manual til zometool dansk

Man

ual2

.1®

2-Fold: τn where n=0, 1, 2; τ =(√5+1) /2

3-Fold: τn (cos 30º) where n=0, 1, 2

5-Fold: τn (cos 18º) where n=0, 1, 2

Zome Manual 2.1 er en introduktion til Zome-byggesæt-tene Pioneer og Adventurer, og ligeledes til byggesætteneExplorer, Creator og Advanced Math Creator. På de føl-gende sider vil du opdage, at byggedelene i Zome visersammenhænge i rumlige dimensioner, som gør det nemt atbygge smukke modeller og at forstå indviklede begreber.

Geometrien i Zome er baseret på den grundlæggendestruktur i naturen. Du vil finde mange henvisninger til betyd-ningen af tallene 2, 3 og 5. Manualen berører mangematematiske begreber, men den er ikke en lærebog. Vi ind-

byder dig til yderligere at udforske de begreber, som bliverpræsenteret i manualen! Bibliografien på sidste side er etgodt sted at starte.

Byggesættene kan suppleres når som helst. Modellermed blå faner kan bygges med alle sæt. Modeller med gulefaner kan bygges med Zome Pioneer eller højere. Modellermed røde faner kræver Zome Adventurer eller højere.

God fornøjelse!

Tillykke!Du er nu ejer af det mestavancerede byggesystem, der nogensinde er designet. Zome viser forholdet mellem tallene 2, 3 og 5 i rumlige dimensioner.

Når du bygger modellerne idenne manual, vil du begynde at opdage verdens matematiskeskønhed og mysterier. Måskegør du endda selv nogle spændende opdagelser!

53 2

2

®

®

Stængerne må gernebøjes. Det kan værenødvendigt at bøje enstang let for at fastgøreden mellem to kugler.

Du kan lave fan-tastiske boblermed mange afZome-modellerne,hvis du dypper dem i sæbevand (se voresforetrukne, hjem-melavede blandingherunder).

Her er et par gode råd,hvis du vil lave bobler:

n Fyld vand i en spand, og tilsætførst derefter opvaskemidde

ln Sørg for at beholderen er bred og dybnok til din største model og din hånd.

n Rør ikke mere end nødvendigt i sæbe-vandet – undgå skum!

n Dyp og løft dine modeller langsomt.Spræng uønskede bobler med en tørfinger. Flyt bobler rundt uden atsprænge dem ved hjælp af en våd fin-ger.

n Nogle modeller fanger bobler ind-vendigt. Serien af terninger herunderviser, hvordan forskellige størrelserbobler kan fanges inden i en model

n Brug et vådt sugerør til at tilføje ellerfjerne bobler.

n God fornøjelse!Thanks to the Exploratorium, San Francisco, California.

Bobler!

Byggetips

Stram din konstruktion. Sørg for at presse tappen hele vejen indi hullet, så kanten af stangen ligger helt op mod kuglen. Stramkonstruktionen efterhånden som du bygger. Hold hænderne tæt

sammen, og presstangen vinkelretpå kuglen.

Nej! Ja!

4

Farve & form viser vejen!Hver stang i byggesættet passer til huller ien tilsvarende facon. De blå stængerpasser ind i rektangulære huller, gule

stænger passer ind i trekant ede huller, og røde stænger passer

ind i femkantede huller.Dette gør det nemt at bygge selv kom-plicerede modeller.

Adskil forsigtigt!Træk stængerne vinkelret ud af kuglerne.Byggedelene skal behandles forsigtigt,

så de ikke bliverbeskadiget.

Sæbevand:

2 dl Fairy (bedst!) eller andetflydende opvaskemiddel

Tilsæt vand, så du får 4 liter

Hvis du ønsker mere holdbarebobler, kan du tilsætte en

spsk. glycerin (kan købes hosmaterealister).

Bemærk: Sæbeopløsningenbliver bedre af at stå i enåben beholder i mindst etdøgn, før du bruger den.

Squash 2

Med terningformen skal dufange en boble i midten ved atdyppe modellen helt, ogderefter kun halvt. Kan dufinde alle otte ”sammen-pressede” 3-D rektangler, somudgør 4-D rektanglet?

Denne model skaber en boble meden buet overflade. Kan du findestedet, hvor det højeste lavpunkt påén kurve møder det lavestehøjdepunkt på en anden kurve?Dette punkt kaldes et saddelpunkt.Kan du komme i tanke om konstruk-tioner, hvor denne form er anvendt?

Hvis du dypper denne 3-D trekant(tetraeder) i sæbevand, vil du se enskygge af en 4-D trekant (simplex).Ligesom 3-D trekanten består af fire2-D trekanter (tæl dem!), består 4-Dtrekanten af fem 3-D trekanter. Kandu finde dem alle?

Hvis du dypper dennemodel, vil du se fem sam-menhængende sadler.Hvorfor har mange blomsterfem kronblade? Kan dukomme i tanke om andreplanter og dyr med tallet 5 i?Hvad med tallene 3 og 2?

Hver af disse modeller kan bygges med alle byggesættene fraZome Crazy Bubbles og opefter. Og når de dyppes i sæbevand,bliver der skabt smukke bobleoverflader.

Saddel

4-D trekant

Terningformen

Squash 1

Blomster

Spiral

Her er spiralmodellen fra billedetøverst på siden. Som blomster-modellen til venstre er den 5-dobbelt symmetrisk, fordi den erkonstrueret i et mønster, som gentagersig 5 gange rundt om aksen eller midten.Kan du finde de modeller, som har dobbelt symmetri? Hvad med 3-dobbelt symmetri? Holdøje med disse symmetriske mønstre, når du byggermere komplicerede modeller. Det vil gøre det endnunemmere at bygge!

Kan du bygge en“squash”? Du skalfange en boble imidten ved at drejemodellen halvvejs

rundt i sæbevandet. (Prøv noglegange. Det er svært!) Hvilken formfremkommer, når to boblermødes i midten af modellen?

Squash 3

6 7

Zome Crazy Bubbles, Pioneer & Adventurer!Utrolige bobler!Alle de modeller, som er vist her, kan bygges medZome Crazy Bubbles eller højere

Spiralboblen ligner ensnoet rutschebane. Vilden ændre sig, hvis dufjerner den røde stang?

Tetraeder #13

Tetraeder #21

Tetraeder #34

Tetraeder #55

……kan du bygge alle 65?

En 3-D trekant kaldes et tetraeder (4 flader). Duhar allerede set et af tetraedrene i afsnittet ombobler. Du kan bygge 65 forskellige tetraedreudover spejlbilleder og flade trekanter. (Vibetragter flade modeller som 2-D skygger ellerprojektioner af 3-D trekanter).Til tetraedre anven-des normalt 4 kugler og 6 stænger, bortset fra nogle få (som pyramide nr. 55) med forbundne kanter.

Prøv også at lave bobler med disse modeller!

Tetraederet og oktaederet (8 over-flader) er grundlaget for mange stærkestrukturer. Hvor mange tetraedre erder i pyramiden på side 23?Pyramiden er en del af et oktet-gitter.Du kan også bygge 65 oktaedre iZome. Så du kan bygge 65 forskelligeoktetgitter-systemer!

Bemærk: Hvis du vil bygge et regulært eller ligesidettetraeder (eller et regulært oktaeder eller lignende mod-eller), skal du bruge Zome GreenLines. Med GreenLines

får du yderligere 60 retninger i Zome-univer-set, og du kan med de nye stænger bygge245 tetraedre udover de 65, som er vist her.Dette avancerede Zome-værktøj kan fås påwww.zometool.com

Tetraeder-udfordringen

8

Zome Crazy Bubbles, Pioneer & Adventurer

Tetraeder Kuglen B1 B2 B3 Y1 Y2 Y3 R1 R2 R3

1 4 1 1 1 1 1 12 5 2 2 1 1 13 4 1 1 1 1 24 4 2 3 15 4 1 1 3 16 4 1 2 2 17 4 1 2 1 28 5 1 3 2 19 4 2 1 1 210 4 3 2 111 4 1 1 3 112 4 1 2 1 213 4 1 2 2 114 4 2 1 315 4 3 2 116 4 1 2 317 4 1 1 1 1 1 118 4 2 1 319 4 1 1 1 1 1 120 4 1 2 1 1 121 4 1 1 1 2 122 4 3 2 123 4 1 2 1 224 4 2 1 2 125 4 1 1 2 226 4 2 1 327 4 1 2 2 128 4 1 2 1 229 4 1 2 1 230 4 1 2 331 4 1 2 1 232 4 2 1 333 4 2 1 1 234 4 3 335 4 1 2 2 136 4 2 1 337 4 1 2 338 4 1 2 2 139 4 1 2 2 140 4 1 2 2 141 4 1 1 2 1 142 4 2 1 1 243 4 2 2 244 4 3 345 4 2 1 1 246 4 1 1 2 247 4 2 1 2 148 4 1 2 2 149 4 2 3 150 4 3 2 151 5 3 2 252 5 2 3 253 5 2 3 254 5 3 2 255 5 2 1 2 256 4 2 457 4 3 358 4 2 459 4 1 4 160 4 4 261 4 3 362 4 1 563 4 3 364 4 5 165 7 1 1 1 2 2 2

65 TETRAEDER

En regulær femkant (5sider) er som et 2-D tal 5.Den har 5 ens stænger og5 kugler. Den er ogsåfemdobbelt symmetrisk.

Et gyldent rektangel er ligesom et2-D tal 2. Det har 2 sæt med 2forskellige stænger og 2x2 kugler.Det er også dobbelt symmetrisk.

En regulær trekant (3 sider) ersom et 2-D tal 3. Den har 3 ensstænger og 3 kugler. Den erogså tredobbelt symmetrisk.

Modeller i detrøde plan viserofte tallet 5! Hverkugle har etfemkantet hul,som venderopad.

Modeller i detgule plan viserofte tallet 3!Hver kugle haret trekantethul, somvender opad.

Modeller i detblå plan viserofte tallet 2!Hver kugle haret rektangulærthul, som venderopad.

Lær disse grundlæggende faconer – så kan du byggebedre modeller!

Et kvadrat er en regulærpolygon, som et 2-D tal 4(2x2). Det har 4 stænger,4 kugler og er 4-dobbeltsymmetrisk.

Vi ved, at rektanglet ogkvadratet er i det blåplan, fordi hver kuglehar et rektangulært hul,der vender opad.

Vi ved, at trekanten ogsekskanten er i det guleplan, fordi hver kugle haret trekantet hul, somvender opad.

Vi ved at femkanten ogtikanten er i det rødeplan, fordi hver kuglehar et femkantet hul,som vender opad.

En regulær hexagon (6-kant,6 sider) er som et 2-D tal 6 (3x2). Denhar 6 stænger, 6 kuglerog er 6-dobbelt sym-metrisk.

Røde, gule ogblå stænger lig-ger i det blåplan.

Der er kun blåstænger i detgule plan.

Der er kun blåstænger i detrøde plan.

Flade, lukkede figurer kaldes polygoner. De ligger i et 2-D rum (et plan). Hvorfor giver de kedelige bobler?

En regulær polygon har lige store sider og lige store vinkler.

Crazy Bubbles,Pioneer & Adventurer!

4

22

Gyldent Rektangel


3

3

Trekant


4

4

Kvadrat


5

5

Femkant


6

6

Hexagon

Crazy Bubbles,Pioneer & Adventurer!10

10

Dekagon

Konstruktion med form & farve

2!

3!

5!En regulær dekagon(10-kant, 10 sider) ersom et 2-D tal 10(5x2). Den har tistænger, ti kugler oger ti-dobbelt sym-metrisk.

10 11

Zome Crazy Bubbles, Pioneer & Adventurer

2, 3 & 5 i naturen

Mange modeller i Zome har 2-, 3- og 5-dobbelt symmetri. Kandu finde disse forhold i naturen?

Spejlingssymmetri forekommer, når mankan genskabe det hele ved at spejle en afde to halvdele.

Fraktalsymmetri forekommer,når hver del af et mønster ermagen til hele mønsteret.

Rotationssymmetri forekommer, når enmodel, som drejes om sin egen akse, viser sigi den samme position 2 eller flere gange. Den5-takkede stjerne har både rotations- og spe-jlingssymmetri, men kan også blive større ogmindre ved fraktalsymmetri, lige som det

gyldne rektangel.

Et snefnug har 6-dobbelt rotations- og spejlingssymmetri.

En bikage er opbygget af sekskanter. Mønstrethar translatorisk symmetri, hvilket betyder, atmønsteret gentages ved forskydning med enbestemt afstand.

Dette røntgen-diffraktionsmønsteraf en kvasikrystal er domineret aftallet 5. Kan du se femkanterne ogstjernerne?

Lige som spiralen i detgyldne rektangel”vokser” i flere påhinanden følgenderektangler, såledesvokser konkylien i pro-portionale, gentagneelementer, som bygger oven på hinan-den. Denne proces er almindelig mangesteder i naturen.

Elementer af denfraktale stjerneudviser spe-jlings-, rotations-og fraktalsym-metri!

Fractal Star

Snefnug

Røntgen-diffrak-tionsmønster af enAl-Mn kvasikrystal.

Spiralen i det gyldne snit

Et æble, som er skåret igennempå tværs, har 5-dobbelt rota-tions- og spejlingssymmetri.Det har en søstjerne også!

Pioneer & Adventurer!

24

151516

Fraktal stjerne


15

33

15

Snefnug


21

29

12

Spiralen i detgyldne snit

12 13

“To see a world in a grain of sand and heaven ina wild flower, hold infinity in the palm of yourhand and eternity in an hour.” —William Blake

Skygger fra den fjerde dimension

Skygge er et andet udtryk for projektion. De fleste skygger er flade (2-D) billeder af 3-D objekter. Med Zomekan du bygge 3-D skygger af 4-D objekter. Det er enkelt!

Brug de fladtrykte kvadrater (3)og (4) til at bygge en 2-D skyggeaf 3-D terningen. Ved at sam-menflette to sæt blå stænger (5),får du en ”umulig terning”.

Følg disse trin for at finde ud af, hvordan de fladtrykte terningerpasser sammen, så de danner en parallel 3-D skygge af en 4-Dterning! Hvor mange terninger går der til en 4-D terning?Kan du tælle dem alle i denne skygge?


18

16

8

226

Parallelskyggen afen hyperterning


8

8

4

Umulig terning

Hvis du holder et kvadratop (1) og lader det kasteskygge på gulvet, kan duskabe en sammenpressetskygge (2).

Du kan faktisk byggesådanne skygger i Zome– figur (3) og (4). Sammenmed det oprindeligekvadrat er disse former”skygger” af siderne påen 3-D terning.

¶

·

¹

º

¸

¶

·

º

¸

Interweave struts

© 1995 M.C. Escher / Cordon Art - Baarn -Holland. All rights reserved.

Interweave struts

Ligesom du harbygget en skygge afen terning ved hjælpaf fladtrykte firkan-ter, kan du bygge enparallel skygge af en 4-Dterning (5) ved hjælp affladtrykte firkanter (1) og (2)!

¹

15

Skygger fra den fjerde dimension

Følg disse trin for at finde ud af, hvordan du kan kaste “perspektivskygger” fra en 2-, 3- og 4-D terning.

Kast en perspektivskygge af etkvadrat, der ser ud som (1).

Du kan bygge skygger eller perspektivfirkanter som disse:

Byg derefter en 4-D perspek-tivskygge af en terning ved atsammensætte 3-D perspek-tivskygger af en terning.

Ved hjælp af en lomme-lygte kan du i et mørkt rumkaste en perspektivskyggefra en almindelig terning,der ser ud som (3).

Sammensæt nu de fire perspektivfirkanter, som duallerede har bygget (2), sådu får en perspektivskyggeaf en terning (4).

Ligesom du har bygget en skygge af enterning af perspektivfirkanter, kan dubygge en perspektivskygge af en 4-Dterning af perspektivterninger!

Byg først denne: det er en perspektivisk 3-D skygge af enalmindelig terning.


16

12

12

8

4-D perpektivskyggeaf en terning


8

4

4

4

3-D perspektivskyggeaf en terning


8

4

4

2

2

2-D perspektivskyggeaf en terning

Kast perspek-tivskygger meden lommelygte iet mørkt rum!

¶

·

Hvor mange firkanterudgør en terning? Kandu tælle dem alle i denneskygge?

En 4-D terning kaldes en hypertern-ing. En hyperterning kan kaste mangeforskellige 3-D skygger. Sammenligndenne model (2) med figur (5) på side15. Hvor mange terninger indeholderen hyperterning? Kan du tælle demalle i denne skygge?

¶

·¹

¸

© 1995 M.C. Escher / Cordon Art - Baarn - Holland. Allrights reserved.

16 17

A perspective cube structure from“Another World” by M.C. Escher.

3-dimensionelle former kaldes polyedre (mange overflader)

3-dimensionelle former

Virus relateres ofte til ikosaederet(20 overflader).

Fladtrykt virus (ikosaeder ”trykket fladt”langs aksen af den tredobbelte symmetri).

Elektronmikroskopisk scanning afkvasikrystallinsk Al-Cu-Ru.

Terningen forekommer ofte inaturen, eksempelvis somsalt- og sukkerkrystaller.

Ikke-levende krystaller tager ofte formsom en terning. Denne detalje framaleriet ”Octaval Complex” af ClarkRichert giver det periodiske system enren geometrisk struktur.

Bemærk: Figur (1) og (2) er set fra oven, de ligger ikke isamme plan. Se den endelige model (3)

5-krystal er et fladtrykt dodekaeder(12 overflader).

3-D shapes are called polyhedra many faces).


18

6

666

66


24

10

10

446

5-krystal

Fladtrykt virus


21

15 156

Fraktalterning

·

¸¶

·

¸

¹

¶

· ¸

¶

18 19

Flere 3-D modeller

Stjerneeksplosions dodekaeder Casa de abejas.

Stjerneeksplosions ikosaeder

Bikubemodellen er, ligesom en rigtig bikage,baseret på en 3-D sek-skant kaldet det rhom-biske dodekaeder (12diamantoverflader).

Bemærk: (1) viser detgrundlæg-gende mønsteraf bikuben setfra oven. Figur (2)viser det samme mønster set fra siden. Begynd med den mid-terste kugle (herover)

Zome Adventurer!

21

30

20

Zome Adventurer!13

30

12

Zome Adventurer!43

215

202019

Bikube

Stjerneeksplosionsdodekaeder

Byg endobbeltstjerneek-splosion!Det er etlillestjerneek-splosionsdodekaederinden i etstjerneek-splosionsikosaeder.Bemærk: Den midterstekugle har en mellemlang gul stang i hvert trekantethul og en lang rød stang i hvert femkantet hul.

Zome Adventurer!33

30

30

20

12

Dobbelt stjerneeksplosion

·

¶

·

¶

Bemærk:Den midterstekugle har en lang rød stang i hvertfemkantet hul.

Bemærk:Den midter-ste kuglehar en lang,gul stang ihvert trekantethul.

¸

¶

·

¹

20 21

Stjerneeksplosionsikosaeder

Konstruktion

Pyramiden er et eksempel på et oktet-gitter. Hvor mange tetraedre er der? Hvormange oktaedre kan du finde?

Broen er et eksempel på et gittersystem, eller et stift skelet, somofte udviser et regelmæssigt mønster.Kan du opfinde din egen bro? Hvilkeandre arkitektoniske former kan dubygge ved hjælp af gitre? Hvor højt ettårn kan du bygge?

Pyramiden of Giza, Egypt.

La Géode er tæt på at være færdig.Denne Buckminster Fullerene-agtigekuppel, som blev bygget i Paris i 1985,består af 1670 stål-trekanter.


18

415

88

4

Lille broZome Adventurer!

28

418 16

84

888

Stor bro


24

16

101010

Pyramide

Zome Adventurer!35

55

30

55

20

Kuppel

¸

¶

·

¸

¶·

¶

·¸

22

BibliographyBooks Available from ZomeBaer, Stephen C., Zome Primer, Zomeworks Corporation, 1972Burns, Marilyn, Math for Smarty Pants, Yolla Bolly Press, 1982, Carney, Steven, Invention Book, Workman Publishing Company, 1985Hart, George and Picciotto, Henri, Zome Geometry, Key Curriculum Press, 2000Kowalewski and Booth, Construction Games with Kepler’s Solids, Parker Courtney Press, 2001Salvadori, Mario, The Art of Construction, Chicago Review Press, 1979Schneider, Michael, A Beginner’s Guide to Constructing the Universe, Harper Perennial, 1995The Regents of the University of California, Bubble-ology, 1986Van Cleave, Janice, Geometry for Every Kid, John Wiley and Sons, 1994Van Loon, Borin, Geodesci Domes, Tarquin Publications, 2002Zome Teachers’ Association, Zome System Lesson Plans 1.0, Zometool Inc., 2002

From Your Library: Beginning ReadingAbbott, Edwin A., Flatland: A Romance in Many Dimensions, Dover, 1884Critchlow, Keith, Order in Space, Thames and HudsonCundy and Rollet, Mathematical Models, Tarquin Publications Ghyka, Matila, The Geometry of Art and Life, Dover, 1978 Hargittai, István & Magdolna, Symmetry, Shelter Publications, 1994Holden, Alan, Shapes, Space, and Symmetry, Dover, 1971Huntley, H.E., The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty, Dover 1970Manning, Henry, The 4th Dimension Simply Explained, Peter SmithMiyazaki, Koji, An Adventure in Multidimensional Space, Wiley Interscience, 1986Wenninger, Magnus J., Polyhedron Models, Cambridge University Press, 1974

From Your Library: Advanced ReadingCol. R.S. Beard, Patterns in Space, Creative PublicationsCoxeter, H.S.M., Regular Polytopes, Dover, 1973Doczi, György, The Power of Limits, Shambhala Publications, Inc., 1981Fuller, R.B., Synergetics, MacMillan, 1982Hargittai, István, FiveFold Symmetry, World Scientific, 1992Hargittai, István, Quasicrystals, Networks and Molecules of Fivefold Symmetry, 1990Kappraff, Jay, Connections: The Geometric Bridge Between Art & Science, McGraw Hill, 1991Le Corbusier, Le Modulor & Le Modulor 2, H.U.P., 1980Mandelbrot, Benoit, The Fractal Geometry of Nature, W.H. Friedman, 1982Manning, Henry, Geometry of Four Dimensions, DoverPearce, Peter, Structure in Nature, M.I.T. PressRobbin, Tony, Fourfield, Little, Brown and Co.Steinhardt, P. et al., The Physics of Quasicrystals, World Scientific Publications, 1987Thompson, D’Arcy W., On Growth and Form, Cambridge University Press, 1994Tóth, L. Fejes & I.N. Sneddon, Regular Figures, Franklin, 1964Wenninger, Magnus J., Dual Models, Cambridge University Press, 1983Wenninger, Magnus J., Spherical Models, Cambridge University Press, 1979

AcknowledgementsManual Concept Development, Copywriting, Editing and Compilation by Paul Hildebrandt, President, Zometool;Zometool Theory and Bibliography by Marc Pelletier, Co-Founder, Zometool; Design, Copywriting, Editing ofZometool Identity, Packaging and Collateral Material by Dale Hess, Spark Studios.

Our Most Heartfelt Thanks to: Will Ackel: Computer Illustrations and Custom Ray Tracing Software; Steve Baer andChris Kling: The Tetra Challenge Puzzle; W.A. Bentley and W.J. Humphreys: Snow Crystals, Dover Publications, Inc.,New York, 1962.; Woodcuts ©1995 M.C. Escher / Cordon Art - Baarn - Holland, all rights reserved; Photo of “LaGéode” courtesy of the City of Science and Industry, Paris, France; Magdolna and István Hargittai: Symmetry Textand Graphics; Yasu Kizaki: Books Available from Zome; H.U. Nissen: Quasicrystal Electron Micrography; ClarkRichert, Detail from Octaval Complex; Geoffrey Wheeler Photography: Bubble Models and Life Forms Photographs©1995; Robley C. Williams and Harold W. Fisher: Viruses Electron Micrography; Martin Wright: Scanning and 3-DTypography, Anni Wildung: knowing everything.

© 2003 Zometool Inc., 601 E. 48th Avenue, Denver, Colorado 80216 USA. For technical questions and ordering partsor sets, call 888-ZOMEFUN (888-966-3386) or address e-mail to [email protected], or visit our website atwww.zometool.com. U.S. Patent RE33785. 31-zone system discovered by Stephen C. Baer, Zomeworks Corp.,Albuquerque, NM USA. GreenLines discovered by Clark Richert, Denver, CO USA.

®

manual til zometool dansk

Documents