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MA211 - Lista 04Regra da Cadeia, Derivadas
Direcionais e Vetor Gradiente
12 de setembro de 2016
EXERCICIOS RESOLVIDOS
1. F ([1], secao 14.5) Utilize a Regra da Cadeia para determinar ∂z/∂s e ∂z/∂t,onde
z = sen θ cosφ, θ = st2, φ = s2t.
Solucao: Utilizando a Regra de Cadeia, obtemos
∂z
∂s=
∂z
∂θ
∂θ
∂s+∂z
∂φ
∂φ
∂s
= (cos θ cosφ)(t2) + (sen θ(− senφ))(2st)
= t2 cos(st2) cos(s2t)− 2st sen(st2) sen(s2t)
e
∂z
∂t=
∂z
∂θ
∂θ
∂t+∂z
∂φ
∂φ
∂t
= (cos θ cosφ)(2st) + (sen θ(− senφ))(s2)
= 2st cos(st2) cos(s2t)− s2 sen(st2) sen(s2t).
2. � (Prova, 2008) Seja g(x, y) = f(x2 + y2), onde f : R → R e uma funcaodiferenciavel. Mostre que
y∂g
∂x− x∂g
∂y= 0.
Solucao: Observe que f e uma funcao de uma variavel. Logo, utilizando aRegra da Cadeia para funcoes de uma variavel, obtemos
∂g
∂x(x, y) = f ′(x2 + y2)(2x)
e∂g
∂y(x, y) = f ′(x2 + y2)(2y).
Portanto
y∂g
∂x− x∂g
∂y= 0.
1
3. F (Prova, 2014) Considere a funcao
f(x, y) =
{x+ y, se xy = 0,
1, caso contrario.
Mostre que f nao possui derivada direcional em (0, 0) na direcao de um vetorv = (a, b) com a2 + b2 = 1 e ab 6= 0.
Solucao: Seja v = (a, b) um vetor unitario (isto e, a2 + b2 = 1), em queab 6= 0. A derivada direcional em (0, 0) na direcao do vetor unitario v existese o limite
limh→0
f(0 + ah, 0 + bh)− f(0, 0)
h
existir. Para h 6= 0, temos (ah)(bh) 6= 0. Logo f(ah, bh) = 1. Assim, o limiteem questao se reduz a
limh→0
1
h,
e esse limite nao existe. Como o vetor v satisfazendo as hipoteses foi tomadoarbitrariamente, concluımos que f nao possui derivada direcional em (0, 0)na direcao de nenhum vetor v = (a, b) que satisfaca a2 + b2 = 1 e ab 6= 0.
4. � ([1], secao 14.6) Suponha que em uma certa regiao do espaco o potencialeletrico V seja dado por V (x, y, z) = 5x2 − 3xy + xyz.
a) Determine a taxa de variacao do potencial em P = (3, 4, 5) na direcao dovetor v = i + j− k.
b) Em que direcao V varia mais rapidamente em P?
c) Qual a taxa maxima de variacao em P?
Solucao:
a) Queremos determinar o valor de Duf(P ), em que u e o vetor unitarioque tem mesma direcao de v, isto e, u = 1√
3(1, 1,−1). Como V e dife-
renciavel, segue que Duf(P ) = ∇V (P ) · u. Observe que∇V (x, y, z) = (10x−3y+yz,−3x+xz, xy). Logo ∇V (P ) = (38, 6, 12).Portanto,
Duf(P ) = ∇V (P ) · u = (38, 6, 12) · 1√3
(1, 1,−1) =32√
3
3.
b) A direcao em que V varia mais rapidamente no ponto P e a direcao dogradiente de V no ponto P , isto e, na direcao de ∇V (P ) = (38, 6, 12).Observe que aqui nao e necessario normalizar o vetor, pois o exercıciopede apenas a direcao.
c) A taxa de variacao maxima e |∇V (P )| = 2√
406.
2
EXERCICIOS PROPOSTOS
5. � ([1], secao 14.5) Use a Regra da Cadeia para determinar dz/dt ou dw/dt.
a) z = x2y + xy2, x = 2 + t2, y = 1− t3.b) z =
√x2 + y2, x = e2t, y = e−2t.
c) F z = senx cos y, x = πt, y =√t.
d) z = tg−1(x/y), x = et, y = 1− e−t.e) w = xey/z, x = t2, y = 1− t, z = 1 + 2t.
6. � ([1], secao 14.5) Utilize a Regra da Cadeia para determinar ∂z/∂s e ∂z/∂t.
a) z = x2y3, x = s cos t, y = s sen t.
b) z = arcsen(x− y), x = s2 + t2, y = 1− 2st.
d) z = ex+2y, x = s/t, y = t/s.
e) z = er cos θ, r = st, θ =√s2 + t2.
f) z = tg(u/v), u = 2s+ 3t, v = 3s− 2t.
7. ([1], secao 14.5) Se z = f(x, y), onde f e diferenciavel, e
x = g(t)
g(3) = 2
g′(3) = 5
fx(2, 7) = 6
y = h(t)
h(3) = 7
h′(3) = −4
fy(2, 7) = −8,
determine dz/dt quando t = 3.
8. ([1], secao 14.5) Seja W (s, t) = F (u(s, t), v(s, t)), onde F , u e v sao dife-renciaveis, e
u(1, 0) = 2
us(1, 0) = −2
ut(1, 0) = 6
Fu(2, 3) = −1
v(1, 0) = 3
vs(1, 0) = 5
vt(1, 0) = 4
Fv(2, 3) = 10.
Determine Ws(1, 0) e Wt(1, 0).
9. ([1], secao 14.5) Utilize um diagrama em arvore para escrever a Regra daCadeia para o caso dado. Suponha que todas as funcoes sejam diferenciaveis.
a) w = f(r, s, t), onde r = r(x, y), s = s(x, y), t = t(x, y).
b) t = f(u, v, w), onde u = u(p, q, r, s), v = v(p, q, r, s), w = w(p, q, r, s).
3
10. � ([1], secao 14.5) Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadasparciais indicadas.
a) F z = x2 + xy3, x = uv2 + w3, y = u+ uew;∂z
∂u,
∂z
∂v,
∂z
∂wquando u = 2, v = 1, w = 0.
b) u =√r2 + s2, r = y + x cos t, s = x+ y sen t;
∂u
∂x,
∂u
∂y,
∂u
∂tquando x = 1, y = 2, t = 0.
c) Y = w tg−1(uv), u = r + s, v = s+ t; w = t+ r∂Y
∂r,
∂Y
∂s,
∂Y
∂tquando r = 1, s = 0, t = 1.
11. ([1], secao 14.5) Utilize a Equacao 6 Secao 14.5 de [1] para determinar dy/dx.
a)√xy = 1 + x2y
b) cos(x− y) = xey
12. ([1], secao 14.5) Utilize as Equacoes 7 Secao 14.5 de [1] para determinar∂z/∂x e ∂z/∂y.
a) x2 + y2 + z2 = 3xyz
b) xyz = cos(x+ y + z)
c) yz = ln(x+ z)
13. ([1], secao 14.5) A temperatura em um ponto (x, y) e T (x, y), medida emgraus Celsius. Um inseto rasteja de modo que sua posicao depois de t se-
gundos seja dada por x =√
1 + t e y = 2 +1
3t, onde x e y sao medidas
em centımetros. A funcao temperatura satisfaz Tx(2, 3) = 4 e Ty(2, 3) = 3.Quao rapido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de tressegundos?
14. F ([1], secao 14.5) O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixavariam com o tempo. Em certo instante, as dimensoes da caixa sao l = 1 me w = h = 2 m. l e w aumentam a uma taxa de 2 m/s, ao passo que hdiminui a uma taxa de 3 m/s. Nesse instante, determine as taxas nas quaisas seguintes quantidades estao variando.
a) O volume.
b) A area da superfıcie.
c) O comprimento da diagonal.
15. ([1], secao 14.5) Se z = f(x, y), onde x = r cos θ e y = r sen θ,
a) Determine∂z
∂re∂z
∂θ.
b) Mostre que
(∂z
∂x
)2
+
(∂z
∂y
)2
=
(∂z
∂r
)2
+1
r2
(∂z
∂θ
)2
.
4
16. ([1], secao 14.5) Se u = f(x, y), onde x = es cos t e y = es sen t, mostre que(∂u
∂x
)2
+
(∂u
∂y
)2
= e−2s[(
∂u
∂s
)2
+
(∂u
∂t
)2].
17. ([1], secao 14.5) Se z = f(x− y), mostre que
∂z
∂x+∂z
∂y= 0.
18. � ([1], secao 14.5) Mostre que qualquer funcao da forma
z = f(x+ at) + g(x− at)
e uma solucao da equacao de onda
∂2z
∂t2= a2
∂2z
∂x2.
(Sugestao: Tome u = x+ at, v = x− at.)
19. ([1], secao 14.5) Se z = f(x, y), onde x = r2 + s2 e y = 2rs, determine∂2z/∂r∂s. (Compare com o Exemplo 7, Secao 14.5 de [1].)
20. ([1], secao 14.5) Suponha que a equacao F (x, y, z) = 0 defina implicitamentecada uma das tres variaveis x, y e z como funcao das outras duas: z = f(x, y),y = g(x, y) e x = h(y, z). Se F for diferenciavel e Fx, Fy e Fz forem todasnao nulas, mostre que
∂z
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z= −1.
21. ([2], secao 12.1) Calcule dz/dt pelos dois processos descritos no Exemplo 2,Secao 12.1 de [2].
a) z = sen(xy), x = 3t e y = t2.
b) z = x2 + 3y2, x = sen t e y = cos t.
c) z = ln(1 + x2 + y2), x = sen 3t e y = cos 3t.
22. � ([2], secao 12.1) Seja g(t) = f(3t, 2t2 − 1).
a) Expresse g′(t) em termos das derivadas parciais de f .
b) Calcule g′(0) admitindo
∂f
∂x(0,−1) =
1
3.
5
23. ([2], secao 12.1) Expresse ∂z/∂t em termos das derivadas parciais de f , sendoz = f(x, y) e
a) x = t2 e y = 3t.
b) x = sen 3t e y = cos 2t.
24. ([2], secao 12.1) Suponha que, para todo t, f(t2, 2t) = t3 − 3t. Mostre que
∂f
∂x(1, 2) = −∂f
∂y(1, 2).
25. ([2], secao 12.1) Suponha que, para todo x, f(3x, x3) = arctg(x).
a) Calcule∂f
∂x(3, 1) admitindo
∂f
∂y(3, 1) = 2.
b) Determine a equacao do plano tangente ao grafico de f no ponto (3, 1, f(3, 1)).
26. � ([2], secao 12.1) Admita que, para todo (x, y),
4y∂f
∂x(x, y)− x ∂f
∂y(x, y) = 2.
Calcule g′(t), sendo g(t) = f(2 cos t, sen t).
27. � ([2], secao 12.1) Admita que, para todo (x, y),
4y∂f
∂x(x, y)− x ∂f
∂y(x, y) = 0.
Prove que f e constante sobre a elipsex2
4+ y2 = 1.
28. ([2], secao 12.1) Seja z = f(u + 2v, u2 − v). Expresse ∂z/∂u e ∂z/∂v emtermos das derivadas parciais de f .
29. ([2], secao 12.1) Seja z = f(u− v, v − u). Verifique que
∂z
∂u+∂z
∂v= 0.
30. ([2], secao 12.1) Considere a funcao F (x, y) = f
(x
y,y
x
). Mostre que
x∂F
∂x+ y
∂F
∂y= 0.
31. ([2], secao 12.1) f(t) e g(x, y) sao funcoes diferenciaveis tais que g(t, f(t)) = 0
para todo t. Suponha f(0) = 1,∂g
∂x(0, 1) = 2 e
∂g
∂y(0, 1) = 4. Determine a
equacao da reta tangente a γ(t) = (t, f(t)), no ponto γ(0).
6
32. ([2], secao 12.1) f(x, y, z) e g(x, y) sao funcoes diferenciaveis tais que, paratodo (x, y) no domınio de g, f(x, y, g(x, y)) = 0. Suponha g(1, 1) = 3,∂f
∂x(1, 1, 3) = 2,
∂f
∂y(1, 1, 3) = 5 e
∂f
∂z(1, 1, 3) = 10. Determine a equacao do
plano tangente ao grafico de g no ponto (1, 1, 3).
33. � ([2], secao 12.1) Seja g(t) = f(3t2, t3, e2t) e suponha∂f
∂z(0, 0, 1) = 4.
a) Expresse g′(t) em termos das derivadas parciais de f.
b) Calcule g′(0).
34. � ([2], secao 12.2) Mostre que cada uma das equacoes a seguir define implici-tamente pelo menos uma funcao diferenciavel y = y(x). Expresse dy/dx emtermos de x e y.
a) x2y + sen(y) = x
b) y4 + x2y2 + x4 = 3
35. ([2], secao 12.2) Mostre que cada uma das equacoes a seguir define implici-tamente pelo menos uma funcao diferenciavel z = z(x, y). Expresse ∂z/∂x e∂z/∂y em termos de x, y e z.
a) ex+y+z + xyz = 1
b) x3 + y3 + z3 = x+ y + z
36. ([2], secao 12.2) A funcao diferenciavel z = z(x, y) e dada implicitamente pela
equacao f
(x
y, z
)= 0, onde f(u, v) e suposta diferenciavel e
∂f
∂v(u, v) 6= 0.
Verifique que
x∂z
∂x+ y
∂z
∂y= 0.
37. ([2], secao 12.2) A funcao diferenciavel z = z(x, y) e dada implicitamente
pela equacao f
(x
y,z
xλ
)= 0 (λ 6= 0 um numero real fixo), onde f(u, v) e
suposta diferenciavel e∂f
∂v(u, v) 6= 0. Verifique que
x∂z
∂x+ y
∂z
∂y= λz.
7
38. ([3], secao 11.4) Nos itens abaixo: (i) expresse dw/dt como uma funcao det, usando a Regra da Cadeia, expressando w em termos de t e diferenciandoem relacao a t; (ii) calcule dw/dt no valor dado de t.
a) w = x2 + y2, x = cos t, y = sen t; t = π.
b) w = x2 + y2, x = cos t+ sen t, y = cos t− sen t; t = 0.
39. ([3], secao 11.4) Nos itens abaixo: (i) expresse ∂w/∂u e ∂w/∂v como funcoesde u e v, usando a Regra da Cadeia e tambem expressando w diretamenteem termos e u e v antes de diferenciar; (ii) calcule ∂w/∂u e ∂w/∂v no pontodado (u, v).
a) w = xy+yz+xz, x = u+v, y = u−v, z = uv; (u, v) = (1/2, 1).
b) w = ln(x2 + y2 + z2), x = uev senu, y = uev cosu, z = uev;(u, v) = (−2, 0).
40. � ([3], secao 11.4) Encontre os valores de ∂z/∂x e ∂z/∂y nos pontos indica-dos.
a) z3 − xy + yz + y3 − 2 = 0, (1, 1, 1).
b)1
x+
1
y+
1
z− 1 = 0, (2, 3, 6).
41. ([3], secao 11.4) Encontre ∂w/∂r quando r = 1, s = −1 se w = (x+ y + z)2,x = r − s, y = cos(r + s), z = sen(r + s).
42. ([3], secao 11.4) Se f(u, v, w) e diferenciavel, u = x−y, v = y−z e w = z−x,mostre que
∂f
∂x+∂f
∂y+∂f
∂z= 0.
43. � ([3], secao 11.4) Suponha que substituamos coordenadas polares x = r cos θe y = r sen θ em uma funcao diferenciavel w = f(x, y).
a) Mostre que∂w
∂r= fx cos θ + fy sen θ
e1
r
∂w
∂θ= −fx sen θ + fy cos θ.
b) Resolva as equacoes no item (a) para expressar fx e fy em termos de∂w/∂r e ∂w/∂θ.
c) Mostre que
(fx)2 + (fy)
2 =
(∂w
∂r
)2
+1
r2
(∂w
∂θ
)2
.
8
44. ([5], secao 16.5) O raio r e a altura h de um cilindro circular reto aumentama razao de 0, 01 cm/min e 0, 02 cm/min, respectivamente.
a) Ache a taxa de variacao do volume quando r = 4 cm e h = 7 cm.
b) A que taxa a area da superfıcie curva esta variando nesse instante?
45. ([5], secao 16.5) Os lados iguais e o angulo correspondente de um trianguloisosceles estao aumentando a razao de 3 cm/h e 2◦/h, respectivamente. Achea taxa a qual a area do triangulo esta aumentando no instante em que o com-primento de cada um dos lados iguais e de 6 metros e o angulo correspondentee 60◦.
46. ([5], secao 16.5) Quando o tamanho das moleculas e suas forcas de atracaosao levadas em conta, a pressao P , o volume V e a temperatura T de ummol de gas confinado estao relacionados pela equacao de van der Waals(
P +a
V 2
)(V − b) = kT,
em que a, b e k sao constantes positivas. Se t e o tempo, estabeleca umaformula para dT/dt em termos de dP/dt, dV/dt, P e V .
47. ([5], secao 16.5) Suponha que u = f(x, y) e v = g(x, y) verifiquem as equacoesde Cauchy- Riemann ux = vy e uy = −vx. Se x = r cos θ e y = r sen θ, mostreque
∂u
∂r=
1
r
∂v
∂θe
∂v
∂r= −1
r
∂u
∂θ.
48. (Prova, 2010) Suponha que w = f(x, y) e diferenciavel e que exista umaconstante α tal que
x = u cos(α)− v sen(α)
y = u sen(α) + v cos(α).
Mostre que (∂w
∂u
)2
+
(∂w
∂v
)2
=
(∂w
∂x
)2
+
(∂w
∂y
)2
.
49. � (Teste, 2013) Se z = f(x, y) com x = u+ v e y = u− v, demonstre que
∂z
∂u+∂z
∂v= 2
∂f
∂x.
50. ([1], secao 14.6) Determine a derivada direcional de f no ponto dado e nadirecao indicada pelo angulo θ.
a) f(x, y) = x2y3 − y4, (2, 1), θ = π/4.
b) f(x, y) = ye−x, (0, 4), θ = 2π/3.
9
51. � ([1], secao 14.6) Nos itens (a) - (d): (i) determine o gradiente de f ; (ii)calcule o gradiente no ponto P ; e (iii) determine a taxa de variacao de f emP na direcao do vetor u.
a) F f(x, y) = 5xy2 − 4x3y, P = (1, 2), u =(
513, 1213
).
b) f(x, y) = y lnx, P = (1,−3), u =(−4
5, 35
).
c) f(x, y, z) = xe2yz, P = (1,−3), u =(23,−2
3, 13
).
d) f(x, y, z) =√x+ yz, P = (1, 3, 1), u =
(27, 37, 67
).
52. � ([2], secao 11.5) Calcule ∇f(x, y).
a) f(x, y) = x2y
c) f(x, y) =x
y
b) f(x, y) = ex2−y2
d) f(x, y) = arctgx
y
53. � ([2], secao 11.5) Defina gradiente de uma funcao de tres variaveis. Calcule∇f(x, y, z).
a) f(x, y, z) =√x2 + y2 + z2
c) f(x, y, z) = (x2 + y2 + 1)z2
b) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2
d) f(x, y, z) = z arctgx
y
54. ([4], secao 14.8) Seja f uma funcao de tres variaveis independentes x, y e z.Mostre que Dif = fx, Djf = fy e Dkf = fz.
55. � ([2], secao 13.4) Calcule Duf(x0, y0), sendo dados
a) f(x, y) = x2 − 3y2, (x0, y0) = (1, 2) e u o versor de 2i + j.
b) f(x, y) = ex2−y2 , (x0, y0) = (1, 1) e u o versor de (3, 4).
c) f(x, y) = arctgx
y, (x0, y0) = (3, 3) e u =
(1√2, 1√
2
).
d) f(x, y) = xy, (x0, y0) = (1, 1) e u o versor de i + j.
56. � ([1], secao 14.6) Determine a derivada direcional da funcao no ponto dadoe na direcao do vetor v.
a) f(x, y) = 1 + 2x√y, (3, 4), v = (4,−3) .
b) g(p, q) = p4 − p2q3, (2, 1), v = (−1, 2) .
c) f(x, y, z) = xey + yez + zex, (0, 0, 0), v = (5, 1,−2) .
d) f(x, y, z) =√xyz, (3, 2, 6), v = (−1,−2, 2) .
57. ([1], secao 14.6) Determine a derivada direcional de f(x, y, z) = xy+ yz+ zxem P = (1,−1, 3) na direcao de Q = (2, 4, 5).
10
58. (Prova, 2014) Considere o vetor unitario u = (√
3/2, 1/2) e a funcao
f(x, y) =
xy2
x2 + y4, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
a) Determine a derivada direcional Duf(0, 0).
b) Explique por que o produto escalar ∇f(0, 0) · u nao fornece a derivadadirecional de f em (0, 0) na direcao de u.
59. ([3], secao 11.5) Encontre a derivada direcional de f(x, y) = x2+y2 na direcaodo versor tangente da curva
r(t) = (cos t+ t sen t)i + (sen t− t cos t)j, t > 0.
60. (Prova, 2010) Seja f : R → R uma funcao diferenciavel de uma variavel.Defina
g(x, y) = f(r), r =√x2 + y2.
Calcule a derivada direcional da funcao g no ponto (x, y) 6= (0, 0) e na direcaodo vetor (x, y).
61. � (Prova, 2006) Determine as direcoes em que a derivada direcional da funcaof(x, y) = x2 + senxy no ponto (1, 0) tem valor 1.
62. � ([1], secao 14.6) Determine a taxa de variacao maxima de f no ponto dadoe a direcao em que isso ocorre.
a) f(x, y) =y2
x, (2, 4).
b) f(x, y) = senxy, (1, 0).
c) f(x, y, z) =x+ y
z, (1, 1,−1).
d) f(x, y, z) =√x2 + y2 + z2, (3, 6,−2).
e) f(x, y, z) = tg (x+ 2y + 3z), (−5, 1, 1).
63. ([3], secao 11.5) Existe uma direcao u na qual a taxa de variacao de f(x, y) =x2 − 3xy + 4y2 em P = (1, 2) e igual a 14? Justifique sua resposta.
64. ([1], secao 14.6) Mostre que uma funcao diferenciavel f decresce mais rapi-damente em x na direcao oposta a do vetor gradiente, ou seja, na direcao de−∇f(x).
11
65. ([2], secao 13.4) Em que direcao e sentido a funcao dada cresce mais rapi-damente no ponto dado? E em que direcao e sentido decresce mais rapida-mente?
a) f(x, y) = x2 + xy + y2 em (1, 1).
b) f(x, y) = ln ||(x, y)|| em (1,−1).
c) f(x, y) =√
4− x2 − 2y2 em
(1,
1
2
).
66. � (Prova, 2010) A superfıcie de um lago e representada por uma regiao Dno plano xy, tal que a profundidade (em pes) sob o ponto correspondente a(x, y) e dada por
f(x, y) = 300− 2x2 − 3y2.
Se um nadador esta no ponto (4, 9), em que direcao deve nadar para que aprofundidade sob ele decresca mais rapidamente?
67. ([2], secao 13.4) Seja f(x, y) = x arctgx
y. Calcule Duf(1, 1), em que u aponta
na direcao e sentido de maximo crescimento de f , no ponto (1, 1).
68. ([1], secao 14.6) Determine todos os pontos nos quais a direcao de maiorvariacao da funcao f(x, y) = x2 + y2 − 2x− 4y e i + j.
69. (Prova, 2008) Seja
f(x, y) = x− y sen (π(x2 + y2)).
a) Calcule a derivada direcional de f no ponto (0, 0) na direcao dev = (1/2,
√3/2).
b) Em que direcao a taxa de variacao de f no ponto (0, 0) e maxima? Quale o valor da taxa maxima nesse ponto?
70. (Prova, 2014) Considere a funcao
f(x, y) = ln (x2 + y2).
a) Determine a taxa de variacao maxima de f em (1, 1) e a direcao em queisso ocorre.
b) Determine a derivada direcional de f em (1, 1) na direcao do vetorv = (3, 4).
71. ([1], secao 14.6) A temperatura T em uma bola de metal e inversamenteproporcional a distancia do centro da bola, que tomamos como a origem. Atemperatura no ponto (1, 2, 2) e de 120◦.
a) Determine a taxa de variacao de T em (1, 2, 2) em direcao ao ponto(2, 1, 3).
b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direcao de maior crescimentona temperatura e dada por um vetor que aponta para a origem.
12
72. � ([1], secao 14.6) A temperatura em um ponto (x, y, z) e dada por
T (x, y, z) = 200e−x2−3y2−9z2 ,
em que T e medido em ◦C e x, y e z em metros.
a) Determine a taxa de variacao da temperatura no ponto P = (2,−1, 2)em direcao ao ponto (3,−3, 3).
b) Qual e a direcao de maior crescimento da temperatura em P?
c) Encontre a taxa maxima de crescimento em P .
73. ([1], secao 14.6) Seja f uma funcao de duas variaveis que tenha derivadasparciais contınuas e considere os pontos A = (1, 3), B = (3, 3), C = (1, 7)
e D = (6, 15). A derivada direcional em A na direcao do vetor−→AB e 3,
e a derivada direcional em A na direcao−→AC e 26. Determine a derivada
direcional de f em A na direcao do vetor−−→AD.
74. ([1], secao 14.6) Mostre que a operacao de calcular o gradiente de uma funcaotem a propriedade fornecida. Suponha que u e v sejam funcoes de x e y,diferenciaveis, e a e b sejam constantes.
a) ∇(au+ bv) = a∇u+ b∇v
c) ∇(uv
)=v∇u− u∇v
v2
b) ∇(uv) = u∇v + v∇ud) ∇un = nun−1∇u
75. ([2], secao 13.1) E dada uma curva γ que passa pelo ponto γ(t0) = (1, 3) ecuja imagem esta contida na curva de nıvel x2+y2 = 10. Suponha γ′(t0) 6= 0.
a) Determine a equacao da reta tangente a γ no ponto (1, 3).
b) Determine uma curva γ(t) satisfazendo as condicoes acima.
76. ([2], secao 13.1) Determine a equacao da reta tangente a curva γ no pontoγ(t0) = (2, 5) sabendo-se que γ′(t) 6= 0 e que sua imagem esta contida nacurva de nıvel xy = 10. Qual a equacao da reta normal a γ, neste ponto?
77. � ([2], secao 13.2) Determine as equacoes do plano tangente e da reta normala superfıcie dada, no ponto dado.
a) x2 + 3y2 + 4z2 = 8, em (1,−1, 1).
b) 2xyz = 3, em
(1
2, 1, 3
).
c) zex−y + z3 = 2 em (2, 2, 1).
d) ([1], secao 14.6) x2 − 2y2 + z2 + yz = 2 em (2, 1,−1).
78. F ([2], secao 13.2) A funcao diferenciavel z = f(x, y) e dada implicitamentepela equacao x3 + y3 + z3 = 10. Determine a equacao do plano tangente aografico de f no ponto (1, 1, f(1, 1)).
79. ([1], secao 14.6) Se g(x, y) = x2+y2−4x, encontre o vetor gradiente ∇g(1, 2)e use-o para encontrar a reta tangente a curva de nıvel g(x, y) = 1 no ponto(1, 2). Esboce a curva de nıvel, a reta tangente e o vetor gradiente.
13
80. ([2], secao 13.1) Determine a equacao da reta tangente a curva de nıvel dada,no ponto dado.
a) x2 + xy + y2 − 3y = 1, em (1, 2).
b) e2x−y + 2x+ 2y = 4, em
(1
2, 1
).
81. (Prova, 2013) Seja g(x, y) = f(x2+y2), em que f e uma funcao diferenciavel.Sabendo que f ′(2) = 1, determine a equacao da reta tangente a curva de nıvelde g que passa pelo ponto (1, 1).
82. � ([1], secao 14.6) Mostre que a equacao do plano tangente ao elipsoidex2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 no ponto (x0, y0, z0) pode ser escrita como
xx0a2
+yy0b2
+zz0c2
= 1.
83. ([2], secao 13.1) Determine uma reta que seja tangente a elipse 2x2 + y2 = 3e paralela a reta 2x+ y = 5.
84. ([2], secao 13.1) Determine uma reta que seja tangente a curva x2+xy+y2 = 7e paralela a reta 4x+ 5y = 17.
85. ([1], secao 14.6) Existem pontos no hiperboloide x2 − y2 − z2 = 1 nos quaiso plano tangente e paralelo ao plano z = x+ y?
86. � (Prova, 2013) Determine os pontos da superfıcie x2 + 2y2 + 3z2 = 1 nosquais o plano tangente e paralelo ao plano 3x− y + 3z = 1.
87. ([2], secao 13.2) Determine um plano que seja tangente a superfıcie x2+3y2+
2z2 =11
6e paralelo ao plano x+ y + z = 10.
88. ([1], secao 14.6) Determine as equacoes parametricas da reta tangente acurva formada pela interseccao do paraboloide z = x2 + y2 com o elipsoide4x2 + y2 + z2 = 9 no ponto (−1, 1, 2).
89. ([1], secao 14.6)
a) Duas superfıcies sao ditas ortogonais em um ponto de interseccao sesuas normais sao perpendiculares nesse ponto. Mostre que superfıciescom equacao F (x, y, z) = 0 e G(x, y, z) = 0 sao ortogonais em um pontoP , em que ∇F 6= 0 e ∇G 6= 0, se, e somente se, em P ,
FxGx + FyGy + FzGz = 0.
b) Use a parte (a) para mostrar que as superfıcies z2 = x2 + y2 ex2 + y2 + z2 = r2 sao ortogonais em todo ponto de interseccao. Vocepode ver isso sem fazer os calculos?
14
RESPOSTAS DOS EXERCICIOS PROPOSTOS
5. a)dz
dt= 4(2xy + y2)3 − 3(x2 + 2xy)t2.
b)dz
dt=
2xe2t − 2ye2t√x2 + y2
.
c)dz
dt= π cos(x) cos(y)− 1
2√t
sen(x) sen(y).
d)dz
dt=xe−t − yet
x2 + y2.
e)dw
dt= e
yz
(2t− x
z− 2xy
z2
).
6. a)∂z
∂s= 2xy3 cos(t) + 3x2y2 sen(t) e
∂z
∂t= −2sxy3 sen(t) + 3sx2y2 cos(t).
b)∂z
∂s=∂z
∂t=
2s+ 2t√1− (x− y)2
.
d)∂z
∂s= ex+st
(1
t− 2t
s2
)e∂z
∂t= ex+st
(2
s− s
t2
).
e)∂z
∂s= er
(t cos(θ)− s√
s2 + t2sen(θ)
)e∂z
∂t= er
(s cos(θ)− t√
s2 + t2sen(θ)
).
f)∂z
∂s=
2u− 3v
v2sec2
(uv
)e∂z
∂t=
2u+ 3v
v2sec2
(uv
).
7.dz
dt(3) = 62.
8. Ws(1, 0) = 52 e Wt(1, 0) = 34.
9. a) Do diagrama:w
r
x y
s
x y
t
x y
tem-se
∂w
∂x=∂w
∂r
∂r
∂x+∂w
∂s
∂s
∂x+∂w
∂t
∂t
∂xe∂w
∂y=∂w
∂r
∂r
∂y+∂w
∂s
∂s
∂y+∂w
∂t
∂t
∂y
b) Do diagrama:
t
u
p q r s
v
p q r s
w
p q r s
15
tem-se
∂t
∂p=∂t
∂u
∂u
∂p+∂t
∂v
∂v
∂p+∂t
∂w
∂w
∂p,∂t
∂q=∂t
∂u
∂u
∂q+∂t
∂v
∂v
∂q+∂t
∂w
∂w
∂q,
∂t
∂r=∂t
∂u
∂u
∂r+∂t
∂v
∂v
∂r+∂t
∂w
∂w
∂re∂t
∂s=∂t
∂u
∂u
∂s+∂t
∂v
∂v
∂s+∂t
∂w
∂w
∂s.
10. a)∂z
∂u= 85,
∂z
∂v= 178,
∂z
∂w= 54.
b)∂u
∂x=
4√10
,∂u
∂y=
3√10
,∂u
∂t=
2√10.
c)∂Y
∂r= 1 +
π
4,
∂Y
∂s= 2,
∂Y
∂t= 1 +
π
4.
11. a)dy
dx=
4(xy)3/2 − yx− 2x2
√xy.
b)dy
dx=
sen(x− y) + ey
sen(x− y)− xey.
12. a)dz
dx=
3yz − 2x
2z − 3xyedz
dy=
3xz − 2y
2z − 3xy.
b)dz
dx=yz + sen(x+ y + z)
xy + sen(x+ y + z)edz
dy=xz + sen(x+ y + z)
xy + sen(x+ y + z).
c)dz
dx=
1
y(x+ z)− 1edz
dy=
z(x+ z)
y(x+ z)− 1.
13. A temperatura aumenta a uma taxa de 2oC/s.
14. a) 6 m3/s.
b) 10 m2/s.
c) 0 m/s.
15. a)∂z
∂r= cos(θ)
∂z
∂x+ sen(θ)
∂z
∂ye∂z
∂θ= −r sen(θ)
∂z
∂x+ r cos(θ)
∂z
∂y.
b) Use (a) para calcular
(∂z
∂r
)2
+1
r2
(∂z
∂θ
)2
.
16. Note que∂u
∂s= es cos(t)
∂u
∂x+es sen(t)
∂u
∂ye
∂u
∂t= −es sen(t)
∂u
∂x+es cos(t)
∂u
∂y.
17. Note que se u = x− y, entao∂z
∂x=dz
due∂z
∂y= −dz
du.
18. Note que se u = x+ at e v = x− at, entao∂2z
∂t2= a2f ′′(u) + a2g′′(v) e
∂2z
∂x2= f ′′(u) + g′′(v).
19.∂2z
∂r∂s= 4rs
∂2z
∂x2+ 4rs
∂2z
∂y2+ (4r2 + 4s2)
∂2z
∂x∂y+ 2
∂z
∂y.
16
20. Note que∂z
∂x= −Fx
Fz,∂x
∂y= −Fy
Fxe∂y
∂z= −Fz
Fy.
21. a)dz
dt(t) = 9t2 cos(3t3).
b)dz
dt(t) = −4 sen(t) cos(t).
c)dz
dt(t) = 0.
22. a) g′(t) = 3∂f
∂x(3t, 2t2 − 1) + 4t
∂f
∂y(3t, 2t2 − 1).
b) g′(0) = 1.
23. a)dz
dt(t) = 2t
∂f
∂x(t2, 3t) + 3
∂f
∂y(t2, 3t).
b)dz
dt(t) = 3 cos(3t)
∂f
∂x(sen(3t), cos(2t))− 2 sen(2t)
∂f
∂y(sen(3t), cos(2t)).
24. Tome t = 1 emdf
dt(t2, 2t) = 2t
∂f
∂x(t2, 2t) + 2
∂f
∂y(t2, 2t) = 3t2 − 3.
25. a)∂f
∂x(3, 1) = −11
6.
b) z − π
4= −11
6(x− 3) + 2(y − 1).
26. g′(t) = −1.
27. Note quedz
dt(t) = 0, para z = f(x, y), x = t e y = ±
√1− t2
4.
28.∂z
∂u(u, v) =
∂f
∂x(u+ 2v, u2 − v) + 2u
∂f
∂y(u+ 2v, u2 − v) e
∂z
∂v(u, v) = 2
∂f
∂x(u+ 2v, u2 − v)− ∂f
∂y(u+ 2v, u2 − v).
29. Note que∂z
∂u(u, v) =
∂f
∂x(u− v, v − u)− ∂f
∂y(u− v, v − u) e
∂z
∂v(u, v) = −∂f
∂x(u− v, v − u) +
∂f
∂y(u− v, v − u).
30. Note que∂F
∂x=
1
y
∂f
∂x
(x
y,y
x
)− y
x2∂f
∂y
(x
y,y
x
)e
∂F
∂y= − x
y2∂f
∂x
(x
y,y
x
)+
1
x
∂f
∂y
(x
y,y
x
).
31. (x, y) = (0, 1) + λ
(1,−1
2
), λ ∈ R.
32. z − 3 = −1
5(x− 1)− 1
2(y − 1).
17
33. a) g′(t) = 6t
∂f
∂x(3t2, t3, e2t) + 3t2
∂f
∂y(3t2, t3, e2t) + 2e2t
∂f
∂z(3t2, t3, e2t).
b) g′(0) = 8.
34. a)dy
dx= − 2xy − 1
x2 + cos(y).
b)dy
dx= −2xy2 + 4x3
4y3 + 2x2y.
35. a)∂z
∂x= −e
x+y+z + yz
ex+y+z + xye
∂z
∂y= −e
x+y+z + xz
ex+y+z + xy.
b)∂z
∂x= −3x2 − 1
3z2 − 1e
∂z
∂y= −3y2 − 1
3z2 − 1.
36. Note que∂z
∂x= −1
y
∂f
∂u
(x
y, z
)(∂f
∂v
(x
y, z
))−1e
∂z
∂y=
x
y2∂f
∂u
(x
y, z
)(∂f
∂v
(x
y, z
))−1.
37. Note que∂z
∂x=λz
x− xλ
y
∂f
∂u
(x
y,z
xλ
)(∂f
∂v
(x
y,z
xλ
))−1e
∂z
∂y=xλ+1
y2∂f
∂u
(x
y,z
xλ
)(∂f
∂v
(x
y,z
xλ
))−1.
38. a) (i)dw
dt(t) = 0.
(ii)dw
dt(π) = 0.
b) (i)dw
dt(t) = 0.
(ii)dw
dt(0) = 0.
39. a) (i) w(u, v) = u2 − v2 + 2u2v,∂w
∂u(u, v) = 2u+ 4uv e
∂w
∂v(u, v) = −2v + 2u2.
(ii)∂w
∂u(−2, 0) = 3 e
∂w
∂v(−2, 0) = −3
2.
b) (i) w(u, v) = ln(2) + 2 ln(u) + 2v,∂w
∂u(u, v) =
2
ue∂w
∂v(u, v) = 2.
(ii)∂w
∂u(−2, 0) = −1 e
∂w
∂v(−2, 0) = 2.
40. a)∂z
∂x(1, 1, 1) =
1
4e∂z
∂x(1, 1, 1) = −3
4.
b)∂z
∂x(2, 3, 6) = −9 e
∂z
∂x(2, 3, 6) = −4.
18
41.∂w
∂r(x(1,−1), y(1,−1), z(−1, 1)) = 12.
42. Note que∂f
∂x=∂f
∂u− ∂f
∂w,∂f
∂y= −∂f
∂u+∂f
∂ve∂f
∂z= −∂f
∂v+∂f
∂w.
43. b) fx = cos(θ)∂w
∂r− sen(θ)
r
∂w
∂θe fy = sen(θ)
∂w
∂r+
cos(θ)
r
∂w
∂θ.
44. a) 0, 88π cm3/min.
b) 0, 3π cm2/min.
45. ≈ 181559 cm2/h.
46.dT
dt=
1
k
((dP
dt− 2a
V 3
dV
dt
)(V − b) +
(P +
a
V 2
) dVdt
).
47. Note que∂u
∂r= cos(θ)ux + sen(θ)uy,
∂v
∂r= cos(θ)vx + sen(θ)vy,
∂u
∂θ= −r sen(θ)ux + r cos(θ)uy e
∂v
∂θ= −r sen(θ)vx + r cos(θ)vy.
48. Note que∂w
∂u= cos(α)
∂w
∂x+ sen(α)
∂w
∂ye∂w
∂v= − sen(α)
∂w
∂x+ cos(α)
∂w
∂y.
49. Note que∂z
∂u=∂f
∂x+∂f
∂ye∂z
∂v=∂f
∂x− ∂f
∂y.
50. a) 6√
2.
b) 2 +√32.
51. a) (i) ∇f(x, y) = (5y2 − 12x2y, 10xy − 4x3).
(ii) ∇f(1, 2) = (−4, 16).
(iii)172
13.
b) (i) ∇f(x, y) = (y/x, ln(x)).
(ii) ∇f(1,−3) = (−3, 0).
(iii)12
5.
c) (i) ∇f(x, y, z) = (eyz, 2xze2yz, 2xye2yz).
(ii) ∇f(3, 0, 2) = (1, 12, 0).
(iii) −22
3.
d) (i) ∇f(x, y, z) =
(1
2√x+ yz
,z
2√x+ yz
,y
2√x+ yz
).
(ii) ∇f(1, 3, 1) =
(1
4,1
4,3
4
).
(iii)23
28.
52. a) ∇f(x, y) = (2xy, x2).
19
b) ∇f(x, y) = ex2−y2(2x,−2y).
c) ∇f(x, y) =
(1
y,− x
y2
).
d) ∇f(x, y) =
(y
x2 + y2,− x
x2 + y2
).
53. a) ∇f(x, y, z) =1√
x2 + y2 + z2(x, y, z).
b) ∇f(x, y, z) = (2x, 2y, 2z).
c) ∇f(x, y, z) = (x2+y2+1)z2−1 (2xz2, 2yz2, 2z(x2 + y2 + 1) ln(x2 + y2 + 1)
).
d) ∇f(x, y, z) =
(yz
x2 + y2,− xz
x2 + y2, arctan
(x
y
)).
54. Lembre que i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) e Duf = ∇f · u.
55. a) D(2,1)f(1, 2) = −8
5.
b) D(3,4)f(1, 1) = −2
5.
c) D(1√2, 1√
2
)f(3, 3) = 0.
d) D(1,1)f(1, 1) =√
2.
56. a)23
10.
b) −4√
10
5.
c)4√30.
d) −1.
57.22√30.
58. a)
√3
6.
b) Pois f nao e diferenciavel em (0, 0), ja que nao e contınua nesse ponto.
59. Versor tangente a r(t) : u = cos(t)i + (sen(t))j; Duf = 2.
60. (f ′(r))2.
61. As direcoes sao dadas pelos vetores (1, 0) e
(4
5,−3
5
).
62. a) 4√
2.
b) 1.
c)√
6.
20
d) 1.
e)√
14.
63. Nao, ja que |∇f(1, 2)| =√
185 < 14.
64. Se u e um versor e θ e o angulo entre ∇f e u, entao
Duf = ∇f · u = |∇f ||u| cos(θ) = |∇f | cos(θ).
O valor mnimo de cos(θ) e −1 e isto ocorre quando θ = π. Portanto o valormınimo de Duf e −|∇f | e ocorre quando θ = π, ou seja, quando u tem adirecao oposta a de ∇f.
65. a) Cresce: (3, 3); descresce: (−3,−3).
b) Cresce: (1,−1); descresce: (−1, 1).
c) Cresce: (−1,−1); descresce: (1, 1).
66. Na direcao dada pelo vetor (16, 54).
67. Duf(1, 1) =
√(π
4+
1
2
)2
+1
4.
68. {(x, y) ∈ R2; y = x+ 1} .
69. a)1
2.
b) Na direcao do vetor (1, 0). O valor da taxa maxima e 1.
70. a) Na direcao do vetor (1, 1). O valor da taxa maxima e√
2.
b)7
5.
71. a) − 40
3√
3.
b) Note que ∇T = −360(x2 + y2 + z2)−3/2(x, y, z) sempre aponta para aorigem.
72. a)5200√
6
3e43oC/m.
b) 400e−43(−2, 3,−18).
c) 400e−43√
337 oC/m.
73.327
13.
74. Pelas propriedades analogas para derivadas parciais e a linearidade de veto-res, os quatro itens sao validos.
75. a) (x, y) = (1, 3) + λ(−6, 2), λ ∈ R.b) γ(t) = (
√10 cos(t),
√10 sen(t)).
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76. Reta tangente: (x, y) = (2, 5) + λ(−2, 5), λ ∈ R,Reta normal: (x, y) = (2, 5) + λ(5, 2), λ ∈ R.
77. a) Plano tangente: x− 3y + 4z = 8,Reta normal: (x, y, z) = (1,−1, 1) + λ(2,−6, 8), λ ∈ R.
b) Plano tangente: 6x+ 3y + z = 9,Reta normal: (x, y, z) =
(12, 1, 3
)+ λ(6, 3, 1), λ ∈ R.
c) Plano tangente: x− y + 4z = 4,Reta normal: (x, y, z) = (2, 2, 1) + λ(1,−1, 4), λ ∈ R.
d) Plano tangente: 4x− 5y − z = 4,Reta normal: (x, y, z) = (2, 1,−1) + λ(4,−5,−1), λ ∈ R.
78. x+ y + 4z = 10.
79. ∇g(1, 2) = (1, 2) = (−2, 4); reta tangente a curva de nıvel g(x, y) = 1 em(1, 2): −x+ 2y = 3.
80. a) y − 2 = −2(x− 1).
b) y = −4x+ 3.
81. x+ y = 2.
82. Note que se F (x, y, z) = x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 − 1, entao
∇F (x0, y0, z0) = 2(x0a2,y0b2,z0c2
)e a equacao do plano tangente em (x0, y0, z0) e
∇F (x0, y0, z0) · (x, y, z) = ∇F (x0, y0, z0) · (x0, y0, z0) = 2.
83. y = −2x+ 3 ou y = −2x− 3.
84. y − 2 = −4
5(x− 1) ou y + 2 = −4
5(x+ 1).
85. Nao.
86.
(3√
2
5,− 1
5√
2,
√2
5
)e
(−3√
2
5,
1
5√
2,−√
2
5
).
87. x+ y + z =11
6ou x+ y + z = −11
6.
22
88. (x, y, z) = (−1, 1, 2) + λ(−10,−16,−12), λ ∈ R.
89. a) Note que a direcao da normal de F e dada por ∇F, a de G por ∇G e queduas normais em P sao perpendiculares se ∇F · ∇G = 0.
b) Tome F = x2 + y2− z2, G = x2 + y2 + z2− r2 e verifique (a). Para “ver”isso sem calcular, note que F = 0 e a equacao de um cone circularcom vertice na origem e G = 0 e a equacao de uma esfera centrada naorigem.
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Referencias
[1] J. Stewart. Calculo, Volume 2, 6a Edicao, Sao Paulo, Pioneira/ Thomson Le-arning.
[2] H. L. Guidorizzi. Um Curso de Calculo, Volume 2, 5a Edicao, Rio de Janeiro,2002.
[3] G. B. Thomas. Calculo, Volume 2, 10a edicao, Sao Paulo, Addison-Wesley/Pearson, 2002.
[4] C. H. Edwards Jr; D. E. Penney. Calculo com Geometria Analıtica, Volumes 2e 3, Prentice Hall do Brasil, 1997.
[5] E. W. Swokowski, Calculo com Geometria Analıtica, Volume 2, 2a Edicao,Markron Books, 1995.
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