makalah sistem persamaan dan pertidaksamaan linier
TRANSCRIPT
MAKALAH
SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
LINIER
Sekolah Menengah Atas Negeri 3 Kotabumi
Jl. Sersan Laba Gole no. 45
Kotabumi, Lampung Utara
2013
LEMBAR PENGESAHAN
Judul Materi : Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linier
Tujuan Pembelajaran : Dapat menentukan himpunan penyelesaian
dari sistem persamaan menggunakan metode
eliminasi, substitusi, dan gabungan eliminasi &
substitusi, serta dapat menentukan penyelesaian,
dan nilai x dari pertidaksamaan.
Lokasi Penyampaian materi : Kelas X MIA 5, SMAN 3 Kotabumi
Tanggal Penyampaian Materi : 19 November 2013
Guru Pembimbing : SUKMANIAR, S.Pd
Kotabumi, 20 November 2013
Guru Pembimbing
SUKMANIAR, S.Pd.
NIP:…………………
ii
SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
LINIER
Kelas : X MIA 5
Kelompok : 3
1. Ririn Cahyani AS
2. Nunung Kurnia Sari
3. Dea Desriza
4. Farida Kofa
5. Tria Nisrina
6. Tomi Erwansyah
iii
KATA PENGANTAR
Atas berkat rahmat dan karunia Tuhan Yang Maha Esa, kami dapat
menyelesaikan pembuatan makalah materi “Sistem Persamaan dan
Pertidaksamaan Linier”. Makalah ini kami susun berdasarkan isi dari materi yang
kami ambil dari buku Kompetensi Matematika Kelas X penerbit Yudhistira.
Materi-materi yang kami tulis di makalah ini dengan melibatkan siswa
untuk aktif dalam berfikir, yakni suatu makalah yang berisi pertanyaan-
perrtanyaan mengenai uraian materi yang akan dibahas di makalah ini maupun
sebagai pendukung materi, sehingga siswa terbiasa berfikir kritis dan analitis,
tidak hanya pasif menerima materi tanpa bertanya “mengapa?”. Kami juga
mengharapkan siswa dapat memahami keterkaitan matematika dalam kehidupan
sehari-hari yang berhubungan dengan matematika dalam materi ini.
Mungkin hanya ini dari kami sebagai pembukaan dari makalah ini. Sekali lagi kami ucapkan terima kasih dan mohon maaf bila ada kesalahan-kesalahan dari makalah ini sendiri.
Kotabumi, 20 November 2013
Penyusun
iv
DAFTAR ISI
Judul ………………………………………………………………… i
Lembar Pengesahan ………………………………………………… ii
Nama Kelompok……………………………………………………. iii
Kata Pengantar …………………………………………………..…. iv
Daftar Isi………………………………………………………….…. v
Peta Konsep………………………………………………………..... vi
BAB I PENDAHULUAN…………………………………………… 1
1.1 Latar Belakang Masalah………………………………………… 1
BAB II LANDASAN TEORI………………………………………. 2
2.1 Sistem Persamaan Linear Dua Varabel………………………… 2
2.1 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel………………………... 5
2.3 PERTIDAKSAMAAN………………………………………… 12
BAB III ASPEK PENILAIAN……………………………………... 18
BAB IV PENUTUP……………………………………………....... 23
DAFTAR PUSTAKA…………………………………………….
PETA KONSEP
1
SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER
PERSAMAAN LINIER PERTIDAKSAMAAN LINIER
SPLDV
SPLTV
Metode:
1. Eliminasi
2. Substitusi
3. Gabungan
1. Notasi Ketidaksamaan
2. Sifat-sifat Pertidaksamaan
3. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan
4. Petidaksamaan Bentuk Akar
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Banyak masalah dalam kehidupan kita sehari-hari dapat dinyatakan dalam sistem persamaan. Sebagai contoh adalah masalah pada uraian pengantar materi yang merupakan sistem persamaan linier. Jika seseorang pengusaha telah mengetahui harga keseluruhan bahan baku, maka ia akan mampu menghitung harga satuan bahan baku tersebut.
Sebelum menyelesaikan suatu permasalahan, terlebih dahulu permasalahan terebut diubah menjadi model matematikan yang memuat sistem persamaan linier.
Bagi siswa yang menyukai balapan mobil Formula 1 (F1) tentulah asyik melihat adanya persaingan antarpembalap dengan mengasyikkan aksi dan maneuver-manuver yang mengundang decak kagum. Terkesan bahwa, mereka (pembalap) dengan asyiknya mengendarai mobilnya secepat mungkin.
Padahal tidak. Dalam perlombaan tersebut, telah ditentukan peraturan-peraturan. Sebagai contoh, peraruran tentang batas kecepatan mobil yang diperkenankan.
Misalnya batas kecepatan pada lintasan menikung, seorang pembalap diperkenankan mengendarai mobilnya dengan kecepatan antara 50 sampai dengan 70 km/jam.
Dalam matematika, keterbatasan di atas dapat dipandang sebagai interval atau selam dalam konsep pertidaksamaan. Selang atau interval ini merupakan hal mendasar untuk dapat menyelesaikan permasalahan pertidaksamaan.
Pada materi ini juga, akan dijelaskan pula tentang sistem persamaan.
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Linier dengan Dua Variabel
Bentuk umum sistem persamaan linier dengan dua variabel dalam x dan y adalah:
Pada persamaan pertama a1 atau b1 boleh nol tetapi tidak boleh kedua-duanya nol, demikian juga pada persamaan kedua, a2 atau b2 salah satunya boleh nol dan tidak boleh kedua-duanya nol.
2.1.1 Cara Menentukan Himpunan Penyelesaian dari Sistem Persamaan linier denan Dua Variabel
Metode eliminasi
Metode substitusi
Metode gabungan eliminasi dan substitusi
2.1.1.1 Metode Eliminasi
Mengeliminasi artinya menghilangkan sementara atau menyembunyikan salah satu variabel sehiongga dua variabel menjadi hanya satu variabel dan sistem persamaannya dapat diselesaikan.
Langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan metode eliminasi adalah sebagai berikut.
3
A1x + b1y = c1
A2x + b2y = c2
Dengan a1, b1, a2, b2, c1 dan c2 adalah bilangan real.
a. Samakan koefisien dari variabel yang akan dihilangkan pada suatu sistem persamaan dengan cara mengalikan suatu bilangan ke kedua persamaan tersebut. Kemudian kedua persamaan tersebut dikurangkan.
b. Jika salah satu variabel dari suatu sistem persamaan mempunyai koefisien yang sama, maka kurangkan kedua persamaan tersebut. Jika satu variabel mempunyai koefisien yang berlawanan, maka jumlahkan kedua persamaan tersebut, sehingga diperoleh persamaan linier dengan satu variabel.
c. Selesaikan persamaan linier dengan satu variabel tersebut.
d. Ulangi langakh a, b, dan c untuk mendapatkan nilai variabel lainnya.
Contoh soal:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode eliminasi!
a. 2x + 3y = 3
x – 2y = 5
jawab:
2x + 3y = 3 │ x 1 │ 2x + 3y = 3
x – 2y = 5 │ x 2 │ 2x – 4y = 10
7y = -7
y= -1
2x + 3y = 3 x 2 4x + 6y = 6
X – 2y = 5 x 3 3x – 6y = 15
7x = 21
X = 3
Jadi himpunan penyelesaiannya adanalah {(3, -1)}
2.1.1.2 Metode subtitusi
Metode subtitusi dilakukan dengan menggunakan langkah-langkah berikut:
1). Mengubah salah satu variabel menjadi fungsi terhadap variabel lainnya pada salah satu persamaan dan
2). Variabel yang sudah menjadi fungsi disubtitusikan ke persamaan lainnya
Contoh soal:
Tentuhkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut denggan menggunakan metode subtitusi!
2x + y = 7
5x – 3y = 1
Jawab:
2x + y = 7 y = 7 – 2x
Y = 7 – 2x disubstitusikan pada 5x – 3y = 1, maka:
5x - 3(7-2x) = 1
5x – 21+ 6x= 1
11x= 1+21
11x= 22
x= 2 disubstitusikan ke y = 7 – 2x, maka
y= 7-2.2
y= 3
jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2,3)}
2.1.1.3 Metode gabungan eliminasi dan substitususi
Metode gabungan eliminasi dan substitusi dilakukan dengan cara mengeliminasi salah satu variabel kemudian dilanjutkan dengan mensubstitusikan hasil dari eliminasi tersebut.
Contoh soal :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini dengan metode gabungan dan substitusi!
3x – 5y = 22
4x + 3y =10
Jawab:
3x – 5y = 22 x4 12x – 20y = 88
4x + 3y = 10 x3 12x + 9y = 30
-29y = 58
y= -2
nilai y = -2 disubstituikan ke 3x – 5y = 22, diperoleh
3x – 5y = 22
3x – 5(2) = 22
3x + 10 = 22
3x = 12
X= 4
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(4,-2)}
2.2 Sistem Persamaan Linier dengan Tiga Variabel
Bentuk umum dari persamaan linear tiga variabel dalam x, y, dan z adalah sebagai berikut.
A1x + b1y + c1z = d
A2x + b2y + c2y = d
A3x + b3y + c3z = d
Dengan a1, a2,a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, dan d3 bilangan real.
2.2.1 Cara Menentukan Himpunan Penyelesaian dari Sistem Persamaan linier denan tiga Variabel
1. Eliminasi
2. Substitusi, atau
3. Gabungan eliminasi dan substitusi
2.2.1.1 Metode Eliminasi
Untuk memahami pemkaian metode eliminasi dalam menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan tiga variabel, perhatikan contoh berikut!
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan metode eliminasi!
2x + 3y – z = 1
X + y + z = 4
3x – y +2z = 14
Jawab:
2x + 3y – z = 1 … (1)
X + y + z = 4 … (2)
3x – y +2z = 14 …(3)
Kita elimisasikan variabel z dari persamaan (1) dan (2)
2x + 3y – z = 1
X + y + z = 4
3x + 4y =5 …(4)
Kita elimisasikan variabel z dari persamaan (1) dan (3)
2x + 3y – z = 1 x2 4x + 6y -2z = 2
3x - y + 2z = 14 x1 3x – y + 2z= 14
7x +5y= 16 ….(5)
Kita elimisasikan variabel y dari persamaan (4) dan (5)
3x + 4y =5 x5 15x + 20y = 25
7x + 5y = 16 x4 28x + 20y = 64
-13x = -39
X = 3
Kita elimisasikan variabel x dari persamaan (4) dan (5)
3x + 4y =5 x7 21x + 28y = 35
7x + 5y = 16 x3 21x + 15y = 48
13y = -13
Y = -1
Kita elimisasikan variabel x dari persamaan (1) dan (2)
2x + 3y – z = 1 x1 2x + 3y - z = 1
x + y + z = 4 x2 2x + 2y + 2z= 8
y -3z= -7 ….(5)
Kita elimisasikan variabel x dari persamaan (1) dan (3)
2x + 3y – z = 1 x3 6x + 9y -3z = 3
3x - y + 2z = 14 x2 6x – 2y + 4z= 14
11y -7z= -25….(7)
Kita elimisasikan variabel x dari persamaan (6) dan (7)
y -3z= -7 x11 11y – 33z = -77
11y -7z= -25 x1 11y – 7z = -25
-26z = -52
Z =2
Jadi, himpunan ppenyelesaiannya adlah {(3,-1,2)}
2.2.1.2 Metode Substitusi
Untuk memahami pemkaian metode Substitusi dalam menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan tiga variabel, perhatikan contoh berikut!
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan metode Substitusi!
X – 3y + 2z = 8
2x + y – 2z =0
3x + 5y – z = 17
Jawab:
X – 3y + 2z = 8 ….(1)
2x + y -2z = 0 ….(2)
3x + 5y –z = 17 ….(3)
Dari persamaan (1) diperoleh
X – 3y + 2z = 8
X = 3y -2z + 8 ….(4)
Dari persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (2)
2x + y -2z = 0
2(3y – 2z + 8) + y -2z = 0
6y – 4z + 16 +y -2z =0
7y – 6z = -16
Y = 6z – 16 ….(5)
7
Dari persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (3)
3x + 5y –z = 17
2(3y – 2z + 8) + 5y – z = 17
9y – 6z + 24 + 5y – z = 17
14y – 7z = -7 …..(6)
Dari persamaan (5) disubstitusikan ke persamaan (6)
14y – 7z = -7
14 6z – 16 -7z = -7
7
12z – 32 – 7z = -7
5z = 25
Z = 5
Nilai z = 5 disubstitusikan ke persamaan (5)
Y = 6z –16
7
Y = 6.5 – 16 = 30 – 16 = 2
7 7
Nnilai z = 5 dan y = 2 disubstritusikan ke persamaan (4)
X = 3y – 2z + 8
X = 3.2 – 2.5 + 8
X = 6- 10 + 8
X = 4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2,4,5)}
2.2.1.3 Metode Gabungan Eliminasi dan Substitusi
Untuk memahami pemkaian metode Metode Gabungan Eliminasi dan Substitusi dalam menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan tiga variabel, perhatikan contoh berikut!
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan metode Metode Gabungan Eliminasi dan Substitusi
3x + 5y – z = 11
X – 3y + 4z = 12
4x + 2y – 5z = -1
Jawab :
3x + 5y – z = 11 …..(1)
X – 3y + 4z = 12 …..(2)
4x + 2y – 5z = -1 …..(3)
Kita eliminasikan variabel z dari persamaan (1) dan (2)
3x + 5y – z = 11 x4 12x + 20y - 4z = 44
X – 3y + 4z = 12 x1 x – 3y + 4z = 12
13x + 17y = 56 ….(4)
Kita eliminasikan variabel z dari persamaan (2) dan (3)
X – 3y + 4z = 12 x5 5x – 15y + 20z = 60
4x + 2y – 5z = -1 x4 16x + 8y – 20z = -4
21x – 7y = 56 …..(5)
Kita eliminasikan variabel y dari persamaan (4) dan (5)
13x + 17y = 56 x7 91x + 119y = 392
21x – 7y = 56 x17 357x – 119y = 952
448x = 1344
X = 1344
448
X = 3
Nilai x = 3 dusbstitusikan ke persamaan (4)
13x + 17y = 56
13.3 + 17y = 56
39 + 17y = 56
17y = 56 -39
17y = 17
Y=1
nilai x = 3 dan y = 1 disubstitusikan ke persamaan (1)
3x + 5y – z = 11
3.3+ 5.1 – z = 11
9+5 –z = 11
Z = 3
Jadi himpunan penyelesaiaanyya adalah {(3,1,3)}
2.3 Pertidaksamaan
Bentuk umum dari pertidaksamaan adalah sebagai berikut:
2.3.1.1 notasi ketidaksamaan
Misalnya a dan b bilangan real
a, a dikatakan kurang dari b, ditulis a < b jika dan hanya jika a –b negatif
sebagai contoh, 7<12 kerena 7 – 12 = -5 dan -5 negatif
b, a dikatakan lebih dari b, ditulis a >b jika dan hanya jika a-b positif.
Sebagai conth, 5>2 karena 5-2= 3 dan 3 positif
C, a dikatakan kurang dari atau sama dengan b, ditulis a< b jika dan hanya jika
A < b atau a = b.
Dengan kata lain, a < b adalah ingkaran a > b
Sebagai contoh, 4 < 7 adalah benar karena 4 > 7 adalah salah
D, a adalah dikatakan lebih dari atau sama dengan b, ditulis a > b jika dan hanya
Jika a > b atau a = b
Dengan kata lain, a >b adalah ingkaran dari a < b
Sebagai contoh, 7 > 3 adalah benar karena 7 < 3 adalah salah
2.3.1.2 Definisi pertidaksamaan
Pada uraian diatas, diberikan notasi dari ketidaksamaan a < b, a>b,
A < b dan a > b. pertidaksamaan didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang dihubungkan oleh notasi ( lambang ) ketidaksamaan “<” , “>” , “<” atau “>”
U(x) < v(x) u(x) < v(x)
U(x) > v(x) u(x) > v(x)
2.3.1.3 selang atau interval
Ada 8 macam kemungkinan selang atau interval yang sering dijumpai dalam menyelesaikan suatu pertidaksamaan, yaitu:
Selang 1-4 dinamakan selang hingga, sedangkan selang 5-8 dinamakan selang tak hingga.
2.3.1.4 sifat-sifat pertidaksamaan
1. Tanda pertidaksamaan tidak akan berubah jika kita menambahkan atau
mengurangkan suatu pertidaksamaan dngan bilangan atau suatu ekspresi
matemtaika tertentu
Contoh soal:
Tentukan penyelesaiaan dari pertidaksamaan berikut!
X – 2 < 5
Jawab:
X – 2 < 5
X – 2 + 2 < 5 + 2
X < 7
7
2. Tanda pertidaksamaan tidak akan berubah jika kita mengalikan atau
membaginya dengan bilangan positif
Contoh soal:
Tentukan penyelesaiaan dari pertidaksamaan berikut!
2x > 14
Jawab :
2x > 14
1 x 2x > 1 x 14
2 2
X > 7
7
3. Tanda pertidaksamaan akan berbalik jika dikali atau dibagi dengan sebuah
bilangan negatif
Contoh soal:
Tentukan penyelesaiaan dari pertidaksamaan berikut!
-4x > -20
Jawab :
-4x > -20
-4x < -20x
(-4) (-4)
X<5
5
2.3.2 Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yan memuat variabel (peubah) dengan pangkat tertinggi dari variabel tersebut adalah 1(satu).
Tentukan himpunan penyelesaiaan dari pertidaksamaan berikut pada garis bilangan!
4x + 2 < 10
Jawab:
4x + 2 < 10
4x + 2 – 2 < 10 – 2
4x < 8
X<2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x| x < 2, x E R}
-2 -1 0 1 2
2.3.3 Pertidaksamaan Berbentuk Pecahan
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan berbentuk pecahan, ada beberapa langkah yang harus kita ikuti antara lain:
a.mengubah ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol
b. menyederhanakan ruas kiri dengan memfaktorkan pembilang dan penyebut
c. menentukan nilai fakrtor pembuat nol pembilang dan penyebut
d. letakan nilai faktor pembuat nol pada garis bilangan
e. menentukan tanda + untuk nilai pertidaksamaan yang > 0 dan tanda – untuk nilai pertidaksamaan yang < 0
f. himpunan penyelesaiaanya adalah pada interval yang memenuhi nilai yang sesuai dengan tanda pertidaksamaan pecahan yang telah disederhanakan setelah diuji
contoh soal:
tentukan himpunan penyelesaiaan dari pertidaksamaan berikut!
2x-1 > 1, x = 3
x-3
jawab :
2x-1 > 1
x-3
2x-1 -1 > 0
x-3
2x-1 x – 3
x-3 x – 3
x + 2
x – 3
nilai faktor pembuat nol pembilang adalah x= -2
nilai faktor pembut nol penyebut dlh x = 3
lakukan pengujian nilai x pada garis bilangan, sehinga
+ + + +++
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x| x < -2 atau x > 3, x E R}
DAFTAR PUSTAKA
Johanes, Sulasim. 2006. Kompetensi matematika 1a.jakarta: yudhistira
Google. http://rumushitung.com/2013/08/24/pertidaksamaan-matematika-sma/
Kementrian pendidikan. 2013 Matematika kelas x. indonesia