A cura di Maria Giovanna MelisMaria Giovanna Melis

Insiemi

Sui quali si possono definire

Unione

Differenza

Complemento

Si rappresentan

o con

Diagrammi

di Eulero - Venn

Carroll

ad albero

Operazioni

e proprietà Differenza

simmetrica

Si utilizzano anche per

Rappresentare e risolvere problemi

Rappresentare operazioni

tra insiemi

Rappresentare classificazioni

indotte da relazioni

Rappresentare corrispondenze

tra gli elementi di due insiemi

(diagramma sagittale)

Intersezione

Potenza

PROPRIETA’ degli OPERATORIPROPRIETA’ degli OPERATORI ,

UU

UU

Gli operatori e sono operatori binari (lavorano su due insiemi per volta come gli

operatori +, -, x, : lavorano su due numeri alla volta).

UU

UU

Proprietà dell’operatore intersezione

Per tutti gli insiemi A, B, C valgono le seguenti proprietà:

- (A B) C = A (B C) associativa

-A B = B A commutativa

-A A = A idempotenza

-A =

UU

UU UU UU UU

UU UU

UU

UU

UUProprietà dell’operatore intersezione

Per tutti gli insiemi A, B, C valgono le seguenti proprietà:

- (A B) C = A (B C) associativa

-A B = B A commutativa

-A A = A idempotenza

-A =

UU UU UU UU

UU UU

UU

UU

Insieme INTERSEZIONE

A B

A inter B

UU

La congiunzione ( )La congiunzione ( )

VV

r z r z

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

VV

AA BB

UU

r z

L’intersezione degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi comuni ad A e B (cioè di quegli elementi di A che

appartengono anche a B)

Legami tra le operazioni con gli insiemi e il calcolo

dei predicati

Insiemi DISGIUNTIDISGIUNTI

Da notare che se gli insiemi A e B non hanno elementi in comune, l’insieme intersezione è

allora l’insieme vuoto ( ) l’insieme vuoto ( ) ..

A B = A B = UU

La Colombo Bozzolo presenta due rappresentazioni con il diagramma di Venn:

E

BA

E

BA

AA

CC BB

b e Nc e Na

a e b e Nc

b e c e Na

a e c e Nb

a e b e c

a e Nb e Nc

c e Nb e N

a

Non a e Non b e Non c

Il diagramma di Eulero – Venn è la rappresentazione grafica degli insiemi e delle relazioni fra essi.

Si rappresentano gli elementi di un insieme dentro una regione piana limitata da una linea chiusa.

Tale rappresentazione grafica non è il “contorno geometrico” di una figura piana.

Leonard Euler, svizzero, 1707 – 1783

John Venn, inglese, 1834 - 1883

Sequenza del 3 Numeri pari

U: numeri da 1 a 9U: numeri da 1 a 9

argomento predicato Valore di verità

X È nella sequenza del 3

e è numero pari

VERO O FALSO

Il 3 è nella sequenza del 3

e è pari

FALSO

IL 6 è nella sequenza del 3

e è pari

VERO

IL 4 è nella sequenza del 3

e è pari

FALSO

U

Insieme UNIONE

A U U B

A unione B

UU

BBAA

La disgiunzione inclusiva: vel (V)La disgiunzione inclusiva: vel (V)

r z r V z

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

zr

L’unione degli insiemi A e B è l’insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A o a B o ad entrambi

Insieme DIFFERENZA

A - B

B - A

r z r * z

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Il corrispondente connettivo non ha un nome, è la <<non <<non implicazione>>implicazione>>; si indica con * *

AA BB

UU

r z

La differenza degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi di A che non

appartengono a B

Insieme DIFFERENZA SIMMETRICA ( )

A B

La differenza simmetrica tra A e B è l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B e di quelli di B che non

appartengono ad A

r z r W z

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

La disgiunzione esclusiva: aut (W)

AA BB

UU

r z

U: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

A : dispari

B : primi

Dispari Non Dispari

Primi

Non

Primi

La parte tratteggiata rappresenta l’intersezione, cioè la congiunzione

degli attributi <<Dispari e Primi>>, e ancora l’intersezione dell’insieme dei Dispari con l’insieme dei Primi

3 13

5

7 11

Non dispari - primi

2

1

9

15 Dispari – Non Primi

Non dispari – Non primi

4 16

12 10 8

14 6

Quindi, le possibilità sono quattro:

1. Essere dispari e primo

2. Essere dispari e non primo

3. Non essere dispari e essere primo

4. Non essere dispari e non essere primo

AA

BB

CC

AA

BB

a e b e non c

a e b e c non a e b

e c

non a e b e non c

a e non b e non c

a e non b e c

non a e non b e c

non a e non b e non c

Nella classificazione secondo tre attributi, le possibilità sono otto

Carroll Carroll

U: 4, 79, 81,7, 40, 6, 54, 92, 111, 95, 83, 35, 100, 72, 9, 47, 12, 63, 14, 114, 15, 84

A: multipli di 3

B: divisibili per 2

C: compresi tra 10 e 80

AA

BB

CC

AA

BBMultipli di 3 E divisibili per 2 E NON compresi tra 10 e 80

114

84 6

NON multipli di 3 E divisibili per 2 E NON compresi tra 10 e 80

100

4

92NON multipli di 3 E divisibili per 2 E compresi tra 10 e 80

14

40

Multipli di 3 E NON divisibili per 2 E compresi tra 10 e 80

63

15

NON multipli di 3 E NON divisibili per 2 E compresi tra 10 e 80

47

79

35

NON multipli di 3 E NON divisibili per 2 E NON compresi tra 10 e 80

837

95

Multipli di 3 E NON divisibili per 2 E NON compresi tra 10 e 80

81

111

9

Multipli di 3 E divisibili per 2 E compresi tra 10 e 80

54

7212

inte

rsez

ion

e

Insieme COMPLEMENTARE

U La negazione: nonnegazione: non

r r

1 0

0 1

r

A

Se A è un sottoinsieme di U, si chiama complementare di A rispetto a U l’insieme degli elementi di U che non appartengono ad A.

Nell’insieme N dei numeri naturali, l’insieme P dei numeri pari e l’insieme D dei numeri dispari sono l’uno il complementare dell’altro.

Nell’insieme U delle lettere dell’alfabeto, il complementare dell’insieme delle consonanti è l’insieme delle vocali.

N

D

P

U C

V

Insieme COMPLEMENTARE rispetto ad U di A/B

L’ implicazioneimplicazione

““se r allora z”se r allora z”

UU

r z

AA BB

r z r z

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

U: i numeri da 1 a 12

Trovare il numero che risponda alla seguente implicazione:

“se è pari e multiplo di 3, allora ha due cifre”

Inclusione: C B A

UU UU

A: pari

B: multiplo di 3

C: a due cifre

U

A

B C

2

12

4

18

10

6

3

7

11

95

Insieme COMPLEMENTARE rispetto ad U di A B

La doppiadoppia implicazioneimplicazione

UU

r z

AA BB

r z r z

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Insieme delle parti di un insieme o insieme POTENZA

Dato un insieme P si chiama insieme delle parti di P oppure insieme potenza di P, l’insieme di

tutti i sottoinsieme di P

E’ utile, in questo caso, elencare in ordine tutti i sottoinsiemi di P con un diagramma ad albero.

P = a, b, c

P

a Non a

Non bNon b

Non cNon cNon c Non c

b

cccc

b

a,b,c a,b a,c a b,c b c

Si sono ottenuti otto sottoinsiemi. Il loro insieme

è detto insieme delle parti di P

a,b,c a,b a,c a b,c b cP =

, , , , , , ,

Classificando i triangoli rispetto agli angoli si ha una partizione dell’insieme T dei triangoli in tre

sottoinsiemi

Tt

acutangoli

t rettangoli

t ottusangol

i

Suddividendo i numeri naturali in pari e dispari si ha una partizione dell’insieme IN in due sottoinsiemi:

INNumeri pari

Numeri

dispari

A B

CA

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

UUA B

UUUU

A B C

UU

UU

UU

A (B C)

UUA B CUU

(C –A) B

3

A

T

T

R

I

B

U

T

I

Confrontiamo

le tre diverse rappresentazioni:

A NON A

NON B

NON B

B B

A e Non BA e B Non A e B Non A e Non B

A B A

e

non B

B

e

non A

A e B

Non A e Non B A NON A

NON B

B A e B

Non A e Non B

Non A

e B

A e

Non B

I diagrammi ad albero visualizzano operazioni mentali di analisi e classificazione.

Un diagramma ad albero è costituito da un insieme di nodi e da un insieme di rami che collegano i nodi.

Es.

U: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

A: Pari

B: Primi

C: Multipli di 3

Mu

ltip

li d

i 3

Pari

(2, 4, 6, 8, 10, 12)

Non Pari

(1, 3, 5, 7, 9, 11)

Primi

(2)

Non Primi

(4,6,8,

10,12)

Primi (3,5,

7,11)

Non Primi

(1, 9)

No

n M

ultip

li di 3

(2)

No

n M

ultip

li di 3

(4, 8,10)

Mu

ltip

li d

i 3

(3)

Mu

ltip

li d

i 3

(6, 12)

No

n M

ultip

li di 3

(1)M

ult

ipli

di 3

(9)

No

n M

ultip

li di 3

(5, 7, 11)

U :U : POLIGONIPOLIGONI

A: essere convessi

B: avere quattro lati

C: avere assi di simmetria

P

NO

N A

SS

I SIM

ME

TR

IA

AS

SI S

IMM

ET

RIA

AS

SI S

IMM

ET

RIA

NO

N A

SS

I SIM

ME

TR

IA AS

SI S

IMM

ET

RIA

AS

SI S

IMM

ET

RIA

NO

N A

SS

I SIM

ME

TR

IA

NO

N A

SS

I SIM

ME

TR

IA

NON CONVESSICONVESSI

4 LATI

NON 4 LATI

4 LA

TI

NON 4 LATI

In una classe :

10 bambini hanno sorelle;

5 hanno fratelli;

3 hanno sia fratelli che sorelle;

12 sono figli unici.

Quanti sono gli alunni della classe?

fratellifratellisorellesorelle 3 510

12

10+5+12= 27

In una palestra di 30 atleti,

25 praticano il nuoto;

10 praticano l’atletica;

2 non praticano né il nuoto né l’atletica.

Quanti atleti praticano solo il nuoto?

Quanti entrambi gli sport?

U = insieme degli atleti

A = insieme Nuoto

B = insieme Atletica

2 atleti non praticano né nuoto né atletica, ne segue che 28 atleti praticano invece nuoto o atletica o entrambi.

AA BBU U

28 – 25

3328 – 10

1818 7728 – 21

30 - 222

Bambini e SportBambini e Sport

Tra questi bambini:

Angelo, Bruno, Carlo, Daria, Elisa, Franco, Giorgio, Ilaria, Luca, Marco, Nadia e Orietta,

Alcuni praticano il Tennis: Angelo, Carlo, Orietta, Ilaria e Nadia

Alcuni praticano il calcio: Bruno, Ilaria, Carlo, Franco

Alcuni praticano la corsa: Carlo, Orietta, Franco, Daria, Giorgio e Luca

1- Quali e quanti bambini praticano tutti e tre gli sport?

2- Quali e quanti bambini praticano un solo sport?

3- Quali e quanti praticano almeno uno sport?

4- Quali e quanti nessuno sport?

Per risolvere questo problema si possono utilizzare tre diverse rappresentazioni:

Diagramma di Eulero - Venn

Diagramma ad albero

Diagramma di Carroll

BBBB

AA

AA

CC

CC

CC

CC

AA

BB

CC

AA

BB

Ilaria

Carlo

Angelo

Nadia

Orietta

Franco Daria Giorgio Luca

Bruno Elisa

Marco

Carlo

Orietta

Ilaria Angelo

Nadia

Franco Daria

Giorgio Luca

Bruno Elisa

Marco

A: Tennis

B: Calcio

C: Corsa

U = un gruppo di bambini che praticano sport

Alcuni autori hanno proposto questa diversa rappresentazione del diagramma

di Carroll

A

Tennis

B

Calcio

C

Corsa

Angelo

Nadia

Bruno

Ilaria

Carlo

Orietta

Franco

Daria

Giorgio

Luca

Elisa

Marco

U

AA

BB

AA

BB

CCCCCCCC

BB BB

CCCCCC CC

Bruno Elisa Marco

Daria Giorgio

Luca

Franco Angelo

Nadia Orietta

Carlo Ilaria

Multipli di Multipli di 55

Non Non Multipli di Multipli di

55

Non Minori di 5Non Minori di 5Minori di 5Minori di 5

Non Non disparidispari

Non Non disparidispari

DispariDispari Dispari Dispari

0 5

1 3 2 4 7 9 6 8

10

U = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

A= Multipli di 5

B= Minori di 5

C= dispari

Un’altra rappresentazione con il

diagramma di Carroll

Questa rappresentazione è anche conosciuta come

“Diagramma di Karnaugh”

Disponi questi nomi nel diagramma di Carroll:

Case, libro, sedie, pulcino, palla,, quaderno, Antonio, evidenziatore, Luca, bambini

maschilimaschili Non maschiliNon maschili

singolarisingolari

Non Non singolarisingolari

Disponi gli articoli nel diagramma di Venn

U= tutti gli articoli

A: essere singolare

B: essere determinativo

C: essere maschile U

A C

B

4 zampe

Non 4 zampe

Per i più piccoli:Per i più piccoli:

Diagramma di Venn

4 zampe4 zampe

Classificazioni secondo un attributo

Attributo: avere quattro zampe

Negazione dell’attributo: non avere quattro zampe

Non 4 zampeNon 4 zampe

Diagramma di Carroll

U

4 za

mpe

Non 4 zampe

Diagramma ad Diagramma ad alberoalbero

Fine

Riferimenti bibliografici:

Clara Colombo Bozzolo, Primi elementi di logica, insiemi, relazioni, La scuola, 1993

Gia Filipozzi Maricchiolo, Logica, probabilità, statistica e informatica, Fabbri editori, 1990

Tenuta, Itinerari di logica, probabilità, statistica, informatica, La scuola, 1992

Lanciotti, Marazzani, Logica, Carocci Faber, 2004