STATISTICAEPROBABILTÀ

2 BC L S

R I V I S T A I V F E B B R A I O 2 0 1 7 L I C E O D A V I G O

MAΘHMAscienza conoscenza

indiceSTATISTICA E PROBABILITÀ

1. Introduzione alla Statisica(frequenza)2. Grafico Statistico3. Medie statistiche e scelta delvalor medio4. La probabilità5. La probabilità ed i suoiteoremi6. La redazione

INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

(FREQUENZA).

INDICE:

➢Che cos' è la statistica.

➢L'indagine statistica.

➢La classificazione di una popolazione e di una unità statistica.

➢La costruzione e la classificazione delle tabelle statistiche.

➢Le tabelle di frequenza.

➢Esercizi.

➢English glossary.

➢La Statistica di Trilussa.

Silvia C.

Caterina D'.

Lorenzo M.

Che cos'è la statistica.

La statistica è la scienza che studia i fenomeni collettivi, ossia di quei fenomeni che richiedono

numerose osservazioni e lo studio di un fenomeno collettivo inizia con una indagine (o ricerca)

statistica.

L'insieme a cui si riferisce una indagine statistica si dice popolazione statistica. Al suo interno viene

scelto un campione, che è la parte presa in considerazione, questa rappresenta l'intero gruppo e

quando un' indagine statistica ha molte campionarie, risulta meno costosa e si svolge in meno

tempo.

Quando, invece si fa un rilevamento su tutta la popolazione, si dice censimento.

La statistica si può dividere in induttiva e descrittiva: la statistica induttiva è lo studio dei metodi di

passaggio da campione a popolazione, mentre quella descrittiva si serve di alcuni degli strumenti

matematici utilizzati per descrivere i dati relativi a un certo gruppo scelto come popolazione.

L'indagine statistica.

Ogni indagine statistica si può sintetizzare in tre fasi:

- La rilevazione dei dati, si fa una raccolta dei dati statistici relativi al fenomeno considerato

utilizzando schede, questionari, registri, supporti informatici; questa raccolta può essere sia diretta

che indiretta. I dati ottenuti vengono sottoposti allo spoglio, che consiste nel loro ordinamento

secondo caratteristiche comuni e, dove possibile, correggendo degli errori. Successivamente si

passa alla loro rappresentazione su tabelle.

- L'elaborazione dei dati, questi vengono trattati con procedimenti

matematici che tengono conto degli obbietti dell'indagine.

- L'interpretazione dei risultati, questo permette di stabilire se sono stati raggiunti gli obbiettivi

prefissati dall'indagine statistica. Se sì l'indagine è conclusa, altrimenti occorre riprenderla con le

opportune correzioni.

La classificazione di una popolazione e di una unità statistica.

Si dice unità statistica ogni elemento della popolazione considerata.

Ogni unità statistica di una certa popolazione è classificata in base ad un carattere ed alle modalità

che tale carattere presenta. Un carattere può essere qualitativo, se le sue modalità sono espresse da

attributi; quantitativo, se le sue modalità sono espresse da numeri.

Ad esempio una popolazione statistica potrebbe essere l'insieme dei ragazzi di un quartiere, l' unità

statistica sarà uno dei ragazzi del quartiere, il suo carattere qualitativo potrebbe essere il colore dei

suoi capelli, il suo carattere quantitativo, invece, potrebbe essere la sua altezza.

La costruzione e la classificazione delle tabelle statistiche.

I dati statistici, dopo la loro raccolta e spoglio, debbono essere riportati in apposite tabelle, nelle

quali si perdono certe informazioni relative alle singole unità statistiche rilevate, ma se ne ottengono

altre sul fenomeno collettivo nel suo complesso.

Di queste tabelle statistiche ne distinguiamo due tipi: le serie e le seriazioni.

● Le serie

Si chiama serie ogni tabella statistica che si ricollega a modalità qualitative.

Tra le serie statistiche assumono particolare importanza:

1) Le serie storiche in cui il carattere qualitativo del fenomeno collettivo è distribuito nel tempo

(mesi, giorni);

2) Le serie geografiche in cui il carattere qualitativo del fenomeno collettivo è distribuito nello

spazio (stati, regioni, province, città).

● Le seriazioni

Si chiama seriazione ogni tabella statistica che si ricollega a modalità quantitative.

Il carattere quantitativo di una seriazione si dice:

1) discreto, se le modalità possono essere espresse con un numero finito di valori;

2) continuo, se le modalità possono assumere qualunque valore in un determinato intervallo

(classe).

Un terzo tipo di tabelle sono le tabelle a doppia estrata, queste ci permettono l'osservazione delle

unità statistiche sotto due modalità. Quando entrambe le modalità sono quantitative si hanno tabelle

di correlazione. Se almeno una delle due modalità è qualitativa, si hanno tabelle di contingenza.

Le tabelle di frequenza.

La frequenza di una modalità è il numero di volte in cui quella modalità si presenta.

La frequenza relativa di una modalità è il rapporto tra la frequenza ed il numero delle unità

statistiche che formano la popolazione o il campione desiderati.

La frequenza relativa può essere espressa anche in percentuale, moltiplicandola per 100.

In generale riguardo ai due tipi di frequenze potremmo dire che:

1) La somma delle frequenze assolute è uguale al totale.

2) La frequenza relativa, espressa con un numero decimale o con un numero percentuale, è

compresa tra 0 ed 1.

3) La somma delle frequenze è uguale a uno.

4) L'insieme delle coppie ordinate (modalità qualitativa, frequenza assoluta) si dice distribuzione di

frequenze.

Se vengono forniti le frequenze relative e il numero totale delle unità statistiche, è possibile

calcolare le frequenze di ogni modalità perchè la frequenza di una modalità è il prodotto tra la

frequenza relativa e il numero totale delle unità statistiche.

Esercizi.

Gli alunni di una classe sono stati classifica ti secondo il mezzo di trasporto con cui vanno a scuola.

Abbiamo quindi utilizzato un carattere qualitativo.

Perchè?

Perchè le modalità sono espresse da attributi (il tipo di mezzo) e non da numeri.

In ognuna delle seguenti imdagini statistiche indica quali sono la popolazione, le unità statistiche e

il carattere.Indica, inoltre, se il carettere è di tipo qualitativo o quantitativo.

In una scuola viene svolta un'indagine sul peso degli studenti iscritti.Popolazione: studenti di quella scuola

Unità statistica: uno studente della scuola

Carattere: il suo peso

Il carattere in questo caso è quantitativo perchè le modalità sono espresse da numeri.

All' interno di un parco naturale viene fatta un' indagine sul tipo di uccelli presenti.

Popolazione: uccelli nel parco

Unità statistica: uno degli uccelli

Carattere: tipo di uccello

Il carattere in questo caso è qualitativo perchè le modalità sono espresse da attributi.

3) Completa le tabelle degli esercizi seguenti.

In una biblioteca sono presenti 1200 volumi

(360; 15%; 420; 20%)

- Sulla rotta Milano – Londra nel 2006 sono transitati 1600 aerei di 4 compagnie.

(7,5%; 360; 25%; 45%)

- Un negozio di abbigliamento ha venduto un modello di cappotto nelle varie taglie.

(6; 35%; 18; 30%)

- Consideriamo la lunghezza e il peso di 8 neonati. Si hanno le seguenti coppie ordinate di dati in

cui il primo valore indica il peso in kg, il secondo la lunghezza in cm: (3,2; 48), (2,9; 49), (2,4; 47),

(2,8; 50), (2,9; 49), (2,7; 48), (3,0; 49), (2,9; 47).

Raggruppa i dati in classi e compla un'opportuna tabella a doppia entrata.

English glossary

statistica: statisticsrilevazione statistica: statistical surveyfrequenza: frequencyfrequenza relativa: relative frequency

La Statistica di Trilussa.

Sai ched'è la statistica? È na' cosache serve pe fà un conto in generalede la gente che nasce, che sta male,che more, che va in carcere e che spósa.

Ma pè me la statistica curiosaè dove c'entra la percentuale,pè via che, lì,la media è sempre egualepuro co' la persona bisognosa.

Me spiego: da li conti che se fannoseconno le statistiche d'adessorisurta che te tocca un pollo all'anno:

e, se nun entra nelle spese tue,t'entra ne la statistica lo stessoperch'è c'è un antro che ne magna due.

GRAFICO

STATISTICO

MEDIA

MEDIA PONDERATA

DIAGRAMMI CARTESIANI

AREOGRAMMA

CARTOGRAMMA

IDEOGRAMMA

ISTOGRAMMA

ORTOGRAMMA

MARTA C.

ELEONORE G.

NOEMI P.

FRANCESCO V.

MediaIn statistica, la media è un singolo valore numerico che descrive

sinteticamente un insieme di dati.

La media aritmetica è il valore che si ottiene sommando tutti i dati e poi

dividerli per il loro numero.

Ora per capire meglio osserviamo il seguente esempio:

A una ragazza viene chiesto di calcolare la media aritmetica di questi

numeri:10;13;9;7;12, in quanto detto precedentemente la media aritmetica

si calcola cosi ovvero sommando 10,13,9,7,12 ottenendo 51 per poi

dividerlo per 5 ottenendo 10,2.

Esercizi:

1.Uno studente ha sostenuto 6 esami, riportando i seguenti voti:

21;20;24;30;28;25. Calcola la media aritmetica dei voti.

2.La seguente tabella riporta riporta i voti ottenuti da un gruppo di studenti

all'esame di Diritto Privato

Tabella

Voto Numero di studenti

21 5

24 6

26 10

30 4Calcola il voto medio ottenuto dagli studenti.

Media ponderataA differenza della media aritmetica, nella media ponderata (o pesata)

ciascun numero ha una determinata importanza (peso) che influisce sul

calcolo. Il valore della media ponderata è dato, quindi, dalla somma tra il

prodotto di ciascun numero per il suo peso(frequenza) fratto la somma dei

pesi.

Ora per capire meglio osserviamo il seguente esempio:

Dati i numeri: 6;12;8;5;7; i cui pesi sono rispettivamente: 5;3;4;11;1 per

trovare la media ponderata dobbiamo inanzitutto trovare la somma tra il

prodotto di ciascun numero, per il suo peso, ovvero:

6x5+12x3+8x4+5x11+7x1=30+36+32+55+7=160

La somma dei pesi, invece è:5+3+4+11+1=24

La media ponderata è, quindi, data da: 160:24=6,6

Esercizi:

1.Calcola la media ponderata dei seguenti numeri:

NUMERI PESI

2;7;9;1 1;4;4;1

3;6;9;12;24 1;2;4;6;8

1;-2;2;0;-1 3;1;7;5;2

2.Dati i tre numeri 20;25;41

a)calcola la media ponderata attribuendo rispettivamente i pesi: 2;3;4

b)calcola la media ponderata con i pesi dimezzati.

Rappresentazione graficaLa rappresentazione grafica è una rappresentazione di dati statistici per

mezzo di grafici e disegni. E' contrapposta a rappresentazione numerica,

rispetto alla quale è meno precisa ma di più immediata interpretazione.

La statistica è la scienza che studia i fenomeni collettivi, cioè tutti quegli

avvenimenti sociali, economici, naturali ecc... che possono essere misurati

e che sono formati da un numero elevato di fenomeni singoli simili tra

loro.

Una volta raccolti i dati necessari per la propria analisi, su deve scegliere

una o più modalità efficaci per evidenziare il valore informativo contenuto

nei dati stessi.

Una scelta potrebbe essere quella di arricchire il commento dei dati con

una serie di tabelle oppure, talvolta, si preferisce “trasformare” i numeri in

rappresentazioni grafiche -più o meno semplificate- per rendere più facile

la lettura delle informazioni che si sono acquisite nella fase di ricerca.

Se si opta per la rappresentazione grafica dei dati si può scegliere fra due

casi di rappresentazioni cartografiche.

Il diagramma cartesianoIl diagramma cartesiano è una rappresentazione grafica in cui ogni dato di

un fenomeno statistico è mostrato da una coppia ordinata di valori. E' utile

quando si rappresentano grandezze che variano in modo continuo, cioè

variabili quantitative che possono assumere uno qualsiasi dei valori

compresi in un certo intervallo. Ha il vantaggio di rappresentare le

variazioni di una grandezza rispetto alle variazioni di un'altra grandezza

dalla quale essa dipende. Ha lo svantaggio di non essere usato

generalmente per rappresentare variabili qualitative o variabili quantitative

discrete.

Esercizi:

1)Traccia il diagramma cartesiano della seguente serie storica della

popolazione residente in Italia:

anni Popolazione al 1 Gennaio(dati in migliaia)

2005 58462

2006 58752

2007 59131

2008 59619

2009 60045

AreogrammaL'areogramma è una rappresentazione grafica in cui i dati di un fenomeno

sono rappresentati da diverse superfici in una figura geometrica piana o

tridimensionale (areogrammi 3D). Normalmente si utilizza in un cerchio o

un quadrato e i diversi dati sono rappresentati dagli “spicchi” dei settori

circolari (cioè le parti del cerchio limitate da due raggi)

(areogramma circolare)

(areogramma quadrato)

Nel caso in cui si debbano trasformare i dati in percentuale, e

successivamente in gradi, si dovrà svolgere una proporzione.

Osserviamo con un esempio:

SPORT PRATICATI DAGLI ALUNNI

SPORT NUMERO DI ALUNNI

CALCIO 7

NUOTO 4

DANZA 3

NESSUNO 2

CALCOLO DELLE PERCENTUALI

7:16=x:100 x=44%

4:16=x:100 x=25%

3:16=x:100 x=19%

2:16=x:100 x=13%

CALCOLO DEGLI ANGOLI DEI SETTORI

100%:360°=44%:x x=155°

100%:360°=25%:x x=90°

100%:360°=19%:x x=68°

100%:360°=13%:x x=47°

Esercizi:

1.Rappresenta mediante un areogramma la seguente tabella:

Immatricolati all'università per gruppi di corsi di laurea

Gruppi di corsi di laurea Immatricolati

Scientifico 30500

Medico 20000

Agrario 4200

Economico 28000

Totale 82700

N.B.:Ogni settore relativo agli immatricolati deve avere un'ampiezza

ricavata in base alla proporzione:

gruppo:totale=x°:360°

CartogrammaIl cartogramma è una rappresentazione grafica che usa una carta

geografica sulla quale vengono posti alcuni segni per rappresentare i dati :

punti, linee, diagrammi oppure colori graduati. Viene usato spesso in

geografia per rappresentare dati di un determinato paese o regioni.

Osserviamo qualche esempio per capire meglio:

ESERCIZI:

1.Osserva il cartogramma:

a)Qual è la regione che consuma più energia elettrica?Quale meno?

b)Scrivi le regioni italiane in ordine crescente di consumo di energia

elettrica

Lo stesso esercizio si potrebbe applicare a un cartogramma riguardante la

popolazione del mondo.

IdeogrammaL'ideogramma è una rappresentazione grafica nella quale i dati di un

fenomeno statistico vengono presentati mediante figure o disegni più o

meno stilizzati che li illustrano. Le figure danno cioè subito l'idea di ciò

che si vuole rappresentare.

Osserviamo con qualche esempio:

In questo ideogramma la legenda

dice che il simbolo di

un'automobilina equivale a 1000

automobili prodotte. Quindi si

può dire che nel mese di Gennaio

l'azienda ALFA abbia prodotto

8000 auto, nel mese di Febbraio

7500 auto e così via.

Tuttavia questo tipo di rappresentazione non è precisissima, ma nonostante

ciò ha il pregio di essere immediata e semplice da capire.

ESERCIZI:

1.Rappresenta mediante un ideogramma i dati della seguente tabella,

riguardanti la produzione di mele in alcune regioni italiane.

UN A MELA CORRISPONDE A 100000 TONELLATE

IstogrammaL'istogramma è una rappresentazione grafica in cui i dati di un fenomeno

statistico vengono rappresentati tramite rettangoli di ugual base, disegnati

uno di seguito all'altro in modo da formare un'unica superficie. Le basi di

ogni rettangolo sono gli intervalli scelti e sono dette classi. Ogni

rettangolo,ha quindi la base di lunghezza pari all'ampiezza della

corrispondente classe. L'altezza, invece è calcolata come densità di

frequenza, ovvero il rapporto fra la frequenza assoluta associata alla classe

e all'ampiezza della classe. Se, poi in un istogramma si congiungono i

punti medi dei lati superiori dei rettangoli si ottiene una spezzata chiamata

anche poligono delle frequenze.

Osserviamo con un esempio:

ALTEZZE DEI RAGAZZI

Altezza(cm) Percentuale dei ragazzi

150 1,00%

160 3,00%

170 25,00%

180 21,00%

190 3,00%

ESERCIZI:

1.Rappresenta mediante un istogramma la seguente tabella

Classi di reddito in migliaia di euro Famiglie

0-6 18

6-10. 40

10-24. 90

14-20 160

20-30 80

30-50 200

50-100 60

100-200 30

200-500 40

N.B.:Bisognerà calcolare prima le densità di frequenza rapportando le

frequenze alle ampiezze delle classi

OrtogrammaL'ortogramma (o diagramma a canne d'organo) è una rappresentazione

grafica i cui dati sono rappresentati da una linea, un rettangolo o un

parallelepipedo aventi tutti uguale base ed equidistanti tra di loro. La linea,

il rettangolo o il parallelepipedo possono essere disposti orizzontalmente

(ortogramma a nastro), o verticalmente(ortogramma a colonne) e avranno

la lunghezza o l'altezza proporzionali alla frequenza del dato.

Osserviamo con qualche esempio:

CITTA' PREFERITA

Città Frequenza

Roma 9

Venezia 12

Parigi 6

Londra 15

Vienna 3

ESERCIZI:

1.Rappresenta mediante ortogramma la seguente tabella:

PRODUZIONE LORDA ENERGIA IN Gwh fonte TERNA

Tipologia 2007 2008

Idroelettrica 38481 47226

Termoelettrica 265764 261328

Geotermoelettrica 5589 5520

Eolica 4034 4861

Fotovoltaica 39 193

MEDIE STATISTICHE E SCELTA

DEL VALORE MEDIO

MODA

MEDIANA

SCARTO SEMPLICE MEDIO

DEVIAZIONE STANDARD

GIORGIA G. EMANUELE C. DANIELA T.

La Moda

La Moda è il valore che si presenta più spesso all'interno di una serie di numeri. Per trovarla/calcolarla si metteranno tutti i dati presenti in ordine, evidenziando quindi la frequenza di quella che, subito dopo, verrà, appunto, chiamata Moda.

Esempio 1:

In questo esempio si può notare che la Moda sia il Blu. Infatti, tra tutti i colori presenti, quest'ultimo è quello che si presenta più frequentemente

Esempio 2:

In questo caso,invece, vediamo che sono ben due le Mode, ovvero 42 e 40.Non è, infatti, impossibile che ci sia più di una Moda.

La Mediana

Si definisce Mediana di un insieme di n° valori, disposti in ordine crescente o decrescente, quel valore che divide in due parti lasciando la metà dei valori a destra e l'altra metà a sinistra.

Esempio 1:

In questo primo esempio sulla Mediana si nota,appunto, come il 4 e il 3 dividano in due parti il numero di assenze.

Esempio 2: PERSONE ALTEZZE IN CM

EMANUELE 180 cm

MONICA 170 cm

JACOPO 140 cm

CATERINA 140 cm

ALESSANDRO 180 cm

MARIA ADELAIDE 170 cm

LUIGI 180 cm

In questo secondo esempio, invece, vediamo che il dato 140 cm è la Mediana, poiché,infatti, divide in due parti le altezze dei soggetti sovraelencati.

{Prima di passare ai due argomenti successivi (scarto semplice medio e deviazione standard), bisogna parlare di cos'è e come si usa lo S carto.

Lo Scarto, in statistica, indica la differenza tra ogni valore e la media aritmetica}.

Lo Scarto Semplice Medio

Lo Scarto Semplice Medio di una distribuzione è la media dei valori assoluti degli scarti.

Esempio 1:

Calcoliamo lo scarto semplice medio del seguente insieme di valori: 4,5,9,8,1,3.

Per prima cosa determiniamo la media aritmetica dei valori= 5.

Quindi: (4-5)+(5-5)+(9-5)+(8-5)+(1-5)+(3-5) = 1+0+4+3+4+2= 2,333...

6 6

Esempio 2:

VALORI 7 8 13 19 26

FREQUENZE 3 4 3 2 1

Determiniamo per prima cosa la media aritmetica ponderata:

M= 7 x 3 + 8 x 4 + 13 x 3 + 19 x 2 + 26 x 1= 21 + 32 + 39 + 38 + 26= 3 + 4 + 3 + 2 +1 13

= 156= 12 13Quindi:

S= |7 – 12|x 3 +|8 – 12|x 4 +|13 – 12|x 3 +|19 – 12|x 2 +|26 – 12|x 1= 13= 15 + 16 + 3 + 14 + 14= 4,76... . 13

La Deviazione Standard

La Deviazione standard di una distribuzione è la radice quadrata della media dei valori assoluti degli scarti. Si indica con la lettera s (sigma).

Esempio 1:

Calcoliamo la deviazione standard del seguente insieme di valori: 15,18,16,17,14.

Determiniamo per prima cosa la media aritmetica:

M:15+18+16+17+14= 80= 16

5 5

s=√(15-16)^2+(18-16)^2+(16-16)^2+(17-16)^2+(14-16)^2=√2=

5

=1,41 (arrotondato a 0,01)

Esempio 2:

VALORI 0 1 2 3 4

FREQUENZE 30 50 12 6 2

Determiniamo per prima cosa la media aritmetica ponderata:

M= 0 x 30 + 1 x 50 + 2 x 12 + 3 x 6 + 4 x 2= 100= 1.

30 + 50 + 12 + 6 + 2 100

Da cui:

s=√(0-1 )^2 x 30 + (1-1)^2 x 50 + (2-1)^2 x 12 + (3-1)^2 x 6 + (4-1)^2 x

100

2= √84= 0,916... .

100 100

LA PROBABILITA'

– Come nasce il calcolo della probabilità?

– Cosa sono gli eventi

– La probabilità di un evento

– Probabilità di un evento certo, possibile ed aleatorio

– Esercizi

– Gli eventi e gli insiemi

– La probabilità di somma logica di eventi

– Eventi compatibili ed incompatibili

– Teorema della somma per eventi incompatibili

– Teorema della somma per eventi compatibili

Elisa A., Michela B., Laura B.

La probabilità !

Come nasce il calcola

delle probabilità ?

Il calcolo della probabilità nasce nel XVII secolo a causa della passione per il gioco d’azzardo che spinge alcuni giocatori, anche gente di un elevato rango sociale, a porre domande a matematici dell’epoca. A Firenze, alcuni nobili, si rivolsero a Galileo Galilei; a Parigi allo studioso Blaise Pascal; presto fu chiaro che la probabilità non era utile solo per il gioco d’azzardo, ma anche per la fisica, l’economia, la psicologia.. di cui si occuparono tra il 1700 e 1900

Galileo Galilei, Firenze Blaise Pascal,Parigi

Cosa sono gli eventi?

Un evento è il risultato di un’osservazione o di un esperimento; vi sono tre tipi di eventi: evento certo, ovvero un evento che accadrà con certezzaevento impossibile, quindi un fatto che non potrà mai verificarsievento aleatorio( termine derivante dal latino “Alea” dado)Esempio:Se avessimo una scatola di palline nere, estrarremo per certo, una pallina di colore nero e ciò, è un evento certo.Abbiamo ancora la stessa scatola composta da palline nere e tra queste, volessimo estrarne una di cuore bianco, questo sarebbe

un evento impossibile; invece, se la scatola contenesse sia palline bianche che nere, è possibile, ma non certo, estrarre una pallina nera e lo stesso per la bianca. Un fatto che può accadere o meno in modo casuale, è, come scritto precedentemente, Aleatorio.

La probabilità di un evento

La probabilità di un evento è il rapporto dei casi favorevoli (F), ovvero quelli che il problema o quesito chiede di trovare, e i casi possibili (U), tutti i casi del problema o quesito.Esempio:Consideriamo l’evento E:”Nel lancio di un dado esce il numero 4” e ci chiediamo quale sia la probabilità che tale evento si verifichi. Poiché i casi possibili del lancio sono 6 ovvero i numeri da 1 a 6 e uno solo è il caso favorevole ( uscita del numero 4) la probabilità dell’evento sarà: 1/6

Probabilità di un evento certo, possibile ed aleatorio

Se un evento è certo, quindi deve obbligatoriamente verificarsi, il numero dei i casi favorevoli è uguale a quello casi possibili. Si ha dunque: P(E certo)=1= probabilità dell’eventoF/U=U/U=0.

In un evento impossibile, evento che non potrà mai verificarsi, non vi sono casi favorevoli, quindiP(E impossibile) = 0= probabilità dell’evento F/U= 0/U=0.Per finire, la probabilità che avvenga un evento aleatorio, è compresa tra 0 e 1.

Esercizi:

Determina quali eventi si potranno definire certi, quali impossibili e quali aleatori A

1) Nel lancio di un dado esce un numero maggiore di 2.

2) Nel lancio di un dado esce un numero da 1 a 6.

3) Nel lancio di un dado esce un numero dispari.

4) Nel lancio di un dado esce un numero superiore a 6.

B

Dobby pesca da una scatola contenente 20 calzini: 5 sono blu, 8 sono rossi, 3 verdi e 4 arancioni. Calcola la probabilità che Dobby peschi un calzino blu, uno rosso, uno verde e uno arancione.

Gli eventi e gli insiemi

Se laccassi un dato e l’evento E” Esce un numero dispari” , per rappresentare la situazione, useremmo gli insiemi.L’insieme universo indicato con “U”, ovvero l’insieme dei casi possibili, conterrà l’insieme dei casi favorevoli U= (1,2,3,4,5,6)F= quelli in rossoIl numero degli elementi in F è sempre minore degli elementi in U; se F fosse uguale ad U,l’ evento sarebbe certo; se F fosse vuoto, l’evento sarebbe impossibile.

Esercizio:

Se lanciassi un dado ed uscisse un numero minore di 3, quali sarebbero i casi favorevoli? Quali quelli possibili?Rappresentiamoli graficamenteU ( )F ( )Insieme:

La probabilità di somma logica di eventi.

Evento unione o somma logica:

Dati gli eventi E1, E2, relativi allo stesso insieme universo, il loro evento unione che indichiamo con E1 U E2, è quell’ evento che si verifica al verificarsi di almeno uno degli eventi dati.esempio: consideriamo sempre i 12 dischetti numerati da 1a 12. E1 esce un numero pari ed E2 esce un numero maggiore di 7.Casi favorevoli E1(2,4,6,8,10,12)Casi favorevoli E2(8,9,10,11,12)E = esce numero pari o maggiore a 7l’evento E quindi, ha come casi favorevoli sia quelli di E1 che quelli di E2, perciò E1UE2=(2,4,6,8,9,10,11La probabilità della somma logica di eventif,12).

Evento intersezione o prodotto logico :

Dati gli eventi E1,E2 relativi allo stesso insieme universo, il loro evento intersezione E1intersecatoE2 è quell’ evento che si verifica quando si verificano contemporaneamente gli eventi dati.Esempio: consideriamo sempre i 12 dischetti . Esce un numero pari (E1) e maggiore di 7 (E2). questo evento si ha se si verificano sia E1 che E2. Esso ha come casi favorevoli quelli comuni sia ad E1 che ad E2.

Eventi compatibili ed incompatibili:

In generale due eventi, relativi allo stesso insieme universo, si dicono incompatibili se il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell’altro e in caso contrario, si dicono compatibili.esempio 1:

Abbiamo 12 dischetti numerati da 1 a12 ed estraggo il dischetto numero 10 e otteniamo ad esempio, sia E1 un numero maggiore di 7 che E2 pari, quindi questo esempio gli eventi sono compatibiliesempio 2: E consideriamo ora gli eventi E3 esce un multiplo di 5 ed E4 esce un multiplo di 3. Questo esempio è definito incompatibile perché il verificarsi di uno esclude contemporaneamente, il verificarsi dell’altro.

Teorema della somma per eventi incompatibili

Se due eventi, E1 ed E2, sono incompatibili, la probabilità del loro evento unione, è uguale alla somma delle loro probabilità. p(E1UE2)=p(E1)+p(E2) esempio:Soliti 12 dischetti (1 a 12) e consideriamo due eventi incompatibili come E1 multiplo di 5 ed E2 multiplo di 3; evento unione (E) esce multiplo di 5 O 3. i casi possibili sono 12casi favorevoli di E1( 5,10)casi favorevoli E2 (3,6,9,12)casi favorevoli di E=(3,5,6,9,10,12) La probabilità che l’evento E accada, è dato dalla somma delle due probabilità.P(E)=6/12= 2/12+ 4/12= P(E1) + P(E2)

Esercizio:

Una scatola contiene 6 gettoni neri ,5 rossi e 4 bianchi. Eventi possibili: E1 esce gettone neroE2 esce gettone rosso E3 esce gettone biancoprobabilità di E1?

probabilità di E2?Probabilità di E3? come sono questi eventi? compatibile o no?E4= esce gettone nero o rossoE5= esce gettone rosso o biancoE6= esce gettone nero o rosso o biancoProbabilità degli eventi?

Numero 2In una busta sono contenute 28 figurine numerate da 1 a28. Calcola la probabilità di estrarre una figurina multiplo di 4 o dispari.

Teorema della somma per eventi compatibili

Se due eventi E1 ed E2 sono compatibili, la probabilità del loro evento unione,è uguale alla somma delle loro probabilità, diminuita del loro evento intersezione.Esempio: soliti 12 dischetti (1 a 12), consideriamo E1 esce un numero pari, ed E2, esce un numero maggiore di 7. casi possibili sono 12; casi favorevoli di E1 sono 6 e quelli di E2 sono 5.E= ese numero pari O maggiore di 7casi favorevoli di E NON sono 11 ma 8, questo perché ci sono casi favorevoli in entrambi gli eventi. se sommiamo i casi favorevoli di E1 ed E2, vengono considerati per 2 volte i casi di E1 intersecato ad E2, mentre all’unione, questi vengono contati una vota.E1UE2= sommo i casi favorevoli dei due eventi, sottraendo quelli di E1intersecato ad E2.

Numero 2In una borsa ci sono 10 maglie numerate da 1 a 10. Calcola la probabilità che, estraendone una a caso,questa abbia un numero dispari o un numero maggiore di 5.

LA PROBABILITA’ E I SUOI TEOREMI

INDICE:

-LA PROBABILITA’ CONDIZIONATA

-EVENTI DIPENDENTI E

INDIPENDENTI

-IL TEOREMA DEL PRODOTTO PER

EVENTI INDIPENDENTI

-TEOREMA DEL PRODOTTO PER

EVENTI DIPENDENTI

Margherita P.

Gaia R.

Pietro V.

LA PROBABILITA’ CONDIZIONATA

La probabilità di un evento può variare al crescere delle informazioni assunte da parte di chi calcola la probabilità. Il condizionamento è utile quando si vuole analizzare un certo evento "A" ( l'evento condizionato) avendo a disposizione un informazione l'evento "B" (condizionante) per capire meglio si può ricorrere ad un esempio.

LANCIO DI UN DADO (esercizio)Prima di lanciare un dado, la probabilità di ottenere il numero 5 è 1/6. (A)supponiamo che dopo il lancio del dado una persona mi riferisca che il numero uscito sia dispari.(B)La probabilità per effetto della nuova informazione è salita a 1/3L' informazione acquisita mi ha portato a "rinnovare" lo spazio campionario dall'iniziale S = {1,2,3,4,5,6} a .S’[1,3,5].Se si assume che "B" si è verificato ne consegue che: perdono di rilevanza tutti i punti campionari di "A" che non appartengono a "B", cosicchè l'unica parte di A che ancora può verificarsi è soltanto "A" intersecato "B". In pratica, allora P(A/B) non è altro che P(A intersecato B) riproporzionato sulla base di P(B) che è la probabilità dell'evento condizionante.

ESERCIZI A: a)Da una scatola contenente 20 palline, numerate da 1 a 20 viene estratta a caso una pallina. Calcola la probabilità che si sia realizzato l evento " estrazione di un multiplo di 3" sapendo che è uscito un numero minore di 12.

b)Un amico lancia un dado e, senza farcelo vedere, dice: " è uscito un numero minore di 5".Qual'è la probabilità che sia uscito il 3?

SOLUZIONI:

3/11 12/ 201/4 11/19

‘Eventi dipendenti e indipendenti’

Due eventi , E1 e E2 si dicono 'dipendenti' se p (E1) è diversa dalla probabilità condizionata p(E1,E2) gli eventi E1 e E2 si dicono indipendenti se p(E1) è uguale alla probabilità condizionata p (E1\E2).

ESERCIZI B: a)qual è la probabilità che lanciando un dado ed una moneta si ottengano un 4 ed una testa ?

b)in una classe ci sono20 alunni,12 femmine e 8 maschi. la prof ne sceglie due a caso da interrogare .qual'è la probabilità che scelga due ragazze ?

IL TEOREMA del PRODOTTO per eventi INDIPENDENTI

Che cos'è? Se due eventi E1 ed E2, sono indipendenti, la probabilità del loro evento intersezione è uguale al prodotto delle loro probabilità.

p (E1 intersecato E2) = p(E1) per p(E2)

P= probabilità "per"= moltiplicazione

Per capire meglio questo teorema si può ricorrere ad un esercizio:

Consideriamo un sacchetto che contiene 3 gettoni con i numeri 1,2,3. Dal sacchetto estraiamo un gettone e poi un secondo gettone, dopo che il primo è stato rimesso nel sacchetto.Qual è la probabilità che in due estrazioni successive vengano estratti 2 numeri dispari?I casi possibili si possono ottenere mediante il diagramma cartesiano della figura 1....per esempio, la coppia (3;2) indica che è stato estratto prima il gettone 3, poi il gettone 2. …continuazione

L'evento composto E può essere visto come l'evento intersezione dei due eventi semplici: E1= il primo numero è dispari E2= il secondo numero è dispari

E1 ed E2 sono indipendenti; infatti, dopo la prima estrazione, il gettone è rimesso nel sacchetto e la situazione iniziale viene ripristinata.

…Perché si dicono ‘eventi

indipendenti’?Si dicono eventi "indipendenti" se il verificarsi dell'uno non influisce sul calcolo della probabilità del verificarsi dell'altro; come si vede nell'esempio precedente, dopo aver estratto sia il primo che il secondo gettone, e dopo aver rimesso il primo gettone nel sacchetto la situazione si è cambiata.

ESERCIZI:

-Esercizio 1In un cesto ci sono animali di peluche:

6 cagnolini, 10 gattini, 4 papere. Qual è

la probabilità di estrarre a caso,

rimettendo il primo oggetto estratto, un

gattino e poi una papera?

(1/5)

-Esercizio 2Un sacchetto contiene 4 biglietti blu, 5

rossi e 1 bianco. Calcola la probabilità

che in due estrazioni successive, con

reimmissione del primo estratto,

escano nell'ordine un biglietto blu e uno

rosso.

(1/5)

-Esercizio 3Dal sacchetto della tombola si fanno

due estrazioni successive con

reimmissione. Calcola la probabilità di

ottenere un numero pari o un numero

dispari.

(1/2)

-Esercizio 4

In un sacchetto ci sono 30 gettoni rossi,

20 neri e 15 bianchi. Viene estratto il

primo gettone; il gettone viene rimesso

nel sacchetto ; viene estratto il secondo

gettone. Calcoliamo la probabilità che

si verifichino i seguenti eventi:

a) i due gettoni sono rossi (E1);

b)viene estratto prima un gettone nero

e poi uno bianco (E2);

c) vengono estratti un gettone nero e

uno bianco in ordine qualsiasi (E3);

a)36/169

b) 12/169

c) 12/169

TEOREMA DEL PRODOTTO per

EVENTI DIPENDENTIPer spiegare questo teorema al meglio

è necessario partire con un esempio:

1 Prendiamo un sacchetto contenente

3 gettoni numerati da 1 a 3 e teniamo

in considerazione i seguenti eventi:

E1= il primo estratto è dispari

E2=il secondo estratto è dispari

supponiamo però che dopo la prima

estrazione, il gettone non venga

rimesso nel sacchetto.

Gli eventi sono dipendenti: dal

momento che è stato tolto un gettone la

probabilità dei due eventi sarà

differente infatti la composizione iniziale

del sacchetto è cambiata.

Quindi i due eventi non hanno lo stesso

insieme universo (U): infatti l' insieme

universo del primo evento contiene 3

elementi e quello del secondo soltanto

2.

ORA ESEGUIAMO CALCOLO

DELLA PROBABILITA'

CONDIZIONATACalcoliamo la probabilità condizionata

p(E1/E2).

Adesso i gettoni nel sacchetto sono 2

(essendosi verificato E1), uno pari e

uno dispari quindi la probabilità è di

1/2.

Una volta ottenuta la probabilità

condizionata calcoliamo la probabilità

dell'evento composto ovvero "E".

E= i numeri estratti sono entrambi

dispari

Schematizziamo i casi possibili con un

piano cartesiano.

I casi possibili sono 6 ma quelli

favorevoli soltanto 2

(1;3) e (3;1).

Quindi p(E) = 2/6 semplificabile in 1/3

OSSERVIAMO…

La probabilità di E si può ottenere

moltiplicando la probabilità del primo

evento "p(E1)", per la probabilità di E2

condizionata a E1, semplicemente la

probabilità condizionata:

1/3= 2/3 X 1/2

Il teorema del prodotto per eventi

dipendentiSe due eventi, E1 ed E2 sono dipendenti, la probabilità del loro evento intersezione è uguale al prodotto della probabilità di E1 moltiplicato per la probabilità di E2 condizionata a E1.

p(E1 "intersecato" E2) =p(E1) x p(E2/E1)

FACCIAMO INSIEME UN PROBLEMA:In un' urna ci sono 8 palline bianche e 4 nere . Qual è la possibilità che, estraendo contemporaneamente 2 palline esse siano entrambe bianche? Si può pensare di estrarre prima una pallina e poi senza rimettere la prima nell'urna, una seconda pallina. 1) calcoliamo la probabilità che la prima pallina sia bianca (E1)E1= 8/12=2/3 2) Ora calcoliamo la probabilità condizionata, ovvero la probabilità di E2 condizionata a E1. Essendo avvenuto E1 adesso le palline sono 11 non più 12, e le palline bianche 7 non più 8.E2= 7/11 3) Adesso possiamo calcolare la probabilità che entrambe le palline siano bianche applicando la formula ( p(E1 intersecato E2= p(E1) x p (E1/E2)= probabilità condizionata

2/3 x 7/11 = 14/33 che è probabilità che entrambe le palline siano bianche (evento composto).

ATTENZIONENei problemi dove non è indicato un ordine ben definito ma generico del calcolo della probabilità bisogna sommare le singole probabilità degli eventi. Esempio: calcola la probabilità di estrarre da un sacchetto contenente 50 palline di cui 30 nere e 20 verdi contemporaneamente una verde e una nera. E1= estrazione pallina verde E2= estrazione pallina nera p(E1)= 20/50= 2/5p(E2)= 30/49 E(evento composto)= 2/5 x 30/49= 12/49 (ATTENZIONE) + l evento composto dato dall’estrazione prima della pallina nera e poi di quella verde ovvero 12/49, quindi 12/49+12/49= 24/49.

ORA TOCCA A VOI…

Esercizio 1

Nell'estrazione contemporanea di

due carte da un mazzo di 40, qual è

la probabilità che escano due 5?

(La prima carta pescata non sarà

rimessa nel mazzo).

(1/130)

Esercizio 2

Calcola la probabilità che da un

mazzo di 40 carte vengano estratti

contemporaneamente un re e un

asso.

(La prima carta estratta non sarà

reinserita nel mazzo).

(4/195)

Esercizio 3

Da un'urna contenente 20 palline

gialle, 18 blu e 4 rosse, si

estraggono 3 palline, senza

remissione nell'urna.

Calcola la probabilità che siano la

prima rossa, la seconda blu la terza

gialla.

(6/287)

Esercizio 4

Uno scatolone contiene 7 palloni da

pallavolo, 5 da pallacanestro e 8 da

rugby. qual è la probabilità che ,

prelevandone 3, senza rimetterli

nello scatolone, i primi 2 siano da

rugby e il terzo da pallavolo?

(49/855)

VOCABOLARIO PAROLE INGLESI

Probabilità= probabilityEvento= event

Prodotto= productEvento condizionato= conditional eventEventi dipendendi =dipendent events Eventi indipendenti =indipendent events

La redazione 2BCLS

Elisa A.Michela B.Laura B.Emanuele C.Silvia C.Marta C.Caterina D.Eleonore G.Giorgia G.Lorenzo M.Noemi P.Margherita P.Gaia R.Daniela T.Pietro V.Francesco V.R.

prof.ssa Claudia C.