هاي جریان چند کاالیی ترکیب شبکه

جناب آقاي دکتر دولتی: استاد

947573003مهدي قاسمی : ارایه دهنده

مطالب مورد بحث

مفاهیم و تعاریف

مقدمه

الگوریتم تولید ستون براي مسئله ترکیب

مثال توضیحی

درخت مورد نیاز غالب��

درخت مورد نیاز غالب الگوریتم دیگر با استفاده از��

مفاهیم و تعاریف

���: ظرفیت جریان(�,�)

���: هزینه جریان(�,�)

���: جریان مورد نیاز(�,�)

���: بیشینه جریان(�,�)

مفاهیم و تعاریف

� = 1, … �,�هاي هاي جداساز گره شاخص برش ���,

براي هر� ∈ مربوط به هر کمان در ℳبا مولفه ����یک بردار ستونی ���

ℳ است 1، اگر این کمان متعلق به برش باشد، (�,�)با مولفه مربوط به کمان

.است 0و در غیر اینصورت

براي هر جفت گره :کمینه، جریان بیشینهبرش قضیه(�,�) ،��� ≥ است ���

.بیشتر نشود ���از �,�هاي اگر و تنها اگر ظرفیت هر برش جدا کننده گره

مقدمه

:هدف ارایه مطالب

) ����(کمینه هزینه و یا طراحی یک شبکه به ترکیب

.پردازیم میبیان شده است، که با شبکه مورد نیاز

مقدمه

پسس و گرفته نظر در است شده داده خاص شبکه یک آن در که ها، شبکه تحلیل و تجزیه مسئله

وردم مسئله مقابل، در .هستیم شبکه این از شده مشخص هاي ویژگی برخی تعیین به ملزم ما

شبکه از نیاز مورد ویژگی یک اینجا، در .است شبکه طراحی یا و شبکه ترکیب بخش این در مطالعه

نیاز وردم شبکه با که هزینه کمینه شبکه یک طراحی یا و ترکیب به باید ما و است، شده مشخص

.بپردازیم است، شده بیان

مقدمه

جرمن ارتباطی هاي شبکه طراحی به و است، زیر شرح به اینجا در تحلیل و تجزیه خاص مسئله

از مشخص مجموعه یک در جهت بدون هاي شبکه از برخی ساخت به ما کنید فرض .شود می

,1,2 هاي گره … مجموعه از برخی در �,�گره جفت بین ارتباط با توان می را شبکه این .بپردازیم �,

بر عالوه .نباشد یا باشد متراکم کامال است ممکن مجموعه این .ساخت شده، طراحی ℳ کمان

��� ظرفیت با �,� کمان اگر .داریم آزادي ها کمان این ظرفیت طراحی در ℳاز ها کمان انتخاب

��� مربوط هزینه آنگاه باشد، شده ساخته ≥ .شود می وارد ظرفیت واحد هر در 0

مقدمه

��� حداکثر معین نیاز مورد جریان مستقل طور به باید شده ساخته شبکه ≥ جفت هر بین 0

و�,� گره جفت هر بین ��� هاي نیاز مورد که باشید داشته توجه .کند حفظ �,� هاي کاال یا ها گره

�,� براي تنها نه ∈ ℳ و �,� گره جفت بین جریان بیشینه دهنده نشان ��� .است شده مشخص

.است شده ساخته شبکه از تابع یک البته

��������{ � ������

�

�,� ∈ℳ

: ��� ≥ ��� ��� ���ℎ � = 1, … ,� − 1,

� = � + 1, … ,� ��� ��� ≥ 0 ��� (�,�) ∈ ℳ}

مقدمه

همه به ما اول، .دارد وجود داریم، انجام به نیاز ما که مهارت دو مسئله، این حل به اقدام از قبل

�(���)

� از یبرخ براي بیشینه نیاز مورد جریان اگر .نداریم نیاز مسئله این در ساخت محدودیت

در .اشدب شده راضی خودکار طور به باید دیگر نیاز مورد جریان آنگاه باشد، راضی کلیدي گره جفت

غالب نیاز مورد درخت عنوان به شده شناخته �� خاص درخت یک به کلیدي گره جفت این واقع

� کمان با مرتبط خاص گره جفت فقط .شود می تبدیل − هاي محدودیت به نیاز �� درخت در 1

.است خودش هاي محدودیت شامل مهارت دومین .است شده مطرح وابسته نیاز مورد جریان

مقدمه

حل آسانی به بیشینه جریان کمینه، برش قضیه از استفاده با مسئله این که باشید داشته توجه

��� ،(�,�) گره جفت هر براي ،یعنی .شود می ≥ جدا برش هر ظرفیت اگر تنها و اگر است ���

در برش با ما است، جهت بدون شبکه چون کنید توجه( .نشود بیشتر ��� از �,� هاي گره کننده

� دهیم می قرار .)داریم کار و سر اینجا = 1, … .�,� هاي گره جداساز هاي برش شاخص ���,

مقدمه

� هر براي ∈ مربوط مولفه با ℳ در کمان هر به مربوط ℳ مولفه با ���� ستونی بردار یک ���

تعریف است 0 اینصورت غیر در و است 1 باشد، برش به متعلق کمان این اگر ،(�,�) کمان به

.کنیم می

��� ها، محدودیت از استفاده با است ممکن ،(�,�) گره جفت هر براي بنابراین ≥ با را ���

������ ≥ � براي ��� = 1, … ��� بردار � که جایی .کنیم جایگزین ���, , �,� ∈ .است �

مقدمه

یک مثال براي مسئله ترکیب

� که وقتی را �12.19 شکل در شده داده نشان بالقوه شبکه = 5, ℳ = و مجاز هاي کمان با 6

مورد این بر عالوه .است شده داده نشان کمان مقابل ظرفیت واحد هر بر ���مربوط هاي هزینه

:است زیر شرح به ��� هاي نیاز

��� = 3, ��� = 5, ��� = 3, ��� = 2, ��� = 6,

��� = 7, ��� = 5, ��� = 8, ��� = 1, ��� = 12

الگوریتم تولید ستون براي مسئله ترکیب

��� هزینه ضرایب بردار گذاري برچسب و مهارت بودن مقدم از استفاده با , �,� ∈ ℳ مثل�

:کنیم بندي فرمول زیر صورت به را کاالیی چند شبکه طراحی مسئله توانیم می

�: �������� ��

������� �� ������ ≥ ��� ��� � = 1, … ,��� ,��� ���ℎ �,� ∈ ��

� ≥ 0

الگوریتم تولید ستون براي مسئله ترکیب

� وسیله به = ����,� = 1, … ,��� , �,� ∈ با دوگان متغیرهاي که دهیم می نشان ��

:نویسیم می زیر صورت به را مسئله این دوگان اند، مرتبط ها محدودیت

�: �������� � � �������

���

���

�

�,� ∈��

������� �� � � ���� ����

���

���

�

�,� ∈��

≤ �

� ≥ 0

12.7

الگوریتم تولید ستون براي مسئله ترکیب

� چون .کنیم می اتخاذ ساده الگوریتم چارچوب در ستون تولید روش یک > به ها کمکی همه با ،0

رهايمتغی مکمل که باشید داشته توجه .کنیم می آغاز اي پایه شدنی جواب شروع در پایه عنوان

جواب یک مرحله، هر در .هستند صفر همگی 12.7 معادله در ها محدودیت با مرتبط ̅� دوگان

متغیرهاي که داریم نیاز ما آوریم، می بدست ̅� ساده دهنده افزایش بردار یک با � به شدنی اي پایه

���� هزینه ���� متغیر براي .شوند ارزش بی اي پایه غیر − ��� وسیله به را ���� − ������̅

.مندیم عالقه هزینه کاهش بزرگترین ارزش کردن پیدا به چون .دهیم می کاهش

الگوریتم تولید ستون براي مسئله ترکیب

max���,…,���

��� − ������̅ = ��� − min

���,…,���

������̅

�,� هر براي ∈ اسازيجد کمینه ظرفیت برش دنبال به اساساً مسئله این که کنیم می مشاهده .��

روي �,� گره بین بیشینه جریان مسئله کردن حل با است معادل .است ̅� بردار ظرفیت به نسبت �,�

��� اگر .��� مقدار کردن تعیین و ̅� ظرفیت از استفاده با جاري شبکه ≥ کمینه برش با اگر و ���

�,�هر براي باشد مرتبط 12.8 معادله در ∈ غیر در .است بهینه آنگاه دارد، نامثبت ارزش ��

ورود براي 12.8 معادله در ترین مثبت هزینه کاهش به منجر که ���� متغیر توانیم می اینصورت،

.شود می تکرار و لوال پایه، به

12.8

الگوریتم تولید ستون براي مسئله ترکیب

ستون تولید الگوریتم خالصه

اولیه دهی مقدار

همه با اي پایه شدنی جواب کردن شروع با مرتبط � مسئله براي شده اصالح ساده جدول یک

��� رو، این از .سازیم می شوند می گفته اي پایه که �کمکی متغیرهاي = از ها اي پایه معکوس �

ℳ اندازه × ℳ ،است صفر برابر ̅� دوگان متغیرهاي بردار و � راست سمت است.

الگوریتم تولید ستون براي مسئله ترکیب

اصلی مرحله

��̅� هر اگر < را اللو و سیمپلکس ستون، تولید .است پایه به شدن وارد کاندید ��� کمکی آنگاه 0

��̅� اگر اینصورت، غیر در .کند می روز به ها اي پایه در ≥ با را )شده ساخته( شبکه �,� هر براي 0

�,� گره جفت هر بین ��� جریان بیشینه و کنیم می امتحان ̅� ظرفیت بردار ∈ .کنیم می پیدا ��

��� اگر ≥ �,� هر براي ��� ∈ .باشد می ها ظرفیت از بهینه مجموعه ̅� شویم؛ می متوقف آنگاه ��

الگوریتم تولید ستون براي مسئله ترکیب

�,� براي کنیم، می انتخاب را محدودیت متجاوزترین اینصورت غیر در ∈ با و کنیم، می بیان ��

.کند می تولید ���� متغیر براي را ���� ستون ،� کمینه برش ارتباط به توجه

���� ارزش ،12.8 معادله از − ���� = ��� − ��� < پیش از استفاده با( ���� ستون .0

را یاصل مرحله .دهیم می انجام را معمولی سیمپلکس گیري لوال و کنیم می روز به )��� با تکثیري

.است متناهی همگراي است، سیمپلکس بر مبنی روش یک این چون کنید توجه .کنیم می تکرار

مثال توضیحی

��درخت (�)شبکه �: براي مسئله مثال ��پتانسیل و شبکه 12.19شکل

���

مثال توضیحی

:است زیر صورت به 12.7 معادله در � مسئله که کنیم می مشاهده ،12.19 شکل مثال براي

�������� � 5����

�

�

+ � ����

�

�

+ � 8����

�

�

+ � 12����

�

�

������� ��

� ���� ����

�

�

+ � ���� ����

�

�

+ � ���� ����

�

�

+ � ���� ����

�

�

≤

���

���

������

������

=

232432

� ≥ 0

مثال توضیحی

1 تکرار

��� = �,�̅ = 0,���� = ��� بیشینه هاي جریان .� = �,� هر براي 0 ∈ بنابراین و ،��

��� محدودیت ≥ � با [��,�] دلخواه کمینه برش یک .است متجاوزترین 12 = انتخاب {4}

�� کنیم، می = ���� ستون .{1,2,3,5} ≡ 0,0,0,1,0,1 برابر ���� از یکی که جایی است، �

را پایه ��� که است این گیري لوال نتیجه .است 4,5 و 2,4 کمان به مربوط موقعیت در آنها

.کند می ترك

مثال توضیحی

:شود می زیر صورت به کنیم می روز به را شده اصالح سیمپلکس جدول

مثال توضیحی

2 تکرار

�̅�� = ��̅� اینصورت غیر در و 12 = ��� پس .0 = ��� اینصورت غیر در و 12 = هر براي 0

�,� ∈ ��. ��� = 0 < � ، [��,�] کمینه برش .است متجاوزترین 8 = �� و 2,3 = 1,4,5

���� ،���� به مربوط ستون .مثال براي ، = 1,1,0,1,1,0 در آن شده روز به نسخه و باشد می �

ترك را پایه ��� که است این سیمپلکس لوالگیري نتیجه .است شده داده نشان فوق جدول

.کند می

مثال توضیحی

مثال توضیحی

:نتایج در جدول سیمپلکس اصالح شده زیر آمده استاین

مثال توضیحی

��̅� حال که باشید داشته توجه = ��̅� و 4 = ��̅� اینصورت غیر در و 8 = که دهد می نتیجه .0

��� = 0,��� = 8,��� = 0,��� = این از .هستند بیشینه هاي جریان هاي ارزش عنوان به 4

��� هاي محدودیت رو، ≥ ��� و 8 ≥ تولید با توانیم می حال .هستند متجاوزترین هردو 12

.دهیم ادامه ���� یا ���� از مناسب ستون

��� اگر .دهیم می انجام را بعدي تکرارهاي ترتیب همین به ≥ �,� هر براي ��� ∈ آنگاه ��

.باشد می ها ظرفیت از بهینه مجموعه ̅� شویم؛ می متوقف

��غالب درخت مورد نیاز

,1 گره مجموعه روي �� کامل گراف یک ساخت �� غالب نیاز مورد درخت تعریف براي … با ،�,

�� سپس .باشد می ��� معادل نیاز مورد وزن یک داراي �,� گره جفت هر بین )جهت بدون( کمان

کل وزن حداکثر با �� براي پوشا درخت این که ،است �� براي بیشینه پوشاي درخت عنوان به

.است

��غالب درخت مورد نیاز

که کنید فرض .شود می انجام زیر صورت به و ساده گذري یک روش یک شامل �� ساخت فرآیند

از استفاده با �� در ظرفیت براي ها کمان .است شده مرتب � لیست یک در کوچک به بزرگ از ���

ایجاد دور شده انتخاب کمان به توجه با که هرکمان .است شده انتخاب � لیست ترتیبی فرآیند

� که زمانی .کنیم می رد را کند می − براي مثال عنوان به .شویم می متوقف شد انتخاب کمان 1

رد ،(2,4) انتخاب ،(3,4) انتخاب ،(4,5) انتخاب :است زیر شرح به آن رد یا کمان انتخاب مسئله،

نشان 12.19b شکل در �� درخت نتیجه .شویم می متوقف و (1,3) انتخاب ،(2,5) رد ،(2,3)

.است شده داده

��غالب درخت مورد نیاز

.است �� بیشینه پوشاي درخت یک تولید براي "حریصانه" روش یک این حقیقت در

.�,� مجزا [��,�] برش تعدادي از [��,�]� ظرفیت با است برابر ��� شده، ساخته شبکه در

�,� با �,� گره جفت تعدادي براي برش یک همچنین [��,�] حال این با ∈ �.

کمینه، برش قضیه از استفاده با نتیجه در )باشد � تواند می �گره و � تواند می �گره(

��� :داریم جریان بیشینه = � �,�� ≥ ��� ≥ min ���: �,� ∈ � ≥ ���

��الگوریتم دیگر با استفاده از درخت مورد نیاز غالب

نتیجه ترکیب مسئله از خاص مورد یک براي فرد به منحصر مدرن الگوریتم یک ارایه با بخش این

ℳ که گیریم می ≡ �,� ,� = 1,…,� − 1, � = � + ��� همچنین و �,…,1 ≡ هر براي 1

�,� ∈ ℳ. جریان که کمینه ظرفیت مجموع شبکه، یک طراحی براي ایم کرده فرض رو این از

به 12.19 شکل مثال از استفاده با زیر در مورد این براي فرآیند .داریم دارد می نگه را نیاز مورد

.است شده کشیده تصویر به مثال عنوان

1 مرحله

.سازیم می را �� غالب نیاز مورد درخت اول

��الگوریتم دیگر با استفاده از درخت مورد نیاز غالب

2 مرحله

که ��� درخت یک یعنی، .کنیم می تجزیه یکسان نیاز مورد هاي درخت از مجموع یک درون را ��

شارز کوچکترین عنوان به یکسان وزن که هایی کمان همه با اما سازیم، می را است منطبق �� بر

�,�براي ��� ∈ براي ها ارزش ��� همه از را � .گیریم می نظر در � را وزن این .داریم ��

�,� ∈ یک در .داریم برمی را کرده پیدا کاهش صفر به وزن که �� در هاي کمان و کنیم می کم ��

یم،کن می تکرار حاصل جنگل در مناسب درخت هر با .دهد می نتیجه بیشتر یا درخت دو از جنگل

,���,��� یکسان نیاز مورد هاي درخت … .شوند می ساخته فرآیند این در ���,

��الگوریتم دیگر با استفاده از درخت مورد نیاز غالب

کشیده تصویر به �12.20 شکل در یکسان نیاز مورد هاي درخت �12.19 شکل از �� درخت براي

در .است شده داده نشان کمان هر مقابل در درخت هر در )یکسان( هاي وزن که جایی است شده

� اینجا = .آوریم می بدست یکسان نیاز مورد هاي درخت 4

��الگوریتم دیگر با استفاده از درخت مورد نیاز غالب

3 مرحله

�,��� یکسان نیاز مورد درخت هر براي = 1, … از جهت بدون حلقه کنیم می طراحی �� گراف یک �,

� ظرفیت که دور در کمان هر با ��� در ها گره روي دلخواه مرتبه مورد وزن از نیمی با است برابر دارد ��

��هاي گراف جمع یک ساده طور به ∗� بهینه شبکه پس )چرا؟( .��� یکسان نیاز ,� = 1, … .است �,

را ∗� آنها جمع �12.20 شکل .دهد می نشان را ��,��,��,�� هاي گراف دور �12.20 شکل مثال براي

.آورد می بدست

�� کنیم می تعریف است، بهینه واقع در ∗� که دهیم می نشان منظور این به = max ��� ,� ≠ براي �

� = 1, … :داریم �� ساختن با که کنید توجه .�,

��الگوریتم دیگر با استفاده از درخت مورد نیاز غالب

:خاص مورد یک براي ترکیب مثال 12.20 شکل

.یکسان نیاز مورد هاي درخت به �� تجزیه (�)

�,��� به مربوط �� هاي گراف دور(�) = 1, … ,�.

∗� بهینه گراف(�)

��الگوریتم دیگر با استفاده از درخت مورد نیاز غالب

�� = max ��� ,� ≠ � = max�: �,� ∈��

���

،داریم 12.19 شکل از

�� = 5,�� = 7,�� = max 5,8 = 8,�� = max 7,8,12 = 12,�� = 12

با است، واضح .اند شدنی ترکیب، مسئله براي که است ��� هاي کمان ظرفیت داراي � گراف هر رو این از .شود �� حداقل باید گره هر در واقع هاي کمان ظرفیت مجموع بودن شدنی از استفاده:است زیر صورت به � براي هزینه مجموع

�� =1

2� � ���

�

���

�

���

≥1

2� ��

�

���

12.9

12.10

��الگوریتم دیگر با استفاده از درخت مورد نیاز غالب

��� داریم گراف دورهاي ساختن از استفاده با چون است، شدنی ∗� شده ساخته گراف ≥ ���

�,� هر براي ∈ ��� بنابراین و �� ≥ � هر براي ��� = 1,…,� − 1, � = � + 1,…,�.

مجموع با است برابر ∗� در � گره هر در واقع هاي کمان هاي ظرفیت مجموع این بر عالوه

هاي درخت ساختن از استفاده با .هستند � گره شامل که ��� هاي درخت روي یکسان هاي جریان

�,� طوریکه به � هر روي ��� بیشینه ارزش با است برابر بعدي مقدار یکسان، نیاز مورد ∈ از .��

با است برابر ∗� براي هزینه جمع 12.10 معادله طبق رو، این از .است �� دقیقا 12.9 معادله

�

�∑ ��

�.شود می ایجاد ∗� بهینگی 12.10 معادله از که ���

��الگوریتم دیگر با استفاده از درخت مورد نیاز غالب

از .دارد وجود بهینه شبکه چندین که کند می ثابت الگوریتم در بودن شدنی که باشید داشته توجه

براي ینجایگز بهینه جواب هر روي ثانویه هدف یک با سازي بهینه گرفتن نظر در به مربوط رو، این

.کند می بیان مسئله