mat3-t02_guias mate iii 02 2010

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE EL SALVADOR

ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS “ING. JULIO CESAR ORANTES”

CATEDRA DE CIENCIAS Y MATEMATICAS

GUIAS DE EJERCICIOS

ASIGNATURA:

MATEMATICA III

Profesor: Ing. Ramiro Puente

Instructores:

CICLO: 01-2012

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE EL SALVADORESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS “ING. JULIO CESAR ORANTES”CATEDRA DE CIENCIAS Y MATEMATICASASIGNATURA: MATEMATICA III

GUIA No. 1UNIDAD I: “LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES”

Tema: Sumatorias de Riemann.

Objetivo: Que el estudiante sea capaz de aplicar correctamente la fórmula de Riemann, en el cálculo de áreas de regiones planas.

Indicaciones: Desarrollar cada una de las siguientes sumatorias sin utilizar propiedades o formulas.

1. 2.

R/ 45

3.4.

R/

5.

6.

R/ 15

7. 8.

R/ 35

9.10.

R/

11. 12.

13. 14.

15.

Indicaciones: Haciendo uso de propiedades y fórmulas, resolver las siguientes sumatorias.

1. 2.

3.

4.

5.

R/ 2470

6.7.

R/

8.

9. 10.

R/ 3080

11. 12.

R/ 5015

13. 14. 15.

16.

17. Ejercicio #42, “Cálculo Leithold”, Pág. #338 (7ª Edición)

Matemática III. Ciclo 01-2012 Pág. 2


18. Probar que

Indicaciones: Haciendo uso de Sumatorias de Riemann, calcular el área de la región, limitada por…

1. f(x) = 3x + 2; x = 1, x = 3, y

= 0

R/ 16u2

2. f(x) = 2x + 3; x = 1, x = 3,

y= 0

R/ 14u2

3. f(x) = 3 - x, x = -1, x = 2, y

= 0

R/

4. f(x) = 3 - x; x = 0, x = 3 y =

0

R/

5. f(x) = x2 + 1, x = -1, x = 2, y

= 0

R/ 6u2

6. f(x) = x2 + 1, x = -2, x = 1, y

= 0

R/ 6u2

7. f(x) = x2 + 2, x = 1, x = 3, y

= 0

R/

8. f(x) = x2 + 2, x = -2, x = 2, y

= 0

R/

9. y = 6 - x2, x = -1, x = 2, y =

0

R/ 15u2

10. y = 5 - x2, x = -2, x = 1, y =

0

R/ 12u2

11. y = x2 - 4x + 5, x = 0, x = 3,

y = 0

R/ 6u2

12. y = x2 - 2x + 3, x = -1, x = 2,

y = 0

R/ 9u2

13. y = x3 + 1, x = 0, x = 2, y = 0

R/ 6u2

14. y = x3 + 1, x = -1, x = 2, y =

0



R/

15. Ejercicio #4, “Cálculo de Leithold”, Pág. 350, (7ª Edición)

GUIA No. 2Tema: Teorema fundamental del Cálculo.

Objetivo: Que el estudiante sea capaz de aplicar correctamente el Teorema fundamental del cálculo, en la resolución de integrales definidas.

I) Indicaciones: Haciendo uso del Teorema Fundamental del Calculo, evalué cada una de las siguientes integrales.

1. 3

1

dx4

R./ 8

2.

2

1

dx5

R./ 15

3.

3

1

dxx3

R./ 12

4. 5

2

dxx7

R./

2

147

5.

3

1

2 dx)3x5x(

R./ 3

16

6.

4

2

2 dx)2x4x(

R./ 36

7.

4

1

2dx)

x

3x2(

R./ 12

85

8.

4

1

2dx)x

x

5(

R./ 12

11

9.

2

1

2 dx)2x3(

R./ 7

10.

2

1

2 dx)3x2(

R./ 3

1

11.

2

1

dx)1x2)(5x(

R./ 245

12.

dx)1x3()3x2(

4

2

R./ 64



13. 4

1

dxx

514.

15. 1

0

x2 dxe

16. 1

0

x3 dxe

17.

dxx

3x4

1

2

18.

dxx

x354

1

2

19. 2

0

dxx2sen

20. 4

0

2 dxxsec

21.

dxx2

49

4

R./ 4

22. 9

1

dxx3

5

R./ 3

20

23.

1

0

xx2 dx)ee(

R./

2

3

e

1

2

e2

24.

1

0

x2x dx)ee3(

R./ 2

5

e2

1

e

32

II) Indicaciones: Haciendo uso del Teorema Fundamental del Cálculo, y de algunas técnicas de integración, evaluar cada una de las siguientes integrales.

1.

2

0

5 dx)3x2(

R./ 3

182

2.

1

0

432 dx)1x2(x

R./ 15

1

3.

5

0

dx3x

R./ 2

13

4. 1

0

x2 dxex3

R./ )1e(

3

1

5.

2

1

3dx

)5x(

2

R./ 144

7

6. 2

1

x dxex

R./ e2

7.

dx5x

x28

6

R./ 4 + 10 ln 3

8.

dxxln

2

1

R./ 2 ln 2 - 1

9.

1

0

x2x dxe)1x(2

10.

dxxlnx

2

1

R./

11.

1

0

x dxex

R./ e

21

12.

3

0

2 9x

dx3

R./ 4



R./ )1e(

2

1 3 4

32ln2

13.

dxxlnx

2

1

2 R./

9

72ln

3

8

14. 2

0

3 dxxsen

R./ 3

2

15.

2

0

2x16

dxx

R./ 324

16.

dxxcosxsen

2

6

3

R./ 64

15

17.

4

1

2/3 dx)1x2(x7

R./ ??

18. 2/

0

3 dxxcos

R./ ??

19. e

1

dxxlnx

R./ ??

20.

0

x dxxcose

R./ ??

GUIA No. 3

Tema: Cálculo de áreas de regiones planas.

Objetivo: Que el estudiante sea capaz de hacer uso de la integral definida en el cálculo de áreas de regiones planas.

i) Indicaciones: Haciendo uso del Teorema Fundamental del Cálculo, calcular el área de la región limitada por….

1. f(x) = x + 2, x = 1, x = 3, eje

“x”

R./ 8 u2

2. y = 2x - 1, x = 2, x = 5, y

= 0

R./ 18 u2

3. f(x) = 4 - x, x = -2, x = 3, y

= 0

R./ u2

4. y = 3x - 2, x = 2, x = 4, y =

0

R./ 14 u2

5. f(x) = 4 - x, x = -2, x = 6, eje

“x”

R./ 20 u2

6. y = x2 + 1, x = -2, x = 2, y

= 0

R./ u2

7. y = - x - 1, x = -1, x = 2, y

= 0

R./ u2

8. f(x) = 3 - x, x = 1, x = 4, eje

“x”

R./ u2

9. y = ,

x = 2, x = 5, y = 0

10. y = x2 - 1, x = -2, x = 1, y

= 0

11. y = 4 - x2 , x = -1, x = 2, y

= 0

R./ 9 u2

12. y = x3 , x = -2, x = 2, y

= 0

R./ 8 u2



R./ 18 u2 R./ u2

13. y = x3 - 1, x = -2, x = 1, y

= 0

R./ u2

14. y = , x = 1, x = 3, y

= 0

R./

15. y = -x3 , x = -2, x = 2, y

= 0

R./ 8 u2

16. y = x3 - 1, x = -1, x = 2, y

= 0

R./ u2

17. y = - x, x = -1, x = 2, y

= 0

R./ u2

18. y = , x = 0, x = 4, y

= 0

R./ u2

19. y = e2x

x = -1, x = 3, y = 0

R

20. y = , x = 1, x = 4, y

= 0

R./ u2

21. y = 2 - 3x, x = -2, x = 2, y

= 0

R./ u2

22. y = ex, x = 1, x = 3, y

= 0

R./ e (e2 – 1) u2

23. y = cos x,

x = , x = ,

y = 0

R./ 3 u2

24. y = , x = 3, x = 7, y

= 0

R./ u2

ii) Indicaciones: Haciendo uso del Teorema Fundamental del Cálculo, calcular el área de la región limitada por….

1. y = x + 2, y = -1 x = 2, x = 5

R./ u2

2. y = - x + 2, y = 3

x = 1, x = 4

R./ u2

3. y = x2 + 1, y = -2

x = -2, x = 2

R./ u2

4. y = x2 + 1, y = x + 3

R./ u2

5. y = 4 - x2, y = 2 - x

R./ u2

6. y = x2 – 2, y = 2

R./ u2

7. y = 3 – x2 , y = -1

R./ u2

8. y = 4 – x2, y = x2 - 4

R./ u2

9. y = 8 - x2, y = x2

R./ u2

10. y = y = x3

R./ u2

11. x = y2 – 2, x = 6 – y2

R./ u2

12. y2 = x + 1, x = 3

R./ u2

13. x = y2 - y, x = y - y2

14. y = sen x, y = cos x

15. y = x - 1, y2 = 2x + 6

16. x = y, x = y2



R./ u2 x = 0, x =

R./ u2

R./ 18 u2 R./ u2

17. x = y2 + 3, x = y, y = -1, y = 1

R./ u2

18. x = y2 + 1, x = y + 3

R./ u2

19. x = - y x = 2 - y2

R./ ???

20. y = sen x, y = cos x

x = , x =

R./ ???

iii) Indicaciones: Resuelva lo siguientes ejercicios.

1. Calcular el área de la región limitada por:

2. Calcular el área de la región limitada por:

3. Ejercicio #32, Pág 379, Cálculo Leithold, 7ª Edición.

4. Ejercicio #71, Pág 385, Cálculo Thomas, 11ª Edición.



iv) Indicaciones: Usando integración, calcule el área de las regiones que se presentan a continuación:

1. 2.



3. 4.

5. 6.

7. 8.

R/24 u2

9. Encontrar el área de la región limitada por el eje “x” y f(x) = x3 -6x2 + 8x

10.Encontrar el area de la región limitada por el eje “x” y f(x) = -3x3 +x2 +10x



GUIA No. 4Tema: Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.

Objetivo: Que el estudiante sea capaz de hacer uso de la integral definida en el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.

I) Indicaciones: Haciendo uso del MÉTODO DEL DISCO, calcular el volumen del solidó, al hacer girar la región limitada por…

1. y = x2, y = 0,

x = 0, x = 2

respecto al eje“x”

R./

5

32

u3

2. y = 2x + 3, y = 0

x = 1, x = 3

respecto al eje “x”

R./

3

302

u3

3. y = 4 - x, y = 0

x = 1, x = 4


R./ 9 u3

4. y = 2x , y = 0

x = 2, x = 6,


R./ 8 u3

5. y = 4 - x2, y = 0,

x = 0, x = 2


R./

15

256

u3

6. x = 2y + 3,

x = 0

y = 1, y = 3

respecto al eje “y”

R./

3

302

u3

7. x = y2, x = 0,

y = 0, y = 2

respecto al eje“y”

R./

5

32

u3

8. x = 2, x = 0

y = 1, y = 3


R./ 8 u3

9. x = 4 - y, x = 0

y = 1, y = 4


R./ 9 u3

10. x =1y

, x = 0

y = 1, y = 5,


R./ 8 u3

11. x = 5 - y2, x = 0,

y = 0, y = 2


R./

15

446

u3

12. x = 4 - y2, x = 0,

y = 0, y = 2


R./

15

256

u3



13. y = x2ln ,

x = 0

y = 1 , y = 3,


R./

14. y = ex,

y = 0,

x = 0, x = 2


R./

2

1e4

u3

15. y = ex,

x = 0,

y = 1, y = e2


R./ )1e(2 2

u3

16. y = 2 x- 4 ,

x = 0,

y = 0, y = 2

en el primer cuadrante


R./



II) Indicaciones: Haciendo uso del MÉTODO DEL ANILLO, calcular el volumen del solidó, al hacer girar la región limitada por…

1. y = x2, y = 1,

x = 1, x = 3


R./

2. y = 2x + 3, y = 2

x = 1, x = 3


R./

3

278

u3

3. y = 4 - x, y = 1

x = 1, x = 3


R./

4. y = 4, y = 2,

x = 2, x = 4


R./ 24 u3

5. x = y2 + 2,

x = 1

y = 0, y = 2


R./

6. y = ex, y = 1

x = 1, x = 2


R./

)2ee(2

1 24

u3

7. x = y2,

x = y


R./

8. x = ey, x = 1

y = 1, y = 2


R./

)2ee(2

1 24

u3

9. x = 4, x = 2,

y = 2, y = 4

respecto al eje y

R./

10. x = 3

y

, x = 3

1

,

y = 3, y = 6

respecto al eje y

R./

3

20

u3

11. x = y , x = 1

y = 1, y = 9,

respecto al eje y

R./

12. x = 2y , x = 1

y = 3, y = 11


R./ 32 u3

13. y = x2 + 1,

y = 1, x = 0, x = 2,


R./

15

176

u3

14. y = x2 + 2,

y = 1, x = 0,

x = 2,


R./

15. y = x2, y = x


R./

15

2

u3

16. y = x2, y = 2x


R./

III) Indicaciones: Resolver los siguientes ejercicios.

1. Ejercicio #41, Pág. 390, Calculo Leithold, 7ª Edicion.

2. Ejercicio #1 y# 3, Pág. 399, Cálculo Thomas, 11ª Edicion.

3. Ejercicio #31, Pág. 407, Cálculo Thomas, 11ª Edicion.

4. Ejercicio #54, Pág. 408, Cálculo Thomas, 11ª Edicion.



IV) Indicaciones: Haciendo uso del MÉTODO DE CAPAS. Calcular el volumen del solidó, al hacer girar la región limitada por…

1.

y = x2, y = 0,

x = 0, x = 2


R./

2.

y = x2, y = 0,

x = 0, x = 2

respecto al eje x = 3

R./ 8 u3

3.

y = 2x + 3, y = 0

x = 1, x = 3


R./

4.

y = 2x + 3, y = 0

x = 1, x = 3


R./

3

76

u3

5.

y = 4 - x 2, y = 0

x = 0, x = 2


R./ 8 u3

6.

y = 4 - x 2, y = 0

x = 0, x = 2


R./

7.

y = x 2 +2, y = 1

x = 0, x = 2

respecto al eje x =3

R./ 16 u3

8.

y = 2x , y = 0,

x = 2, x = 6


R./

9.

y = 2x , y = 0,

x = 2, x = 6


R./

10.

y = ex, y = 0,

x = 0, x = 2


R./ )1e3( 2 u3

11.

y = x - 2, y = 0,

x = 2, x = 4


R./

12.

y = x - 2, y = 0,

x = 2, x = 4


R./

3

28

u3

13.

x = y2, x = 0,

y = 0, y = 2


R./ 8 u3

14.

x = y2, x = 0,

y = 0, y = 2

respecto al eje y = 3

R./

15.

x = 4 - y 2, x = 0

y = 0, y = 2


R./ 24 u3

16.

x = y 2 +2, x = 1

y = 0, y = 2

respecto al eje y =2

R./

17. x = 2y , x = 0,

y = 2, y = 6


R./

18. x = ey, x = 0,

y = 0, y = 2


R./ )1e3( 2 u3

19. x = y - 2, x = 0,

y = 2, y = 4


R./

20. x = ey, x = 1,

y = 1, y = 3


R./ )8ee5( 3 u3



GUIA No. 5UNIDAD II: “INTEGRALES IMPROPIAS Y LA TRANSFORMADA DE

LAPLACE”

Tema: Cálculo de integrales impropias y Transformada de Laplace.

Objetivo: Que el estudiante sea capaz de hacer uso de conceptos de integrales, con límites al infinito y límites laterales, para la resolución de integrales impropias.

I) Indicaciones: Resolver cada una de las siguientes integrales impropias, e indicar si converge o diverge.

1.

R.

(converge)

2.

R. (converge)

3.

R. 2 (converge)

4.

R. 1 (converge)

5.

R. 1 (converge)

6.

R. 6 (converge)

7.

R. diverge

8.

R. (converge)

9.

R. (converge)

10.

R. (converge)

11.

R. 6 (converge)

12.

R. 0 (converge)

13.

R. (converge)

14.

R. diverge

15.

R. 1 (converge)

16.

R. diverge

17.

R. diverge

18.

R. diverge

19.

R. (converge)

20.

R. (converge)

21.

R. 6 (converge)

22.

R. diverge

23.

R. (converge)

24.

R. diverge

II) Indicaciones: Determine se las integrales dadas en los siguientes ejercicios son convergentes o divergentes. Evalúe aquellas que sean convergentes.



25. R// Diverge 26. R// ½

27. R// - ln 2/3 28. R// Diverge

29. R// Diverge 30. R//

31. R// Diverge 32. R// 1

33. R// 34. R// Diverge

35. R// 5/3 36. R// Diverge

III) Indicaciones: Utilice la definición para encontrar la transformada

de Laplace f(t) L de:

37.7te f(t) R./ 1s

e F(s)

7

38.5 -2te f(t) R./ ? F(s)

39.3t f(t) R./

4s

6 F(s) 40.

2-3t f(t) R./ s

2

s

3 F(s)

2

41.3t 4Sen f(t) R./ 92s

F(s)12

42.

t 2Cos- f(t) R./ 12s F(s)

2s-

IV) Indicaciones: Haciendo uso de Transformadas de Laplace elementales y la

propiedad de linealidad, traslación y otras. Encuentre f(t) L de:

43.

2t Sen5t Cos f(t) R./ ? F(s) 44.4Cos5t-5t 3Sen f(t) R./ 25s

4s-15 F(s)

2

45. 36tt f(t) 2 R./ s

3

s

6

s

2 F(s)

23

46.4t f(t) 2 R./ 5s

48 F(s)

47.5t f(t) +6 R./ ? F(s) 48. 104t f(t)

R./ s

10

s

4 F(s)

2



49. 5et f(t) 9t2 R./ ? F(s) 50.

2)2te(1 f(t)

R./

4s

1

2s

2

s

1 F(s)

51.31)-(2t f(t) R./ ? F(s) 52.

4te1 f(t) R./ 4s

1

s

1 F(s)

53.2tt )e(e f(t) R./ ? F(s)

54. 3t Sen 54t f(t) 2 R./ 9s

15

s

8 F(s)

23

55. R./ ? F(s) 56. R./ ? F(s)

57. R./ ? F(s) 58. R./ ? F(s)

59.R./ ? F(s) 60.

R./ ? F(s)

61. R./ ? F(s) 62. R./ ? F(s)

63. R./ ? F(s) 64. R./ ? F(s)

65. **** 66.

GUIA No. 6UNIDAD III: “COORDENADAS POLARES”



Tema: Sistema de Coordenadas Polares.

Objetivo: Que el estudiante sea capaz de hacer uso adecuadamente de las coordenadas polares y de su relación con las coordenadas cartesianas, elaborar gráficos polares correctamente, con el uso previo de los criterios de simetría, calcular con facilidad áreas de regiones polares

I) Indicaciones: Ubique en un plano, cada uno de los siguientes puntos.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

II) Indicaciones: Cambie a coordenadas polares, las coordenadas cartesianas de cada uno de los siguientes pares ordenados

1. (3, 1) 2. (-2, -4) 3. (5, -3) 4. (0, -4)

5. (0, 5) 6. (2, 5) 7. (-4, e) 8. (-3, 0)

II) Indicaciones: Cambie a coordenadas cartesianas, las coordenadas polares de cada uno de los siguientes pares ordenados.

1.

R. (2, 3.5)

2.

R. (-1.5, -2.6)

3.

R. (4, -2.9)

4.

R. ( -2.3, -1.9 )

5.

R. ( -1.4, 1.4 )

6.

R. (-0.6, 1.9)

7.

R. ( 0.5, 2.95 )

8.

R. (0, 6)

9. 10. 11. 12.



R. (-0.6, 0.8)

R. ( -2, 3.5 ) R. (1.7, -1) R. (1.5, -2.6)

GUIA No. 7

Tema: Ecuaciones polares y cartesianas (rectangulares).


I) Indicaciones: Convierta a ecuación polar, cada una de las siguientes ecuaciones cartesianas (rectangulares)

1. y2 = 9xR. r = 9 csc2 cos

2. 3x – y + 2 =0

R/

cos 3 sen

2r

3.1

4

y

9

x 22

R.

22

sen54

36r

4. xy = 4 R.

5.(x2 + y2)2 - 9(x2 - y2) = 0 R.

1cos23r 2

6. x2 + y2 – 10x = 0R. r (r – 10 cos )

7. x2 + y2 = a2

R. r = a8. x

3y

R/

2sen

6r

9. y = 4 R. r sen = 4ó r = 4 csc

10. x2 + y2 = 9R. r = 3

11. x = 10 R. r cos = 10ó r = 10 sec

12. x2 + y2 – 2ax = 0R. r (r – 2a cos )

II) Indicaciones: Convierta en ecuación rectangular, cada una de las siguientes ecuaciones polares.

1. r = 3

R. x2 + y2 = 9

2. r = sen

R. x2 + y2 – y = 0

3. r = 3 cos

R. x2 + y2 – 3x = 0

4. sen74r

R. x2 + y2 + 7y = 4 22 yx

5. r = 2sen4

R.

xy8yx2322

6. r =

R.

x

y tan yx 122

7. = 6

5

R. y =

x3

3

8. r = 3 sec

R. x – 3 = 0



9. r = 2 csc

R. y – 2 = 0

10.

sen1

4r

R.

4yyx 22

11. 2

2sen

R. y = x

12. cos34r

R. 2222 yx4x3yx

GUIA No. 8

Tema: Gráficos polares y criterios de simetría.


I) Indicaciones: Para cada una de las siguientes ecuaciones, correspondientes a caracoles: a) Identifique el tipo de caracol, b) Elabore el gráfico respectivo.(Use simetrías)

1. r = 2 + 3 cos 2. r = 2 – sen

3. r = 1 + cos 4. r = 2 – 3 sen

5. r = 0.5 + 0.5sen

6. r = 0.5 + sen

7. r = 2 +2 sen

8. r = 5 – 3 cos

9. r = 3 + 5 sen

10. r = 1 – sen11. r = 3 + 2

cos12. r = 3 – 2

sen

13. r = 1 + 0.5 sen

14. r = 3 + sen 15. r = 4 + 2 sen

16. r = 1 – 0.5 cos

17. r = 0.5 – cos

18. r = 3 – 5 cos

19. r = 1.5 – 1.5cos

20. r = 2 + cos

21. r = 2 – 2 cos

22. r = 3 – cos23. r = 4 – 2

cos 24. r = 5 + 3

sen

25. Ejemplo 2 pag 721. Calculo Thomas, 11ª Edicion.

26. Ejemplo 5, Pág 722, Calculo Thomas, 11ª Edicion

27. Ejercicio 57ª, pag 738, Calculo Thomas, 11ª Edicion

II) Indicaciones: Para cada una de las siguientes ecuaciones, correspondientes a rosas:

a) Identifique el tipo de rosa, b) Elabore el gráfico respectivo.



1. r = cos 22. r = 2 sen 2

3. r = 3 cos 54. r = 2 sen 5

5. r = 3 sen 56. r = 3 cos 2

7. r = 4 sen 2 8. r = 2 sen 3

9. r = sen 3 10. r = 4 cos 5 11. r = 2 cos 312. r = 3 sen 3

II) Indicaciones: Para cada una de las siguientes ecuaciones, correspondientes a círculos y lemniscatas, elabore el gráfico respectivo.

1. r = 2 cos 2. r = 3 sen 3. r = 3 cos

4. r = sen 5. r2 = cos 2 6. r = 2 sen

7. r = cos 8. r2 = sen 2 9. r2 = 4 cos 2

N O T A I M P O R T A N T E :

Cuando se va a realizar la gráfica de una lemniscata, es importante tomar en cuenta que, de la expresión ,

Para tabular y así poder conocer los diferentes valores de r, es necesario llevar estas ecuaciones

a las formas respectivas de:

.

Algunos valores de seno o de coseno, que se van a obtener, son de signo negativo.

Por lo tanto, al momento de querer calcular su raíz cuadrada, el resultado no será un valor real, por lo que en su calculadora aparecerá el mensaje ERROR.

Entonces, solo se podrán ubicar en un plano polar, Aquellos pares (r, ), en donde r haya resultado un valor real.

Con estos puntos se trazará la curva requerida.

E N C O N C L U S I O N : El dominio de las lemniscatas, está restringido para valores de r

que procedan de cálculos de seno o de coseno, con resultado negativo.



GUIA No. 9Tema: Cálculo de áreas de regiones polares.

Objetivo: Calcular con facilidad áreas de regiones polares.

I) Indicaciones: Calcule el área de cada una de las siguientes regiones polares.

1. Un pétalo de R. u2 2. Tres pétalos de

R. u2

3. Interior de (por encima del

eje polar)R. u2 4. Un pétalo de

R. u2

5.R. u2 6. R. u2

7. R. u2 8. Dos pétalos de R. u2

9. R. a2

u2

10. R. u2

II) Indicaciones: Calcule el área comprendida entre regiones polares.

1. Interior común de

R.


R.

3. Fuera de y dentro de

R.


R.


R. 6. Dentro de y

fuera de R. 5 u2

7. Interior común de y R.


R.


R.

10.Fuera de y dentro de

R.



11.Interior común de y R. ???

12.Dentro de y fuera de R. ???

Ejemplo 5 Pag 729, Calculo de Varias Variables, Thomas, 11ª Edicion

GUIA No. 10UNIDAD IV: “VECTORES EN EL ESPACIO”.

Tema: Espacio Tridimensional y Vectores.

Objetivo: Que el estudiante sea capaz de utilizar, adecuadamente, el espacio tridimensional, para una posterior aplicación en la resolución de

vectores en el espacio.

I) Indicaciones: Ubicar en el espacio, cada uno de los siguientes tríos ordenados.

1. (-3, 2, 4) 2. (3, 2, 4) 3. (0, 2, 0) 4. (0, -2, -3)

5. (-4, 2, 1) 6. (-4, -2, 0) 7. (0, -2, 5) 8. (-4, 0, 3)

9. (-3, 2, -4) 10. (0, -2, 3) 11. (-3, -2, -4) 12. (5, -3, 2)

13. (-4, 1, -2) 14. (4, 2, 0) 15. (-5, -3, 2) 16. (-5, -3, -2)

17. (0, 2, 3) 18. (-4, 2, 0) 19. (-4, 2, 0) 20. (-4, 0, 0)

21. (-4, -2, 7) 22. (0, -4, 3) 23. (5, -3, -2) 24. (-5, -2, 3)

II) Indicaciones: Para cada uno de los siguientes pares de puntos, hallar: a) la distancia entre ellos. b) el punto medio entre ellos.

1. ( 2, 4, 3 ) y ( 4, 2, 5 )

2. ( 2, 1, -5 ) y

( 5, 2, -1 )

3. ( 3, -1, 4 ) y

( 7, 3, 2 )

4. ( 3, -2, 4 ) y

( -2, 0, 1 )

III) Indicaciones: Para cada uno de los siguientes vectores, calcular: a) su magnitud b) su respectivo vector unitario

1.

k4j5i3A 2.

k4j5H 3.

k3j2i7C

4. El vector M , que

va de (-1, 3, 2) hasta (5, 0, 3)

5.

k3jiF

6. El vector P , que

va de (4, -1, 2) hasta (1, 5, -3)

IV) Indicaciones: Dados los vectores:



k3j2i7A ;

k4j5i2B ;

k2j6i5C

Encuentre:

1.

B2C3A52.

CBA 3.

BC

4.

AB 5.

B3A2

6.

)BC2A(3

7.

B)CA(3


Tema: Operaciones con Vectores.

Objetivo: Que el estudiante sea capaz de utilizar, adecuadamente, las propiedades algebraicas de los vectores en el espacio tridimensional,

para una posterior aplicación en la resolución de problemas relacionados con rectas en el espacio.

I) Indicaciones: Dados los vectores:

k3j2i7A ;

k4j5i2B ;

k2j6i5C Encuentre:

8.

BA

9.

B2C3A510.

CBA 11.

BC

12.

AB 13.

B3A2

14.

)BC2A(3

15.

B)CA(3

II) Indicaciones: Dados los vectores:

kj3i4A ;

k5j4i2B ;

k2j5iC hallar:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9.10. 11.

12.



13. Probar que:

III) Indicaciones: Dados los vectores:

k2j5i3A ;

k4j5i3B ;

k3j2i7C hallar:

1. cosenos directores de 2. ángulo entre

3. ángulos directores de 4. ángulo entre

IV) Indicaciones: Realice según se indique.

Dados los vectores:

Comprobar que:

1.

2.

3.

4.

5.

Dados los vectores:

Comprobar que:

1.

2.

3.




Tema: Rectas y Esferas.

Objetivo: Que el estudiante sea capaz de utilizar, adecuadamente, las propiedades algebraicas de los vectores en el espacio tridimensional,

para una posterior aplicación en la resolución de problemas relacionados con rectas en el espacio.

I) Indicaciones: Encuentre el conjunto de ecuaciones: simétrica y paramétrica de la recta que Pasa por los puntos indicados:

1. (5,-3,-2),(-2/3,2/3,1)

2. (2,4,3),(6,4,3) 3. (1,0,1),(1,3,-2)

4. (1,1,1),(-5,5,5) 5. (-2,5,3),(1,7,-2) 6. (-3,2,7),(2,-1,3)

7. Inicia en el punto ( -2, 4, 3 ) y tiene como vector de dirección

8. Inicia en el punto ( 2, -3, 4 ) y tiene como vector de dirección

9. Pasa por ( 0 , 0 , 0 ) y es paralela

a

10. Pasa por ( -2 , 0 , 3 ) y es perpendicular a el vector :

11. Pasa por ( 1 , 0 , 1 ) y es paralela a X= 3 + 3 t ; Y = 5 – 2 t; Z = - 7 + t

12. Pasa por ( 5 , 0 , 5 ) y perpendicular a X= 3 + 3 t ; Y = 5 – 2 t; Z = - 7 + t

II) Indicaciones: Determine si las rectas se cortan y en caso afirmativo, hallar el punto de intersección y el coseno del ángulo de intersección:

1. X= 4t+2 ; X=2s+2Y= 3 ; Y=2s+3Z= -4 – t ; Z=s+1

2. ;

3. X= -3t+1 ; X=3s+1Y= 4t+1 ; Y=2s+4Z= 2t+4 ; Z= -s+1

III) Indicaciones: Hallar la forma general de la ecuación de la esfera y grafíquela:

1. Centro (0,2,5) y r=2

2. Centro (4,-1,1) y r=5

3. Centro (0,0,0) y r=4

VI) Indicaciones: Hallar el centro y el radio de las esferas siguientes:

1. 01z8y6x2zyx 222 2. 019z10y2x9zyx 222

3. 01y18x6z9y9x9 222 4. 08z4y10x4zyx 222




Tema: Planos en el Espacio.

Objetivo: Que el estudiante sea capaz de utilizar, adecuadamente, las propiedades algebraicas de los vectores en el espacio tridimensional, para una posterior aplicación en la

resolución de problemas relacionados con planos en el espacio.

I) Indicaciones: Encuentre la ecuación del plano especificado:

1. Pasa por el punto (2,1,2) y su vector normal es

2. Pasa por el punto (3,2,2) y su vector normal es

3. Pasa por los puntos (1,2,-3), (2,3,1) ^ (0,-2,-1).

4. Pasa por los puntos (0,0,0), (1,2,3) ^ (-2,3,3).

5. Pasa por los puntos (1,2,3), (3,2,1) ^ (-1,-2,2).

6. Pasa por los puntos (2,2,1) ^ (-1,1,-1) y es perpendicular al plano 2x-3y+z=3.

7. Pasa por el punto (2,2,1) y contiene a la recta:

8. pasa por (-1,2,4) y es paralelo a 2x-3y-5z+6=0

II) Indicaciones: Encuentre la recta intersección y Angulo de los planos dados:

1. x-3y+6z=4 ; 5x+y-z=4

2. 3x+2y-x=7 ; x-4y+2z=0

3. 2x+y-z-1=0 ; 9x-y-z+2=0

III) Determinar si los planos dados son paralelos, ortogonales o ninguna de las dos:

1. 5x-3y+z=4 ; x+4y+7z=1

2. x-3y+6z=4 ; 5x+y-z=4

3. x-5y-z=1 ; 5x-25y-5z=4

VI) Determinar la distancia entre…

1. El punto Q(2,8,4) y el plano x-4y+2z=0

2. Entre los planos: x-3y+4z=10 ^ x-3z+4y=6

3. Entre los planos -3x+6y+7z=1 ^ 6x-12y-14z-25=0

4. El plano 2x+3y+z=12 y el punto V(0,0,0)

GUIA No. 14UNIDAD V: “SUPERFICIES CILÍNDRICAS Y CUÁDRICAS”



Tema: Superficies Cilíndricas y Cuádricas.

Objetivo: Que el estudiante sea capaz de elaborar, adecuadamente, gráficos en el espacio, relacionados con superficies cilíndricas y

cuadricas.

I) Indicaciones: Identificar y representar gráficamente cada una de las superficies dadas:

1. 3x 2. 16zx 22 3.3yz 4. 0yx2

5. 4yx4 22 6. 0ycosz 7. x2y 8. yz

9.xey 10.

3xy 11. 0senxy 12.36y9x4 22

13. ylnx 14. 1xz 2 15.zey 16. ylnz

II) Indicaciones: Identificar y Bosquejar las siguientes ecuaciones:

1.1

9z

16y

9x 222

2. 0zy4x4 22 3. 0z9x4y 222

4.1

4

z

9

y

16

x 222

5. 04z2yx4 222 6. 0z4yx4 22

7.22 y4x9z36

8. 4z

9y

16x 22

9.22 x4y3z12

10.1

9

z

4

yx

222

11.576z144y64x36 222 12.

09

z

4

y

16

x 222


mat3-t02_guias mate iii 02 2010

Documents