MA2231 KALKULUS PEUBAH BANYAK

Semester II Tahun 2009/2010Dosen: Hendra Gunawan & Janny Lindiarni

Soal Latihan Bab 3

1. Gambar medan vektor untuk tiap fungsi berikut.

(a) f(x, y) = (y,−x) (b) g(x, y) =(

yx2+y2 , −x

x2+y2

)

2. Diketahui fungsi bernilai real f(x, y) = y − x2. Tentukan rumus untuk medan vek-tor gradien dan medan vektor Hamilton f , kemudian gambar kedua medan vektortersebut.

3. Tentukan peta dari garis x = k dan peta dari garis y = k di bawah fungsi

(a) f(x, y) = (2xy, x2 − y2) (b) g(x, y) = (ex cos y, ex sin y).

4. Diketahui fungsi (u, v) = f(x, y) = (ax, by) dengan a, b > 0. Tentukan daerah padabidang XY yang dipetakan oleh f ke daerah tertutup pada bidang UV yang dibatasioleh elips u2

a2 + v2

b2 = 1.

5. Tentukan turunan atau matriks Jacobi dari tiap fungsi berikut.

(a) f(x, y) = (2x− 3y, 3x + 2y) (b) g(x, y) = (2x2y + 3y2, x2 − y2)

(c) f(x, y, z) = (xyz, xy2z3) (d) g(t) = (t, t2, t3)

6. Hitunglah diferensial fungsi f(x, y) = (xy2 − 3x3, 3x− 5y2) di titik (1,−1).

7. Hitunglah diferensial fungsi g(x, y) = (x + 6y, 3xy, x2 − 3y2) di titik (1, 1).

8. Untuk tiap fungsi berikut, tentukan hampiran linear di titik yang diberikan.

(a) f(x, y) = (x2+y2, xy) di (1, 2) (b) g(x, y, z) = (xy−z2, xy+xz) di (1, 2, 3).

9. Gunakan hasil pada Soal 8 untuk menaksir nilai

(a) f(1, 01, 1, 98) (b) g(1, 01, 1, 98, 3, 03).

10. Diketahui fungsi f(x, y) = (x2 − y2, 2xy) dan g(x, y) = (2x + 3y, x − 2y). Tentukanf ◦ g(x, y) dan g ◦ f(x, y).

11. Diketahui u(x, y) = x2exy + y2 sin(xy) dengan x = s2t dan y = set. Dengan menggu-nakan Aturan Rantai, hitunglah us dan ut.

12. Diketahui φ(x, y, z) = xy +xz +yz dengan x = uv, y = v2 dan z = ln(uv). Hitunglahφu, φv, φuu, φuv, dan φvv.

13. Diketahui fungsi u = f(x, y) memenuhi persamaan Laplace

uxx + uyy = 0.

Buktikan bahwa fungsi v = f(x2 − y2, 2xy) juga memenuhi persamaan Laplace.

3

14. Misalkan f(x, y) fungsi dua peubah yang mempunyai turunan parsial kontinu dang(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ). Perlihatkan bahwa

‖∇f‖2 =(∂f

∂x

)2

+(∂f

∂y

)2

=(∂g

∂r

)2

+1r2

(∂g

∂θ

)2

.

15. Misalkan f dan g seperti pada Soal 13. Tunjukkan bahwa

fxx + fyy = grr + r−2gθθ + r−1gr

yang merupakan persamaan Laplace dalam koordinat polar.16. Diketahui fungsi u = u(x, y) dan v = v(x, y) memenuhi persamaan Cauchy-Riemann

ux = vy dan uy = −vx

Buktikan jika u dan v mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu, maka u dan v

memenuhi persamaan Laplace

uxx + uyy = 0 dan vxx + vyy = 0.

4