ma1201 matematika 2a - … · 9.2 deret tak terhingga ma1201 matematika 2a 2/14/2014 (c) hendra...

MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2016/2017

8 Februari 2017

Sasaran Kuliah Hari Ini

9.1 Barisan Tak Terhingga

Memeriksa kekonvergenan suatu barisan dan, bila mungkin, menghitung limitnya

9.2 Deret Tak Terhingga

Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya

9.3 Deret Positif: Uji Integral

Memeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji jumlah terbatas dan uji integral

2/12/2014 2(c) Hendra Gunawan

9.2 DERET TAK TERHINGGAMA1201 MATEMATIKA 2A

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3

Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya

Berapa Luas Daerah yang Diarsir?


…. dst.

Deret Tak Terhingga & Hampiran

Dengan turunan pertama, kita mendapatkanhampiran

Bila kita gunakan turunan kedua dan ketiga, kitaakan dapatkan hampiran yang lebih baik

Kelak kita dapat menunjukkan bahwa


.0,sin xuntukxx

.0,sin6

3

xuntukxx x

.,......sin!5!3

53

xuntukxx xx

Deret Tak Terhingga & Hampiran

Pertanyaannya adalah: apa arti penjumlahan

dan bagaimana mengetahui jumlah tsb ada?

Secara umum, bila an ϵ R untuk tiap n ϵ N, apaarti penjumlahan

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + …

dan bagaimana menghitungnya?


......!5!3

53

xxx

Definisi Deret Tak Terhingga

Bentuk penjumlahan

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + …

disebut sebagai deret tak terhingga atausingkatnya deret, dan biasanya dituliskandengan notasi sigma


.1

n

na

Bagaimana Memaknai Deret

Diberikan suatu deret

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + …

kita dapat menghitung jumlah parsial-nya:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

…

SN = a1 + a2 + … + aN…

Dalam hal ini kita peroleh barisan {SN}.2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 8

Bagaimana Memaknai Deret

Jika {SN} konvergen ke S, maka deret tersebutdikatakan konvergen (ke S) dan kita definisikan

Bilangan S disebut sebagai jumlah deret tsb.


.lim...321

1

SSaaaa NN

n

n

Deret Geometri

Deret geometri , dengan a ≠ 0 dan r ≠ 1,

mempunyai jumlah parsial

Jika |r|< 1, maka dan dalam hal ini

Jika |r| > 1 atau r = -1, {SN} div.


1

1

n

nar

.1

)1(

r

raS

N

N

,0lim

N

Nr

.1

limr

aSN

N

Contoh

Deret merupakan deret geometri dengan

suku pertama a = ½ dan rasio r = ½. Jadi deret inikonvergen dan jumlahnya adalah S = 1.

Deret merupakan deret geometri

dengan suku pertama a = -1 dan rasio r = -1.

Jadi deret ini divergen.


12

1

n

n

1

)1(n

n

Uji Suku ke-n untuk Kedivergenan

Jika deret konvergen, maka

Jika maka deret divergen.

Contoh. divergen karena

Catatan. Hati-hati! Walau belum

tentu konvergen. Contohnya2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 12

1n

na .0lim

nn

a

,0lim

nn

a

1n

na

1

)1(n

n.0)1(lim

n

n

,0lim

nn

a

1n

na

1

1 .n

n

Deret Harmonik

Di sini Tapi deret ini divergen, karena:


1

1

n n

1

...1

...3

1

2

11

1

n nn

.01

lim nn

n

n

nS n

1...

2

1

2

1

2

11

1...

8

1...

5

1

4

1

3

1

2

11

1...

5

1

4

1

3

1

2

11

Deret Kolaps (Berjatuhan)

Deret konvergen, karena


1 )1(

1

k kk

.11

11

1

11...

3

1

2

1

2

1

1

1

1

11

)1(

1

1 1

nbilan

nn

kkkkS

n

k

n

k

n

Teorema Kelinearan Deret

Jika dan konvergen, dan c konstanta,

maka

(i)

(ii)


1n

na

1n

nb

1 1

,n n

nn acca

1 1 1

.)(n n n

nnnn baba

Catatan

Jika divergen dan c ≠ 0, maka

divergen.

Sebagai contoh, divergen karena

divergen.


1n

na

1n

nca

1 100

1

n n

1

1

n n

9.3 DERET POSITIF: UJI INTEGRALMA1201 MATEMATIKA 2A


Memeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji jumlah terbatas dan uji integral

Deret Positif

Deret disebut deret positif apabila an ≥ 0

untuk tiap n ϵ N. Pada bagian ini, kita hanyaakan membahas deret positif.

Teorema (Uji Jumlah Terbatas). konvergen

jika dan hanya jika jumlah parsialnya terbatas.


1n

na

1n

na

Contoh/Latihan

Buktikan bahwa deret berikut konvergen.

1.

2.

Petunjuk. Periksa keterbatasan jumlah parsial Sn.


1 !

1

n n

12

1

n n

Uji Integral

Misalkan f fungsi yang kontinu, tak negatif, dantak naik pada [1,∞), dan an = f(n). Maka deret

konvergen jika dan hanya jika integral tak wajar

konvergen.


1n

na

1

)( dxxf

Contoh

Deret konvergen, karena integral

konvergen.

Deret konvergen jika dan hanya jika p > 1.

[Hasil ini mengukuhkan bahwa divergen.]


12

1

n n

1

2

1dx

x

1

1

npn

1

1

n n

Latihan

Selidiki apakah deret di bawah ini konvergenatau divergen.

1. .

2. .

3. .


141n n

n

3 )ln(lnln

1

n nnn

2 ln

1

n nn

ma1201 matematika 2a - … · 9.2 deret tak terhingga ma1201 matematika 2a 2/14/2014 (c) hendra...

Documents