MATE 4009

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

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Modelos lineales

Introducción En esta sección se resolverán algunos modelos lineales que seconsideraron en la sección 1.3.

Creciemiento y decaimiento El problema de valor inicial es de la forma:

dxdt= (1)

donde k es una constante de proporcionalidad, x es la población presenteen el tiempo t y permite resolver modelos de crecimiento o decaimiento.

Nota Si la constante k < 0, x y si k > 0, x .

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Ejemplos1 La población de una bacteria crece a una razón proporcional alnúmero de bacterias presente en el tiempo t. Después de 3 horas seobserva que 400 bacterias están presentes. Luego de 10 horas hay2,000 bacterias. Determine el número inicial de bacterias.

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2 Inicialmente 100 miligramos de sustancia radioactiva estuvo presente.Después de 6 horas decreció por un 3%. Si la razón de decaimientoes proporcional a la cantidad de la sustancia presente en el tiempo t,halle:

a. La cantidad que queda después de 24 horas.b. La vida media de la sustancia.

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Ley de enfriamiento de Newton La formulación matemática de la LEN esdada por la EDL de la forma:

dTdt= k (T − Tm) (2)

donde k es una constante de proporcionalidad, T es la temperatura delcuerpo en el tiempo t y Tm es la temperatura del medio.

3 Un termómetro se lleva de un cuarto a otro donde la temperatura delaire es 5◦ F. Después de un minuto la temperatura del termómetrolee 55◦ F y luego de 5 minutos lee 30◦ F. DEtermine la temperaturainicial del cuarto.

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4 Dos depósitos grandes A y B del mismo tamaño se llenan condiferentes fluidos. Los fluidos en los depósitoas A y B se mantienen a0◦ C y 100◦ C, respectivamente. Una barra pequeña de metal, cuyatemperatura es de 100◦ C, se introduce en el depósito A. Después deun minuto la temperatura de la barra es 90◦ C. Después de 2minutos la barra se remueve de A y se lleva a B. Después de unminuto en B la temperatura de la barra aumenta 10◦ C. Determine eltiempo, desde el inicio y durante todo el proceso, que le toma a labarra alcanzar 99◦ C

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Mezclas La mezcla de dos fluidos algunas veces lleva a una EDL de primerorden y es de la forma:

dAdt= (3)

donde A es la sustancia presente en el tiempo t, Rin es la razón de entraday Rout es la razón de salida.

5 Un tanque de 500 galones está completamente lleno de agua pura.Agua salada entra al tanque con una concetración de 2 libras de salpor galón a una razón de 5 gal/min. La solución bien mezclada salea la misma razón. Halle la cantidad de sal en el tiempo t.

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Ley de Kirchhoff "La suma de la caída del voltaje a través del inductor(Ldidt

)y la caída del voltaje a través del resistor (Ri) es igual al voltaje

E (t) en el circuito.

Circuitos Para un ciruito en serie con un resistor y un inductor, por la leyde Kirchhoff se obtiene la EDL de primer orden y es de la forma:

(4)

donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia,respectivamente. La corriente i se conoce como la respuesta al sistema.La caída del voltaje a través del capacitor con capacitancia C es dado porq (t)C, donde q es la carga del capacitor y el circuito en serie RC tiene por

EDL a:

(5)ó (6)

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6 Una fuerza electromotriz de 200 voltios se aplica a circuito en serieRC en el cual la resistencia es de 100 ohms y la capacitancia es5× 10−6 farad. Halle la carga q (t) en el capacitor si i (0) = 0.4.Determine la carga y corriente después de 5 segundos. Determine lacarga cuando t → ∞.

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