Matemática 3º ano – Ensino Médio

Professor: Marcus Tadeu Tanuri

Colégio PIO XII

INTRODUÇÃO

A Geometria espacial (euclidiana) trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses objetos. Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas.

PLANOS E RETAS

Duas retas no espaço tridimensional podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.

Retas paralelas distintas: Duas retas que pertencem ao mesmo plano (coplanares) são paralelas se não possuem interseção.

Duas retas são concorrentes se elas têm um único ponto em comum. As retas perpendiculares são retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto.

Retas concorrentes:

Duas retas são ditas reversas quando não se intersectam e não são paralelas. Isto significa que elas estão em planos diferentes. Pode-se pensar de uma reta r desenhada no chão de uma casa e uma reta s, não paralela a r, desenhada no teto dessa mesma casa.

Retas reversas:

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTOS, RETAS E PLANOS

Um plano pode ser determinado por :

Três pontos não colineares

Duas retas paralelas distintas

Duas retas concorrentes.

Uma reta e um ponto fora dela

POSIÇÕES DE RETAS E PLANOS

São três as posições de uma reta em relação a um plano

Reta paralela a um plano: Uma reta r é paralela a um plano A se não existem pontos comuns entre r e A ,de outra forma , se existe uma reta s que pertence ao plano A , paralela à reta r.

Reta s intersecta o plano A: Uma reta no espaço intersecta o plano em um ponto P podendo ser perpendicular ou oblíqua ao plano, caso seja

perpendicular então todo segmento do plano que P como um dos extremos será perpendicular a reta s.

Reta s contida no Plano A: Significa que todo ponto de s também pertence a A

DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO

Seja P um ponto fora de um plano. A distância do ponto ao plano é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto de interseção entre o plano e o segmento.

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS

Planos concorrentes: São planos cuja interseção é uma reta e podem ser perpendiculares ou não

Planos paralelos: São planos que não tem interseção.

Diedro: Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro.

POLIEDRO

Poliedro é um sólido formado pela reunião de um número finito de regiões poligonais planas chamadas faces e a região do espaço limitadas por elas. Cada lado de uma dessas regiões poligonais é também lado de uma única outra região poligonal. A interseção de duas faces quaisquer ou é um lado comum ou um vértice ou é vazia. Cada lado de uma região poligonal comum a exatamente duas faces é chamada aresta do poliedro. Cada vértice de uma face é também vértice do poliedro.

POLIEDROS CONVEXOS E NÃO CONVEXOS

Um poliedro é convexo quando o segmento que liga dois de seus pontos está sempre contido nele. De modo equivalente podemos dizer que um poliedro é convexo se qualquer reta não paralela a nenhuma das faces intersectam suas faces em no máximo dois pontos.

POLIEDROS REGULARES

Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares e congruentes e em todos

os vértices concorre o mesmo número de aresta. Existem apenas 5 poliedros regulares

Tetraedro Hexaedro (cubo) Octaedro

Dodecaedro Icosaedro

RELAÇÕES DE EULER

O matemático suíço Leonhard Euler descobriu uma importante relação entre o número F de faces, o número V de vértices, o número A de arestas de um poliedro convexo.

F + V = A + 2

Poliedro regular convexo

Cada face é um

Faces (F)

Vértices (V)

Arestas (A)

Tetraedro triângulo

equilátero 4 4 6

Hexaedro quadrado 6 8 12

Octaedro triângulo

equilátero 8 6 12

Dodecaedro pentágono

regular 12 20 30

Icosaedro triângulo

equilátero 20 12 30

EXERCÍCIOS 

1.Em um poliedro convexo, o número de vértices é 5 e o número de arestas é 10, .Qual é o número de faces?

2. Em um poliedro convexo de 20 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro?

3.Um poliedro convexo apresenta uma face hexagonal e seis faces triangulares.. Quantos vértices tem esse poliedro?

4. Um poliedro convexo tem 6 faces triangulares e 4 faces hexagonais. Quantas arestas e quantos vértices têm esse poliedro?

 

1.Em um poliedro convexo, o número de vértices é 5 e o número de arestas é 10, .Qual é o número de faces?

2. Em um poliedro convexo de 20 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro?

3.Um poliedro convexo apresenta uma face hexagonal e seis faces triangulares.. Quantos vértices tem esse poliedro?

4. Um poliedro convexo tem 6 faces triangulares e 4 faces hexagonais. Quantas arestas e quantos vértices têm esse poliedro?

5. Qual é o número de faces de um poliedro convexo de 20 vértices tal que em cada vértice concorrem 5 arestas?

5. Qual é o número de faces de um poliedro convexo de 20 vértices tal que em cada vértice concorrem 5 arestas?

6. Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem três faces triangulares , uma face quadrangular, uma face pentagonal e duas faces hexagonais.

6. Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem três faces triangulares , uma face quadrangular, uma face pentagonal e duas faces hexagonais.

7. Em um poliedro convexo, o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas e o número de faces é 3 unidades menos que o de vértices. Encontre a quantidade de faces vértices e arestas desse poliedro.

8. O poliedro convexo de 20 arestas e 10 vértices só possui faces triangulares e quadrangulares. Determine quantas faces triangulares e quantas faces quadrangulares ele possui.

9. Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais todas regulares .Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol usada pela primeira vez na copa de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro.

7. Em um poliedro convexo, o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas e o número de faces é 3 unidades menos que o de vértices. Encontre a quantidade de faces vértices e arestas desse poliedro.

8. O poliedro convexo de 20 arestas e 10 vértices só possui faces triangulares e quadrangulares. Determine quantas faces triangulares e quantas faces quadrangulares ele possui.

9. Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais todas regulares .Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol usada pela primeira vez na copa de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro.

PRISMAS

Entre os poliedros mais conhecidos destacamos os prismas Para construirmos um prisma vamos considerar em um plano α qualquer região poligonal e fora do plano um ponto A .Por A trace um plano β paralelo a α , e uma reta s que intersecta os dois planos, o prisma é reunião dos segmentos paralelas a reta e que tem uma extremidade na região poligonal. Os prismas podem ser Retos ou Oblíquos

Prisma reto Aspectos comuns Prisma oblíquo

Bases são regiões poligonais congruentes

A altura é a distância

entre as bases

Arestas laterais são paralelas com as mesmas medidas

Faces laterais são

paralelogramos

Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na Tabela:

Prisma triangular

Prisma quadrangular

Prisma pentagonal

Prisma hexagonal

Base:Triângulo Base:Quadrado Base:Pentágono Base:Hexágono

PLANIFICAÇÃO DO PRISMA

A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral e total.

A área lateral de um prisma é a soma das áreas de cada face lateral , se o prima tiver como base um polígono regular, as faces laterais serão congruentes , portanto a área lateral pode ser calculada simplesmente multiplicando a área de uma face lateral por n (número de lados da base)

A(lateral) = n A(Face Lateral)

Área total = área lateral +área das bases

VOLUME DE UM PRISMA

Consideremos inicialmente o cálculo do volume de um paralelepípedo retângulo trata-se de um prisma especial, pois quaisquer uma de suas faces poderá ser considerada base, em geral, medir é comparar a um padrão. Assim, medidas de comprimentos são feitas observando quantas vezes esse padrão, o metro, “cabe “ no comprimento que está sendo medido. Da mesma forma se quisermos medir o volume de um sólido geométrico, podemos utilizar o metro cúbico, podemos entender o metro cúbico como um cubo (Hexaedro regular) de aresta 1 metro. Reduzindo problema em saber quantos cubos de 1 metro de aresta superpostos formam o sólido cujo volume pretendemos calcular. Descobrir quantos cubos formam o paralelepípedo, não é das missões mais difíceis, mas para outros prismas,já não fica tão simples.

PRINCÍPIO DE CAVALIERI

A imagem acima dá uma boa idéia do princípio de Cavaleieri é bastante razoável o fato dos dois sólidos (Formados com mesma quantidade de moedas) terem o mesmo volume. Observe que seccionando as duas pilhas de moedas com um plano paralelo ao plano das bases , a áreas definidas no plano será a mesma.Podemos utilizar esse princípio para calcular o volume de um prisma qualquer comparando com o volume de um prisma retangular reto (paralelepípedo) que tenha a mesma altura e a mesma área de base.

EXERCÍCIOS

1. Qual é o volume de concreto necessário para construir uma laje de 20 cm de espessura em uma sala de 3m por 4m?

2.    Sabendo que foram gastos 0,96 m2 para se montar uma caixa cúbica calcule o volume dessa caixa .

3.    Quantos litros de água são necessário para encher um caixa d’água cujas dimensões são : 1,20 m por 0,90m por 1,00 m. Lembre-se 1dm3=1 litro.

4.    Num cubo de aresta a, o volume e área total são expressos pelo mesmo número. Qual é a resta a deste cubo?

5.    Quanto mede a diagonal de um paralelepípedo reto retangular no qual as dimensões são ; 10 cm, 6cm e 8 cm.

6. Um cubo tem aresta igual a , qual é a medida de sua diagonal?

7. Qual é o volume em litros de uma caixa d”água cúbica cuja aresta mede 1,2 m . 

8. Um prisma triangular regular , aresta da base mede 4cm e aresta lateral mede 9 cm . Calcule área lateral, a párea total e o volume do prisma.

9. A diagonal de um cubo mede cm. Qual é o volume desse cubo.

10. É dado um prisma hexagonal regular, no qual a aresta da base mede 5 cm e aresta lateral mede 10cm .Calcule a área lateral dó prisma .