MODULBARISAN DAN DERET

SEMESTER 2

Muhammad Zainal Abidin Personal Bloghttp://meetabied.wordpress.com

BAB I.

PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Dalam modul ini, anda akan mempelajari pola bilangan, barisan, dan deret diidentifikasi berdasarkan ciri-cirinya. Notasi sigma dan penggunaannya dalam menyederhanakan penulisan suatu deret. Barisan dan deret aritmatika diidentifikasikan berdasarkan ciri-cirinya, nilai unsur ke n suatu barisan aritmatika ditentukan dengan menggunakan rumus, jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika ditentukan dengan menggunakan rumus. Barisan dan deret geometri diidentifikasikan berdasarkan ciri-cirinya, nilai unsur ke n suatu barisan geometri ditentukan dengan menggunakan rumus, jumlah n suku pertama suatu deret geometri ditentukan dengan menggunakan rumus, jumlah takhingga deret geometri ditentukan dengan menggunakan rumus.

B. Prasyarat

Agar dapat mempelajari modul ini anda harus telah memahami operasi pada bilangan real.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

1. Perhatikan langkah-langkah dalam setiap contoh sehingga mempermudah dalam memahami konsep pola bilangan, barisan maupun deret.

2. Apabila ada soal latihan, kerjakanlah soal-soal tersebut sebagai latihan

untuk persiapan evaluasi.

3. Jawablah tes formatif dengan jelas sesuai dengan kemampuan Anda. Jika Anda masih ragu-ragu dengan jawaban yang Anda peroleh, Anda bisa melihat kunci jawaban formatif yang sesuai.

4. Kerjakan soal-soal yang ada pada evaluasi.

D. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:1. memahami pola bilangan, barisan, dan deret.2. memahami notasi sigma dan penggunaannya dalam

menyederhanakan penulisan suatu deret.3. memahami barisan dan deret aritmatika.4. menentukan unsur ke n suatu barisan aritmatika dengan

menggunakan rumus.5. menentukan jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika

dengan menggunakan rumus.6. memahami barisan dan deret geometri.7. menentukan unsur ke n suatu barisan geometri dengan

menggunakan rumus.8. menentukan jumlah n suku pertama suatu deret geometri

dengan menggunakan rumus.9. menentukan jumlah takhingga deret geometri dengan menggunakan

rumus.

BAB II. PEMBELAJARAN

A. RENCANA BELAJAR SISWA

Kompetensi : Menerapkan konsep baris dan deret.Sub Kompetensi : - Mengidentifikasi pola bilangan, barisan dan deret.

- Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika.- Menerapkan konsep barisan dan deret geometri.

Tulislah semua jenis kegiatan yang Anda lakukan di dalam tabel kegiatan di bawah ini. Jika ada perubahan dari rencana semula, berilah alasannya kemudian meminta tanda tangan kepada guru atau instruktur Anda.

JenisKegiatan Tanggal Waktu Tempat

BelajarAlasan

perubahanTandatangan

Guru

B. KEGIATAN BELAJAR

1. Kegiatan Belajar 1

Pola Bilangan, Barisan, Deret dan Notasi

Sigma a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat: menentukan pola suatu deretan bilangan, menentukan unsur ke n suatu barisan berdasarkan sifat/pola yang dimiliki, menentukan n unsur pertama suatu barisan jika rumus unsur ke n

barisan itu diketahui, menentukan suku ke n suatu barisan berdasarkan sifat/pola yang

dimiliki oleh barisan yang terkait, menentukan n suku pertama suatu deret jika rumus suku ke n

deret itu diketahui, menyatakan suatu penjumlahan dengan menggunakan notasi sigma, menentukan nilai penjumlahan yang dinyatakan dalam notasi sigma, memahami beberapa sifat pada notasi sigma.

b. Uraian Materi

Perhatikan deretan bilangan-bilangan berikut:a. 1 2 3 ...b. 4 9 16 ...c. 31 40 21 30 16 ...

Deretan bilangan di atas mempunyaipola tertentu. Dapatkahanda menentukan bilangan yang belum diketahui

sesuai dengan aturan yang dipunyai?

9

Pada a, bilangan ke 4 adalah 4, sebab deretan bilangan nomor 1, mempunyai aturan: bilangan ke 2 = 1 + 1 = 2, bilangan ke 3 = bilangan ke 2 + 1 = 2 +1 = 3. Jadi bilangan ke 4 = bilangan ke 3 + 1 = 3 + 1 = 4.Pada b, bilangan ke 4 adalah 25, sebab deretan bilangan

nomor 2, mempunyai aturan: bilangan ke 1 = (1 + 1)2 = 22 = 4, bilangan ke 2 = (2 +1)2 = 32 = 9, bilangan ke 3 = (3 + 1)2 = 42 = 16. Jadi bilangan ke 4 = (4 +1)2 = 52 = 25.Pada c, bilangan ke 6 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 3, mempunyai aturan: bilangan ke 3 = bilangan pertama - 10 = 31 - 10 = 21, bilangan ke 4 = bilangan ke 2 - 10 = 40 - 10 = 30, bilangan ke 5 = bilanganke 3 - 5 = 21 - 5 = 16,. Jadi bilangan ke 6 = bilangan ke 4 - 5 = 30 - 5 = 25.

Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan di atas disebut pola bilangan pada deretan itu. Pola sebuah deretan bilangan tidak tunggal. Sebagai contoh, pada deretan bilangan nomor 2,

bilangan ke n = (n + 1)2 dengan n= 1, 2, 3, 4.

Selanjutnya kita akan membicarakan deretan bilangan dengan pola khusus yang disebut barisan dan deret.

Definisi

Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dengan domain himpunan

semua bilangan asli ( ) dan kodomain himpunan semua bilangan real ( ). JikaU merupakan fungsi dari ke , maka barisannya sering ditulis dengan U1,U2, U3, ..., Un, .... Pada barisan U1, U2, U3, ..., Un, ... , Un disebut unsur ken atau elemen ke n dari barisan itu.

10

Co ntoh 1.1 1. 1, 2, 3,... merupakan barisan dengan unsur ke n dari barisan itu adalah Un

= n.2. 1, -1, 1, -1,.... adalah barisan dengan unsur ke n dari barisan itu adalah

Un = (-1)n.Definisi

Jika U1, U2, U3,..., Un,... merupakan barisan bilangan real, makaU1 + U2 + U3,... + Un +...

disebut deret, dan Un disebut suku ke n barisan itu.

Contoh 1.2 1) 1 + 2 + 3 +..., maka suku ke n barisan itu adalah Un = n.2) 1 + (-1) + 1+ (-1) + ...., maka suku ke n dari deret itu adalah Un =

(-1)n.3) 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 +..., maka ke 7 dari barisan itu adalah 13.

Notasi Sigma

Perhatikan jumlahan bilangan-bilangan berikut.1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.

3. 1 + 1 + 1 .3 9 27

4. 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola dapat dituliskan dengan notasi (dibaca: sigma), Sehingga jumlahan bilangan diatas dapat ditulis kembali :1.

2.

11

3.

4.

Beberapa sifat notasi sigmaJika m dan n adalah bilangan asli, dengan m ≤ n dan c , maka berlaku :

1.

2.

3.

4.

5.

c. Rangkuman 1

1. Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan disebut pola bilangan pada deretan itu.

Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dengan domain himpunan semua bilangan asli (N) dan kodomain himpunan semua bilangan real (R). Jika U merupakan fungsi dari N ke R, maka barisannya sering ditulis dengan U1, U2, U3,..., Un,....

Pada barisan U1, U2, U3,..., Un,...,Un disebut unsur ke n atau elemen

ke n dari barisan itu.3. Jika U1, U2, U3,..., Un,... merupakan barisan bilangan real,

maka U1 + U2 + U3,... + Un +...disebut deret, dan Un disebutsuku ke n barisan itu.

Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola dapat dituliskan dengan notasi (dibaca: sigma).

d. Tugas 11. Tentukan suku yang dicantumkan di akhir barisan dan juga

suku ke-n dari setiap barisan berikut:a. 13, 9, 5, ...., b. 25, 21, 17, 13, ..., c. -10, -8, -6, -4, ...,

2. Tentukan bentuk notasi sigma dari setiap deret berikut :a. 2 + 5 + 8 + ... + 119 b. 100 + 90 + 80 + ... + 0c. 4 + 1 + + ...

3. Hitunglah deret-deret berikut :a.

b.

c.

2. Kegiatan Belajar 2:

Barisan Aritmatika dan Deret

Aritmatika a. Tujuan Kegiatan

pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan Anda dapat: memahami barisan aritmatika, menentukan unsur ke n suatu barisan aritmatika, memahami deret aritmatika, menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika.

b. Uraian Materi

Kadang-kadang, suatu barisan mempunyai pola khusus. Pada barisan

1, 2, 3, 4, …, selisih antara unsur yang berurutan, yaitu: ke 1 dengan ke 2,ke 2 dengan ke 3, ke n dengan ke n + 1, dan seterusnya adalah

tetap, yaitu sama dengan 1. Barisan semacam ini disebut barisan aritmatika. Secara matematik, pengertian barisan arimatika dapat dituliskan sebagai berikut.

DefinisiBarisan U1, U2, U3,..., Un,... disebut barisan aritmatika jika

Un - Un-1 = konstan,

dengan n = 2, 3, 4,.... Konstanta pada barisan aritmatika di atas disebut beda dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan b, dan U1 sering dinotasikan dengan a.Contoh 2.1 1. 1, 2, 3,... merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 1.2. 1, 3, 5, … merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 2.3. 1, -1, 1, -1,.... bukan barisan aritmatika sebab

U2 – U1 = -1 – 1 = -2 2 = 1 – (-1) = U3 – U2

Menurunkan Rumus Unsur ke n Barisan Aritmatika

Jika U1 = a, U2, U3,..., Un,... merupakan barisan aritmatika, maka unsur

ke n dari barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut.U1 = aU2 = a + bU3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b U5 = U4 + b = (a + 3b) +

b = a + 4b . . .

Un = a + (n -1)bJadi rumus umum unsur ke n suatu barisan aritmatika

dengan unsur pertama a dan beda b adalah:Un = a + (n -1)b

Contoh 2.2 Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda = 2. Tentukan unsur ke 7 barisan itu.Penyelesaian:Diketahui U2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus Un = a + (n -1)b, diperolehU2 = a + (2-1)bU2 = a + b a = U2

- b= 10 - 2= 8

U7 = a + (7-1) b= a + 6 b= 8 + 6 (2)= 8 + 12= 20.

Jadi unsur ke 7 dari barisan adalah 20.

Contoh 2.3 Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun tebu. Penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun2001, Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang. Pak Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005?

Penyelesaian:Misalkan:a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000.b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman

setiap akhir tahun.P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005. Jadi a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000,-, dan P2005

akan dicari.Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak

Arman setiap akhir tahun adalah tetap, maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari barisan aritmatika denganU1 = a = a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000.P2005 = U6 = a + 5b

= 6.000.000 + 5(500.000)= 6.000.000 + 2.500.000= 8.500.000.

Jadi perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005adalah Rp 8.500.000,-

Dengan adanya deret aritmatika, kita dapat membentuk barisan yang terkait dengan deret tersebut. Barisan demikian disebut barisan aritmatika.

DefinisiJika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmatka, maka

U1 + U2 + U3 + ... + Un, ....disebut deret aritmatika. Un disebut suku ke n dari deret itu.

Jika Sn menyatakan jumlah n suku pertama deret aritmatika U1 + U2 +

U3 + ... + Un, ...., maka Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un dapat

diturunkan dengan cara sebagai berikut.Sn = Un + (Un - b) + (Un - 2b) + ... + aSn = a + (a - b) + (a + 2b) +..... + Un

+2Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) +... + (a + Un), sebanyak n suku.2 Sn = n. (a + Un) Sn =

Jadi Sn = atau Sn =

c. Rangkuman 2

Barisan U1, U2, U3, ..., Un, .... disebut barisan aritmatika jika Un - Un-1 = konstan. Un disebut unsur ke n barisan itu, dan konstanta tersebut disebut beda, yang dinotasikan dengan b.

Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmatka dengan beda b

dan unsur pertama U1 = a, maka rumus unsur ke n dari barisan itu adalahUn = a + (n - 1)b

Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmatka, maka U1 + U2 + U3 + ... + Un, ....disebut deret aritmatika. Un disebut suku ke n dari deret itu.

Jumlah n suku deret aritmatika dengan beda b dan unsur pertama U1 = a

adalah Sn = atau Sn =

d. Tugas 21. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika dibawah ini :

a. 3, 6, 9, 12, ...b. 1, 6, 11, 16, ...c. -15, -8, -1, 6, ...

2. Carilah suku yang diminta dalam setiap barisan aritmatika berikut :

a. 1, 4, 7, 10, ..., suku ke-50

b. 25, 21, 17, 13, ..., suku ke-20c. -10, -8, -1, 6, ..., suku ke-50

3. Tentukan nilai dari:a. 2 + 7 + 12 +.... + 297b. 30 + 26 + 22 +... + 2.

4. Tentukan x jika:a. 100 + 96 + 92 + … + x = 0.b. 1 + 4 + 7 +… + x = 835.

e. Tes Formatif 1

Selidiki, apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan aritmatika?

1. - 1 , 3, -12, 48, .....2

2. a, a + x2, a + 2x2, a + 3x

2, .....

Tentukan unsur ke n dari barisan berikut untuk n yang diketahui.

3. 1, -1, -3, -5,....; n = 15.4. 4, 8, 12,....; n = 50.

Hitunglah:5. 30 + 25 + 20 +... + (-40).6. 2 + 10 + 18 +... + 72.7. Suku ke 5 suatu deret aritmatika adalah 22, jumlah suku ke 7 dengan suku

ke 2 adalah 39. Tentukan jumlah 5 suku pertamanya.

Tentukan suku pertama dan beda dari barisan aritmatika yang mempunyai:8. U6 = 5; U12 = -13.

9. U13 = 8; U17 = 48.10. U7 = 14; U10 = 20.

3. Kegiatan Belajar 3

Barisan Geometri dan Deret

Geometri a. Tujuan Kegiatan

Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar 3, diharapkan Anda dapat: memahami barisan geometri, menentukan unsur ke n suatu barisan geometri, memahami deret geometri, menentukan jumlah n suku pertama deret geometri, menentukan jumlah deret geometri tak hingga.

b. Uraian MateriRumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan U1

= a dan rasio r dapat diturunkan dengan cara berikut.U1 = aU2 = a r

U3 = U2 r = (a r)r = ar2

U4 = U3 r = (a r2)r = ar

3

.

.

.

Un = Un-1 r = arn-1

Jadi rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan

U1 = a dan rasio r adalah:Un = ar

n-1

Definisi

Jika U1, U2, U3, ..., Un,.... merupakan barisan geometri dengan unsur

pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka U1 + U2 + U3 + ... + Un + .... disebut deret geometri dengan Un = ar

n-1

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a

dan rasio r, dapat diturunkan dengan cara sebagai berikut. Misalkan Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un, maka

Sn = a + ar2 + ar

3 + ..... + arn-1

r Sn = ar + ar3 + ar

4 + ..... + arn-1 + ar

n

Sn - r Sn = a - arn

(1 - r) Sn = (1 -rn)aJadi rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama

a dan rasio r adalah untuk r < 1 atau untuk r > 1

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan | r | < 1Jumlah deret geomatri tak hingga adalah :

Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak terhingga ada dua kasus :1. Jika -1 < r < 1, maka rn menuju 0 akibatnya

Deret geometri dengan -1 < r < 1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat)

2. Jika r < -1 atau r > 1, maka untuk n nilai rn makin besar akibatnya

Deret geometri dengan r < -1 atau r > 1 disebut deret geometri

divergen (memencar)

Contoh 3.1Diketahui barisan 27, 9, 3, 1, .... Tentukanlah :

a. Rumus suku ke-nb. Suku ke-8Jawab :a. Rasio pada barisan tersebut adalah tetap yaitu r = sehingga

barisan tersebut adalah barisan geometri.Rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah

= 33.(3-1)n-1

= 33.3-n + 1

= 34 – n

b. Suku ke-8 barisan geometri tersebut adalah U8 = 34 – 8

= 3-4

= Contoh 3.2Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri tersebut.Jawab :U2 = 8, berarti ar = 8U3 = 64, berarti ar4 = 64ar.r3 = 64 8r3 = 64 r3 = 8didapat r = 2dengan mensubstitusikan r = 2 ke persamaan ar = 8, akan didapatkan a.2 = 8 sehingga a= 4.Jumlah n suku pertama deret ini adalah

= = 4.2n – 4 = 22.2n – 4 = 22 + n – 4

Jumlah 10 suku pertama deret ini adalah S10 = 22+10 – 4= 212 – 4= 4096 – 4= 4092

c. Rangkuman 3

1. Barisan U1, U2, U3,..., Un,...disebut barisan geometri jika konstan

dengan n = 2, 2, 3,.... Konstanta pada barisan geometri di atas disebut

rasio dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan r.2. Rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,....

dengan U1 = a dan rasio r adalah:Un = ar

n-1

3. Jika U1, U2, U3, ..., Un,....merupakan barisan geometri dengan unsur pertama adalah a = U1 dan rasio r, makaU1 + U2 + U3 + ... + Un + ....disebut deret geometri dengan Un = ar

n-1

4. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah:

untuk r < 1 atau untuk r > 1 Jika n menuju tak hingga Sn berhingga, maka deret yang bersangkutan disebut deret konvergen, dan jika tidak demikian disebut deret

divergen.5. Jumlah tak hingga suatu deret geometri dengan suku pertama a

dan rasio r adalah Sn =

d. Tugas 31. Tentukan suku yang diminta dari barisan geometri pada setiap

soal berikut :a. 2, 4, 8, 16, ..., U12b. 3, -9, 27, -81, ..., U10c. U5

2. Tulislah rumus suku ke-n dari barisan berikut :a. 1, 2, 4, ...b. c.

3. Diketahui deret geometri : Tentukan :a. Rasiob. Suku ke-10c. Jumlah 10 suku pertama

4. Diketahui deret geometri suku ke-3 adalah 16 dan suku ke-5 sama dengan 64. Tentukan :

a. rasiob. rumus jumlah n suku pertama

e. Tes Formatif 3Selidiki, apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan

aritmatika?1. 1,3,9,27,...2.

Tentukan unsur ke n dari barisan berikut untuk n yang diketahui.3. 2, -4, 8, ..., n = 104.

Hitunglah:5. 2 – 6 + 18 .... sampai 10 suku6. 3 + 1 + + + ... sampai tak hingga7. Dari ketinggian 2 m sebuah bola dijatuhkan ke lantai. Setiap

kali memantul ketinggian bola tersebut tinggal 3/5 dari tinggi sebelumnya. Berapakah jarak yang yang ditempuh bola selama 10 kali pantulan

8. Diketahui jumlah n suku pertama deret geometri adalah Sn=5(2n – 1)Tentukan :a. Suku pertama dan rasiob. Rumus suku ke-n

BAB III. EVALUASI

1. Banyaknya suku suatu deret aritmatika adalah 15. Suku terakhir adalah 47 dan jumlah deret tersebut 285. Tentukan suku pertama deret tersebut.

2. Tentukan jumlah semua bilangan asli antara 1 sampai 50 yang tidak habis dibagi 3.

3. Suku kedua deret geometri adalah 12, dan suku ke-8 adalah 96, dan suku ke-n adalah 160. Jika suku-suku deret geometri tersebut merupakan suku positif, tentukan jumlah n suku pertama deret tersebut.

4. Pada barisan bilangan 4, x, y, z diketahui tiga suku pertama membentuk barisan geometri dan tiga suku terakhir membentuk barisan aritmatika. Tentukan nilai x + y.

5. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 1 meter. Setiap kali sesudah jatuh mengenai lantai, bola itu dipantulkan lagi dan mencapai ¾ dari tinggi sebelumnya. Tentukan panjang seluruh jalan yang dilalui bola itu sampai berhenti.

BAB IV. PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk enguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.

DAFTAR PUSTAKA

MGMP Matematika Kota Semarang, 2006. Matematika SMA/MA Kelas XII Program Ilmu Pengetahuan Sosial, Semarang : PT

Mascom Graphy, Semarang.