sionalizante, v 1, 2, 3).

▪ SCALZO, Maria Luiza Vollet; SODRÉ, Ulysses. Ensino fundamental: geometria: polígo-nos e triângulos. (atualizada em 17 nov. 2006.) Disponível em: <http://www.mat.uel.br/matessencial/fundam/geometria/poligonos.htm>. Acesso em: 20 out. 2009.

▪ SCARAMBONI, Antonio; NOVAES, Regina Célia Roland. Mecânica: cálculo técnico. São Paulo: Globo; c1995. 144 p. (Telecurso 2000. Profissionalizante).

▪ SÓ Matemática: o seu portal matemático. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio.php>. Acesso em: 20 out. 2009.

matemática básica para eletromecânica

Documents