CUACAC035MT22-A15V1

Matem

ática

1

Programa Acompañamiento

Criterios de semejanza de triángulosCUADERNILLO DE EJERCITACIÓN Nº

Mapa conceptual

SEMEJANZA

En TRIÁNGULOS

¿Cuándo dos figuras son

semejantes?

Si ∆ ABC ~ ∆ DEF

Entonces, según sus

Cuando tienen igual forma, aunque sean de distinto tamaño. Si dos figuras son semejantes, los lados de una figura son proporcionales a los lados de la otra figura, y los ángulos respectivos de igual medida.

¿Cuál es su símbolo?

~

lados,

ABDE =

BCEF =

ACDF = k

Con k un valor real positivo.

ángulos,

∠ ABC ≅ ∠ DEF∠ BCA ≅ ∠ EFD∠ CAB ≅ ∠ FDE

¿Qué otras relaciones proporcionales se

establecen?

La razón entre las medidas de los elementos secundarios es k.

La razón entre los perímetros es k.

La razón entre las áreas es k2.

Criterios de semejanza

LLL

LAL

AA

MATEMÁTICA

2

Ejercicios PSU

1. ¿Cuál(es) de las siguientes parejas de triángulos es (son) semejante(s)?

I) II) III)

4

6

75º75º

9

625º

65º

3

56

10 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

2. Si en un triángulo cualquiera las medidas de los lados se triplican, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA respecto a este nuevo triángulo?

A) El perímetro aumenta al triple en comparación con el triángulo inicial. B) El área es nueve veces el área del triángulo inicial. C) Las medianas miden el triple que las medianas del triángulo inicial. D) Los ángulos interiores miden el triple que los ángulos del triángulo inicial. E) Las alturas miden el triple que las alturas del triángulo inicial.

3. En el trapecio ABCD de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes parejas de triángulos es (son) siempre semejante(s)?

I) ∆ ABE y ∆CDE II) ∆ AED y ∆ BEC III) ∆ ACD y ∆ ACB

D

A B

C

E A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

CUADERNILLO DE EJERCITACIÓN

3

4. ¿Cuál de las siguientes alternativas es siempre verdadera?

A) Al trazar ambas diagonales en un paralelógramo se forman cuatro triángulos semejantes entre sí.

B) Dos triángulos semejantes son también congruentes.C) Al trazar alguna mediana de cualquier triángulo, se forman dos triángulos semejantes.D) Basta con conocer la medida de solo dos lados en un par de triángulos y que sean

respectivamente proporcionales para decir que los triángulos son semejantes.E) Ninguna es siempre verdadera.

5. En la figura, A, B, C y D son puntos colineales, al igual que E, F y G. Si AG // BF // CE y BG // CF // DE, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) ∆ ABG ~ ∆ CDE II) ∆ BCF ~ ∆ EFC III) ∆ GFB ~ ∆ FEC

G

A B C D

FE

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

6. ¿Cuál de las siguientes parejas de figuras son siempre semejantes? I) Dos circunferencias de radios 5 cm y 9 cm respectivamente II) Dos triángulos equiláteros de alturas 2 cm y 7 cm respectivamente. III) Dos cuadrados de áreas 16 cm2 y 25 cm2 respectivamente.

A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

MATEMÁTICA

4

7. En la figura, el triángulo ABC es isósceles en C. Si los segmentos BD y AE son transversales de gravedad, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ∆ ABF ~ ∆ EDF II) ∆ ABC ~ ∆ DEC III) ∆ AED ≅ ∆ BDE

D E

C

A B

F

A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

8. Si a, b y c son mayores que dos, ¿cuál(es) de los siguientes triángulos siempre es (son) semejante(s) al triángulo de la figura?

b

g a

c

b

a

I) II) III)

a – 2 c – 2

b – 2

a

b a0,5 b

12

c

A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

9. En la figura, ∆ ABC ~ ∆ EFD. Si los lados homólogos están en la razón 3 : 5, ¿cuánto mide el segmento DF?

A) 15 B) 21 C) 25 D) 32 E) 35

D

EC

A

B

F

15 cm

21 cm

9 cm

CUADERNILLO DE EJERCITACIÓN

5

10. En la figura, ∆ ABC ~ ∆ DEF. Si el área del triángulo DEF mide 36 cm2, ¿cuál es el área del triángulo ABC?

A) 16 cm2

B) 24 cm2

C) 54 cm2

D) 81 cm2

E) 108 cm2

12 cm

F

D E

C

A B 8 cm

11. Si las medidas de los lados de los triángulos ABC y DEF de la figura están en la razón 2 : 1, entonces el valor de (2u + v) es igual a

A) 13 B) 19 C) 20 D) 38 E) 76

51º

42º

u

v18

14

12

51º

87º

C

BA

F E

D

12. En la figura, ∆ ABC ~ ∆ AED. Si AC = 20, BC = 25, AB = 30 y ED = 15, ¿cuál es el perímetro del cuadrilátero DBCE?

A) 72 B) 60 C) 54 D) 45 E) 30

C

BDA

E

13. En la figura, ∆ ACG ~ ∆ DEB. Si ∠ FBA = 108º y ∠ DCF = 124º, ¿cuánto mide el ángulo DAG? A) 12º B) 32º C) 52º D) 56º E) 72º

CB DA

E

G

F

MATEMÁTICA

6

14. En la figura, ∆ ABC ~ ∆ DEF . Si AC = 5u cm, DF = 2u cm y la altura que cae sobre DE mide 6 cm, ¿cuánto mide la altura que cae sobre AB ?

A) 10 cm B) 15 cm C) 30 cm D) 12 cm E) Faltan datos para determinarlo.

D E

C

A B

F

15. En la figura, A, B y C son puntos colineales. Si el ángulo BAE mide 63º y el ángulo BDC mide 41º, ¿cuál es el valor del ángulo DBE?

A) 14º B) 27º C) 28º D) 41º E) 54º

D

E

CA B

18 15

10 12

812

16. En la figura, ∆ ABE ~ ∆ BDC. Si AB = 23

BE = 12

EA = 4 cm y D es punto medio del segmento

BE, ¿cuál es el perímetro del polígono cóncavo ABCDE?

A) 25,5 cm B) 27 cm C) 31,5 cm D) 21 cm E) 28,5 cm D

E

C

A B

CUADERNILLO DE EJERCITACIÓN

7

17. En la figura, Δ ABC ∼ Δ CDF. Si el triángulo ABC es isósceles en C, entonces el valor de DC es

A) 72

B) 507

C) 107

D) 4

E) 14

C

D

E

F

BA

6

3

5

4

18. En la figura, AC es bisectriz del ángulo BAE y AB = 12 cm. Si el triángulo DBC es isósceles en B

y AD : DC = 3 : 1, entonces el segmento AE mide

A) 4 cm B) 6 cm C) 8 cm D) 9 cm E) 16 cm

B

C

D

E

A

19. En el triángulo de la figura, PT = 4, TQ = 5 y SQ = 6. ¿Cuál es el valor de RS ?

R

P Q

S

a

a

T

A) 32

B) 145

C) 103

D) 245

E) 152

MATEMÁTICA

8

20. En la figura, Δ TUS ∼ Δ GFH. Para obtener x se debe multiplicar m por

TS

U

G

F

m

x

p r

q

H A) q

r

B) pr

C) rp

D) rq

E) qp

21. En la figura, Δ ABC ∼ Δ PQR. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si AB = 15, entonces BC = 12. II) Si BC = 15, entonces PR = 30. III) Si PR = 15, entonces AB = 37,5.

BA

C

10

PQ

R

20

25

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

22. En la figura, PS ⊥ TQ y R es el punto medio de PS. Si PQ = 3 y TS = 4, entonces PS es igual a

T

a

a

S

Q

PR

A) 125

B) 2�3

C) 245

D) 163

E) 4�3

CUADERNILLO DE EJERCITACIÓN

9

23. En la figura, Δ MPT ∼ Δ NQR. Si N es el punto medio de MP y P es el punto medio de MQ, entonces la razón entre el área del cuadrilátero MNST y el área del cuadrilátero PQRS es

R

QPNM

T

S

A) 4 : 9 B) 1 : 2 C) 2 : 3 D) 1 : 4 E) 3 : 8

24. En la figura, el triángulo FGH es semejante con el triángulo IFH y HG = 6. Se puede determinar la medida de IH si:

I

H

GF

(1) IF = 5 (2) FH = 4

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

25. En el triángulo ABC de la figura, se puede determinar que AB // DE si:

(1) ∆ABC ~ ∆DEC (2) DA = 1

3 AC y CE = 23 BC

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

C

D E

A B

MATEMÁTICA

10

Tabla de corrección Ítem Alternativa Habilidad

1 ASE2 Comprensión3 ASE4 Comprensión5 ASE6 ASE7 ASE8 ASE9 Aplicación

10 Aplicación11 Aplicación12 Aplicación13 Aplicación14 ASE15 Aplicación16 Aplicación17 Aplicación18 Aplicación19 Aplicación20 Aplicación21 ASE22 ASE23 ASE24 ASE25 ASE

CUADERNILLO DE EJERCITACIÓN

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