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marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 1

Diseño de Sistemas de Control

Introducción

Todos los fundamentos que se han revisado para el análisis en los capítulos anteriores llevan al objetivo último del diseño de sistemas de control.

Especificaciones de diseño:

Generalmente se emplean para describir qué debe hacer el sistema y cómo hacerlo. Estas especificaciones suelen incluir parámetros como: estabilidad relativa, precisión en estado estable, respuesta transitoria y características de respuesta de frecuencia.

El diseño de sistemas de control lineales se puede realizar ya sea en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia.


Diseño de Sistemas de ControlConfiguraciones del controlador

El diseñador decide la configuración básica del sistema diseñado completo y el lugar donde el controlador estará colocado en relación con el proceso controlado.

Compensación en serie (cascada): es la más comúnmente utilizada con el controlador colocado en serie con el proceso controlado.

Compensación en realimentación (en paralelo): el controlador está colocado en la trayectoria menor de realimentación.

CGPG

H

ae

CASCADAoSERIE

rcontrolado .instrplanta

controldelazo

r

CG

PG

H

ae

controldelazo

G

CIÓNREALIMENTAoPARALELO

ciónrealimentademenorlazo

r y

Diseño de Sistemas de ControlPrincipios fundamentales del diseño

Después que se ha escogido una configuración del controlador, el diseñador debe seleccionar un tipo de controlador que satisfaga las especificaciones de diseño.

Uno de los controladores más utilizados en el PID, el cual aplica una señal al proceso que es una combinación proporcional, integral y derivada de la señal de actuación. Además de estos se cuentan con controladores o redes de adelanto, atraso y atraso-adelanto.

Una vez elegido el controlador, la siguiente tarea es determinar sus parámetros. Estos son coeficientes de una o más funciones de transferencia que conforman el controlador.

A continuación se debe realizar la verificación del desempeño del sistema y en caso de ser necesario reajustar los parámetros del compensador. Se emplea la simulación mediante un paquete computacional para evitar gran parte de la complicación numérica necesaria en esta verificación


Diseño de Sistemas de ControlDiseño empleando el Lugar Geométrico de las Raíces

En esencia, en este tipo de diseño el LGR del sistema se reconstruye mediante el uso de un compensador, a fin de poder colocar un par de polos dominantes en lazo cerrado en la posición deseada.

Redes de adelanto

• Mejora la respuesta transitoria readaptando el LGR.

• El cero del compensador de adelanto readapta el LGR, mientras que el polo se ubica lo suficientemente lejos a la izquierda para no influir en la parte readaptada por el cero.

Gc(s)R(s) +

-G(s)

Y(s)

10,1

11

1

Ts

TsK

Ts

Ts

KsG ccc

jw

s

T1

T

1

10 marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 4

Diseño de Sistemas de ControlProcedimiento de diseño de redes de adelanto mediante el LGR

• De las especificaciones de funcionamiento, se determina la ubicación deseada de los polos dominantes en lazo cerrado.

• Trazar el LGR para el sistema no compensado cuya función de transferencia es G(s). Determine si con solo ajustar la ganancia se logra obtener o no los polos de lazo cerrado deseados. De no ser posible, calcule la deficiencia angular Φ, este ángulo se debe proporcionar por el compensador en adelanto para que el nuevo LGR pase por las ubicaciones deseadas.

• Se determinan α y T a partir de la deficiencia angular, Kc se determina a partir del requisito de ganancia de lazo abierto partiendo de la condición de magnitud.

• Verificar que se hayan cumplido todas las especificaciones de desempeño, de no ser el caso repetir el procedimiento ajustando el polo y el cero del compensador hasta cumplir con todas las especificaciones


Diseño de Sistemas de ControlEjemplo de diseño


styMpy

jclenpolos

sn 8%2%50.3022

12

2

75.0..

w

Gc(s)+-

Y(s)

1

2

ss

R(s)

Análisis del sistema

-1.5 -1 -0.5 0-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis polos en lazo cerrado

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: untitled1Settling Time (sec): 7.74

System: untitled1Peak amplitude: 1.3

Overshoot (%): 30.4At time (sec): 2.43

Para este sistema se desea tener un par de polos dominantes con Mp ≤ 20% y ts ≤ 2s (criterio del 2%). Por lo que el punto de diseño será:



-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

322 jPD

322 jPD

120º106,1º98

,21º

52,11º

zc= -1.5pc= -4.69

322

2343%2

5,0207,0%20

jPD

escojorealpartest

escojoMp

s

ss

Diseño de Sistemas de ControlComo se observa el LGR de la planta no pasa por el punto de diseño (PD). Entonces calculando el ángulo de adelanto A que debe entregar el compensador se tiene:

69,4

5,104,9 :esdiseñadorcompensadoelentonces

04,95,12

69,41

magnituddecondiciónladepartiracalculase

69,4

5,1:quelopor

69,42º11,52tan

32

52,11ºº1,46º21,982

32arctan

º1,465,1º1,46G

tienese -1,5zen rcompensadodelceroelfijandoquelopor

46,1º226,1ºº180 180º-deserdeberíaesteángulodecondiciónladepero

-226,1ºº-106,1º1201

2

C

C

C

A

s

ssG

s

sssK

K

s

sKsG

pp

p

psss

ss

C

PDs

C

C

CC

C

c

PDsCPDsPDsA

PDs


Diseño de Sistemas de ControlComprobando el compensador diseñado se utiliza el rltool de MatLab y se presenta a continuación el LGR y la respuesta temporal del sistema compensado:


Diseño de Sistemas de ControlComo se observa en la simulación anterior, de las especificaciones de diseño no se cumple con la del Mp (debe ser ≤ 20%) por lo que es necesario reajustar los parámetros del compensador. Por esto se varia la ganancia a un valor de 7,3 logrando cumplir con las especificaciones solicitadas.


Diseño de Sistemas de ControlRedes de atraso

• Se emplea para mejorar la respuesta en estado estable sin modificar la respuesta transitoria.

• Se pretende no cambiar el LGR en la vecindad de los polos dominantes en lazo cerrado.

• Generalmente se ubican el polo y el cero próximos entre sí y cerca del origen


jw

s

T

1

T1

1

Gc(s)R(s) +

-G(s)

Y(s)

1,1

1ˆ1

1

ˆ

Ts

TsK

Ts

Ts

KsG ccc



Procedimiento de diseño de redes de atraso mediante el LGR

• Trace el LGR para el sistema no compensado y con base a las especificaciones de la respuesta transitoria, ubique los polos dominantes en lazo cerrado en el LGR.

• Calcule la constante de error estático especificada en el problema.

• Determine el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer las especificaciones.

• Determine el polo y el cero del compensador de atraso que producen el incremento necesario en la constante de error estático determinado sin alterar apreciablemente el LGR original.

• Trace el nuevo LGR del sistema compensado y ubique sobre este los polos en lazo cerrado en base a las especificaciones de la respuesta transitoria.

• Ajuste la ganancia del compensador a partir de la condición de magnitud, a fin de que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicación deseada.



Gc(s)R(s) +

-

Y(s)

4

16

ss styMpy

jclenpolos

sn 2%2%30.162

14

322..

w

Análisis del sistema

Como se observa este sistema no presenta problemas con su respuesta transitoria pero al analizar su constante de velocidad se obtiene KV = 4, por lo que el error de velocidad es de eV = 25%



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Linear Simulation Results

Time (sec)

Am

plitu

de

Por lo que se desea compensar su error de velocidad sin desmejorar su respuesta transitoria. Se pretende obtener un eV ≤ 5%, es decir se requiere un KV ≥ 20.



)5º a ser (debeº49,001,0

05,0004,1 esr compensado del fase de aporte ely

004,105,016

01,04 de valor el oReajustand

01,0

05,0 es diseñado atraso der compensado el ,Finalmente

01,05

05,01serár compensado del polo el que ahí de

05,0T

1 0,05-en ejemplopor origen al cercano más lor compensado del cero el Escogiendo

5 que lopor ,1 LGR el modifique se no que para

54

20

4

16

1

1lim20

:entonces compensado sistema el para 20 el que requiere se como

4

16

1

1lim : tieneser compensado el serieen poner Al

44

16lim:originalsistemaelPara

l.c.en polos

l.c.en polos

0

0

0

s

s

CC

CC

C

C

C

CCs

V

Cs

V

sV

s

s

s

sssKK

s

sKsG

Tp

z

K

KssTs

TsKs

K

ssTs

TsKsK

sssK

comp

comp



Para comprobar el compensador diseñado se utiliza el rltool de MatLab, por lo que a continuación se presentan el LGR, la respuesta paso unitaria y la respuesta rampa unitaria del sistema compensado

zoom



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Linear Simulation Results

Time (sec)A

mpl

itude

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4System: untitled1Peak amplitude: 1.18Overshoot (%): 17.7At time (sec): 0.928

System: untitled1Settling Time (sec): 1.47

Diseño de Sistemas de ControlDiseño empleando la respuesta de frecuencia

• Se especifica el desempeño de la respuesta transitoria en forma indirecta, a través del MF, MG y Mr.

• El diseño es sencillo y directo.

• Para propósitos de diseño es mejor trabajar con el Diagrama de Bode.

Redes de adelanto

• Su función principal es volver a dar forma a la curva de respuesta de frecuencia a fin de ofrecer un ángulo de adelanto de fase suficiente para compensan atrasos de fase del sistema.

• Es básicamente un filtro pasa-altos.


10,1

11

1

Ts

TsK

Ts

Ts

KsG ccc



Redes de adelanto

• Diagrama de Nyquist (haciendo KC=1)

• Diagrama de Bode (haciendo KC=1 y =0.1)

1

1

121

121

sin m

10,1

1

ww

Tj

TjKsG cc

TTT mm w

w 11

log1

log2

1log



Procedimiento de diseño de redes de adelanto mediante la respuesta de frecuencia

• Suponga el siguiente compensador de adelanto:

• Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático solicitado.

• Con esta ganancia K , trace el diagrama de Bode en lazo abierto y calcule el MF.

• Determine el ángulo de fase necesario a agregar al sistema y calcule a partir de la ecuación de m.

• Establezca la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado es igual a . Esta será la nueva frec. de cruce de ganancia y corresponde a

• Determine las frecuencias de esquina del compensador (1/T y 1/(T)) y calcule el valor de KC.

• Verifique el MG para asegurar que sea satisfactorio.

Cc KK

Ts

TsKsG

donde,1

1

1log20

Tm

w 1



Gc(s)+-

Y(s)

1

2

ss

R(s)

Para este sistema se desea diseñar un compensador de manera que: KV ≥ 20 , MF ≥ 50º y MG ≥ 10dB.

Escogiendo una red de adelanto se tiene:

Y haciendo que , se ajusta el valor de K para cumplir con la especificación del valor de KV, obteniendo:

A continuación se obtiene el Diagrama de Bode en lazo abierto de:

A partir de este diagrama se determina que el MF = 12,8º y el MG = . Como se requiere de un MF de al menos 50º sin alterar el valor de K, la red de adelanto debe contribuir con el ángulo de fase adicional de 42,2º (se han agregado 5º para compensar el cambio en la frecuencia de cruce de ganancia).

10,1

1

Ts

TsKsG cc

cKK

102021

2

1

1lim

1

2lim

00

KKssTs

TssK

ssssGK

sC

sV

1

20

1

2

ssss

K



Entonces de la fórmula de m se tiene:

Por lo que: y como se observa en el diagrama de magnitud esta ganancia ocurre aproximadamente a la frecuencia de 6,68 rad/s

196,0

º2,42sin1

º2,42sin1

1

1º2,42sin

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

System: sysPhase Margin (deg): 12.8Delay Margin (sec): 0.0504At frequency (rad/sec): 4.42Closed Loop Stable? Yes

Pha

se (

deg)

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (

dB)

System: sysFrequency (rad/sec): 6.69Magnitude (dB): -7.09

dB069,7196,0

1log201log20



Esta es la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Entonces de la fórmula de m se obtiene:

Y calculando el valor de KC

Finalmente el compensador diseñado es

07,151

96.2196,068,61

68,61

T

yTs

radT

m w

92,50196,0

1010 CC KKK

07,15

96,292,50

s

ssGc

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-2

10-1

100

101

102

103

-180

-135

-90

-45

0

45

System: totPhase Margin (deg): 50.7Delay Margin (sec): 0.132At frequency (rad/sec): 6.68Closed Loop Stable? YesP

hase

(de

g)

Sist. sin compensar

Compensador

Sist. compensado

Diseño de Sistemas de ControlRedes de atraso

• Su función principal es proporcionar una atenuación en el rango de las frecuencias altas a fin de aportar un margen de fase suficiente al sistema.

• Es esencialmente un filtro pasa-bajos.

• Diagrama de Nyquist

• Diagrama de Bode (para =10 y KC=1)


1,1

1ˆ1

1

ˆ

Ts

TsK

Ts

Ts

KsG ccc



Procedimiento de diseño de redes de atraso mediante la respuesta de frecuencia

• Suponga el siguiente compensador de atraso:

• Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático solicitado.

• Con esta ganancia K , trace el diagrama de Bode en lazo abierto y calcule el MF.

• Si el sistema no compensado no satisface la especificación de MF, encuentre el punto de frecuencia en el cual el ángulo de fase del sistema en lazo abierto sea igual a -180º más el MF requerido (generalmente se aumentan de 5º a 12º). Esta es la nueva frecuencia de cruce de ganancia.

• Para evitar los efectos nocivos del atraso de fase, el polo y el cero del compensador deben ubicarse mucho más abajo que la nueva frec. de cruce de ganancia (hasta una década por debajo).

• Determine la atenuación necesaria para bajar la curva de magnitud a 0dB en la nueva frec. de cruce de ganancia. Esta atenuación es de

• Usando el valor de K y de se determina el valor de KC.

Cc KK

Ts

TsKsG

donde,1

1

log20



Gc(s)+-

Y(s)

1

2

ss

R(s)

Para este sistema se desea diseñar un compensador de manera que: KV ≥ 20 , MF ≥ 50º y MG ≥ 10dB.

Escogiendo una red de atraso se tiene:

Y haciendo que , se ajusta el valor de K para cumplir con la especificación del valor de KV, obteniendo:

A continuación se obtiene el Diagrama de Bode en lazo abierto de:

A partir de este diagrama se determina que el MF = 12,8º y el MG = . Como se requiere de un MF de al menos 50º sin alterar el valor de K. Por esto se determina la frecuencia en la cual el ángulo de fase sea de -120º para obtener un MF de 60º. Del gráfico de fase se observa que esta frecuencia es de 0,571 rad/s.

1,1

1

Ts

TsKsG cc

cKK

102021

2

1

1lim

1

2lim

00

KKssTs

TssK

ssssGK

sC

sV

1

20

1

2

ssss

K



Por lo que 0,571 rad/s será la nueva frecuencia de cruce de ganancia. A esta frecuencia se tiene una magnitud de 29,6dB, entonces el compensador de atraso deberá cumplir que:

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

System: sys1Phase Margin (deg): 12.8Delay Margin (sec): 0.0504At frequency (rad/sec): 4.42Closed Loop Stable? Yes

System: sys1Frequency (rad/sec): 0.571

Phase (deg): -120

Pha

se (

deg)

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (

dB)

System: sys1Frequency (rad/sec): 0.572

Magnitude (dB): 29.6

2,30106.29log20 20

6.29

dB



Como la frecuencia de esquina 1/T debe estar entre una década y una octava por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia se tiene que:

Y calculando el valor de KC

Finalmente el compensador diseñado es

0033,01

1,01

T

yT

33,02,30

1010 CC KKK

0033,0

1,033,0

s

ssGc

-100

-50

0

50

100

150

Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

System: totPhase Margin (deg): 50.4Delay Margin (sec): 1.52At frequency (rad/sec): 0.579Closed Loop Stable? Yes

Pha

se (

deg)

Sist. no compensado

Compensador

Sist. compensado

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