maitrise statistique des procedes

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MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES GENERALITES A. LAMURE

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Page 1: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE

DES PROCEDES

GENERALITES

A. LAMURE

Page 2: Maitrise Statistique Des Procedes

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MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES INTRODUCTION : DEFINITIONS

♦ QU’EST-CE-QUE LA MSP ? MSP = ensemble actions pour évaluer, régler et maintenir processus de production en état de fabriquer produits conformes aux spécifications et avec caractéristiques stables dans le temps. MSP = suite analyses qui comprennent : réflexion sur processus, caractéristiques significatives de ce processus, du produit, des tolérances nécessaires ; validation outil de production et de son aptitude à fournir ce que l’on attend de lui et enfin mise en place de cartes de contrôle. MSP = méthode préventive qui vise à amener processus au niveau de qualité requis et à l’y maintenir grâce à système de surveillance qui permet de réagir rapidement et efficacement à toute dérive. Méthode basées + particulièrement sur statistiques. REMARQUE : "Statistical Processus Control (SPC)" ≡ Maîtrise Statistique des Procédés ("Contrôle Statistique du Procédé")

♦ DEMARCHE MSP REFERENCE : pendant une ou plusieurs période stable, détermination, pour caractéristique produit ou paramètre fonctionnement, référence statistique (minimum 100 valeurs) caractéristique du processus (moyenne et dispersion) : référence englobe variations "naturelles" processus fabrication + contrôle.

ECHANTILLONNAGE : pilotage du processus avec échantillon constitué de quelques prélèvements analysés : moyenne et dispersion résultats obtenus = moyenne et dispersion processus à instant considéré.

COMPARAISON DE L’ECHANTILLON AVEC LA REFERENCE : si échantillon ne diffère pas statistiquement de référence ⇒ pas d’action sur processus, sinon recentrage du processus.

Page 3: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES INTRODUCTION : PROCESSUS DE PRODUCTION

PROCESSUS = ensemble moyens et activités liées qui transforment éléments entrants en éléments sortants" (norme ISO 8402).

PROCESSUS DE FABRICATION peut comporter plusieurs étapes depuis matières premières j→ produit fini allant chez client externe : chaque étape = processus avec interfaces fournisseur-client.

PROCESSUS DE CONTROLE : produit doit être conforme à des spécifications, exprimées par tolérances. Vérification du produit s’inscrit dans processus de contrôle constitué de plusieurs processus individuels de mesure (pour chaque spécification et chaque étape de fabrication). Processus individuel de mesure ne concerne pas uniquement appareil de mesure mais aussi préparation élément de fabrication à tester.

PROCESSUS DE PRODUCTION = ensemble processus de fabrication + processus de contrôle.

Remarque : notion de processus de fabrication non limitée à transformation de matières ou d’objets. Processus de formation = processus de fabrication (acquisition des connaissances) + processus de contrôle (évaluations, tests).

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Page 4: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES INTRODUCTION : CARTES DE CONTROLE

Pour représenter résultat tests statistiques, SHEWHART a inventé un graphique dénommé "Control Chart" ("Carte de contrôle" ou "Carte de maîtrise"). Classement des cartes de contrôle en 2 grands groupes :

SCHEMA D’UNE CARTE SHEWART : pour maintenir centrée une caractéristique d’un processus, graphique proposé par SHEWHART comporte :

ligne centrale = cible (là où on aimerait que se trouve le processus) 2 limites de contrôle inférieure et supérieure Lci et Lcs (ou Lmi et Lms

limites de maîtrise inférieure et supérieure) dont position est fonction effectif n des échantillons et des risques de décision.

CARTE DE CONTROLE PAR MESURES : caractérisant processus mesurable par centrage échantillon et sa dispersion. On trouve cartes xw (moyenne), s (écart-type) et w ou R (étendue) groupées normalement par 2 : cartes ( xw , w) ou cartes ( xw , s).

CARTE DE CONTROLE PAR ATTRIBUTS : information portée sur carte fonction du nombre individus de échantillon qui possèdent un ou de plusieurs caractères dont on ne peut que constater présence ou absence. On distingue cartes p (pourcentage ou proportion de non-conformes), cartes np (nombre d’unités non-conformes), cartes c (nombre de non-conformités), cartes u (nombre moyen de non-conformités par unité),cartes D (démérites = comptage pondéré du pourcentage de non-conformités).

Remarques : caractère mesurable peut être soumis à contrôle par attributs en le considérant comme conforme si sa valeur ∈ intervalle de tolérance et non-conforme dans le cas contraire.

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Dans tous les types de cartes, décision action ou pas prise au vu du dernier échantillon prélevé. Analyse périodique (fonction volumes fabriqués et maîtrise atteinte) des cartes remplies pendant période considérée.

Page 5: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES INTRODUCTION : NOTION DE RISQUE DECISIONNEL

PRISE DE RISQUE : estimation statistique qu’un événement se produise ou non ne peut s’évaluer que par rapport à situation antérieure connue ⇒ établissement référence correctement et rigoureusement établie sur processus considéré pour pronostiquer son comportement futur. Dans décisions prises suite à contrôle statistique ("agir" ou "ne pas agir") proposition choisie = la + favorable. Comme obtention échantillon hors des limites de contrôle peu probable (ex. 0,1%) quand processus centré ⇒ action lorsque échantillon ∉ limites : on aura 99,9% de chance d’avoir eu raison d’agir.

CONTROLES : soit à 100% de toutes unités produites, soit sur quelques prélèvements dont moyenne constitue échantillon ≡. estimation qualité de l’ensemble des unités produites. Coûts de contrôle ∝ nombre n de mesures tandis que sûreté de jugement ∝ n ⇒ contrôle à 100% très onéreux et peu pratiqué (nécessaire que pour raisons impératives sécurité, renommée) car ne met pas 100% à l’abri de réclamations (événement ponctuel peut fausser un contrôle). Contrôle quelques unités : nombre d’unités contrôlées ⇒ risque

RISQUES α ET β : : soit un opérateur qui vérifie diamètre axes d = 3 mm avec pied à coulisse idéalement réglé. Limites de tolérances fixées à Ti = 2,9 mm et Ts = 3,1 mm. Si une cendre de cigarette tombe malencontreusement entre mors du pied à coulisse sans qu’il s’en aperçoive, il se peut que :

axe pris ait un diamètre bon mais proche de Ts et que surépaisseur cendre ⇒ valeur lue > Ts ⇒ pièce placé dans rebuts.

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pièce ait un diamètre réel < Ti et que surpépaisseur de la cendre ⇒ pièce considérée bonne expédiée au client. Risque α (1ère espèce, risque fournisseur, fausse alarme) = risque de trouver mauvaise quelque chose qui est bonne ou d’agir sur un processus alors qu’il ne le faudrait pas. Risque β (2ème espèce, risque client) = risque de trouver bonne quelque chose qui est mauvaise ou de ne pas agir alors qu’il le faudrait. Dans toute décision que nous prenons, existence de ces 2 risques d’erreur. Pour assurer tolérances aux clients, cartes de maîtrise calculées de façon qu’elles permettent de décider avec minimum de risques (α et β) si action corrective nécessaire ou pas sur processus.

Page 6: Maitrise Statistique Des Procedes

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MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES INTRODUCTION : SECTEURS D’APPLICATIONS

MSP préconise mise en place, en cours de fabrication, de cartes de maîtrise qui assureront en permanence tolérances et permettent de supprimer contrôles a posteriori. Deux cas peuvent se présenter :

si client déjà formé à MSP : envoi de photocopies de la (les) carte(s) de maîtrise sur période de fabrication correspondant au lot expédié ou lots livrés sans chiffre mais contrôles périodiques par client ("audit") du système Qualité de son fournisseur.

si client non formé à MSP : envoi de bulletins d’analyse, moyenne des résultats obtenus avec cartes de maîtrise sur période de fabrication correspondant à commande.

Utilisation MSP sur tout processus utilisant ou fournissant produits au sens très large du terme (résultats contrôle analytique, de sécurité ou d’environnement ≡ produits). Fabrication produits industriels passe par contrôles :

qualité des matières premières (jugement qualitatif proportion unités non conformes dit aux attributs [norme AFNOR NF X06-022] ou de qualité à partir de mesures [norme AFNOR NF X06-023]). Contrôle de réception matières premières devrait disparaître (ISO 9000, contrôles fournisseur et non client).

reproductibilité chaînes de mesure puisque processus de production = Σ processus de fabrication + mesure, variabilité du produit = Σ variabilités fabrication + mesure. Variance de fabrication inconnue (jugement au travers de mesures) mais variance chaîne de mesure mesurable (étude statistique de reproductibilité sur un seul prélèvement) ⇒ connaissance du domaine (fabrication ou contrôle) à améliorer en priorité.

vérification d’étalonnage appareils de mesure : qualité d’un produit liée au couple (fabrication, contrôle). Si caractéristique X d’un produit ou paramètre Y de fonctionnement = majeurs/critiques ⇒ étalonnage processus de mesures de X ou Y aussi majeurs/critiques (⇒ ne jamais mettre en place cartes de contrôle sur caractéristiques de produits ou paramètres de fonctionnement sans avoir préalablement établi cartes de maîtrise sur vérification d’étalonnage chaînes de mesure correspondantes).

maîtrise des caractéristiques des produits et des paramètres de fonctionnement : établir d’abord carte sur produit final d’un processus dont aptitude n’est ni trop faible, ni excellente (ne pas commencer par essayer de résoudre problème jusque là insoluble ou cas déjà traité avec satisfaction).

Page 7: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES INTRODUCTION : EXEMPLE DE MAUVAIS PILOTAGE

Suivi dans atelier de la quantité d’acide résiduaire d’un mélange dans réacteur. Chaque analyse individuelle servait à décider si quantité d’acide introduite pour opérations suivantes devait être modifiée ou pas. Responsable atelier voulant mettre en place carte de maîtrise sur cette quantité d’acide, calcula limites, en fonction risques de mauvaises décisions et tolérances, avec effectif d’échantillon n = 3. Pour s’assurer de la validité de la carte, résultats individuels ayant servi aux opérateurs pour piloter processus sur cette période, ont été groupés sous forme d’échantillons (moyennes de 3 mesures) et reportés sur carte calculée.

première action effectuée par opérateurs sur une valeur individuelle inutile, seconde action tout à fait justifiée. troisième action inutile. De + action entreprise démesurée ⇒ poste suivant,

correction dans autre sens encore disproportionnée ⇒ processus hors limite par valeur inférieure.

comme procédé joue au yo-yo, opérateur poste suivant réagit faiblement ⇒ processus non recentré et 2 postes suivants opérateur obligé de redonner nouveau coup de barre. Pendant 2,5 jours, homme n’agissant qu’à partir d’informations ponctuelles, a fait dérailler sa machine, ...en étant persuadé de bien faire ! Seule dernière action était justifiée. Exemple montre que, non seulement on agit souvent trop précipitamment, avec résultats ponctuels, mais aussi souvent de façon inconsidérée ; seules cartes permettent d’adapter intensité des corrections à apporter pour corriger dérives juste ce qu’il faut.

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Page 8: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES PROCESSUS : DIAGRAMME DE PARETO

MAITRISE PROCESSUS ⇒ minimum de connaissances sur : paramètres majeurs qui conditionnent qualité du produit, sécurité des

hommes et du matériel, caractéristiques majeures du produit, savoir sur quoi agir et de combien si paramètres ou caractéristiques sortent

limites de tolérance. Commencer par répertorier tout ce qui est mesuré, ce qui est surveillé qualitativement et opérer classement par ordre d’importance (critique > majeur > moyen > mineur). Mettre en place en priorité cartes de maîtrise sur variables les + critiques non maîtrisées : les + onéreuses ou les + dangereuses. DIAGRAMME DE PARETO = formalisation du processus pour définir points les + préjudiciables à qualité. Pour cela représenter et classer non conformités sur un histogramme, en fréquence ou en coûts décroissants. EXEMPLE : fabrication de résine polyester, recensement des non conformités Classement et représentation des résultats sur diagramme montre qu’il faut porter ses efforts d’abord sur E puis sur D, etc.

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Nombre des non conformités

Familles Nombre d’observation Pourcentages

Contamination (inclusions) Taux d’humidité

Taux de manganèse Coloration Viscosité

Taux de cendre

A B C D E F

10 2 3

39 73 18

6,9 1,4 2,1

26,9 50,3 12,4

Page 9: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES PROCESSUS : DIAGRAMME D’ISHIKAWA

CAUSES DES NON CONFORMITES : diagramme d’ISHIKAWA (ou en "arêtes de poisson") = représentation des causes directes et indirectes possibles d’une non conformité. Pour établir diagramme efficace, travail de groupe avec personnes compétentes, concernées (fabricants, contrôleurs, technico-commerciaux, responsables du transport, ...). Groupe de travail doit non seulement définir mais aussi classer principales causes potentielles de non conformités.

Distinction parfois entre causes "aléatoires" (nombreuses et faibles effets sur processus) et causes "assignables" (moins nombreuses mais effets importants). Classement préférable en causes "connues et maîtrisables" (= facteurs principaux PEX) et "inconnues ou non maîtrisables" ( = facteurs bruit). Lorsque causes non maîtrisables font dériver processus agir sur un facteur connu pour le redresser.

EXEMPLE : voiture roulant une piste, parfaitement rectiligne mais présentant des dévers statistiquement répartis à gauche et à droite (= causes aléatoires non maîtrisables). Sur ensemble de la piste autant de dévers des 2 côtés, mais séries de plusieurs dévers successifs à droite et à gauche. Avec une voiture parcourant cette piste, on ne devrait jamais régler le volant puisque piste rectiligne. Pourtant dans zones où existe davantage de dévers à gauche véhicule va être entraîné à gauche et volant devra être tiré à droite : direction du véhicule = paramètre de fonctionnement qui corrige dérives dues aux causes aléatoires.

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Page 10: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES PROCESSUS : CORRELATIONS

OBJECTIF ETUDE = déterminer si 2 variables X et Y liées, c.a.d. si en modifiant variable X ("cause supposée") ⇒ "effet" sur Y. Cas uniquement corrélations linéaires à 2 variables. Pour corrélations non linéaires, il faut trouver transformées qui ramènent à des corrélations linéaires (log(x), xn, ...). Pour construire diagramme de corrélation, disposer au moins de 20 couples de valeurs (X, Y). Tracer 2 axes ⊥ et graduer axes de telle sorte que segment représentant étendue valeurs de X ∼ longueur représentant étendue valeurs de Y.

INTERPRETATION VISUELLE DU DIAGRAMME : lorsque nuage de points forme bande assez étroite et que valeurs de Y ( ) globalement quand celles de X

: corrélation positive (négative) ; lorsque nuage de points ne forme pas une bande très étroite, possibilité d’avoir corrélation mais analyse + approfondie nécessaire. Il n’y a probablement pas corrélation sauf si données collectées couvrent domaine de variation insuffisant ou rassemblent résultats obtenus dans conditions ≠ et mélangées sans discernement (ex. matières premières ≠, modification consignes de fonctionnement durant période considérée, ...).

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Page 11: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES PROCESSUS : TEST DE CORRELATIONS

Tracer sur diagramme de corrélation 2 axes ⊥ passant par x et y (moyenne valeurs X et Y) ⇒ 4 quadrants numérotés I, II, III et IV. Compter ni = nombre points dans chacun des quadrants, sans prendre en compte points qui se trouvent sur axes x et y . Effectuer somme n = nombre points dans les 2 quadrants opposés les - peuplés (n = n1 + n3 = 4) et N = nombre total points dans 4 quadrants (N = 28). Regarder dans table de corrélation probabilité de trouver seulement n points sur N dans ces quadrants (ex. table avec risque de se tromper α = 5% : n0 = 8) : n0 = limite pour dire avec risque α = 5% de se tromper qu’il y a une corrélation

REMARQUE : test de corrélation appelé "test des signes" car regroupement points de quadrants opposés pour lesquels πi = [(xi - x )][(yi - y ] > 0 ou < 0.

N n0 N n0 N n0 N n0 N n0 N n0 N n0 N n0 N n0

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 -

1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 -

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 -

5 5 5 6 6 7 7 7 8 8 -

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 -

9 9 9 10 10 11 11 12 12 12 -

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 -

13131414151515161617-

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 -

17181818191920202121-

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 -

21222223232424252525-

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 -

26262727282828292930-

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 -

30 31 31 32 32 32 33 33 34 34 -

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

3535363637373738383939

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Table de corrélation pour un risque d’erreur α = 5%

Page 12: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES PROCESSUS : COEFFICIENT DE CORRELATION A 2 VARIABLES

COEFFICIENT DE CORRELATION VRAI ENTRE 2 VARIABLES X et Y, pour nombre ∞ de mesures = nombre ρ inconnu tel que -1 < ρ < +1. Valeur estimée par r sur nombre restreint de mesures : ( )( )⎣ ⎦

( )[ ] ( )[ ]∑∑∑

−−

−−=

22 yyxx

yyxxr

ii

ii .

TABLE DE CORRELATION DE ρ : première colonne ≡ nombre ν degrés de liberté : (pour 2 variables, ν = N - 2 , pour k variables ν = N - k). Autres colonnes ≡ probabilité de trouver valeur ≥ valeur de r donnée.

ν P = 10% P = 5% P = 2% P = 1% 1 2 3 4 5

0,9877 0,9000 0,8054 0,7293 0,6694

0,9969 0,9500 0,8783 0,8114 0,7545

0,9995 0,9800 0,9343 0,8822 0,8329

0,9999 0,9900 0,9587 0,9172 0,8745

6 7 8 9 10

0,6215 0,5822 0,5494 0,5214 0,4973

0,7067 0,6664 0,6319 0,6021 0,5760

0,7887 0,7498 0,7155 0,6851 0,6581

0,8343 0,7977 0,7646 0,7348 0,7079

11 12 13 14 15

0,4762 0,4575 0,4409 0,4259 0,4124

0,5529 0,5324 0,5139 0,4973 0,4821

0,6339 0,6120 0,5923 0,5742 0,5577

0,6835 0,6614 0,6411 0,6226 0,6055

16 17 18 19 20

0,4000 0,3887 0,3783 0,3687 0,3598

0,4683 0,4555 0,4438 0,4329 0,4227

0,5425 0,5285 0,5155 0,5034 0,4921

0,5897 0,5751 0,5614 0,5487 0,5368

25 30 35 40 45

0,3233 0,2960 0,2746 0,02573 0,2428

0,3809 0,3494 0,3246 0,3044 0,2875

0,4451 0,4093 0,3810 0,3578 0,3384

0,4869 0,4487 0,4182 0,3932 0,3721

50 60 70 80 90 100

0,2306 0,2108 0,1954 0,1829 0,1726 0,1638

0,2732 0,2500 0,2319 0,2172 0,2050 0,1946

0,3218 0,2948 0,2737 0,2565 0,2422 0,2301

0,3541 0,3248 0,3017 0,2830 0,2673 0,2540

Pour N > 100, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=3

2/

Nk

thr P avec k = nombre d’écarts-types pour la probabilité P/2 (Loi

Normale Réduite) et th = fonction tangente hyperbolique.

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Table de corrélation à 2 variables

Page 13: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES PROCESSUS : REGRESSIONS

Lorsque tests précédents montrent corrélation entre X et Y ⇒ volonté de déterminer relation linéaire qui lie effet de X sur Y de façon à pouvoir agir sur Y par intermédiaire de X. Régression linéaire de la forme : y = a x + b avec a = r sY/sX et b = y - a x où r = coefficient de corrélation, sX et sY = écarts-types respectifs sur X et Y, x et y = moyennes respectives de X et Y. APPLICATION 1 : POLYMERISEUR NYLON Etude de l’influence V de la vis d’extraction (X) sur la porosité des pastilles de polymères obtenus (Y). On a relevé les données suivantes

n° échantillon X =vitesse Y = porosité n° échantillon X =vitesse Y = porosité1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

56 59 61 52 54 65 53 57 63 55

15 22 20 10 16 23 13 16 24 12

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

57 60 66 56 59 59 63 62 55 51

17 24 27 20 20 17 21 18 17 13

Construire le diagramme de corrélation. En déduire si la porosité est corrélée à V ? Dans le cas positif, donner la relation linéaire qui lie la porosité à la vitesse V de la vis d’extraction pour la polymérisation du nylon.

Remarque avec Excel, si valeurs X placées dans colonnes B2-B21 et Y dans colonnes C2-C21 : Etendue wx = MAX (B2 : B21) – MIN (B2 : B21), Moyenne x = MOYENNE (B2 : B21), Ecart-type sx = ECARTYPE (B2 : B21),

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Coefficient corrélation r = COEFFICIENT.CORRELATION (B2 : B21 ; C2 : C21)

Page 14: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES STATISTIQUES : HISTOGRAMME

STATISTIQUE = résumé chiffré nombre important de données (⇒ perte informations) obtenu par .

regroupement données individuelles en classes : 6 à 15 valeurs résument 40 à plusieurs milliers de données

moyenne + dispersion données individuelles autour valeur centrale : valeurs calculées selon loi de distribution choisie qui résument ensemble des données. GRAPHIQUES = représentation valeurs sous forme histogramme, "camembert", courbe de distribution en fréquences, etc. Pour construire correctement histogramme, à partir de N données individuelles, 4 règles :

Nombre de classes K tel que 6 < K < 15. Estimation par K = N ou règle de STURGES : K = 1 + 3,3 log10 (N).

Largeur L classes calculée à partir étendue (w ou R) des données et nombre K de classes : L = w /K. Arrondir L selon précision voulue ⇒ diminution ou augmentation parfois de K de 1.

Limites basse (haute) 1ère (dernière) classe telles que + petite (grande) des données se trouve dans classe et non en limite de classe.

Si une valeur se trouve à une interclasse, la mettre par convention dans classe immédiatement à droite (règle dite "priorité à droite"). REMARQUES : Forme ± symétrique histogramme indique normalité distribution des données mais test de normalité nécessaire. Si intervalle des classes de l’histogramme → valeur infinitésimale dx (nombre de classes ∞), polygone de distribution en fréquences des valeurs ≡ courbe de distribution. Recherche loi de distribution la + proche de la distribution expérimentale puis utilisation modèle mathématique pour représenter processus.

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Page 15: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES STATISTIQUES : DISTRIBUTION NORMALE

DISTRIBUTION LOI NORMALE caractérisée, pour référence N ≥ 100 par moyenne µ = Σx/N et écart-type des valeurs ( )∑ −= Nx /2µσ . Pour échantillon taille n : m = Σxi/n et ( ) ( )∑ −−= 1/2 nmxs i Commencer par tracer données sur diagramme chronologique et éliminer points "singuliers" de cause connue. Si aucune tendance discernable :

Calculer moyenne et écart-type sur ensemble des points (N ≥ 100) avec formules pour référence afin d’obtenir dispersion ensemble des données.

Dissocier série des N données en r sous-groupes de taille n voisine des échantillons afin d’obtenir dispersion "intrinsèque" ou "instantanée". Si tracé met en évidence plusieurs populations, calculer écart-type de chacune des populations ou des r sous-groupes puis écart-type moyen à partir des variances. Pour tracer histogramme, recentrer valeurs individuelles sur moyenne cible. Si tendance chronologique (cas fréquent pour indicateurs) diviser artificiellement données en sous-groupes de quelques valeurs (minimum = 2) et calculer écart-type intrinsèque moyen comme précédemment.

aucune tendance n = 2 populations tendance chronologique

Lorsque N données divisées en sous-groupes, écart-type moyen calculé soit directement à partir de ceux des sous groupes (méthode la plus précise), soit à partir étendue moyenne w de ces sous-groupes. ♦ Avec 1ère méthode, ∑= rss i /2 si taille n des r sous-groupes ne varie pas de ± 10% et [ ] ( )∑ −−= 11 /2

iii nsns autrement. ♦ Avec 2nde méthode, taille n des sous-groupes rigoureusement identiques et s = w /d2 où d2 donnée en fonction taille n des sous groupes.

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 d2 1,128 1,693 2,059 2,326 2,534 2,704 2,847 2,970 3,078 3,173 3,258

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Page 16: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES STATISTIQUES : PROPRIETES DE LA LOI NORMALE

DISTRIBUTION NORMALE représentée par une courbe symétrique centrée sur µ et probabilité P(x) de trouver valeur donnée x déterminée par fonction

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−= 2

2

2exp

21)(

σµ

πσxxP . Probabilité de trouver des valeurs entre deux limites

x1 et x2 vaut : ( ) dxxxxxPxx∫ ⎥

⎤⎢⎣

⎡ −−=≤≤ 2

12

2

21 2exp

21)(

σµ

πσ (≡ surface S)

COORDONNEES CENTREES REDUITES = nombre d’écarts-types k = (x-µ)/σ, probabilité de trouver valeurs situées au-delà de k écarts-types de la moyenne s’exprime par la LOI NORMALE REDUITE (LNR) : P (x tel que (x-µ)/σ ≥ k) = dxk

k∫∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

2exp

21 2

π

Par définition, distribution LNR a pour moyenne µ = 0 et écart-type σ = 1.

VALEURS CARACTERISTIQUES DE LA LOI NORMALE REDUITE Entre % de valeurs A l’extérieur de % de valeurs

± 1 écart-type 68,3 % ± 1 écart-type 31,7 % ± 2 écarts-types 95,4% ± 2 écarts-types 4,6% ± 3 écarts-types 99,73% ± 3 écarts-types 0,27%

Tableur EXCEL : PROBABILITE P = LOI.NORMALE.STANDARD (k) Inversement si P = 5% ⇒ k = LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(0,05)

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Page 17: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES STATISTIQUES : INTERVALLE DE CONFIANCE D’UNE MOYENNE

Pour juger état statistique d’un processus prélèvements (échantillons) dont on détermine moyenne x et écart-type sx. THEOREME LIMITE CENTRALE : si, dans une population normale (moyenne µ et écart-type σ), on prélève des échantillons de taille n, distribution de ces échantillons suivra une loi normale (moyenne µ et écart-type sx = σ/ n ). Pour échantillon, ix peut se trouver ± éloignée de la véritable moyenne µ. Intervalle de confiance de la moyenne, avec probabilité P donnée, = estimation [µinf - µsup] autour de ix . Véritable moyenne µ a P% de chance de se trouver dans intervalle : µinf = ix - k.s/ n ≤ µ ≤ ix + k.s/ n = µsup où k = nombre écarts-types loi LNR correspondant à probabilité P’ = (100-P)/2 de trouver cette moyenne et s= estimation de σ connu.

COMPARAISON DE 2 MOYENNES : acuité du jugement = fonction du nombre n de mesures individuelles et calcul de la dispersion des données établie de façon sûre (variance "connue") ou sur séries (variance "inconnue"). VARIANCE "CONNUE" : soit n1 et n2 = nombre de mesures pour chacune des moyennes 1x et 2x , leur différence D = | 1x - 2x | est significativement ≠ 0, avec probabilité α choisie (risque α) de se tromper si D ≤ + k σd avec σd = 2

21

2 // nn σσ + et k = nombre d’écarts-types de la loi LNR correspondant à probabilité α de déclarer différence significative alors qu’elle ne l’est pas.

17

VARIANCE "INCONNUE" (test d’Aspin-Welch) : utilisation de la loi de Student au lieu de loi normale. Test de l’hypothèse D ≥ t sd avec sd = 2

221

21 // nsns + et t = variable correspondant à probabilité α de déclarer

différence significative alors qu’elle ne l’est pas, pour nombre de degrés de liberté ν calculé et arrondi à valeur entière la plus proche par :

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=2

22

22

2

2

21

21

1 11

111

dd sns

nsns

Page 18: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES STATISTIQUES : INTERVALLE DE CONFIANCE D’UN ECART-TYPE

INTERVALLE DE CONFIANCE DE L’ECART-TYPE : comme celui de la moyenne il dépend de la taille n de l’échantillon considéré. Contrairement à celui de la moyenne, ce paramètre ne suit pas une LNR mais une LOI dite DE χ2. Pour une valeur d’écart-type donnée sx d’échantillon, véritable écart-type σ peut se trouver ± éloigné de sx : on appelle intervalle de confiance de l’écart-type, pour une probabilité P donnée, l’estimation (σinf - σsup) autour de sx

σinf = sx ( ) ( ) 2/10021 Pn −− χ ≤ σ ≤ sx ( ) ( ) 2/100

21 Pn +− χ = σsup

Remarque : loi du χ2 dissymétrique conduit a une faible précision sur écart-type pour des tailles d’échantillons faibles. C’est pourquoi, il faut déterminer la dispersion sur minimum 100 valeurs.

COMPARAISON DE DEUX VARIANCES : soit 2 échantillons sur lesquels on a déterminé les écarts-types s1 sur n1 mesures et s2 sur n2 mesures. Pour déterminer si les deux écarts-types sont significativement différents, on calcule le rapport F = s1

2/ s22 en portant toujours au numérateur la variance la plus

élevée. On cherche ensuite sur la table de "F" (FISHER-SNEDECOR), pour ν1 = n1 -1 et ν2 = n2 -1 degrés de liberté, la valeur F0 au-delà de laquelle on ne peut trouver que P% (risque α) de valeurs si les écarts-types sont égaux et conclure à tort qu’ils sont différents. Ecarts-types non significativement ≠ si Fcalculé ≤ F0 et ≠ si Fcalculé ≥ F0 avec un risque α = 5% de se tromper

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Page 19: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES

STATISTIQUES : TEST DE NORMALITE

TEST DE LA DROITE DE HENRY (norme AFNOR X06-050) : test de normalité pour juger ajustement d’une partie de la distribution des valeurs expérimentales à une courbe de Gauss. Sur un papier à échelle Gausso-arithmétique (ordonnées - abscisses) porter, en ordonnées, les fréquences cumulées aux centres de classes, sauf le premier et le dernier point (trop grande imprécision). Plus valeurs expérimentales se rapprochent d’une loi normale, plus les points sont alignés. Pour conclure que la distribution est ou n’est pas normale, établir un "couloir" de confiance tel qu’on n’a que 5% de risque de trouver des points extérieurs en portant les intervalles de confiance de la moyenne et de la dispersion. A mmin = m - k2,5% s/ N = m - 1,96 s/ N pour 50% des valeurs

B mmax = m + k2,5% s/ N = m + 1,96 s/ N pour 50% des valeurs

C mmin + smin = mmin + s ( )%5,2

2/1 χ−N pour 84% des

valeurs D mmax + smax = mmax + s ( )

%5,972/1 χ−N pour 84% des valeurs

E mmin - smax = mmin - s ( )%5,97

2/1 χ−N pour 16% des valeurs

F mmax - smin = mmin - s ( )%5,2

2/1 χ−N pour 16% des valeurs

TRACES TYPIQUES DU GRAPHIQUE DE HENRY

Loi normale

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Page 20: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE

DES PROCEDES

ANALYSES

A. LAMURE

Page 21: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES APTITUDE : APTITUDE STANDARD

OBJECTIF = vérifier que variabilité naturelle et centrage du processus de production compatibles avec tolérances de la caractéristique sélectionnée. Sur une période stable de référence, prélever, de façon aléatoire, N = 100 valeurs non consécutives. Eviter : ♦ prélèvement sur une trop longue période : risque de modifications de consigne de marche, de matériel, assimilables à des variations aléatoires du processus ⇒ surestimation de la dispersion, ♦ prélèvement sur une période trop courte : risque que certains facteurs aléatoires n’aient pas eu le temps de jouer ⇒ sous estimation de la variabilité.

Moyenne m trouvée sur la (ou les) période(s) de référence peut être remplacée par une valeur "cible" m0 fixée en général par rapport aux tolérances [Ti ; Ts] centrée ou non.

INDICATEURS D’APTITUDE STANDARD : Cp = sTT is

.6− lorsque cible centrée

sinon Cpk = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

sTm

smT

Min is

.3;

.3.

. 00 (norme NF X06-033). Indicateurs standard

fondés sur dispersion standard de 6 écarts-types (99,73% des valeurs). Trois cas :

Suivant valeurs de Cp ou Cpk, aptitude des processus classée comme : Cp ≤ 0,67 0,67 ≤ Cp

≤ 1,00 1,00 ≤ Cp

≤ 1,33 1,33 ≤ Cp

≤ 1,67 1,67≤ Cp

≤ 2,00 2,00≤ Cp

très mauvaise

mauvaise très moyenne à moyenne

moyenne à bonne

bonne à très bonne

excellente

21

Page 22: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES APTITUDE : APTITUDES D’UN MOYEN DE PRODUCTION ET DE CONTROLE

APTITUDE SPECIFIQUE : pour préciser la notion de "risque à l’utilisation du produit" utilisation d’indicateurs d’Aptitude plus spécifiques (≡ coefficients d’Aptitude spécifique) notés Ap ou Apk se rapportant à une dispersion de 2 k écarts-types (2 k = nombre d’écarts-types défini par loi LNR en fonction du pourcentage de valeurs qui doivent se trouver entre les tolérances) :

Ap = skTT is

.2− et Apk = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−

skTm

skmTMin is

.2;

.2.. 00

APTITUDES = indicateurs d’état a posteriori. Dans écart-type s de la période de référence, tous les facteurs (matières premières, moyens de fabrication, moyens de contrôle) ont contribué à la dispersion de la production. Afin de faire la part de chacun d’eux, distinction entre :

♦ APTITUDE OPTIMALE (OU INTRINSEQUE) D’UN MOYEN DE PRODUCTION : Prélever, dans conditions optimales de stabilité de fonctionnement, une cinquantaine de pièces sur une courte durée dont dispersion si = "dispersion intrinsèque du moyen de production" Cam = IT/ 6si (rapport intervalle de tolérance sur dispersion intrinsèque du moyen de production sur une courte période) ou Cmk = min.[(Ts - m)/ 3si ; (m - Ti)/ 3si] (rapport distance entre moyenne et tolérance la plus proche sur demi - dispersion intrinsèque du moyen de production sur une courte période). Remarque : aptitude optimale (ou intrinsèque) ≠ aptitude de fabrication (influence de la variance de la chaîne de mesure).

♦ APTITUDE D’UN MOYEN DE CONTROLE. : "justesse" du système de contrôle (dispersion entre moyenne d’une série de résultats et une valeur de référence). Essais de "répétabilité" à partir d’un seul prélèvement de fabrication, par le même opérateur, dans un même lieu, sur un seul appareil, avec le même mode opératoire) non réalisés en MSP.

22

Essais de "Reproductibilité" (dispersion sR des résultats obtenus à partir d’un même prélèvement de fabrication, par même méthode mais avec des opérateurs différents, des appareils différents et des temps éventuellement variables) pour déterminer les variations de l’ensemble de la chaîne qui auront des répercussions sur pilotage de fabrication. ⇒ Cmc = IT/6sR (rapport intervalle de tolérance du moyen de production sur dispersion de reproductibilité du moyen de contrôle sur une courte période).

Page 23: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES APTITUDE : ETUDE COMPARATIVE DES VARIANCES

INDICATEURS D’APTITUDE présentent plusieurs inconvénients : ♦ aptitudes d’un niveau de qualité ne peuvent servir au pilotage des processus, ♦ aptitude intrinsèque jugée qu’au travers de mesures ⇒ valeurs ne donnent pas aptitude propre du processus de fabrication, ♦ aptitudes non additives : aptitude globale du processus de production ≠ aptitudes processus fabrication + processus contrôle (inverse racine carrée), ♦ aptitudes ne permettent pas de définir objectifs relatifs de variabilité du processus de contrôle vis-à-vis du processus de fabrication.

VARIANCES DE FABRICATION ET DE CONTROLE : variance VP du processus de production, pour caractéristique donnée d’un produit = somme variances des éléments qui le compose : matières premières, opération de fabrication (hommes et machines) et ensemble des opérations qui amènent aux résultats de mesure (chaîne de mesure). Si Vp = variance globale de production (Vp = s2 processus de production) et VC = variance processus de contrôle (VC = sR

2 reproductibilité) ⇒ variance matières premières Vmp ≈ Vp + VC et Vmp + VF = estimation de la variance de l’ensemble (matières premières + fabrication). La part de la variance de contrôle ne doit pas dépasser 20% de la variance totale. La variance n’est pas un indicateur passif : c’est un outil d’amélioration de la Qualité.

Exemple : réduction en priorité de la dispersion du processus de :

fabrication. Contrôle

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Page 24: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES APTITUDE : FABRICATION DE FIL METALLIQUE

APPLICATION : FABRICATION FILS METALLIQUES Dans une usine de fabrication de fil métallique pour pneumatique, on contrôle la charge à la rupture des fils avec un dynamomètre. Les fils de diamètres 0,175 mm ont une charge à la rupture moyenne de 80 N et les tolérances sont de ± 3,6 N. On sait centrer cette charge à la rupture en jouant sur le diamètre

Durant une période de référe

du fil initial avant tréfilage.

nce, on a trouvé écart-type global sP = 1,08 N sur

fil, le laboratoire de

n déduire les pourcentages respectifs des variances de fabrication et de

rt de la variance de contrôle est trop importante pour

uelle est, dans ce cas, l’aptitude globale du processus C’p ?

la production. En déduire l’Aptitude de la production Ap

ur la même période, à partir d’une seule bobine deScontrôle a estimé la reproductibilité de la mesure dynamométrique sR = 0,75 N. En déduire l’aptitude du moyen de contrôle Cmc Econtrôle VF% et VC%

n s’aperçoit que la paOpouvoir piloter le processus de tréfilage avec une seule mesure par bobine. Le seul moyen de diminuer cette part de variance et, par là même, augmenter l’aptitude de l’ensemble (fabrication + contrôle) est de faire n mesures sur chaque bobines. Calculer avec n = 8 les nouvelles variances de contrôle V’C et de production ainsi que les nouveaux pourcentages respectifs des variances Q

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Page 25: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES CARTES DE CONTROLE : DEPLACEMENT LIMITE DE LA MOYENNE

ZERO DEFAUT n’existe statistiquement que pour intervalle compris entre ± ∞ ⇒ "zéro défaut" ≡ très faible probabilité statistique p, définie en fonction du risque que client trouve résultats hors tolérances. Tout processus dérive avec le temps sous effet de causes indéterminées qu’on s’efforce de supprimer pas à pas ou aléatoires qui peuvent se conjuguer momentanément pour donner des effets dans le même sens. Si caractéristique d’un processus dérive d’une quantité ∆ vers la tolérance supérieure Ts, il ne faut pas que sa moyenne m dépasse une certaine valeur limite mrs (= "moyenne refusable supérieure") qui assure encore probabilité p choisie (équivalente au "zéro défaut"). Dans le cas de 2 tolérances Ti inférieure et Ts supérieure ⇒ limites inférieure mri et supérieure mrs. Exemple si équivalence du "zéro défaut" est p = 0,135% mri et mrs se trouveront à 3 écarts-types en retrait des tolérances Ti et Ts

POSITIONS DE mri ET mrs définies par loi LNR, dès que p fixé : mrs = Ts - ks et mri = Ti + ks avec k = nombre écarts-types correspondent à p%. Pour simplifier formules, dérive maximale ∆ de la moyenne exprimée en nombre d’écarts-types δ = Min.[(mrs - m0)/s ; (m0 - mri)/s]. Plus δ grand, plus processus apte à respecter tolérances et moins contrôle coûte cher et δ optimum quand Ti et Ts symétriques par rapport à m0. Lorsque processus est centré, probabilité que client trouve des valeurs hors tolérances est minime : ce n’est que lorsque moyenne atteint mri ou mrs qu’elle est de p%. Comme cartes de maîtrise calculées de façon à détecter toute dérive δ ≤ D, probabilité moyenne réelle qu’un client trouve une valeur hors tolérances est toujours inférieure à p.

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Page 26: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES

CARTES DE CONTROLE : PERIODES OPERATIONNELLES

Pour la détermination de l’effectif n des échantillons, il faut tenir compte des deux risques α et β de se tromper. CARTES SHEWHART : risques évalués en probabilités car informations données par échantillons successifs traitées de façon indépendante les unes des autres (α et β constants d’un échantillon à l’autre). CARTES CUSUM ET EWMA : informations présentes combinées avec celles du passé ⇒ risques α et β évoluent chronologiquement et concepts de risque traduits en termes de "Périodes Opérationnelles".

PERIODE OPERATIONNELLE P = nombre N d’échantillons successifs jusqu'à en trouver un qui conduise à penser que le processus a dérivé. ♦ si processus n’a pas dérivé en réalité, période notée P0 correspond au concept de "fausse alarme", ♦ si le processus a dérivé effectivement, période notée P1 correspond au concept "(100 - β)" chance de détecter rapidement cette dérive.

Remarque : on désire P1 la plus petite possible (détection rapide des véritables dérives 1 < P1 < 4) et P0 la plus grande possible (le moins possible de fausses alarmes 100 < P0 < 1 000) ⇒ conséquences sur effectif n des échantillons, c.a.d sur coût de contrôle.

Dérive Fausse alarme

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Page 27: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES CARTES DE CONTROLE : PERIODES OPERATIONNELLES MOYENNES

PERIODE OPERATIONNELLE d’une séquence d’échantillons, jusqu'à obtenir un échantillon qui sort des limites de contrôle = nombre entier. Mais si processus placé à une position déterminée (exemple à mrs) et que plusieurs séquences successives sont lancées, nombre d’échantillons au bout duquel on est alerté d’une dérive n’est pas le même à chaque séquence : on a une distribution aléatoire des fréquences de Périodes Opérationnelles.

PERIODE OPERATIONNELLE MOYENNE : pour carte SHEWHART distribution des Périodes Opérationnelles toujours décroissante et a une longue traînée tandis que celle des cartes CUSUM et EWMA est beaucoup plus resserrée, dissymétrique, avec un maximum (continûment que si moyenne < 1,5). Moyenne de cette distribution = "Période Opérationnelle Moyenne" notée POM0 si c’est une fausse alarme (conventionnellement P0= 100/α) et POM1 si c’est une véritable alarme (P1 = 100/(100-β)).

PERIODE OPERATIONNELLE MAXIMALE : normes font apparaître, pour les véritables alarmes, la notion de POMAX, = valeur de Période Opérationnelle Maximale n’ayant que 5% de risque d’être dépassée : les POMAX peuvent être : ♦ calculées pour cartes SHEWHART : POMAX = ENT.⎨1 + 3/Ln[P1/(P1-1]⎬) ♦estimés pour les 2 autres cartes : POMAXCUSUM = ENT. ⎨2P1

1,1 - 0,75⎬ et POMAXEWMA = ENT. ⎨2P1

1,1 - 0,5⎬).

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Page 28: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES CARTES DE CONTROLE : CARTES DE LA MOYENNE SHEWHART

RISQUE α : cartes SHEWWART + adaptées aux processus discontinus. Le processus étant centré, si distribution suit loi LN (moyenne m0 et écart-type s), distribution échantillons suit loi normale (moyenne m0 et écart-type s/ n ). Si limites de maîtrise à ± 3 écarts-types de cible (Lm = m0 ± 3s/ n ), probabilité α = 2 x 0,135% = 0,27% de trouver valeurs hors des tolérances : risque α "bilatéral" (égale probabilité de chaque côté). Remarque : limites de maîtrise sont soit fixées à ± k1 s/ n de la valeur cible, k1 = nombre écarts-types correspondant à probabilité α/2 (0,1% ≤ α/2 ≤ 1% ⇔ 3,09 ≥ k1 ≥ 2,33) soit exprimées en Périodes Opérationnelles P0 = 100/α, (1 fausse alarme tous les 500 à 50 échantillons en moyenne).

RISQUE β : pour calculer taille n des échantillons, il suffit, après avoir calculé déplacement maximal δ de la moyenne, de tenir compte du risque β de ne pas déceler ce déréglage. Si moyenne du processus se déplace de δ écarts-types (⇔ ∆ = δ.s) et atteint moyenne "refusable", très forte probabilité de trouver une valeur d’échantillon (= moyenne de n valeurs individuelles) > limite de maîtrise Lms mais probabilité de trouver une valeur < Lms (= risque β) et décider, à tort, de ne pas régler. Risque β "unilatéral" (n’existe que d’un seul côté de la distribution lorsque processus est centré sur mrs ou sur mri). Pour un risque β donné, nombre écarts-types entre Lms et mrs = k2 (loi LNR). En général : 5% ≤ β ≤ 20% ⇔ 1,645 ≥ k2 ≥ 0,842

DEPLACEMENT δ DE LA MOYENNE : δ = (Lms -m0)/s + (mrs - Lms)/s δ = (k1 s/ n )/s + (k2 s/ n )/s = (k1 + k2)/ n ⇒ Equation d’efficacité carte SHEWHART : δ n = k1 + k2 où k1 et k2 = nombres écarts-types liés aux risques α/2et β.

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Page 29: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES CARTES DE CONTROLE : EFFICACITE DES CARTES SHEWHART

EFFECTIF N DES ECHANTILLONS : équation d’efficacité δ n = k1 + k2 ⇒ pour un déplacement de la moyenne δ fixé et des risques α et β choisis, effectif n des échantillons ne peut être quelconque si on veut assurer les tolérances. Courbes d’efficacité traditionnelles (risque α = 0,27%) permettent, après avoir choisi β, de déterminer cet effectif n. Ces courbes montrent qu’une carte SHEWHART n’est efficace et économique que pour de grandes dérives (δ > 1,33 soit Cp >145). Limites de maîtrise d’une carte de SHEWHART assurant tolérances sont Lm = m0 ± k1 s/ n avec n calculé par équation d’efficacité

ABAQUE permet de trouver rapidement meilleur compromis entre n (coût de contrôle) et P0 (fausse alarme) et donne les limites de maîtrise correspondantes. Calculer δ et choisir P1 (nombre moyen d’échantillons successifs pour détecter dérive δ) puis lire sur abaque couples (n, P0) correspondants et le paramètre k1 des limites de maîtrise.

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Page 30: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES CARTES DE CONTROLE : ABAQUE DES CARTES SHEWHART

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Page 31: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES CARTES DE CONTROLE : CARTES DE LA DISPERSION SHEWHART

Construction carte maîtrise de la moyenne s’appuie sur valeur écart-type s de référence ⇒ surveillance de sa relative constance. Généralement, utilisation CARTE DES ETENDUES "wx" pour n < 10 - 12 et des ECARTS-TYPES "sx" au-dessus. Pour ces 2 cartes approximation loi en χ2 en loi normale et limites se déduisent de tables normalisées. Si dispersion doit être maîtrisée, recalculer limites à partir loi en χ2. Intervalle de confiance écart-type σ0 compris entre : σinf = sx ( ) ( ) 2/100

21P

n−

− χ ≤ σ0 ≤ sx ( ) ( ) 2/10021

Pn

+− χ = σsup

Inversement, σ0 ayant été estimé par s, écarts-types sx des échantillons ont une probabilité p de se trouver entre limites Lci et Lcs telle que :

Lci =( )

12/100

2

0 −+

nP

χσ

et Lcs = ( )

12/100

2

0 −−

nP

χσ

avec risque α/2 de fausse alarme identique pour chaque limite et égal à (100 - P)/2

Cartes Cible limite inférieure limite supérieuresx c4 s B5 s B6 s

wx d2 s D1 s D2 s

n c4 B5 B6 d2 D1 D2

2 0,7979 0 2,606 1,128 0 3,686 3 0,8862 0 2,276 1,693 0 4,358 4 0,9213 0 2,088 2,059 0 4,698 5 0,9400 0 1,964 2,326 0 4,918 6 0,9515 0,029 1,874 2,534 0 5,078 7 0,9594 0,113 1,806 2,704 0,205 5,203 8 0,9650 0,179 1,751 2,847 0,387 5,307 9 0,9693 0,232 1,707 2,970 0,546 5,394 10 0,9727 0,276 1,669 3,078 0,687 5,469 11 0,8754 0,313 1,637 3,173 0,811 5,535 12 0,8776 0,346 1,610 3,258 0,922 5,594 13 0,9794 0,374 1,585 14 0,9810 0,399 1,563 15 0,9823 0,421 1,544 20 0,9869 0,504 1,471 25 0,9896 0,559 1,421

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Page 32: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES CARTES DE CONTROLE : PRINCIPE DES CARTES EWMA

Efficacité cartes SHEWHART médiocre pour petites dérives

CARTES EWMA ("Exponentially Weighted Moving Average") : prise en compte valeur échantillon actuel et résultats précédents de façon pondérée. A partir des valeurs moyennes 1x , 2x , .... ix des échantillons successifs, calcul et suivi de : Zi = λ ix + (1 - λ) Z(i-1) avec 0 < λ ≤ 1: VALEUR CIBLE : au démarrage d’une séquence : Z0 = m0

ensuite : Zi = λ ix + (1 - λ) Z(i-1) λ = coefficient de pondération tel que si λ = 1 ⇒ carte de SHEWHART et plus λ ⇒ petites dérives mieux décelées mais pas dérives brusques et importantes ⇒ généralement pour processus continus, 0,25 ≤ λ ≤ 0,50 et souvent λ = 0,33.

APPROXIMATION DE λ EN FONCTION DE LA PERIODE OPERATIONNELLE P1 λ ≈ 1 - 0,7 tg[(P1 - 1)/P1] pour 1 < P1 ≤ 5 et (P1 - 1)/P1 = angle en radians

LIMITES DE MAITRISE : . Lm = m0 ± L sZ / n avec : ♦ sZ = s λ ( ) ( )∑ −−+ 1211 iλ → s ( )λ

λ−2 quand rang i échantillon →∞. Au

début d’une séquence, limites = segments // qui convergent très vite vers Lm et dès 4ème échantillon, limites de maîtrise ≡ droites parallèles. ♦ Paramètres des limites L soit lu sur abaque d’efficacité vraie, soit approximé par L = k1 – 0,3 (δ. n )-2,32 – 0,019 où k1 = nombre d’écarts-types de loi LNR pour probabilité (100/2P0) exprimée en %. Obtention également du paramètre L par : L = k1 - ( )

5,2

41

nδ Lorsque δ n > 2,5 ⇒ L → k1.

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Page 33: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES CARTES DE CONTROLE : EFFICACITE DES CARTES EWMA

EFFECTIF n DES ECHANTILLONS : ♦ Efficacité vraie de la forme δ n = ),( 10 PfPfF avec : F(Pf0, Pf1) =2 ⎨1/Pf1 Ln(Pf0/Pf1) - (Pf1 - 1)/Pf1 Ln[Pf1/(Pf1 - 1) (Pf0 - 1)/ Pf0]⎬ ⇒ utilisation d’algorithmes complexes (logiciels spécifiques) pour obtenir n.

♦ Utilisation de l’équation d’efficacité approchée des cartes EWMA : δ n = [k1 + k2].e[(f1 – P1)/f2] ] pour 1 < P1 ≤ 5 et k1 = nombre d’écarts-types loi LNR pour la probabilité [100/2P0] %, k2 = nombre d’écarts-types loi LNR pour la probabilité [100(P1 – 1)/P1] %, f1 = 0,628 (P0 + 20)0,0221 + 0,457 et f2 = 16,33 (P0 - 20)-0,058 – 1,07

♦ Utilisation d’abaque de l’efficacité vraie des cartes EWMA, en fonction des Périodes Opérationnelles Moyennes. Abaque permet trouver meilleur compromis entre n (coût de contrôle) et P0 (fausses alarmes) et donne directement limites de maîtrise correspondantes : calcul d’abord de δ et choix de P1 (nombre moyen d’échantillons successifs pour détecter dérive δ). Abaque donne couples (n, P0) correspondants et paramètres L des limites de maîtrise. En fixant ensuite de façon intermédiaire n à une valeur entière, calcul de la valeur estimée de P0 correspondant à cette valeur intermédiaire.

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Page 34: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES CARTES DE CONTROLE : PRINCIPE DES CARTES CUSUM

PRINCIPE DES CARTES CUSUM : prise en compte informations passées en faisant cumuls algébriques des écarts entre valeurs des échantillons 1x ,

2x , ix et une moyenne d’observation m0. Suivi de 2 tracés sur carte de maîtrise : ♦ celui des Si

+ dont on ne prend que valeurs ≥ 0 (valeurs < 0 ramenées à 0), ♦ celui des Si

- dont on ne prend que valeurs ≤ 0 (valeurs >0 ramenées à

0). VALEUR CIBLE : m0 = 0 LIMITES DE MAITRISE d’une carte CUSUM sont : Lm = 0 ± h s/ n où h = coefficient appelé paramètre des limites de maîtrise qui peut être : ♦ lu sur l’abaque d’efficacité vraie ♦ approximé par h = k1 – (δ. n /2) + 0,3 e [1,2 k1 – (1,55 δ. n )]

Comme écart direct à valeur cible ⇒ nombre très important de fausses alarmes, calculs démarrés que lorsqu’une valeur d’échantillon sort du "couloir" [moi, mos] ⇒ minimisation fausses alarmes. Moyennes d’observation habituellement placées à mi-chemin entre cible et moyennes refusables. : Si

+ = Si-1+ + (xi - m0) ≥ 0 Si

- = Si-1- + (xi - m0) ≤ 0

avec mos = (m0 + mrs)/2 et moi = (m0 + mri)/2 Lorsqu’une valeur de S+ ou S- sort des limites de maîtrise ⇒ action pour recentrer processus, arrêt des calculs et démarrage d’une nouvelle séquence sans tenir compte des résultats antérieurs.

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Page 35: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES CARTES DE CONTROLE : EFFICACITE DES CARTES CUSUM

EFFECTIF N DES ECHANTILLONS ♦ Efficacité vraie de la forme δ n = ),( 10 PfPfF avec : F(Pf0, Pf1) =2 ⎨1/Pf1 Ln(Pf0/Pf1) - (Pf1 - 1)/Pf1 Ln[Pf1/(Pf1 - 1) (Pf0 - 1)/ Pf0]⎬ ⇒ utilisation d’algorithmes complexes (logiciels spécifiques) pour obtenir n.

♦ Utilisation d’abaque de l’efficacité vraie des cartes CUSUM, en fonction des Périodes Opérationnelles Moyennes. Abaque permet trouver meilleur compromis entre n (coût de contrôle) et P0 (fausses alarmes) et donne directement limites de maîtrise correspondantes:

♦ Utilisation de l’équation d’efficacité approchée des cartes CUSUM : δ n = [k1 + k2].e[(f1 – P1)/f2] ] pour 1 < P1 ≤ 5 et k1 = nombre d’écarts-types loi LNR pour la probabilité [100/2P0] %, k2 = nombre d’écarts-types loi LNR pour la probabilité [100(P1 – 1)/P1] %, f1 = 1,209 (P0 + 20)0,0186 + 0,003 et f2 = 11,50 (P0 - 40)-0,07 – 1,50

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Page 36: Maitrise Statistique Des Procedes

MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES CARTES DE CONTROLE : COMPARAISON DES CARTES DE MAITRISE

♦ si δ n < 3,5 prendre une carte CUSUM ou EWMA, ♦ si δ n > 3,5 prendre la carte SHEWHART car elle a la même efficacité et est plus simple à calculer et à tenir pour les opérateurs.

CARTES SHEWHART CUSUM EWMA λ<0,5 EWMA λ>0,75Caractéristiques oui non lissée presque

Limites de contrôle oui oui non au début non au début Efficacité pour détecter :

petites dérives δ dérives δ importantes

mauvaise

bonne

bonne

moyenne

bonne

moyenne

moyenne

bonne Coût contrôle pour δ petit élevé plus faible plus faible moyen

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