manual dibujotecnico topografia

DIBUJO TCNICO Y

TOPOGRAFA

(Nivel 1)

Dibujo tcnico y topografa nivel 2

1

ndice de Contenidos

INTRODUCCIN A LA COMPETENCIA DEFINIDA COMO DIBUJO TCNICO Y TOPOGRAFIA.................................................................... 3

1. GEOMETRA Y TRIGONOMETRA. ................................................ 5

2. METODOS TOPOGRAFICOS. CONCEPTOS GENERALES: NIVELACIN, PLANIMETRA, TAQUIMETRA................................... 31

2.1. Radiacin: ......................................................................................... 34

2.2. Itinerarios o Poligonales:..................................................................... 34

2.3. Interseccin:...................................................................................... 34

3. INTERPRETACIN DE PLANOS: CARTAS, MAPAS Y PLANOS. ESCALAS. REPRESENTACIN E INTERPRETACIN DEL RELIEVE. CURVAS DE NIVEL............................................................................. 38

Clasificacin de mapas................................................................................... 40 Mapas generales o de referencia.............................................................................. 40 Mapas planimtricos: .............................................................................................. 41 Mapas especiales o temticos. ........................................................................... 44

El concepto de escala ................................................................................ 49

Las formas de escala ................................................................................. 52 Escala numrica .................................................................................................. 52 Expresin de escala............................................................................................. 53 Escala grfica o lineal ......................................................................................... 53 Variaciones de la escala grfica ......................................................................... 55 Retculados .......................................................................................................... 55 Formas comparativas.......................................................................................... 56 Separacin de paralelos...................................................................................... 56 Factor de escala .................................................................................................. 57 Escala de superficie............................................................................................. 58 Escala variable..................................................................................................... 59 Otras escalas ....................................................................................................... 59

Cambio de escala....................................................................................... 59

Geodesia - La forma de la Tierra............................................................... 61

Las proyecciones cartogrficas................................................................. 63

Representacin e interpretacin del Relieve ........................................... 66 Valores puntuales................................................................................................ 66 Isolneas .............................................................................................................. 70 Normales.............................................................................................................. 79 Otras tcnicas para mostrar el relieve............................................................... 80


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4. LAS TCNICAS DE DIBUJO TCNICO DE PERSPECTIVAS, SECCIONES Y ESTRUCTURA.............................................................. 84

5. DISEO ASISTIDO POR ORDENADOR........................................ 94

6. INTRODUCCIN AL DIBUJO CARTOGRAFICO............................ 98

7. EL SISTEMA DE INFORMACIN GEOGRFICA(SIG) ................ 103

8. LA SIMBOLOGIA NORMALIZADA. NORMALIZACIN: NORMAS FUNDAMENTALES UNE, UNE-EN-ISO.............................................. 110

9. LOS INSTRUMENTOS DE TOPOGRAFA Y BATIMETRA. .......... 117

9.1. Instrumentos topogrficos ................................................................ 117

9.2. Instrumentos de batometra. ............................................................. 123

10. LOS SISTEMAS DE POSICIONAMIENTO POR COORDENADAS (UTM, WGS84) ................................................................................ 127

Husos UTM........................................................................................................... 128 Zonas UTM ........................................................................................................... 129

11. MAPA CONCEPTUAL .............................................................. 132

12. BIBLIOGRAFA ...................................................................... 133


3

INTRODUCCIN A LA COMPETENCIA DEFINIDA COMO DIBUJO TCNICO Y TOPOGRAFIA

Definicin de la competencia:

Conjunto de conocimientos tcnicos para la produccin de planos de proyectos,

obras y otros estudios as como para la representacin grfica de una superficie

terrestre o marina.

Conocimientos y Capacidades definidas para esta competencia:

- las tcnicas de dibujo tcnico de perspectivas (axonometra, isometra,

caballera cnica), secciones y estructura.

- las tcnicas de dibujo cartogrfico (planos parcelarios, urbano,

restituciones aerofotogrficas, etc.).

- la trigonometra y geometra.

- los mtodos topogrficos (nivelacin, triangulacin, biseccin, etc.).

- el Sistema de Informacin Geogrfica.

- los aparatos y elementos auxiliares de topografa y batimetra.

- la simbologa normalizada


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Objetivos de aprendizaje. Qu conocimientos y capacidades vas a

alcanzar una vez estudiado el contenido del manual?

Podrs conocer las tcnicas de dibujo tcnico de perspectivas (axonometra,

isometra, caballera cnica), secciones y estructura.

Conocers las tcnicas de dibujo cartogrfico (planos parcelarios, urbano,

restituciones aerofotogrficas, etc.).

Realizars replanteos, mediciones y cubicaciones en pequeas obras.

Podrs montar y manejar a nivel elemental y parcial aparatos de sondeo y

topografa.

Interpretars planos o croquis para el desarrollo del contenido tcnico de la

ocupacin.

Resumen de los contenidos del manual

En este manual encontrars algunas claves que te permitirn profundizar tus

conocimientos sobre dibujo tcnico y topografa.

Iniciaremos la exposicin identificando los conceptos en torno a geometra y

trigonometra.

Tambin se desarrollar contenidos sobre mtodos topogrficos y la interpretacin

de planos. Veremos las tcnicas de dibujo tcnico, el diseo asistido por ordenado,

el dibujo cartogrfico. Estableceremos el sistema de informacin geofsica y la

simbologa normalizada por los sistemas de calidad.

Finalmente expondremos conceptos funcionales de los instrumentos de topografa y

batimetra y de los sistemas de posicionamiento por coordenadas.


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1. GEOMETRA Y TRIGONOMETRA.

A. Geometra y tipos.

La geometra es la parte de las matemticas que estudia las propiedades y las

medidas de las figuras en el plano o en el espacio.

La geometra ha sido desde los principios de la humanidad un mecanismo utilizado

para encontrar soluciones a los problemas ms comunes de quienes la han aplicado

en su vida, pues, entre otros usos, facilita la medicin de estructuras slidas reales,

tanto tridimensionales como superficies planas y adems es bastante til para la

realizacin de complejas operaciones matemticas.

La geometra se propone ir ms all de lo alcanzado por la intuicin. Por ello, es

necesario un mtodo riguroso en el que no se cometan errores, para conseguirlo se

han utilizado histricamente los sistemas axiomticos.

El primer sistema axiomtico fue el de Euclides, pero hoy se sabe que este sistema

Eucldeo es incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema

axiomtico, ste ya completo.

Como en todo sistema formal, debe tenerse en cuenta lo siguiente: las definiciones,

axiomas y teoremas no pretenden (o no solo pretenden) describir el

comportamiento de unos objetos. Cuando axiomatizamos algo, convertimos ese

comportamiento en nuestro objeto de estudio, pudiendo olvidar ya los objetos

iniciales del estudio (que se denominan modelo).


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Los axiomas son proposiciones o afirmaciones que relacionan conceptos los cuales

deben ser definidos en funcin al punto, la recta y el plano.

Los teoremas se demuestran en base a axiomas.

Elementos de la geometra plana.

-Punto: Es el primer objeto geomtrico, y origen de todos los dems. No tiene

dimensiones.

-Recta: Una recta no tiene ni origen ni fin. Su longitud es infinita.

-Semirrecta: Cada una de las partes en que un punto divide a una recta. La

semirrecta tiene origen, pero no fin.

-Segmento: Es la parte de una recta comprendida entre dos puntos A y B.

Longitud del segmento es la distancia entre sus extremos A y B.

-ngulo: Es la regin del plano comprendida entre dos semirrectas con origen

comn. Tambin se habla del ngulo formado por dos segmentos y de los

ngulos que forman dos rectas. Los ngulos se miden en grados (), minutos

(') y segundos ('').Un ngulo de 1 es el que resulta al dividir en 90 partes

iguales un ngulo recto.

1 Angulo recto = 90

1 grado = 60 minutos. 1 = 60 '

1 minuto = 60 segundos. 1'= 60''


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Figuras geomtricas

Una figura geomtrica es, en la geometra euclidiana, todo espacio encerrado entre

lneas. Las construcciones son secuencias de operaciones elementales para construir

estas figuras geomtricas. Las construcciones son equivalentes al concepto de

algoritmo en el lgebra.

Las figuras geomtricas son variadas y por su uso, utilizacin e importancia son

divididas en:

Las figuras fundamentales (sin definicin): punto, recta y plano.

En la recta se pueden ver: segmentos, semirrectas y vectores.

En el plano, una recta determina dos semiplanos; su interseccin determina las

figuras convexas: faja, ngulo, tringulo, cuadringulo y polgono.

Utilizando el concepto de distancia, se definen: el crculo y la esfera.

Utilizando el concepto de semiespacio se definen: el diedro, el espacio

prismtico, el triedro, el ngulo poliedro y los poliedros. Entre los ltimos

encontramos como casos particulares: el tetraedro, el prisma, la pirmide y el

paraleleppedo.

El concepto de crculo en el espacio da origen a: el cono y el cilindro.


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CUADRO DE AREAS Y VOLUMENES

REAS

NOMBRE DEFINICION FIGURA TERMINOS FORMULA

Tringulo

Es la porcin de

plano limitada

por tres

segmentos de

recta.

h=altura

b=base

Paralelogramo

Son los

cuadrilteros

que tienen sus

lados opuestos

iguales y

paralelos.

h=altura

b=base A=b.h

Cuadrado

Cuadriltero de

cuatro lados y 4

ngulos iguales.

l=lado

d=diagonal

Rombo

Cuadriltero

cuyas dos

diagonales se

cruzan en

ngulo de 90

d=diagonal

mayor

d'=diagonal

menor


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VOLUMENES


REAS


Trapecio

Cuadriltero que

tiene dos de sus

lados paralelos

y los otros dos

no.

b=base mayor

b'=base menor

h=altura

Polgono regular

Es la porcin de

plano limitada

por segmentos

de recta, es

regular si todos

sus lados y

ngulos son

iguales.

a=apotema

l=lado

n=nmero de

lados

Crculo

Es la porcin de

plano limitada

por la

circunferencia.

r=radio A=p.r


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Prisma

Cuerpo

geomtrico

cuyas bases son

dos polgonos

iguales y

paralelos y sus

caras laterales

son

paralelogramos

B=rea de la

base h=altura V=h.B

Ortoedro

Prisma cuyas

bases son dos

rectngulos.

l=largo

a=ancho

h=altura

V=h.l.a

Cubo

Ortoedro donde

las tres

dimensiones

son iguales.

a=lado V=a

Pirmide

Cuerpo

geomtrico cuya

base es un

polgono

cualquiera y sus

caras laterales

tringulos

B=rea de la

base h=altura

VOLUMENES



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Cilindro

Es el Cuerpo

geomtrico

engendrado por

la revolucin de

un rectngulo

alrededor de

uno de sus

lados

r=radio

h=altura V=h.p.r

Cono

Es el Cuerpo

geomtrico

engendrado por

la revolucin de

un tringulo

rectngulo

alrededor de

uno

r=radio

h=altura

Esfera

Cuerpo

geomtrico

engendrado por

la revolucin

completa de un

semicrculo

alrededor de su

dimetro.

r=radio

Tipos de Geometra.

-Geometra algortmica- Aplicacin del algebra a la geometra para resolver por

medio del clculo ciertos problemas de extensin.


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-Geometra analtica- Estudio de figuras que utiliza un sistema de coordenadas y los

mtodos de anlisis matemticos.

-Geometra del espacio- Parte de la geometra que considera las figuras cuyos

puntos no estn todos en un mismo plano.

-Geometra descriptiva- Parte de las matemticas que tiene por objeto resolver los

problemas de la geometra del espacio por medio de operaciones efectuadas en un

plano y representar en l las figuras de los slidos.

-Geometra plana- Parte de la geometra que considera las figuras cuyos puntos

estn todos en un plano.

-Geometra proyectiva- Rama de la geometra que trata de las proyecciones de las

figuras sobre un plano.

B. Trigonometra y tipos.

El origen de la palabra trigonometra proviene del griego. Es la composicin de las

palabras griegas trigonon y metron (tringulo y medida). Por tanto la


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trigonometra seria la medida de los tringulos.

Se considera a Hiparco (180- 125 a.C.) como el padre de la trigonometra debido

principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los

ngulos de un triangulo. Tambin contribuyeron a la consolidacin de la

trigonometra Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en

sus estudios astronmicos. En el ao 1600, el profesor de matemticas de

Heidelberg (la universidad mas antigua de Alemania) Bartolom Pitiscus (1561-

1613), public un texto con el ttulo de Trigonometra, en el que se desarrollan

mtodos para la resolucin de tringulos. El matemtico francs Francois Vite

(1540-1603) hizo importantes aportes hallando frmulas trigonomtricas de ngulos

mltiples. Los clculos trigonomtricos recibieron un gran impulso gracias al

matemtico escocs John Neper (1550-1617), quien invent los logaritmos a

principios del siglo XVII. En el siglo XVIII, el matemtico suizo Leonard Euler

(1707-1783) hizo de la trigonometra una ciencia aparte de la astronoma, para

reconvertirla en una rama de las matemticas.

Originalmente, la trigonometra es la ciencia cuyo objeto es la resolucin

numrica (algebraica) de los tringulos. Los seis elementos principales en todo

tringulo son sus tres lados y sus tres ngulos. Cuando se conocen tres de estos

elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometra ensea a

solucionar el tringulo, esto es, a encontrar los otros tres elementos. En este estado

de la trigonometra se definen la funciones trigonomtricas (seno, coseno, tangente,

cotangente, secante, cosecante), de un ngulo agudo en un tringulo rectngulo,

como las razones entre dos de los lados del tringulo; el dominio de definicin de

estas funciones es el conjunto de los valores que pueden tomar el ngulo (0, 180).

Sin embargo, el estudio de la trigonometra no limita sus aplicaciones a los


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tringulos: geometra, navegacin, agrimensura, astronoma; si no tambin, para el

tratamiento matemtico en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el

sonido, la corriente alterna, termodinmica, investigacin atmica, etc. Para lograr

esto, se debe ampliar el concepto de funcin trigonomtrica a una funcin de una

variable real, en vez de limitarse a una funcin de ngulos.

Las dos ramas fundamentales son la trigonometra plana, y la trigonometra

esfrica.

Trigonometra plana.

Se ocupa fundamentalmente de la resolucin de tringulos planos. Para ello, se

definen las razones trigonomtricas de los ngulos y se estudian las relaciones

entre ellas.

Razones trigonomtricas de ngulos agudos.

La base de la trigonometra est en las razones trigonomtricas, valores numricos

asociados a cada ngulo, que permiten relacionar operativamente los ngulos y

lados de los tringulos. Las ms importantes son seno, coseno y tangente, que se

definen a continuacin.

En un ngulo a de un tringulo rectngulo, ABC, se llama seno de a, y se escribe

sen a, al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa:


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Anlogamente se definen el coseno (cos) como cociente entre el cateto adyacente y

la hipotenusa, y la tangente (tg) como el cociente entre el cateto opuesto y el

cateto adyacente:

Hace no muchos aos existan tablas numricas en las que se daban los valores de

las razones trigonomtricas de una gran cantidad de ngulos. En la actualidad, con

una calculadora cientfica se obtienen con toda precisin los valores de las razones

trigonomtricas de cualquier ngulo.

Las razones trigonomtricas de un ngulo cumplen las siguientes propiedades:

Aunque el ngulo a pertenezca a otro tringulo rectngulo de lados distintos al

anterior, los valores obtenidos para sen a, cos a y tg a son los mismos. Es decir, las

razones trigonomtricas de un ngulo no dependen del tringulo sobre el que se

midan. Esto es debido a que dos tringulos rectngulos con un mismo ngulo agudo

son semejantes y, por tanto, los cocientes, a/c, b/c, a/b coinciden en ambos.

Las razones trigonomtricas sen y cos de un mismo ngulo guardan la siguiente

relacin fundamental:

(sen a)2 + (cos a)2 = 1


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En vez de (sen a)2 se acostumbra a escribir sen2 a, y lo mismo con las dems

razones trigonomtricas. Por eso, la igualdad anterior se suele expresar as:

sen2 a + cos2 a = 1

Las razones sen a, cos a y tg a se relacionan entre s del siguiente modo:

Razones trigonomtricas de ngulos cualesquiera.

Para definir las razones trigonomtricas de ngulos cualesquiera (de 0 a 360) se

empieza situando el ngulo en la llamada circunferencia goniomtrica, una

circunferencia de radio 1 con su centro, O, situado sobre unos ejes coordenados:

El vrtice del ngulo se sita en O y el primero de sus lados, a, sobre la parte

positiva del eje de las X. El segundo lado, b, se abre girando en sentido contrario a

las agujas del reloj. Este segundo lado corta a la circunferencia goniomtrica en un

punto, P, cuyas coordenadas son c = cos a y s = sen a. Es decir, P(cos a, sen a). La


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tg a= t se sita sobre la recta r, tangente a la circunferencia en U, y queda

determinada por el punto T en que el lado b, o su prolongacin, corta a r.

Segn esta definicin, las razones trigonomtricas sen, cos y tg toman valores

positivos o negativos segn el cuadrante en el que se encuentre el ngulo a. En la

figura siguiente se resumen los signos de las tres razones:

Los ngulos 90 y 270 no tienen tangente, pues para ellos el segundo lado no

corta a la recta r.

Las razones trigonomtricas de ngulos no agudos cumplen las mismas relaciones

que las de los ngulos agudos:

sen2 a + cos2 a = 1

Otras razones trigonomtricas.

A partir de las razones trigonomtricas sen, cos y tg se definen la cosecante (cosec),


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la secante (sec) y la cotangente (cot) del siguiente modo:

Estas razones trigonomtricas no estn definidas cuando el denominador es cero.

Por ejemplo, sec a no est definida para a = 90 ni para a = 270, pues

cos 90 = 0 y cos 270 = 0.

La cotangente es cero donde la tangente no est definida, es decir, cot 90 = 0 y

cot 270 = 0.

Estas tres razones trigonomtricas se sitan en la circunferencia goniomtrica como

se indica en la figura:

Relaciones entre las razones trigonomtricas de algunos ngulos.

Si dos ngulos son complementarios (suman 90) sus razones trigonomtricas estn

relacionadas. Tambin lo estn las de los ngulos suplementarios (los que suman

180) y las de los opuestos (los que suman 360). A continuacin se dan las

relaciones fundamentales entre ellas.


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ngulos complementarios, a y 90 - a:

sen (90 - a) = cos a

cos (90 - a) = sen a

tg (90 - a) = cos a/sen a = 1/tg a

ngulos suplementarios, a y 180 - a:

sen (180 - a) = sen a

cos (180 - a) = -cos a


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tg (180 - a) = -tg a

ngulos opuestos, a y -a:

sen (-a) = -sen a

cos (-a) = cos a

tg (-a) = -tg a

ngulos que difieren en 180, a y a + 180:

sen (a + 180) = -sen a

cos (a + 180) = -cos a

tg (a + 180) = tg a


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Resolucin de tringulos

Las razones trigonomtricas de ngulos agudos sirven para resolver tringulos

rectngulos, es decir, para averiguar uno de sus elementos desconocidos a partir de

algunos otros conocidos.

Por ejemplo, si se conoce la hipotenusa, h, y un ngulo a, se puede calcular el

cateto opuesto, c, a ese ngulo, mediante el seno, puesto que al ser sen a = c/h se

obtiene que c = h sen a.

Los teoremas del seno y del coseno permiten resolver tringulos oblicungulos. Por

ejemplo, si se quiere conocer el lado c de un tringulo del que se conocen los otros

dos lados a y b, y el ngulo, C, opuesto al lado desconocido, el teorema del coseno

permite calcularlo:

c2 = a2 + b2 2abcos C

O bien, si se conocen un lado, a, y los ngulos de un tringulo, se puede hallar otro

lado, b, mediante el teorema del seno:

De aqu, despejando b se obtiene:


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Funciones trigonomtricas.

Las funciones trigonomtricas se obtienen a partir de las razones trigonomtricas de

la forma siguiente:

El ngulo se expresa en radianes. Por tanto, los 360 de una circunferencia pasan a

ser 2p radianes.

Se considera que cualquier nmero real puede ser la medida de un ngulo. Sus

razones trigonomtricas se relacionan con las razones de los ngulos comprendidos

en el intervalo [0, 2p) del siguiente modo: si x - x = k 2p, k nmero entero,

entonces sen x = sen x, cos x = cos x, tg x = tg x. Es decir, si dos nmeros

difieren en un nmero entero de veces 2p, entonces tienen las mismas razones

trigonomtricas.

De este modo se obtienen las funciones trigonomtricas y = sen x, y = cos x,

y = tg x, llamadas tambin funciones circulares. Sus representaciones grficas son:


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Las otras funciones trigonomtricas, y = cosec x, y = sec x, y = cot x, por la

relacin que tienen con las tres anteriores, se representan con ellas en las figuras

siguientes:


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Todas las funciones trigonomtricas son peridicas: sen, cos, sec y cosec tienen

periodo 2p, mientras que tg y cot tienen periodo p.

Funciones inversas

La expresin y es el seno de o y = sen , es equivalente a la expresin es el

ngulo cuyo seno es igual a y, lo que se expresa como = arcsen y, o tambin

como = sen-1y. La funcin arcsen (que se lee arco seno) es la funcin inversa o

recproca de la funcin sen. Las otras funciones inversas, arccos y, arctg y, arccot y,

arcsec y, y arccosec y, se definen del mismo modo. En la expresin y = sen o =

arcsen y, un valor dado de y genera un nmero infinito de valores de , puesto que

sen p/6 = sen 5p/6 = sen ((p/6) + 2p) == y, teniendo en cuenta que los ngulos

p/6 y 5p/6 son suplementarios. Por tanto, si = arcsen y, entonces = (p/6) +

n 2p y = (5p/6) + n 2p, para cualquier entero n positivo, negativo o nulo. El valor

p/6 se toma como valor principal o fundamental del arcsen y. Para todas las

funciones inversas, se suele dar su valor principal. Existen distintas costumbres,

pero la ms comn es que los valores principales de las funciones inversas estn en


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los intervalos que se dan a continuacin:

-p/2 arcsen y p/2

0 arccos y p

-p/2 < arctg y < p/2

0 < arccosec y < p

-p/2 < arcsec y < p/2

0 < arccot y < p

Trigonometra esfrica

La trigonometra esfrica, que se usa sobre todo en navegacin y astronoma,

estudia tringulos esfricos, es decir, figuras formadas por arcos de circunferencias

mximas contenidos en la superficie de una esfera. El tringulo esfrico, al igual que

el tringulo plano, tiene seis elementos: los tres lados a, b, c, y los tres ngulos A, B

y C. Sin embargo, los lados de un tringulo esfrico son magnitudes angulares en

vez de lineales, y dado que son arcos de circunferencias mximas de una esfera, su

medida viene dada por el ngulo central correspondiente. Un tringulo esfrico

queda definido dando tres elementos cualesquiera de los seis, pues, al igual que en

la geometra plana, hay frmulas que relacionan las distintas partes de un tringulo,

que se pueden utilizar para calcular los elementos desconocidos.

Por ejemplo, el teorema del seno adopta la siguiente forma para tringulos

esfricos:

La trigonometra esfrica es de gran importancia para la teora de la proyeccin


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estereogrfica y en geodesia. Es tambin el fundamento de los clculos

astronmicos. Por ejemplo, la solucin del llamado tringulo astronmico se utiliza

para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del da, la posicin de una

estrella y otras magnitudes.

Definiciones bsicas:

Vamos a partir de una esfera de radio unidad. Si cortamos dicha esfera con un

plano que pasa por el centro de la esfera obtenemos lo que se llama un crculo

mximo. Si por el contrario, el plano de corte no pasa por el centro de la esfera, lo

que obtendremos es un crculo menor.

Crculo menor P Polos

Crculo mximo

P

Consideremos ahora una esfera y un crculo mximo. Si trazamos una recta

perpendicular al plano que define el crculo mximo y que pasa por el centro de la

esfera, lo que obtenemos son dos puntos en la esfera que se denominan polos.

Adems el crculo mximo va a dividir a la esfera en dos semiesferas llamadas

hemisferios.


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Vamos a llamar ngulo diedro al ngulo comprendido entre dos crculos mximos.

En este punto llegamos a la gran (e importantsima) definicin de este tema. Se va

a definir tringulo esfrico como una porcin de superficie esfrica limitada por tres

crculos mximos, con la condicin de que la medida de cada uno de los arcos sea

menor que 180.

C a

o b B

c A

Triangulo esfrico

Prcticamente en todos los problemas de astronoma hay que hacer clculos con

algn tringulo esfrico. Para resolver un tringulo esfrico basta con conocer al

menos tres de los seis datos de dicho tringulo (tres lados y tres ngulos).

Veamos ahora algunas de las relaciones que cumplen los lados y ngulos de un

tringulo:

-Un lado de un tringulo esfrico es menor que la suma de los otros dos y mayor

que su diferencia.

-La suma de los tres lados de un tringulo esfrico es menor que 360.

-La suma de los tres ngulos es mayor que 180 y menor que 540.


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-Si un tringulo esfrico tiene dos ngulos iguales, los lados opuestos tambin son

iguales entre s.

-Si un tringulo esfrico tiene dos ngulos desiguales, a mayor ngulo se opone el

mayor lado.

Despus de ver estas relaciones, es interesante resear, que para la resolucin de

tringulos esfricos existen una serie de frmulas como las frmulas de Bessel,

frmula de la cotangente, frmulas de Borda... Adems, en el caso de un

tringulo esfrico rectngulo (un ngulo es de 90) , o de uno rectiltero (un lado

es de 90), la resolucin se simplifica con la regla del pentgono de Neper.

Los fundamentos de la trigonometra esfrica se derivan de la geometra de la

esfera y aparecieron precozmente en la historia de las matemticas por su

aplicacin inmediata a la astronoma. Al mirar a las estrellas, los astrnomos de la

antigedad conformaron la nocin de una gran esfera celeste de radio

inconmensurable que rodeaba a la Tierra y en cuya superficie se situaban los astros

del firmamento. As, el concepto bsico de esta ciencia era, ms que el de distancia

propiamente dicha, el de direccin y distancia angular entre los puntos luminosos

que, proyectados sobre la esfera, conformaban una lnea curva.

El desarrollo matemtico de esta idea condujo a la definicin de los denominados

crculos mximos como aquellos formados por la interseccin de cualquier plano que

contenga al centro de la esfera con dicha esfera. La interseccin de tres crculos

mximos diferentes configura un tringulo esfrico, base de la trigonometra


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esfrica.

La configuracin fundamental de un espacio geomtrico en el que se aplica la

trigonometra esfrica es el ngulo tridrico formado por un tringulo esfrico y la

unin de cada uno de sus vrtices con el centro de la esfera.

De esta manera, la formulacin de las ecuaciones de trigonometra esfrica

considera tres lados y seis ngulos, tres de los cuales pertenecen al tringulo

dibujado sobre la superficie esfrica, y otros tres se refieren a las direcciones

angulares de los vrtices desde el centro de la esfera.

El tringulo esfrico formado por los puntos A, B, C, que denotan asimismo por

facilidad de notacin sus respectivos ngulos interiores, y los lados de magnitudes

a, b, c, conforma desde el origen de la esfera los ngulos de direccin a, b, y g. Las

distancias a, b, c, lados del tringulo esfrico, son magnitudes igualmente

angulares, al tratarse de arcos, y proporcionan un teorema del seno de la

trigonometra esfrica anlogo al obtenido en la resolucin de tringulos planos que

se expresa matemticamente como:

(teorema del seno en trigonometra esfrica)

Diversas consideraciones geomtricas conducen a la obtencin de las dos leyes del

coseno de la trigonometra esfrica que completan las frmulas bsicas de

resolucin de tringulos esfricos y se expresan:

cos a = cos b cos g + sen b sen g cos A (1. ley)

cos A = -cos B cos C + sen B sen C cos a (2. ley)


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Estas expresiones son igualmente vlidas cuando el vrtice general del triedro no es

el centro de la esfera.

Los ngulos interiores de los tringulos esfricos, a diferencia de lo que ocurre con

los de los tringulos planos, no suman 180.

En los textos de trigonometra esfrica aparecen otras expresiones que relacionan

los lados y los ngulos de los tringulos esfricos. En particular, destacan las leyes

de los cosenos para los lados, anlogas formalmente a la primera ley de los

cosenos; las analogas de Napier, que relacionan los semingulos y los semilados y

emplean criterios logartmicos; y las analogas de Gauss-Delambre.


31

2. METODOS TOPOGRAFICOS. CONCEPTOS GENERALES: NIVELACIN, PLANIMETRA, TAQUIMETRA.

Se definen como mtodos topogrficos al conjunto de tcnicas de instrumentacin y

operacin, en la toma de medidas tanto lineales como angulares, y as mismo la

gestin o tratamiento de estos datos en el proceso de la realizacin de un trabajo

topogrfico.

La modelizacin del terreno es la representacin obtenida del relieve del terreno

como consecuencia de una medicin realizada sobre l, y que permite conocer la

forma sinuosa o quebrada de dicha superficie.

La divisin ms usual de los mtodos topogrficos es:

Mtodos Altimtricos- tratan de la determinacin o estudio de la distancia

vertical entre los puntos. Tratan de determinar y representar la altura o cota de

cada uno de los puntos respecto a un plano de referencia.

Mtodos Planimtricos- tratan del estudio y posicin relativa de los puntos, sobre

el plano horizontal, prescindiendo de la relacin en alturas. Tienden a conseguir la

representacin a escala, sobre una superficie plana, de todos los detalles

interesantes del terreno prescindiendo de su relieve.

Mtodos Taquimtricos- Aquellos que tratan a la vez altimetra y planimetra,

mediante la determinacin polar de la posicin de los puntos.


32

Mtodos de triangulacin- Son los mtodos que localizan o determinan

posiciones relativas de los puntos mediante mediciones angulares a partir de una

base.

Mtodos Altimtricos

Los trabajos altimtricos, o nivelacin de un terreno, tienen por objeto determinar la

altura de sus puntos caractersticos sobre una superficie de nivel que se toma como

superficie de comparacin; puede se sta cualquiera, elegida arbitrariamente, sin

ms condicin que la de estar ms baja que el punto de menor altura de todos los

que hayan de levantarse.

Las alturas de estos puntos, sobre la superficie de comparacin, se denominan cotas

que, con la condicin antes indicada, sern todas positivas.

La eleccin arbitraria de la superficie de comparacin tiene el inconveniente de no

pode relacionar entre s trabajos diferentes, y por eso se prefiere utilizar siempre

una misma superficie de referencia a la que se asigna la cota cero. Es sta la

superficie de medida de los mares en calma, supuesta prolongada por debajo de los

continentes, superficie de nivel a la que hemos dado el nombre de geoide. La cota

de un punto referido al nivel del mar la llamaremos altitud.

En Espaa se ha dado la altitud cero al nivel medio del mar en Alicante,

establecindose una seal en las gradas del Ayuntamiento que ha servido de origen

para toda la red altimtrica nacional.


33

En todo trabajo ha de partirse de un punto de origen de altitud conocida, o al que

se le asigne, en su caso, cota arbitraria, y para hallar la de todos los dems puntos

del levantamiento se determinan los desniveles entre cada dos puntos,

denominndose desnivel la cota, positiva o negativa, de uno de ellos, con respecto a

la superficie de comparacin que pasa por el otro.

El desnivel, sumado algebraicamente a la altitud del primer punto, nos dar la del

segundo, ste servir a su vez de origen al tercero, y as sucesivamente; operacin

que se designa con el nombre de arrastrar o correr las cotas a todos los puntos, una

vez conocidos sus desniveles parciales. Todo el problema altimtrico se reduce, por

tanto, al clculo de desniveles entre dos puntos.

Mtodos Planimtricos

De la misma forma que se registran y calculan los datos correspondientes a

altimetra, en cuanto a la planimetra tambin podemos registrarlos en un cuadrante

en el que sealar las operaciones que se realizan, una vez calculada las

coordenadas parciales, en los itinerarios cerrados y encuadrados analizar el error de

cierre y si procede compensarlos en este caso se realiza un reparto proporcional al

valor de cada ordenada o abscisa, una vez compensados se les lleva a su valor al

origen tanto de estaciones como de puntos radiados.

Si bien este procedimiento no es le mas exacto matemticamente, si es el mas

usado cuando se realizan los clculos de forma manual. Hoy da apenas si se

realizan estos clculos manualmente y los procedimientos informticos que suelen

utilizarse para el procesamiento y clculo de los datos de campo los suelen resolver


34

por ajustes de mnimos cuadrados. No obstante no hay que perder de vista que es

intil utilizar procesos matemticos complejos y precisos si no se ha realizado una

actuacin y toma de datos de campo precisa, y dado que en topografa son modelos

aproximados los que se manejan, es mas acertado una actuacin de campo

metodolgica y exacta que utilizar a posteriori modelos matemticos complejos que

no pueden eliminar los desaciertos cometidos en el campo.

Principales metodologas planimtricas

2.1. Radiacin:

Mtodo ms sencillo. Instrumentos:

- Taqumetro y mira.

- Teodolito y mira.

- Distanciometro y prisma.

2.2. Itinerarios o Poligonales:

Sucesin encadenada de radiaciones (varias estaciones) Instrumentos:

o Taqumetro y mira.

o Teodolito y distancimetro.

2.3. Interseccin:

Mtodo ms utilizado cuando se pretenda buscar precisin hace unos 5 aos.


35

1. Interseccin de ngulos:

I. Directa: Se estaciona sobre ptos de coordenadas conocidas. I. Inversa: Solamente se conocen las coordenadas del pto

visado, a calcular I. mixta: Se conocen las coordenadas del pto visado, a calcular

Instrumento: Teodolito

2. Interseccin de distancias:

Solo se miden distancias. Ptos de coordenadas conocidas o estaciones de coordenadas conocidas. Instrumento: Teodolito y Distancimetro.

Mtodos Taquimtricos

Del griego taqui (rapido) y metria (medida), consiste en la determinacin de la

posicin relativa de puntos del terreno mediante la observacin al mismo tiempo de

distancias y ngulos.

Su aplicacin ms cercana es el desarrollo topogrfico en el mbito de la ingeniera

civil y obra de construccin de arquitectura. Complementa a los trabajos

topogrficos de primer orden, alcanzando el detalle sensible preciso para el

desarrollo del proceso constructivo.

La caracterstica principal del sistema es el uso del aparato denominado taqumetro,

este es un gonimetro de limbo horizontal y vertical y con capacidad de medir la

distancia entre el eje de giro del anteojo y el punto observado. Esta medicin

de distancia se realiza bien por un procedimiento estadimetrico, infrarrojos o

lser en el proceso indirecto, en el directo que seria con el empleo de una cinta


36

mtrica.

Puesta en estacin. Sistema de referencia y orientacin de un taqumetro.

Definida una base de estacionamiento, o punto de coordenadas conocidas X,Y,Z, o

bien un punto autnomo sin referencias, procedemos a estacionar el aparato

(taqumetro) en la vertical de este punto. Para ello los aparatos mas usados

(Estaciones totales), estn dotados de una plomada ptica, si bien otros modelos

menos tiles por tener menor precisin disponen bien de plomada mecnica

(perpendculo) o bien de bastn centrador. Todo ello est direccionado a conseguir

que el eje principal del taqumetro quede en la vertical del punto sobre el que

estacionamos.

La plomada ptica, es un pequeo anteojo situado a la altura de la base del

aparato que materializa la prolongacin del eje principal o vertical del aparato.

El proceso de Puesta en estacin, que consiste en vincular nuestro aparato a la

trama o sistema de coordenadas existente sobre el terreno, o en todo caso que

vamos ha implantar nosotros en nuestro proceso de levantamiento o replanteo,

consta de dos pasos, el primero estacionamiento y el segundo de orientacin.

El estacionamiento, consiste en colocar el eje principal o de rotacin del aparato

en la vertical del punto base de nuestro trabajo, para ello nos auxiliamos de la

plomada.

Levantamientos taquimtricos. Organizacin de los trabajos, Trabajos de

campo y trabajos de gabinete

Se define como levantamiento de un terreno o solar, edificio, construccin,


37

modelo o lugar, al proceso de captura de datos suficientes para su plasmacin sobre

una documentacin grfica, y as mismo del conocimiento de parmetros y

caractersticas del entorno que permitan efectuar posteriormente en gabinete el

estudio y planificacin de actuaciones sobre la entidad objeto del levantamiento.

Significamos no obstante que un levantamiento, no solo toma datos que permitan

capturar y reproducir la geometra de la entidad levantada, sino que habr

de incorporarsele listados de caractersticas, materiales, texturas de las superficies

y del entorno, as mismo parmetros ambientales como temperatura, humedad,

presin, fecha de realizacin, etc.

Se comenzar por la elaboracin de croquis que sealen los puntos y lneas

principales, la relaciones entre estos y su situacin relativa, anotndoles nmeros y

letras que permitan identificarlos entre si y distinguirlos de otros. Se acompaaran

estos croquis con dibujos detallados, fotografas etc. y as mismo como

indicbamos con toda serie de detalles y relaciones que complementen el

conocimiento de la entidad objeto del levantamiento y que sea preciso conocer para

el posterior estudio o actuacin que se pretenda.

Es obvio que dependiendo de la actuacin que se pretenda, se elegirn

mtodos de levantamientos mas o menos complejos.

Lo que la Taquimetra viene a resolver en el caso de levantamientos afectos al

campo de la arquitectura e ingeniera civil, levantamiento taquimtrico, es todo

el proceso de captura de la geometra de una entidad con estos mtodos, el cual

se desarrollara en un proceso de toma de datos en el lugar, trabajos de campo, y en

un proceso posterior de calculo y montaje de todos estos datos tomados en el


38

campo y que denominaremos, trabajos de gabinete, por realizarse en nuestro

estudio o taller, tras lo cual aparecer la plasmacin grfica del trabajo realizado.

Mtodos de Triangulacin.

Tratan estos mtodos de la determinacin de coordenadas de un punto mediante

observaciones angulares. Reciben el nombre de mtodos de interseccin. Consisten

estos mtodos en el levantamiento de punto mediante observaciones acimutales,

distinguiendo fundamentalmente dos tipos, la Interseccin directa que hace estacin

en puntos conocidos para deducir los observados, y la Interseccin inversa

procedimiento en el que se estaciona en el punto cuyas coordenadas queremos

determinar.

Dada la caracterstica del mtodo, lectura angular, el aparato preciso es el teodolito,

siendo preciso utilizar aparatos con lectura mnima de segundos, caso contrario las

dispersiones y ambigedades en la precisin de la determinacin del

posicionamiento de los puntos no es admisible.

3. INTERPRETACIN DE PLANOS: CARTAS, MAPAS Y PLANOS. ESCALAS. REPRESENTACIN E INTERPRETACIN DEL RELIEVE. CURVAS DE NIVEL.

Un cartgrafo es un especialista en la comunicacin grfica, que utiliza la

elaboracin de mapas como herramienta principal. La funcin fundamental de la

elaboracin de mapas es proporcionar informacin exacta, clara y sin ambigedades


39

sobre la existencia de diversos fenmenos sobre o cerca de la Tierra. Un mapa bien

dibujado es mucho ms que una reduccin del rea que esta siendo estudiada; es

un instrumento cuidadosamente diseado que registra, analiza y muestra los

factores interrelacionados del rea en la verdadera relacin entre ellas. Con el fin de

transmitir esta compleja masa de informacin, el cartgrafo tiene que hacer un uso

efectivo de los grficos para ilustrar una amplia variedad de conceptos e ideas.

Adems del formato del mapa, el personal de cartografa utiliza una gran parte de

su tiempo produciendo grficos tan relacionados como material de exposicin,

ilustraciones para informes, grficos para exposiciones, ilustraciones estadsticas y

cientficas, multitud de cartas, grficas y diagramas. Muchos de estos artculos son

frecuentemente incorporados a mapas o son sustituidos por estos. Para la

planificacin, en general, y la administracin de recursos, en particular, los mapas y

otros grficos no tienen igual.

La cartografa existe como un rea del dibujo aplicado, porque las palabras han

demostrado no ser adecuadas para la descripcin de relaciones especiales

complejas. Es de vital importancia que el contenido del mapa sea ensamblado de

una manera lgica y obvia tal, que el usuario pueda comprender fcilmente la

informacin que se est mostrando. En la produccin de mapas o grficos que

ilustren los estudios cientficos, un cartgrafo puede requerir el consejo de una

autoridad cientfica del rea, para asegurar la interpretacin e ilustracin correcta de

la informacin. Las estadsticas y los datos relevantes solos no suministran

necesariamente la informacin requerida. En muchos procesos de toma de decisin,

la informacin verdadera til es frecuentemente aquella que se obtiene del estudio

del conjunto de relaciones de todos los datos. Los grficos y las tcnicas grficas

pueden presentar estas relaciones en una forma en la que incluso observadores


40

casuales puedan apreciar inmediatamente las implicaciones.

La cartografa puede jugar un papel principal en el desarrollo socio-econmico, pero

el cartgrafo tiene primero que identificar, compilar y analizar la informacin ms

actual y, de forma especial, ms exacta disponible. Tambin es de importancia la

seleccin de las tcnicas cartogrficas ms apropiadas para exponer esta

informacin. El aspecto esencial es seleccionar la metodologa ms apropiada para

cada situacin, ms que aplicar una tcnica particular debido a su familiaridad. El

diseo, el equipo y las tcnicas tienen que estar ajustados a los requerimientos del

producto especfico.

Clasificacin de mapas

No existe una clasificacin universalmente aceptada de mapas, grficos de mapas y

productos relacionados. Las siguientes categoras se presentan para proporcionar un

marco de discusin y el comienzo de un lenguaje de trabajo para personal en

prcticas. En sentido amplio, los mapas se pueden dividir en dos categoras; siendo

la primera la de mapas generales mapas de referencia, y la segunda la de mapas

especiales temticos.

Mapas generales o de referencia

El objetivo de los mapas generales o de referencia es reflejar, de una manera

exacta y representativa, las relaciones de una seleccin de diferentes accidentes

geogrficos. Los accidentes tales como carreteras, vas frreas, asentamientos,

cursos de agua, elevaciones, lneas de costa y fronteras son tpicamente sealados.

Estos mapas se fabrican habitualmente en series de hojas individuales, y se


41

construyen cuidadosamente por mtodos fotogramtricos. Se presta una gran

atencin a la exactitud de la situacin de los accidentes ya que, en algunos casos,

estos mapas tienen la validez de un documento legal. Estos son tpicos productos de

grandes agencias cartogrficas nacionales y pueden ser considerados la base, sobre

la que se construyen otros mapas o estudios relacionados.

Los mapas generales son fundamentales para organizar y planificar el desarrollo

nacional y regional. Estn considerados como un recurso bsico nacional y son la

base para el desarrollo futuro, los principales tipos de mapas generales son los

siguientes:

Mapas planimtricos:

Estos muestran la situacin horizontal de rasgos seleccionados, sin incluir las

elevaciones o las profundidades del agua. Frecuentemente son utilizados como

mapas bsicos sobre los que se compilan datos para la construccin de mapas

especiales o temticos (figura 1.1a).


42

Figura 1.1 Ejemplos de mapas generales (referencia): (a)Planimtrico; (b)

catastral; (c) topogrfico; (d) batimtrico.


43

Mapas catastrales:

Estos muestran los lindes de las subdivisiones de la tierra, con marcaciones y

mediciones, y son utilizados para registrar la titularidad de las propiedades (Figura

1.1b).

Mapas topogrficos (mapas hipsomtricos):

Adems de los detalles planimtricos de los accidentes culturales y fsicos que han

sido seleccionados, estos mapas reflejan la forma y la elevacin del terreno. Esto se

hace frecuentemente mediante perfiles, isolneas, sombras, gradientes de color o

normales. Las series cartogrficas nacionales estn compuestas normalmente por

mapas topogrficos.

Los mapas topogrficos se usan ampliamente para mltiples propsitos, que

incluyen la seleccin de emplazamientos industriales, la planificacin de autopistas

colonias, el recorrido de lneas elctricas y telefnicas de tuberas, la seleccin de

emplazamientos para embalses, la planificacin militar, la caza, la pesca, el

excursionismo y la acampada. Ellos son, por lo tanto, verdaderos instrumentos de

uso general y se les considera fundamentales para el desarrollo econmico y de los

recursos de una regin. Adems, los mapas topogrficos se usan frecuentemente

como mapas bsicos para estudios especficos, debido a que muchas veces

constituyen la nica cartografa exacta disponible de una regin (Figura 1.1c). Los

problemas potenciales de este uso en particular se discutirn en la seccin 7 de este

manual.

Mapas batimtricos:


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Estas muestran las profundidades del agua y la topografa submarina. Las

profundidades uniformes, a intervalos de profundidad especficos, estn

generalmente unidas por lneas continuas denominadas isobatas (Figura 1.1d).

Mapas especiales o temticos.

Esta segunda y amplia categora incluye todas las variantes de mapas diseados

para satisfacer un objetivo especfico, que pueda ser claramente identificado de

antemano. Los mapas especiales constituyen el segmento de mayor crecimiento del

campo de la cartografa por su importancia para las actividades del desarrollo. Esta

es el rea donde se requiere un amplio conocimiento del diseo, tecnologa y, en

particular, del futuro usuario y empleo del mapa.

Los mapas temticos se componen de dos elementos principales: el fondo, o mapa

de base, y la informacin especfica que se presenta. El mapa de base se prepara

utilizando directa o indirectamente la informacin tomada de mapas generales o de

referencia. La informacin de base adicional y los datos temticos se derivan del

trabajo de campo, anlisis de imgenes, estudios cientficos, estadsticas publicadas

o de mapas existentes. Esta se dibuja sobre el mapa de base utilizando las tcnicas

cartogrficas apropiadas. Normalmente la creacin de un mapa temtico implica un

proceso de recopilacin, que incluye la recogida y manipulacin de datos de

diversas fuentes, para elaborar un nuevo producto.

Los mapas temticos tambin se denominan mapas de distribucin. Son una clase

de ensayo geogrfico que resalta un solo o mltiples temas tales como geologa,

oceanografa, climatologa, vegetacin, suelos, cosechas o aspectos sociales y

culturales de la poblacin. Los cartgrafos usan mucho estos mapas para sealar,


45

por ejemplo, detalles tales como instalaciones portuarias, fuentes de contaminacin,

variaciones climticas y distribuciones de peces y esquemas de migracin. Estas

distribuciones se pueden mostrar por muchos mtodos diferentes (ver Seccin 9).

Los mapas de transporte constituyen el mayor subgrupo dentro de la categora

temtica e incluyen las cartas nuticas y aeronuticas, los mapas de carreteras y los

mapas tursticos y de recreo. La mayora de estos son formas especializadas de

cartografa topogrfica, y han sido rediseados para servir a un fin ms especfico.

Cartas nuticas:

Estas se publican en primer lugar para los marinos, aunque sirven de muchas

formas relacionadas para un pblico ms amplio. Estas cartas estn diseadas para

proporcionar toda la informacin disponible para una navegacin marina segura, e

incluyen sondas e isobatas, obstculos, peligros, marcas prominentes en tierra y

ayudas a la navegacin tales como boyas y faros. La exactitud de estas cartas es de

gran importancia en las regiones costeras debido el potencial existente de

accidentes marinos. Las cartas son continuamente actualizadas para mantener al da

los cambios naturales o los realizados por el hombre (Figura 1.2 a).

Las variedades de estas cartas incluyen: cartas para pequeas embarcaciones -

diseadas para usos de recreo en aguas interiores y de los puertos; portulanos -

detalles de las zonas de fondeo, los puertos y pequeos canales; cartas de canales -

detalles de los canales y de los sistemas acuticos navegables; cartas costeras -

diseadas para la navegacin costera; cartas de navegacin - utilizadas

primordialmente por los navegantes para fijar las situaciones cuando se aproximan

a la costa desde alta mar.


46

Cartas aeronuticas:

Estas estn diseadas para la navegacin area, de aqu que se d importancia a

rasgos de la mayor significacin aeronutica. Los mayores esfuerzos se hacen para

localizar marcas prominentes en tierra, que incluyen centros de poblacin, marcas

en tierra natural y culturalmente distintivas, vas de ferrocarril y carreteras

principales. La informacin topogrfica se muestra frecuentemente mediante

elevaciones puntuales, isolneas y capas de colores, siendo esta ltima prctica cada

vez ms comn, de forma que la informacin sobre el relieve puede apreciarse de

un vistazo. La informacin aeronutica se expone generalmente en tamao

resaltado y con smbolos coloreados en magenta, para dar nfasis a este aspecto

crtico de la carta. Al igual que con la informacin nutica, la informacin

aeronutica cartografiada requiere frecuentes revisiones, de aqu que la fecha de

compilacin deba ser cuidadosamente observada (Figura 1.2 b).

Mapas de carreteras:

Estos son generalmente publicados por las autoridades nacionales, provinciales o

regionales, para facilitar el transporte a lo largo de distancias relativamente

grandes. Los mapas de carreteras indican la direccin, la distancia y la calidad de las

autopistas. Algunos dan informacin relacionada con el transporte tal como las vas

frreas y los aeropuertos. Las informacin del mapa es altamente selectiva y, en

algunas formas, el mapa mismo se vuelve ms esquemtico que planimetricamente

exacto (Figura 1.2 c).


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Mapas tursticos y de recreo:

El gran mercado de productos cartogrficos, que se ha generado por el nmero

creciente de turistas y viajeros, ha fomentado la competencia entre productores de

mapas tanto privados como gubernamentales. Muchos de los productos resultantes

son mapas topogrficos o planimtricos modificados.

Estos muestran sistemas mejorados de la clasificacin de las carreteras adems de

ubicaciones de hoteles, hostales, campamentos, lugares histricos, playas, museos,

cabinas de refugio de montaa, telesillas, transbordadores, etc. Algunos mapas

usan el sombreado de colinas y el coloreado de capas para acentuar los lugares

para escalada, acampada, esqu, caminatas y de vistas panormicas. Los mapas de

grandes ciudades pueden ser esquemticos y, para auxiliar al usuario, echan mano

de fotografas y dibujos de lugares significativos (Figura 1.2 d).


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Figura 1.2 Ejemplos de mapas especiales (temticos): (a) nutico; (b) aeronutico;

(c) carretera; (d) turstico y de recreo.


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El concepto de escala

Todos los mapas, fotografas areas e imgenes de satlites son una pequea

representacin de una porcin de la superficie de la Tierra. Su tamao, inferior al de

la realidad, es el responsable de su conveniencia como mtodo para ilustrar el

mundo. Para que estos productos sean tiles tiene que conocerse la relacin entre

el tamao del grfico y el tamao real de la misma regin de la tierra. Este concepto

fundamental, conocido como escala, es una de las ms importantes consideraciones

del diseo en el campo de la cartografa.

El establecer la escala para un mapa es una importante decisin de diseo. La

escala controla, entre otros aspectos, los siguientes temas:

I) la cantidad de datos o el detalle que puede mostrarse;

II) el tamao del grfico y su comodidad para la produccin usando

los materiales y el equipo disponible;

III) el coste de reproduccin;

IV) la legibilidad de cualquier producto que es una ampliacin o

reduccin de un mapa existente;

V) la extensin regional de la informacin presentada;


50

VI) el grado y naturaleza de la generalizacin llevada a cabo (ver

Seccin 7);

VII) la idoneidad de una base disponible para un fin especifico;

VIII) la facilidad de uso por el mercado al que se dirige;

IX) la cantidad de tiempo que un cartgrafo tiene que invertir en un

proyecto.

Concretamente, la escala es la razn entre la distancia en el mapa y la distancia

sobre el terreno, y su eleccin depende principalmente del propsito del mapa. El

cartgrafo tiene tambin que considerar conveniencia y economa, acordando un

equilibrio entre el rea cubierta, el tamao del mapa y la magnitud del detalle

requerido. Las escalas son frecuentemente un compromiso.

El empleo de los trminos relativos gran escala y pequea escala puede producir

una considerable confusin y tienen que ser cuidadosamente tratados. Para

comprender claramente el concepto, compare dos mapas de la misma rea pero de

escalas significativamente diferentes. Elija un rasgo comn tal como un aeropuerto,

una baha o una isla. El mapa que muestre el rasgo dibujado relativamente grande

es el mapa a gran escala. Por contraste, el mapa que muestra el mismo rasgo

distintivamente pequeo es, por definicin, el mapa a pequea escala (Figura 3.1).

Los mapas a pequea escala cubren amplias reas con poco detalle, mientras que


51

los mapas a gran escala muestran un gran detalle y solamente cubren un rea

pequea. La mayora de los mapas constituirn un compromiso entre el detalle

requerido y el rea de cobertura. En ocasiones las necesidades son incompatibles,

tal como cuando una gran rea tiene que ser cubierta pero algunas partes requieren

un gran detalle. Esto se puede solucionar produciendo ms de un mapa o utilizando

partes del mapa como inserciones a mayores escalas. Esta ltima solucin permite

una variacin en las escalas y un mayor detalle en reas crticas.

Figura 3.1 Una comparacin de un mapa a gran y a pequea escala.


52

Las formas de escala

Generalmente, una vez que ha sido calculada, la escala de un mapa puede

presentarse en tres formas normalizadas distintas. Estas son la escala numrica, la

expresin verbal y la escala grfica o lineal. En ocasiones se usan otras variantes de

escala, adems de las formas normalizadas.

Escala numrica

Las escalas numricas (E), tambin conocidas como razones de escala, relacionan el

tamao del mapa, o una parte de l, con su tamao real sobre el terreno. As, una E

de 1:10.000 significa que una unidad sobre el mapa es equivalente a 10.000

unidades sobre el terreno. Una importante ventaje de este sistema es que no est

ligado a un sistema de medidas especfico; la fraccin trabaja tan bin en unidades

mtricas, como en inglesas, o en cualquier otra unidad conveniente de medida.

Comparativamente, los pequeos valores detrs de los dos puntos se asocian con

mapas a gran escala, mientras que los grandes nmeros detrs de los dos puntos

estn relacionados con mapas a pequea escala. La Asociacin Cartogrfica

Internacional, en un intento de normalizar la terminologa, ha sugerido lo siguiente:


53

I) E. mayor que 1:25.000, p.e. nmeros inferiores a 25.000: mapas a gran

escala;

II) 1:50.000 a 1:100.000: mapas a media escala

III) E. inferior a 1:200.000, p.e. nmeros mayores que 200.000: mapas a

pequea escala.

Expresin de escala

Esta es una expresin escrita de la distancia en el mapa en relacin con la distancia

en la Tierra, por ejemplo, 1 pulgada igual a 1 milla, o 1 centmetro igual a 1

kilmetro. Una E. podra ser tambin considerada una expresin de escala desde

que, por ejemplo, 1:1.000.000 podra ser escrito como 1 centmetro igual a 10

kilmetros o 1 milmetro igual a 1 kilmetro. Si se elige esta versin de una escala,

evite la confusin no mezclando unidades mtricas e inglesas en una expresin.

Escala grfica o lineal

Este instrumento es el mtodo ms comn y ms til de representar una escala

sobre un mapa o una carta. Consiste en uno o ms segmentos subdivididos en

unidades de la distancia del terreno, o en otra cualquiera que la escala deba mostrar

(Figura 3.2). Tiene la considerable ventaja de permanecer exacta incluso si el mapa

se ampla o reduce, lo que no es cierto para los otros tipos de escala, la E. y la

expresin de escala.


54

Figura 3.2 Ejemplos de escalas grficas o lineales.

El cartgrafo tiene que recordar que la escala tiene que ser diseada para el usuario

y no para la conveniencia del cartgrafo. Las unidades de subdivisin tienen que ser

elegidas tan iguales y tiles como sea posible, cualquiera que sea la E. Por ejemplo,

la escala comn de los viejos mapas de 1 pulgada igual a 1 milla, con una E. de

1:63.360 debe ser convertida por el cartgrafo si se desea una escala mtrica. Al

tomar las unidades originales de la escala de 1 pulgada y dibujarlas de acuerdo con

su escala mtrica equivalente, cada subdivisin de 1 milla representara unos

incmodos 1609,35 metros. En este caso, una unidad de subdivisin bsica de

1.000 metros, o 1 kilmetro, podra estimarse apropiada. Un clculo revela que cada

unidad representando 1.000 metros ser de 1,578 centmetros de longitud. Esto es

difcil de dibujar, pero es el esfuerzo que tiene que hacer el cartgrafo para elaborar

un producto til y profesional.


55

Variaciones de la escala grfica

La mayora de las escalas grficas o lineales estn diseadas en medidas

tradicionales lineales tales como pies, millas, millas nuticas, metros y kilmetros.

No obstante, muchos sistemas de subdivisin de la Tierra se llevaron a cabo en

varas, cadenas, estadios y leguas. Anlogamente, tanto las longitud de cable

britnica y americana, e incluso las brazas, han sido utilizadas y ocasionalmente

pueden ser apropiadas.

En ocasiones, las escalas de lectura directa en unidades que no son puramente

lineales son tiles. Por ejemplo, muchos mapas tursticos incorporan escalas de

paseo calculadas sobre pasos medios de una persona en unidades de cinco o ms

minutos. Los mapas militares han presentado escalas en trminos de la distancia

que una tropa de hombres en marcha cubrir en un periodo de tiempo dado. Los

mapas de autopista pueden mostrar el tiempo transcurrido viajando a una velocidad

dada. Los mapas biolgicos han mostrado a que distancia viajar en un tiempo

determinado un ave migratoria, un animal o un pez. Estas escalas son en ocasiones

ms tiles que los formatos normalizados de escalas.

Retculados

Las retculas son un sistema de lneas de referencias verticales y horizontales,

dibujadas sobre muchos mapas, que permiten a un punto ser identificado por una

coordenada o un nmero de referencia (ver Seccin 4).

No obstante, las retculas tambin pueden ser utilizadas como un indicador de

escala en varios grficos. Un reticulado de cuadrados con lados de longitud

conocida, tales como un kilmetro o una milla, extendido sobre un dibujo permite


56

una fcil identificacin del tamao, rea, etc. En una serie de mapas relacionados,

semejante retcula proporciona un mtodo efectivo de comparacin e identificacin.

Un reticulado tiene que ser dibujado con lneas finas o dominar el dibujo, debido a

su naturaleza geomtrica y, en consecuencia, visible.

Formas comparativas

En algunos productos cartogrficos que ilustran un rea geogrfica desconocida o

poco familiar, un instrumento til para la escala es la inclusin de inserciones de

una regin ms familiar y del rea de estudio en una misma escala ms pequea.

Los mapas de viaje han utilizado desde hace tiempo este mtodo, por ejemplo

Londres a la misma escala sobre un mapa de Tokyo.

Separacin de paralelos

Los paralelos de latitud son un conjunto de lneas que corren de Este a Oeste

paralelas al Ecuador. Son una constante geogrfica que siempre puede ser traducida

en medidas de kilmetros o millas.

En latitud:

I) 10 = 1111,111 kilmetros = 600 millas nuticas = 691,72 millas legales;

II) 1 = 111,11 kilmetros* = 60 millas nuticas = 69,172 millas legales;

III) 1' = 1852 metros = 1 milla nutica = 1,15 milla legal.


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As, una diferencia de 4 en latitud tiene que tener la misma longitud en cualquier

regin del globo (240 millas nuticas) y, a menos que se necesite una mxima

exactitud, puede ser utilizada como un indicador de escala o base para clculos.

*Este es un valor medio conveniente que corresponde a 45 de latitud. Vara de

110,57 kilmetros en el Ecuador a 111,699 kilmetros en el Polo.

Factor de escala

Dado que la Tierra es esencialmente esfrica, el nico mtodo consistentemente

exacto para mostrar una gran regin, consiste en construir un globo al que entonces

se le puede dar una nica escala. Para transferir la forma del globo a un mapa

sobre una superficie plana, se requiere un mtodo organizado y consistente de

control de las distorsiones inevitables. Estas tcnicas matemticas y grficas son

conocidas como proyecciones cartogrficas y se tratan mas adelante en esta

seccin. No obstante, el uso de alguna proyeccin cartogrfica tiene como

consecuencia el que la escala vara en distintos lugares sobre el mismo mapa.

La escala numrica (E) rotulada sobre el mapa se refiere a la escala principal,

mientras que la escala local originada por el efecto distorsionante de la proyeccin

es conocida como la escala verdadera y variar de lugar a lugar. El factor de escala

(F.E.) es una razn de una sobre la otra, as:


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El factor de escala es 1,0 sobre una esfera, esto es que la escala verdadera es igual

a la escala principal, y en la mayora de los mapas a gran escala es prximo a esta

cifra. Sobre mapas a pequea escala puede variar fcilmente de 0,5 a 2,0; esto se

traduce en una gama de escalas de 1:5.000.000 a 1:20.000.000 sobre un mapa

cuya escala declarada es 1:10.000.000. En la ampliamente utilizada proyeccin

Transversal Mercator, el F.E. de una zona de 6 de longitud vara solo de 0,99960 a

1,00158. Anlogamente, en el proyeccin Mercator, muy empleada para cartografa,

el F.E. est limitado a 1,016 en la zona comprendida entre 10 Norte y Sur del

Ecuador.

El factor de escala (F.E.) se expresa raramente en un mapa, si es que se hace

alguna vez, pero puede tener efectos significativos. El control del factor de escala

es, por lo tanto, importante en la eleccin de la proyeccin cartogrfica adecuada.

Escala de superficie

En ocasiones es necesario construir un mapa de tal forma que todas las

proporciones de superficie estn correctamente representadas. Por ejemplo, una

unidad de superficie en el mapa (centmetro cuadrado, pulgada cuadrada, etc.)

representa un nmero determinado de las mismas unidades superficiales sobre la

Tierra. Aqu de nuevo el cartgrafo tiene que seleccionar primero una proyeccin

cartogrfica adecuada que permita esta funcin. Para evitar confusiones, las escalas


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de superficies se expresan grficamente ms que numricamente. As la explicacin

incluir un cuadrado que representa un nmero expresado de kilmetros o millas

cuadradas, acres, etc.

Escala variable

Como se indic anteriormente, ningn mapa plano puede mostrar simultneamente

las distancias verdaderas desde todos los puntos y en todas direcciones. En algunas

proyecciones cartogrficas la distorsin de la distancia es sistemtica y se pueden

construir escalas variables para permitir la toma de medidas exactas. Esto es

particularmente cierto sobre aquellos mapas que contienen la proyeccin Mercator,

tales como algunas cartas nuticas y aeronuticas. Ello permite la determinacin de

la escala en latitud o longitud, a pesar del amplio rango en la distorsin de la escala.

Otras escalas

Las escalas de fraccin, nominal, ordinal, intervalo, valor y logartmica se tratan en

la Seccin 9. La escala de las fotografas areas se describe en la Seccin 8.

Cambio de escala

Cuando un mapa se reduce o ampla, la escala cambiar proporcionalmente. Si un

dibujo a una escala de 1:100.000 es reducido al 50% de su tamao original, la

escala cambiar a 1:200.000. Anlogamente, si se ampla al 200 del tamao

original, el grfico 1:100.000 tendr ahora una escala de 1:50.000. Todas las

escalas, y especialmente una expresin de escala o una E. tienen que ser

cuidadosamente calculadas y etiquetadas para la escala de reproduccin. La


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cantidad de reduccin o ampliacin tiene que ser conocida, en caso necesario, con

precisin en la fase de diseo. Por esta razn el cartgrafo tiene que trabajar

estrechamente tanto con el autor como con el impresor, al tomar las decisiones

preliminares de diseo.

Las ilustraciones cartogrficas pueden ser reproducidas fotogrficamente, al 100%,

reducidas o ampliadas. El cambio de escala tiene que ser claramente identificado si

se requieren ampliaciones o reducciones. Lo mejor es utilizar las especificaciones

incorporadas en la mayora de las cmaras de procesamiento, los aparatos que se

usan para hacer la reproduccin. En estos instrumentos, una reproduccin al mismo

tamao se indica como 100%. Para obtener una reduccin del 25% en tamao, la

cmara hay que ponerla al 75%, y es esto ltimo lo que hay que especificar.

Reduce al 75% del original evita el error obvio de colocar la cmara al 25% y

obtener un dibujo donde cada lnea sea 1/4 de su tamao original.

Anlogamente, para ampliar hay que especificar el porcentaje en el a juste de la

cmara. As, si se requiere un dibujo donde cada dimensin sea el doble de la del

original, debe anotarse la expresin Ampliar a 200% del original y no Ampliacin

100%.

Si an hay una posibilidad de confusin, proporcione al operador una simple escala

lineal para colocarla sobre la cmara. Incluya sobre el dibujo dos lneas (segmentos

AB y AC) de medidas cuidadosamente realizadas. La instruccin debe leerse

Reducir (o ampliar) exactamente AB a AC. Ello evita cualquier confusin y permite

al operador comprobar fsicamente la ampliacin o reduccin.


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Geodesia - La forma de la Tierra

El hecho de que le Tierra no sea ni plana ni redonda ha planteado histricamente un

problema a los cartgrafos, especialmente al producir grandes series de mapas o

cartas, a gran o pequea escala, que cubran amplias reas geogrficas. La forma

exacta de la Tierra se convierte entonces en un aspecto principal. No obstante, para

mapas individuales a gran escala, especialmente aquellos de naturaleza temtica,

las variaciones no son significativas.

Las imgenes de satlites han asegurado que la forma aproximadamente esfrica de

la Tierra sea aceptada por la mayora de la gente y que no sea ms un tema de

discusin. No obstante, la forma exacta es an de cierto inters y an est

activamente bajo estudio. Como es bien conocido, la Tierra se ha vuelto ligeramente

aplanada en los polos debido a los efectos de su rotacin. La distorsin no es obvia

- si la Tierra fuera reducida a un globo de 1 metro de dimetro, la magnitud del

aplanamiento de los polos sera solamente de unos 3,5 milmetros.

Los topgrafos tambin tienen que luchar con el hecho de que la masa de la Tierra

no est uniformemente distribuida. Esto crea variaciones en la fuerza y la direccin

de la gravedad, que controla las superficies horizontales y verticales locales con las

que el topgrafo tiene que trabajar. As, los cientficos han postulado en teora una

forma esfrica irregular, que tiene en cuenta las variaciones de la gravedad; se

denomina el geoide. Como se aprecia en la Figura 3.3, la forma del geoide es ms

acusada bajo los continentes debido a la presencia de una gran masa rocosa por

encima del nivel del mar.

El geoide se describe frecuentemente como una superficie hipottica al la que se

adaptara el ocano (por ejemplo, el nivel del mar), si fuera libre para ajustarse a la


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atraccin gravitatoria de la Tierra y a las fuerzas de rotacin centrfuga. Los estudios

de gravedad utilizando satlites han revelado ahora que el campo gravitatorio de la

Tierra tiene algunos salientes y depresiones inequvocos. La mayor joroba est cerca

de Nueva Guinea, teniendo unos 81 metros de altura, mientras que la mayor

depresin, al sur de la India, profundiza 110 metros bajo la superficie de referencia.

A los efectos de la cartografa una superficie irregular es muy poco deseable, por lo

que la informacin tiene que ser transferida a una forma geomtrica regular, que

puede ser calculada, y que se aproxima mucho al geoide. Esta forma es conocida

como el elipsoide y es una superficie tridimensional de referencia (Figura 3.3). No

existe un elipsoide que sea considerado adaptable a todos los estudios y

cartografas a lo largo de todo el mundo. Por razones histricas y polticas estn

actualmente en uso un cierto nmero de diversas figuras de la Tierra (Tabla 3.1).

Recientemente, la Asociacin Internacional de Geodesia ha aprobado nuevas

dimensiones para un elipsoide de referencia, llamado el Sistema Geodsico de

Referencia 1980 (GRS80). Este es la base para un nuevo sistema cartogrfico de

ref

manual dibujotecnico topografia

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