Prof. Pedro Eche Querevalú

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5to de Secundaria

2012

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Presentación

Inicio

Si deseamos tener toda la información posible del

viento, no solo necesitaremos su intensidad, por

ejemplo 60 km/h, además es necesario saber su

dirección y sentido. No es lo mismo para un velero que

quiere llegar a puerto un viento de 60 km/h hacia el

mar que hacia la costa.

Existen muchas magnitudes físicas cuya descripción

completa exige conocer su intensidad y dirección. Una

forma de describir un viento a 60 km/h de forma

sencilla es mediante una flecha cuya longitud sea

proporcional a su velocidad y que apunte en la

dirección del viento. A estas flechas se les denomina

vectores, y a su magnitud que los miden “vectoriales”

Presentación

Hermann Grassmann

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DEFINICIÓN DE VECTORES

MAGNITUDES ESCALARES

MAGNITUDES VECTORIALES

PROPIEDADES DE UN VECTOR

DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE UN VECTOR

VECTORES UNITARIOS EN EL ESPACIO

OPERACIÓN CON VECTORES: IGUALDAD DE LOS VECTORES

OPERACIÓN CON VECTORES: ADICIÓN

OPERACIÓN CON VECTORES: SUSTRACCIÓN

EJEMPLOS

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MAGNITUDES FÍSICAS

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Magnitudes Escalares

Son aquellas magnitudes físicas

que necesitan sólo de un número

(puede ser positivo o negativo) y

de una magnitud para quedar

definidas.

Por lo tanto es una magnitud que

queda definida completamente por

una cantidad y una unidad

apropiada. Por ejemplo: el tiempo,

temperatura, volumen, longitud,

masa, carga eléctrica, etc

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Magnitudes Vectoriales Son aquellas magnitudes físicas que,

además de tener un valor numérico y una

unidad, necesitan de una dirección y un

sentido para quedar correctamente

definidas.

Muchas magnitudes se pueden representar

en forma gráfica por medio de una flecha

(vector).

Ejemplos de magnitudes vectoriales:

La velocidad.

La aceleración.

La fuerza.

El campo eléctrico, etc.

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Vector

Un vector es un segmento de recta orientado, caracterizado por:

Su origen o punto de aplicación: El punto O en Fig. 1.

Su extremo: A en la figura 1. Su dirección: La dirección de la recta que lo contiene y el ángulo que forma con el eje de las abscisas u ordenada(la recta r en la figura 1). Su sentido: Indicado por la punta de la flecha. Su módulo: La longitud del vector. Se designa escribiendo el nombre del vector entre dos líneas verticales. Para el vector

Como se indica también en la figura, un vector se suele designar escribiendo su origen y su extremo con una flecha encima , o bien, simplemente mediante una letra mayúscula o minúscula con una flecha encima

Entendemos por vector unitario un vector de módulo la unidad: = 1. Por convención, la dirección y el sentido de un vector están

determinados por el ángulo que forman el vector con el eje +X.

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Operación con Vectores:

Igualdad de los vectores: Dos vectores y pueden definirse como iguales si tienen la misma magnitud y apuntan en la misma dirección. Es decir, = , sólo si = y, los dos actúan a lo largo de direcciones paralelas. Como se pude ver en la imagen de la derecha. También:

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Operación con Vectores: Adición

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Cuando dos o más vectores se suman todos deben tener las mismas unidades. Existen diferentes métodos para calcular la suma de vectores, entre los cuales se tienen los siguientes: El método de adición del triángulo

Resultante de dos vectores coplanares y concurrentes Cuando el vector A se suma al vector B la resultante R es el vector que va desde el origen del vector A hasta la saeta o cabeza del vector B.

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Operación con Vectores: Adición

CONTINUA>>

El método de adición del triángulo

Resultante de dos vectores coplanares y concurrentes

A

B

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Operación con Vectores: Adición

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MÉTODO DEL POLÍGONO El vector que completa el polígono:

Cuando se suman más de dos vectores, por ejemplo hallar la suma de los vectores A + B + C + D la resultante R, es el vector que va desde el origen del primer vector hasta la

punta del último vector, en este caso del vector A (primer vector) hasta la punta del

último vector D.

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Operación con Vectores: Adición

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MÉTODO DEL POLÍGONO El vector que completa el polígono:

A

D

C

B

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Operación con Vectores: Adición

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La regla de adición de paralelogramo:

- En la siguiente construcción los orígenes de los dos vectores A y B están juntos y el vector resultante R es la diagonal de un paralelogramo con lados A y B. Algunas de las leyes que se utilizan en la suma de vectores son las siguientes: La ley conmutativa y la asociativa.

- Cuando la suma de vectores A y B es independiente del orden, lo cual le da origen a la ley conmutativa de la suma, esta se puede observar a continuación:

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Operación con Vectores: Adición

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Adición de paralelogramo:

A

B R=A+B cos222

ABBAR

- 90 < < 90 +

MÉTODO ANALÍTICO

La dirección del vector resultante se halla mediante la ley de senos.

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Operación con Vectores: Adición

La regla de adición del paralelogramo : Cuando tres o más vectores se suman, y su total es independiente de la forma en la que se agruparon los vectores individuales. Lo antes mencionado recibe el nombre de la ley asociativa de la suma de vectores.

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Operación con Vectores: Sustracción Opuesto (También llamado: Negativo) de un Vector:

Es cuando se suma dos vectores con la misma magnitud pero con diferente sentido, lo

cuál ocasiona que el resultado de la operación sea cero, como un ejemplo tenemos

A + (-A) = 0. Diferencia de vectores:

Es la sustracción de vectores A – B = D se usa la definición del negativo de un vector. En

esta operación se da de la siguiente manera: A - B en donde el vector -B sumado al

vector A, que podemos reemplazar por: A + ( -B ) = D Por lo tanto: ( A - B = A + (-B) )

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Operación con Vectores: Sustracción

Diferencia de vectores:

R

A

-B

B

A + ( -B ) = D

A – B = D

= D

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Propiedades de un Vector

Opuesto:

Vector Unitario:

Nulo: 0= A + ( ) -A

-A A

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Descomposición rectangular de un vector Un vector oblicuo puede expresarse como la composición de dos vectores perpendiculares; estos vectores son llamados componentes rectangulares. Los componentes rectangulares se trazan sobre los ejes de coordenadas X e Y desde el origen de coordenadas.

Componentes rectangulares

Módulo del componente horizontal

Módulo del componente vertical

Indica la dirección y el sentido de

Observación: Cuando un vector está sobre un eje de coordenadas, el

sentido del vector está dado por el signo del eje respectivo, los vectores

orientados hacia la derecha o hacia arriba son positivos y los vectores

orientados hacia la izquierda o hacia abajo son negativos.

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Descomposición rectangular de un vector

Componentes rectangulares

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Ejemplo 1

Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores:

A B

C

A B

C R = 2 CONTINUA>>

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Versores: Vectores unitarios en el espacio Para indicar la dirección y el sentido de los componentes de un vector,

usamos los vectores unitarios llamados versores.

Versores rectangulares en dos

dimensiones

Versores rectangulares en tres

dimensiones

i: es el versor que indica la dirección del eje +X

J: es el versor que indica la dirección del eje +Y

K: es el versor que indica la dirección del eje +Z

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Ejemplo 2

CONTINUA>>

Determinando la resultante de los siguientes vectores:

A

B

BAR

7u

Donde es la resultante: R

4u 3u

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Ejemplo 3

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Determinando la resultante de los siguientes vectores:

+

A

B

8u 4u = BAR

4u

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Ejemplo 4

CONTINUA>>

Determinando la resultante de los siguientes vectores:

La magnitud en este caso, no se puede determinar directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla.

A

B

BAR

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Ejemplo 4

Determinando la resultante de los siguientes vectores:

Por Pitágoras podemos determinar ahora la magnitud del vector resultante(R):

uR 54322

A

B

BAR

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Recursos

Haz clic en “Actividades interactivas” para ingresar para desarrollar las actividades educativas

lúdicas

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Créditos

Imagen de la presentación

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hgrassmann.jpg

¿Qué es un vector?

http://bacterio.uc3m.es/docencia/profesores/mongema/Industriales/Apuntes/matematicas.pdf

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/Vectores/Vectores.html

Vectores

http://www.aulafacil.com/matematicas-coordenadas/curso/Lecc-4.htm

http://www.tochtli.fisica.uson.mx/electro/vectores/definici%C3%B3n_de_vectores.htm

Historia introducción de vectores

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/algebra-vectorial-geova-walter/node1.html

Espacio vectorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

Ejercicios

http://www.educaplus.org/play-115-Magnitudes-escalares-y-vectoriales.html

Suma de vectores

http://andromeda.ls.utp.ac.pa/mai/notas/vectores/#cantidad

Simulador de vectores: interactivo

http://www.perueduca.edu.pe/recursos/simuladores/CTA_mask_simul_FIS_30.html

Laboratorio Virtual

http://www.educaplus.org/index.php?mcid=2