KATA PENGANTAR

Assalamualaikum Wr.Wb

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, Atas Rahmat

dan Karunia-NYA maka kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah

Matematika dasar khususnya tentang pembahasan Konsep Dasar Limit sebagai

bahan materi pembelajaran.

Penyusunan makalah ini adalah merupakan salah satu tugas agar mahasiswa

terlatih guna meningkatkan motifasi belajar mahasiswa.

Dalam penyusunan makalah ini kami merasa masih banyak kekurangan baik

teknis penyusunan maupun materi, mengingat akan kemampuan yang kami miliki.

Untuk itu kritik dan saran sangat saya harapkan demi penyempurnaan penyusunan

makalah ini.

Dalam penyusunan makalah ini kami menyampaikan ucapan terima kasih

yang tak terhingga kepada Ibu Ika Mariang, S.pd selaku dosen pembawa mata

kuliah Matematika Dasar ini. Secara khusus kami juga menyampaikan terima

kasih kepada teman-teman yang sedikit ikut membantu kami.

Semoga materi ini dapat bermanfaat dan menjadi sumbangan pemikiran bagi

yang membutuhkan, khususnya bagi kami sendiri sehingga tujuan yang diharapkan

dapat tercapai.

Amin Yaa Robbal ‘Alamiin.

Wassalam. 

Bab I Pendahuluan

A. Latar BelakangSalah satu kompetensi guru yang perlu dikembangkan adalah menguasai

bahan ajar yang akan disampaikan kepada siswa. Bahan ajar Kalkulus merupakan bagian dari Matematika yang didalam ruang lingkup nya berkaitan dengan limit fungsi, perhitungan diferensial, dan perhitungan integral.

Kalkulus pertama kali dikembangkan oleh Issac Newton pada abad 17 di Inggris dan pada waktu yang bersamaan juga dikembangkan oleh Leibniz ( 1646 – 1716 ) di Jerman. Penelitian mereka yang dilakukan secara terpisah tersebut menghasilkan kesimpulan yang sama. Hal-hal yang dipelajari berhubungan dengan laju perubahan dan luas daerah. Perhitungan ini kemudian dikembangkan lebih lanjut dan diterapkan untuk memecahkan permasalahan yang terdapat pada berbagai bidang disiplin ilmu, sehingga kalkulus banyak kegunaannya untuk menyelesaikan masalah-masalah didalam kehidupan sehari-hari, misalnya di bidang ekonomi, tehnik dan lain sebagainya.

Bahan ajar ini menyajikan kajian tentang konsep - konsep dasar materi / pokok bahasan Kalkulus, khususnya limit, diferensial dan integral yang merupakan materi yang harus dikuasai oleh Guru Matematika sehingga guru mampu mengembangkan ketrampilan siswa dalam menentukan dan menggunakan limit, diferensial dan integral. Oleh karena itu guru matematika SMK perlu memahami pembelajaran Kalkulus di sekolahnya.

B. TujuanSetelah mengikuti pendidikan dan pelatihan ( diklat ) ini peserta diharapkan

mampu mengembangkan konsep limit, diferensial dan integral dari kehidupan nyata sehari-hari dan menjelaskannya dengan memberi contohnya.

C. Ruang LingkupBahan ajar Pengantar Kalkulus dimaksudkan untuk meningkatkan kompetensi

guru matematika SMK dalam menyelenggarakan proses belajar mengajar Kalkulus. Hal-hal yang akan dibahas meliputi : Pengertian Limit Fungsi, Teorema Limit suatu Fungsi, Kontinuitas Fungsi, Turunan suatu Fungsi, Beberapa Turunan Fungsi, Turunan Tingkat Tinggi, Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu.

Bab II

Pembahasan

Sejarah Kalkulus

SEJARAH KALKULUS

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya “batu kecil”, untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

Sejarah

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern.

Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir

menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhaskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari “Teorema Rolle“. Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial.  Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari.. deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.

Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis danIsaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkuluspada tahun 1668. Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisikasementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society. Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya “The science of fluxions“. Sejak itu, banyak matematikawan yang

memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.

Sejarah

Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano, yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik epsilon-delta. Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.

Cauchy membahas limit dalam karyanya Cours d'analyse (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. Presentasi yang ketat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan oleh Weirstrass pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an, dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.

Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada tahun 1908.

TOKOH LIMIT

Gottfried Wilhelm Leibniz

(1646 – 1716)

Leibniz adalah anak seorang profesor filsafat moral, Friedrich Leibniz warganegara Jerman. Ibu Leibniz adalah Catharina Schmuck, anak seorang pengacara. Ayah Leibniz meninggal, saat Leibniz masih berusia 6 tahun dan dia dibesarkan oleh ibunya. Nilai moral dan religius memegang peran penting dalam kehidupan dan falsafah hidupnya, barangkali merupakan turunan dari ayahnya. Setelah sekolah, Leibniz mulai mempelajari buku-buku peninggalan ayahnya, teristimewa buku-buku tentang metafisik dan theologi dari penulis-penulis

Katholik maupun Protestan. Leibniz tidak puas dengan sistem (filsafat) Aristoteles dan berusaha mengembangkan ide-idenya. Tahun 1661, saat umur 15 tahun (tergolong jenius), dia masuk universitas Leipzig dengan jalur minat hukum. Dua tahun kuliah di bidang hukum ternyata tidak menarik hatinya dan waktunya lebih banyak digunakan untuk membaca buku-buku filsafat, meski akhirnya dia lulus dalam bidang hukum pada tahun 1663 sebelum pergi ke Jena. Di Jena, di bawah bimbingan matematikawan sekaligus filsuf terkemuka, Erhard Weigel, dia mulai memahami pentingnya pembuktian matematika terhadap logika dan filsafat. Weigel percaya bahwa bilangan adalah konsep paling dasar dari alam semesta dan ide-ide ini memberi pengaruh sangat mendalam bagi Leibniz.

Pertemuan dengan Christiaan Huygen

Bukan hanya Erhard Wiegel yang memberi pengaruh agar Leibniz menekuni matematika. Peran Christiaan Huygen ternyata jauh lebih besar setelah mereka bertemu pada saat Leibniz berumur 26 tahun di Paris. Pertemuan mereka berdua dapat dikatakan tidak disengaja. Di sela-sela waktu pada saat kunjungan diplomatik dan urusan lain, mereka bertemu. Mereka saling berbicara tentang minat masing-masing. Huygens asalnya adalah seorang fisikawan, tapi karya-karya terbaiknya justru terkait dengan horologi (ilmu tentang pengukuran waktu), sebagai peneliti tentang gerakan cahaya, sekaligus seorang matematikawan. Huygens memberi Leibniz makalahnya tentang “kerja” matematika pada pendulum kepada Leibniz. Melihat “kehebatan” kekuatan matematika, Leibniz memohon agar Huygens bersedia mengajarinya matematika. Setelah melihat besarnya kemauan dan kejeniusan Leibniz, dengan senang hati Huygens bersedia. Untuk memberi impresi kepada Huygens, Leibnez memamerkan hasil-hasil penemuannya. Salah satu yang disebutkan adalah mesin penghitung yang dikatakannya jauh lebih hebat dibanding buatan Pascal, yang hanya dapat menangani tambah dan kurang; sedangkan mesin buatan Leibniz dapat menangani perkalian, pembagian dan menghitung akar bilangan. Di bawah bimbingan Huygens, dengan cepat Leibniz menemukan jati dirinya. Dia lahir sebagai seorang matematikawan. “Pelajaran” dari Huygens sempat tertunda beberapa bulan saat Leibniz harus bertugas di London sebagai Atase. Ketika di London, Leibniz bertemu dengan para matematikawan Inggris sambil memamerkan hasil-hasil karyanya. Seorang teman, matematikawan Inggris memperlihatkan hiperbola Mercator kepadanya - salah satu bukti mengapa Newton juga menemukan kalkulus, dimana kemudian hal ini memicu dirinya untuk menemukan kalkulus.

Suatu saat, dalam kunjungan ke London, Leibniz menghadiri pertemuan dengan Royal Society, dimana dia menunjukkan kerja mesin hitung penemuannya. Penemuan dan hasil karyanya itu membuat Leibniz diangkat sebagai anggota Royal Society berwarganagara asing (bukan orang Inggris) sebelum dia pulang ke Paris pada tahun 1673. Tidak lama kemudian, Leibniz dan Newton pada saat hampir bersamaan diangkat menjadi anggota Akademi Sains Perancis berwarganegaraan asing. Merasa puas dengan prestasi yang diraih Leibniz, Huygens menyuruh anak didiknya ini terus menekuni matematika. Dalam perpisahan dengan Huygens di Paris, guna kembali ke Hanover, Leibniz berjanji akan menggunakan waktu senggangnya untuk menekuni matematika. Tahun 1676, Leibniz mengabdikan dirinya pada Duke Brunswick-Luneburg. Newton dan Leibniz, keduanya mengaku sebagai penemu kalkulus.

Leibniz Versus Newton

Newton memulai ide tentang kalkulus pada tahun 1660-an, tetapi karya-karya tersebut tidak diterbitkan selama hampir 20 tahun. Tidak ada yang mengetahui secara jelas, apakah Leibniz pada usia 33 tahun menemukan karya-karya “terpendam” Newton pada saat melakukan kunjungan ke London, karena pada saat itu pula dia sedang mengembangkan kalkulus, meski dengan versi sedikit berbeda dari versi Newton, di mana temuan ini selalu diperdebatkan orang. Keduanya memang pernah saling berkirim surat pada tahun 1670-an, sehingga sulit ditentukan siapa mempengaruhi siapa. Teori yang mereka kemukakan memberikan hasil akhir yang sama, namun notasi dan falsafah dasarnya - sangatlah berbeda. Newton mengirim surat ke Leibniz yang memakan waktu lama untuk sampai di tangan Leibniz. Surat ini berisikan hasil yang diperoleh Newton tanpa disertai penjelasan cara dan metode memperolehnya. Leibniz segera membalas surat tersebut, tapi Newton tidak menyadari bahwa suratnya baru diterima Leibniz, dan diperlukan waktu 6 minggu untuk membalasnya. Balasan surat Leibniz ini menyadarkan Newton bahwa dia harus menerbitkan metode perhitungan secepat mungkin. Newton menulis surat kedua pada tahun 1676, tetapi surat itu baru diterima Leibniz pada Juni 1677 karena Leibniz sedang berada di Hanover. Surat kedua ditulis Newton dengan nada lebih “sopan” yang menyebutkan bahwa bukan Leibniz yang mencari metode kalkulus. Jawaban surat Leibniz berisikan prinsip-prinsip dasar

dan terperinci tentang diferensial kalkulus versinya, termasuk melakukan diferensial fungsi atas suatu fungsi.

Kalkulus

Newton tidak menyukai perubahan yang sangat kecil (infinitesimal) menuju ke

tidak terhingga karena dianggapnya hanya “remah-remah.” Notasi os – dari

Newton, pada persamaan-persamaan tentang perubahan (fluxion), karena sekali

waktu os beroperasi seperti halnya bilangan nol dan terkadang seperti bukan

bilangan nol. Perbedaan yang sangat kecil, lebih kecil dari bilangan positif yang

dapat anda beri nama tetapi tetap lebih besar dari nol. Bagi matematikawan jaman

itu, hal tersebut adalah konsep yang sangat aneh. Newton malu dengan persamaan-

persamaan tersebut sehingga hal ini tetap disembunyikan rapat-rapat. Ternyata os

pada perhitungan hanyalah ‘batu loncatan’ menuju penyelesaian suatu perhitungan.

Sebaliknya, Leibniz memperhatikan perubahan kecil ini, dan tetap terpakai dalam

semua perhitungannya; akhirnya derivatif y terhadap x bukanlah merupakan nisbah

bebas bilangan maha kecil ini dari perubahan (fluxion) yº/xº, tapi nisbah bilangan

maha kecil dy/dx. Kalkulus Leibniz, dengan dy dan dx dapat dimanipulasi seperti

layaknya angka biasa. Alasan ini kiranya dapat menjawab pertanyaan mengapa

para matematikawan lebih suka menggunakan notasi kalkulus Leibniz daripada

notasi kalkulus Newton. Pada diferensial Leibniz ada “larangan” apabila terjadi

0/0, hal ini harus dihindari, dimana hal ini tidak terdapat pada fluxion Newton.

Newton tetap bersikeras bahwa kalkulus adalah temuannya, namun Leibniz

menyatakan bahwa dia mengembangkan kalkulus versinya sendirinya. Keduanya

saling tuduh bahwa lainnya adalah seorang plagiat. Komunitas matematika Inggris

mendukung Newton dan menarik diri dari komunitas matematikawan benua Eropa

yang mendukung Leibniz. Akibatnya, Inggris mengadopsi notasi fluxion Newton

daripada mengadaptasi notasi diferensial Leibniz yang lebih “hebat.” Akibatnya

cukup fatal, kelak, pengembangan kalkulus di Inggris menjadi jauh tertinggal

dibandingkan negara-negara Eropa lainnya. Polemik tentang penemu kalkulus

terus berlanjut. Sampai akhirnya, akhir tahun 1713, Leibniz mengeluarkan pamplet

anonim, Charta Volans, yang menjelaskan posisinya sekaligus mengungkapkan

kesalahan Newton dalam memahami derivatif kedua atau derivatif yang lebih besar

lagi. Kesalahan ini juga diungkapkan oleh Johan Bernoulli. Tahun 1673, Leibniz

menyempurnakan notasi-notasi kalkulus versinya dan pada tahun 1675, dia

menulis manuskrip dengan menggunakan notasi: ?f(x)dx untuk pertama kalinya.

Tahun 1676, menemukan notasi: d(xn) = nxn?¹ dx untuk integral dan pangkat n,

dimana sejak tahun ini pula dia menghabiskan sisa hidupnya di Hanover, kecuali

pergi untuk kunjungan-kunjungan ilmiah.

Menelaah Biner (binary)

Tahun 1679, Leibniz pertama kali mengenalkan sistem bilangan berbasis dua

(biner). Berawal dari korespondensi dengan Pere Joachim Bouvet, seorang jesuit

dan misionaris di Cina. Lewat Bouvet ini, Leibniz belajar I Ching (sudah ada 5000

SM), heksagram (permutasi garis lurus dan garis patah yang sebanyak 6 susun)

yang terkait dengan sistem bilangan berbasis dua. Yin dan yang pada heksagram

yang dilambangkan garis putus dan garis lurus digantikan dengan angka 0 dan

angka 1. Hasilnya heksagram dikonversi menjadi bilangan biner. Sistem bilangan

ini – kelak, menjadi fondasi revolusi komputer. Ada versi lain yang mengatakan

bahwa Leibniz mengemukakan teori penciptaan alam semesta dari kehampaan

(void) lebih dari sekedar Tuhan/0 dan kehampaan/0, karena Leibniz berupaya

menggunakan pengetahuan itu untuk mengubah orang Cina agar mau memeluk

agama Kristen. Istilah matematika Liebniz dalam biner ini tergolong sangat

kontroversial, barangkali pengaruh latar belakang keluarga dan pendidikannya

sangat besar. Begitu pula sikapnya terhadap bilangan imajiner (i atau v-1) yang

disebutnya dengan roh kudus. Dia sebenarnya memahami bahwa bilangan i

akhirnya mengungkapkan hubungan antara nol dan bilangan tidak terhingga.

Mesin penghitung Leibniz

Tahun 1667, Leibniz tinggal di Frankfurt, bekerja pada Boineburg yang menjabat

sebagai Sekretaris masyarakat alkimia Nurenburg. Di sini, selama bertahun-tahun,

Leibniz terlibat dengan berbagai poyek yang terkait dengan sains maupun politik.

Leibniz memulai membuat mesin penghitung, dimana pada tahun 1673 ditemani

keponakan Boineburg, dihadapan Royal Society (Inggris), guna mendemontrasikan

mesin penghitung yang belum selesai. Mesin penghitung versi Leibniz merupakan

penyempurnaan dari mesin penghitung ciptaan Pascal. Blaise Pascal menemukan

mesin penjumlah pada tahun 1642 dan pada tahun 1673, Leibniz menemukan

mesin yang dapat melakukan operasi perkalian dan pembagian.

Tahun 1678 – 1679, dia terlibat proyek pengeringan air yang mengenangi

pertambangan di gunung Harz dengan menggunakan tenaga angin dan tenaga air

untuk mengoperasikan pompa. Proyek ini gagal karena kekuatiran para pekerjanya,

bahwa mesin-mesin ini mampu menggantikan pekerjaan mereka. Disiplin ilmu

geologi pertama kali muncul, yaitu saat Leibniz merangkum hasil kompilasi atas

pengamatannya di gunung Harz. Dia juga mengemukakan hipotesis-hipotesis

bahwa bumi terbentuk dari materi yang awalnya berbentuk cairan.

Karir Leibniz

Pengabdian Leibniz kepada keluarga Brunswick hampir sepanjang 40 tahun dari

kehidupannya. Leibniz mengabdikan dirinya ke dalam tiga profesi utama:

pustakawan, ahli sejarah dan orang pintar yang menjadi penasihat. Kiprah Leibniz

sebagai ahli sejarah adalah melakukan riset sejarah. Pekerjaan ini membuat dia

sering berkeliling Jerman, Austria bahkan sampai Italia pada kurun waktu 1687 –

1690. Saat mengunjungi Vatican, Leibniz ditawari Paus untuk menjadi pustakawan

Vatican. Tawaran ini ditolak karena mengharuskan Leibniz memeluk agama

Katholik, sehingga harus “mengingkari” karakteristik universal yang diyakininya.

Keinginannya untuk menyatukan kembali Protestan dan Katholik adalah sebuah

proyek besar baginya. Rekonsiliasi kedua agama yang ditempatkan pada

konferensi di Hanover tahun 1683 gagal karena keinginan masing-masing agama

untuk menguasai satu atas lainnya. Catatan kompetensi utama Leibniz sulit

dipahami orang. Ilmu ekonomi, philology (ilmu tentang sejarah bahasa atau studi

perpustakaan), hukum internasional (Liebniz adalah perintis bidang ini),

menentukan pertambangan sebagai industri penggerak perekonomian Jerman,

membangun pusat-pusat pendidikan, semuanya adalah minat-minat Leibniz.

Moralis yang tidak etis?

Setelah menyelesaikan suatu kunjungan tugas ke Paris pada tahun 1676, Leibniz

pulang ke Hanover lewat London dan Amsterdam. Sejenak, dalam persinggahan ke

kota terakhir ini, Leibniz yang memilih diplomat filsafat sebagai karir

terpanjangnya, ternyata “terperosok” dalam transaksi illegal. Leibniz melakukan

transaksi yang tidak diketahui dengan jelas apa yang dipertukarkan dengan

Benedict de Spinoza (1632 – 1677), tapi yang jelas tindakan Leibniz itu termasuk

melanggar etika. Yang paling parah adalah bahwa bahan itu menyangkut etika.

Leibniz tampaknya memendam keyakinan bahwa mendasarkan diri pada etika

adalah suatu cita-cita semua pihak. Pada saat itu Leibniz membawa salinan

ringkasan karya puncak Spinoza – disebut setelah melalui klarifikasi, yang belum

dipublikasikan Ethica – makalah perkembangan etika dalam membahas karya

geometri Euclid. Satu tahun kemudian, Spinoza meninggal dan Leibniz

menganggap keberadaan makalah itu laksana menerima bingkisan salah kirim dari

Amsterdam. Para pemerhati filsafat yang membaca karya itu setuju dengan apa

yang dikemukakan oleh Leibniz, tapi tidak mengetahui bahwa sebenarnya karya

tersebut adalah “buah pikir” Spinoza. Para pakar bidang etika menyebut bahwa

jangan terburu-buru menuduh Leibniz bersalah atau barangkali Liebniz

mengemukakan pemikiran-pemikirannya tentang etika terpisah dengan Spinoza.

Setidak-tidaknya ada dua contoh dalam matematika (fungsi ellips dan geometri

non-Euclidian) yang dapat dijadikan dasar pembuktian bahwa itu merupakan karya

Leibniz. Catatan harian dan surat-menyurat Spinoza yang dicari setelah

meninggalnya tidak cukup memberi bukti bahwa Leibniz bersalah.

Pengabdian akhir Leibniz

Pikiran Leibniz makin terbuka (berkembang) setelah lebih dari 25 tahun

berkecimpung dalam lautan filsafat. Tidaklah mengherankan bagi para pembaca

dan pemerhati kiprahnya, apabila mendengar bahwa Leibniz mencetuskan teori

monads (substansi dasar individu merefleksikan tatanan jagat raya – replika

miniatur dari jagat raya) menyatakan tentang segalanya dalam alam semesta ini ada

dalam suatu tatanan. Masih ditambah, melancong ke metafisika dengan

mencetuskan theorema optimisme - segala sesuatu (everything) diperuntukkan bagi

yang terbaik dengan semua yang terbaik dari semua dunia yang dimungkinkan.

Akan tetapi semua itu dilupakan orang karena barangkali dianggap mendahului

jamannya. Pada tahun 1759, penjabaran secara rinci didemontrasikan oleh Voltaire

(1694 – 1778) dengan karya besarnya Candide. Barangkali Theory of Everything

dari Stephen Hawking juga mengambil nama yang pernah dicetuskan Leibniz.

Siapa tahu?

Sumbangsih

Kalkulus tidak akan sempurna apabila tidak ada kiprah Leibniz. Minat Leibniz

yang sangat beragam ternyata membuka cakrawala baru bagi perkembangan ilmu

pengetahuan atau memunculkan disiplin ilmu baru. Hukum internasional, sistim

bilangan berbasis dua (binary) dan geologi adalah disiplin ilmu hasil cetusan dari

Leibniz. Belum lagi karya mesin hitung yang merupakan penyempurnaan buatan

Blaise Pascal mampu membuat orang jaman itu berdecak kagum.

Pengertian Limit FungsiDalam kehidupan sehari-hari kita pernah mendengar kalimat-kalimat,

misalnya : kendaraan itu hampir menabrak orang yang sedang berjalan. Kata-kata “hampir”, “mendekati” dan sebagainya dapat dijelaskan dengan pengertian limit dalam matematika. Pengertian limit fungsi merupakan konsep dasar yang banyak digunakan dalam kalkulus, khususnya dalam hitung diferensial. Pada suatu fungsi y = f (x ), bagaimana perilaku f (x ); jika x mendekati c, tetapi x≠c. Sebagai

ilustrasi kita ambil fungsi f(x) = x+ 1 dan g(x) = x2+1x−1 dan kita cari berapa nilai

fungsi jika x mendekati 1, untuk itu kita buat tabel nilai f(x) dan g(x) untuk macam-macam nilai x sebagai berikut :

x f(x) = x+1 xg(x) =

x2+1x−1

0.9 1.9 0.9 1.9

0.95 1.95 0.95 1.95

0.99 1.99 0.99 1.99

0.999 1.999 0.999 1.999

1.001 2.001 1.001 2.001

1.01 2.01 1.01 2.01

1.1 2.1 1.1 2.1

Akan terlihat bahwa nilai f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1 dan nilai g(x) mendekati 2 jika x mendekati 1 dikatakan “limit dari f(x) adalah 2 jika x mendekati 1 “ dan “ limit dari g(x) adalah 2 jika x mendekati 1” , masing-masing ditulis :

limx→1 ( x + 1) = 2 dan

limx→1

x2+1x−1 = 2

Dari dua contoh limit fungsi tersebut , secara umum dapat dinyatakan bahwa : limx→ c f( x ) = L jika x mendekati c, maka f ( x ) mendekati L dan f (c) tidak perlu ada serta x tidak perlu sama dengan c.

Jika ditulis limx→ c f( x ) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati dari dua

arah yaitu x mendekati c dari kanan dan juga x mendekati c dari kiri

Bentuk limit untuk “ x → ∞ “ dinamai limit di tak berhingga. Mudah dipahami bahwa :

limx→∞ x = ∞ dan

limx→∞

1x = 0

Definisi limit fungsi adalah sebagai berikut :

Fungsi f didefinisikan pada interval terbuka yang memuat c, mungkin pada c tidak ada harga definisi. Limit f(x) adalah L untuk setiap x mendekati c, ditulis : limx→ c f( x ) = L Jika untuk setiap bilangan positif , bagaimanapun kecilnya akan

didapat bilangan positif sehingga | f ( x )−L | dipenuhi oleh 0 | x−c |

Contoh :

1. Buktikan bahwa limx→4 ( 3x -7 ) = 5 dengan menggunakan definisi tentang limit.

Penyelesaian :

Pembuktian terdiri atas dua bagian yaitu pertama ditunjukkan bahwa bilangan 4 adalah anggota interval f(x) dan kedua ditunjukkan bahwa untuk setiap bilangan

positif akan didapat bilangan positif sehingga |(3 x−7)−5 | dipenuhi oleh 0

| x−4 |

a. f(x) = 3x - 7 mempunyai interval ( - , ). Jelaslah bahwa bilangan 4 anggota interval tersebutb. Harus ditunjukkan bahwa untuk 0 akan didapat bilangan 0 sehingga |(3 x−7)−5 | dipenuhi oleh 0 | x−4 |

Misalkan ditetapkan bilangan positif dan ditetapkan juga bilangan yang 0

1 sehingga 0 | x−4 | 1 Maka :

|(3 x−7)−5 | = |3 x−12 | = |3 ( x−4 )| 3

Berarti untuk = /3 maka dipenuhi |(3 x−7)−5 | . Jadi untuk bilangan positif yang telah ditetapkan didapat bilangan yaitu = /3. Terbuktilah

bahwa untuk 0 yang ditetapkan didapat bilangan 0 sehingga |(3 x−7)−5 | dipenuhi oleh 0 | x−4 |

2. Hitunglah : limx→∞

2 x2+4 x−54 x2+7

Penyelesaian :

limx→∞

2x2+4 x−54 x2+7 =

limx→∞

2+4 / x−5/ x2

4+7 /x2

= 2+0−0

4+0

= 24 =

12

Teorema-teorema Limit Fungsi

Jika limx→ c f(x) = L dan

limx→ c g(x) = M serta k, b adalah konstanta sembarang

maka berlaku teorema-teorema sebagai berikut :

1. limx→ c ( k x + b ) = k c + b

2. limx→ c k f(x) = k

limx→ c f(x) = k.L

3. limx→ c { f(x) g(x) } =

limx→ c f(x)

limx→ c g(x) = L M

4. limx→ c f(x).g(x) =

limx→ c f(x) .

limx→ c g(x) = L.M

O R

PS

Q

Y

Xx

5. limx→ c

f ( x )g ( x ) =

limx→ c

f ( x )

limx→ c

g( x ) =

LM ( M 0 )

6. limx→ c [ f ( x )]n = [limx→c

f ( x )]n = Ln untuk n bilangan bulat positif sembarang

7. limx→ c

n√ f (x ) = n√L berlaku jika L positif maka n harus bilangan bulat positif dan

jika L negatif maka n harus bilangan bulat positif ganjil

Contoh :

a). Hitung lim

x→−1 ( 2 – 3x + 4x2 – x3 )

Penyelesaian :

limx→−1 ( 2 – 3x + 4x2 – x3 ) =

limx→−1 2 -

limx→−1 3x +

limx→−1 4 x2 -

limx→−1 x3

= 2 – (-3) +4(-1)2 – ( -1)3 = 10

b). Hitung limx→5

√x−1 −2x−5

Penyelesaian :

√x−1 −2x−5 =

√x−1 −2x−5 .

√x−1 +2√x−1 +2

= 1

√x−1 +2

Maka limx→5

√x−1 −2x−5 =

limx→5

1√x−1 +2 =

14

Limit Fungsi Trigonometri

1. Perhatikan limit fungsi xsin x . Akan dicari berapa nilai dari

limx→0

xsin x

Perhatikan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari satu satuan berikut ini :

Besar sudut pusat QOP adalah x

radisn. Ruas garis PR dan QS tegak

lurus sumbu x .

Koordinat titik-titik pada gambar

adalah: P(cos x,sin x), S(1,tan x) ,

R(cos x, 0) dan Q(1, 0)

Maka didapat : Luas OPR luas sektor OPQ luas OSQ

atau : 12 cos x . sin x

12 . x. 12

12 tan x

Karena 0 x 12 maka sin x 0. Dengan demikian jika dikalikan dengan

2sin x maka didapat :

limx→0 cos x

limx→0

xsin x

limx→0

1cos x

1 limx→0

xsin x 1 atau

limx→0

xsin x = 1

Dengan cara sama di dapat rumus :

2. limx→0

sin xx = 1

3. limx→0

xtan x = 1

4. limx→0

tan xx = 1

Contoh :

limx→0

tan 3xsin 6x =

limx→0

tan 3x3x .

6xsin 6x .

3x6x

= 36 .

limx→0

tan 3x3x .

limx→0

6xsin 6x

= 12 . 1. 1 =

12

Kontinuitas FungsiAndaikan domain dari fungsi f(x) memuat suatu interval terbuka yang

memuat c maka : f(x) disebut kontinu di c jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi yaitu :1. f (c) ada

2.limx→ c f(x) ada

3.limx→ c f(x) = f ( c )Selanjutnya f(x) dikatakan kontinu pada interval terbuka ( a,b ) jika kontinu

pada setiap titik dalam interval tersebut.

Jika suatu fungsi f(x) tidak memenuhi syarat kontinu disebut fungsi diskontinu.

Contoh 1:

Selidiki kontinuitas fungsi f (x) = x2−4x−2 di x = 2

Penyelesaian :

Diselidiki apakah tiga syarat fungsi kontinu dipenuhi f (x) = x2−4x−2

1. f(2) = 00 suatu harga tak tentu. Jadi f(2) tidak ada

Karena syarat 1 tidak dipenuhi maka f(x) diskontinu di x = 2

Dapat digambarkan sebagai berikut :

Y

X2

Contoh 2 :

Selidiki kontinuitas fungsi f (x) = x2−1x2+ 1 di x = 1

Penyelesaian :

f (1) = 12−112+1 =

1- 11+1 =

02 = 0 , ada

limx→1 f(x) =

limx→1

x2−1x2+1 =

1 - 11+1 =

02 = 0 , ada

limx→1 f(x) = f ( 1 ) = 0 Jadi f(x) kontinu di x = 1

LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. Pengertian Limit Fungsi Secara Intuitif

Limit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang

bergerak mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut.

Untuk dapat memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikanlah contoh

berikut:

Fungsi f di definisikan sebagai f (x) = x2−x−2

x−2

Jika variabel x diganti dengan 2, maka f(x) = 00 (tidak dapat ditemukan)

Untuk itu perhatikanlah tabel berikut :

x 0 1,1 1,5 1,9 1,999 2.000 2,00

1

2,01 2,5 2,7

f(x) 1 2,1 2,5 2,9 2,999 ??? 3,00

1

3,01 3,5 3,7

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa f (x) = x2−x−2

x−2 : mendekati

3. jika x mendekati 2, baik didekati dari sebelah kiri (disebut limit kiri)

maupun di dekati dari sebelah kanan (disebut limit kanan). Dapat ditulis :

limx→2

x2−x−2x−2

=3

2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai

Tertentu

Menentukan limit dengan cara diatas tidaklah efisien. Untuk mengatasinya,

kita dapat menentukan nilai limit suatu fungsi dengan beberapa cara, yaitu:

a. Subtitusi

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai limx→3

(x2−8 )!

Penyelesaian :

Nilai limit dari fungsi f(x) = x2 – 8 dapat kita ketahui secara langsung,

yaitu dengan cara mensubtitusikan x =3 ke f(x)

limx→3

(x2−8 )=32−8=9−8

=1

Artinya bilamana x dekat 3 maka x2 – 8 dekat pada 32 – 8 =9 – 8 = 1

Dengan ketentuan sebagai berikut:

a) Jika f (a) = c, maka limx→a

f ( x )=a

b) Jika f (a) = c0 , maka

limx→a

f ( x )=~

c) Jika f (a) = 0c , maka

limx→a

f ( x )=0

b. Pemfaktoran

Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan

sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi.

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai limx→3

x2−9x−3 !

Jika x = 3 kita subtitusikan maka f (3) = 32−93−3

=00 .

Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0 tidak

terdefinisi. Ini berarti untuk menentukan nilailimx→3

x2−9x−3 , kita harus

mencari fungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian dengan nol.

Untuk menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal menfaktorkan fungsi

f (x) sehingga menjadi:

( x−3 ) ( x+3 )(x−3 )

= ( x+3 ) . (

x−3x−3 )=1

Jadi, limx→3

x2−9x−3 =

limx→3

( x−3 ) (x+3 )( x−3 )

= limx→3

( x+3 )

= 3 + 3 = 6

c. Merasionalkan Penyebut

Cara yang ke-tiga ini digunakan apanila penyebutnya berbentuk akar

yang perlu dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0

dengan 0.

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai limx→2

x2−3 x+2√ x−2 !

Penyelesaian:

limx→2

x2−3 x+2√ x−2 =

limx→2

x2−3 x+2√ x−2

. √ x−2√ x−2

= limx→2

(x2−3 x+2 ) (√x−2 )(√x−2 )2

= limx→2

( x−1 ) ( x−2 ) (√ x−2 )( x−2 )

= limx→2

( x−1 )√x−2

= (2−1 ) .√2−2

= 1 . 0

= 0

d. Merasionalkan Pembilang

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai limx→1

√3 x−2−√4 x−3x−1 !

Penyelesaian:

limx→1

√3 x−2−√4 x−3x−1

= limx→1

√3 x−2−√4 x−3x−1 .

√3 x−2+√4 x−3√3 x−2+√4 x−3

= limx→1

(√3 x−2 )2−(√4 x−3 )2

( x−1 ) (√3 x−2+√4 x−3 )

= limx→1

−x+1( x−1 ) (√3 x−2+√4 x−3 )

= limx→1

−( x−1 )( x−1 ) (√3 x−2+√4 x−3 )

= limx→1

−1√3 x−2+√4 x−3

= −1

√3 .1−2+√4 .1−3

= −1

√1+√1 = −11+1 =

− 12

3. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Tak

Berhingga

Bentuk limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati tak

berhingga,diantaranya:

limx→~

f ( x )g ( x ) dan

limx→~

[ f (x )±g( x )]

Untuk menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tersebut, dapat dilakukan

cara-cara sebagai berikut:

a. Membagi dengan pangkat tertinggi

Cara ini digunakan untuk mencari nilailimx→~

f ( x )g ( x ) . Caranya dengan

membagi f(x) dan g(x) dengan pangkat yang tertinggi dari n yang

terdapat pada f(x ) atau g (x).

Contoh:

Tentukan nilai limit dari:

a. limx→~

4 x−12 x+1 b.

limx→~

4 x+1x2−x

Penyelesaian:

a. untuk menentukan nilai dari limx→~

4 x−12 x+1 perhatikan pangkat tertinggi

dari x pada f (x ) = 4x – 1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi

dari x adalah satu.

limx→~

4 x−12 x+1 =

limx→~

4 xx−1

x2 xx+ 1

x

=

limx→~

4−1x

2+ 1x

=

4−1~

2+ 1~

= 4−02+0 =

42 = 2

b. Perhatikan fungsi h (x) = 4 x+1x2−2 ! Fungsi tersebut memiliki x dengan

pangkat tertinggi 2, yaitu x2 yang terdapat pada x2 – 2. jadi, untuk

menentukan nilai limx→~

4 x+1x2−x maka fungsi 4x + 1 dan x2 – 2 harus dibagi

dengan x2 .

limx→~

4 x+1x2−x =

limx→~

4 xx2

+ 1x2

x2

x2 −2x2

=

limx→~

4x+ 1

x2

1− 2x2

=

4~+ 1(~ )2

1− 2(~ )2

= 0+01−0

= 01 = 0

b. Mengalikan dengan faktor lawan

Cara ini digunakan untuk menyelesaikan limx→~

[ f (x )±g( x )]. Jika kita

dimitai menyelesaikan limx→~

[ f (x )±g( x )] maka kita harus mengalikan [f (x)

+ g (x)] dengan [ f ( x )− g ( x ) ][ f ( x )− g ( x ) ] sehingga bentuknya menjadi:

limx→~

[ f (x )±g( x )]. [ f ( x )− g ( x ) ][ f ( x )− g ( x ) ]

= limx→~

{[ f ( x )]2−[g ( x ) ]2 }f (x )− g ( x ) ataupun sebaliknya.

Contoh:

Tentukan nilai dari limx→~

√ x2+2x−√x2+x

Penyelesaian:

limx→~

√ x2+2x−√x2+x

= limx→~

√ x2+2 x−√x2+x . √x2+2 x+√ x2−x√x2+2 x+√ x2−x

= limx→~

(x2+2 )−( x2+1 )√x2+2 x+√x2−x

= limx→~

3 x√x2+2 x+√x2−x

=

limx→~

3 xx

√ x2

x2+2 xx2 +√ x2

x2 −xx2

= 3

√1+0+√1−0

=32

B. TEOREMA LIMIT

Teorema limit yang akan disajikan berikut ini yang sangat berguna dalam

menangani hampir semua masalah limit. Misalkan n bilangan bulat positif, k

sebuah konstanta dan f, g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di a

maka:

1.limx→a

k=k

2.limx→a

x=a

3.limx→a

kf (x) = k

limx→a f (x)

4.limx→a [f (x) ± g (x)] =

limx→a f (x) ±

limx→a g (x)

5.limx→a v [f (x) . g (x)] =

limx→a f (x) .

limx→a g (x)

6.limx→a

f ( x )g ( x )

=limx→a

f ( x )

limx→a

g ( x ), dimana

limx→a g(x) ≠ 0

7.limx→a [f (x) ]n = [

limx→a f (x)]n

8.limx→a

n√ f ( x )=n√ limx→a

f ( x ) dimana

limx→a f (x) ¿ 0 untuk n bilangan genap

limx→a f (x) ≤ 0 untuk n bilangan ganjil

Contoh:

Carilah a. limx→4

(3 x2−x )! b.

limx→3 √ x2+9

2 x

Penyelesaian:

a)limx→4

(3 x2−x ) =

limx→4

3 x2−limx→ 4

x (teorema 4)

= 3 limx→4

x2− limx→ 4

x(teorema 3)

= 3 [limx→4x ]2−lim

x→4x

(teorema 7)

= 3. (4)2 – 4 (teorema 2)

= 3. 16 – 4 = 44

b)limx→3 √ x2+9

2 x =

limx→3

√ x2+9

limx→3

2 x(teorema 6)

=

√ limx→ 3

( x2+9 )

2 limx→3

x(teorema 8 dan 3)

=

√ limx→ 3

x2+ limx→3

9

2 limx→3

x(teorema 4)

=

√( limx→3

x )2+ limx→3

9

2 limx→3

x(teorema 7)

= √32+9

2 .3 (teorema 1 dan 2)

= √18

6 = 36 √2

= 12 √2

Daftar Pustaka

Sartono, Wirodikromo Matematika Kelas XI (Erlangga)

Robiyatun, Alifah, Sinar (Siswa Rajin Belajar) (Sinar Mandiri: Klaten.tt)

Sudrajat, Asep, Prestasi Matematika 2 (Ganeca Axact: Bandung. 2000)