ma 3401 pengantar geometri diferensial a. jelaskan ... · ma 3401 pengantar geometri diferensial...

1
MA 3401 Pengantar Geometri Diferensial UTS II - Semester I - 2010 / 2011 14 Desember 2010 A. Jelaskan terminologi berikut 1. Kurvatur rata-rata di suatu titik pada permukaan S. 2. Titik parabolik suatu permukaan S. 3. Geodesik suatu permukaan S. 4. Bilangan Euler suatu triangulasi permukaan S. 5. Titik singularitas dari medan vektor V pada permukaan σ. B. Berikan contoh yang sesuai, jelaskan secara singkat 1. Tentukan dan gambarkan semua geodesik tabung x 2 + y 2 = 1. 2. Gambarkan sebuah permukaan yang semua titiknya adalah hiperbolik. 3. Gambarkan sebuah permukaan kompak dengan bilangan Euler -8. 4. Sebuah torus didapat dengan memutar lingkaran x 2 +(y - 2) 2 = 1 di bidang XY ter- hadap sumbu X. Fungsi F menyatakan jarak torus dari bidang z = -3. Dengan gam- bar, tunjukkan keempat titik kritis dan sebutkan jenisnya (minimum lokal, maksimum lokal, atau pelana) 5. Gambarkan bagian dari sebuah permukaan σ, dan kurva γ pada σ. Di satu titik pada kurva, gambarkan vektor singgung ˙ γ, vektor normal kurva ¨ γ, normal permukaan ¯ n, dan ¯ n × ˙ γ. Tunjukkan besaran-besaran yang menyatakan kurvatur geodesik, dan kur- vatur normal. C. Hitunglah, tunjukkan, atau jelaskan 1. Hitung Fundamental Form Kedua dari permukaan eliptik paraboloid ini : σ(u, v)=(u, v, u 2 + v 2 ) 2. Hitung kurvatur Gauss dari permukaan helicoid σ(u, v)=(v cos u, v sin u, λu). 3. Misalkan kurvatur Gauss suatu patch memenuhi K ≤-1 di semua titik permukaan itu. Misalkan juga γ adalah n-gon pada patch tersebut dengan semua sisi berupa geodesik. Tunjukkan bahwa n 3. Tunjukkan pula bahwa jika n = 3, maka luas daerah tertutup Int(γ), tidak melebihi π.

Upload: trancong

Post on 03-Mar-2019

223 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: MA 3401 Pengantar Geometri Diferensial A. Jelaskan ... · MA 3401 Pengantar Geometri Diferensial UTS II - Semester I - 2010 / 2011 ... suatu triangulasi permukaan S. 5. Titik singularitas

MA 3401 Pengantar Geometri DiferensialUTS II - Semester I - 2010 / 2011

14 Desember 2010

A. Jelaskan terminologi berikut

1. Kurvatur rata-rata di suatu titik pada permukaan S.

2. Titik parabolik suatu permukaan S.

3. Geodesik suatu permukaan S.

4. Bilangan Euler suatu triangulasi permukaan S.

5. Titik singularitas dari medan vektor V pada permukaan σ.

B. Berikan contoh yang sesuai, jelaskan secara singkat

1. Tentukan dan gambarkan semua geodesik tabung x2 + y2 = 1.

2. Gambarkan sebuah permukaan yang semua titiknya adalah hiperbolik.

3. Gambarkan sebuah permukaan kompak dengan bilangan Euler −8.

4. Sebuah torus didapat dengan memutar lingkaran x2 + (y − 2)2 = 1 di bidang XY ter-hadap sumbu X. Fungsi F menyatakan jarak torus dari bidang z = −3. Dengan gam-bar, tunjukkan keempat titik kritis dan sebutkan jenisnya (minimum lokal, maksimumlokal, atau pelana)

5. Gambarkan bagian dari sebuah permukaan σ, dan kurva γ pada σ. Di satu titik padakurva, gambarkan vektor singgung γ̇, vektor normal kurva γ̈, normal permukaan n̄,dan n̄ × γ̇. Tunjukkan besaran-besaran yang menyatakan kurvatur geodesik, dan kur-vatur normal.

C. Hitunglah, tunjukkan, atau jelaskan

1. Hitung Fundamental Form Kedua dari permukaan eliptik paraboloid ini :

σ(u, v) = (u, v, u2 + v2)

2. Hitung kurvatur Gauss dari permukaan helicoid

σ(u, v) = (v cos u, v sin u, λu).

3. Misalkan kurvatur Gauss suatu patch memenuhi K ≤ −1 di semua titik permukaanitu. Misalkan juga γ adalah n-gon pada patch tersebut dengan semua sisi berupageodesik. Tunjukkan bahwa n ≥ 3. Tunjukkan pula bahwa jika n = 3, maka luasdaerah tertutup Int(γ), tidak melebihi π.