manual geogebra

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAO Superintendncia da Educao

Diretoria de Polticas e Programas Educacionais

Programa de Desenvolvimento Educacional

GEOGEBRA POSSIBILIDADES PARA O ENSINO DE MATEMTICA

CADERNO DE ATIVIDADES GEOMETRIA DINMICA MANUAL DO PROFESSOR

COLGIO ESTADUAL NEUSA DOMIT - UNIO DA VITRIA

PROFESSOR: REVELINO JOS PETLA

PROFESSOR:_____________________________________________________________

PARAN 2009

Colgio Estadual Neusa Domit Projeto Viva Escola 2009

Professor Revelino Jose Petla [email protected] PDE-2008

PLANO DE AO DOCENTE

UNIDADE 1 data______/________/2009.

Ttulo: GeoGebra possibilidades para o ensino de matemtica.

Assunto: Referencial terico e ambientao ao programa.

Durao: 8 horas.

Nvel: Mdio

Objetivos:

Conceituar Geometria dinmica atravs de recortes do referencial terico;

Identificar as principais propriedades inerentes geometria dinmica;

Apresentar o software Geogebra, com sua origem, criadores, disponibilidade de download;

Ambientao ao programa e suas ferramentas;

Contedo Programtico:

Captulo 2 da Unidade Didtica;

Metodologia:

Aula expositiva dialgica com o uso de projeo do texto e imagens via computador e/ou data show;

Uso de recursos instrucionais (apostila, Tv);

Utilizao do software Geogebra no ambiente computacional.

Ao didtica:

Primeiro momento: acolhida aos participantes os ambientado ao local, apresentao do curso e os objetivos pretendidos;

Segundo momento: disponibilizao on-line dos referenciais tericos, leitura do texto sugerido.

Terceiro momento: acesso ao Software Geogebra para reconhecimento da interface grfica, barra de ferramentas etc. Acesso a internet para a localizao da pgina dos desenvolvedores do software, explorando a possibilidade de seu uso tambm on-line, download do software.

Avaliao diagnstica:

Capacidade de argumentao com base no referencial terico;

Verificar individualmente a desenvoltura no ambiente computacional;

Anotar as principais dificuldades apresentadas, quanto ao uso do software;

Bibliografia: Unidade Didtica



2 - A DINMICA DA GEOMETRIA DINMICA

2.1- O que Geometria Dinmica?

A caracterstica dinmica aparece pela possibilidade de se passar de um desenho a outro

pelo deslocamento quase contnuo dos objetos livres. Com o dinamismo, as propriedades

geomtricas da figura aparecem como propriedades mecnicas dos desenhos. A percepo age sobre

as caractersticas dinmicas dos desenhos geomtricos.

O nome Geometria Dinmica (GD) hoje largamente utilizado para especificar a Geometria implementada

em computador, a qual permite que objetos sejam movidos mantendo-se todos os vnculos estabelecidos

inicialmente na construo. Este nome pode ser melhor entendido como oposio geometria tradicional de

rgua e compasso, que esttica, pois aps o aluno realizar uma construo, se ele desejar analis-la com

alguns dos objetos em outra disposio ter que construir um novo desenho. (ISOTANI, 2005).

O dinamismo obtido atravs de manipulao direta sobre as representaes que se apresentam na tela do

computador. Por exemplo: em geometria so os elementos de um desenho que so manipulveis; no estudo de

funes so objetos manipulveis que descrevem relao de crescimento/decrescimento entre as variveis

(GRAVINA & SANTAROSA, 1998).

Observa-se pelas definies que o consenso a possibilidade de movimentao dos entes

matemticos sem que estes percam suas propriedades, facilitando desta forma a possibilidade de

anlise de situaes antes nem imaginveis, apenas fazendo o uso de rgua e compasso. Dentre os

muitos sofwares de geometria dinmica daremos nfase ao Geogebra.

2.2- O Geogebra

Geogebra um programa livre de geometria dinmica criado por Markus Hohenwarter para

ser utilizado em ambiente de sala de aula, com incio do projeto em 2001 na University of Salzburg e

tem continuado o desenvolvimento na Florida Atlantic University.

Por ser um software livre, os colaboradores podem fazer alteraes em seus cdigos fontes

da maneira que necessitarem, melhorando, aprimorando atualizando ferramentas nele disponvel ou

acrescentando novas ferramentas, com o compromisso de disponibilizarem tais melhoramentos de

maneira livre tambm.

No Paran os laboratrios de informtica das escolas pblicas os chamados Laboratrios do

Paran Digital, rodam em suas mquinas uma verso do sistema operacional (OS) Linux,

desenvolvido pela Universidade Federal do Paran, e tambm a verso em portugus do Geogebra,

como j foi citado, por ser multiplataforma ele roda tanto em Linux quanto Windows facilitando sua

utilizao em qualquer ambiente.



Outro recurso muito interessante o GeoGebra Pre-Release onde se tem acesso ao

programa on-line, desta forma o usurio pode fazer o uso do programa sem ter que instal-lo na

mquina, como ele roda em mltiplas plataformas o aluno poder utiliz-lo tanto na escola como na

sua residncia, na lan-house, ou seja, em qualquer lugar que tenha acesso a um computador

conectado a internet e possua a mquina virtual Java instalada, caso contrrio ele pode fazer a

instalao pela prpria pgina do Geogebra.

A verso Web Start for Java 5 or 6, permite que se obtenha as atualizaes do programa a

cada vez que o mesmo utilizado conectado internet, oportunizando ao usurio usufruir de

ferramentas novas, correo de problemas internos do programa, uma vez que o Geogebra um

software livre qualquer programador pode fazer sua contribuio. Caso no esteja conectado a

internet a verso Pre-Realese funciona perfeitamente off-line.

O site GeoGebraWiki uma fonte de materiais educacionais livres para o aplicativo de

geometria dinmica GeoGebra. Uma pr-visualizao de alguns trabalhos criados com o aplicativo

podem ser encontradas na seo em portugus do prprio GeoGebraWiki1.

A figura abaixo mostra a pgina2 de acesso e estes recursos.

Figura 1- Pgina do Geogebra

O Geogebra um programa de geometria dinmica. Voc pode realizar construes

utilizando pontos, vetores, segmentos, retas, sees cnicas bem como funes e alterar todos esses

1 Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Geogebra Acessado: 10 de setembro de 2008 15h11min.

2 Fonte: http://www.geogebra.org/cms/index.php?option=com_content&task=blogcategory&id=74&Itemid=59 Acessado: 22 de

novembro de 2008 11h23min.



objetos dinamicamente aps a construo estar finalizada, explorando a parte geomtrica do

software.

Ainda podem ser includas equaes e coordenadas diretamente. Assim, o Geogebra capaz

de lidar com variveis para nmeros, vetores e pontos, derivar e integrar funes e ainda oferece

comandos para encontrar razes e pontos extremos de uma funo.

Deste modo, o programa rene as ferramentas tradicionais de geometria, com as mais

avanadas da lgebra e do clculo. Assim tem a vantagem didtica de apresentar, ao mesmo tempo,

duas representaes diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si: sua representao

geomtrica e sua representao algbrica.

Esta possibilidade de integrar em um mesmo software ferramentas de geometria e lgebra

configura ao Geogebra o local de destaque no campo de softwares educacionais aliado ainda a

condio de software livre e multiplataforma. A seguir segue um pequeno inventrio ferramentas

disponveis no Geogebra.

2.3- Conhecendo o Programa:

O Geogebra um programa bastante intuitivo e auto-explicativo, adequado a usurios com

conhecimentos avanados em informtica ou para iniciantes, sendo que o conhecimento

matemtico o ponto fundamental de sua utilizao. Por ser um software livre h colaborao de

vrios programadores inclusive brasileiros os quais disponibilizaram uma verso totalmente em

portugus, o que facilita muito sua utilizao em nosso pas.

2.4- Conhecendo a barra de ferramentas:

A janela apresentada abaixo a tela de trabalho do Geogebra, onde podem ser observados

na parte superior os botes das ferramentas disponveis, desta forma o trabalho desenvolvido

apenas com o uso do mouse, usando desta forma o aspecto geomtrico do programa. Na parte

inferior temos a janela de Entrada, neste caso os comandos so dados via teclado, desta forma

podem-se definir variveis, equaes, limites e outras tantas funes matemtica, ou seja, a parte

algbrica do software, um diferencial importante, visto que, pode-se desta forma, representar o

mesmo ente matemtico de duas maneiras, a geomtrica e a algbrica.



Figura 2- rea de trabalho do Geogebra

A barra de ferramenta (no detalhe) possui alm da funo apresentada, outras funes que

podem ser selecionadas via mouse, esta barra pode sofrer alteraes, pois constantemente est

sendo atualizado com outras ferramentas que tambm podem ser criadas pelo usurio.

As opes das ferramentas possuem descries que facilitam o uso e auxiliam na fixao da

definio matemtica do comando, desta forma o usurio ao mesmo tempo em que constri a figura

geomtrica estuda as suas propriedades.

Com o objetivo de explorar estas ferramentas no prximo encontro, sero propostas atividades que

serviro para aprimorar alguns conhecimentos matemticos e ambientar-se a utilizao do

programa, sendo que so possibilidades de utilizao do mesmo.

Figura 3 Barra de ferramentas

Figura 5- Opo das ferramentas

Figura 4- Opo das ferramentas



PLANO DE AO DOCENTE

UNIDADE 2 data______/________/2009.


Assunto: Ambientao ao programa desenvolvimento de atividades.

Durao: 8 horas.

Nvel: Mdio

Objetivos:

Ambientao ao programa e suas ferramentas;

Explorao dos recursos disponveis;

Retomada de conceitos matemticos


Atividades de ambientao s ferramentas do programa;

Atividades de explorao dos recursos disponveis;

Metodologia:




Ao didtica:

Primeiro momento: acolhida aos participantes, apresentao das atividades

Segundo momento: desenvolvimento das atividades no software

Terceiro momento: Discusso dos resultados encontrados e das consideraes apresentadas, mesa redonda para a socializao das idias, relatrio da atividade (mandado via e-mail)

Avaliao diagnstica:




Avaliao processual: Consistncia das consideraes no relatrio

Bibliografia: Unidade Didtica, livros de matemtica, apostila de conceitos bsicos de geometria



3.1- Atividades de ambientao s ferramentas do programa

Atividade 1.1 Trace uma reta que passa pelos pontos A e B.

Atividade 1.2 Construa um segmento de reta determinado por dois pontos cuja medida de 10 unidades.

ou

Atividade 1.3 Construa um hexgono (polgono com seis lados), identificando seus ngulos.

e

Atividade 1.4 Construa um tringulo e identifique seu incentro denominando-o de P. Nota: Incentro o ponto de encontro das bissetrizes de um tringulo.

Movimente os vrtices e verifique a manuteno da propriedade.

e e

Atividade 1.5 Construa um segmento AB e seu ponto mdio M. e

Atividade 1.6 Construa duas retas r e s paralelas. Construa agora uma reta t paralela e eqidistante s retas r e s.

e e

Atividade 1.7 Construa um quadriltero inscrito em uma circunferncia.

Movimentando os vrtices do quadriltero, quando ele se torna um quadrado.

e

Atividade 1.8 Construa um tringulo circunscrito a uma circunferncia. e e

Atividade 1.9 Construa duas circunferncias a e b, de tal forma que uma seja tangente interna da outra no ponto P.

e

Atividade 1.10 Faa a reflexo de um ponto atravs de uma reta. e e

Atividade 1.11

Usando a malha construa a letra F com a ferramenta ponto, faa a reflexo dela atravs de uma reta, movimente a reta e observe o que acontece. Duas maneiras de fazer a construo;

a) Ligue os pontos com a ferramenta segmento entre dois pontos

b) Ligue os pontos utilizando a ferramenta polgono

Faa a reflexo da figura pronta, o que pode ser observado? Qual a semelhana deste exerccio com os espelhos?



Das Atividades propostas

As atividades que seguem objetivam a explorao das potencialidades do software para dar

incio prtica de elaborar conjecturas e demonstraes.

Em cada exerccio existe uma legenda indicando qual a intencionalidade da atividade como

segue abaixo:

Conhecimento, aprofundamento terico, anlise matemtica, conceitos elementares

de matemtica ou dos recursos do software.

Questes avaliativas que devero ser enviadas por e-mail e dever ser resultado de

reflexes particulares, definies prontas podero ser utilizadas para confirmar as conjecturas

apresentadas pelo cursista.



Atividades de explorao dos recursos disponveis

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Atividade 2

1. Utilizando o boto 2(novo ponto) marcar 3 pontos A,B e C.

2. Utilizando o boto 3(reta definida por dois pontos) traar retas passando por AB, BC e AC;

3. Traar uma reta perpendicular ao segmento AB passando por C, utilizando o boto 4 (reta

perpendicular);

4. Construir o tringulo ABC fazendo uso do boto 4 (polgono);

5. Movimentar os vrtices do tringulo usando a ferramenta mover (boto 1);

6. Medir os ngulos internos do tringulo usando a ferramenta ngulo (boto 7);

7. Qual o valor da soma destes ngulos?(utilizando a janela de entrada montando uma expresso

algbrica para efetivar a soma).

8. Movimente novamente os vrtices e observe o resultado da soma.

QUE SE CONCLUI COM ISSO? (questo avaliativa enviar por e-mail)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Atividade 3

1. Construa um polgono regular (B5) de 4 lados; 2. Clicando com o boto direito, sobre a figura, entre em propriedades e altere a cor para azul; 3. Determine as bissetrizes dos ngulos e B (B4); 4. Marque o ponto de interseco entre as bissetrizes (B2); 5. Inscreva este quadrado em uma circunferncia com centro no ponto E (B6); 6. Abra a janela de lgebra (se for o caso) na barra de ferramentas exibir; 7. Determine a rea do crculo e do quadrado usando a ferramenta rea (B7) clicando sobre o crculo

depois sobre o quadrado; 8. Determinar a rea entre o crculo e o quadrado;

a) Observe que na janela de lgebra est escrito reag e poly1; b) No campo entrada digite reag-poly1 c) Na janela de lgebra aparecer o nmero h; d) Selecione a ferramenta de texto (B7) clicando em qualquer ponto da tela; e) Na janela aberta escreva rea_excedente= f) Depois clique sobre o numero h, acione a opo formula ltex e aplicar.

Movimente os vrtices e observe o que acontece.



Explorando conceitos matemticos por meio das ferramentas do software Geogebra.

1) Construa um segmento AB . Para isto preciso nome-lo.

a) Mea-o.

b) Construa sua mediatriz.

c) Sobre a mediatriz marque o ponto C.

d) Construa os segmentos e , em propriedades, exibir rtulo nome e valor.

e) Movimente o ponto C sobre a mediatriz, movimente os pontos A e depois o B observando o valor dos

segmentos.

DEFINA MEDIATRIZ. (Questo avaliativa enviar por e-mail)

2) Construa um segmento com uma medida de 3 cm.

a) Para fins de conferncia, mea-o.

b) Encontre seu ponto mdio.

b) Nomeie de A e B.

c) Construa uma circunferncia com centro em A e passando por B.

d) Clique em A e tente diminuir o raio. Clique em B e tente diminuir o raio. Clique sobre a circunferncia e tente

alterar o raio. Conseguiu?

e) Construa outra circunferncia definida pelo centro e um de seus pontos. Nomeie os pontos centro D e outro

ponto E. Clique sobre E e movimente-o. Clique sobre D e movimente-o. Clique sobre a circunferncia e

movimente-a.

O que voc percebeu de diferente em relao situao do item d.



PLANO DE AO DOCENTE

UNIDADE 3 data______/________/2009.


Assunto: Teoremas

Durao: 8 horas.

Nvel: Mdio

Objetivos:

Construir os teoremas com base nos enunciados;

Enunciar teoremas a partir de construes geomtricas.


Comandos Geomtricos - Atividades de aprofundamento

Teorema dos pontos mdios;

Elementos notveis de um tringulo

Propriedade do baricentro;

Metodologia:




Ao didtica:




Avaliao diagnstica:









Objetiva-se com essas atividades a apresentao de alguns teoremas e aprofundar conceitos matemticos por

intermdio do processo investigativo levando o aluno a elaborar conjecturas.

Assunto: Teorema dos pontos mdios

Teorema um termo introduzido por Euclides, em Elementos, para significar "afirmao que pode ser

provada". Desta forma o teorema dos pontos mdios permite que faamos uma afirmao por meio de uma

comprovao, que segue abaixo: Qual seria esta afirmao?

a) Crie um tringulo ABC (menu criao-tringulo)

b) Obtenha o ponto mdio do lado AB (menu construo-ponto mdio). Nome-lo de M

c) Obtenha o ponto mdio de AC. Nome-lo de N.

d) Crie o segmento MN e a seguir mea-o. Mea o lado BC do tringulo.

e) Movimente A, B ou C e observe as medidas de MN e de BC.

Descubra uma relao entre as medidas dos lados MN e BC.

Assunto: Obtendo o baricentro de um tringulo

Baricentro ou Centro de gravidade representado pela letra G. O baricentro de uma figura o ponto por onde

passa a resultante da fora-peso. Em figuras regulares fcil determinar o baricentro, porque estas possuem

eixos de simetria e o centro de gravidade est no cruzamento desses eixos

a) Crie um tringulo ABC.

b) Obtenha M, o ponto mdio de , e, a seguir, crie o segmento .

OBS: O segmento recebe o nome de mediana do tringulo relativa ao vrtice C.

c) Crie a mediana do tringulo.

d) Obtenha a interseo das medianas e . Nomeie o ponto de interseco de G.

e) Obtenha P, o ponto mdio de , e, a seguir, crie a terceira mediana .

e) Movimente A, B ou C para verificar que as trs medianas passam pelo mesmo ponto G.

OBS: Esse ponto recebe o nome de baricentro.

f) Crie os segmentos e e mea-os. Qual a razo AG/GP?

g) Movimente A, B ou C. Como se comporta a razo AG/GP?

h) Crie os segmentos e e mea-os. Qual a razo MG/GC? igual a razo AG/GP?

i) Crie os segmentos e e mea-os. Qual a razo BG/GN? Ela igual s razes AG/GP e MG/GC?

Movimente em um dos pontos A, B ou C e investigue sobre as razes.



Assunto: Obtendo o circuncentro de um tringulo

O circuncentro a interseco das retas perpendiculares s mediatrizes dos lados de um tringulo. deste

ponto que se pode desenhar uma circunferncia circunscrita ao tringulo,que ir tangenciar os seus vrtices.


b) Construa a mediatriz do lado .

c) Construa a mediatriz do lado .

d) Obtenha a interseco H das duas mediatrizes.

e) Construa a mediatriz do lado . Movimente um dos pontos, A, B ou C. O que voc observa em relao s

mediatrizes?

f) Crie uma circunferncia de centro H e raio .

g) Movimente A ou B ou C.

O que voc pode constatar sobre a relao entre a circunferncia e o tringulo?

Assunto: Construindo a bissetriz de um ngulo

Bissetriz de um triangulo um segmento com extremidade num vrtice e no lado oposto e que divide o ngulo

desse vrtice em dois ngulos congruentes

a) Crie trs pontos, A, B e C, no-alinhados.

b) Crie a reta que passa por A e C.

c) Construa a bissetriz do ngulo .

d) Obtenha um ponto D sobre a bissetriz.

e) Marque os ngulos e .

f) Movimente o ponto B e observe os ngulos e .

g) Pelo ponto D, trace uma reta perpendicular reta . Obtenha, a seguir, o ponto de interseco R dessas

duas retas.

h) Pelo ponto D, trace uma reta perpendicular reta . Obtenha, a seguir, o ponto de interseo S dessas

duas retas.

i) Crie os segmentos e e mea-os.

j) Movimente o ponto D e observe as medidas dos segmentos e .

Enuncie as propriedades observadas, definindo o que vem a ser bissetriz.



Assunto: Obtendo o incentro de um tringulo

Em um tringulo h trs bissetrizes internas, sendo que o ponto de interseo delas chama-se incentro. O

crculo que tem o incentro como centro e tangente aos trs lados do tringulo denominado crculo inscrito.

a) Construa um tringulo ABC.

b) Construa a bissetriz do ngulo .

c) Construa a bissetriz do angulo .

d) Obtenha a interseco I das duas bissetrizes.

e) Construa a bissetriz do ngulo e observe que elas se interceptam no mesmo ponto.

OBS: Esse ponto recebe o nome de incentro.

f) Esconda as trs bissetrizes e deixe apenas o ponto I.

g) Pelo ponto I, trace uma reta perpendicular ao lado do tringulo.

h) Crie o ponto T, interseco da reta com o segmento .

i) Construa uma circunferncia de centro I e raio .

Movimente A, B ou C e observe a circunferncia.

Assunto: Obtendo o ortocentro de um tringulo

O ortocentro o ponto onde se interceptam as 3 alturas de um tringulo, isto , as perpendiculares traadas

desde os vrtices at aos lados opostos (ou seus prolongamentos).


b) Pelo ponto A, trace uma perpendicular a .

c) Pelo ponto B, trace uma perpendicular a .

d) Crie o ponto O na interseco dessas retas.

e) Pelo ponto C, trace uma reta perpendicular a .

f) Movimente um dos pontos, A, B ou C, para verificar que as trs retas passam pelo mesmo ponto O.

OBS: Esse ponto recebe o nome de ortocentro do tringulo.

g) Movimente um dos pontos, A, B ou C, e observe a posio do ortocentro em relao ao tringulo.

Em que situaes o ortocentro interno ao tringulo, existe alguma relao entre a forma do tringulo

e esta localizao?



Assunto: Propriedade do baricentro

Todo corpo formado por um grande nmero de minsculas partculas. Cada partcula est submetida ao seu

peso, que atua na vertical para baixo. A resultante de todas essas foras o peso total do corpo, e o ponto de

aplicao de uma fora para equilibrar essa resultante chama-se centro de gravidade (c.d.g.). Este ponto

tambm chamado de baricentro. A seqncia abaixo permite que voc encontre o centro de gravidade de um

tringulo, que possui uma propriedade especial, demonstre qual ?

a) Construa um tringulo ABC.

b) Construa as medianas BM e CN. Nomeie de G o baricentro do tringulo.

c) Construa a mediana AP.

d) Crie os segmentos AG e GP e mea-os.

e) Movimente A, B ou C para investigar a razo AG/GP.

Voc j tinha construdo o baricentro em outro exerccio, agora elabore uma definio de

baricentro relacionando as outras propriedades observadas em relao s razes dos segmentos.

Assunto: Ponto e tringulo

Um ponto pode assumir trs posies em relao a uma figura plana, ele pode estar interno a esta figura,

externo ou ainda sobre a linha que delimita tal figura. Considerando isso desenvolva as atividades abaixo.

a) Construir um tringulo eqiltero ABC, com o ponto P interno a ele.

Onde deve ser colocado tal ponto para que seja eqidistante aos vrtices?

b) Se o tringulo for um triangulo qualquer, mudar tal posio?

Justifique suas respostas.



PLANO DE AO DOCENTE

UNIDADE 4 data______/________/2009.


Assunto: Teoremas

Durao: 8 horas.

Nvel: Mdio

Objetivos:





A reta de Euler

Roscea de quatro ptalas

Metodologia:




Ao didtica:




Avaliao diagnstica:








Assunto: A reta de Euler

Leonhard Paul Euler (Basilia, 15 de Abril de 1707 - So Petersburgo, 18 de Setembro de 1783) foi um

matemtico e fsico suo de lngua alem que passou a maior parte de sua vida na Rssia e na Alemanha. Euler

fez importantes descobertas em campos variados nos Clculos e muitas contribuies para a matemtica

moderna no campo da terminologia e notao, em especial para as anlises matemticas, como a noo de

uma funo matemtica. Alm disso, ficou famoso por seus trabalhos em mecnica, ptica, e astronomia. Euler

considerado o proeminente matemtico do sculo XVIII.

Dentre muitas descobertas e contribuies est a reta de Euler cuja construo segue a seguir:

a) Construa um tringulo MNP

b) Construa duas medianas para encontrar o baricentro B do tringulo.

c) Esconda as medianas deixando apenas o ponto B. (opo mostrar/esconder objetos)

d) Construa duas alturas para encontrar o ortocentro O do tringulo.

e) Esconda as medianas deixando apenas o ponto O. (opo mostrar/esconder objetos)

f) Construa duas mediatrizes para encontrar o circuncentro C.

g) Esconda as medianas deixando apenas o ponto C. (opo mostrar/esconder objetos)

h) Movimente um dos vrtices M, N ou P e investigue a posio relativa dos pontos B, O e C.

i) Crie os segmentos OB e OC e mea-os. Investigue a razo OB/BC.

j) Movimente os pontos M, N ou P de modo que o baricentro, o ortocentro e o circuncentro

coincidam.

Qual relao pode ser observada entre os pontos B, O e C, quando estes pontos so coincidentes



Assunto: Roscea de quatro ptalas

A Roscea a figura simtrica resultante da unio entre um nmero de circunferncias, todas elas de raios

iguais distncia entre dois centros de duas circunferncias e que revela uma analogia com a rosa. Ento

podemos construir uma rosa com quatro ptalas. possvel fazer com mais ptalas?

a) Utilize a visualizao dos eixos

b) Atribua um valor qualquer na caixa de entrada, este valor servir como raio da circunferncia,

exemplo b=3, este valor ir apenas ser indicado na janela de lgebra.

c) Marque sobre o eixo das abscissas um ponto A;

d) Construa um crculo de centro A e raio b;

e) Usando a ferramenta interseo entre dois objetos, indique a interseo da circunferncia com o eixo

das ordenadas;

f) Indique a interseo entre os EixoX e EixoY;

g) Crie um segmento de AC e outro de AB;

h) Crie uma reta perpendicular AC passando por D (ponto de interseo dos eixos), faa o mesmo com o

segmento AB.

i) Indique a interseo dos segmentos com as perpendiculares; Pontos E e F

j) Selecione a ferramenta lugar geomtrico, em seguida clique em E depois em A nesta ordem;

k) Repita o procedimento clicando em F depois em A, para criar a parte debaixo da roscea.

l) Caso no seja construda as ptalas habilite o rastro dos pontos E e F e movimente o ponto A.

Como deveria ser a construo para que se conseguisse mais ptalas?



PLANO DE AO DOCENTE

UNIDADE 5 data______/________/2009.


Assunto: Teoremas

Durao: 8 horas.

Nvel: Mdio

Objetivos:





Cisside de Diocles

Teorema de Pitgoras

As pequenas Lnulas de Hipcrates

Metodologia:




Ao didtica:




Avaliao diagnstica:








Assunto: Cisside de Diocles

Cisside o nome dado por Geminus (sc. I a.C.), nos seus comentrios ao livro de Arquimedes "Sobre a Esfera

e o Cilindro". Geminus atribui a Diocles a inveno desta curva como contribuio para a resoluo do

problema clssico da Duplicao do Cubo. Com esta curva, possvel determinar dois meios proporcionais

entre dois segmentos dados, e esta determinao, como foi demonstrado por Hipcrates de Quios (c.470-c.

410 a.C.), suficiente para obter a duplicao do cubo. Ficou curioso para saber como ?

Segue abaixo a seqncia para a construo desta curva e muito interessante o seu formato

a) Determine um seletor qualquer (nmero a, que ser utilizado como raio do circulo);

b) Determine a interseo entre os EixoX e EixoY (pontoA);

c) Construa um circulo c com centro em A e raio a;

d) Construa outro crculo d com centro em A e raio 2a;

e) Determine a interseo do circulo d com o EixoY;

f) Faa as retas tangentes ao circulo c passando por B

g) Crie um ponto qualquer (C) sobre a reta tangente e

h) Determine uma reta (f) passando por C e A

i) Determine a interseo do crculo c e a reta f (ponto D e ponto E)

j) Determine um segmento definido pelos pontos D e C (segmento g)

k) Com a ferramenta circulo definido pelo centro e raio, construa um circulo (h) com centro em A e raio

g;

l) Determine a interseo entre o circulo h e a reta f

m) Determine o lugar geomtrico selecionando o ponto F e depois o C;

n) Faa o mesmo para o ponto G (seleciona G e depois C)

O lugar geomtrico de F e de G quando C se move sobre a reta e uma curva chamada Cisside de

Diocles.

Na sua construo voc utilizou em sua maior parte o segundo e o quarto quadrante, qual

seria o procedimento para se construir a curva simtrica a primeira construo, ou seja, uma cisside

dupla?



Assunto: Teorema de Pitgoras

Na Grcia, por volta do sculo VI a.C., Pitgoras (580-500 a.C.) fundou uma escola mstica secreta chamada

Escola Pitagrica. Os membros desta sociedade, os pitagricos, tinham uma filosofia de vida em que os

nmeros apresentavam importncia fundamental: a harmonia do universo, o movimento dos planetas, a vida

animal e vegetal, o som, a luz, tudo isso s podia ser explicado atravs dos nmeros.

Porm, a descoberta do famoso teorema em todo e qualquer tringulo retngulo o quadrado da medida da

hipotenusa igual soma dos quadrados das medidas dos catetos, levou os pitagricos a uma nova

descoberta que iria abalar os seus princpios a respeito dos nmeros.

Eles conheciam os nmeros inteiros e as fraes; estas no eram consideradas nmeros, mas representavam

comparaes entre grandezas de mesma espcie. Observaram que, num quadrado, a razo entre a medida "D"

da diagonal e a medida "L" do lado no poderia ser escrita como uma frao. Para eles, essa situao

contrariava a idia de que tudo poderia ser expresso por uma relao de nmeros. Assim, juraram nunca

revelar a estranhos a existncia desse fato inexprimvel, o qual eles chamaram de alogon. Menos de um sculo

depois, o segredo dos pitagricos tornou-se conhecido de todos os pensadores, e o advento dos nmeros

irracionais marca o declnio da Escola Pitagrica como sistema de filosofia natural. Fonte: http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/teopitago/index.htm

a) Construa um segmento ;

b) Determine uma reta perpendicular b a este segmento passando por B;

c) Marque sobre a perpendicular um ponto C;

d) Construa o segmento , e o segmento , desta forma voc construiu um tringulo

retngulo em B,

e) Oculte a reta perpendicular b;

f) Utilizando a ferramenta polgono regular, construa trs quadrados tendo como base os lados

do tringulo;

g) Determine a rea de cada um dos quadrados;

Qual a concluso que esta construo permite enunciar?

Assunto: As pequenas Lnulas de Hipcrates

A demonstrao do teorema de Pitgoras fazendo o uso de quadrados e tringulos muito comum, porm

existem outras formas de fazer tal demonstrao, as Lnulas (luas) de Hipcrates uma destas formas,

construindo semicrculos cujos dimetros correspondam aos catetos e a hipotenusa de um tringulo retngulo,

onde a soma das reas dos semicrculos menores igual rea do semicrculo maior.

a) Construa um segmento ;

b) Determine seu ponto mdio;

c) Usando a ferramenta Setor Circular definido pelo Centro e Dois Pontos, construa um setor com centro

em C e extremos em B e A;

d) Crie um ponto D sobre o setor;

e) Construa os segmentos e .



f) Determine o ponto mdio destes segmentos;

g) Usando a ferramenta Setor Circular definido pelo Centro e Dois Pontos, construa um setor com centro

em E e extremos em D e A;

h) Usando a ferramenta Setor Circular definido pelo Centro e Dois Pontos, construa um setor com centro

em F e extremos em B e D;

i) Determine a rea de cada setor utilizando a ferramenta rea;

Movimentando-se o ponto D sobre o setor o que se pode concluir?



PLANO DE AO DOCENTE

UNIDADE 6 data______/________/2009.


Assunto: Teoremas

Durao: 8 horas.

Nvel: Mdio

Objetivos:

Elucidar problemas fazendo o uso de conceitos matemticos.


Atividades recreativas e interessantes utilizando o Geogebra;

Logstica Onde construo meu depsito?

Metodologia:




Ao didtica:




Avaliao diagnstica:








Atividades recreativas e interessantes utilizando o Geogebra:

A Ilha do Tesouro: Dois Problemas, Duas Solues

Problema 1 - Jess A. P. Snchez

O problema a seguir foi inspirado numa histria do livro Um, dois, trs, ..., infinito de George Gamow.

Era uma vez dois irmos aventureiros que encontraram, no ba das lembranas de seu bisav, o mapa

de um tesouro, juntamente com as instrues para localiz-lo.

O tesouro estava numa ilha, cuja localizao estava descrita de forma clara; encontrada a ilha,

deveriam procurar um campo aberto com um grande espao arenoso, perfeitamente circular. No exterior do

dito crculo encontrariam numerosas palmeiras alinhadas ao longo de uma reta. Deveriam, ento, procurar a

palmeira com um desenho geomtrico no seu tronco e, partindo de sua base, traar as tangentes pista

circular, chamando de T1 e T2 os pontos de tangncia. A seguir, deveria traar tambm o dimetro, AM, da

circunferncia fronteira da clareira, perpendicular reta das palmeiras.

Encontrariam o tesouro enterrado exatamente no ponto de interseco de

com o segmento que liga T1 a T2

Os jovens viajaram muito contentes at a ilha, levando cordas e outras ferramentas necessrias.

L estavam formosa plancie, a grande clareira circular e a comprida fila de belas palmeiras. Mas todas as

palmeiras apresentavam figuras geomtricas nos seus grossos troncos!

Esse inesperado fato derrubou todos os planos. No sabia qual era o ponto inicial e, sem ele,

imaginaram que o trabalho seria gigantesco ou impossvel. Dessa forma tiveram de voltar com as mos

vazias...

Entretanto, se aqueles aventureiros soubessem um pouco de Geometria, teriam escolhido uma

palmeira qualquer da fila, como ponto inicial, e teriam encontrado o tesouro. Por qu?

Fonte: RPM- Revista do Professor de Matemtica, Ed. 47



Problema 2 - Jos Paulo Q. Carneiro

O problema a seguir foi inspirado em um exerccio do livro Polynomials, de E. J. Barbeau, e foi apresentado a

professores do ensino mdio, alunos de um curso, de formao continuada, sobre nmeros complexos.

Dois piratas decidem enterrar um tesouro em uma ilha. Escolhem como pontos de referncia, uma rvore e

duas pedras. Comeando na rvore, medem o nmero de passos at a primeira pedra. Em seguida, dobram,

segundo um ngulo de 90o, direita e caminham o mesmo nmero de passos at alcanar um ponto, onde

fazem uma marca. Voltam rvore, medem o nmero de passos desde a rvore at a segunda pedra, dobram

esquerda, segundo um ngulo de 90o, e caminham o mesmo nmero de passos at alcanar um ponto, onde

fazem outra marca. Finalmente, enterram o tesouro exatamente no ponto mdio entre as duas marcas.

Anos mais tarde, os dois piratas voltam ilha e decidem desenterrar o tesouro, mas, para sua decepo,

constatam que a rvore no existe mais (o vento, a chuva e os depredadores a haviam arrancado). Ento um

dos piratas decide arriscar. Escolhe ao acaso um ponto da ilha e diz: "Vamos imaginar que a rvore estivesse

aqui." Repete ento os mesmos procedimentos de quando havia enterrado o tesouro: conta os passos at a

primeira pedra, dobra direita, etc., e encontra o tesouro.

Fonte: RPM- Revista do Professor de Matemtica, Ed. 47

A pergunta : esse pirata era sortudo ou um matemtico?



Assunto: Logstica Onde construo meu depsito?

DEPSITO

Uma empresa possui trs pontos de vendas em locais diferentes, ela deve construir um depsito em um ponto

que se situe a mesma distncia dos pontos de venda. Para que possa transportar o produto de maneira mais

econmica, visto que o preo final do produto leva em considerao o frete entre o depsito e o ponto de

venda em funo da quilometragem.

Qual deve ser a posio do depsito para que o preo final seja o mesmo entre os trs pontos de

venda?



PLANO DE AO DOCENTE

UNIDADE 7 data______/________/2009.


Assunto: Teoremas

Durao: 8 horas.

Nvel: Mdio

Objetivos:

Explorar as possibilidades de uso algbrico do software


Comandos algbricos - Utilizaes do Geogebra para construir grfico de funes

Funo linear

Sistemas de Equao do 1 grau

Resoluo de exerccios de geometria analtica

Metodologia:




Ao didtica:




Avaliao diagnstica:








Comandos algbricos - Utilizaes do Geogebra para construir grfico de funes

Para confeccionar grfico de funes necessrio que se utilize a ferramenta visualizar eixos, para

tornar possvel a interpretao dos resultados obtidos, tambm aconselhvel que a janela de lgebra seja

acionada para que se possa acompanhar as funes e pontos que esto sendo formados.

Atividades para a ambientao dos comandos algbricos:

Assunto: Funo linear

Chama-se funo polinomial do 1 grau, ou funo afim, a qualquer funo f de IR em IR dada por uma lei da

forma f(x) = ax + b, onde a e b so nmeros reais dados e a 0. Na funo f(x) = ax + b, o nmero a chamado

de coeficiente de x e o nmero b chamado termo constante.

a) Acione as ferramentas exibir eixos e janela de lgebra;

b) Insira dois seletores a e b

c) Na janela de entrada defina a funo f(x)=a*x+b (enter)

d) Ser construdo o grfico da funo, movimente os seletores e observe o aspecto da reta;

Faa uma anlise das principais modificaes ocorridas em funo da movimentao dos valores,

Em que circunstncias a reta f ficar paralela ao eixo x?

1) Uma pessoa vai escolher um plano de sade entre duas opes: A e B

- O plano A cobra R$ 100,00 de inscrio e R$ 50,00 por consulta num certo perodo.

- O plano B cobra R$ 180,00 de inscrio e R$ 40,00 por consulta no mesmo perodo

O gasto total de cada plano dado em funo do nmero x de consultas, desta forma em que

condies: o Plano A mais econmico; o plano B mais econmico; os dois so equivalentes.



Assunto: Funo horria da velocidade

A funo horria da velocidade (v=vo+at) uma funo de 1 grau, desta forma o grfico gerado uma reta,

onde o deslocamento escalar do mvel numericamente igual a rea compreendida entre a linha do grfico e

o eixo das abscissas.

1) Considerando que o crescimento de uma pessoa o deslocamento sofrido durante um intervalo de

tempo e que segue a funo horria da velocidade. Suponha que uma pessoa que tenha nascido com 50

cm, e que sua curva de crescimento obedea exatamente o grfico abaixo. Qual seria a altura dela ao

completar 15 anos?

2) O grfico a seguir representa aproximadamente a velocidade de um atleta em funo do tempo em

uma competio olmpica. Qual a distncia percorrida durante os 20 s?



Assunto: Sistemas de Equao do 1 grau

Uma equao do primeiro grau, aquela em que todas as incgnitas esto elevadas potncia 1. Este tipo de

equao poder ter mais do que uma incgnita. Um sistema de equaes do primeiro grau em duas incgnitas

x e y, um conjunto formado por duas equaes do primeiro grau nessas duas incgnitas.

A soluo geomtrica de um sistema dado pela interseco das retas

a) Na janela de entrada defina os valores de a=1 e b=-2

b) Defina a funo f(x)=a x+b

c) Na janela de entrada defina os valores de p=0,2 e m=2

d) Defina a funo g(x)= p x+m

e) Determine x para que f(x)=g(x), para isso basta determinar a interseo entre as funes;

Este exerccio pode ser feito utilizando seletores, como seria a construo disto?



PLANO DE AO DOCENTE

UNIDADE 8 data______/________/2009.


Assunto: Teoremas

Durao: 8 horas.

Nvel: Mdio

Objetivos:

Explorar as possibilidades de uso algbrico do software


Comandos algbricos - Utilizaes do Geogebra para construir grfico de funes;

Domnio de uma funo real;

Assunto: Funo Composta

Metodologia:




Ao didtica:




Avaliao diagnstica:





Bibliografia: Unidade Didtica, livros de matemtica, apostila de elementos bsicos de geometria.



Assunto: Domnio de uma funo real

Dada a lei da funo matemtica consideramos o domnio A e o contradomnio B=IR de forma que A C IR

definida por f: AIR.

Assim para verificar a existncia de uma funo podemos fazer o uso do Geogebra para que atravs da

construo grfica possa se verificar tal existncia. Para isso fazemos o uso da janela de lgebra e da caixa de

Entrada

Verificar o domnio das seguintes funes:

a) f(x)= 1/(x-6)

b) h(x)= (x+1)/x

c) g(x) =

d) fazendo as construes grficas, o que pode ser observado.

Anotaes:

Assunto: Funo Composta

possvel determinar o valor numrico de uma funo composta fazendo o uso da janela de entrada definindo

as funes e depois as composies. Deve-se digitar na janela de entrada as expresses como escrita

normalmente. Cada parntese aberto deve ser fechado.

Sejam as funes f(x)= x - 2x + 1 e g(x)= 2x +1 determinar:

a)f(g(1)) b)g(f(2)

Para fazer a composio das funes digita-se a composio que o programa criar o grfico correspondente.

Anotaes:



PLANO DE AO DOCENTE

UNIDADE 9 data______/________/2009.


Assunto: Teoremas

Durao: 8 horas.

Nvel: Mdio

Objetivos:

Explorar as possibilidades de uso algbrico do software;

Anlise dos grficos para tomada de decises



Funo Afim

Metodologia:




Ao didtica:




Avaliao diagnstica:








Assunto: Funo Afim

A utilizao do programa no auxlio da resoluo de problemas envolvendo funes afins permite a

possibilidade de anlise de resultados e o teste das hipteses, sendo o ponto forte a visualizao da construo

grfica.

Uma pessoa vai escolher um plano de sade entre duas opes A e B.

- O plano A cobra R$ 100,00 de inscrio e R$ 50,00 por consulta em certo perodo.

- O plano B cobra R$ 180,00 de inscrio e R$ 40,00 por consulta no mesmo perodo.

O gasto total de cada plano dado em funo do nmero x de consultas, considerando isso possvel

determinar em quais condies pode-se afirmar que o plano A mais econmico, e em qual situao eles so

equivalentes.

Anotaes:

(Unicamp-SP) Trs planos de telefonia celular so apresentados na tabela abaixo:

Plano Custo fixo mensal Custo adicional por minuto

A R$ 35,00 R$ 0,50

B R$ 20,00 R$ 0,80

C R$ 0,00 R$ 1,20

Fazendo a anlise dos planos e seus respectivos custos, qual seria o plano mais econmico para uma pessoa

que tem em mdia um consumo de 25 minutos ao ms? Elabore um estudo levando-se em conta o plano mais

econmico para um consumo de x minutos.

Anotaes:



PLANO DE AO DOCENTE

UNIDADE 10 data______/________/2009.


Assunto: Teoremas

Durao: 8 horas.

Nvel: Mdio

Objetivos:

Explorar as possibilidades de uso algbrico do software;

Construir a representao geomtrica a partir da definio de conceitos matemticos.

Construir a representao geomtrica a partir das equaes algbricas.



Funo Quadrtica

Metodologia:




Ao didtica:




Avaliao diagnstica:








Assunto: Funo Quadrtica

O Geogebra permite que se determinem as razes de uma funo, seja ela quadrtica ou de um grau maior,

para isso utiliza-se o comando Raiz [funo] anteriormente definida;

Construir e analisar o grfico da funo f(x)=ax+bx+c onde a, b e c so nmeros reais e ao.

Roteiro da atividade utilizando o programa GEOGEBRA:

Obs: Considera-se (B#) boto nmero #

1. No campo de entrada de os valores a=1, b=2 e c=3;

2. Clique com o boto direito sobre a e marque exibir objeto, e faa o mesmo para b e c;

3. Crie um novo ponto sobre o eixo x, (B2) que vai receber o nome de A;

4. No campo de entrada digite d= a*x(A)^2+b*x(A)+c, digite enter;

5. Transferir o valor de d para o eixo y. No campo de entrada digite (0,d);

6. Use a opo reta perpendicular (B4), traando uma reta perpendicular ao eixo y passando por B e

outra passando por A e perpendicular ao eixo x;

7. Selecione a opo interseco de dois objetos (B2), marcando a interseco entre as perpendiculares;

8. Selecione segmento definido por dois pontos (B3), a seguir una os pontos A at C e B at C;

9. Esconda as retas perpendiculares selecionando a opo exibir/esconder objetos clicando sobre elas;

10. Selecione a opo mover (B1), clique com o boto direito sobre o segmento h e em propriedades

mude o estilo do trao para pontilhado faa isso tambm no segmento g;

11. Clique com o boto direito sobre o ponto C e selecione habilitar rastro;

12. Movimente o ponto A sobre o eixo x:

O que voc observa?

Qual o nome desta curva?

13. Desabilite habilitar rastro e selecione a opo lugar geomtrico (B6), clique sobre C e depois sobre A

nesta ordem;

14. No campo de entrada digite a*x^2+b*x+c, digitando enter, ento ser construdo o grfico da funo

f(x)=ax+bx+c;

15. Selecione mover (B1) e movimente os pontos a, b e c que esto na tela, vale lembrar que eles so os

coeficientes da funo quadrtica;

O que acontece quando a=0?

Qual o aspecto da parbola quando a>0?

Se valor de b=0 qual a caracterstica principal da curva?

No caso do valor do c=0 o que acontece?

Gora e pr cab se b=0 e c=0 que acontece? (usando a linguagem do aluno).



Bibliografia

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manual geogebra

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