mate rompe cabezas

Guía del profesor

Resolución de ecuaciones de segundo grado con

puzzle

algebraico

Juan Jesús Larrubia Martínez

X2 X

X

X 1 1

Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. ________________________________________________ 3

Índice

Presentación ............................................................................................................ 5 Guía didáctica del material puzzle algebraico....................................................... 7 Introducción............................................................................................................. 9

1. Representación geométrica de expresiones algebraicas de 2º grado con puzzle algebraico......................................................................................................................10

2. Construcción de rectángulos y cuadrados con puzzle algebraico: Características y condiciones. ..............................................................................................15

Programación didáctica de la Unidad experimental........................................... 21

1. Introducción....................................................................................................... 21

2. Objetivos específicos......................................................................................... 22

3. Contenidos ........................................................................................................ 23

4. Metodología....................................................................................................... 25

5. Materiales, medios y recursos........................................................................... 27

6. Horario y temporalización. ................................................................................. 28

7. Evaluación......................................................................................................... 28

Anexos.................................................................................................................... 31

8. Prueba inicial ...................................................................................................... 33

9. Instrumento para el seguimiento y valoración de los aprendizajes desarrollados...................................................................................................... 35

10. Escala tipo “Likert” para la valoración de la actitud hacia las matemáticas. ....... 37

11. Registro de observación para la valoración de la actividad y actitud del alumnado............................................................................................................ 38

12. Prueba de evaluación final de la unidad didáctica.............................................. 39

13. Modelo de Registro de observación para la valoración de las tareas de enseñanza y aprendizaje.................................................................................... 42

14. Registro de observación para la valoración de la actuación y papel del profesor/a ........................................................................................................... 43

15. Bibliografía........................................................................................................ 45


Presentación La presente guía del profesor está organizada en dos partes bien diferenciadas: La guía del

material didáctico puzzle algebraico y la Programación didáctica de la Unidad de Resolución de ecuaciones de segundo grado con puzzle algebraico.

Primera parte. Guía del material didáctico puzzle algebraico.

En esta parte se describe el citado material, la representación geométrica de expresiones algebraicas de 2º grado mediante un conjunto de piezas del puzzle, su utilidad en la obtención de expresiones algebraicas de 2º grado equivalentes más simples, resultado de la construcción de rectángulos y cuadrados a partir del conjunto de piezas del puzzle que representan el trinomio o expresión algebraica inicial y por último, las reglas básicas de agrupación y combinación de piezas que hemos de seguir en la construcción de rectángulos y/o cuadrados.

Segunda parte: Programación didáctica de la unidad de Resolución de ecuaciones de segundo grado con puzzle algebraico.

Programación completa que contiene los objetivos didácticos específicos, los contenidos, orientaciones generales y estrategias metodológicas a seguir en la explicación de contenidos y en la propuesta de actividades y tareas para desarrollar en el aula, la temporalización de la unidad, los materiales, los instrumentos y técnicas de evaluación, los criterios de evaluación. La Programación incluye un anexo dónde se recogen diversos instrumentos de evaluación y de recogida de datos para la evaluación de la propia unidad didáctica, para la valoración de la actitud del alumnado antes y después del desarrollo de la unidad y para la recogida de información sobre la actuación y la actividad desarrollada por el profesor o profesora en el aula.

La programación desarrollada corresponde al tema de resolución de ecuaciones de 2º grado y se ha estructurado de acuerdo a la actual normativa de la Comunidad Autónoma de Andalucía, pero ha sido incluida en la programación de 3º de E.S.O., de acuerdo al Proyecto Curricular de Etapa elaborado por el Departamento de Matemáticas del I.E.S. Nº 1 “Universidad Laboral” de Málaga, dónde esta unidad ha sido probada.

Aunque de acuerdo al nuevo Decreto 148/2002, por el que se modifica el Decreto 106/1992 en el que se establecen las enseñanzas correspondientes a la Educación Secundaria obligatoria en Andalucía; el tema de Resolución de Ecuaciones de 2º grado debe estar incluido en la Programación de 4º de E.S.O, en la mayoría de las planificaciones curriculares de los Departamentos de Matemáticas, al menos en los Centros de nuestra Comunidad, sigue incluyéndose en las programaciones de 3º de E.S.O.

Este desajuste entre las programaciones didácticas que se desarrollan en la práctica y los Diseños Curriculares contemplados en la normativa vigente, obedecen principalmente a los tiempos de desconcierto y transición educativa en los que estamos inmersos, especialmente en lo referente a ordenación académica y curricular, y vienen avalados, entre otras, por dos razones: la primera es la vigencia de los materiales curriculares desarrollados de acuerdo con el anterior Decreto 106/1992, en concreto los libros de texto de 4º de E.S.O. hasta el presente curso académico 2003/04, de acuerdo con la disposición transitoria segunda del nuevo Decreto 148/2002; y la segunda, el nuevo cambio prescriptivo que debía realizarse en el curso 2004/05 de todos los Diseños Curriculares de 3º de E.S.O. motivado por la entrada en vigor de la L.O.C.E. (actualmente con una moratoria legal de dos cursos académicos), hasta las pasadas Elecciones Generales de marzo.


X2

-1

-1

-1

-1 -1

-1

•

X 2 -x -x

-X2

X+3

X+3 x

1

X2

11

11

1

x x x

x x

1

1

1

X2

-x x x

-1

-1 -1

-1

-1

-1

x

-x

3ª Regla

Los rectángulos X y –X, no pueden estar “mezclados” entre si

1 1

1 1

Guía didáctica del material puzzle algebraico

Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. _____________________________________________________________ 9

Introducción El material didáctico puzzle algebraico es una colección de piezas con la que se

puede representar geométricamente una expresión algebraica de segundo grado. Está inspirado en una versión simplificada (compuesta por placas, tiras y unidades) de los Bloques Multibase de Dienes, utilizada por Bruner y el propio Dienes en 19631 para la construcción de cuadrados, como representación geométrica de trinomios de términos positivos de segundo grado que son cuadrados perfectos, en el contexto de una investigación con escolares sobre etapas de desarrollo cognitivo.

Puzzle algebraico es una versión ampliada y original, en cuanto a la metodología de combinación de las piezas, en cuanto a los trinomios que pueden representarse, y en cuanto a su campo de aplicación a la resolución de todo tipo de ecuaciones de segundo grado, del modelo de Dienes y de otros modelos también inspirados en la versión simplificada de los Bloques Multibase, denominados algebra tiles2 (utilizados en Estados Unidos) y orientados entre otras aplicaciones (como son el producto de monomios y de binomios, el cuadrado de un binomio de 1er grado, etc.) a la factorización de trinomios de segundo grado.

Su aplicación a la resolución de ecuaciones de segundo grado, constituye un método mixto (geométrico y algebraico) de resolución que tiene entre sus antecedentes la factorización geométrica de trinomios de segundo grado y el método de completar cuadrados desarrollado por Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi (780-850), matemático árabe considerado padre del álgebra por su obra “Hisab al-yabr wa´l muqqabala”, por lo que puede ser considerado un método de resolución con raíces interculturales que contempla el desarrollo histórico de las matemáticas.

El método de resolución de ecuaciones de segundo grado con puzzle algebraico está basado en la trasformación algebraica de la expresión general de la ecuación que se quiere resolver, en una ecuación equivalente más sencilla con expresión factorizada o en forma de binomio al cuadrado, con o sin término independiente, obtenida de la medida de las dimensiones de un rectángulo o un cuadrado, construido a partir de la colección de piezas del puzzle algebraico que representa la expresión algebraica de la ecuación de segundo grado inicial. Las soluciones de la ecuación, si las hubiese, se obtienen aplicando a la ecuación equivalente procedimientos algebraicos “directos” de resolución (como el del producto de dos factores cuyo resultado es cero o el criterio de la raíz).

1 Citado por Resnick, L y Ford, W. 1981. The Psychology of mathematics for instrucción, (pag. 119). 2 Leitze, A. R. y Kitt, N. A. 2000. Using homemade Algebra Tiles to develop Algebra and Prealgebra conceps. Mathematics

Teacher, Vol. 93 issue 6, september 2000, (pag. 462-520).

Representación geométrica de expresiones algebraicas J.J. Larrubia. ____________________________________________________________________________________________________________________________


1. Representación geométrica de expresiones algebraicas de 2º grado con puzzle algebraico.

1.1. Descripción del material didáctico puzzle algebraico.

Llamamos puzzle algebraico a una colección de figuras geométricas planas, formada por cuadrados y rectángulos que representan:

• el cuadrado de área 1 de dimensiones 1 x 1, que denominaremos unidad positiva.

• el rectángulo de área X de dimensiones 1 x X, que denominaremos tira positiva.

• el cuadrado de área X2 de dimensiones X x X, que denominaremos placa positiva.

Cuadrado de área 1

Unidad positiva

Rectángulo de área X

Tira positiva

Cuadrado de área X2

Placa positiva

Está colección está inspirada, como hemos comentado en la introducción, en una versión simplificada de los Bloques Multibase de Dienes (Dienes [1964]), de las que las piezas del puzzle toman el nombre, y con las que sólo se pueden representar trinomios de segundo grado de términos positivos.

En consecuencia, sí queremos representar cualquier trinomio de segundo grado (con términos positivos y/o negativos), debemos completar la colección inicial con las versiones negativas de las piezas anteriores.

Cuadrado de área - 1

Unidad negativa

Rectángulo de área – X

Tira negativa

Cuadrado de área - X2

Placa negativa

Aunque las áreas y las medidas de los lados de los rectángulos no pueden ser negativas, en el modelo didáctico de representación desarrollado, las piezas negativas, representan figuras con área negativa como consecuencia de ser negativa la medida de uno de sus lados.

1

1

1

X 1

X

X2

X

X

- 1

1

- 1

- X- 1

X

- X2

X

- X

Guía del material puzzle algebraico J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________


1.2. Representación geométrica de expresiones algebraicas de 2º grado mediante un conjunto de piezas.

Toda expresión de 2º grado en forma general completa ( cbxax ++2 ) o incompleta ( bxax +2 o cax +2 ) puede ser representada geométricamente por un conjunto de piezas del puzzle algebraico.

Esta representación geométrica se realiza término a término.

En concreto:

1) El término cuadrático ( 2ax ) se representa mediante:

a) Una placa o conjunto de placas 2X cuando 2ax es positivo.

Ejemplos:

x2

2x2

3x2

4x2

···

b) Una placa o conjunto de placas 2X− , cuando 2ax es negativo.

Ejemplos:

- x2

- 2x2

- 3x2

- 4x2

...

2) El término en X (bx ) puede ser representado mediante:

a) Una tira, un conjunto de tiras o la combinación de dos conjuntos de tiras X , cuandobx es positivo.

Ejemplos:

x

2x

3x

4x

5x

···

b) Una tira, un conjunto de tiras o la combinación de dos grupos de tiras X− , cuando bx es negativo.

Ejemplos:

-x

- 2x

- 3x

- 4x

- 5x

...

X 2 X 2 X 2X 2

-X 2 -X 2 -X2 -X2 -X2 -X2

-X 2 -X 2

-X 2 -X 2

X 2 X 2X 2 X 2

X 2 X 2

x x x xxx x x x

xx

x x x x

-x -x -x -x -x -x -x

-x

-x -x -x -x-x

-x -x


Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 12

c) La combinación de dos grupos o conjunto de tiras X y X− como se indica en las

figuras, siempre que la suma algebraica de los dos grupos coincida con el término bx que queremos representar. Aquí se aplica el principio: “pares de valores opuestos se anulan”

Ejemplos:

2x

( )xxx 224 =−

- 3x

( )xxx 34 −=−

- x

( )xxx −=− 54

...

3) El término independiente (c) se representa mediante:

a) Una unidad o conjunto de unidades positivas (1) cuando el término independiente es positivo.

Ejemplos:

1

4

4

5

8

...

b) Una unidad o conjunto de unidades negativas ( 1− ) cuando el término independiente es negativo.

Ejemplos:

- 1 - 4

- 7

- 9

- 12

- 12

...

Ejemplo: La expresión de 2º grado completa 352 2 ++ xx se puede representar por las piezas:

22x

x5

3

1 1

1 1

1 1

1 1

1

1 1 1 1 1

1 1

1 1

1 1 1 1

X2

X2

1 1 1 X X X X X

-x-x

x x x x

x

-x -x -x -x

xxxx

-x -x -x -x -x

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

-1 -1 -1

-1

-1 -1 -1 -1 -1 -1

-1 -1 -1 -1 -1

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

-1 -1 -1 -1

-1 -1 -1

-1 -1

-1 -1

-1 -1



1.3. Expresión algebraica asociada a una representación geométrica con puzzle algebraico.

Hemos visto que toda expresión de 2º grado puede ser representada geométricamente mediante un conjunto de piezas del puzzle. A la inversa también ocurre: Todo conjunto de piezas que incluya al menos una placa (X2) representa una expresión de 2º grado.

Ejemplo: Dado el siguiente conjunto de piezas.

• Escribiendo la suma de todos los valores, tenemos la expresión:

1112 −−−−−−+ xxxxx

• Agrupando términos y operando obtenemos la expresión de 2º grado asociada:

1.4. Utilidad del puzzle algebraico: Construcción de rectángulos y cuadrados para obtener expresiones equivalentes más simples.

A partir del conjunto de piezas del puzzle que representa una expresión de 2º grado podemos construir rectángulos y/o cuadrados. El cálculo del área de estas figuras nos permitirá obtener expresiones más sencillas (en forma factorizada o en forma de binomio al cuadrado) equivalentes (identicas) a la expresión general de 2º grado inicial representada.

• Para fundamentar y describir este proceso de obtención de expresiones equivalentes desarrollaremos dos ejemplos.

Ejemplo 1: Proceso de obtención de una expresión 2º grado equivalente a 232 ++ xx en forma factorizada a partir de la construcción de un rectángulo, con el conjunto de piezas del puzzle que la representa.

a) Seleccionamos las piezas que representan la expresión 232 ++ xx

b) Construimos un rectángulo, eligiendo entre varias combinaciones posibles el siguiente:

X2

-1 -1 -1 x -x -x -x

xX2

11xx

X2

x

x

1 1

x

322 −− xx



c) Calculamos el área del rectángulo construido mediante dos procedimientos diferentes:

• Cálculo del área a partir de sus componentes: • Cálculo del área a partir de sus dimensiones:

− El área del rectángulo es igual a la suma de las áreas de las piezas que lo forman:

Área rectángulo = 112 +++++ xxxx

− Agrupando términos, tenemos:

− El área del rectángulo es el producto de las dimensiones de su base por su altura:

Conclusión: Cómo el rectángulo es el mismo y su área única, las dos expresiones del área son iguales.

Resultando que: A partir de una expresión de 2º grado en forma general hemos obtenido una expresión equivalente más sencilla, en forma factorizada, mediante la construcción de un rectángulo.

Ejemplo 2: Proceso de obtención de una expresión 2º grado equivalente a 122 +− xx en forma de binomio al cuadrado a partir de la construcción de un cuadrado, con el conjunto de piezas del puzzle que la representa.

a) Seleccionamos las piezas que representan la expresión 122 +− xx

b) Construimos un cuadrado, eligiendo entre varias combinaciones el siguiente:

Área rectángulo = 232 ++ xx Área rectángulo = ( ) ( ) 1x . 2x ++

x2+3x+2 = (x+2).(x+1)

x x X2

1 1x + + + + +

X+2

X+1

1

X

X 1 1

Área rectángulo = base . altura Área rectángulo = Suma área de las piezas

Área = (x+2).(x+1)Área = x2+3x+2 =

X2

1 -x -x

X−1

X−1

X2

1

-x

-x



c) Calculamos el área de este cuadrado mediante los dos procedimientos vistos anteriormente:

• Cálculo del área a partir de sus componentes: • Cálculo del área a partir de sus dimensiones:

− El área del cuadrado como suma de las áreas de las piezas que lo forman es:

− El área del cuadrado como producto de sus dimensiones o como el cuadrado del lado es:

Conclusión: Cómo el cuadrado es el mismo y su área única, las dos expresiones del área son iguales.

Resultando que: A partir de una expresión de 2º grado en forma general hemos obtenido una expresión equivalente en forma de binomio al cuadrado (sin término independiente), mediante la construcción de un cuadrado.

2. Construcción de rectángulos y cuadrados con puzzle algebraico: Características y condiciones.

La construcción de rectángulos y cuadrados sirve para obtener expresiones equivalentes más sencillas de expresiones de 2º grado en forma general.

Estas construcciones no son únicas, un mismo conjunto de piezas puede combinarse de diferentes formas, dando lugar a rectángulos y/o cuadrados distintos.

Pero no todos los rectángulos o cuadrados que pueden construirse son válidos, sólo algunos de ellos nos permiten obtener expresiones equivalentes más sencillas.

En consecuencia, será necesario establecer condiciones y reglas que nos faciliten la construcción de rectángulos y cuadrados válidos.

• Ejemplo: Construye un rectángulo a partir de la siguiente colección de piezas del puzzle que representa la expresión algebraica de 2º grado: 62 −+ xx

• Un posible rectángulo que se podría construir con esta colección de piezas, sería:

En este rectángulo es imposible determinar las dimensiones (medidas de la base y de la altura).

Debido a la combinación de piezas realizada, las medidas de los lados paralelos son distintas cuando deberían ser iguales.

Por tanto, no es posible calcular el área a partir de sus dimensiones y en consecuencia: no es posible obtener una expresión equivalente.

Área cuadrado= 122 +− xx Área cuadrado= ( ) ( ) ( )211 · 1 −=−− xxx

( )22 112 −=+− xxx

-1

-1 -1 -1

-1 -1X2

-x -x x xx

-1

-x x

X2

-x

-1

-1

-1

-1

-1

x

x

Área = (x-2)2Área = x2-2x+1 =



2.1. Tablero para la construcción de rectángulos y cuadrados con “puzzle algebraico”

La construcción de rectángulos o cuadrados, con objeto de unificar criterios y evitar errores en la determinación de las dimensiones, se realizará sobre un tablero de construcción o “esquina” en cualquiera de sus dos versiones: superior o inferior.

a) El vértice del tablero constituye el punto de partida para colocar las placas 2x y para determinar las dimensiones de las construcciones.

b) En las barras horizontal y vertical, independientemente del tablero adoptado, anotaremos las medidas, respectivamente de la base y de la altura del rectángulo o cuadrado construido.

2.2. Reglas básicas de agrupación y combinación de piezas.

La construcción de figuras con puzzle algebraico se realizará siguiendo unas reglas de agrupación y combinación de piezas. Para ilustrar la presentación de estas reglas partiremos del rectángulo del ejemplo anterior, construido a partir de la representación de la expresión: 62 −+ xx .

• La primera regla es:

• Medida de la base

Medida de la altura

Punto de partida • para colocar las piezas X2

• para determinar las dimensiones de la construcción

X2

•

Punto de partida • para colocar las piezas X2 • para determinar las

dimensiones de la construcción

Medida de la base

Med

ida

de la

altu

ra

X2

-x-x x

X2

-1 -1

-1 -1

-1

-1

x

x

1ª Regla Las unidades tienen que estar agrupadas en un único bloque,

en forma de cuadrado o de rectángulo.

•

•

Esquina superior

•

Esquina inferior


Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico _______________________________________________________________ 17

• La segunda regla es:

• La tercera regla es:

Aplicando las tres reglas, obtenemos el siguiente rectángulo, cuyas dimensiones se indican:

En resumen, las reglas básicas de agrupación y combinación de piezas, o de forma abreviada las reglas de construcción, serían:

•

X2

-x xx

-1

-1 -1

-1

-1

-1

x -x

3ª Regla

Las tiras positivas X y negativas –X, no pueden estar “mezcladas” entre si.

No pueden combinarse en un mismo bloque

•

2ª ReglaLa placa X2 y el “bloque de unidades” tienen que estar situadas en diagonal

No pueden situarse en la misma fila o columna X2

-1

-1

-1

-1 -1

-1

x -x x x -x

•

X2

-x

xxx

-x -1

-1

-1-1

-1-1

X+3

X−2

1ª Regla: Los cuadrados unidad positivos o negativos tienen que estar agrupados formando un rectángulo o un cuadrado.

2ª Regla: La placa X2 y el grupo de cuadrados unidad tienen que estar situados en diagonal. No pueden coincidir en la misma columna ni en la misma fila.

3ª Regla: Las tiras X y –X, no pueden estar “mezcladas” entre si en la misma fila o columna.


X2

•

X 2

X 2

X 2

X 2

1

1

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

X+3

4X+1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

X2

-x

-x

-x

-x

-x

-x

-x

• x-5 x-2

-x

-x

-x

-x

-x

-x

-x

X 2

x x x

- X - 1 - 1

- 1 - 1

- 1 - 1

- 1 - 1

•

Añadimos, de forma sucesiva,

x - x +

“unidades de área cero”

que son parejas de rectángulos X y

– X,

hasta completar el rectángulo “mayor”

Programación didáctica de

la unidad experimental Resolución de ecuaciones de 2º grado

con puzzle algebraico


Programación didáctica de la Unidad experimental

Resolución de ecuaciones de segundo grado con puzzle algebraico

3º de E.S.O. 1. Introducción

La presente Unidad Didáctica Experimental de resolución de ecuaciones de segundo grado3, está basada en la utilización de un modelo geométrico manipulativo y visual, como mediador complementario al lenguaje ordinario y al de comunicación didáctica, que hemos denominado puzzle algebraico. El objetivo principal de la utilización de este material didáctico es el de facilitar la comprensión y adquisición del conocimiento algebraico curricular, en concreto las ecuaciones de segundo grado, de todo el alumnado en el siempre difícil paso de la aritmética al álgebra, y en particular del alumnado sordo4 integrado (incluido) en aulas ordinarias de matemáticas de E.S.O. que a las mencionadas dificultades, suma las derivadas de sus diferencias lingüísticas y culturales.

La unidad didáctica desarrollada constituye en sí misma un ejemplo de modelo didáctico común a sordos y oyentes (modelo inclusivo) para el aula ordinaria de matemáticas, dentro del currículo oficial y con los mismos objetivos; con la que se puede comprobar que es posible hacer compatible las diferencias lingüísticas y culturales de partida, existentes entre alumnado sordo y oyente, con la adquisición del conocimiento matemático como patrimonio cultural compartido.

La viabilidad de su utilización como respuesta a las dificultades de aprendizaje del alumnado sordo, así como, la constatación de no suponer para el alumnado oyente un empobrecimiento o merma en sus logros, en comparación con una metodología y un tipo de actividades tradicionales, todo ello medido en relación con las capacidades expresadas en los objetivos del currículo oficial de matemáticas. Ha sido confirmado (obteniéndose diferencias significativas a favor del grupo experimental) mediante un modelo cuasi-experimental pretest-postest con grupo control, en el marco de un trabajo de investigación curricular en Educación Matemática que venimos desarrollando.

La unidad didáctica no está exclusivamente prescrita para clases de matemáticas con alumnado sordo incluido, también puede ser utilizado en aulas con alumnado inmigrante incluido que presenta diferencias lingüísticas y culturales y un menor nivel de competencia lingüística en español, así como, en cualquier aula ordinaria de matemáticas en la que su alumnado presente importantes diferencias individuales, ya que tanto la unidad como el material puzzle algebraico han demostrado ser una medida curricular eficaz de atención a la diversidad.

La unidad didáctica, en el libro del alumno, incluye en sus primeros apartados la presentación, fundamentos y las reglas de combinación de piezas y de construcción de figuras (rectángulos y cuadrados) con el material didáctico, dando por supuesto que el material no se ha utilizado anteriormente en los temas correspondientes a polinomios, en caso contrario estos primeros apartados ya serán conocidos y no será necesario incidir nuevamente en ellos.

3 La unidad didáctica consta del libro del alumno, un cuadernillo de actividades ejercicios, la presente guía didáctica o guía del

profesor y un juego completo de piezas del material didáctico puzzle algebraico. 4 El alumnado sordo profundo prelocutivo (el momento de la perdida auditiva es anterior a la adquisición del lenguaje) tiene como

legua natural el Lenguaje de Signos Español (L.S.E.), por tanto la lengua española no es su lengua vehicular, sino más bien una segunda lengua (L2).

Unidad didáctica experimental J.J. Larrubia. ____________________________________________________________________________________________________________________________


2. Objetivos específicos. Entendemos los Objetivos Específicos de una Programación Didáctica, en este caso de una

Unidad temática, como el último nivel de concreción de los Objetivos Generales de Área para un determinado nivel educativo. En consecuencia, consideramos que su formulación debe ser precisa y concreta, en forma de Objetivos Didácticos, y relacionada con los contenidos elegidos como medio para la consecución de las finalidades educativas que representan los Objetivos Generales de Área y Etapa.

Así entendidos, los objetivos específicos desempeñan un valioso papel orientador de los aprendizajes que han de adquirir los alumnos y alumnas, en relación con los contenidos objeto de enseñanza y aprendizaje, como vía de desarrollo de las capacidades expresadas en los mencionados Objetivos Generales.

Además, su expresión en forma de objetivos didácticos contribuye a facilitar la concreción de los Criterios de Evaluación y su transformación en criterios menos generales y más objetivos, es decir, más fácilmente observables y “medibles”; con lo que también se simplifica la determinación objetiva del nivel real de desarrollo de habilidades, destrezas, estrategias y capacidades del alumnado en relación con los objetivos planificados.

2.1. Objetivos didácticos

Identificar, nombrar y clasificar las formas mas frecuentes de una ecuación de segundo grado a partir de su expresión algebraica..

Determinar si un valor dado es solución o no de una ecuación de 2º grado.

Obtener ecuaciones de 2º grado equivalentes a una ecuación dada, mediante la transposición de términos y/o mediante la aplicación de la regla de equivalencia de la suma y/o el producto.

Reducir una ecuación de 2º grado a su forma general.

Obtener ecuaciones de 2º grado equivalentes en forma factorizada y/o en forma de binomio al cuadrado de una ecuación dada.´

Resolver ecuaciones de 2º grado dadas en forma factorizada o en forma de binomio al cuadrado, con o sin término independiente, aplicando procedimientos directos de resolución.

Resolver ecuaciones de 2º grado incompletas mediante procedimientos directos de resolución.

Resolver ecuaciones de 2º grado: mediante la factorización de su expresión general, mediante el método de completar cuadrados y mediante el método general o fórmula.

Determinar el número de soluciones de una ecuación de 2º grado a partir de su expresión algebraica, o a partir de una ecuación equivalente en forma factorizada o en forma de binomio al cuadrado, o mediante el valor de su discriminante.

Construir ecuaciones de segundo grado a partir de sus soluciones.

Determinar las soluciones de una ecuación de 2º grado a partir de los coeficientes de su expresión general mediante la regla de Cardano.

2.2. Objetivos actitudinales.

Mostrar interés y motivación hacia el aprendizaje de métodos y procedimientos algebraicos.

Tener confianza en si mismo para enfrentarse a problemas o situaciones nuevas.

Participar activamente en clase.

Reconocer la importancia del trabajo en equipo.

Programación didáctica . J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________


Valorar positivamente la precisión y utilidad de los lenguajes geométrico y algebraico como medio para conocer, representar y comunicar.

Tener perseverancia en la realización de las tareas propuestas.

Mostrar flexibilidad en la búsqueda de soluciones, considerar distintas vías y mostrar una actitud abierta en la utilización de otras estrategias.

3. Contenidos

3.1. Contenidos conceptuales.

• Ecuaciones de 2º grado. Definición.

• Clasificación de Ecuaciones de 2º grado según su expresión algebraica.

• Soluciones o raíces de una ecuación de 2º grado.

• Ecuaciones de 2º grado equivalentes.

• Resolución de ecuaciones de 2º grado.

• Representación geométrica de expresiones algebraicas de 2º grado con el material puzzle algebraico.

• Expresiones algebraicas equivalentes que podemos obtener a partir de la representación geométrica de una expresión algebraica de 2º grado.

• Reglas de construcción de rectángulos y cuadrados con puzzle algebraico.

• Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico.

• Método de completar cuadrados con puzzle algebraico.

• Método general de resolución de ecuaciones de 2º grado.

• Número de soluciones de una ecuación de 2º grado.

• Discriminante de una ecuación de 2º grado.

• Valor del discriminante y número de soluciones de una ecuación de 2º grado.

• Relación entre las soluciones de una ecuación de 2º grado y los coeficientes de su expresión general. Regla de Cardano.

3.2. Procedimentales

• Representación de una expresión de 2º grado con puzzle algebraico.

• Construcción de rectángulos y cuadrados a partir del conjunto de piezas del puzzle algebraico que representan una expresión de 2º grado.

a. Reglas básicas de construcción de rectángulos y cuadrados con puzzle algebraico.

b. Utilización del tablero de construcción en esquina con puzzle algebraico.

c. Representación con lápiz y papel de las construcciones realizadas con puzzle algebraico.

i. notación enactiva.

ii. Representaciones icónicas o notación pre-algebraica.

• Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico.

a. Resolución mediante factorización, a partir de la construcción de rectángulos de ecuaciones con a=1,



i. En forma general completa

ii. En forma general incompleta.

b. Procedimiento algebraico de resolución de ecuaciones de 2º grado en forma factorizada o de producto.

c. Resolución mediante factorización, a partir de la construcción de rectángulos de ecuaciones con a≠1,

i. En forma general completa

ii. En forma general incompleta.

d. Procedimientos algebraicos para la resolución de una ecuación de 2º grado incompletas. i. El criterio o regla de equivalencia de la raíz cuadrada.

e. Método de completar cuadrados de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico.

f. Procedimiento algebraico de resolución de ecuaciones de 2º grado en forma de binomio al cuadrado.

i. Sin término independiente.

ii. Con término independiente.

• Método general de resolución de ecuaciones de 2º grado.

• Determinación del número de soluciones reales de una ecuación de 2º grado mediante el análisis del discriminante.

• Relación entre los coeficientes de una ecuación de 2º grado y el producto y la suma de sus soluciones.

• Aplicación de la regla de Cardano al cálculo de las soluciones de una ecuación de 2º grado.

3.3. Contenidos actitudinales. Considerando que las actitudes en general o la adquisición o no de determinadas actitudes

relacionadas con el conocimiento matemático en particular, constituyen un objeto de enseñanza y aprendizaje y de ahí su consideración de contenido, queremos puntualizar que la adquisición de actitudes debe ser entendida como un proceso que en muchas ocasiones supera el ámbito de planificación de una unidad temática e incluso en ocasiones el de una programación completa; y que en todo caso, su enseñanza y aprendizaje no esta asociada a unos contenidos o conjunto de contenidos concretos, sino que está mas bien relacionada con las orientaciones metodológicas, con el ambiente que debe desarrollarse en el aula y con el tipo de actividades o tareas propuestas.

Por ejemplo, un estilo autoritario de enseñanza, basado en exposiciones magistrales y en el desarrollo de tareas individuales, difícilmente promoverán una actitud participativa y un reconocimiento del trabajo en equipo en el alumnado. De igual manera, una propuesta de tareas inconexas, rutinarias, descontextualizadas, que no tengan en cuenta el nivel real de partida del alumnado, difícilmente contribuirá a generar interés y motivación hacia el aprendizaje, perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones o a desarrollar confianza en uno mismo para abordar nuevas tareas.

Por tanto, las actitudes deben ser incluidas en los objetivos específicos y ser consideradas en los criterios de evaluación, pero el medio para su enseñanza y aprendizaje tiene que ser tanto como los contenidos conceptuales y procedimentales, el modelo de enseñanza, las condiciones y el ambiente de aprendizaje en el aula, las orientaciones metodológicas, y muy especialmente las características y el tipo de actividades y tareas a realizar en clase.



4. Metodología

Nuestra propuesta metodológica sobre las acciones y actividades que se realizarán en el aula durante el desarrollo de la unidad didáctica, se articulan entorno a los siguientes elementos: orientaciones generales y papel del profesor, estrategias metodológicas y tareas didácticas.

4.1. Orientaciones generales y papel del profesor

• Orientar, en la medida de lo posible, las sesiones didácticas y los procesos de enseñanza y aprendizaje que en ellas se desarrollen sobre la base de los principios del constructivismo social, del aprendizaje significativo y del trabajo cooperativo.

• Crear un ambiente de trabajo que facilite las relaciones de comunicación durante la clase tanto profesor-alumno, como alumno-alumno.

• Tener un estilo democrático, no autoritario.

• Fomentar la cooperación entre el alumnado, no la competitividad y el individualismo.

• Ser mediador en la construcción de aprendizajes, no un mero instructor o trasmisor de información.

• Resaltar actitudes positivas que surjan entre los alumnos y alumnas.

• Desarrollar la convicción de que los errores son fuentes de aprendizaje y que es importante ponerse a la tarea e intentarlo, independientemente de los errores que se puedan cometer.

• Explicitar grados intermedios de formalización y profundización entre los conocimientos de los alumnos y alumnas y las características del conocimiento matemático en cuestión.

4.2. Estrategias metodológicas 4.2.1. En cuanto a la organización de las sesiones didácticas:

• Las sesiones de clase se dividirán en tres períodos o segmentos de actividad: el inicial, el segmento central o de desarrollo y el segmento final. La duración de los períodos no es fija, pero se intentarán que tanto el inicial, como el final no excedan de 10 minutos cada uno, abarcando el período central o de desarrollo el resto de la sesión que tiene una duración total de 55 minutos.

Segmento inicial de la sesión didáctica.

− Este período se dedicará a:

− Organizar el espacio, disponer al alumnado por parejas, instalar y preparar los medios (retroproyector y juego de transparencias del puzzle), repartir los juegos del material didáctico y otro material didáctico o de apoyo, etc.

− Realizar un breve resumen, por parte del profesor, de los contenidos tratados y/o las actividades realizadas en la sesión anterior, a modo de recordatorio.

− Resolver las dudas y/o las dificultades que puedan haberse producido.

− Comentar a que se dedicará el resto de la sesión y cómo se organizará.

Segmento central o de desarrollo.

− Este período puede dedicarse a la explicación de contenidos, a la propuesta de tareas para realizar en clase o a la corrección de las tareas propuestas para realizar en clase y/o en casa.

− En el caso de dedicarse este período a la explicación de contenidos, nunca agotará el tiempo total del segmento, es decir la explicación de contenidos siempre irá precedida



Segmento final.

− Este período se dedicará a realizar una breve síntesis de la sesión destacándose los contenidos más importantes. Además de proponer tareas individuales para realizar en casa, y dar por terminada la sesión.

− Este período es muy importante y debemos evitar lo que se conoce por: “que la campana termine la clase por ti”. Frecuentemente, muchos profesores convertimos estos últimos minutos en una carrera contra el tiempo en la que queremos ver lo que no ha dado tiempo o explicar alguna cosa de última hora, etc. La experiencia demuestra que a pesar de nuestros esfuerzos suele ser un tiempo perdido.

4.2.2. Durante la explicación de contenidos :

− Realizar una introducción de los contenidos (tópicos, conceptos, procedimientos, etc.) objeto de la explicación.

− Procurar que las explicaciones sean concisas, claras y ajustadas a los contenidos y objetivos planificados. Las intervenciones demasiado largas aburren y no fomentan ni el interés ni la motivación.

− Adaptar el ritmo y características del discurso tiene un ritmo adecuado al grupo de alumnos y alumnas del aula.

− Utilizar un lenguaje riguroso en cuanto al contenido, al mismo tiempo que coloquial y afectivo.

− Ilustrar las explicaciones con abundantes y variados ejemplos. − Utilizar de forma combinada tanto el lenguaje oral como el lenguaje escrito (en la

pizarra), apoyando nuestra exposición con estrategias visuales siempre que sea posible.

− Fomentar, en la medida de lo posible, la participación activa del alumnado durante nuestra intervención, realizando preguntas y dando pie a posibles intervenciones de los alumnos y alumnas.

− Realizar preguntas para confirmar la comprensión del contenido (tópico, concepto y/o procedimiento) objeto de la explicación.

− Proponer nuevos ejemplos y/o vías distintas de explicación del contenido en función de las respuestas y/o preguntas de los alumnos y/o las dificultades detectadas.

− No debe importarnos “salirnos” de la explicación si algún alumno o alumna detectamos que está perdido y no entiende nada.

4.2.3. Durante la propuesta y realización en clase de tareas de enseñanza y aprendizaje:

− Realizar una introducción de las tareas que se proponen para realizar en clase. − Contribuir a crear un buen ambiente de trabajo durante la realización de las tareas. − Observar y controlar la ejecución de las tareas, paseando por el aula con objeto de

supervisar la actividad de los alumnos/as y atender las dudas y/o consultas que puedan surgir.

− Mostrarse accesible para todo el alumnado y en todo momento. − Dejar tiempo suficiente para que el grupo de alumnos/as pueda realizar las tareas

propuestas, respetando los ritmos individuales. − Atender individualmente y en la mesa del alumno/a las consultas y/o preguntas que

estos nos planteen por iniciativa propia. − Apoyar a los alumnos y alumnas en la realización de las tareas, haciéndolos

reflexionar y orientándolos en su ejecución, nunca dándoles la solución. Confiando en sus posibilidades.



4.2.4. La corrección de las tareas propuesta:

− Tanto las tareas propuestas para realizar en clase, como las propuestas para realizar en casa serán corregidas en clase.

− La corrección en clase de las tareas será realizada siempre por alumnos y alumnas voluntarios/as, en la pizarra y/o utilizando el retroproyector.

− La correcta realización de la tarea a corregir será supervisada por el resto del alumnado del grupo.

− El profesor mientras tanto supervisará, para las tareas propuesta para casa, la corrección y el grado de realización de la tarea de cada uno de los alumnos y alumnas, interesándose por las dificultades que se hayan podido presentar durante su realización.

− Las dudas que puedan plantearse serán resueltas, en primera instancia por el alumno o alumna encargado de su realización en la pizarra, en segunda instancia por cualquier otro alumno o alumna del grupo.

− Las versiones distintas de una misma tarea, también serán expuestas para todo el grupo.

− Durante los períodos de realización y corrección de tareas se intentará que los alumnos y alumnas sean los protagonistas absolutos.

− Las dificultades que puedan surgir serán resueltas colegiadamente.

4.3. Las tareas didácticas.

• Las tareas que se realizarán en clase serán las 15 actividades recogidas en el libro del alumno que están consideradas como actividades básicas, con la única excepción de la actividad 11 que tiene la consideración de actividad de ampliación y su propuesta de realización queda a la discrecionalidad del profesor.

• Además de las anteriores tareas de enseñanza y aprendizaje se propondrá la realización de las cuarenta tareas de aprendizaje recogidos en el cuadernillo de actividades y ejercicios.

• Las tareas didácticas, tras una breve introducción por parte del profesor, serán propuestas para su realización a los alumnos y alumnas del grupo, sin la realización previa, por parte del profesor, de tareas o ejercicios similares.

• Para la realización de las tareas propuestas los alumnos se dispondrán en parejas y cada alumno y alumna dispondrá de un juego del material puzzle algebraico.

• El material didáctico tendrá la consideración de mediador temporal, es decir podrá utilizarse por los alumnos y alumnas durante el proceso de enseñanza y aprendizaje, pero no podrá ser utilizado en la realización de pruebas o exámenes.

• La idea es que el uso del puzzle algebraico vaya siendo progresivamente abandonado y sustituido por el uso del lápiz y el papel como soporte de representación del modelo didáctico e incluso por la representación mental de este.

• Durante la realización de las tareas se insistirá en la representación con notación abreviada o prealgebraica (notación en cajas) de las figuras construidas con puzzle algebraico.

5. Materiales, medios y recursos

• El material didáctico puzzle algebraico.

• El libro del alumno de la unidad didáctica experimental.

• El cuadernillo de actividades y ejercicios.



5.1. Medios.

• Pizarra y tiza.

• Un retroproyector

• Una versión en transparencias del material didáctico puzzle algebraico.

6. Horario y temporalización.

• En 3º de E.S.O. el número de sesiones semanales previsto en el currículo oficial para el área de matemáticas es de tres.

• La unidad está diseñada para ser desarrollada completa en doce sesiones de 55 minutos, incluyendo las sesiones que deben dedicarse a la presentación y familiarización del alumnado con el material didáctico puzzle algebraico que como mínimo son dos.

7. Evaluación

7.1. Instrumentos de evaluación 7.1.1. Para la evaluación del alumno:

− Una prueba inicial − Un registro individual de valoración de los aprendizajes desarrollados, basado

en los criterios de evaluación. − Una prueba tipo Likert para medir la actitud del grupo, esta prueba se realizará al

inicio y al final del desarrollo de la unidad − Un registro de intervenciones y participaciones voluntarias en la corrección de tareas

propuestas para realizar en casa y en clase. Cuya valoración y “peso” en la nota final será negociada con los alumnos y alumnas del grupo.

− El cuadernillo de actividades y ejercicios que será entregado para su corrección y valoración al concluir la unidad.

− Un registro individualizado de observación de la actividad realizada en clase por el alumnado.

− Una prueba objetiva de evaluación que tendrá un “peso” no inferior al 60% de la calificación final.

7.1.2. Para la evaluación de la unidad.

− Un registro de observación de valoración de las tareas de enseñanza y aprendizaje en clase por el grupo de alumnos y alumnas. El registro de observaciones estará referido a una sesión y será completado por el profesor al termino de cada una de las sesiones.

7.1.3. Para la evaluación del papel y actuación de profesor.

− Un registro de observación sobre el papel y actuación del profesor durante el desarrollo de la unidad, que puede completarse por un compañero que realice las labores de observador interno no participante, por el propio profesor, como autoevaluación, o por el alumnado al finalizar las sesiones dedicadas a la unidad.



7.2. Criterios de evaluación

Identifica, nombra y clasifica las formas mas frecuentes de una ecuación de segundo grado a partir de su expresión algebraica.

Determina si un valor dado es solución o no de una ecuación de 2º grado.

Obtiene ecuaciones de 2º grado equivalentes a una ecuación dada, mediante la transposición de términos y/o mediante la aplicación de la regla de equivalencia de la suma y/o el producto.

Reduce una ecuación de 2º grado dada a su forma general.

Obtiene ecuaciones de 2º grado equivalentes en forma factorizada y/o en forma de binomio al cuadrado de una ecuación dada.´

Resuelve ecuaciones de 2º grado dadas en forma factorizada o en forma de binomio al cuadrado, con o sin término independiente, aplicando procedimientos directos de resolución.

Resuelve ecuaciones de 2º grado incompletas mediante procedimientos directos de resolución.

Resuelve ecuaciones de 2º grado mediante: la factorización de su expresión general, el método de completar cuadrados y el método general o fórmula

Determinar el número de soluciones de una ecuación de 2º grado a partir de su expresión algebraica, o a partir de una ecuación equivalente en forma factorizada o en forma de binomio al cuadrado, o mediante el valor de su discriminante.

Construye ecuaciones de segundo grado a partir de sus soluciones.

Aplica la regla de Cardano para el cálculo de soluciones de una ecuación de 2º grado a partir de los coeficientes de su expresión general.

Muestra interés y motivación hacia el aprendizaje de métodos y procedimientos algebraicos.

Muestra confianza en si mismo para enfrentarse a problemas o situaciones nuevas.

Participa activamente en clase.

Reconoce la importancia del trabajo en equipo.

Valora positivamente la precisión y utilidad de los lenguajes geométrico y algebraico como medio para conocer, representar y comunicar.

Es perseverante en la realización de las tareas propuestas.

Muestra flexibilidad en la búsqueda de soluciones, considerando distintas vías y mostrando una actitud abierta en la utilización de otras estrategias.


Anexos

Instrumentos de evaluación y de recogida de datos

111

•

X 2

x

xx

X+3

X+3 1

1 1

111

- x -x

- x -x

- x - x

- x - x

- x

- x

- x - x

- x - x

- x - x

- x - x

- x - x

•

X 2 X 2

X 2 X 2

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

-1-1-1-1-1

-1-1-1-1-1

-1-1-1-1-1

-1-1-1-1-1

-1-1-1-1-1

+ +

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1 1 1

2X - 5

2X-5

X 2

X 2 X 2

x

x x

x

x x

1 1 1 1

x x x

1 1 1

•

X 2

x

x x

X+3

X+3 1

1 1

1 1 1

Puzzle algebraico

-x -x

•

X 2

X-2

X-2 1

1

1

-x -x

+ 1 -1+

( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 . 2 2 − − = − − − x x x

• X-2

X - 2

- x - x

X 2

1 1

1

- x - x

+ 1 -1 +

- x - x

•

X 2 - x - x

+

1 1

1 1

1 1

1 + -1 -1

- 1 - 1 +

+ 1 -1 +

X - 2

X - 2

- x - x

•

X 2

1 1

- x - x

1 1

1 1

1

•

X 2 - x - x

- x - x

+ 1 -1 +

X-2

X - 2

Anexos. Programación didáctica. J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________


8. Prueba inicial

Prueba inicial para 3º E.S.O. Unidad de Resolución de ecuaciones de 2º grado. __________________________________________________________________________________________________________________________ Alumno/a: Grupo:

1. Calcula el valor numérico del polinomio 652 +− xx para X = −3

2. Multiplica las siguientes expresiones polinómicas simplificando el resultado.

a) ( ) ( ) =+− 25·32 xx

b) ( ) =− 73· xx

3. Desarrolla y simplifica el resultado.

a) ( ) =+ 24x

b) ( ) =− 232x

4. Desarrolla y simplifica el resultado.

a) ( ) =− 22bx

Instrumentos de Evaluación y recogida de datos. J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________


5. Completa las siguientes expresiones del mismo modo que se hace en el ejemplo:

Ejemplo:

a) ( )22 ______6 −=+− xx b) ( )22 ____9__4 +=++x

c) ( )22 ______249 +=++ xx

6. Comprueba que 1=x es solución de la ecuación ( ) ( ) 62·31·2 +=−−+ xxx

7. Calcula el valor de k para que las ecuaciones kxx −=− 263 y 5335 +=− xx tengan iguales soluciones.

8. Resuelve las siguientes ecuaciones

a) 63426 −=+− xxx

b) ( ) ( ) ( ) 31·42·53·2 +−=++− xxx

( )22 52510 +=++ xxx



9. Instrumento para el seguimiento y valoración de los aprendizajes desarrollados.

Registro individual de valoración de los aprendizajes desarrollados de acuerdo con los criterios de evaluación

Unidad didáctica: Resolución de ecuaciones de 2º grado.

Alumno/a: Grupo:

• En cuanto a capacidades. Se observa que el alumno o alumna es capaz de: S

iem

pre/

/P

ráct

icam

ente

si

empr

e

Por

lo g

ener

al /

/ fre

cuen

tem

ente

.

/ alg

unas

vec

es /

Poc

as v

eces

/

Nun

ca /

/ en

abso

luto

/

Identificar, nombrar y clasificar las formas mas frecuentes de una ecuación de 2º grado a partir de su expresión algebraica.

Reducir una ecuación de 2º grado a su forma general. Determinar si un valor dado es solución o no de una ecuación. Obtener ecuaciones de 2º grado equivalentes más sencillas

Mediante la transposición y agrupación de términos semejantes Simplificando mediante la regla de equivalencia del producto.

Obtener a partir de una ecuación de 2º grado otras equivalentes En forma factorizada En forma de binomio al cuadrado

Resolver mediante procedimientos directos de resolución ecuaciones de 2º grado Dadas en forma factorizada Dadas en forma de binomio al cuadrado sin término independiente Dadas en forma de binomio al cuadrado con término independiente

Resolver ecuaciones de 2º grado incompletas: Sacando previamente “factor común” Aplicando el criterio o regla de equivalencia de la raíz cuadrada.

Resolver ecuaciones de 2º grado aplicando o mediante: La factorización de su expresión general El método de completar cuadrados El método general o fórmula



Registro individual de valoración de los aprendizajes desarrollados de acuerdo con los criterios de evaluación

(Continuación)

• En cuanto a capacidades. Se observa que el alumno o alumna es capaz de: S

iem

pre/

/P

ráct

icam

ente

si

empr

e

Por

lo g

ener

al /

/ fre

cuen

tem

ente

.

/ alg

unas

vec

es /

Poc

as v

eces

/

Nun

ca /

/ en

abso

luto

/

Determinar el número de soluciones de una ecuación de 2º grado: A partir de su expresión algebraica, cuando esta está factorizada o en forma de binomio al cuadrado.

Mediante su transformación previa en una ecuación equivalente en forma factorizada o en forma de binomio al cuadrado.

Mediante el cálculo del valor de su discriminante Construir ecuaciones de 2º grado a partir de sus soluciones. Aplicar la regla de Cardano para el cálculo de soluciones de una ecuación de 2º grado a

partir de los coeficientes de su expresión general.

• En cuanto a actitudes. Se observa que el alumno o alumna:

Muestra interés y motivación hacia el aprendizaje de métodos y procedimientos algebraicos.

Muestra confianza en sí mismo para enfrentarse a problemas o situaciones nuevas. Participa activamente en clase. Reconoce la importancia del trabajo en equipo. Valora positivamente la precisión y utilidad de los lenguajes geométrico y algebraico

como medios para conocer, representar y comunicar.

Es perseverante en la realización de las tareas propuestas. Muestra flexibilidad en la búsqueda de soluciones, considerando distintas vías y

mostrando una actitud abierta en la utilización de otras estrategias.

Observaciones:



10. Escala tipo “Likert” para la valoración de la actitud hacia las matemáticas.

Alumno/a: Grupo:

Escala de actitudes hacia las matemáticas

Totalmente de acuerdo “de acuerdo”

Neutro, ni de acuerdo, ni

en desacuerdo

“en desacuerdo”

Totalmente en

desacuerdo

Instrucciones: Marca con una X la casilla que más se ajuste a lo que tú sientes para cada una de las siguientes afirmaciones.

TA A N D TD

1. Estudiar matemáticas es muy importante. 2. Me gusta trabajar por parejas o en grupos

con otros compañeros en clase.

3. Me gusta hacer tareas matemáticas en clase. 4. El álgebra es un lenguaje universal muy útil

para conocer, representar y comunicar .

5. Las matemáticas son difíciles de entender. 6. Trabajar en grupo o en pareja en clase es

una perdida de tiempo, prefiero trabajar sólo

7. Mi asignatura preferida es matemáticas. 8. Todas las personas necesitan saber

matemáticas.

9. No me divierte resolver ecuaciones. 10. Sólo las personas que trabajan con números

(como ingenieros y economistas) necesitan saber matemáticas.

11. Prefiero cualquier otra asignatura antes que matemáticas.

12. Resolver ecuaciones es divertido. 13. En clase de matemáticas no entiendo nada y

me aburro.

14. No me gusta hacer tareas matemáticas.

15. Las matemáticas son fáciles de entender. 16. Estudiar matemáticas es una perdida de

tiempo.

17. Algunas tareas de matemáticas son divertidas.

18. El álgebra es un lenguaje que no tienen mucha utilidad, sólo sirve para hacerlo todo más complicado.



11. Registro de observación para la valoración de la actividad y actitud del alumnado

Registro de observación para la valoración de la actividad y actitud del alumnado.

• Durante la explicación de contenidos por parte del profesor.

− Actividad y actitud de los alumnos y alumnas Con

regu

larid

ad/

/ Prá

ctic

amen

te

siem

pre/

/ t

otal

men

te

Por

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o /

/ alg

unas

vec

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Poc

as v

eces

/ / u

n po

co /

Nun

ca /

/ en

abso

luto

/

− El grupo muestra una actitud positiva y participativa − Los alumnos y alumnas preguntan por iniciativa propia

durante la explicación. − Se observan algunos alumnos o alumnas medio dormidos − El grupo participa mayoritariamente cuando el profesor

hace preguntas durante la explicación. − Los alumnos y alumnas manifiestan interés por la clase. − Durante la explicación algunos alumnos y/o alumnas miran

con frecuencia el reloj. − El grupo atiende y mayoritariamente mantiene la atención

durante la explicación. − Algunos alumnos realizan tareas de otra asignatura

durante la explicación.

• Durante la propuesta y realización de tareas de enseñanza y aprendizaje.

− Ambiente de clase y de aprendizaje − Globalmente se observa un ambiente de aprendizaje

orientado a la realización de la tarea propuesta y no un ambiente de distracción o dispersión general.

− Se aprecia colaboración y apoyo mutuo entre las parejas

de compañeros/as en la realización de la tarea. − Todos los alumnos y alumnas participan en la dinámica de

la clase. − Se observa un ambiente de trabajo frío y competitivo. − Interés y motivación − Los alumnos ejecutan las tareas con interés y diligencia. − La mayor parte del alumnado realiza las tareas de forma

autónoma, salvo consultas puntuales. − Se observa en una amplia mayoría del grupo mucho

interés en la realización de la tarea − Se observan algunos alumnos y/o alumnas que

aprovechan para charlar y no realizan la tarea. − Los alumnos y alumnas por propia iniciativa preguntan y/o

consultan dudas al profesor con relación a la tarea. − Actividad − La totalidad del grupo realiza las tareas que se proponen

para realizar en clase − Los alumnos y alumnas por propia iniciativa preguntan y/o

consultan dudas al profesor con relación a la tarea. − Durante la realización algunos alumnos y/o alumnas

esperan hasta que la tarea es corregida para copiarla . − Más del 90% del alumnado finaliza la tarea propuesta en el

tiempo previsto. − Es frecuente escuchar: “profe” yo ya he terminado, ¿salgo

y lo hago en la pizarra?



12. Prueba de evaluación final de la unidad didáctica.

Prueba final para 3º E.S.O. Unidad de Resolución de ecuaciones de 2º grado. __________________________________________________________________________________________________________________________ Alumno/a: Grupo:

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

c) ( ) ( ) 06·32 =−+ xx

d) ( ) 07·53

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − xx

e) 042 =−x

f) 052 =− xx

g) ( ) 032 2 =−x

h) ( ) 094 2 =−−x



2. Completa las siguientes expresiones según el ejemplo:

Ejemplo:

d) ( )22 ______6 −=+− xx e) ( )22 ____9__4 +=++x

f) ( )22 ______249 +=++ xx

3. Resuelve por el método de completar cuadrados la ecuación: 0132 2 =+− xx

4. Resuelve la ecuación: 0432 =−+ xx

( )22 52510 +=++ xxx



5. En la ecuación 062 =+− cxx una solución es x=4. Calcula el valor de “c” y el de la otra solución.

6. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones: x = 3 y x = −2

7. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones x= −3 y x=2.



13. Modelo de Registro de observación para la valoración de las tareas de enseñanza y aprendizaje.

La evaluación de las tareas propuestas está muy relacionada con la reacción, actividad y actitud que el alumnado desarrolla durante su propuesta y realización, por lo que se incluyen algunas cuestiones relacionadas con estos aspectos en el registro de observación. Además de considerar, por esta misma razón, como registro de observación complementario para su valoración, el anterior registro de observación dedicado a la valoración de la actividad y actitud del alumnado durante la realización de las tareas de enseñanza y aprendizaje.

El registro de observación se presenta con el diseño original que incluyendo algunas preguntas relativas a alumnado sordo, estas mismas cuestiones, si es el caso, podrían considerarse para alumnado con n.e.e. incluido en el aula.

Registro de observación para la valoración de las tareas de enseñanza y aprendizaje.

Con

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Nun

ca /

/ en

abso

luto

/

− Características de las tareas propuestas − Las tareas propuesta se corresponden con las inicialmente

planificadas en la unidad experimental o cuadernillo de ejercicios.

− Se observa que el tipo de tarea propuesto fomenta la

comunicación y la realización conjunta entre compañeros. − Las alumnas sordas y el alumno con n.e.e. realizan las

mismas tareas de enseñanza aprendizaje que sus compañeros oyentes, sin necesidad de adaptación.

− Aspectos motivacionales de la tarea − Se observa que las tareas propuesta, por si mismas,

animan o motivan a una gran mayoría de alumnos y alumnas a realizarlas.

− Se observa que la tarea despierta el interés general del

grupo, durante la realización. − La mayor parte del alumnado realiza las tareas de forma

autónoma, salvo consultas puntuales. − Se observa que las alumnas sordas realizan las tareas con

interés y motivación. − La tarea y la actividad del alumnado del grupo − La totalidad del grupo realiza las tareas que se proponen

para realizar en clase − Es muy frecuente que el alumnado del grupo se ofrezca

insistentemente voluntario para realizar la tarea en la pizarra.

− Se observa que las alumnas sordas se comunican y

colaboran con sus compañeros/as normoyentes en la realizan las tareas propuestas

− Tareas propuestas para realizar en casa − Prácticamente la totalidad del grupo realiza las tareas que

se proponen para realizar en casa, como se puede apreciar observando el cuadernillo de ejercicios.



14. Registro de observación para la valoración de la actuación y papel del profesor/a

Registro de observación para la valoración de la actuación y papel del profesor/a.

• Estilo docente

− Es un profesor con un estilo: Democrático Autoritario

− Es un Profesor que fomenta: La cooperación La competitividad y el individualismo

− Es un profesor: Mediador en la construcción de aprendizajes Mero transmisor de

información

• En la explicación de contenidos.

− Metodología Con

regu

larid

ad/

/ Prá

ctic

amen

te

siem

pre/

/ t

otal

men

te

Por

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unas

vec

es /

Poc

as v

eces

/ / u

n po

co /

Nun

ca /

/ en

abso

luto

/

− Las explicaciones son claras y ajustadas a los contenidos y objetivos planificados.

− Realiza una introducción de los contenidos (tópicos, conceptos, procedimientos, etc.) objeto de la explicación.

− Fomenta la participación activa del alumnado durante su intervención.

− Durante su exposición frecuentemente realiza preguntas a los alumnos y alumnas del grupo.

− Ilustra las explicaciones con abundantes y variados ejemplos.

− Realiza preguntas para confirmar la comprensión del contenido (tópico, concepto y/o procedimiento) objeto de la explicación.

− Atiende adecuadamente las consultas, preguntas y/o

dudas de los alumnos − Propone nuevos ejemplos y/o vías distintas de explicación

del contenido en función de las respuestas y/o preguntas de los alumnos y/o las dificultades detectadas.

− Comunicación. Características del discurso − La comunicación profesor-alumnos/as es fluida. − Utiliza un lenguaje riguroso en cuanto al contenido, al

mismo tiempo que coloquial y afectivo. − En sus explicaciones el profesor utiliza tanto el lenguaje

oral como el lenguaje escrito (en la pizarra). − Durante la explicación el profesor interactúa con los

alumnos − El discurso tiene un ritmo adecuado al grupo de alumnos y

alumnas del aula. − El flujo de información es bidireccional aunque asimétrico

(a favor de la dirección profesor-alumno). − Al profesor no le importa “salirse” de su explicación si algún

alumno o alumna no lo entiende.



• En la explicación de contenidos. (Continuación)

− Comunicación. Características del discurso Con

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− Establece una adecuada retroalimentación (feed-back) a partir de las respuestas y/o preguntas de los alumnos, volviendo a explicar los conceptos y/o procedimientos por otras vías y/o con la introducción de nuevos ejemplos.

− Medios y recursos utilizados. − Utiliza la unidad didáctica experimental. − Como medio didáctico de apoyo a la explicación utiliza el

material manipulativo “puzzle algebraico”, bien directamente sobre el retroproyector, o indirectamente dibujándolo o representándolo en la pizarra.

− Utiliza la pizarra de forma simultánea a las explicaciones verbales, escribiendo buena parte de lo que dice.

− Utiliza con frecuencia ejemplos, esquemas o gráficos... para apoyar las explicaciones.

− Actitud − Manifiesta entusiasmo en la realización de su trabajo. − Manifiesta interés por los alumnos/as y su aprendizaje. − Se esfuerza por atender y resolver las dificultades que

observa en los alumnos y alumnas del grupo. − Se muestra accesible y está dispuesto a ayudar a los

alumnos y alumnas − Anima a los alumnos y alumnas a participar en el desarrollo

de la clase.

• En la propuesta y realización de tareas de enseñanza y aprendizaje en el aula

Con

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− Introduce adecuadamente las tareas que propone − Deja tiempo suficiente para que el grupo de alumnos pueda

realizarlas. − Durante la realización de la tarea por parte de los alumnos

el profesor pasea por la clase supervisando la actividad de los alumnos/as y atendiendo dudas y/o consultas.

− Atiende individualmente y en la mesa del alumno/a las

consultas y/o preguntas que estos le plantean por iniciativa propia.

− El profesor apoya adecuadamente a los alumnos y

alumnas en la realización de las tareas, haciéndolos reflexionar y orientándolos en su ejecución.

− El profesor contribuye a crear un buen ambiente de trabajo

durante la realización de las tareas. − Es accesible para los alumnos

Bibliografía. J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________


15. Bibliografía • Anzola, M. y Vizmanos, J.L. 2002. Libro de texto Algoritmo 3. Editorial SM. Madrid. • Auzmendi, E. 1992. Las actitudes hacia la Estadística. Tesis doctoral. Universidad de Deusto. • Castro, E. y Castro,E. 1997. Representaciones y Modelización. En L. Rico (Coord.) La Educación

Matemática en la Enseñanza Secundaria. I.C.E. Universitat Barcelona-Horsori. • Coriat, M. 1997. Materiales, recursos y actividades: un panorama. En L. Rico (Coord.) La

Educación Matemática en la Enseñanza Secundaria. I.C.E. Universitat Barcelona-Horsori. • Decreto 148/2002, de 14 de mayo, por el que se modifica el Decreto 106/1992, de 9 de junio, por

el que se establecen las enseñanzas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria en Andalucía.

• Espinosa, J. y Román, T. 1998. La medida de las actitudes usando las técnicas de Likert y de diferencial semántico. Enseñanza de las Ciencias, 16 (3), (pag.477-484).

• Hirsch, C. 1982. Finding factors physically. Mathematics Teacher, Vol. 75, (pag. 388-393). • Larrubia, J.J. 2004. El papel del lenguaje en la comprensión y adquisición del conocimiento

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• Leitze, A. R. y Kitt, N. A. 2000. Using homemade Algebra Tiles to develop Algebra and Prealgebra conceps. Mathematics Teacher, Vol. 93 issue 6, september, (pag. 462-520).

• Mandly, A. 1999. Materiales curriculares para la E.S.O. En Ortega T. (Editor), Temas controvertidos en Educación Matemática, E.S.O y Bachillerato. Servicio de Apoyo a la Enseñanza. Universidad de Valladolid.

• Meavilla, V.1991. Sumando cuadrados: un ejemplo de visualización en matemáticas. Revista EPSILON 7, (pag. 19-38).

• Programación Didáctica de Matemáticas para 3º de ESO. Curso 2003/04. Departamento de Matemáticas del I.E.S. Nº1 “Universdad Laboral”. Málaga.

• Resnick, L y Ford, W. 1981. The Psychology of mathematics for instrucción.Hillsdale: LEA. Existe traducción al español: La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos. 1990. Barcelona. Piados.

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