máquina síncrona em regime transitório após brusco curto

UniversidFaculdade

Secção de Elect

Máquina Síncron após Brusco Cu

João Dissertação apresentada na Faculdade Lisboa para obtenção do grauComputadores.

Orientador científico: Prof. Doutor Amadeu Leão Rodrigue

ade Nova de Lisboa de Ciências e Tecnologia rotecnia e Máquinas Eléctricas

a em Regime Transitório rto-Circuito no Estator

por

Leal Fernandes

de de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Mestre em Engenharia Electrotécnica e de

s

Lisboa, 2006

i

Agradecimentos

Quero antes de mais expressar a minha gratidão ao Prof. Doutor Amadeu Leão

Rodrigues pela disponibilidade demonstrada no decorrer do trabalho e todo apoio prestado. Agradecimento à minha empresa Delphi Automotive Systems – Portugal S.A., por me ter

possibilitado a inscrição no Mestrado de Engenharia Electrotécnica e de Computadores ao abrigo do protocolo existente entre as duas instituições. De destacar ainda, o facto de a Delphi ter facilitado a utilização de instrumentação de medida, através da qual foi possível extrair os elementos fundamentais para a realização deste trabalho.

Agradeço ao Departamento de Engenharia Electrotécnica da Faculdade de Ciências e

Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa o facto de ter tido à disposição as excelentes condições do Laboratório de Máquinas Eléctricas que foram determinantes para a realização deste trabalho.

Aos professores que me sensibilizaram para área de Máquinas Eléctricas, no decorrer dos

meus estudos no Instituto Politécnico de Setúbal, Doutor Manuel Gaspar e Doutor Jorge Esteves.

Finalmente quero agradecer à minha mulher que me soube transmitir uma palavra de

força e coragem para ultrapassar algumas dificuldades encontradas durante o tempo de elaboração deste trabalho.

J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006

ii

Sumário Sumário em Português.

A partir das equações de Park pretende-se modelar a máquina de rotor de pólos salientes com enrolamentos amortecedores e prever o seu funcionamento em regime transitório.

A dissertação tem como objectivo estabelecer a teoria generalizada da máquina síncrona em regime transitório e proceder a ensaios laboratoriais a fim de obter as correntes de curto-circuito trifásico simétrico, difásico e fase-neutro. A partir destes ensaios é possível obter as constantes de tempo e reactâncias transitórias e subtransitórias do alternador, cujo conhecimento é importante para o dimensionamento dos disjuntores de protecção do alternador e toda a carga a jusante.


iii

Abstract

From Park equations is intended to create the machine model of salient pole rotor with damping windings and to foresee its running in transitory regime.

The objective of the dissertation is to establish the generalized theory of the synchronous machine in transitory regime and to perform the laboratorial experiments in order to get the short circuit symmetrical currents, phase to phase and phase to neutral. From these study it is possible to get the transitory time constants and transitory reactances of the machine.

The knowledge of these constants is very important for the design of the protections of the alternator.


iv

Dedicatória

Esta dissertação é dedicada à minha mulher e aos meus filhos, que ficaram privados da minha presença ao longo de muitas horas para que este trabalho pudesse ser uma realidade.


v

Simbologia e Notações Lista contendo símbolos e notações usados ao longo da dissertação.

f - frequência da rede. [Hz] ar - Resistência de dispersão do estator (armadura). [Ω] fr - Resistência de dispersão do enrolamento do campo (rotor). [Ω]

fu - Tensão de alimentação do enrolamento de campo. [V] kdr - Resistência do enrolamento amortecedor eixo directo. [Ω] kqr - Resistência do enrolamento amortecedor eixo quadratura. [Ω]

fX - Reactância do enrolamento de campo [Ω] X - Reactância Síncrona [Ω]

dX - Reactância Síncrona do enrolamento do eixo directo. [Ω] dX - Reactância Síncrona do enrolamento do eixo directo. [Ω]

qX - Reactância Síncrona do enrolamento do eixo quadratura. [Ω]

'dX - Reactância Transitória do enrolamento do eixo directo. [Ω]

'qX - Reactância Transitória do enrolamento do eixo quadratura. [Ω]

''dX - Reactância Subtransitória do enrolamento do eixo directo. [Ω]

''qX - Reactância Subtransitória do enrolamento do eixo quadratura. [Ω]

kdX - Reactância do enrolamento amortecedor eixo directo. [Ω]

kqX - Reactância do enrolamento amortecedor eixo quadratura. [Ω]

md mdX L= ω - Resistência de magnetização do eixo directo. [Ω]

mq mqX X= ω

- Resistência de magnetização do eixo quadratura. [Ω]

f fX l= ω - Reactância de dispersão do campo (rotor). [Ω]

kd kdX l= ω - Reactância de dispersão do enrolamento amortecedor directo. [Ω]

kq kqX l= ω - Reactância de dispersão do enrolamento amortecedor quadratura. [Ω]

X2 - Reactância de sequência negativa [Ω] X0 - Reactância de sequência zero [Ω]

aT - Constante de tempo na armadura [s] '

dT - Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo directo em curto circuito.

[s]

'd0T - Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo directo

em circuito aberto. [s]

'qT - Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo quadratura

em curto circuito. [s]

'q0T - Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo quadratura


''dT - Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo directo

em curto circuito. [s]


vi

''d0T - Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo directo


''qT - Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo

quadratura em curto circuito. [s]

''0qT - Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo

quadratura em circuito aberto. [s]

kdT - Constante de tempo do enrolamento do eixo amortecedor eixo directo.

[s]

kqT - Constante de tempo do enrolamento do eixo amortecedor eixo quadratura.

[s]

''dI - Corrente Subtransitória do eixo directo [A]

'dI - Corrente Transitória do eixo directo [A]

dI - Corrente Síncrona do eixo directo [A] ''qI - Corrente Subtransitória do eixo quadratura [A]

'qI - Corrente Transitória do eixo quadratura [A]

qI - Corrente Síncrona do eixo quadratura [A]

nU - Tensão nominal de uma máquina. [V]

nI - Corrente nominal de uma máquina. [A] P - Potência Activa de uma máquina. [W]

excU - Tensão de excitação de uma máquina. [V]

excI - Corrente de excitação de uma máquina. [A] cosϕ - Coeficiente de factor de potência.

N - Velocidade de uma máquina em rotações por minuto. [rpm] f.m.m. - Força magneto-motriz [V] f.e.m. - Força electro-motriz [V] P - Permeância magnética [ -1Ω ] ϕ - Ângulo de desfasamento entre tensão e corrente [º] δ - Ângulo de carga de uma máquina [º] qL - Indutância do enrolamento do eixo quadratura [H]

mdL - Indutância de magnetização do eixo directo [H]

mqL - Indutância de magnetização do eixo quadratura [H]

al - Indutância da armadura do estator [H]

fL - Indutância do enrolamento de campo [H]

kdL - Indutância do enrolamento amortecedor do eixo directo [H]

kqL - Indutância do enrolamento amortecedor do eixo quadratura [H]

Rφ - Fluxo magnético do rotor [Wb]


vii

Índice

Pag. Capítulo 1 – Breve Descrição Máquina Síncrona Trifásica ......................... 1

1.1 - Constituição da Máquina Síncrona Trifásica.................................................. 1 1.1.1 - Máquina Síncrona com Rotor Cilíndrico................................................. 2 1.1.2 - Máquina Síncrona de Pólos Salientes...................................................... 2

1.2 - Princípio de Funcionamento da Máquina Síncrona........................................ 8 1.2.1 - Equação Vectorial da Máquina Síncrona de Rotor Cilíndrico................. 8 1.2.2 - Equação vectorial da Máquina Síncrona de Rotor de Pólos Salientes..... 13 1.2.3 - Variação da Reactância em Função da Posição do Rotor........................ 14 1.2.4 - Ensaio de Escorregamento para Determinação de Xd e Xq...................... 16

Capítulo 2 – Transformação de Park.................................................................. 19 2.1 - Transformação do Sistema Trifásico em Sistema Bifásico............................. 19

Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona..................................... 23

3.1 – Modelo da Máquina Síncrona de Pólos Salientes.......................................... 23

Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona................................................ 30 4.1 – Significado Físico dos Parâmetros da Máquina Síncrona.............................. 30

4.1.1 - Período Sub-Transitório........................................................................... 30 4.1.2 - Período Transitório................................................................................... 32 4.1.3 - Regime Permanente................................................................................. 32 4.1.4 – Funcionamento do Enrolamento Amortecedor....................................... 33

4.2 – Análise do Modelo da Máquina..................................................................... 34 4.2.1 - Esquema Eléctrico da Máquina em Regime Subtransitório..................... 34 4.2.2 - Esquema Eléctrico da Máquina em Regime Transitório.......................... 37 4.2.3 - Esquema Eléctrico da Máquina em Regime Permanente........................ 39

Capítulo 5 – Equações da Máquina do Curto-Circuito.................................. 40 5.1 - Equações das Reactâncias............................................................................... 40

5.1.1 – Reactância Síncrona................................................................................ 40 5.1.2 – Reactância Transitória............................................................................. 42 5.1.3 – Reactância Subtransitória........................................................................ 43

5.2 – Equações de Curto-Circuito Simétrico Trifásico em Vazio........................ 44 5.2.1 - Equações das Correntes nas Fases a, b e d.............................................. 45 5.2.2 - Equação da Corrente de Campo............................................................... 52 5.2.3 - Equação do Binário Resistente................................................................ 54

5.3 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Fase em Vazio............................ 57


viii

5.3.1 - Equações das Correntes nas Fases........................................................... 57 5.3.2 – Equação das Corrente de Campo............................................................. 59

5.4 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Neutro em Vazio........................ 60 5.4.1 - Equações das Correntes na Fase e no Neutro.......................................... 60 5.4.2 - Equação da Corrente de Campo............................................................... 61

5.5 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Fase-Neutro em Vazio............... 62 5.5.1 – Equações das Correntes nas Fases........................................................... 62 5.5.2 - Equação da Corrente de Campo............................................................... 64

Capítulo 6 – Ensaios Laboratoriais..................................................................... 65 6.1 - Equipamento para o Ensaio no Laboratório................................................... 65

6.1.1 - Bancada de Ensaios................................................................................. 65 6.1.2 - Equipamento de Medida........................................................................ 66

6.2 - Ensaio Experimental para Obtenção das Características em Vazio e Curto- Circuito....................................................................................................................

67

6.3 - Ensaio em Curto-Circuito Simétrico entre as Três Fases............................... 70 6.3.1 –Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito........................... 72

6.4 - Ensaio em Curto-Circuito Assimétrico entre Duas Fases............................... 84 6.4.1 –Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito........................... 89

6.5 - Ensaio em Curto-Circuito Assimétrico entre Fase e Neutro ......................... 93 6.5.1 – Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito.......................... 97

Capítulo 7 – Comportamento Dinâmico do Alternador................................. 109 7.1 - Comportamento do Binário durante o Curto-Circuito..................................... 109

7.1.1 – Determinação dos Parâmetros Mecânicos............................................... 110 7.1.2 – Cálculo do Momento de Inércia do rotor................................................. 110 7.1.3 – Métodos para Determinar o Momento de Inércia.................................... 112

Capítulo 8 – Conclusões Finais............................................................................ 114

Capítulo 9 – Trabalho Futuro............................................................................... 115

Capítulo 10 – Bibliografia....................................................................................... 116 Anexos ................................................................................................................. 117 Anexo I – Tabelas de Resultados................................................................ 118 Anexo II – Instrumentação de Medida...................................................... 122 Anexo III – Fotografias da Bancada de Ensaios..................................... 124 Anexo IV – Curto-Circuito Simétrico........................................................ 127 Anexo V – Curto-Circuito Assimétrico Fase-Fase................................. 128


ix

Anexo VI – Curto-Circuito Assimétrico Fase-Neutro........................... 129 Anexo VII – Curto-Circuito Assimétrico Fase-Fase-Neutro............... 130


Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 1

Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica

Capítulo 1

1.1 - Constituição da máquina síncrona trifásica.

A máquina síncrona trifásica é constituída por três enrolamentos, cujos eixos magnéticos estão desfasados de 120º eléctricos, que constituem o estator. No seu interior existe o rotor que produz um fluxo magnético estático criado por um corrente continua (excitação).

Esta máquina como todas as máquinas eléctricas é reversível, isto é fornecendo energia mecânica ao veio do rotor, colocando-o a rodar com uma velocidade angular ω esta máquina converte a energia mecânica em energia eléctrica no estator (gerador ou alternador);

alternativamente, alimentando o estator com um sistema trifásico de tensões, fornecendo-lhe energia eléctrica a máquina converte-a em energia mecânica (motor) que surge no seu veio.

a) Rotor cilíndrico b) Rotor de pólos salientes Fig. 1.1 - Máquina de rotor cilíndrico e máquina de rotor de pólos salientes

A máquina síncrona pode ser monofásica ou polifásica, bipolar ou tetrapolar (rotor

cilíndrico) ou multipolar (rotor de pólos salientes). Este trabalho visa o estudo da máquina síncrona trifásica de pólos salientes e o seu comportamento em regime transitório.

O rotor, ou indutor, é constituído por um enrolamento alimentado por uma fonte de tensão contínua exterior, equivalendo a um electromagneto. O rotor pode apresentar ainda duas formas físicas distintas – rotor cilíndrico e rotor de pólos salientes. Como exemplo a figura 1.1 a) mostra um rotor cilíndrico bipolar onde, o entreferro ao longo da periferia do estator é constante. A figura 1.1 b) mostra um rotor com quatro pólos salientes, onde o entreferro da máquina é variável ao longo da periferia do estator.



1.1.1 - Máquina Síncrona com Rotor Cilíndrico A forma física do rotor irá influenciar bastante as características da máquina. O rotor cilíndrico é constituído por um núcleo de forma cilíndrica, em regra geral é

forjado ou maciço, onde se abriram propositadamente cavas, axialmente, para encaixar o enrolamento indutor, tendo normalmente um grande comprimento e um pequeno diâmetro, menor que um metro nas máquinas de grande potência. As cavas podem ser fechadas por talas metálicas, em geral de bronze ou outro material não magnético. Assim o enrolamento indutor resistirá muito bem à força centrífuga. Por conseguinte, a máquina de rotor cilíndrico pode rodar a altas velocidades porque o seu rotor resiste bem aos esforços centrífugos a que fica sujeito. Logo é susceptível de ser accionada por uma turbina a vapor que é uma máquina motriz que trabalha a altas velocidades. Por este motivo a máquina de rotor cilíndrico é também conhecida por turboalternador.

Fig. 1.2 – Vista em corte de um turbo alternador de 700MVA 50 Hz 3000r.p.m 20KV

Como se pode observar na figura 1.2 este tipo de rotor é feito de uma só peça cilíndrica

ao longo da qual são abertas cavas a receber os enrolamentos do campo indutor.

1.1.2 - Máquina Síncrona de Pólos Salientes A máquina de pólos salientes deverá rodar a baixas velocidades, é em regra geral

accionada por turbinas hidráulicas que apresentam baixa velocidade, porque caso contrário devido à configuração dos pólos a força centrifuga atingiria valores que poderiam comprometer a resistência mecânica da fixação dos terminais polares.

Logo, o rotor de pólos salientes deverá ter um grande número de pólos para gerar f.e.m. à frequência normalizada de 50 Hz. Tendo um grande número de pólos, tem em geral um grande diâmetro e pequeno comprimento axial.



A figura 1.3, permite ter uma ideia dos dois tipos de máquina, com a de pólos salientes em cima e a de rotor cilíndrico em baixo. Os aspectos construtivos mais marcantes podem ser aqui observados para máquinas com a mesma potência.

Terminais de saídaNúcleo do

estator Permutadores de calor

Base Enrolamentos do estator

ExcitadorBr

ushless

Rolamento de apoio Ventoinha Pólos do

rotorVeio

Núcleo do estator

Enrolamentos do estator

Excitador Brushless

Fig. 1.3 - Comparação entre máquina de rotor de pólos salientes e máquina de rotor cilíndrico.



Nas figuras 1.4 e 1.5, podem ser comparados os dois tipos de rotores de máquinas síncronas, em que na primeira está representado o rotor cilíndrico e na segunda o de pólos salientes. Tendo o mesmo volume prismático , então as duas máquinas têm potências equivalentes.

2221

21 lDlD =

Fig. 1.4 - Gerador síncrono bipolar de rotor cilíndrico (turboalternador) D1 < l1

D1

l1

l2

D2

Fig. 1.5 - Gerador síncrono hexapolar de rotor de pólos salientes (hidroalternador) D2 > l2

A frequência da f.e.m. gerada no estator está relacionada com a velocidade do rotor

pela seguinte expressão, f

60Npf = (1.1)

onde N é o número de rotações por minuto e p o número de pares de pólos.

Os rotores cilíndricos como estão dimensionados para altas velocidades deverão ter um pequeno número de pares de pólos, como foi salientado anteriormente. Por outro lado pode



ser observada na figura 1.6, a máquina síncrona de pólos salientes, também conhecida por hidroalternador, onde a quantidade de pólos é sempre superior podendo ser cinco vezes mais.

Fig. 1.6 - Hidroalterador visto em corte

1 – Cobertura 7 – Rolamento 13 - Travessa 2 - Anel colector 8 – Cruzeta Inferior 14 – Conduta em expiral 3 – Cruzeta superior 9 – Eixo 15 – Turbina 4 – Rotor de pólos Salientes 10 – Aro de regulação 16 – Conduta de Saída 5 – Estator 11 – Cobertura da turbina 17 – Tubo de sucção 6 – Pás de refrigeração 12 – Pá directriz da turbina

Por ser normalmente accionada por uma turbina hidráulica a máquina com pólos salientes

é também conhecida por hidroalternador. Este tipo de hidroalternador é normalmente instalado em grandes barragens como Castelo de Bode, Alqueva, etc. A figura 1.7 mostra uma máquina deste tipo vista em corte. Este tipo de máquina possui também uma excitatriz que é uma máquina de corrente continua que serve para excitar o circuito indutor do rotor através de dois anéis exterior montados no veio do rotor e obviamente isolados. A corrente de



excitação é injectada através de duas escovas que assentam nos anéis do rotor. A excitatriz está também directamente acoplada ao mesmo veio do gerador e da turbina. Posto isto, pode-se passar para a representação esquemática da máquina síncrona representada na figura 1.7.

Fig. 1.7 - Esquema clássico de excitação da máquina síncrona de pólos salientes

A

B C

NEstator

Rotor

G

Circuito de Carga

Excitatriz

Escova

Aneis

mecP

fI

+

-

A figura 1.7 representa o tipo clássico de excitação dos alternadores de forma

simplificada, os sistemas de excitação que são aplicados industrialmente, são evidentemente mais complexos e sofisticados, pertencendo ao universo dos Sistemas de Controlo de um centro produtor de energia. O controlo preciso sobre a corrente de excitação fI permite criar

um fluxo induzido no rotor, adaptativo às condições de carga, estes sistemas fazem parte de controlo P.I.D.

Estator Rotor

Fig. 1.8 – Pormenor de construção do estator e do rotor



O estator da máquina síncrona de pólos salientes consiste num núcleo laminado de chapas de ferro macio empilhadas, com cavas internas, um grupo de enrolamentos trifásicos distribuídos no estator e alojados nas cavas e uma protecção exterior que o envolve, onde estão os rolamentos para o eixo do rotor. O número de voltas dos enrolamentos do estator é igualmente distribuída sobre os pares de pólos e os eixos das fases, desfasados 2π/3 radianos.

A sua construção está mais vocacionada para aplicações de baixa velocidade onde o rácio do diâmetro com comprimento do rotor pode ser feito de forma a acomodar o maior número de pólos. As máquinas síncronas de pólos salientes são frequentemente usadas nos hidrogeradores para adaptarem a baixa velocidade de funcionamento dos hidrogeradores tal como se pode observar na figura 1.6.

Na figura 1.9 pode-se observar um exemplo de uma secção em corte do rotor de pólos salientes com enrolamento amortecedor. Os enrolamentos amortecedores são constituídos por barras de cobre embutidas em cavas abertas nas peças polares e ligadas todas entre si por meio de um anel. Resulta assim um enrolamento em gaiola ou em curto-circuito.

Enrolamento amortecedor

Enrolamento de excitação

Núcleo

Enrolamento amortecedor

Fig. 1.9 - Rotor de pólos salientes com enrolamento amortecedor

Na figura 1.10 pode observar-se um rotor de pólos salientes com as respectivas barras do enrolamento amortecedor.

Fig. 1.10 - Perspectiva do rotor com 24 pólos salientes e dos enrolamentos amortecedores



1.2 - Princípio de Funcionamento da Máquina Síncrona Por simplicidade vai ser considerada a máquina síncrona de rotor cilíndrico por ter um

entreferro constante, a distribuição da densidade de fluxo magnético ao longo da periferia do rotor, ou do entreferro é sinusoidal. Este campo com o rotor parado é estacionário, semelhante a um magneto permanente com um pólo norte e um pólo sul.

Quando o rotor for animado com movimento de rotação, o que se observa num determinado ponto da periferia do estator, ou do entreferro, é um campo magnético de intensidade variável entre dois máximos de sentidos opostos. Assim estão reunidas as condições para a formação do campo girante. Este campo girante, vai induzir f.e.m.s nos enrolamentos do estator. Em vazio as tensões aos terminais têm a forma indicada na figura 1.11.

Quando o rotor estiver parado em relação ao estator, não há variação de fluxo e portanto não existe f.e.m. induzida, mesmo que o rotor esteja excitado.

Tensão ( )a0u t ( )b0u t

aUbU

cU

0

Umax

60 120 180 240 300 3600 α = ωt

ωt

( )c0u t

Diagrama vectorial Diagrama temporal

aUcU

bU

Fig. 1.11 - Representação do sistema trifásico de tensões através do diagrama vectorial e temporal

1.2.1 - Equação Vectorial da Máquina Síncrona de Rotor Cilíndrico

Pretende-se estabelecer uma equação que relacione a tensão U aos terminais da máquina em função da velocidade angular do rotor, da corrente de excitação ω fI e da corrente de

carga I debitada sobre um circuito de utilização uZ . Para isso vai ser considerado o esquema

de ligações simplificado representado na figura 1.12, em que o gerador alimenta uma carga

simétrica uZ . Aplicando a lei geral de indução ao caminho fechado no estator. γ

resulta,

(1.2) ( ) 1 1R 1

1 1 1,t

d d dE d i r Udt dt dtΨ Ψ Ψ⎛ ⎞γ = + = − = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ E



em que,

A

B C

NEstator

Rotor

Circuito de Carga

uZ

uZ

uZ 1r

11L

+ -

γ

3i

2i

fi

α rφ ω

Fig. 1.12 - Máquina síncrona simplificada

1U

1i

1 1R 1Ψ = Ψ + Ψ E é o fluxo total ligado com a fase1 do estator.

1RΨ é o fluxo ligado com a fase 1 produzido pelo rotor.

1EΨ é o fluxo ligado com a fase 1 devido às três correntes do estator. Quando a máquina está em vazio, as correntes das três fases são nulas, portanto a

expressão é nula. Logo, o termo1E 0Ψ = 1RddtΨ

− representa a f.e.m. em vazio do gerador

induzida na fase 1 devido à variação do fluxo produzido pelo movimento do rotor. O fluxo ligado com a fase 1 produzido pelo rotor vale,

1R R R1I LΨ = + em que RI é a corrente do rotor e é o coeficiente de auto indução entre o rotor e a fase 1. R1L

Como o rotor está animado de rotação com uma velocidade angular , não é constante mas terá uma expressão do tipo,

ω R1L

R1 R1max 0cos( )L L= α t+ ω



em que é o ângulo que o eixo magnético do rotor e da fase 1 do estator formam entre si no instante da origem dos tempos.

0α

1R R R1max 0cos( )I L tΨ = + α + ω (1.3)

Logo a f.e.m induzida no estator devido ao fluxo do rotor é dada por,

1R R1max 0 0 0sen( ) sen( )d I L t E

dtΨ

− = ω α + ω = α + ωt (1.4)

resultando uma tensão sinusoidal e de frequência igual à velocidade angular do rotor, da seguinte forma,

0( ) j te t E e ω= e 0 R R1maE I L x= ω (1.5) donde se conclui que a amplitude da f.e.m. é proporcional à corrente de excitação 0E fI e à velocidade angular ω do rotor. Para manter a frequência constante, o único processo capaz de variar a f.e.m. da máquina em amplitude é através de variação da corrente de excitação.

Analisado o estator em carga têm-se que 1EΨ é o fluxo ligado com a fase 1 do estator devido às correntes que percorrem o estator, ou seja

1E 1 11 2 21 3 31i L i L i LΨ = + + (1.6)

Em que e são os coeficientes de indução mútua entre a fase 1 e as fases 2 e 3

respectivamente. 21L 31L

Num sistema trifásico sem neutro existe a seguinte relação de correntes, 1 2 3 0i i i+ + = donde 3 1i i= − − 2i

)

Substituindo em (1.6) resulta,

1E 1 11 2 21 3 31 1 11 31 2 21 31( ) (i L i L i L i L L i L LΨ = + + = − + − Simplificando,

( )1E 1 11 31i L LΨ = − Considerando-se que o circuito magnético da máquina é simétrico e , sendo 21 31L L= 11L

o coeficiente de indução relativo ao fluxo principal que liga a bobina 1 com a 2 e 3 e o λcoeficiente de indução relativa ao fluxo de dispersão. Como os eixos magnéticos fazem um ângulo de 120° entre si,

( ) ( )31 M 11 111cos 120º cos 120º2

L L l= = = l− (1.7)

A expressão de fica, então 1EΨ



1E 1 11 132

i l i L⎛ ⎞Ψ = + λ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Considerando-se 1132

L l= + λ , coeficiente de auto-indução trifásico, a f.e.m. induzida

na fase 1 então devido ao fluxo produzido pelas 3 correntes estatóricas é dado por,

1E 1d dLdt dtΨ

− = −i (1.8)

Suprimindo por comodidade os índices 1 e substituindo as expressão (1.5) e (1.8) na

equação(1.1) resulta,

0Rj t dii U E e L

dtω+ = −

ou,

R 0j tdiU L i E e

dtω

+ + = (1.9)

que é uma equação de valores instantâneos onde, U - é a tensão simples (entre fase e neutro) aos terminais do estator.

diLdt

- é uma queda de tensão indutiva devido às correntes que atravessam as três fases do

rotor. Ri - é a queda de tensão óhmica numa fase do estator.

j tEe ω - é a f.e.m. induzida por fase em vazio devido ao rotor.

Em regime alternado sinusoidal e desprezando a saturação do circuito magnético tem-se, j t

U Ueω

= e j t

I Ieω

= Substituindo na equação (1.9) resulta a seguinte equação vectorial,

0E U rI j L I= + + ω 0E U rI j L= + + ω I ou,

( )0E U r jX= + + I (1.10)

1132

X L l⎛ ⎞= ω = ω + λ⎜ ⎟⎝ ⎠

onde 1132

X L l⎛ ⎞= ω = ω + λ⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.11)

que se denomina por reactância síncrona.



A equação (1.10) pode traduzir-se pelo esquema da figura 1.13, onde é a amplitude da f.e.m. induzida no estator .

0 R R1maE I L= ω x

X

Fig. 1.13 – circuito equivalente da máquina síncrona

uZ

Lω r

RI

ω

~ RΨUcE0E

I

Quando a máquina está em carga, a f.e.m. existente na máquina não é 0E mas sim cE

f.e.m. em carga o fluxo resultante na máquina não é RΨ mas sim,

res R CΨ = Ψ + Ψ

em que C l IΨ = é o fluxo de reacção do estator sobre o rotor, logo da figura 1.13,

c 0E E j L= − ω I (1.12)

ou ainda, pela tensão de saída,

( )0U E r jX I= − + (1.13) As equações deduzidas anteriormente permitem traçar o diagrama vectorial por fase,

devido a Behn Eschenbourgh, como está representado na figura 1.14 para uma carga uZ indutiva.

Fig. 1.14 – Diagrama vectorial da máquina síncrona de rotor cilíndrico

ϕ

resΨ

CΨ

I

δ

RΨ

U

r I

CE

0E

j Iωλ

j l Iω

jX I



onde ϕ - desfasagem δ - ângulo de carga

X - reactância síncrona 1.2.2 - Equação vectorial da Máquina Síncrona de Rotor de Pólos Salientes

Uma vez que a reactância do estator de uma máquina de pólos salientes varia com a posição angular do rotor, Blondel resolveu o problema decompondo a reactância ( )X β em duas componentes dX segundo o eixo directo do rotor e segundo o eixo quadratura, de acordo com a representação da figura 1.15. O mesmo acontece em relação à corrente I do estator que se pode decompor em duas componentes

qX

dI e qI tal que d qI I I= + . Com esta decomposição a equação vectorial de máquina escreve-se,

E d d q0 qE U r I jX I jX I= + + + (1.14) cujo diagrama de Blondel está representado na figura 1.16. Em termos comparativos

pode-se observar o diagrama de Behn-Eschenbourg representado na figura 1.15 com o de Blondel onde no cilíndrico e o de pólos salientes onde . dX X= q d qX X>

Como o fluxo do rotor rφ tem a direcção do eixo directo, a f.e.m. 0E , está desfasada

dele de 90º em atraso e portanto situada no eixo quadratura. Desprezando a resistência do estator em face das reactâncias, o diagrama pode

simplificar-se eliminando os vectores

Er

Er I ,

dEr I e qEr I .

I

dIdX

qX

qI

Fig. 1.15 – Decomposição das correntes em eixo directo e

quadratura e reactâncias do eixo directo e quadratura




Assim a equação da máquina de pólos salientes em regime permanente, é

0 dd d q qEE U r I jX I jX I jX I= + + + − ou ainda , ( )0 d d d qEE U r I jX I j X X I= + + + − d (1.15)

1.2.3 – Variação da Reactância em Função da Posição do Rotor

Numa máquina síncrona de pólos salientes como ilustra a figura 1.17 a reactância dos enrolamentos varia com a posição angular β do rotor.

qqjX I

( ) dd qj X X I−

ϕ

I

δ U ddjX I

0E

(d)

rφ

qjX IqEr I

θ

dI

qI

dEr I

Er I(q)

Fig. 1.16 – Diagrama de Blondel de rotor de pólos salientes

Fig. 1.17 – Rotor de pólos salientes

βEixo magnético do enrolamento

Eixo directo ou quadratura


A figura 1.18 a) mostra o fluxo segundo o eixo directo e a figura 1.18 b) o andamento do fluxo segundo o eixo quadratura.

(d)

Permeância Máxima (d)

Permeância Mínima

(q)

(q)

90º

Fig. 1.18 b) - Eixo quadratura ou transversal

qX , com 90ºβ =

Fig. 1.18 a) – Eixo directo ou longitudinal dX , com β = 0º

Como se pode observar destas figuras a permeância segundo o eixo directo é maior que a permeância segundo o eixo quadratura. Então os coeficientes de auto-indução são,

2d d qL n L n= > =P P2 q logo, . d qX X>

O andamento da reactância dos enrolamentos em função do ângulo β durante uma

rotação completa do rotor está representado na figura 1.19, que apresenta dois ciclos de rotação do rotor.

0 90º 180º 270º 360º β

dX

Fig. 1.19 – Variação da reactância em função da posição do rotor numa máquina de pólos salientes

( )β X

qX



Define-se por coeficiente de saliência a seguinte relação,

q

d

XX

α =

que vale para um rotor de pólos salientes. O valor de 1α < α representa, o grau de saliência do rotor, para é o caso da máquina de rotor cilíndrico. 1α = 1.2.4 - Ensaio de Escorregamento para Determinação de Xd e Xq

No caso de uma máquina síncrona trifásica, ao aplicar um sistema trifásico de tensões ao

estator cria-se um campo girante que roda à velocidade síncrona. Para determinar bastava

pôr o rotor a rodar (com a excitação desligada) por meio de uma máquina de accionamento à mesma velocidade angular do campo girante e em fase com ele, como indica a figura

qX

ω1.20 a).

Medindo a corrente e a tensão, a reactância do eixo directo, viria (desprezando a resistência).

dmin

UXI

=

Para determinar , bastava colocar o eixo directo do rotor em quadratura com o campo

girante, como indica a figura 1.20 b). Desprezando a resistência a reactância quadratura viria qX

qmax

UXI

=

ω

Campo girante

Fig. 1.20 b) – Medição de X qFig. 1.20 a) – Medição de dX

maxI minI ω

ωU U

ω

ω



Este ensaio é difícil, senão impossível de pôr em prática porque não se consegue colocar o rotor rigorosamente em tais condições exactas. Na prática, para contornar esta dificuldade, é usual fazer o chamado Ensaio de Escorregamento.

O ensaio de escorregamento consiste em aplicar ao estator, por intermédio de um autotransformador, um sistema trifásico simétrico de tensões reduzidas (na ordem de 20 a 30% da tensão nominal a fim de proteger os enrolamentos da máquina) e com o rotor em aberto colocá-lo a rodar com uma velocidade muito próxima da do campo girante do estator e no mesmo sentido.

O esquema de ligações para este ensaio está representado na figura 1.21. Em seguida poder-se-ia medir a tensão aplicada e a corrente absorvida por meio de um

osciloscópio de dois canais, cujos picos são modulados pela permeância do rotor. Eventualmente pode também oscilografar-se a f.e.m. induzida no rotor devido à

diferença de velocidades do campo girante do estator e do rotor. O aspecto dos

referidos oscilogramas pode ser observado na figura 1.22.

re

rω− ω

Dos oscilogramas da tensão e da corrente vem,

maxd

min

UX

I= min

qmax

UXI

=

Máquina de accionamento

Fig. 1.21 – Esquema de ligações do ensaio de escorregamento

r g ±ω = ω ∆ω

iu

Saída da imagem da corrente para Osciloscópio

Saída da tensãopara o

Oscilocópio Estator

Rotor

re



A ligeira flutuação na envolvente da tensão aplicada é devida à queda de tensão no auto-transformador motivada pela flutuação da corrente.

Tensão Simples u

f.e.m. induzida

re

Eixo Directo Quadratura Directo Quadratura

0 π 2 π

dX

qX

minI maxI

minU U max

Corrente na fase i

Fig. 1.22 – Oscilogramas típicos do ensaio de escorregamento


Capitulo 2 – Transformação de Park 19

Transformação de Park Capítulo 2

2.1 - Transformação do Sistema Trifásico em Sistema Bifásico O presente capítulo tem por objectivo explicar a conversão do sistema trifásico num

sistema bifásico, onde se irá basear todo o estudo de da máquina síncrona. A transformação de Park é uma transformação de coordenadas que a partir dos três

enrolamentos a, b e c, desfasados de 120º e rodando com uma velocidade ω em relação ao referencial (d, q) composto por dois enrolamentos pseudo-estacionários fazendo entre si um ângulo de 90º como se pode observar na figura 2.1,

Fig. 2.1 - Transformação de Park

ω

(a)

(b)

(c)

(q)

(p)

3N

3N

3N

2N

2N

au

ai

bu

bi

cuci

pu

pi

qu

qiω

Supondo que os três enrolamentos a, b e c, têm N/3 espiras por fase e os enrolamentos peseudo-estacionários (d, q) têm N/2 espiras por fase, então temos as condições necessárias e suficientes para relacionar os dois sistemas que permite considerá-los equivalentes.

De uma forma geral podemos assumir que as correntes ,ai bi e constituem um sistema

trifásico assimétrico que pode ser decomposto em três sistemas, Directo, Inverso e Homopolar.

ci

A componente homopolar significa que as correntes dos três enrolamentos estão em fase, sendo a sua equação,

( )0 a b c3i i i i1

= + +

Quando esta corrente percorre os três enrolamentos a, b e c, não produz nenhum campo no entreferro da máquina, porque está em fase nos três enrolamentos.



A f.m.m. em cada um dos dois referenciais desta forma é dada por,

( )

( )

( )

d a b c

q a b c

0 a b c

2 4cos cos cos2 3 3 3 3 3

2sen sen sen2 3 3 3 3 3

13

N N N Ni i i i

N N N Ni i i i

i i i i

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛= + − + −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + +

4 ⎞⎟

π πθ θ θ

π πθ θ θ (2.1)

Simplificando a equação (2.1) obtém-se ainda,

( )

( )

( )

d a b c

q a b c

0 a b c

2 2cos cos cos3 3

2 2sen sen sen3 313

i i i i

i i i i

i i i i

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= + +

43

43

π πθ θ θ

π πθ θ θ

que se pode escrever na seguinte forma matricial,

(2.2)

a

b

ci

i

i

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2 4cos( ) cos( ) cos(3 3 3

2 4sen( ) sen( ) sen( )3 3

1 1 12 2 2

⎡ ⎤− −⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Considerando que se trata de um sistema trifásico equilibrado, a corrente homopolar é nula e por conseguinte,

( ) 031

cba0 =++= iiii

Assim, as equações relativas ao eixo directo e ao eixo quadratura podem-se representar

na seguinte forma,

( )d a b c2 2cos cos cos3 3i i i i

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛= + − + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

43

⎞⎟

π πθ θ θ (2.3)

⎢ ⎥⎢ ⎥

π πθ θ θ

π πθ θ θ

d

q

0

i

i

i

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥⎢ ⎥

di =



( )q a b c2 2sen sen sen3 3i i i i

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

43

π πθ θ θ (2.4)

Multiplicando (2.3) e (2.4) respectivamente por ( )cos θ e ( )sen θ , fica

( ) ( ) ( ) ( )2d a b c

2 2cos cos cos cos coscos3 3i i i i⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛= + − + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

43

⎞⎟

π πθ θ θ θ θ θ (2.5)

( ) ( ) ( ) ( )2q a b c

2 2sen sen sen sen sensen3 3i i i i⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛= + − + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

43

⎞⎟

π πθ θ θ θ θ θ (2.6)

Somado (2.5) com (2.6) resulta,

a d qcos( ) sen( )i i i= +θ θ (2.7)

Esta relação só é válida quando a corrente homopolar é nula (caso do presente estudo) O sistema trifásico pode ser representado, pelas três fases i , a bi e , forma, ci

( ) ( )a d q c

b d q

c d q

cos sen

2 4cos sen3 32 4cos sen3 3

i i i i

i i i i

i i i i

= + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

θ θ

θ π θ π

θ π θ π

c

c

+

+

(2.8)

Do mesmo modo pela forma matricial é possível representar o sistema de equações em

ordem às três fases a, b e c,

cos( ) sen( ) 1

2 4cos sen 13 3

a d

b

c

i i

i i

i

⎡ θ θ ⎡⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞θ − θ −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

q

⎤⎥⎥⎥⎥⎥ ⋅ ⎥⎥ (2.9)

=

J.L.F. –

=

⎤

02 4cos sen 13 3

i

⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥

π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢⎢ ⎥θ − θ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣

⎥⎥⎥⎥⎦

Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006


De forma semelhante para as equações das tensões,

d d

q q

0 0

2 42 cos( ) cos cos3 33

2 4sen( ) sen sen3 3

1 1 12 2 2

e e

e e

e e

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

θ θ θ

θ θ θ

(2.10) ⎢ ⎥⎢ ⎥

(2.17)

a d

b q

c 0

cos(θ) sen(θ) 1

2π 4πcos θ- sen θ- 13 3

2π 4πcos θ- sen θ- 13 3

e e

e e

e e

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

=

Esta conversão de eixos de trifásico em bifásico, é fundamental para o estudo da máquina síncrona em regime transitório.


Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona 23

Equações Gerais da Máquina Síncrona Capítulo 3

3.1 – Modelo da Máquina Síncrona de Pólos Salientes

Com base na transformação de Park apresentada no capítulo anterior, vão ser deduzidas as equações da máquina síncrona de pólos salientes com enrolamentos amortecedores em regime transitório.

A máquina síncrona generalizada é representada na figura 3.1.

ω

(q)

(d)

kdi

kdu

fi

fu

di

du

KD

KQ

Q

D F dfM fkdM qi qu

qkqM

kqi kqu

Fig. 3.1. Máquina Síncrona de pólos salientes representada em dois eixos

Desta resulta que se podem extrair as figuras 3.2 e 3.3, que representam respectivamente os circuitos equivalentes do eixo directo e eixo em quadratura. Estas representações esquemáticas reflectem os modelos matemáticos da máquina síncrona, para o eixo directo e em quadratura. Fig. 3.2 - Circuito equivalente do eixo directo Fig. 3.3- Circuito equivalente do eixo em quadratura

aslqi

kq qi i+ mqsLqsΨ

kqikqr

kqsl

dsΨ

asldi

d kd fi i i+ + mdsL

kdi fi

kdsl fsl

fv

kdrfr

fU



A partir dos esquemas equivalentes do eixo directo e quadratura respectivamente representados pelas figuras (3.2) e (3.3), passa-se à construção do modelo matemático da máquina.

Tendo em consideração as indutâncias dos enrolamentos podem-se decompor em,

d md a

f md f

kd md kd

q mq kq

kq mq kq

L L lL L lL L lL L l

L L l

= +

= +

= +

= +

= +

(3.1)

A partir das enrolamentos da máquina síncrona pode escrever-se o seguinte sistema de equações:

• Para o eixo directo

( )

( )( ) ( )

f f md f f md kd md d

kd md f kd md kd kd md d

md f md kd md a dd

0

u r L l s i L s i L s i

u L s i r L l s i L s

s L i L i L l i

⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤= = + + + +⎣ ⎦ψ = + + +

i

i

(3.2)

• Para o eixo quadratura

( )( ) ( )

kd kq mq kq kq md q

mq f mq kq mq a qq

0

s

u r L l s i L s

L i L i L l i

⎡ ⎤= = + + +⎣ ⎦

ψ = + + +

Resolvendo o sistema de equações do eixo Directo em ordem d ( )I s , vem

(3.3)

f md f md f

md kd md kd

md md dd

f md f md md

md kd md kd md

md md md a

( ) ( )( ) 0

( )( )

( )( )

r L l s L s u sL s r L l sL L s

Ai sr L l s L s L s B

L s r L l s L sL L L l

+ ++ +

Ψ= =

+ ++ +

+

f md f md f

md kd md kd

md md d

( ) ( )( ) 0

( )

r L l s L s u sL s r L l sL L s

+ ++ +

Ψ

O resultado do determinante A do numerador, vale



( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2f f md f md mdd kd d d kd d kd d kd

2 2md md mdf f fd kd d d kd f kd f kd

s s s s s

s s s s s

A r s l s r s l sr r L r L L

r s s l s v r v r sl l lL L L

= Ψ +Ψ +Ψ +Ψ +Ψ +

+Ψ +Ψ +Ψ − − (3.4)

Factorizando, obtém-se a equação do determinante A (3.4) simplificada,

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )( )[ ]slLrLsLsv

sLslLrslLrA

kdmdkdmd2

mdf

22mdkdmdkffmdd fs

++−+

+−++++Ψ= (3.5)

Voltando a factorizar por forma que a expressão fique do tipo τ= L/R ou seja em ordem à

constante de tempo do enrolamento, resulta

( )

( )

2md f md kd md kd md f f kdf ld d

f kd f kd

md kd f

1

1 kd

kd

L l L l L l L l l lA r r s s s

r r r r

l sL r u s

r

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + += + + + ψ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

+

(3.6)

Assim sob esta estrutura podem determinar-se algumas das seguintes constantes de tempo

fundamentais:

• Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo directo em circuito aberto,

( fmdff

fmd'd01

1 XXrr

lLTT +

ω=

+== ) (3.7)

• Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo em quadratura em circuito

aberto,

( kdmdkdkd

kdmd'q02

1 XXrr

lLTT +

ω=

+== ) (3.8)

• Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo directo em circuito aberto,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+ω

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+==fmd

fmdkd

kdfmd

fmdkd

kd''d03

11XX

XXX

rLLlL

lrTT (3.9)



• Constante de tempo do enrolamento do eixo amortecedor eixo directo, em circuito aberto,

kd

kd

kd

kdkd r

Xrl

Tω

== (3.10)

Substituindo as constantes de tempo em (3.6), obtém-se,

( ) ( ) ( ) svsTrLssTTsTTrrA fkdkdmdd2

3121ldf 11 +−Ψ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+++= ( ) (3.11)

ou ainda,

2akdf

2mdkdf

2amdfakdfmdkdf

2akdmdakdmdakdfmdkdfamdfakdfmdkdf

slllsLllslLlslrlsLrl

sllLslrLsllrsLlrslLrlrrLrrA

+++++

+++++++=

Relativamente ao determinante B, vem

( ) ( )[ ] ( )[ ]

[ ] ( )[ ]slLLrLsLsLsLslLLrLsL

sLslLrslLrlLB

kdmdmdkdmd2

mdmd2

mdfmdmdfmdmd

22kdmdkdfmdfamd

)(

md

+−−+−++−

−−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+++++=

(3.12) ou ainda,

2md kd md f md f md kd f kdf kd d md a

kd f f kd

2 2 2 22md md md f md kd

kd f f kd f kd

1L l L l L l L l l l

B r r L L l s sr r r r

L L L l L ls s

r r r r r r

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞+ + + += + + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤

− + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−

a

(3.13)

Simplificando (3.13) com a substituição de d mdL L l= + , obtém-se,

( ) ( )

md f md a f a md kd md a kd af kd d

f md a kd md a

md f md a f a md f a md f kd md a kd f a kdf kd d

f md a kd md f md a f a

1 11L l L l l l L l L l l l

B r r L sr L l r L l

L l L l l l L l l L l l L l l l l lr r L

r L l r L l L l l l

⎡ ⎤⎛ ⎞+ + + += + +⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

+ + + + ++

+ + +

+

(3.14)



Como X=ω.L, as constantes de tempo resumem-se às seguintes expressões,

• Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo directo em curto circuito,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+ω

=+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++==

amd

amd

amd

amd

famd

afamdfmf

ff'

41111

XXXX

XfrflL

lLrlL

lllLlLrrTT d (3.15)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+ω

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+

++=

amd

amdk

kdamd

amdkd

kdamd

akdamdkdmf

kd5

111XX

XXX

rlLlL

lrlL

lllLlLr

T d (3.16)

• Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo directo em curto circuito

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+ωω

==afamdfmd

afmd

kdkd''

611

XXXXXXXXX

rrTT d (3.17)

Logo, (3.14), escreve-se

( ) 2f kd d 4 5 4 61B r r L T T s T T s⎡= + + +⎣ ⎤⎦ (3.18)

Portanto atendendo a (3.11) e (3.18), a equação (3.3) escreve-se

( ) ( ) ( )

( )

2f ld 1 2 1 3 d md kd kd f

d 2f kd d 4 5 4 6

1 ( ) 1

1

r r T T s T T s s L r T s u sAiB r r L T T s T T s

⎡ ⎤+ + + Ψ − +⎣ ⎦= =⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

(3.19)

Resolvendo (3.19) em ordem a Ψd(s), fica

( ) ( )( )

( )( )

24 5 4 6 kd md f

d d d 22 f1 2 1 31 2 1 3

1 1 (11

T T s T T s T s L u ss L i s

rT T s T T sT T s T T s

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ψ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + ++ + + ⎣ ⎦⎣ ⎦

) (3.20)

Após simplificação, (3.20) pode ainda escrever-se

( )d d d1 1( ) ( ) ( ) ( )s X s i s G s uΨ = +ω ω f s (3.21)

onde,

24 5 4 6

d 21 2 1 3

1 ( )( )1 ( )

T T s T T sdX s

T T s T T s+ + +

=+ + +

X (3.22)



kd md2 f1 2 1 3

1( )1 ( )

T s XG srT T s T T s

+=

+ + + (3.23)

Resolvendo o sistema de equações do eixo Directo em ordem , vem, q ( )i s

(3.24)

kd ( )mq kq

mq qq

kd ( ) mqmq kq

mq mq a

0

( )( )

L l s

L l s

r

L s Csr L s D

L L l

+ +

+ +

Ψ= =

+

kd ( )mq kq

mq q

0

( )

L l sr

L s

+ +

Ψq ( )i s

onde o determinante do numerador,

( )[ )(qkqmqkq sslLrC Ψ++= ] (3.25)

Por outro lado, o determinante do denominador,

kq mq kq a mq a kq mq kq aD r L r l L l s l L s l l s= + + + + (3.26)

Factorizando (3.26), fica

kq mq a mq a mq kq kq a( ) ( )D r L l L l L l l l s= + + + + (3.27)

de modo que a corrente do eixo em quadratura i , escreve-se q ( )s

( )kq mq kq q

qkq mq a mq a mq kq kq a

( ) ( )( )

( )

r L l s sCi sD r L l L l L l l l s

⎡ ⎤+ + Ψ⎣ ⎦= =+ + + +

(3.28)

donde,

( ) ( )( )

kq mq a mq a mq kq kq a( ) ( )q q

kq mq kq

r L l L l L l l l ss i s

r L l s

⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦Ψ =⎡ ⎤+⎣ ⎦

que ainda se pode escrever na forma



mq akq

kq mq aq q

kq mqkq

11

( ) ( )11 ( )q

L ll

r L ls L i s

l L sr

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝Ψ =+ +

⎠ (3.29)

Assim será,

• Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo quadratura em curto circuito,

mq a mq a''kq kq

kq mq a kq mq a

1 1q

L l X Xl XT r L l r X

⎛ ⎞ ⎛= + = +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜+ ω +⎝ ⎠ ⎝ X

⎞⎟⎟⎠

(3.30)

• Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo quadratura em circuito

aberto,

( ) (''0 kq mq kq mq

kq kq

1 1q l L X XT r r= + = +

ω) (3.31)

Substituindo (3.30) e (3.31), em ''

q ''0

1( ) ( )

1q

q

Ts LT

+Ψ =

+ q qi s (3.32)

obtém-se,

q q1( ) ( ) ( )s X s iΨ =ω q s (3.33)

onde,

''

q ''0

1( )

1q

q

sTqX s

sT

+=

+X (3.33)

Foram assim calculadas as reactâncias directas e quadratura, bem como as constantes de

tempo transitórias e subtransitórias.


Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 30

Constantes da Máquina Síncrona Capítulo 4

4.1 – Significado Físico dos Parâmetros da Máquina Síncrona.

Os parâmetros das máquinas que são fornecidos pelos construtores, são em regra geral as reactâncias, resistências e constantes de tempo que normalmente derivam de medidas feitas ao enrolamento do estator. O método mais comum para extrair os parâmetros necessários da máquina, com um grau de confiança elevado é através dos oscilogramas de curto-circuito das correntes do estator. Este obtém-se quando se aplica um curto-circuito simétrico ao estator quando este está previamente em vazio e com a corrente de excitação e campo constante.

Em torno da envolvente de corrente contínua, uma porção do curto-circuito tipicamente é representado por dois períodos de amortecimento distintos. Estes denominam-se por período sub-transitório e transitório.

O período sub-transitório refere-se aos primeiros ciclos do curto-circuito, quando a corrente se amortece muito rapidamente, atribuído essencialmente a variações de corrente nos enrolamentos amortecedores. A taxa de amortecimento de corrente no período transitório é mais lenta e é atribuída a variações das correntes dos enrolamentos de campo do rotor.

O teorema do fluxo constante é importante para determinar os valores iniciais dos fluxos transitórios induzidos nos circuitos acoplados. A ligação de fluxos de qualquer circuito indutivo com uma resistência finita e uma f.e.m. não pode variar instantaneamente. De facto, se não houver resistência ou f.e.m. no circuito, esse fluxo de ligação permaneceria constante. O teorema dos fluxos de ligação da constante pode assim ser usado para determinar as correntes imediatamente depois de uma variação nos seus termos.

Através das figuras que se seguem, é possível observar as distribuições de fluxo numa máquina síncrona durante o período sub-transitório, transitório e permanente, depois de uma perturbação no estator.

Assim durante o período vigência destes regimes, o comportamento da máquina passa a ser descrito em pormenor.

4.1.1 - Período Subtransitório

Significado físico das reactâncias subtransitórias ''dX e ''

qX

Neste período o enrolamento amortecedor provoca um escudo à penetração do fluxo do

estator. Então as reactâncias ''dX e do período subtransitório tornam-se mais pequenas do

que as reactâncias relativas ao caso do fluxo penetrar no rotor.

''qX

O comportamento do curto-circuito no estator com excitação no rotor durante o

período transitório, é equivalente a fazer um curto-circuito no rotor quando se aplica uma tensão externa no estator. Esta equivalência está representada esquematicamente na figura (4.1).

fi



fi

Equivalente Real

~

Fig. 4.1 – Curto-circuito equivalente

Curto circuito no rotor Curto circuito no estator

i

U c.c.

⇔

c.c.

U

O andamento do fluxo magnético no eixo directo (d) e em quadratura (q) pode ser

observado na figura (4.2).

dK qK

Eixo Directo (d) Eixo Quadratura (q)

Fig. 4.2 - Comportamento do caminho do fluxo durante o período subtransitório

dK representa o enrolamento do eixo directo e o enrolamento do eixo quadratura. qK

Estes enrolamentos aqui representados podem ser observados na figura (3.1).

Eixo Directo Eixo Quadratura '' '

d d dX X X< < '' 'q q qX X X< ≈

Desta relação conclui-se que . '' ''q dX X>



4.1.2 - Período Transitório

Significado físico das reactâncias transitórias 'dX e '

qX

À medida que as correntes dos enrolamentos amortecedores se dissipam durante o período subtransitório, entra-se no período transitório onde as variações de corrente no enrolamento de excitação reagem da mesma maneira que as correntes nos enrolamentos amortecedores, mas mais lentamente.

Passado algum tempo após a criação desta barreira pelos enrolamentos amortecedores o

fluxo começa a penetrar no rotor, logo a reactância directa 'dX e quadratura começa a

aumentar. No entanto a penetração do fluxo magnético ao longo do ferro no eixo directo, é

maior do que a do eixo quadratura, logo

'qX

'd qX X>


Fig.4.2 - Comportamento do caminho do fluxo durante o período transitório

Eixo Directo Eixo Quadratura '

q qX X≈ 'd d < X X

4.1.3 – Regime Permanente

O regime permanente é alcançado, depois da sequência de perturbação inicial

subtransitória e transitória, o fluxo produzido pelo estator penetra em ambos os enrolamentos, de campo e amortecedor do rotor.

A última obstrução à passagem do fluxo é a resistência de campo , este por fim acaba

por penetrar totalmente no rotor, chegando-se deste modo ao regime permanente. fr



Neste caso d q X X> mas . 'q qX X≈


Fig. 4.4 - Comportamento do caminho do fluxo em regime permanente

d qX X> Analisado o comportamento físico da máquina síncrona quando sujeita ao curto circuito

nos seus três regimes temporais Subtransitório, Transitório e Nominal, passa-se para a modelação em esquemas eléctricos equivalentes da máquina em vazio e em curto circuito.

A partir desta modelação é possível extrair as constantes de tempo da máquina e reactâncias, a partir das quais se pode ter uma ideia do seu significado físico. 4.1.4 – Funcionamento do enrolamento amortecedor

Num rotor cilíndrico as oscilações são normalmente amortecidas devido ao atrito com o

ar e nas chumaceiras. Além disso sendo o rotor maciço em ferro forjado a rodar à velocidade induzem-se nele, durante as oscilações, correntes de Foucault de frequência ω∆±ω ω∆±

que dão origem a perdas por efeito de Joule na massa do rotor que resultam da variação da energia cinética. Por isso, o rotor tende a parar de oscilar, ficando a rodar à frequência síncrona do campo girante. ω

Num rotor de pólos salientes, como é normalmente laminado, há necessidade de incorporar um enrolamento fechado (enrolamento em curto circuito colocado nas faces polares do rotor) chamado enrolamento amortecedor como pode ser observado na figura 1.10.



O enrolamento amortecedor tem então as seguintes funções na máquina síncrona de pólos salientes,

• Amortecer as oscilações do rotor durante um pedido brusco de carga, de forma à frequência do gerador síncrono variar apenas durante um curto espaço de tempo.

• Eliminar as harmónicas produzidas pelo campo girante por reacção, de acordo com a

lei de Lenz. As harmónicas são devidas à existência de cavas e dentes no estator e à descontinuidade da f.m.m. do enrolamento do estator.

• Permitir o arranque da máquina síncrona como motor assíncrono. O enrolamento

amortecedor funciona como uma gaiola de esquilo. Quando o motor fica perto do sincronismo, liga-se a corrente de excitação e o motor entra em sincronismo com a rede ficando a rodar com uma velocidade constante como motor síncrono.

4.2 – Análise do modelo da máquina

O seguinte desenvolvimento, mostra como se determinam as constantes e equações fundamentais da máquina, servindo para a simulação experimental das correntes de curto circuito. 4.2.1 - Esquema Eléctrico do Regime Subtransitório

No regime subtransitório as correntes , , e são diferentes de zero. Logo o

esquema equivalente da máquina síncrona para este regime representa-se pela figura (4.5), di fi kdi qi

''dX

aX

mdX

kdr

kdX

fr

fX

Fig. 4.5 - Esquema do eixo directo em regime subtransitório circuito aberto

• Reactância Subtransitória do eixo directo, em circuito aberto

Tendo por base o esquema equivalente do modelo da máquina síncrona passa-se a determinar a equação da reactância subtransitória do eixo directo,



md kd f''d a a

kd f md f md kdmd kd f

11 1 1

X X XX XX X X X X X XX X X

= + = ++ ++ +

(4.1)

Do mesmo modo pode-se obter a constante de tempo subtransitória do eixo directo em

circuito aberto. A reactância onde se baseia esta constante de tempo é a reactância vista do enrolamento

amortecedor directo,

md f''0 kd kd

kd kd md fmd f

1 1 13 1 1dL l

T X lT r rX X

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = + = +⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎝ ⎠+⎜ ⎟⎝ ⎠

L l

ou, simplificando,

md f''0 kd

kd md f

13 d

X XXT T r X

⎛ ⎞= += ⎜ω +⎝ ⎠X ⎟ (4.2)

''qX

aX

mqX

kqr

KqX

Fig. 4.6 - Esquema do eixo quadratura em regime subtransitório circuito aberto

Através da análise esquemática é possível determinar a, • Reactância subtransitória do eixo quadratura, em circuito aberto,

mq kq''q a a

mq kqmd kq

11 1

X XX XX X X

X X

= + +++

(4.3)

• Constante de tempo subtransitória do eixo quadratura, em circuito aberto,



( )'' md kdq0 md kq

kd kd

12L l

T T X Xr r+

= = = +ω

(4.4)

aX

mdXkdr

kdX

fr

fX

Fig. 4.7 - Esquema do eixo directo em regime subtransitório em curto-circuito

''kd

kdmd kd f

1 16 1 1 1d XT T r

X X X

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= +=

ω ⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

Simplificando,

md f a''kd

kd md f md a f a

16 dX X X

T XT r X X X X X⎛ ⎞

= = +⎜ω + +⎝ ⎠X ⎟ (4.5)

aX

mqX

kqr

KqX

Fig. 4.8 - Esquema do eixo quadratura em regime subtransitório em curto-circuito

• Constante de tempo subtransitória do eixo quadratura em curto-circuito,

mq a''a kq

kd kd mq aa mq

1 1 11 1q

X XX XT r r

X X

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + = +⎜⎜⎜ ⎟ω ω ⎝ ⎠+⎜ ⎟⎝ ⎠

X X⎟⎟+

(4.6)



4.2.2 - Esquema Eléctrico do Regime Transitório

No regime transitório o fluxo já penetrou no enrolamento amortecedor e está agora a fazê-lo no enrolamento de campo. Aqui o enrolamento amortecedor já não contribui para o regime transitório e portanto os esquemas reduzem-se à seguinte forma,

'dX

aX

mdX

fr

fX

Fig. 4.9 - Esquema do eixo directo em regime transitório circuito aberto

• Reactância transitória do enrolamento do eixo directo, em circuito aberto,

md f'd a a

md fmd f

11 1

X XX XX X XX X

= + = +++

(4.7)

• Constante e tempo subtransitória do eixo directo em circuito aberto,

( )''0 f md

f

11 dT XT r= = +

ωX (4.8)

A constante e tempo em curto-circuito fica,

aX

mdX

fr

fX

Fig. 4.10 - Esquema do eixo directo em regime transitório curto-circuito



• Constante de tempo subtransitória em curto-circuito,

md a''f f

f fa md

1 1 11 1d

X XX XT r r

X X

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + = +⎜ω ω⎜ ⎟ ⎝ ⎠+⎜ ⎟⎝ ⎠

md aX X ⎟+

q

(4.9)

'qX

aX

mqX

Fig. 4.11 - Esquema do eixo quadratura em regime transitório circuito aberto

• Reactância transitória do eixo quadratura, em curto-circuito

'q a mX XX = + (4.10)

• Constante de tempo transitória do eixo quadratura em circuito aberto,

'

0 0qT =

Fig. 4.12 - Esquema do eixo quadratura em regime transitório curto-circuito

mqX

aX

• Constante de tempo transitória do eixo quadratura em curto-circuito,

' 0qT =



4.2.3 - Esquema Eléctrico do Regime Permanente

Em regime permanente não há variação de fluxo através do enrolamento amortecedor nem pelo enrolamento de campo, logo os esquemas da máquina síncrona reduzem-se da seguinte forma,

dX

aX

mdX

Fig. 4.13 - Esquema do eixo directo em regime permanente

• Reactância síncrona do enrolamento do eixo directo, em circuito aberto

d a mX X X= + d

mq

(4.11)

• Reactância síncrona do enrolamento do eixo quadratura, em circuito aberto

qX

aX

mqX

Fig. 4.14 - Esquema do eixo quadratura em regime permanente

'qq aX X XX= = + (4.12)

Este capitulo demonstrou pormenorizadamente o comportamento da máquina perante um

curto-circuito nos três regimes, subtransitório, transitório e permanente, realçando os enrolamentos amortecedores e o seu comportamento durante a perturbação.

Para cada regime foram também desenvolvidas as equações das reactâncias e constantes de tempo, recorrendo à representação esquemática da máquina.


Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 40

Equações do Curto-Circuito Capítulo 5

Neste capitulo vão ser desenvolvidas as equações das correntes de curto circuito para os casos do curto-circuito trifásico simétrico, assimétrico fase-fase, assimétrico fase-neutro e assimétrico fase-fase-neutro. 5.1 - Equações das Reactâncias

Tendo por base a simplificação da equação do fluxo magnético segundo o eixo directo

(3.20) obtida no Capitulo 3,

( ) ( )( )

( )( )

24 5 4 6 kd md f

d d d 22 f1 2 1 31 2 1 3

1 1 (11

T T s T T s T s L u ss L i s

rT T s T T sT T s T T s

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ψ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + ++ + + ⎣ ⎦⎣ ⎦

) (3.20)

5.1.1 – Reactância Síncrona

Simplificando a equação (3.22) de 3ª ordem da reactância síncrona do eixo directo

obtém-se,

2' ' ''d d d

d d 2' ' ''d0 d0 d0

1( )1

s sT T TX s Xs sT T T

+ +=

+ + (5.1)

simplificando tendo por base o critério de que as constantes de tempo subtransitórias são desprezáveis face às transitórias, com a intenção de baixar de ordem, considerou-se que

'dT T ''

d'T e T ' '

0 0d d

Eliminando na equação (5.1) as constantes de tempo desprezáveis, esta equação pode ser

escrita com uma grande aproximação, obtendo-se assim uma equação de 2ª ordem, mais fácil de tratar.

( )( )( )( )

' ''d d

d d ' 'd0 d0

1 1( )

1 1

s sT TX s X

s sT T

+ +=

+ + ' (5.2)

ou para conveniência de cálculo a reactância d ( )X s pode ser transformada em admitância,

bastando para isso invertê-la,



( )( )( )( )

' 'd0 d0' ''d d d d

1 11 1( ) 1 1

s sT TX s X s sT T

+ +=

+ +

' (5.3)

expandindo a equação (5.3) em fracções parciais e criando por conveniência as variáveis A e B vem,

( ) ( )'d d d d

1 1( ) 1 1

A BX s X s sT T

= ++ + ''

(5.4)

Calculando a variável A a partir de (5.4),

( )( )( ) ( ) ( ) (' ''d0 d0 '

d'' ''d dd d

1 11 1 11 1

s sT T Bss As sTX Xs sT T

+ += + + + +

+ +)'

d1 T (5.5)

Substituindo o denominador de A da equação (5.5) por 'd

1sT

= − vem,

' ''d0 d0' ' ' ''d d d dd

' ' ''' ''d d d d dd d' 'd d

1 11 1 1 1

1 1

BT TAT T T TT

X X T T TT TT T

⎛ ⎞⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎝ ⎠ = − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

simplificado mais,

' ''d0 d0' 'd d

'''d d dd'd

1 11 0 0

1

T T

'A AT T

X T TTT

⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ = − + = −⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

(5.6)

Assumindo que as constantes de tempo subtransitórias são desprezáveis face às

transitórias então,

e '' '

a aT T '' 'd0 dT T



Tendo em conta esta simplificação e resolvendo (5.6) em ordem a “A” , obtém-se

'' d0d 'd d

1 1TA TdX XT

⎛ ⎞= −⎜

⎝⎟⎠ (5.7)

5.1.2 – Reactância Transitória

Tendo por base e a reactância transitória do eixo directo, deduzida no capítulo o anterior,

' md fd a a

md fmd f

11 1

X XX X XX X

X X

= + = +++

pode-se estabelecer também a seguinte equivalência,

'' dd d '

d0

TX XT

= (5.8)

por conseguinte substituindo a equação (5.8) na (5.7) obtém-se finalmente a equação da variável A,

'd '

dd

1 1A T XX

⎛ ⎞= −⎜⎜

⎝ ⎠⎟⎟ (5.9)

Calculando a variável B,

( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

'''d0 d0 '' '' ''

d d d''''d d dd d

1 11 11 1 111 1

s T sT AsT s T s T s BsX X ss T s TT

+ ++ = + + +

++ +

Substituindo o denominador de B por ''d

1sT

= − vem,

' ''d0 d0'' ''d d

'''d dd''d

1 11 0 0

1

T TBT T

X TTT

⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ = + −⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠



Assumindo novamente que as constantes de tempo subtransitórias são desprezáveis face

às transitórias , , a equação pode pode-se escrever, ' 'd0 dT T ' ''

d'' ''d0 dT T> '

dT T

'' ' ' ''d d0 d0 d0

' ' ''d d d d

T T T TBX T T T

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Após simplificação a equação de variável B fica,

' '' ''d0 d0 d0''

d ' '' 'd dd d d

1 1T T TB T X XT T T

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5.10)

5.1.3 – Reactância Subtransitória

Tendo por base a reactância subtransitória do eixo directo, deduzida no capítulo anterior,

md kd f''d a a

kd f md f md kdmd kd f

11 1 1

X X XX XX X X X X X XX X X

= + = ++ ++ +

(5.11)

Através da equação (5.11) pode-se estabelecer também a seguinte equivalência,

' '''' d dd d ' ''

d0 d0

T TX XT T

= (5.12)

substituindo (5.12) em (5.11) obtém-se finalmente B,

''d '' '

d d

1 1B TX X

⎛ ⎞= −⎜⎜

⎝ ⎠⎟⎟ (5.13)

Revistando a equação da admitância (5.3) e substituindo as variáveis "A" representada na

equação (5.9) e B representada na equação (5.13), obtém-se a admitância operacional da máquina síncrona para o eixo directo,

'''d d

' ' '' 'd d d dd d

1 1 1 1 1 1( ) 1 1

T ssTX s X X s ''

d dX X X TT

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ s

(5.14)



A admitância para o eixo em quadratura obtém-se directamente invertendo a equação (3.34),

''

q ''0

1( )

1q

q

sTqX s

sT

+=

+X (3.34)

Simplificando (3.34) sob a forma de admitância, obtém-se,

( )( )

''q0''q qq

11( ) 1

sT 1X s XsT

+=

+ (5.15)

Finalmente e através de todo este desenvolvimento matemático foram alcançadas as

admitâncias d

1( )X s

e q

1( )X s

, que vão ser integradas nas equações das correntes de curto-

circuito. 5.2 - Equações Curto-Circuito Simétrico Trifásico em Vazio

A maior parte das falhas que ocorrem nos sistemas de distribuição de energia são não simétricos entre fases. No entanto, a falha simétrica é importante porque, apesar ser rara é mais grave porque desencadeia correntes mais elevadas de curto-circuito e provocaria instabilidade no funcionamento da máquina, colocando-a em situações excepcionais de risco para a sua integridade.

Além disso o curto-circuito simétrico é a condição mais simples de analisar e é o ponto de partida para o estudo de qualquer tipo de falhas num sistema de potência. O ensaio de curto-circuito simétrico de um gerador em vazio permite ainda calcular as características transitórias da máquina, tais como constantes de tempo e reactâncias transitórias, que foram desenvolvidas no item anterior.

Fig. 5.1 - Esquema do curto-circuito franco às três fases

A

B C

NEstator

RotorfI

ai

ci

bi

A

B C

NEstator

RotorfI

ai

ci

bi



5.2.1 - Equações das correntes nas Fases a, b e d

Considerando-se um alternador em vazio e que o brusco curto-circuito simétrico se dá no instante inicial t=0, sendo λ o ângulo entre o eixo da fase “a” e o eixo directo no instante de curto-circuito. Então, assumindo que a velocidade do alternador se mantém constante durante todo o curto-circuito com a velocidade angular ω, o ângulo de fase é dado por, . tθ = ω + λ

Sabendo-se que a tensão instantânea da fase “a” em função das tensões do eixo directo e

tensão do eixo em quadratura é dada por,

a d qcos( ) ( )u u u sen= θ + θ

e substituindo , vem, tθ = ω + λ

a d qcos( ) ( )u u t u sen t= ω + λ + ω + λ (5.16)

A partir da observação dos circuitos equivalentes do eixo directo e do eixo quadratura

representados respectivamente pelas figuras (3.2) e (3.3), podem-se extrair as equações (5.17) e (5.18).

Fig. 3.2 - Circuito equivalente do eixo directo

dsΨ

asldi

d kd fi i i+ + mdsL

kdi fi

kdsl fsl

fv

kdrfr

fu

aslqi

kq qi i+ mqsLqsΨ

kqikqr

kqsl

Fig. 3.3 - Circuito equivalente do eixo em quadratura



Por se tratar de curto-circuito simétrico a tensão do eixo quadratura e do eixo directo no instante inicial U0=0 são dadas por,

d d q d a d q d a

q d q q a d q

du i r sdt

du i rdt

= Ψ + ωΨ + = Ψ + ωΨ +

= −ωΨ + Ψ + = −ωΨ + Ψ + q a

i r

s i r

d

(5.17)

Onde,

( )

( )

d md f md kd md a

q md kq mq a q

L i L i L l i

L i L l i

Ψ = + + +

Ψ = + +

(5.18)

Estando o alternador em vazio, quando surge um curto-circuito, as condições iniciais

antes do curto-circuito são as seguintes,

d 0i = kd 0i = d0 0i = kd0 0i =

q 0i = kq 0i = kq0 0i = kq0 0i =

d0 0u = f Constanteu =

fq0 md f0 md max0 q

f

uu L i X Er

= −ω = − = = u (valor de pico)

Desta forma o sistema trifásico de tensões iniciais aos terminais do alternador, antes do

curto-circuito pode ser observada na figura 1.12 respeitando o andamento temporal das equações (5.19)

( )

( )

( )

a0 q

b0 q

c0 q

sen( )

2sen( )3

4sen( )3

u t u t

u t u t

u t u t

= ω + λ

π= ω −

π= ω −

(5.19)

Usando o princípio da sobreposição, desprezando a saturação do ferro, os valores finais

resultam assim da soma dos valores antes do curto-circuito, mais os valores das variações durante o curto-circuito, estas condições estão representadas pelas equações (5.20).



'd d0

'q q0

'd d0 d

'q q0 q

u u u

u u u

i i i

i i i

= +

= +

= +

= +

d

q

q a

s i r

U s i r

= Ψ + ωΨ +

= −ωΨ + Ψ +

(5.20)

Substituindo as variáveis pelos respectivos valores iniciais, acham-se as equações que

definem as condições iniciais, ' 'd d

' 'q0 q q q0

' 'd d d d

' 'q q q q

' 'f f0 f f

0 0 0

0

0

0

0

u u

u u u u

i i i i

i i i i

u u u u

= + ⇒ =

= + ⇒ = −

= + ⇒ =

= + ⇒ =

= + ⇒ =

Aplicando as condições iniciais antes do curto-circuito na equação (5.17), obtém-se,

' ' 'd q d a

' ' 'q d q

0

(5.21)

por conseguinte as variações dos fluxos são:

• antes do curto-circuito,

( )d d d1 1( ) ( ) ( ) ( )s X s i s G s u sΨ = +ω ω f

(5.22)

( )q q1 ( ) ( )s X s iΨ =ω q s

=

• depois do curto-circuito,

'f 0u

( )' ' 'd d f d dd

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )s X s i s G s u X s i sΨ = + =ω ω ω

' (5.23)

( )'q q q

1 ( ) ( )s X s iΨ =ω

' s



mantendo-se a tensão de excitação constante e substituindo (5.22) e (5.23) em (5.21),

' ' '

d d q d aq

q ' ' ' ' ' 'd q q a d d q qq

0 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

s X s i s X s i s i r

ass i r X s i s X s i s i r

= + +ω

= −ωΨ + Ψ + = − −ω

Us

(5.24)

ou ainda factorizando (5.24),

' 'a d d q q

q ' 'd d a q q

0 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sr X s i s X s i s

U s

( )

X s i s r X s i ss

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ω⎝ ⎠

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ω⎝ ⎠

(5.25)

Resolvendo o sistema de equações (5.25) em ordem a e i obtém - se, 'd ( )i s q ( )s

2 2q 2 2 'a d

a d2d q d q

2 2q q2 2 'aa q2 2d q d q a

d

( )1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

U r X ss s r i ss X s X s X s X s

U Xrs s r is X s X s X s X s rs

X s

⎡ ⎤⎛ ⎞ ω⎢ ⎥= + ω + ω + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ω⎢ ⎥= − + ω + ω + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ω+

ss

(5.26)

Tendo em consideração que a resistência da armadura é ra << Xd, podem-se desprezar os

termos . Também por aproximação reduzem-se 2ar d ( )X s e às reactâncias

subtransitórias

q ( )X s

''dX e ''

qX , ficando por aproximação,

''q 2 2 'da d'' '' 2

d q

''q q2 2 '

a q'' ''d q

1 1 ( )

1 1 ( )

U Xs s r is X X

U Xs s r i

s sX X

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= + ω + ω +

⎜ ⎟⎢ ⎥ ω⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − + ω + ω +

⎜ ⎟ ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

s

s

(5.27)



Fazendo com que a constante de tempo da armadura seja,

aa '' ''

d q

1 12rT 1

X X

⎛ ⎞ω ⎜ ⎟= = +⎜ ⎟α⎝ ⎠

por conseguinte (5.27) pode escrever-se sob a forma de equação de transferência de segunda ordem,

( )

( )

''q 2 2 'dd2

''q q2 2

q

2 (

2 (

U Xs s i ss

U Xs s i

s s

= + α + ωω

= − + α + ωω

'

)

)s

s

(5.28)

ou ainda, resolvendo em ordem a i e ,vem d ( ) q ( )i s

( )

( )

2 q'd d ''2 2

d

q'q q ''2 2

q

1( ) ( )2

1( ) ( )- 2

Ui s i s

sXs s

Usi s i ssXs s

ω= =

+ α + ω

ω= =

+ α + ω

(5.29)

Substituindo (5.14) e (5.15) que representam respectivamente as admitâncias do eixo

directo e do eixo quadratura em (5.29),

' 'd

'' '' ' ' '' ' ''d dd d d d d d

1 1 1 1 1 1 1( ) 1 1

T s T sX s X

'd

dX X X T s X X T

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ s

(5.14)

( )( )

''q0

'' ''''qq qq

11 1( ) 1

T s

X s1

X XT s

+= =

+ (5.15)

obtém-se as equações de transferencia finais de i e . d ( )s q ( )i s



( )( )

' '2 q q q q qd dd ' ' '' '2 2 d dd d d d

( )1 12

U U U U UT s T si sX X

'

''dX T s X X T ss s s

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω⎢ ⎥= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎢ ⎥+ α + ω +β ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(5.30)

( )( )

''q0 q

q 2 2 ''qq

1( )

2 1

T s Usi ss s XT s

⎡ ⎤+− ω ⎢= ⎢+ α + ω +⎢ ⎥⎣ ⎦''⎥⎥ (5.31)

Fazendo a transformada inversa de Laplace de (4.30) e (4.31) obtém-se,

( )' ''q q q q q qd d ad ' '' ' ''d dd d d q

( ) cos

t t tT T TU U U U U U

i t e e e tX XX X X X

− − −⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ω (5.32)

(q aq ''q

( ) sent

TUi t e t

X

−= − ω ) (5.33)

Sabendo que a corrente em cada fase é dada por (3.14),

( ) ( )a d q c

b d q

c d q

cos sen

2 4cos sen3 3

2 4cos sen3 3

i i i i

i i i i

i i i i

= θ + θ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= θ − π + θ − π +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= θ − π + θ − π +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c

c

t

(3.14)

A corrente i fica, a ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

' ''q q q q qd da ' '' 'd dd d d

q qa a'' ''q q

( ) cos

cos cos sen sen

t t

T T

t tT T

U U U U Ui t e e t

X XX X X

U Ue t t e t t

X X

− −

− −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥

= + − + − ω + λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

− ω ω + λ − ω ω +

−

λ

(5.34)



A segunda parcela de (5.34),

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2aq '' ''d d

1 1sen cos cos sen sen

tTU e t t t

X X

− ⎡ ⎤− ω λ − ω ω⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

λ

pode simplificar-se recorrendo às seguintes relações trigonométricas,

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

cos 1 sen

sen 1 cos1cos sen sen 22

t t

t t

t t

ω = − ω

ω = − ω

ω ω = ωt

e escreve-se,

( ) ( )'' '' '' ''

q d q q d qa a'' '' '' ''d q d q

cos cos 22 2

t tT TU X X U X X

e eX X X X

− −+ +− λ − tω + λ (5.35)

donde se podem retirar as constantes Xm e Xn,

( )'' ''d q

m '' ''d q

2 X XX

X X

+=

+

( )'' ''d q

n '' ''d q

2 X XX

X X

+=

−

(5.36)

Logo as equações de curto-circuito para as outras duas fases, i e i , escrevem-se: b( )t tc( )

• para a fase B

' ''q q q q qd db ' '' 'd dd d d

q qa am n

2( ) cos3

2 2cos cos 23 3

t t

T T

t tT T

V V V V Vi t e e t

X XX X X

V Ve e t

X X

− −

− −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ π⎛ ⎞= + − + − ω +λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦⎛ ⎞

π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− λ − + ω +λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

−

(5.37)



• para a fase C

' ''q q q q qd dc ' '' 'd dd d d

q qa am n

4( ) cos3

4 4cos cos 23 3

t t

T T

t tT T

V V V V Vi t e e t

X XX X X

V Ve e t

X X

− −

− −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ π⎛ ⎞= + − + − ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦⎛ ⎞

π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− λ − + ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

−

i

(5.38)

5.2.2 - Equação da Corrente de Campo

As equações da corrente de campo da máquina antes do curto-circuito ou seja em regime

permanente, são da seguinte forma,

f f f

d a d q q

q md f d d a q

u r i

u r i X i

u X i X i r

=

= +

= − + +

(5.39)

Antes do curto-circuito, o gerador considera-se em vazio e por conseguinte,

d q 0i i= = logo,

q0 qf0

md md

U Ui

X X= − = −

A corrente de campo , obtém-se impondo à corrente i antes do curto-circuito a

corrente i , representando-se da seguinte forma,

fi f0'f

'

f f0i i i= + f (5.40)

Durante o curto-circuito relação entre e i pode obter-se a partir do seguinte sistema

de equações,

'fi

'd



( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

' ' 'f f md f f md kd md d

' ' ' 'kd md f kd md kd md dkd

0

0

U r L l s i s L i s s L i s s

U L i s s r L l s i s L i

⎡ ⎤= = + + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤= = + + + +⎣ ⎦

'

s s

(5.41)

Visando a simplificação do sistema anterior, inicia-se o processo eliminando , entre

as duas equações vem,

'kd ( )i s

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 ' 'f md f kd md md f md kd dkd kd 0r L l s r L l s L s i s L s r l s i s⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤+ + + + − + + =⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

(5.42)

Substituindo em (3.42) o valor de já calculado anteriormente, obtém-se, ( )'di s

( )2 q'

d 2 2 d

1( )( )2

Ui s

X s ss s

ω=

+ α + ω

simplificando,

( )( )( )( ) ( )

' '' 2d0 d0 q'd ' '' 2 2 dd d

1 1 1( )( )1 1 2

T s T s Ui s

X s sT s T s s s

+ + ω=

+ + + α + ω (5.43)

a corrente de campo vem,

( )( )( ) ( )md kd' '

f d' ''f d0 d

1( )

1 1

L s T si s i s

r T s T s

+=

+ +

simplificando,

( )( )( ) ( )

2 qkd' mdf ' '' 2 2 d fd0 d

1 1( )1 1 2

VT s Xi s

X r sT s T s s s

+ ω=

+ + + α +ω (5.44)

Expandindo a equação (5.44) em fracções parciais, a transformada inversa de Laplace

vem,



( )' ''q md' kd kdd d af ' '' ''

d f d d d( ) 1 cos

t t tT T TU X T Ti t e e e t

T r X T T

− − −⎡ ⎤

⎛ ⎞⎢ ⎥= − − − − ω⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ω ⎢ ⎥⎝ ⎠

⎣ ⎦

(5.45)

Simplificando a primeira metade de (5.45),

2 ' 'q md f0 md d0 d d d

f0 f0' ' 'd f d d f d d d

U X i X T T X Xi iT r X T r X T X

− −− = = =ω ω

'

'

visto que,

( )

( )

' ' md ad0 d f md f

f f md

md a md af md f

f md a f

2md md

d af d f d

1 1

1 1

X XT T X X Xr r X

X X X XX X Xr X X r

X XX Xr X r X

⎛ ⎞− = + − −⎜ ⎟ω ω +⎝ ⎠

⎛ ⎞+ − − = −⎜ ⎟ω + ω⎝ ⎠

− =ω ω

a

d

X

X

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

f

Consequentemente a corrente de campo total depois do curto-circuito, é, 'f f0i i i= +

( )' ' ''d d kd kdd d af f0 f0 ' '' ''

d d d( ) 1 cos

t t tT T TX X T T

i t i i e e e tX T T

− − −⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

(5.46)

5.2.3 - Equação do Binário Resistente

O binário resistente oferecido pelo gerador durante o curto-circuito é dado por ,

( ) ( )md f md kd md a d q mq kq mq a q dT L i L i L l i i L i L l i i⎡ ⎤⎡ ⎤= + + + − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5.47)

Simplificando (5.47) obtém-se,

d q q dT i= Ψ −Ψ i

Sendo este binário resistente por unidade de velocidade (1 rad/s). Para a velocidade ω, obtém-se,



( )d q q dT i= ω Ψ −Ψ i

d

Onde o fluxo por eixo é dado por,

( )

( )

d md f md kd md a

q mq kq md a q

L i L i L l i

L i L l i

Ψ = + + +

Ψ = + +

Antes do curto-circuito, existem as seguintes condições iniciais,

d0 q0 0i i= =

logo,

qf0i

md

qd0 md f0

q0 0

UX

UL i

= −

Ψ = = −ω

Ψ =

Depois do curto-circuito, os valores dos fluxos são,

q' 'd d0 d

' 'q q0 q q

UΨ = Ψ + Ψ = − + Ψ

ω

Ψ = Ψ + Ψ = Ψ

d

Como já foi visto anteriormente, a equação de transferência de segunda ordem, é

( )' 'dd d 2 2

( ) 1( ) ( )2

X ss i sss s

ωΨ = =

ω + α + ωqU

Aplicando a transformada inversa de Laplace obtém-se,

( )q' ad ( ) 1 cost

TUt e

−⎡ ⎤⎢ ⎥Ψ = − ω⎢ ⎥ω⎢ ⎥⎣ ⎦

t



Simplificando,

(q ad ( ) cost

TUt e

−Ψ = − ω

ω)t (5.48)

Da mesma forma para o eixo quadratura obtém-se,

( )q' '

q q 2 2

( )( ) ( )

2

X ss i s

s s

ωΨ = =

ω + α + ωqU

Aplicando a transformada inversa de Laplace obtém-se,

( )q' aq ( ) sent

TUt e

−Ψ = − ω

ωt

Simplificando,

( )q aq ( ) sent

TUt e

−Ψ = − ω

ωt

i

(5.49)

A combinação dos fluxos Ψd e Ψq , que variam sinusoidalmente, dão origem a um fluxo

girante de velocidade ω que é estacionário em relação à armadura. Mas a sua amplitude amortece-se com a constante de tempo . at

Atendendo às equações (5.32) e (5.33) desenvolvidas anteriormente e substituído-as em,

( )d q q dT i= ω Ψ −Ψ

Obtém-se a equação final do binário,

( )

( )

' 'T T2 a dq ' ' '' 'dd d d d

2q a

'' ''d q

1 1 1 1 1( ) sen

1 1sen 24

t ttT

tT

T t U e t e eXX X X X

Ue t

X X

− −−

−

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥

= ω + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞⎜ ⎟+ ω −⎜ ⎟⎝ ⎠

'd +

(5.50)



5.3 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Fase em Vazio

Fig. 5.2 - Esquema do curto circuito assimétrico Fase-Fase

A

B C

NEstator

RotorfI

ci

bi

c bi i= −

a 0i =A

B C

NEstator

RotorfI

ci

bi

c bi i= −

a 0i =

5.3.1 - Equações das Correntes nas Fases

Este tipo de curto-circuito tem muitas semelhanças com o Fase-Neutro, o que os diferencia é que o curto-circuito Fase-Neutro envolve também as impedâncias de sequência de fase zero da máquina e qualquer impedância ligada entre o neutro e a terra, se o curto-circuito se der entre a fase e a terra.

Para o curto-circuito entre as fases “B” e “C” têm-se as seguintes condições,

(5.51) b c

b c

a

00

0

e ei ii

− =

+ =

=

Se a resistência da armadura for desprezada e os fluxos de ligação das fases a e b forem

mantidos constantes nos seus valores iniciais tem-se,

b c b0Ψ −Ψ = Ψ −Ψc0 (5.52)

Se o ângulo da máquina no qual ocorre o curto-circuito for λ então,

b0 d0 q0

c0 d0 q0

cos( 120°) sen( 120°)

cos( 120°) sen( 120°)

Ψ = Ψ λ − −Ψ λ −

Ψ = Ψ λ − −Ψ λ −



ou,

b0 c0 d0 q03( sen( ) cos( ))Ψ −Ψ = Ψ λ +Ψ λ (5.53)

Usando as equações de transformação das correntes obtidas na matriz (2.15) e tensões

obtidas em (2.17), são obtidas as seguintes relações,

d q

d q

0

sen( ) cos( ) 0

cos( ) sen( ) 0

0

e t e t

i t i t

i

ω +λ + ω + λ =

ω + λ + ω +λ =

=

(5.54)

As equações obtidas em (5.54) juntamente com simplificações já desenvolvidas para o

curto-circuito trifásico simétrico, deram origem à seguinte equação para o curto-circuito trifásico assimétrico para a fase B,

( )( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

'd f-f

b q 'f-f d 2 d 2d 2f-f

''d f-f

'' 'd 2 d 2f-f f-f

aq f-f

0 12

1 1 1( ) 3

1 1

3 sen( ) 1sen (2 1) cos(2 )2

t

T

t

T

tTn n

n n

i t U eX X X XX X

eX X X X

Ub n t b n t e

X

−

−

−∞ ∞

= =

⎡⎢ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟= + − +⎢ ⎜ ⎟+ ++⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎢⎣

⎛ ⎞⎜ ⎟+ − ×⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

λ ⎛ ⎞× − − ω + + − ω∑ ∑⎜ ⎟

⎝ ⎠

(5.55)



para a fase C,

( )( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

'd f-f

c q 'f-f d 2 d 2d 2f-f

''d f-f

'' 'd 2 d 2f-f f-f

aq f-f

0 12

1 1 1( ) 3

1 1

3 sen( ) 1sen (2 1)( t) cos(2 t)2

t

T

t

T

tTn n

n n

i t U eX X X XX X

eX X X X

Ub n b n e

X

−

−

−∞ ∞

= =

⎡⎢ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟= − + − +⎢ ⎜ ⎟+ ++⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎢⎣

⎛ ⎞⎜ ⎟+ − ×⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

λ ⎛ ⎞× − − ω + + − ω∑ ∑⎜ ⎟

⎝ ⎠

(5.56)

5.3.2 – Equação da Corrente de Campo

Para a corrente de excitação,

( )( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )' 'd d ''d af-f f-f f-fkd kddf f0 f0 ' '' ''f-f

d d df-f f-f f-f

( ) 1 cos

t ttT T

TX X T T


− −−⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.57)

As constantes das equações (5.56) e (5.57) são dadas por,

( ) ( )'' ''d qf-f f-f

2X X X= ( ) ( )

( ) ( )

'' ''q df-f f-f

'' ''q df-f f-f

X Xb

X X

−=

+

( ) ( )( )

( )

''d 2f-f'' ''

d d0 'f-f f-fd 2f-f

X XT T

X X

+=

+ ( ) ( )

( )

( )

'd 2f-f' '

d d0f-f f-f d 2f-f

X XT T

X X

+=

+

( )2

a f-f a

XTr=

(5.58)



5.4 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Neutro em Vazio

A

B C

NEstator

RotorfI

ai

ni

c 0i =

b 0i =

A

B C

NEstator

RotorfI

ai

ni

c 0i =

b 0i =

Fig.5.3 – Esquema do curto circuito assimétrico Fase-Neutro

5.4.1 - Equações das Correntes na Fase e no Neutro

Para o curto-circuito Fase-Neutro as condições de fronteira são,

a

b c

00

ei i

=

= =

Considerando a resistência da armadura zero,

a aΨ =Ψ 0

Tendo como base a análise do curto circuito fase-fase, o de fase-neutro partilha o mesmo

princípio teórico visto serem ambos curto-circuitos assimétricos.



Assim a equação da corrente do curto-circuito fase neutro representa-se, entre a fase A e o neutro,

( )( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

''d f-n

a q '' 'f-nd 2 0 d 2 0f-n f-n

'd f-n

'd 2 0 d 2 0 d 2 0f-n

aq0 0

00 1

1 1( ) 3

1 1 1

3 cos( ) 1cos (2 1) t cos(2 t)1 222

t

T

t

T

tTn n

n n

i t U eX X X X X X

eX X X X X X X X X

Ub n b n e

X X

−

−

−∞ ∞

= =

⎡⎛ ⎞⎢⎜ ⎟⎢= −⎜ ⎟⎢ + + + +⎜ ⎟⎢⎝ ⎠⎢⎣

⎛ ⎞ ⎤⎜ ⎟+ − + ×⎥⎜ ⎟+ + + + + + ⎥⎜ ⎟ ⎦⎝ ⎠

⎛ ⎞λ ⎜ ⎟× − − ω − + − ω⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∑ ∑

+

( )f-n

(5.59)


( )( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )' 'd d ''d af-n f-n f-nkd kddf f0 f0 ' '' ''f-n

d d df-n f-n f-n

( ) 1 cos

t ttT T

TX X T T


− −−⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.60)

As constantes da equações (5.59) são dadas por,

( ) ( )'' ''

2 d qf-n f-nX X X=

( ) ( )

( ) ( )

'' ''q 0 df-n f-n

0'' ''q 0 df-n f-n

1 12 21 12 2

0

0

X X X Xb

X X X X

+ − +=

+ + +

( ) ( )( )

( )

''d 2f-n'' ''

d d0 'f-n f-nd 2f-n

0

0

X X XT T

X X X

+ +=

+ + ( ) ( )

( )

( )

'd 2f-n' '

d d0f-n f-n d 2f-n

0

0

X X XT T

X X X

+ +=

+ +

( )2 0

a f-n a 0

22X X

Tr r=++

(5.61)



5.5 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Fase-Neutro em Vazio

A

B C

NEstator

RotorfI

ai

ni

bi

b 0i =

A

B C

NEstator

RotorfI

ai

ni

bi

b 0i =

Em complemento do ensaio curto-circuito às três fases, fase com fase, fase com neutro,

considerados previamente, uma máquina síncrona poderá ter dois terminais simultaneamente curto-circuitados ao neutro ou terra. Este curto-circuito é considerado também sem carga jusante.

Fig.5.59 - Esquema do curto circuito assimétrico Fase-Fase-Neutro

As condições de curto-circuito das duas fase A e C sem carga, de acordo com a representação da figura 5.59 entre é,

a c

b

00

e ei

= =

=

5.5.1 – Equações das Correntes nas Fases

Tal como foi abordado na análise do curto circuito fase-fase, fase-neutro a fase-fase-

neutro há a partilha do mesmo princípio teórico visto serem todos curtos-circuitos assimétricos.



Assim a equação da corrente do curto-circuito fase A ou fase C e o Neutro, representa-se da seguinte forma,

entre a fase A e o neutro

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

q '' ''an q q 0f-f-n f-f-n f-f-n

'' ' '' ''d q d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n

'' '' '' ''d q 0 d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n

( ) 3 cos t 3 2 sen t

3 cos t cos 2 t2

3 4 sen2

Ui t X X X C

D

X X X X A

X X X X X

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − ω − + ω +⎨ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ω − − ω −λ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛+ + + λ − −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

( )sen 2 t B ⎫⎡ ⎤⎞ ω −λ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎦ ⎭

(5.62) entre a fase C e o neutro

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

q '' ''cn q q 0f-f-n f-f-n f-f-n

'' '' '' ''d q d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n


( ) 3 cos t 3 2 sen t

3 cos t cos 2 t2

3 4 sen2

Ui t X X X C

D

X X X X A

X X X X X

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − ω − + ω +⎨ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ω − − ω −λ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛+ + + λ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )sen 2 t B ⎫⎡ ⎤⎞ ω −λ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎭

(5.63) onde as constantes das equações (5.62) e (5.63) são dadas por,

( )2 0

aα f-f-n a 0

22

X XT

r r+

=+

( )2

a f-f-n a

XTrβ =

( )aα f-f-n

tT

A e

−

=

( )a f-f-n

tT

B e

−β

=

2 0e

2 0

X XX

X X=

+

( ) ( )'' ''' '' '' ''d df-f-n f-f-nd e d e d e d e

' 'd e d e d e d e

1

t t

T TX X X X X XC e e

X XX X X X X X

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +

= − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X X

+

+

( ) ( ) ( )'' '' '' '' '' ''0 d q d q 0 d q2D X X X X X X X X⎡ ⎤= + + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

cos 2 tω (5.63)





( )( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )' 'd d ''d af-f-n f-f-n f-f-nkd kddf f0 f0 ' '' ''f-f-n

d d df-f-n f-f-n f-f-n

( ) 1 cos

t ttT T

TX X T T

i t i i e e eX T T

− −−

t

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.65)

Este capítulo centrou-se no desenvolvimento das equações que irão permitir fazer a

simulação matemática da máquina nos vários tipos de curto-circuitos que foram abordados. Sem estas equações não era possível quantificar os valores da corrente de curto-circuito

que a máquina irá desenvolver na ocorrência durante a perturbação.


Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 65

Ensaio Laboratorial Capítulo 6

Introdução

Para confirmar a validade das considerações teóricas dos capítulos anteriores, foi montada uma bancada de ensaio no Laboratório de Máquinas Eléctricas da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa. Uma Máquina de Corrente Contínua a funcionar com Motor foi acoplada pelo veio a uma Máquina Síncrona a funcionar como Gerador.

Por forma a salvaguardar a integridade do equipamento, foram feitos ensaios com valores muito abaixo dos nominais representados na “Chapa das Características”, sendo condição suficiente para levar à obtenção de uma imagem do comportamento do sistema em regime nominal.

6.1 - Equipamento para o Ensaio no Laboratório 6.1.1 - Bancada de Ensaios

A Máquina de Corrente Contínua tem as seguintes características de especificação,

n

n e

exc

= 220 V = 2100 rpm = 6,2 A = 200 V

= 1 kW = 0,24 A

U NI UP I

xc

A Máquina Síncrona ensaiada tem as seguintes características,

nY/

n

exc

exc

= 380/220 V = 1500 rpm = 1,5 / 2,6 A cos 0,8

= 0,8 KVA / 0,8 kW f = 50 Hz = 220 V

= 1,6 A max.

U NIPUI

∆

ϕ =

Todos os ensaios foram obtidos com a bancada de ensaios ligada conforme o esquema

na figura 6.1. A velocidade de sincronismo do sistema foi possível de manter durante todos os ensaios, com base na utilização da pistola estroboscópica, tal com representa a mesma figura. O método de acerto da velocidade de sincronismo resultava assim numa coordenação entre frequência estroboscópica referenciada no acoplamento dos veios das duas máquinas e a regulação da alimentação e excitação da Máquina de Corrente Contínua, bem com a regulação da corrente de excitação de campo do alternador.



Fig. 6.1 - Esquema de ligações da bancada de ensaios

r.p.m.

M G3 ~

AA AA

A A AA0 - 220Vcc

S

U1 V1 W1 N

U2 V2 W2

fU

fIexcI

excU

r.p.m.

M G3 ~

AA AA

A A AA0 - 220Vcc

S

U1 V1 W1 N

U2 V2 W2

fU

fIexcI

excU fU

fIexcI

excU

6.1.2 - Equipamento de Medida

Para que este trabalho fosse possível foi necessário recorrer a equipamento de medida convencional, tal como Voltímetros e Amperímetros, mas para obter as medidas dos curtos-circuitos reais, foi necessário recorrer a outro tipo equipamento de medida mais sofisticado.

Assim as curvas obtidas só foram possíveis com instrumentação de aquisição rápida de sinal, o instrumento de medida utilizado foi o osciloscópio digital com uma largura de banda de 300 Mhz ligado a quatro pinças amperimétricas de alta sensibilidade da marca Tektronix.

O modelo de osciloscópio com quatro entradas, satisfez em pleno a aquisição das correntes de curto-circuito. No caso do curto-circuito trifásico simétrico foram adquiridas as correntes das três fases e corrente de excitação em simultâneo.

As curvas das três fases e a de excitação visualizadas no écran, foram transformadas em pontos, descrevendo todo o andamento temporal. Os pontos das curvas por sua vez deram origem a ficheiros tipo texto (*.txt) e foram extraídos do osciloscópio através de uma disquete. Toda a reconstituição gráfica foi finalmente feita e exposta nos itens seguintes.

A fotografia e características deste equipamento podem ser consultadas em Anexo e a imagem do écran obtida durante o curto-circuito trifásico simétrico pode ser visualizada na figura 6.5.



6.2 - Ensaio Experimental para Obtenção das Características em Vazio e Curto-

Circuito

Fig. 5.1 - Esquema do curto-circuito franco às três fases

A

B C

NEstator

RotorfI

ai

ci

bi

A

B C

NEstator

RotorfI

ai

ci

bi

No modelo do circuito equivalente por fase existem três parâmetros que são necessários determinar, são eles, a resistência da armadura aR , a reactância síncrona e a f.e.m. em vazio

por fase . A resistência da armadura 0E aR , foi determinada pelo método volt-amperimétrico

em corrente contínua, está representada na figura 6.4 , enquanto a reactância síncrona e a f.e.m. induzida foram determinadas pelo ensaio em circuito aberto e curto-circuito, representado na figura 6.2.

O ensaio de circuito aberto foi realizado com a máquina síncrona animada com uma velocidade síncrona nominal de 1500 r.pm., enquanto os enrolamentos do estator estavam em circuito aberto. Varia-se a corrente de excitação de campo e mede-se a tensão de saída dos enrolamentos do estator. A relação entre os terminais do enrolamento do estator e a corrente de excitação de campo no rotor, permite obter a característica da máquina síncrona em vazio.

O ensaio em curto-circuito foi iniciado com uma corrente de campo regulada com um reóstato para o mínimo, os terminais do estator foram curto-circuitados nos terminais das três fases U1, V1 e W1, através do comutador S, intercalando em série os amperímetros onde vai ser lida a corrente de curto-circuito da armadura como está representado na figura 6.1.

A representação de amperímetros no esquema, de facto são pinças amperimétricas que lêem a corrente que passa em cada condutor, porque estes caso fossem amperímetros normais sem qualquer transformador, estes seriam destruídos durante o curto-circuito devido às elevadas corrente.

Antes do início do estudo do comportamento da máquina em curto-circuito, foi estudada a característica em vazio e em curto-circuito à velocidade nominal. Com este estudo foram obtidos todos os valores que possibilitaram a construção do gráfico da figura 6.2.



0

50

100

150

200

250

300

350

0

0,16

0,28

0,36

0,46

0,55

0,63

0,72

0,81

0,89

0,97

1,07 1,2

1,39

Corrente de campo If (A)

Tens

ão d

e sa

ída

em v

azio

Eo(

V)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Cor

rent

e de

Cur

to-C

ircu

ito Ic

c (A

)

Linha de Entreferro

cc f( )I f i=

0 f( )E f i=Característica em Vazio

Característica em Curto-Circuito

nI

0 220E V=

cc=0,74AI

Fig. 6.2 – Característica em vazio e curto-circuito @ 1500 rpm

A característica da reactância síncrona foi obtida com base no gráfico da figura 6.2, tendo

por base a seguinte equação,

0

0 d

dE U jX IE X I

= +

= (6.1)

considerando, em (5.1) , então 0U = 0 dE X I= , assim,

0d

cc

EX

I= (6.2)

O gráfico abaixo, da figura 6.3 foi construído com base na equação (6.2), para valores

coincidentes de corrente de campo fI . O dados que possibilitaram as construção dos gráficos

podem ser consultados em Anexo I. Este gráfico permite situar o valor da reactância síncrona a partir do ponto de funcionamento da máquina, sabendo-se a corrente de campo fI à

velocidade nominal.



0

100

200

300

400

500

600

700

0

0.1

0.12

0.19

0.23 0.3

0.36

0.41

0.51

0.61 0.7

0.81

0.91

1.01

1.14 1.2

1.3

1.39 1.5

1.59

1.75

Corrente de campo If(A)

Rea

ctân

cia

Sinc

rona

Xd

(Ohm

s)

d f( )X f I=

0d

cc

EX

I=

Fig. 6.3 – Característica da reactância síncrona @ 1500 rpm

Tal como descrito em 5.1.3. o gráfico da figura 5.4 foi obtido experimentalmente recorrendo ao método volt-amperimétrico.

O dados que possibilitaram a construção do gráfico podem ser consultados no Anexo I.

Fig. 6.4 – Característica da resistência da armadura pelo método Volt- Amperimétrico

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Corrente na resistência da ArmaduraIa (A)

Tens

ão n

a re

sist

ênci

a da

Am

adur

aU

a (V

) a 70r = Ω

aa

a

Ur

I=



6.3 - Ensaio em Curto-Circuito Simétrico Entre as Três Fases

Dep

foram trfiguras s

-4,5-4,0-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5

0505

0

0,0,1,1,

Ia (A

) ( )a Ai

J.L.F. – Máq

Fig. 6.5 – Imagem do écran do osciloscópio gravada no instante em que foi feito o curto-circuito simétrico trifásico e adquirido pelos seus 4 canais.

ois do tratamento dos dados gerados pelo osciloscópio em formato *.TXT estes ansformados em curvas através do programa Excel tal como pode ser observado nas eguintes,

44 88 132

176

220

264

308

352

396

440

484

528

572

616

660

704

748

792

836

880

924

968

Fig. 6.6 - Corrente de curto-circuito trifásico simétrico - Fase A

t (ms)(ms) t

uina Síncrona em Regime Transitório 2006


Fig. 6.7 - Corrente de curto-circuito trifásico simétrico - Fase B

-2,5-2,0-1,5-1,0-0,50,00,51,01,52,02,53,0

0 44 88 132

176

220

264

308

352

396

440

484

528

572

616

660

704

748

792

836

880

924

968

Ib (A

)( )b Ai

t (ms)(ms) t

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0 44 88 132

176

220

264

308

352

396

440

484

528

572

616

660

704

748

792

836

880

924

968

t (ms)

Ic (A

)

( )c Ai

(ms) t

Fig. 6.8 - Corrente de curto-circuito trifásico simétrico - Fase C




6.3.1 – Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito

Uma vez obtidos os gráficos pelo ensaio da máquina em Laboratório, através deles é possível extrair as variáveis necessárias para proceder à simulação gráfica. Assim tendo como base os gráficos da figura 6.6 até à 6.9, obtidos directamente pelo ensaio em curto-circuito, mediante uma análise gráfica detalhada é possível determinar outras variáveis fundamentais.

Fazendo uma redução no período temporal dos gráficos das figuras supra mencionadas, de 200ms para 100ms, para melhor enquadrar toda a oscilação imediatamente após o curto circuito, obtêm-se consequentemente as figuras 6.10, 6.11 e 6.12.

-7.0

-6.0

-5.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

0 16 32 48 64 80 96 112

128

144

160

176

192

t (ms)

Ia (A

)

Fig. 6-10 - Envolvente da curva de curto-circuito trifásico simétrico - Fase A

-0,2

0

2

4

6

0,8

0

2

4

6

1,8

0 60 121

182

244

305

366

425

486

547

609

670

731

790

851

912

974

1,

1,

1,

1,

0,

If (A

) ( )f Ai

0,

0,

0,

t (ms)(ms) tFig. 6.9 - Corrente de excitação de campo durante o curto-circuito trifásico simétrico

( )a Ai

(ms) t


-5.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

0 16 32 48 64 80 96 112

128

144

160

176

192

t (ms)

Ib (A

)

Fig. 6-11 - Envolvente da curva de curto-circuito simétrico - Fase B

( )b Ai

(ms) t

-5,0

-4,0

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

0 16 32 48 64 80 96 112

128

144

160

176

192

t (ms)

Ic (A

)

Fig. 6-12 - Envolvente da curva de curto-circuito simétrico - Fase C

( )c Ai

(ms) t



Os contorno da envolvente destas figuras serve de base para a determinação do valor médio do comportamento da envolvente subtransitória e transitória juntas, como se pode observar nas figuras 6.13 e 6.14.

3,68

0,74

1,10

0,1

0

10,0

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100

1,

t (ms)

I ''d

+I'd

(A) '

d 1.1I Ae=

'd 1.8I A=

''d 3.68I A=

d 0.74I A=

'd

12

T

'd 45msT =

(ms) tFig. 6-13 - Curva envolvente subtransitória e transitória

3,68

0,0

0,1

1,0

10,0

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

I'' (A

)

''d 1,36 A

Ie=

''d 4,5 msT =

t (ms)(ms) tFig. 6-14 - Curva envolvente subtransitória



A figura 6.15 representa as componentes contínuas de cada corrente de fase, fazendo uma tangente a cada curva, obtém-se uma intersecção das três rectas na origem. O ponto obtido é a constante de tempo da armadura.

-4

-3

-2

0

1

24 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100

I (A

)

-1

a=40msT

aDC

bDC

cDC

,, (A)

III

0

t (ms)(ms) tFig. 6.15 - Componentes contínuas das três fases

A partir destes oscilogramas representados nas figuras 6.13, 6.14 e 6.15 obtém-se os

valores das constantes de tempo da máquina , e e as correntes ''dT '

dT aT ''dI e '

dI .

Com base nas características da máquina mencionadas pelo seu fabricante na “Chapa de Características” juntamente com as variáveis até aqui obtidas por ensaio esta máquina é caracterizada pela seguinte tabela. - Potência aparente fornecida pelo Alternador 800 VAS = - Tensão nominal na saída do Alternador n q 220 VU U= =

- Corrente nominal do Alternador n = 1,5 AI

- Velocidade Síncrona do Alternador 1500 r.p.m.N = - Frequência da rede f = 50 Hz - Corrente subtransitória do eixo directo ''

d 3,68 AI =

- Corrente transitória do eixo directo 'd 1,8 AI =

- Corrente síncrona do eixo directo d 0,74 AI =

- Constante de tempo transitória 'd 40 msT =

- Constante de tempo subtransitória ''d 4,5 msT =

- Constante de tempo da armadura a 40 msT =



Para se poder fazer a simulação das correntes de curto-circuito vão ser calculados os

valores das reactâncias ''dX , '

dX e dX .

Tendo por base os valores nominais da tensão e corrente nominais, consequentemente a reactância nominal é,

nn n

n

220= = 147 1,5

UX XI

= Ω

Pelo gráfico da figura 6.4, é possível obter a resistência da armadura,

a 70 Ωr =

Tendo por base as curvas da figura 6.2 é possível obter graficamente pela intersecção da

curva de tensão em vazio com a curva da corrente em curto circuito as seguintes variáveis fundamentais, para o cálculo da reactância síncrona do eixo directo. Tensão nominal em vazio 0 220 VE =

Corrente de curto-circuito d 0,74AIcc I= =

Corrente de campo f 0,73 AI =

Assim com base na equação (6.2) e substituindo as variáveis acima mencionadas, obtém-

se,

0d

cc

220 = = 297 Ω1,5

EX

I=

Reactância síncrona d 297 ΩX =

Este resultado pode confirmar-se com a curva característica da reactância síncrona

representada na figura 6.3. Com base nas variáveis determinadas graficamente pelo curto-circuito trifásico simétrico

é possível obter as reactâncias subtransitória e transitória da seguinte forma,

''d ''

d

q =60 ΩUXI

=

Reactância subtransitória ''d 60 ΩX =



q'd '

d122 Ω

UX

I= =

Reactância transitória '

d 122 ΩX =

Convertendo para unidades “pu” (por unidade) para que a máquina em estudo seja mais

facilmente comparada com outras similares que existem.

( )

( )

( )

dd pu n

'' dd pu n

'''' dd pu n

297 2 pu147

122 0,83 pu147

60 0,41 pu147

XX

X

XX

X

XX

X

= = =

= = =

= = =

Substituindo as constantes acima achadas nas equações (5.36), (5.37) e (5.38) das

correntes de curto-circuito já deduzidas no capítulo anterior, obtém-se os andamentos temporais para cada fase,



6.3.1 –Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito

Simulação da corrente de curto-circuito na Fase A

Usando a seguinte equação,

( )

( ) ( )

' ''q q q q qd da ' '' 'd dd d d

q qa am n

( ) cos

cos cos 2

t t

T T

t tT T

U U U U Ui t e e t

X XX X X

U Ue e t

X X

− −

− −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥

= + − + − ω + λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞⎜ ⎟− λ + ω + λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

−

(5.36)

Resulta o gráfico da figura 6.16,

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1600

400

200

0

200

t (s)

Ia (A

)

( )a Ai

(s)tFig. 6.16 - Corrente de curto-circuito trifásico na fase A simulada.



Simulação da corrente de curto-circuito na Fase B


' ''q q q q qd db ' '' 'd dd d d

q qa am n

2( ) cos3

2 2cos cos 23 3

t t

T T

t tT T

U U U U Ui t e e t

X XX X X

U Ue e t

X X

− −

− −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ π⎛ ⎞= + − + − ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦⎛ ⎞

π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− λ − + ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

−

(5.37)


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1400

200

0

200

400

t (s)

Ib (A

)

( s )t

( )b Ai

Fig. 6-17 - Corrente de curto-circuito trifásico na fase B simulada.



Simulação da corrente de curto-circuito na Fase C


' ''q q q q qd dc ' '' 'd dd d d

q qa am n

4( ) cos3

4 4cos cos 23 3

t t

T T

t tT T

U U U U Ui t e e t

X XX X X

U Ue e t

X X

− −

− −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ π⎛ ⎞= + − + − ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦⎛ ⎞

π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− λ − + ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

−

(5.38)


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1200

0

200

400

600

Ic (A

)

Currente de Curto-Circuito Simétrico na Fase C

( )c Ai

Fig. 6.18 - Corrente de curto-circuito trifásico na fase C simulada.

t (s)(s)t



Simulação da Corrente de Campo,


( )' ' ''d d kd kdd d af f0 f0 ' '' ''

d d d( ) 1 cos

t t tT T TX X T T


− − −⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

(5.46)

Resulta o gráfico da figura 6.19

Fig. 6.19 - Corrente de excitação de campo durante o curto-circuito simulada

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12

0

2

4

6

If (A

)

( )f Ai

t (s)(s)t



Simulação das Componentes Contínuas

Usando as seguintes equações,

( ) ( )

( )

( )

q aam

q abm

q acm

cos

2cos3

4cos3

tT

DC

tT

DC

tT

DC

UI t e

X

UI t e

X

UI t e

X

−

−

−

= λ

π⎛ ⎞= λ⎜ ⎟⎝ ⎠

π⎛ ⎞= λ⎜ ⎟⎝ ⎠

−

−


t (s)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2400

200

0

200

400

I (A)

cI DC

bI DC

aI DC

t (s)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2400

200

0

200

400

I (A)

cI DC

bI DC

aI DC

aDC

bDC

cDC

,, (A)

III

(s)t

Fig. 6.20 – Componentes contínuas das correntes de curto-circuito



Simulação da Segunda Harmónica de cada fase, Fase A

( ) ( )q aa2Hn

Ui t =- cos 2

tTe t

X

−⎛ ⎞⎜ ⎟ω +λ⎜ ⎟⎝ ⎠

Fase B

( ) q ab2Hn

U 2i t =- cos 23

tTe t

X

−⎛ ⎞π⎛ ⎞⎜ ⎟ω +λ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Fase C

( ) q ac2Hn

U 4i t =- cos 23

tTe t

X

−⎛ ⎞π⎛ ⎞⎜ ⎟ω + λ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

0 0.05 0.1 0.15 0.2100

50

0

50

100

0 0.05 0.1 0.15 0.2100

50

0

50

100

t1

0 0.05 0.1 0.15 0.2100

50

0

50

100

Pode-se observar que as segundas harmónicas das três fases são sub-amortecidas,

evidenciando uma sobrelevação no instante inicial, quando se dá o curto-circuito e depois tende para zero até à sua extinção, coincidindo com a entrada da máquina em regime permanente. A corrente de excitação do campo no ensaio representada na figura 6.9 e de forma simulada na figura 6.19, à semelhança das correntes nas fases, sofre também uma sobrelevação no instante inicial no período subtransitório e transitório, mas sempre sobre a sua componente contínua, a qual tenderá a manter-se no regime nominal.


Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 84 6.4 - Ensaio em Curto-Circuito Assimétrico entre Duas Fases

Este é o primeiro tipo de curto-circuito assimétrico a ser analisado, o segundo é entre duas fases e o terceiro é entre duas fases e o neutro. Este paralelismo apenas difere na existência de impedâncias da máquina e qualquer outra impedância entre o neutro e a terra.

As fases que foram curto-circuitadas foram a C e a B, ficando a fase A em vazio.

Fig. 5.2 - Esquema do curto circuito assimétrico Fase-Fase

A

B C

NEstator

RotorfI

ci

bi

c bi i= −

a 0i =A

B C

NEstator

RotorfI

ci

bi

c bi i= −

a 0i =

Os gráficos das figuras que se seguem foram obtidos da mesma forma que os do ensaio anterior, aqui apenas vão ser abordados as duas fases que contribuíram para o curto circuito, a fase A ficou em vazio como se pode observar na figura 5.2. Fig. 6.21 – Corrente de curto-circuito assimétrico fase-fase – Fase B

-4,5

-4,0

-3,5

-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

0 20 40 60 80 100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

360

380

400

420

440

460

480

500

520

540

560

580

600

Ia (A

) ( ) ( )b f-f

Ai

300

320

340

t (ms)(ms) t



Fig. 6.22 – Corrente de curto-circuito assimétrico fase-fase – Fase C

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0 20 40 60 80 100

120

140

160

180

200

220

240

260

340

360

380

400

420

440

460

480

500

520

540

560

580

600

Ic (A

) ( ) ( )c f-f

Ai

280

300

320

t (ms)(ms) t

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

0 24 48 72 96 120

144

168

192

216

240

264

288

312

336

360

384

408

432

456

480

504

528

552

576

600

t (ms)

If (A

)

Fig. 6.23 – Corrente de campo durante curto-circuito assimétrico fase-fase (ms) t

Fig. 6.24 - Envolvente da curva de curto-circuito da fase B

-8,0

-7,0

-6,0

-5,0

-4,0

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 120

128

136

144

152

160

168

176

184

192

20096 104

112

t (ms)

Ia (A

)

(ms) t

( ) ( )b f-f

Ai


Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 86 6.4.1 –Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito

Através dos gráficos anteriores obtém-se as variáveis necessárias para proceder à simulação gráfica. Assim tendo como base os gráficos das figuras 6.21 e 6.22 obtidos directamente pelo ensaio em curto-circuito, mediante uma análise gráfica detalhada é possível determinar outras variáveis fundamentais.

Fazendo uma redução no período temporal dos gráficos das figuras das envolventes, de 200ms para 100ms, para melhor enquadrar toda a oscilação imediatamente após o curto circuito, obtêm-se assim as figuras 6.23 e 6.24.

Os contorno da envolvente das figuras 6.24 e 6.25 serve de base para a determinação do valor médio do comportamento da envolvente subtransitória e transitória juntas, como se pode observar nas figuras 6.26 e 6.27.

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 4

112

120

128

136

144

152

160

168

176

184

192

200

Ic (A

)

10

t (ms)

Fig. 6.25 - Envolvente da curva de curto-circuito da fase C

3,01

0

1

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100

10

I''d+

I'd (A

)

( )''d f-f

3,01 AI =

( )'d f-f

1,8 AI =

( )'d f-f 1,1 A

I

e=

( )'d f-f

12

T

( )'

d f-f48 msT =

(ms) t

( ) ( )c f-f

Ai

Fig. 6.26 - Envolvente Subtransitória e Transitória

t (ms)(ms) t



0,0

0,1

1,0

10,0

0 4 8 12 16

( )''d f-f

1,1 AI

e=

( )''d f-f

2,5 msT =

)I''

(A

t (ms)

(ms) tFig. 6.27 – Envolvente Subtransitória

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100

t (ms)

I''d+

I'd (A

)

( )f-fa =58 msT

(ms) t Fig. 6.28 – Componentes continuas das duas fases

Através das figuras 6.26, 6.27 e 6.28 obtém-se os valores das constantes de tempo da

máquina , e e as correntes e , importantes para a

simulação matemática. ( )

''d f-f

T ( )'d f-f

T ( )a f-fT ( )

''d f-f

I ( )'d f-f

I

- Corrente subtransitória do eixo directo (fase-fase)

( )''d f-f

3,01 AI =

- Corrente transitória do eixo directo (fase-fase) ( )

'd f-f

1,1 AI =

- Constante de tempo transitória (fase-fase) ( )

'd f-f

48 msT =

- Constante de tempo subtransitória (fase-fase) ( )

''d f-f

2,5 msT =


Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 88 - Constante de tempo da armadura (fase-fase)

( )a f-f58 msT =


valores das reactâncias e . ( )''d f-f

X ( )'d f-f

X

O cálculo da reactância subtransitória entre fases tem por base os valores em cima determinados,

( )( )

''d ''f-f

d f-f

q = 73,1 ΩUXI

= ( )''d f-f

= 73,1 ΩX

Da mesma forma a reactância transitória entre fases fica,

( )( )

q'd 'f-f

d f-f

200 ΩU

XI

= = ( )'d f-f

200 ΩX =



( )

( )( )

( )( )

dd pu n

'd f-f'

d pu n

''d f-f''

d pu n

297 2 pu147

200 1,36 pu147

59,78 0,50 pu147

XX

X

XX

X

XX

X

= = =

= = =

= = =

Substituindo as constantes acima achadas nas equações (5.55), (5.56), (5.57) e (5.58) das

correntes de curto-circuito já deduzidas no capítulo anterior, obtém-se os andamentos temporais para cada fase.


Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 89 6.4.1 –Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito Simulação da corrente de curto-circuito entre fases da Fase B Usando a seguinte equação,

( )( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

'd f-f

b q 'f-f d 2 d 2d 2f-f

''d f-f

'' 'd 2 d 2f-f f-f

aq f-f

0 12

1 1 1( ) 3

1 1

3 sen( ) 1sen (2 1) cos(2 )2

t

T

t

T

tTn n

n n

i t U eX X X XX X

eX X X X

Ub n t b n t e

X

−

−

−∞ ∞

= =

⎡⎢ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟= + − +⎢ ⎜ ⎟+ ++⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎢⎣

⎛ ⎞⎜ ⎟+ − ×⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

λ ⎛ ⎞× − − ω + + − ω∑ ∑⎜ ⎟

⎝ ⎠

(5.55)


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1600

400

200

0

200

ibff

(A)( ) ( )b f-f

Ai

t (s)(s)t Fig. 6.29 – Simulação do curto-circuito fase-fase – Fase B


Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 90 Simulação da corrente de curto-circuito entre fase da Fase C Usando a seguinte equação,

( )( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

'd f-f

c q 'f-f d 2 d 2d 2f-f

''d f-f

'' 'd 2 d 2f-f f-f

aq f-f

0 12

1 1 1( ) 3

1 1

3 sen( ) 1sen (2 1)( t) cos(2 t)2

t

T

t

T

tTn n

n n

i t U eX X X XX X

eX X X X

Ub n b n e

X

−

−

−∞ ∞

= =

⎡⎢ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟= − + − +⎢ ⎜ ⎟+ ++⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎢⎣

⎛ ⎞⎜ ⎟+ − ×⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

λ ⎛ ⎞× − − ω + + − ω∑ ∑⎜ ⎟

⎝ ⎠

(5.56)


Fig. 6.30 – Simulação do curto-circuito fase-fase – Fase C

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1200

0

200

400

600

t (s)

icff

(A)( ) ( )c f-f

Ai

(s)t


Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 91 Simulação da corrente de campo Usando a seguinte equação,

( )( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )' 'd d ''d af-f f-f f-fkd kddf f0 f0 ' '' ''f-f

d d df-f f-f f-f

( ) 1 cos

t ttT T

TX X T T


− −−⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.57) Resulta o gráfico da figura 6.31

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12

0

2

4

iFff

(A)

( ) ( )f f-fAi

t (s)(s)t

Fig. 6.31 – Simulação do curto-circuito fase-fase – Corrente de campo



Num curto-circuito simétrico constatam-se que as correntes, são praticamente sinosoidais, tendo apenas a sobreposição de um termo de 2ª harmónica praticamente desprezável,

porque '' ''d qX X≈ . Isto é válido porque as equações de ai , bi , e foram deduzidas

considerando que há ausência de saturação na máquina. ci

Desprezado o termo da 2ª harmónica visto ser pequeno, podem ser observadas as correntes de curto circuito admitindo saturação do circuito magnético. Contudo a saturação do circuito magnético implica uma corrente de 3ª harmónica. Porém, se o curto circuito simétrico se dá sem neutro a componente de 3ª harmónica não tem caminho por onde se fechar e portanto as correntes não são sinosoidais. As figuras seguintes ilustram as componentes de 2ª e 3ª harmónicas,

0 8 16 24 320

1.25

2.5

Espectro

Am

plitu

de

Fig. 6.33 - Espectro da 1ª e 2ª harmónicas

Fundamental

2ª Harmónica

0 1 2 3 4 5 61

0.5

0

0.5

1

Angulo (rad)

Cor

rent

e (A

)

Resultante

2ª Harmónica

Fundamental

Fig. 6.32 – Comportamento das correntes de 1ª, 2ª harmónicas e resultante

0 1 2 3 4 5 61

0.5

0

0.5

1

Angulo (rad)

Cor

rent

e (A

)

Corrente de 3 Harmónica

Fundamental

3ª Harmónica

Resultante

0 8 16 24 320

0.5

1

1.5

2

2.5

Espectro

Am

plitu

de

3ª Harmónica

Fundamental

Fig. 6.34 – Comportamento das correntes de 1ª, 3ª harmónicas e resultante Fig. 6.35 – Espectro de 1ª e 3ª harmónicas


Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 93 6.5 - Ensaio em Curto-Circuito Assimétrico entre Fase e Neutro

A

B C

NEstator

RotorfI

ai

ni

c 0i =

b 0i =

A

B C

NEstator

RotorfI

ai

ni

c 0i =

b 0i =

Fig. 6.36 - Esquema do curto-circuito entre Fase - Neutro

Os gráficos das figuras que se seguem foram obtidos da mesma forma que os do ensaio

anterior, aqui apenas vai ser abordado a fase A e o neutro que contribuíram para o curto circuito, a fase B e C ficaram em vazio como se pode observar na figura 6.36.

-2

-1

0

3

4

5

0 32 64 96 128

160

192

224

256

288

320

352

384

416

448

480

512

544

576

608

640

672

704

736

768

800

832

864

896

928

960

992

t (ms)(ms) t

1

2

Ia (A

) ( ) ( )a f-n

Ai

Fig. 6.37 – Corrente de curto-circuito entre fase e neutro – Fase Ia




-4

-2

0

2

6

8

10

12

0 32 64 96 128

160

192

224

256

288

320

352

384

416

448 0 2 4

576

608

640

672

704

736

768

800

832

864

896

928

960

992

If (A

)

4

48 51 54

t (ms)

Fig. 6.38 - Corrente de curto-circuito entre fase e neutro – Corrente de campo If

Fig. 6.40 - Curva envolvente subtransitória e transitória

0.1

1.0

10.0

0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 112

120

128

136

144

152

160

168

176

184

192

200

104

''d(f-n) 75 AI = 2,

'd(f-n) 1,8 AI =

'd(f-n) 1,1 A

I

e=

( )'

d f-n1 144 ms2

T =

( )'

d f-n72 msT =

t (ms)

I''d+I'd

Fig. 6.39 - Envolvente da corrente de curto-circuito entre fase e neutro – Fase Ia

-3

-2

-1

0

3

4

5

6

7

0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 4

112

120

128

136

144

152

160

168

176

184

192

200

)Ia

(A

1

2

96 10

t (ms)

(ms) t

(ms) t

(ms) t

( ) ( )a f-n

Ai

( ) ( )f f-n

Ai





''d f-n

T ( )'

d f-nT ( )a f-n

T ( )''d f-n

I ( )'d f-n

I

Fig. 6.41 – Curva envolvente subtransitória

0,1

1

10

0 4 8 12 16 20 24 28 32

( )''d f-n

T 9 ms=

( )''d f-nI

1.01 Ae

=

t (ms)

''d(f-n) 2,75 AI =

I''d (A)

Fig. 6.42 – Componente continua da fase A

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100

I (A)

t (ms)

( )a f-nT 27 ms=

(ms) t

- Corrente subtransitória do eixo directo (fase-neutro)

( )''d f-n

2,75 AI =

- Corrente transitória do eixo directo (fase-neutro) ( )

'd f-n

1,8 AI =

- Constante de tempo transitória (fase-neutro) ( )

'd f-n

72 msT =

- Constante de tempo subtransitória (fase-neutro) ( )

''d f-n

9 msT =


Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 96 - Constante de tempo da armadura (fase-neutro)

( )a f-n27 msT =


valores das reactâncias e . ( )''d f-n

X ( )'d f-n

X


( )( )

''d ''f-n

d f-n

q = 80 ΩUXI

= ( )''d f-n

= 80 ΩX

Da mesma forma a reactância transitória entre fases fica,

( )( )

q'd 'f-n

d f-n

122,2 ΩU

XI

= = ( )'d f-n

122,2 ΩX =



( )

( )( )

( )( )

dd pu n

'd f-n'

d pu n

''d f-n''

d pu n

297 2 pu147

200 0,83 pu147

59,78 0,55 pu147

XX

X

XX

X

XX

X

= = =

= = =

= = =

Substituindo as constantes acima achadas nas equações (5.59) e (5.60) das correntes de

curto-circuito já deduzidas no capítulo anterior, obtém-se os andamentos temporais para cada fase.


Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 97 6.5.1 –Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito Simulação da corrente de curto-circuito fase-neutro - Fase A Usando a seguinte equação,

( )( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

''d f-n

a q '' 'f-nd 2 0 d 2 0f-n f-n

'd f-n

'd 2 0 d 2 0 d 2 0f-n

aq0 0

00 1

1 1( ) 3

1 1 1

3 cos( ) 1cos (2 1) t cos(2 t)1 222

t

T

t

T

tTn n

n n

i t U eX X X X X X

eX X X X X X X X X

Ub n b n e

X X

−

−

−∞ ∞

= =

⎡⎛ ⎞⎢⎜ ⎟⎢= −⎜ ⎟⎢ + + + +⎜ ⎟⎢⎝ ⎠⎢⎣

⎛ ⎞ ⎤⎜ ⎟+ − + ×⎥⎜ ⎟+ + + + + + ⎥⎜ ⎟ ⎦⎝ ⎠

⎛ ⎞λ ⎜ ⎟× − − ω − + − ω⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∑ ∑ ( )

+

f-n

(5.59)

Resulta o gráfico o gráfico da figura 6.41

Fig. 6.41 – Simulação da corrente de curto-circuito entre fase e neutro

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5t (s)(s)t

400

200

0

400

600

800

200

IFN

(A)( )f-n

A( )ai



Simulação do curto-circuito fase-neutro - Corrente de Campo


( )( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )' 'd d ''d af-n f-n f-nkd kddf f0 f0 ' '' ''f-n

d d df-n f-n f-n

( ) 1 cos

t ttT T

TX X T T


− −−⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.60) Resulta o gráfico o gráfico da figura 6.42

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5

1

0

1

2

3

4

t (s)

iFfn

(A)

( ) ( )f f-nAi

(s)t

Fig. 6.42 – Simulação do curto-circuito fase-neutro– Corrente de campo



Análise dos Oscilogramas das correntes de curto-circuito assimétrico fase-neutro e fase-fase.

Considerando um curto-circuito entre uma só fase e o neutro, a corrente de curto-circuito resultante é constituída por componentes do regime subtransitório, transitório e permanente podendo representar-se da seguinte forma,

( ) ( ) ( )'' '

cc d d d .f-n f-n f-npermI I I I= + +

Estas componentes ao atravessarem a fase A do estator vão produzir uma f.m.m. oscilatória. Esta f.m.m. oscilatória de frequência ω pode ser decomposta em duas f.m.m.s girantes que rodam com a velocidade angular ω em sentidos contrários. A

roda com a velocidade angular 1(f.m..m.) +ω

no sentido do rotor (síncrono com ele) e a

no sentido (com uma

velocidade 22(f.m..m.) −ω

ω relativa ao rotor). A

, rodando síncrona com o rotor

induz no enrolamento de campo apenas uma componente contínua, visto que a amplitude

da decai no tempo e

.

1(f.m..m.)

1(f.m..m.) ( )''d f-n

T

( )'d f-n

T

A , rodando com uma

velocidade de 22(f.m..m.)

ω em relação ao rotor, induz no enrolamento de campo componentes alternadas de frequência 2f (2ª harmónica).

Estas componentes alternadas de 2f do rotor, produzem por sua vez uma f.m.m. pulsante de frequência 2f, que se podem decompor em duas f.e.m.s girantes, de

A

B C

N

icc

Curto - CircuitoFase - Neutro

Estator

Rotor

+ω −ω

'1(f.m.m.)

'2(f.m.m.)

-2f

+2f

fi

2ff.m.m. pulsante⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ω

Velocidade angular do rotor

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

fΦ

2(f.m.m.)

1(f.m.m.)

ω(f.m.m. pulsante)

A

B C

N

icc

Curto - CircuitoFase - Neutro

Estator

Rotor

+ω −ω

'1(f.m.m.)

'2(f.m.m.)

-2f

+2f

fi


ω


⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

f

2(f.m.m.)

1(f.m.m.)

ω(f.m.m. pulsante)

Φ

Fig. 6.43 – Esquema da máquina durante o curto circuito Fase-Fase

velocidade angular 2 relativas ao rotor, em sentidos contrários assinalados na figura por

e .

ω'1(f.m..m.) '

2(f.m..m.)

A girando com a frequência 2f no sentido de rotação do rotor vai por sua vez

induzir no estator uma corrente de frequência 2 ou seja a 3ª harmónica.

'1(f.m..m.)

f + f = 3f

A girando com a frequência -2f em sentido contrário à rotação do rotor irá por

sua vez induzir no estator uma corrente de frequência , isto é, com o valor absoluto da fundamental.

'2(f.m..m.)

-2f + f = -f


Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 100 Conclusão:

No curto-circuito assimétrico fase-neutro, mesmo com o circuito magnético linear, obtêm-se correntes de 2ª harmónica no rotor e de 3ª harmónica no estator,

Porém, o processo repete-se. A corrente de 3ª harmónica do estator, por sua vez, induz uma corrente de 4ª harmónica no rotor e esta reflecte-se no estator com uma corrente de 5ª harmónica e assim sucessivamente.

De modo geral pode-se dizer que no curto-circuito fase-neutro resultam uma série de harmónicas pares no rotor e uma série de harmónicas ímpares no estator. Porém, esta série é rapidamente convergente e na prática pode considerar-se apenas as harmónicas de 2ª e 3ª como as mais importantes, podendo-se considerar as outras harmónicas de ordem superior desprezáveis.

No caso do curto-circuito entre fases, mantém-se toda a sequência acima descrita porque as f.m.m.s. pulsantes em cada fase em curto-circuito estão em fase, como se pode

A

B C

N

Curto - CircuitoFase - Fase

Estator

Rotor

icc

+ω −ω

'1(f.m.m.)

'2(f.m.m.)

-2f

+2f

fi


ω


⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

fΦ

2(f.m.m.)1(f.m.m.)

ω(f.m.m. pulsante)

A

B C

N

Curto - CircuitoFase - Fase

Estator

Rotor

icc

+ω −ω

'1(f.m.m.)

'2(f.m.m.)

-2f

+2f

fi


ω


⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

fΦ

2(f.m.m.)1(f.m.m.)

ω(f.m.m. pulsante)

J.L.F. –

Fig. 6.44 – Esquema da máquina durante o curto circuito Fase-Fase

observar na figura 6.44.

Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006

Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 101 Ensaio em curto-circuito entre duas fase e neutro Análise dos Oscilogramas das correntes de curto-circuito .

Fig. 5.59 - Esquema do curto circuito assimétrico Fase - Fase-Neutro

A

B C

NEstator

RotorfI

ai

ni

bi

b 0i =

A

B C

NEstator

RotorfI

ai

ni

bi

b 0i =

-4,5

-4,0

-3,5

-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

0 36 72 108

144

180

216

252

288

324

360

396

432

468

504

540

576

612

648

684

720

756

792

828

864

900

936

972

t (ms)

Iac

(A)

( ) ( )an f-f-nAi

Fig. 6.45 – Corrente de curto-circuito assimétrico fase-fase-neutro – Fase A e C (ms) t



-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 36 72 108

144

180

216

252

288

324

360

396

432

468

504

540

576

612

648

684

720

756

792

828

864

900

936

972

IN (A

)( ) ( )cn f-f-nAi

t (ms)(ms) tFig. 6.46 – Corrente de curto-circuito assimétrico fase-fase-neutro – Fase C e Neutro

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 40 80 120

160

200

240

280

320

360

400

440 0 0

560

600

640

680

720

760

800

840

880

920

960

IF (A

)

( ) ( )f f-f-nAi

48 52

t (ms)Fig. 6.47 – Corrente de curto-circuito assimétrico fase-fase-neutro – Corrente de Excitação

-5,5

-4,5

-3,5

-2,5

-1,5

-0,5

0,5

1,5

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100

Iac

(A)( ) ( )an f-f-n

Ai

48 52

t (ms)

Fig. 6.48 – Envolvente da curva de curto-circuito assimétrico fase-fase-neutro – Fase A C (ms) t

(ms) t




-12,0-11,0-10,0-9,0-8,0-7,0-6,0-5,0-4,0-3,0-2,0-1,00,01,02,03,04,0

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 10048 52 56

t (ms)

IN (A

)

Fig. 6.49 – Envolvente da curva de curto-circuito assimétrico fase-fase-neutro – Fase C e Neutro

0,1

1,0

10,0

0 4 8 12 16

t (ms)

I''(A)

( )''d f-f-n

1,93 AI

e=

( )''

d f-f-n4 msT =

Fig. 6.51 – Envolvente subtransitória

Fig. 6.50 – Envolvente subtransitoria e transitória

0,1

1,0

10,0

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

t (ms)

I''d+I

'd (A

)

( )'d f-f-n

1,7 AI

e=

( )

''d f-f-n

5,25 AI =

( )'

d f-f-n12

T

( )'

d f-f-n 8 msT =

( )

'd f-f-n

2,8 AI =

( ) ( )cn f-f-nAi

(ms) t

(ms) t

(ms) t






''d f-f-n

T ( )'d f-f-n

T (a f-f-nT ) )( )

''d f-f-n

I ('d f-f-n

I

- Corrente subtransitória do eixo directo (fase-fase-neutro)

( )''d f-f-n

5,25 AI =

- Corrente transitória do eixo directo (fase-fase-neutro) ( )

'd f-f-n

2,8 AI =

- Constante de tempo transitória (fase-fase-neutro) ( )

'd f-f-n

8 msT =

- Constante de tempo subtransitória (fase-fase-neutro) ( )

''d f-f-n

4 msT =

- Constante de tempo da armadura (fase-fase-neutro) ( )a f-f-n

18 msT =


valores das reactâncias e . ( )''d f-f-n

X ( )'d f-f-n

X


( )( )

''d ''f-f-n

d f-f-n

q = 59,78 ΩUXI

= ( )''d f-f-n

= 59,78 ΩX

Fig. 6.52 – Componentes contínuas das fases A C e neutro

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

( )a f-f-n18 msT =

I (A)

t (ms)(ms) t

Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 105 Da mesma forma a reactância transitória entre fases fica,

( )( )

q'd 'f-f-n

d f-f-n

78,6 ΩU

XI

= = ( )'d f-f-n

78,6 ΩX =



( )

( )( )

( )( )

dd pu n

'd f-f-n'

d pu n

''d f-f-n''

d pu n

297 2 pu147

200 0,54 pu147

59,78 0,41 pu147

XX

X

XX

X

XX

X

= = =

= = =

= = =

Substituindo as constantes acima achadas nas equações (5.62), (5.63) e (5.65 ) das

correntes de curto-circuito já deduzidas no capítulo anterior, obtém-se os andamentos temporais para cada fase,




( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

q '' ''an q q 0f-f-n f-f-n f-f-n

'' ' '' ''d q d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n


( ) 3 cos t 3 2 sen t

3 cos t cos 2 t2

3 4 sen2

Ui t X X X C

D

X X X X A

X X X X X

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − ω − + ω +⎨ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ω − − ω −λ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛+ + + λ − −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

( )sen 2 t B ⎫⎡ ⎤⎞ ω −λ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎦ ⎭

(5.62) Resulta o gráfico da figura 6.53

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1800

600

400

200

0

t (s)

IAN

(A)

( ) ( )an f-f-nAi

(s)tFig. 6.53 - Simulação da corrente de curto-circuito fase-fase-neutro - Fase A e Neutro




( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

q '' ''cn q q 0f-f-n f-f-n f-f-n

'' '' '' ''d q d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n


( ) 3 cos t 3 2 sen t

3 cos t cos 2 t2

3 4 sen2

Ui t X X X C

D

X X X X A

X X X X X

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − ω − + ω +⎨ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ω − − ω −λ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛+ + + λ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )sen 2 t B ⎫⎡ ⎤⎞ ω −λ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎭

(5.63) Resulta o gráfico da figura 6.54

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1800

600

400

200

0

t (s)

ICN

(A)

Fig. 6.54 - Simulação da corrente de curto-circuito fase-fase-neutro - Fase C e Neutro

( ) ( )cn f-f-nAi

(s)t





( )( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )' 'd d ''d af-f-n f-f-n f-f-nkd kddf f0 f0 ' '' ''f-f-n

d d df-f-n f-f-n f-f-n

( ) 1 cos

t ttT T

TX X T T

i t i i e e eX T T

− −−

t

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.65)


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

2

0

2

6

8

10

IF (A

) 4

t (s) Fig. 6.55 - Simulação do curto-circuito fase-fase-neutro – Corrente de campo

(s)t

( )f-n ( )f f-Ai

As simulações realizadas neste capítulo permitem ter a percepção dos picos de corrente a que o estator estaria sujeito caso se tratasse de um curto-circuito real em qualquer uma das três possibilidades aqui estudadas. Assim, com base neste estudo pode-se iniciar todo o dimensionamento das protecções de toda a carga a jusante, sejam disjuntores ou fusíveis.


Capítulo 7 – Comportamento Dinâmico 109

Comportamento Dinâmico Capítulo 7

7.1 - Comportamento do Binário durante o Curto-Circuito

As máquinas síncronas quando sujeitas a um curto–circuito, ficam sujeitas a esforços dinâmicos importantes, originando o aparecimento de um binário perigoso, podendo danificar o equipamento.

No decorrer do normal funcionamento da máquina existe uma igualdade entre a velocidade mecânica do rotor e a velocidade de campo do estator.

Quando surge uma instabilidade motivada por um curto-circuito, esta relação é perturbada, consequentemente a velocidade instantânea desce ligeiramente tal como a ângulo de carga, aqui surge um binário. Para recuperar a velocidade síncrona, vão surgir oscilações em torno da posição final, que tendem a anularem-se à medida que os enrolamentos amortecedores dissipam as f.e.m. nele induzidas e tal como se pode observar na figura. 7.1.

Estas oscilações do binário tendem a extinguirem-se à medida que a máquina entra no regime permanente.

Através da equação fundamental (5.50) do comportamento do binário e substituindo as

constantes da máquina obtidas no ensaio de curto-circuito simétrico franco no Capitulo 6 nesta equação, obtém-se o gráfico da figura 7.1.

( )

( )

' 'T T2 a dq ' ' '' 'dd d d d

2q a

'' ''d q

1 1 1 1 1( ) sen

1 1sen 24

t ttT

tT

T t U e t e eXX X X X

Ue t

X X

− −−

−

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥

= ω + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞⎜ ⎟+ ω −⎜ ⎟⎝ ⎠

'd +

(5.50)

.

Fig. 7.1 – Comportamento do B

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.51 .105

5 .104

0

5 .104

1 .105

1.5 .105

t (s)

T (N

)

(s)t

T (N

.m)

J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório

inário durante o curto-circuito.

0.6 0.7 0.8 0.9 1

2006


7.1.1 – Determinação dos Parâmetros Mecânicos

A modelação mecânica da máquina síncrona completa-se com a determinação do valor numérico dos seus parâmetros, estes podem ser obtidos por cálculo e por ensaio. No primeiro caso é necessário saber o comportamento dos órgãos, dimensões, condições de funcionamento que raramente se dispõe. No segundo caso por ensaio, podem-se obter os parâmetros de forma mais realista.

7.1.2 – Cálculo do Momento de Inércia do rotor

Considere-se uma massa elementar dm situada à distância r de um ponto 0, como indica figura 7.2 .

dm

0

r

Fig. 7.2 – Momento de inércia de uma massa

Denomina-se momento de inércia da massa dm colocada à distância r do centro de

rotação 0 tem, por definição, um momento polar de inércia infinitesimal dado pela relação 2dJ r dm= Considere-se que o rotor tem um diâmetro e um comprimento axial e uma massa

específica uniforme O momento de inércia de um anel de espessura elementar dr e comprimento axial l à distância r do centro de rotação tem o volume elementar

oD l.γ

2dV rdrl= π e a massa elementar dVdm γ= .

oD

dr r

oR

γ

l

ω

γ

Fig. 7.3 - Rotor Fig. 7.4 - Vista em corte do rotor



De acordo com as figuras 7.3 e 7.4, por definição o momento polar do anel elementar vale,

2 2 32 2dJ r dm r r dr r dr= = γ π λ = γ πλ (7.1)

assim o momento polar de inércia do rotor será,

040 0 3

00 0 0

12 24 2

RR R rJ dJ r dr⎡ ⎤

= = γ πλ =γ πλ = γπλ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ 4R

R

(7.2)

Sabendo-se que a massa do rotor vale 20m = γπλ , substituindo em (7.2) vem,

2

20 02 2 g

R RJ m m mR⎛ ⎞= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (7.3)

onde o raio de giração 000,707

2gR

R R= = representa a distância ao centro de uma coroa

infinitesimal . Em termos práticos, na literatura e manuais técnicos, é normal explicitar o momento de

inércia J em termos de peso do rotor P mg= e do diâmetro de giração 2g gD R= , podendo

finalmente representar-se por,

214 gJ P

g= D com (7.4) 29,8 m/sg =

O peso do rotor pode ainda ser representa por 20

4D

Pπ

g= γ λ diâmetro de giração por

02g

DD = .

O momento polar de inércia depende do raio do rotor à 4ª potência e é apenas

directamente proporcional ao seu comprimento axial. Nas máquinas com o mesmo volume

prismático 20prismV D= λ , que é equivalente a ter o mesmo binário o momento de

inércia é,

20T kD= λ

20

132 prismJ V D= γπ ( ) (7.5) 2.Kg m



O momento de inércia da equação (7.5), varia com o quadrado do diâmetro. Daí que os turboalternadores tenham um momento polar de inércia menor do que o dos hidroalternadores para as mesmas condições. Pode-se observar a figura 1.5 e 1.6 que expõe em detalhe as diferenças físicas entre ambos os tipos de máquinas síncronas. 7.1.3 – Métodos para Determinar o Momento de Inércia

Após desenvolvimento das equações do momento de inércia, é possível estudar o

comportamento dinâmico da máquina síncrona depois de ser desligada até que o seu movimento fique completamente extinto.

Existem três processos para determinar a curva de desaceleração da velocidade de andamento da máquina tendo como base o prévio cálculo do momento de inércia. Por ordem crescente de fiabilidade existem os seguintes métodos:

• Método analítico

Basta substituir os valores de catálogo de 2gPD directamente na equação (7.4) e

imediatamente se obtém o momento de inércia J. • Método do Pêndulo Este método é mais preciso que o anterior porque é baseado na simulação real do

movimento pendular através da extracção do rotor do interior da máquina. Uma vez o rotor extraído, o seu veio vai ser colocado sobre duas barras que se pretendem

com o mínimo de atrito, para não perturbar o movimento pendular que lhe vai ser imposto. O movimento pendular vai ser conseguido com auxílio de um peso colocado a uma distância de preferência ao centro de massa do rotor, seguidamente anima-se o sistema.

O momento de inércia que vai ser obtido depende do tempo que o sistema demora a parar, que se deve à relação das diferenças entre as massas do rotor e do peso.

• Método da medição do Atrito Este método é mais prático porque leva à obtenção de resultados práticos de forma

directa, através da simulação de desaceleração do rotor. Esta simulação é feita com a máquina na sua aplicação normal, consiste em desligar o accionamento mecânico quando esta se encontra na velocidade síncrona e registar todos os pontos de velocidade até que pare em zero.

Todos estes pontos reunidos permitem a obtenção da curva de desaceleração. Assumindo que a máquina síncrona está animada com uma velocidade síncrona e

subitamente lhe é desligado o acoplamento mecânico, que a acciona, este fenómeno é definido pela seguinte equação,

rf

dJ Tdtω

= − (7.6)



r

mg

θ

λ

γ

ω

Pêndulo

r

mg

θ

λ

γ

ω

Pêndulo

Fig. 7.5 – Medição do momento de inércia pelo Método do Pêndulo

Na equação 7.6, é o binário de fricção devido à existência de fricção nas escovas, rolamentos e bobinagem.

fT

Assumindo que as condições de atrito viscoso são dados pela seguinte equação,

rf

bb

KT K

rω

= (7.7)

Obtém-se assim a equação da velocidade angular do rotor,

emr m

t

e−τω = ω (7.8)

a qual mostra a desaceleração do rotor sobre condição de atrito viscoso apresentando um andamento exponencial decrescente.

Desde que o momento de inércia seja J seja conhecido, o binário de fricção para uma dada velocidade deverá ser avaliado a partir da curva de desaceleração como se pode observar na Fig. 7.6.

fT

0 1 2 3 40

500

1000

1500

5t(s)

N (r

pm)

Fig. 7.6 – Curva de desaceleração do rotor


Capítulo 8 – Conclusões Finais 114

Conclusões Finais Capítulo 8

O presente trabalho é uma ferramenta muito importante para poder prever as correntes

que as máquinas síncronas de pólos salientes podem atingir quando sujeitas a um brusco curto-circuito. Para o efeito, foram identificados os ensaios que são considerados mais críticos para a integridade física da máquina e equipamento envolvente.

Para conhecer a presente máquina foi necessário fazer vários ensaios, a fim de conhecer as suas características fundamentais tais como curva da f.e.m. em vazio, curva da corrente de armadura em curto-circuito, reactâncias e constantes de tempo, deduzidas a partir das curvas das correntes de curto-circuito obtidas em ensaio com correntes de tensões reduzidas, comparativamente com os valores nominais definidos pelo fabricante da máquina.

As constantes de tempo e reactâncias determinadas pertencem aos três períodos temporais onde se enquadra um curto-circuito típico, que são o subtransitório, transitório e nominal. Com o conhecimento destas constantes, foi possível simular graficamente o andamento temporal das correntes de curto-circuito que a máquina irá desenvolver quando for sujeita a um brusco curto-circuito em regime nominal.

Estas curvas simuladas irão ajudar no dimensionamento das protecções do circuito a jusante, visto poderem ser confrontadas com as curvas das protecções e assim será possível escolher a protecção mais adequada. De salientar que o valor eficaz da corrente subtransitória alcançada durante os dois primeiros ciclos, serve como base para o cálculo da corrente de regulação da interrupção do disjuntor a seleccionar para proteger a carga aplicada à máquina.

Os ensaios desenvolvidos, possibilitaram o confronto entre a teoria da máquina síncrona e os respectivos resultados experimentais, que se revelaram estar em quase absoluta sintonia, evidenciada graficamente.



Trabalho Futuro Capítulo 9

Toda a vasta Teoria exposta sobre esta matéria exige a avaliação comportamental da

máquina num exaustivo conjunto de situações diferenciadas ao nível de simulações, que este trabalho procurou de forma modesta abordar através da selecção criteriosa das consideradas críticas para análise do fenómeno.

No entanto, a investigação desenvolvida, os resultados obtidos e a actualidade da temática no contexto da segurança dos sistemas de produção de energia, onde se insere a máquina estudada, estimulam a um aprofundamento de alguns assuntos, nomeadamente o comportamento do binário da máquina durante o curto-circuito.

A continuidade deste trabalho está assim, desde já assegurada pela motivação para a “descoberta” de soluções que protejam os grandes centros produtores de energia de ameaças ao seu funcionamento e que são passíveis de desenvolvimento no campo experimental e teórico.



Bibliografia Capítulo10

[1] Bernard Adkins M.A.. “ The General Theory of Electrical Machines”. Chapman an Hall, 1964, ISBN 412 07840 6/87 [2] Charles Concordia “Synchronous Machines Theory and Performance”. General Electric Company, 1951. Chapter 4, 5 , 6, 7. [3] Chee – Mun Ong, “Dynamic Simulation of Electric Machinery, using MatLab /Simulink”. Prentince Hall, ISBN 0-13-723785-5. Chapter 7 –Synchonous Machines [4] Syed A. Nasar, “Máquinas Eléctricas” . Schaum McGraw-Hill, CEP 04533 . Capítulo 6 – Máquinas Síncronas. [5] A.E. Fitzgerald, “Máquinas Eléctricas”. McGraw –Hill, Capítulo 10 – Máquinas de C.A., Transitórios e Dinâmica [6] Siemens, “Manual de Engenharia Eléctrica” Livraria Nobel S.A. - Nº0536, Capítulo 8 – Corrente de Curto-Circuito em sistemas trifásicos. [7] A. Leão Rodrigues, “Conversão Electromecância de Energia – Máquina Síncrona” Universiade Nova de Lisboa, Faculdade de Ciências e Tecnologia, Departamento de Engenharia Electrotécnica. [8] Stephen J. Chapman, “ Electric Machinery Fundamentals” McGraw-Hill - Synchronous Motors [9] A. J. Ellison, “Electromechanical Energy Conversion” Engineering Science Monographs – George G. Harrap & Co. LTD, 1965 ISBN 245 55845 - Chapter 7 [10] J. Chatelain, “Machines Électriques” Dunod – 1983 ISBN 2-04-015620-8 – Chapitre 7 [11] Catálogos da ABB - AMG Synchronous Generators for Power Plants [12] Catálogos da Siemens [13] Catálogos da General Electric


Anexos


Anexos 118


Resultados Experimentais Anexo I

Circuito Aberto@1500 r.p.m E0(V) 0 5 12 43 55 91 12

0

137

168

196

219

233

250

260

267

270

280

279

289

289

293

Curto-Circuito@1500 r.p.m Icc(A) 0

0,01

0,02

0,10

0,17

0,25

0,33

0,38

0,52

0,65

0,74

0,86

1,00

1,12

1,26

1,40

1,43

1,65

1,71

1,91

2,05

Reactância síncrona do eixo directo

Xd(Oh)

590,

00

472,

38

577,

35

430,

00

323,

53

362,

58

362,

16

360,

08

323,

09

302,

00

295,

70

270,

55

249,

99

232,

49

211,

70

193,

00

195,

81

169,

01

168,

82

151,

14

142,

79

Corente de excitação de campo

If(A) 0

0,10

0,12

0,19

0,23

0,30

0,36

0,41

0,51

0,61

0,70

0,81

0,91

1,01

1,14

1,20

1,30

1,39

1,50

1,59

1,75

0 (V)E

cc (A)I

f (A)I

( )dX Ω

m Circuit@1500 r.p.m

0 5 15 20 32 43 55 69 80 91 99 109

120

129

137

148

152

162

168

178

179

185

190

196

203

208

219

221

225

228

231

233

238

242

246

250

Corrente de Curto-Circuito@1500 r.p.m

0

0,01

0,02

0,10

0,17

0,25

0,33

0,38

0,52

0,65

0,74

0,86

1,00

xciação decampo

0

0,10

0,12

0,14

0,16

0,19

0,23

0,25

0,28

0,30

0,32

0,34

0,36

0,39

0,41

0,44

0,46

0,48

0,51

0,53

0,55

0,57

0,59

0,61

0,65

0,67

0,70

0,72

0,74

0,77

0,79

0,81

0,83

0,87

0,89

0,91

Te

ensão de saida o Aberto

Corente de e

0 (V)E

cc (A)I

f (A)I

• Resultados que serviram de base à construção do gráfico da figura 6.2.


saída

Corrente de excitação de campo

Corrente excitação de campo

Anexos 119


Tensão da Armadura

Ua(V) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

Corrente da Armadura

Ia(A) 0

0,02

0,05

0,08

0,11

0,14

0,17

0,20

0,23

0,26

0,30

0,32

0,35

0,39

0,45

0,52

0,60

0,67

0,75

0,82

0,90

0,98

1,00

1,10

Resistência da Armadura

ra(o)90

,91

76,9

2

75,0

0

72,7

3

71,4

3

70,5

9

70,0

0

69,5

7

69,2

3

66,6

7

68,7

5

68,5

7

66,6

7

66,6

7

67,3

1

66,6

7

67,1

6

66,6

7

67,0

7

66,6

7

66,3

3

70,0

0

68,1

8

a (A)I

a (A)U

( )ar Ω

Periodo

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100

Média 3,68

2,95

2,57

2,28

2,08

1,90

1,76

1,62

1,54

1,49

1,42

1,36

1,33

1,30

1,26

1,23

1,22

1,20

1,18

1,16

1,15

1,13

1,12

1,10

1,08

1,06

( ) mst

'' 'd d (A)I I+

• Resultados que serviram de base à construção dos gráficos das figuras 6.13 e 6.14.

Período

Periodo 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100

-3,7

5

-2,9

0

-2,1

0

-1,7

0

-1,3

0

-1,1

0

-0,8

5

-0,6

0

-0,6

3

-0,6

6

-0,6

9

-0,7

2

-0,7

5

-0,8

0

-0,8

0

-0,8

0

-0,8

0

-0,8

0

-0,8

0

-0,8

0

-0,8

0

-0,8

0

-0,8

0

-0,8

0

-0,8

0

-0,8

0

1,00

0,70

0,60

0,40

0,40

0,30

0,40

0,30

0,25

0,20

0,15

0,15

0,12

0,11

0,08

0,05

0,02

-0,0

1

-0,0

4

-0,1

2

-0,1

0

-0,1

3

-0,1

6

-0,1

7

-0,1

9

-0,2

0

0,80

0,90

1,10

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

0,85

0,85

0,75

0,70

0,65

0,60

0,56

0,53

0,50

0,47

0,44

0,41

0,38

0,35

0,32

0,26

0,20

0,15

Componentes continuas

aDC (A)I

bDC (A)I

cDC (A)I

( )mst

• Resultados que serviram de base à construção do gráfico das figura 6.15

Período

Componentes Contínuas


Anexos 120

Periodo 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100

Média 3,50

2,26

2,09

1,95

1,85

1,83

1,78

1,75

1,65

1,61

1,58

1,55

1,53

1,51

1,49

1,47

1,45

1,43

1,41

1,39

1,37

1,35

1,33

1,32

1,31

1,30

( ) mst

( ) ( )'' 'd f-f d f-f (A)I I+

• Resultados que serviram de base à construção dos gráficos das figuras 6.26 e 6.27.

Periodo 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100

3,50

2,15

2,13

2,00

2,00

1,90

1,90

1,90

1,75

1,68

1,66

1,62

1,60

1,58

1,56

1,54

1,52

1,50

1,48

1,46

1,44

1,42

1,40

1,38

1,36

1,34

-3,5

0

-2,3

8

-2,0

5

-1,9

0

-1,7

0

-1,7

5

-1,6

5

-1,6

0

-1,5

5

-1,5

5

-1,5

0

-1,4

8

-1,4

6

-1,4

4

-1,4

2

-1,4

0

-1,3

8

-1,3

6

-1,3

4

-1,3

2

-1,3

0

-1,2

8

-1,2

6

-1,2

5

-1,2

3

-1,2

1


( )mst

( )aDC f-f (A)I

( )cDC f-f (A)I

• Resultados que serviram de base à construção do gráfico da figura 6.28

Periodo 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100

Média 2,75

2,39

2,15

2,03

1,85

1,75

1,70

1,63

1,55

1,53

1,50

1,50

1,48

1,45

1,45

1,42

1,40

1,38

1,35

1,36

1,33

1,33

1,29

1,29

1,25

1,25

( ) mst

( ) ( )'' 'd f-n d f-n (A)I I+

• Resultados que serviram de base à construção do gráfico das figuras 6.40 e 6.41

Período

Período

Perí


odo

Periodo 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100

Componente Continua 2,

000

1,50

0

1,30

0

1,20

0

1,00

0

0,80

0

0,60

0

0,50

0

0,30

0

0,20

0

0,15

5

0,14

6

0,13

7

0,12

8

0,11

9

0,11

0

0,10

1

0,09

2

0,08

3

0,07

4

0,06

5

0,05

6

0,04

7

0,03

8

0,02

9

0,02

0

( )mst

( )aDC f-n (A)I


Período

Componente Contínua


Anexos 121

Periodo 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100

Média 5,25

2,83

1,93

1,78

1,78

1,72

0,60

0,59

0,57

0,56

0,54

0,54

0,52

0,51

0,49

0,48

0,46

0,45

0,43

0,42

0,40

0,39

0,37

0,36

0,34

0,33

( ) ( )'' 'd f-f-n d f-f-n (A)I I+

( )mst

• Resultados que serviram de base à construção do gráfico da figura 6.50 e 6.51

Período

Periodo 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

3,02

1,86

1,39

1,10

0,93

0,64

0,66

0,46

0,51

0,40

0,25

0,29

0,33

0,25

0,33

0,33

-7,0

0

-5,5

0

-5,0

0

-3,6

0

-2,9

6

-2,3

1

-1,8

7

-1,6

7

-1,2

6

-1,0

2

-0,7

8

-0,6

3

-0,5

8

-0,5

2

-0,6

4

-0,7

0


( )mst

( )aDC f-f-n (A)I

( )cDC f-f-n (A)I


Período



Anexos 122

Instrumentação de Medida Anexo II

Pinça amperimétrica usada na medida das correntes de curto-circuito.

Exemplo da forma como as correntes de curto-circuito foram obtidas.


Anexos 123

Osciloscópio digital de 4 canais usado na medida das correntes de curto-circuito. Especificações

• Largura de Banda 300 MHz • Taxa de amostragem acima de 5 GS/s • 4 canais • Cinescópio de fósforo colorido VGA • Disquete de interface para e disco duro para armazenamento de dados e configurações • 21 tipos de medidas automáticas • Porta paralelo tipo Centronics • 9-Bit de resolução vertical • Suporta configuração para várias línguas • Menu de utilização rápido • Trigger avançado nos 4 canais • Transformadas rápidas de Fourier (FFT) para análise de frequência e de harmónicas • Módulo de saída de video • Suporta pontas activas, pontas diferenciais e pontas de corrente que possiblitam escala

automática.


Anexos 124 Fotografias da Bancada de Ensaios Anexo III

Bancada de ensaios com a máquina de Corrente contínua de accionamento à esquerda e a máquina síncrona trifásica à direita e comutador ao centro.

Grande plano da máquina de corrente contínua de accionamento


Anexos 125

Grande plano da máquina síncrona trifásica

Painel de controlo, protecções, regulação das correntes de excitação das máquinas, correntes e tensões de armadura.


Anexos 126

Taquímetro estroboscópico manual, que possibilitou fazer todos os testes à velocidade nominal de forma estável.


Curto-Circuito Simétrico Anexo IV

0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1600

400

200

0

200Ia

(A)

0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1400

200

0

200

400

Ib (A

)

0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1200

0

200

400

600

Ic (A

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12

0

2

4

6

t (s)

If (A

)


Curto-Circuito Assimétrico Fase-Fase Anexo V

0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1200

0

200

400

600

icff

(A)

0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1600

400

200

0

200

ibff

(A)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12

0

2

4

t (s)

iFff

(A)


Curto-Circuito Assimétrico Fase-Neutro Anexo VI

0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1400

200

0

200

400

600

800

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11

0

1

2

3

4

t (s)

iFfn

(A)

IAfn

(A)


Curto-Circuito Assimétrico Fase-Fase-Neutro Anexo VII

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

2

0

2

4

6

8

10

t (s)

IF (A

)

0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1800

600

400

200

0

ICN

(A)

0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1800

600

400

200

0

ICN

(A)


máquina síncrona em regime transitório após brusco curto

Documents