makalah numerik

DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR…………………………………………………………. i

DAFTAR ISI…………………………………………………………………… ii

BAB I PENDAHULUAN……………………………………………………… 1

BAB II PEMBAHASAN………………………………………………………. 2

A. Sistem Persamaan Nirlanjar………………………………………………… 2

B. Metode Lelaran Titik Tetap…………………………………………………. 3

C. Metode Newton Raphson…………………………………………………… 11

BAB III PENUTUP……………………………………………………………. 15

A. Kesimpulan…………………………………………………………………. 15

B. Saran………………………………………………………………………… 16

Daftar Pustaka………………………………………………………………….. 17


BAB I

PENDAHULUAN

Dalam permasalahan non-linier, terutama permasalahan

yang mempunyai hubungan fungsi eksponensial dalam

pembentukan polanya dapat dianalisis secara eksperimental

maupun teoritis. Salah satu bagian dari analisa teoritis adalah

dengan melakukan komputasi dengan metode numerik. Metode

numerik dalam komputasi akan sangat membatu dalam

menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang rumit

diselesaikan secara aritmatika. Metode numerik akan sangat

membantu setiap penyelesaian permasalahan apabila secara

matematis dapat dibentuk suatu pola hubungan antar

variabel/parameter. Hal ini akan menjadi lebih baik jika pola

hubungan yang terbentuk dapat dijabarkan dalam bentuk fungsi.

Ada sejumlah metode numerik yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan persamaan non-linear. Dua diantaranya adalah

metode Newton-Raphson dan metode Titik Tetap.

Pendekatan kedua metode yang berbeda ini dalam

menyelesaikan persoalan yang sama, bisa dikomparasikan

terhadap solusi akhir yang diperoleh. Kesesuaian nilai yang didapat

dalam kedua metode ini, menunjukkan bahwa hasil perhitungan


yang diperoleh adalah tepat. Secara komputasi, disamping

ketepatan nilai akhir dari suatu metode juga akan

mempertimbangkan kecepatan iterasi dalam perolehan hasil akhir.

Kombinasi antara ketepatan dan kecepatan iterasi dalam metode

numerik merupakan hal yang penting dalam penyelesaian

permasalahan secara komputasi.

BAB II

PEMBAHASAN

A.Sistem Persamaan Tak Linier

Sampai kini, kita telah memutuskan perhatian kita pada

penentuan akar-akar satu persamaan tunggal. Suatu masalah

yang berkaitan adalah melokasikan akar-akar himpunan

persamaan taklinier,

f 1 (x1 , x2 ,….. , xn )=0

f 2 (x1 , x2 ,….. , xn )=0

. .

. .

. .

f n (x1 , x2 ,… .. , xn )=0


Penyelesaian sistem ini terdiri dari himpunan nilai-nilai x yang

secara simultat memberikan semua persamaan tersebut nilai

yang sama dengan nol.

Di bagian tiga, kita akan menyajikan metode-metode untuk

kasus dalam hal semua persamaan tersebut linear-yakni dapat

dinyatakan dalam bentuk umum

f ( x )=a1 x1+a2 x2+…+an xn - c = 0

Dengan c koefisien-koefisien a adalah konstanta. Persamaan-

persamaan aljabar dan trasenden yang tidak cocok dengan

bentuk ini disebut persamaan taklinear. Misalnya,

x2+ xy=5

Dan

y+2 xy❑=15

Adalah dua persamaan taklinear simultat dengan dua bilangan

anu, x dan y. Persamaan-persamaan itu dapat dinyatakan dalam

bentuk persamaan sebagai,

u ( x , y )= x2+xy−5=0

v ( x , y )= y+2xy❑−15=0

Jadi, penyelesaian akan berupa nilai-nilai x dan y yang membuat

fungsi u ( x , y ) dan v ( x , y ) sama dengan nol. Kebanyakan

pendekatan untuk penentuan penyelesaian yang demikian


merupakan perluasan dari metode-metode terbuka untuk

menyelesaikan persamaan tunggal. Dalam pasal ini kita akan

menyelidiki dua dari metode ini: iterasi satu titik dan Newton-

Raphson.

B.Metode Lelaran Titik Tetap (iterasi satu titik)

Pendekatn iterasi satu titik dapat dimodifikasi untuk

menyelesaikan dua persamaan linear yang simultan. Metode

leleran titik tetap atau iterasi satu titik dengan dua persamaan

memiliki dua prosedur lelaran yang pertama disebut dengan

lelaran jacobi

xr+1=g1 (xr , yr )

yr+1=g2 (xr , yr ) r = 0,1,2,….

kondisi berhentinya adalah |xr+1−xr|<ε dan|yr+1− yr|<ε. Kecepatan

konvergensi leleran titik tetap ini dapat ditingkatkan dengan

menggunakan lelaran seidel. Nilai xr+1 yang baru dihitung

langsung dipakai untuk menghitung yr+1. Jadi,

xr+1=g1 (xr , yr )

yr+1=g2 (xr+1 , yr ) r = 0,1,2,…

Pendekatan ini akan diilustrasikan dalam contoh berikut:

Iterasi satu titik untuk sistem tak linear


Pernyataan masalah : Dengan menggunakan satu titik untuk

menentukan akar-akar persamaan

u ( x , y )= x2+xy−5=0

v ( x , y )= y+2xy−15=0

Perhatikan bahwa sepasang akar yang benar adalah x=2 dan

y=3. Awali komputasinya dengan menebak x=1 dan y=2.

Penyelesaian : persamaan tersebut dapat dipecahkan

xr+1=5−xr

2

yr

Dan persamaan dapat dipecahkan untuk

yr+1=15−2xr yr❑

Pehatikan bahwa selanjutnya dalam contoh diatas kita akan

membuang tikalas (subskrip).

Berdasarkan tebakan awal, persamaan dapat dipakai untuk

menentukan nilai x yang baru:

x=5– (1)2

2=2

Hasil ini dan nilai y = 2 dapat disubtitusikan ke dalam persamaan

untuk menentukan nilai y yang baru:

y=15−(2 ) (2 )❑=11


Jadi, pendekatan tersebut kelihatannya divergen. Prilaku ini lebih

jelas lagi pada iterasi yang kedua

x=5– (2)2

11=0

y=15−2 (2 )(0)=15

Jelas pendekatannya semakin buruk.

Sekarang kita akan mengulangi komputasinya tetapi dengan

persamaan semula disusun dalam bentuk berbeda. Misalnya,

perumusan lain persamaan adalah:

x=√5−xy

Dan persamaan

y=15− y2x

x=√5−1 (2 )=1,73

y= 15−22(1,73)

=13,27

x=√5− (1,73 )(13,27)=imajiner

Karena pendekatannya semakin buruk maka kita ulang kembali

kumputasinya dengan persamaan yang berbeda. Misalnya

x= 5x+ y

Dan persamaan


y= 151+2 x

x= 51+2

=1.667

y= 151+2 (1.667 )

=3.461

x= 51.667+3.461

=0.975

y= 151+2(0.975)

=5.05

Jadi, pendekatan konvergen ke nilai-nilai sejati x = 0 dan y =6.

Contoh sebelum ini menggambarkan kekurangan yang paling

serius dari iterasi satu-titik sederhana yakni bahwa

kekonvergenan karap kali tergantung pada bagaimana

persamaan-persamaan itu dirumuskan. Tambahan pula,

sekalipun dalam situasi dimungkinkannya kekonvergenan, dapat

saja terjadi kedivergenan jika tebakan awal tidak cukup dekat ke

penyelesaian sejati. Dengan penalaran yang serupa seperti

diperagakan bahwa syarat yang perlu untuk kekonvergenan

adalah

|∂u∂ x|+|∂v∂ x|<1

Dan


|∂u∂ y|+|∂ v∂ y |<1

Kriteria ini demikian terbatas (restriktif) sehingga iterasi satu-titik

jarang sekali dipakai dalam praktek.

Adapun algoritma dari metode lelaran titik tetap atau iterasi satu

titik

1. Tentukan x0, y0, dan epsilon.

2. Masukkan persamaan x1 dan y1

3. Jika |xr+1−xr|<ε dan|yr+1− yr|<ε maka iterasi berhenti

4. Jika tidak maka kembali ke 2 dengan x1=x0 dan y1=y0;

5. Tarik akar

6. Selesai

Contoh perogramnya dalam matlab

clc;

clear;

x0=1;

y0=2;

epsilon=0.000001;

disp('Metode Titik Tetap untuk persamaan nirlanjar')

disp('f1(x,y)=x^2 + xy - 5');

disp('f2(x,y)=y + 2xy - 15');

disp('r x y |x(r+1)-x(r)| |y(r+1)-x\y(r)|');

for iterasi=1:100;


x=5/(x0+y0);

y=15/(1+2*x0);

fprintf('%3g %12.7f %12.7f %12.7f %12.7f\n', iterasi, x, y, abs(x-

x0),abs(y-y0));

if (abs(x-x0)<epsilon)&((y-y0)<epsilon);

break;

end;

x0=x;

y0=y;

end;

akar1=x;

akar2=y;

fprintf('Akar 1 adalah %10.7f\n',x);

fprintf('Akar 2 adalah %10.7f\n',y);

fprintf('Jumlah iterasi = %3g\n', iterasi);

dan hasilnya

Metode Titik Tetap untuk persamaan nirlanjar

f1(x,y)=x^2 + xy - 5

f2(x,y)=y + 2xy - 15

r x y |x(r+1)-x(r)| |y(r+1)-x\y(r)|

1 1.6666667 5.0000000 0.6666667 3.0000000

2 0.7500000 3.4615385 0.9166667 1.5384615

3 1.1872146 6.0000000 0.4372146 2.5384615

4 0.6956798 4.4451962 0.4915348 1.5548038


5 0.9725969 6.2725824 0.2769171 1.8273861

6 0.6901141 5.0930435 0.2824828 1.1795389

7 0.8645796 6.3019170 0.1744655 1.2088735

8 0.6976910 5.4961983 0.1668886 0.8057188

9 0.8072472 6.2620494 0.1095563 0.7658511

10 0.7072839 5.7372468 0.0999633 0.5248026

11 0.7758517 6.2122917 0.0685677 0.4750449

12 0.7154976 5.8784262 0.0603541 0.3338654

13 0.7582738 6.1703123 0.0427762 0.2918861

14 0.7216479 5.9605467 0.0366259 0.2097656

15 0.7482572 6.1392482 0.0266092 0.1787015

16 0.7259522 6.0083773 0.0223049 0.1308709

17 0.7424644 6.1176934 0.0165122 0.1093161

18 0.7288462 6.0363902 0.0136182 0.0813032

19 0.7390725 6.1032861 0.0102263 0.0668959

20 0.7307422 6.0529147 0.0083303 0.0503714

21 0.7370656 6.0938840 0.0063234 0.0409692

22 0.7319627 6.0627344 0.0051029 0.0311496

23 0.7358680 6.0878469 0.0039053 0.0251125

24 0.7327387 6.0686093 0.0031293 0.0192375

25 0.7351484 6.0840144 0.0024097 0.0154050


26 0.7332278 6.0721450 0.0019205 0.0118694

27 0.7347136 6.0816012 0.0014858 0.0094563

28 0.7335342 6.0742831 0.0011794 0.0073181

29 0.7344498 6.0800909 0.0009156 0.0058078

30 0.7337252 6.0755812 0.0007246 0.0045097

31 0.7342892 6.0791497 0.0005640 0.0035685

32 0.7338438 6.0763718 0.0004454 0.0027779

33 0.7341911 6.0785651 0.0003473 0.0021933

34 0.7339173 6.0768545 0.0002738 0.0017106

35 0.7341312 6.0782029 0.0002138 0.0013484

36 0.7339628 6.0771497 0.0001684 0.0010532

37 0.7340945 6.0779789 0.0001316 0.0008291

38 0.7339909 6.0773306 0.0001035 0.0006483

39 0.7340719 6.0778405 0.0000810 0.0005099

40 0.7340083 6.0774415 0.0000637 0.0003990

41 0.7340581 6.0777551 0.0000499 0.0003136

42 0.7340190 6.0775095 0.0000392 0.0002456

43 0.7340496 6.0777024 0.0000307 0.0001929

44 0.7340255 6.0775513 0.0000241 0.0001511

45 0.7340444 6.0776700 0.0000189 0.0001187

46 0.7340296 6.0775770 0.0000148 0.0000930


47 0.7340412 6.0776500 0.0000116 0.0000730

48 0.7340321 6.0775928 0.0000091 0.0000572

49 0.7340392 6.0776377 0.0000071 0.0000449

50 0.7340336 6.0776025 0.0000056 0.0000352

51 0.7340380 6.0776301 0.0000044 0.0000276

52 0.7340346 6.0776085 0.0000035 0.0000217

53 0.7340373 6.0776255 0.0000027 0.0000170

54 0.7340352 6.0776121 0.0000021 0.0000133

55 0.7340368 6.0776226 0.0000017 0.0000105

56 0.7340355 6.0776144 0.0000013 0.0000082

57 0.7340366 6.0776208 0.0000010 0.0000064

58 0.7340357 6.0776158 0.0000008 0.0000050

Akar 1 adalah 0.7340357

Akar 2 adalah 6.0776158

Jumlah iterasi = 58

C.Newton Raphson

Mari kembali kita ingat kembali bahwa metode Newton-

Raphson didasarkan pada pemakaian turunan (yakni kemiringan)

suatu fungsi untuk menaksir pemotongan dengan sumbu peubah

bebasnya-yakni akar. Taksiran ini didasarkan pada uraian deret

Taylor


f (xr+1 )=f (xr )+(xr+1−xr ) f ' (xr )

Dimana xr adalah tebakan awal pada akarnya dan xr+1 adalah titik

tempat garis singgung memotong sumbu x. pada perpotongan

ini, f (xr+1 ) yang didefinisikan sama dengan nol, dapat disusun

kembali untuk menghasilkan

f (xr+1 )=xr−f (xr )f ' (xr )

Yang merupakan bentuk persamaan tunggal dari Metode Newton

Raphson.

Bentuk persamaan majemuk diturunkan dalam gaya yang

identik. Namun, deret Taylor dengan peubah majemuk harus

dipakai dengan tujuan memperhitungkan kenyataan bahwa lebih

dari satu peubah bebas penyumbang penentuan akar tersebut.

Untuk kasus dua peubah, deret Taylor orde pertama dapat

dituliskan untuk masing-masing persamaan linear sebagai

ur+1=ur+(xr+1−xr )∂ur∂ x

+( yr+1− yr )∂ur∂ y

Dan

vr+1=vr+(xr+1−xr )∂ur∂ x

+( yr+1− yr )∂ur∂ y

Sama halnya seperti untuk versi persamaan tunggal, taksiran

akar berpandangan dengan titik-titik pada mana ur+1 dan vr+1 sama


dengan nol. Untuk situasi ini, persamaan dapat disusun ulang

untuk memberikan

∂ur∂xxr+1+

∂ur∂ y

=−ur+xr∂ur∂x

+ yr∂ur∂ y

∂ur∂xxr+1+

∂ur∂ y

=−vr+ xr∂vr∂ x

+ yr∂vr∂ y

Karena hampir semua yang dengan tikalas r diketahui

(berpandangan terhadap tebakan atau hamp[ir yang terakhir),

yang tidak diketahui adalah xr+1 dan yr+1. Jadi, persamaan berupa

himpunan dua persamaan linear dengan dua bilangan anu.

Akibatnya, dapat deterapkan manupukasi aljabar (misalnya

aturan Cramer) untuk memecahkan

xr+1=xr−ur∂vr∂ y

−vr∂ur∂ y

∂ur∂x

∂vr∂ y

−∂ur∂ y

∂ vr∂ x

yr+1= yr+ur∂vr∂ y

−vr∂ur∂ y

∂ur∂x

∂vr∂ y

−∂ur∂ y

∂vr∂x

Penyebut dari masing-masing persamaan ini secara formal diacu

sebagai determinan jacobi dari sistem tersebut.

Contoh pada persamaan

u ( x , y )= x2+xy−5=0

v ( x , y )= y+2xy−15=0


Jika persamaan ini dimasukkan dalam matlab maka

clc;

clear;

x0=1;

y0=2;

disp('Metode Newton Rapshon untuk persamaan nirlanjar');

disp('f1(x,y)=x^2 + xy - 5');

disp('f2(x,y)=y + 2xy - 15');

disp('iterasi akar1 akar2');

for iterasi=1:100;

x1=x0-(((x0.^2+x0*y0-5)*(1+2*x0)-(y0+2*x0*y0-15)*(x0))/

((2*x0+y0)*(1+2*x0)-(x0)*(2*y0)));

y1=y0+(((x0.^2+x0*y0-5)*(2*y0)-(y0+2*x0*y0-15)*(2*x0+y0))/

((2*x0+y0)*(1+2*x0)-(x0)*(2*y0)));

fprintf(' %3g %10.7f %10.7f\n', iterasi, x1, y1);

if (abs(x1-x0)<0.000001)||(abs(y1-y0)<0.000001);

break;

end;

x0=x1;

y0=y1;

end;

akar1=x1;

akar2=y1;

fprintf('Akar akarnya adalah %10.7f dan %10.7f\n',akar1, akar2);

fprintf('Jumlah iterasi = %g\n',iterasi);


dan hasilnya

Metode Newton Rapshon untuk persamaan nirlanjar

f1(x,y)=x^2 + xy - 5

f2(x,y)=y + 2xy - 15

iterasi akar1 akar2

1 0.6250000 5.5000000

2 0.7448308 6.0808271

3 0.7340693 6.0774838

4 0.7340361 6.0776180

5 0.7340361 6.0776180

Akar akarnya adalah 0.7340361 dan 6.0776180

Jumlah iterasi = 5

BAB III

PENUTUP

A.Kesimpulan

Metode leleran titik tetap atau iterasi satu titik dengan dua

persamaan memiliki dua prosedur lelaran yang pertama disebut

dengan lelaran jacobi

xr+1=g1 (xr , yr )

yr+1=g2 (xr , yr ) r = 0,1,2,….


kondisi berhentinya adalah |xr+1−xr|<ε dan|yr+1− yr|<ε. Kecepatan

konvergensi leleran titik tetap ini dapat ditingkatkan dengan

menggunakan lelaran seidel. Nilai xr+1 yang baru dihitung

langsung dipakai untuk menghitung yr+1. Jadi,

xr+1=g1 (xr , yr )

yr+1=g2 (xr+1 , yr ) r = 0,1,2,…

Metode newton raphson dengan dua persamaan dapat deret

taylor yang pertama dapat dituliskan

ur+1=ur+(xr+1−xr )∂ur∂ x

+( yr+1− yr )∂ur∂ y

Dan

vr+1=vr+(xr+1−xr )∂ur∂ x

+( yr+1− yr )∂ur∂ y

B.Saran

Sebaiknya untuk mata kuliah ini bisa lebih banyak perakteknya.

Karena hal ini sangat penting untuk pehamahan mahasiswa.


DAFTAR ISI

Chapra, Steven C. 1988. Metode Numerik jilid 1edisi kedua. Jakarta.

Erlangga.

Munir, Rinaldi. 2008. Metode Numerik revisi kedua. Bandung.

Informatika.


KATA PENGANTAR

Sudah merupakan suatu kehormatan untuk memanjatkan puji syukur kehadirat

Allah SWT. karena atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat


menyelesaikan makalah ini, namun penulis menyadari bahwa karya yang amat

sederhana ini jauh dari apa yang diharapkan serta memiliki berbagai macam

kekurangan dan kelemahan, tapi hanya karena modal dasar yang dimiliki oleh kami

yaitu keberanian, sehingga makalah yang amat sederhana ini dapat dipersembahkan

keharibaan para pembaca dan ikut melibatkan diri mengembangkan pengetahuan

yang dimiliki serta memberikan sedikit pengetahuan kepada kita walaupun hanya

setitik air dalam lautan yang Maha Luas dalam rangka membangun manusia-manusia

Indonesia seutuhnya.

Kami menyadari bahwa dalam makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh

karena itu, kami mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun dari

pembaca. Dengan masuknya bantuan kritik dan saran tersebut, kami dapat

menjadikan pedoman untuk perbaikan makalah ini yang akan datang.

Akhirnya kepada Allahlah kami berharap semoga seluruh bantuan, arahan dan

bimbingan yang diberikan oleh berbagai pihak menjadi bagian amal ibadah yang akan

menciptakan pahala di sisi Allah. Amin…

Makassar, 08 Mei 2010

Kelompok 18

TUGAS KELOMPOK

METODE NUMERIK


O

L

E

H

NUR ILMI

RINDA RAHMA WARDANI

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN

MAKASSAR

2010

makalah numerik

Documents